автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.14, диссертация на тему:Алгоритмическое и программное обеспечение для синтеза робастых регуляторов по критерию минимума H∞ -нормы в задачах управления

г Б 0&

и да №

Московский государственный авиационный институт (технический университет)

На правах рукописи

Мещеряков Олег Геннадьевич

Алгоритмическое и программное обеспечение для синтеза робастных регуляторов по критерию минимума /Т°-нормы в задачах управления

Специальность 05.13.14 - системы обработки информации и управления

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1995 г.

Работа выполнена в Государственном научно-исследовательском институте

авиационных систем

Научный руководитель: к.т.н., с.н.с. Семенов А.В.

Официальные оппоненты: д.т.н., проф. Баранов В.Н. к.ф.-м.н., с.н.с. Владимиров И.Г.

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита состоится " 2 " др&Ь&^Х 199^г. в /О час О О мин на заседании диссертавдонного совета Д 053.18.08 Московского авиационного института по адресу: 125871, Москва, Волоколамское ш., д. 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан 1995 г.

Отзывы просим направлять в двух экземплярах, заверенных печатью по адресу: 125871, Москва, Волоколамское ш., д 4, МАИ.

Ученый секретарь диссертацио^^го совета совета:

к.т.н., доцент - ^^КартПСА/^7

Общее описание работы Актуальность темы

В практике проектирования систем автоматического управления часто возникает задача управления объектом в условиях, когда априорная информация о системе и внешней среде известна не полностью, а лишь с некоторой достоверностью, задаваемой интервалами принадлежности (классами неопределенности). При проектировании сложных многомерных систем такая проблема возникает особенно часто, так как модель объекта является компромиссом между простотой анализа и точностью воспроизведения реального физического процесса, и модель только в некотором смысле близка к реальной системе.

Для решения этой проблемы необходимо конструировать робастные (грубые) регуляторы слабо чувствительные к неточностям в априорных предположениях о параметрах системы. Такой регулятор помимо минимального требования стабилизации номинальной модели должен обеспечивать устойчивость некоторого класса систем, близких к номинальной. Один из

подходов к решению такого рода задач реализован в рамках #°°-теории управления.

//""-теория — новое научное направление, в рамках которого удается сочетать преимущества классических частотных методов анализа и синтеза и современных методов пространства состояний. За последние несколько лет в

//""-теории получен ряд новых фундаментальных результатов. В частности,

предложена процедура решения задачи Я "-оптимизации на основе принципа разделения, в которой подход пространства состояний позволяет строить эффективные вычислительные процедуры. В целом можно констатировать, что за

последнее время в //""-теории получены новые перспективные результаты позволяющие конструировать робастные регуляторы высокого качества для широкого класса систем управления.

В тоже время, несмотря на существенный прогресс, достигнутый в

теоретической области, методы Я "-оптимизации не вошли в повседневную практику проектировщиков систем автоматического управления как за рубежом, так и в России. В первую очередь это объясняется отсутствием детально проработанной методики синтеза регуляторов, пригодной для практического применения, отсутствием или неудовлетворительным качеством программного

обеспечения и отсутствием достаточного опыта применения Я°°-оптимизационного подхода к решению практических задач.

С учетом вышеприведенных рассуждений в качестве цели работы выбрано

Т» ОО

рассмотрение различных вопросов практического использования методов Н -теории для конструирования робастных регуляторов, среди которых основными являются следующие:

• Разработка алгоритмического и программного обеспечения для решения задач синтеза робастных регуляторов по критерию минимума Я°°-нормы.

• Синтез робастных регуляторов для реальных промышленных систем с использованием разработанного алгоритмического и программного обеспечения.

• Рассмотрение и подробный анализ ориентированной на инженерные

применения методики синтеза регуляторов по критерию минимума Я°°-нормы.

• Исследование вопроса о качестве и степени консерватизма робастных

регуляторов, полученных при Я°°-оптимизации в сравнении с методами ц-синтеза.

• Рассмотрение различных способов задания требований к замкнутым системам при синтезе робастных регуляторов по критерию минимума Я°°-нормы.

Методы исследования

Методы исследования, использованные в диссертации, относятся к теории управления, методам матричного анализа, численным методам линейной алгебры, вычислительной математики и программирования. Разработка

алгоритмов и программ для реализации процедуры Я ""-оптимизации, их тестирование и математическое моделирование осуществлялись с использованием ЭВМ различных классов.

Основные научные положения

Основные научные положения, полученные в ходе работы состоят в следующем:

• при синтезе робастных регуляторов по критерию минимума Я°°-нормы для хорошо обусловленных систем качество и степень консерватизма регуляторов близки к результатам, получаемым при применении существенно более

сложной процедуры ^-синтеза, а использование Я°°-оптимизации для объекта в форме нормализованной левой взаимно простой факторизации позволяет получить безитерационный алгоритм вычисления регулятора; данное положение доказано в работе, а соответствующий алгоритм реализован в виде процедуры интегрированного пакета программ;

• в общем случае, методика ц-синтеза позволяет получать регуляторы более

высокого качества и низкой степени консерватизма, чем Я°°-оптимизация, однако, это требует существенных вычислительных затрат; данное положение подтверждено подробным анализом процедур синтеза и соответствующих численных алгоритмов;

• требования к замкнутой системе при проектировании робастного регулятора могут быть заданы в различной форме, в частности в виде ограничений на функции чувствительности системы или задания желаемой формы ЛАХ сингулярных чисел разомкнутой системы; в работе даны рекомендации по формированию желаемых ЛАХ сингулярных чисел и описано их использование при решении реальных задач синтеза регуляторов;

• методика синтеза, основанная на процедуре Я°°-оптимизации для объекта в форме нормализованной левой взаимно простой факторизации и на рассмотрении ЛАХ сингулярных чисел разомкнутой системы и называемая "техникой формирования контура" является эффективным инструментом для синтеза робастных регуляторов; в работе проанализированы теоретические основы этой методики, а также создано соответствующее алгоритмическое и

программное обеспечение и решены две задачи синтеза робастных регуляторов для реальных систем, где получены регуляторы более высокого качества, чем ранее применявшиеся.

Обоснованность и достоверность

Обоснованность результатов работы подтверждается

• использованием утверждений, строго доказанных математически;

• тестированием предложенных алгоритмов и программ на ЭВМ различных классов;

• имитационным моделированием на ЭВМ систем управления с регуляторами, синтезированными с применением разработанного алгоритмического и программного обеспечения;

• проведением сравнения полученных в работе регуляторов для промышленных систем с регуляторами, применявшимися ранее и полученных с использованием других методов; решения этих задач подтверждаются соответствующими актами.

Научная новизна

Научная новизна результатов работы состоит в следующем:

• Решается задача создания программного обеспечения для синтеза регуляторов

по критерию минимума Н°°-нормы, пригодного для технологического использования.

• Синтезированы регуляторы для реальных промышленных объектов — системы управления самолета ТУ-154 и привода антенны радиотелескопа с

использованием //"-оптимизации и техники "формирования контура".

• Исследована возможность получения регуляторов высокого качества и низкой степени консерватизма без использования вычислительно сложной процедуры ц-синтеза.

• Приведены рекомендации по практическому применению методов оптимизации и техники "формирования контура" для решения задач синтеза робастных регуляторов.

В целом сделан важный шаг по внедрению высокоэффективных методов

синтеза робастных регуляторов с помощью //""-оптимизации в практику

проектирования систем автоматического управления.

Практическая ценность

Практическая ценность работы заключается в том, что:

• Разработанный в ходе работы интегрированный пакет программ позволяет получать эффективные робастные регуляторы для широкого класса систем при минимальных затратах вычислительных ресурсов.

• Разработанные программные средства за счет своей открытой архитектуры могут быть легко интегрированы в другие системы автоматического проектирования, а большинство модулей интегрированного пакета программ могут бьггь использованы при создании программного обеспечения для работы с другими классами систем.

• Благодаря иерархической структуре разработанного программного продукта возможно его использование специалистами разного уровня квалификации, а

также в качестве средства обучения как собственно проектированию робастных регуляторов, так и основам //""-теории.

Реализация результатов работы

Основные результаты работы реализованы

• В ходе конструирования робастного регулятора для системы слежения радиотелескопа.

• При синтезе закона управления для системы управления самолета ТУ-154.

• В ходе разработки алгоритмов управления и навигации магистральных самолетов с использованием спутниковой коррекции в рамках программы Департамента авиационной промышленности "Важнейшие НИОКР 19931995 гг".

Апробация результатов работы

Основные результаты работы представлялись на различных научных конференциях, в том числе на международной конференции "Технологические средства создания систем управления" (Пюхаярве, Эстония, 1-7 мая 1992), в ходе 111-го Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Самара, Самарский Государственный университет, 5-9 июля 1994).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав основного текста, общего заключения по работе, списка литературы, и приложений, содержащих список обозначений и листинг некоторых программ. Объем основного текста 129 страниц, приложений — 24 страницы.

Публикации

Результаты диссертации представлены в десяти печатных работах.

Содержание работы

Рассмотрим стандартную систему с обратной связью (рис. 1). Она состоит из объекта управления (7, регулятора К, управляемых командами г, шума измерений Т| и возмущения с!. Будем предполагать, что регулятор и объект управления являются конечномерными линейными системами с непрерывным временем с передаточными функциями Х^) и 0(з) соответственно.

Рис. 1.

Система с обратной связью.

Вопрос управления такой системой в скалярном случае (то есть для системы с одним входом и одним выходом) является хорошо изученным. Существуют наглядные методики синтеза (например, с использованием ЛАХ), с помощью которых можно конструировать регуляторы, обеспечивающие устойчивость замкнутой системы, и, оперируя такими понятиями, как запас по фазе, запас по амплитуде, добротность, колебательность и др., получать автоматические системы требуемого качества.

Однако для многомерных систем (систем с несколькими входами и выходами или многоканальных) ситуация совсем иная. Общеупотребительные методики синтеза по ЛАХ теряют свой смысл, так же как и понятия запаса по амплитуде, запаса по фазе и колебательности.

Кроме того, в практике конструирования автоматических систем приходится сталкиваться с ситуацией, когда математическая модель объекта управления отличается от реального физического объекта. Это может быть вызвано тем, что свойства реального объекта или окружающей среды известны не полностью или могут изменяться во время работы системы, что приводит к . появлению неопределенностей модели. Как правило, сведения о структуре '-неопределенности отсутствуют, а известна только ее величина (в некотором смысле). Это вызывает необходимость построения робастных (то есть грубых) регуляторов, мало чувствительных к изменениям параметров модели и обеспечивающих необходимые свойства для целого множества объектов,

ограниченного с помощью какой-либо нормы. В основе #°°-теории управлении

лежит использование Н°°-нормы для задания этого множества и применение сингулярных чисел для манипуляций с передаточными функциями.

норма передаточной функции задается как

|С|_ = вир с[сит)]. (1)

ше91

Основное свойство Я°°-нормы состоит в том, что фактически она является коэффициентом передачи системы по энергии (п. 1.3.4. работы), то есть, если на вход системы подать сигнал единичной энергии, то энергия выходного сигнала

будет ограничена Я°°-нормой системы.

Во первой главе работы также приводятся два важных положения, лежащих

в основе -теории управления. Это теорема о минимуме коэффициента передачи и расширенный на многомерные системы обобщенный критерий Найквиста. Теорема представляет собой достаточное, а критерий — необходимое и достаточное условия устойчивости замкнутой системы (п.1.7.3. работы). Кроме того, рассмотрены другие теоретические сведения, необходимые для изложения материала следующих глав. В частности, алгебраические уравнения Риккати, дробно-линейные преобразования, факторизации передаточных функций и другие.

Вторая глава диссертационной работы содержит основные теоретические результаты. Раздел 2.2. посвящен анализу причин возникновения неопределенностей в системах автоматического управления и способам их описания. В частности рассмотрены три основных способа представления неопределенностей. Аддитивная неопределенность — (?д=£ + Дд, мультипликативная — бд = (/ + Ар)С и неопределенность в виде нормализованной левой взаимно простой факторизации — Сд =(М + Ам)~1(ы + Ам). Последнее представление будет играть основную роль в работе.

В разделе 2.3. подробно анализируется вопрос задания требований к системам автоматического управления при синтезе робастных регуляторов. Показано, что, задавая ограничение на функцию чувствительности системы в виде виратах[И'1(/со)5(/со)]<1, мы обеспечим качество управления, а

03

робастность задается как ограничение на функцию сопряженной чувствительности Отах[1^(/£о)Т'(/£о)]<1 длявсехй). Однако, так как две эти функции связаны выражением 5 + Г=/, то мы должны одновременно удовлетворить двум требованиям: ЦИ^ЗЦ^ < 1 и ¡И^ГЦ^ < 1, которые не являются независимыми.

Для решения этой задачи мы можем применить процедуру Н°°-оптимизации к модифицированному объекту, а именно I I <1.

Возникающая при этом ошибка не будет превосходить л/2 или 3 Дб, что считается приемлемой ошибкой при конструировании реальных систем.

Затем рассматривается проблема робастной стабилизации. Суть ее состоит в поиске регулятора, который для некоторого возмущения, чья Я°°-норма

ограничена числом Ещах, стабилизирует все множество объектов, порождаемое

номинальной моделью и данным возмущением:

(2)

В п.2.4.3. приводится параметризация всех робастно стабилизирующих регуляторов для стандартного объекта, задаваемого как (рис.2)

Р =

>11 Р\г Рц Р22]

А в2

С\ А2

с2 ¿21 ¿22

(3)

где н> — вход возмущения, и — вход управления, у контролируемый выход.

выход наблюдения, I

к

Рис. 2.

Стандартный объект с регулятором.

Затем рассмотрена задача робасгной стабилизации для объекта в форме нормализованной левой взаимно простой факторизации, имеющая следующее представление

(.1-вК) ^"'Ц

\

-1

(4)

Описана факторизация всего множества регулятор и способ построения центрального регулятора (регулятора с минимумом энтропии). Соответствующая структурная схема имеет вид, представленный на рис. 3. Основными отличиями от общего случая является возможность точного вычисления показателя робастной устойчивости и более полного удовлетворения требований к функциям

чувствительности, а также тот факт, что при решении задачи робастной стабилизации для объекта в форме левой нормализованной взаимно простой факторизации совпадают входы управления и внешнего воздействия и выходы наблюдения и контролируемых переменных.

Рис. 3.

Регулятор для объекта в виде нормализованной левой взаимно простой

факторизации.

В разделе 2.5. рассматривается другой подход к синтезу робастных регуляторов — синтез с использованием структурных сингулярных чисел или Ц -синтез. Этот подход основан на расширенном критерии Найквиста и позволяет более точно учитывать свойства неопределенностей объекта, за счет чего получаются менее консервативные регуляторы. Однако, как было установлено в ходе рассмотрения процедуры |Х -синтеза, с вычислительной точки зрения эта задача является существенно сложной и имеет гарантированное решение только при малой размерности объекта.

Раздел 2.6. диссертационной работы посвящен проблеме качества

получаемых при //"-оптимизации регуляторов. Рассматривая системы с числом обусловленности, близким к единице (п.2.6.2.), то есть

<(сМ)=1Йг1'Ш€Я <5)

и, принимая во внимание следующее свойство структурных сингулярных чисел,

р(Л/)<ц(Л/)<о(м), (6)

мы можем сделать вывод, что для хорошо обусловленных систем структурные сингулярные числа близки к обычным сингулярным числам, и, следовательно,

качество и степень консерватизма регуляторов, получаемых при Я°°-оптимизации будет близко к соответствующим свойствам регуляторов, получаемых при ¡1-синтезе. Этот вывод базируется на следующем доказанном в

диссертационной работе факте:

о( Л) > | > \Х2\ >...>: |А,„| > ст(л). (7)

Кроме того, в работе показано (п.2.6.3.), что при использовании техники формирования контура в решении задачи робастной стабилизации для объекта в виде нормализованной левой взаимно простой факторизации, манипулирование взвешивающими функциями эквивалентно процедуре БК-итераций при |1-синтезе.

Затем рассмотрена собственно техника формирования контура. Ее суть состоит в том, что вначале (рис. 4) с помощью весовых функций Ж] и

задается поведение разомкнутой системы. Затем, синтезируется Я~-субоптимальный робастно стабилизирующий регулятор для модифицированного объекта (рис. 5). Если замкнутая система удовлетворяет заданным условиям, то в качестве итогового регулятора выбирается модифицированный регулятор К = ЩК<х,У/2 (рис. 6.), в противном случае выбираются другие весовые функции.

Рис. 4.

Формирование контура.

Для вычисления регулятора используется процедура Я °°-синтеза регулятора для объекта в форме нормализованной левой взаимно простой факторизации. Важной особенностью описанной методики является то, что при вычислении регулятора мы также получаем показатель робастной устойчивости у , значение которого позволяет нам судить о качестве регулятора. Чем ближе этот показатель к единице, тем меньше чувствительность системы к неопределенности объекта.

Рис. 5.

Робастная стабилизация.

Наибольшую сложность при использовании техники формирования контура представляет собой выбор весовых функций. К сожалению, до конца однозначной методики не существует. Однако в диссертационной работе приведены некоторые соображения по выбору весовых функций. Основные рекомендации состоят в следующем:

1. Многомерный объект путем переупорядочивания входов и выходов должен приводиться к максимально диагональному виду. Это особенно важно для плохо обусловленных объектов.

2. Весовые функции целесообразно выбирать в диагональном виде. Кроме того, рекомендуется их выбирать так, чтобы наклон ЛАХ максимального сингулярного числа в области средних частот был -20 -40 дБ/дек.

3. Весовую функцию часто выбирают постоянной для отражения относительной важности различных выходов, а Щ осуществляет собственно динамическое формирование контура.

4. Дополнительные интеграторы для уменьшения установившейся ошибки и дополнительные высокочастотные звенья для снижения влияния шума также помещают в Щ.

5. Часто полезно "выровнять" сингулярные числа объекта в полосе пропускания путем каскадирования дополнительной постоянной весовой функции с весовой функцией Щ.

Процедура проектирования регулятора при этом выгладит примерно следующим образом. Проектировщик рассматривает поведение графика максимального сингулярного числа исходного объекта. Затем с помощью весовых функций формируется желаемый вид графика сингулярных чисел для разомкнутого контура. Потом модифицированный объект преобразуется в форму нормализованной левой взаимно простой факторизации. Далее вычисляется

число етах с помощью процедуры Я°°-синтеза для объекта в виде нормализованной левой взаимно простой факторизации (заметим, что £тах вычисляется точно). Если полученное значение существенно меньше единицы, значит желаемые требование по робастности и качеству несовместимы. Соответственно модифицируется 1рафшс желаемого поведения сингулярных чисел путем изменения весовых функций. Это повторяется до тех пор, пока не будет получено близкое к единице значение Етах. Затем выбирается значение

и

£ = 0.9 + 0.95£тах и вычисляется Я°°-субоптимальный регулятор. После чего итоговый регулятор для исходного объекта получается объединением весовых функций с полученным в ходе расчетов регулятором. Таким образом, мы имеем итеративную процедуру по своему духу весьма похожую на традиционную методику синтеза регуляторов по ЛАХам для одномерных объектов.

Рис. 6. Итоговый регулятор.

Третья глава работы посвящена проблеме создания программного

обеспечения для решения задач синтеза робастных регуляторов на основе Н°°-оптимизации. Рассматривается интегрированный пакет программ (ИПП), созданный автором в ГосНИИ Авиационных систем.

В разделе 3.1. рассматриваются основные требования к программному обеспечению и описывается архитектура пакета. Данный ИПП был задуман как прототип пакета для систем автоматизированного проектирования с

использованием методов Н°° -теории. Такой подход объясняется несколькими причинами. Во-первых, лаборатория не обладает высококвалифицированными специалистами по САПР, во-вторых, наиболее распространенным вычислительным средством на сегодняшний день являются персональные ЭВМ, в то время как профессиональные системы машинного проектирования, как правило, ориентированы на применение рабочих станций, которые обладают существенно большей вычислительной мощностью. И, в-третьих, создание настоящего (в смысле конкурентоспособности) пакета программ требует мощного финансирования. Вместе с тем в перспективе такой подход позволит

путем объединения специалистов по САПР, программированию и Н°° -теории создать конкурентоспособный программный продукт. Вкладом специалистов по

Н°° -теории будут эффективные алгоритмы, которые в настоящее время в нашей стране не используются, да и за рубежом еще не вошли в повседневную практику проектировщиков.

Из приведенных рассуждений вытекают следующие требования к программам, входящим в ИПП:

• Использовать такие алгоритмы, которые не имеют принципиальных ограничений на размерность задач и точность решения и обладают

максимальной скоростью сходимости. В то же время от самих программ требуется только точная реализация алгоритмов, а специальных требований по точности, быстродействию и объему не предъявляется;

• создаваемое программное обеспечение должно быть полностью переносимо на уровне исходных текстов на другие аппаратные платформы;

• разрабатываемые программы должны быть одинаково удобны как для специалистов в области Я"-теории, так и для инженеров-практиков.

• все прикладные программы должны быть реализованы в виде "встроенных функций", позволяющих вызывать их как самостоятельно, так и в качестве компонентов других программ более высокого уровня;

• программное обеспечение должно быть реализовано на современном языке высокого уровня, позволяющем получать эффективный код при низких затратах на программирование;

• разрабатываемые программы должны обеспечивать легкое использование другими разработчиками на уровне библиотечных модулей;

• все интерфейсные процедуры должны быть локализованы в отдельных модулях, "допускающих использование машинно-зависимого программирования на языке Ассемблер.

Для удовлетворения этих требований реализована следующая структурно-иерархическая схема организации ИПП. Все входящие в него программы можно разделить на уровни:

1. нижний уровень, реализующий элементарные действия над матрицами -сложение, умножение, вычисление собственных значений и другие;

2. средний уровень, реализующий решение задач, не связанных непосредственно

с //"-теорией, таких как соединение систем в замкнутые контуры, анализ управляемости-наблюдаемости или решение уравнений Риккати;

3. верхний уровень, непосредственно реализующий решение задач //"-теории управления, таких как вычисление Н"-нормы и синтез регуляторов;

4. интегрированная оболочка, позволяющая использовать совместно процедуры различных уровней и реализующая интерфейс с пользователем в современном собьтгийно-управляемом виде.

В качестве средства программирования был выбран язык С++. В настоящее время этот язык реализован практически во всех операционных системах и на большинстве аппаратных платформ, что обеспечивает переносимость программного обеспечения. Кроме того, использование этого языка позволяет получать эффективные исполняемые модули и существенно повысить производительность труда программиста. В настоящее время про1раммы первых трех уровней практически готовы, а интерфейсная оболочка находится в стадии разработки. Описание основных функций пакета в терминах языка С++ приведено в приложении 2.

В остальных разделах третьей главы описана реализация некоторых алгоритмов, использованных в ИПП. В частности, описан алгоритм поиска собственных значений матрицы и соответствующего ортогонального преобразования с упорядочиванием, алгоритм решения алгебраического

уравнения Риккати по модифицированному методу Шура, процедура анализа

стабилизируемости и детектируемости системы, вычисления Н°°-нормы и синтеза робастно стабилизирующего регулятора для объекта в форме левой нормализованной взаимно простой факторизации.

В четвертой главе диссертационной работы рассматривается решение зхадача синтеза робастных регуляторов для промышленных систем с использованием рассмотренной методики и программного обеспечения.

В разделе 4.2. решается задача синтеза закона управления для самолета ТУ-154 на режиме глиссады. Основной проблемой при этом является обеспечение устойчивости системы управления самолетом к так называемому "ветровому сдвигу". Ветровой сдвиг возникает на малых высотах из-за областей нисходящего холодного воздуха и приводит к резким скачкам высоты и вертикальной скорости самолета, что особенно опасно при посадке. Линеаризованная математическая модель самолета на режиме глиссады в отклонениях представлена в следующем виде:

х = Ах + Д V/ + В2и I = Сгх - ' у = Сух

(8)

где вектор переменных состояния х = (ДУ, А9, Д(0г, Дй, АН, Д5*Г) , вектор управления и = (бсу,Д5сг)Г, вектор возмущения IV = (н^иу и^.и'у) , а

контролируются высота и скорость % =

Д V

V - воздушная скорость самолета, Н - высота центра масс самолета, 0 - угол наклона траектории, г> - угол тангажа, Д5В - отклонение руля высоты,

Д8СГ - отклонение силы тяги, выраженное в единицах измерения отклонения сектора газа,

М>х - полный градиент горизонтальной составляющей ветра М>х в земной системе координат,

Н'у - полный градиент вертикальной составляющей ветра \\>у в земной систем

координат, сог - угловая скорость относительно оси г,

Для уменьшения влияния входного возмущения мы должны уменьшить коэффициент передачи между входом возмущения и> и контролируемым выходом г, то есть

(9)

Этот пример имеет несколько важных особенностей. Во-первых, задача синтеза регулятора ставится не как задача синтеза робастного регулятора, а как

задача минимизации чувствительности к внешнему возмущению. Во-вторых, для оценки качества полученного регулятора используется входное воздействие специализированного вида, предназначенное именно для тестирования систем управления самолетом на устойчивость к ветровым сдвигам. В-третьих, объект

управления имеет структуру соответствующую обшей задаче //""-стабилизации, когда входы возмущения и управления и выходы наблюдения и контролируемых переменных разделены, тогда как в процедуре формирования контура они должны совпадать. Тем не менее, как показано в диссертационной работе, все эти проблемы могут быть успешно разрешены с помощью предлагаемой методики и программного обеспечения. Итоговый регулятор обеспечивает следующую реакцию на входное воздействие:

ю

5

£

| -10 <

-15

-20

-25

А

А— А

\

\

\

-г1 (м) " •"-""22 (м/с)

10

20 30

Время

40

50

Рис. 7. Переходный процесс для объекта с итоговым регулятором.

Из графика рис. 7 видно, что отклонение по высоте не превосходит 1.4 м, а по скорости — 21.9 м/с, тогда как аналогичный регулятор, полученный с помощью ЬСЗО-модики дает результаты в 16 м и 37 м/с соответственно.

В разделе 4.3. работы описывается решение задачи синтеза регулятора для системы управления приводом зеркала радиотелескопа. Основной проблемой при этом является обеспечение малой ошибки слежения при порывах ветра, действующих на зеркало телескопа. Также необходимо удовлетворить ограничению на величину момента, развиваемого электродвигателем привода. Кроме того, желательно обеспечить устойчивость системы к изменениям параметров объекта управления, прежде всего, вызываемых деформацией гибкой конструкции зеркала из-за порывов ветра. Причем для более точного задания поведения системы можно использовать настройки операционного усилителя в электромеханическом корректирующем устройстве, где 5 < Гс < 15, а а - любое.

Математическая модель следящей системы имеет следующий вид:

х = Ах+ + В2и у = Схх г = Сгх

(Ю)

где вектор состояния X =

«г

со,

01 (02 е2

I "а ]

, вектор наблюдения у = [мг С01 (02 02],

вектор возмущения м> = Мн2, вектор наблюдаемых переменных г = б2 и

и -

входное управляющее напряжение; напряжение на выходе тахогенератора; напряжение на выходе операционного усилителя; момент» на валу электродвигателя; угловая скорость вращения вала электродвигателя; угол поворота вала электродвигателя; угловая скорость вращения второй массы; угол поворота второй массы; Мн1, Мн2 -возмущающие моменты нагрузки, приложенные соответственно к первой и второй массе. Окончательные требования к системе управления формулировались следующим образом. Пусть ветровой момент нагрузки Мн2 характеризуется спектральной плотностью

«а " Мдв

Ш1 -в] -

®2 " 02'

5(а>) =

2 М.

Ф

V2 + со2'

(11)

где Мф - дисперсия флюктуационной составляющей ветрового момента, V -

л

средняя частота флюктуаций ветрового момента. Принимая Л/ф=11.33Нм и

у=0.1с"1, обеспечить минимальную ошибку слежения при величине эквивалентного силового момента на валу электродвигателя, не превосходящего 50Нм.

В ходе моделирования установлено, что наилучший результат достигается при Гс=10 и се=0.005. В этом случае ошибка не превосходит 40.6 угловых секунд при эквивалентном моменте 31.5Нм. Для сравнения можно сказать, что при синтезе регулятора другими методами наилучший результат составлял 73.7 и 19.5 соответственно. Только лишь при добавлении в систему датчика, измеряющего давление ветра непосредственно и введении его сигнала в систему управления, удалось достичь ошибки слежения в 35.8 угловых секунд при моменте 55Нм. Это

свидетельствует о том, что полученный в результате //"-синтеза регулятор имеет весьма высокое качество.

Несмотря на то, что в данном примере мы рассматривали задачу синтеза прежде всего как задачу минимизации влияния помехи, вопрос робастности полученной системы также представляет существенный интерес. Основных источников неопределенностей в рассматриваемой системе два - это момент инерции объекта управления /2> который может меняться при повороте антенны в вертикальной плоскости и коэффициент демпфирования характеризующий потери в упругой конструкции антенны, который не может быть точно измерен.

Результаты расчетов ошибки слежения и эквивалентного момента представлены на рис. 8-9.

45

40;

35

га 30

Ч

? »

с; г 20

15

<

10

5

0

г

пот(гм1

"■*"момент •о» угол

1.50Е-03 2.00Е-03 2.50Е-03

Момент инерции второй массы

Рис. 8.

Изменение момента инерции второй массы.

50

Я 40 5

пот1па! """'"""момент -°-угол -

-

он О.ООЕ+ОО

2.00Е-02 4.00Е-02 6.00Е-02 8.00Е-02

Коэффициент демпфирования

Рис. 9.

Изменение коэффициента демпфирования.

Из приведенных графиков видно, что синтезированный с помощью Н°°-оптимизации регулятор не только обеспечивает высокое качество регулирования,

но и обладает существенной робастностью по отношению к изменениям параметров системы, таких как момент инерции и коэффициент демпфирования.

В конце работы приведен список литературы, содержащий 70 позиций, список обозначений (приложение 1) и описание функций интегрированного пакета программ и интерфейса к ним на языке С++ (приложение 2).

Заключение

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение и предложена архитектура программного комплекса для реализации методики синтеза

робастных регуляторов по критерию минимума //"-нормы с использованием техники "формирования контура". На их основе создан пакет прикладных программ, решающий задачу синтеза регуляторов по критерию минимума

Я"-нормы и связанные с ней задачи управления и матричного анализа.

2. Решена задача синтеза регулятора для системы управления самолета ТУ-154, где требуется обеспечить компенсацию ветрового возмущения в вертикальном канале при заходе на посадку.

3. Синтезирован регулятор для системы управления рефлектором наземного радиотелескопа, обеспечивающий минимальную чувствительность системы к ветровому возмущению при ограничении на максимальный момент, развиваемый электродвигателем привода.

4. Подробно проанализирована ориентированная на инженерные применения

методика синтеза робастных регуляторов по критерию минимума Я°°-нормы, называемая техникой "формирования контура". Рассмотрены теоретические обоснования методики, дано формальное описание алгоритма синтеза и сформулированы рекомендации по применению данной методики к решению практических задач. Предложены принципы выбора весовых функций для удовлетворения различных требований к замкнутой системе.

5. Рассмотрен вопрос о возможности получения в рамках синтеза по критерию минимума Я°°-нормы ре1уляторов, близких по качеству и низкой степени консерватизма к регуляторам, получаемым в ходе ц-синтеза. Сделан вывод о том, что для хорошо обусловленных систем, то есть систем, у которых отношение максимального сингулярного числа к минимальному близко к единице, это условие всегда выполняется.

6. Рассмотрены различные способы задания требований к системам автоматического управления в ходе синтеза регуляторов и способы

формального описания этих требования в терминах Я "-норм различных передаточных функций замкнутой системы. Приведена процедура стекирования при задании требований в терминах функций чувствительности-, и дана оценка возникающих ошибок.

Основные результаты работы представлены в следующих публикациях:

1. Дискретные цифровые и нестационарные Нр, (р = 2, °°)регуляторы и фильтры. Отчет ГосНИИ АС. 1992.

2. Исследование принципов построения систем посадки, основанных на применении дифференциального режима спутниковых навигационных систем. Отчет ГосНИИ АС. 1993.

3. Методы стохастической Н°°-оптимизации в приложении к проблемам конструирования робастных регуляторов и фильтров. Отчет ГосНИИ АС. 1993 г.

4. Мещеряков О.Г., Морзеев Ю.В. Робастная устойчивость систем автоматического управления. Тезисы Ш-го Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". 5-9.07.1994, Самара, Самарский Государственный университет.

5. Мещеряков О.Г., Морзеев Ю.В. Проектирование робастных САУ с

использованием методов Н"-теории. Тезисы 3-ей научно-технической конференции "Системы управления летательными аппаратами". 2122.03.93, Москва, МАИ.

6. Мещеряков О.Г., Морзеев Ю.В., Себряков Г.Г., Семенов А.В., Фурлетов М.Ю. Принцип обратной связи в линейной теории управления: перспективы единой теории обратной связи. Тезисы докладов 1-го Совещания "Новые направления в теории систем с обратной связью", Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 1993 г.

7. Мещеряков О.Г., Морзеев Ю.В., Семенов А.В., Фурлетов М.Ю. Стационарные и нестационарные законы обратной связи в теории робастного управления. Тезисы докладов 1-го Совещания "Новые направления в теории систем с обратной связью", Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 1993 г.

8. Мещеряков О.Г., Морзеев Ю.В., Семенов А.В., Фурлетов М.Ю. Структурные свойства линейных законов обратной связи. Тезисы докладов I-го Совещания "Новые направления в теории систем с обратной связью", Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 1993 г.

9. Мещеряков О.Г., Семенов А.В., Фурлетов М.Ю. Пакет Н-проект. Труды конференции 'Технологические средства создания систем управления", Пюхаярве, Эстония, 1992г.

10. Определение облика системы автоматической посадки магистральных пассажирских самолетов с использованием глобальной навигационной спутниковой системы (йМЗБ). Отчет ГосНИИ АС. 1993 г.