автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование электрогидродинамических поверхностных волн в жидкостях на пористой среде

На правах рукописи

МИРОНОВА СВЕТЛАНА МИХАЙЛОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ЖИДКОСТЯХ НА ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 2012

1 9 ДПР Ш

005017887

Работа выполнена на кафедре математики ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Тактаров Николай Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Логинов Борис Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Перегудин Сергей Иванович

Ведущая организация: ФБГОУ ВПО «Тюменский государственный

университет»

Защита состоится 27 апреля 2012 г. в 14ш часов на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева» по адресу: 430005, г. Саранск, пр. Ленина, 15, корп. 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева».

Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, 68, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева», диссертационный совет Д 212.117.14.

Автореферат разослан «$» иШ^ШЛ^У! г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.117.14 доктор физико-математических наук, профессор

Н. Д. Кузьмичев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и граничащих со слоем пористой среды. Исследование поверхностных волн в жидкости, граничащей с пористой средой, представляет большой интерес для изучения природных явлений, а также во многих технологических процессах.

Волновые явления чрезвычайно широко распространены в природе и часто используются во многих технических устройствах и технологических процессах. Большой интерес представляют волны в средах, взаимодействующих с электрическим полем, в связи с различными практическими применениями. Эффекты, возникающие в жидких средах, взаимодействующих с электрическим полем, часто встречаются также во многих природных процессах, в частности, связанных с движением грунтовых вод, а также различных биологических жидкостей в живых организмах. Основными характеристиками распространения поверхностных волн являются частота и коэффициент затухания колебаний волны, в связи с этим в диссертации особое внимание уделено изучению именно этих величин.

Как известно, поверхностные волны произвольного вида могут быть представлены в виде рядов или интегралов Фурье от гармонических составляющих. В связи с этим, исследование волн может быть сведено к изучению более простых, гармонических волн. Именно эти волны рассматриваются в диссертации.

Раздел гидродинамики, изучающий движение жидких сред, взаимодействующих с электрическим полем, называется электрогидродинамикой (ЭГД). Специфика электрических сил в ЭГД состоит в том, что они дают возможность управлять движением жидкости, в частности, влиять на характер распространения поверхностных волн. Развитие гидродинамики жидких сред, взаимодействующих с электрическим полем, стимулируется в большой степени задачами управления поведением жидкостей в состоянии невесомости.

Цель диссертационной работы

Построение и исследование математических моделей распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде. В соответствии с поставленной целью было необходимо решить следующие задачи:

1) построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде;

2) построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн в электропроводных жидкостях с поверхностным зарядом, находящихся на пористой среде;

3) построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн на заряженной поверхности цилиндрического столба проводящей жидкости, окружающей длинное пористое ядро;

4) построить математическую модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра;

5) построить математическую модель стоячих волн в жидкости на пористой среде в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда;

6) разработать численный метод и соответствующий программный комплекс, позволяющие исследовать поведение решений дисперсионного уравнения, описывающего распространение волны.

Методы исследования. Работа носит теоретический характер, основанный на использовании различных математических методов: метод разделения переменных для решения уравнений в частных производных, методы теории функций комплексной переменной, методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследования поведения решений ^ дисперсионного уравнения использовался комбинированный численный метод, основывающийся на методе половинного деления и модифицированном методе Ньютона. Численные расчеты проводились при помощи разработанных программ на языке Delphi.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации впервые проведено исследование распространения волн в жидкостях с различными электрическими свойствами на пористой среде в электрическом поле. Этот вопрос имеет как самостоятельный научный интерес, являясь разделом механики и прикладной математики, так и в связи с разнообразными практическими приложениями, в частности, в химической технологии, экологии и геофизике. Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Впервые построена и численно исследована математическая модель распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде.

2. Получено и численно исследовано дисперсионное уравнение, описывающее распространение поверхностных волн в диэлектрических' жидкостях, взаимодействующих с поперечным к поверхности жидкости электрическим полем и находящихся на пористой среде. Исследовано влияние электрического поля на коэффициент затухания и частоту колебаний волны. Установлено, что с увеличением напряженности электрического поля при фиксированных прочих параметрах увеличиваются коэффициент затухания волны и частота волны. Установлено также, что с ростом волнового числа (уменьшения длины волны) коэффициент затухания сначала возрастает, а затем, по достижении

максимального значения, убывает. При этом с ростом толщины свободного слоя жидкости значения коэффициента затухания волны уменьшаются, а значения частоты волны увеличиваются при фиксированных значениях прочих параметров. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при каждом фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. С ростом пористости значения коэффициента затухания волны сначала возрастают, а по достижении точки максимума, убывают. С ростом пористости частота волны возрастает при фиксированных значениях толщины слоя свободной жидкости.

3. Численно исследовано дисперсионное уравнение для поверхностных волн в диэлектрических жидкостях на пористой среде в продольном к поверхности жидкости электрическом поле. Установлено, что зависимость коэффициента затухания волны и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, аналогична случаю поперечного поля. Отличие состоит в немного меньших значениях коэффициента затухания и частоты волны при возрастании напряженности электрического поля и фиксированных значениях прочих параметров.

4. Впервые построена и численно исследована математическая модель распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде.

5. Получено и численно исследовано дисперсионное уравнение, описывающее распространение поверхностных волн в проводящих жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде. Исследовано влияние шля на коэффициент затухания и частоту колебаний волны. Установлено, что с увеличением напряженности электрического поля при постоянных прочих параметрах уменьшается коэффициент затухания волны и частота волны. С ростом волнового числа (уменьшения длины волны) монотонно увеличиваются значения коэффициента затухания волны при фиксированном значении толщины пористого слоя. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. При увеличении толщины пористого слоя значения коэффициента затухания волны увеличиваются при каждом фиксированном значении волнового числа; при увеличении толщины слоя свободной жидкости значения частоты волны увеличиваются при каждом фиксированном значении волнового числа.

6. Впервые решена задача о распространении и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро. С использованием численных методов было найдено, что в области существования волн частота увеличивается, а коэффициент затухания уменьшается с

увеличением радиуса жидкого столба при каждом заданном значении волнового числа и зафиксированных значениях прочих параметров. С ростом волнового числа значения коэффициента затухания волны при каждом заданном значении радиуса пористого ядра сначала резко возрастают, а затем монотонно убывают. Частота волны меняется очень слабо при изменении радиуса пористого ядра С ростом радиуса жидкого столба максимальные значения коэффициента затухания волны уменьшаются. При каждом заданном значении волнового числа частота волны увеличивается с ростом радиуса жидкого столба. С ростом волнового числа значения частоты волны увеличиваются. Показано, что с ростом напряженности электрического поля максимальные значения коэффициента затуханий волны уменьшаются при каждом фиксированном значении волнового числа. С ростом напряженности электрического поля значения частоты волны уменьшаются. Показано, что при т - 1 затухание возмущений сильнее, а частота со (/с) волны больше, чем при т = 0 при каждом заданном к и одинаковых значениях прочих параметров. При т > 2 движение является апериодическим, с сильным затуханием всех возмущений.

7. Впервые построена математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.

8. Впервые построена математическая модель стоячих волн в жидкости на пористой среде в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

9. Для исследования поведения решений дисперсионных уравнений разработан специальный численный метод и соответствующий программный комплекс.

Практическая значимость. Результаты проведенных исследований имеют самостоятельный научный интерес, являясь разделами гидродинамики, а, кроме того, могут быть использованы для изучения некоторых природных явлений, а также для расчета различных технических устройств и технологических процессов, в которых используются жидкости, взаимодействующие с электрическим полем. Например, в аппаратах химической технологии, в устройствах транспортирования диэлектрических жидкостей по трубам и каналам, в особенности в условиях невесомости.

Электрическое распыление жидкости широко используется во многих отраслях промышленности. Процессы распыления основаны на гидродинамической неустойчивости волн, распространяющихся на свободной поверхности жидкости.

В последнее время обнаружились новые способы интенсификации движения в диэлектрических жидкостях с использованием электрического поля. Значение этого обстоятельства особенно велико в связи с тем, что электрическое поле позволяет управлять процессом движения жидкости даже в условиях невесомости.

Достоверность научных положений диссертации обеспечивается использованием известных уравнений Дарси движения жидкостей в пористых средах и других уравнений гидродинамики, уравнений Максвелла в электрогидродинамическом приближении, применением известных математических методов (включая численные методы), а также тем, что из полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи результаты, полученные ранее в предположении отсутствия электрического поля и пористой среды.

В частности, из полученных результатов при условии, что толщина слоя пористой среды стремится к нулю, как частный случай следуют известные ранее результаты по распространению поверхностных волн на твердом непроницаемом основании. Для волн, распространяющихся по поверхности жидкого цилиндра при отсутствии электрического поля, как частный случай следует результат Релея о волнах на поверхности жидкой струи.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Построение и численное исследование математической модели распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях в поперечном электрическом поле, находящихся на пористой среде. Дисперсионное уравнение для поверхностных волн. Зависимость частоты и коэффициента затухания волны от волнового числа. С увеличением напряженности электрического поля возрастают частота колебаний и коэффициент затухания волны. Частота волны увеличивается с увеличением пористости, а коэффициент затухания сначала возрастает, а по достижении максимума, убывает. С ростом толщины пористого слоя коэффициент затухания уменьшается, а частота волны возрастает при фиксированных значениях прочих параметров.

2. Численное исследование распространения поверхностных волн на поверхности диэлектрической жидкости в продольном электрическом поле, находящейся на пористой среде. Дисперсионное уравнение для поверхностных волн. Установлено, что зависимость коэффициента затухания волны и частоты волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, аналогична случаю для поперечного поля. Отличие состоит в немного меньших значениях коэффициента затухания и частоты волны при возрастании напряженности электрического поля и фиксированных значениях прочих параметров.

3. Построение и численное исследование математической модели распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях в электрическом поле, находящихся на пористой среде. Дисперсионное уравнение для поверхностных волн. С увеличением напряженности электрического поля при постоянных прочих параметрах уменьшаются коэффициент затухания и частота волны. С ростом волнового числа (уменьшения длины волны) монотонно увеличивается коэффициент затухания волны при фиксированном значении толщины пористого

слоя. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. При увеличении толщины пористого слоя коэффициент затухания волны увеличивается при каждом фиксированном значении волнового числа; при увеличении толщины слоя свободной жидкости частота волны увеличивается при каждом фиксированном значении волнового числа.

4. Построение и численное исследование математической модели распространения и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро. Частота волны увеличивается с ростом волнового числа, а коэффициент затухания сначала резко возрастает, а по достижении максимума - монотонно убывает. С ростом напряженности электрического поля частота волны и коэффициент затухания уменьшаются. С увеличением радиуса пористой среды частота волны изменяется слабо, а коэффициент затухания увеличивается.

5. Построение математической модели стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра.

6. Построение математической модели стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

7. Численный метод, разработанный для исследования поведения решений дисперсионного уравнения в зависимости от значений параметров задачи.

8. Программный комплекс, разработанный для решения поставленных задач:

• две программы, написанные на языке Delphi, для численного расчета распространения волн на поверхности поляризующейся жидкости на пористом основании для случаев поперечного и продольного электрического поля;

• программа, написанная на языке Delphi, для численного расчета распространения волн на заряженной поверхности жидкого проводника на пористом основании;

• программа, написанная на языке Delphi, для численного расчета распространения поверхностных волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях: Международная научная конференция «Приоритетные направления развития науки, технологий и техники», 20-27 ноября 2009 г., г. Шарм-Эль-Шейх, Египет; Международная научная конференция «Современные наукоемкие технологии», 10-17 апреля 2010 г, г. Тель-Авив, Израиль; Всероссийская научно-практическая конференция «46-е Евсевьевские чтения», 20 мая 2010, г. Саранск; Третья научно-практическая региональная конференция «Современные проблемы математического и

информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных ГГ-решений», 14-15 апреля 2010 г., г.Тюмень; Седьмая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 3-6 июня 2010 г, г. Самара; Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», 12-15 октября 2010 г., г.Пермь; Восьмая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 15-17 сентября 2011г., г.Самара; X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 24-30 августа 2011 г., г. Нижний Новгород; Всероссийская с международным участием научно-практическая конференция «Математика и математическое моделирование», 13-14 октября 2011 г., г. Саранск; II Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», 12-14 октября 2011 г., г. Томск.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад. Личный вклад автора в работе заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, в решении поставленных задач, а также в аналитическом исследовании полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, шести приложений, содержит 194 страницы машинописного текста, включая 41 рисунок. Список использованных источников состоит из 146 наименований.

Работа проведена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках проектов «Построение математических моделей поверхностных волн в жидкостях» (гос. контракт № П695 от 20 мая 2010 года) и «Описание волновых процессов методами гомологической алгебры и алгебраической топологии» (гос. контракт №П1113 от 02 июня 2010 года) ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель и задачи исследования, дается литературный обзор работ, относящихся к теме диссертационного исследования, научная новизна и практическая значимость работы, описываются используемые методы теоретического исследования, а также основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приведены общие уравнения гидродинамики, а также граничные условия для электрических и гидродинамических величин. Затем ставится задача о распространении волн на поверхности жидкого диэлектрика с постоянной диэлектрической проницаемостью, находящегося на слое диэлектрической пористой среды, насыщенной жидкостью с плотностью р.

Систему координат выбираем так, что ось Ог направлена вертикально вверх против вектора д ускорения свободного падения; г = - твердая поверхность, ограничивающая снизу пористый слой < г < 0); г ~ 0 - поверхность раздела пористого слоя с пористостью Г и свободной жидкости; г = к2 -невозмущенная свободная поверхность слоя жидкости, занимающей область О < г < Л2. Над поверхностью жидкости находится среда пренебрежимо малой плотности (атмосфера). Номерами 1, 2, 3 обозначаются в необходимых случаях величины, относящиеся соответственно к пористой среде, свободной жидкости и атмосфере.

Записываются уравнения движения жидкости в пористой среде, в слое свободной жидкости, а также уравнения для электрического поля в областях 1, 2,3 и соответствующие граничные условия.

Решения уравнений ищутся в виде бегущих затухающих волн:

0 = {/(г)ехр[-ус + 1(кгх + к2у)],

<р(х,у, г, 0 = Ф(Х)ехр[-уГ + ¿(^х + к2у)],

0 = + 1(кгх + к2у)},

где и, Ф, Ч'1 - амплитуды; кь к2 - компоненты волнового вектора к = к±ех + кгв2; £ = 1,2,3; у = /? + ш, /? - коэффициент затухания колебаний волны (/?> 0), о) — частота колебаний волны.

Во второй главе получено дисперсионное уравнение (1) для декремента волны, действительная и мнимая части которого дают выражения для коэффициента затухания и частоты волны. Рассмотрен частный случай бесконечной толщины пористой среды в связи с громоздкостью вычислений в общем случае:

К3Р2 («и - Ь) ь + У2 Цъь + урк ([* - а2] * + <?) - ^ = 0) (1)

где

Ь = («1 + £г)(£2 + £3) ■ ехр(2кН2) + - £2)(е2 - £з);

М = (е!+ е2) ■ ехр(2кк2) + - г2);

<? = £~11Г1<Е1+Е2ХЕ2-Е3Ха2-а1у,

аг = 1 - ехр(2/с/12); а2 = 1 + ехр(2кИ2).

Здесь ц - вязкость, К - коэффициент проницаемости, а - коэффициент поверхностного натяжения, к = + к\, г, (/= 1, 2, 3) - диэлеюрическая проницаемость, - напряженность электрического поля.

Решение дисперсионного уравнения, дающее значения /? и ы, осуществлялось комбинированным численным методом, основывающемся на методе половинного деления и модифицированном методе Ньютона.

10

Идея численного метода состоит в следующем. Рассмотрим уравнение /(х) = 0, где функция /(х) непрерывна на [а, Ь] и /(а) ■ f(b) < 0. Чтобы найти корни этого уравнения, содержащиеся на отрезке [а, Ь], разделим его пополам.

Если / = 0, то х' = ^ - корень уравнения. Если / * Q, то возьмем ту из половин [а- или й], на концах которой функция f(x) принимает

противоположные знаки. Полученный отрезок [а^ Ьх] снова разделим пополам и повторяем те же вычисления. Таким образом, на некотором этапе вычислений получим или точный корень уравнения, или бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [ai; bt] (£ = 1,2,...) таких, что выполняется

/(On) ■ /0»„) < О И Ь„ - ап = ^ (Ь - a) (n = 1,2,...). (2)

В соответствии с (2) существует общий предел

х* = limn_,oo ап = limn^oo bn,

являющийся корнем уравнения fix) = 0.

Метод половинного деления дает в общем случае грубое значение корня уравнения (2). Для уточнения этого корня воспользуемся модифицированным методом Ньютона, состоящим в следующем. Если производная /'(*) меняется мало на [а, Ь], то в формуле

(п = 0,1,2,...)

обычного метода Ньютона (метода касательных) можно принять:

/'OnWCO. (3)

Тогда для нахождения корня х* уравнения f(x) = 0 получим последовательные приближения:

*п+1=*п~7^ (11 = 0.1.2....).

На основе данного комбинированного численного метода были написаны программы на языке Delphi для исследования различных дисперсионных уравнений, рассматриваемых в диссертации.

Программа для исследования дисперсионного уравнения (1) приведена в Приложении 3 к диссертации.

На рисунке 1 приведена зависимость коэффициента затухания волны от напряженности электрического поля. Показано, что с ростом напряженности возрастают значения коэффициента р.

Наличие слоя свободной жидкости оказывает значительное влияние на коэффициент затухания: с ростом слоя к2 значения /? уменьшаются.

/?1о'.с'

Рис. 1: Зависимость коэффициента затухания Рис. 2: Зависимость коэффициента затухания р волны р от напряженности электрического от пористости Г. Кривые, обозначенные поля Е3. Волновое число ¿=0,006 см"1. номерами 1-5, рассчитаны соответственно для Толщина слоя жидкости равна 100 см. значений толщины слоя свободной жидкости

100, 150, 200, 250, 300 см. Напряженность электрического поля зафиксирована и равна 20 ед. СГС. Волновое число равно 0,004 см-1.

Влияние пористости на /3 видно из рисунка 2. С ростом пористости

величина /?(Г) сначала возрастает, а по достижении точки максимума, убывает. При сравнении нескольких графиков заметно, что точка максимума смещается влево при увеличении толщины слоя жидкости.

Найдена также зависимость частоты волны от напряженности электрического поля (Рис. 3). Показано, что значения ы с ростом толщины слоя свободной жидкости увеличиваются. С ростом пористости Г увеличивается частота колебаний волны. С уменьшением длины волны Я = 2л/к возрастает частота волны В случае малой толщины слоя жидкости используем зависимость ех + при этом предполагаем, что h2/Á« 1. В связи с этим дисперсионное уравнение (1) преобразуется к виду:

1,790«

Рис. 3: зависимость частоты волны и> от напряженности электрического поля Е3 при к = 0,006 см"1 и толщине слоя свободной жвдкоста 100 см.

'У L (kh2 +asn)-y4fíl + khz) + _

1.2 и 2 1 4 ' 'i

k2h2 „ „ -П — N = 0;

где

<2 = + е022хе022 - е032х 1 + 2ккгу,

М = (рд + ак2)Ь - ^М(Я0222 - Я023г); М = (£Х + е2)(1 + 2кк2) + (£1 - г2); = («1 + е2)(«2 + £з)(1 + 2кЛг) + (£1 - £г)С£2 - £з)-

Рис. 4: Зависимость коэффициента затухания волны Р от напряженности электрического поля Е3 при к=0,02 см"1. Номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для значений Ь2) равных 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 см.

Рис. 5 : Зависимость частоты волны ш от напряженности электрического поля Е3 при ¿Н), 02 см-1 и /г2 = 1 см.

На рисунке 4 представлена зависимость коэффициента затухания волны р от напряженности электрического поля. Номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для значений толщины слоя свободной жидкости, равной 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 см. Из рисунка 4 видно, что с ростом напряженности электрического поля возрастает коэффициент затухания волны /?.

Показано, что изменение толщины слоя свободной жидкости в пределах 0,5 < к2 < 2,5 см слабо влияет на коэффициент затухания Р при фиксированном значении Е3=20 ед. СГС.

На рисунке 5 представлена зависимость частоты волны ы от напряженности электрического поля Е3. С ростом Е3 возрастает частота волны со.

При подробном исследовании было установлено, что с ростом толщины слоя свободной жидкости частота волны увеличивается. С ростом волнового числа частота колебаний также увеличивается.

В случае продольного приложенного электрического поля, т. е. Еои Ф 0, Ещу = Еш = 0 ({=1,2,3), причем Е01х = Е02х = Е03х = Е, также будем предполагать, что слой пористой среды имеет бесконечную толщину -» +00)-

Дисперсионное уравнение для поверхностных волн при этом примет вид:

у*рЧ(а, -^)+у2Игка2+ру [(^ - а2)Мг - ^ -^ = 0, (5)

где

= С«а + £2)02 + £з) ехр(2/с/г2) + (£1 - £2)(г2 - £з);

Мг = (£х + е2) ехр(2/сйг) - - г2);

& = £117£™<£2 - £з)(аг - %);

% = 1 - ехр(2 кк2);

а2= 1 + ехр(2М2).

Программа для исследования дисперсионного уравнения (5) приведена в Приложении 4.

На рисунке 6 представлена зависимость коэффициента затухания волны /? от волнового числа к. Из рисунка 6 видно, что при каждой фиксированной толщине слоя Л2 и значении Е, при увеличении к значения /? вначале возрастают, а затем по достижении максимума, убывают. Чем меньше Л2, тем круче график зависимости /?(&) на участке роста. Точка максимума каждой кривой сдвигается влево при увеличении толщины слоя свободной жидкости.

Рис. 6: Зависимость коэффициента затухания волны /? от волнового числа fe. Номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные для значений h2, равных 100,150, 200,250, 300 см соответственно.

• м м

Рис. 7 : Зависимость частоты волны от значения пористости Г при Е = 20 ед. СГС и Л, = 100 см. Номерами 1—5 обозначены кривые, рассчитанные для волнового числа к, равного соответственно: 0,01; 0,02; 0,03" 0,04:0,05 см-1.

С увеличением напряженности Е увеличивается и коэффициент затухания. При более подробном изучении данных графиков было установлено, что с увеличением толщины слоя свободной жидкости значения р уменьшаются при каждом фиксированном значении Е (при фиксированных значениях волнового числа ¿=0,006 см-1 и толщины слоя свободной жидкости Л2, равной 100 см).

На рисунке 7 приведена зависимость частоты волны от пористости. Из рисунка 7 видно, что с ростом пористости Г частота волны со возрастает. С

ростом волнового числа (уменьшении длины волны) увеличиваются значения со при каждом фиксированном значении Г.

Частота волны увеличивается с ростом напряженности электрического поля. При подробном исследовании было установлено, что с ростом толщины слоя свободной жидкости увеличиваются значения частоты колебаний волны при каждом фиксированном Е.

В случае малой толщины слоя жидкости, т.е. при /г2/Л« 1, дисперсионное уравнение (5) принимает следующий вид:

уъргь (щ + ^ + ру + ! + ^ ъ + (21] +

+ = 0; (6)

где

Ь = (£!+ £2)(>2 + £з)(1 + 2М2) + (£г - £2)(£2 - £3);

Мг = (£1 + е2)(1 + 2/с/г2) - - е2);

= )2м1 + Црдк + ак3).

На рисунке 8 представлена зависимость частоты волны со от волнового числа к. С ростом толщины слоя свободной жидкости кг при каждом фиксированном значении волнового числа увеличиваются значения со. С ростом напряженности электрического поля Е возрастают значения частоты колебаний волны со. При подробном исследовании было установлено, что с ростом толщины слоя свободной жидкости значения частоты волны также увеличиваются.

Рис. 8 : Зависимость частоты волны ш от волнового числа к при Е-20 ед. СГС. Номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные для значений Л2) равных соответственно 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 см.

Рис. 9 : Зависимость коэффициента затухания волны (3 от напряженности электрического поля Е при 0,02 см-1. Номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для значений Л2, равных 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5 см.

На рисунке 9 представлена зависимость коэффициента затухания волны /? от напряженности электрического поля Е. Из рисунка 9 видно, что с ростом Е возрастают значения /?.

С ростом толщины слоя свободной жидкости значения /? уменьшаются при каждом фиксированном к.

Изменение толщины стоя свободной жидкости в пределах 0,5 < Л2 < 2,5 см слабо влияет на коэффициент затухания /? при фиксированном значении электрического поля Е=20 ед. СГС.

В третьей главе диссертации построена и исследована модель распространения поверхностных волн по заряженной поверхности жидкого проводника. Проводящая жидкость находится на недеформируемом пористом слое. Пористая среда ограничена снизу сплошным твердым электропроводным основанием (дном).

Декартова система координат Охуг выбрана так же, как и в гл. 1. Величины, относящиеся к пористой среде, жидкости и атмосфере, обозначаются в необходимых случаях номерами 1, 2 и 3 соответственно.

Записываются уравнения движения электропроводной жидкости в пористой среде при условии Е = 0, уравнения движения свободной жидкости при отсутствии электрического поля, уравнения для электрического поля в атмосфере. Затем записываются граничные условия на поверхностях раздела и на свободной поверхности жидкости.

Решения уравнений ищутся в виде бегущих затухающих волн:

«¡р(х,у,гД) = Ф(»ехр[-у£ + Цкхх + к2у)], 0 = У ^0ехр[-уЕ + Ккгх + к2у)],

Щ2(х,у, г, О = ¿/(г)ехр[-ус + ¿(^х + к2у)}.

Полученное дисперсионное уравнение рассматривается для упрощения вычислений в случае бесконечной толщины слоя воздуха Л3:

ГV («А + 2г5г) _ у^-Ра2Ъ2 - ур (а^ + Н^) С + § а^С = 0. (7)

где

6=крд + к3а-^- (Е0 = \Е0г\),

аг = 1 - ехр(2кк2), а2 = 1 + ехр(2кЪ.2), = 1 - ехр( 2^), Ь2 = 1 + ехр(2кй1).

Здесь £ - диэлектрическая проницаемость.

Программа для исследования дисперсионного уравнения (7) приведена в Приложении 5.

Конкретные числовые расчеты велись для жидкого натрия при температуре 100° С с параметрами: р = 0,93 г/см3, а = 206,4 дин/см, т? = 0,69 г/см • с. Значения Е = Е0 брались в промежутке от 0 до 50 ед. СГС (1 ед. СГС = 300 В/см). Принимаем, что е = 1 в атмосфере.

16

Рассмотрены следующие частые случаи:

1) hi/Я « 1, Л2/Я « 1;

2) hJX » 1, h2ß «1.

В первом случае коэффициенты дисперсионного уравнения (7) принимают вид:

аг = -2 kh2, а2 = 2(1 + kh2), bx = -2 khu b2 = 2(1 + fchj,

Рис. 10 : Зависимость коэффициента затухания ß от напряженности электрического поля Е при к = 0,006 см-1, = 2 см, h2 = 2 см.

10 » 30 « JO

Рис. 11 : Зависимость частоты со от напряженности электрического поля Е при к = 0,006 см"1, Ь.х = 2 см, Ь.г = 2 см.

В ю.с'

1.4061

На рисунке 10 приведена зависимость коэффициента затухания /? от напряженности электрического поля Е. Из рисунка 10 видно, что с увеличением Е значения коэффициента затухания волны уменьшаются.

При более подробном исследовании было установлено, что при увеличении толщины пористого слоя значения /? увеличиваются, а при увеличении толщины слоя свободной жидкости к2 значения /? уменьшаются при каждом фиксированном значении Е.

На рисунке 11 представлена зависимость частоты волны от напряженности электрического поля Е. Видно, что с ростом Е значения частоты о) уменьшаются. При более подробном исследовании было установлено, что изменение практически не влияет на ы, при увеличении к2 значения со увеличиваются (при заданных Л,

Во втором случае (^/Л » 1, Ь.г/Л « 1) коэффициенты дисперсионного уравнения (7) принимают вид:

й! = -1кК2, а2 = 2 + 2кЬ2,

Ьг = 1 - ехр(2А:/11), Ъ2 = 1 + ехр(2к^),

С = (крд + к3 а) —

На рисунке 12 представлена зависимость коэффициента затухания /? от волнового числа к. Из рисунка 12 видно, что с ростом к увеличиваются значения /?. При увеличении толщины слоя свободной жидкости (1 < Л2 < 5 см) увеличиваются значения /? при каждом фиксированном значении к. Изменения толщины пористого слоя /I! слабо влияют на значения /?. С увеличением Е коэффициент /? уменьшается.

затухания от волнового числа. Номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно дня значений /г2: 1; 2; 3; 4; 5 см. Толщина слоя пористой среды бралась как функция от Н2 в виде: = 100Л2; £ = 20 ед. СГС.

Рис. 13 : Зависимость частоты колебаний волны ш от волнового числа к. Номерами 15 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для значений к2\ 1;2;3;4;5 см. Толщина пористой среды бралась в виде: Й! = 100/г2; Е = 20 ед. СГС.

На рисунке 13 представлена зависимость частоты волны со от волнового числа к. Видно, что с ростом волнового числа увеличивается частота волны со. С ростом толщины свободного слоя жидкости при каждом фиксированном к увеличиваются значения со. Изменения толщины пористого слоя Лх слабо влияют на значения частоты со.

В четвертой главе диссертации построена и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, в, г), в которой жидкий столб покоится. Ось Ог направлена по оси пористого цилиндра. Радиус пористого цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости и внешнего электрода обозначим а, а0 и Ъ соответственно.

Записываются уравнения движения электропроводной жидкости в пористой среде при условии Е = 0, уравнения движения свободной жидкости при отсутствии электрического поля, и в предположении, что амплитуда волны значительно меньше ее длины; уравнения для электрического поля в воздухе. Затем записывается система граничных и дополнительных условий. Решения уравнений ищутся в виде бегущих затухающих волн

(Ч»1. Ф2. Фи" 9 = {Ф1(г), ф2(г), $„(!•), у ехр(—+ 1кг + Ш).

Здесь, например, ц>1 = <p1(r)exp(-Yt + ikz + im0), где ф^г) - амплитуда; к = 27г/Л - волновое число; А - длина волны; т = 0,1,2,...; у = ß + iw, gj -частота, /? - коэффициент, который может быть как положительным (при затухании возмущения), так и отрицательным (при неустойчивости, приводящей к нарастанию возмущения).

Получено дисперсионное уравнение для поверхностных волн, кубическое относительно у:

Y3P2Km'm0«0 -TA2ml'm{ka)]-yz^YAlmlmika) + +YpLk[A4mlm{ka) - Г А3Мка)] - fc/Д Г А4т1т(ка) = 0, (8)

где

А\т = Iт (*а„)ВДа) - ¡т(ка)Кт(ка0У, Aim = 1т(као)Кт(ка) - 1т(ка)Кт(ка0); Лзт = >4 = 1'т{ка0)КтОса) - 1т{ка)К^{ка0У, Ацт = 1^(ка0)К^(ка) - 1^(ка)К^(ка0);

= [1 + - ä (1 - - (-0,1,2,...),

модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка т, Е0 - напряженность электрического поля, £ - диэлектрическая проницаемость воздуха

Программа для исследования дисперсионного уравнения (8) приведена в Приложении 6.

Конкретные числовые расчеты с дисперсионным уравнением (8) проводились для следующих значений параметров: р = 1 г/см3, а = 73 г/с2, rj = 0,01 г/см • с, Г — 0,8, К = 0,02 см2, 0 < к < 2 см"1, £ = 1, 0 < Е0 < 50 ед. СГС (1 ед. СГС = 300 вольт/см).

Для симметричных возмущений (т = 0) и значений а = 0,1 см, а0 = 1,1 см, 0 < Е0 < 30 ед. СГС интервал 0 < к < 2 см-1 делится критической точкой кс (Ас = 2п/кс), которая находится из условия <2 = 0 (здесь Q - дискриминант соответствующего кубического уравнения), на два интервала. В интервале 0 < к < кс волны отсутствуют: происходит нарастание возмущений (ß < 0). Амплитуда растет с наибольшей скоростью при некотором к = кт. Размер образующихся при распаде жидкого столба капель равен Хт ~ 2л/кт. ■

При к -* кс (Л -> Лс) движение жидкости замедляется, т. е. со -» 0, ß -> 0. В интервале кс < к < 2 см-1 существуют затухающие (ß > 0) волны. При Е0 > 30 ед. СГС, когда 0 < к < 2 см-1, появляются две критические точки к1с и к2с (к1с < к2с). При этом для 0 < к < к1с и к2с < к < 2 см-1 существуют затухающие волны, а в интервале к1с < к < к2с происходит апериодическое движение с нарастающей амплитудой, приводящее к образованию капель. При

Е0 > 44 ед. СГС выполняется неравенство к2с > 2 см"1, следовательно, в промежутке 0 < к < 2 см-1 остается одна критическая точка.

В таблице приведены значения кс и кт в зависимости от Еа для а = ОД см, а0 = 1,1 см, ш = 0. При Е0 = 35 и 40 ед. СГС даны два значения кс (к1с - первая строка, к2с - вторая строка).

Таблица 1 -Значения волновых чисел кс см-1 и кт см"1 в зависимости от напряженности электрического поля Е0, при а= 0,1 см, а0=1,1 см, т=0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

кс 0.909 0.915 0.934 0.968 1.024 1.112 1.246 0.046 1.444 0.145 1.722 0.233 0.299

кт 0.634 0.640 0.653 0.681 0.730 0.800 0.900 1.100 1.300 1.520 1.830

На рисунке 14 приведены графики зависимостей частоты со от волнового числа к Номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные для Е0 = 0,10,20,30,40 ед. СГС соответственно. Ветви графиков с номером 5 при Е0 = 40 ед. СГС для промежутка 0 < к < к1с (к1с = 0,145 см-1 - первая критическая точка) не показаны.

Из рисунка 14 видно, что с ростом к увеличиваются значения частоты волны. С ростом напряженности электрического поля Е0 значения со уменьшаются при каждом фиксированном к.

I | !

! 1—

/ / у /

Рис. 14 : Зависимость частоты ш от волнового числа к, при т = 0;а=0,1 см, а0=1,1 см.

Рис. 15 : Зависимость коэффициента затухания /? от волнового числа к при т = 0; а =0,1 см, а0=1,1 см.

На рисунке 15 представлена зависимость коэффициента затухания /? от волнового числа к при т = 0. Номерами 1-5 обозначены кривые, рассчитанные соответственно для Е0 = 0,10,20,30,40 ед. СГС. Из рисунке 15 видно, что с ростом к коэффициент затухания волны сначала резко возрастает, а затем, по достижении максимума, монотонно убывает. Отметим, что с ростом' Е0 максимальные значения /? уменьшаются.

С ростом волнового числа к значения /? при каждом заданном а0 сначала увеличиваются, а затем монотонно убывают.

При увеличении волнового числа значения р при каждом заданном а сначала резко возрастают, а затем монотонно убывают.

Частота волны со меняется очень слабо при изменении а.

В приложении 1 построена математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей прямого кругового цилиндра радиуса Ь, ось которого совпадает с осью Ог, направленной вертикально вверх против вектора ускорения свободного падения д.

Задача решается в цилиндрической системе координат (г,в,г); г = -твердая поверхность (дно цилиндра), ограничивающая снизу слой пористой среды, насыщенной жидкостью; г = 0 - поверхность раздела пористой среды и слоя свободной жидкости; г = К2 - невозмущенная (плоская) свободная поверхность жидкости, граничащей с атмосферой. Номерами 1 и 2 обозначены (в необходимых случаях) величины, относящиеся к пористой среде (область 1) и свободной жидкости (область 2).

Записаны уравнения движения жидкости в пористой среде, уравнения движения свободной жидкости, а также система граничных условий.

Решения уравнений ищутся в виде стоячих затухающих волн:

фДг, в, 2, С) = ■ ФДг, в) ■ е~п 0' = 1,2),

где ф] (г) - амплитуды потенциалов скорости ф/, у = р + ш - декремент волны, р - коэффициент затухания волны, ы - частота волны.

Получено дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между декрементом волны и волновым числом:

ру3 [БМк^ЖкЛг) + рсЬ(кЬ1)сЬ(кЬ2)] - ^у2сЬ(к/г1)сЬ(кЛ2) + (9) +рдку [вЬСААОсЬОкйг) +рсЬ(ЛЛ1)811(*:Л2)] - ^дксНкк^НЩ) = 0.

Найдено уравнение свободной поверхности жидкости в данной математической модели.

В приложении 2 построена математическая модель стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

Система координат: ось Ог направлена вертикально вверх против вектора д ускорения свободного падения; г = - твердая поверхность,

ограничивающая снизу пористый слой (—< г < 0); г = 0 - поверхность раздела пористого слоя и свободной жидкости; г = к2 - невозмущенная свободная поверхность слоя жидкости, занимающей область 0 < г < к2. Оси Ох и Оу лежат на плоской поверхности раздела жидкости и пористой среды и одновременно на двух боковых поверхностях параллелепипеда. Стенки параллелепипеда описываются уравнениями: х = 0, х = а; у = 0, у — Ь. Над поверхностью жидкости находится воздух. Номерами 1, 2 обозначаются

21

величины, относящиеся к пористой среде и свободной жидкости соответственно.

Записываются уравнения движения жидкости в пористой среде, уравнения движения в слое свободной жидкости; система граничных условий на поверхностях раздела сред.

Решения ищем в виде стоячих затухающих волн:

<Р]О.У.г,0 = ф}(г) • Фу(х,у)-е~п 0' = 1,2),

где ф](г) - амплитуды потенциалов скорости у = р + ш.

Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между декрементом волны у = Р + ш и волновым числом, имеет тот же вид, что и для стоячих волн в цилиндрической полости.

Найдено уравнение свободной поверхности жидкости в данном случае.

В приложении 3 приведен текст программы для численного исследования математической модели распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с поперечным к поверхности жидкости электрическим полем и находящихся на пористой среде.

В приложении 4 приведен текст программы для численного исследования математической модели распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях на пористой среде в продольном к поверхности жидкости электрическом поле.

В приложении 5 приведен текст программы для численного исследования математической модели распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде.

В приложении 6 приведен текст программы для численного исследования математической модели распространения волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Построена и исследована математическая модель распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде;

2. Построена и исследована математическая модель распространения поверхностных волн на поверхности электропроводной жидкости, взаимодействующей с электрическим полем и находящейся на пористой среде;

3. Построена и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро;

22

4. Построена математическая модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра;

5. Построена математическая модель стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда;

6. Разработаны вычислительные алгоритмы и программный комплекс для исследования дисперсионных уравнений, полученных при решении каждой из вышеперечисленных задач;

7. Исследовано влияние различных параметров, входящих в дисперсионные уравнения, на коэффициент затухания и частоту волны.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Миронова, С. М. Математическое моделирование поверхностных волн в слое жидкости с поверхностным зарядом на пористом основании / С. М. Миронова, Н. Г. Тактаров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - Сер. физико-математические науки - 2011. - № 2. - С. 41-48.

2. Тактаров, Н. Г. Моделирование поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. № 4. Часть 3. -Н. Новгород : Изд-во ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2011. - С. 1163— 1164.

Публикации в прочих изданиях

1. Миронова, С. М. Математическая модель распространения волн по заряженной поверхности жидкого проводника на пористом основании / С. М. Миронова // «Современные наукоемкие технологии», научная международная конференция «Приоритетные направления развития науки, технологий и техники», 20-27 ноября 2009 г. : [материалы]. / Академия Естествознания. - М., 2009. -С. 46-47.

2. Миронова, С. М. Распространение поверхностных волн в слое жидкого диэлектрика на пористом основании / С. М. Миронова // Современные наукоемкие технологии. - 2009. - № 9. - С. 138-141.

3. Миронова, С. М. Исследование стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в полости, имеющей форму параллелепипеда / С. М. Миронова // «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и

внедрения инновационных IT-решений», третья научно-практическая региональная конференция «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT-решений», 14-15 апреля 2010 г.: [материалы] / Издательство «Вектор Бук». - Тюмень, 2010 -С. 176-180.

Миронова, С. М. Математическое моделирование стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в сосуде, имеющем форму параллелепипеда / С.М.Миронова // «Современные наукоемкие технологии», международная научная конференция «Современные наукоемкие технологии», 10-17 апреля 2010 г. : [материалы] / Академия Естествознания. - М., 2010. - С. 61-62. Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование волн в слое жидкого диэлектрика на пористом основании / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова // Вестник Мордовского университета. - Сер. Физико-математические науки. - 2010. - №4. - С. 75-78.

Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование волн на заряженной поверхности жидкости, находящейся на пористой среде / Н. Г. Тактаров, С. М. Миронова // «Математическое моделирование и краевые задачи. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций», седьмая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 3-6 июня 2010 г.: [материалы] В 3 ч. Ч. 1. / СамГТУ. - Самара, 2010. - С. 365-367. Тактаров, Н. Г. Математическое моделирование поверхностных волн в слое электропроводной жидкости на пористом основании в электрическом поле/ Н. Г. Тактаров, С.М.Миронова // Международный журнал экспериментального образования. - 2010 -№2.-С. 8-14.

Тактаров, Н. Г. Моделирование стоячих волн в слое жидкости на пористом основании в цилиндрической полости / Н. Г. Тактаров, С.М.Миронова // «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», 12-15 октября 2010 г.: [материалы] / Перм. гос. ун-т. - Пермь, 2010. - С. 220. Миронова, С. М. Математическое моделирование поверхностных волн в жидком диэлектрике / С. М. Миронова // «Подготовка учителя математики, физики, информатики в современных условиях», Всероссийская научно-практическая конференция - 46-е Евсевьевские чтения, посвященная году учителя «Подготовка учителя математики, физики, информатики в современных условиях», 19-20 мая 2010 г.: [материалы] / редкол.: С. М. Мумряева (отв. ред) [и др.]; Мордов. гос. пед. ин-т. - Саранск, 2011. - С. 55-58.

10. Миронова, С. М. Математическое моделирование поверхностных волн в жидкости на пористом основании / С. М. Миронова // «Математическое моделирование и краевые задачи. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций», восьмая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 15-17 сентября 2011 г.: [материалы]. В 3 ч. Ч. 1. / СамГТУ. - Самара, 2011. - С. 76-79.

11. Миронова, С. М. Математическое моделирование стоячих волн в слое жидкости в сосуде, имеющем форму параллелепипеда / С. М. Миронова // «Современные проблемы математики и механики», II Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», 12-14 октября 2011 г. : [материалы]. - Томск, 2011. -С. 264-268.

12. Миронова, С. М. Моделирование стоячих волн в слое жидкости в сосуде, имеющем форму параллелепипеда на пористом основании / С. М. Миронова // «Математика и математическое моделирование», Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Математика и математическое моделирование», 13-14 октября 2011 г.: [материалы]. - Саранск, 2011. - С. 234-236.

Подписано в печать 24.03.2012 г. Формат 60x84 1/16. Печать ризография. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 120 экз. Заказ № 38.

ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева» Редакционно-издательский центр 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, д. 11а

61 12-1/786

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА

На правах рукописи УДК 532.591

МИРОНОВА Светлана Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ЖИДКОСТЯХ НА ПОРИСТОЙ СРЕДЕ 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Н. Г. Тактаров

Саранск 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

1 Моделирование волн на поверхности поляризующейся жидкости на 21 пористом основании

1.1 Уравнения электрогидродинамики 21

1.2 Граничные условия для электрических и гидродинамических 25 величин

1.3 Математическая модель распространения волн на поверхности 28 поляризующейся жидкости на пористом основании

2 Численное исследование волн на поверхности поляризующейся 39 жидкости на пористом основании

2.1 Численный метод исследования дисперсионного уравнения в 39

случае поперечного электрического поля 2.2Результаты численного исследования дисперсионного уравнения 45

для случая поперечного электрического поля 2.3Численное исследование дисперсионного уравнения в случае 56 продольного электрического поля

3 Волны на заряженной поверхности жидкого проводника на пористом 69 основании

3.1 Постановка задачи 69

3.2 Вывод дисперсионного уравнения 73

3.3 Численное исследование дисперсионного уравнения в 81 различных частных случаях

4 Распространение поверхностных волн на заряженной поверхности 91 цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро

4.1 Построение математической модели распространения 91 поверхностных волн

4.2 Решение краевой задачи

101

4.3 Анализ модели и численное исследование дисперсионного 104 уравнения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Математическое моделирование стоячих волн на 143 поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Математическое моделирование стоячих волн в слое 151 жидкости на пористом основании в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Программа для численного расчета распространения 159 волн на поверхности поляризующейся жидкости на пористом основании в случае поперечного электрического поля

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Программа для численного расчета распространения 168 волн на поверхности поляризующейся жидкости на пористом основании в случае продольного электрического поля

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Программа для численного расчета распространения 177 волн на заряженной поверхности жидкого проводника на пористом основании

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Программа для численного расчета распространения 186 поверхностных волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро

4.4 Частные случаи

113

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

117

120

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и граничащих со слоем пористой среды. Исследование поверхностных волн в жидкости, граничащей с пористой средой, представляет большой интерес для изучения природных явлений, а также во многих технологических процессах.

Волновые явления чрезвычайно широко распространены в природе и часто используются во многих технических устройствах и технологических процессах. Большой интерес представляют волны в средах, взаимодействующих с электрическим полем, в связи с различными практическими применениями. Эффекты, возникающие в жидких средах, взаимодействующих с электрическим полем, часто встречаются также во многих природных процессах, в частности, связанных с движением грунтовых вод, а также различных биологических жидкостей в живых организмах. Основными характеристиками распространения поверхностных волн являются частота и коэффициент затухания колебаний волны, в связи с этим в диссертации особое внимание уделено изучению именно этих величин.

Для решения конкретной задачи естествознания необходимо вначале построить ее математическую модель, т. е. совокупность дифференциальных уравнений и граничных условий, описывающих рассматриваемое явление. При этом одни обстоятельства считаются существенными и учитываются в модели, а другие - считаются несущественными и их не учитывают. В связи с этим каждая модель имеет свои границы применимости.

Как известно, поверхностные волны произвольного вида могут быть представлены в виде рядов или интегралов Фурье от гармонических составляющих. В связи с этим, исследование волн может быть сведено к изучению более простых, гармонических волн. Именно эти волны рассматриваются в диссертации.

Раздел гидродинамики, изучающий движение жидких сред, взаимодействующих с электрическим полем, называется электрогидродинамикой (ЭГД). Специфика электрических сил в ЭГД состоит в том, что они дают возможность управлять движением жидкости, в частности, влиять на характер распространения поверхностных волн.

Развитие гидродинамики жидких сред, взаимодействующих с электрическим полем, стимулируется в большой степени задачами управления поведения жидкостей в состоянии невесомости.

Распыление жидкости, возникающее при определенных условиях под действием электрического поля, широко используется в ряде отраслей промышленности, в частности, при проектировании электрокаплеструйных принтеров, а также для управления при помощи электрического поля процессом нанесения красящего вещества на поверхность.

Электрическое поле позволяет также интенсифицировать процесс тепло-и массопереноса в диэлектрических жидкостях, что представляет значительный интерес, в особенности при условиях невесомости.

Вышеприведенные примеры показывают, что исследование поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем, имеет большой практический, а также теоретический интерес и является актуальным.

В работах [52, 57, 71, 74, 90-91, 97, 101, 105] описаны общие уравнения гидродинамики и движения жидкостей в пористых средах, а также общие модели гидродинамики.

В работе [105] построена математическая модель поверхности жидкости, взаимодействующей с электрическим полем, исследовано распространение нелинейных поверхностных гравитационных электрокапиллярных волн на поверхности слоя жидкого проводника.

В [31, 35, 37, 42, 45, 49, 53, 96, 109] исследованы волны и течения в слое жидкости на пористом основании при отсутствии электрического поля.

В [53] получено нелинейное уравнение для волн в пористых средах произвольной консолидации (относительной жесткости), насыщенных живой нефтью, то есть, содержащей газ.

Волны на поверхности струи жидкости, в том числе в электрическом и магнитном полях, рассмотрены в [38, 44, 75, 92,108, 129, 131,145].

В [38] во втором порядке малости по амплитуде осцилляции поверхностно однородно заряженной струи идеальной несжимаемой проводящей жидкости, движущейся с постоянной скоростью вдоль оси симметрии невозмущенной цилиндрической поверхности, получено аналитическое выражение для формы струи как функции от времени. Определены поле скоростей течения жидкости в струе и распределение электрического поля в ее окрестности.

Капиллярный распад цилиндрической конфигурации двух вязких несмешивающихся магнитных жидкостей изучен в статье [75].

Изучению влияния устойчивости неосесимметричных мод на закономерности распада струй объемно заряженных диэлектрических жидкостей с различными физическо-химическими свойствами посвящена работа [92].

Волны на жидкости с поверхностным электрическим зарядом и в жидких диэлектриках описаны в статьях [10, 12, 24-26, 28, 30, 36, 39, 43, 46-47, 76-77, 84, 86-88,98,100,104,106-107, ИЗ, 116,118-121, 127, 135-138, 143-144, 146].

Неустойчивость поверхности диэлектрической жидкости в электрическом поле рассмотрена в [98].

В докладе [100] рассматривается устойчивость жидкой струи электролита, помещенной во внешнее сильно осциллирующее потенциальное электрическое поле.

В работах [9, 11, 13-19, 21-23, 29, 34, 48, 93, 124] изучены волны на поверхности двухфазных сред и смесей.

В [14] краевая задача ставится для определения волнового движения, вызванного распространением гравитационной волны от свободной

поверхности слоя двухфазной среды. Проблема решается аналитически в линейном приближении. Найдена форма свободной поверхности жидкости, фазовая скорость, частота и коэффициент затухания волны.

В [22] рассмотрена задача о распространении волн по свободной поверхности слоя двухфазной среды. В линейном приближении найдено аналитическое решение в виде затухающих установившихся волн. Определено дисперсионное соотношение, выражение для декремента затухания, а также форма свободной поверхности. Установлено, какое влияние на скорость волны оказывает дисперсная фаза.

Работа [48] посвящена исследованию поверхностных волн на заряженной границе раздела двух жидких сред.

Монография [93] посвящена изучению влияния вибраций на гидродинамические системы со свободной поверхностью жидкости или поверхностью раздела несмешивающихся жидкостей.

В [124] ставится краевая задача для определения волнового движения, вызванного распространением гравитационной волны от свободной поверхности слоя двухфазной среды. Решение ищется аналитически в линейном приближении. Изучены форма свободной поверхности, фазовая скорость, частота и коэффициент затухания волны.

В работах [15-22] исследованы поверхностные волны на слое дисперсионной жидкости.

Волны на поверхности намагничивающейся жидкости, включая пористую среду, изучены в [40, 56, 58, 61, 110 ,126, 132, 142].

В работах [1-8, 20, 27, 33, 54-55, 72, 78-81, 85, 103, 111, 114-115, 125, 130, 139] исследованы нелинейные поверхностные волны (при отсутствии пористой среды).

В статье [1] построено и проанализировано решение для линейных пространственных периодических волн в бесконечно глубокой жидкости.

Различные вопросы распространения поверхностных волн в основном в приложениях к геофизике рассмотрены в серии работ [2-8].

В [20] приведено точное аналитическое решение линейной задачи о распространении волн по свободной поверхности слоя вязкой жидкости с учетом условий прилипания на дне.

В работе [27] исследованы электрокапиллярные волны на поверхности идеальной жидкости, дан теоретический анализ влияния поверхностного электрического заряда на профиль нелинейных периодических гравитационно-капиллярных бегущих волн; приведен анализ геометрической формы волн.

В [78] Исследован линейный механизм генерации поверхностных гравитационных волн, связанный с наличием течения с постоянным горизонтальным сдвигом скорости в слое жидкости со свободной поверхностью.

В [80] в условиях резонанса Фарадея исследован срыв колебаний свободной поверхности однородной и границы раздела двухслойной жидкостей в прямоугольном сосуде.

Магнитогидродинамические поверхностные волны рассмотрены в [32, 59-70, 117,133, 135, 140-141].

В работах [59-70, 140-141] исследованы поверхностные волны, распространяющиеся в слоях жидкого проводника (металла) во внешнем магнитном поле.

В работах [82, 122] описаны волны на поверхности неоднородных (стратифицированных) жидкостей.

В [83] методом медленно меняющихся амплитуд рассчитано отражение поверхностных капиллярно-гравитационных волн от областей регулярной поверхностной конвекции в приближении идеальной и однородной вязкой жидкости.

Внутренние волны в пористых средах, насыщенных жидкостью, представлены в [50-51, 73, 82, 94-95, 99].

В [49] исследованы частотные зависимости скорости и затухания волн, распространяющихся вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости.

В [72] рассматриваются поверхностные и внутренние волны в слоистой идеальной жидкости при заданных перемещениях дна.

В статье [81] предложена математическая модель изменения напряженно-деформированного состояния и эволюция нелинейных волн в насыщенных пористых средах.

В [93] с использованием аппарата механики насыщенных пористых сред рассмотрено распространение гармонических поверхностных волн вдоль их свободной границы, а также на границе раздела пористой среды с жидкостью и на границе двух пористых полупространств.

Основные математические сведения о специальных функциях, использованных в диссертации, приведены в [100].

Следует отметить, что задача исследования распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде, к настоящему времени не рассматривалась вообще. В связи с этим в диссертации были поставлены следующие цели.

Цель диссертационной работы

Построение и исследование математических моделей распространения поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде. В соответствии с поставленной целью было необходимо решить следующие задачи:

1. построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде;

2. построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн в электропроводных жидкостях с поверхностным зарядом, находящихся на пористой среде;

3. построить и численно исследовать математическую модель распространения поверхностных волн на заряженной поверхности

цилиндрического столба проводящей жидкости, окружающей длинное пористое ядро;

4. построить математическую модель стоячих волн на поверхности слоя жидкости, находящейся на пористом основании в полости, имеющей форму прямого кругового цилиндра;

5. построить математическую модель стоячих волн в жидкости на пористой среде в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда;

6. разработать численный метод и соответствующий программный комплекс, позволяющие исследовать поведение решений дисперсионного уравнения, описывающего распространение волны.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации впервые проведено исследование распространения волн в жидкостях с различными электрическими свойствами на пористой среде в электрическом поле. Этот вопрос имеет как самостоятельный научный интерес, являясь разделом механики и прикладной математики, так и в связи с разнообразными практическими приложениями, в частности, в химической технологии, экологии и геофизике. Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Впервые построена и численно исследована математическая модель распространения поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящихся на пористой среде.

2. Получено и численно исследовано дисперсионное уравнение, описывающее распространение поверхностных волн в диэлектрических жидкостях, взаимодействующих с поперечным к поверхности жидкости электрическим полем и находящихся на пористой среде. Исследовано влияние электрического поля на коэффициент затухания и частоту колебаний волны. Установлено, что с увеличением напряженности электрического поля при

фиксированных прочих параметрах увеличиваются коэффициент затухания волны и частота волны. Установлено также, что с ростом волнового числа (уменьшения длины волны) коэффициент затухания сначала возрастает, а затем, по достижении максимального значения, убывает. При этом с ростом толщины свободного слоя жидкости значения коэффициента затухания волны уменьшаются, а значения частоты волны увеличиваются при фиксированных значениях прочих параметров. Частота волны с ростом волнового числа возрастает при каждом фиксированном значении толщины слоя свободной жидкости. С ростом пористости значения коэффициента затухания волны сначала возрастают, а по достижении точки максимума, убывают. С ростом пористости частота волны возрастает при фиксированных значениях толщины слоя свободной жидкости.

3. Численно исследовано дисперсионное уравнение для поверхностных волн в диэлектрических жидкостях на пористой среде в продольном к поверхности жидкости электрическом поле. Установлено, что зависимость коэффициента затухания волны и частоты колебаний волны от параметров, входящих в дисперсионное уравнение, аналогична случаю поперечного поля. Отличие состоит в немного меньших значениях коэффициента затухания и частоты волны при возрастании напряженности электрического поля и фиксированных значениях прочих параметров.

4. Впервые построена и численно исследована математическая модель распространения поверхностных волн в проводящих жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем и находящих