автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод инверсии для численного решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа

На правах рукописи

ДЫЛЬКОВ МИХАИЛ ИВАНОВИЧ

МЕТОД ИНВЕРСИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГОТИПА

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2004

Работа выполнена в Белгородском государственном технологическом университете (БГТУ) им. В.Г. Шухова

Научный руководитель: кандидат технических наук,

доцент

Потапенко Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Шоркин Владимир Сергеевич

Защита состоится 17 сентября 2004 г. в 14 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.015.04 при Белгородском

государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан « 16 » августа 2004 г.

кандидат физико-математических наук, доцент

Воронов Виталий Павлович

Ведущая организация: Орловский государственный университет

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Класс практически важных задач, которые сводятся к поиску решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, достаточно велик. В постановке некоторых из них одно из граничных условий задается на бесконечности.

В прикладных исследованиях внешние краевые задачи возникают в широком классе приложений, включая задачи из области распространения волн, электромагнетизма, теории упругости, сопротивления материалов, температурных полей,

тепломассопереноса, аэродинамики, аэроупругости, динамики потоков жидкостей, химической газодинамики и диффузии, а также в инженерных приложениях, например, в технических расчетах электромагнитных устройств.

В настоящее время существует достаточно большое количество программных продуктов, основным назначением которых является решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных из различных областей науки и техники. В основном они решаются с применением различных численных методов. Несмотря на разнообразие программ, способов реализации пользовательского интерфейса и заложенной в них функциональности, практически все они придерживаются одних и тех же способов решения внешних краевых задач.

Для моделирования бесконечной области в программах определяется область расчета достаточно больших размеров для того, чтобы исключить влияние краевых эффектов. Вторым способом ухода от задания граничных условий на бесконечности является искусственное введение в постановку задачи экранов, ограничивающих расчетную область. Третьим способом сведения внешней краевой задачи к внутренней является введение на некоторых границах области условия симметрии.

Общим недостатком всех перечисленных выше методов моделирования бесконечной области является снижение точности, связанное с изменением постановки задачи (в случае введения экранов или условия симметрии), и эффективности (в случае задания области расчетов достаточно больших размеров).

В связи с этим, актуальной проблемой является поиск эффективных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных п р о и з Яуттрр точно учитывающих граничное условие на бесконечности.

РСС. 1К::!;О!1алы»А* ьг.тлмотглА

С,и -Г.оОчрг _ СП

¿> Я 3

Цель диссертационной работы - разработка, обоснование и тестирование эффективного метода, позволяющего уменьшить требуемый объем оперативной памяти и повысить быстродействие для численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка с применением ЭВМ.

Поставленная цель достигается при решении следующих основных задач:

1. Разработать эффективный метод для численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка.

2. Обосновать разработанный метод численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка.

3. Разработать программное обеспечение для решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка с использованием предложенного метода.

4. Протестировать с применением ЭВМ разработанный метод численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка.

5. Проверить возможность практического использования разработанного метода для численного решения некоторых других классов задач.

Методы исследований. В работе использован математический аппарат теории функций комплексной переменной, дифференциальных уравнений, теории разностных схем, теории алгоритмов, численные методы анализа и методология объектно-ориентированного проектирования программных систем. Численное моделирование выполнялось с помощью средств вычислительной техники.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработан для численного решения внешних краевых задач с линейными уравнениями эллиптического типа второго порядка метод инверсии бесконечной области, основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в центре этой области, позволяющий повысить эффективность численных методов вследствие сокращения количества узлов расчетной области, уменьшения размера требуемой оперативной памяти и длительности одной итерации расчета;

• установлена возможность увеличения точности решения внешних краевых задач в ходе вычислительного эксперимента на основе предложенного метода;

• предложена модификация разработанного и традиционного расчетных алгоритмов, позволяющая получить решение краевых задач для уравнений эллиптического типа с заданной точностью за меньшее число итераций.

Научно-практическая значимость работы. Значимость для науки результатов исследований заключается в том, что разработана математическая модель исследуемого объекта, описываемого дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго порядка.

Практическое значение работы определяется тем, что разработанный метод и алгоритм могут найти применение в вычислительных экспериментах для плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического и других типов в различных областях науки и техники. Разработанный метод позволяет сократить количество узлов расчетной области, размер оперативной памяти для размещения расчетной области, длительность одной итерации расчета и увеличить точность получаемого численного решения. Разработан комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для волнового уравнения, например, для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.

Основные результаты работы могут быть применены в учебном процессе на кафедре программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем при чтении курсов «Вычислительная математика», «Компьютерное моделирование» и др.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод инверсии бесконечной области, основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в центре этой области, для решения плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа второго порядка.

2. Модификация разработанного и традиционного расчетных алгоритмов, позволяющая получить решение краевых задач для уравнений эллиптического типа с заданной точностью за меньшее число итераций.

3. Комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для волнового уравнения, например, для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.

4. Результаты тестирования плоской и объемной внешних краевых задач, а также практического использования метода инверсии бесконечной области для задач, описываемых неоднородными волновыми уравнениями. При этом следует отметить, что доказательства применимости предложенного метода к задачам такого класса получено не было.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим применением математических подходов при обосновании метода и решении задач, использованием современных технологий разработки программного обеспечения, а также тестированием разработанного метода в вычислительных экспериментах и сравнением с результатами других авторов и данными натурного эксперимента.

Личный вклад соискателя. Все разделы диссертационной работы выполнены лично автором. Выводы и рекомендации по результатам сформулированы самостоятельно. Формулировка подхода, связанного с разработкой и применением нового эффективного численного метода к решению внешних краевых задач, принадлежит научному руководителю Потапенко А.Н., который также принимал участие в обобщениях и интерпретации полученных результатов.

В научных трудах, опубликованных по теме диссертации в соавторстве с другими исследователями, вопросы, связанные с разработкой, обоснованием и тестированием предлагаемого метода, принадлежат автору. Имеются три работы без соавторов.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих научно-технических конференциях: XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ «Современные исследования в математике и механике», Москва (2001 г.); II Международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука - третье тысячелетие», Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана (2002 г.); II Международной конференции-школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и докторантов «Сооружения, конструкции, технологии и строительные материалы XXI века», Белгород (1999 г.); Международной научно-практической конференции «Качество, безопасность, энерго- и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов и строительстве на пороге XXI века», Белгород (2000 г.); III Международной конференции-школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и докторантов «Современные проблемы строительного материаловедения», Белгород (2001 г.); Всероссийской студенческой олимпиаде, научно-практической конференции и выставке студентов, аспирантов и молодых ученых «Энерго- и ресурсосбережение. Нетрадиционные и

возобновляемые источники энергии», Екатеринбург (2001 г.); World Congress on Powder Metallurgy & Particulate Materials, Orlando, Florida (2002 г.); Международном конгрессе «Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии», посвященном 150-летию В.Г. Шухова, Белгород (2003 г.).

Связь с научно-техническими программами. Часть

исследований, связанная с решением прикладных задач, вошла в заключительный отчет по межвузовской НТП «Конверсия и высокие технологии. 1997-2000 гг.» в разделе программы «Производственные технологии» и по программе Минобразования и науки РФ «Федерально-региональная политика в науке и образовании» на 2004 г. по проекту «Разработка автоматизированной системы управления с компьютерной диспетчеризацией распределенными энергосистемами зданий учреждений образовательной сферы с учетом особенностей систем теплоснабжения».

Публикации. Основные положения работы изложены в 10 печатных работах, из них статей 6.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 140 страницах машинописного текста, включающего 33 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 101 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования. Отмечено, что внешние краевые задачи во многих случаях возникают при проведении прикладных исследований в различных областях знаний. Несмотря на то, что существует достаточно много программных продуктов, решающих краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных, способы моделирования в них условия на бесконечности приводят либо к неэффективному расходованию ресурсов вычислительной техники, либо к уменьшению точности решения поставленной задачи.

Первая глава посвящена обзору и анализу методов решения внешних краевых задач.

Метод конформных отображений позволяет свести задачу к более простой с помощью взаимно однозначного отображения одной области на другую. Однако для нахождения функции, осуществляющей такое отображение, не существует достаточно простых алгоритмов. Поэтому этот метод в основном применятся для решения задач в областях с границами простой формы. В теории конформных отображений

определяют различные частные классы областей, отображения которых можно осуществить при помощи комбинации элементарных функций, и разрабатывают приближенные методы конформных отображений.

Операционный метод позволяет свести, например, уравнение в частных производных второго порядка действительной переменной к обыкновенному дифференциальному уравнению комплексной переменной. При решении задач этим методом требуется нахождение оригинала функции по полученному изображению. Это можно сделать для ограниченного класса функций. Кроме того, необходимо отметить сложность применения этого метода для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Метод разностных потенциалов имеет целый ряд приложений к численному решению задач математической физики в неограниченных областях. Этот метод успешно развивается в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, что отмечено в отчетах о деятельности РАН за 2002-2003 гг.

Точные решения краевых задач численными методами получить невозможно, так как получаемые решения являются приближенными. Существенными недостатками численных методов при решении внешних краевых задач являются: значительное увеличение необходимого для расчетов объема оперативной памяти вследствие увеличения размера расчетной области; существенное замедление расчетов вследствие вычисления значений функции для большого количества вновь введенных узлов расчетной области; более резкое, чем в действительности, убывание функции с расстоянием вследствие того, что граница расчетной области находится на конечном (и достаточно близком) расстоянии; искажение результатов расчета вследствие наличия достаточно близких границ области, в которой производится расчет, в то время как в решаемой задаче их нет.

Основными способами моделирования граничного условия на бесконечности в существующих комплексах программ являются: введение области расчета достаточно больших размеров, искусственное введение экранов и задание на некоторых границах условия симметрии.

Вторая глава посвящена разработке и обоснованию метода инверсии бесконечной области.

Анализ показал, что для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа применим метод электрогидродинамической аналогии (ЭГДА), в основе которого лежит аналоговое моделирование исследуемых процессов с помощью

стационарных электрических полей. Основным недостатком его является сложность применения для осесимметричных статических и неодномерных динамических задач, а также невозможность решения трехмерных задач. Кроме того, существенные погрешности возникают при моделировании сложных граничных условий даже для плоских внешних краевых задач.

Для численного решения плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа разработан метод инверсии бесконечной области О', основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область О с заданием граничного условия (3) на бесконечности в центре Б (рис. 1). В отличие от метода ЭГДА, он применим для расчета как статических, так и динамических процессов в прикладных задачах теплопроводности, диффузии, гидродинамики, акустики, магнитной гидродинамики и др.

Рис. 1. Отображение внутренней области О и внешней Б' й*

Рассмотрим особенности метода инверсии бесконечной области на примере расчета тестовой задачи определения электрического поля тонкого проводника бесконечной длины в плоскости, перпендикулярной этому проводнику. Задача сводится к решению уравнения Лапласа (1) с учетом граничных условий (2), (3):

где ОиБ' - неограниченная расчетная область; Г - граница проводника; 1)/о - заданная функция распределения потенциала ц/ на границе - некоторая константа (условие ограниченности).

При обосновании метода инверсии бесконечной области используется метод сеток. Методика нахождения решения задачи (1) -(3) с использованием метода сеток заключается в следующем: область

непрерывного изменения аргумента О и Э' заменяется некоторым конечным дискретным множеством точек 0(Ь) ^ В'(Ь):; производные дУ&с2, и граничные условия (2) заменяются разностными

операторами, которые определяются во внутренних и граничных узлах сетки 0(Ь) и 0'(Ь); проводится решение системы алгебраических уравнений, размерность которой зависит от числа узлов, и находятся значения исследуемых величин в этих узловых точках.

Учитывая, что в общем случае конфигурация границ исследуемого объекта может быть любой, выбираем универсальную прямоугольную сетку. Узел сеток О(Ь), О'ф) И Э ф) (см. рис. 1) хранит информацию двух видов: значение искомой сеточной функции и признаки расположения узла, а именно: признаки расположения узла относительно исследуемой области (внутренний, граничный, нерасчетный); признаки положения границы относительно центра расчетной области (левый, правый, нижний, верхний граничный узлы или их комбинация).

Замена производных разностными операторами производится по стандартной схеме. Погрешность сеточного решения имеет второй порядок относительно шагов по координатам:

6 = 0(11Х2) + 0(ЬУ2).

Расчет для плоского случая ведется по неявной тазностной схеме:

I т ' I т "»

Известно, что используемая схема безусловно устойчива- При уменьшении шага Ь получаем Ь —> 0: 0(ЬХ2) -> 0; 0(Ьу2) —> 0, т.е.

полученное сеточное решение стремится к точному.

Пусть дискретная расчетная область имеет форму круга

радиуса Г и в ней задается граничное условие (3). Для реализации предлагаемого метода вводится дополнительная область О (Ь) такого же размера. Центральному узлу В (Ъ) присваивается значение потенциала согласно условию (3). Так как во внутренних узлах сетки выполняется условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя, то во всех расчетных внутренних узлах и О (Ь)

потенциал рассчитывается с помощью метода верхней релаксации по следующим формулам (рис. 2, а):

- (ЧА+и + + + Ч>м-1У4; (4)

где а - ускоряющий коэффициент (1 < а 5 2); - значение в узле

вычисленное на предыдущей итерации; 1)/$0ц -- значение в узле вычисленное в текущей итерации согласно (4); ^^ц, - новое значение.

В граничных узлах областей следующим формулам (рис. 2, б):

11

Эф) и 0*(Ь)

расчет ведется по

левая граница: = + ум,; + + V

(6)

правая граница: ч/у=(ч/*и + Ун.]+ V у + верхняя граница: = (у*^ + у*^ + + нижняя граница: у^ = (у'и + у,.,,; + у^, +у^ОМ,

где V)/* - значение потенциала в узле из области ;л|йначение

потенциала в узле из области 0(Ъ).

Рис. 2. Вычисление значений у во внутренних и граничных узлах 0(Ь)

При аппроксимации границы области с помощью метода Брезенхема образуются углы. В случае узлов, расположенных на углу расчетной области В(Ь), соответствующие расчетные формулы (6) комбинируются. Т.е. при расчете узлов, расположенных в углах 0(Ь) используются не один, а два узла из Б (К).

Следствием приведенного метода является то, что области 0(Ь) и Б (Ь) оказываются как бы склеенными по границам. Таким образом, в граничных узлах расчетной области как в традиционном

методе, но граничные узлы уу превращаются во внутренние узлы расчетной области и Р (Ъ), т.е. 0(Ь) И В*(Ъ) представляют собой одну непрерывную область.

После окончания одной итерации расчета для всех узлов основной области В(Ь) производится расчет в дополнительной области О (Ь). Для этого в расчетных формулах (4) - (6) все величины у необходимо заменить на а все величины соответственно на Таким образом, одна итерация метода инверсии бесконечной области состоит из расчета искомых величин во всех узлах основной и дополнительной расчетных областей.

Окончание расчета с использованием предлагаемого метода происходит при выполнении тех же условий, что и обычного метода. Например,

где - наперед заданное достаточно малое число.

Выполнено обоснование метода инверсии бесконечной области применительно к плоским и объемным задачам, описываемым уравнениями эллиптического типа второго порядка. В обосновании используются методы теории конформных отображений.

Доказывается, что свойства оператора Лапласа (1) при переходе от внешней области к дополнительной (см. рис. 1) с помощью конформного отображения второго рода, т.е. инверсии (рис. 3, а), сохраняются. Соответственно, и методы решения (в частности, применяемые разностные схемы) также сохраняются для области О .

Следующие рассуждения справедливы при Ь —> 0, т.е. в том случае, если можно применить аппарат конформных отображений.

Показывается, что при переходе от с помощью инверсии

сохраняется ортогональность расчетной сетки. Таким образом показывается, что сетка в Б также является ортогональной.

Показывается, что при переходе от с помощью инверсии

сохраняется шаблон расчетной схемы в силу свойства конформных отображений сохранения углов и постоянства растяжений.

Показывается, что при обходе узлов по прямым, в силу свойства взаимной однозначности конформных отображений, решение не изменяется, поскольку значение в каждом узле рассчитывается один раз.

Особенности метода инверсии бесконечной области применительно к объемным задачам показаны на примере расчета тестовой задачи определения электрического поля точечного заряда в однородной среде. Задача по расчету электрического поля для данного заряда сводится к решению уравнения Лапласа с учетом граничных условий:

где ОиО' - неограниченная объемная расчетная область; Г - граница заряда; - заданная функция распределения потенциала на границе в данном случае некоторая константа.

Реализация метода инверсии бесконечной области в трехмерном (в общем случае, мерном) пространстве производится по аналогии с двумерным случаем. В качестве дополнительной расчетной области

0*(Ь) в трехмерном случае используется шар такого же размера, как и основная расчетная область причем каждая точка поверхности

Б (Ь) соединена с соответствующей точкой 0(11).

Обоснование) проводится с привлечением пространственных комплексных чисел и инверсии в пространстве (рис. 3, б).

Рис. 3. Инверсия на плоскости и в пространстве

Сравнение размеров оперативной памяти проведено исходя из того, что количество узлов расчетных областей В(Ъ) и достаточно велико (п —► оо), а расстояния между узлами достаточно малы (Ъ —► 0). В этом случае для сравнения количества узлов, необходимых предложенному методу, по сравнению с обычным метолом сеток, достаточно будет сравнить площади областей Б(Ь) иВ(Ь) и 0(Ь) и О'(Ь). Проведена оценка объема оперативной памяти, необходимого для получения решения одинаковой точности. Для этого в методе инверсии бесконечной области и в обычном методе сеток построены области с одинаковым расстоянием от центрального узла О области до ближайшего узла на котором задается условие (3), Таким узлом в предлагаемом методе является центральный узел области О (Ь)„ а в обычном методе сеток - любой узел границы области При использовании метода инверсии бесконечной области в двумерном случае уменьшение объема памяти, а также сокращение времени одной итерации составляет 2 раза, а в трехмерном - 4 раза.

Таким образом, проведенное сравнение размеров требуемой памяти разработанного и традиционного методов позволило установить эффективность использования разработанного метода вследствие сокращения количества узлов расчетной области, размера

размещения

расчетной области и

оперативной памяти для длительности одной итерации.

Третья глава посвящена тестированию разработанного метода. Приводятся результаты расчета двумерных и трехмерных тестовых задач, и делается вывод об адекватности метода.

Тестирование плоской задачи определения электростатического поля тонкого проводника бесконечной длины» в плоскости, перпендикулярной проводнику, показало следующее (рис. 4). Теоретическая зависимость потенциала и напряженности электростатического поля этого проводника в точке от расстояния r до проводника выражается формулами:

JL* (11)

Ч/(г) =

X . 1 _ 1п-+С;

2тсе0е

Е(г) =

2its0s г

В данной задаче для определенности будем задавать условие (3) в виде ц/(со) = 0. Для упрощения программной реализации в данном примере исключен этап установки дополнительных геометрических признаков граничных узлов круглых областей 0(Ъ)|и Э (Ъ). Вместо этого, признаки граничных узлов установлены по прямым - сторонам квадратных расчетных областей. Данное упрощение влияет на точность получения решения задачи в углах расчетной области, что наблюдается на полученных в результате расчетов областях равного потенциала. Тем не менее, эта погрешность значительно меньше получаемой в результате применения обычного метода.

Рис. 4. Тестовая задача определения поля бесконечного проводника: а - результаты расчета по исходному методу для области Оо(Ь); б - результаты расчета по методу инверсии для области 0(Ъ)

Для сопоставления результатов по исходному методу задания условия (3) и с помощью метода инверсии размеры исследуемых областей были равны между собой, т.е. 0(Ь) и О (Ь) соответствовали размерам 100x100 узлов (всего 20 000 узлов), а область без инверсии Оо(Ъ) для исходного метода имела размеры 141x141 (в ">/2 раз больше).

Сравнение производилось по областям размером 100x100 узлов.

Анализ полученных результатов для напряженности поля Е показывает, что расчет по исходному методу (рис. 5, кривая 1) приводит к тому, что величина Е сразу отклоняется от зависимости (11) (рис. 5, кривая 3). Расчет с использованием метода инверсии (рис. 5, кривая 2) дает более точное решение. При этом в крайней точке расчетной области погрешность предлагаемого метода составляет около 5%, а погрешность исходного метода составляет порядка 95%.

Второй задачей для тестирования плоского метода инверсии была выбрана система из двух параллельных бесконечных заряженных проводников. Производился расчет в случае, когда заряды проводников разноименные (рис. 6, а, б) и одноименные (рис. 6, в, г). Представлены распределения областей равного потенциала, рассчитанные с помощью исходного метода (см. рис. 6, а, в) и метода инверсии (см. рис. 6, б, г).

Рис. 5. Зависимость изменения Е от г

Рис. 6. Результаты моделирования электрических полей диполей

В исходном методе происходит существенное искажение поля у границ расчетной области, причем значение потенциала достаточно быстро падает вследствие близкого расположения границ с условиями (3). В результатах предлагаемого метода достигается более точное

вычисление значений потенциала и соответствие теоретической зависимости.

Анализ полученных результатов показывает, что предлагаемый метод позволяет более точно моделировать задачи, в которых одно из граничных условий задано на бесконечности.

В качестве тестовой задачи для трехмерного случая была выбрана задача расчета электростатического поля в однородной среде вокруг точечного электрического заряда. Для данного случая зависимость потенциала и напряженности от расстояния выражается следующим образом:

Тестирование объемной задачи определения электростатического поля точечного заряда подтвердило эффективность предлагаемого метода, поскольку были получены результаты, аналогичные результатам расчета плоской тестовой задачи.

В ходе вычислительных экспериментов была установлена возможность практического использования метода инверсии бесконечной области для некоторых других классов задач, например описываемых неоднородными волновыми уравнениями. При этом следует отметить, что доказательства применимости предлагаемого метода к задачам такого класса получено не было.

Для исследования нестационарных и неодномерных процессов

при электроразрядах в жидкости используется схема моделирования разрядной камеры многокамерного разрядного блока электрогидравлической установки, представленная на рис. 7. Адекватность применяемой математической модели для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости доказана в существующих литературных источниках. Кроме того, соответствие подтверждается

сопоставлением результатов численного моделирования (рис. 8, а) с опубликованными экспериментальными данными (рис. 8, б).

Исследование волновых процессов в жидкости при электроразряде выполняется на основе решения волнового уравнения, записанного относительно потенциала скорости в декартовой

(12)

С* / в/и Гг 0? 1 Г ! / 1

и' <31 \ \ А«(*)

Т I

Рис. 7. Конфигурация модели для расчетов

системе координат. Краевая задача в виде операторных уравнений для исследуемой дискретной области записывается следующим образом:

передающей среды;

импульсный источник с параметрами Тео И Pan', Se(t) - граница симметрии; Gi.-.G^ - жесткие границы; ао -скорость звука в исследуемой жидкой среде; ро - плотность невозмущенной жидкости.

Рис. 8. Эпюры давлений на дне разрядной камеры

Для устранения влияния волны, отраженной от искусственно вводимых на месте Se(t) узких боковых стенок (рис. 17), используется предлагаемый метод.

Анализ исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости, показал увеличение точности решения исследуемых задач, по сравнению с обычным численным методом. Установлено, что в начальный период времени, когда фронт волны еще не достиг искусственно введенных в исходной модели границ исследуемой камеры, эпюры давлений на дне камеры и распределение поля давлений в расчетной области как в базовом, так и в методе инверсии, практически совпадают (рис. 8, а).

При достижении фронтом волны искусственно введенных в исходной модели границ результаты, получаемые с помощью исходного (см. рис. 8, в) и предлагаемого (см. рис. 8, г) методов, отличаются. Анализ результатов расчета по исходному методу для момента времени показывает, что вместо теоретически

ожидаемого ослабления давления происходит его увеличение. Это связано с отражением волны от искусственно введенных границ. При сравнении этих результатов с полученными при использовании предлагаемого метода, можно отметить, что в последнем случае наблюдается постепенное уменьшение значения давления в расчетной области, что соответствует теоретическому экспоненциальному затуханию давления.

В результате тестирования предложенного метода установлено, что разработанный метод дает более точное решение, чем традиционный метод при одинаковых затратах оперативной памяти.

Четвертая глава посвящена описанию основных алгоритмов, использованных для реализации предложенного метода в комплексе программ. Представлены известные основные вычислительные алгоритмы применительно к исследованию волновых процессов при электроразрядах в жидкости - метод верхней релаксации для расчета электрического потенциала по уравнению Лапласа и метод для расчета потенциала скоростей по волновому уравнению.

Для получения более точных решений при меньшем числе итераций была предложена модификация нового и традиционного расчетных алгоритмов. Схема обхода узлов сетки на каждой следующей итерации отличается от схемы, использовавшейся на предыдущей итерации, т.е. слева направо, сверху вниз, справа налево, снизу вверх. В результате постоянной смены направлений обхода достигается существенное уменьшение искажений, вносимых расчетной схемой, уменьшается количество итераций, и даже при

ббльших погрешностях происходит меньшее искажение распределения электрического потенциала в расчетной области (рис. 9).

С

(Ц Щ

a v б

использованием среды Delphi разработан комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости. Комплекс программ (рис. 10) включает в себя модуль, подсистему графического редактора, подсистемы стационарных двумерных и трехмерных моделей для уравнений, подсистему расчета динамических

Рис. 9. Сравнение способов обхода? а - односторонний; б - циклический

главный расчета

эллиптических двумерных моделей для гиперболических уравнений.

Главный модуль управляет работой программного комплекса. В его функции входит создание новой постановки задачи или редактирование существующей, сохранение задачи в дисковом файле, а затем запуск на выполнение одной из подсистем расчета в зависимости от типа созданной постановки задачи.

Рис. 10. Структура комплекса программ

Каждая из подсистем расчета получает данные из файла, подготовленного в главном модуле, производит расчет согласно реализованному алгоритму и представляет результаты расчета в виде областей равного потенциала или графиков изменения определяемой величины для различных моментов времени. Вывод результатов для трехмерной модели реализован в виде сечений объема, в котором производятся расчеты, параллельными плоскостями.

Каждая из подсистем расчета является отдельным исполняемым модулем и может исполняться независимо от остальных. Это обеспечивает возможность запуска в многозадачной среде нескольких экземпляров одной и той же или разных подсистем для параллельного расчета нескольких задач. Из практических соображений следует, что такое использование комплекса программ для одновременного расчета нескольких задач целесообразно в вычислительной системе, оснащенной двумя или более процессорами. В однопроцессорной системе в связи с большой загрузкой процессора вычислительным алгоритмом и значительными расходами операционной системы на переключение между задачами запускать несколько подсистем для параллельного расчета нецелесообразно.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан для численного решения плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа метод инверсии бесконечной области, основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в центре этой области.

2. Выполнено обоснование метода инверсии бесконечной области применительно к плоским и объемным задачам, описываемым уравнениями эллиптического типа.

3. В результате проведенного сравнения размеров требуемой оперативной памяти разработанного метода и традиционного установлена эффективность использования разработанного метода вследствие сокращения количества узлов расчетной области, размера памяти для размещения расчетной области и длительности одной итерации расчета.

4. Тестирование плоской задачи определения потенциала электростатического поля двух параллельных проводников показало следующее:

4.1. В традиционном методе происходит искажение поля у границ расчетной области, и потенциал достаточно быстро падает вследствие близкого расположения границ с условием на бесконечности. В результатах, полученных по предложенному методу, достигается более точное вычисление значений потенциала и соответствие теоретической зависимости.

4.2. Анализ результатов показывает, что применение традиционного метода приводит к тому, что величина напряженности электрического поля сразу отклоняется от теоретической зависимости. При этом на границе основной расчетной области погрешность метода

инверсии бесконечной области составляет около 5%, а погрешность традиционного численного метода - порядка 95%.

5. Тестирование объемной задачи определения электростатического поля точечного заряда подтвердило эффективность предлагаемого метода, поскольку были получены результаты, аналогичные результатам расчета плоской задачи.

6. Установлена возможность практического использования метода инверсии бесконечной области для некоторых других классов задач, например, описываемых неоднородными волновыми уравнениями. Адекватность применяемой математической модели для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости доказана в существующих литературных источниках. Кроме того, соответствие подтверждается сопоставлением результатов численного моделирования с опубликованными экспериментальными данными. При этом следует отметить, что доказательства применимости предложенного метода к задачам такого класса получено не было.

7. Предложена модификация разработанного и традиционного расчетных алгоритмов, позволяющая получить решение краевых задач для уравнений эллиптического типа с заданной точностью за меньшее число итераций.

8. Разработан комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для волнового уравнения, например для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Дыльков М.И. Численный метод инверсии внешней бесконечной области в неодномерных задачах с условиями на бесконечности // Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. - М.: Изд-во ЦПИ при мех-мат. ф-те МГУ, 2001. - С. 122-124.

2. Потапенко А.Н., Дыльков М.И. Метод склейки областей для решения краевых задач с условиями на бесконечности // Сооружения, констр., технологии и строит. материалы XXI века: Сб. докл. II Междунар. конф.-шк.-сем. молод. учен., аспир. и докторантов. -Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 1999. - Ч.3. - С. 229-233.

3. Потапенко А.Н., Дыльков М.И. Особенности применения метода склейки областей для моделирования объемных задач //

Качество, безопасность, энерго- и ресурсосб. в ПСМ и строит. на пороге XXI века: Сб. докл. Междунар. научно-практич. конф. -Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2000. - Ч.5. - С. 178-183.

4. Потапенко А.Н., Штифанов А.И., Дыльков М.И. Метод инверсии внешней бесконечной области для моделирования поля давлений при электроразрядах в жидкости // Современные проблемы строительного материаловедения: Материалы III Междунар. науч.-практич. конф.-шк.-сем. молод, учен., аспир. и докторантов. -Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2001. - Ч.2. - С.133-137.

5. Потапенко А.Н., Дыльков М.И., Штифанов А.И. Элементы доказательства метода инверсии внешней бесконечной области // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. - Белгород: Изд-во БГТУ им.

B.Г. Шухова, 2003. - №6. - С. 186-188.

6. Потапенко А.Н.,. Дыльков М.И., Штифанов А.И. Математическое моделирование поля давлений в многоэлектродных разрядных блоках // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики, 2003. -№9-10 - С. 120-124.

Кроме того, опубликованы тезисы четырех докладов:

7. Дыльков М.И. Численное решение дифференциальных уравнений с краевыми условиями на бесконечности // В сб. тез. докл. Молодежной научно-технической конференции технических вузов центральной России, 25-26 мая 2000. - Брянск, 2000. - С. 5-6.

8. Штифанов А.И., Дыльков М.И. Расчет поля давлений в камере электрогидроимпульсной установки // В сб. материалов Всероссийской студенческой олимпиады, научно-практической конференции и выставки студентов, аспирантов и молодых ученых «Энерго- и ресурсосбережение. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии». - Екатеринбург, УГТУ-УПИ, 2001. - С. 35-37,

9. Potapenko A.N Dylkov M.I., Chtifanov A.I. Modeling of the Pressure Field for Multi-electrode Discharge Units for Powder Compaction. World Congress on Powder Metallurgy & Particulate Materials, Orlando, Florida, 2002. (http://www.mpif.org/meetings/02conf/76.html)

10. Дыльков М.И. Метод инверсии внешней области для моделирования волновых процессов при электроразрядах в жидкости // В сб. тезисов Второго Международного конгресса студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука - третье тысячелетие». -М.: изд-во науч.-тех. ассоциации «Актуальные проблемы фундаментальных наук», МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - Ч.2. -

C. 26-27.

Автор выражает признательность научному консультанту к.т.н., доц. Воробьеву Н.Д. за оказанную помощь в проведении исследований и обсуждениирезультатов работы.

Подписано в печать « ф » СЦу^/МУО^ 2004 г. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ //£ Отпечатано в БГТУ им. В.Г. Шухова, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46

/

¡r

}

/

0 4-14025

(

\ ,

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

1.1. Метод конформных отображений применительно к внешним краевым задачам.

1.2. Операционный метод применительно к внешним краевым задачам.

1.3. Метод разностных потенциалов для решения внешних краевых задач.

1.4. Численные методы решения внешних краевых задач.

1.4.1. Обзор и анализ численных методов.

1.4.2. Комплексы программ для решения краевых задач численными методами.

Выводы по главе. Цель и задачи исследования.;.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ

БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С УРАВНЕНИЯМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.

2.1. Особенности метода электрогидродинамической аналогии для решения плоских краевых задач.

2.1.1. Применение метода ЭГДА для решения краевых задач с уравнениями эллиптического типа.

2.1.2. Особенности моделирования внешних краевых задач.

2.2. Метод инверсии бесконечной области для плоских задач.

2.2.1. Дискретизация области непрерывного изменения аргумента.!.

2.2.2. Замена производных разностными операторами.

2.2.3. К вопросу о сходимости, устойчивости и точности.

2.2.4. Вычисление значений потенциала во внутренних узлах сетки.

2.2.5. Вычисление значений потенциала в граничных узлах.

2.3. Обоснование метода инверсии бесконечной области.

2.3.1. Обоснование разработанного метода для решения плоских внешних краевых задач.

2.3.2. Особенности преобразования симметрии относительно окружности (инверсия).

2.3.3. Свойство сохранения оператора Лапласа при конформном отображении на примере решения задачи Дирихле.

2.3.4. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости.

2.4. Метод инверсии бесконечной области для объемных задач

2.4.1. Пространственные комплексные переменные и операции над ними.

2.4.2. Конформное отображение в пространстве.

2.4.3. Обоснование метода для решения объемных задач.

2.4.4. Сравнение размеров требуемой памяти и скорости работы методов.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ТЕСТИРОВАНИЕ МЕТОДА И ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ НА БАЗЕ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

3.1. Некоторые задачи определения параметров электрических полей.

3.1.1. Моделирование электростатического способа нанесения абразивного зерна на подложку.

3.1.2. Моделирование электрофильтров.

3.2. Тестирование плоской задачи определения электростатического потенциала одного и двух параллельных проводников.

3.3. тестирование объемной задачи определения электростатического поля точечного заряда.

3.4. Основные схемы, методы и модели определения параметров импульсных источников.

3.5. Исследование прикладной задачи определения поля давлений при электроразрядах в камерах с помощью метода инверсии бесконечной области

3.5.1. Постановка задачи.;.

3.5.2. Исследование гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. АЛГОРИТМЫ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РАСЧЕТА

ИССЛЕДУЕМЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

4.1. Описание вычислительных алгоритмов применительно к исследованию волновых процессов при электроразрядах в жидкости.

4.1.1. Общий алгоритм расчета волновых процессов в жидкости при воздействии импульсных источников.

4.1.2. Инициализация модели и аппроксимация границ.

4.1.3. Расчет электростатического поля.

4.1.4. Расчет волновых процессов.

4.2. Модификация расчетного алгоритма для решения краевых задач с уравнениями эллиптического типа.

4.3. Некоторые особенности использования средств языка программирования среды Delphi.

4.4. Структура комплекса программ численного моделирования с использованием метода инверсии бесконечной области.

Выводы по главе.,.

Актуальность работы

Класс практически важных задач, которые сводятся к поиску решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, достаточно велик. В постановке некоторых из них одно из граничных условий задается на бесконечности.

В прикладных исследованиях внешние краевые задачи возникают в широком классе приложений, включая задачи из области распространения волн, электромагнетизма, теории упругости, сопротивления материалов, температурных полей, тепломассопереноса, аэродинамики, аэроупругости, динамики потоков жидкостей, химической газодинамики и диффузии, а также в инженерных приложениях, например, в технических расчетах электромагнитных устройств.

В настоящее время существует достаточно большое количество программных продуктов, основным назначением которых является решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных из различных областей науки и техники. В основном они решаются с применением различных численных методов. Несмотря на разнообразие программ, способов реализации пользовательского интерфейса и заложенной в них функциональности, практически все они придерживаются одних и тех же способов решения внешних краевых задач.

Для моделирования бесконечной области в программах определяется область расчета достаточно больших размеров для того, чтобы исключить влияние краевых эффектов. Вторым способом ухода от задания граничных условий на бесконечности является искусственное введение в постановку задачи экранов, ограничивающих расчетную область. Третьим способом сведения внешней краевой задачи к внутренней является введение на некоторых границах области условия симметрии.

Общим недостатком всех перечисленных выше методов моделирования бесконечной области является снижение точности, связанное с изменением постановки задачи (в случае введения экранов или условия симметрии), и эффективности (в случае задания области расчетов достаточно больших размеров).

В связи с этим, актуальной проблемой является поиск эффективных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, более точно учитывающих граничное условие на бесконечности.

Цель диссертационной работы - разработка, обоснование и тестирование эффективного метода, позволяющего уменьшить требуемый объем оперативной памяти и повысить быстродействие для численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка с применением ЭВМ.

Поставленная цель достигается при решении следующих основных задач:

1. Разработать эффективный метод для численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка.

2. Обосновать разработанный- метод численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка.

3. Разработать программное обеспечение для решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка с использованием предложенного метода.

4. Протестировать с применением ЭВМ разработанный метод численного решения внешних краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа второго порядка.

5. Проверить возможность практического использования разработанного метода для численного решения некоторых других классов задач.

Методы исследований

В работе использован математический аппарат теории функций комплексной переменной, дифференциальных уравнений, теории разностных схем, теории алгоритмов, численные методы анализа и методология объектно-ориентированного проектирования программных систем. Численное моделирование выполнялось с помощью средств вычислительной техники.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработан для численного решения внешних краевых задач с линейными уравнениями эллиптического типа второго порядка метод инверсии бесконечной области, основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в центре этой области, позволяющий повысить эффективность численных методов вследствие сокращения количества узлов расчетной области, уменьшения размера требуемой оперативной памяти и длительности одной итерации расчета;

• установлена возможность увеличения точности решения внешних краевых задач в ходе вычислительного эксперимента на основе предложенного метода;

• предложена модификация разработанного и традиционного расчетных алгоритмов, позволяющая получить решение краевых задач для уравнений эллиптического типа с заданной точностью за меньшее число итераций.

Научно-практическая значимость работы

Значимость для науки результатов исследований заключается в том, что разработана математическая модель исследуемого объекта, описываемого дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго порядка.

Практическое значение работы определяется тем, что разработанный метод и алгоритм могут найти применение в вычислительных экспериментах для плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического и других типов в различных областях науки и техники. Разработанный метод позволяет сократить количество узлов расчетной области, размер оперативной памяти для размещения расчетной области, длительность одной итерации расчета и увеличить точность получаемого численного решения. Разработан комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для волнового уравнения, например, для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.

Основные результаты работы могут быть применены в учебном процессе на. кафедре программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем при чтении курсов «Вычислительная математика», «Компьютерное моделирование» и др.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод инверсии бесконечной области, основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в центре этой области, для решения плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа второго порядка.

2. Модификация разработанного и традиционного расчетных алгоритмов, позволяющая получить решение краевых задач для уравнений эллиптического типа с заданной точностью за меньшее число итераций.

3. Комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для волнового уравнения, например, для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.

4. Результаты тестирования плоской и объемной внешних краевых задач, а также практического использования метода инверсии бесконечной области для задач, описываемых неоднородными волновыми уравнениями. При этом следует отметить, что доказательства применимости метода к задачам такого класса получено не было.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим применением математических подходов при обосновании метода и решении задач, использованием современных технологий разработки программного обеспечения, а так же тестированием разработанного метода в вычислительных экспериментах и сравнением с результатами других авторов и данными натурного эксперимента.

Личный вклад соискателя. Все. разделы диссертационной работы выполнены лично автором. Выводы и рекомендации по результатам сформулированы самостоятельно. Формулировка подхода, связанного с разработкой и применением нового эффективного численного метода к решению внешних краевых задач, принадлежит научному руководителю Потапенко А.Н., который также принимал участие в обобщениях и интерпретации полученных результатов.

В научных трудах, опубликованных по теме диссертации в соавторстве с другими исследователями, вопросы, связанные с разработкой, обоснованием и тестированием предлагаемого метода, принадлежат автору. Имеются три работы без соавторов.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих научно-технических конференциях:

XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ «Современные исследования в математике и механике», Москва (2001 г.),

II Международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука - третье тысячелетие», Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана (2002 г.),

II Международной конференции-школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и докторантов «Сооружения, конструкции, технологии и строительные материалы XXI века», Белгород (1999 г.),

Международной научно-практической конференции «Качество, безопасность, энерго- и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов и строительстве на пороге XXI века», Белгород (2000 г.),

III Международной конференции-школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и докторантов «Современные проблемы строительного материаловедения», Белгород (2001 г.),

Всероссийской студенческой олимпиаде, научно-практической конференции и выставке студентов, аспирантов и молодых ученых «Энерго- и ресурсосбережение. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии», Екатеринбург (2001 г.),

World Congress on Powder Metallurgy & Particulate Materials, Orlando, Florida (2002 г.),

Международном конгрессе «Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии», посвященном 150-летию В.Г. Шухова, Белгород (2003 г.).

Связь с научно-техническими программами. Часть исследований, связанная с решением прикладных задач, вошла в заключительный отчет по межвузовской НТП «Конверсия и высокие технологии. 1997-2000 гг.» в разделе программы «Производственные технологии» [42] и по программе Минобразования и науки РФ «Федерально-региональная политика в науке и образовании» на 2004 г. по проекту «Разработка автоматизированной системы управления с компьютерной диспетчеризацией распределенными энергосистемами зданий учреждений образовательной сферы с учетом особенностей систем теплоснабжения».

Публикации

Основные положения работы изложены в 10 печатных работах, из них статей 6.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 140 страницах машинописного текста, включающего 33 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 101 наименования.

Основные выводы по работе следующие:

1. Разработан для численного решения плоских и объемных внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа метод инверсии бесконечной области, основанный на отображении ее на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в центре этой области.

2. Выполнено обоснование метода инверсии бесконечной области применительно к плоским и объемным задачам, описываемым уравнениями эллиптического типа.

3. В результате проведенного сравнения размеров требуемой оперативной памяти разработанного метода и традиционного установлена эффективность использования разработанного метода вследствие сокращения количества узлов расчетной области, размера памяти для размещения расчетной области и длительности одной итерации расчета.

4. Тестирование плоской задачи определения потенциала электростатического поля двух параллельных проводников показало следующее:

4.1. В традиционном методе происходит искажение поля у границ расчетной области, и потенциал достаточно быстро падает вследствие близкого расположения границ с условием на бесконечности. В результатах, полученных по предложенному методу, достигается более точное вычисление значений потенциала и соответствие теоретической зависимости.

4.2. Анализ результатов показывает, что применение традиционного метода приводит к тому, что величина напряженности электрического поля сразу отклоняется от теоретической зависимости. При этом на границе основной расчетной области погрешность метода инверсии бесконечной области составляет около 5%, а погрешность традиционного численного метода - порядка 95%.

5. Тестирование объемной задачи определения электростатического поля точечного заряда подтвердило эффективность предлагаемого метода, поскольку были получены результаты, аналогичные результатам расчета плоской задачи.

6. Установлена возможность практического использования метода инверсии бесконечной области для некоторых других классов задач, например, описываемых неоднородными волновыми уравнениями. Соответствие подтверждается сопоставлением результатов численного моделирования с опубликованными экспериментальными данными. При этом следует отметить, что доказательства применимости предложенного метода к задачам такого класса получено не было.

7. Предложена модификация разработанного и традиционного расчетных алгоритмов, позволяющая получить решение краевых задач для уравнений эллиптического типа с заданной точностью за меньшее число итераций.

8. Разработан комплекс программ для решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа (плоских и объемных) и для волнового уравнения, например для исследования гидродинамических процессов, связанных с ударными волнами при электроразрядах в жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В целом в представленной диссертационной работе разработан, обоснован и протестирован эффективный метод для численного решения внешних краевых задач для уравнений эллиптического типа второго порядка с применением ЭВМ. Предложенный метод основан на отображении внешней области на дополнительную расчетную область с заданием граничного условия на бесконечности в ее центре, и позволяет сократить количество узлов расчетной области для уменьшения размера памяти, длительность одной итерации расчета и увеличить точность получаемого решения.

1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1967. -444 с.

2. Лаврик В.И., Савенков В.Н. Справочник по конформным отображениям. -Киев: Наук, думка, 1970. 252 с.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. -М.: Наука, 1979.-320 с.

5. Сильвестров В.В. Конформное отображение. // Соросовский образовательный журнал, № 12,1999. С. 97-102.

6. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп. М.: Мир, 1984. - 456 с.

7. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. -136 с.

8. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения новые методы и приложения. - Новосибирск: Наука, 1984. - 216 с.

9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. - 720 с.

10. Отчет о деятельности Российской Академии Наук в 2002 году. Основные результаты в области естественных, технических, гуманитарных и общественных наук. М.: Наука, 2003. - 175 с.

11. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Физматлит, 2000.-294 с.

12. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов и его приложения. М.: Физматлит, 2002. - 496 с.

13. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М.: Физматлит, 1987. 320 с.

14. Рябенький B.C., Турчанинов В.И., Эпштейн Е.Ю. Численный пример композиции алгоритмов для задач в составных областях на базе метода разностных потенциалов. М.: Препринт ИПМ №3, 2003. 19 с.

15. Штифанов А.И. Моделирование волновых процессов, возникающих при электрогидравлическом эффекте и детонациях газовых смесей. Дис. канд. тех. наук. - Белгород, 1998. - 235 с.

16. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. 656 с.

17. ГодуновС. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). -М.: Наука, 1977.-400 с.

18. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-416 с.

19. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. -608 с.

20. Роуч JT. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

21. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. - 392 с.

22. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.

23. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М: Мир, 1990.-616 с.

24. ФеДоренко Р.П. Введение в вычислительную физику: Учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во МФТИ, 1994. - 528 с.

25. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Изд-во УРСС, 2003. - 784 с.

26. Янг Д., Хейгман Л. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.

27. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-592 с.

28. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.

29. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977,

30. Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов A.B. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высш. шк., 1990. - 207 с.

31. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // В кн.: Вычисл. методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 316-342.

32. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. -М.: Мир, 1987.

33. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1982. - 391 с.

34. ЕЬСиТ. Моделирование двумерных полей методом конечных элементов. Версия 4.2Т. Руководство пользователя. СПб.: ПК Тор, 2002. - 148 с.

35. Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. МАТЬАВ 6.x: программирование численных методов. СПб.: БХВ, 2004. - 672 с.

36. Реш1аЬ 2.3. Руководство пользователя (перевод с английского под редакцией В.Е. Шмелева), http://grsu.by/matlab/femlab/default.asp.htm.

37. Галиев Ш.У. Динамика гидроупругопластических систем. Киев: Наук, думка, 1981.-276 с.

38. Рязанов Г.А. Опыты и моделирование при изучении электромагнитного поля. М.: Наука, 1966. - 191 с.

39. П.Ф. Фильчаков, В.И. Панчишин, Интеграторы ЭГДА. Моделирование потенциальных полей на электропроводной бумаге. Киев, Изд-во АН УССР, 1961.

40. Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики. Киев: Наук, думка, 1989. -864 с.

41. Потапенко А.Н., Дыльков М.И., Штифанов А.И. Элементы доказательства метода инверсии внешней бесконечной области // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2003. №6. - С. 186-188.

42. Потапенко А.Н., Дыльков М.И., Штифанов А.И. Математическое моделирование поля давлений в многоэлектродных разрядных блоках// Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики, 2003. №9-10. -С. 120-124.

43. Дыльков М.И. Численное решение дифференциальных уравнений с краевыми условиями на бесконечности // В сб. тез. докл. Молодежной научно-технической конференции технических вузов центральной России, 25-26 мая 2000. Брянск, 2000. - С. 5-6.

44. Potapenko A.N Dylkov M.I., Chtifanov A.I. Modeling of the Pressure Field for Multi-electrode Discharge Units for Powder Compaction. World Congress on

45. Powder Metallurgy & Particulate Materials, Orlando, Florida, 2002. (http://www.mpif.org/meetings/02conf/76.html)

46. Аммерал Л. Машинная графика на персональных компьютерах. — М.: «Сол Систем», 1992.-232 с.

47. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики. М.: Высш. школа, 1987. - 232 с.

48. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. — 288 с.

49. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. - 584 с.

50. Елисеев В.И. Фохт A.C. Методы теории функций пространственного комплексного переменного. Препринт АН УССР, Ин-т математики 84.61". Киев, 1984.-57 с.

51. Елисеев В.И. Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного. М.: Изд-во НИАТ, 1990. 189 с.

52. Елисеев В.И. Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного. Изд. 2. М.: 2003, 501 с.

53. Каталог электростатических фильтров фирмы ПЛИМУТ (Швеция).

54. Проспект универсальных электростатических фильтров «ЭЛСТАТ» (АО «Элстат», г. Москва).

55. Наугольных К.А., Рой H.A. Электрические разряды в воде. М.: Наука, 1971.- 155 с.

56. Кривицкий Е.В., Шамко В.В. Переходные процессы при высоковольтном разряде в воде. Киев: Наук, думка, 1979 208с.

57. Кривицкий С.В., Сливинский А.П. К решению переходного процесса при подводном искровом разряде // В кн.: Электрогидравлический эффект и его применение: сб. науч. тр. Киев: Наук, думка, 1981. С. 3-14.

58. Вовк И.Т., Друмирецкий В.Б., Кривицкий Е.В., Овчинникова Л.Б. Управление электрогидроимпульсными процессами. Киев: Наук, думка, 1984. -188 с.

59. Иванов В.В., Ризун А.Р. Расчет гидравлических параметров ЭГ установок методом характеристик // В кн.: Основные проблемы разрядно-импульсной технологии. Киев; Наук, думка, 1980. С. 98-100.

60. Кучеренко В.В., Шамко В.В. О термодинамическом поведении продуктов подводной искры на послеразрядной стадии // В кн.: Основные проблемы разрядноимпульсной технологии. Киев: Наук, думка, 1980. С. 61-69.

61. Рябинин А.Г., Рябинин Г.А. Экспериментальное исследование энергии газового пузыря при электрическом разряде в воде // Журн. техн. физики, том 16, №4,1976.-С.881-884.

62. Штамповка взрывом. Основы теории / Под ред. М.А. Анучина, М.: Машиностроение, 1972. 152 с.

63. Литвиненко В.П., Шамко В.В., Деревянко Ю.И. Влияние жесткой оболочки на динамику парогазовой полости // В кн.: Основные проблемы разрядноимпульсной технологии. Киев: Наук, думка, 1980. С. 50- 61.

64. Шепелева Т.В., Атанов Г.А. Гидродинамические аспекты электровзрыва в жесткой сферической оболочке // В кн.: Физико-механические процессы при высоковольтном разряде в жидкости Киев: Наук, думка. 1982 - С. 113-122.

65. Селезов И.Т., Шамко В.В. Динамика расширения канала подводного искрового разряда. // В кн.: Физические основы электрогидравлической обработки материалов. Киев: Наук.думка, 1978. - С. 66-78.

66. Высокоскоростные способы прессования деталей из порошковых материалов / К.Н. Богоявленский, П.А. Кузнецов, К.К. Мертенс и др. Л.: Машиностроение, 1984. - 168 с.

67. Потапенко А.Н., Штифанов А.И. Моделирование волновых процессов при электроразрядах в жидкости. // В сб. мини-конференции: «Математическое моделирование и информационные технологии» Белгород, 1997. - 4.8. -С. 88-94.

68. Чебанов Ю.И., Борисевич В.К., Князев М.К. Формирование поля давления на заготовке при штамповке на электрогидравлических установках // Кузнечно-штамповочное производство. 1996. №4.-С.15-18.

69. Штифанов А.И. Алгоритм моделирования волновых процессов в электрогидравлическом разрядном блоке // В сб. мини-конференции:

70. Математическое моделирование и информационные технологии» Белгород, 1997. 4.8. - С. 104-106.

71. Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами применения. М.: Конкорд, 1992. - 512 с.

72. Райли Д. Абстракция и структуры данных: Вводный курс. М.: Мир, 1993. - 752 с.

73. Сван Т. Delphi 4 Библия разработчика. СПб.: Диалектика, 1998. 672 с.

74. Фаронов В.В. Delphi 4. Учебный курс. М.: Нолидж, 1999. 464 с.

75. Орлик С. Секреты Delphi на примерах. М.: Бином, 1996. - 351с.

76. Гайсарян С.С. Объектно-ориентированные технологии проектирования прикладных программных систем, http://www.citforum.ru/programming/ooprsis

77. Тейксейра С., Пачеко К. Borland Delphi 6. Руководство разработчика. -СПб.: Вильяме, 2002. 1120 с.

78. Киммел П. Создание приложений в Delphi. СПб.: Вильяме, 2002. - 640 с.

79. Лишнер P. Delphi. Справочник М.: Символ-плюс, 2001. - 640 с.

80. Озеров В. Delphi. Советы программистов (2-е издание). М.: Символ-плюс, 2002. - 976 с.

81. Бобровский С. И. Delphi 7. Учебный курс. СПб.: Изд-во «Питер», 2002. -736 с.

82. Гофман В. Delphi 6. СПб.: BHV, 2002. - 1145 с.

83. Галисеев Г.В. Программирование в среде Delphi 7. Самоучитель. СПб.: Диалектика, 2003. - 288 с.

84. Климова JT.M. Delphi 7. Основы программирования. Решение типовых задач. Самоучитель. М.: Кудиц-Образ, 2003. - 480 с.

85. Синтес А. Освой самостоятельно ООП за 21 день. СПб.: Вильяме, 2002. -672 с.

86. Гамма Э., Хелм Р. Приемы ООП. Паттерны. СПб.: Питер, 2003. - 368 с.

87. Элиенс А. Принципы объектно-ориентированной разработки программ. .— СПб.: Диалектика, 2002. 496 с.

88. Коуд П., Норт Д. Объектные модели. Стратегии, шаблоны и приложения. -М.: Лори, 1999. -434 с.

89. Краснов M. OpenGL. Графика в проектах Delphi. СПб.: BHV, 2000. -352 с.

90. Керман М. Программирование и отладка в Delphi. Учебный курс. СПб.: Вильяме, 2002. - 672 с.

91. Фаронов В. Система программирования Delphi. В подлиннике. СПб.: BHV-СПб, 2003. - 912 с.

92. Стивене P. Delphi. Готовые алгоритмы. М.: ДМК, 2001. - 384 с.

93. Свистунов С. Стандартные функции и процедуры Delphi 4, Delphi 5. Справочник. M.: ЛХА Альманах, 2000. - 318 с.