автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса

На правах рукописи

V

Мни ко Анна Александровна

АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ-ПОДОБНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГАУССА

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (технические системы)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

/. Р г Г-

1 О '-.1.1

Рязань 2009

003466741

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Витизев Владимир Викторович

доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Егупов Николай Дмитриевич

кандидат технических наук, доцент Сосулин Юрий Андреевич

Ведущая организация: ФГУП «НИИ автоматики»,

г. Москва

Защита состоится 15 мая 2009 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д212.211.01 в ГОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет» по адресу: 390005, г.Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет» по адресу: 390005, г. Рязань, ул.Гагарина, 59/1.

Автореферат разослан « й » апреля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.211.01 __,.„..-----------------

кандидат технических наук,

доцент в. н. Лржегорлинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В аэрокосмических, металлообрабатывающих и других отраслях промышленности широко используются многозвенные устройства, которые а процессе эксплуатации подвергаются воздействиям ударных и других временных возмущений. Реакции на подобные возмущения, наблюдаемые в известных точках данных устройств, носят характер непериодических колебаний сложной формы. Задача идентификации поведения многозвенных устройств в данном случае сводится к определению моделей их динамических свойств по реализациям вход-выход, заданным на коротких временных интервалах, соизмеримых с длительностью переходных процессов в устойчивых объектах, но не критичных к свойствам их устойчивости и многомерности.

В теории автоматического управления в разделе «Идентификация» накоплен большой опыт построения математических моделей динамических свойств объектов управления. На практике предпочтение для построения математических моделей такого рода процессов отдается моделям в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ДУ). Более точные методы описания динамических свойств идентифицируемых объектов, такие как функциональные ряды, нелинейные ДУ и т. д., требуют при процедуре идентификации неприемлемо большого объема аппаратно-временных затрат, так что полученная модель либо теряет свою адекватность вследствие неизбежных изменений параметров объекта, либо может использоваться на временных интервалах, значительно меньших, чем время, затрачиваемое на определение модели. Данный подход позволяет сократить время, затрачиваемое на определение моделей каждого из каналов многомерного объекта, и увеличить время использования этих моделей каналов, если режим работы объекта не выходит за пределы окрестностей типовых значений, учтенных при идентификации. Задача идентификации объектов в форме ДУ до сих пор не получила исчерпывающего решения. Современные высокоразвитые моделирующие системы, такие как MATLAB и Simulink, не имеют в своих арсеналах эффективных методик идентификации объектов но реализациям вход-выход в виде ДУ, ограничиваясь лишь разностными аналогами, не позволяющими однозначно восстановить обыкновенное ДУ. В связи с этим возникает необходимость разработки алгоритмов и реализующих их программных средств идентификации объектов моделями, описываемыми линейными ДУ высокого порядка по коротким реализациям вход-выход.

Идентификация объектов, формируемая на протяжении последних 60 лет, базируется на основополагающих работах Гропа Д., Дейча A.M., Лыонга JI., Медича Дж., Мелса Дж. Л., Сейджа Э.П., Райбмаиа P.C., Солодовникова В.В., Цыпкина Я.З., Эйкхоффа П., Коршунова Ю.М., Егупова Н.Д. и других авторов.

В качестве объекта исследования рассматриваются системы автоматического управления техническими объектами, в том числе и многомерные. Предметом исследований являются каналы многомерного объекта, экспериментально исследуемого по технологии «один вход - все выходы» моделями в виде линейных ДУ с постоянными коэффициентами.

Цель работы заключается в разработке и исследовании эффективных алгоритмов идентификации каналов одно- и многомерных объектов моделями в виде обык-

новспных ДУ но коротким реализациям сигналов вход-выход, использующих априорную информацию о величине допустимой погрешности аппроксимации заданного выходного сигнала капала выходным сигналом его модели.

Для достижения поставленной цели решаются следующие основные задачи:

- выбор интегральных преобразований финитных реализаций вход-выход объектов, осуществляющих алгебраизацию линейных ДУ и аппроксимацию сигналов;

- исследование основных свойств и разработка алгоритмов использования изображений сигналов вход-выход;

- выработка рекомендаций но выбору известных численных процедур, позволяющих программными средствами реализовать алгоритмы идентификации объектов обыкновенными ДУ до 10-го порядка включительно;

- исследование предложенных алгоритмов для подтверждения их работоспособности и выработки рекомендаций по практическому применению.

Методы проведения исследований. Теоретические исследования основаны на гипотезе о возможности описания динамических свойств объекта (или одного из его каналов) линейным ДУ заданной структуры с постоянными коэффициентами, определяющим связь между финитными реализациями вход-выход объекта, и методах вычислительной математики и моделирования. Программная реализация осуществлена на базе пакета MATLAB в среде программирования Delphi 7.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Предложена коррекция обыкновенного линейного ДУ для описания связи между финитными реализациями вход-выход объекта. Обоснована методика учета постначал ьиых и предоконечных координат фазового состояния финитной реализации вход-выход.

2. Исследовано аппроксимационное свойство преобразований Гаусса, позволяющее оценивать векторы фазовых координат предначального состояния реализаций вход-выход объекта на одной методической основе с решением других этапов процедуры идентификации.

3. Исследованы преобразования Гаусса полигармонических и случайных сигналов с целыо выделения областей значений их параметров, при которых они обладают либо сглаживающими, либо резонансными свойствами.

4. Разработаны алгоритмы формирования систем линейных алгебраических уравнений га преобразований Г аусса реализаций вход-выход объектов при их иден-тификаци и моделям и-кш щидатами.

5. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение обобщенной идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса. Они позволяют формировать банк моделей-кандидатов объекта и выбирать из него модель-претендент, отвечающую заданным требованиям к качеству идентификации.

Основные положения, выносимые на защиту:

- коррекция обыкновенного линейного ДУ, задающего связь между реализациями вход-выход, заданными на всей числовой оси, с целью получения связи между финитными реализациями вход-выход;

- результаты теоретических исследований основных свойств преобразований Гаусса, позволяющих 'эффективно решать задачу обобщенной идентификации;

- алгоритмы обобщенной идентификации линейных стационарных объектов на

основе преобразований Гаусса реализации вход-выход объекта с использованием банка моделей;

- результаты исследования эффективности разработанных алгоритмов обобщенной идентификации объектов на основе вейвлег-подобных преобразований Гаусса.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные алгоритмы идентификации не имеют методических погрешностей, поэтому их следует применять:

1) для котроля качества численного решения линейных ДУ;

2) идентификации объектов по реализациям вход-выход длительностью единицы или десятки секунд с помощью разработанного программного продукта, в том числе и при искажениях выходного сигнала аддитивными шумами умеренной интенсивности.

Материалы исследований и разработанный программный продукт использованы в учебных процессах в Рязанском государственном радиотехническом университете и Рязанском высшем военном командном училище связи (военном институте) имени маршала Советского Союза М.В. Захарова, внедрены в проектах ООО «Космические системы спасения», г. Москва.

Апробация работы. Научные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских и межрегиональных научно-технических конференциях: 2-й международной конференции и выставке «Цифровая обработка сигналов и се применение» (г. Москва, 1999), 36-й научно-технической конференции и 47-й студенческой научно-технической конференции (г. Рязань, 2000), международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000 (г. Москва, 2000), межвузовской научпо-мстодической конференции «VII Рязанские педагогические чтения» (г. Рязань, 2000), 6-й всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» (г. Рязань, 2001), XII всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» (г. Рязань, 2007), 33-й всероссийской научно-технической конференции «Сети, системы связи и телекоммуникации. Деятельность вуза при переходе на Федеральный государственный стандарт 3-го поколения» (г. Рязань, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах, в том числе в 5 статьях, 2 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и 14 приложений. Работа содержит 164 страницы основного текста, 40 рисунков, 9 таблиц, список литературы включает 101 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, изложены цель и соответствующие ей задачи, представлена структура работы.

В первой главе произведен анализ задач идентификации объектов. В современ-

ных информационных технологиях одним из основополагающих подходов к решению задач обработки сигналов и изображений, нечеткого и нейросетевого управления динамическими процессами является декомпозиция с последующим объединением. В области идентификации объектов управления этот подход выражается в виде нечетких моделей, формируемых путем взвешивания упрощенных компонент функциями принадлежности. Идентификация нечеткими моделями заостряет необходимость использования методов, позволяющих при приемлемом уровне аппаратио-временных затрат получать упрощенные модели, адекватные объекту в локальных режимах его функционирования. Особенно часто в качестве упрощенных моделей выбирают линейные модели с постоянными параметрам и. особенности которых рассмотрены в данной главе. Методы определения линейных моделей объектов подразделяются на пепарамегрические и параметрические. Пепараметрические методы описывают оператор модели в виде частотных характеристик или интеграла свертки, а параметрические - в виде ДУ. Пепараметрическое описание модели позволяет исключить из рассмотрения проблему «выбора порядка» ДУ, описывающего модель, но порождает другую проблему — необходимость стабилизации каналов объекта, если они неустойчивы, обратными связями. В этом случае экспериментальное исследование объекта должно осуществляться по технологии «один вход - один выход». Это значительно усложняет задачу получения адекватной модели. Более приемлемым в работе отмечено описание модели многомерного объекта системой обыкновенных линейных ДУ вход-выходы:

0 = к = = ± (1)

или в форме уравнений состояния и выхода. Модель вход-выход каждого канала содержит в качестве неизвестных следующие параметры: порядки пк и коэффициенты ак1, / = 0,л. -1, операторов Ок(р) левой части; порядки ткч и коэффициенты 1 = 0,тАч, операторов правой части, векторы

= ''(О-)) ,к = \,1, фазовых координат выходного сигнала к -го

капала в предначальный момент времени / = 0-0 = 0-. Технология «один вход - все выходы» экспериментального исследования многомерного объекта позволяет рассматривать совокупность ДУ:

"», _ _

= 2>„р"'"Ч('). * = 1 = (2)

1=0

с параметрами, соответствующими вышеотмеченному списку. Совокупность (2) отмечена как универсальная форма декомпозиции модели многомерного объекта, сводя задачу его идентификации к определению совокупности одномерных моделей. Кроме того, эта форма некритична к устойчивости объекта и является наиболее «экономичной» по числу учитываемых параметров, поскольку в линейных режимах объекта она не имеет методической погрешности. Уравнения состояния отмечены в качестве вторичной формы описания модели, так как в общем случае координаты состояния могут быть физически ненаблюдаемыми.

В работе проанализированы известные способы определения параметров линей-

пых ДУ по реализациям вход-выход: понижение порядка ДУ за счет интегрирования, применение модулирующих функций, методы моментов, использование разностных аппроксимаций ДУ и аппроксимаций сигналов ортогональными рядами. По результатам анализа сделаны следующие выводы.

1. Понижение порядка ДУ за счет интегрирования, использование модулирующих функций и методы моментов в принципе эквивалентны друг другу, различаясь лишь видом интегральных преобразований, используемых для алгебраизации ДУ. Ядра преобразований имеют вид:

]) у/„(г,/) =—« = 0,1,2,..., те[0,7'], - ядра метода понижения порядка;

2) - неизвестные модулирующие функции, обращающиеся в ноль вместе со своими производными на краях интервала [0,Г];

3) у/,(/) = --(-/)", п = 0,1,2,..., 1 е[0,1], -ядраметода М.Симою;

и!

4) = е"*"', п = 0,1,2,..., /е[0,оо), зпеЯ, - ядра в методах моментов.

Последовательности этих ядер не используются непосредственно в качестве элементов систем ортогональных функций и, следовательно, практически не позволяют решать задачи аппроксимации, имеющиеся в общем случае в процедуре идентификации.

2. Использование аппроксимаций сеточных соотношений вход-выход решениями разностных уравнений является доминирующим подходом, положенным в основу большинства работ, посвященных идентификации объектов управления. В основу аппроксимаций положены: замена производных конечными или разделенными разностями, аппроксимация Тастина, применение матричного экспоненциала. Во всех случаях дискретный аналог ДУ нелинейным образом зависит от периода квантования

и требует тщательной обработки сеточных соотношений , * 'у

при / = у, вход-выход объекта с целью придания им свойств, определяемых условиями аппроксимации. Однако условия обработки могут изменить статистические характеристики шумов. Для решения подобных задач широко используются методы оптимального оценивания. Применение метода МНК-решешш нецелесообразно из-за их смещенности. Марковские и байесовские оценки, а также оценки максимального правдоподобия требуют при реализации значительного объема априорной информации о входо-выходмых соотношениях многомерного объекта, получение которой представляется проблематичным.

Несмотря на внушительное число публикаций (более 40 тысяч), посвященных решению различных аспектов задачи идентификации, она до сих пор остается актуальной. Иллюстрацией этого являются периодические международные конференции «Идентификация систем и задачи управления». Отмечено, что современные идеи вейвлст-преобразований не привлекаются для решения задач идентификации. Наиболее востребованными являются вейвлет-преобразования с материнскими вейвлетами, полученными дифференцированием гауссовской кривой. Для решения поставленной в работе задачи идентификации эти вейвлеты предлагается дополнить, получив дву-

параметрические интегральные преобразования, названные Уваевым А.И. преобразованиями Гаусса (ПГ).

Во второй главе рассмотрены основные свойства ПГ, используемые в разработанных алгоритмах. ПГ порядка « к » функции /(*), х е К, названы двупараметрические ве[цественпые преобразования

с;,(г,а) = {/,а)= ™\Г{х№к{х-г,*)сЬ, /'ей, 5б (3)

функции Гаусса, допускающие представление

где Qk(x-r,s) = ±rL-?-Te~ ^ , Л =0,1,2,...,- (4)

ах

! ('-У

е

(5)

Qk(x-r,s) = -TT=Mt(x-r,s) S vl 7CS

где Hk(x-r,s),k = 0,1,2,..., - полиномы Эрмита. Частные производные ПГ удовлетворяют условию

G™ (r,s) = G<m+t) (r,i), = 0,1,2,..., r,s е Я+2. (6)

Для последовательности i, >s2 >...е R^ функции Ot(x~r,sf), / = 0,1,2,..., дают секвенциальное определение ¿> -функции и ее производных. Свойство (6) лежит в основе формул обращения ПГ:

Jim С}"» (*,s) = /'"> (.г), m = 0,1,2,..., (7)

являющихся секвенциальными формулами, задающими обобщенные производные функции /(х)е£(;, где L(; = |/(х), дгеQ)<co,/ = 0,1,2,...} - множество функций, преобразуемых по Гауссу.

Получена формула численного обращения ПГ функции /(*) е :

f-о

где ai(rl,5,l) = -ij-G^)(rJ,iJ) - коэффициенты Фурье разложения функции

в ряд по полиномам Эрмига. Получено, что ошибка аппроксимации функции fix), х е \aj>\ конечной суммой ряда (9) допускает оценку

(10)

в метрике пространства С. Выражение (9) допускает дифференцирование так, что справедливы представления

/<>(*) = |>(т-\)...(т-к + \)аа(г]Л)Н,п_к(х-г^ ¿=0,1,2,..., (11)

где л е /?(с с Я, а в качестве /(" (.г) выступают обобщенные производные функции /(х) . При оценке производных функций в точках разрыва непрерывности ряды (11) расходятся.

При исследовании преобразований периодических функций показано, что оператор ИГ можно рассматривать в виде фильтра с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)

О' 5

М„(а)) = а'е 2 , к = 0,1,2,..., 5 > 0, (12)

и фазочастотной характеристикой

<рк(ю) = к^к = 0,1,2,..., ^ >0. (13)

АЧХ Мк(сл), А'= 1,2,3,..., являются резонансными, а их максимумы

к

тах^Л-/4 (со) = , к = 1,2,3,..., (И)

наблюдаются при частотах

ш

к = 1,2,3,...,

( s

где е - число Непера. Максимумы (14) принимают при к >30 значения не меньшие чем 4,4-1015. На каждом из интервалов изменения частоты ю на один рад/с /к«а<и + 1 содержится 2п значений сорк таких, что п2 < к < (п + I)2, // = 1,2,3,... Сдвиг параметра .5 е Rt вдоль положительной вещественной полуоси позволяет менять значения резонансных частот, что дает возможность селекции низкочастотных <ие [0,1] колебаний на фоне, состоящем из постоянной составляющей и колебаний с

частотами / >10 Гц. Коэффициенты at(r,s) Фурье практически нечувствительны к

колебаниям любых частот при к > 7 . Показано нормирование функций Гаусса, которое приводит к преобразованиям с максимумами АЧХ, равными единице.

Проанализированы ПГ финитных сигналов в виде импульсов с вершиной f(t), te(0,T), имеющей не более счетного числа разрывов 1-го рода. Получено выражение функционала

0, г <0, /• > Т;

fw(r), /-е(0,Г); 0,5/(i)(0+), r = 0; 0,5/(il(7"-), r = T, k = 0,1,2,..., определяющего значения обобщенных производных. Это соотношение используется

в алгоритме оценки предначальных значений фазовых координат объекта по «обучающей выборке» его выходной реализации.

Проделанный анализ ПГ центрированного стационарного белого шума интенсивностью N показал, что элементы ковариационной матрицы

А'£")(г)==(л/[Сеа')(/-1,5) С,(п)(г2,«)]), к,п = 0,1,2,..., определяются в виде

= к,п = 0,1,2,..., (16)

где т = г, - г,, ¡2 = 2«, N - интенсивность белого шума. Дисперсии Оц' = (0) ПГ центрированного белого шума имеют вид

2 ' 5 л/^

(17)

С увеличением п дисперсии О^1' возрастают при .V < 2 и равномерно убывают при увеличении значения параметра я . Дисперсии коэффициентов ак (г,я) Фурье равномерно убывают с ростом к при всех 5 > 0,5.

Анализ особенностей обобщенной параметрической идентификации показал, что интегральным преобразованиям следует подвергать модифицированное ДУ вида

п т

Т.чЯЛ^Т.ь/гЧ')*^-^. (1В)

]=о

где >у(0» V, (')- финитные сигналы вида гг (() =

1е(0,Г); 0, г < 0, / > Т,

7=1

-2Л

/П'К

у=1

-А

балансирующие слагаемые. ДУ (18) задает связь между сигналами финитной реализации вход-выход. Учет балансирующих членов позволил разработать эффективные алгоритмы обобщенной идентификации па основе ПГ.

В третьей главе дается теоретическое обоснование алгоритмов обобщенной идентификации линейных стационарных объектов на основе ПГ реализации вход-выход, заданной на конечном интервале [0,Г]. Модель объекта представлена линейным ДУ

£а,У{"~° (<) = "(г), и = Щ т < п -1, а„ = 1. (19)

1=0 ;=о

Сначала рассмотрен вариант, когда объект под действием входа г е (0,7'), стартует из нулевых предначальных У0_ = |у(0-)..(0-)^ =0 условий. Параметра-

ми обобщенной модели объекта являются вектор Р = (я„й,,.../»„)' коэффициентов и вектор координат фазового состояния Ут = (>'(7' -)...>,(" ') (/'зыходного

сигнала в предоконечный момент времени. Это позволяет использовать модель (19) для прогнозирования реакций объекта на входной сигнал при I е (?\®). Модификация ДУ за счет балансирующих членов обосновывает связь между ПГ реализации вход-выход в виде

-О /=о (20)

А = 0,1.....а„=1,

соответствующем проекциям ДУ (19) на координатные функции

01 - гк I = 0,11, Гаусса. Зависимость (20) определяет правомочность системы

линейных ац-сбраических уравнений (СЛАУ)

СЯ = С°, (21)

где (С,(7°) - ее расширенная матрица. При первом подходе к формированию СЛАУ используются ПГ минимально необходимого порядка при количестве значений параметров (гк ,.чк 1^ = 1,<7, ПГ, равном ^ = п + т +1. Значения параметров ПГ

выбираются так, чтобы |(2, - гк ,л-( | < /<11, при /> Т, где е - произвольно малое число. Структуру матриц С и С° определяют выражения:

кя е[2,20], и = Ц0, те[0,«-1].

При другом подходе, полярном первому, ограничивается старший порядок используемых ПГ величиной, равной к + п < 11, 1г = 1,2,..., и выбирается минимальное число значений параметров [г, ,.чк ПГ. В данном случае требуется меньшее число ПГ, покрывающих расширенную матрицу СИЛУ (21), так как блоки Су,Сг

матрицы С являются теплецевыми.

После решения СЛАУ (21) определен вектор Р параметров модели-кандидата объекта. Он позволяет рекуррентно вычислить вектор постначальных значений координат фазового состояния выходного сигнала модели-кандидата исхода из баланса сингулярных составляющих ДУ модели:

,£-->(<>+) =ЛУ(0+);

_ _ . (23)

а« ' /7=1

п = 1,10, /и = 0,/г-1, к=1,п-2, а„ Особенностью варианта идентификации объектов из нулевых У(1_ -- 0 предначальных условий является то, что они позволяют решать СЛАУ с матрицей размером не более чем 2/2x2«.

При идентификации объектов, стартующих из ненулевых У0_ Ф 0 предначальных условий, структура уравнений связи между ПГ реализации сигналов вход-выход приобретает следующий вид:

т ( т-1- р \

= Е*, £ Н (24)

1=0 V )

п = 1Д0, т е[0,и-1], А = 0,1,2,..., «„ = 1,

при условии, что значения параметров ^ , ПГ обеспечивают

|б/ ~гк А )| - ' -' '> ПРИ •' =; Т, где с - произвольно малое число. Для формирования СЛАУ, определяющей параметры модели объекта, требуется уже q = 2п + т + \ значений параметров ПГ. Вектор Р неизвестных СЛАУ содержит

вектор Z = (г0..,гп1У, определяющийся постначальными значениями координат фазового состояния сигналов вход-выход объекта:

к+*у к

;-о /=о (25)

к = 0,и —1, и> = /я-и, н>е[-«,-1]. СЛАУ (21) размерностью 2п + т + \ имеет матрицу С со строками:

(о1"\гкЛ л) - сг (>•*, л) )), (2б)

кд = \,2п + т +1, т < п -1, и вектор-столбец правой части

<?°=-(с5<"(г1,51)...е^(г2м.1,^1))т. (27)

Решение системы позволяет определить вектор Р и вычислить значения координат У", /е0,«-1, вектора У0+ при известном векторе Из условий (23), (25) видно, что вектор У0+ определяется только тогда, когда известен и вектор

координат фазового состояния входного сигнала объекта в

постначальиый момент времени, причём в общем случае он должен иметь ^'"'(г) ^ О, /е (О, Г) . В противном случае потребуется модификация алгоритма, учитывающая

конкретный вид входного сигнала.

Таким образом, при идентификации объекта неизвестной структуры с порядками операторов ДУ п = 1,10, т<п- 1, возбуждаемого произвольным входным сигналом как из нулевых, так и из ненулевых предначальных условий, следует определить вектор и сформировать банк моделей-кандидатов для данных значений ПГ, состоящий из 55 моделей: одна модель 1-го порядка; две модели 2-го порядка; три модели 3-го порядка и т.д. Затем последовательно определить векторы У0+, решить все линейные ДУ моделей-кандидатов и вычислить значения критерия качества аппроксимации выходного сигнала объекта решениями ДУ моделей-кандидатов. В качестве критерия соответствия объект-модель использован

И ' ()

где |-|- подходящая норма. Выбор модели-претендента среди моделей-кандидатов

осуществляется па основе условий: .]' = тт или У < ./Л)л, где ,/л„. - априорно допустимое значение критерия.

Получены соотношения, позволяющие оценить координаты векторов V0t и УТ_ фазового состояния входа в постначальный и в предоконечный моменты времени на основе ПГ этого сигнала. Отмечено, что с увеличением порядка производных возможности качественной аппроксимации уменьшаются. Поэтому предпочтение следует отдавать испытаниям предварительно невозбужденного объекта тестовыми сигналами.

Четвертая глава посвящена разработке численной реализации алгоритмов обобщенной идентификации в виде программного продукта. В него включены следующие компоненты:

1) блок приема и обработки входных данных;

2) блок определения параметров моделей-кандидатов;

3) блок выбора модели-претендента объекта.

Блок приема и обработки входных данных вычисляет ПГ / = 0,10, и ПГ

)> ™ = 0,9, кч = 1,<7. Из этого набора ПГ в блоке определения параметров

моделей-кандидатов формируется последовательность из 55 СЛАУ, решения которых определяют операторы левой и правой частей ДУ при их фиксированных порядках. Для каждой модели-кандидата определяется вектор постначальных значений

координат фазового состояния выходного сигнала. В блоке выбора модели объекта решаются ДУ каждой модели-кандидата и рассчитываются критерии (28). «Наилучшей» моделью объекта выбирается та, для которой У - тт или У < -1Л1г1, где Jлtf: -априорно допустимое значение критерия соответствия объект-модель. В работе предусмотрена возможность визуальной оценки качества модели объекта. Для модели-

претендента рассчитывается вектор Уг_ гтредокопечных значений координат фазового состояния ее выходного сигнала с целью управления объектом при / >Т . Укрупненная схема алгоритма процедуры идентификации объекта на основе вейвлет-подобных ПГ сигналов вход-выход приведена на рис.1.

Рис. 1. Укрупненная схема алгоритма процедуры идентификации объекта на основе вейвлет-подобных ПГ' сигналов вход-выход

В работе приведены результаты моделирования процедуры идентификации объектов е 5-го по 10-й порядок включительно с использованием разработанного программного продута. Для всех объектов были сформированы банки моделей-кандидатов.

На рис.2 приведен пример идентификации объекта 10-го порядка по импульсной переходной характеристике (ИПХ) длительностью Т = 20 с.

Н>)

vA/s^

ас.;. - ■ г2:• f sss^-iEs;sss.sпеsasзs.s-rjeait.aazsjí.s-n.aaeмв.зз-.ззгa asa ¡ Рис.2. ИГ1Х объекта и модели-претепдента

В результате моделирования разработанных алгоритмов идентификации было получено ДУ модели-претендента тоже 10-го порядка, ИПХ которой показана на рис.2. Как видим, ИПХ объекта и ИПХ модели-прсгепдента практически совпадают. Критерий соответствия объект-модель принимает значение J" = 6,72-10~3% . На рис.3 приведены логарифмические частотные характеристики объекта и модели-претендента: они совпадают на всем рассматриваемом диапазоне частот.

L(co),óB

<р{(о)

Рис. 3. ЛАЧХ и ЛФЧХ объекта и модели-претендента

Для оценки пригодности модели-претендента использована процедура перекрестного подтверждения. Для данного объекта критерий рассогласования выходных реакций объекта и модели-претепдента на входной сигнал у(<) = !(<)> /е(0,Г), имеет значение / = 2,37-10.

Таким образом, в отсутствие шумов разработанные алгоритмы позволяют достаточно точно определять модели линейных объектов в виде обыкновенных ДУ. Искажение выходной реализации объекта шумом приводит к необходимости обеспечения компромисса между сглаживающими свойствами ПГ и их нечувствительностью к быстро затухающим составляющим выхода. Данное свойство может привести к аппроксимации объектов моделями пониженного порядка, чго отмечено в работе.

Для иллюстрации зависимости критерия соответствия объект-модель от параметра ^ ПГ в работе была приведена процедура идентификации объекта управления 7-го порядка при различных значениях дисперсии шумовой компоненты, искажающей его выходную реализацию.

Результаты исследований разработанного программного продукта позволили сделать следующие рекомендации.

1. ПГ реализации вход-выход объекта, заданной в виде сетки, удобнее вычислять по формулам трапеций, обеспечивающим компромисс между методическими погрешностями и чувствительностью к шумовым компонентам.

2. Значения параметра «сдвига» г Г1Г должны лежать в первой половине интервала [0,Т] задания реализации вход-выход объекта.

3. Значения «масштаба» л- ПГ целесообразно выбирать из диапазона [0,5,...,4].

При этих значениях 5 критерий J соответствия объект-модель остается практически постоянным, как это показано на рис.4. При х < 0,1 порядок ДУ определяемой модели меньше порядка ДУ объекта за счет нечувствительности ПГ к медленно затухающим составляющим переходного процесса. При 5 > 4 вновь наблюдается понижение порядка ДУ модели за счет нечувствительности 1ТГ к быстро затухающим составляющим переходного процесса в объекте.

4. Значения критерия J соответствия объект-модель не зависят от параметра «масштаба» у ПГ, а зависят от величины дисперсии аддитивного шума, искажающего выходную реакцию объекта (рис. 4).

Рис. 4. График зависимости критерия соответствия J объект-модель от параметра «масштаба» я Г1Г

5. Моделирование процедур решения СЛАУ подтверждает, что метод наимень-

ших квадратов дает смещенные решения, метод исключений Гаусса мало приспособлен к выявлению линейной зависимости столбцов матриц формируемых СЛАУ. Наиболее надежным является вУО метод.

6. Если объект возбуждается сигналом произвольной формы, то для формирования банка выходов моделей-кандидатов требуется определение вектора У0¥ для вычисления последовательности ;' = 1,55, векторов, необходимых для решений ДУ. Для моделей старших порядков это становится трудно решаемой проблемой. С связи с этим предпочтение отдано типовым входным сигналам: ¿(/), 1(/), е~', аыгмос и нулевым )'а. = 0 иредначальным условиям.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложениях приведены алгоритмы идентификации линейного стационарного объекта при входном сигнале типа 5-функция, 1(г), ¿шп«/; варианты банков

моделей-кандидатов для идентифицируемых объектов, а также листинг разработанного программного продукта.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны алгоритмы обобщенной идентификации линейного стационарного объекта или канала многомерного объекта моделью в виде линейного ДУ по коротким реализациям вход-выход длительностью единицы, десятки секунд.

2. В качестве интегральных преобразований, алгебраизующих линейное ДУ объекта, выбраны ПГ, являющиеся обобщением группы вейвлетов-гауссидов.

3. Исследованы основные свойства ПГ, показана их связь с коэффициентами Фурье разложения сигналов по полиномам Эрмита. Получены оригинальные выражения, позволяющие оценить векторы ностначальных и нредоконечных значений координат фазового состояния финитных сигналов.

4. Предложена коррекция линейного ДУ балансирующими членами, учитывающими финигность реализаций вход-выход объекта.

5. Разработана программная реализация предложенных алгоритмов идентификации объектов с неизвестной структурой обобщёнными моделями, параметры которых определяются на основе ПГ реализаций вход-выход объектов. Показана пракгиче-ская целесообразность ограничения порядка ДУ «<10. При этом процедура идентификации включает формирование и решение 55 СЛАУ, каждое из которых определяет параметры одной модели-кандидата. Порядок старшей СЛАУ в этом случае может быть равен 30.

6. На основе результатов моделирования процедуры идентификации установлено, что представленные алгоритмы соответствуют требованиям к качеству моделей объекте» и некритичны к устойчивости объектов. Разработанный на их основе программный продукт может быть модифицирован для идентификации объектов более высокого порядка.

7. Отмечен неизбежный субьективизм выбора модели-претендента из банка моделей-кандидатов.

8. При незначительных модификациях разработанные алгоритмы позволят идентифицировать объекгы с запаздыванием, некоторые классы нестационарных и нелинейных объектов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Уваев А.И., Минко A.A. Исследование преобразований Гаусса гармонических сигналов // Проблемы математического моделирования и обработки информации в научных исследованиях: сборник научных трудов. - Рязань, 1999. - С.83-88.

2. Уваев А.И., Минко A.A. Оценка вектора фазового состояния финитного сигнала на основе преобразований Гаусса // Труды 2-й международной конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение». - М., 1999. - С. 567-572.

3. Уваев А.И., Минко A.A. Идентификация структуры и параметров модели Гаммерштейна по временной характеристике вход-выход объекта // Тезисы докладов 36-й научно-технической конференции и 47-й студенческой научно-технической конференции. - Рязань, 2000. - С. 35-36.

4. Уваев А.И., Минко A.A. Определение гиегерона по реакциям безынерционного преобразователя на линейно меняющиеся сигналы // Груды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. - М., 2000. -С. 1912-1917.

5. Минко A.A. Определение творческого потенциала студента // «Профессионально-педагогическая и специальная подготовка студентов как социокультурная деятельность»: тезисы докладов межвузовской научно-методической конференции «VII Рязанские педагогические чтения». - Рязань, 2000. - С. 89-90.

6. Минко A.A. Идентификация безынерционного преобразователя по реакциям на линейно меняющийся сигнал // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании: сборник трудов 6-й всероссийской научно-технической конференции студентов, молодьтх ученых и специалистов: тезисы докладов. -Рязань, 2001,- С. 138-140.

7. Уваев А.И., Минко A.A. Особенности обобщенной параметрической идентификации объектов управления на основе модели вход-выход // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании: материалы XII всероссийской научно-технической конференции студентов: тезисы докладов. - Рязань: РГРТУ, 2007.-С. 210-213.

8. Минко A.A. Идентификация линейного объекта по реакции на гармонический сигнал // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. № 1 (выпуск 23). - Рязань, 2008. - С. 63-68.

9. Минко A.A., Витязев В.В. Оценка вектора предначального фазового состояния финитного сигнала на основе преобразований Гаусса // Сети, системы связи и телекоммуникации. Деятельность вуза при переходе на Федеральный государственный стандарт 3-го поколения: материалы 33-й всероссийской научно-технической конференции. В 2 ч. Ч. 1/ РВВКУС. - Рязань, 2008. - С. 299-302.

10. Минко A.A., Витязев В.В. Обобщенная идентификация линейного объекта но сигналам вход-выход // Цифровая обработка сигналов. № 4. - М., 2008. - С. 34-40.

Минко Анна Александровна

АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ-ПОДОБНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГАУССА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 31.03.2009. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №1619

ООО НПЦ «Информационные технологии» 390035, г. Рязань, ул. Островского 21/1.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ

ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ.

1.1. Задачи идентификации. Особенности задач.

1.2. Общая классификация задач идентификации объектов управления.

1.3. Классификация задач идентификации объектов стационарными линейными моделями.

1.3.1. Частотные характеристики.

1.3.2. Временные характеристики.

1.3.3. Дифференциальные уравнения.

1.4. Вейвлет-преобразования.

ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССА.

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

2.1. Общие сведения о преобразованиях Гаусса.

2.2. Численное обращение преобразований Гаусса.

2.3. Преобразования Гаусса периодических функций.

2.4. Преобразования Гаусса финитных сигналов.

2.5. Сглаживающие свойства преобразований Гаусса.

2.6. Особенности обобщённой параметрической идентификации моделью вход-выход.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ОБОБЩЁННОЙ

ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ.

3.1. Идентификация линейного объекта по сигналам вход-выход при нулевых предначальных условиях.

3.1.1. Идентификация объектов простой структуры.

3.1.2. Идентификация объектов усложнённой структуры при нулевых предначанъных условиях.

3.3. Идентификация простых объектов при ненулевых предначальных условиях.

3.4. Идентификация объектов произвольного порядка при ненулевых предначальных условиях.

3.5. Аппроксимация производных финитной функции рядами полиномов Эрмита.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУР ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ

ОБЕКТОВ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГАУССА.

4.1. Процедура идентификации объекта.

4.1.1. Данные наблюдений.

4.1.2. Множество моделей-кандидатов.

4.1.2.1. Численное определение преобразований Гаусса.

4.1.2.2. Формирование банка моделей-претендентов.

4.1.2.3. Задача выбора численного метода решения систем линейных алгебраических уравнений.

4.1.3. Определение «наилучшей» модели множества.

4.1.3.1. Критерий идентификации.

4.1.3.2. Определение вектора постначалъных значений фазовых координат выходного сигнала модели объекта.

4.1.3.3. Численное решение задачи Коши.

4.1.4. Контур идентификации объекта.

4.2. Определение вектора предоконечных значений фазовых координат выходного сигнала модели объекта.

4.3. Варианты реализации программы Gaussid.

Идентификация, как научное направление, имеет 60-летнюю историю. Её становление связано с основополагающими работами Аоки М., Гропа Д. , Сей-джа Э., Мелса Дж., Льюнга Л., Медича Дж., Эйкхоффа П., Солодовникова В.В., Цыпкина ЯЗ., Райбмана Р.С., Дейча A.M., Егупова Н.Д. [26], [46], [63]-[65], [69], [75]-^-[78], [81], [92], [97], [98] и других авторов. Несмотря на очень большое число публикаций (по некоторым оценкам более 4-104), посвящённых решению различных аспектов задачи идентификации объектов управления, ещё не созданы методы, полностью удовлетворяющие потребности практики. В подтверждении этого утверждения сошлёмся на ряд международных конференций «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO, проводимых институтом проблем управления имени В.А.Трапезникова РАН, Российским комитетом по автоматическому управлению, Российским фондом фундаментальных исследований, Отделением энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН. Их более пяти. На каждой из них сделано примерно по 200 докладов.

В аэрокосмических, металлообрабатывающих и других отраслях промышленности широко используются многозвенные устройства, которые в процессе эксплуатации подвергаются воздействиям ударных и прочих кратковременных возмущений. Реакции на подобные возмущения, наблюдаемые в известных точках данных устройств, носят характер непериодических колебаний сложной формы. Задача идентификации многозвенных устройств в данном случае сводится к определению моделей их динамических свойств по реализациям вход-выход, заданным на коротких временных интервалах, соизмеримых с длительностью переходных процессов в устойчивых объектах, но не критичных к свойствам их устойчивости и многомерности. В теории автоматического управления в разделе «Идентификация» накоплен большой опыт построения математических моделей динамических свойств объектов управления. На практике предпочтение для построения математических моделей такого рода процессов отдаётся моделям в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Более точные методы описания динамических свойств идентифицируемого объекта, такие как функциональные ряды и нелинейные ДУ, требуют при идентификации неприемлемо большого объема аппаратно-временных затрат, так что полученная модель либо теряет свою адекватность, вследствие неизбежных изменений параметров объекта, либо может использоваться на временных интервалах, значительно меньших чем время, затрачиваемое на определение модели. Данный подход позволяет сокращать время, затрачиваемое на определение моделей каждого из каналов многомерного объекта и увеличивать время использования этих моделей каналов, если режим работы объекта не выходит за пределы окрестностей типовых значений, учтенных при идентификации. Как будет показано ниже, задача идентификации объектов ДУ до сих пор не получила исчерпывающего решения. Современные высокоразвитые вычислительные системы, такие как MATLAB, не имеют в своих арсеналах эффективных алгоритмов идентификации объектов по реализациям вход-выход в виде ДУ, ограничиваясь лишь разностными аналогами. Однако известно, что разностное уравнение не позволяет однозначно восстановить обыкновенное ДУ. В связи с этим возникает необходимость разработки алгоритмов и реализующих их программных средств идентификации объектов моделями, описываемыми ДУ высокого порядка по коротким реализациям вход-выход.

В данной диссертационной работе разрабатываются алгоритмы идентификации объектов в рассматриваемых условиях линейными обыкновенными ДУ, позволяющими исследовать характерное поведение объекта в окрестности выбранного установившегося режима. Алгоритмы открыты для дальнейших обобщений на объекты с запаздыванием и некоторые классы нелинейных объектов.

Объект, предмет и рамки исследования

Объектом исследования являются системы автоматического управления техническими объектами, в том числе многомерные. Предметом исследования являются каналы одно- или многомерного объекта, экспериментально исследуемого по технологии «один вход — все выходы» моделями в виде линейного ДУ с постоянными коэффициентами.

Методом исследования являются двупараметрические интегральные преобразования сигналов вход-выход каналов объекта, локализованные во временной и частотной областях, аналогичные вейвлет-преобразованиям, названные Увае-вым А.И., преобразованиями Гаусса [82], [83]. Несмотря на их тридцатилетнюю историю, они не получили должного освещения в литературе. Эти преобразования позволяют получать вполне приемлемые алгоритмы, эффективно реализуемые на базе современных вычислительных средств. Подтверждением этого являются результаты данной диссертационной работы.

Постановка цели и задачи исследований

Цель работы заключается в разработке и исследовании алгоритмов идентификации канала одно- или многомерного объекта моделью в виде линейного ДУ с постоянными коэффициентами по коротким реализациям сигналов вход-выход, использующих априорную информацию о величине допустимой погрешности аппроксимации заданного выходного сигнала канала выходным сигналом его модели.

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих основных задач.

1. Выбор интегральных преобразований финитных реализаций вход-выход объекта, осуществляющих алгебраизацию линейного ДУ и аппроксимацию сигналов.

2. Исследование основных свойств вейвлет-подобных преобразований Гаусса и разработка алгоритмов использования изображений сигналов вход-выход.

3. Выработка рекомендаций по выбору известных численных процедур, позволяющих программно реализовать алгоритм идентификации объекта обыкновенными ДУдо 10-го порядка включительно.

4. Исследование предложенных алгоритмов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса для подтверждения их работоспособности и выработки рекомендаций по практическому применению.

Научная новизна

1. Предложена коррекция обыкновенного линейного ДУ для описания связи между финитными реализациями вход-выход объекта. Обоснована методика учёта постначальных и предоконечных координат фазового состояния финитной реализации вход-выход.

2. Исследовано аппроксимационное свойство преобразований Гаусса, позволяющее оценивать векторы фазовых координат предначального состояния реализации вход-выход объекта на одной методической основе с решением других этапов процедуры идентификации.

3. Исследованы преобразования Гаусса полигармонических и случайных сигналов с целью выделения области значений их параметров, при которых они обладают либо сглаживающими, либо резонансными свойствами.

4. Разработаны алгоритмы формирования систем линейных алгебраических уравнений из преобразований Гаусса реализаций вход-выход объекта при идентификации объекта моделями-кандидатами.

5. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение обобщенной идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса, позволяющие формировать банк моделей-кандидатов и выбирать из него одну модель-претендент, минимизирующую функционал ошибки аппроксимации выхода объектов.

Методы проведения исследований

Теоретические исследования основаны на гипотезе о возможности описания динамических свойств объекта (или одного из его каналов) линейными ДУ заданной структуры с постоянными коэффициентами, определяющими связь между финитными реализациями вход-выход объекта, и методах вычислительной математики и моделирования. Программная реализация осуществлялась на базе пакета MATLAB в среде программирования Delphi 7.

Практическая ценность

Проведено комплексное исследование свойств алгоритмов идентификации линейных объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса. Разработанная процедура идентификации не содержит методических погрешностей и потому её следует применять: а) для контроля качества численного решения обыкновенных линейных ДУ; б) идентификации объектов по реализациям вход-выход длительностью единицы или десятки секунд с помощью разработанного программного продукта, в том числе и при искажениях выходного сигнала аддитивными шумами умеренной интенсивности.

Материалы исследований и разработанный программный продукт использованы в учебном процессе в Рязанском государственном радиотехническом университете и Рязанском высшем военном командном училище связи (военном институте) имени маршала Советского Союза М.В. Захарова, а также внедрены в проектах ООО «Космические системы спасения», г. Москва.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Коррекция обыкновенного линейного ДУ, задающего связь между реализациями вход-выход, заданными на всей числовой оси, с целью получения связи между финитными реализациями вход-выход.

2. Результаты теоретических исследований основных свойств преобразований Гаусса, позволяющих эффективно решать задачу обобщенной идентификации.

3. Алгоритмы обобщенной идентификации линейных стационарных объектов на основе преобразований Гаусса реализаций вход-выход объекта с использованием банка моделей.

4. Результаты исследования эффективности разработанных алгоритмов обобщенной идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса.

Апробация научных положений

Научные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских и межрегиональных научно-технических конференциях: 2-й международной конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (г. Москва, 1999); 36-й научно-технической конференции и 47-й студенческой научно-технической конференции (г. Рязань, 2000); международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000 (г. Москва, 2000); " межвузовской научно-методической конференции «VII Рязанские педагогические чтения» (г. Рязань, 2000); 6-й всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» (г. Рязань, 2001); XII всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» (г. Рязань, 2007); 33-й всероссийской научно-технической конференции «Сети, системы связи и телекоммуникации. Деятельность вуза при переходе на Федеральный государственный стандарт 3-го поколения» (г. Рязань, 2008).

Публикации по теме

Основное результаты диссертационной работы отражены в 10 печатных работах, в том числе в 5 статьях, 2 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав с выводами по каждой из них, заключения, перечня литературы и 14 приложений. Общий объём работы 298 стр., из них 164 стр. основного текста, 9 таблиц, 40 рисунков. Список литературы содержит 101 наименование.

ВЫВОДЫ

1. Проделанный теоретический анализ и разработанные алгоритмы идентификации линейного стационарного объекта на основе вейвлет-подобных ПГ по коротким реализациям вход-выход объекта позволили создать программный продукт, позволяющий поставить задачу обобщённой идентификации объектов до 10-го порядка включительно в плоскость практического применения.

2. Выбор модели-претендента объекта осуществляется из банка, содержащего 55 определённых моделей-кандидатов, на основе выбранного критерия качества аппроксимации выхода объекта выходным сигналом модели. При этом ySf(t), /е(0,Г), получается путём численного решения ДУ, задающего модель. Моделирования условий поставленной задачи обобщённой идентификации показали необходимость тщательного выбора численных методов, реализующих разработанные алгоритмы:

-для численного определения ПГ Gx\r,s), / = 0,11, следует воспользоваться квадратурной формулой трапеций, поскольку она наилучшим образом отвечает условию компромисса между величиной методической ошибки квадратурной формулы и её чувствительностью к шумам;

- сформированную СЛАУ желательно решать с помощью метода, использующего сингулярное разложение матриц или SVD-метода;

- наиболее устойчивым методом при численном интегрировании ДУ является метод трапеций с интерполяцией.

3. С целью упрощения процедуры идентификации рекомендуется осуществлять старт объекта из нулевых YQ = 0 предначальных условий, а входной сигнал v(t), t е(0,Г), выбирать известным аналитически для нахождения VQ+ постначального вектора фазовых координат входного сигнала объекта. Невыполнение данных рекомендаций существенно затруднит процедуру идентификации, поскольку задачи определения Г0 и V0+ по сложности не уступают самой процедуре идентификации.

4. Для формирования СЛАУ желательно воспользоваться следующим подходом (см. главу 3):

Gy0){г(,).Gj,1}{rt,s() = = 1^20, поскольку в данном случае не придётся вычислять \r,s), точность определения-которого ниже, чем у .

5. Последовательность параметров «сдвига» rn i = \,q, ПГ должна быть локализована примерно на переходном процессе объекта или его первой половине, причём значения т\, г2 могут быть и отрицательными. Параметр «масштаба» s ПГ первоначально рекомендуется выбирать равным 1. Если выход определённой в данном случае «наилучшей» модели объекта недостаточно точно будет аппроксимировать выход объекта, его значение следует уменьшить. При наличии аддитивного гауссовского белого шума на выходе объекта увеличение (5 > 1) параметра s может привести к сглаживанию высокочастотных составляющих выхода объекта.

6. Для подтверждения адекватности модели были использованы следующие методы:

- визуальный: путём сравнения y(ty и Ум(0> *е (0,2^), на графике;

- формальная мера расстояния между сигналами y{t) и yM(t), £ е (0,Г), критерий соответствия объект-модель J (4.40);

- процедура перекрёстного подтверждения, проводимая на основе нового множества входных данных, не использовавшихся в процессе определения неизвестных параметров модели объекта.

7. Особо следует подчеркнуть неизбежный субъективизм процедур подтверждения модели.

8. Рассмотренные в данной диссертационной работе алгоритмы идентификации на основе вейвлет-подобных ПГ не зависят от устойчивости каналов объекта. Любой объект, динамические свойства которого возможно описать с помощью линейного ДУ до 10-го порядка, является потенциальным приложением разработанных алгоритмов идентификации или его модификаций.

9. Разработанные алгоритмы рекомендуется использовать для контроля качества численного интегрирования линейных ДУ.

10. Вышеотмеченные положительные свойства разработанного программного продукта, по мнению авторов, наиболее полно соответствуют перспективным направлениям развития теории и практики идентификации.

163

В заключение приведём основные выводы по данной диссертационной работе, посвященной разработке алгоритмов обобщённой идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса.

1. Несмотря на значительное число публикаций (более 4-104), посвящённых решению различных аспектов задачи идентификации объектов по реализациям вход-выход, эта задача всё ещё остаётся актуальной.

2. Современные тенденции развития теории автоматического управления, такие как нечёткое и робастное управление и т.д., базируются на множествах моделей объекта, моделирующих его поведение в локальных режимах. Эти тенденции заостряют необходимость разработки быстрых алгоритмов идентификации, позволяющих получать линейные модели по переходным составляющим реакций объектов, удовлетворяющие требованиям адекватности.

3. Анализ основных подходов к решению задачи идентификации объектов, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, показал эффективность обобщённой идентификации объекта, при которой без дополнительных вычислений модель объекта пригодна для прогнозирования поведения объекта на интервалах времени, следующих за интервалом идентификации.

4. Отмечено, что удобной формой описания модели являются дифференциальные уравнения вход-выход или эквивалентные им уравнения состояния в нормальной форме Коши, скорректированные балансирующими членами, учитывающими финитность реализаций вход-выход объекта, предъявляемых для его идентификации.

5. Основным приёмом определения параметров линейного дифференциального уравнения всегда являлись интегральные преобразования, алгебраизи-рующие дифференциальное уравнение. Современным требованиям, по мнению автора, наиболее полно удовлетворяют преобразования Гаусса, ядра которых являются обобщением группы вейвлетов-гауссидов.

6. Проанализированы основные свойства преобразований Гаусса, показана их связь с коэффициентами Фурье разложения сигналов по полиномам Эрмита. Получены оригинальные выражения, позволяющие оценить векторы постначальных и предоконечных значений координат фазового состояния финитных сигналов. Выражения базируются на секвенциальном подходе к исследованию сингулярных 8 —функций, отличающемся в деталях от аксиоматического подхода.

7. Разработано теоретическое и алгоритмическое обеспечение решения задачи идентификации объектов с неизвестной структурой обобщённой моделью, параметры которой определяются на основе обработки преобразований Гаусса реализации вход-выход объекта (или одного канала многомерного объекта). Показана практическая целесообразность ограничения порядка ДУ п <10. При этом процедура идентификации включает формирование и решение 55 систем линейных алгебраических уравнений, каждое из которых определяет параметры одной модели-кандидата. Порядок старшей системы линейных алгебраических уравнений равен 30. Отмечены затруднения, сопровождающие процедуру идентификации, в случаях, когда старт объекта происходит из ненулевых пред-начальных условий, а входной сигнал не описан аналитической функцией. При старте объекта из нулевых предначальных условий порядок старшей системы линейных алгебраических уравнений равен 20, вектор постначальных значений координат фазового состояния выходного сигнала объекта определяется аналитически, исходя из постначальных значений координат фазового состояния входного сигнала и коэффициентов дифференциального уравнения модели-кандидата.

8. В разработанном оригинальном программном продукте, автоматизирующем решение задач процедуры идентификации, для. выбора модели-претендента из 55 моделей-кандидатов предусмотрено вычисление одного из формальных критериев Jn, J12, Jlx, J^ выбора претендента, для которого

J* = min, к е 1,4, и построение графиков выхода объекта и модели-кандидата.

J уе[1,55]

9. Суждение о пригодности или непригодности модели-кандидата остаётся за исследователем. Оно может быть основано либо на опыте исследователя, либо на формальном сравнении значения критерия J*k с его допустимым значением.

10. Результаты моделирования процедуры идентификации полностью подтвердили то, что разработанная методика идентификации на основе преобразований Гаусса реализации вход-выход вполне соответствует требованиям к качеству моделей объектов, некритична к устойчивости объекта, способна работать в условиях аддитивных шумов, допуская определение моделей до 10-го порядка включительно.

11. При незначительных модификациях разработанная методика позволит идентифицировать объекты с запаздыванием, некоторые классы нестационарных и нелинейных объектов [50], [86].

1. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Пакет программ АДАПЛАБ: Новые возможности для идентификации // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. -С.123 -132.

2. Альберг Дж., Никольсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложение. -М.: Мир, 1972.-316 с.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: Мир, 1976. -755 с.

4. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 336 с.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. - 447 с.

6. Балонин Н.А., Габитов Е.А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования // Автоматика и телемеханика. 1997. - Вып. 2. - С. 140-146.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975. -631 с.

8. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории: Учебное пособие: Пер. с нем.

9. Кренкеля Т.Э. / Под ред. Кюркчана А.Г. М.: Техносфера, 2006. — 271 с.

10. Брикман М.С., Кристинков Д.С. Аналитическая идентификация управляющих систем. Рига: Зинатне, 1974. - 108 с.

11. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.-432 с.

12. Булычёв Ю.Г., Бурлай И.В. Многократное дифференцирование финитных функций с использованием теоремы отсчетов в задачах оценивания, управления и идентификации // Автоматика и телемеханика. 1996. -Вып. 4. -С. 53 -65.

13. Булычёв Ю.Г., Бурлай И.В. Метод параметрической идентификации системуправления при неточном задании входных данных // Автоматика и телемеханика. 1997. - Вып. 11. - С. 56 - 65.

14. Вавилов А.А., Солодовников А.И. Экспериментальное определение частотных характеристик. М.: Госэнергоиздат, 1963. - 252 с.

15. Ван-Трис С. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. — М.: Мир, 1964.-168 с.

16. Вапник В, Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979.-447 с.

17. Васильев В.А. Об идентификации динамических систем авторегрессионного типа // Автоматика и телемеханика. 1997. - Вып. 12. - С. 107 - 119.

18. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов/ В.М. Вержбицкий. 2-е изд., испр. — М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005. - 432 с.

19. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов.- М.: Изд. ИЛ, 1961.-158 с.

20. Владимиров B.C. Обобщенные функции в, математической физике. — М.: Наука, 1976.-280 с.

21. Воробьёв В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. -С. Пб.: ВУС, 1999.-204 с.

22. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции и действия над ними.-М.: Физматгиз, 1959.-470 с.

23. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике // Успехи математических наук. 1956. XI выпуск (67). - С. 77 - 114.

24. Гинсберг К.С. Неклассические задачи структурной идентификации // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. - С. 992 - 1006.

25. Гинсберг К.С., Лотоцкий В.А. II международная конференция «Идентификация систем и задачи управления». Пленарные доклады // Автоматика и телемеханика. 2005. — Вып. 6. - С.175-180.

26. Гренадер У., Сегё Г. Теплицевы формы и их приложения. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. -308 с.

27. Гроп П. Методы идентификации систем.- М.: Мир, 1979. 302 с.

28. Гугушвили А.Ш., Руруа А.А., Сесадзе В.К. Применение теории катастроф в адаптивных системах управления с идентификатором // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. -М, 2000. С. 83 - 91.

29. Дмитриев А.Н. Теория и спектральные алгоритмы идентификации динамических объектов на основе проблемы моментов: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. — М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1977.-334 с.

30. Дмитриев А.Н., Уваев А.И. Исследование точности идентификации характеристик безынерционных преобразователей рядами полиномов Эрмита // Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях. -М.: НЦБИ, 1980. С. 61-66.

31. Добеши П. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ РиХД, 2001. — 464 с.

32. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: СОЛОН-Р, 2002. -440 с.

33. Дьяконов В.П. Matlab 6/6.1/6.5+Simulink4/5. основы применения. М.: СО-ЛОН-Пресс, 2004. - 767 с.

34. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1989. - 656 с.

35. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958.-507 с.

36. Клейман Е.Г. Идентификация входных сигналов в динамических системах // Автоматика и телемеханика. 1999. - Вып. 12. - С. 3-15.

37. Колмогоров А.Н., Фомин G.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. 496 с.

38. Кристалинский Р.Е., Кристалинский В.Р. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики: Учебное пособие для вузов. М: Горячая линия — Телеком, 2006. - 216 с.

39. Лабутин С.А. Структурная идентификация и анализ модели роста населения земли // Труды» международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. - С. 164 - 170.

40. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. — СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2005. 512 с.

41. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководств. М.: Наука, 1961. - 542 с.

42. Леоненков А.В. Нечёткое моделирование в среде MATLAB и fuzzy TECH. — С.-Пб.: БХВ Петербург, 2003. - 736 с.

43. Лобанов А.В. Распределённое мажорирование информации с обнаружением и идентификацией проявлений неисправностей // Автоматика и телемеханика.- 1997. -Вып.1. С. 145-149.

44. Ломов А.А. Идентификация линейных динамических систем по коротким участкам переходных процессов при аддитивных измерительных возмущениях // Теория систем управления. 1997. №3. - С. 20 - 26

45. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ./Под. Ред. Я.3. Цыпкина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. -432 с.

46. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. Пер. с англ. Б.Н. Казака. / Под ред. и с дополнением Б.М. Наймарка. М.: Изд-во Мир, 1977. - 584 с.

47. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. - 671 с.

48. Минко А.А. Идентификация линейного объекта по реакции-на гармонический сигнал // Вестник Рязанского государственного университета. № 1 (выпуск 23). Рязань, 2008. - С. 63 - 68.

49. Минко А.А., Витязев В.В. Обобщенная идентификация линейного объекта по сигналам вход-выход // Цифровая обработка сигналов. — М., 2008. — С. 34-40:

50. Мишкин Э., Браун JI. Приспосабливающиеся автоматические системы. -М.: Изд-во иностр. лит., 1963. — 670 с.

51. Мышкис А.Д:, Зельдович Я.Б. Элементы прикладной математики. Изд. 2-е -М.: Наука, 1967.-648 с.

52. Мышляев Л.П., Львова Е.И. Опыт идентификации промышленных объек-' тов в действующих системах управления // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. - С. 1943 - 1964.

53. Налимов В.В. Теория эксперимента. — М.: Наука, 1971. — 208 с.

54. Орлов Ю.Ф. Определение структурных инвариантов многомерного объекта по его частотным характеристикам // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000. М., 2000. - С. 221 - 237.

55. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений/ Пер. с англ.; под ред. А.А. Абрамова. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1986. - 288 с.

56. Перельман И.И. Оперативная идентификация объектов управления. М.: Энергоиздат, 1982. - 272 с.

57. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. С-Пб.: Издательство СПбГТУ, 1999.- 132 с.

58. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.G. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.