автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Алгоритмизация численного моделирования двумерных краевых задач механики деформируемого твердого тела сложной формы

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ КИБЕЖЕГ1Ш1 С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЦЕНТРОМ УзНПО :,КИБЕРНЕШ{А"

На правах рукописи

НАЗИРОВ Шодманкул Абдироэикович

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОВ1ИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРШ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

А В. ТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент - 1991

Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени институте кибернетики с вычислительным центром УзНПО "Кибернетика" АН Республики Узбекистан.

Научный консультант - Академик АН Республики Узбекистан,

доктор физико-математических наук, профессор В.К.Кабулов.

. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, •

профессор В.В.Щенниксс;

»■л.-корр.АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Т.Бурцев;

доктор физико-математических наук, профессор Ф.Б.Бадалов.

Ведущая организация - ИПМаш АН Украины (г.Харьков).

Защита диссертации состоится " " дх^дД./. 1991г. в 40с~ часов на заседании Специализированного совета Д 015.12.03 при Узбекском научно-производственном объе~ динении "Кибернетика" АН Республики Узбекистан по адресу: 700125, Ташкент, ул. Ф.Ходхаева, 34.

С диссертацией можно ознокомиться в библиотеке УзНПО "Кибернетика" АН Республики Узбекистан.

Автореферат* разослан . 1991 года.

Уч шй секретарь Специализированного совета, доктор технических наук, профессор '-Р-./Ц^'^Ф.Т.Адылова

i ОЬЩАЯ XAPAKÎEй'1 СГ/Î KA РАБОТЫ

- 1

"■ ra^ff.'faльность работы. Современные проблемы инженерией ппакти-кй7~йГЯзаннь:е с расчетом на прочность объектов строительства, деталей машин и механизмов, ставят перед фуиданенталышми исследованиям задачи, при которых, наряду с характером приложенных нагрузок, необходимо учитывать и геометрию изучаемого объекта.

Решение такого рода задач - достаточ сложная проблема. г>. реализация стала возможной в условиях развития средств вычислительной техники. Эффективное использование ЭоМ предусматривает разработку как различных численных методов вычислительной математики, так и создание алгоритмических систем, с помощь«) которых мо::;но охватить широкий класс инженерных задач, решаемых метогг ми механики сплошных сред С-!СС). К этим задачам, в частности, относятся двумерные задачи механики деформируемого твердого тела (МдТТ). Когда исследуемая область является канонической (прямоугольник, оллипс и т.д.), хорошо разработанный математический аппарат позволяет решать названные задачи на аналитическом уровне. Если область имеет сложную форму, решение можно получить с помощью специальных численных методов с привлечением ЭсШ. Поэтому возрастает роль приолиненних методов, позволяющих получить простые по форме решения с достаточной для практики точностью.

В настоящее время SJM применяется не только для решения задач вычислительного характера, но и для автоматизации творческой деятельности. Лными словами, с помощью ЗоМ автоматизируется процесс творческого труда исследователя, начиная от вывода математических моделей, их исследования, выбора соответствующего вычислительного алгоритма и кончая получением соответствующих численных результатов. Такой подход проведения научных исследований для решения задач МСС называется алгоритмизацией. Актуальность такого подхода решения названного класса краевых задач МдТТ не вызывает сомнений.

Обзор состояния проблемы и обоснование цели исследования

Математическое моделирование задач статики и динамики МдТТ основано на фундаментальных разработках, полученных в области математической теории упругости, пластичности и вязкоупругости. Фундаментальные результаты в области механики деформируемого твердого тела изложены в трудах советских и зарубежных ученых. В

этих работах построены математические модели задач МДТТ. Обзор результатов исоледований по этим направлениям можно найти в МО' нографиях, вн">едших в последнее время у нас и за рубежом. Мате матические модели двумерных задач МДТТ описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных, интегральным или интегро-дифференциальннми уравнениями в частных произвэдны Построить точные-решения таких уравнений весьма сложно или пра тически невозможно. Поэтому.путем дискретизации по пространств ным переменным задача сводится к решению систем алгебраических уравнений, систем обыкновенных дифференциальных уравнений или систем обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений типа Больтерра в зависимости от'рассмотрения задач статики или дана иики МаТТ.'

Примером современного развития методов математического моде лирования применительно к новым классам задач кСС является цик работ Ф.Б.Абуталиева, С.М.Ьелоцерковского, Т.Бурцева, А.Ф.оер-лана, З.Г.Габдулхаева, А.А.Дородницина, А.А.Илмшина, Б.К.Кабу лова, А.Н.Коновалова, Т.И.Марчука, Ь.Е.Лобедри, Г.Е.Пухова, ь. Работнова, Х.А.Рахмату'лина ВЛ.Рзачева, А.А.Самарского, Л.И. Седова, В.С.Сизикова, А.Н.Тихонова, В.о.Ь,енникова, Н.Н.Яненко др. ;

Для решения дифференциальных уравнений в частных производнь наибольшее распространение получила теория разностных схем, у торая была построена академиком А.А.Самарским как теория оперг торно-разностных и операторных уравнений с■ог.раторами в абстрактных гильбертовых пространствах, б настоящее время на осног этого метода А.А.Самарским и его учениками провозятся исследи ния на оснозе новой технологии научных исследований - вычислительный эксперимент, интеллектуальное ядро которого составляет триада: модель - алгоритм - программа, для решения задач динамики вязкоупругих систем наибольшее распространение получили метод последовательных приближений, интегральных преобразован! дифференциальных /-преобразований, интегральнооператорный, асимптотические, степенных рядов, метод осреднения функционал: них поправок И др. Основным методом построение голоморфных решений интегро-дифференциальных уравнений является метод степе! нах рядов. Эффективность этого метода,; как способа чи сонного решения систем линейных,- нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, показана в работах Ф.Б.Бадалова. Отмеги; , что, хот5

игоритм метода весьма поост и легко реализуем на ЭВМ, для полу-эккя решения требуются значительные затраты машинного времени.

Сравнительный анализ результатов, полученных применением мч-эда степенного ряда и метода Г.Е.Пухова, показывает, что эти етоды дают практически одинаковые результаты, но время счета ри применении последнего из них несколько меньше.

При решении линейных интегро-дифференциальных уравнений вяз-оупругости используется интегрально-операторный метод ?аботно-а-?озовского. Согласно этому методу, для решения задачл наслед-твенной теории вязкоупругости нумно построить решение задачи бычной теории упругости и в окончательном результате /заменить пругие постоянные интегральными операторами, расшифровав полу-енные комбинации операторов по известным правилам. Основная »тематическая трудность реализации данного метода заключается расшифровке операторов.

Для решения краевых задач физико-механических полей со слож-юй формой с Л.Рвачевым разработан новый метод - метод Л -функ-1ий, позволяющий построить коррлинатные последовательности для >бластей практически произвольной конфигурации и краевых усло-;ий сложного вида. Применение аппарата теории Л?-функций поз-юляет получить решение . виде формулы, называемой структурой ?епения, содержащей явную зависимость от геометрических и'физи-{еских параметров. Полученные теоретические результата исполь-»овалйсь при создании современной технологии программирования i математической физике оеализации проблемно-ориентированных 13ыков и специализированных систем.серии"Поле", созданных под эуководством В.Л.Рвачева.

Для' расчета тонкостенных конструкций за пределом упругости Г.Бурцевым разработаны эффективные численные алгоритмы, осно-занные на методе Ритца и методе сеток.

Обзор работ по исследованиям математического моделирования задач механики деформируемого твердого тела имеется в работах |.Б.Бадалова, Т.Буриева, А.Ф.Верлана, ЖЛЛионса, В.Д.Потапова, И.Н.Преобрч.женского и др.

Таким образом, вычислительные методы, применяемые для решения краевых задач, должны быть экономичными, универсальными и легко реализуемыми на ЭВМ. Поэтому разработка адекватных моделей с учетом реальных свойств конструкционных материалов и эффективных систем вычислительных алгоритмов для решения соответствующих дифференциальных, интегральных и интегро-диффзренциальнкх

ypiij нении МДГТ, удовлетворяющих указанным выше требованиям, а также создание алгоритмической системы, автоматизирующей решение указанных задач, являются весьма актуарными.

Судя по обзору, можно заключить, что исследованиям по математическому моделированию аду мерных краевых задач МДТТ, особенно линейных, посвящено достаточное количество работ, но оезуль-татц получены для областей простой геометрии. Поэтому невыяснен ■ ним остаётся следующий круг вопросов:

1. Не все вычислительные методы точно учитывают сложную геометрию области.

2. rie изучены вопросы создания единого вуислктельного алгоритма для решения краевых задач МДТТ для областей сложной формы

3. Нет единого гичис;. .тельного алгоритма расчета пластин сложной формы с конечным числом отверствий.

4. Не достаточно изучены г дачи изгиба и колебаний упругих, вязкоупругих и упругопластических пластин сложной формы, а так| же задачи кручения стержней сложного профиля.

5. Не изучены задачи колебания пластин сложной формы с конеч ным числом свободных от нагрузок отверствий.

6. Отсутствует алгоритмическая система для вывода математических моделей ¡«1ДГТ с целый исследования указанных процессов

и генерации программ.

Таким образом, алгоритмический подход для численного моделирования краевых задач МДТТ сложной формы является весьма- актуальным, так как существенно упроцает и автоматизирует рутинный труд, связанный с выкладками при выводе уравнений Мд'ГГ и трудоемкими этапами вычислительных эксперименте?: программирование и отладка модулей, решение задач на SBM и анализ полученных результатов.

Цель настоящей работы заключается в следующем:

- выбор и разработка эффективных вычислительных алгоритмов решения двумерных краевых задач МДТТ со сложной формой;

- разработка алгоритма определения частот собственных колебаний упругих пластин сложной формы с конечным числом вырезов ;

- создание алгоритмической системы автоматизации выгода уравнений и 4 .шения краевых задач МДТТ;

- построение решения задачи кручения стержней произвольного профиля, а также изгиба и колебания упругих и вязкоупругих пластин сложной фо jmu ;

- рассмотрен ряд новых задач о.собственных колебаниях плас-

тин сложной формы с конечным числом вырезов;

- исследование- задачи изгиба пластин сложной формы за пределом упругости. '

• Научная новизна и значимость исследований. Разработан единый вычислительный алгоритм зля решения двумерных краевых загдч теории упругости, пластичности и вязкоупругости цля областей сложной конфигурации, йыбран эффективный метод решения систем интегральных и обыкновенных интегро-диаререшшальных уравнений. По общей схеме концзлций алгоритмизации З.К.Кабулова разработана алгоритмическая система для вывода уравнений и решения краевых задач указанного класса. С помощью этой алгоритмической системы исследованы решения задач кручения стержня сложного профиля, изгиба упругих, упругопластических и вязхоупругих пластин сложной формы, а также колебания вязкоупругих пластин сложной формы. При этом исследована сходимость вычислительного алгоритма при применении различных аппроксимирующих полиномов и кубатурных формул. Изучено поведение функций напряжения, касательных напряжений, прогиба и изгибающих моментов для различной гёометрии области/ Тем самым изучен ряд практически важных задач.теории упругости, вязкоупругости и наследственной вязкоупругости.

Практическая ценность заботы. Разработанная методика и созданная алгоритмическая система для решения двумерных краевых задач МДТТ сложной формы могут быть использованы при расчете . широкого класса конкретных конструкций и позволяют дать алализ их поведения во времен: пи различных видах нагрузок.- Часть изложенной-в работе исследований и программных средств переданы в ТаиЗШИЗЛ,. ГШ-4, а разработанные программные средстза сданы в Ведомственный фонд алгоритмов и программ Республики Узбекистан для эксплуатации. Кроме того, часть результатов включена в монографии советских ученых и используется в учебном процессе ТашГУ им.В.И.Ленина, Ташкентской высшей технической школы! при чтении специальных курсов и прохождении производственных преддипломных практик.

Достов зность полученных результатов подтверждается строгой математической постановкой рассмотренных задач. Правильность результатов обоснована путем сравнения полученных в ."работе1, результатов с известными точными и приближенными решениями, полученными другими авторами/ а также исследованием сходимости вычислительных алгоритмов относительно .базисных полиномов и раз-

личных кубатурных формул.

Аппробашя работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на У1 .¡сесоизной конференции "Численные метода решения задач теории упругости и пластичности" (Ташкент, IS79); У Всесоюзной конференции "Численные методы решения фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" (Ташкент, IS80); Шест» Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1966); Зсесоюэной .школе молодых ученых и специалистов "Вычислительные методы и математическое моделирование" (шушинское, 1536) П Всесоюзной конференции по прикладной логике ».Ноюсиби рек, 1968) 2-й школе-семинаре социалистических стран "¿„числительная механика и автоматизация проектирования" (Москъа-Ташкент, 1983); Всесоюзном семинаре "Системы аналитических вычислений (методы компьютерной алгебры) в механике деформируе-ого твердого тела" (Киев, 1988; Москва, 1989; Вильнюс, 1590); советско-американ- j ском симпозиуме "Вычислительная аэродинамика к автоматизация ^ проектирования" (Ташкент, 1969); школе молодых ученых "Числен-' ные методы механики сплошных сред" (Абакан, 1989); Республиканской конференции, посвященной памяти академика АН УзССР Х.А. Рахматулина(Ташкеит, 1569); Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991); Республиканской конференции "Современные проблемы алгоритмизации" (Ташкент,1991 9-й Всесоюзной школе по программному обеспечению математического моделирования, j равления и искусственного интеллекта (школа ППП) (Адлер, 1991); городских семинарах "Алгоритмическая кибернетика" НПО "Кибернетика" АН Республики Узбекистан под руководством академика АН РУз З.К.Кабулова (Ташкент, IS8I-IS9I); научном семинаре отдела В.Л..?гачега "Прикладная математика и вычислительные методы" уШМав АН Республики Украина (Ха.ьков, 1979, IS83, 1991); Межреспубликанской научно-технической конференции "Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности (Волгоград, 1950).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 научных работ, в которых отражено основное содержание диссертационной работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из ¿84 наименований, приложений и содержит 311 страниц основного текста, 75 рису нкоа," б ¿Г таблицу.

OCHOSriOE COAiiiaAiViE МЬСТЦ

oo впадении описываются важность и актуальность проблемы. Приводится обзор литературных источников, госвяцянних изучаемым вопросам. Сформулированы целя исследования, показана научная новизна, практическая значимость результатов работы и их аппробации. Кратко изложено основное со ржание диссертации.

d первой главе приведены математические модели одмерных задач механики деформируемого твердого тела:

t {

У о' * J /

✓ / idus die,- \ _

а-*»«.

где 2£г- - компоненты вектора перемещении; ¿^ "

- проекция внеаней массовой силы; jo - плотность среды; 1 <fey - соответственно компоненты тензоров

напряжений и деформаций; Sty t ety - соответственно девиа-торы тензоров деформаций и напряжений; & - объемная

деформация; 8 - относительное изменение объема;

Q - среднее'(гидростатическое) напряжение; Sy - символ Кронеккера; О - модуль сдвига; X - объемный модуль упругости; - ядро релаксации. .

В упругом случае в приведенных выше соотношениях £(6) и равняются нулю. В упругопластическим

случае - ) и Рг (¿) равняются нулю.

далее рассмотрены вопросы выбора и разработки эффективных вычислительных алгоритмов для решения дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных, и интегро-лифференциа.ч*-

1С

ных уравнений б частных произзодных. Определена единая схема вычислительного алгоритма для решения двумерных краевых задач со слонными границами вариационными методами, которые включают в себя следую?" ч операции: построение систем координатных функций ((ЖО. удовлетворяющих краевым условиям без какой-либо аппроксимации ; дискретизаций уравнений МдТТ по пространственным переменным (построение разрешающих уравнений) при помощи одного из вариационных методов; решение разрешающего уравнения, исследование сходимости и точности приближенного решения; вычисление значений расчетных величин.

Здесь описаны основные идеи метода коллокаций для решения двумерных краевых задач теории упругости. Применение этого метода к решении названного ¡сла^са задач сопряжено с меньшими затратами машинного времени.

Вычислительный процесс исследования собственных колебаний кногссЕязных пластин сложной формы осуществляется совместным применением методов Бу б н ов а-Гал ер ки на, "сплошных моделей" и, Л -функций.

С этой целью -решение ищется в виде

МГ- (АспМ * Ш*,у),

где - координатные последовательности, которые строят-

ся при помощи метода Л. -Функций З.Л.Рвачева; р*-^-. - круговаг частота. -

Разрешающее уравнение для исследования собственных колебаний многосгязных пластин строится при помоги метода Бубнова-Галер- . кина. После применения*этой процедуры задача сводится к следующему разрешающему уравнению:

АгХЗга,

где А* А, ~А2-А3-к^А5 ' -5 матрица.

Приводятся соотношения для формирования элементов матриц т{г-

С г =/,5) И ( ). * *

Для полноты изложения вво.дятся основные понятия метода Л -функций и приводятся достаточно полные системы -операций, с помощью которых указываются пути построения ,, равнения границы области. Описываются структуры решения рассматриваемого класса задач и приводится общар форма представления неопределег'.ых компонент структуры, содержащих неизвестные коэффициенты.

Далее приводятся численные алгоритмы решения задач изгиба и колебания зязкоупругих и упругопласт.чческих пластин сложной формы на основе вариационных методов и метода Л -функций. Здесь для несения систем алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений предлагаются эффективные алгоритмы, основанные на применении методов квадратурных сумм и фундаментальных решений. Отметим, чте при исследовании изгиба пластин за пределом упругости используются алгоритмы ускорения итерационных процессов, разработанные Т.Бурцевым.

Б конце главы приведено точное решение следующей системы интегро-дифференциальных уравнений:

при условиях

,-где А - матрица, с/г'/тт (А)" 71 >П .

Во второй главе -изучены вопросы алгоритмизации решения задач МДТТ согласно концепции, предложенной З.К.Кабуловим, и в основе которой лежит применение шести основных и двух вспомогательных алгоритмических банков (АБ), кажщй из которых из информа- , цконных к операционных частей (ИЧ и 04). ИЧ алгоритмических банков содержит числовые и символические данные, оформленные • в виде, фрейма, и 04 прог_ а-мных средств, обрабатывающих-информацию, содержащуюся в ИЧ АБ. Б итоге ИЧ и. 04 АБ образуют балк знаний. На основе законов механики сплошных сред и вписанных математических выражений можно сформировать банк законов С точки зрения теории алгоритмов содержимое банка законов представляет собой основные аксиомы теории, из которых'в последующем генерируются математические модели всех задач МСС. Множество аксиом Б2 должно быть полным, но вместе с тем минимальным. По законам МДТТ, приведенным в главе I, с некоторыми дополнениями сформирс ан ИЧ Б£ в виде фреймовой формы представления знаний. Банк данных (Б]-) содержит знания параметров эмпирических законов НСС и коэффициенты, характеризующие движение системы. Классы задач МСС формируются с помощью пространства признаков. Например, в МДТТ в соответствии с общими законами .МСС выделяются стержни, пластинки, оболочки и т.д. Постановка задач осуществляется с помощью банка постановки Б0, куда вписываются основные

термины МСС.

При решении конкретных задач с учетом их признаков, ввбирае-мых из банка Б0, выводятся математические модели задач; при решении которых применяются средства иычислительной математики. От поряд.са вывода зависит структура Е0 и Б3. 6 этой главе списано содержимое информационных частей АБ Б^, Бц, Б^, Б^ и поддерживающих их модулей. Кроме того, приведены состав и струк тура вспомогательных АБ Е0 и Бу.

На основе содержимости Б0 разработан входной язык алгоритмической системы вывода уравнений ЩП. Кроме того, дается описание языка АС для решения краевых задач, ког д~ задана математическая модель, и указаны методы их решения.

Третья глава посвящена разработке алгоритмическо-программ-ных средств. Описываются проблемы создания интеллектуальных алгоритмических систем в механике деформируемого твердого тела. Согласно концепции алгоритмизации й.К.Кабулова, вся творческая1 деятельность исследователя, связанная с решением задач ьСС, начиная от вывода модели и кончая получением численных результатов, возлагается на "плечи" ЗЗМ. Создание таких алгоритмически) систем требует в первую очередь разработки входного языка. Причем ограничиваться одним входным языком, как это делается при создании традиционных ПОЛ, нельзя. Здесь, по-эидикому, необходимы два входных связанных друг с другом языка (рис. I). 5 первом описывается пос лозка задачи на естественном языке. Его структура привязана к содержанию банка Б0. Генератор К I алго-ритмическо!: системы, ¿вырабатывая информацию, заданную на этом входном языке, из алгоритмических банков Б^, Б/( и частично Б^ генерирует программы.на проблемно-ориентированном языке. Значит, второй язык образуется в результате действий генератор; & 2 по описаниям на первом входном языке, агорой входной язык ближе к математическому описанию задачи.

3 итоге создается информация об уравнениях, начальных и граничных условиях, геометрии области, методе решения, системах координат, значениях коэффициентов, присутствующих в уравнения: и граничных условиях задачи.

Таким образом, структура второго языка состоит из следующих разделов:"математическая модель", "область", "метод решений", ' -истема координат", "константы", "форма выдачи", "действия".

Зходной язык № I

Генератор J? I

Рис. Г

¿алее описаны состаЕ и структура модулей моделирующей системы, предназначенной для вывода уравнений ВДТТ. Работа моделирующей системы организована по схеме:"опыт - закон - математические модели". Видно, что эта система привязана к алгоритмическим банкам Бф, Ъо, Б3. Кроме того, здесь используются программные средства для выполнения аналитических выкладок, которые находятся в Б^ (банк прикладных программ), далее приведено описание функциональных и системных модулей алгоритмической системы "МСС-1", предназначенных для решения краевых задач МДТТ.

Отмет;'.:.1., что работа этой алгоритмической системы организована по схеме: модель - алгоритм - разрешающие уравнения - программное обеспечение - счет - выдача результатов. Заметим, что математические модели простых задач-МСГ (например, изгиб тонких плит, кручение стержней и т.д.) заранее известны, так что выводить их заново с применением 33М нет необхоп/.чости. Поэтому для математических моделей таких задач целесообразно организозызать библиотеку моделей. Зти математические модели должны быть записаны в информационной части алгоритмического банка Б^, поддерживающие модули библиотеки моделей - в операционной части.

В конце главы дается описание проблем создания диалоговой интеллектуальной алгоритмической системы для решения классов задач ИСС. ' ' '

Четвертая глава посвлщена численному модели розанам задач > кручения стержней, изгиба и собственным колебаниям многссвяь-ных пластин сложной формы с помочью разработанной алгоритмической системы. При этом достоверность полученных численных ■ результатов обосновывается путем сравнения о результатами, полученными другим;! авторами, и точными решениям:!. Результаты, полученные зля решения кручения стержней и изгиба пластин, получены с помощью методов коллокаций и £ -функций. Сходимость вычислительных алгоритмов исследозана относительно различных базисный полиномов (степенных, тригонометрических) и выбора различных точек коллокаций. При решении задач кручения стержней подробно проанализирован характер изменения функций напряжении и касательных напряжений ( I/, 1У*г , ) , а при решении задач изгиба пластин - прогиб и изгибающие моменты ( М , , Жу ¿а зависимости от изменения границ области.

Рассматриваются задачи кручения стержня с формой профиля, указанной на рис. с. Задача решена при рапичних йормах облас-

fi A о С ù *

Ркс. 2

aaüß

û,2 û,4 46 W \ $ W Phc. 3

Рис. 4

1,0 " .;*

/ Л./ yK uû .

V 0 X

о \ 4 ^^ J

Рис. 6

Рис. 5

y

0,tS

/

& / 1.8S

-m •D,S 0 fifi X

\ -Aï s, es

Рис. 7

'16. ' ■ ти в зависимости от положения точки с

координатами . 4^,0.5); ¿,(0;0.25;; 4(0,0.125).. Изменение гоаницы области за счет изменения АВ^С сказывается на характере поведения кривых сх , 1уг по рассматриваемым сечениям за исключением СД , по которому графики для и почти не различаются (рис. 3,4). Качественный скачок

в характере изменения Н^* и V"* происходит в диапазоне .),5; 0,25 .

Анализ поведения касательны- напряжений показывает, что изменение формы одной из сторон границы существенно не влияет на характер поведения и вблизи неизменяемой части гра-

ницы области, ъдесь исключением является сечение С/) , где кривая ведет себя ~акже, что и Сй , и кроме того,

участок ¿У также, как и СЁ , не меняется по длине при изменении формы А£еС .

Рассматривается кручение призматического стержня, плоскость сечения которого изображена на рис. 5. Расчетные данные показывают, что с уменьшением значения £ ; • # " й, ) величина ( & достигает своего максимума в начале координат) увеличивается, т.е. < < .

Касательное напряж^.ше вдоль сечений СУ. достигает

своего максимального значения в граничных точках, при этом с уменьшением 2 тахЬ*г в граничной точке увеличивается.

далее исследуются на кручение шпиндели хлопкоуборочных машин, изображенные на оир. 6-,-7. Подробно анализи-^ются результаты расчета функций напряжений, касательных напряжений, данные задачи имеют практический интерес.

• Рассматривается загача изгиба жестко защемленных пластин постоянной толщины (рис. 2). Результаты расчета получены при

$=0.3 , I « 2-Ю6 кг/сьК

Выясняются качественные и количественные различия при частичном изменении формы границы, которые находятся в прямой зависимости от положения точки <8/* = 1,6 , 0.75';

0.6; 0.5; 0.35; 0.25; 0.2). ,

Изучен характер изменения Ж, , Му в сечениях ,

Л СЁ, си

пластины. Сравнительный анали» К К. к относительно сечений С£ показал, что изменения формы '

оол^сти сказ.выэтся на характере этих величин (рис. б). Например, качественный скачок в характере изменения Ж, Мх ,Му

по сечению происходит при ё [0.5; 0.25].

Далее исследовано напряженно-дёформированно'е состояние пластины, изображенной на рис, 9. Здесь пластина жестко заземлена пЬ внешнему контуру и свободно оперта по внутреннему. Как и в предыдущей задаче, изучены изменения Ж,Мх,Жу . Расчеты проводились при <2 € = I; Ы- 2 - 0.5; С щ ( 'г - I, 2,3; Сг = 0.70; <£=0.80; 4 = 0.90). Здесь <2 и г? стороны внешнего•прямоугольника. Графики. Ж по сечениям ВХ и Ш соответственно приведены на рис. 10 и II, а график Л(х по сечению представлен на рис. 12. Очевидно, что даже малое изменение формы границы области существенно отражается н?. -изменении величин Ж, как количественно, так и качест-

венно. •

Исследованы собственные колебания многосзязных пластин сложной формы с помощью комбинации методов "сплошных моделей", вариационного метода Бубнова-Галеркина и -функций. При .стом обоснование достоверности численных результатов проведено для квадратной и косоугольной же с ткозащемлеиных пластин при различном числе отверстий, путем сравнения с результата™, полученными другими авторами. При исследовании собственных колебаний многосвязных пластин -Сложной формы сходимость приближенного решения проверялась путем выбора различного нисла координатных функций и при различных значениях X по №-точечной ку-батурной формуле Гаусса. Исследованы собственные колебания пластин сложной формы с различным числом отверстий. Например, исследованы собственные колебания изотропных пластин сложной формы, жестко защемленных по.внешнему контуру с'различным числом отверстий, свободных от нагрузок (рис. 13). * При расчете на прочность <2 « 1.0; а' = 1.0; <2*= 0.5; " ? ~ 0.8-0.9 . Численные результаты для частотного коэффициента -А получены длк различного количества отверстий (рис. 14) при изменении их размеров, при различной глубине выреза С (рис. 15) и исследовано влияние расположения центра отверстия. Кроме того, исследованы собственные колебания.пластины при сме-. ванных граничных условиях.

. -Пятая глава посвящена числен эму решению задач'изгиба, коле. бания вязкоупругих пластин сложной формы. Здесь при обосновании достоверности численных результатов применяется прием, опи-'аг.ныЯ э предыдущей главе. Например, рассматриваются вынужден-

Рис. 13

ние колебания свободно опертых прямоугольных вязкоупругих пластин под действием нагрузки при следующих соотношениях ядра релаксации ¿¡(¿) нагрузки

ф, ФЬ , аг й\

I , м* г. г«5

Приближенные решения, полученные при совместном применении метода Галеркина и £ -фунг'ий, и точное решение приведены в ■ таблице.

t 21 К - ¿8 Q/s-l

0.2 0,020000 0,019631 0,020000 ■ 0,019905 % при.

OA 0,080000 0,0 3274 0,080000 0,0¡?9939 Г- У-при!.

>1з таблицы видно, что с увеличением числа координатных фуш ций (X ) наблюдается хорошая сходимость приближенного решенш задачи. Кроме того, для этой цели рассматриваются свободные ki лебания упругих и вязкоупругих квадратных пластин постоянной толщтны с центральным круговым отверстием радиуса & , свободно опертых по внутреннему и внешнему контурам. Рассматрива ются собственные колебания жесткоза^емленной квадратной плас тины с вырезом уъс( , . На pic. 16 представлено

изменение прогиба пластины Ж в зависимости от времени ¿ в точке с координатами Х-й , при амплитуде стрелы

прогиба МГ (0,0,0) = 0.001, МГ (0,0,0) = 0. Здесь в качестве ядра релаксации использовано ядро пканицына-Колтунова

¿(éi-dt+'e**.

В качестве безразмерных параметров приняты иледупцие значения о/а ' 0.75 , «Г = 0.25 , jS = 0.05 , ¿/а « 0.75 .

; Здесь <2 - длина стороны квадрата.

w

-"»о ——

1 1

«

Как в и.дно, вязкоупругие свойства материала пластинки влияют на затухание-колебаний по экспоненциальному гакону. На мёханиз! внутреннего трзния существенно влияет реологический параметр «Г

Исследованы собственные колебания вязкоупругих пластин- изо! раженных на рис. 17. Считается, что края пластины жестко защемлены. Кроме того, в этой главе исследовано напряженно-деформированное состояние вязкоупругих пластин сложной формы при ис-польз; ваНш экспоненциального яд'ра, ядер Ржаницына-Колтунова ,;и Абеля. Изучен .характер изменения Му в зависимости

от изменения границы области.

'"'. Шестая глаза посвящена численному моделированию изгиба пластин сложной формы за пределом упругости. При обосновании достоверности результатов и сходимости вычислительного алгорит! приняты приемы, описанные-в-предыдущих главах. Например, дая круглых и прямоугольных пластин полученные результаты сравнены с результатами Т.Буриева. При У- 15 полученные результаты совпадают с результатами Т.Буриева относительно прогиба до значащих цифр, а относительно Мх . Ху - до двух. Различие в цифровых значениях объясняется разницей числа узлов в квадратурных формулах Гаусса.

Далее исследовано напряженно-деформированное состояние пластин за пределом-упругости, когда область представляет собой, полукольцо (при различных значениях внутреннего радиуса), а также область, изображеннуь на рйс. 17. Изучен характер изменения

КЯ.*}-

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертации,-.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

I. Разработан единый вычислительный алгоритм для решения ■ двумерных краевых задач механики деформируемого твердого тела, сложной формы. . .

. 2. Разработан вычислительный алгоритм для исследования собственных колебаний многосвязных пластин сложной формы при сов. местном применении- метода "сплошных моделей" и метода Л -функций. ■ :

3. Определена фреймовая структура информационных частей ал-горитничгских банков и разработаны поддерживающие их модули.

Разработана алгоритмическая оистема для вывода, математических кодеяой.и ревения двумерных краевое задач МдТТ.

5. Исследованы вопроси создания интеллектуальной алгоритмической системы в целом для задач МСС.

6. Обоснована достоверность численных результатов приближенного решения, полученного при совместном применении методов Бубнова-Галеркина (или коллокаций) и & -функций путем сравнения с аналитическими решения и с результатами, полученными другими авторами.

7. лссдедована сходимость вычислительного алгоритма решения задач кручения стержней, изгиб и колебания вязкоупруги.>, упругопластических пластин сложной формы.

8. Нсследованы задачи кручения ст.ержня сложного профиля в зависимости от изменения формы его границы.

,9. йсследозаио напряженно-деформированное состояние изгиба пластин в пределах и за пределом упругости со сложной формой.

10. Исследовано напряженно-деформированное состояние изгиба и колебания вязкоупругих пластин со сложной формой.

11. Исследовано изменение характера распределения If, t

, Ж, Mx , Му в зависимости от частичного изменения Формы границы области. Сравнительный анализ показал, что в близлежащих к изменяемой чаоти границы области значения исследуемых величин отличаются качественно и количественно а зависимости от формы границы, а в удаленных -очках области изменения з характере распределения исследуемых величин сказываются только количественно.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

I'. Ввод, вывод информации и выполнение символических операций на 33M//3опросы вычислительной и прикладной математики,

. .-Ташкент: 7.К с ВЦ АН УзОСР, 1978.-Зып. 50.-С.45-56.

2. Зычислзние алгебраического выражения и разложение функ-.ций в ряды Тейлора на ЗЗМ//Там же.-Бып.52.-С.77-86.

3. Автоматизация распознавания на ЭВМ замкнутых плоских областей/Лам же.-5ып.53.-С.95-107. Совместно с Н.М.Мухидиногым.

Схема формализации решения гармонической и бигармоничес-кой задач теории упругости при совместном применении методов R-функций и коллокации//Гам же.-1950.-Был.59.-С.56-75.

5. Применение аналитических выкладок для решения системы нелинейных уразнений на ЗЗМ//Гам же.-1978.-Вып.5^.-0.81-85.

6. Алгориткмзация решения задач теории фильтрации и уравнение математической физики/Дам же.-Х981.-Вып.65-.-С.22-44..

Совместно с Н.Х.Мухидинозым, М.Мамалдановым.

7. Алгоритмическая система "МСС-1"//Материалы У1 Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упрувости и , пластичности". Часть I.-Новосибирск, 1980.-С.132-142.

Совместно о К.Мухиллновым..

8. Об одном варианте автоматизации применения интервальных методов, основанном на модул оном принципе//Модулькый анализ.-^Новосибирск, 1978. -С.5£-61.

у Совместно с>З.Х.Юлдашевым.

9. Численное моделирование и автоматизация краевых задач нелинейной фильтрации жидкости и газа. Динамика многифазных сред// Материалы 5-го Всесоюзного семинара "Численные методы решения задач фильтрами.многофазной несжимаемой жидкости".-Новосибирск, 1961,-С. 230^260. .. ...

Совместно с Н.М.Мухидиновым,, М.Мамадаановым, Н.Мукимовым, Т.Пирназаровой, Ш.Икрамовым, М.Садыковым. ; '

; Ю. Алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных ;; уравнений по интервальному методу второго порядка. Рукоп. деп. в ВИНИТИ » 6-1982. . . • ' : .

.'Совместно с Н.М.Цухидиновым.З.Х.йлдашевам,- М.Б.Базаровым. Ч И. Алгоритмизация расчета конструкций из композитных материалов в неоаосических областях//Вычислитехьные методы и математическое моделирование:Тез. докладов Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов.» Ташкент, I986.-C.48.

Совместно с Х.С.Джумабаевым. •

12. Алгоритмизация. решения .двумерных краевых задач анизотропной теории упругости.в .неклассических областях//Материалы 6-го съезда теоретической и прикладной механики.-Ташкент,1986.-С.621.

. Совместно-с Р.В.Кабуловым. '

, ' 13. Программные средства для проблемы алгоритмизации в меха-: нйке сплошных сред//П Всесоюзная конференция по прикладной логике.^Новосибирск, 1586.-С.92-94. м .Совместно с В.К.Кабуловым.

.;.■ 14. Входной язык алгоритмии,5ской системы для автоматизации решения многомерных краевых задач математической физики. Статья Пйрзая//Алгориткы.-Таакент:РЛСО АН УзССР, 1588.-£ып.65.-С.4-18.

Соьместно-с З.К.Кабуловым.

15. Входной язык алгоритмической системы для автоматизации решения многомерных краевых задач .атематической физики. Статья вторая/Лам же.-Зып.66.-С.4-19.

Совместно с З.К.Кабуловым.

16. Вопросы организации диалога в алгоритмической системе .'> !МСС-1"//Тезисы докладов П школы-семинара социалистических стран 'Вычислительная механика и автоматизация программирования".-Ташкент, I988.-C.39.

17. Комплекс лрограммаых средств для решения краевых задач эаоиационными методами//Алгоритмы.-Ташкент: РИСО /Л УзСС?.-

1988.-0.38-48.

18. Полная система дифференциальных уравнений равновесии и движения анизотропных конических оболочек//Газисы докладов рес-.; лубликанской конференции, посвященной памяти акад.АН УзСС? Х.А.' Рахматулиьа "Механика сплошных сред".-Ташкент, 1969.-С.81... "

Совместно с А.Ш.Мухаиадиевым. . '■.,.-

19. Единый вычислительный алгоритм для решения задач устойчивости к колебаний тонкостенных конструкций, ослабленных отвер-стиячи//Тезисы докладов школы-семинара по численным методам механики сплошных сред.- Красноярск,- 1989.-С.35.

Совместно с К.С.Оадикозым.

20. Уравнения равновесия и' движения анизотропных конических оболочек//Зопросы вычислительной и прикладной математики.-Ташкент: ?У:С0 АК УзСС?, 1989.-оып.87.-6.23-47.

Совместно с А.ш.Мухамадаевым. •

. 21. Генерация программ для блока *!Разд?л метода'решения алгоритмической системы "MCC-I"//Алгоритмы.-Ташкент:РЛСО АН УзСС?,

1989.-Зып.68.-С.68-78. . ' . v

Совместно с Х.С.Джумабаевым.

22. '-¡одули алгоритмической системы "MCC-I "//Алгоритмы.-Тг.ш-кент:пИС0 АН УзСС?, 1990.-Зып.70.-С.61-7б.

23. Метод j?-функций статического расчета тонких плит за пределом упругости//Тезисы межреспубликанской научно-технической конференции "Численные методы'решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности".-Волгоград, 1990.

24. Изгиб и колебания вязкоупругих пластин.со сложной кон-фигурацией//Тезисы межреспубликанской научно-технической ::он-. ференции "Численные методы решения задач строительной механики, '

теории упругости и пластичности".-Золгоград, -1990.

Совместно с X.С.Садиковым.

25. Блок аналитических выкладок алгоритмической системы// Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Аналитические преобразования на 3JM в автоматизации научно-исследовательских работ".-Вильнюс, 2С-23 июня, I9S0.

26. Алгоритм решения задач устойчивости зязкоупругих пластин со сложной формои/Дезисы докладов IX научно-теоретической конференции молодых ученых и сг 'циалистоз .-Нукус, 1990.-С.'(5-47.

Совместно с Р.С.Ьекниязовой.

27. Расчет задачи кручения стержней сложного профиля/вопроси вычислительной и прикладной математики.- Ташкент: HiiCO АН УзССР, 1990.-Вып.89.-С.65-8".

■28. Исследование напряженно-деформированного состояния изгиба пластинки сложной формы//Вопроиы вычислительной и прикладной математики.-Ташкент:H/iC0 Ali УзССР, 19»0.-Бып.90.-С.83-87.

29. Метод Л-функции в задачах колебания внзкоупругих пластин сложной формы.-Ташкент//Докл. АН УзССР,-№ 5.- 1991 . - С. 15-17.

Совместно с X.С.Садиковым.

30. Вопросы создана. интеллектуальных алгоритмических систем в механике деформируемого твердого тела//Вопросы вычислительной и прикладной математики.-Ташкент:НЛСО АН УзССР.-С.53-6.0.

31. Проблема создания интеллектуальной алгоритмической системы в механике сплошных сред//Аннотация докладов УП Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.-М., 15-21 ев* густа. I99I.-C.I75.

Совместно с З.К.Кабуловым.

32. Алгоритмизация решения классов задач механики деформируемого тела//Тезисы докладов республиканской .конференции "Современные проблемы алгоритмизации".-Ташкент, 1991,- C.2I.

33.■Собственные колебания многосвязных пластин сложной формы/ Тезисы докладов республиканской конференции "Современные проблемы алгоритмизации".- Ташкент, 1991. - С.142.

Совместно с Х.С.Джумабаевым.

3'». Расчет упругих, вязкоупругих и упругопластических пластин сложной формы//Тезиеы докладов республиканской конференции "Современные проблемы алгоритмизации".-Ташкент, I99I.-C.I6I.

Схвнестно с Л.1.%хаиал/.евым, а.С.Садиковым.

Генерация паскаль-процецуры средствами компьютерной ал-

гебры для решения системы нелинейных алгебраических уравнений// Ал го ритмы.-Ташкент: НИ СО АН Уз0С?;-1991.-аып.73;-С.'»-12. Совместно с З.В.Петренко.

36. Статический расчет тонких плит за пределом упругости со сложной формой//Там же.-Вып.73.-С.65-94. Совместно с А.И.Мухамадиевым»