автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нерегулярные эллиптические краевые задачи

Введение.

Глава I. Многообразия первого класса.

1. Некоторые сведения из теории эллиптических краевых задач.

2. Постановка нерегулярной эллиптической краевой задачи и примеры

3. Постановка краевой задачи для многообразия касания первого класса

4. Вспомогательные построения и утверждения.

5. Априорные оценки для решений краевой задачи.

6. О гладкости решений краевой задачи.

7. 0 существовании решения краевой задачи.

Глава И. Многообразия второго и третьего классов.

8. Многообразие касания второго класса.

9. Многообразие касания третьего класса.

В ограниченной области GERn,n> 3, с гладкой границей Г рассмотрим краевую задачу

Lu- f в G,

Bj(/j(x,D)u) = (ph j = \,.,m на Г, где L - эллиптический оператор порядка 2т с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в G, Вj - дифференциальные операторы порядка mj с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами на Г, ju(x, D) -дифференцирование вдоль гладкого векторного поля А , определенного на Г .

Предположим, что операторы Д Bj на Г , j = 1,., т, удовлетворяют условию Шапиро - Лопатинского.

Если поле ни в одной точке не касается границы Г , то это условие не нарушается и эта задача является эллиптической краевой задачей.

В случае, когда поле А выходит в касательную плоскость к границе Г, то свойства задачи зависят от структуры векторного поля // .

Пусть поле Ц касается границы Г вдоль {п — 2) -мерного гладкого многообразия 1. Обозначим через s = (//,v)- скалярное произведение поля М и единичного вектора внешней нормали к границе Г. Если в некоторой окрестности любой точки

Р е Гп~ . Функция s принимает отрицательные значения с отрицательной стороны от Гп 2 и положительные с положительной стороны, то будем говорить, что многообразие Гп 2 принадлежит к первому классу. Если напротив, функция s принимает положительные значения с отрицательной стороны от Гп 2 и отрицательные

- с положительной стороны, то Г" 2 отнесем ко второму классу. Наконец, если функция S сохраняет знак в некоторой окрестности любой точки

Р е Гп~ , то г*-1 принадлежит к третьему классу.

Зависимость свойств решений от природы касания векторного поля границы и исследование этих свойств, впервые было проделано R. Borrelli в работе [12].

Разными методами для эллиптического оператора второго порядка такого рода задачи исследовались в работах Бицадзе А. В. [9], [10], Янушаускаса А. [66], Малютова М. Б. [46], Сакса Р.С., Мазьи В.Г. [43], [44], и в ряде других работ. Hormander L. [62] эту задачу рассматривал как неэллиптическую краевую задачу, которая решалась сведением к псевдодифференциальному оператору на границе. В этой работе установлена связь между задачей с косой производной и теорией псевдодифференциальных операторов. В частности были указаны условия, при которых пседодифференциальный оператор является субъэллиптическим оператором.

В работе Егорова Ю. В. - Кондратьева В. А. [33] при исследовании задачи с косой производной для эллиптического оператора второго порядка были предложены методы, которые основывались на теории эллиптических краевых задач и геометрии гладких многообразий. Эти методы позволяют исследовать краевые задачи для эллиптического оператора произвольного порядка при общих граничных условиях.

Методика исследования в настоящей работе основана на идеях работы [33], а именно:

- специальная локальная система координат;

- априорные локальные оценки для решений краевых задач;

- специальное разбиение единицы;

- априорные оценки для решений краевых задач во всей области;

- используя методы исследования эллиптических краевых задач, доказать необходимые следствия, теоремы о гладкости и существования решений.

Теоретическая и практическая ценность работы определяется тем, что результаты работы в какой-то мере восполняют пробелы в исследовании задачи с косой производной для эллиптического оператора произвольного порядка. Подобные задачи возникают при моделировании - явлений упругости, фильтрации и многих других физических процессов.

О структуре диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Принята сквозная нумерация параграфов. Теоремы, леммы, следствия, предложения и т. д. занумерованы следующим образом: 1 -я цифра означает номер параграфа, 2-я - номер предложения. Внутри каждого параграфа - своя нумерация формул.

1. Агранович М. С. Эллиптические сингулярные интегро-дифференциаль-ные операторы. Матем., 1965, 20, № 5, 3-120.

2. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.:Наука, 1984,-271.

3. Алимов Ш. А. Об одной задаче с наклонной производной. Дифф. уравнения, 1981, 17, № 10, 1738-1751.

4. Атанасов А. И. Об одном классе субэллиптических систем псевдодифференциальных операторов. Вестник МГУ, 1974, № 2, 3-8.

5. Baderko Е. Schauder estimates for oblique derivative problems. C. r. Acad, sci. Ser. 1., 1998, 326, №12, 1377-1380.

6. Bers L., John F., Schechter M. Partial differential equations. N. Y.: Wiley, 1964. (Русский перевод: Уравнения с частными производными. -М.: ИЛ, 1966.)

7. Beals R. Spatially inhomogeneous pseudo-differential operators, II. Comm. Pure Applied Math, 1974, 27,161-205.

8. Бицадзе А. В. Об однородной задаче с наклонной производной для гармонических функций в трехмерных областях, ДАН СССР, 1963, 148, № 4, 749-752.

9. Бицадзе А. В. Об одном частном случае задачи с наклонной производной для гармонических функций в трехмерных областях, ДАН СССР, 1964, 155, №4, 730-731.

10. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966, 293 с.

11. Borrelli R. The singular, second order oblique derivative problem. -J. Math.andMech., 1966,51-81.

12. Browder F. E. Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems. Proc. Nat. Acad. Sc. USA, 1959,451, 365-372.

13. Бояркин Д. И. Одно обобщение задачи с косой производной. УМН, 1983,38, 1(229), 157-158.

14. Бояркин Д. И. Оценки решений некоторых неэллиптических краевых задач. Межвуз. сб. научных тр., Саранск, 1983, 34-37.

15. Бояркин Д. И. О задаче с косой производной. Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции, Куйбышев, 1987, 30-31.

16. Бояркин Д. И. Гладкость решений одной неэллиптической краевой задачи. Межвуз. сб. научных тр., Саранск, 1987, 64-67.

17. Бояркин Д. И., Курашкина Н. А. Замкнутость неэллиптического краевого оператора. Межвуз. сб. научных тр., Саранск, 1987,125-129.

18. Бояркин Д. И. Неэллиптическая краевая задача. Материалы научной конференции, Москва-Саранск, 2001, 300-302.

19. Бояркин Д. И. Неэллиптическая краевая задача, Саранск, Средневолжс-кое матем. общество, 2001, препринт № 40.

20. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики, 1982, Изд. Московского университета.

21. Вишик М. И. Вырождающиеся эллиптические дифференциальные уравнения и псевдодифференциальные операторы. УМН, 1970, 25, № 4, 29-56.

22. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981,-512 с.

23. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979, 320 с.

24. Greiner P. Subelliptic estimates for the д Neumann problem in C2 .J. Diff. Geometry, 1974, 9, 239-250.

25. Грушин В. В. Об одном классе эллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на подмногообразии. Матем. сб., 1971, 84, 163-195.

26. Грушин В. В. Гипоэллиптические дифференциальные уравнения. -Матем. сб., 1972, 88, 504-521.

27. Егоров Ю. В. Псевдодифференциальные операторы главного типа. -Матем. сб., 1967, 73, 356-374.

28. Егоров Ю. В. Об одном классе псевдодифференциальных операторов. -Матем. сб., 1969, 79, 59-77.

29. Егоров Ю. В. Невырожденные субэллиптические псевдодифференциальные операторы. Матем. сб., 1970, 82, 323-342.

30. Егоров Ю. В. О субэллиптических операторов. УМН, 1975, 30, № 3, 57-104.

31. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984, 360 с.

32. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. О задаче с косой производной. -Матем. сб., 1969, 78, 148-176.

33. Егоров Ю. В., Поливанов П. Р. Об уравнениях главного типа, не имеющих решений. УМН, 1974, 29:2,172-189.

34. Yosida К. Functional analysis. Berlin: Springer. 1965. (Русский перевод: Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.)

35. Kato Y. On a class of non-elliptic boundary problems. Nagoya Math. J., 1974,54,7-20.

36. Kato Y. Mixed-type boundary conditions for second order elliptic differential equations. J. of the Math. Soc, of Japan, 1974, 26, № 3, 405-432.

37. Cardoso F., Treves F. On subelliptic pseudodifferential operators. In: Analyse Fonct. Appl., C. R. Colloque d'Analyse Rio de Janeiro, 1972, 1975, 61-65.

38. Колмогоров A. H. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

39. Kohn J. J. Subellipticity of the д Neumann problem on pseudo-convexdomains: sufficient conditions. Acta mathem., 1979, 142, 79-122.

40. Lions J., Magenes E. Problemes aux limites non homogenes et applications, v. 1. Dunod, Paris, 1968. (Русский перевод: неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.)

41. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям. Укр. матем. ж., 1953, 5, № 2,123-153.

42. Мазья В. Г. О вырождающейся задаче с косой производной. Матем. сб., 1972, 87, 417-454.

43. Мазья В. Г., Панеях Б. П. Вырождающиеся эллиптические операторы и задача с косой производной. Тр. ММО, 1974, 31, 237-255.

44. Малютов М. Б. О краевой задаче Пуанкаре. Тр. ММО, 1969, 20, 173-203.

45. Мизахата С. Теория уравнений с частными производными: Пер. с япон. М.: Мир, 1977.

46. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.-М., ИЛ, 1957,

47. Maugeri A., Palagachev D. Boundary value problem with an oblique coefficients, Forum Math, 1998,10, № 4, 393-405.

48. Олейник О. А., Радкевич E. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. -Матем. анализ., 1969, -М.: ВИНИТИ, 1971.

49. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970, - 280 с.

50. Popivanov P. R. Tangential obique derivative problems, Abstr. Invit. Lect. and Short Commun. Deliv.; 7 th Int. Collog. Differ. Equat., Plovdiv, 1996,- Sofia, 172 c.

51. Riesz F., Sz.-Nagy B. Lecons d'analyse fonctionelle. Akad. Kiado, Buda -pest. (Русский перевод: Лекции по функциональному анализу. -М.: Мир,1979, 587 с.

52. Сакс Р. С. К задаче о наклонной производной. Сообщения АН Груз. ССР, 1971,63:2, 285-288.

53. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та, 1958, 197, 54-112.

54. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. -М.: Мир, 1985, 469 с.

55. Treves F . Hypoelliptic equations of principal type, with analytic coefficiets.- Commun. Pure Applied Math., 1970, 23, 637-651.

56. Fefferman C., Phong D. H. On positivity of pseudo-differential operators. -Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1978, 75,4673-4674.

57. Folland G. В., Kohn J. J. The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex. Ann. Math. Studies (Princeton), 1972, 75.

58. Hormander L. Linear partial differential operators. Berlin-Heidelberg -N.Y., Springer, 1963. (Русский перевод: Линейные дифференциальные99операторы с. частными производными. -М.: Мир, 1965, 379.

59. Hormander L. Pseudo-differential operators. Commun. Pure Applied Math, 1965, 18,501-517.

60. Шапиро 3. Я. Об общих краевых задачах для уравнений эллиптического типа. Изв. АН СССР, сер. матем, 1953, 17, 539-562.

61. Эскин Г. И. Вырождающиеся эллиптические псевдодифференциальные операторы главного типа. Матем. сб, 1970, 82, 585-628.

62. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

63. Янушаускас А. О безусловной разрешимости задачи с наклонной производной. Диф. уравнения, 1967, 3, № 1, 89 -96.