автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмическое и программное обеспечение прямого метода формирования программных управлений рабочими режимами орбитального телескопа

09-5

рллм б ¿1

£ Моллф » /»Ф Л

1898

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова

На Праъах рукОПИСИ

ВОРОНОВ ВСЕВОЛОД АЛЕКСАНДРОВИЧ

АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОГРАММНЫХ УПРАВЛЕНИЙ РАБОЧИМИ РЕЖИМАМИ ОРБИТАЛЬНОГО ТЕЛЕСКОПА

Специальность: 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2009

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН).

Научный руководитель

доктор технических наук ДРУЖИНИН Эдуард Иосифович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук ЯДЫКИН Игорь Борисович

кандидат технических наук НИКИФОРОВ Виталий Меркурьевич

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики

Защита состоится " 5 11 октября 2009 г. в 14 час. _00_ мин. на заседании Диссертационного Совета № 1 (Д 002.226.01) при Институте проблем управления РАН, по адресу 117806, г. Москва, ул. Профсоюзная, д.65.

Телефон Совета 334-93-29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЛУ РАН

Автореферат разослан «_»_2009 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор технических наук

В. К. Акинфиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Вывод оптического телескопа в космос ознаменовал новую эру в астрономии. Важнейшим преимуществом орбитального телескопа (ОТ) перед наземными инструментами при проведении астрофизических исследований является способность ОТ к регистрации слабых космических объектов. При наземном наблюдении подобная чувствительность телескопов недостижима.

Настоящая диссертация посвящена алгоритмическому и программному обеспечению расчета таких программных управлений, реализация которых обеспечит надежность и необходимое качество исполнения основных рабочих режимов телескопа - режимов программного наведения телескопа на объект съемки и его последующего программного сканирования. Трудности формирования указанных законов управления связаны с особенностями исполнительных органов, используемых при управлении большими космическими конструкциями, - силовых гироскопов.

Актуальность исследованных в диссертации проблем в области динамики и управления орбитальными телескопами в настоящее врем? не менее остра, чем в начальный период работ по созданию подобных автоматических объектов (высокоорбитального телескопа "Спика" (космический аппарат "Астрон", апогей 185 тыс. км), большой орбитальный телескоп "Аракс-Аркон" с диаметром главного зеркала 2.4 м (апогей 2750 км)). В настоящее время эксплуатируются низколетящие аппараты наблюдения за земной поверхностью, создаваемые на предприятии ЦСКБ-ПРОГРЕСС. Взамен вышедшего из эксплуатации телескопа "Араке" сейчас создается новый орбитальный телескоп с повышенными требованиями к исполнению рабочих режимов и качеству снимков.

Таким образом, полученные диссертантом новые численные методы расчета высокопроизводительных законов высокоточного программного управления орбитальных телескопов в режимах перенацеливания и съемки протяженных объектов несомненно актуальны и важны при проектировании таких космических аппаратов и при их эксплуатации.

Цель диссертационной работы

Цель работы заключалась в разработке численной реализации нового прямого метода1 формирования программных управлений для решения краевых двухточечных и маршрутных задач для нелинейных динамических объектов. В приложении к задаче управления ориентацией космического аппарата с гиросиловыми исполнительными органами этот метод "снимает" проблему преодоления сингулярных состояний гиросистемы, возникающую при использовании обратного метода динамики. Прямой метод был разработан для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида. Динамические модели космических аппаратов обладают важной особенностью: в пространстве состояний этих моделей присутствует инвариантное многообразие. Оно обязано своим происхождением как динамической части модели, так и кинематической: обе подсистемы имеют первые интегралы описывающих их уравнений движения. Это обстоятельство существенно осложняет задачу численной реализации прямого метода. Вычисленные по этой технологии программные законы управления должны обеспечить высокопроизводительное и высокоточное исполнение силовыми гироскопами рабочих режимов телескопа.

Задачи исследования

- разработать в качестве численной реализации нового прямого метода вычислительный алгоритм расчета программных управлений перенацеливанием (наведением на сканируемый объект) оптической оси телескопа, не требующих перестройки гиросистемы при попадании ее в особые положения во время исполнения рабочего процесса;

- разработать общий метод расчета программных управлений движением нелинейных систем по заданному маршруту; на его основе разработать прямые алгоритмы и их программную реализацию для расчета законов программного сканирования оптической оси телескопа по предписанному маршруту на подстилающей поверхности Земли при исполнении законов управления силовыми гироскопами.

1 Прямой метод решения двухточечных краевых задач был предложен в работе: Дружинин Э.И., Дмитриев A.B. К теории нелинейных краевых задач управляемых систем / В кн.: Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение. 1986.

Методы исследования

Исследования велись с привлечением различных разделов современной теории управления и математики (методов пространства состояний в теории управления, вычислительных методов, линейной алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матриц, функционального анализа и некоторых других разделов современной математики). Теоретические исследования были подтверждены численными экспериментами, проводившимися с целью отбора среди найденных вариантов решений, наиболее подходящих с позиции прикладной значимости и реализуемости, а также с целью количественных оценок приближенных решений.

На защиту выносятся

- теоретически обоснованная, алгоритмически и программно обеспеченная технология расчета программных управлений для двухточечных краевых и маршрутных задач, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с линеаризуемой правой частью;

- модификации основной формы прямого алгоритма и их оригинальные численные реализации для моделей жесткого космического телескопа;

- оригинальный "редуцированный прямой алгоритм" решения нелинейных краевых задач высокой размерности с расчетом программных управлений по редуцированной линеаризованной модели более низкого порядка, чем исходная нелинейная модель, по которой перестраивается линеаризованная модель;

- численная реализация прямого алгоритма для модели нежесткого космического телескопа.

Научная новизна

Создан новый перспективный алгоритмически и программно обеспеченный падежный в практическом использовании инструмент расчета программных управлений для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида, разрешенных относительно производной.

Разработан важный для приложений модифицированный прямой алгоритм - "редуцированный" алгоритм, распространяющий прямой

метод на краевые и маршрутные задачи для динамических моделей с высокой размерностью пространства состояний.

Практическая значимость

Разработанный вычислительный инструмент широкого назначения при применении к динамическим моделям космических аппаратов таких, как орбитальный телескоп, позволил разрешить трудную проблему преодоления сингулярных состояний силовых гиросистем, традиционно используемых в качестве исполнительных органов системы управления большими космическими аппаратами.

Личный вклад соискателя

Диссертация выполнена единолично, в ней представлены результаты, принадлежащие лично автору. Представленные в главах 2 и 3 результаты в части модернизации прямого метода, полученные совместно с научным руководителем соискателя Э.И. Дружининым, неделимы. В публикациях соискателя и опубликованных докладах на конференциях совместно с его научным руководителем Э.И. Дружининым диссертанту принадлежат все модернизации алгоритмов, их программное обеспечение и численное тестирование модифицированного прямого метода на примерах, опубликованных в этих работах. Из работ с другими соавторами в диссертации использованы только личные результаты соискателя.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на VI (2004 г.), VIII (2006 г.), IX (2007 г.) конференциях молодых ученых ЦНИИ «Электроприбор», СПб.; XI (2004 г.), XIII (2006 г.), XIV (2007 г.) Санкт-Петербургских международных конференциях по интегрированным навигационным системам; IX Международной Четаевской конференции, ИДСТУ СО РАН, г. Иркутск, 2007 г.; I Международной конференции "Космос - человечеству", г. Королев, 2008 г., XXVI конференции памяти Н. Н. Острякова, СПб, 14-16 октября 2008 г., а также на семинарах ИДСТУ СО РАН.

Публикации

По результатам работы имеется 11 публикаций. [1-11]. Статьи [1] и [3] опубликованы в журнале, входящем в список ВАК.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы, насчитывающего 84 наименования. Объем текста диссертации - 126 страниц, включая 65 иллюстраций и 14 таблиц.

Во введении раскрыты необходимые вопросы, позволяющие представить суть предлагаемой к защите диссертационной работы - создание вычислительной технологии прямого формирования законов программного управления для существенно нелинейных систем, сформулированы цели работы, задачи и методы исследования, дана краткая характеристика работы.

В первой главе приведена общая постановка двухточечной краевой задачи. Описаны алгоритмы, соответствующие основному и модифицированному методам Ньютона-Канторовича. Рассмотрена в общем виде итерационная схема прямого метода расчета программных управлений для объекта, описываемого нелинейной дифференциальной системой обыкновенных уравнений с управлением.

Пусть движение управляемого объекта на промежутке времени Т — [t0,tf ] описывается в пространстве состояний! R" системой дифференциальных уравнений

х-f(x,и). (1)

Здесь xeVcR" - конечномерный вектор состояния, или фазовый вектор системы; V - некоторая область пространства состояния R". Управление и{-) - элемент пространства кусочно-непрерывных ограниченных функций it, определенных на отрезке Т, со значениями в некотором замкнутом ограниченном множестве U с R'". Предполагается, что правая часть удовлетворяет условиям существования и единственности решения x(t)=x(t;ta,x0,u(t)) задачи Коши x=f(x,u),

Двухточечная краевая задача для системы (1) заключается в вычислении закона программного управления ы* (/) е £/ У/е Г, при ко-

тором траектория системы проходит через заданные краевые условия в пространстве состояний:

* = /(*,и*(0), х00) = *о» *0/) = */- (2)

Для решения этой задачи был разработан "прямой метод" [1], альтернативный широко используемому в настоящее время для расчета программных управлений обратному методу динамики. Основу предложенного прямого метода решения нелинейных краевых двухточечных задач составляет итерационная процедура последовательной линеаризации системы (1). В диссертации приведен базовый алгоритм построения программного управления и(•) е IX, при котором траектория а" = д'(г, Г0,х0,и*(?)) системы (1) является решением краевой задачи (2). На каждом шаге итераций поправки к найденному на предыдущем шаге управлению вычисляются из хорошо обусловленной (мало чувствительной к ошибкам исходных данных) линейной системы

\дх)

где (—) , | — | - якобианы, вычисленные на паре (ик,хк);

Кдх) \ди)

&хк+> - хк 11 -хк, 5иы ~ик+1 -ик, а краевые условия линейной задачи (3) имеют вид 8хы(/0) = 0, 8хк+1^Г) = х/-хк(1Г) .

По управлению ик+1=ик+8иш находим хк+1 (•) как результат решения задачи Коши для нелинейной системы

хк+]=Дхм,ик+]у, хк+]«0) = х0.

При выполнении требований точности к промаху, т.е. при выполнении неравенства 1 — Ху | < е происходит останов итерационного процесса. В противном случае - переход к следующей итерации.

8*™ + рЧ 8ы » (3)

ди )

Решение линейной двухточечной краевой задачи2

К моменту начала работы по реализации этой идеи был известен строго обоснованный теоретически и надежный в численной реализации метод H.H. Красовского решения двухточечных краевых задач для линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод конструктивно обеспечивал управляемость заданной пары краевых условий объекта управления и, таким образом, гарантировал осуществимость перехода между краевыми условиями по траектории, определяемой найденным управлением. По существу, разработанный прямой метод решения краевых двухточечных задач для нелинейных дифференциальных систем является результатом обоснованного распространения метода H.H. Красовского на нелинейные системы. При этом понадобились модификации алгоритма решения линейной краевой задачи по методу H.H. Красовского в связи с необходимостью учета особенностей динамических моделей космических объектов (в частности, учет присутствующих в пространстве решений инвариантных многообразий, обусловленных существующими первыми интегралами уравнений движения) для обеспечения непрерывности закона программного управления в начальный и конечный моменты движения и обеспечения линейного характера законов управления.

Пусть система дифференциальных уравнений и краевые условия заданы в виде

х = A(t)x + B(t)u, x(f0) = x0, x(tf)~xj-, (4)

где A(t),B(t) ~ непрерывные матричные функции, x(t)eR", u(t)eR'".

Найдем переходную матрицу3 Ф(/,т) системы и вычислим матрицу H{tf,l) = <&(tj,t)B(t) - импульсную переходную матрицу системы (4) по воздействию и . Решение задачи Коши х = A(t)x B(t)u,

2 Красовский Н. Н. Теория управления движением. - М.: Наука, 1968. - 476 с.

3 О свойствах переходной матрицы: Андреев Ю.А. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1976.-424 с. (с. 112)

9

= хй находим по формуле Коши х(0 = Ф(1,({))х0 + .

'о

Подставив / = /у , получим уравнение для и{1)

¡но

Управление ищем в виде линейной комбинации строк матрицы Н (импульсных переходных функций)

м(0 = А1(//,0А +•-■ + Аи(/у ■ (6)

Подставляя в (5) и интегрируя, приходим к системе линейных уравнений

решая которую, мы найдем коэффициенты /,■. Подставив их в (9), вычислим управление и{1).

Во второй главе содержится описание модификаций, преследующих цель адаптировать прямой алгоритм, разработанный для нелинейных двухточечных краевых задач общего вида, к задаче перенацеливания орбитального телескопа. При этом обеспечено выполнение ограничений, накладываемых на законы управления силовыми гироскопами. Для рассматриваемой динамической модели телескопа был найден оригинальный способ вычисления непрерывных управлений с заданными значениями управлений в начальный и конечный моменты эочего промежутка времени.

С этой целью в расчет закона управления (6) были включены овые базисные функции g! (/), корректирующие импульсные переходные функции Л, (/) следующим образом:

\ (0, ' е (/о + <*! - /0), г0 + а2 ((/ - 'о)),

(0 = ^(0, ге[г05 г0 + а,(1/ -/0)], / = ] =

/„(О, /е[*0 + а2('/-'о),

где 0<а, <а2 <1, коэффициенты а,,а2 определяют длину участков в начале и конце временного интервала, на которых управление, вычисляемое на каждой итерации, варьировалось. В качестве функций х,,(/), ^ 0) могут использоваться, например, полиномы или полиномиальные сплайны 1-3 степени, коэффициенты которых подобраны так, чтобы обеспечить непрерывность (или гладкость, если требуется) функций gIJ (t). В приведенных далее примерах для этой цели использовались кубические полиномы.

Замена функций на ^ (?) в (6) приводит к тому, что найденное для линейной двухточечной краевой задачи управление в начальный и конечный моменты времени обращается в ноль. Поскольку это решение является вариацией управления на отдельно взятой итерации при расчете управления для нелинейной задачи, то начальное и конечное значение полученного приближения к искомому управлению

не будут изменяться. Поэтому выбор нулевого приближения и°(-) со значениями в начале и в конце отрезка, равными заданным, в случае сходимости итерационной процедуры приведёт к разрешающему задачу (2) управлению, для которого условие, накладываемое на начальное и конечное значение управления, также окажется выполненным.

Кроме того, при решении краевой задачи для линейной однородной системы вместо строк матрицы Н, используемых в формуле (б), можно воспользоваться другим набором базисных функций. Наибольший интерес в этой связи представляют линейные В-стайпы, при помощи которых можно вычислять кусочно-линейные управления с узлами в заданных точках. Это позволяет значительно сократить объем памяти, затрачиваемой на хранение промежуточных результатов. Кроме того, вращение гироузлов с постоянным ускорением осуществляется постоянным моментом, что значительно упрощает техническую реализацию.

В приложении общего прямого алгоритма к проблеме программного управления космическим телескопом изучены модели телескопа как одного твердого тела и телескопа, несущего нежесткие панели солнечных батарей. Для решения этих задач были разработаны две

разновидности прямого алгоритма: для расчета программного управления гироскопами для жесткого телескопа и для динамической модели высокой размерности - модели пеэюесткого телескопа.

Основным, нередуцированным алгоритмом будем называть алгоритм, в котором обе участвующие в расчетах модели - нелинейная и линеаризованная — имеют одинаковые размерность, состав переменных состояния и одинаковые краевые условия.

При расчете по "редуцированному алгоритму", разработанному для расчета программных управлений рабочими режимами нежесткого телескопа, используются три динамические модели:

~ полная нелинейная модель, содержащая подсистему управляемых переменных х1 - переменных, определяющих состояние жесткого корпуса телескопа, и подсистему неуправляемых переменных у, — переменных, определяющих динамику нежестких элементов конструкции;

- линеаризованная полная модель, используемая для формирования линейной редуцированной модели, не содержащей неуправляемых переменных;

- линейная редуцированная модель, содержащая только переменные состояния корпуса; коэффициенты (якобианы) этой модели перестраиваются на каждом шаге итераций по выходу полной нелинейной модели.

Таким образом, в расчете управления используются только две модели: полная нелинейная и редуцированная линеаризованная.

В качестве полной модели рассматривался телескоп с закрепленными на его корпусе без вращения двумя одинаковыми гибкими ПСБ. Эта модель приближает постановку задачи к реальной ситуации, но непосредственное применение к ней прямого метода сопряжено с большими затратами машинного времени. С другой стороны, подстановка в полную модель управления, вычисленного по основному алгоритму, показала, что такое управление не обеспечивает необходимой точности исполнения рабочих режимов.

Вариант алгоритма, в котором редуцированная линеаризованная модель и ее краевое условие на правом конце вычисляется по результату интегрирования полной модели, одновременно использует сильные стороны полной и редуцированной моделей. Так как размерность редуцированной линеаризованной модели (с "затвердевшими" ПСБ) значительно меньше размерности полной линеаризованной модели, время, затрачиваемое на одну итерацию, значительно сокращается (по

сравнению со случаем, когда основной алгоритм применяется к обеим полным моделям: и нелинейной и линейной), а к существенному ухудшению сходимости использование редуцированного алгоритма не приводит. В то же время обеспечивается высокая точность наведения нежесткого аппарата.

Блок-схема редуцированного алгоритма

нелинейная краевая задача

Пример 1 (псренацеливапие жесткого телескопа)

Динамическая модель телескопа, рассматриваемого как одно твердое тело, описывается уравнениями вращения неавтономного гиростата вокруг центра масс

/ю + ©х/со + £ + юх/с = 0, Х = А(ф)к (8)

р = и.

Здесь со = со1(щ,щ,щ) - вектор угловой скорости гиростата, заданный в проекциях на его главные оси инерции Ох}х2хъ;

' О -Ш] -С02 -Юз""

Л(со) = - 0 ю--> ^ . v ' 2 Oh 0 ®1

\ ®3 ©2 0 J

I ~ diag(A,B,C) - тензор инерции гиростата, заданный в главных осях инерции;

р ~ со!(pl5 р2, ...,[Зт), Ру-угол прецессии подвижной рамки (гироузла) j-го гироскопа;

т

k = Y.hj (aj cos Pj + bj sin ) - вектор гиростатического момента;

j=i

at = со/(au,); ¿>y = col(Kbyrb-ij,b^j ) - векторные параметры,

определяющие конфигурацию исполнительной гиросистемы, по предположению состоящей из конечного числа т двухстепенных гироскопов - гиродинов (обычно те{4,6,8}). Безынерционные (по предположению) гироузлы гиродинов несут роторы, которые вращаются с постоянными угловыми скоростями, создавая постоянный собственный кинетический момент гироскопа;

р\j(t) - скорости прецессии гироузлов, принимаемые за управления м,(0 -Р/(0 "> u{t)^col(uh..., ит);

X = col (XD, А,, Д2,1 j) - кватернион, определяющий положение гиростата в инерциальном базисе.

Уравнения движения (8) имеют два интеграла: интеграл сохранения вектора кинетического момента системы К = /со + к - const и

геометрический" интеграл Xq + X? + + = 1.

Краевые условия заданы следующим образом:

^0) = 1°;(о(/0) = сй0;р(/0) = р0; (9)

A(tf) = \f\ со(tf) = a/.

Требуется найти управление м( ) такое, что решение задачи Коши (Ц), ¿5(0, Р( )) для системы (8) с начальными условиями (9) удовлетворяет условиям

p,('/)-V|<5> / = 0,1,2,3; |ю5(^)-сй/|<8, ¿ = 1,2,3,

где 8 - заданная точность.

Теперь приведем исходные данные и результаты решения задачи перенацеливания.

Рассмотрим следующее значение тензора инерции:

'25000 -100 -100*

1= -100 10000 100 .

-100 100 18000 V /

В качестве исполнительных органов используются б гиродинов с кинетическими моментами роторов h - 250 Н-м-с, расположенных по схеме «додекаэдр»4, т.е. оси подвеса расположены перпендикулярно 6-ти непараллельным граням додекаэдра. Время перехода - 40 с. Краевые условия:

10 ,/ ico А • ко m 1/ ;/ ino sinlO0 sinlO0 SÍnl0° Л. =co/(cosl5°,0,sml5°,0), XJ ~col(cosl0°,—==—,—=—,—j=—),

V2 V3 V6 ffl° =co/(0,0.4o/c,0), о/ =co/(-0.3°/c,0,0.15ü/c), P° = col(0,0,0,0,0, -я).

Задано условие u(t0) = u(tj) = 0. Требуемая точность 5 — 10~7 по компонентам X, <в достигается за 5 итераций. Время счета на компьютере с процессором Athlon 64 3000+ (1 ядро, частота 1.8 ГГц) составляет 1.7 с.

Для данной задачи получено 2 различных решения. На рис. 1 показаны графики гладких управлений (а); на рис. 3,5- траектория системы при этом управлении. Решение краевой задачи, найденное в классе

* Наиболее актуальные схемы установки гироузлов описаны в книге: В.В. Кульба, Е.А. Микрин, Б.В. Павлов, В.Н. Платонов. Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов. - М.: Наука. 2006. - 579 с. (с. 287)

15

кусочно-линейных управлений (б), приведено на рис. 2. Процесс перехода, соответствующий кусочно-линейному управлению, показан на рис. 4, 6.

»-26-«I

«ела

сс-сг ге-сз

о

-звчя

-ЕС-СЗ -5С-03 -1.2Е-01

.....:><*о«--

Рис. }. Гладкие управления (а)

Рис. 2. Кусочно-линейные управления (б)

Рис. 3. Компоненты кватерниона (а)

эе-О! 2.7Е-&1 3 «£ 01 3.16-01 1.88-01

БЕ<02 ЭГ-0}

"!"■ .....

10 а)

Рис. 4. Компоненты кватерниона (б)

Поскольку А,0 близко к 1, а Хг, близки к 0, здесь и далее вместо графика А0 приведен график 1 - А,0.

30 «

Рис. 5. Угловая скорость (а)

Рис. 6. Угловая скорость (б)

Пример 2 (перенацеливание нежесткого телескопа)

В связанной с корпусом системе координат уравнения движения нежесткого телескопа имеют вид

со

, X - Л(со)Я,, Э=г/. (10)

-¿-сох(/со + к + Ад) ^ + П2 ,

Здесь <7==со/(#,, где вектор координат, определяющих деформацию /-той панели; вектор имеет две компоненты (по числу учитываемых парциальных тонов колебаний панели); А — {А1,А2} , где АиА2 ~ (3 х 2)-матрицы коэффициентов инерционных связей вращения корпуса с упругими колебаниями ПСБ;

ц = с/г'а^{ц1)|а2}> где - диагональные матрицы парциальных

масс ПСБ; v = (\/■к)■diag(v],v2), где уру2 - диагональные матрицы декрементов затухания ПСБ; (1= со1 {П 2}, где ,, П2 - диагональные матрицы собственных частот ПСБ.

Величина максимальных отклонений на отрезке [/0, ], вызванных влиянием нежестких панелей солнечных батарей, в приведенных далее примерах составляла Ю-4 -И (Г5 (т.е. такой порядок имеют компонента вектора разности между решениями задачи Коши для полной и урезанной моделей при одинаковом управлении).

Использовалась схема гиросистемы 2-зреес1, включающая 4 ги-

родина с постоянным кинетическим моментом роторов /г=250 Н-м-с. Г12000 0 О Л

Тензор инерции / -

0 21000 0

0

0 23000

Xo - (cos 10o, sin 10°, 0,0), Xf = (1,0,0,0), со0 = (0.5°/с,0,0), а/ = (0,0,-0.15°/с),

(3° = (л/2, я/2, -я/2, -я/2).

Время перехода Т- 50 с. Требуемая точность (Ю-8 по компонентам кватерниона и угловой скорости) была достигнута после 8-й итерации.

Результаты расчетов показаны на рис. 7-10.

Рис. 7. Компоненты кватерниона Рис. 8. Угловая скорость

Рис. 9. Парциальные тоны панелей Рис. 10. Графики управлений

Серии контрольных примеров

Для нескольких базовых комбинаций начальных и конечных условий ) решались задачи перенацеливания с условиями

(. с,со0;А/ ,с2а/), где с1,с2е[-1,1] — скалярные множители. Базовые комбинации приведены в таблице 1.

При тестировании использовались значения множителей сх,с2 е{-1, 0.8,-0.6,-0.4, -0.2,0,0.2, 0.4,0.6,0.8,1}, т.е. рассматривались 11 начальных и 11 конечных значений угловой скорости.

Таблица 1. Базовые варианты краевых условий

Серия X, А-2 СО^/С <йу,°/с сог ,7с

№1 соз(15°) 0 Бт(150) 0 0 0 0.5

1 0 0 0 0.5 0 0

№2 / = /„ СО5(15°) 0 БШ(15°) 0 0.5 0 0

1 0 0 0 0 0.5 0

№3 соя(15°) 0 зт(15°) 0 0 0.5 0

1 = 1 0 0 0 0 0 0.5

Затем при фиксированном начальном и конечном положении корпуса были перебраны 13 положений оси вращения, расположенных как оси симметрии куба (скорость вращения равнялась 0.3 %), и случай, когда угловая скорость равна нулю. Т.е. рассматривалось 13-2 + ) =27 начальных значений угловой скорости (13 осей вращения, по 2 направления, плюс случай отсутствия вращения) и столько же конечных значений, и для каждой пары решалась двухточечная краевая задача.

Приведено среднее число итераций основного (и модифицированного - в скобках) методов Ньютона-Канторовича, потребовавшихся для достижения требуемой точности б = 10_6 при нулевом начальном приближении.

Таблица 2. Среднее число итераций в сериях численных экспериментов

Серия №1 (121 задача) Серия №2 (121) Серия №3 (121) Серия №4 (729)

№1 (г-яреес!) 6.15 (+5.52) 6.24 (+5.7) 5.29 (+6.3) 5.84 (+4.35)

№>2 (октаэдральная) 5.92 (+5.41) 6.3 (+5.87) 5.06 (+6.72) 5.67 (+5.45)

№3 (6 гироди-1ЮН, пирамида) 4.48 (+5.74) 4.39 (+5.78) 4.07 (+6.05) 3.83 (+5.37)

№4 (6 гирод., додекаэдр) 4.61 (+5.92) 4.75 (+5.84) 4.34 (+6,08) 4.45 (+7.22)

Третья глава посвящена разработке принципиально нового подхода к постановке и решению задачи программного управления при исполнении заданных маршрутов движения нелинейных систем достаточно общего вида [3]. Поставлена и решена задача "трассирования маршрута" - исполнения его с заданной точностью. Такой подход к "маршрутной задаче" открыл возможность выбора траектории системы внутри разрешенной для движения окрестности маршрута. Этот выбор происходит автоматически при расчете искомого управления путем "согласования" динамических свойств объекта управления, возможностей гиросистемы (включая наличие сингулярных состояний) с особенностями заданного маршрута. "Ответственность" за положительный исход процесса согласования возлагается на алгоритм расчета искомого управления. Предлагаемый достаточно общий метод решения маршрутных задач ориентирован на решение задачи управления движением посредством силовых гироскопов. Приводится нетривиальный пример расчета управлений с учетом ограничений на скорости вращения гироузлов (на законы управляющих воздействий), существующих на практике в связи с ограниченностью мощности мо-ментных датчиков. Изучаются только относительные вращения телескопа вокруг центра масс, за счет которых и осуществляется его перенацеливание и сканирование подстилающей поверхности.

Пусть Т = , /у j и отображение ф :ТR", где ф(/) - непрерывная функция с ограниченной на отрезке Т производной, задает желаемое решение (движение) динамической системы (1). Окрестность фазовой траектории <р(Г) в пространстве R" обозначим через

Пусть {Tjj}j=yj2- некоторое разбиение отрезка [¿q,/,-]. Рассмотрим последовательность двухточечных краевых задач

X = f(x,u), x(t ) = ф(0, х(т ) = ф(т ) ,

х = /(х,и), х(х ) = ф(т ), х(х ) = ф(т ) ,

...................................... (11)

X = f(x, и), х(т ) = ср(т ), x{t ) = ф(/ ) .

Обозначим решения этих задач, полученные описанным выше способом, как .

Требуется найти такое разбиение отрезка {т^.}^!^.....а > чтобы в

результате решения конечной последовательности двухточечных краевых задач (11) программные управления обеспечили принадлежность траекторий заданной окрестности маршрута £1е(ф(-)) на

всем рабочем промежутке времени. При этом число точек переключения к должно быть по возможности наименьшим.

Простейший способ выбора моментов времени {т5}, разбивающих промежуток [70,/у] на составляющие, заключается в следующем.

Вначале решается двухточечная краевая задача на всем отрезке. Затем, если полученная траектория не удовлетворяет условию

л-* (/) е (ф(-)) V/ е Т, исходный отрезок делится пополам. После

чего решаются краевые задачи для обеих половин временного интервала. Деление продолжается до тех пор, пока траектории-решения двухточечных краевых задач не станут удовлетворять ограничениям на отклонения фазовых переменных. В силу непрерывности решения и известной леммы [3] такое деление конечно.

Пример 3. Маршрутная задача

В рассматриваемом здесь примере в качестве маршрута был использован результат решения двухточечной краевой задачи для

[10000 0 0

жесткого аппарата с тензором инерции /] = 0 20000 0

0 0 20000 на котором установлены 4 гироскопа с кинетическим моментом роторов h = 250 Н-м-с (оси подвеса перпендикулярны четырем попарно непараллельным граням правильного октаэдра).

При времени перехода 80 с, для получения маршрута использовались следующие краевые условия:

= (cosl5°,0,sinl5°,0), Xf = (1,0,0,0),

©° = (0,0.25°/с,0), а/ =(-0.15°/с,0,0.2°/с), = (0,0,0,-тс).

Маршрутная задача была решена для модели нежесткого аппарата с другой гиросистемой и другим тензором инерции. Предполагалось, что гиросистема состоит из б гиродинов (й=250 Н-м-с), установленных по пирамидальной схеме (угол между осями подвеса гиро-

узлов и высотой пирамиды сх = 20°). Тензор инерции аппарата (21000 -100 -1001 -100 10500 100

-100 100 19000]

\ /

Требовалось обеспечить точность исполнения маршрута не ниже 5-10"5 попеременным А,0, Х15 Х2, Х3,а>х,(о ,аз2. Задача решалась в

32 этапа (с шагом, равным 1/32 временного интервала). Были вычислены управления, удовлетворяющие условиям по точности (рис. 11).

Рис. 11. Управления в маршрутной задаче

В четвертой главе описаны разработанные диссертантом программные средства, реализующие перечисленные в предыдущих разделах диссертации модификации прямого алгоритма, и разработанные новые алгоритмы решения краевой и маршрутной задач для динамических моделей орбитального телескопа с различной конфигурацией исполнительных гироскопов.

Рассмотрены вопросы экономии машинных ресурсов:

- при работе итерационной процедуры в зависимости от точности, достигнутой на предыдущей итерации, полезно варьировать точность решения задач Конш: во-первых, при вычислении .уА+1 (/), во-вторых, при вычислении фундаментальной матрицы для линейной системы. В частности, на первых итерациях, когда невязка в нелинейной задаче велика, не имеет смысла вычислять с высокой точностью хкИ (¡?). Если используются алгоритмы численного интегрирования на основе метода Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага, то достаточно менять требования к локальной погрешности в зависимости от невязки, полученной на предыдущей итерации;

- при вычислениях с высокой точностью потребуется хранить численно заданные функции в виде обширной таблицы значений. Поэтому важно ослабить зависимость между требуемой погрешностью и объемом затрачиваемой памяти. В случае, когда управление ищется в некотором заданном (не численно) базисе, управление задается коэффициентами линейной комбинации, и хранить в памяти его значения не нужно. Кроме управлений и фазовой траектории, на каждой итерации вычисляются матрицы-функции Ф(/), Я((). Если вычислять одновременно с ними матрицу системы линейных уравнений (7), то можно не хранить в памяти таблицу их значений.

В заключении перечислены основные результаты диссертацон-ной работы:

- разработан алгоритм, в котором краевое условие на правом конце для линеаризованной упрощенной модели вычисляется по результату интегрирования полной модели системы. В полную модель, помимо детального учета конструкции аппарата, могут быть включены внешние воздействия (например, влияние гравитационных сил), вызывающие малые (по сравнению с областью сходимости метода) изменения в траектории. Эти результаты расширили область применения прямого метода расчета программных управлений: теперь к рассмотрению допускаются как параметрически (мультипликативно), так и внешне (аддитивно) возмущенные модели объекта управления. Использование редуцированных моделей при расчете искомого закона программного управления значительно повышает скорость его вычисления;

- получена модификация алгоритма, позволяющая без существенного увеличения вычислительной сложности находить непрерывное управление с заданными значениями в начале и конце отрезка;

- разработана модификация алгоритма, обладающая элементами адаптации: на каждом шаге итерационных вычислений перестраивается набор независимых переменных состояния в краевом условии на правом конце для следующего шага;

- разработана алгоритмическая и программная реализация решения задачи программного управления движением по заданному маршруту: обратная задача осуществления маршрута заменена прямой "задачей его трассирования" - поиска управлений, осуществляющих движение в заданной окрестности маршрута. Процедура расчета искомых управлений была сведена к решению прямым методом конечной последовательности двухточечных краевых задач. Благодаря

этому и в маршрутной задаче, как и в задаче перенацеливания оптической оси, была снята "с повестки" так называемая проблема сингулярных состояний гиросистемы, приводившая к остановкам и потере необходимой точности при исполнении режима сканирования по заданному маршруту, когда используются законы управления, вычисленные по технологии обратных задач динамики; - приведены результаты использования описанных выше вариантов алгоритма в задаче расчета программного управления для телескопа с упругими ПСБ в маршрутной и краевой задачах. По результатам решения серий численных экспериментов собрана статистика, говорящая об эффективности основного метода и предложенных модификаций.

Публикации по теме диссертации

1. Воронов В.А., Дружинин Э.И. Проблема программного управления космическим аппаратом как нелинейная краевая задача в пространстве состояний // Изв. РАН. ТиСУ. - 2004. -№3. - С. 137144.

2. Воронов В.А., Васильев С.Н., Дружинин Э.И. Формирование программного управления гироисполнителями системы управления космического аппарата в режиме переориентации // Материалы XI Санкт-Петербургской междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. - СПб, 24 - 26 мая 2004 г. - С. 108-110.

3. Воронов В.А., Дружинин Э.И. Прямой метод формирования программных управлений нелинейными объектами // Изв. РАН. ТиСУ.-2005. - №2.-С. 12-17.

4. Воронов В.А., Васильев С.Н, Дружинин Э.И. Новая вычислительная технология формирования программных управлений в нелинейных системах // Сб. докл. XIII Санкт-Петербургской междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. - СПб, 2931 мая2006 г.-С. 48-56.

5. Воронов В.А, Дружинин Э.И. Построение грубого программного управления рабочими процессами орбитального телескопа / Сб. докл. XIV Санкт-Петербургской междунар. конф. по интегрированным навигационным системам // СПб, 29-30 мая 2007 г. - С. 357-159.

6. Воронов В.А. Элементы эвристического подхода и гладкие управления в новом методе расчета программных управлений для нелинейных объектов с гиросиловыми исполнительными органами //

Труды IX Междунар. Четаевской конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 12-16 июня 2007 г. - С. 56-66.

7. Воронов В.А., Васильев С.Н., Дружинин Э.И. Построение высокоточных и робастных программных управлений орбитальным телескопом // Тезисы I междунар. конф. "Космос для человечества", г. Королев, 21-23 мая 2008 г. - С. 31.

8. Воронов В.А., Дружинин Э.И. Алгоритмическое и программное обеспечение нового метода формирования программного управления рабочими режимами космических аппаратов // Материалы VI конф. молодых ученых, СПб, 16-18 марта 2004 г.; Гироскопия и навигация. - 2005, №1. - С. 84.

9. Воронов В.А., Дружинин Э.И. Гладкие программные управления движением нелинейных объектов силовыми гироскопами. // Материалы VIII конф. молодых ученых, СПб, 14-16 марта 2006 г.; Гироскопия и навигация. - 2006, №2. - С. 85.

10. Воронов В.А., Дружинин Э.И. Элементы эвристического подхода в новом методе расчета программных управлений для нелинейных объектов с паросиловыми исполнительными органами. // Материалы IX конф. молодых ученых, СПб, 13-15 марта 2007 г.; Гироскопия и навигация. -2007, №2. - С. 87.

31. Воронов В.А. Адаптивные алгоритмы прямого метода расчета программных управлений для рабочих процессов орбитального телескопа // Рефераты докл. XXVI конф. памяти Н.Н. Острякова, СПб, 14-16 октября 2008 г. - С. 23.

Редакционно-издательский отдел Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, Лермонтова, 134 Подписано к печати 14,08.2009 г. Формат бумага 60x84 1/16, объем 1 п.л. Заказ №9. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

09-18

2008157111