автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование электрогидродннамических поверхностных волн

ргб оа

МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ' ИМ. Н.П.ОГАРЕВА

На правах рукописи УДК 539.19

Извекова Татьяна Анатольевна

Математическое моделирование электрогидродинамических поверхностных волн

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск 1998

Работа выполнена на кафедре механики и математического моделирования Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Н.Г.Тактаров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.З.Алешков

кандидат физико-математических наук, доцент Г.А.Смолкин

Ведущая организация: ВНИИИС имени А.Н.Лодыгина

Защита состоится 1998 г. в ч. мин.

в аудитории_на заседании диссертационного совета К 063.72.04

при Мордовском государственном университете имени Н.П.Огарева по адресу: 430 ООО, Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева.

Автореферат разослан ¡Л-ЦР^Л- 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 063.72.04 кандидат физико-математических наук, доцент

С.М.Мурюмин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию распространения нелинейных поверхностных волн в средах, взаимодействующих с электрическим полем: на заряженной поверхности жидкого проводника, а также на поверхности жидкого диэлектрика в приложенном электрическом поле.

Колебательные и волновые движения чрезвычайно широко распространены в природе, а также часто встречаются во многих технических устройствах и технологических процессах. Значительный интерес представляют волны в средах, взаимодействующих с электрическим полем, в связи с разнообразными практическими применениями. Эффекты, возникающие при взаимодействии жидких сред с электрическим полем, широко распространены также во многих природных процессах, таковы, например, атмосферные явления.

Раздел гидродинамики, изучающий движение жидких сред, взаимодействующих с электрическим полем, называется электрогидродинамикой (ЭГД).

Особенность электрических сил в ЭГД заключается в том, что они позволяют ослаблять действие силы тяжести, направлять и транспортировать диэлектрические жидкости по трубам и каналам. Развитие гидродинамики диэлектрических (поляризующихся) сред стимулируется в значительной мере задачами управления поведением жидкости в состоянии невесомости .

Электрическое распыление жидкости широко используется в ряде отраслей промышленности. В основе процессов распыления лежит гидродинамическая неустойчивость волн, распространяющихся на свободной поверхности жидкости.

В последнее время обнаружились новые возможности интенсификации тепломассообмена в диэлектрических жидкостях при помощи электрического поля. Значение этого обстоятельства особенно велико в связи с тем, что электрическое поле позволяет управлять процессом тепломассообмена.

Особенно интенсивно теплоотдача происходит при кипении жидкости, связанного с гидродинамической неустойчивостью волн, распространяющихся на поверхности раздела пара и жидкости. При этом слой пара

обволакивает нагретую твердую поверхность, защищая жидкость от соприкосновения с ней. Неустойчивость поверхности раздела пара и жидкости приводит к ее деформации в виде волнообразной конфигурации, приводящей к возникновению пузырьков - кипению. Поперечное к поверхности жидкости электрическое поле дестабилизирует эту поверхность, что приводит к увеличению количества паровых пузырьков, а следовательно, к усилению интенсивности кипения. На этом эффекте основано широкое использование диэлектрических жидкостей в приложенном электрическом поле в разнообразных охлаждающих устройствах.

Исследование волновых процессов на поверхности жидкости в приложенном электрическом поле представляет интерес также с точки зрения технических и технологических использований диэлектрических и электропроводящих струй. Здесь важно предотвратить преждевременное разрушение струй и создать способы их стабилизации.

Примером практического использования теории волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле служит анализ явлений на линиях высокого напряжения при неблагоприятных погодных условиях. На поверхности пленки жидкости, обволакивающей провод, возникают волны, неустойчивость которых приводит к разрыву пленки электрическими силами. Острые вершины, образуемые возмущениями на поверхности жидкости, становятся местами коронного разряда.

В современной промышленности широко используются поверхностно-активные вещества, обладающие способностью накапливаться на свободной поверхности жидкости и поверхностях раздела, и влияющие на распространение поверхностных волн. Приложенное электрическое поле дает возможность управлять процессом распространения поверхностных волн.

Весьма велико значение поверхностных электрогидродинамических волн дня геофизических, метеорологических и других природных процессов. Известно, что вблизи поверхности Земли существует электрическое поле, напряженность которого перпендикулярна к ее поверхности. Это поле, взаимодействуя с потоками воздуха, оказывает существенное влияние на метеорологические процессы. Особенно сильные электрические поля возникают в грозовых облаках, влияя на движение потоков воздуха. Распыление крупных заряженных дождевых капель на более мелкие происходит в результате разрушения волн на поверхности капли.

Вышеприведенные примеры показывают, что исследование поверхностных волн в жидкостях, взаимодействующих с электрическим полем, имеет несомненный как практический так я теоретический интерес и является актуальным.

С точки зрения математики задача о распространении волн на поверхности жидкости представляет собой нелинейную краевую задачу для области с заранее неизвестной и зависящей от времени границей. При этом область, в которой изучается решение задачи превышает область, занятую жидкостью, поскольку надо искать электрическое поле, не только в области, занятой жидкостью, но и в граничащей с ней атмосфере.

Следует отметить, что исследование поверхностных электрогидродинамических волн проведено к настоящему времени только в нескольких частных случаях, а полный нелинейный анализ этого явления отсутствует. Решение задачи в линейном приближении дает неполное, представление о распространении волн.

В связи с этим в диссертации были поставлены следующие цели:

1) Построить математическую модель распространения поверхностных нелинейных волн в средах, взаимодействующих с электрическим полем: по заряженной поверхности жидкого проводника, а также жидкого диэлектрика в приложенном электрическом поле;

2) Исследовать зависимость величин, характеризующих распространение волны, а также формы траектории жидких частиц от напряженности приложенного электрического поля, плотности поверхностного заряда и других параметров задачи.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, заключаются в следующем:

1) Построена математическая модель распространения нелинейных волн по заряженной поверхности жидкого проводника, а также по свободной поверхности жидкого диэлектрика в приложенном электрическом поле в случаях конечной и бесконечной толщины слоя жидкости;

2) Нелинейная краевая задача решена в общем виде методом малого параметра с точностью до третьего приближения. Получены выражения для поля скоростей жидкости, электрического поля, поля давления в слое жидкого диэлектрика. Исследованы частные случаи слоев жидкости конечной и бесконечной толщины;

3) Получены выражения дгя скорости, давления, электрического по-

ля, а также плотности поверхностного заряда для волн на заряженной поверхности жидкого проводника;

4) В нелинейном приближении найдены траектории жидких частиц в электропроводной, а также диэлектрической жидкостях в случае конечной и бесконечной толщины слоя жидкости. Показано, что в линейном приближении траекториями частиц являются эллипсы (переходящие в окружности для бесконечно глубокой жидкости), а в нелинейном приближении траектории разомкнуты. Период колебания частицы превышает период колебания волны. Показано, что переносная скорость Стокса, связанная с разом кнутостью траекторий частиц, увеличивается с ростом поверхностного

' натяжения и уменьшается с возрастанием электрического поля, а также с ростом глубины жидкости;

5) Исследовано влияние электрического поля на форму свободней поверхности жидкости. Показано, что высота волны растет при увеличении плотности поверхностного заряда (для жидкого проводника) и при увеличении напряженности электрического поля (для жидкого диэлектрика), и убывает при увеличении поверхностного натяжения;

6) Показано, что разность высоты волны и глубины ее впадины зависит от электрического поля. С ростом поля эта разность уменьшается, т.е. волна теряет свою асимметрию в вертикальном направлении;

7) получены общие выражения для фазовой и групповой скорости поверхностной волны в жидких средах, взаимодействующих с электрическим полем. Найдены дисперсионные соотношения, связывающие частоту с волновым числом и прочими параметрами;

8) Показано, что фазовая скорость волны зависит от квадрата ее амплитуды (кроме прочих параметров). Как для жидкого проводника, так и для диэлектрика фазовая скорость достигает минимума при некотором значении длины волны. Установлено, что с ростом электрического поля частота волны (с фиксированной длиной) уменьшается и обращается в ноль при некотором значении напряженности электрического поля;

9) Показано, что с ростом электрического поля фазовая скорость волны (с фиксированной длиной) уменьшается. В нелинейном приближении фазовая скорость волны больше, чем в линейном при одинаковой длине волны и равных прочих параметрах (как для жидкого проводника, так и для диэлектрика).

Методика исследования заключается в применении методов возму-

щений для решения нелинейных краевых задач электрогидродинамики. Основная суть этих методов состоит в том, что некоторые дифференциальные уравнения, моделирующие конкретные физические задачи, допускают в результате обезразмеривания (приведения к безразмерному виду) введение безразмерного малого параметра 5, имеющего различный смысл в разных физических задачах, так что решение при 8=0 (линейное приближение) может быть легко найдено. Тогда решение при 8^0 (нелинейная задача) молено искать в виде ряда (не обязательно сходящегося) по степеням 8, такого, что нулевой член этого ряда соответствует решению краевой задачи при 5 = 0.

Практическая и научная ценность проведенных исследований и полученных в диссертации результатов заключается в том, что они имеют как самостоятельный научный интерес, являясь новыми разделами гидродинамики, так и в связи с многочисленными практическими приложениями. Полученные результаты являются теоретической основой расчета различных технологических процессов и технических устройств, в которых используются жидкие среды, взаимодействующие с электрическим полем (жидкие проводники и диэлектрики), например, в охлаждающих устройствах; устройствах электрического распыления жидкостей; а также геофизических, метеорологических и других природных процессов. Результаты диссертации также могут быть использованы при чтении спецкурсов по гидродинамике и методам математической физики.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов определяется применением хорошо разработанных математических методов, в том числе метода малого параметра, использованного ранее при решении многочисленных прикладных задач, а также тем, что из полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи результаты, найденные другими авторами и подтвержденные в экспериментальных исследованиях. Теоретические результаты диссертации также согласуются с экспериментами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Огаревских чтениях (Мордовский университет, Саранск, 1997 г.); на конференции молодых ученых (Саранск, 1998 г.); на научном семинаре кафедры механики и математического моделирования МГУ имени Н.П.Огарева; на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В.Воскресенского (Саранск, 1997,

1998 гг.); на III международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1998 г.); на научно-практической конференции «Научно-технический прогресс и социально-экономические, правовые аспекты потребительской кооперации в современных условиях» (Чебоксары, 1998 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и библиографического списка, содержащего 78 наименований. Общий объем диссертации 141 страница, включая 13 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации; дается аналитический обзор работ по ее тематике; формулируются цели работы; перечислены новые результаты, полученные в работе и выносимые на защиту; указана методика исследования; охарактеризована практическая и научная ценность диссертации; отмечается достоверность и обоснованность полученных результатов; приводится краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена обоснованию уравнений электрогидродинамики и границ их применимости. Элекгрогидродинамика изучает движение жидких сред в электрическом поле. Такими средами являются непроводники электричества - изоляторы (диэлектрики), обладающие способностью поляризоваться в приложенном электрическом поле; а также жидкие проводники, например, металлы, на поверхности которых индуцируется электрический заряд.

Показано, что в случае однородной среды, когда диэлектрическая проницаемость е является постоянной и при отсутствии сторонних электрических зарядов электрическая сила обращается в ноль. Но это не означает, что среда в этом случае не взаимодействует с электрическим полем. В самом деле, на поверхности жидкости имеется максвелловское напряжение, посредством которого электрическое поле, действуя на поверхность жидкости, влияет тем самым и на движение среды в объеме.

Строго говоря, модель идеального, совершенно непроводящего ди-

электрика, лишь приближенно описывает реальные диэлектрики, которые могут обладать слабой электропроводностью при наличии примесей. Однако, если частота изменения приложенного электрического поля достаточно велика, то токи смещения значительно превосходят токи, связанные с движением зарядов. Среда при этом ведет себя как идеальный диэлектрик с нулевой проводимостью, даже если в постоянном поле она обладает электропроводностью. Это обстоятельство позволяет широко использовать модель идеального диэлектрика для описания движения реальных слабо проводящих диэлектриков.

Другой предельный случай наблюдается, когда частота приложенного поля не очень велика, а электропроводность среды хорошая. При этом токи проводимости значительно превосходят токи смещения. Все заряды в проводнике распределяются по его поверхности таким образом, что поля, создаваемые ими внутри проводника компенсируют друг друга: поле внутри проводника отсутствует. Силовое воздействие электрического поля на движение жидкого проводника осуществляется посредством максвеллов-ских напряжений на его поверхности.

Приведен вывод уравнений движения жидкости в двух вышеуказанных предельных случаях: идеального диэлектрика, а также проводника. Проведено упрощение уравнений Максвелла в приближении электрогидродинамики.

К уравнениям движения следует присоединить также граничные условия для гидродинамических и электрических величин. Условия для электрических величин значительно упрощаются в случае однородной по своим физическим свойствам поверхности жидкости. В частности, на границе раздела диэлектрика и проводника касательная составляющая электрического поля обращается в ноль, а поле внутри проводника отсутствует. Нормальная к поверхности составляющая электрического поля связана с поверхностным электрическим зарядом.

Кинематическое условие для скорости жидкости заключается в том, что в связи с непрерывностью движения частица жидкости, находящаяся на ее поверхности, будет все время оставаться на ней. Из этого следует математическая связь между скоростью жидкости и ее поверхности.

Динамическое условие на поверхности жидкости заключается в условии баланса гидродинамических, капиллярных и электрических сил, действующих на поверхности.

Сформулирована постановка задачи о поверхностных электрогидродинамических волнах, заключающаяся в том, что требуется исследовать распространение волн на заряженной поверхности жидкого проводника, а также на поверхности слоя жидкого диэлектрика, находящегося в электрическом поле конденсатора, к обкладкам которого приложена разность потенциалов.

Вторая глава посвящена исследованию распространения волн на заряженной поверхности жидкого проводника. Бесконечно глубокий слой жидкости с поверхностным электрическим зарядом находится в поле тяжести и граничит со средой пренебрежимо малой плотности (атмосферой), газом или вакуумом. Жидкость предполагается несжимаемой и однородной по своим физическим свойствам. Решение задачи нетрудно обобщить на случай, когда с проводником граничит среда с конечной плотностью.

Записана система уравнений движения жидкости, а также уравнения Максвелла в приближении электрогидродинамики.

К граничным условиям для гидродинамических величин добавлены условия для электрического поля: отсутствие касательной к поверхности жидкости составляющей электрического поля, а также связь между плотностью поверхностного заряда и нормальной составляющей электрического поля.

Система уравнений и граничных условий приводится к безразмерному виду и записывается в системе координат, движущейся с фазовой скоростью волны. В этой системе волна неподвижна и имеет неизменный вид. В качестве малого параметра 5 берется отношение максимального смещения свободной поверхности к длине волны.

Прежде чем исследовать нелинейную задачу рассматривается вначале линейная задача, соответствующая нулевому значению малого параметра. Для исследования нелинейной задачи ее решение ищется в виде рядов по малому параметру. В нелинейных граничных условиях величины записываются на заранее неизвестной свободной поверхности жидкости. Для перенесения граничных условий на невозмущенную плоскую поверхность все поверхностные величины раскладываются в ряды Тейлора в окрестности невозмущенной поверхности. В рядах удерживаются слагаемые, содержащие 5°, б',52. В результате подстановки всех вышеперечисленных рядов в уравнения и граничные условия сложная нелинейная краевая задача распадается на три более простые краевые задачи, соответствующие пер-

вому, второму и третьему приближениям. Собирая затем эти приближения вместе можно найти общее решение краевой задачи.

Следуя методу малого параметра все коэффициенты в вышеперечисленных рядах по малому параметру сами ищутся в виде рядов по нормированным собственным функциям линейной задачи.

В результате с точностью до слагаемых порядка 53 включительно найдены размерные выражения для компонент скорости жидкости, компонент напряженности электрического поля в атмосфере, давления в жидкости, плотности поверхностного электрического заряда, формы поверхности жидкости (профиля волны), фазовой скорости волны.

Определена траектория частиц жидкости при распространении волны. Показано, что как и в обычной гидродинамике частота колебания частицы Юр отличается от частоты волны соЛ..

С точностью до третьего приближения получены выражения для координат частицы жидкости. Показано, что траектории частиц жидкости в нелинейном приближении разомкнуты.

Горизонтальная компонента скорости жидкости кроме периодических слагаемых имеет еще постоянную, не зависящую от времени составляющую, называемую переносной скоростью Стокса, приводящую к ра-зомкнутости траектории частиц. Скорость Стокса быстро затухает с глубиной по экспоненциальному закону. Вертикальная компонента скорости жидкости имеет только периодические слагаемые.

Показано, что переносная скорость принимает наибольшее значение на свободной поверхности. Поверхностное натяжение приводит к увеличению переносной скорости, а электрическое поле - к ее уменьшению. При увеличении поверхностного заряда и связанной с ним напряженности поля переносная скорость убывает и обращается в ноль при некотором значении напряженности поля. Таким образом, для каждого значения напряженности поля существует такая длина волны, для которой переносная скорость равна нулю. И наоборот, для каждой длины волны существует такое поле, при котором скорость Стокса обращается в нуль.

Введены два безразмерных параметра взаимодействия (капиллярный и электрический), характеризующих относительную величину капиллярных и электрических сил по сравнению с гравитационными. Исследована зависимость всех величин от параметров взаимодействия. Рассмотрены случаи очень большого и очень малого капиллярного параметра. Найдено мини-

мальное значение переносной скорости при заданной величине напряженности поля. Показано, что точка этого минимума не зависит от электрического поля.

Установлено, что в нелинейных волнах период частицы превышает период волны. Это различие периодов определяется исключительно амплитудой волны и глубиной частицы жидкости и не зависит ни от поверхностного натяжения, ни от электрического поля.

Показано, что в линейном приближении частицы описывают окружности, радиусы которых экспоненциально убывают с глубиной. Эти радиусы не зависят от поверхностного натяжения и электрического поля. Однако скорость частиц при их движении по окружности увеличивается с ростом поверхностного натяжения и уменьшается с увеличением электрического поля. При уменьшении длины волны скорость частицы увеличивается, а при увеличении длины волны - уменьшается. Таким образом, изменяя величину электрического поля можно регулировать интенсивность движения частиц жидкости даже в состоянии невесомости.

Исследовано влияние электрического поля на форму поверхности волны, в частности, на ее высоту, амплитуду вершины и впадины. Показано, что высота волны (расстояние по вертикали от уровня впадины до уровня вершины) уменьшается при увеличении поверхностного натяжения и достигает некоторого предельного значения при бесконечном увеличении капиллярного параметра.

Показано, что высота волны возрастает при увеличении электрического поля, что хорошо согласуется с известными экспериментальными результатами. При достаточно большом значении Пс ~ ПЕ, где Пс , Пе - капиллярный и электрический параметры взаимодействия, высота волны уменьшается по сравнению со случаем Пс = Пе = 0. Получены выражения для амплитуды вершины (ее высоты над невозмущенной плоской поверхностью) и впадины (ее глубины под невозмущенной плоской поверхностью). Показано, что разность между амплитудами вершины и впадины не зависит от электрического поля. При 2 Пс < 1 разность амплитуд положительна, то есть амплитуда вершины больше чем впадины; вершина уже, впадина шире. Если 2 Пс > 1, то амплитуда вершины меньше амплитуды впадины. При 2 Пс = 1 рассматриваемая теория неприменима.

Исследовано влияние электрического поля на скорость распространения поверхностной волны. Показано, что скорость волны зависит от

квадрата ее амплит>'ды. При увеличении напряженности электрического поля скорость волны с заданной длиной уменьшается и обращается в ноль при некотором значении электрического поля. Показано, что при заданных значениях электрического поля и поверхностного натяжения скорость волны в линейном приближении достигает минимума при некотором значении волнового числа, не зависящего от электрического поля.

Получено выражение для разности между плотностью поверхностного заряда на вершине волны и впадине. Параметр Пе не входит в это выражение, то есть электрическое поле не влияет на эту разность. Для Пс = О плотность заряда на вершине больше чем во впадине. Это приводит к тому, что электрическая сила на вершине волны, направленная вертикально вверх, больше, чем во впадине, то есть электрическая сила создает неустойчивость поверхности.

Конкретные расчеты для фазовой скорости и частоты волны приведены для жидкого натрия при температуре 250° С, имеющего плотность 0,9 г/см3 и поверхностное натяжение 200 дин/ см. Исследована зависимость фазовой скорости С от длины волны к при следующих значениях напряженности поля: 0; 30; 50; 80; 100 единиц СГС. Показано, что фазовая Скорость достигает минимума при X » 3 см. При увеличении электрического поля графики "опускаются": для каждого значения X величина С уменьшается. Наибольшее значение С достигается для каждого значения X при отсутствии электрического поля. При X —)• 0 величина С -» °э асимптотически. При X <х> величина С возрастает. Показано, что в нелинейном случае (5 * 0) графики зависимости С от А. расположены выше, чем в линейном 0 = 0), то есть у нелинейной волны фазовая скорость больше, чем у линейной гтри равных значениях к и одинаковых прочих параметрах.

Исследована зависимость частоты волны о от напряженности поля Ео* при разных к. При увеличении X графики "опускаются" вдоль оси ординат со и "вытягиваются" вдоль оси абсцисс Ео*. Для каждого Я. существует Ео*, при котором и = 0. Чем меньше X тем круче опускается график с ростом Ео*. Для всех длин волн со достигает максимума при Ео* = 0. Таким образом, электрическое поле уменьшает частоту волны со. Показано, что частота нелинейной волны больше, чем линейной. Установлено, что с ростом волнового числа к величина со2 увеличивается при всех Ео*. Чем меньше Ео*. тем быстрее увеличение со2.

В третьей главе построена математическая модель распространения

поверхностных волн по свободной поверхности жидкого диэлектрика, слой которого находится в зазоре конденсатора, создающего электрическое поле.

Записаны уравнения движения жидкости и уравнения Максвелла для электрического поля. Сформулированы граничные условия для гидродинамических и электрических величин на поверхности жидкости и твердых поверхностях (обкладках конденсатора).

Уравнения и граничные условия приводятся к безразмерному виду и записываются в системе координат, движущейся со скоростью волны С. Сформулированная краевая задача решается затем методом малого параметра.

В результате решения нелинейной краевой задачи с точностью до третьего приближения включительно получены в размерном виде выражения для компонент скорости частицы жидкости в зависимости от координат и времени , а также от других параметров задачи; компонент напряженности электрического поля в жидкости и в атмосфере; формы свободной поверхности жидкости; распределения давления в жидкости; фазовой скорости волны. Учет слагаемых, содержащих 52 в выражении для фазовой скорости, позволяет определить ее зависимость от высоты волны, имеющей порядок 5.

Математическое исследование в общем виде результатов, полученных в этой главе весьма затруднительно в связи с громоздкостью вычислений. В связи с этим представляет интерес исследование частных случаев, имеющих большое практическое значение.

Четвертая глава посвящена исследованию математической модели, построенной в третьей главе и изучению различных частных случаев.

Определены траектории частиц поляризующейся жидкости в волне. Найден кинематический закон движения частицы, имевшей в состоянии покоя (при отсутствии волны) координаты а, Ь.

Получено выражение для переносной скорости Стокса в зависимости от толщины слоя жидкости и воздушного зазора, а также других параметров задачи. Наибольшего значения переносная скорость У5* достигает на свободной поверхности, наименьшего - на твердой поверхности. При увеличении поверхностного натяжения скорость V/ возрастает, при увеличении электрического поля V/ убывает и при некотором значении поля обращается в ноль.

Введены два безразмерных параметра взаимодействия: капиллярный Пс и электрический Пе- Показано, что в нелилейных волнах период колебаний частицы превышает период волны. Это различие периодов определяется исключительно амплитудой волны 8 и глубиной частицы жидкости и не зависит от поверхностного натяжения и электрического поля. В нелинейном приближении траектория частицы разомкнута, что приводит к наличию переносной скорости. В линейном приближении траектория замкнута. Показано, что траектория является эллипсом, полуоси которого зависят от глубины частицы и толщины слоя жидкости и не зависят от поверхностного натяжения и электрического поля. Однако скорость движения частицы по этому эллипсу зависит от поверхностного натяжения и электрического поля. Отношение большой полуоси эллипса к малой минимально на свободной поверхности и стремится к бесконечности на твердом дне (эллипс вырождается в отрезок прямой, параллельной дну).

Подробно исследованы два частных случая: тонкий слой жидкости и бесконечно глубокая жидкость. Математически условие малости толщины слоя жидкости (тонкий слой) заключается в том, что толщина слоя значительно меньше длины волны. В результате этого предположения выражения значительно упрощаются, так как гиперболический синус и тангенс малого аргумента приближенно равны этому аргументу.

Для тонкого слоя жидкости получены простые выражения для фазовой и групповой скорости волны, которые еще больше упрощаются в случае широкого воздушного зазора конденсатора. Показано, что в случае тонкого слоя жидкости траекториями частиц являются прямолинейные отрезки, параллельные дну.

Математическое условие того, что жидкость является бесконечно глубокой, заключается в том, что отношение толщины слоя жидкости к длине волны значительно больше единицы. Далее будем предполагать, что толщина воздушного зазора также является бесконечно большой. В результате этих предположений все выражения значительно упрощаются, так как гиперболический тангенс большого аргумента приближенно равен единице.

Приведены выражения для компонент скорости жидкости. Компонент электрического поля; формы волны; поля давления в жидкости; фазовой скорости волны. Определены траектории частиц жидкости. Они разомкнуты в связи с наличием переносной скорости. В линейном приближе-

нин траектории замкнуты и являются окружностями.

При Пс = 0, Пе * 0 действие электрического поля проявляется в чистом виде. При Пе = 0 высота волны совпадает с обычной гидродинамической, а затем с ростом Пе < 1 высота волны растет, что согласуется с имеющимися экспериментами.

Получены выражения для амплитуды вершины и впадины волны. Показано, что разность амплитуды вершины и впадины зависит от электрического поля. При увеличении Пе, с ростом поля, разность амплитуд убывает, то есть волна теряет свою асимметрию в вертикальном направлении. Разность амплитуд вершины и впадины может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависимости от величин Пс и Пе- Если Пс » 1, то амплитуда вершины меньше, чем впадины.

Исследована зависимость фазовой скорости от параметров Пс, Пе в общем виде. Конкретные расчеты для фазовой скорости и частоты волны проведены для бензола, имеющего при 20°С диэлектрическую проницаемость 2,3; плотность 0,9 г/см3; поверхностное натяжение 30 дин/см. Исследована зависимость фазовой скорости С от длины волны к при следующих значениях напряженности электрического поля в жидкости: Еш* = 0; 20; 30; 40; 50 единиц СГС. Показано, что С достигает минимума при к « 1,2 см. При увеличении Е01* графики зависимости С от Я "опускаются": для каждого значения к величина С уменьшается с ростом Ем*. При каждом значении к наибольшее значение С достигается при Еш* = 0. При к —> 0 величина С -> а> асимптотически. При к -> со С также возрастает, но не асимптотически. Показано, что у нелинейной волны фазовая скорость' больше, чем у линейной при одинаковых длинах волн и равных прочих параметрах.

Исследована зависимость частоты волны со от Ещ* при разных длинах волн: к = 5; 10; 20; 100 см для значений 5 = 0 и 8 = 0,1. Показано, что частота нелинейных волн больше, чем линейных при одинаковых значениях параметров. Установлено, что при увеличении к частота со уменьшается при постоянном Е01*. Для каждого к частота со уменьшается с ростом Ем* и обращается в ноль при некотором значении Е01*, различном для разных длин волн.

Показано, что с ростом волнового числа к = 2п/к частота монотонно возрастает. Чем меньше Еш*, тем быстрее этот рост.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Извекова Т.А. Влияние электрического поля на распространение поверхностных волн в диэлектрических жидкостях. - Саранск. 1997. Деп. в ВИНИТИ № 3132 - В97. - Юс.

2. Золотков В.Д., Извекова Т.А. Электрогидродинамические поверхностные волны // Материалы научно-практической конференции «Научно-технический прогресс и социально-экономические, правовые аспекты потребительской кооперации в современных условиях». - Чебоксары. 1998. - С. 28.

3. Извекова Т.А. Поверхностные волны в средах, взаимодействующих с электрическим полем. - Саранск. 1998. Деп. в ВИНИТИ № 369 - В98. - 11с.

4. Извекова Т.А. О распространении электрогидродинамических поверхностных волн // Вестник Мордов. ун-та. - 1998. - № 1-2. -С. 104-106.

5. Извекова Т.А. Нелинейные электрогидродинамические поверхностные волны // Труды III Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Саранск: Изд-во СВМО, 1998. - С. 208.

6. Извекова Т.А. Волны на заряженной поверхности жидкого проводника // Труды III Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Саранск: Изд-во СВМО, 1998.-С. 209.

7. Извекова Т.А. Нелинейные волны на заряженной поверхности жидкого металла // Материалы ПГ конференции молодых ученых Мордовского госуниверситета. - Саранск. 1998. - Ч. 2. - С. 6.

8. Извекова Т.А. Поверхностные волны в поляризующихся средах // Материалы Шконференции молодых ученых Мордовского госуни-версигета. - Саранск. 1998. - Ч. 2. - С. 7.