автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Адаптивные нелинейные алгоритмы локальной фильтрации векторных сигналов и изображений

Новосибирский государственный архитектурно - строительный универси'

ОД

На правах рукописи УДК 681.3

Белявцев Валерий Геннадьевич

АДАПТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЛОКАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ВЕКТОРНЫХ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2000

Диссертация выполнена на кафедре прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно - строительного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Воскобойников Ю.Е.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Спектор A.A. (НГТУ)

кандидат физико-математических наук, с.н.с. Рогазинский C.B. (ИВМиМГ)

Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной механики СО РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится " (5" 2000г. в IЬ часов на

заседании Специализированного совета Д 063.98.01 при Новосибирском государственном университете.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированнс Д 063.98.01

д.т.н., профессор ¿J / Ю.И. Еремин

специализированного совета . . ~

Д 063.98.01 ¡¿'■(ifJ^y

PW-OtjO.X- dttbUG, О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На сегодняшний день существует множество методов и алгоритмов цифровой фильтрации. Наиболее изученными являются так называемые глобальные фильтры, т.е. фильтры, при проектировании которых используются такие характеристики сигналов как спектральные характеристики или корреляционные функции. При этом указанные характеристики ставятся в соответствие всей реализации обрабатываемого сигнала, т.е. сам сигнал считается стационарным, или используется его стационарная модель. Подобная реализация позволяет достичь высокой степени сглаживания гауссовского шума, однако при обработке сигналов, содержащих резкие изменения уровня (РИУ), происходит сильное сглаживание подобных структур, что плохо сказывается на качестве фильтрации. В связи с этим все большее применение приобретают локальные нелинейные цифровые фильтры. Термин "локальные" указывает на то обстоятельство, что выходной сигнал таких фильтров определяется преобразованием исходных значений из некоторой области, называемой апертурой фильтра, размеры которой много меньше размеров обрабатываемого сигнала. Как правило, локальные фильтры имеют очень мало параметров, влияющих на качество фильтрации. Одним из таких параметров (во многих случаях единственным) служит размер апертуры локального фильтра.

Степень сглаживания шума локальным фильтром напрямую зависит от размера его апертуры, т.е. чем больше размер апертуры, тем лучше сглаживается шум, и для улучшения сглаживающих свойств размер апертуры нужно увеличивать. Однако при увеличении размера апертуры увеличивается степень искажения исходного сигнала, т.е. для лучшего сохранения деталей обрабатываемого сигнала размер апертуры локального фильтра нужно уменьшать (либо использовать только часть отсчетов, попавших в апертуру). При решении практических задач очень трудно подобрать такой размер апертуры, который обеспечивал бы приемлемое сохранение деталей исходного сигнала, и в то же время позволял бы достичь хорошей степени сглаживания шума. Это объясняется тем, что реальные сигналы, как правило, нестационарны, т.е. содержат - области с различными частотными и статистическими характеристиками. Данное обстоятельство послужило причиной появления так называемых адаптивных алгоритмов, которые могут изменять параметры фильтрации в процессе обработки исходных данных. Одним из

методов построения адаптивных алгоритмов фильтрации является использование алгоритмов адаптации размера апертуры локальных фильтров. Суть данного подхода заключается в том, что в равномерных ("гладких") областях обрабатываемого сигнала размер апертуры увеличивается, что позволяет лучше сгладить шум, а в областях, содержащих резкие изменения уровня ("контрастные" структуры), размер апертуры сокращается, что позволяет передавать исходный сигнал на выход фильтра с меньшими искажениями. Таким образом, в алгоритмах адаптации размера апертуры важнейшую роль играет критерий, на основании которого принимаются решения об изменении размера апертуры локального фильтра.

К сожалению, в литературе отсутствуют рекомендации по построению эффективных критериев адаптации и определению их параметров. Предложенные в литературе алгоритмы адаптации требуют задания дисперсии шума, что во многих случаях невыполнимо. Так же отсутствуют алгоритмы адаптации размера апертуры локальных фильтров для случая, когда входной сигнал является векторным, т.е. имеет несколько отдельных составляющих, каждая из которых несет определенную информацию о разных свойствах данного сигнала. Этот момент также имеет большое значение, поскольку во многих современных приложениях приходится иметь дело именно с таким типом сигналов. Примером векторного сигнала может служить сигнал, несущий информацию о скорости. В трехмерном пространстве этот сигнал имеет три отдельных составляющих, которые соответствуют компонентам скорости вдоль направлений трех осей.

Таким образом, задача построения скалярных и векторных алгоритмов локальной фильтрации с адаптацией размера апертуры этих фильтров является актуальной в настоящее время.

Цель и задачи работы. В соответствие со всем вышеизложенным, основными задачами данной диссертационной работы являются:

• Разработка векторных нелинейных локальных фильтров, используемых для фильтрации сигналов, имеющих векторную природу;

• Формирование критерия, используемого при принятии решений об изменении размера апертуры скалярных локальных фильтров, не требующего априорной информации о характеристиках шума и обрабатываемых сигналов и изображений;

• Разработка метода, позволяющего определять параметры алгоритмов адаптации размера апертуры скалярных локальных фильтров;

• Формирование критерия, используемого при принятии решений об изменении размера апертуры локальных векторных фильтров, не требующего априорной информации о характеристиках шума и обрабатываемых векторных сигналов и изображений;

• Разработка метода, позволяющего определять параметры векторных алгоритмов адаптации размера апертуры локального фильтра для случая обработки векторных сигналов.

Методы исследования. Теоретической основой диссертации служили: методы статистического оценивания, теория вероятностей и математическая статистика, методы линейной алгебры, вычислительные методы, разделы математического анализа. При исследовании предложенных алгоритмов адаптации размеров апертуры локальных фильтров использовался пакет прикладных программ, разработанный автором.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Предложен новый класс нелинейных алгоритмов для фильтрации векторных сигналов и изображений;

• Предложены два алгоритма адаптации размера апертуры скалярных локальных фильтров;

» Разработана процедура определения параметров алгоритмов адаптации размера апертуры для скалярных фильтров;

• Предложены два алгоритма адаптации размера апертуры векторных локальных фильтров;

• Разработана процедура определения параметров алгоритмов адаптации размера апертуры для векторных фильтров.

Практическая ценность состоит в разработке алгоритмов и пакета программ, предназначенных для обработки скалярных и векторных полей данных, которые могут быть использованы в составе математического обеспечения различных систем обработки экспериментальных данных. Разработанный комплекс программ может являться функциональным наполнением для различных программ в системах обработки данных. Последнее возможно благодаря тому, что при написании программного продукта использовались новейшие достижения в области объектно-ориентированного программирования.

Разработан пакет прикладных программ УесРП, предназначенный для обработки скалярных и векторных полей данных. С использованием разработанных алгоритмов решена важная

практическая задача - задача фильтрации полей скоростей, полученных при диагностике турбулентных потоков по данным PIV-метода.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международной конференции "International conference on the methods of aerophysical research" (Новосибирск, 1998), на международной конференции "CORUS 99" (Новосибирск, 1999), на 55-й юбилейной научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава с участием представителей строительных, проектных и научно-исследовательских организаций (Новосибирск, НГАСУ, 1998), новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (Новосибирск, 1997), 56-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава с участием представителей строительных, проектных и научно-исследовательских организаций (Новосибирск, НГАСУ, 1999). Также материалы представлены на IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-2000" (Новосибирск, 2000).

Основные положения, выносимые на защиту:

• Новый класс нелинейных векторных фильтров, предназначенных для обработки векторных сигналов и изображений;

• Критерий, используемый при принятии решений об изменении размера апертуры локальных фильтров для случая обработки скалярных сигналов;

• Два алгоритма адаптации размеров апертуры локальных фильтров, используемых при обработке скалярных сигналов и изображений;

• Критерий, используемый при принятии решений об изменении размера апертуры локальных фильтров для случая обработки векторных сигналов и изображений;

•, Два алгоритма адаптации размеров апертуры локальных фильтров, используемых при обработке векторных сигналов и изображений.

Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 9 работ, 3 из которых опубликованы в иностранных изданиях.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 90 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, изложены научная новизна, вопросы, выносимые на защиту и краткое содержание работы.

В первой главе приводится условная классификация существующих методов цифровой фильтрации, а так же указываются преимущества н недостатки каждого из методов. Так же указаны некоторые особенности реализации алгоритмов локальной фильтрации, приводящие к возможности использования алгоритмов адаптации размера апертуры локальных фильтров.

Вторая глава содержит критический анализ существующих алгоритмов адаптации размера апертуры локальных фильтров, а так же посвящена разработке новых алгоритмов адаптации АА1 и АА2, способных работать при отсутствии априорной информации о характеристиках обрабатываемого сигнала и шума.

Остановимся сначала на случае, когда апертура локального фильтра может иметь только форму квадрата. В этом случае действия, описывающие алгоритм адаптации АА1 определяются следующим образом.

I. Определяется лЬкалъное среднее т, исходного сигнала х(1, /) = у) + л(/,)). где /) - "точный" сигнал, ;;(/, /) -аддитивный, не коррелирующий с х(/, _/) шум, в соответствии с выражением:

тч ' Г >/олг—ТТ £ 2х(1,т) (1)

„■го = 7- *■„

где (2АГ1/ + 1)х(2№ч +1) - текущий размер апертуры локального фильтра, индекс у подчеркивает тог факт, что N ■ может иметь различные значения в разных точках обрабатываемого сигнала.

/2

ч

выражением:

2

2. Определяется локачьная дисперсия V в соответствии с

~ 77л?-г^ ^ (хМ-п,,)2 ' ' (2)

3. Полученное значение V* сравнивается с величиной D, которая

определяется согласно следующему выражению:

I л/,

D = -—-ll(x(i,j)-m)2, (3)

N,Nj ,=i ;=|

где TV,- X JV. - размер исходного сигнала x(i, j), т - среднее

значение, определяемое в соответствии с выражением:

i т

= ЫЬЛ W

4. На основании результата сравнения V и D изменяем значение Л'у в соответствии с выражением:

1 min[/V, +1, iVmax ], если v¡ <r¡D

Г 1 2 ' (5)

iax^-l,7VrainJ, если v(/> 1}D

где jV,nin и Л^ - значения, определяющие соответственно минимальный и максимальный размер апертуры локального фильтра, ц - коэффициент чувствительности алгоритма адаптации.

5. Пункты 1 - 4 повторяются до тех пор, пока не сработает критерий останова. В качестве критерия останова можно выбрать момент достижения величиной N одного из граничных значений Л'шт или .

Nmax , или смену знака приращения величины N¿J.

Итак, за счет введения величины D, вычисляемой в соответствии с (3), из процесса определения нового размера апертуры

локального фильтра удалось исключить дисперсию шума О „ , что является существенным достоинством в ситуациях, когда априорная информация о статистических параметрах шума недоступна.

Определим значение коэффициента чувствительности r¡, при котором алгоритм адаптации АА1 сможет корректно обнаруживать резкие изменения уровня сигнала или перепады. Утверждение 1.

Предположим, что входной сигнал x(i,j) подчиняется нормальному закону распределения N(a, а2). Тогда коэффициент чувствительности ц алгоритма адаптации АА1 может быть задан в виде: .

п

где п = -И)2 - размер апертуры локального фильтра, £2(1-а,я-1) - квантиль %2 ' распределения с п — 1 степенями

свободы уровня 1 — а, а е (0,1), а - вероятность ошибки первого рода (вероятность обнаружения резкого изменения уровня сигнала при его отсутствии).

Проведенные вычислительные эксперименты показали высокую эффективность алгоритма адаптации АА1, однако существуют некоторые недостатки в его работе. Гак, в непосредственной близости от контрастных границ размер апертуры сокращается до минимума, что приводит к прохождению шума на выход фильтра. Для устранения этого недостатка был введен алгоритм адаптации АА2, который способен изменять размеры апертуры локального фильтра и по вертикали, и по горизонтали. Это позволяет апертуре "вытягиваться" вдоль контрастной границы, что улучшает сглаживание шума в непосредственной близости от таких границ. Изменение размеров апертуры при использовании алгоритма адаптации АА.2 определяется условиями:

только определяются соответственно вдоль строк и столбцов апертуры, величины Ог и Ос имеют тот же смысл, что и величина Б (3), только определяются соответственно вдоль строк и столбцов всего исходного поля.

Утверждение 2.

Предположим, что входной сигнал „т(/,/) подчиняется нормальному закону распределения Ща, а2). Тогда коэффициент чувствительности ц алгоритма адаптации АА2 может быть задан в виде:

где величины V

2

2 2 , V ■ имеют тот же смысл, что и величина (2),

2

2

П^1-"-"-», <7,

п

где п — (2Л',' + 1)(2Л^ + 1) - размер апертуры локального фильтра, которая в данном случае может иметь форму прямоугольника, Х2(\~СС,п-\) - квантиль %2 - распределения с п—\ степенями свободы уровня 1 — а, а е (0,1), а - вероятность ошибки первого рода

Проведенные вычислительные эксперименты показали, что использование алгоритма адаптации АА2 еще более улучшает качество фильтрации. Особенно это заметно при обработке сигналов, содержащих протяженные контрастные структуры. Так, использование алгоритмов адаптации АА1 и АА2 позволяет на 5 - 20% снизить СКО фильтрации по сравнению с . минимальной СКО, получаемой при фильтрации исходных данных с помощью какого - либо локального фильтра при подборе апертуры на основе априорной информации о фильтруемом сигнале (отсутствующей на практике). Вычислительные эксперименты показали эффективность использования коэффициентов чувствительности, определяемых соотношениями (6), (7) и в случае, когда шум измерений имел распределение, отличное от нормального (экспоненциальное, равномерное).

В третьей главе вводится новый класс векторных нелинейных фильтров - векторные комбинированные фильтры, а так же производится исследование свойств построенных векторных комбинированных фильтров ВКФ1 и ВКФ2, предназначенных для обработки векторных сигналов и изображений. Определим выходной сигнал первого векторного комбинированного фильтра ВКФ1 как

^ (0 = УА[1''(Л: у е т,сЦ.НГ>,Рм (0) <с>], (8)

где - векторный сигнал, VA{•} - операция векторного

усреднения, с/(») - некая дистантная функция, определяющая расстояние между двумя векторами. В частности, данную функцию можно задать с помощью разлтных норм векторного пространства, а именно:

к=\

. d2 (F (/), F(j)) = (I (/, (0 - fk O'))2У/2;

ы

• F(j)) = maxj fk (/') - (J)| •

Таким образом, усредняются исходные значения F(j), попавшие в апертуру фильтра /(/) и "удаленные" от векторной медианы F*'(i) не более чем на величину Су. Векторной медианой некоторого набора векторов F(i) является вектор FU , принадлежащий исходной векторной последовательности F(i), и удовлетворяющий неравенству:

i d(F(i) -F") <i d(F(i) -F(j)), j = 1,..;, N /=1 /=]

Усредняемые значения F(j) могут быть искажены импульсным шумом, и для уменьшения его влияния рассмотрим второй векторный комбинированный фильтр ВКФ2. Выходной сигнал этого фильтра определяется как

FK\i) = \Jb[F\j): je l{i),d{FK'U),FM {i))<CF], (9)

и отличается от выходного сигнала предыдущего фильтра тем, что усредняются не исходные значения, а результат векторной медианой фильтрации.

Величина Су является "пороговым" значением для расстояния от FK1(i) до отсчета сигнала, подвергающегося воздействию усредняющегося оператора. Эту величину можно задавать из числовых характеристик шума. В диссертационной работе предложены следующие значения Су.

• метрика dx(-)\CF = Зтап;

• метрика d2(-):CF = 3-Jm оп ;

• метрика dx(-):CF =Оп.

ЗАМЕЧАНИЕ. Обобщение изложенных алгоритмов для фильтрации двумерных векторных полей осуществляется достаточно просто. Для этого производится замена "линейной" апертуры на "плоскую" апертуру, которая может иметь форму прямоугольника, круга, креста или другой плоской геометрической фигуры. Тогда

введенные выше векторные операции выполняются над векторами, попавшими в эту апертуру.

Проведенные исследования показали хорошие фильтрующие свойства предложенных векторных комбинированных алгоритмов, сочетающиеся с возможностью сохранять контрастные детали обрабатываемого векторного сигнала. Это иллюстрируется в таблице I, где для пяти различных векторных фильтров приводятся коэффициенты, определяющие качество фильтрации. Данные коэффициенты были получены следующим образом. Генерировался двумерный случайный векторный сигнал 7](у) по следующему правилу:

[£(/)- с вероятностьюр; \е{Г)~ с вероятностью (1 - р).

Случайный вектор £(/) имел нулевое среднее, и сумма дисперсий для

двух его статистически не зависимых проекций, подчиняющихся

1 „

нормальному закону распределения, равна С~, случайный вектор £(/) нулевое среднее и сумму дисперсий » оТакая модель

позволяла моделировать импульсные шумы, появляющиеся в

измерениях с вероятностью р.

Указанный коэффициент определялся отношением

1=1

где Г^ф - выходной сигнал исследуемого фильтра, 0 - нулевой вектор, N - объем выборки. Очевидно, что чем меньше это отношение, тем лучше фильтрующие свойства того или иного алгоритма. Как видно из приведенных данных, среди всех представленных алгоритмов векторной фильтрации предложенные векторные комбинированные фильтры обладают наилучшим качеством.

Как при фильтрации скалярных сигналов, так и в случае фильтрации векторных полей, практически невозможно подобрать оптимальный размер апертуры локального фильтра, поскольку

обрабатываемый сигнал может содержать и монотонные области, и резкие изменения уровня.

Таблица 1

Вероятность Р Размеры апертуры Типы фильтров

ВФСС ВМФ ВГФ ВКФ1 ВКФ2

0.0 2*1+1 0,285 0,537 0,453 0,301 0,265

2*2+1 0,161 0,325 0,362 0,163 0,135

2*3+1 0,112 0,231 0,308 0,113 0,088

0,01 2*1 + 1 0,307 0,376 0,328 0,213 0,186

2*2+1 0,178 0,233 0,266 0,115 0,099

2*3 + 1 0,126 0,171 0,231 0,081 0,066

0,05 2*1 + 1 0,313 0,231 0,222 0,134 0,117

2*2+1 0,181 0,141 0,194 0,071 0,061

2*3+1 0,128 0,101 0,182 0,048 0,039

0,1 2*1+1 0,318 0,179 0,205 0,106 0,092

2*2+1 0,183 0,108 0,2 0,056 0,06

2*3+1 0,129 0,077 0,191 0,038 0,044

0,25 2*1 + 1 0,327 0,166 0,279 0,127 0,112

2*2+1 0,193 0,093 0,265 0,049 0,044

2*3+1 0,138 0,069 0,248 0,033 0,031

0,4 2*1 + 1 0,325 0,226 0,351 0,211 0,195

2*2+1 0,192 0,101 0,314 0,061 0,054

2*3+1 0,138 0,072 0,282 0,035 0,034

Примечание: с1(*) = с12 (•)

По аналогии с алгоритмами адаптации АА1 и АА2 в диссертационной работе были введены векторные алгоритмы адаптации, обозначаемые как ВАА1 и ВАА2, которые оперируют векторами, как едиными элементами данных. Для этих алгоритмов адаптации были получены выражения, определяющие коэффициент чувствительности ц, и имеющие ту же структуру, что и (6), (7).

Проведенные вычислительные эксперименты показали высокую эффективность векторных алгоритмов адаптации ВАА1 и ВАА2. Так, использование этих алгоритмов позволяет на 3 -20% снизить СКО фильтрации по сравнению с минимальной СКО, получаемой при фильтрации исходных данных с помощью какого - либо локального фильтра при подборе апертуры на основе априорной информации о фильтруемом сигнале (отсутствующей на практике). Так же показано, что использование векторного алгоритма адаптации ВАА2 еще более улучшает качество фильтрации. Особенно это заметно при обработке сигналов, содержащих протяженные контрастные структуры. Результаты фильтрации (СКО фильтрации) векторным фильтром скользящего среднего (ВФСС) и векторным медианным фильтром (ВМФ) зашумленного векторного поля, аналогичного представленному на рис. 1, представлены в таблице 2.

Таблица 2

3x3 5x5 7x7 9x9 11x11 ВАА1 ВАА2

ВФСС 0.385 0.236 0.179 0.159 0.159 0.145 0.145

ВМФ 0.269 0.169 0.134 0.121 0.121 0.123 0.115

Примечание: относительная СКО задания исходных данных равна 1.153

Четвертая глава иллюстрирует применение предложенных векторных фильтров и алгоритмов адаптации для решения важной практической задачи - задачи фильтрации полей скоростей, полученных при диагностике потоков жидкостей по данным Р1У-метода.

Основной идеей Р1У-метода является вычисление поля скоростей потока по зарегистрированным в моменты / и /+¿4/ изображениям частиц в потоке. Применяя корреляционные методы, получают поле скоростей, содержащее "аномальные векторы", вызванные ограниченным объемом выборки (см. рис. 1). • Использование векторных фильтров ВКФ1 (8) и ВКФ2 (9) с

алгоритмом адаптации ВАА2 позволяет эффективно отфильтровать эти аномальные векторы, сохранив при этом "тонкую" структуру поля скоростей (см. рис. 2). В целом применение предложенных алгоритмов векторной фильтрации с адаптацией размеров апертуры позволило существенно повысить разрешающую способность Р1У-метода.

■»5 0

Л (Г- Ч.*...

Рис. 1. Поле скоростей, построенное по спотам размером 16 х 16

В пятой главе приводится описание разработанной автором прикладной программы УесРй, предназначенной для фильтрации скалярных и векторных полей данных и изображений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

• Предложен новый класс нелинейных алгоритмов для фильтрации векторных сигналов и изображений;

• Разработаны два алгоритма адаптации размера апертуры скалярных локальных фильтров;

• Разработаны два алгоритма адаптации размера апертуры векторных локальных фильтров;

• Предложен статистический подход к определению коэффициента чувствительности скалярных и векторных алгоритмов адаптации;

• Решена важная практическая задача - задача фильтрации полей скоростей, полученных при диагностике потоков жидкостей по данным Р1У-метода.

» SO Э!<1 240 "-2ЛО «СЗ

Ж Vi-vcli

Рис. 2. Поле скоростей после векторной нелинейной фильтрации

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Белявцев В.Г., Воскобойников Ю.Е., Локальные адаптивные алгоритмы фильтрации цифровых изображений // Научный вестник НГТУ. - 1997. - №3. - с.21-32.

2. Воскобойников Ю.Е., Белявцев В.Г., Алгоритмы фильтрации изображений с адаптацией размеров апертуры // Автометрия.— 1998.-№3.-с.18-25.

3. Воскобойников Ю.Е., Белявцев В.Г., Нелинейные алгоритмы фильтрации векторных сигналов // Автометрия.—1999. - №5. -с.48-57.

4. Voskoboinikov Yu.E., Belyavtsev V.G. Nonlinear processing of velocity filds calculated with PIV-method data // Proceedings of

International conference on Methods of Aerophysics research. Novosibirsk. - 1998. -p.234-238. .

5. Voskoboinikov Yu.E., Belyavtsev V.G. Nonlinear algorithms for vector signal filtering// Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. - 1999. -- №5. - p.29-38.

6. Voskoboinikov Yu.E., Belyavtsev V.G. Filtering algorithms with adaptive sizes of aperture// Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. - 1998. --№3. - p.46-54.

7. Белявцев В. Г. Векторные фильтры с адаптацией размера апертуры // Труды НГАСУ. - 1999. - Т. 2, №1. - с. 5-10.

8. Белявцев В. Г., Нелинейные комбинированные алгоритмы фильтрации изображений // Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири". Новосибирск. - 1997. - с. 4-5.

9. Belyavtsev V.G. Vector filters with adaptive windowing // Abstracts of the Third Russian - Korean international symposium on science and technology KORUS - 99, Novosibirsk State Technical University. -Novosibirsk. - 1999. - Vol. 1. - p.247.

Введение.

Глава 1. Цифровая фильтрация. Современное состояние.

1.1. Классификация существующих методов цифровой фильтрации.

1.2. Принципы локальной фильтрации.

1.3. Алгоритмы локальной фильтрации.

1.3.1. Линейные локальные фильтры.

1.3.2. Фильтры, использующие порядковые статистики.

1.3.3. Комбинированные фильтры.

1.3.4. Гибридные фильтры.

1.4. Особенности использования локальных фильтров.

Глава 2. Адаптация размера апертуры скалярных локальных фильтров.

2.1. Основные принципы построения алгоритмов адаптации.

2.2. Алгоритм адаптации А А1.

2.3. Алгоритм адаптации АА2.

Глава 3. Адаптация размера апертуры векторных локальных фильтров.

3.1. Нелинейные локальные векторные фильтры.

3.1.1. Комбинированные векторные фильтры.

3.2. Векторный алгоритм адаптации ВАА1.

3.3. Векторный алгоритм адаптации ВАА2.

3.4. Использование скалярных фильтров при обработке векторных полей данных.

Глава 4. Фильтрация полей скоростей при решении задачи диагностики турбулентных потоков по данным Р1У-метода.

4.1. Обратная задача Р1У-метода.

4.2. Корреляционные методы решения обратной задачи Р1У-метода.

4.3. Обработка полей векторов скоростей, полученных по данным Р1У-метода.

Глава 5. Описание прикладной программы "УесйГ.

5.1. Создание исходного объекта.

5.1.1. Создание исходного тестового объекта.

5.1.2. Создание исходного объекта путем открытия файла с данными.

5.2. Зашумление исходного объекта.

5.2.1. Способы определения величины "базовой" дисперсии шума.

5.2.2. Выбор закона распределения функции плотности вероятности составляющих шума.

5.2.3. Задание величин дисперсий низкоамплитудной и импульсной составляющих шума.

5.2.4. Определение вероятностей появления низкоамплитудной и импульсной составляющих шума.

5.2.5. Задание общей вероятности искажения исходного сигнала шумом.

5.3. Фильтрация зашумленного объекта.

Актуальность темы. Одним из сопутствующих факторов компьютерной революции стало появление совершенно новых областей исследования. С каждым годом по мере увеличения быстродействия, уменьшения стоимости и размеров вычислительных систем, растут возможности решения задач все возрастающей сложности. К подобным задачам относиться и цифровая фильтрация многомерных скалярных и векторных сигналов [3, 12, 19, 60, 86, 87](в том числе и изображений), требующая значительных объемов цифровой памяти, и соответствующего объема арифметических операций, и поэтому получившая развитие лишь в последнее время.

Основной задачей фильтрации является устранение шума без искажения (или с небольшими искажениями) деталей обрабатываемого сигнала [33]. Существует множество методов и алгоритмов цифровой фильтрации, призванных решать поставленную задачу. Наиболее изученными на данный момент являются так называемые глобальные фильтры, т.е. фильтры, при проектировании которых используются такие характеристики сигналов как спектральные характеристики или корреляционные функции [2 ,7, 17-20, 22, 23, 29, 32-36, 42, 43, 45, 47-49, 81]. При этом указанные характеристики ставятся в соответствие всей реализации обрабатываемого сигнала, т.е. сам сигнал считается стационарным, или используется его стационарная модель [2, 43]. Наибольшее распространение в данном классе фильтров получили линейные фильтры [2, 19, 22, 23, 29, 32, 42, 47-49, 81], выход которых определяется как линейная функция от значений входного сигнала. Подобная реализация позволяет достичь высокой степени сглаживания гауссовского шума, однако при обработке сигналов, содержащих резкие изменения уровня, происходит сильное сглаживание подобных структур [19, 33, 42, 43], что плохо сказывается на качестве результата фильтрации. В связи с этим все большую популярность приобретают локальные нелинейные цифровые фильтры [6, 13, 27, 40, 46, 50-52, 54, 56-58, 61, 62, 64, 65, 70, 71, 76-78, 82, 88, 89]. Термин "локальные" указывает на то обстоятельство, что такие фильтры определяются на некоторой области, размеры которой много меньше размеров обрабатываемого сигнала, а фильтрация осуществляется движением этой области по исходному сигналу. Указанная область называется окном фильтра, или апертурой фильтра. Термин "нелинейные" подчеркивает тот факт, что характер операций, производимых для получения выходного значения, является нелинейным. Как правило, локальные фильтры имеют очень мало параметров, с помощью которых можно влиять на его поведение. Одним из таких параметров (во многих случаях единственным) служит размер апертуры локального фильтра.

Известно, что степень сглаживания шума локальным фильтром напрямую зависит от размера его апертуры, т.е. чем больше размер апертуры, тем лучше сглаживается шум, и для улучшения сглаживающих свойств размер апертуры нужно увеличивать. Однако при увеличении размера апертуры увеличивается степень искажения исходного сигнала, т.е. для лучшего сохранения деталей обрабатываемого сигнала размер апертуры локального фильтра нужно уменьшать (либо использовать только часть отсчетов, попавших в апертуру). При решении практических задач очень трудно подобрать такой размер апертуры, который обеспечивал бы приемлемое сохранение деталей исходного сигнала, и в то же время позволял бы достичь хорошей степени сглаживания шума. Это объясняется тем, что реальные сигналы, как правило нестационарны, т.е. содержат области с различными частотными и статистическими характеристиками. Данное обстоятельство послужило причиной появления так называемых адаптивных алгоритмов [4, 5, 11, 25, 26, 30, 39, 59, 66, 69, 73-75, 79, 83-85], которые могут изменять параметры фильтрации в процессе обработки исходных данных. Одним из методов построения адаптивных алгоритмов фильтрации является использование алгоритмов адаптации размера апертуры локальных фильтров [4, 5, 11, 66, 74, 84, 85]. Суть данного подхода заключается в том, что в равномерных ("гладких") областях обрабатываемого сигнала размер апертуры увеличивается, что позволяет лучше сгладить шум, а областях, содержащих резкие изменения уровня ("контрастные" структуры), размер апертуры сокращается, что позволяет передавать исходный сигнал на выход фильтра с меньшими искажениями. Таким образом, в алгоритмах адаптации размера апертуры важнейшую роль играет критерий, на основании которого принимаются решения об изменении (уменьшении или увеличении) размера апертуры локального фильтра.

Существует несколько подходов к формированию данного критерия. В некоторых случаях ([66]) для принятия решения об изменении размера апертуры используются свойства медианного фильтра удалять импульсы шума определенной длины, т.е. предметом обнаружения служат не "тонкие" структуры, присутствующие в исходном сигнале, а импульсы шума. Однако использование подобного алгоритма адаптации ограничивает область его применения указанным классом фильтров, кроме того в работе [66], где был предложен указанный алгоритм адаптации, не дано конкретных рекомендаций по выбору его параметров.

Более распространенным подходом к формированию критерия, влияющего на процесс принятия решения об изменении размера апертуры локального фильтра, является использование локальных статистик [74, 84] (как правило используются моменты первого и второго порядков -математическое ожидание и дисперсия). В этом случае в каждой точке обрабатываемого сигнала для текущего размера апертуры определяется величина локальной дисперсии, которая затем сравнивается с некоторой пороговой величиной. На основании результата сравнения этих двух величин принимается решение об изменении размера апертуры локального фильтра: в случае, если величина локальной дисперсии превышает заданное пороговое значение (в апертуре фильтра содержится контрастный участок), то принимается решение об уменьшении размера апертуры; в случае, если величина локальной дисперсии меньше заданного порогового значения апертура фильтра находится в монотонном участке), то принимается решение об увеличении размера апертуры.

Однако в работах [74, 84] не дано четких рекомендаций по определению конкретных значений пороговых величин, используемых при принятии решений об изменении размера апертуры, кроме того выражения, определяющие эти пороговые величины, содержат дисперсию шума, значение которой при решении практических задач не всегда доступно. Так же не рассмотрено применение алгоритмов адаптации размера апертуры локальных фильтров применительно к случаю, когда входной сигнал является векторным, т.е. имеет несколько отдельных составляющих, каждая из которых несет определенную информацию о разных свойствах данного сигнала. Этот момент также имеет большое значение, поскольку во многих современных приложениях приходится иметь дело именно с таким типом сигналов. Характерными примерами векторных сигналов могут служить многоспектральные изображения, получаемые со спутников, или стандартные цветные изображения в телевизионных системах. В этих случаях разные составляющие содержат информацию о разных частях спектра сигнала. Другой пример векторного сигнала - сигнал, несущий информацию о скорости. В трехмерном пространстве этот сигнал имеет три отдельных составляющих, которые соответствуют компонентам скорости вдоль направлений трех осей.

Таким образом, задача построения скалярных и векторных алгоритмов локальной фильтрации с адаптацией размера апертуры этих фильтров является актуальной в настоящее время.

Цель и задачи работы. В соответствие со всем вышеизложенным, основными задачами данной диссертационной работы являются:

• Разработка векторных нелинейных локальных фильтров, используемых для фильтрации сигналов, имеющих векторную природу;

• Формирование критерия, используемого при принятии решений об изменении размера апертуры скалярных локальных фильтров, не требующего априорной информации о характеристиках шума и обрабатываемых сигналов и изображений;

• Разработка метода, позволяющего определять параметры алгоритмов адаптации размера апертуры скалярных локальных фильтров;

• Формирование критерия, используемого при принятии решений об изменении размера апертуры локальных векторных фильтров, не требующего априорной информации о характеристиках шума и обрабатываемых векторных сигналов и изображений;

• Разработка метода, позволяющего определять параметры векторных алгоритмов адаптации размера апертуры локального фильтра для случая обработки векторных сигналов.

Методы исследования. Теоретической основой диссертации служили: методы статистического оценивания, теория вероятностей и математическая статистика, методы линейной алгебры, вычислительные методы, разделы математического анализа. При исследовании предложенных алгоритмов адаптации размеров апертуры локальных фильтров использовался пакет прикладных программ, разработанный автором.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Предложен новый класс нелинейных алгоритмов для фильтрации векторных сигналов и изображений;

• Предложены два алгоритма адаптации размера апертуры скалярных локальных фильтров;

• Разработана процедура определения параметров алгоритмов адаптации размера апертуры для скалярных фильтров;

• Предложены два алгоритма адаптации размера апертуры векторных локальных фильтров;

• Разработана процедура определения параметров алгоритмов адаптации размера апертуры для векторных фильтров.

Практическая ценность состоит в разработке алгоритмов и пакета программ, предназначенных для обработки скалярных и векторных полей данных, которые могут быть использованы в составе математического обеспечения различных систем обработки экспериментальных данных. Разработанный комплекс программ может являться функциональным наполнением для различных программ в системах обработки данных. Последнее возможно благодаря тому, что при написании программного продукта использовались новейшие достижения в области объектно-ориентированного программирования.

Разработан пакет прикладных программ VecFil, предназначенный для обработки скалярных и векторных полей данных. С использованием разработанных алгоритмов решена важная практическая задача Решена важная практическая задача - задача фильтрации полей скоростей, полученных при диагностике потоков жидкостей по данным PIV - метода.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Новый класс нелинейных векторных фильтров, предназначенных для обработки векторных сигналов и изображений;

• Критерий, используемый при принятии решений об изменении размера апертуры локальных фильтров для случая обработки скалярных сигналов;

• Два алгоритма адаптации размеров апертуры локальных фильтров, используемых при обработке скалярных сигналов и изображений;

• Критерий, используемый при принятии решений об изменении размера апертуры локальных фильтров для случая обработки векторных сигналов и изображений;

• Два алгоритма адаптации размеров апертуры локальных фильтров, используемых при обработке векторных сигналов и изображений.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международной конференции "International conference on the methods of aerophysical research" (Новосибирск, 1998), на международной конференции

CORUS 99" (Новосибирск, 1999), на 55-й юбилейной научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава с участием представителей строительных, проектных и научно-исследовательских организаций (Новосибирск, НГАС, 1998), новосибирской межвузовской научной студенческой конференции "Интеллектуальный потенциал Сибири" (Новосибирск, 1997), 56-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава с участием представителей строительных, проектных и научно-исследовательских организаций (Новосибирск, НГАСУ,

1999). Также материалы представлены на IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике «ИНПРИМ-2000» (Новосибирск,

2000).

Публикации. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 9 работ, 3 из которых опубликованы в иностранных изданиях.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Выход

ООО Ь

Рнс.3.1. Пример покомпонентной медианной фильтрации цветового векторного сигнала медианным фильтром с длиной апертуры 5. я ы N d(F(i)-FM) < ^d(F(i)-F(j)), j = 1,.,N, (3.4) i=l i=l где d(•) - некая дистантная функция, определяющая расстояние между двумя векторами. В частности, данную функцию можно задать с помощью различных норм векторного пространства, а именно: т

• d1(F(i),F(j))= Z\fk(i)-fk(j)\; к=1

ТН

•d2(F(i),F(j)) = (l(fk(i)-fk(j))2)]/2- (3.5) к=1

•dJF(i),F( j)) = тах\ fk(i) -fk(j)|. к

В дальнейшем для векторной медианной фильтрации будем использовать обозначение:

FM(i) =VM[F(i - М), ., F(i), F(i +M)J (3.6)

Векторные медианные фильтры с расстояниями d1(-),d2(-) имеют следующие свойства [3]:

• как и в случае скалярных сигналов, векторный сигнал "ступенчатого" типа является корневым, т.е. не изменяется при фильтрации;

• многократная повторная фильтрация конечного векторного сигнала приводит к получению корневого сигнала.

Известно [3], что векторные медианные фильтры гораздо хуже подавляют нормально распределенные шумы по сравнению с векторным фильтром скользящего среднего (в дальнейшем - ВФСС), выходной сигнал которого определяется следующим образом:

7 i+M

FA(i) =\Ik[F(i-M),.,F(i),.,F(i + M)]=~^~ ^F(j) (3.7)

2M + 1 j=iM

Хотя все операции, выполняемые ВФСС (3.7) полностью совпадают с операциями, выполняемыми скалярным ФСС, в дальнейшем, для обозначения фильтра (3.7), мы все - таки будем использовать приставку "векторный".

Следуя работе [13], введем в рассмотрение комбинированные векторные фильтры, в определенной степени объединяющие достоинства ВМФ (сохранение контрастных деталей и хорошее подавление импульсных шумов) и ВФСС (хорошая фильтрация "низкоамплитудного", не обязательно нормально распределенного шума).

3.1.1 КОМБИНИРОВАННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ФИЛЬТРЫ

Определим выходной сигнал первого комбинированного векторного фильтра (в дальнейшем - ВКФ1) как

РК1(1) = УА[Е(]): У е Ц1)4(Р(]),РМ0)) <СР], (3.8) т.е. усредняются исходные значения Еф, попавшие в апертуру фильтра и "удаленные" от векторной медианы Ем{Ч) не более чем на величину Ср. Усредняемые значения Еф искажены шумом, и для уменьшения его влияния рассмотрим второй комбинированный векторный фильтр (в дальнейшем -ВКФ2). Выходной сигнал этого фильтра определяется как

ЕК2(1) = УА[ЕМ(]): у е 1(1)Д(ЕМ(]),ЕМ(1))< Ср] (3.9) и отличается от сигнала предыдущего фильтра тем, что усредняются не исходные значения, а результат медианой фильтрации.

Величина Ср является "пороговым" значением для расстояния от Емф до отсчета сигнала, подвергающегося воздействию усредняющегося оператора. Эту величину можно задавать из числовых характеристик шума. Так, для скалярного сигнала величина Ср задается исходя из дисперсии искажений о2п, например Ср = Зоп [13], т.е. из закона "трех сигм". Определим величину Ср для случая т - мерного векторного сигнала Еф. Предположим, что компоненты пк(к = 1,2,.,т) векторного шума п независимы, и подчиняются нормальному распределению с дисперсией и "точный" сигнал локально стационарен (т.е. не содержит "ступенек"). Тогда для векторного зашумленного сигнала можно рекомендовать следующие значения Ср.

• метрика ¿/у(-)'-Ср = Зтап; (3.10)

• метрика й2(-):Ср =з4топ\ (3.11)

• метрика с100(-):Ср =оп . (3.12)

ЗАМЕЧАНИЕ. Обобщение изложенных алгоритмов для фильтрации двумерных векторных полей осуществляется достаточно просто. Для этого производится замена "линейной" апертуры на "плоскую" апертуру, которая может иметь форму прямоугольника, круга, креста или другой плоской геометрической фигуры. Тогда введенное выше векторные операции выполняются над векторами, попавшими в эту апертуру.

Более детальный обзор нелинейных векторных фильтров можно найти, например, в работе [12], а здесь мы приведем некоторые результаты вычислительных экспериментов, полученных в [12].

Генерировался двумерный случайный вектор Т](]) по следующему правилу:

Г £ (I)— с вероятностью р; ^ [£(г)— с вероятностью (1 — р).

Случайный вектор е(I) имел нулевое среднее, и сумма дисперсий для двух его статистически не зависимых проекций, подчиняющихся нормальному закону распределению, равна а2е, случайный вектор ¿) нулевое среднее и сумму дисперсий о^ » о|. Такая модель позволяла моделировать импульсные шумы, появляющиеся в измерениях с вероятностью р.

Определим коэффициент ослабления шума отношением

К = ,=д'-----'

4(0,0) 1=1 где Рф (I) - выходной сигнал исследуемого фильтра, 0 - нулевой вектор, N -объем выборки. Очевидно, что чем меньше это отношение, тем лучше фильтрующие свойства того или иного алгоритма.

В таблице 3.1 приведены значения К для пяти исследуемых фильтров при б/ (•) = , для разных значений р ( вероятности появления импульсного шума) и различных размеров апертуры. В данной таблице приведены также результаты работы ВГФ - векторного гибридного фильтра, скалярный вариант которого был описан в главе 1. В отличии от скалярного гибридного фильтра в ВГФ выходом является векторная медианная величина, определяемая на множестве выходов векторных подфильтров (в качестве которых могут быть использованы ВФСС).

В таблице 3.2 приведены значения К при (■) = (¿¡(-) , а в таблице 3.3 значения К для с1 (■) = с!^ (■). Во всех вычислительных экспериментах объем выборки ./Убыл равен 10000, а "пороговое" значение С/г для комбинированных фильтров задавалось выражениями (3.10), (3.11), (3.12). Дисперсия = 10, а

10000. Анализ таблиц 3.1 - 3.3 показывает, что даже в отсутствии импульсных шумов (р = 0) предлагаемые векторные комбинированные фильтры ВКФ1 и ВКФ2 имеют меньшие значения К среди других рассматриваемых фильтров.

При появлении импульсных шумов фильтры ВКФ1 и ВКФ2 имеют существенно меньшие значения К. Таким образом, проведенные исследования показали хорошие фильтрующие свойства предложенных векторных комбинированных алгоритмов, сочетающиеся с возможностью сохранять контрастные "детали" (высокочастотные составляющие) обрабатываемого векторного сигнала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над диссертацией решены следующие важные задачи:

• Предложен новый класс нелинейных алгоритмов для фильтрации векторных сигналов и изображений;

• Разработаны два алгоритма адаптации размера апертуры скалярных локальных фильтров;

• Разработаны два алгоритма адаптации размера апертуры векторных локальных фильтров;

• Предложен статистический подход к определению коэффициента чувствительности скалярных и векторных алгоритмов адаптации;

• Решена важная практическая задача - задача фильтрации полей скоростей, полученных при диагностике потоков жидкостей по данным Р1У-метода.

Следует отметить и тот факт, что разработанное программное обеспечение может быть использовано в составе математического обеспечения различных систем обработки экспериментальных данных. Разработанный комплекс программ так же может являться функциональным наполнением для различных программ в системах обработки данных. Последнее возможно благодаря тому, что при написании программного продукта использовались новейшие достижения в области объектно-ориентированного программирования.

1. Адаптивные фильтры: Пер. с англ./ Под. ред. К.Ф. Коуэна и П.М. Гранта. -М.: Мир, 1988.

2. Анисимов А. С. Методы цифровой фильтрации. Новосибирск: изд. НЭТИ, 1992.-82 с.

3. Астола Я., Хаависто П., Неуво Ю. Векторные медианные фильтры // ТИИЭР.- 1990. №4.-с. 82-95

4. Белявцев В. Г., Векторные фильтры с адаптацией размера апертуры // Труды НГАСУ. 1999. - Т. 2, №1. - с. 5-10.

5. Белявцев В.Г., Воскобойников Ю.Е., Локальные адаптивные алгоритмы фильтрации цифровых изображений // Научный вестник НГТУ. 1997. - №3.- с.21-32.

6. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений. Преобразования и медианные фильтры. Хуанг Т. С., Эклунд Дж.-О., Нуссбаумер Г. Дж. и др. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1984. - 224 с.

7. Васильев К.К., Крашенинников В.Р. Методы фильтрации многомерных случайных полей. Саратов: изд. Сарат. гос. ун-т, 1990. 84 с.

8. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов H.H. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. Новосибирск: Наука, 1998. - 102 с.

9. Воскобойников Ю.Е. Частотный подход к оценке точности сглаживания и дифференцирования эксперементальных данных на основе сглаживающих сплайнов // Автометрия. 1986. — №1. - с. 38-46.

10. Ю.Воскобойников Ю.Е., Тимошенко Е.И. Математическая статистика. Учебное пособие для студентов экономических факультетов строительных вузов. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. 1996. -99с.

11. Воскобойников Ю.Е., Белявцев В.Г., Алгоритмы фильтрации изображений с адаптацией размеров апертуры // Автометрия.—1998. №3. - с. 18-25.

12. Воскобойников Ю.Е., Белявцев В.Г., Нелинейные алгоритмы фильтрации векторных сигналов // Автометрия.—1999. №5. - с.48-57

13. Воскобойников Ю.Е., Бронников Д.В. комбинированные алгоритмы нелинейной фильтрации зашумленных сигналов и изображений // Автометрия.—1990. №1. - с.21-28.

14. Воскобойников Ю.Е., Иванов М.С., Мосейчук О.Н., Кисленко Н.П. Эффективные алгоритмы вычисления и обработки полей скоростей по изображению частиц в потоке // Автометрия.—1996. ~ №3. с.34-42.

15. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М. .-Наука. 1972.

16. Троп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир. - 1979. - 302 с.

17. Грузман И. С. Двухэтапная фильтрация бинарных изображений // Автометрия.—1999. №3. - с.42.

18. Грузман И.С., Микерин В.И., Спектор A.A. Двухэтапная фильтрация изображений на основе использования ограниченных данных //Радиотехника и электроника, 1995, №5.

19. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 488 с.

20. Демин Н. С., Рожкова С. В. Фильтрация стохастических сигналов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Автометрия.—1999. №3. - с.23.

21. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979.

22. Жданов О.П., Шаталов В.И. Структура рекурсивного цифрового фильтра без предельных циклов и с низкими шумами окружения для случая высокодобротной цифровой фильтрации // Электросвязь. 1993. - N 3. -С.33-34.

23. Жданов О.П., Шаталов В.И., Шаймарданов Ф.А. Цифровая узкополосная фильтрация с низкими погрешностями квантования // Электросвязь. 1992. -N 1. -С.43-44.

24. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980.-286с.

25. Иванов О.Ю. Сглаживание спекл-шума на изображениях РСА. Рукопись деп. В ВИНИТИ №Ю60-В95 от 18.04.95, 36 с.

26. Иванов О.Ю., Коберниченко В.Г. Исследование алгоритмов фильтрации и выделения границ на космических радиолокационных изображениях//Цифровые радиоэлектронные системы (эл.журнал).1999. Вып.2.

27. Использование алгоритмов нелинейной фильтрации для улучшения качества восстановленных томографических изображений. Воскобойников Ю. Е., Касьянова С. Н., Кисленко Н. П. И др. // Автометрия.—1997. №3. - с.92.

28. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высш. Шк. -1994.

29. Каппелини В., Константинидис Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983.

30. Курбатова Е.В., Нифонтов Ю.А. Адаптивное подавление помех //Цифровые радиоэлектронные системы (эл.журнал).1999. Вып.2.

31. Марпл С.Л. мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. Пер. с англ. - М.: Мир. - 1990. - 584 с.

32. Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1986. - 400 с.

33. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. В 2-х книгах. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - Кн. 1 - 912 е., Кн. 2 - 480 с.

34. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. -М.: Мир.- 1978.-847с.

35. Розенфельд А. Распознавание и обработка изображений с помощью вычислительных машин. Пер. с англ. М.: Мир, 1972. - 232 с.

36. Сарнадский В. Н. Метод трехканальной цифровой комплексной фильтрации для обработки фазомодулированных изображений // Автометрия.—1999. -№5. -с.92.

37. Смирнов Н.В., Дунин Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука. - 1969.

38. Солодовников В.В. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга вторая. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. М. Машиностроение, 1967. - 682 с.

39. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989.

40. Фурман Я. А., Хафизов Р. Г. Согласованно-избирательная фильтрация изображений протяженной формы в реальных ландшафтных сценах // Автометрия.—1999. №2. - с. 12.

41. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. Пер. с англ. М.: Статистика. - 1980. - 95 с.

42. ХеммингР.В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987.

43. Цифровая обработка изображений в информационных системах. Грузман И.С., Киричук B.C., Косых В.П. и др. Новосибирск: изд. НГТУ, 2000. 166 с.

44. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. М.: Мир. 1975. - 685с.

45. Эпов А. Е. Анализ характеристик сглаживающих и дифференцирующих рекурсивных фильтров // Автометрия.—1995. №2. - с.92.

46. Яншин В., Калинин Г. Обработка изображений на языке СИ для IPM PC. Алгоритмы и программы.М.: Мир, 1994. 240с.

47. Ярославский Л. П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979.-312 с.

48. Ярославский Л. П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: введение в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1987. 296 с.

49. Ярославский Л. П. Цифровая фильтрация сигналов. М.: изд. МФТИ, 1981. -68 с.

50. Arce G.R., Gallagher N.C., Jr. State description for the root-signal set of median filters // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1982. - Vol. ASSP 30. - №12. - p. 894-902.

51. Arce G.R., McLoughin M.P. Theoretical analysis of the max/median filter // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1987. - Vol. ASSP 35. - №6. -p. 60-69.

52. Ataman E., Aatre V.K., Wong K.M. Some statistical properties of median filters // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1981. - Vol. ASSP 29. -№10. - p. 1073-1075.

53. Bjorkquist D.C., Fingerson L.M. Particle Image Velocimetry. // TSI Incorporated, Progres in Visualization, Vol 1, Atlas of Visualization, Pergamon Press, 1992

54. Bovik A. Streaking in median filtered images // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1987. - Vol. ASSP 35. - №4. - p. 493-503.

55. Cenedse A., Paglialunda A. Digital direct analyses of a multiexpesed photograph in PIV // Experiments in Fluids. 1990. v.8. - p.273

56. Devies E.R. Edge location shifts produced by median filters: theoretical bounds and experimental results // Signal processing. 1989. - Vol. 16. - №2. - p. 83-86.

57. Frost V.S., Stiles J.A., Holtzman Radar image processing // Machine Processing of remotely sensed date symposium, 1980.

58. Galatsanos N.P., Chin R.T. Digital restoration of multichannel images // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1989. - Vol. ASSP 37. - №3. -p. 415-421.

59. Gallagher N.S., Jr., Wise G.L. Theoretical analysis of properties of median filters // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1981. - Vol. ASSP 29. - №12. - p. 1136-1141. (Медианные фильтры)

60. Gandhi Prashinant P., Song Iichkho, Kassam Salem A. Nonlinear smoothing filters based on rank estimates of location // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1989. - Vol. 37. - №9. - p. 1359-1379.

61. Graven P., Wahba G. Smoothing noisy data with spline functions estimating the correct degree of smoothing parameter by the method of general cross-validation // Numerische Mathematik. 1979. V.31. №2. C.377-403

62. Heinonen P., Neuvo Y. FIR-madian hybrid filters with predictive FIR substructures // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1988. -Vol. ASSP 36. - №6. - p. 892-899.

63. Heinonen P., Neuvo Y. FIR-median hybrid filters // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1987. - Vol. ASSP 35. - №6. - p. 832-838.

64. Но-Ming Lin, Alan N. Willson, Jr. Median filters with adaptive length // IEEE Trans. On circuits and systems. 1988. - Vol. 35. - №6. - p. 675-690.

65. Keane R.D., Adrian R.J. Optimization of Particle Image Velocimeters // Part 1 -Double Pulsed Systems. University of Illinois, Measurement Science and Technology, Vol. 1, 1990

66. Keane R.D., Adrian R.J. Optimization of Particle Image Velocimeters // Part 2 -Multiple Pulsed Systems. University of Illinois, Measurement Science and Technology, Vol. 2, 1991

67. Krishna S.N., Curlander J.C. Speckle noise reduction of 1-look SAR imagery // Proceedings of IGARSS'87 Symposium, Ann Arbor 18-21 May, 1987.

68. Kuhlmann F., Wise G.L. On second moment properties of median filtered sequences of independent data // IEEE Trans, commun. 1981. - Vol. COM-29. №9. - 1374-1379.

69. Kumar В. V. K., A. Mahalanobis Recent advances in distortion-invariant correlation filter design // Proceedings of SPIE. 1995. - 2490, p. 2-13.

70. Landreth C.C. , Adrian R.J. Electrooptical Image shifting for Particle Image Velocimetry. // University of Illinois, Applied Optics, Vol. 27, No 20, 1988

71. Lee J.-S. Statistical modelling and suppression of speckle in synthetic aperture radar images // Proceedings of IGARSS'87 Symposium, Ann Arbor 18-21 May, 1987.

72. Mahesh B., Song W.-G., Perlman W.A. Adaptive estimators for filtering noisy images // Optical Engeneering. 1990. - Vol. 29. - №5. - p. 488-494.

73. Nieminen A., Heinonen P., Neuvo Y. Median-type filters with with adaptive substructures // EEE Trans, on circuits and systems. 1987. - Vol. CAS-34. - №6. - p. 842-847.

74. Nieminen A., Neuvo Y. Comments on theoretical analysis of the max/median filter // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1988. - Vol. ASSP36.-№5.-p. 826-827.

75. Nieminen Ari, Heinonen Pekka, Neuvo Yrjo. A new class of detail-preserving filters for image processing // IEEE Trans, on pattern analysis and machine intelligence. 1987. - Vol. 9. - №1. - p. 74-89.

76. Nodes T.A., Gallagher N.S., Jr. The output distribution of median-type filters // IEEE Trans, commun. 1984. - Vol. COM-32. №5. - 532-541.

77. Perlman S.S. Adaptive median filtering for impulse noise elimination on real time TV signals // IEEE Trans, commun. - 1987. - Vol. COM-35. №6. - 646-652.

78. Raffel M., Leitl B., Kompenhans J. Data validation for particle image velocimetry // Lazer Technigues and Applications in Fluid Mechanics. Springer Verlag. -1993.

79. Richard F. Betts. Digital-filter synthesis serves DSP aplications // ED. 1992. №. 5.-P. 65 - 74.

80. Sanie Jafar, Donohue Kevin D., Bilgutay Ninat M. Order statistic filters as postdetection processors // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1990. - Vol. 38. - №10. - p. 1722-1732.

81. Shiaw-Shiang Jiang, Alexander A. Sawchuk. Noise updating repeated Wiener filter and other adaptive noise smoothings filters using local image statistics // Applied optics. 1986. - Vol. 25. №14. - p. 2326-2337.

82. Song Wo-Jin, Perlman William A. Edge-preseving noise filtering based on adaptive windowing // IEEE Trans, on circuits and systems. 1988. - Vol. 35. -№8. - p. 1048-1054.

83. Voskoboinikov Yu.E., Belyavtsev V.G/ Filtering algorithms with adaptive sizes of aperture// Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 1999. — №3. -p.46-54.

84. Voskoboinikov Yu.E., Belyavtsev V.G/ Nonlinear algorithms for vector signal filtering // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 1999. — №5. -p.29-38.

85. Voskoboinikov Yu.E., Belyavtsev V.G/ Nonlinear processing of velocity filds calculated with PIV-method data // Proceedings of International conference on Methods of Aerophysics research. Novosibirsk. 1998. - p.234-238.

86. Wang Xin, Wang Dejung. On the max/median filter // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1990. - Vol. 38. - №8. - p. 1473-1475.

87. Wichman R., Astola J., Neuvo Y. The in-place growing median concept for filtering signals with noisy edges // IEEE Trans, on acoustics, speech and signal processing. 1989. - Vol. ASSP 30. - №5. - p. 1235-1238.

88. Willert C.E., Gharib M. Digital particle image velocimetry // Experiments in Fluids. 1991.—v. 10. - p. 181-193.1. УТВЕРЖДАЮ1. СПРАВКАоб использовании результатов диссертационной работы В.Г. Белявцева

89. Заведующий лабораторией № 7доктор физико-математических наук1. М.С. Иванов

90. Заведующий лабораторией № 1 доктор технических наук1. В.М. Бойко