автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмическое обеспечение численного моделирования линейных процессов оптимального управления

Введение

Глава 1. Приближенное решение задачи линейного быстродействия.

1.1. Перевод системы за фиксированное время

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Метод решения.

1.2. Приближенное решение задачи оптимального по быстродействию управления

1.3. Некоторые оценки близости квазиоптимального управления к оптимальному.

1.4. Квазиоптпмальное управление с кусочно-постоянными весовыми коэффициентами

1.5. Примеры.

Глава 2. Численный метод решения задачи линейного быстродействия.

2.1. Постановка задачи

2.2. Вычислительный метод решения задачи

2.2.1. Определение начальных условий сопряженной системы и моментов переключений управления

2.2.2. Вычисление весовых коэффициентов для квазиопт.ималъного управления

2.2.3. Определение отклонений фазовых координат при вариации моментов переключений управления

2.2.4. Отклонение фазовых координат, при вариации величин управляющих параметров

2.2.5. Основное уравнение баланса отклонений

2.2.6. Связь между приращениями начальных условий нормированной сопряженной сист.емы и приращениями моментов переключений управления.

2.2.7. Итерационный процесс нахождения оптимального по быстродействию управления.

2.3. Свойство улучшения управлений.

2.4. Минимизация числа итераций вычислительного процесса

2.5. Примеры

2.6. Некоторые модификации и обобщения метода.

2.6.1. Решение задачи финитного управления.

2.6.2. Решение обратной задачи оптимального управления

Глава 3. Последовательный синтез оптимального по быстродействию управления

3.1. Постановка задачи

3.2. Вычислительная процедура метода последовательного синтеза оптимального управления

3.2.1. Определение отклонений фазовых координат, вызванных возмущениями

3.2.2. Вариация моментов переключений управления

3.2.3. Погрешность вычисления оптимального управления

3.2.4. Основное уравнение баланса отклонений

3.2.5. Связь между приращениями моментов переключений и приращениями начальных условий нормированной сопряженной системы.

3.2.6. Связь между приращениями координат, прямой и сопряженной систем

3.3. Особенности движения управляемой системы по многообразиям переключений.

3.4. Вычислительный алгоритм

3.5. Пример.

3.6. Свойство улучшенры управлений в методе последовательного синтеза.

3.7. Перевод системы в ^-окрестность начала координат

3.8. Пример

3.9. Субоптимальное управление линейными системами с интервальными коэффициентами

3.9.1. Постановка задачи

3.9.2. Общий подход к решению задачи

3.9.3. Вычислительная процедура

3.9.4. £-окрест.ностъ и выбор параметров модели

3.9.5. Пример

Глава 4. Приближенное решение линейной задачи на минимум расхода ресурсов

4.1. Постановка задачи

4.2. Приближенное решение задачи

4.3. Допустимая область начальных условий

4.4. Некоторые оценки близости квазиоптимального управления к оптимальному.

4.5. Приближение квазиоптимального уравления к оптимальному.

Глава 5. Численный метод решения линейной задачи на минимум расхода ресурсов.

5.1. Постановка задачи

5.2. Вычислительный метод решения задачи

5.2.1. Перевод системы за фиксированное время

5.2.2. Формирование квазиоптималъного по расходу ресурсов управления.

5.2.3. Определение весовых коэффициент,ов для квазиоптималъного управления.

5.2.4. Определение начальных условий сопряженной системы.

5.2.5. Вариация величин управляющих воздействий

5.2.6. Вариация моментов переключений управления.

5.2.7. Связь между приращениями моментов переключений управления и приращениями начальных условий сопряженной системы.

5.3. Итерационный процесс вычисления оптимального управления.

5.4. Свойство улучшения управлений.

Глава 6. Решение задач управления и стабилизации при случайных и детерминированных возмущениях

6.1. Задача управления и стабилизации линейной системы с заданной точностью при минимальном расходе ресурсов

6.1.1. Постановка задачи

6.1.2. Задание опорной траектории и программного управления.

6.1.3. Стабилизация системы на опорной траектории.

6.1.4. Определение весовых коэффициентов

6.1.5. Условие существования решения

6.2. Задачи коррекции движения линейных систем в условиях неопределенности

6.2.1. Коррекция движения при постоянных возмущениях

6.2.2. Коррекция движения при медленно меняющихся возмущениях

6.2.3. Коррекция движения при случайных возмущениях.

6.3. Решение задач с переменными ограничениями на управляющие параметры

6.3.1. Учет, переменных по времени ограничений

6.3.2. Распределение ограничений между программным и корректирующим управлениями

Глава 7. Задачи параметрической оптимизации

7.1. Постановка задачи

7.2. Общий подход к решению задачи

7.3. Нахождение оптимальных параметров при квазиоптимальном по быстродействию управлении.

7.4. Приведение систем произвольного вида к канонической форме

7.5. О количественной мере полной управляемости

7.6. Управление структурой динамической системы

7.6.1. Постановка задачи

7.6.2. Метод решения и некоторые свойства

Теория оптимального управления является дальнейшим развитием классического вариационного исчисления для исследования движения динамических систем при наличии сложных ограничений на управляющие параметры и фазовые координаты. Это быстроразвивающнйся раздел современной теории управления, в которой установлены основополагающие принципы — принцип максимума Л.С.Понтрягина [1] и динамическое программирование Р.Беллмана [2] — и получены значительные результаты [3]—[32]. Исключительный интерес к теории оптимального управления вызван тем, что теория позволяет определить тот предел, который достижим при заданных ограничениях, т.е. оптимальная система является эталоном, к которому следует стремиться при проектировании систем управления. А с другой стороны теория позволяет строить оптимальные, т.е. наилучшие системы управления.

Известно, что каждая задача оптимизации, в конечном счете, упирается в вопрос о реализации решения. Принцип максимума сводит задачу оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений. Характерным для задач оптимального управления является то, что аналитическое решение задачи удается получить лишь в редких случаях. В связи с этим большую роль играют численные и приближенные методы построения оптимального управления. Потребности практики, с одной стороны, и бурный прогресс вычислительной техники, с другой стороны, стимулировали разработку вычислительных методов оптимального управления. Работы в этом направлении интенсивно ведутся с начала 60-х годов, т.е. с появлением принципа максимума и динамического программирования. Трудности при решении задач оптимального управления вызваны необходимостью решать краевую задачу, большой размерностью систем, наличием ограничений на управления и фазовые координаты, многоэкстремальностью, сложным характером не-линейностей, действием на систему различного рода возмущений. Многочисленные трудности привели к большому разнообразию вычислительных методов их преодоления. Кратко охарактеризуем основные направления развития вычислительных методов. Деление на группы достаточно условно и традиционно [33]—[37].

Пусть движение динамической системы описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений x = f(x,u,t), x(tQ) = XQ. (1)

Здесь x - n-мерный вектор фазовых координат; и-т-мерный вектор управления, принадлежащий классу кусочно-непрерывных функций, на которые наложены ограничения и £ U , где U-заданное множество; f(x, и, t) заданная вектор-функция своих аргументов.

Требуется найти такое допустимое управление которое минимизирует функционал

J {и) = F(x(tk)) mm (2) и удовлетворяет краевым условиям в конечный момент t = : ht{x(tk)) = 0, £ = (r<n), (3) где F, h>£-заданные функции.

Выпишем гамильтониан l-t(^(t),x(t),ii(t)}t) и сопряженное уравнение ip(t) с граничным условием ip(tk) : n(ij(t)7x(t)jU(t),t) = t4'i(t)fi(x,iht)1 (4) г=1 д-Н . , , dF(x(tk)) , ' . dhs(x(tk)) где X^ -множители Лаграюка. Для оптимальности управления необходимо выполнение условия максимума функции Гамильтона

H{i>{t),x(t),u{t),t) = ma xH(i>(t),x(t),n,t). (6) u£U

Из (6) в принципе молено выразить u(t) через x(t),ip(t),t, т.е.получить зависимость u(t) = uQ(x(t),if>(t),t). (7)

Подставляя (7) в (1) и (5), получаем краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, принцип максимума сводит задачу оптимального управления к решению двухточечной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений (1), (5) с краевыми условиями (1), (3), (5). Методы, основанные на решении краевой задачи, рассмотрены в работах [38]—[56], а также [16], [17], [25], [28], [32].

Равенство (3) дает г краевых условий при t = t^ , а условия трансверсальности (5) образуют совокупность еще п условий при t = t^, содержащих г неизвестных постоянных параметров Ai,.,Ar. Параметры А^ можно исключить, используя какие-либо г из условий трансверсальности (5). Тогда оставшиеся (п — г) условий трансверсальности вместе с краевыми условиями (3) образуют п краевых условий, налагаемых на функции x{tk), ijj(tk). Эти условия обычно записываются так

Pi(x(tk)Mtk))=0, г = Т~п~. (8) Если теперь задать вектор начальных условий для сопряженной системы

Ф{к) = (9) то вместе с начальным условием x(to) = xq из (1) получим полный набор начальных условий для систем дифференциальных уравнений (1) и (5). Решив задачу Коши при некотором ; . находим функции x(t). ii'(t). u(t) на интервале [^о?^-] и вычисляем значения функций tpi(x(tk), ip{tk)), входящих в условия (8). В результате исходная краевая задача свелась к системе трансцендентных уравнений

Ф(г)=0, (10) где через Фг(^) обозначены функции

И)

Следует подчеркнуть, что функция Ф(г) задается не явно, а алгоритмически: для вычисления значения Ф(г) для принятого 2 необходимо решить задачу Коши с начальными условиями x(tо) = Xq. ф(Ц) = 2 и найти Ф, (-) из (11). Для решения системы трансцендентных уравнений (10) используются различные численные методы, одним из которых является метод Ньютона, называемый также методом касательных. Суть метода состоит в том, что задается начальное приближение z° для вектора z и находятся последующие приближения 2s на основе итерационного процесса (12) где Ф (z) -матрица производных функции Ф^). Метод Ньютона (12) далеко не всегда сходится. Поэтому используются различные его модификации, одной из которых является следующая

Za+1 = z* - <xa[<p\z8)]-l<p(za), (13) где регулирующий параметр 0 < as < 1 выбирается на каждой итерации. Кроме метода Ньютона и его модификаций для решения системы трансцендентных уравнений (10) используются и другие численные методы, например, метод секущих, градиентный метод минимизации суммарной невязки и др. Решение краевых задач находят также методами переноса граничных условий, называемых методами прогонки.

Методы, основанные на решении краевой задачи, обладают своими особенностями. К достоинствам следует отнести алгоритмическую простоту, малый объем необходимой памяти ЭВМ. К недостаткам - плохая сходимость при отсутствии хорошего начального приближения. Если в задаче есть несколько локальных минимумов, то находится ближайший к начальному приближению.

Вторую группу составляют градиентные методы в пространстве управлений, основанные на использовании формулы для первой вариации функционала. К ней можно отнести работы [15], [25], [57]-[97]. Первая вариация функционала (2), порожденная изменением скалярного управления u(t) на Su(t), может быть записана в виде

SlJ = -lJ ?£su(T)dT = - / SuHdr. (14) to to \ '

Итерационный процесс нахождения оптимального управления строится следующим образом. Выбирается из априорных соображений некоторое начальное приближение для управления i№(t). Последовательные приближения (£) к управлению определяются так f)l-l (s) u^s+1\t) =„(')(*), > 0, s>0, (15) где ^— = (ipy ' [tj,———)U±J-) подсчитываются на каждой s-и итерации. Коэффициент /is выбирается на каждой итерации так, чтобы значение функционала J (и) на каждой итерации убывало. При наличии ограничений на фазовые координаты и управление коэффициент /.i,s выбирается зависящим от времени (fj,s = fis(t) > 0) так, чтобы в каждый момент t выполнялось это ограничение. Для учета краевых условий (3) в конце процесса управления используются два метода: проектирование градиента и метод штрафных функций. Первый способ состоит в следующем. Находят выражения для приращений функционала J (и), вызванные изменением 61ц ограничений h^(x{tk)) =0, £ = 1, г (3) и вводят их с некоторыми регулирующими параметрами (аналогичным /j,s) в формулу (15). Для учета ограничений методом штрафов находится управление м(£), минимизирующее составной функционал

Ji(u) = F(x(tk)) + j2af:hl(x(tk)), (16)

Очевидно, что при достаточно больших а^ минимум функционала (16) достигается при 1ц близких к нулю. Однако для достижения высокой точности требуется большое количество итераций. Метод штрафных функций широко используется благодаря простоте, особенно для получения первых приближений с последующим расчетом по более точным, но зато и более трудоемким методам.

Градиентные методы, основанные на первой вариации функционала, называют градиентными методами первого порядка. К достоинствам градиентных методов следует отнести сходимость из более широкой области начальных условий, т.е.они менее чувствительны к выбору начального приближения по сравнению с методом Ньютона. К числу недостатков градиентных методов по сравнению с методами, основанными на решении краевой задачи, большую вычислительную сложность и более высокие требования к памяти ЭВМ.

Градиентные методы, основанные на второй вариации функционала, принято называть градиентными методами второго порядка. Эти методы требуют значительно больших вычислений на каждой итерации, но позволяют получить в результате лучшее приближение к минимуму.

Широкое распространение получили вычислительные методы, основанные на сведении задачи оптимального управления к некоторой конечномерной задаче с последующим использованием методов нелинейного программирования.

Третью группу составляют методы последовательных приближений, основанные на принципе максимума [98]—[137], а также [13], [19], [24], [37]. Суть этих методов для задачи оптимального управления со свободным правым концом(т.е в (3) г = 0) состоит в следующем. Задается в качестве начального приближения к оптимальному произвольное допустимое управление u^(t). Решается задача Коши с этим управлением и находится соответствующая траектория xSQ\t). Используя u(°\t), x(°)(t), находится решая задачу Коши для сопряженной системы (5). Следующее управление вычисляется из условия максимума гамильтониана H(ip(0}(t))x0(t)<u,t) по и £ U при каждом t G [to,tk]. Итерационный процесс описывается формулой u(s+l\t) = fi(UW(t)), (17) где через R обозначен оператор, который ставит в соответствие каждому допустимому управлению новое приближение it^s+1\t). Если процесс последовательных приближений сходится, то его продолжают до тех пор, пока последующие приближения не будут отличаться друг от друга в пределах заданной точности. Полученное управление удовлетворяет необходимому условию - принципу максимума Л.С.Понтрягина. Известно, однако, что такой вариант далеко не всегда сходится. Для обеспечения сходимости применяется ряд способов. Первый из них состоит в том, что управление определяется из условия максимума по и Е U гамильтониана (t), xs(t), и, t) не на всем интервале [to,tk], а лишь на его части [£*,£&], где to < t*s < t^. На интервале сохраняется прежнее управление, т.е = t Е Подбором параметра t* добиваются уменьшения значения функционала. Параметр t* служит для регулирования сходимости метода (аналогично параметру as в формуле (13)). При t*, близком к tk, интервал, на котором варьируется управление, мал. Этим, как правило, достигается сходимость метода.

Другой способ улучшения (достижения) сходимости состоит в том, что в систему (1) вводится малый параметр £ так, чтобы при е = I получалась исходная система, а при £ —» О итерационный процесс (17) быстро сходился. Вводится £ так

X = f(x,£U,t) или X = sf(x,u,t), 0 < £ < 1. (18)

Если £ —У 0, то системы (18) становятся слабо управляемыми и итерационный процесс (17) быстро сходится. Постепенно (по шагам) увеличивают £ до £ = 1, беря на каждой итерации в качестве начального приближения оптимальное управление для предыдущего значения е.

Еще один способ достижения сходимости осуществляется по следующей итерационной схеме: - (1 - (3s)uW(t) +{3sR(uM(t)), 0 < (За < 1. (19)

Параметр j3s выбирается из условия минимума функционала по /3 на s -й итерации или ограничиваются монотонностью убывания функционала на каждой итерации. Иногда полагают параметр (5S функцией времени: 0 < Ps(t) < 1. Если функция (3s(t) выбрана следующим образом

Щ = о, te[t0X)\ Ps(t) = i, te[t*a1tk], (20) то приходим снова к первому способу достижения сходимости. Каждый из этих способов содержит параметр (t*s,£s,f3s) для регулирования итерационного процесса.

Выше рассмотрен метод последовательных приближений для задач оптимального управления со свободным правым концом. При наличии краевых условий вида (3) обычно используют метод штрафных функций (16) или метод проектирования градиента, указанный выше. Получение решения с высокой точностью требует в этом случае большого числа итераций.

Методы последовательных приближений, основанные на принципе максимума, менее чувствительны к выбору начального приближения по сравнению с методом Ньютона и его модификациями, но требуют большего объема вычислений. При применении метода последовательных приближений аппроксимация оптимального управления происходит в классе разрывных функций, что представляется удобным, если искомое оптимальное управление является разрывным. При применении же градиентных методов, основанных на классическом вариационном исчислении, оптимальное управление аппроксимируется непрерывными управлениями.

Четвертую группу образуют методы, связанные с варьированием и перебором траекторий в пространстве фазовых координат [138]—[161]. Перебор траекторий производится на некоторой дискретной сетке. Полный перебор на принятой дискретной сетке в фазовом пространстве проводится по методу последовательного анализа вариантов или по методу динамического программирования. Эти методы позволяют найти абсолютный минимум функционала, но они требуют большой памяти ЭВМ и большого объема вычислений в случае достаточно большого числа узлов сетки. Поэтому часто используют другие методы, которые требуют значительно меньшего объема памяти и вычислений, однако обеспечивают лишь локальный минимум. Это перебор в заданной трубке, окружающей некоторую фазовую траекторию. Чтобы снизить объем вычислений, берут достаточно узкую трубку. После нахождения экстремали внутри данной трубки строится новая трубка, окружающая полученную на предыдущем шаге экстремаль, и процесс вычислений продолжается. Другой метод локальных вариаций траектории состоит в следующем. Производится варьирование траектории в дискретных точках, отстоящих на время At, по каждой из компонент вектора х, причем при варьировании к -ой точки все остальные считаются фиксированными. Если в результате вариации значение функционала уменьшилось, то продолжается движение в этом направлении. Метод локальных вариаций представляет сочетание дискретизации задачи с методом покоординатного спуска.

При практической реализации методов решение обычно строится сначала на грубой сетке, т.е.при больших At и Ах . Затем шаг Ах уменьшается, например, делением пополам. Когда Ах станет достаточно малым, уменьшается At. Для сходимости к локальному экстремуму необходимо, чтобы At —У 0 и Ах ->• 0.

Достоинством методов этой группы является возможность легко учитывать всевозможные ограничения на фазовые координаты и управления. Учет ограничений сводится просто к их проверке п к отбрасыванию в процессе перебора тех траекторий и управлений, которые им не удовлетворяют.

К недостаткам следует отнести большой объем вычислений, трудность задания опорной траектории, сходимость к локальному минимуму.

Следующую группу образуют вычислительные методы в линейных задачах оптимального управления [162]—[212]. Для линейных систем удается, как правило, обосновать численные методы, т.е.доказать их сходимость. Использование линейности управляемой системы позволяет построить эффективные алгоритмы и с помощью теоремы отделимости выпуклых множеств в функциональных пространствах учесть ограничения на управление и фазовые координаты. Одной из важнейших является задача линейного быстродействия, для которой получены условия существования и единственности оптимального управления и разработан ряд численных методов решения. Одним из первых был метод Нейштадта [162] и Итона [163], суть которого состоит в следующем. Линейную систему х = Ах + bu, x(to) = хо, \и\ < 1, (21) требуется перевести за минимальное время Т — tk — t-o из начального состояния x(fo) = хо в начало координат x(tk) = 0. Оптимальное управление формируется по алгоритму u(t) = sign 6*V(f), (22) где уравнение для сопряженной переменной имеет вид ф = —А*ф. Берется произвольное начальное условие ф^о), находится решение ф^) = Ф(t,tQ)ф(to), где Ф(£, to) -фундаментальная матрица решений для сопряженной системы и определяется по (22) управление u(t). Вычисляются функции t xe(t) = J 0*(T,to)bu(T)dT, h(t) = V*(fo)[zeM + Sol

Интегрирование производится до момента tj., в который h(t.j.) = 0. Следующее приближение для начального условия сопряженной системы задается выражением ф5+1(Ц) =ф3(Ц) + а8[хв{Ц)+хоЪ as >0. (23)

Итерационный процесс заканчивается, если ||£с(^)+£о|| < £, т.е.управление u(t) переводит систему (21) за наименьшее время в t - окрестность начала координат. Выбором последовательности чисел as регулируется скорость сходимости алгоритма. Предложены различные методы решения задачи быстродействия и других линейных задач, и в частности, с интегральным квадратичным функционалом, для которого на основе решения уравнения Риккати синтезируется оптимальное управление. Однако возникают значительные трудности и проблемы с учетом ограничений на управления. При решении задач оптимального управления нелинейными спстемами часто применяют различные методы линеаризации задачи с последующим применением известных способов решения линейных задач. Для решения линейных задач оптимального управления рассмотрены подходы с позиций функционального анализа, в частности, классической проблемы моментов.

Еще одну группу образуют приближенные аналитические методы решения задач оптимального управления [10], [213]—[241]. В свою очередь среди этой группы можно выделить три подхода: 1) приближенные методы управления квазилинейными объектами; 2) слабо управляемые системы; 3) методы усреднения для приближенного решения задач оптимального управления.

Квазилинейные системы отличаются от линейных наличием малых по величине нелинейных членов. Предполагается, что при отсутствии не-линейностей задача оптимального управления разрешима и это решение используется в качестве начального приближения при нахождении оптимального управления квазилинейной системой. Например, для квазилинейной системы требуется найти управление u(t) , переводящее (24) из x(to) = xq в x{tk) —

0 за фиксированное время Т — tf. — to и доставляющее минимальное знаtk чение функционалу J [и] = / и\т)и(т)с1т. Матрицы A(t),B(t), малый паto раметр £ > 0, время Т и функция f(x(t),t) заданы. Известно, что при 5 = 0 возможно аналитическое решение задачи, определив которое строятся последовательные приближения для различных £. Следует отметить, что значения г могут быть и не малыми для конкретных систем.

Суть подхода для слабо управляемых систем состоит в следующем. Предполагается, что справедливы разложения функций f(x, и, t) и F(x(t)), входящих в (1) и (2),

Ищется с использованием принципа максимума в виде разложений приближенное решение задачи (1)-(2): х = A(t)x + ef(x(t),t) + B(t)u, x{t0) = x0,

24)

F(x(t)) = F°(x(t)) + £F^(x{t)) + .

25) x(t) = .T°(f) + ^(1) (*) + •••; J = J° + sJW + .

Подставляя эти соотношения в уравнения (1)-(5) и разлагая полученные выражения в ряды по е, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях б и получают соотношения для определения коэффициентов в разложении (26). В частности, в нулевом приближении для задачи со свободным правым концом имеем i(0) = f(0)(я(0)?*)5 я(0)(*о) = х0, J(°) = FM(xM(tk)), ф(о) = ф{0)М = dFW(£4tk)) ^

Для траектории x^(t) в нулевом приближении поставлена задача Коши. Находят хзатем вычисляют tl>(°\t), таюке решая задачу Коши. Первое приближенное значение управления определяется из условия максимума по и гамильтониана

Метод усреднения применяется для систем, в которых явно просматривается два движения - медленное и быстрое. Быстропериодические параметры осредняются на рассматриваемом интервале времени и принимаются некоторыми постоянными, что понижает размерность исходной задачи и позволяет получить приближенное решение.

Завершая краткий анализ следует подчеркнуть, что это далеко не полный перечень существующих методов и их разбиение на группы весьма условно. Из анализа основных направлений и самого факта существования множества методов решения задач оптимального управления непосредственно следует, что не существует универсального численного метода решения задач оптимального управления. Каждый из методов обладает определенными достоинствами и недостатками. Поэтому актуальна проблема разработки новых численных методов решения задач оптимального управления, максимально учитывающих специфику решаемых задач и обладающих малой вычислительной трудоемкостью.

Наряду с нахождением программного оптимального управления весьма актуальна проблема синтеза оптимального управления, решение которой сопряжено со значительными принципиальными и вычислительными трудностями. Кроме линейно-квадратичных задач и простейших систем до сих пор не существует эффективных методов синтеза оптимального управления, представляющего наибольший практический интерес, так как при синтезе можно стабилизировать систему при действии различного рода внешних и параметрических возмущениях, действующих на управляемую систему.

Численные итерационные алгоритмы нахождения оптимального управления, какими простыми они бы не были, сопряжены с решением задач Коши, и следовательно, затратами времени на вычисления, что делает невозможным их использование для управления в реальном времени быстродействующими объектами и быстропротекающими процессами. Поэтому актуальна также проблема разработки простых в реализации, но близких к оптимальным (квазиоптимальных, субоптимальных) алгоритмов управления, позволяющих управлять быстродействующими объектами и процессами. Решению этих проблем и посвящена диссертация.

Научная новизна определяется следующими результатами, полученными автором. Разработаны: метод формирования управления, переводящего за фиксированное время с фиксированными моментами переключений линейную систему из заданного начального состояния в начало координат; управление формируется по начальным условиям, взятым с некоторыми постоянными весовыми коэффициентами; метод разбиения совокупностью гиперплоскостей множества начальных условий на подмножества, каждое из которых имеет свои фиксированные значения весовых коэффициентов, моментов переключений и времени перевода системы под действием квазиоптимального управления, которое дает приближенное решение линейной задачи быстродействия и может быть использовано в качестве начального приближения в итерационной процедуре нахождения оптимального по быстродействию управления;* метод формирования управления по начальным условиям, взятым с кусочно-постоянными весовыми коэффициентами, переводящего за заданное время с произвольно заданными моментами переключений линейную систему из начального состояния в начало координат; численный метод решения задачи линейного быстродействия; численный метод решения задачи финитного управления; численный метод решения обратных ("осевых") задач оптимального управления; метод последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления линейными системами; приближенный метод решения линейной задачи на минимум расхода ресурсов; численный метод решения линейной задачи на минимум расхода ресурсов; метод решения задач управления и коррекции движения линейных систем при действии случайных и детерминированных возмущений;

Под приближенным методом понимается решение с априорно не гарантированной точностью перевода системы в конечную точку; численный метод гарантирует любую наперед заданную точность перевода. метод выбора постоянных параметров линейных систем, при которых квазиоптимальное управление переводит систему из начального состояния в начало координат за минимальное время; метод одновременного управления структурой и регулирующим воздействием.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000); The Third International Conference Differential Equations and Applications (Saint Peterburg, 2000); International Conference "Mathematics in Applications"(Novosibirsk, 1999); XV Международная конференция по интервальной математике (Красноярск, 1999); International Workshop "Nonsmooth and Discontinuons Problem of Control and Optimization" (Chelyabinsk, 1998); 11-я Байкальская Международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения"(Иркутск, 1998); Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998); Third International Workshop "New Computer Technologies in Control Systems" (Pereslavl-Zalessky, 1996); XI-я Международная конференция по проблемам теоретической кибернетики (Ульяновск, 1996); Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996); 10-я Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1995); Сибирская конференция по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994); X Международная конференция "Проблемы теоретической кибернетики"(Саратов, 1993); Первая Всесоюзная конференция "Математические проблемы экологии" (Новосибирск, 1992); Международный семинар "Методы и программное обеспечение для исследования систем автоматического управления" (Иркутск, 1991); Всесоюзный семинар "Системы управления, следящие приводы и их элементы" (Москва, 1991); VI Всесоюзное совещание "Управление многосвязными системами"(Суздаль, 1990); Международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1989); Международный советско-польский семинар "Математические методы оптимального управления и их приложения"(Минск, 1989); VI Всесоюзная конференция по управлению в механических системах (Львов, 1988); VII Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической кибернетики"(Иркутск, 1985); IV Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах (Москва, 1982); V Всесоюзная конференция по проблемам теоретической кибернетики (Новосибирск, 1980); III Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах (Киев, 1979); 9-th IFIP

Conference on Optimization Techniques (Warszawa, 1979); IV Всесоюзное совещание по многосвязным системам (Москва, 1978); Международная рабочая конференция ТК-7 ИФИП "Моделирование и оптимизация сложных систем" (Новосибирск, 1978); IV Всесоюзная конференция по проблемам теоретической кибернетики (Новосибирск, 1977); VI Всесоюзное научно-техническое совещание по созданию и внедрению систем управления с применением вычислительной техники (Москва, 1970); II Научно-техническая конференция по автоматическому управлению (Фрунзе, 1966); III Всесоюзное совещание по автоматическому управлению (Одесса, 1965).

Результаты диссертации опубликованы в работах [329]—[363].

Результаты диссертации использованы в НИР по темам "Разведение-СО", "Родео-МО", "Электролиния-СО", "Целлон-СО".

Диссертация состоит из семи глав, введения, заключения и Приложения.

В первой главе рассмотрен метод приближенного решения задачи линейного быстродействия. Вводятся в рассмотрение переменные ограничения на компоненты вектора управления, зависящие от начальных условий. Дан алгоритм формирования управления из начального значения каждой фазовой координаты, взятого с некоторым весовым коэффициентом. Доказано, что суммарное управление по всем координатам переводит линейную систему в начало координат из произвольной точки фазового пространства за фиксированное время. Квазиоптимальное управление является своеобразной кусочно-постоянной аппроксимацией оптимального управления и содержит информацию о его структуре и расположении моментов переключений. Доказана независимость моментов переключений от начальных условий и их постоянство в случае постоянных параметров линейной системы, что существенно упрощает реализацию квазиоптимального управления. Отсутствие вычислений в процессе управления позволяет управлять в реальном времени быстродействующими объектами и быстропротекающими процессами. Получены некоторые оценки близости квазиоптимального управления к оптимальному, из которых следует, что различие между управлениями уменьшается с увеличением порядка управляемой системы и с увеличением значений фазовых координат. Сложность реализации квазиоптимального управления практически не увеличивается с ростом порядка системы и числа управляющих параметров. Поэтому применение квазиоптимального управления наиболее эффективно для сложных динамических систем, именно для которых нахождение оптимального по быстродействию управления сопряжено с наибольшими вычислительными затратами.

Рассмотрен простой метод разбиения совокупностью гиперплоскостей области начальных условий на к подобластей, каждая из которых имеет свои фиксированные значения весовых коэффициентов, моментов переключений и времени перевода. Дан способ быстрого выделения подобласти, которой принадлежит изображающая точка. Для 2пк граничных точек, расположенных на фазовых осях, квазиоптимальное управление совпадает с оптимальным. Рассмотренная конструкция является аппроксимирующей и дает приближенное решение линейной задачи быстродействия. Метод разбиения области используется также в качестве хорошего начального приближения в итерационной процедуре нахождения оптимального по быстродействию управления, которая рассматривается в следующей главе. Приведены результаты моделирования и расчета квазиоптимального и оптимального управлений для нескольких систем и показана эффективность квазиоптимального управления.

Во второй главе рассмотрен численный метод решения задачи линейного быстродействия. В качестве допустимого используется квазиоптимальное управление с произвольно заданными на первой итерации моментами переключений. Идея метода заключается в постепенном выравнивании величин квазиоптимального управления до предельно-допустимых значений при оптимальном управлении. В результате последовательность квазиоптимальных управлений сходится к оптимальному управлению. По мере изменения величин управляющих воздействий соответствующим образом изменяется и моменты переключений управлений. Получена система линейных алгебраических уравнений, связывающая приращения моментов переключений и конечного момента времени с приращениями величин управляющих воздействий. Установлена связь между приращениями начальных условий нормированной сопряженной системы и приращениями моментов переключений квазиоптимального управления. В результате получена система линейных алгебраических уравнений, связывающая приращения начальных условий нормированной сопряженной системы и конечного момента времени с приращениями величин управляющих воздействий. В итоге задача нахождения оптимального по быстродействию управления сводится к решению задач Коши и систем линейных алгебраических уравнений. Доказано свойство улучшения управлений в итерационной процедуре. Рассмотрена процедура минимизации числа итераций. Предложен способ задания начального приближения. Найден регулирующий параметр, обеспечивающий перевод системы из любой начальной точки, принадлежащей области управляемости.

Приведены результаты моделирования и вычисления оптимального управления для ряда систем и показано, что разбиение области начальных условий на подобласти и использование квазиоптимального управления в качестве начального приближения значительно сокращает число итераций даже по сравнению с процедурой минимизации числа итераций.

Даны обобщения метода для решения задач финитного управления и обратных(осевых) задач оптимального управления. Приведены модификации основной системы линейных алгебраических уравнений для нахождения искомых параметров.

Третья глава посвящена разработке метода последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления для линейной системы при наличии возмущений. Получена система линейных алгебраических уравнений, связывающая отклонения фазовых координат с приращениями конечного момента времени и начальных условий нормированной сопряженной системы. Отклонения фазовых координат вызываются возмущениями, которые предполагаются неизвестными, и неточным заданием и вычислением оптимального управления. Рассмотрен метод последовательной коррекции моментов переключений и конечного момента времени в процессе сопровождения изображающей точки, основанный на решении задач Коши и систем линейных алгебраических уравнений. Доказано свойство улучшения управлений в итерационном процессе.

Рассмотрены особенности движения управляемой системы в окрестности и по многообразиям переключений оптимального управления. Получены условия: 1) возникновения скользящего режима; 2) принадлежности изображающей точки (п — 1)-мерному многообразию переключений; 3) переходу к новой структуре оптимального управления. Показано, что информация о положении изображающей точки относительно многообразия переключений содержится в знаке и величине приращения момента переключения, совпадающего со значением текущего момента времени. Показано, что в £-окрестностях многообразий переключений сопряженная система претерпевает разрыв первого рода, т.е. не сохраняется близость по начальным условиям сопряженной системы. Это обстоятельство и возникновение скользящего режима резко ограничивают возможность применения известных методов нахождения оптимального управления. Получены условия перевода системы в £-окрестность начала координат при действии возмущений и найдена достижимая точность перевода.

Рассмотрена модификация и особенности метода последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления применительно к линейным системам, параметры которых неконтролируемо изменяются в некотором интервале. Изменения коэффициентов сводятся к ограниченным параметрическим возмущениям. Управление формируется на основе линейной модели с постоянными коэффициентами и переводит систему в £ -окрестность начала координат.

Приведены результаты моделирования метода последовательного синтеза для нелинейной системы четвертого порядка и результаты моделирования при действии постоянных, переменных и параметрических возмущений.

В четвертой главе изложен метод приближенного решения линейной задачи на минимум расхода ресурсов. Компоненты вектора управления ограничиваются начальными условиями, взятыми с некоторыми весовыми коэффициентами. На основе принципа максимума формируется управление из начального значения каждой фазовой координаты. Суммарное управление по всем координатам переводит за фиксированное время линейную систему из любой начальной точки некоторой ограниченной области, принадлежащей области достижимости, в начало координат и приближенно минимизирует расход ресурсов. Доказано, что моменты переключений квазиоптимального управления не зависят от начальных условий и постоянны в случае постоянных параметров управляемой системы. Это обстоятельство существенно упрощает реализацию квазиоптимального управления. Весовые коэффициенты и моменты переключений находятся до начала процесса управления и устанавливаются в управляющем устройстве. Отсутствие вычислений в процессе управления позволяет управлять быстродействующими объектами и быстропротекающими процессами. Найдена допустимая область начальных условий, для которой не нарушаются традиционные ограничения на управления. Получены некоторые оценки близости квазиоптимального управления к оптимальному, из которых непосредственно следует, что различие между квазиоптимальным и оптимальным управлениями уменьшается с увеличением порядка управляемой системы, заданного времени перевода системы и начальных условий. Сложность реализации квазиоптимального управления незначительно увеличивается с ростом порядка и числа управляющих параметров. Поэтому применение квазиоптимального управления наиболее эффективно для систем высокого порядка со многими управляющими параметрами, именно для которых нахождение оптимального управления сопряжено с наибольшими вычислительными трудностями.

Дан способ дальнейшего уменьшения различия между квазиоптимальным и оптимальным управлениями. Он состоит в разбиении области начальных условий на подобласти со своими значениями моментов переключений и весовых коэффициентов. Показано, что разбиение области начальных условий на к подобластей приводит к дополнительному уменьшению различия между квазиоптимальным и оптимальным управлениями более чем в к раз.

ГЛ <~> I/ и

В пятой главе рассмотрен метод численного решения линейной задачи на минимум расхода ресурсов. Вначале проверяется, существует ли решение задачи на минимум расхода ресурсов при заданных значениях времени перевода и ограничениях. Для этого решается задача финитного управления. Решение задачи на минимум расхода ресурсов существует, если не нарушаются ограничения на управления. В качестве допустимого управления и начального приближения в итерационной процедуре вычисления оптимального по расходу ресурсов управления используется квазиоптимальное управление, переводящее на каждой итерации линейную систему из заданного начального состояния в начало координат за фиксированное время и доставляющее приближенное решение задачи. Осуществляется постепенное выравнивание амплитуд квазиоптимального управления до предельных значений путем соответствующего изменения моментов переключений. Получена система линейных алгебраических уравнений, связывающая приращения начальных условий сопряженной системы с отклонениями амплитуд квазиоптимального управления от предельных значений. В результате задача вычисления оптимального по расходу ресурсов управления сводится к последовательности решений систем линейных алгебраических уравнений и задач Коши. Доказано свойство улучшения последовательности квазиоптимальных управлений.

Шестая глава посвящена решению задач управления и стабилизации при действии случайных и детерминированных возмущений. Рассмотрена задача по нахождению допустимого управления, переводящего за фиксированное время линейную систему при наличии случайных возмущений из заданного начального состояния в г-окрестность начала координат по некоторой опорной траектории, проходящей через заданные начальную и конечную точки, и минимизирующего расход ресурсов. При этом дисперсии отклонений фазовых координат от опорной траектории не должны превышать наперед заданной величины. Получено условие существования решения и дан алгоритм решения задачи на основе квазиоптпмального по расходу ресурсов управления.

Рассмотрена задача перевода за фиксированное время линейной системы из заданного начального состояния в начало координат при действии на систему постоянного возмущения, величина которого не известна. Приводится алгоритм решения задачи с использованием квазиоптимального управления. Рассмотрена задача коррекции движения при медленно меняющихся неизвестных возмущениях и перевода системы в £-окрестность начала координат. Изложен метод корректного распределения ограничений между программным и корректирующим управлениями.

В седьмой главе рассмотрены две задачи параметрической оптимизации. Первая задача: найти такие постоянные коэффициенты (собственные значения) матрицы управляемой системы, для которых при квазиоптимальном управлении достигается перевод системы из заданного начального состояния в начало координат за минимальное время. Получены системы трансцендентных уравнений, связывающие время перевода с собственными значениями матрицы управляемой системы. Выдвинуто предположение, что минимальное время перевода при формировании управления из первой фазовой координаты достигается при равенстве интервалов знакопостоянства. Предположение доказано при п = 2. Система трансцендентных уравнений вырождается в аналитически разрешимую систему алгебраических уравнений. Получены аналитические выражения для минимального времени и параметров системы (собственных чисел и коэффициентов), при которых оно достигается. Для п > 2 справедливость предположения подтверждена численными расчетами на ЭВМ. Для системы третьего порядка получены аналитические выражения для минимального времени и параметров системы(собственных чисел и коэффициентов), при которых достигается минимальное время перевода. Оказывается, что минимальное время перевода достигается для устойчивой системы, имеющей комплексно-сопряженные собственные значения, т.е. обладающих малым запасом устойчивости. Поэтому для таких систем наряду с минимальным временем перевода достигается одновременно и высокая статическая точность. Управляемая система с оптимальными коэффициентами обладает и другими важными свойствами - минимальной чувствительностью к вариациям коэффициентов и минимальной величиной управления. На основе последнего свойства вводится понятие количественной меры полной управляемости и дано его определение. Отмечается также, что минимальное время является нижней оценкой потенциального быстродействия квазиоптимального управления, рассмотренного в гл. 1.

Вторая задача состоит в следующем. Коэффициенты матрицы управляемой системы допускают изменения в некоторых пределах и эти изменения рассматриваются в качестве новых дополнительных управляющих параметров. Ставится задача: найти при квазиоптимальном управлении алгоритм изменения коэффициентов, при котором достигается минимальное время перевода системы из заданного начального состояния в начало координат.

На основе принципа максимума получен алгоритм одновременного управления коэффициентами и регулирующим воздействием. Доказана независимость моментов переключений и времени перевода от начальных условий и их постоянство при переводе из произвольной начальной точки в начало координат, что существенно упрощает реализацию. Управление коэффициентами приводит к появлению новых многообразий переключений. Получены их уравнения. Моменты переключений вычисляются предварительно до начала процесса управления. Отсутствие вычислений в процессе управления позволяет управлять быстропротекающими процессами. Введение дополнительного управления коэффициентами приводит к дополнительному уменьшению времени перевода, расширяет область управляемости для неустойчивых систем и уменьшает влияние неконтролируемого изменения параметров системы на точность перевода.

В Приложении 1 разработана прецизионная система управления двухко-ординатным приводом графопостроителя "Планшет". В отличие от традиционного кусочно-линейного воспроизведения кривых с остановкой в узловых точках рассмотрено непрерывное движение пишущего устройства по заданной произвольной кривой с максимально допустимой скоростью и остановкой в конечной точке. Найдены алгоритмы оптимального по быстродействию управления двухкоординатным приводом, условия разгона, переключения и торможения. Для воспроизведения кривых используется кубическая сплайн-интерполяция, обладающая непрерывностью первой и второй частных производных и позволяющая провести через заданные точки (узлы) линию, близкую к линии минимальной кривизны. Чем меньше кривизна, тем больше допустимая скорость движения. Коррекция движения по расчетной траектории осуществляется с помощью квазиоптимального управления, изложенного в главе 1. Численное моделирование подтвердило работоспособность и эффективность разработанных алгоритмов и был изготовлен макет с размером рабочего поля 500 х 500 мм. В качестве датчика положения по каждой из двух координат использован поворотный индуктосин, обеспечивающий линейное разрешение 2 мкм. Система коррекции основана на квазиоптимальном управлении и обеспечивает статическую погрешность в определении положения < 4 мкм. Тактовая частота коррекции 100 гц. Динамическая погрешность воспроизведения кривых при максимальной линейной скорости 1,5 м/сек не превышает 50мкм. Максимальная скорость на порядок превышает скорость лучших отечественных и зарубеленых образцов.

В Приложении 2 рассмотрена задача стабилизации движения летательного аппарата на заданной гиперповерхности на основе квазиоптимального управления. Управление формируется по линейной системе, полученной линеаризацией вдоль гиперповерхности системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающей движение летательного аппарата. Для достижения требуемой точности стабилизации применяется итерационная процедура уточнения управления. Численное моделирование показало, что двух итераций достаточно для стабилизации с заданной точностью.

В Приложении 3 рассмотрена задача оптимального управления движением геофизической ракеты, обеспечивающего при наклонном старте подъем на максимальную высоту и попадание в заданную точку на поверхности Земли. Требование подъема на максимальную высоту вызвано необходимостью исследования параметров атмосферы (ионосферы, магнитосферы) по наибольшему срезу, а пбпадание в заданную точку существенно снижает затраты на поиск аппаратуры. Доказано, что при наклонном старте максимальная высота достигается при движении летательного аппарата с нулевым углом атаки. Для попадания в требуемую точку необходимо перевести летательный аппарат по касательной к заданной гиперповерхности. Разработан приближенный метод решения, основанный на синтезе оптимального по быстродействию управления для линейной системы третьего порядка. Численное моделирование подтвердило, что изменение параметров летательного аппарата в широких пределах, неточности математического описания и другие факторы не нарушают работоспособности и эффективности алгоритма управления.

В Приложении 4 разработан метод динамической коррекции движения пучка заряженных частиц в циклических ускорителях. Тенденции к увеличению плотности и энергии пучка частиц, ускорению "тяжелых" частиц приводят к возникновению неустойчивых движений и необходимости разработки методов их подавления и стабилизации пучка частиц относительно центра вакуумной камеры. Рассмотрена система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, которая описывает бетатронные колебания пучка частиц. Предложен новый метод подавления бетатронных колебаний и стабилизации пучка частиц на основе теории оптимального управления для систем с управляемой структурой, изложенной в главе 7. Найдены алгоритмы оптимального управления при прохождении пучка частиц под фокусирующим и дефокусирующим магнитами, в однородном магнитном поле и в электрическом поле. Численное моделирование подтвердило, что метод динамической коррекции позволяет подавить бетатронные колебания и стабилизировать движение пучка частиц как при наличии структурных неустойчивостей так и действии различных возмущений.

В Приложении 5 рассмотрено управление дефлектором голографическо-го запоминающего устройства и уменьшение времени переходных процессов в линейных измерительных системах. Считывание информации (восстановление изображения) в голографическом запоминающем устройстве осуществляется лазерным лучом с помощью фотоприемной матрицы. Переключение лазерного луча с одной голограммы на другую осуществляется двухкоординатным отклоняющим устройством - дефлектором. Показано, что на основе квазиоптимального управления возможно уменьшение времени переходных процессов в десятки раз и создание простого электромеханического дефлектора на основе шлейфового гальванометра.

Одним из интересных приложений квазиоптимального управления является уменьшение времени установления показаний в линейных измерительных системах. Специфической особенностью измерительных систем является то, что входное воздействие неизвестно и подлежит определению в процессе измерения. Независимость моментов переключений от измеряемой величины позволяет обойти эту принципиальную трудность. Приведены блок-схема, результаты моделирования и экспериментальных исследований уменьшения времени переходных процессов в линейных измерительных устройствах.

Под руководством и при участии автора создан комплекс программ для решения задач линейного быстродействия, расхода ресурсов, задач стабилизации, последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления, задач управления движением летательных аппаратов. Комплекс программ состоит из отдельных модулей без сервисных программ. Программы написаны на языке программирования TURBO-PASCAL для персональных компьютеров. Проведено численное моделирование, результаты которого отражены в тексте диссертации и Приложения. Моделирование показало работоспособность и эффективность разработанных алгоритмов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод квазиоптимального управления, формируемого по начальным значениям каждой фазовой координаты, взятым с некоторыми постоянными весовыми коэффициентами. Суммарное управление переводит линейную систему в начало координат из любой точки фазового пространства за фиксированное время. Доказана независимость моментов переключений от начальных условий и их постоянство в случае постоянных параметров линейной системы, что существенно упрощает реализацию квазиоптимального управления. Отсутствие вычислений в процессе управления позволяет управлять в реальном времени быстродействующими объектами и быстропротекающими процессами. Сложность реализации практически не увеличивается с ростом порядка и числа управляющих параметров, а различие в быстродействии уменьшается с ростом порядка управляемой системы. Поэтому применение квазиоптимального управления наиболее эффективно для сложных динамических систем, именно для которых нахождение оптимального управления сопряжено с наибольшими трудностями.

2. Разработан простой метод разбиения совокупностью гиперплоскостей множества начальных условий на под м н оже с т в а. каждое из которых имеет свои фиксированные значения весовых коэффициентов, моментов переключений и времени квазиоптимального управления. Дан эффективный способ выделения подмножества, которому принадлежит изображающая точка. Для 2пк граничных точек, расположенных на фазовых осях, квазиоптимальное управление совпадает с оптимальным. Предложенная конструкция дает приближенное решение линейной задачи быстродействия, которое может быть использовано в качестве начального приближения в итерационной процедуре нахождения оптимального управления.

3. Введены в рассмотрение переменные ограничения на компоненты вектора управления, зависящие от начальных условий. Предложен метод формирования управления по начальным значениям фазовых координат, взятым с кусочно-постоянными весовыми коэффициентами. Квазиоптимальное управление переводит линейную систему в начало координат за заданное время с произвольно заданными моментами переключений. Кусочно-постоянные весовые коэффициенты находятся из решения систем линейных алгебраических уравнений.

4. Разработан численный метод решения задачи линейного быстродействия. Получена система линейных алгебраических уравнений, связывающая приращения начальных условий нормированной сопряженной системы и конечного момента времени с приращениями величин управляющих параметров. В качестве допустимого используется квазиоптнмальное управление с произвольно заданными на первой итерации моментами переключений. Доказано свойство улучшения итерационного вычислительного процесса нахождения оптимального по быстродействию управления. Рассмотрена процедура минимизации числа итераций.

5. Даны обобщения метода для решения задач финитного управления и обратных ("осевых") задач оптимального управления. Получены модификации основной системы линейных алгебраических уравнений для нахождения искомых параметров.

6. Разработан метод последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления динамическими системами. Получена система линейных алгебраических уравнений, связывающая отклонения фазовых координат с приращениями конечного момента времени и начальных условий нормированной сопряженной системы. Предложен метод последовательной коррекции моментов переключений и времени оптимального по быстродействию управления в процессе сопровождения изображающей точки, основанный на решении задач Коши и систем линейных алгебраических уравнений. Доказано свойство улучшения итерационного вычислительного процесса нахождения оптимального по быстродействию управления. Получены условия перевода системы в г-окрестность начала координат при действии возмущений и найдена достижимая точность перевода.

7. Разработан метод квазиоптимального по расходу ресурсов управления линейными системами. Введены переменные ограничения на компоненты вектора управления, зависящие от начальных условий. Управление формируется на основе принципа максимума из начального значения каждой фазовой координаты. Суммарное управление по всем координатам переводит за фиксированное время линейную систему из произвольного начального состояния в начало координат и доставляет ириблилсенное решение задачи. Доказана независимость моментов переключений квазиоптимального управления от начальных условий и их постоянство для систем с постоянными параметрами, что существенно упрощает реализацию. Моменты переключений и весовые коэффициенты вычисляются предварительно и устанавливаются в управляющем устройстве. Отсутствие вычислений в процессе управления позволяет управлять быстродействующими объектами и быстропроте-кающими процессами. Найдена допустимая область начальных условий, для которой не нарушаются традиционные ограничения на управления. Получены некоторые оценки близости квазиоптимального управления к оптимальному, из которых непосредственно следует, что различие между квазиоптимальным .и оптимальным управлениями уменьшается с увеличением порядка управляемой системы, заданного времени перевода и начальных условий. Поэтому применение квазиоптимального управления наиболее эффективно для систем высокого порядка со многими управляющими параметрами, именно для которых нахоледение оптимального управления сопрялсено с наибольшими трудностями. Слолсность реализации квазиоптимального управления практически не увеличивается с ростом порядка и числа управляющих параметров.

Дан способ приближения квазиоптимального управления к оптимальному путем разбиения совокупностью гиперплоскостей области начальных условий на подобласти со своими значениями моментов переключений и весовых коэффициентов. Разбиение на к подобластей приводит к уменьшению различия более чем в к раз.

8. Разработан численный метод решения линейной задачи на минимум расхода ресурсов. Квазиоптимальное управление используется в качестве начального приближения в итерационной процедуре вычисления оптимального управления. Осуществляется постепенное выравнивание амплитуд квазиоптимального управления до предельных значений. Последовательность квазиоптимальных управлений стремится к оптимальному путем соответствующего изменения моментов переключений управления. Получена система линейных алгебраических уравнений, связывающая приращения начальных условий сопряженной системы с отклонениями амплитуд квазиоптимального управления от предельных значений. Задача вычисления оптимального управления сводится к последовательности решений задач Коши и систем линейных алгебраических уравнений. Доказано свойство улучшения итерационной процедуры.

9. Разработан метод решения задачи перевода за фиксированное время с минимальным расходом ресурсов линейной системы, возбуждаемой случайным возмущением, из заданной начальной точки в г-окрестность конечной точки по опорной траектории, проходящей через эти точки. При этом дисперсии отклонений фазовых координат от опорной траектории в любой момент времени не превышают наперед заданной величины г. Получено условие существования решения. Дан метод корректного распределения ограничений между программным и корректирующим управлениями. Разработаны алгоритмы квазиоптимального управления и коррекции двюкения в случае действия неизвестных постоянных и медленно меняющихся детерминированных возмущений.

10. При решении задачи параметрической оптимизации получена система трансцендентных уравнений, связывающая время перевода линейной системы с собственными значениями матрицы А при формировании квазиоптимального управления по каждой фазовой координате. Для систем второго и третьего порядка получены аналитические выражения для минимального времени и собственных значений матрицы А, при которых достигается минимальное время. Система с оптимальными коэффициентами имеет минимальную чувствительность к вариациям коэффициентов, высокую статическую точность и минимальную величину управления. Минимальное время является нижней оценкой потенциального быстродействия квазиоптимального управления. Введено понятие и дано определение количественной меры полной управляемости.

11. Разработан алгоритм одновременного управления коэффициентами и регулирующим воздействием. Доказана независимость моментов переключений и времени перевода от начального условия и их постоянство при переводе системы из любой начальной точки в нулевую конечную, что значительно упрощает реализацию. Моменты переключений вычисляются предварительно, что позволяет управлять быстропротекающими процессами и быстродействующими объектами. Введение дополнительно управления по структуре дополнительно уменьшает время перевода, расширяет область управляемости для неустойчивых систем и уменьшает влияние неконтролируемого изменения коэффициентов на точность перевода системы.

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

2. Белман Р. Динамическое программирование. М.; Изд-во иностр. литер., 1960.

3. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966.

4. Гамкрелидзе Р.В. О скользящих оптимальных режимах// Доклады АН СССР. 1962. Т. 143. № 6. С. 1243-1245.

5. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во ТГУ. 1975.

6. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления// Доклады АН СССР. 1965. Т. 162, № 4. С. 763-765.

7. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

9. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Минск: Университетское, 1984.

10. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

11. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин J1.C. К теории оптимальных процессов// Доклады АН СССР. 1956. Т. 110. № 1. С. 7-10.

12. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966.

13. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973.

14. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

15. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

16. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

17. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

18. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

19. Васильев О.В. Методы оптимизации в функциональных пространствах. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1979.

20. Васильев Ф.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. М.: Наука, 1981.

21. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985

22. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

23. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем// Автоматика и телемеханика. 1959, Т. 20, № 10, № 11, № 12.

24. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

25. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

26. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

27. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

28. Лейтман Д. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968.

29. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.

30. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974.

31. Табак Д., Kyo B.C. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975.

32. Леондес С.Т. Современная теория управления. М.: Наука, 1970.

33. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Современное состояние теории оптимальных процессов// Автоматика и телемеханика. 1972. Т. 33. № 9. С. 31-62.

34. Красовский Н.Н. Теория оптимальных управляемых систем// В сб. "Механика в СССР за 50 лет". М.: 1968. Т. 1. С. 179-244.

35. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления// Итоги науки и техники. Серия "Математический анализ". 1977. Т. 14. С. 101-166.

36. Polak Е. An historical survey of computational methods in optimal control// SIAM Rev. 1973. V. 15. № 2. P. 553-584.

37. Любушин А.А., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 147-159.

38. Исаев В.К., Сонин В.В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. № 6. С. 1114-1116.

39. Кпарр С.Н., Frost Р.А. Determination of optimum control and trajectories using the maximum principle in assosiation with a gradient technique// IEEE Trans. Automat. Control. 1965, V. 10, № 2, C. 189-193.

40. Островский Г.М., Волин Ю.М., Малкин И.И. Об одном методе решения оптимальных задач с краевыми условиями// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. № 6. С. 146-151.

41. Островский Г.М. Об одном методе расчета оптимальных систем// Автоматика и телемеханика. 1965, Т. 26, № 3, С. 435-442.

42. Ермольев Ю.М., Еуленко В.П. О численных методах решения задач оптимального управления// Кибернетика. 1966. № 1, С. 72-78.

43. Sutherland J.W., Bohn E.V. A numerical trajectory optimization method, suitable for a computer of limited memory// IEEE Trans. Automat. Control. 1966, V. 11, № 3, P. 440-447.

44. Тихонов A.H., Еалкин В.Я., Заикин П.Н. О прямых методах решения задач оптимального управления//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967, Т. 7, № 2, С. 416-423.

45. Lewallen J.M. A modified quasi-linearization method for solving trajectory optimization problems// AIAA Journal. 1967, V. 5, N 4, P. 962-965.

46. Tapley B.D., Lewallen J.M. Comparison of several numerical optimization methods// J. Optimizat. Theory and Applic. 1967. V. 1, N 1, P. 1-32.

47. Sidar M. An iterative algorithm for optimal control problems// Internat. J. Nonlinear Mech. 1968, V. 3, N 1, P. 1-16.

48. Efthymiatos D. An iterative algorithm for optimum control problems with inequality constraints// IEEE Trans. Automat. Control. 1969. V. 14, N 6, P. 719-722.

49. Гонейм M.A., Бернхольц Б. Прямой метод оптимизации нелинейных управляемых систем// Труды III Международного конгресса ИФАК. 1966. "Оптимальные системы. Статистические методы." М.: Наука, 1971. С. 89-100.

50. Anderson G.M. An indirect numerical method for the solution of a class optimal control problems with singular arcs// IEEE Trans. Automat. Control. 1972, V. 17, N 3, P. 363-365.

51. Subrahmanyam M.B. A compurational method for solution of time-optimal control problems by Newton's method// Int. J. Control, 1986. V. 44. P. 1233-1243.

52. Pelczevski J. Computation of the time-optimal control for some linear systems// Control Cybern., 1988. V. 17, № 1. P. 7-17.

53. Васильев О.В., Терлецкий В.А. Оптимальное управление краевой задачей// Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 1995. Т. 211, С. 121-130.

54. Chen Y., Huang J. An improved computation of time-optimal control trajectory for robotic point-to-point motion// Int. J. Control, 1996. V. 65, № 1, P. 177-194

55. Zeng J., Sun W., Zhou G. Symplestic algorithm in solving optimal control problems// J. Shanghai Jiaotong Univ. 1996. V. E-l, № 2. P. 21-24.

56. Hurtado J. E., Junkins J. L. Optimal near-minimum-time control.// J. Guid. Control Dyn. 1998. V. 21, № 1. P. 172-174.

57. Kelley H.J. Gradient theory of optimal flight paths// ARS Journal. 1960. V. 30. № 10. P. 947-954.

58. Шатровский Jl.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 3. С. 488-491.

59. Островский Г.М. Об одном методе решения вариационных задач// Автоматика и телемеханика. 1962. Т. 23. № 10. С. 1284-1289.

60. Bryson А.Е., Denham W.F. A steepest-ashent method for solving optimum programming problems// Trans. ASME. 1962. V. E29. № 2. P. 247-257.

61. Иванов Ю.Н. Ступенчатая аппроксимация оптимальных управлений// Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28, № 3, С. 528-533.

62. Поляк Б.Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т.4, № 5. С. 791-803.

63. Okamura К. Some mathematical theory of the penalty method for solving optimum control problems// J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1965. V. A2. № 3. P. 317331.

64. Russell D.L. Penalty functions and bounded phase coordinate control// J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1965. V. A2. № 3. P. 409-422.

65. Энеев T.M. О применении градиентного метода в задачах оптимального управления/ / Космические исследования. 1966. Т. 4. № 5. С. 651-669.

66. Okamura К. A simplified steepestassent method.// Trans. ASME. 1966. V. E33. № 2. P. 452-454.

67. Balakrishnam A.V. On a new computing technique in optimal control// SI AM J. Control. 1968. V. 6. № 2. P. 149-173.

68. Срочко В. А. Градиентный метод решения одного класса задач быстродействия// Труды Иркутского ун-та. Иркутск. 1969. Вып. 64. С. 101-108.

69. Поляк Б.Т. Метод сопряженных градиентов в задачах на экстремум// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, № 4. С. 807-821.

70. Геращенко С.М. К вопросу о сходимости дифференциального спуска// Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 12. С. 1271-1272.

71. Будак Б.М., Голубцов Е.Е. О методе штрафных функций для решения задач оптимального управления// В сб. Вычислительные методы и программирование. Вып. 12. Изд-во Московского университета. 1969. С. 143-150.

72. Будак Б.М., Беркович Е.М., Гапоненко Ю.Л. О построении сильно сходящейся минимизирующей последовательности для непрерывного выпуклого функционала// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, № 2, С. 286-299.

73. Райк Э.В. О корректности применения метода штрафных функций// В сб. Поиск экстремума. Томск: Изд-во Томского университета. 1969. С. 253-260.

74. Zadeh L.A., Neustadt L.VV, Balakrishnam A.V. Computing methods in optimization problems. New York, 1969.

75. Геращенко С.М. Сравнение по скорости сходимости некоторых модификаций спуска// Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 10. С. 1810-1817.

76. Шор Н.З. О скорости сходимости метода обобщенного спуска с растяжением пространства// Кибернетика. 1970. № 2. С. 80-85.

77. Единович А.А. Применение метода второго порядка к решению задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т. 10, № 5, С. 1141-1149.

78. Поляк Б.Т. О скорости сходимости метода штрафных функций// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11. № 1. С. 3-11.

79. Поляк Б.Т. Сходимость методов возможных направлений в экстремальных задачах/ / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11, № 4, С. 855-869.

80. Непомнящий П.А. Об одном из способов решения задачи на быстродействие// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11. № 1. С. 79-95.

81. Потапова А.Ф. Об ускорении сходимости метода скорейшего спуска// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11, № 3, С. 749-752.

82. Wong P.J. Dressier R.M., Luenberger D.G. A combined parallel — tangents/penalty function approach to solving trajectory optimization problems// AIAA Journal. 1971. V. 9. № 12. P. 2443-2448.

83. Kameyma Y., Sayama H. Penalty method for optimal control problems with state constraints// Trans. Soc. Instrum. and Contr. End. 1974. V. 10. № 3. P. 272-277.

84. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975.

85. Miele A. Recent advances in gradient algorithms for optimal control problems// J. Optimizat. Theory and Appl. 1975. V. 17. № 5-6, P. 361-430.

86. Попов B.C., Федоренко P.П. О стандартной программе решения задач оптимального управления. М. 1983 (Препринт/АН СССР, Ин-т прикладной математики, № 100.)

87. Jones D.I., Finch J.W. Comparison of optimization algorithms// Int. J. Control. 1984. V. 40. № 4. P. 747-761.

88. Gregory J. Numerical methods for extremal problems in the calculus of variations and optimal control theory// Bull. Am. Math. Soc., 1988. New Ser. 18, № 1. P. 31-34.

89. Завадский В.К. Условно-оптимальное управление в терминальных системах с прогнозированием// Автоматика и телемеханика. 1991, №9, С. 63-72.

90. Хи С., de Jong J.L. Sequential quadratic programming methods for optimal control problems with state constraints// Appl. Math., Ser. B. 1993. V. 8, № 2. P. 163-174.

91. Афанасьев B.H., Тсомаева E.A. Решение задач оптимального управления с модифицированным критерием качества// Автоматика и телемеханика. 1994, № 8, С. 176-186.

92. Hartl R. F., Sethi S. P., Vickson R. G. A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints// SIAM Rev. 1995. V. 37. № 2. P. 181-218.

93. Срочко В.А., Мамонова H.B. Квазиградиентный метод решения задач оптимального управления// Известия высших учебных заведений. Математика, 1996, № 12(415), С. 84-91.

94. Айсагалиев С. А. Оптимальное управление линейными системами с фиксированными концами траектории и ограниченным управлением// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 8. С. 1011-1017.

95. Fraser-Andrews G. Shooting method for numerical solution of optimal control problems with bounded state variables// J. Optimization Theory Appl. 1996. V. 89, № 2, P. 351-372.

96. Kaerkaeinen Т., Raeisaenen T. Abstract estimates of the rate of convergence for optimal control problems// Appl. Math. Optimization. 1997. V. 36, № 1, P. 109123.

97. Pan L.P., Teo K.L. Linear-nonquadratic optimal control problems with terminal inequality constraints// J. Math. Anal. Appl. 1997. V. 272, № 1, P. 176-189.

98. Kelley H.J., Ivopp R.E., Moyer H.G. Successive approximation techniques for trajectory optimization// Proc. of the Symp. on Vehicle System Optimization. N.Y., 1961.

99. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 6. С. 1132-1139.

100. Демьянов В.Ф. Построение программного управления в линейной системе, оптимального в интегральном смысле// Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. № 3. С. 554-558.

101. Пшеничный Б.Н. Численный метод решения некоторых задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 2. С. 292-305.

102. Федоренко Р.П. Приближенное решение некоторых задач оптимального управления/ / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 6. С. 1045-1064.

103. Карпенко М.Ф. Итерационный метод отыскания оптимальных управлений// В сб. Кибернетика и техника вычислений. Киев. Наукова думка. 1964. С. 148— 157.

104. Демьянов В.Ф. Решение некоторых экстремальных задач// Автоматика и телемеханика. 1965. Т. 26. № 7. С. 1153-1160.

105. Демьянов В.Ф. К нахождению оптимальных управлений в задачах автоматического регулирования// Вестник ЛГУ, 1965. Т. 13. Вып. 3. С. 26-35.

106. Пшеничный Б.Н. Об одном алгоритме для решения нелинейной задачи оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 2. С. 236-241.

107. Демьянов В.Ф., Мышков С.К. К решению некоторых оптимальных задач в нелинейных системах автоматического регулирования// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1966, № 2. С. 149-155.

108. Пономарев В.М. Метод последовательной оптимизации в задачах управления// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1967. № 2. С. 3-8.

109. Бейко И.В. Численные методы отыскания оптимальных управления// В сб. "Оптимальные системы. Статистические методы". М.: Наука, 1967. С. 176— 183.

110. Gottlieb R.G. Rapid convergence to optimum solutions using a min-H strategy// AIAA Journal. 1967. V. 5. № 2. P. 322-329.

111. Кузнецов А.Г., Черноусько Ф.Л. Об оптимальном управлении, минимизирующем экстремум функции фазовых координат//Кибернетика. 1968. №3. С. 5055.

112. Васильев О.В. К вопросу о численном решении задачи терминального управления// Труды Иркутского ун-та. Изд-во Иркутского ун-та. 1968.

113. Бейко И.В., Бейко М.Ф. Об одном новом подходе к решению нелинейных краевых задач// Украинский математический журнал. 1968. Т. 20. № 6. С. 723731.

114. Александров В.В. О накоплении возмущений в линейных системах по двум координатам// Вестник Московского университета. Математика, механика. 1968. № 3. С. 67-76.

115. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение. 1969.

116. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 1. С. 14-34.

117. Поляк Б.Т., Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13. № 1. С. 34-46.

118. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Библиотека программ для решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. № 2. С. 367-387.

119. Любушин А. А. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. №6. С. 1414-1421.

120. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимуме// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981. Т. 21. № 6. С. 1376-1384.

121. Любушин А.А. О применении модификации метода последовательных приближений для задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 1. С. 30-35.

122. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Опыт в решении задач оптимального управления па основе необходимых условий для оптимальности типа принципа максимума// Вопросы устойчивости и оптимизация динамических систем. Иркутск, 1983. С. 43-64.

123. Горнов А.Ю., Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек Н.М. Численное решение задач оптимального управления в пакетном режиме// Пакеты прикладных программ. Опыт разработки. Новосибирск, 1985. С. 3-17.

124. Тятюшкин А.И. Численное решение задач оптимального управления// Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск. 1986. С. 208-217.

125. Киселев Ю.Н. Оптимальное управление. М.: МГУ, 1988.

126. Спивак А.К. Численное решение задачи оптимального управления// Докл. Акад. наук Тадж. ССР. 1989. Т. 32. № 12. С. 814-816.

127. Попов В.А. К сходимости метода последовательных приближений в задачах оптимального управления// Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. №12. С. 2068-2077.

128. Киселев Ю.Н. Быстро сходящиеся алгоритмы для линейного оптимального быстродействия// Кибернетика. 1990, Т. 62, № 6. С. 47-57.

129. Васильев О.В., Бельтюков Н.Б., Терлецкий В.А. Алгоритмы оптимизации динамических сР1стем, основанные на принципе максимума// Вопросы кибернетики. М.: Наука, 1991. С. 17-38.

130. Антоник В.Г., Срочко В.А. К решению задач оптимального управления на основе методов линеаризации// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т. 32. № 7. С. 979-991.

131. Срочко В.А. Метод фазовой линеаризации в задачах оптимального управления со свободным правым концом// Известия высших учебных заведений. Математика. 1992. № 7. С. 70-77.

132. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992.

133. Срочко В.А. Метод квадратичной фазовой аппроксимации для решения квадратичных задач оптимального управления// Известия высших учебных заведений. Математика. 1993. № 12. С. 81-88.

134. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В. Оптимальное управление в линейных системах. М.: Наука, 1993.

135. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина// Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН. 1995. Т. 211. С. 3-31.

136. Орлов М.В., Чуркин Е.Б. Численное решение задачи синтеза для задачи быстродействия с линейным входом по управлению. Пакет Синтез-2.0// Вестник Московского университета. Серия 15. 1997. № 2. С. 35-39.

137. Киселев Ю.Н. Построение точных решений для нелинейной задачи оптимального быстродействия специального вида// Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3, Вып. 3. С. 847-868.

138. Dreyfus S. The numerical solution of variational problems// J. Math. Analys. and Applic. 1962. V. 5. № 1. P. 30-45.

139. Багаева Н.Я., Моисеев H.H. Об одном способе численного решения задач оптимального управления// Доклады АН СССР. 1963. Т. 153. № 4. С. 747-750.

140. Вайсборд Э.М. Об одном приближенном методе синтеза оптимального управления// Автоматика и телемеханика. 1963. Т. 24. № 12. С. 1626-1632.

141. Моисеев Н.Н. Методы динамического программирования в теории оптимальных управлений. I. Системы, допускающие использование шкалы управлений// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 3. С. 485-494.

142. Bellman R., Bucy R. Asymptotic control theory// J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1964. V. A2. № 1. P. 11-18.

143. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. I.// Кибернетика. 1965. № 1. С. 45-56.

144. Михалевич B.C. Последовательные правила для опытов с детерминированными исходами. II.// Кибернетика. 1965. № 2. С. 85-89.

145. Моисеев Н.Н. Численные методы теории оптимальных управлений, использующие вариации в пространстве состояний// Кибернетика. 1966. № 3. С. 1-29.

146. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 2. С. 203-217.

147. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение вариационных н краевых задач методом локальных вариаций// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 947-961.

148. Михалевич B.C., Ермольев Ю.М., Шкурба В.В., Шор Н.З. Сложные системы и решение оптимальных задач// Кибернетика. 1967. № 5. С. 29-39.

149. Larson R.E. A survey of dynamic programming computational procedures.// IEEE Trans. Automat. Control. 1967. V. 12. № 6. P. 767-774.

150. Larson R.E. Computational aspects of dynamic programming// IEEE Internat. Couvent. Res. 1967. V. 15. № 3. P. 15-26.

151. Коробов В.И. О сходимости одного варианта метода динамического программирования для задачи оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. № 2. С. 429-435.

152. Мельц И.О. Учет ограничений в задаче оптимизации динамических систем в функциональном пространстве на основе методов нелинейного программирования// Автоматика и телемеханика. 1968. №3. С. 30-36.

153. Федоренко Р.П. К обоснованию метода вариаций в фазовом пространстве для численного решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 6. С. 1396-1402.

154. Подвальный Л.Д. Об одном численном методе решения задачи оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 2. С. 300-314.

155. Ватель И.А., Кононенко А.Ф. Об одной численной схеме решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т. 10. № 1. С. 67-73.

156. Казбан A.M. Прямой метод в пространстве состояний в задачах оптимального управления// Труды Воронежского университета. 1971. Вып. 4. С. 84-91.

157. Lojasiewicz S., jun. The structure of optimal solutions in non-linear control systems// Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 1984. V. 32. P. 485-499.

158. Nguyen D., Hoang X.P. Solving a class of optimal control problems which are linear in control variable by the method of orienting curves// Acta Math. Vietnam. 1992. V. 17. № 2. P. 115-134.

159. Bulirsch, R.(ecL); Miele, A.(ed.); Stoer, J.(ed.); Well, K.H.(ecl.) Optimal Control. Calculus of variations, optimal control theory and numerical methods// ISNM. International Series of Numerical Mathematis. V. 111. Basel: Birkhaeuser, 1993.

160. Nguyen D. Solving a class of linear optimal control problems with several control variables by the methjcl of orienting curves// Optimization. 1994. V. 30. № 3. P. 269-281.

161. Seywald H., Kumar R. R. Some recent developments in computational optimal control// IMA Vol. Math. Appl. 1997. V. 93. P. 203-233.

162. Neustadt L.W. Synthesizing time optimal control systems// J. Math. Analys. and Applic. 1960. V. 1. № 3-4. P. 484-493.

163. Eaton J.H. An iterative solution to time-optimal control// J. Math. Analys. and Applic. 1962. V. 5. № 2. P. 329-344.

164. Демьянов В.Ф. К построению оптимальной программы в линейной системе// Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25. № 1. С. 3-11.

165. Кнрнн Н.Е. К решению общей задачи линейного быстродействия// Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25. № 1. С. 16-22.

166. Пшеничный Б.Н. Численный метод расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 1. С. 52-60.

167. Гноенский J1.C., Мовшович С.М. О применении методов математического программирования к задаче оптимального регулирования// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1964. № 5. С. 16-29.

168. Калинин В.Н. К теории приближенного синтеза оптимальных управлений// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1964. № 5. С. 39-44.

169. Fadden E.J., Gilbert E.G. Computational aspects of the time-optimal control problem. Comput. Methods Optimizat. Problems. New York-London. Acad. Press. 1964.

170. Knudsen H.K. An iterative procedure for computing time optimal control// IEEE Trans. Automat. Control. 1964. V. Ac-9. № 1. P. 23-30.

171. Алешков Ю.З. Метод последовательных приближений для решения вариационных задач механики полета// Автоматика и телемеханика. 1965, Т. 26, № 10, С. 1657-1663.

172. Fancher P.S. Iterative computation procedures for an optimum control problem// IEEE Trans. Automat. Control. 1965. V. 10. № 3. P. 346-348.

173. Габасов P., Кириллова Ф.М. Построение последовательных приближений для некоторых задач оптимального управления// Автоматика и телемеханика. 1966. Т. 27. № 2. С. 5-17.

174. Пшеничный Б.Н. Численные методы в линейных задачах оптимального управления// В сб. "Сложные системы управления". Киев. Наукова думка. 1966. С. 52-60.

175. Вайсборд Э.М. Метод последовательного проектирования для приближенного решения одной задачи оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 971-980.

176. Рабинович А.В. Об одном классе методов итерационного решения задач быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики.1966. Т. 6. № 3. С. 433-445.

177. Пшеничный Б.Н. Численные методы в линейных задачах оптимального управления// В сб. "Оптимальные системы. Статистические методы". М.: Наука.1967. С. 50-56.

178. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Д.: Изд-во ЛГУ, 1968.

179. Пшеничный Б.Н., Соболенко J1.A. Ускоренный метод решения задачи линейного быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. № 6. С. 1343-1351.

180. Дубовицкий А.Я., Рубцов В.А. Линейные быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. № 5. С. 937-949.

181. Бондаренко В.И., Филимонов Ю.М. О применении линейного программирования к экстремальным задачам теории управления// Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. № 1. С. 147-153.

182. Larson V.H. Minimum time control by time interval optimization// Internat. J. Control. 1968. V. 7. № 4. P. 381-394.

183. Plant J.B. Some iterative solutions in optimal control. Cambridge: The M.I.T. Press. 1968.

184. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К задачам управления при стесненных координатах// Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. № 4. С. 705-719.

185. Barr R.O., Gilbert E.G. Some efficient algorithms for a class of abstract optimization problems arising in optimal control// IEEE Trans. Automat. Control. 1969. V. 14, № 6. P. 640-652.

186. Гиндес В.Б. Один метод последовательных приближений для решения линейных задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т. 10. № 1. С. 216-223.

187. Формальский A.M. Задача быстродействия в системах с ограниченными по величине и импульсу управляющими силами// Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. Вып. 5. С. 836-849.

188. Spingarn К. Some numerical aspects of optimal control// J. Franklin Inst. 1970, V. 289, № 5, P. 351-359.

189. Spingarn K. A comparison of numerical methods for solving optimal control problems.// IEEE Trans. Aerospace and Electron. Syst. 1971. V. 7. № 1. P. 73-78.

190. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. К численному решению задач линейного быстродействия// Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та. 1973. Вып.2. С. 57-69.

191. Лотов А.В. Численный метод исследования непрерывности времени быстродействия/ / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13. № 5. С. 1315-1318.

192. Башков Е.А. Алгоритм решения задачи быстродействия по амплитуде и "мере" управления// Теория оптимальных процессов. Киев. 1974. С. 15-23.

193. Левин А.Ю. Линейные оптимальные быстродействия и центрированные сечения// Вестник Ярославского ун-та. 1975. Вып. 12. С. 87-93.

194. Белолипецкий А. А. Численный метод решения линейной задачи оптимального управления сведением ее к задаче Коши// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. Т. 17. № 6. С. 1380-1386.

195. Горлов В.М. Метод решения задачи оптимального быстродействия// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1977. № 3. С. 176-181.

196. Тятюшкин А.И. Алгоритм поиска оптимального управления в задаче линейного быстродействия// Алгоритмы и программы решения задач линейной алгебры и математического программирования. Иркутск. 1979. С. 115-128.

197. Дюркович Е. Численный метод решения линейных задач быстродействия с оценкой точности// Доклады АН СССР. 1982. Т. 265. № 4. С. 793-797.

198. Chen X., Hwang L. The relationship between the stability and the optimality of linear systems. Another rind of the inverce problem of linear optimal control// Appl. Math. Mech. 1985. V. 6. P. 149-156.

199. Киселев Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. М.: МГУ, 1986.

200. Giec Т. On an interval computational method for finding the reachable set in time-optimal control problems// Lect. Notes Comput. Sci. 1986. V. 212. P. 57-65.

201. Орлов M.B. Линейная задача быстродействия: численный алгоритм// Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1986. № 4. С. 41-46.

202. Gnevko S.V. A numerical method for solving the linear time optimal control problem// Int. J. Control. 1986. V. 44. P. 251-258.

203. Ledzewicz-Kowalewska U. Application of some specification of Dubovitskij-Milyutin method to problems of optimal control// Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 1988. V. 12. № 2. P. 101-108.

204. Hoang X. P. Solution of some high-dimensional linear optimal control problems by the method of region-analysis// Int. J. Control. 1988. V. 47. № 2. P. 493-518.

205. Коробов В.И., Скляр Г.М. Оптимальное быстродействие и тригонометрическая проблема моментов// Известия АН СССР. Серия математическая. 1989. № 4. С. 868-885.

206. Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Численные алгоритмы линейных быстродействий// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31. № 12. С. 1763-1771.

207. Rau V. G. Quadratic weights for optimal control of linear systems// Adv. Model. Simul. 1991. V. 22. № 3. P. 35-54.

208. Nagahisa Y. A computational algorithm for solving optimal control problems with control and terminal equality constraints// Numer. Funct. Anal. Optimization.1994. V. 15. № 3-4. P. 391-416.

209. Захарченко B.C., Срочко В.А. Метод приращений для решения квадратичных задач оптимального управления// Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С. 145-154.

210. Elnagar G.N., Razzahi М. Solution of linear two-point boundary value problems via a collacation method and application to optimal control// Int. J. Comput. Math.1995. V. 55. № 1-2. P. 105-111.

211. Caetano M.A.L., YoneyamaT. New iterative method to solve optimal control problems with terminal constraints// J. Guad. Control Dyn. 1996. V. 19. № 1. P. 262-264.

212. Elnagar G.N., Razzahi M. A collocation-type method for linear quadratic optimal control problems// Optim. Control Appl. Methods. 1997. V. 18. № 3. P. 227-235.

213. Альбрехт Э.Г. Об управлении движением нелинейных систем// Дифференциальные уравнения. 1966. Т. 2. № 3. С. 324-334.

214. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. Конечно разностный метод в задачах оптимального управления// Кибернетика. 1967. № 3. С. 1-20.

215. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968.

216. Черноусько Ф.Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром// Прикладная математика и механика. 1968. Т. 32. № 1. С. 15-26.

217. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969.

218. Альбрехт Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем// Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 3. С. 430-442.

219. Moiseev N.N., Shmidt A.G. Asymptotic methods in theory of optimum correction for systems with slowly varying parameters// J. Optimizat. Theory and Applic. 1969. V. 3. № 3. P. 141-152.

220. Jawnuti P., Kokotovic P. Singular perturbation methods for near optimum design of high-order nonlinear systems// Automatica. 1969. V. 5. № 6. P. 773-779.

221. Baldwin J.F., Williams J.H. The use of a methods of perturbations in the sinthesis of closed-loop optimal control laws for nonlinear systems// Automatica. 1969. V. 5. № 3. P. 1357-1367.

222. Евтушенко Ю.Г. Приближенный расчет задач оптимального управления// Прикладная математика и механика, 1970. Т. 34. № 1. С. 95-104.

223. Williamson W.E. Use of polynomial approximations to calculate suboptimal controls// AIAA J. 1971. V. 9. № 11, P. 2271-2273.

224. Акуленко JT.Д. Исследование некоторых оптимальных систем методом усреднения// Прикладная математика и механика, 1974. Т. 38. № 3. С. 422-432.

225. Акуленко Л.Д., Черноусько Ф.Л. Метод осреднения в задачах оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. Т. 15. № 4. С. 869-882.

226. Акуленко Л.Д. Оптимальное управление движением квазилинейной колебательной системой при помощи малых сил// Прикладная математика и механика, 1975. Т. 39. № 6. С. 995-1005.

227. Колмановский В.Б. Применение метода возмущений к некоторым задачам оптимального управления// Прикладная математика и механика, 1975. Т. 39. № 3. С. 788-797.

228. Колмановский В.Б. Оптимальное управление некоторыми нелинейными системами с малым параметром// Дифференциальные уравнения, 1975. Т. 11. № 9. С. 1584-1595.

229. Майзенберг Т.Л. Метод возмущений в задачах оптимального управления// Автоматика и телемеханика. 1975. Т. 26. № 10. С. 26-35.

230. Плотников В.А. Метод частичного усреднения в задачах терминального управления// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. №2. С. 376-379.

231. Любушин А.А. Сходимость метода малого параметра для слабо управляемых оптимальных систем// Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42. № 3. С. 569-573.

232. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

233. Дмитриев М.Г. Итерационное решение задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями// Доклады АН СССР. 1983. Т. 272. № 2. С. 281-284.

234. Belokopytov S.V., Dmitriev M.G. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions// Syst. Control Lett. 1986. V. 8. P. 129-135.

235. Акуленко Jl.Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987.

236. Perisic D.M. The synthesis of optimal control of nonlinear systems. I.// Bull. Appl. Math. 1988. V. 51. № 616. C. 331-342.

237. Scheiber E. An adaptive precision algorithm for numerical solution of optimal control problems by successive approximation method// Probt. Control Inf. Theory. 1989. V. 18. № 5. P. 339-358.

238. Nagahisa Y., Sakawa Y. A new computational algorithm for solving optimal control problems// Numer. Funct. Anal. Optimization. 1991. V. 11. № 9/10. P. 10191042.

239. Scheiber E. A computer program to solve optimal control problems// Bull. Transylv. Univ. Drasov, Ser. С 35. 1993. P. 51-63.

240. Chen Y., Huang J. A new computational approach to solving a class of optimal control problems// Int. J. Control. 1993. V. 58. № 6. P. 1361-1383.

241. Chen Y., Huang J. A numerical algorithm for singular optimal control synthesis using continuation methods// Optim. Control Appl. Methods. 1994. V. 15. №4. P. 223-236.

242. Кротов В.Ф. Приближенный синтез оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25. № 11. С. 1521-1527.

243. Смольников Л.П. Синтез квазиоптимальных систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1967.

244. Sannomiya N. Construction of suboptimal nonlinear regulators // Met. Fac. Eng. Kyoto Univ. 1972. V. 34. № 3. P. 289-300.

245. Matuszewski J.P. Suboptimal terminal feedback control of nonstationary nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. V. 18. № 3. P. 271-274.

246. Параев Ю.И., Смагин В.И. Задачи упрощения структуры оптимальных регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1975. № 6. С. 180-183.

247. Kabzinski J. Optimal control with a bounded number of switchings. I: Formulation of main results. II: Derivation of necessary conditions // Bull. Pol. Acad. Sci., Tech. Sci. 1984. V. 32. P. 341-346, 347-353.

248. Lee H.W.J., Teo K.L., Rehbock V. Sub-optimal local feedback control for a class of nonlinear control problem // Dyn. Contin. Discrete Impulsive Syst. 1995. V. 1. № 1. P. 37-51.

249. Teo K.L., Lee H.W.J., Rehbock V. Control parametrization enhancing technique for time optimal control problems // Dyn. Contin. Discrete Impulsive Syst. 1998. V. 4. № 4. P. 617-631.

250. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемой системы//Прикладная математика и механика. 1981. Т. 45. Вып. 1. С. 11-19.

251. Бедров Я.А., Канарев Л.Е. Метод последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. № 4. С. 163-168.

252. Павлов А.А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. Метод фазового пространства. М.: Наука, 1966.

253. Мороз А.И. Синтез оптимального по времени управления для линейных систем третьего порядка. I—III. // Автоматика и телемеханика. 1969. № 5. № 7. № 9.

254. Шендрик B.C. Синтез оптимальных управлений методом прогнозирующей модели // Доклады АН СССР. 1975. Т. 224. № 3. с. 561-562.

255. Федосеев А.С. Алгоритм оптимального управления с обобщенной прогнозирующей моделью // Автоматика и телемеханика. 1977. № 7. С. 16-21.

256. Брикман М.С. Синтез оптимального управления в линейных детерминированных системах// Автоматика и телемеханика. 1980. №2. С. 11-20.

257. Мороз А.И. Конструктивный синтез оптимальных по быстродействию законов управления// Автоматика. 1990. № 1. С. 66-69.

258. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Построение оптимальных управлений типа обратной связи в линейной задаче // Доклады АН СССР. 1991. Т. 320. № 6. С. 1294-1299.

259. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Оптимизация линейной системы в режиме реального времени // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1992. № 4. С. 3-19.

260. Добрынина И.С., Черноусько Ф.Л. Ограниченное управление линейной системой четвертого порядка // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1992. № 6. С. 94-100.

261. Белоусова Е.Р., Зарх М.А. Синтез оптимального управления в линейной задаче быстродействия четвертого порядка // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 189-197.

262. Габасов Р., Костюкова О.И. Синтез оптимальных обратных связей для систем с внутренними ограничениями на управление. I. Оптимальная обратная связь и определяющие уравнения оптимального регулятора // Автоматика и телемеханика. 1997. № 2. С. 18-26.

263. Габасов Р., Любочкин А.В. Синтез регулятора для одной линейно-квадратичной задачи оптимального управления// Автоматика и телемеханика. 1997. № 9. С. 3-14.

264. Черноусько Ф.Л., Шматков A.M. Оптимальное по быстродействию управление в одной системе третьего порядка // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 723-731.

265. Альбрехт Э.Г., Ермоленко Е.А. Синтез оптимального по быстродействию управления в линейных системах // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. № 11. С. 1443-1450.

266. Карасева Г.Л. Метод решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями и движущимся начальным состоянием// Вестник Белорусского гос. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. 1997. № 1. С. 48-52.

267. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимальное позиционное подвижное управление линейными динамическими объектами // Известия РАН. Теория п системы управления. 1998. № 3. С. 40-47.

268. Зеликин М.И., Зеликина Л.Ф. Структура оптимального синтеза в окрестности особых многообразий для аффинных по управлению задач // Математический сборник. 1998. Т. 189. № 10. С. 33-52.

269. Meerek L.D. Time optimal feedback control for small disturbances // IEEE Trans. Automat. Control. 1978. V. 23. № 6. P. 1095-1099.

270. Pelczewski J. Computation of the time-optimal control for some linear systems subject to disturbances // Control Cybern. 1989. V. 18. № 3/4. P. 31-42.

271. Цыпкин Я.З. Синтез робастных систем для управляемых объектов при условиях ограниченной неопределенности// Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 139-159.

272. Ten I.G. Synthesis of optimal control under uncertainty in models // Interval Comput. 1992. № 4(6). P. 100-106.

273. Lee H.W.J., Teo K.L., Rehbock V., Jennings L.S. Control parametrization enhancing technique for time optimal control problems // Dyn. Syst. Appl. 1997. V. 6. № 2. P. 243-261.

274. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

275. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974.

276. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1987.

277. Ащепков Л.Т. Субоптимальная стабилизация линейной системы // Автоматика и телемеханика. 1998. № 12. С. 14-21.

278. Athans М. Minimum fuel feedback control systems: second order case // IEEE Trans. Appl. Ind. 1963. V. 82. P. 8-17.

279. Flugge-Lotz I., Marbach H. The optimal control of some attitude control systems for different performance criteria // J. Basic Eng. 1963. V. 85. P. 165-176.

280. Meditch J.S., Neustadt L.W. An application of optimum control to midcourse guidance // Proceding Second IFAC Congress. Paper 427. Basle. 1963.

281. Athanassiades M. Optimal control for linear time invariant plants with time-, fuel-, and energy constraints // IEEE Trans. App. Ind. 1963. V. 81. P. 321-325.

282. Foy W.H. Fuel minimization in flight vehicle attitude control // IEEE Trans. Automat. Control. 1963. V. AC-8. P. 84-88.

283. Милыптейн Г.Н. Применение метода последовательных приближений для решения одной оптимальной задачи // Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25. № 3. С. 321-329.

284. Snow D.R. Singular optimal controls for a class of minimum effort problems // J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1964. V. A2. No. 2.

285. Sarles M.D. A time-fuel optimal controller // IEEE Trans. Automat. Control. 1966. V. 11. № 2.

286. Aoki M., Gido J.F. Optimal and suboptimal policies for generalized minimum-effort control of second-order systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1965. V. 10. № 3.

287. Hales K.A., Flugge-Lotz I., Lange B.D. Minimum-fuel attitude control of a spacecraft by an extended method of steepest-descend j j Internat. J. Non-linear Mech. 1968. V. 3. № 4. P. 413-438.

288. Heinen J. A. An optimal control theory solution a practical minimum fuel consumption problem // Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 1976. V. 7. P. 105-111.

289. Ryah E.P. Synthesis of time-fuel-optimal control: a second-order example // Int. J. Control. 1980. V. 31. P. 379-387.

290. Ragab M.Z. Time fuel optimal decoupling control problem // Adv. Model. Simul. 1990. V. 22. № 2. P. 1-16.

291. Redmond J., Silverberg L. Fuel consumption in optimal control // J. Guid. Control Dyn. 1992. V. 15. № 2. P. 424-430.

292. Redmond J., Silverberg L. An exact solution to the fuel optimal propulsive control of a tutorial structure // J. Sound Vib. 1994. V. 171. № 1. P. 23-33.

293. Singh T. Fuel/time optimal control of the benchmark problem //J. Guid. Control Dyn. 1995. V. 18. № 6. P. 1225-1231.

294. Иванов В.А., Кожевников С.А. Одна задача синтеза оптимального по расходу топлива управления линейными объектами второго порядка с производными управления// Известия РАН. Теория и системы управления. 1996. № 4. С. 77-83.

295. Sachs G., Dinkelmann М. Reduction of coolant fuel losses in hypersonic flight by optimal trajectory control // J. Guicl. Control Dyn. 1996. V. 19. № 6. P. 12781284.

296. Liu S.-W., Singh T. Fuel/time optimal control of spacecraft maneuvers // J. Guid. Control Dyn. 1997. V. 20. № 2. P. 394-397.

297. Dewell L.D., Speyer J.L. Fuel-optimal periodic control and regulation in constrained hypersonic flight // J. Guid. Control Dyn. 1997. V. 20. № 5. P. 923-932.

298. Альбрехт Э.Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25. Вып. 5. С. 836-844.

299. Мышков С.К. Оптимальная стабилизация программных движений // Вестник Ленинградского ун-та. Сер. математическая. 1967. Т. 19. № 4. С. 104-113.

300. Миронов В.И. Стабилизация движения нелинейной системы по заданной траектории// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1968. №4. С. 137-143.

301. Igbo L.A. On optimal asymptotically stabilizing control // Int. J. Contr. 1973. V. 18. № 3. P. 607-631.

302. Симаков И.П. О некорректности некоторых методов синтеза оптимальных систем автоматического управления, подверженных действию случайных возмущений // Автоматика и телемеханика. 1974. № 3. С. 186-189.

303. Wolovich W.A. Multivariable system synthesis with step disturbance rejection // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. V. 19. № 2. P. 127-130.

304. Акуленко А.Д., Колмановский В.Б. Об одной модельной задаче управления движением твердого тела в атмосфере при случайных возмущениях // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1975. № 2.

305. Tret'yakov V.E. Synthesis of optimal guaranteeing control // Probl. Control Inf. Theory. 1988. V. 17. № 4. P. 207-221.

306. Peiczewski J. Computation of the time-optimal control for some linear systems subject to disturbances // Control Cybern. 1989. V. 18. № 3/4. P. 31-42.

307. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Способ оптимального управления движением динамической системы при постоянно действующих возмущениях // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 854-863.

308. Третьяков В.Е., Целищева И.В., Шишкин Г.И. Оптимальное управление системами с неполной и неточной информацией / / Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 2. С. 176-187.

309. Голынтейн Е.Г. Выпуклое программирование. М.: Наука, 1970.

310. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

311. Болтянский В.Г. Оптимальные процессы с параметрами // Доклады АН Узб.ССР. 1959. № 10. С. 9-13.

312. Емельянов С.В. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970.

313. Тимофеев А.В. Параметрическая оптимизация программных движений и адаптивное терминальное управление // Доклады АН СССР. 1981. Т. 256. № 2. С. 310.

314. Костюкова О.И. Исследование решений семейства линейных задач оптимального управления, зависящих от параметра// Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 2. С. 197-203.

315. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972.

316. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971.

317. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы)// Автоматика и телемеханика. 1977. № 3. С. 5-50.

318. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. JL: Изд-во ЛГУ, 1981.

319. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems// SIAM J. Control. 1963. V. 1. P. 152-192.

320. Калман P. Об общей теории систем управления// Труды 1-ого Конгресса ИФАК. М.: Наука, 1961. С. 260-266.

321. La Salle J.P. Time optimal control systems// Proc. Nat. Ac. USA. 1959. V. 45. № 4. P. 573-577.

322. Попов B.M. Гиперустойчивость автоматических систем. M.: Наука, 1970.

323. Емельянов С.В., Федотова А.И. Построение оптимальных систем автоматического регулирования второго порядка с использованием предельных значений коэффициентов усиления элементов контура регулирования// Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21. № 1.

324. Питтель Б.Г. О некоторых задачах оптимального управления. I, II.// Автоматика и телемеханика. 1963. Т. 24. № 9, № 11.

325. Таран В.А. Применение нелинейной коррекции и переменной структуры для улучшения динамических свойств систем автоматического регулирования// Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25. № 1.

326. Петров Б.Н., Емельянов С.В., Костылева Н.Е. Об управлении линейными объектами с переменными параметрами// Доклады АН СССР. 1964. Т. 155. № 1. С. 61-64.

327. Барбашин Е.А., Геращенко Е.И. О стабилизации систем регулирования // Прикладная математика и механика. 1964. № 4. С. 761-765.

328. Бакакин А.В., Бермант М.А., Езеров В.Б. Применение систем с переменной структурой для стабилизации объекта с изменяющимися параметрами при наличии ограничений на перемещение регулирующего органа.// Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25. № 7.

329. Александров В.М. Численное решение задачи линейного быстродействия// Фундаментальная н прикладная математика. 2000. Т. 6. № 1. С. 23-42.

330. Александров В.М. Последовательный синтез оптимального по быстродействию управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39. № 9. С. 1464-1478.

331. Александров В.М. Сходимость метода последовательного синтеза оптимального по быстродействию управления//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39. № 10. С. 1650-1661.

332. Александров В.М. Приближенное решение линейной задачи на минимум расхода ресурсов// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39. № 3. С. 418-430.

333. Александров В.М. Приближенное решение задачи линейного быстродействия// Автоматика и телемеханика. 1998. № 12. С. 3-13.

334. Aleksandrov V.M. Optimal Control of a System under Disturbance// Proceedings of International Workshop" Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization11. Chelyabinsk: Chelyabinsk State University. 1998. P. 19-23.

335. Александров В.М. Численный метод решения задачи линейного быстродействия// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. № 6. С. 918-931.

336. Александров В.М. Необходимые и достаточные условия оптимального управления нелинейной системой по линейной модели// Оптимизация, Управление, Интеллект. 1997. № 2. С. 109-118.

337. Александров В.М. Квазиоптимальное управление подвижными объектами // Сб."Исследование операций", Новосибирск: ИМ СО РАН, 1996, № 14. С. 5-18.

338. Александров В.М. Оптимальное управление динамическими системами// Сборник трудов Всероссийской конференции "Математические проблемы экологии", Новосибирск: ИМ СО РАН, 1994. С. 133-139.

339. Александров В.М. Решение задач оптимального управления на основе метода квазиоптимального управления// Труды Ин-та математики СО АН СССР "Модели и методы оптимизации", Новосибирск: Наука, том 10, 1988. С. 18-54.

340. Александров В.М. Приближенное решение задач оптимального управления// "Проблемы кибернетики", М.: Наука, 1984, Вып.41. С. 143-206.

341. Aleksandrov V.M. Quasioptimal Control and Stabilization at Random Perturbations// Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 22: Optimization Techniques. Springer—Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980. P. 270-279.

342. Aleksandrov V.M. Approximate Solution of Optimal Control Problems// Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 18: Modelling and Optimization of Complex System. Springer—Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979. P.147-156.

343. Александров В.М. Об одном подходе приближенного решения задач оптимального управления// Сб. "Оптимизация динамических систем". Минск: Изд-во БГУ, 1978. С. 7-13.

344. Aleksandrov V.M. Large-Scale Dynamic System Control// Proceedings of the Second Formator Symposium on Mathematical Methods for the Analysis of Large Scale System. Academia Prague, 1975. P.197-212.

345. Александров В.М. Квазиоптимальные процессы в автоматических системах// Известия СО АН СССР. Серия технических паук, 1975, Вып.З, № 13. С. 125133.

346. Александров В.М. Карлсон Н.Н., Нестеров А.А., Филиппова Н.П. Динамическая коррекция движения пучка частиц в ускорителях// Автометрия, 1972, № 1. С. 37-46.

347. Александров В.М. Квазиоптималыюе управление сложными динамическими системами// Сб. "Оптимальные и самонастраивающиеся системы". Новосибирск, 1971. С. 3-16.

348. Александров В.М., Нестеров А.А. Об одном алгоритме управления, близкого к оптимальному, для систем n-го порядка// Автоматика и телемеханика, 1969, № 3. С. 5-14.

349. Александров В.М., Нестеров А. А. Оптимальное по быстродействию управление структурой динамической системы и регулирующим воздействием// Сб. "Многосвязные и инвариантные системы. Нелинейные и дискретные системы". М.: Наука, 1968.

350. Александров В.М., Нестеров А.А. Применение оптимального управления для улучшения характеристик аналоговых измерительных приборов// Автометрия, 1967, № 6. С. 105-112.

351. Александров В.М., Нестеров А.А. Оптимальная система с управляемой обратной связью// Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1966, № 2. С. 166-172.

352. Александров В.М., Нестеров А.А. Построение линий переключения для оптимальных по быстродействию систем с управляемой структурой// Известия СО АН СССР. Серия технических наук, 1966, Вып.1, № 2. С. 87-95.

353. Александров В.М. Выбор параметров измерительных систем при оптимальном управлении// Автометрия, 1965, № 4. С. 17-21.

354. Александров В.М. Оптимальные процессы в линейных измерительных системах// Автометрия, 1965, № 2. С. 77-83.

355. Александров В.М., Нестеров А.А. Оптимальная система с управляемой структурой// Известия Сибирского отделения АН СССР. Серия технических наук. 1965, Вып. 2. № 6. С. 13-21.

356. Александров В.М., Матиенко Б.Г., Нестеров А.А. Уменьшение времени установления показаний для линейных измерительных систем п-го порядка// Известия Сибирского отделения АН СССР. Серия технических наук. 1964, Вып. 1. № 2. С. 43-53.

357. Александров В.М., Громилин Г.И., Карлсон Н.Н., Карлсон И.С., Касторский Л.Б., Кузнецов С.А., Литвинцев В.И., Ляпунов М.М., Покровский Н.Н. "Планшет" — устройство ввода-вывода графической информации // Автометрия, 1976, № 1. С. 47-51.

358. Александров В.М., Карлсон Н.Н., Филиппова Н.П., Нестеров А.А. Оптимальное управление приводом в системе графического вывода // Автометрия, 1973, № 2. С. 93-101.

359. Александров В.М. Оптимальное управление движением геофизической ракеты// Вопросы оборонной техники, 1996, серия IX, вып. 3-4(216-217). С. 7-12.

360. Начальник управления ВАК РоссииfV.oz-f/W-/^1. Г r\ " О1.чрС Rji^-^n"LfJ ^Цлспс^хижуЁ'ОЬ