автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Адаптивные методы дисперсионной идентификации технологических процессов

российская академия наук

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

На правах рукописи УДК 681.511.4015

БОЛКВАДЗЕ Гиви Ризаевич

АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ДИСПЕРСИОННОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Специальность: 05.13.06 — Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (в промышленности)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени > доктора технических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН и в Институте кибернетики ГАН

Научный консультант - доктор технических наук, профессор

ПАЩЕНКО Федор Федорович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

АФАНАСЬЕВ Валерий Николаевич

доктор технических наук, профессор БУКОВ Валентин Николаевич

доктор технических наук, профессор ЛОТОЦКИЙ Владимир Алексеевич

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН.

Защита состоится «<£ у» 2006г. в ÖO часов на

заседании Диссертационного Совета №1 (Д 002.226.01) Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65. Телефон Совета: 334-93-29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

Автореферат разослан «_ УЗ _» 2006г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор технических наук

В.К. Акинфиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Актуальность проблемы разработки новых методов моделирования и управления техническими системами (ТС) и технологическими процессами (ТО) в разных отраслях народного хозяйства обусловлена необходимостью улучшения качества функционирования этих систем с целью достижения выпуска высококачественных конечных продуктов, снижения энерго- и трудоемкости ТП, автоматизации процессов сбора и обработки данных о системе, процессов идентификации и адаптивного управления на базе современных информационных технологий.

На современном этапе автоматизации и компьютеризации процесса управления ТС, ТП и производствами черной, цветной, теплоэнергетической и других отраслях промышленности, большое внимание уделяется синтезу адаптивных систем управления (АдСУ), где не требуются полная априорная информации об объекте и условиях его функционирования. Создание эффективных АдСУ такими объектами обычно связано с процессами моделирования и идентификации. Возрастание требований к эффективности АдСУ влечет за собой повышение требований к точности и адекватности моделей объектов.

Вышеназванные объекты управления характеризуются сложными структурами. Они являются стохастическими, нелинейными, нестационарными, многомерными и многосвязными и обладают, с точки зрения организации процесса управления, многими "неудобными" свойствами. Эти свойства выражаются недостаточностью априорной информации об объектах и их функционировании в условиях неопределенности. Построение для этих объектов адекватной математической модели представляет сложную самостоятельную задачу, для решения которой необходимо создание адаптивных методов, моделей, алгоритмов идентификации и управления. Эффективность АдСУ в условиям функционирования сложной системы обеспечивается за счет накопления и обработки большого объема информации о поведении объекта в процессе нормального функционирования, что позволяет снизить влияние неопределенности на качество управления.

Существуют два основных подхода к решению задачи идентификации. Первый подход связан с аппроксимацией объекта разными соединениями нелинейных статических элементов и линейных динамических блоков. Построение модели сводится к оценке их характеристик по данным нормального функционирования в реальном масштабе времени. Такими моделями являются модели класса Гаммерштейна, Винера, Урысона, Заде и их разные вариации. Эти классы моделей, кроме перечисленных, рассматривались в трудах Н.С. Райбмана, П. Эйкхоффа, Ф.Ф. Пащенко, В.Я. Ротача, И.Б. Ядыкина, В.Н. Каминскаса, Р. Хабера, JI. Р. Кашиапа, А.Р. Pao,

Кевицкого, А.Д. Калафатиса, JI. Льюнга, К. Острема, Д. Несика, С. Биллингса, М.Е. Салуквадзе, В.Г. Шаншиашвили, Г. Вандерстина, У. Чяуа, В.М. Рунга, КС. Нарендра, Т. Хсиа, Ф. Чанга, М. Повлака, Е.В. Баи и др. Эти модели нашли широкое применение в системах управления ТС и ТП металлургическими, теплоэнергетическими, нефтехимическими и другими производствами, а также в легкой и пгацевой промышленностях.

Примерами второго подхода к решению задачи идентификации являются разработки методов статистической линеаризации, информационных и дисперсионных методов идентификации. В разработку такого подхода большой вклад внесли B.C. Пугачев, Б.Н. Петров, Я.З. Цыпкин, И.Е. Казаков, Н.И. Андреев, Н.С. Райбман, Ф.Ф. Пащенко, В.М. Чадеев, Б.Т. Поляк, A.B. Назин, X. Акаике, Л. Льюнг и др. Дисперсионные методы идентификации впервые предложенные Н.С. Райбманом традиционно развиваются в Институте проблем управления в дальнейшем его учениками Ф,А. Овсепяном, В.А. Лотоцким, Ф.Ф. Пащенко, А.Л. Буничем, С.А. Анисимовым, И.С. Дургарян и др. Методы статистической линеаризации впервые предложенны И.Е. Казаковым и Р. Бутоном., развиты в дальнейшем Ф. Ф. Пащенко и др.

Решение вышеперечисленных методов моделирования и идентификации осуществляется на основе алгоритмов идентификации, в разработку которых свой вклад внесли К. Гаусс, И. Ньютон, Рафсон, С. Качмаж, М. Вазан, X. Робине, С. Монро, А. Дворецкий, В.М. Чадеев, Ф.Ф. Пащенко, В.Я. Ротач, К.С. Фу, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, Э. Аведян, Ш.Е. Штейнберг и др. Непараметрическое оценивание регрессионных функций дано в трудах таких авторов, как Э. Надарая, М. Розенблат, A.B. Медведев, Е. Парзен и др.

Значительные результаты в разработке прямых, и идентификационных методов синтеза адаптивных систем управления получены В.Н. Афанасьевым, В.Н. Буковым, C.B. Земляковым, А.П Курдкжовым, A.B. Назиным, Б.В. Павловым, В.Ю. Рутковскым, В.М. Чадеевым, Я.З. Цыпкиным, И.Б. Ядыкиным, С.Л. Степанянц и др.

В работе предложены и развиты адаптивные методы, классы моделей и алгоритмов идентификации и управления, созданы на их основе АдСУ для таких нелинейных стохастических динамических объектов управления (НС ДОУ), как ТС и ТП металлургической и теплоэнергетической промышленностей.

Настоящая работа возникла на базе развития и обобщения теоретических работ и опыта автора, который более 25 лет занимался разработкой адаптивных методов, моделей, алгоритмов идентификации и управления, АдСУ техническими системами и технологическими процессами в области черной и цветной металлургии и теплоэнергетики.

Цель работы заключается: в разработке и исследовании адаптивных методов, классов моделей и алгоритмов дисперсионной идентификации и

управления ТС и ТП, принадлежащих к классу НСДОУ; в построении таких нелинейных динамических моделей, которые более адекватны нелинейному объекту, чем линейные; в построении на их основе АдСУ, с помощью которых, можно осуществить оптимальное адаптивное слежение за выходом НСДОУ, и которые будут устойчивыми; в применении разработанных АдСУ в реальных объектах, в частности, в системах управления электрическими печами (ЭП) ТП производства ферросплавов, сверхчистых металлов, а также в системах управления синхронными электрогенераторами теплоцентрали (СЭГ ТЭЦ) при производстве электроэнергии.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории идентификации систем управления, теории адаптивных систем управления, теории стохастической аппроксимации и рекуррентного оценивания, матричного анализа. Эффективность.. разработанных адаптивных методов, моделей, алгоритмов дисперсионной идентификации и управления исследована с помощью численного моделирования на современных персональных компьютерах (ПК) и потверждена практическим применением на конкретных предприятиях.

Научная новизна работы состоит в обосновании единого методологического подхода к разработке и исследованию адаптивных методов, классов моделей, алгоритмов идентификации и управления, адаптивных систем управления технологическими процессами, заключающегося в общности их описания и техники исследования и использующего методы дисперсионной идентификации нелинейных стохастических динамических объектов управления. В создании АдСУ для ЭП технологического процесса производства ферросплавов, сверхчистых металлов, а также для СЭГ ТЭЦ производства электроэнергии. Для этого:

1. Предложен общий подход к построению схем рекуррентного оценивания для регрессионных и дисперсионных функций общего вида. Исследованы вопросы сходимости и оценены скорости сходимости этих оценок.

2. Разработаны методы структурной идентификации - оценки степени нелинейности, меры стохастичности и идентичности.

3. Разработаны методы параметрической идентификации в классе моделей Гаммериггейна, Гаммериггейна-Винера.

4. Разработаны модифированные рекуррентные алгоритмы идентификации (РАИ).

5. Разработан двухступенчатый рекуррентный алгоритм идентификации (ДСРАИ), в основе которого лежить метод сингулярного разложения матриц.

6. Разработаны адаптивные методы дисперсионной статистической линеаризации, обобщающие метод статистической линеаризации И.Е.

Казакова. В отличие от метода статистической линеаризации модели дисперсионной статистической линеаризации являются нелинейными.

7. Разработаны адаптивные методы параметрической идентификации в классе моделей Винера, Винера-Гаммершгейна.

8. На базе сетей ПК построены АдСУ с использованием разработанных адаптивных методов, моделей, алгоритмов идентификации и управления.

9. Впервые построены адаптивные нелинейные динамические модели взаимосвязи «мощность — сила тока», где учитываются как нелинейные, так и .динамические связи между активной мощностью и силой токов по фазам, одновременно от всех фаз н применены в задачах адаптивного слежения за желаемьм значением активной мощности.

10. Построенные АдСУ внедрены в системах управления ЭП технологического процесса производства ферросплавов, сверхчистых металлов, в системах управления СЭГ ТЭЦ при производстве электроэнергии.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные научные результаты составляют теоретические и практические основы разработки адаптивных систем управления для нелинейных стохастических динамических объектов управления. Результаты работы нашли широкое применение в создании АдСУ для различных областей народного хозяйства, в том числе, в металлургии, энергетике, химических производствах. Полученные результаты могут быть использованы для синтеза АдСУ другими ТС и социально-экономическими системами.

Разработанные адаптивные методы, модели, алгоритмы идентификации и управления, АдСУ внедрены в системе управления ЭП ТП производства ферросплавов (Зестафонский завод ферросплавов - ЗЗФ, г. Зестафони, Грузия), в системе управления ЭП ТП производства сверхчистых металлов (ОАО Московский металлургический завод «Серп и молот» - ММЗ СМ, г. Москва, Россия), в системе управления СЭГ ТЭЦ производства электроэнергии (ОАО «Мосэнерго», ТЭЦ № 25, г. Москва, Россия).

Связь с плановыми работами. Исследования проводились в соответствии с плановой тематикой и отражены в следующих отчетах Института проблем управления РАН и Института кибернетики Г АН о научно-исследовательских работах: по теме № 400-96/40 - «Разработка методического и алгоритмического обеспечения для систем поддержки принятия решений в задачах управления и проектирования», «Разработка методического и алгоритмического обеспечения задач моделирования человеко-машинных систем управления и принятия решений» (№ гос. регистрации 01.96.0009895, НМ - 6880/2), 2000 г.; по теме № 340-00/40 - « Состоятельные методы идентификации и их применение в задачах моделирования, принятия решений и управления на основе знаний» - 1. Общесистемные закономерности и информационные методы моделирования (№ гос. регистрации 01.200010300,

НМ - 6972/2), 2001 г.; 2. Разработка методов идентификации линейных и линейных в среднем систем на основе знаний (№ гос. регистрации 01.200010300, НМ - 7013/2), 2002 г.; 3. Разработка методов моделирования нелинейных систем на основе знаний о моментных характеристик систем и сигналов (№ гос. регистрации 01.200010300, НМ - 7154/2), 2004 г.; по научно -исследовательской программе Института кибернетики ГАН «Разработка методов идентификации и адаптивного управления нелинейных стохастических систем» (1996-2005 г.г.).

Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах, в том числе: II Международная конференция по проблемам управления (Москва, 2003); Всероссийская конференция «Нейрокомпьютеры и их применение» НКП-2001 с международным участием (Москва, 2001); Международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» (РАСО'2001, '2004, Москва); IX и X Международные конференции « Проблемы управления безопасностью сложных систем» (Москва, 2001, 2002); Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» (51СРШЭ'03,'04,'05 Москва); на регулярных семинарах Института кибернетики Грузинской академии наук (ИК ГАН), Института систем управления Грузинской академии наук (ИСУ ГАН) (Тбилиси), Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН) (Москва, 19842005).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 28 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы (272 наименований), 6 приложений. Основной текст - 298 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении освещены проблемная область исследований, актуальность темы, научная новизна и практическая ценность полученных результатов.

В Главе 1 дается краткий анализ систем и обзор существующих методов, моделей, критериев, алгоритмов идентификации и систем управления.

На основе обзора сформулированы задачи диссертационной работы, заключающиеся в: разработке методов непараметрической идентификации, построении на их основе алгоритмов оценки числовых характеристик входных и выходных случайных процессов и их взаимосвязей; разработке методов структурной идентификации, разработке адаптивных методов параметрической идентификации, построении классов моделей, алгоритмов идентификации и управления, исследовании вопросов сходимости и скорости

сходимости, применении разработанных методов, моделей, алгоритмов идентификации и управления в АдСУ для слежения за выходом НСДОУ, исследовании задачи устойчивости АдСУ; реализации разработанных адаптивных методов на ПК, применении АдСУ для ЭП ТП производства ферросплавов, сверхчистых металлов, а также для СЭГ ТЭЦ при производстве электроэнергии в теплоэнергетике.

В Главе 2 излагаются задачи непараметрической и структурной идентификации: разработка непарамстрических оценок числовых характеристик случайных процессов - условных и безусловных математических ожиданий, -"дисперсии, корреляционных и дисперсионных функций; выбор наиболее информативных входных и выходных случайных процессов; определение степени нелинейности, меры стохастичности и идентичности. Дана структурная блок-схема АдСУ и этапы ее функционирования. Результатом исследования второй главы являются одноразовые модели, имеющие известные структуры с неизвестными весовыми коэффициентами.

Структурная блок - схема АдСУ представлена на Рис. 1 Х(0 Г(I)

Рис. 1. Блок - схема АдСУ.

Функционирование АдСУ осуществляется следующим образом. При нормальной работе НСДОУ в реальном масштабе .времени на входе и выходе наблюдаются реализации процессов Х(/), У(1). О™ поступают в блок «Непараметричсская идентификация», где с помощью нерекуррентных и рекуррентных алгоритмов идентификации вычисляются все числовые характеристики случайных входных и выходных величин, процессов и их взаимосвязей. Результаты вычисления передаются в блок «Структурная идентификация», где оцениваются характеристики структурной идентификации - степень нелинейности, мера идентичности, мера стохастичности. На основе этих характеристик формируются одноразовые модели известной структуры с неизвестными параметрами. Определение структуры модели является конечным результатом структурной идентификации.

В Блоке «Параметрическая идентификация» на основе новых наблюдений входных и выходных сигналов и на основе модели известной структуры с неизвестными параметрами, определенной в блоке «Структурная идентификация», решается задача минимизации критерия идентификации. Задача минимизации решается с помощью РАИ и ДСРАИ, где используются рекуррентные формы оценивания всех числовых характеристик входных и выходных сигналов. Процесс параметрической идентификации заканчивается на том шаге итерации, на котором выполняется критерий завершения процесса идентификации в разомкнутом контуре управления. Результатом функционирования блока «Параметрическая идентификация» является адаптивная модель известной структуры с известными параметрами.

Модели, которые построены в блоке «Параметрическая идентификация», используются в замкнутом контуре управления, где одновременно с процессом параметрической идентификации осуществляется и процесс адаптивного управления. На основе критерия управления определяется оптимальное значение управления, которое поступает на вход регулятора. Все процессы идентификации и управления реализуются на базе сетей персональных компьютеров - ПК В регуляторе вырабатывается сигнал, соответствующий желаемому значению выхода ОУ, который поступает на управляющий вход ОУ.

В разделе 2.2. рассматриваются методы непараметрической идентификации одномерного НСДОУ, имеющего наблюдаемый вход

Х(1) еК1 и выход У(/) ей1, где время, Я1 - множество действительных чисел. Процессы Х(0 и У(/) предполагаются стационарными и стационарно связанными в дисперсионном смысле центрированными эргодическими процессами, которые определены на вероятностном пространстве (О, /г, Р).

Двумерная совместная плотность вероятности случайных величин Хц и Хц (т.е. двух сечений случайного процесса Х(1) в разные моменты времени /1 и г2 ) <рг (х/, ,xtг;tl-t2)=0, когда , где I - глубина памяти.

В дискретные моменты времени п = 1,2,•••,ЛГ измеряются входные х(п) и выходные у(п) величины, N - длина выборки. Последовательности {х(п), у(п)}^=1 представляют собой конечную выборку статистически независимых наблюдений случайных процессов Х{1) и У(1). Статистика {х(я),_у(и)}'^г4 представляется в виде таблиц

(2.1)

На основе статистики (2.1) в параграфе 2.2.1. строятся оценки взаимнорегрессионых функций случайного выходного процесса У(1) от случайного входного процесса ЛГ(г) по формуле

к-1

ик,} = Мк[ук I Хк,1+2-)] -

> "

x = XI, l,Xl,2," •yXl.l,XlJ+1 ,Y = Я

XN, 1, XJV.2 ,

к-1

k = l+\,N,

i=l

(2.2)

ero-Ir n Jl«/7« \Xs,l+2~j -Xk,l+2-f\£ ßs, . i-t

1 J [0npu\xs,l+2-j-Xk,l+2-j\> Ps,

где параметр ßs является коэффициентом размытости и удовлетворяет условиям ßs >0;s = 1,2,..., lim ßs = 0; lim sßs = °o. В частности, этим

s—»CO

условиям удовлетворяет значение

1, Оценки авторегрессионых функций случайного входного процесса X(t) вычисляются по формуле

Vk.j =Мк[*<u+i | Xk.i+i-j] = -

2 x*M\Z\.ßs1 lxs,M-j - Xk.M-j ]]

=1__

к-1

(2.3)

.5=1

Доказывается, что оценки (2.2), (2.3) являются несмещенными оценками соответствующих теоретических регрессий " и., удовлетворяют условию сходимости в среднеквадратическом (с.к.) и по вероятности (п.в.) на вероятностном пространстве (П.^.Р). Из оценок (2.2), (2.3) составляются матрицы

{/1 =

"/+1,1, "ы, 2, •••,«;+!./

vм,l,vг+l,2,■••,v^+l>^

(2.4)

На основе матрицы (2.4) даются оценки для взаимных и автодисперсионных функций для любых / = \,т\] = 1,/ по формулам

n

= АГ^О.у) = ( 2]ии.;«и>>)/(^-/-1), (2.5)

п=/+1

N

У) = Мы [«„,, ] = (,,]) = ( 2 Н„,,у„,,) /(ЛГ - / -1), (2.6)

лг

Я^й (/. У) - Мы [vn.ii/n.> ] = (/, У) = ( £ 1), (2.7)

л=/+1

лг

4 и=/+1

Асимптотические свойства (2.5) - (2.8) изучаются при помощи рекуррентных форм типа стохастической аппроксимации

+уы[иылиы^ -Я^ЧКМ- (2.9)

(/, У) = Д^00, Л + - (/, у)]. (2.10)

(2.11)

У) = (/, У) + уы \vNjVNj - (/, У)]. (2.12)

где ум выбирается так, что оно удовлетворяет условиям Дворецкого уы > О,

а^ со

^гЪ <оо. В частности, этим условиям удовлетворяет и

N=1+1

значение ^лг =1/N-1-1. Оценки их,] в формулах (2.5) - (2.12) тоже

представлены в рекуррентных формах

= «лг-и + [хы-\.1+г~] -хм,1+2-] ]]-млм,/],

__(2.13)

1=1

Доказывается, что оценки (2.9) - (2.14) являются несмещенными оценками типа стохастической аппроксимации. Оценены скорости их сходимости. Эти свойства дают возможность их применения в задачах структурной и параметрической идентификации.

При решении задачи идентификации обычно априори неизвестно к какому классу объектов должен быть отнесен исследуемый НСДОУ и с помощью какого класса моделей можно его аппроксимировать. Основными структурными характеристиками взаимных статистических связей между случайными выходными и входными величинами или процессами НСДОУ являются: степень нелинейности, мера стохастичности, мера идентичности. Предварительная оценка этих характеристик дает возможность определиться, к какому классу по структуре объектов принадлежит исследуемый НСДОУ, и какие классы моделей целесообразно для них применять. Для этого в разделе 2.4. с помощью оценок числовых характеристик случайных процессов рассматриваются методы структурной идентификации. Вычисляются следующие характеристики:

1. Оценка степени нелинейности. На основе статистик (2.1), (2.4) оценка степени нелинейности в стационарном случае вычисляется по формуле

N $Р (Л = а,2 (ЮЬР 2 О) - ГУ?)2(Л]>} = О, (2.15)

1 ы

где а у (АО = ] = ——"^.У" - оценка дисперсии выходного процесса,

И=1

= Л ! (ЛО,./ = и (2.16)

- оценка нормированной взаимнодисперсионной функции, где ЛО, Л вычисляется по формуле (2.5),

4Р2(Л = К^и)/а2у(М)ст2х(М,]и = й (2.17)

- оценка нормированной взаимнокорреляционной функций, где Кух\л -оценка взаимнокорреляционной функции и вычисляется по формуле

1 ™ _

к (ур (У) = М„ \упХпмг-1 ] = —у У" *".'+2-/ >} = 1.

1

а сг* (Л', у) - оценки дисперсии случайного входного процесса для каждого } — 1, /, вычисляемые по формуле

= = (2.18)

Если значения оценки (2.15) близки к единице, это означает, что функциональная связь К (г) = является нелинейной.

2. Оценка меры стохастичности. Для оценки меры стохастичности требуется оценить математическое ожидание условной дисперсии. Используя статистику (2.2), (2.4) для оценки условной дисперсии, имеем

= -Ц 1>*= = (2.19)

п 1 к=М

Тогда оценка математического ожидания условной дисперсии вычисляется по формуле

I *„,, ]] = I х„,ДУ = М. (2.20)

■ п=1+1

Отношение формул (2.20) и (2.19) и определяет оценку меры стохастичности по формуле

= = . (2.21) Если значения оценок (2.21) близки к нулю, это означает, что данный входной процесс наиболее информативный в нелинейной взаимосвязи

У(/) = /^[^(5)], чем другие.

3. Оценка меры идентичности. Для оценивания меры идентичности используется формула (2.16). Она определяет близость структуры нелинейной взаимосвязи К(0 = к структуре изучаемого объекта.

В Главе 3 излагаются задачи параметрической идентификации, посвященные построению математических моделей в классе моделей Гаммерштейна, Гаммерштейна-Винера и рекуррентных алгоритмов идентификации - РАИ. Разработаны модифицированные РАИ градиентного типа двух классов: РАИ, требующие явного выражения градиента функции средних потерь - алгоритм Ньютона-Рафсона (НР) и его модификации; и РАИ, требующие явного выражения градиента функции потерь. К этому классу РАИ относятся усредненный метод наименьших квадратов (УМНК) и его

модификации. Также разработаны модифицированные алгоритмы Качмажа (АК) и обобщенного алгоритма (ОА). Изучаются основные свойства этих алгоритмов: вопросы сходимости, оценки скорости сходимости, правила завершения процесса идентификации в разомкнутом контуре управления, точность идентификации.

В разделе 3.2 рассматривается задача параметрической идентификации НСДОУ в классе моделей Гаммерштейна. Допускается, что исследуемый ОУ является НСДОУ класса Гаммерштейна, который имеет одномерный вход Х(() еА1 и выход У(/) ей'. На основе новой бесконечной выборки статистики ввда (2.1.) - (2.4), (т.е. при Лг = оо), строится смешанная дисперсионная модель Гаммерштейна

т I

$>к /»('>»*.< +м*-1 +Т}к =гткм> + ик-1 +7]к, р Д)

к = 1 + 1,1+ 2,

Система (3.1) представляет собой нелинейную стохастическую динамическую модель с одномерным выходом у и с1 = пг+1 - мерным входом гк. Вектор

гк отражает те нелинейные динамические взаимосвязи, которые существуют

между входом и выходом (так как исследуемый объект является нелинейным) и внутреннюю структуру связей входа (как линейную, так и нелинейную). Таким образом, все нелинейные связи, которые присутствуют в объекте, с помощью этих оценок будут отражены в (3.1). Координаты вектора м> представляют собой значения неизвестных весовых коэффициентов каждого входа модели при формировании выхода модели, которые требуется определить. Величина ик-\ является управляемым входом, который отключен в процессе идентификации в разомкнутом контуре управления, а 7] к - помеха на выходе объекта.

Задача определения вектора весовых коэффициентов м> решается как задача рекуррентной идентификации. . Вводится критерий качества идентификации ,

1 ы

= V [Ук-гтк*]2 =

к=П1 (3.2)

где. Улг =[>7+1,■■•,Уы]г ей""', = еМ^ыч^ы , Мы- оценки

математического ожидания на основе статистик с длиной N. Задача

идентификации заключается в определении такого оптимального значения вектора, ve^ , для которого при каждом N оценка (3.2) достигает минимума:

н'д/ = arg min JiN\w). (3.3)

Для функционала (3.2) при выполнении условий усиленного закона больших чисел имеет место сходимость в с.к. и п.в. к своему теоретическому значению.

Особенность сформулированной задачи заключается в том, что, во-первых, в модели (3.1) учитывается как нелинейная структура взаимосвязи между выходом и входом, так и нелинейная внутренняя структура входа. Это дает возможность построить для нелинейного объекта более адекватные нелинейные модели. Во-вторых, задача минимизации критерия (3.2) решается с помощью модифицированных РАИ. Они дают решения системы линейных алгебраических уравнений, и поэтому оптимальное решение, которое минимизирует функционал (3.2), выражается в явной аналитической форме через дисперсионные функции. Наконец, в системе (3.1) учитывается присутствие на выходе объекта помех разного характера поведения. Из условия минимальности (3.2) для определения точки минимума (3.3) получается следующая система уравнений дисперсионной идентификации

' (3.4)

Элементы матриц K^V К*£Р вычисляются соответственно по формулам (2.5) - (2.14) и в с.к. и п.в. сходятся к своим теоретическим значениям Kyz =M(yicZk) <<*>, K.zz =M(zkzl) <оо В точке минимума w» = arg min 7(vc) с учетом предположения о независимости щ и zjt

справедливо уравнение Куг = Kzz^* ■

Для решения дисперсионного уравнения идентификации (3.4) относительно неизвестного вектора w строятся следующие модифицированные РАИ 1. Алгоритм Ньютона-Рафсона - АНР

WM = W-1 + + SNE]-1 [К$р -K^WN-1 ], N = 1 + 2,1 + 3,-, (3.5)

где 5м >0 - произвольная ограниченная последовательность чисел, которая придает свойство положительной определенности матрице К^ра ¡л -коэффициент модификации (адаптации), 0 < // < 2.

2. Алгоритм усредненного метода наименьших квадратов - УМНК

N

м>ы = мы-1 + /.о-'1 [>>„ - , IV = [ ^ 2к2тк]1{ы -1-1), (3.6)

*=;+1

3. Алгоритм Качмажа- АК

У>Ы =>сл/-1 + рг„[уы ~ г^ы-фы, гы (3.7)

4. Обобщенный алгоритм - О А

м>ы = \vn-y + раыг^[уы -г^м-'ы-^ы,

... - (^Л.О^

ам =[А'->^-1>1'ЛГ_1 /Цм^-ц^п (м'лг-ьглг); IV =|глг|".

В параграфе 3.2.3. исследованы вопросы сходимости РАИ (3.5) - (3.8). Для сходимости АНР по формуле (3.5) доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть дана модель (3.1). Тогда при любом начальном значении \\>1 е К11, оценки параметров, определенные по алгоритму (3.5), п. в. и

в с. к. сходятся к м'* е .

Доказательство теоремы 3.1 основано на лемме 3.1 и следствии 3.1. Лемма 3.1. Если последовательность случайных неотрицательных величин {им},N = 1,2,"-, такова, что иы+\ 2 <рыиы + ры. где <ры,Ры -

случайные величины, такие, что (ры ^0, lim |еры |< 1, ры ~>0(N —»со) п.в.,

Ы-хв

тогда выполняется условие lim им =0 п. в.

Следствие 3.1. Пусть последовательность случайных неотрицательных величин {иы }. N =1,2,'--. такова, что иы+i <(1~ ры)иы + рыры, где, в свою очередь, последовательность действительных неотрицательных чисел ры

00

удовлетворяет условиям lim ры = 0, / ры — , а последовательность

случайных неотрицательных величин ры удовлетворяет условию ры —>0 для всех номеров N > А/о ä 1. Тогда lim иы =0 п. в.

Для изучения вопросов сходимости РАИ УМНК по формуле (3.6) рассматривается вероятностное пространство (fl,F,P). Пусть {fat} -

семейство неубывающих а - алгебр F. Вектор zw е Rd входных величин модели (3.1) Ры -измерим и помеха 7]ы - Fat-измерима. Представим помеху т]ы в виде суммы двух случайных последовательностей T]n=4N+CN (3.9)

где , /чг-1} - мартингальная последовательность, удовлетворяющая условиям

М[5ы | Fjv.ll = 1, М\еы I Ям ] < (3.10)

для некоторых со >0 иге [од], а - произвольная последовательность

случайных величин, удовлетворяющих условию

00

п.в. (3.11)

Для вектора 2определяется матрица

А( N. О = А(Ы-1, ¡)(Е -2Ы2ТИ /гм \ А(Ы,1) = ~^[(Е-2>2* /п ),

¡=/+1

(3.12)

А(Ы, АО = Л(/,0 = Е, / = /+1,/ + УУ-1;^ = / + 2,/+3,---. Тогда справедливы следующие теоремы.

Теорема 3.2. Пусть дана система (3,1), где помеха Т] ^ определена по (3.9) - (3.11). При любом начальном значении м>1 е оценки параметров по

алгоритму (3.6) п.в. сходятся к к», тогда и только тогда, когда для (3.12) п.в. выполняется условие

Теорема 3.3. Если для любого N й N1 выполняются условия Лы,тю./Ял/,топ <М(1одглг)1/4, где 1лг>тах, Лы.^т - максимальные и

n

минимальные значения собственных чисел матрицы ^Г* г и + Е1 а ,

/=/+]

гд/ —> оо, ¡¡т гм 1 < оо, с некоторыми положительными числами и М ,

мо хсет быть зависящими от элементарного события со, то для любого начального значения м>1 выполняется условие (3.13).

Рассматривается случай, когда помеха (возмущения) на выходе объекта является процессом скользящего среднего

Цы =<?//+ с(1)£/м + с(2)%ц-г + • • • с(г)£ы~г, (3.14)

где {^ы, Ем~\} - мартингальная последовательность, удовлетворяющая условию (3.10), а с(/),/ = !,/• - неизвестные коэффициенты, для которых выполняется допущения А1.: все нули характеристического полинома

C(q) = l + c(l)q + c(2)q2+ — + c(r)qr . (3.15)

лежат вне единичного круга с центром в начале координат. Обозначим w1 =[u<V(l),-,C(r)]r eRd+r, 6j(N)=yir+i-j = Ц7,

zi,n .....^(Aof eRd+r,z0M =[zTN,ZN,...,tN-r+if

Тогда сходимость п. в. алгоритма УМНК для оценки вектора неизвестных параметров и1 из (3.16) доказывается аналогично теореме 3.2. (теорема 3.4).

При изучении вопросов сходимости РАИ АК (3.7) в случае, когда помеха на выходе объекта i]n отсутствует, разность An = wn - w* при ц =1, имеет вид

Т

1 т Z N Z\г

An = Длг-i -Гк (ЛlN_xzN)zN = AN-\ (Е--j-^-) = A(N,N- 1)An-u

г (3.17)

. 1(.V, .V -1) = Е - ZNTZ" , r,v = 4 -v •

Оператор TV -1) является ортогональным проектором на гиперплоскость с нормальным вектором zn. Уравнение связи текущей ошибки идентификации с начальной ошибкой имеет вид

An = A(N,N-1)A(N-1,N-2)-A(l + l,l)A,. (3.18)

Из (3.18) следует, если последовательность векторов zn~\,zn~2,--->zn-<i образует ортогональный базис в Rd, то А,v = 0 . Это означает, что алгоритм (3.7) при ортогональных входах сходится за d тактов. Геометрическая интерпретация алгоритма (3.7) заключается в следующем. Оценка wN на N -ом шаге получается путем ортогонального проектирования вектора ww-i (оценки на (N -1) - ом шаге) на гиперплоскость ум = zj^w*, т.е. при уточнении параметров модели с помощью алгоритма (3.7) из точки wn-\ делается шаг вдоль прямой, параллельной вектору zn до пересечения с гиперплоскостью уы =zTNw*. Полученная при этом оценка Wn лежит на этой прямой ближе всего к точке w.. Для (3.17) справедливо уравнение Л/2лг|Лдг|2 =|AW-I[2-A5w_1[MZw{ZwZ^|znS"2}]AN-I. (3.19)

Пусть 0 £ An,min 5 -i/v',max S1 - минимальное и максимальное значения

собственных чисел матрицы В = МZn {znztn[z,v| 2}. Тогда из формулы (3.19) имеем

[1-4,шах 1НК%Р)]\Д„-,||\ (3.20)

где 0 < тш <1 минимальное .и максимальное . значения

собственных чисел матрицы К^Р = , а - след матрицы. При

статистической ортогональности векторов 1 = 1 + 1,N и независимости их компонентов после N шагов имеем

А/ {¡Л* |2} = (1 - 1 ))Л''¡Д, ¡2. (3.21)

Статистическая ортогональность входных векторов модели (в этом случае К^=Е) обеспечивает максимальную скорость сходимости. При этом ошибка идентификации уменьшается по экспоненте. Из (3.21) следует с.к. сходимость алгоритма (3.7)

Л'М2^^0-. (3-22)

Используя неравенство Чебышева, из формулы (3.22) можно получить выражение для вероятности события, состоящего в том, что после N шагов

квадрат ошибки идентификации будет меньше г|Д /12, 0 < е < 1:

Р{\Аы\2 ¿фг|2}>1-(1-1/с/)ЛГ-'/г. (3.23)

Тогда из с.к сходимости алгоритма (3.7) вытекает сходимость п.в. Р{|Д^|^4Д,|}<Л/|ДЛ,|2/(£-|Д,|)2. (3.24)

При корреляции между входными векторами и/или их компонентами для норм векторов ошибок идентификации справедливо соотношение ||Дл-|| = |ДЛ'-1|со5(^,ЛГ-1){, (3.25)

где (ры,1'!-\ - угол между /V - й и (<У -1) - й гиперплоскостями. Коэффициент корреляции между векторами гы и пропорционален косинусу угла

<ры,ы-1. Следовательно, чем выше коэффициент корреляции, тем ближе величина |соз(рлг,лг-1)[ к 1 и тем медленнее убывает ошибка идентификации.

В случае, когда на выходе объекта присутствует помеха г/ы в виде мартингальной последовательности (3.9), сходимость алгоритма (3.7) п.в. доказывается по теореме З.2., а в случае, когда помеха т]м представлена в виде

скользящего среднего по формуле (3.14), - по теореме 3.4. при лД = г^г^ы.

Для изучения вопросов сходимости РАИ ОА из (3.8) для оценки ошибки идентификации в случае, когда помеха на выходе объекта т]ы отсутствует и }л—\, получается

Ац = Аы-\ = А(Ы,Ы-\)аыАы-\\ гы Н!-2^ ||2,

т „ ,,--> и'мК'Г, . , П 26)

Л/-1) = [Л= [Е--биТ2 (м^-] К '

1^-11

Итерируя выражение (3.26), получаем

лг-1

Ац — Ллм -аыгЦх= Д/

¡=1+1

W-1

(3.27)

A(N,l)~ [£ —zjzf ||г,|р2], at = [£-wf^ |2]sin"2(wí-i,^).

Тогда сходимость (3.8) п.в. доказывается по теореме 3.3. При выполнении условия &!nzn =0 справедлива оценка

М||Д w| S 0-ПМ || [£- W'~lVVMsin"2 (wM,z,) || |Д4 (3.28)

d ¿ii ll^.-ill2 В случае, когда на выходе объекта присутствует помеха i]N в виде (3.9), сходимость алгоритма (3.8) п.в. доказывается по теореме 3.2., а в случае, когда помеха r¡N представлена в виде скользящего среднего по формуле (3.14), - по теореме 3.4..

В разделе 3.3. рассматриваются вопросы оценивания скорости сходимости для РАИ по формулам (3.5) - (3.8). При оценивании скорости сходимости алгоритма АНР (3.5) замечается, что в доказательстве теоремы 3.1

для оценок KfP и К^р1 предполагается, что их скорость сходимости имеет порядок (1 / N). Из этого замечания вытекает оценка среднеквадратической скорости сходимости для алгоритма (3.5). Из леммы 3.1 вытекает, что последовательность {¡Aw¡|} = {¡ww -w*|} сходится к нулю либо со скоростью геометрической прогрессии, либо со скоростью сходимости к нулю последовательностей М || Kl7'p - Kzz ||2 и М || КуР - Krz ¡|2 . Но (согласно

сделанному замечанию) они имеют скорость сходимости порядка N~l.

Скорость сходимости РАИ по формулам (3.6) - (3.8) определяется величиной

k=M¡A

/Л/|Длг-11| , Аы = wat — w* . (3.29)

Для алгоритма (3.7) при отсутствии помех 77// скорость сходимости

определяется по формуле d

fr = l-//(2-//)(^A¡ /d)V2/d. (3.30)

1=1

Формула (3.30) означает, что скорость сходимости РАИ АК (3.7) определяется спектром матрицы В .

При присутствии помех tjn предельное значение скорости сходимости равно

Рт = lira MÍAм f « nßa}, !{2-ц)а1, (3.31)

N —>œ

где l/Aw,max ^ ß ¿ V-^W.min , Э Ад?>тах , Лм .min - максимальное и минимальное значения собственных чисел матрицы В = M[znztn \¡cj\ . При случае, когда помеха jj.v представлена в виде процесса скользящего среднего, тогда

Р» = lim M¡At,w|2 ~ руо\ ¡(2- ¡л)а\х , где \]kn,max <у <l/Vw.mm , a kn,max, KN.min - максимальное и минимальное значения собственных чисел матрицы

Прй оценивании скорости сходимости алгоритма УМНК (3.6) заметим, что он отличается от АК по формуле (3.7) тем, что на месте норм текущего

вектора входа модели z¡j - Гц =r^ZN присутствует усредненное значение

n

по формуле щ = ZjzJ !(N -/-!) = К^Р. Тогда при отсутствии помех <=/+1

k = 1 -//(2- f.i)acj\ /tr(K225) , где Хы,mm <а< An,max . При наличии помех t¡n типа (3.10), Рт = lim Л/|АМГ" a fjßa}, 1(2 - jj)ír(K'z^.y). В случае, когда на выходе ОУ помеха r¡n представлена в виде процесса скользящего среднего, тогда Лс = lim AílÍAi.wf « цуа1 /(2 - ß)tr(K^} ).

//-»оо " 11 * Z1Z1

При рассмотрении вопросов оценки скорости сходимости РАИ ОА по формуле (3.8) отмечено, что он отличается от алгоритма (3.7) тем, что в нем дополнительно присутствует матрица

аы = [£■ - ww-iJ"]sin-2(wtf-i,zw). в случае, когда помеха на

выходе отсутствует, тогда к = {1-р(2-. При наличии помех типа (3.10), оценки скорости сходимости РАИ ОА определяются формулой /«. » ||ам|2 /(2 - /л)сг\. а при наличии помех типа (3.4) - формулой

в разделе 3.4. рассматривается правило завершения процесса адаптивной идентификации в разомкнутом контуре управления АдСУ. Для РАИ НР по

формуле (3.5) на основе оценок ^-ь К^ и вычисляется -н>м. Это

значение подставляется в уравнение (3.4). Если оно выполняется, то процесс идентификации в разомкнутом контуре завершается и можно переходить на процесс управления. Процесс идентификации можно завершить и тогда, когда

квадратичная форма (м^ -м>н-\)т(К^ (м>м -м>ы-\) будет меньше

заранее заданной точности е .

Для РАИ по формулам (3.6) - (3.8) правило завершения процесса идентификации таково. На основе значения выхода ум и оценки векторов гы , по формулам (3.6) - (3.8) определяется вектор м/^ . Далее будет

проверяться выполнение условия еы = ух — ^м^м = 0. Если оно выполняется, то можно переходить на процесс управления. Процесс идентификации монсно

завершить и тогда, когда выполняется условие | ум - мты2м |< £■], где 0 2 £1 <1

«

- точность идентификации. В качестве £■] можно взять значение,

Помимо модели (3.1) в классе операторов Гаммерштейна выделяются операторы, которые строятся на основе только взаимной регрессии выходного процесса от входного или только авторегрессии входного процесса. Тогда для первого случая получается взаимная дисперсионная модель Гаммерштейна, а для второго случая - автодисперсионная модель Гаммерштейна. Все рассуждения и результаты, полученные для модели (3.1), аналогичны и для этих моделей.

В разделе 3.5 рассматривается обобщение одномерной задачи параметрической идентификации на многомерном по входам случае. Построены многомерные по входам нелинейные динамические модели класса Гаммерштейна. Сходимость многомерного варианта РАИ НР (3.5) доказывается по теореме 3.5. Сходимость РАИ УНМК (3.6) при наличии помех типа мартингала доказывается по теореме З.6., а при наличии помех со скользящим средним - по теореме 3.7. Использованием этих же теорем доказывается сходимость многомерного варианта РАИ АК (3.7) и РАИ ОА

(3.8). В разделе 3.6 оценены скорости сходимости многомерных вариантов РАИ (3.5) - (3.8). Здесь же рассмотрены частные модели Гаммерштейна. Для них тоже получены аналогичные результаты.

В разделе 3.7 строятся нелинейные динамические модели класса Гаммерштейна - Винера. Задача адаптивной идентификации решается на основе двухступенчатой РАИ - ДСРАИ, которая формируется следующим образом. На первой ступени для решения задачи идентификации используются РАИ, рассмотренные в предыдущих разделах. На второй ступени формируются матрицы, которые строятся на основе оценок параметров, полученных по алгоритмам, использованных на первой ступени, и для них применяется метод сингулярного разложения. На третьем этапе из разложения берутся комбинации собственных векторов и собственных чисел, и определяются оценки отдельных параметров с дальнейшим обоснованием правомерности такого выбора. Изучается вопросы сходимости ДСРАИ.

Формируется смешанная дисперсионная модель класса Гаммерштейна-Вннера. В качестве линейного динамического блока выступает модель Гаммерштейна по формуле (3.1) (без управления и помех). В качестве нелинейного статического элемента модели Винера берется квадратор. Окончательно, модель Гаммерштейна-Винера принимает вид:

т т т I

, '=| У=1 (3.32)

¿=1 /=1

Задача идентификации на основе модели (3.32) заключается в определении такого оптимального значения, вы, для которого при каждом N > N0 критерий идентификации (3.2) достигает минимума. Особенность сформулированной задачи заключается в том, что, во-первых, в модели (3.32) учитывается как нелинейная структура взаимосвязи между выходом и входом, так и нелинейная внутренняя структура входа. Это дает возможность построить для нелинейного объекта более адекватные нелинейные модели. Во-вторых, Для решения задачи минимизации критерия (3.2) предлагается использовать ДСРАИ. Наконец, в системе (3.32) учитывается присутствие на выходе объекта помех разного характера поведения.

Из условия минимальности функционала (3.2) относительно модели (3.32) получается следующее дисперсионное уравнение идентификации

К(ГР = = [V2{в)\в=оы > 0. (3.33)

Для решения (3.33) относительно параметров модели в применяется ДСРАИ. Этап 1. На этом этапе формируются оценки вы по формулам (3.5) -

(3.8). Этап 2. Из вектора вы формируются матрицы соответственно размерностью (/их/и), (тх1) и (1x1) - ©¡¡ь (ЛО, &иь (Ю.

Сингулярное разложение матрицы ©кл(Л0 имеет вид

в*л(Л0 =

МЫ) _ . тт+1' ' тт+1

МЫ) _ МЮ

тт+(т-\)1+] 9 * тт-п

—^J^'rl • гиш-г нч

<7 = тт(от7/).

где I!&,ы = (/л,л/, /-¡2,ы, ■ ■ •, Цт,ы) е А/т»и, Уц,ы -- (Й.м, У2,ы, • • ■, ) е Мы ортогональные матрицы; ,/ = 1,т , VI,ы,¡ = 1,1, являются соответственно т тя. I - мерными ортонормированными векторами. Элементы матрицы Л2,м = [егу.д/ ] б Мт,1 удовлетворяют условиям егу,ы = О.г'^у,

¡Тц,/У £0"22.ЛГ ¿■••^ СГтт.Ы > СТт+\т+\,Ы = •' • = <ХОТ,ЛГ = 0.

Этап 3. Пусть ,<?и обозначает знак первого ненулевого элемента /л.м. Обозначим оценки так:

йы =1н\,ы>--->К,ы}Т еКП>>

г г 1 [ ,г ^у--".!

Пы = Я/,<л,ыу\,ы, VI,ы =[^1,// »

йы (1) = у{ы ,---,йы(1) = <71,Ы У,[ы ■

Используя оценки (3.35), получаем следующие матрицы (5(Ы),

«¡(М) = (ЛО . Элементы этих матриц являются

оценками координат вектора 0. Координаты вектора в представляют собой произведение координат векторов к. Соответственно, элементы матриц

&gg(N), <5>*А(Л0, <=>Ы.(Л0

являются оценками этих произведений. Для окончательного решения задачи идентификации необходимо иметь отдельные оценки координат векторов g,h. Представление оценок по формуле (3.35) как раз и дают такие оценки.

Возникает необходимость обоснования такого правила оценивания. Для этой цели рассмотрим матрицу С размерности (гп ж /):

С =

•>си сх

Ст31 > * * > С т,1 Ст

еМтХ1, где с,- = [а,],•••,с1>;] еЯ1,/ = 1,т - вектор

строки матрицы С. Формируем из строк матрицы С вектор vec(C) таким

образом уес(С) = [с1,с2,---,ст]г 6Кт1. Используя эту формулу относительно вектора вы по выражениям (3.5) - (3.8), дла оценки ошибки идентификации пол> чаем

¡ГШм(т)ёЪ;¿ы(!)/&,■ ■ ■,;йы{\)Щ,(/)/&]Т -6^1 =

112

»есЦыйы)-вы

где ¡¡-^ означает матричную норму Фробениуса - |С с^ |2)1/2. Надо

¡./=1

доказать, что минимум для (3.3б) достигается тогда, когда матрица удовлетворяет условию

[/ЛЖ <хит,м] = argmin (М) - хц>т| . (3.37)

Для окончательного решения задачи идентификации на первой ступени должно выполняться условие (3.33), а на второй - условие (3.37). Первая ступень обеспечивается с помощью алгоритмов (3.5) - (3.8), а вторая - с помощью минимизации (3.36) относительно .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.8. Пусть дана система (3.32). Алгоритмы идентификации определяются по формулам (3.5) - (3.8). Для матриц ©^(Л^), ©?а(Лг),

определены их сингулярные разложения (3.34), а оценки определены по формуле (3.35). Тогда:

а) оценки по формулам (3.5) - (3.8) п.в. сходятся к в*

вы ->0'; (3.38)

б) из выполнения условия а) вытекает, что оценки по формуле (3.35) удовлетворяют условию (3.36) и п. в. сходятся к g* и /г*

¿ы -»я'Лг -»/Л (3.39)

Доказательство теоремы 3.8 основано на лемме 3.2.

Лемма 3.2. Пусть матрица © е М m,i ранга к ненулевая и ч

© = UKVT = ^jr^cri/jjvf ,q — min(m,/) - ее сингулярное разложение, гбе ¿=1

Ü = (р\,рг,-~,Мт) еМтхт, V = (vi,v2,"-,v;) е Л/ы - ортогональные матрицы, а диагональная матрица Л = [cr,y ] е А/ i« - i такая, что ffij — 0,i * j; er,, = о", ^ 0, /' = 1, q\ £ о"2 ä ■ • • ^ cjq. Тогда

min II©-хм'7'II = У" er,2; (/л; eriVi) = arg min I© -xvfrj| . (3. 68)

Для доказательство теоремы 3.8 рассматривается разложение

&ыйыТ —h'h" I =

ЙыёыТ ~g*g* А +

f

у к,

ЙдгЙАГГ -0АА(Л^) + в**(ЛО-©"АА| + |®«(Л0-©*«| +

Сходимость этого разложения п.в. к нулю вытекает из сходимости каждого члена разложения. Сходимость алгоритма (3.5) обеспечивается теоремой 3.1., а сходимость алгоритмов (3.6) - (3.8) - теоремой З.2.. Из этих теорем вытекает, что для всех алгоритмов (3.5) - (3.8) выполняется условие: вы —п.в.. при N —>■ со. Оно эквивалентно выполнению условиям ©«л (№) —> ©*?/?, © ни (Ю -> © ьн п.в., так как ранг этих матриц ч

равен 1 и выполняется условие ^сг,2ч, -»0. С этим условие а) теоремы 3.8

¡=2

доказано. Применяя лемму 3.2 для остальных членов разложения, доказывается условие б) теоремы 3.8.

Результаты оценки скорости сходимости, а также правило завершения процесса параметрической идентификации в разомкнутом контуре управления с использованием модели Гаммерштейна-Винера аналогичны результатам, которые получены при использовании модели Гаммерштейна (3.1).

Помимо модели (3.32) в классе операторов Гаммерштейна-Винера рассматриваются взаимно - и автодисперсионные модели Гаммерштейна-Винера. Все выше рассмотренные рассуждения и результаты процесса адаптивной идентификации, полученные в данном и промежутьних разделах относительно моделей (3.1), (3.32), аналогичны и для этих моделей.

В Главе 4 излагаются задачи построения адаптивных смешанных, взаимных и автодисперсионных моделей класса Гаммерштейна на основе методов дисперсионной статистической линеаризации. Задачи решаются с применением двух критериев идентификации. Первый критерий - это равенство оценок математических ожиданий и дисперсионных функций, соответствующих выходным сигналам объекта и модели. Второй критерий -это минимизация среднеквадратического отклонения выхода модели от выхода объекта. Полученные по этим критериям дисперсионные уравнения идентификации решаются на основе РАИ. Даются этапы решения этих уравнений, а также правила завершения процесса идентификации в разомкнутом контуре управления. Изучены вопросы сходимости РАИ.

Выход объекта аппроксимируется выражением ук =ту(к) + у°к , (4.1)

т I

пъ(к) = кол^8(Отх(к^)+ко,г£КОтх(кУ0, (4.2) ¿=1 ( ¡=1 т I

Ук = £('>*.< +«*г-1 +т = ,4 „

;=1 1=1 ^

= к^Тик +кгИтук +ик-\ +Щ, к = / + 1,/ + 2,...,//,....

Формулы (4.1) - (4.3) представляют собой дискретную динамическую смешанную модель дисперсионной статистической линеаризации класса Гаммерштейна. В формуле (4.2) Леи - неизвестный статистический коэффициент усиления по математическому ожиданию взаимной регрессионной модели, £0,2 - неизвестный статистический коэффициент усиления по математическому ожиданию авторегрессионной модели. В формуле (4.3): к\ - неизвестный статистический коэффициент усиления по случайной составляющей взаимной регрессионной модели; кг - неизвестный статистический коэффициент усиления по случайной составляющей авторегрессионой модели.

Решение задачи идентификации по первому критерию заключается в нахождении таких значений А'пд, А'о.2, к\, к%, Л, для которых будет выполняться равенство гпу (Ы) = ту (И),

__(4.4)

где ту (АО - оценка математического ожидания аппроксимирущего процесса, - оценки множественной дисперсионной функции

центрированного случайного выходного процесса объекта относительно вектора центрированного входного процесса

з [х£_г, х^_г ]Г £ Л', г = 0, , вычисляемые по формуле

N

Я($ЛТ) = К^\Т) = Т £ииия-г = Я%£Нт) + Т[иыиЫ-т -л^'Чг)], (4 5) Т = 1/(ЛГ-/-1-г), г = 0,т,

А/-1-Г ЛГ-1-г

X1 Ф^И-IхР>' Е^'ЧЧН*"-!]). (4.6)

Я"=1 4-1

(г), г =0, т - оценки множественной дисперсионной функции

аппроксимирующего центрированного процесса определяемые по

формуле

JtyyJx(т) -

/=1 м /

+ k2,N-rh,N-r

Т'* <4.7)

+ k\,N-rk2,N-T

+Z ZaC)AC/)äc, л /=i j—i

Второй критерий заключается в нахождении таких значений /.-o,i, ko,2, ki, Лг , g,h, которые минимизируют функционал

n

J(N\ko,uko.ukuk2,g,h) = (Y[yk-yk]2)/T -»min . T = N-l-1, N = N0+\,N0+2,....

Подставляя значения, полученные по формулам (4.2), (4.3) в формулу (4.4), получаем следующую систему дисперсионных уравнений статистической линеаризации

Шу(М) = кол^8(1)тх(А',1) + к<К2^к(1)тхШ,'), (4.9)

1=1

= П(у$иг),т = 1,т. N = N0 +1,Ш +2,.... (4.10)

Решение уравнений (4.9), (4.10) осуществляется в следующей последовательности. Сначала для (4.7) вычисляются коэффициенты ,

кг.ы-г по формулам

Ья-г = 1,г,1)]1/2, =±[1)Г°/«агД)]1/2,(4.11)

где - оценка дисперсии выходного процесса объекта. Знак в правой

части формулы (4.11) надо брать такой, чтобы знаки выхода объекта и модели совпадали. Тогда все элементы формул (4.7), (4.9) уже известны, кроме векторов и> = [ят,А т]г еГ+', £= [^(1),(т)]т е Ят,

А = [А(1),--,Л(017' е

Для нахождения этих значений используется РАИ в виде 1. Алгоритм Нъютона-Рафсона - АНР

gN=gN-l -к\,ыК(ии^Ы-\-кхыК^Ьш-х],

Сы = [к1ы (4«} + ^

Иы = +/л[НыТ1[К^)-к^ыК^^ы-г -¿2,^4^-1],

У V

Ни = [к2,ик\мК^); Л-| и + ¿ю£)], # = АЪ +1, М> + 2, • • •.

2. Алгоритм усредненного метода наименьших квадратов - УМНК

N

МП Гы = /(N-1-1),

=[кх,ыитм-,кгмУТм]т еЯп+', N = N0 +1,N0 +2,....

3. Алгоритм Качмажа — АК

/и I

т = 2ты2ы =

/=1 у=1

(4.13)

(4.14)

4. Обобщенный алгоритм - ОА

к\м [Е - gN-1 /||я//_112 ] БПГ2 (млг , О

аы =

(4.15)

После определения оценки вектора весовых коэффициентов по формулам (4.12) - (4.15), определяются'коэффициенты усиления £од,лг ко,гл

т 1

колм (/>и,(#,0; = (4.16)

¡=1 !=] Процесс адаптивной идентификации по первому критерию заканчивается тогда, когда будут выполнены либо условия (4.9), (4.10) для к],ы, кг,и , кп,],ы кп.2.Л' по формулам (4.11), (4.16) и для векторов gN,hN по формулам (4.12) -(4.15), либо правило завершения процесса идентификации, которое определяется заранее. Один из вариантов правила завершения процесса идентификации в разомкнутом контуре управления при первом критерии -выполнение условия

25*1,

(4.17)

5 €2 (г), т = 0,т.

кО,1,ЛГ,кО,2,К,к1М,к2,К.2М.Ш где £•] и ег (г) - заранее заданные точности.

Для решения задачи идентификации по второму критерию, из условия ■ минимальности функционала (4.8), применяя вариационный метод нахождения минимума функционала, получаются следующие уравнения

ш I

ту (Л0 - А-о.1£('>* (М- 0 - ¿'о,2 X л('>* № 0 = 0. N = +1. • ■ •. (4.18)

1=1

1=1

7=1,л

'=' 'т1 (4.19)

(У) - к, ]Г8 (', У) - кг £ АО')«™ С. У)= °> •

>=1 1=1

Для решения систем уравнений (4.18), (4.19) сначала определяются коэффициенты к\,н и кг,м по формулам

Км =Д$?(1)/ДЯЙ(1Д), к2.м (4.20)

Подставляя (4.20) в (4.19), полученное уравнение решается относительно векторов g ,А по алгоритмам (4.12) - (4.15). Наконец, вычисляются

коэффициенты усиления ко,},м и ко,г.м по формуле (4.16).

Процесс адаптивной идентификации по второму критерию заканчивается тогда, когда будут выполнены либо условия (4.18), (4.19) для уже известных значений ко,\,ы, ко,г,ы, к\,ы, кг.м по формулам (4.16) (4.20), и gм,hм по формулам (4.12) - (4.15), либо правило завершения процесса идентификации, которое определяется заранее. Один из вариантов правила завершения ■ процесса идентификации в разомкнутом контуре управления при втором критерии является выполнение условия

(У)-(У)| ^ ^, < «,У = V, (4'21)

где ¿"з, ел и £ъ - заранее заданные чисель, а

/ 1

(У) = ^ £ (', У) + к2,ы £ Им (/, У),

1=1 /=1 ; I

(У) = Ь,м ^ ём О', У) + к2,м ^ (/, у).

;=1 1=1 В разделе 4.4 рассматриваются вопросы сходимости РАИ по формулам (4.12) - (4.15). Доказывается, аналогично теоремам 3.1 - 3.4, теоремы их сходимости (теоремы 4.1 - 4.3 диссертации). Вопросы оценки скорости сходимости РАИ для дисперсионной статистической линеаризации решаются аналогично случаю, когда в качестве моделей исследуемого НСДОУ рассматриваются модели Гаммерштейна из третьей главы. В разделе 4.5 методы одномерной дисперсионной статистической линеаризации обобщены на многомерный по входам случай. Получены аналогичные результаты.

В Главе 5 решается задача параметрической идентификации НСДОУ в классе моделей Винера и Винера-Гаммерштейна. После определения структуры модели задача идентификации сводится к задаче параметрической идентификации, суть которой заключается в минимизации критерия качества идентификации по параметрам. В качестве алгоритма идентификации применяется ДСРАИ, разработанный в третьей главе. Изучены вопросы сходимости ДСРАИ при присутствии на выходе объекта помех в виде белого шума, мартингальной последовательности и скользящем в среднем. Оценены скорости сходимости и точность оценивания.

Допускается, что исследуемый ОУ является нелинейным СДОУ класса

Винера, имеющим наблюдаемый вход б К1 и выход е Л1, где ( -дискретное время, - множество действительных чисел. Процессы Л'(7) и У(!) предполагаются стационарными и стационарно связанными в дисперсионном смысле центрированными эргодическими процессами, которые определены на вероятностном пространстве (П, /<*, Р). В дискретные моменты времени « = 1,2,измеряются входные хп и выходные уп величины. Последовательность

(5.1)

представляет собой бесконечную выборку статистически независимых наблюдений случайных центрированных процессов У(() .

В Разделе 5.2 на основе реализации (5.1) строится модель, в которой в порядке последовательного соединения включены: 1) линейный динамический блок модели Винера

т I

ум =2>(0.У*-> =8Ту(к-\)+НТх(к), к =

У(А -1Г=[.У* и--,Ук-п,]т х(к) = 1хк,-,хк-1+1]т еЯ1,

где бйя,А = [/1(1),-,Л(/)]г ей' - векторы неизвестных

весовых коэффициентов линейного блока модели Винера; 2) нелинейный статический элемент модели Винера представлен квадратором

т 1 1 т т

|'=1 1=1 1=1 ¿=1 /с -!Ч

т 1 11 Р-*,»

(=1 >=1 1=1 у=1

Окончательно, модель Винера принимает вид

Ук = У2,к +1]к =гт{к)9+и1+г)к,к = 1 + 1,1 + 2, где вектор г(£) определяется следующим образом: *(*:) = {г[к; ; ]г е Я*, <1 = тт + ш/ +II,

!>*->>Ук-\Ук-2,"-, Ук-\Ук-т =у(Лг-1)уГ(А'-1)= :

_Ук-тУк~\,Ук-1Ук-2,---,Ук-тУк-т

= [г\ (к), г2 (к), ■■■,гт (к); г и+1 (к), ■ • •, г2и (Л); ■ ■■ ■■, гтп, (к)]Т е Л """,

% , У к-] Хк-\ ,■••, Ук~1 Хк-и 1

у^-.щХк , ук-тХк-\ , - ■ Ук-т Хк-1 +1 ^

, 2тт+1 (к)] 2тт+1+1 (&),'" *,

гз,к = х(Аг)х (£) =

ЗДХ* .-П-ХЛ—1,-'-,ХкХк-1+1

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

7 II

мл-—1 - управляющий вход модели, а - помеха на выходе объекта.

Если сравнить модель (5.4) с моделью (3.32), обнаружим, что кроме струкгур1Юго отличия они отличаются и по входным векторам. В остальном они формально совпадают. Исходя из этого, задача рекуррентной идентификации по модели (5.4) решается так же, как по модели (3.32), но результаты являются разными по точности идентификации. Доказана сходимость соответствующих РАИ и ДСРАИ (теоремы 5.1 - 5.3 диссертации).

В Разделе 5.4 рассматривается задача идентификации НСДОУ в классе моделей Винера-Гаммерштейна (ВГ). Модель ВГ строится как последовательное соединение модели Винера с моделью Гаммерштейна. Формируется каскадная модель ВГ, в которой между двумя линейными блоками расположен нелинейный статический элемент. Предполагается, что структуры объекта и модели совпадают. В качестве модели исследуемого объекта на основе статистики (5.1) рассматривается динамическая система, в которой в порядке последовательного соединения включены следующие подсистемы: 1) модель Винера по формуле (5.4), которая в данной постановке задач запишется в виде

у1к =вТг(к),к^1 + \,1 + 2,--,1 + р,-,Ы,--, (5.9)

где вектор г (к) определяется по формулам (5,5) - (5.8); 2) в качестве нелинейного статического элемента модели Гаммерштейна выступает модель Винера по формуле (5.9); 3) динамический блок модели Гаммерштейна имеет вид

р р

У2,п = 2г(п~0> п = 1+р + \,1 + р + 2,---,Ы,---. (5.10) (=1 <=1

Окончательно, модель ВГ принимает вид р

Уп =У2.П 1 +Т]„ - ^ а„^вТ 2(п — ») + «„-1 +Т)п =2Т +и „-1 +Т]п, ¿=1

(5.11)

п = I + р + 1,1 + р + 2,---,М,---, где

2(п) = [гт(п-1),-

,гт(п-р)]т ей^, (1=тт+т1+11

входной вектор модели ВГ, ™=авТ =®ав =

арвх,ар6г,-

неизвестный вектор чТ

а~\а„ 1 .-■■а„

,а\ва ■,агва

■■>ар6л _ весовых

■№<¡+¡,■■•,^24

коэффициентов неизвестный

модели вектор

(5.12)

(5.13)

ВГ, а весовых

коэффициентов динамическго блока модели Гаммерштейна.

Задача идентификации по модели ВГ (5.11) сводится к задаче минимизации критерия идентификации по параметрам (5.13). Полученная система уравнений идентификации решается с применением ДСРАИ. Задача рекуррентной идентификации по модели (5.11) решается так же, как по модели (5.4), (3.32). Дается доказательство сходимости соответствующих РАИ и ДСРАИ (теоремы 5.4 - 5.6 диссертации).

Все модели, построенные в главах 3-5 и реализуемые в блоке «Параметрическая идентификация» АдСУ, в дальнейшем передаются в •замкнутый контур управления. Это происходит после выполнения критерия завершения процесса идентификации в разомкнутом контуре управления.

В Главе 6 решаются задачи адаптивной идентификации и управления в замкнутом контуре АдСУ. Исследованы вопросы сходимости РАИ и адаптивного алгоритма управления (АдАУ) в замкнутом контуре, вопросы устойчивости АдСУ.

Как указано в трудах В.М. Чадеева, Ф.Ф. .Пащенко, А.Л. Бунина, В.Я. Ротача, В.Н. Каминскаса, Ш.И. Штейнберга и др. при решении задачи рекуррентной идентификации в замкнутых системах управления возникают определенные трудности. В замкнутом контуре управляющее воздействие функционально зависит от оценок параметров и входов модели. Это приводит к тому, что управление оказывается коррелированным с входами, и снижается скорость сходимости процесса идентификации. Большинство РАИ в разомкнутом контуре управления при отсутствии помех обладают абсолютной сходимостью. Поэтому при замыкании систем без помех сходимость замедляется, а в некоторых частных случаях и останавливается. При наличии помех увеличивается радиус сходимости, а в некоторых случаях процесс идентификации вообще начинает расходиться. В этих случаях управляющее воздействие имеет двойственный (дуальный) характер, являясь одновременно направляющим и изучающим.

Существуют эффективные способы преодоления трудностей, возникающих при решении задачи рекуррентной идентификации и адаптивного управления в замкнутом контуре управления. Можно осуществить разделение процессов параметрической идентификации и адаптивного управления. Рассматриваются некоторые способы такого разделения. При одном способе - после осуществления процесса адаптивного управления на данном шаге итерации размыкают контур управления и в разомкнутом контуре проводят процесс параметрической идентификации. При достижении желаемой точности идентификации снова замыкают контур управления, и результаты разомкнутого контура используют для определения управления на следующем шаге итерации и т. д. При другом способе разделение процессов осуществляются внутри замкнутого контура управления.

В данной главе решаются задачи рекуррентной идентификации и адаптивного управления с применением способа разделения внутри замкнутого контура управления на основе моделей Гаммерпггейна, Гаммештейна-Винера, Винера, Винера-Гамменггейна, и РАИ УМНК, ДСРАИ. На основе АдАУ определяется оптимальное значение управления для слежения за выходом НСДОУ, которое поступает на вход регулятора. В регуляторе преобразуется значение управления и вырабатывается сигнал, соответствующий желаемому значению выхода ОУ. Успешное решение задачи устойчивости обеспечивает эффективное и стабильное функционирование как НСДОУ, так и АдСУ в целом.

В разделе 6.2. рассматриваются задачи адаптивного управления с параметрической идентификацией в замкнутом контуре управления для класса • объектов Гаммерштейна на основе статистики

(6.1)

где Ni - момент времени или шаг итерации, на котором завершен процесс идентификации в разомкнутом контуре управления. В качестве модели НСДОУ для замкнутого контура управления рассматривается одномерная на d шагов опережающая смешанная дисперсионная модель Гаммерштейна

yn*d=zlw+ßt„+pn+d. п = N\ +/+1,jVi + / + 2,■••, (6.2)

Zn =[wii,i,---,"/i.m',v„,i,---,v,n/]r eRm+I - входной вектор модели, компоненты которого вычисляются по формулам (2.13), (2.14). Вектор w является неизвестным вектором весовых коэффициентов модели, в качестве начального значения которого выступает оценка хзд разомкнутого контура управления, и„ - неизвестное управление, которое требуется определить, коэффициент ß фО - известная величина, d - шаг опережения. Помеха ры+d определяется d •!

так p„+d =y^jJjn+d-ic, где {r)n,Fn} - мартингальная последовательность,

к=0

. которая удовлетворяет условиям M[i]„ I /-Vi ] = //„-I M [г/г I F„-i ] < со >0: ее [o,l] (6.3)

sup M[\t]„+\ |r|/r„]<oo п.в., у > 2, (6.4)

niN 1

N

'lim С YnhKN-Ni-/) = <t? >0. (6.5)

A/—' '

Из условий (6.3) - (6.5), используя лемму Бореля-Кантелли, для любого tu е (2//Д), вытекает условие

I JJn+i |2= 0(п£" ) п.в. (6.6)

Задается последовательность {у») п.в. ограниченных желаемых

случайных величин выхода объекта и y'n+d - F„ -измерима. Критерий качества адаптивного управления определяется формулой

J{un)=M{\y„ä-yn+a?\F„}+Xu'i„ X > 0; n = M +/ +1,M +i +2..........(6.7)

Задача адаптивного управления в данном случае заключается в определении такого оптимального управления, и*п, которое будет удовлетворять условию

и*„ = arg min J(u„), (6.8)

ияеЯ1

Это означает, что надо определить такое управление, чтобы значение выхода модели было близко к заранее заданному значению выхода объекта y*„+d в смысле минимум;) критерия (6.7).

Выполнение условия (6.8) эквивалентно выполнению условия

^l\un=u. = 2(zlw+ßu*-y:+d)ß + 2Äu"r,=0.

(6.9)

Из (6.9) определяется оптимальное управление в следующей форме и» =(Д2 fXTlply*n+d-zlw], n = Ni+l+l,Ni+l + 2,-. (6.10)

Управление (6.10) является на d шагов опережающим оптимальным управлением, которое минимизирует критерий (6.7). Неизвестный вектор w

определен на области D = {w : w е |ve* - мзд j < L}, где w>* точка минимума

функционала (6.7).

Для определения w решается задача параметрической идентификации в замкнутом контуре управления с применением РАИ УМНК в виде

r»lwn+d = r'^Wn+d-1 +n\yn+d + XfXp2(yt,+d -znw„)]zn, ^

rn = Гп-i -anr„-\znzj,r„-i, wi > 0, a„ = (I-zlirn-izn)'1.

Алгоритм (6.11) является на d шагов опережающим алгоритмом УМНК, где управляющий вход модели (6.2) определяется по формуле и„ =(р2 +Л)'1р[у*п+11 -zHw„].' (6.12)

Управление (6.12) является оценкой оптимального управления (6.10). Для доказательства сходимости подпоследовательности {и„} п.в. к г/«, сперва доказывается сходимость алгоритма (6.11) в замкнутом контуре управления. Для этого делаются некоторые замечания и обозначения, а также доказываются некоторые леммы.

В формуле (6.11) верны следующие соотношения

=гп\ + • (6.13)

Pnz„ = anPn-\z„ . (6.14)

Пусть Л"тт собственное значение матрицы г„1, Рп = & (л,1) - след

1 матрицы пГ1. Тогда из (б. 13) получается, что Р„ = Р„-\ + ¡¡г„'|2 и

и = 0(Я„) п.в. (6.15) Обозначим

Д„=ц/-м>„, <р„=гп&п, (6 16) е„-и) = уп+а -(Р2 +Д)-1 р\уп+л -гТп™]-21ч>„+с1-\. Справедливы следующие леммы.

Лемма 6.1 ..Для алгоритма (6.11) выполняются следующие соотношения:

a) А„+а =Д„+£/-1 -г„2„е„+с1, Дп+</ =м>-м1„+а; (6.17)

к-1

b) Дп+</ =г„г~\А„+11-к - гпу^п^рп+с!ч, 0 <к£,п. (6.18)

у=0

Лемма 6.2. Для системы (6.2), при выполнении условий (6.3) - (6.6), справедливы следуюгцие оценки

v v n

!)■ 2 Гл'1п+\=0({ ^Гп)6)п.в.,2). ^Гг1;г„гп712п+к=0(1оёРы) п.в.,

п=ы\+м п=л'|+/+1 п=ы1+м

n n

г« Дя+1/ |2)й) «-в., (6.19)

п=лг1+/+1 п=м+/+1

гс)е \/6 е (1/2.1) , /•" - измеримая случайная величина, /с > 0 .

С использованием лемм 6.1., 6.2. для алгоритма (6.11) доказана теорема 6.1. Теорема 6.1. Пусть дана система (6.2). Помеха ?]п на выходе объекта удовлетворяет условиям (6.3) - (6.6). Тогда для ошибки идентификации вектора параметров М> по алгоритму (6.11) Аы+с! — > N>N1, выполняется условие

=0(1оёР*/0 п.в.. . (6.20)

Теорема 6.1. обеспечивает сходимость п.в. алгоритма идентификации УМНК (6.11) в замкнутом контуре управления. Исходя из этого, алгоритм можно успешно применять при решении задачи адаптивного слежения за выходом ОУ совместно с адаптивным управлением (6.12). Но необходимо изучение асимптотических свойств алгоритма управления с целью обеспечения устойчивой работы АдСУ.

Для исследования сходимости алгоритма управления по формуле (6.12) сделано следующие допущение. Пусть

G(q) = 1 + g(l)q + g(2)q2 + • • • + g(m)q'm, H{q) = ß + h(\)q + h{2)q2 +■■■ + h(l)ql характеристические полиномы, которые удовлетворяют условию ßH(q) + ÄG(q) Ф 0 для любого q: (6.21)

Справедлива следующая лемма.

Лемма 6.3. Если выполняются условия (6.3) - (6.6), (6.21), тогда п.в. справедливы оценки

n n

]Га„ |zT„An+d |2 = 0(log/V); Yabn<p" = °(loS^), л=м+/+1 n n=n\+i+\ (6.22)

b„ =(\ + zlrn-dz„y, ^<р2 = 0(logP£), (2/y,l.

л=ЛГ1+/+1

Тогда для системы слежения за выходом объекта, который описывается набором уравнений объекта по формуле (6.2), идентификатора по формуле (6.11) и регулятора по формуле (6.12), справедлива следующая теорема.

Теорема 6.2. Если выполняются условия (6.3) - (6.6), (6.22), тогда адаптивная система слежения характеризуется следующими свойствами:

а) устойчивостью

ТйГ I . (6-23)

б) оптимальностью

lim- У(м„ -и")-0 п.в. (6.24)

1 n=N\+l+\

Теорема 6.2. обеспечивает сходимость п.в. алгоритма управления (6.12) к оптимальному значению (6.10). Алгоритм управления (6.12) совместно с алгоритмом идентификации (6.11) гарантирует устойчивую работу АдСУ.

Задачи рекуррентной идентификации и адаптивного управления в замкнутом контуре для модели Гаммериггейна на основе алгоритма АК решаеюся аналогично алгоритму УМНК.

В разделе 6.3. в качестве модели НСДОУ для замкнутого контура управления рассмотрена одномерная на d шагов опережающая смешанная дисперсионная модель Гаммерштейна-Вннера в виде 3W =zT (n)Ö+ßu„+p„+d,n = Nx+l + \,N\+l + 2,—. (6.25)

где z(n) входной вектор модели, а в неизвестный вектор, в качестве начального значения которого выступает оценка вц\ разомкнутого контура

управления, и„ - неизвестное управляющее воздействие, которое требуется определить.

Для решения задачи параметрической идентификации в замкнутом контуре используется ДСРАИ из третьей главы, который в данной постановке задачи реализуется с помощью следующих трех этапов.

Этап 1. Используется УМНК в виде

ГпХОп+а =г-\вп+с}-1 -(/?2 + ЛГ1Д2(У*+е1-гт(п)ОпЫп),

(6.26)

Гп = г„-1 + апГп-\2{п)гт (п)г„-1, ГЫ\ > 0, ап = [1 + гт (п)гп-\г(п)] 1,

где управляющий вход модели (6.25) определяется по формуле

и„ =0Ч2 +Хухр{у*„^ -2Т{п)вп\. (6.27)

Этап 2. Из вектора вп+ы по формуле (6.26), формируются матрицы, соответственно размерностью (т х т), (т х I) и (/ х /) ©^(« + йГ) = ЯЯГ(п + с/), ®3и(п + е}) = ёИТ{п + с1), ®ш(п + с1) = ккт (и + а?) и их соответствующие сингулярные разложения по формуле (3.34).

Этап 3. Оценки векторов gn+d, даются по формуле (3.35), на основе которых получаются следующие оценки матриц

<й>Я,(и + с0 = ££г (« + <*), + = (л + О, + = (и + с/).

Тогда для оценки ошибки параметрической идентификации в замкнутом контуре получается уравнение (3.36). Сходимость п.в. полученного ДСРАИ в замкнутом контуре на основе модели Гаммерштейна-Винера обеспечивается теоремой 6.З., которая формируется и доказывается аналогично теореме 3.8.

Для исследования вопроса сходимости алгоритма управления по формуле (6.27) и задачи устойчивости АдСУ на основе модели Гаммерштейна-Винера рассматривается система слежения за выходом объекта, который описывается набором уравнений (6.25), идентификатора по формуле (6.26) и регулятора по формуле (6.27). Тогда для стабильного функционирования этой системы слежения справедлива теорема 6.4,, которая формируется и доказывается аналогично теореме 6.3. Она обеспечивает асимптотическую сходимость алгоритма управления (6.27) к своему оптимальному значению и'„. Алгоритм управления (6.27) совместно с алгоритмом идентификации (6,26) гарантирует устойчивую работу АдСУ при использовании модели Гаммерштейна-Винера по формуле (6.25).

Задачи рекуррентной идентификации и адаптивного управления в замкнутом контуре для модели Гаммерштейна-Винера на основе алгоритма АК решаются аналогично УМНК.

Теоремы 6.1., 6.2. выполняются и в случае, когда в качестве модели исследуемого ОУ берутся модели, которые построены на основе методов дисперсионной статистической линеаризации, а теоремы 6.3., 6.4. - для моделей класса Винера и Винера-Гаммерштейна.

В Главе 7 решаются задачи компьютерного моделирования разработанных адаптивных методов, моделей, алгоритмов дисперсионной идентификации и управления, АдСУ ЭП ферросплавного производства, производства сверхчистых металлов, а также для СЭГ ТЭЦ при производстве электроэнергии. Построены модели взаимосвязи «активная мощность - сила тока» для этих НСДОУ. Приведены результаты компьютерного моделирования некоторых моделей, адаптивных алгоритмов идентификации и управления, АдСУ изучаемых объектов.

В разделе 7.2 проведено имитационное моделирование разработанных адаптивных методов, моделей и алгоритмов дисперсионной идентификации. Предварительное моделирование на базе ПК осуществляется в ускоренном масштабе времени. Это дает возможность проверить работоспособность алгоритмов адаптивной идентификации, их свойств по сходимости, по точности идентификации, исследовать влияние видов взаимосвязи "выход -вход". Компьютерное моделирование позволяет получить как качественные, так и количественные оценки поведения исследуемого ОУ, а также оценить эффективности разработанных адаптивных методов, моделей, алгоритмов дисперсионной идентификации и управления. Результаты моделирования, кроме практической направленности, связанной с разработкой АдСУ, представляют и теоретический интерес для расширения результатов аналитических исследований,

В качестве исследуемого объекта рассматривается нелинейная стохастическая динамическая система второго порядка, где входной процесс рассмотрен как случайная последовательность, которая получается с генератора случайных чисел с гауссовским распределением, имеющим нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Кроме случайной гауссовской последовательности рассматриваются ее нелинейные преобразования. Построены все выше рассмотренные модели как разомкнутом, так и замкнутом контуре управления. Сравнительный анализ результатов моделирования показал, что адаптивные методы дисперсионной идентификации в целом дают лучшие результаты, чем корреляционные. Они превосходят по точности в среднем на 20%. Наибольшую точность аппроксимации с использованием РАИ обеспечивается за счет оптимального выбора коэффициентов размытости, модификации, адаптации и управления.

В разделе 7.3 рассматриваются задачи компьютерного моделирования адаптивной идентификации и управления функционирования ЭП ТП производства ферросплавов.

В параграфе 7.3.1. дается анализ ТП производства ферросплавов и функционирования ЭП как ОУ. В параграфе 7.3.2. приведены основные факторы, влияющие на ТП производства ферросплавов. Основными факторами, определяющими производительность ЭП, является мощность ЭП.

В параграфе 7.3.3. на основе анализа функционирования ЭП определены, что для управления процессом выплавки ферросплавов в ЭП основным регулируемым, т.е. выходным параметром, является активная мощность, а регулирующим, т.е. входным, - сила тока электрода по фазам.

При работе ЭП возникают нарушения электрического режима в результате различных возмущающих воздействий. Основными возмущающими воздействиями являются возмущения по активному сопротивлению ванны печи и по колебанию напряжения питающей сети. Их изменения отражаются на силе тока и, как следствие, - на мощности ЭП.

Процесс оптимального управления ЭП с целью достижения активной максимальной мощности при минимальном значении силы тока требует знания функциональной взаимосвязи между мощностью и силой тока в реальном масштабе времени. Ставится задача разработки адаптивной модели взаимосвязи "мощность — сила тока" ЭП в условиях ее нормального функционирования.

Решение этой задачи осуществлено с применением разработанных в диссертационной работе адаптивных методов, моделей, алгоритмов дисперсионной идентификации и управления. Построенные таким образом АдСУ обеспечивает достижение желаемой максимальной мощности при минимальных значениях силы тока по фазам.

В параграфе 7.3.4. рассматривается функционирование АдСУ мощности ЭП производства ферросплавов, блок-схема которой представлена на рис. 2

АдСУ мощности ЭП включает в себя следующие функциональные подсистемы: ОУ — ЭП с трансформатором; измерительный комплекс - ИК; идентификатор - И; регулятор — Р; исполнительный механизм - ИМ.

ИК состоит из датчиков мощности, силы тока и напряжения по каждому электроду, суммарной мощности и коэффициента мощности. Результаты наблюдения " активная мощность - силы тога по фазам" представляется в виде статистики

{/ 1 (к), / 2 (к), I3 (к), Ра (к) . (7.1)

Статистика (7.1) поступает в подсистему идентификатор - И, где оно группируется и центрируется, в результате чего получается таблица

Рис.2. Блок-схема АдСУ мощности ЭП.

г Я

131 I•••

* 1,Г > 1,2 »

т}О //О ■"100,1' 100.2:

1У" Р'

>0 т ]0

100,4 100,5

, У = 1.3, Я? =

<3,1

рО а, 100

(7.2)

Л?,» = А.» (Л), « = 1,Л, / = 1,5, ¿ = 5,100.

На основе (7.2) вычисляются оценки взаимно и авторегрессионых функций по формулам (2.13), (2.14). С их использованием строятся: одномерная по каяедой фазе и по трем фазам смешанная дисперсионная модель Гаммерштейна, Гаммерштейна-Винера и статистической линеаризации класса Гаммерштейна для центрированной активной мощности; одномерная по каждой фазе смешанная модель Винера и Винера-Гаммершгейна. При этом общее число оцениваемых весовых коэффициентов достигает 48, а для модели Винера-Гаммерштейна - 192.

Векторы весовых коэффициентов вычисляются модифицированными рекуррентными алгоритмами УМНК, НР, ОА, АК, ДСРАИ.

Для сравнения этих моделей, методов и алгоритмов идентификации оцениваются следующие числовые характеристики:

а) Ор - выборочная дисперсия центрированной значений активной мощности по формуле

= (7.3)

б) Ор ^А: 1./ = 1,3; к = 1,4 - выборочная дисперсия ошибки идентификации при у - и фазы сила тока в случае, когда весовые коэффициенты оцениваются: к = 1 - по УМНК; к = 2 - по алгоритму НР; к = 3 - по алгоритму ОА; к = 4 -по АК. Формула имеет вид ,,

°р-р* = ^ -]2> У = и; * = 1А / = 100; (7.4)

и=6

в) отношение выборочной дисперсии ошибки идентификации к выборочной дисперсии выхода системы - относительная дисперсия

С{ = к Юу , ) = 1,3; к = 1Д (7.5)

Для трехмерных моделей оценивалась суммарная относительная дисперсия по формуле

к = Ц4. (7.6)

В разделе 7.4 рассматривается компьютерное моделирование процессов параметрической идентификации и адаптивного управления в замкнутом контуре на примере модели

4 4

С = 2>/Ч, +2>'Ч = 1.3 = + Р11д, У = 1,3, к = 6,96, (7.7)

1=1 <=1

о.* = *7.*-1 -сЧ.кП,к-\г],к2Т^<к-\>г}лх >0, а^к =(1-г^кг/гк-]2/,кУ1. (7.8) /7 = 1.0, Л = 0.01, ¿ = 4,

где управляющие входы по каждой фазе определяются по формуле

=о*2 - *М]> •/=^ •

Управляющие значения по формуле (7.9) поступают на вход регулятора

электрического режима ЭП по каждой фазе - V1. Регуляторы предназначены для автоматической стабилизации тока электрода и по принципу работы представляют собой релейные регуляторы стабилизации

положений электрода. Работа Р-' поясняется блок.-схемой, представленной на рис. 3.

Входом регулятора является полупроводниковый преобразователь, обеспечивающий работу регулятора от любого стандартного задатчика с сигналом 0-5 гпА . Входное токовое устройство регулятора выполнено на токовом трансформаторе ТТ1 и полупроводниковом измерительном звене, которое подключается к печному трансформатору 7?Т. При равенстве тока ЭП

4

Рис.3. Структурная схема одной фазы регулятора мощности.

1{ току задания 1{ад напряжение на обмотках трансформатора ТТ2 равно 30 V . Напряжение вторичных обмоток трансформатора ТТ2 выпрямляется и поступает на схему сравнения «верхнего» и «нижнего» полупроводникового усилительного звена, подающего команд}' на опускание или поднимание электрода. На вход блока управления БУ1 поступают сигналы,

пропорциональные току электрода Ц и напряжению на электроде и^, в котором эти сигналы выпрямляются и сглаживаются. Сигнал по напряжению, кроме того, корректируется в зависимости от номера ступени напряжения печного трансформатора ПТ. Коррекция происходит через блок управления БУ2. Дифференциальный принцип работы регулятора реализуется в БУ1. Если

сигнал рассогласования А и3 больше заданного задатчиком зоны

нечувствительности сигнала и} д, то на выходе БУ1 появляется сигнал

управления III - - и}тд , который поступает на вход тиристорного преобразователя ТПр в качестве сигнала задания частоты вращения двигателя перемещения электрода ДПЭ. Частота вращения ДПЭ контролируется отрицательной обратной связью, снимаемой с тахогенератора ТГ. В регуляторе предусмотрена возможность использования отрицательной обратной связи по напряжению на якоре электродвигателя с использованием узла развязки, расположенного в ТПр. Регулятор осуществляет опускание электрода в пропорциональном, а подъем - в пропорционально-релейном режимах. Переход в релейный режим обеспечивается отрицательной обратной связью по напряжению на электродвигателе перемещения электрода, который является исполнительным механизмом - ИМ для управления мощностью ЭП.

Статистическая характеристика регулятора при подъеме и спуске электрода приведена на рис. 4.

Из него видно, что при опускании электрода регулятор работает в пропорциональном режиме с насыщением (2 м/мин), а при подъеме - в пропорциональном отрезке и релейном с ограничением скорости (5 м/мин) — отрезок Ьс.. Отрезок с!а характеризует зону нечувствительности регулятора на спуск и подъема электрода. Подъем или опускание электрода происходит до

тех пор, пока не будет выполнено условие Н — ■

Анализ результатов компьютерного моделирования процессов адаптивной идентификации и управления показывает высокую точность управления.

Рассмотренные адаптивные методы, модели, алгоритмы дисперсионной идентификации и управления, Ад С У в виде пакета прикладного программного обеспечения были внедрены в системе управления ЭП цеха № 4 Зестафонского завода ферросплавов (ЗЗФ, Грузия). В результате внедрения АдСУ обеспечила повышение производительности ЭП на 4.3%, снижение расхода электроэнергии на 3.3%. Годовой экономический эффект от внедрения разработки составила 15% общего эффекта. Внедрение разработки подтверждено актом внедрения от ЗЗФ.

В разделе 7.5 рассматриваются задачи компьютерного моделирования адаптивной идентификации и управления функционирования ЭП ТП производства сверхчистых металлов. Для этой цели на одной из ЭП электрофасоннолитейного цеха ОАО Московского Металлургического завода «Серп и молот», при ее нормальном функционировании в процессе выплавки стали марки ст. 3. была снята статистика «активная мощность - сила тока» вида (7.1). На основе этой статистики е параграфах 7.5.2., 7.5.3. построены все вышеперечисленные модели, адаптивные алгоритмы идентификации и управления. Результаты моделирования подтверждают эффективную работу разработанных адаптивных методов дисперсионной идентификации и управления.

Рассмотренные адаптивные методы, модели, алгоритмы дисперсионной идентификации и управления, АдСУ в виде пакета прикладного программного обеспечения внедрены в системе управления ЭП производства сверхчистых металлов. Построенная АдСУ обеспечила более точное прогнозирование и управление желаемого значения мощности ЭП. В результате достигнут технико-экономический эффект, заключающийся в повышении производительности ЭП на 3.0-3.5 %, снижение расхода электроэнергии на 2.0-2.5 %. Внедрение разработки подтверждено актом внедрения от ОАО ММЗ «Серп и молот».

В разделе 7.6 рассматриваются задачи компьютерного моделирования и адаптивного управления функционирования СЭГ ТЭЦ при производстве электроэнергии. Для этой цели на одной из СЭГ ТЭЦ № 25 ОАО «МОСЭНЕРГО», при его нормальном функционировании были снята статистика «активная мощность - сила тока» вида (7.1). На основе этой статистики в параграфах 7.6.1, 7.6.2 построены все вышеперечисленные адаптивные модели, алгоритмы идентификации и управления. Результаты моделирования подтверждают эффективную работу разработанных адаптивных методов дисперсионной идентификации и управления.

Разработанные адаптивные методы, модели, алгоритмы дисперсионной идентификации и управления, АдСУ в виде пакета прикладного программного обеспечения внедрены в системе управления мощностью СЭГ ТЭЦ. Построенная АдСУ обеспечила высокую точность прогнозирования и управления мощностью СЭГ ТЭЦ. В результате достигнут технико-экономический эффект, заключающийся в повышении мощности СЭГ на 0.51.0 %. Внедрение разработки подтверждено актом внедрения от ТЭЦ № 25 ОАО «МОСЭНЕРГО».

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

На основании выполненных исследований разработаны теоретические и прикладные положения, совокупность которых можно квалифицировать как новый крупный вклад в решении научной проблемы народного хозяйства. На основе предложенного подхода впервые в теории и практике идентификации и управления:

1. Предложены общая методология построения схем и методов рекуррентного оценивания регрессионных и дисперсионных функций общего вида. Исследованы вопросы их сходимости, оценены скорости сходимости.

2. Разработаны методы структурной идентификации. Получены оценки степени нелинейности, меры стохастичности и идентичности.

3. Разработаны адаптивные методы и алгоритмы параметрической идентификации. Построены одномерные и многомерные по входам дисперсионные модели класса Гаммерштейна и статистической линеаризации.

4. Построены одномерные модели класса Гаммерштейна-Винера, Винера и Винера- Гаммерштейна.

5. Решены задачи параметрической идентификации с использованием одномерных и многомерных по входам дисперсионных моделей класса Гаммерштейна, статистической линеаризации на основе модифицированных адаптивных алгоритмов Ньютона-Рафсона, усредненного метода наименьших квадратов, обобщенного алгоритма, алгоритма Качмажа.

6. Решены задачи параметрической идентификации с использованием одномерных дисперсионных моделей класса Гаммерштейна-Винера, Винера, Винера-Гаммерштейна на основе двухступенчатого адаптивного алгоритма идентификации.

7. Изучены вопросы сходимости разработанных адаптивных алгоритмов идентификации, оценены их асимптотические скорости сходимости и правила завершения процесса адаптивной идентификации в разомкнутом контуре управления.

8. Поставлена и решена задача адаптивного управления процессом слежения за выходом объекта в замкнутом контуре управления. Решение осуществлено методом разделения процессов параметрической идентификации и адаптивного управления.

9. Доказана асимптотическая сходимость адаптивного алгоритма управления, в основе которого лежат дисперсионные модели Гаммершгейна и Гаммерпггейна-Винера и алгоритм усредненного метода наименьших квадратов. Решена задача устойчивости АдСУ при слежении за выходом объекта.

10. Разработанные адаптивные методы, модели, алгоритмы дисперсионной идентификации и управления опробованы при помощи имитационного моделирования, которое подтвердило их эффективность.

11. Впервые построены адаптивные нелинейные динамические модели взаимосвязи «мощность - сила тока» ТП производства ферросплавов, сверхчистых металлов, производства электроэнергии в синхронных электрогенераторах ТЭЦ, где учитываются как нелинейные, так и динамические связи между активной мощностью и силой токов по фазам, одновременно от всех фаз.

12. Разработанные адаптивные методы, модели, алгоритмы дисперсионной идентификации и управления, Ад£Ув виде пакета прикладного программного обеспечения были внедрены в системе управления: электрическими печами производства ферросплавов Зестафонского завода ферросплавов (Грузия), электрическими печами производства сверхчистых металлов ОАО Московского Металлургического завода «Серп и молот» (Россия), синхронными электрогенераторами производства электроэнергии ТЭЦ № 25 ОАО «МОСЭНЕРГО» (Россия). Результаты внедрения разработки подтверждены актами внедрения, где указаны полученные технико-экономические эффекты.

Разработанные адаптивные методы дисперсионной идентификации так же можно успешно применять для аналогичных ТС и ТП в других отраслях народного хозяйства.

Публикации по теме диссертации

1. Болквадзе Г.Р.. Метод дисперсионной идентификации в классе смешанных моделей гаммерштейновского типа // Сообщ. АН ГССР, 114, № 3, 1984.-С. 509-512.

2. Болквадзе Г.Р. Рекуррентная дисперсионная идентификация многомерного нелинейного динамического объекта управления смешанной модели гаммерштейновского типа // Сообщ. АН ГССР, 116, №2, 1984. - С. 281 - 284.

3. Пащенко Ф.Ф., Болквадзе Г.Р., Чернышев К.Р. Сходимость алгоритмов идентификации при помехах // Сообщ. АН ГССР, 122, № 2, 1986. - С. 281 -284.

4. Пащенко Ф.Ф., Болквадзе Г.Р. Статистическая линеаризация и рекуррентная дисперсионная идентификация // Сообщения АН ГССР, 122, № 3, 1986.-С. 509-512.

5. Пащенко Ф.Ф., Болквадзе Г.Р., Белкина М.В. Рекуррентная идентификация нелинейных объектов класса Гаммерштейна // Сообщ. АН ГССР, 123, № 1, 1986. - С. 57-60.

6. Болквадзе Г.Р. Исследование сходимости рекуррентных алгоритмов дисперсионной идентификации // Сообщ. ГАН, 144, № 1, 1991. С. 21 - 24.

7. Болквадзе Г.Р. Оценки скорости сходимости рекуррентных алгоритмов дисперсионной идентификации // Сообщ. ГАН. 144, № 3. 1991. С. 361 - 364.

8. Bolkvadze G. Adaptive Stabilization Problem of Nonlinear Dynamic Object of Hammerstein Class // Bui. Georg. Acad. Sci. 2001. 163. № 1, p 35-38.

9. Bolkvadze G. Working of Recurrent Algorithms of Dispersive Identification in the Closed-Loop Systems // Bui. Georg. Acad. Sci. 2001. 163. № 2, p 236-239.

10. Bolkvadze G. Computer modeling of dispersion identification recurrent algorithms within closed-loop systems // Труды VII Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение» НКП-2001 с Международным участием. М„ 14-16 февраля 2001 г. С. 210-212.

11. Болквадзе Г.Р. Задача рекуррентной дисперсионной идентификации нелинейных динамических объектов // Тр. ИПУ РАН, 2001, т. 13. С. 69 - 78.

12. Болквадзе Г.Р. Работа рекуррентных алгоритмов дисперсионной идентификации в адаптивных системах управления // Тр. ИПУ РАН, 2001, т. XIII, стр. 79-83.

13. Болквадзе Г.Р. Адаптивная система управления нелинейных динамических объектов класса Гаммерштейна // Тр. ИСУ ГАН, 2001, № 5. С. 52 - 59.

14. Болквадзе Г.Р. Рекуррентная идентификация и адаптивная стабилизация нелинейных динамических объектов // Тр. Межд. конф. « Параллельные

вычисления и задачи управления» РАСО'2001. М., 2-4 окт. 2001 г. - С. 88 -101.

15. Болквадзе Г.Р. Информационная безопасность при создании адаптивных систем управления нелинейными динамическими объектами // Материалы IX Межд. конф. Москва, 19 декабря 2001 г. / Под. ред. Архиповой Н.И. и Кульбы В.В. М.: РГГУ. 576 с. С. 236 - 237.

16. Болквадзе Г.Р. Защита данных от несанкционированного доступа при создании адаптивных систем управления электрической печью производства ферросплавов // Материалы IX Мсжд. конф. Москва, 19 декабря 2001 г. / Под. ред. Архиповой Н.И. и Кульбы В.В. М.: РГГУ. 576 с. С. 264 - 266.

17. Болквадзе Г.Р. Идентификация нелинейных стохастических объектов_ Гаммершгейна//Автоматика и Телемеханика, 2002,№4. С. 91 - 104. (¿7

18. Болквадзе Г.Р. Задачи информационной безопасности в адаптивных системах управлении нелинейных стохастических объектов // Труды X ммеждународной конференции. Москва, декабрь 2002 г. / Под. Ред. Н.И. Архиповой и В.В. Кульбы. Часть 1. - М.: РГГУ. 342 с. - С 303 - 305.

19. Болквадзе Г.Р. Модели Гаммершгейна в задачах рекуррентной идентификации объектов // Труды Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» БЮРШЭ'ОЗ. М, 29-31 января

2003 г.-С. 1626- 1638.

20. Болквадзе Г.Р. Класс моделей Гаммершгейна в задачах идентификации^ стохастических систем // Автоматика и Телемеханика, 2003, № 1. - С. 42 - 56. ©

21. Болквадзе Г.Р. Идентификация нелинейных систем в классе моделей Гаммерштейна-Винера // Избранные труды второй Международной конференции по проблемам управления (17-19 июня 2003 г.) в двух томах. Том 1. — С. 155 — 162.

22. Болквадзе Г.Р. Модель Гаммершгейна - Винера в задачах идентификации стохастических систем // Автоматика и Телемеханика, 2003, № 9. - С. 60 - 76.

23. Болквадзе Г.Р. Двухступенчатый рекуррентный алгоритм идентификации для моделей Гаммерштейна-Винера // Труды Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» 51СР1ЮЧ)4. М., 28-30 января

2004 г.-С. 1528- 1543 .

24. Болквадзе Г.Р. Идентификационный синтез адаптивных систем управления ТП // Автоматизация в промышленности, 2003, № 12. - С. 43 - 45.

25. Болквадзе Г.Р. Метод дисперсионной статистической линеаризации ¿¡^ нелинейных стохастических систем класса Гаммерштейна // Автоматика и ^ Телемеханика, 2004, № 7. - С. 23 - 37.

26. Болквадзе Г.Р. Задача стабилизации адаптивных систем управления ТП // Автоматизация в промышленности, 2004, № 9. - С. 9 - 11.

27. Болквадзе Г.Р. Класс моделей Винера-Гаммерштейна в задачах , идентификации стохастических.систем II Труды Международной конференции

« Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО'2004. М., 4 -6 окт. 2004 г.-С. 624-637.

28. Болквадзе Г.Р. Модели Винера в задачах рекуррентной идентификации // Труды IV Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» БЮРГЮ^. М., 25-28 января 2005 г. - С. 300 - 311

Личный вклад диссертанта в работы, выполненные в соавторстве, состоит в следующем: в [3] автором доказаны теоремы о сходимости почти наверное модифицированных МНК, оценены их скорости сходимости и даны условия, определяющие шаг итерации, на котором процесс идентификации заканчивается; в [4] автором получены алгебраические системы дисперсионных уравнений статистической линеаризации и идентификации, которые решаются с использованием модифицированных алгоритмов идентификации; в [5] обобщенный алгоритм ОА автором распространен на случай, когда в качестве входных сигналов модели выступают оценки взаимно - и авторегрессионных функций. Экспериментально исследованы вопросы сходимости и скорости сходимости этого алгоритма.

Зак. 27. Тир. 110. ИПУ

Введение.

Глава 1. Анализ нелинейных стохастических систем и обзор методов моделирования систем.

1.1. Введение.

1.2. Класс объектов управления (ОУ).

1.3. Класс моделей объектов управления.

1.4. Критерий качества и алгоритмы идентификации.

1.5. Класс систем управления (СУ).

1.6. Постановка задачи.

1.7. Выводы по главе 1.

Глава 2. Непараметрическая и структурная идентификация нелинейных стохастических динамических объектов управления.

2.1. Введение.

2.2. Оценивание числовых характеристик входных и выходных случайных процессов и их взаимосвязей.

2.2.1. Оценивание взаимно и автодисперсионной функций.

2.2.2. Асимптотические свойства рекуррентных оценок взаимнорегрессионных, авторегрессионных и дисперсионных функций.

2.2.3. Асимптотическая скорость сходимости рекуррентных оценок взаимнорегрессионных, авторегрессионных и дисперсионных функций.

2.3. Асимптотические свойства рекуррентных оценок множественных взаимнорегрессионных, авторегрессионных и дисперсионных функций.

2.4. Методы оценивания степени нелинейности, меры стохастичности и идентичности.

2.5. Выводы по главе 2.

Глава 3. Параметрическая идентификация нелинейных стохастических динамических объектов управления в классе моделей Гаммерштейна и Гаммерштейпа-Винера.

3.1. Введение.

3.2. Модели Гаммерштейна в задачах идентификации одномерных нелинейных стохастических динамических объектов управления.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Решение задачи 3.2.1.

3.2.3. Сходимость алгоритмов идентификации.

3.3. Оценивание скорости сходимости РАИ.

3.4. Правила завершения процесса рекуррентной идентификации в открытом контуре управления.

3.5. Модели Гаммерштейна в задах идентификации многомерных по входам нелинейных стохастических динамических объектов управления.

3.5.1. Постановка задачи.

3.5.2. Решение задачи 3.5.1.

3.6. Оценивание скорости сходимости РАИ в многомерном случае.

3.7. Класс моделей Гаммерштейна - Винера в задачах идентификации нелинейных стохастических динамических объектов управления.

3.7.1. Модели Гаммерштейна-Винера.

3.7.2. Постановка задачи.

3.7.3. Решение задачи 3.7.2.

3.7.4. Исследование сходимости ДСРАИ.

3.8. Выводы по главе 3.

Глава 4. Метод дисперсионной статистической линеаризации нелинейных стохастических динамических объектов управления класса Гаммерштейиа.

4.1. Введение.

4.2. Задача дисперсионной статистической линеаризации в классе моделей Гаммерштейна.

4.3. Решение задачи 4.2.

4.4. Исследование сходимости алгоритмов дисперсионной статистической линеаризации.

4.5. Задача многомерной дисперсионной статистической линеаризации в классе моделей Гаммерштейна.

4.5.1. Постановка задачи.

4.5.2. Решение задачи 4.5.1.

4.6. Выводи по главе 4.

Глава 5. Параметрическая идентификация нелинейных стохастических динамических объектов управления в классе моделей Винера и Випера-Гаммерштейна.

5.1. Введение.

5.2. Модели Винера в задачах идентификации нелинейных стохастических динамических объектов управления.

5.2.1. Постановка задачи.

5.2.2 Решение задачи 5.2.1.

5.3. Исследование сходимости ДСРАИ для модели Винера.

5.4. Модели Винера-Гаммерштейна в задачах идентификации нелинейных стохастических динамических объектов управления.

5.4.1. Постановка задачи.

5.4.2. Решение задачи 5.4.1.

5.5. Исследование сходимости ДСРАИ для модели Винера-Гаммершьейна.

5.6. Выводы по главе 5.

Глава 6. Адаптивное управление с параметрической идентификацией в замкнутом контуре управления.

6.1. Введение.

6.2. Адаптивное управление с параметрической идентификацией в классе моделей Гаммерштейна.

6.2.1. Вопросы сходимости РАИ в замкнутом контуре на основе модели Гаммерштейна.

6.2.2. Вопросы сходимости алгоритма управления и задачи устойчивости АдСУ на основе модели Гаммерштейна.

6.3. Адаптивное управление с параметрической идентификацией в классе моделей Гаммерштейна-Винера.

6.3.1. Исследование сходимости РАИ в замкнутом контуре на основе модели Гаммерштейна-Винера.

6.3.2. Вопросы сходимости алгоритма управления и задачи устойчивости АдСУ на основе модели Гаммерштейна-Винера.

6.4. Выводы по главе 6.

Глава 7. Компьютерное моделирование адаптивных систем управления - АдСУ технологическими процессами.

7.1. Введение.

7.2. Имитационное моделирование процессов адаптивной идентификации и управления.

7.3. Компьютерное моделирование функционирования ЭП производства ферросплавов.

7.3.1. ЭП производства ферросплавов как ОУ.

7.3.2. Основные факторы, влияющие на ТП производства ферросплавов.

7.3.3. Выбор регулируемого и регулирующего параметра ЭП и способов регулирования.

7.3.4. Адаптивная система управления - АдСУ мощностью

ЭП производства ферросплавов.

7.4. Адаптивные модели взаимосвязи «мощность-сила тока»

ЭП производства ферросплавов.

7.5. Адаптивные модели взаимосвязи «мощность-силатока»

ЭП производства сверхчистых металлов.

7.6. Адаптивные модели взаимосвязи «мощность-сила тока»

СЭГ ТЭЦ при производстве электроэнергии.

7.7. Выводы по главе 7.

В диссертационной работе развиваются методы решения одной из актуальных проблем современной теории управления. Это -математическое моделирование (ММ) нелинейных стохастических динамических объектов управления (НСДОУ) в условии их нормального функционирования в реальном масштабе времени. Разработаны адаптивные методы дисперсионной идентификации, которые используются в построении адаптивных систем управления (АдСУ), где эффект приспособления к условиям функционирования обеспечивается за счет накопления и обработки большого объема информации о поведении объекта в условиях неопределенности. Построенные таким образом АдСУ внедрены в технических системах (ТС) и технологических процессах (ТП) в черной и цветной металлургии, а также в теплоэнергетике.

Актуальность работы. Актуальность проблемы разработки новых методов моделирования и управления ТС и ТП в разных отраслях народного хозяйства обусловлена необходимостью улучшения качества функционирования этих систем с целью достижения выпуска высококачественных конечных продуктов, снижения эперго- и трудоемкости ТП, автоматизации процессов сбора и обработки данных о системе, процессов идентификации и адаптивного управления на базе современных информационных технологий.

На современном этапе автоматизации и компьютеризации процесса управления ТС, ТП и производствами черной, цветной, теплоэнергетической и других отраслей промышленности, большое внимание уделяется синтезу АдСУ, где не требуются полная априорная информации об объекте и условиях его функционирования. Создание эффективных АдСУ такими объектами обычно связано с процессами моделирования и идентификации. Возрастание требований к эффективности АдСУ влечет за собой повышение требований к точности и адекватности моделей объектов.

Вышеназванные объекты управления характеризуются сложными структурами. Они являются стохастическими, нелинейными, нестационарными, многомерными и многосвязными и обладают, с точки зрения организации процесса управления, многими "неудобными" свойствами. Эти свойства выражаются недостаточностью априорной информации об объектах и их функционировании в условиях неопределенности. Построение для этих объектов адекватной математической модели представляет сложную самостоятельную задачу, для решения которой необходимо создание адаптивных методов, моделей, алгоритмов идентификации и управления. Эффективность АдСУ в условиям функционирования сложной системы обеспечивается за счет накопления и обработки большого объема информации о поведении объекта в процессе нормального функционирования, что позволяет снизить влияние неопределенности на качество управления.

В процессе познания окружающего мира человечество накопило огромные знания о происхождении Вселенной, ее развитии во времени и пространстве, о закономерностях протекания событий, явлений, процессов, их взаимосвязи и взаимодействии. На основе наблюдения, опытов, экспериментов и логического анализа раскрыты законы и закономерности, протекающие как в отдельных ее элементах -подсистемах, так и в системе в целом. Для достижения этого наука разрабатывала теорию (математическую, физическую, биологическую и т.д.) о представлении исследуемого явления, процесса или системы. Разработку теории можно назвать построением моделей, словесных или математических, которые описывают качественные или количественные стороны их функционирования. Таким образом, модель определяется как отображение существенных сторон исследуемого процесса в реальных, как естественных, так и искусственных, созданных человеком, системах, в удобной форме отражающих информацию о системе. Модели системы строились или в пространстве состояний, или в пространстве «вход-выход», или в том и другом одновременно. Построение математических моделей в пространстве состояний обусловлено теми историческими фактами, которые происходили в математике в XVII веке. Было создано дифференциальное и интегральное исчисление, вариационная теория. В рамках этих теорий модели системы строились в виде дифференциальных и интегральных уравнений. С этого момента начинается эра детерминизма - так называемый лапласовскии детерминизм [68]. С помощью детерминистического подхода построенные модели систем являются идеализированным представлением, так как в нем не учитывались такие важные факторы, как динамичность и случайность (стохастичность, вероятностность). В XIX веке начинается бурное развитие разных направлений статистических теорий. Создаются теории азартных игр, теории ошибок измерений, статистической физики, статистических методов исследования социальных явлений и т.д., где присутствует вероятностный стиль научного мышления [68]. Возникновение квантовой механики в начале XX века завершило коренной поворот к новому представлению мира, в котором вероятность и стохастичность заняли основное место. Продолжает развиваться теория вероятностей и теория случайных процессов. В поле зрения ученых попадает более широкий класс явлений, процессов и систем, где основным законом их поведения является случайность. Практика ставила задачи не только познать эти процессы, но и выработать методы управления ими. В середине XX века возникает новая наука об управлении - кибернетика, основной целью которой является разработка теоретических основ создании систем управления сложными стохастическими динамическими объектами [43, 44]. Появились математические методы оптимального управления процессами [87]. Кибернетика впервые произвела структурное деление систем на управляемую {объект управления) и управляющую (субъект или система управления) подсистемы. Именно в последней происходит восприятие, хранение, обработка и выдача огромного количества информации, которая содержится как во входных воздействиях, так внутри и на выходе объекта. Эти информация поступает в систему управления, где она обрабатывается, и вырабатываются управляющие воздействия на объект с целью его оптимального функционирования. В начале 60-х годов XX века появилось новое направление в ММ на основе пространства «вход-выход». Это направление называется идентификацией объектов управления [49, 93, 94, 267]. При решении задачи идентификации необходимо накапливать и обрабатывать большой объем информации как о входных воздействиях и выходных реакциях, так и о помехах и возбуждениях, присутствующих на входе, внутри и на выходе объекта. Подобной информацией характеризуются многие ТС разных отраслей народного хозяйства, таких, как металлургия (черная и цветная), энергетика, химические и нефтехимические, а также экономические и социальные системы. С помощью бурного развития вычислительной техники для этих систем открылась огромная перспектива успешного решения задач идентификации, а также дальнейшего использовании результатов их решения в задачах управления [81].

Появление персональных компьютеров (ПК), которые обладают большим быстродействием и практически неограниченным объемом памяти, создают предпосылки для получения, передачи и обработки огромных массивов наблюдений. Они необходимы для построения адекватных ММ реальных объектов. На основе построенной модели осуществляется оптимальное адаптивное управление функционированием этих объектов. Становится актуальной на базе ПК разработка методов построения таких моделей, алгоритмов идентификации и управления, где полностью будут отражаться такие важные качественные стороны исследуемых ТС и ТП, как нелинейность, стохастичность, нестационарность, динамичность и т.д.

В связи с этим возникает потребность в разработке теории и методов идентификации и адаптивного управления, в основе которых должны быть заложены все качественные вышеперечисленные стороны исследуемых ТС и ТП.

Цель работы заключается: в разработке и исследовании адаптивных методов, классов моделей и алгоритмов дисперсионной идентификации и управления ТС и ТП, принадлежащих к классу НСДОУ; в построении таких нелинейных динамических моделей, которые более адекватны нелинейному объекту, чем линейные; в построении на их основе АдСУ, с помощью которых можно осуществить оптимальное адаптивное слежение за выходом НСДОУ, и которые будут устойчивыми; в применении разработанных АдСУ в реальных объектах, в частности, в системах управления электрическими печами (ЭП) ТП производства ферросплавов, сверхчистых металлов, а также в системах управления синхронными электрогенераторами теплоцентрали (СЭГ ТЭЦ) при производстве электроэнергии.

Краткое содержание работы. Указанная цель и комплекс задач определяет структуру и содержание диссертационной работы, состоящей из семи глав.

В первой главе дается краткий анализ систем и обзор существующих методов, моделей, критериев и алгоритмов идентификации, систем управления.

Сформулированы задачи диссертационной работы, которые заключаются: в разработке и исследовании адаптивных методов, классов моделей и алгоритмов дисперсионной идентификации и управления ТС и ТП, принадлежащих к классу НСДОУ; в построении таких нелинейных динамических моделей, которые более адекватны нелинейному объекту, чем линейные; в построении на их основе АдСУ, с помощью которых можно осуществить оптимальное адаптивное слежение за выходом НСДОУ, и которые будут устойчивыми; в применении разработанных АдСУ в реальных объектах, в частности, в системах управления ЭП ТП производства ферросплавов, сверхчистых металлов, а также в системах управления СЭГ ТЭЦ при производстве электроэнергии.

Во второй главе излагаются задачи непараметрической и структурной идентификации, охватывающие следующие вопросы:

- разработки непараметрических оценок числовых характеристик случайных процессов - условных и безусловных математических ожидании, дисперсии, корреляционных и дисперсионных функций;

- выбор информативных переменных - случайных входных и выходных процессов; определение степени нелинейности, меры стохастичности и идентичности.

Дано структурная блок-схема АдСУ и этапы эго функционирования.

Разработаны алгоритмы непараметрического оценивания числовых характеристик случайных процессов и их взаимосвязей. Изучены их асимптотические свойства.

Описаны алгоритмы структурной идентификации - оценки степени нелинейности, меры идентичности, меры стохастичности.

Результатом исследования второй главы является одноразовая модель, имеющая определенную структуру с неизвестными весовыми коэффициентами. Задача определения неизвестных весовых коэффициентов решается с помощью методов параметрической идентификации, рассмотренные в главе 3.

В третьей главе излагаются задачи параметрической идентификации, посвященные построению математических моделей в классе моделей Гаммерштейна и Гаммерштейна - Винера и рекуррентных алгоритмов идентификации (РАИ).

Построены нелинейные динамические модели класса Гаммерштейна. Рассмотрены следующие модели: - одномерная смешанная дисперсионная модель; - одномерная взаимная дисперсионная модель; - одномерная автодисперсионная модель;

Btii'Oi'Hiti'

Разработаны модифицированные РАИ градиентного типа: - РАИ, которые требуют явного выражения градиента функции средних потерь. К этому классу РАИ относятся алгоритм Ньютона - Рафсона (АНР) и его модификации; - РАИ, которые требуют явного выражения градиента функции потерь. Этому классу РАИ относятся усредненный метод наименьших квадратов (УМНК) и его модификации. Также рассмотрены модифицированные алгоритмы Качмажа (АК) и обобщенный алгоритм (OA). Изучаются основные особенности и свойства этих алгоритмов: вопросы сходимости; оценки скорости сходимости. Рассмотрены правила завершения процесса идентификации в разомкнутом контуре управления и точность идентификации. Построены многомерные по входам нелинейные динамические модели класса Гаммерштейна. Рассмотрены следующие модели: - многомерная по входам смешанная дисперсионная модель; -многомерная по входам взаимная дисперсионная модель; многомерная по входам автодисперсионная модель. Исследованы использование РАИ, рассмотренных в предидующых разделах, для многомерных по входам моделей; изучены те же основные особенности и свойства этих алгоритмов. Построены нелинейные динамические модели класса Гаммерштейна - Винера. Задача адаптивной идентификации решается на основе двухступенчатой РАИ (ДСРАИ), которой формируется следующим образом. На первой ступени для решения задачи идентификации используются РАИ, рассмотренные в предыдущих разделах. На второй ступени формируются матрицы, которые строятся на основе оценок параметров, полученных по алгоритмам, использованные на первой ступени, и для них применяется метод сингулярного разложения. Изучены вопросы сходимости ДСРАИ.

В четвертой главе излагаются задачи параметрической идентификации, охватывающие вопросы построения математических моделей с помощью методов дисперсионной статистической линеаризации. Рассмотрен метод дисперсионной статистической линеаризации для смешанной, взаимно - и автодисперсионных моделей с применением первого критерия дисперсионной статистической линеаризации. Это - условия равенства оценок математических ожиданий и дисперсионных функции соответствующих выходным сигналам объекта и модели. Полученные дисперсионные уравнения идентификации решается на основе выше рассмотренных РАИ. Дано этапы решения дисперсионные уравнения идентификации и правила завершения процесса рекуррентной идентификации в открытом контуре управления по первому критерию. Рассмотрено та же задача по второму критерию дисперсионной статистической линеаризации. Это -минимизация средней квадратического отклонения выхода модели от выхода объекта. Полученные по второму критерию дисперсионные уравнения идентификации решаются также на основе выше рассмотренных РАИ. Дано этапы решения этих уравнений и правила завершения процесса рекуррентной идентификации в открытом контуре управления по второму критерию. Изучены вопросы сходимости ДСРАИ.

В пятой главе излагаются задачи параметрической идентификации, посвященные построению математических моделей в классе моделей Винера и Винера-Гаммерштейна. Задача адаптивной идентификации для данных класс моделей решается с использованием РАИ и ДСРАИ. Изучены вопросы их сходимости.

В шестой главе на основе адаптивных методов и моделей, построенных в предыдущих главах, решаются задачи адаптивной идентификации и управления в замкнутом контуре управления. Исследованы основные свойства РАИ УМНК и адаптивного алгоритма управления (АдАУ) в замкнутом контуре управления. Изучены вопросы устойчивости АдСУ.

В седьмой главе в качестве объектов управления рассматриваются ЭП ферросплавного производства, производства высококачественной стали, СЭГ ТЭЦ для производства электроэнергии. Построены модели взаимосвязи «активная мощность - сила тока» для этих объектов. Приведены результаты компьютерного моделирования некоторых адаптивных моделей, алгоритмов идентификации и управления, которые были построены в предыдущих главах, а также моделирование имитационного объекта.

В заключении изложены основные научные результаты диссертации, которые выносятся на защиту.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории идентификации систем управления, теории адаптивных систем управления, теории стохастической аппроксимации и рекуррентного оценивания, матричного анализа. Эффективность разработанных адаптивных методов, моделей, алгоритмов дисперсионной идентификации и управления исследована с помощью численного моделирования на современных ПК и потверждена практическим применением на конкретных предприятиях.

Научная новизна работы состоит в обосновании единого методологического подхода к разработке и исследованию адаптивных методов, классов моделей, алгоритмов идентификации и управления, адаптивных систем управления технологическими процессами, заключающегося в общности их описания и техники исследования и использующего методы дисперсионной идентификации нелинейных стохастических динамических объектов управления. В создании АдСУ для ЭП технологического процесса производства ферросплавов, сверхчистых металлов, а также для СЭГ ТЭЦ производства электроэнергии. Для этого:

1. Предложен общий подход к построению схем рекуррентного оценивания для регрессионных и дисперсионных функций общего вида. Исследованы вопросы сходимости и оценены скорости сходимости этих оценок.

2. Разработаны методы структурной идентификации - оценки степени нелинейности, меры стохастичности и идентичности.

3. Разработаны методы параметрической идентификации в классе моделей Гаммерштейна, Гаммерштейна-Винера.

4. Разработаны модифированные рекуррентные алгоритмы идентификации - РАИ.

5. Разработан двухступенчатый рекуррентный алгоритм идентификации - ДСРАИ, в основе которого лежить метод сингулярного разложения матриц.

6. Разработаны адаптивные методы дисперсионной статистической линеаризации, обобщающие метод статистической линеаризации И.Е.

Казакова. В отличие от метода статистической линеаризации модели дисперсионной статистической линеаризации являются нелинейными.

7. Разработаны адаптивные методы параметрической идентификации в классе моделей Винера, Винера-Гаммерштейна.

8. На базе сетей ПК построены АдСУ с использованием разработанных адаптивных методов, моделей, алгоритмов идентификации и управления.

9. Впервые построены адаптивные нелинейные динамические модели взаимосвязи «мощность - сила тока», где учитываются как-нелинейные, так и динамические связи между активной мощностью и силой токов по фазам, одновременно от всех фаз и применены в задачах адаптивного слежения за желаемым значением активной мощности.

10. Построенные АдСУ внедрены в системах управления ЭП технологического процесса производства ферросплавов, сверхчистых металлов, в системах управления СЭГ ТЭЦ при производстве электроэнергии.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные научные результаты составляют теоретические и практические основы разработки адаптивных систем управления для нелинейных стохастических динамических объектов управления. Результаты работы нашли широкое применение в создании АдСУ для различных областей народного хозяйства, в том числе, в металлургии, энергетике, химических производствах. Полученные результаты могут быть использованы для синтеза АдСУ другими ТС и социально-экономическими системами.

Разработанные адаптивные методы, модели, алгоритмы идентификации и управления, АдСУ внедрены в системе управления ЭП ТП производства ферросплавов (Зестафонский завод ферросплавов - ЗЗФ, г. Зестафони, Грузия), в системе управления ЭГ1 ТП производства сверхчистых металлов (ОАО Московский металлургический завод «Серп и молот» - ММЗ СМ, г, Москва, Россия), в системе управления СЭГ ТЭЦ производства электроэнергии (ОАО «Мосэнерго», ТЭЦ№ 25, г. Москва, Россия).

Связь с плановыми работами. Исследования проводились в соответствии с плановой тематикой и отражены в следующих отчетах Института проблем управления РАН и Института кибернетики ГАН о научно-исследовательских работах: по теме № 400-96/40 - «Разработка методического и алгоритмического обеспечения для систем поддержки принятия решений в задачах управления и проектирования», «Разработка методического и алгоритмического обеспечения задач моделирования человеко-машинных систем управления и принятия решений» (№ гос. регистрации 01.96.0009895, НМ - 6880/2), 2000 г.; по теме № 340-00/40 - « Состоятельные методы идентификации и их применение в задачах моделирования, принятия решений и управления на основе знаний» - 1. Общесистемные закономерности и информационные методы моделирования (№ гос. регистрации 01.200010300, НМ - 6972/2), 2001 г.; 2. Разработка методов идентификации линейных и линейных в среднем систем на основе знаний (№ гос. регистрации 01.200010300, НМ - 7013/2), 2002 г.; 3. Разработка методов моделирования нелинейных систем на основе знаний о моментных характеристик систем и сигналов (№ гос. регистрации 01.200010300, НМ - 7154/2), 2004 г.; по научно исследовательской программе Института кибернетики ГАН «Разработка методов идентификации и адаптивного управления нелинейных стохастических систем» (1996-2005 г.г.).

Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах, в том числе: II Международная конференция по проблемам управления (Москва, 2003); Всероссийская конференция «Нейрокомпьютеры и их применение» НКП-2001 с международным участием (Москва, 2001); Международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» (РАСО'2001, '2004, Москва); IX и X Международные конференции « Проблемы управления безопасностью сложных систем» (Москва, 2001, 2002); Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'03,'04,'05 Москва); на регулярных семинарах Института кибернетики Грузинской академии наук (ИК ГАН), Института систем управления Грузинской академии наук (ИСУ ГАН) (Тбилиси), Института проблем управления Российской академии наук (ИПУ РАН) (Москва, 1984-2005).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 28 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы (272 наименований), 6 приложений, Основной текст - 298 страниц.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

На основании выполненных исследований разработаны теоретические и прикладные положения, совокупность которых можно квалифицировать как новый крупный вклад в решении научной проблемы народного хозяйства. На основе предложенного подхода впервые в теории и практике идентификации и управления:

1. Предложены общая методология построения схем и методов рекуррентного оценивания регрессионных и дисперсионных функций общего вида. Исследованы вопросы их сходимости, оценены скорости сходимости.

2. Разработаны методы структурной идентификации. Получены оценки степени нелинейности, меры стохастичности и идентичности.

3. Разработаны адаптивные методы и алгоритмы параметрической идентификации. Построены одномерные и многомерные по входам дисперсионные модели класса Гаммерштейна и статистической линеаризации.

4. Построены одномерные модели класса Гаммерштейна-Винера, Винера и Винера- Гаммерштейна.

5. Решены задачи параметрической идентификации с использованием одномерных и многомерных по входам дисперсионных моделей класса Гаммерштейна, статистической линеаризации на основе модифицированных адаптивных алгоритмов Ньютона-Рафсона, усредненного метода наименьших квадратов, обобщенного алгоритма, алгоритма Качмажа.

6. Решены задачи параметрической идентификации с использованием одномерных дисперсионных моделей класса Гаммерштейна-Винера, Винера, Винера-Гаммерштейна на основе двухступенчатого адаптивного алгоритма идентификации.

7. Изучены вопросы сходимости разработанных адаптивных алгоритмов идентификации, оценены их асимптотические скорости сходимости и правила завершения процесса адаптивной идентификации в разомкнутом контуре управления.

8. Поставлена и решена задача адаптивного управления процессом слежения за выходом объекта в замкнутом контуре управления. Решение осуществлено методом разделения процессов параметрической идентификации и адаптивного управления.

9. Доказана асимптотическая сходимость адаптивного алгоритма управления, в основе которого лежат дисперсионные модели Гаммерштейна и Гаммерштейна-Винера и алгоритм усредненного метода наименьших квадратов. Решена задача устойчивости АдСУ при слежении за выходом объекта.

10. Разработанные адаптивные методы, модели, алгоритмы дисперсионной идентификации и управления опробованы при помощи имитационного моделирования, которое подтвердило их эффективность.

11. Впервые построены адаптивные нелинейные динамические модели взаимосвязи «мощность - сила тока» ТП производства ферросплавов, сверхчистых металлов, производства электроэнергии в синхронных электрогенераторах ТЭЦ, где учитываются как нелинейные, так и динамические связи между активной мощностью и силой токов по фазам, одновременно от всех фаз.

12. Разработанные адаптивные методы, модели, алгоритмы дисперсионной идентификации и управления, АдСУ в виде пакета прикладного программного обеспечения были внедрены в системе управления: электрическими печами производства ферросплавов Зестафонского завода ферросплавов (Грузия), электрическими печами производства сверхчистых металлов ОАО Московского Металлургического завода «Серп и молот» (Россия), синхронными электрогенераторами производства электроэнергии ТЭЦ № 25 ОАО «МОСЭНЕРГО» (Россия). Результаты внедрения разработки подтверждены актами внедрения, где указаны полученные технико-экономические эффекты.

Разработанные адаптивные методы дисперсионной идентификации так же можно успешно применять для аналогичных ТС и ТП в других отраслях народного хозяйства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Адаптивное управление точностью прокатки труб / Под ред. Ф.А.Данилова и Н.С. Райбмана. М.: Металлургия, 1980. - 280 с.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983. - 472 с.

3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. - 487 с.

4. Айзерман М.А., Браверман Э.М., Розоноэр Л.И. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. М.: Наука, 1970.-384 с.

5. Александровский Н.М., Дейч A.M. Методы определения динамических характеристик нелинейных объектов (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1968. - № 1. - С. 167 - 188.

6. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. Пер. с англ.- М.:Мир,1976. 755 с.

7. Андреев Н.И. Корреляционная теория статистически оптимальных систем. М.: Наука, 1966. 454 с.

8. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003.

9. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ: М.: Мир. 1982. - 486 с.

10. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров: М.: Статистика, 1979.-349 с.

11. Барндорф-Нильсен О, Кокс Д. Асимптотические методы в математической статистике. М.: Мир, 1999. 255 с.

12. Бернацкий Ф.И., Пащенко Ф.Ф. Исследование и моделирование проекционных алгоритмов идентификации и управления. -Владивосток, 1985. 56 с.

13. Болквадзе Г.Р. Метод дисперсионной идентификации в классе смешанных моделей гаммерштейновского типа // Сообщения АН ГССР, 114, №2 3,1984. С. 509 - 512.

14. Болквадзе Г.Р. Рекуррентная дисперсионная идентификация многомерного нелинейного динамического объекта управления с помощью смешанной модели гаммерштейновского типа // Сообщения АН ГССР, 116, №2,1984. С. 281 - 284.

15. Болквадзе Г.Р. Исследование сходимости рекуррентных алгоритмов дисперсионной идентификации // Сообщения ГАН, 144, №1,1991.-С. 21-24.

16. Болквадзе Г.Р. Работа рекуррентных алгоритмов дисперсионной идентификации в адаптивных системах управления // Труды ИПУ РАН, 2001, том XXIII, стр. 79-83.

17. Болквадзе Г.Р. Адаптивная система управления нелинейных динамических объектов класса Гаммерштейна // Труды ИСУ ГАН, 2001, №5. С. 52- 59.

18. Болквадзе Г.Р. Рекуррентная идентификация и адаптивная стабилизация нелинейных динамических объектов // Труды Международной конференции « Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО'2001. М., 2-4 окт. 2001 г. С. 88- 101.

19. Болквадзе Г.Р. Идентификация нелинейных стохастических объектов Гаммерштейна // Автоматика и Телемеханика, 2002, № 4. С. 91-104.

20. Болквадзе Г.Р. Модели Гаммерштейна в задачах рекуррентной идентификации объектов // Труды Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRCV03. М., 29-31 января 2003 г. С. 1626 - 1638.

21. Болквадзе Г.Р. Класс моделей Гаммерштейна в задачах идентификации стохастических систем // Автоматика и Телемеханика, 2003, № 1. С. 42 - 56.

22. Болквадзе Г.Р. Идентификация нелинейных систем в классе моделей Гаммерштейна-Винера // Избранные труды второй Международной конференции по проблемам управления (17-19 июня 2003 г.) в двух томах. Том 1. С. 155 - 162.

23. Болквадзе Г.Р. Модель Гаммерштейна Винера в задачах идентификации стохастических систем // Автоматика и Телемеханика, 2003, № 9. - С. 60 - 76.

24. Болквадзе Г.Р. Двухступенчатый рекуррентный алгоритм идентификации для моделей Гаммерштейна-Винера // Труды Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRCT04. М., 28-30 января 2004 г. С . 1528 -1543 .

25. Болквадзе Г.Р. Идентификационный синтез адаптивных систем управления ТП // Автоматизация в промышленности, 2003, № 12. -С. 43 -45.

26. Болквадзе Г.Р. Метод дисперсионной статистической линеаризации нелинейных стохастических систем класса Гаммерштейна // Автоматика и Телемеханика, 2004, № 7. С. 23 -37.

27. Болквадзе Г.Р. Задача стабилизации адаптивных систем управления ТП // Автоматизация в промышленности, 2004, № 9. -С. 9 11.

28. Болквадзе Г.Р. Класс моделей Винера-Гаммерштейна в задачах идентификации стохастических систем // Труды Международной конференции « Параллельные вычисления и задачи управления» РАССГ2004. М., 4 -6 окт. 2004 г. С. 624 - 637.

29. Болквадзе Г.Р. Модели Винера в задачах рекуррентной идентификации // Труды IV Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPR(T05. М., 25-28 января 2005 г. С . 300 - 311 .

30. Блауберг И.В., Юдин Э.Г. Становление и сущность системного подхода. М.: Наука, 1973.

31. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987.

32. Бунин A.JI., Бахтадзе Н.Н. Синтез и применение дискретных систем управления с идентификатором. М.: Наука, 2003, 232 с.

33. Вазан М. Стохастическая аппроксимация: Пер. с англ. М.: Мир. 1972.-295 с.

34. Валге A.M., Пащенко Ф.Ф. Математическое моделирование технологических процессов сельскохозяйственного производства по экспериментальным данным. Ч. 1. Статические модели. Ленинград Пушкин. НИПТИМЭСХ НЗ РСФСР, 1980, с. 68.

35. Валге A.M., Пащенко Ф.Ф. Математическое моделирование технологических процессов сельскохозяйственного производства по экспериментальным данным. Ч. 2. Динамические модели. Ленинград Пушкин. НИПТИМЭСХ НЗ РСФСР, 1980. С. 85.

36. Вапник В.Н. Восстанавление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. - 447 с.

37. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980.-520 с.

38. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов / Под ред. Ю.Л. Климантовича. М.: ИЛ, 1961.

39. Винер Н. Кибернетика. М.: Сов. радио, 1968.

40. Воронов А.А., Рутковский В.Ю. Современное состояние и перспективы развития адаптивных систем. Вопросы кибернетики. Проблемы теории и практики адаптивного управления. М.: Научный совет по кибернетике АН СССР, 1985. - С. 5-48.

41. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

42. Гроп Д. Методы идентификации систем / Под ред. Е.П. Кринецкого. М.: Мир, 1979. - 302 с.

43. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов: Пер. с англ. М.:Энергия, 1979. - 240 с.

44. Дисперсионная идентификация / Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Наука, 1981.-336 с.

45. Дрейпер Н., Смит Ч. Прикладной регрессионный анализ: М.: Статистика, 1973. - 392 с.

46. Дургарян И.С., Пащенко Ф.Ф. Дисперсионный критерий статистической оптимизации систем // Автоматика и телемеханика. 1974. - № 2. - С. 46 - 52.

47. Дургарян И.С., Пащенко Ф.Ф. Об одном методе линеаризации стохастических систем // Известия АН СССР, сер. Техническая кибернетика. 1975. - № 6. - С. 31 - 37.

48. Егоров Ю.Л. Исследование систем управления. М., 1997.

49. Земляков С.Д., Павлов Б.В., Рутковский В.Ю. Структурный синтез самонастраивающейся системы управления // Автоматика и телемеханика, 1969, № 8. С. 53 63.

50. Изерман Р. Цифровые системы управления: М.: Мир, 1984. -541 с.

51. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. М.: Радио и связь, 1987. 120 с.

52. Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962. 332 с.

53. Каминскас В.Н., Нямура А. Статистические методы в идентификации динамических систем. Вильнюс: Минтис, 1975. 197 с.

54. Каминскас В.Н., Яницкене Д.Ю. Идентификация нелинейных дискретных систем класса Гаммерштейна; 1. Алгоритмыоценивания параметров // Труды АН Лит. ССР, 1978, сер. Б, т. 2 (105), с. 121-130.

55. Каминскас В.Н., Яницкене Д.Ю. Идентификация нелинейных систем класса Гаммерштейна; 3. Моделирование алгоритмов оценивания параметров // Труды АН Лит. ССР, 1978, сер. Б, т. 6 (115), с. 95-110.

56. Каминскас В.Н. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. Вильнюс: Мокслас, 1982. - 240 с.

57. Катковник В.Я, Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. М.: Наука, 1985. - 447 с.

58. Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным: Пер. с англ. М.: Наука, 1983.-383 с.

59. Кендалл М., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.

60. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. М.: Радио и связь, 1990.

61. Клейман Е.Г. Идентификация нестационарных объектов. Обзор // Автоматика и телемеханика. 1999. - № 10. - С . 3 - 45.

62. Корнфельд И.П., Штейнберг Ш.Е. Оценивание параметров линейных и нелинейных стохастических систем методом осредненных невязок // Автоматика и телемеханика. 1985. - № 8. С. 51 -60.

63. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Основания синергетики. Санкт-Петербург: Алетерия, 2002.

64. Курдюков А.П. Основы робастного управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995.

65. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. 696 с.

66. Потоцкий В.А. Идентификация структур и параметров систем управления // Измерения, контроль, автоматизация. 1991, 3-479. С. 30-38.

67. Льюнг J1. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.- 432 с.

68. Марчук Г.И., Огашков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981,-416 с.

69. Медведев А.В. Непараметрические системы адаптации. -Новосибирск: Наука, 1983. 174 с.

70. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т.1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егутова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 748 с.

71. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т.2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егутова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 736 с.

72. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т.З: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егутова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 748 с.

73. Назин А.В. Адаптивный выбор вариантов: Рекуррентные алгоритмы. М.: Наука. Физматлит, 1986.

74. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972. -304 с.

75. Николаев В.И., Брук В.М. Систематика: методы и приложения, J1: Машиностроение, 1985.

76. Основы управления технологическими процессами / Под ред. Н.С. Райбмана. -М.: Наука, 1978.-440 с.

77. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.-320 с.

78. Пащенко Ф.Ф., Болквадзе Г.Р., Чернышев К.Р. Сходимость алгоритмов идентификации при помехах // Сообщения АН ГССР, 122, №2, 1986.-С. 281 -284.

79. Пащенко Ф.Ф., Болквадзе Г.Р. Статистическая линеаризация и рекуррентная дисперсионная идентификация // Сообщения АН ГССР, 122, № 3,1986. С . 509 - 512.

80. Пащенко Ф.Ф., Болквадзе Г.Р., Белкина М.В. Рекуррентная идентификация нелинейных объектов класса Гаммерштейна // Сообщения АН ГССР, 123, № 1, 1986. С. 57 - 60.

81. Поляк Б.Т. Сходимость и скорость сходимости итеративных алгоритмов. 1. Общий случай // Автоматика и телемеханика. -1976.-№12.-С. 83-94.

82. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г, Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.-384 с.

83. Прангишвили И.В., Пащенко Ф.Ф., Бусыгин Б.П. Системные законы и закономерности в электродинамике, природе и обществе. М.: Наука, 2001. - 525 с.

84. Производство ферросплавов (электрометаллургия) / В.П.Елютин и др. М.: Металлургиздат, 1957. - 436 с.

85. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. -884 с.

86. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М: Наука, 1979.-496 с.

87. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Теория стохастических систем: Учеб. пособие. -М.: Логос, 2000. 1000с.

88. Райбман Н.С. Что такое идентификация. М.: Наука, 1970. 119 с.

89. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. М.: Энергия, 1975. - 376 с.

90. Райбман Н.С. Идентификация объектов управления. Обзор // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 6. - С. 80-93.

91. Салуквадзе М.Е., Шаншиашвили В.Г. Структурная идентификация нелинейных непрерывных систем с обратной связью // Труды межд. Конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO '2000, Москва 26 28 сентября 2000 г. С.

92. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 591 с.

93. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления / Под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука, 1980. - 400 с.

94. Сейдж А., Мелса Дж. Идентификация систем управления: М.: Наука, 1974.-246 с.

95. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. - 400 с.

96. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. -М.: Наука, 1987. 712 с.

97. Ю2.Степанянц C.J1. Автоматизация технологических процессов ферросплавного производства. -М.: Металлургия, 1982. 136 с.

98. ЮЗ. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-285 с.

99. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966.

100. Фу К.С. Последовательные методы в распознавании образов и обучение машин: -М.: Наука, 1971. -256 с.

101. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. -М.: Мир, 1973.-534 с.

102. Ю7.Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

103. Черницер А.В. Идентификация замкнутых динамических систем с помощью метода наименьших квадратов // Автоматика и телемеханика. 1981. - № 8. - С. 95 - 106.

104. Ю9.Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 80 с.

105. Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации. М.: Наука, 1995.-336 с.

106. Ш.Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.-683 с.

107. Электротермическое оборудование / Под общей ред. А.П. Альтгаузена. Справочник, 2-е изд., перераб. И доп. М.: Энергия, 1980.-416 с.

108. ПЗ.Ядыкин И.Б., Шумский В.М., Овсепян Ф.А. Адаптивное управление технологическими процессами. М.: Энергоатом издат. - 1985. -240 с.

109. Abu el Ata-Doss S. Estival J.L. and Richalet J. Dynamics of identification for the normalized least mean square algorithm // 7lh IFAC/IFORS Symposium on identification and parameter estimation, 1985, York, UK., vol. 2, pp. 1237 1241.

110. Akaike H. Statistical predictor identification // Ann. Inst. Statist.

111. Math., 1970, 22, pp. 203-217.

112. Akers J.C. and Bernstein D.S. ARMARKOB Least-Squares identification // Proc. Amer. Contr. Conf., Albuquerque, NM, June, 1997, pp. 191 195.

113. Al-Duwaish H. and Karim M.N. A new method for thr identification of Hammerstein model //Automatica, 1997, vol. 33, No. 10, pp. 1871 1873.

114. Anbumani K., Patnaik L.M. and Sarma I.G. Self-tuning minimum-variance control of nonlinear systems of the Hammerstein model // IEEE Trans. Autom. Contr., 1981, vol. AC-26, No. 4, pp. 959 961.

115. Astrom K.J. Matching criteria for control and identification // In Proc. Europian Control Conf., 1993, Gronigen, The Netherlands, pp. 248-251.

116. Astrom K.J. and Wittenmark B. Computer controlled systems -theory and design, 2nd edn. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.

117. Bai E.W. An optimal two-stage identification aigorithm for Hammerstein Wiener nonlinear systems // Automatica, 1998, vol. 34, No. 3, pp. 333 -338.

118. Bai E.W. and Fu M. Blind system identification and channel equalization of IIR systems without statistical information // IEEE Transaction on Signal Processing, 1999, 47(7), p. 1910 1921.

119. Bai E.W. and Fu M. Hammerstein model identification; A blind approach / Technical Report. Department of Electronics and Computer. University of Iowa, 2001.

120. Bai E.W. Identification of linear systems wich hard input nonlinearities of known structure // Automatica, 2002, vol. 38, pp. 853 -860.

121. Bai E.W. A blind approach to the Hammerstein Wiener model identification // Automatica, 2002, 38, p. 967 - 969.

122. Billings S.A. and Fakhouri. S.Y. Non-linear system identification using the Hammerstein model // Int. J. Syst. Sci., 1979, vol. 10, pp. 567- 578.

123. Billings S.A. and Fakhouri. S.Y. Identification of systems containing linear dynamic and static nonlinear elements // Automatica, 1982, 18, pp. 15-26.

124. Billings S.A. and Fakhouri. Identification of a class of nonlinear systems using correlation analysis // Proc. IEEE, 1978, 125, Pt D, pp. 691 -697.

125. Billings S.A. and Voon S.F. Structure identification and model validity tests in the identification of nonlinear systtems // Proc. IEEE, 1983, 130, Pt D, p. 193 199.

126. Billings S.A. and Voon S.F. Correlation based model validity test for nonlinear models // Int. J. Cotrol,1986, 44, p. 235 -244.

127. Billings S.A. and Voon S.F. A prediction-error and stepwise-regression algorithm for non-linear systems // Int. J. Cotrol,1986, 44, p. 803 822.

128. Bolkvadze G. Adaptive Stabilization Problem of Nonlinear Dynamic Object of Hammerstein Class // Bui. Georg. Acad. Sci. 2001. 163. № 1, p 35-38.

129. Bolkvadze G. Working of Recurrent Algorithms of Dispersive Identification in the Closed-Loop Systems // Bui. Georg. Acad. Sci. 2001. 163. № 2, p 236-239.

130. Booton R.C. The analysis of nonlinear control systems with random impulls. Proc., Symposium nonlinear circuit analysis, n. 2, 1953.

131. Booton R.C. Nonlinear control systems with random inputs // Trans. IRE Profess. Group on Circuit Theory. 1954. Vol. CT 1, No 1, pp. 9 -18.

132. Boutayeb M., Rafaralahy H. and Darouach M. A robast and recursive identification method for Hammerstein model // IFAC World Congress '96, San Francisco, p. 447 452.

133. Boutayeb M. Identification of nonlinear systems in the presence of unknown but bounded disturbances // IEEE Tranc. On Autom. Control, 2000, vol. 45, No 8, pp. 1503 1507.

134. Breiman L. Hinging hyperplanes for regression, classification and function approcsimation // IEEE Trans. Inf. Theory, 1993, IT-39, pp. 999- 1013.

135. Bubnicki Z. Identification of control plants. Warszawa, 1980. -312 p.

136. Chan C.Y. Discrete adaptive sliding-mode control of a class of stochastic systems // Automatica, 1999, vol. 35, pp. 1491 1498.

137. Chang F.H.I, and Luus R. A non-itereitive method for identification using Hammerstein model // IEEE Transactions on Automatic Control, 1971, vol. AC-16, pp.464 -468.

138. Chaoui F.Z., Giri F., M'Saad M. Adaptive control of input-constrained type- 1 plants stabilization and tracking // Automatica, 2001, vol. 37, pp. 197-203.

139. Chein C.-J. A discrete iterative learning control for a class of nonlinear time-varuimg systems // IEEE Trans. Automatic Control, 1998, vol. 43, No. 5, pp. 748-753.

140. Chen H.F., Gou.L. Necessary and sufficient conditions for strong consistency of recursive identification algorithm // Identif. syst. parameter estimation. 7th IFAC/IFORS Sympos. York, UK. 1985, pp. 1249-1253.

141. Chen J., Gou L. Strong consistency of parameter estimates for discrete-time stochastic systems // J. of systems science and mathematical sciences. 1985, vol. 5, No 2.

142. Chen J., Gou L. Optimal adaptive control and consistent parameter estimates for ARMAX model with quadratic cost // SIAM J Contr. and Optimiz., vol. 25, pp. 845 867.

143. Chowdhury F.N. Input-output modeling of nonlinear systems with time-varying linear models // IEEE Trans. Autom. Control, 2000, vol. 45, No. 7, pp. 1355 1358.

144. Combettes P. The foundations of set theoretic estimation // Proc. IEEE, 1993, vol. 81, pp. 182-208.

145. Dacka C. On the controllability of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr., 1980, vol. AC-25, pp. 263 266.

146. Dahleh M. and Khammash M.H. Controller design for plants with structured uncertainty // Automatica, 1993, vol. 29, pp. 37 56.

147. Desrochers A.A. and Mohseni S. On determining the structure of nonlinear systems // Int. J. Cotrol,1984, 40, p. 923 938.

148. Desrochers A.A. and A Saridis G.N. A model reduction techmique for nonlinear systems // Automatica, 1980, 16, p. 323 329.

149. Diaz H. and Desrochers A.A. Modelling of nonlinear discrete timethsystems from input-output data // Preprints 10ш IFAC World Congress, Munich, F.R.G., 1987, 10, p. 213 -218.

150. Draper N.R. and Smith H. Appleid regression analysis. Wiley, New York, 1966.

151. Duflo M. Recursive stochastic methods. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

152. Duong H.N. and Landau I.D. An IV based criterion for model order selection // Automatica, 1996, vol. 32, pp. 909 914.

153. Dugard L. and Landau I.D. Recursive output error identification algorithms // Automatica, 1980, vol. 16, pp. 443 462.

154. Dvoretzku A. On stochastic approximation: In Proc. Third Berkeley Symp. Math. Stat. Probl, 1956. vol. 1, pp. 39 - 56.

155. Eskinat E., Johnson S.H. and Luyben W.L. Use of Hammerstein models in identification of nonlinear systems // AICEJ, vol. 37, pp. 255 -268.

156. Forssell U., Ljung L. Closed-loop identification revisited // Automatica, 1999, vol. 35, pp 1215-1241.

157. Gallman P.G. A comparision of two Hammerstein model identification algorithms // IEEE Trans. Automat. Control, 1975, vol. AC-21, pp. 124-126.

158. Gatt G. and Kalouptsidis N. Identification of discrete-time state affine state space models using cumulants // Automatica, 2002, vol.38, pp. 1663-1681.

159. Goodwin G.C., Ramadge P.J. and Caines P.E. Discrete time stochastic adaptive control // SIAM J. Contr. and Optimiz., 1981, vol. 19, pp. 829-853.

160. Goodwin G.C., Johnson C.R. and Sin K.S. Global convergenc for adaptive one-step-ahead optimal controllers based on input matching // IEEE Trans. Automat. Control, 1981, vol. 26, pp. 1269 1273.

161. Grebicki W. and Pawlak M. Identification of discrete Hammerstein systems using kernel regression estimates // IEEE Trans. Automat. Control, 1986, AC-31, pp. 74-77.

162. Grebicki W. and Pawlak M. Nonparametric identification of Hammerstein systems // IEEE Transactions on Information Theory, 1989, IT-35, pp. 409-418.

163. Grebicki W. Nonparametric identification of Wiener systems II IEEE Transactions on Information Theory, 1992, 38, pp. 1487 1493.

164. Guo L. On adaptive stabilization of time-varying stochastic systems // SI AM J. Control Optimiz, 1990, vol. 28, No 6, pp. 1432-1451.

165. Guo L. Self-convergence of weighted least-squares with applications to stochastic adaptive control // IEEE Transactions on Automatic Control, 1996, vol. 41(1), pp. 79 89.

166. Guo L. On critical stability of discrete-time adaptive nonlinear control // IEEE Trans. Autom. Control, 1997, vol. 42, No. 11, pp. 1488- 1499.

167. Guo L. and Xie L.-L. An optimal nonparametric adaptive control without external excitation // Proceeding of the 14th World Congress IFAC, 1999, vol. F, pp. 469-474.

168. Gustavsson F. Identification of sperse linear regressions // Preprints of the 13lh World Congress IFAC, 1996, pp. 203 208.

169. Haber R. Nonlinearity tests for dynamic processec // 7th IFAC/IFIP Sump, on Identification and System Parameter Estimation, York, U.K., 1985, p. 409-413.

170. Haber R. Structure identifiction of the simple Hammerstein and Wiener cascade models from impulse and step responses // Report, Ins. of Machine and Process Automation, Technical University of Vienna, Austria, 1987.

171. Haber R. Structure identifiction of blockoriented models based on the estimated Volterra kernels // Int. J. Syst. Sci., 1989, 20, p. 1355 -1380.

172. Haber R. and Keviczky L. The identification of discrete-time Hammerstein model // Periodica Polytechnica, Electrl Eng, 1974, vol. 18, pp.71 -74.

173. Haber R. and Keviczky L. Nonlinear structures for system identification // Periodica Polytechnic Electrl Eng, 1974, 18, pp. 393 -404.

174. Haber R. and Keviczky L. Identification of nonlinear dynamictb t systems survey paper // Preprints 4 IF AC Symp. on Identificationand Parameter Estimation, 1976, Tbilisi, U.S.S.R., pp. 62 112.

175. Haber R. and Unbehauen H. Structure identification of nonlinear dynamic systems a survey on input / output approaches // Automatica. 1990, vol. 26, No 4, pp. 651 - 677.

176. Hannan E.J. and Quin B.G. The determination of the order of an auturegression //J. R. Statist. Soc. B, 1979, 41, pp. 190 195.

177. Hagglund Т., Astrom K.-J. Supervision of adaptive control algorithms // Automatica, 2000, vol. 36, pp. 1171 1180.

178. Haist N.D., Chang F.H.I, and Luus R. Non-linear identification in the presence of correlated noice using a Hammerstein model // Trans Automat. Control, 1973, vol. AC-18, pp. 552 555.

179. Hakvoort R.G. and Van den Hof P.M.J. Identification of probabilistik system uncertainty regions by explicit evaluation of bias and variance errors // IEEE Trans. Autom. Control, 1997, vol. 42, No. 11,pp. 1516- 1528.

180. Hammerstein A. Nonlinear integral equation // Acta Math, 1930, 54, pp. 117-176.

181. Hjalmarsson H., Gevers M., De Bruene F. and Leblond J. Identification for control: closing the loop gives more accurate controllers // In Proc. 33rd IEEE Conf. Decision and Control, Lake Buena Vista, FL, 14-16 December 1994, pp. 4150-4155.

182. Hjalmarsson H., Gunnarsson S. and Gevers M. A convergent iterative restricted complexity control-design schem // In Proc. 33rd

183. EE Conf. Decision and Control, Lake Buena Vista, FL, 14-16 December 1994, pp. 1735- 1740.

184. Hsia T. A multi-stage least squares method for identifying Hammerstein model nonlinear systems // Proceedings of CDC. Cllearwater, 1976, FL, pp. 934 938.

185. Identification and Systems Parameter Estimation: Proceedings of the 7th IFAC/IFORS Semposiym, York, UK, 3 7 July 1985. In two volumes; vol 1, vol 2. / Ed. by H.A. Barker and P.C. Young.

186. Identification and Systems Parameter Estimation: Proceedings of the 8th IFAC/IFORS Semposiym. Beijing, China, 27-31 August, 1988. In three volumes; vol. 2./ Ed. by Han-Fu Chen.

187. Johansen T.A. On Tikhonov regularization, bias and variance in nonlinear system identification // Automatica, 1997, vol. 33, No. 3, pp. 441 -446.

188. Juditsky A., Hjalmarsson H., Benveniste A. et al. Nonlinear black -box modeling in system identification: mathematical foundations // Automatica. 1995, vol. 31, No 12, pp. 1725 1750.

189. Kaczmarz S. Angenaherte anflosung von systeme linearer gleichungen. Bull. Intern. Acad. Pol. Sci. Lett. CI. Sc. Math. Natur., 1937.

190. Kalafatis A.D, Wang L. And Cluett W.R. Identification of Wiener-type nonlinear systems in a noisy environment // Int. J. Of Control, 1997, 66, p. 923-941.

191. Kambhampati C., Mason J.D., Warwick K. A stable one-step-ahead predictive control of non-linear systems // Automatica, 2000, vol. 36, pp. 485 -495.

192. Knudsen T. The initialization problrm in parameter estimating for general SISO models // The 13th Triennial World Congress, San Francisco, USA, 1996, pp. 221 226.

193. Korenberg M.J. Identifying noisy cascades of linear and static nonlinear systems // Proc. 7th IFAC Symp. on Identification and System Parameter Estimation, 1985, York, U.K., pp. 421 -426.

194. Korenberg M.J., Billings S.A., Liu Y.P. and Mcllrou. Orthogonal parameter estimation algorithm for non-linear stochastic systems // Int. J. Control, 1988,48, pp. 193-210.

195. Kortmann M. and Unbehauen H. Structure detection in the identification of nonlinear systems // APII Autimatique produqtique informatique industrielle, 1988, 22, pp. 5-25.

196. Kortmann M. and Unbehauen H. A model structure selection algorithm in the identification of multivariable nonlinear systems with application to a turbogenerator set // Proc. 12th IMACS World Congress, 1988, Paris, Frence.

197. Kovacevic B.D., Veinovic M.D. and Milosavljevic M.M. Robust time-varying AR parameter estimation // Preprints of the 13th World Congress IFAC, 1996, pp. 215 220.

198. Lai T.L. and Wei C.Z. Extended least squares and their application to adaptive control and prediction in linear systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1986, vol. 31, pp. 898 906.

199. Landau I.D. Near supermartingales for convergence analysis of recursive identification and adaptive control schemes // Int. J. Control, 1982, 35, pp. 197 -226.

200. Landau I.D. System identification and control design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ,1990.

201. Landau I.D. and Karimi A. An output error recursive algorithm for unbiased identification in closed loop // Automatica, 1997, vol. 33, pp. 933 -938.

202. Landau I.D. and Karimi A. Recursive algorithms for identification in closed loop: a unified approach and evaluation // Automatica, 1997, vol. 33, No. 8, pp. 1499 1523.

203. Lee W.S., Anderson B.D.O., Kosut R.L. and Mareels I.M.Y. On adaptive robust control and control-relevant system identification // In Proc. Am. Control Conf., Chicago, IL, 1992, pp. 2834 2841.

204. Li R. and Hong H. Robust estimation without positive real condition // Trans. Automat. Control, 1998, vol. 43, No. 7, pp. 938 943.

205. Liu K. And Skelton R.E. Closed-loop identification and iterative controller design // In Proc. 29th IEEE Conf.Decision and Control, Honolulu, HI, 1990, pp. 482-487.

206. Ljung L. Consistency of the least squares identification method // IEEE Trans. Automat. Control. 1976, vol. 21, pp. 779 781.

207. Ljung L. System identification-theory for the user (2nd ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Holl, 1987.

208. Ljung L. Information contents in identification data from closed-loop operation // In Proc. 32nd IEEE Conf. on Decision and Control, 1993, San Antonio, TX, pp. 2248 2252.

209. Ljung L. Recursive least-squares and accelerated convergence in stochastic approximation schemes // International jornal of adaptive control and signal processing, 2001, 15(2), pp. 169 179.

210. Ljung L. and Glad T. Modeling of dynamic systems. Prentice-Holl, Englewood Cliffs, NJ, 1994.

211. Ljung L. and Gunnarsson S. Adaptive tracking in system identification a survey // Automatica, 1990, 26(1), pp. 7 -22.

212. Ljung L. and Sodestrom T. Theory and practice of recursive identification. MIT Press, Cambridge, MA, 1983.

213. Luo G.M. Optimal adaptive controllers based on LS algorithms // Chinese Journal of Avtomation, 1996, vol 8, pp 73 79.

214. Luo G.M. Adaptive tracking of time-delay systems // J. Of Tsinghua University, 1996, vol. 36, No. 12, pp. 91 -97.

215. Luo G. Optimal adaptive tracking for stochastic systems // Proceedings of the 14th World Congress IFAC, 1999, pp. 385 390.

216. Mathelin M, Lozano R. Robust adaptive identification of slowly time-varying parameters with bounded disturbances // Automatica, 1999, vol. 35, pp. 1291 1305.

217. Nadaraya E. On estimating regression // Theory of Prob. And Applic, 1964, 9, pp. 141-142.

218. Narendra K.S. and Gallman P.G. An itereitive method for the identification of nonlinear systems using a Hammerstein model // IEEE Trans. Automat Control, 1966, AC-11, pp. 546 550.

219. Nazin A. and Ljung L. Asumptoticaliy optimal smoothing of averaged LMS estimaters for regression parameter tracking // Automatica, 2002, vol. 38, pp. 1287 1293.

220. Nemirovskij A. Nonparametric estimation of smooth regression functions // Izv. Acad. Nauk SSSR, Techn. Kibern., 1985, 3, pp. 50 -60 (in Russian).

221. Nesic D. Output feedback stabilization of a class of Wiener systems // IEEE Trans. Automat Control, 2000, vol. 45, No. 9, pp. 546 550.

222. Nesic D. Controllability of generalized Hammerstein systems // Syst. Contr. Lett., 1997, vol. 29, pp. 223 231.

223. Nesic D. A note on observability for general polynomial and simple Wiener-Hammerstein systems // Syst. Contr. Lett., 1998, vol. 35, pp. 219-227.

224. Nicolao G. De., Magni L. And Scattolini R. Stabilizing predictive control of nonlinear ARX models // Automatica, 1997, vol. 33, No 9, pp. 1691 1697.

225. Nilsson J., Bernhardsson B. and Wittenmark B. Stochastic analysis and control of real-time systems with random time delays // Automatica, 1998, vol. 34, No 1, pp. 57 64.

226. Ninness B. and Goodwin G.C. Estimation of model quality // Automatica, 1997, vol. 31, No 12, pp. 1771 1797.

227. Pajunen G. Adapteve control of Wiener type nonlinear systems // Automatica, 1992,28, p. 781 785.

228. Parzen E. On estimation of probability density function and the mode//Ann. Math. Statist., 1962, 33, pp. 1065 1076.

229. Parzen E. Some resent advances in time series modelling // IEEE Trans. Autom. Control. 1974, vol. AC-19, No. 6, p. 723.

230. Pawlak M. On the series expansion approach to the identification of Hammerstein systems. // IEEE Transactions on Automatic Control, 1991, 36,p. 763 -767.

231. Pintelon R. and Schoukens J. System identification. A frequency domain approach. Piscataway: IEEE press, 2001.

232. Popescu TH.D. and Demetriu S. Analysis and simulation of strong earthquake ground motions using ARMA models // Automatica, 1990, Vol 26, №4, pp. 721 -737.

233. Popov V.M. Hyperstability of control systems. Springer-Verlag, New York, 1973.

234. Proceedings of the 14th World Congress IFAC BEIJING'99, P.R. China, July 5 - 9 , 1999. In 18 volumes; vol. E, vol. F. / Ed. by Han-Fu Chen, Dai-Zhan Cheng and Ji-Feng Zhang.

235. Robbins H. and Monro S. A stochastic approximation method. -Ann. of Kath. Startist., 22, 1951, pp. 400 407.

236. Rozenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of density functions // Ann. Math. Statist., 1956, 27, pp. 832 835.

237. Rozenblatt M. Curve estimation // Ann. Math. Statist., 1971, 42, pp. 1815 1842.

238. Rugh W.M. Nonlinear system theory: The Volterra/Wiener approach. Johns Hopkins University Prees, Baltimore, 1981.

239. Schetzen M. Synthesis of a class of nonlinear systems // Int. J. Of Control.- 1965.-l.-P 251 -263.

240. Schetzen M. A theory of nonlinear identification // Int. J. Of Control. 1974.-20.-P 577 - 592.

241. Schrama R.J.P. and Bosgra O.H. Adaptive performance enhancement by iterative identification and control design // Int. J. Adaptive Control and Signal Proc., 1993, No 7, pp. 475-487.

242. Skantze F.P., Kojic A., Loh A.-P., Annaswamy A.M. Adaptive estimation of dascrete-time systems with nonlinear parameterization // Automatica, 2000, vol. 36, pp. 1879 1887.

243. Shanshiashvili B.G. On the selection of the model structure under the nonlinear dynamic system idebtification with a closed cycle //tVi

244. Preprints of the 8 IFAC/IFORS Symposium on identification and system parameter estimation. Beijing: Pergamon Press. Vol. 2,pp. 933 -938.

245. Sjoberg J., Zhang Q., Ljung L. et al. Nonlinear black-box modeling in system identification: a unified overview // Automatica, 1995, vol. 31, No. 12, pp. 1691 1724.

246. Stoica P. On the convergense of an iterative algorithm used for Hammerstein system identification // IEEE Transactions on Automatic Control, 1981,26, pp. 967-969.

247. Stone C. Optimal global rates of convergence for nonparametric regression//Ann. Statist., 1982, 10, 1040- 1053.

248. Sun L., Liu W. and Sano A. Identification of dynamical system with input nonlinearity // IEEE Proc-Control Theory Application, 1998, 146(1), P.41 -51.

249. Tse D.N.C., Dahleh M.A. and Tsitsiklis J.N. Optimal asymptotic identification under bounded disturbances // IEEE Trans. Autom. Control, 1993, AC-38,pp. 1176- 1190.

250. Tugnait J.-K. And Zhou Yi. On closed-loop system identification using polyspectral analysis given noisy input-output time-domain data //Automatica, 2000, vol. 36, pp. 1795 1808.

251. Van den Hof P.M.J, and Schrama R.J.P. Identification and control -closed-loop issues // Automatica, 1995, vol. 31, No. 12, pp. 1751 -1770.

252. Vandersteen G., Rolain Y. And Schoukens J. Non-parametric estimation of the frequency-response functions of the linear blocks of a Wiener Hammerstein model // Automatica, 1997, vol. 33, pp. 1351 - 1355.

253. Verdult V., Verhaegen M. Subspase identification of multivariable linear parameter-varying systems // Automatica, 2002, vol. 38, pp. 805 -814.

254. Voda A. and Landau I.D. An iterative method for the auto-calibration of the digital controllers; application // In Proc. European Control Conf., 1995, pp. 2463 2468.

255. Wahlberg B. and Ljung. Hard frequency domain model error bounds from least-squares like identification techniques // IEEE Trans. Autom. Control, 1992, AC-37, pp. 900 912.

256. Waller M., Saxen H. Estimating the degree of time variance in a parametric model //Automatica, 2000, vol. 36, pp 619 625.

257. Watson G. Smooth regression analysis. Sinkhya, 1969, Ser. A, 26, pp. 359 -372.

258. Weyer E. And Campi M.C. Non-asymptotic confidence ellipsoids for the least-squares estimate // Automatica, 2002, vol. 38, pp. 1539 -1547.

259. Wigren T. Convergence analysis of recursive identification algorithms based on the nonlinear Wiener model // IEEE Trans. Autom. Control, 1994, AC-39, pp. 2191 2206.

260. Wiener N. Extrapolation and smoothing of stationary time series. John Willey, NywYork, 1949.

261. Younce R.C. and Rohrs C.E. Identification with nonparametric uncertainty // IEEE Trans. Autom. Control, 1992, AC-37, pp. 715 -728.

262. Zadeh L.A. A contribution to the theory of nonlinear systems // Jornal of the Franklin Institute. 1953. -5, 255. -P 387 - 408.

263. Zang Z., Bitmead R.R. and Gevers M. Iterative weighted least-squares identification and weighted LQG-control // Automatica, 1995, vol. No 31, pp. 1577- 1594.

264. Zhang Y., Wen Ch., Soh Y. -Ch. Robust adaptive control of nonlinear discrete-time systems by backstopping without overparameterization // Automatica, 2001, vol. 37, pp. 551 -558.

265. Zheng W.-X. And Fend C.-B. Identification of stochastic Time lag systems in the presence of colored noise // Automatica, 1990, vol. 26, No 4, pp. 769 -779.

266. Zhu Y. And Control T. -J. Parametric Wiener model identification for control // Proceedings of the 14th World congress of IFAC, Beijing, P.R. China, 1999, pp. 37 -42.

267. Zhu Y. Estimation of an N L - N Hammerstein - Wiener model // Automatica, 2002, vol. 38, pp. 1607 - 1614.