автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Ветвление решений нелинейных интегральных уравнений теории синтеза антенн

ЛЬВІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Ш. ІВАНА ФРАНКА

РГб од

- пі:т „

V > ‘ і ‘ На правах рукопису

ГІСЬ ОЛЬГА МИХАЙЛІВНА

ГАЛУЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ НЕЛІНІЙНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТЕОРІЇ СИНТЕЗУ АНТЕН

Спеціальність 05.13.16 - застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання і математичних методів в наукових дослідженнях

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичнпх наук

ЛЬВІВ - 1994

Робота виконана на кафедрі моделювання Львівського державного університету ім. Івана Франка та в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригала НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-матєматичних наук, професор

Ведуча організація: Інститут прикладної математики і механіки Національної академії наук України.

на засіданні спеціалізованої ради К 04.04.05 у Львівському державному університеті ім. І. Франка ( 290002, Львів, вул. Університетська 1, ЛДУ, ауд.377).

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Львівського державного університету.

ВОЙТОВИЧ МИКОЛА МИКОЛАЙОВИЧ. Офіційні опоненти: доктор фізико-матєматичних наук

НАЗАРЧУК ЗІНОВІЙ ТЕОДОРОВИЧ,

доктор фізико-матєматичних наук СЯВАВКО МАР’ЯН СТЕПАНОВИЧ.

Захист відбудеться

ГОДИНІ

Автореферат розісланий ”'

Вчений секретар спеціалізованої ради

Б.А.Остудін

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність проблеми. Однією з галузей наукп, в якій застосовуються методи математичного моделювання о використанням обчислювальної техніки, є теорія синтезу антен. Тїіпова задача синтезу є оберненою задачею електродинаміки. В загальному вигляді вона формулюється наступним чином: за заданою характеристикою електромагнітного поля на нескінченості (ця характеристика має назву діаграми напрямленості (ДН)) необхідно визначити струм (або поле) на антені, що створює таку діаграму.

На практиці фазова'ДН (аргумент комплексної функції, що описує ДН), як правило, суттєвої ролі не відіграє. Цікавляться лише розподілом інтенсивності вппроміненяя антенп. Тому задачі синтезу за заданою амплітудною ДН (модуль функції, що описує ДН) є досить актуальними. Свобода вибору фазової діаграми використовується при цьому як додаткова можливість для кращого наближення до амплітудної ДН.

У математичному плані ця задача зводиться до інтегрального рівняння першого роду з обмеженим ядром. Тїіка задача є, як відомо, некоректно поставленою. Тому природньо виникає потреба скористатись варіаційним підходом.

Функціонали, що розглядаються, являються невнпуклпми і можуть мати багато локальних екстремумів. їх рівняннями Ейлера є нелінійні інтегральні рівняння типу Гаммерштейна і мають, як правило, неє-дпнпп розв’язок. Неєдиність розв’язку з одного боку дає практичну можливість вибору такого розв’язку, який має найбільш просту фізичну реалізацію, а з другого боку - ускладнює процес розв’язку задачі. Таким чином, з теоретичної і практичної точок зору залишається актуальним питання розробки ефективних методов розв’язування задач синтезу антен за заданою амплітудною ДН, що дають змогу знаходити всі можливі розв’язки задачі та визначати основні

З

якісні характеристики цих розв’язків.

Метою дисертаційної роботи було дослідження нелінійних інтегральних рівнянь, що виникають в задачах синтезу кількох типів антен за заданою амплітудною ДН, а саме:

а) використання методу узагальнено-однорідних форм для дослідження розгалужень розв’язків задачі синтезу лінійної антени за заданою амплітудною ДН;

б) дослідження точок галуження і отримання розгалужених розв’язків для задач синтезу циліндричної та резонаторної антен;

в) алгоритмічна та програмна реалізація запропонованих методик. .

Наукову новизну роботи становить:

1) застосування до задач дослідження розв’язків нелінійних інтегральних рівнянь теорії синтезу антен ідеї узагальнено-однорідних форм. Використання цих форм значно спрощує дослідження, оскільки дає змогу знайти в аналітичному вигляді головні члени розкладу галужених розв’язків без отримання складних рівнянь розгалуження Ляпунова-Шмідта та діаграм Ньютона;

2) виявлення залежності кількості та властивостей розв’язків задачі від основных параметрів антенп і заданої амплітудної діаграми. Отримані невідомі раніше розв’язки для різних типів антен, що дають змогу поліпшити ефективність синтезу при порівняно невеликих розмірах антенн;

3) алгоритм і програми чисельного розв’язку задач для лінійної, резонаторної та циліндричної антен.

Обгрунтованість основних наукових результатів забезпечується строгим математичним доведенням та підтвердженням' отриманих аналітичних результатів на числових моделях.

Практична цінність роботи.

Наведена в дисертації методика досліджень дає змогу числово-

аналітичним способом визначати кількість розв'язків задачі та їх характерні властивості.

Отримані в роботі нові типи розв’язків дають змогу поліпшити ступінь наближення синтезованої діаграми до заданої.

Розроблений метод та одержані за його допомогою числові результати можуть безпосередньо використовуватись при розв’язуванні практичних задач синтезу лінійної, циліндричної та резонаторної антен.

Апробація роботи. Основний матеріал дисертації опублікований в семи друкованих роботах. Результати дисертації доповідались на II республіканській науково-технічній конференції ’’Інтегральні рівняння в прикладному моделюванні ” (Київ, 1986р.), міжнародній конференції ’’Алгебра і аналіз” (Казань, 1994р.), IX конференції молодих вчених ШПММ АН УРСР (Львів, 1982р.), республіканській конференції ’’Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів в наукових дослідженнях” (Львів, 1994р.), а також на семінарах Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстрпгача НАН України.

Обсяг роботи. Робота містить 114 сторінок машинописного тексту, 19 рисунків, 89 бібліографічних назв.

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів і висновків.

У вступі викладається сучасний стан проблеми, дається огляд літератури, обгрунтовується важливість і актуальність питань, які становлять предмет дослідження. Викладено основні положення, які виносяться на захист, дається анотація дисертації по разділах і параграфах.

В першому розділі розглянуто математичні моделі задач синтезу певних типів антен за заданою амплітудною ДН. Комплексна ДН / Є 2 С Яі струм (або поле) и Є II, що її створює, пов’язані між собою

наступним співвідношенням:

Аи = /, (1)

де А - деякий лінійний обмежений оператор; 17, Н - комплексні гільбертові простори.

Вигляд оператора А залежить від конкретного тішу антени. Його зображення для трьох типів антен (лінійної, циліндричної, резонаторної) наведено в п. 1.1.

У загальній постановці задача спнтеоу антен за заданою амплітудною ДН формулюється наступпм чином: знайтп такий струм (поле) и, який створить діаграму напрямленості, модуль якої рівний заданій дійсній додатній функції Р:

■ |Аи| = Р (2)

Така задача є, як відомо, некоректно поставленою (зокрема Р може не належати до класу так званих реалізовних діаграм). Питання пошуку кваоірозв’язків рівняння (2) зводиться до мінімізації функціоналу, який є аналогом регулярпзуючого функціоналу Тпхонова:

- а(«) = |||Аи|-Г||Ч<ІМ|2, (3)

де і - параметр регуляризації. З фізичної точки зору введення другого доданку в функціонал дає змогу уникнути появи швидкоосцилюю-чих струмів.

Для знаходження екстремумів даного функціоналу використовується стандартна методика варіаційного числення, яка грунтується на необхідній умові екстремума - рівності нулю його першої варіації. Одержане таким чином рівняння Ейлера є нелінійним рівнянням типу Гаммерштейна:

їи + А*Аи = А*[ГеіагЄ/<и], (4)

. де А* - оператор, спряжений до А.

Рівняння такого типу можуть не мати розв’язків, чи мати неє-диний розв’язок. Дослідженню питань кількості розв’язків таких рівнянь та їх галужень при зміні фізичних параметрів і присвячена дисертація.

В другому розділі дисертації розглядаються задачі синтезу лінійної антени. Формула (1) для цієї задачі має вигляд:

Де з Є (—оо,оо) - узагальнена кутова координата, с - характерний фізичний параметр, що зв’язує розміри антени, довжину хвилі та кут, в якому відмінна від нуля задана амплітудна діаграма F (припу-скаєтья, що іг(.‘>) = 0 при |«| > 1). В даному випадку в функціоналі

(3) можна покласти і = 0:

і, скориставшись рівністю Парсеваля, звести його до вигляду:

Система (5), (8) зводиться до одного рівняння відносно шуканої оптимальної діаграми:

(6)

а =

\и(і)\2сіі. (7)

В п. 2.1 виписано рівняння Ейлера для функціоналу (7):

Кількість розв’язків рівняння (9) та їх властивості залежать від значення параметра с і вигляду оаданої функції Для довільної Р(я) > 0 прп малих значеннях параметра с рівняння має не менше двох дійсних розв’язків, які названі первинними, і виписані в п. 2.2:

Взагалі кажучи, формули (12) - (13) - це система рівнянь відносно точок рі, але в деяких випадках (наприклад, для парних іг(і')) цю систему можна розв’язати явно.

Як показують числові розрахунки, при не дуже великих значеннях параметра с кількість нулів функції /і не перевищує одиниці. Для парних функцій Р: /і(0,с) = 0, тобто рі = 0. Розв’язок (12) є непарним і зображається у вигляді:

Розв’язок (11) і його галуження були досліджені раніше [1]. Метод досліджень галуження розв’язків нелінійних рівнянь [2], який був використаний при дослідженні розв’язку (11), вимагає аналітичності підінтегрального виразу. Оскільки ми розглядаємо розв’язок, що переходить через нуль, то цю методику безпосередньо використати не вдається. Пропонується модифікований варіант з використанням ідеї узагальнено-однорідних форм [3] для аналітичного дослідження галужень розв’язку (14).

Виявлено, що точками галуження первинного розв’язку /і є такі значення с = є,-, при яких одиниця є власним значенням лінійного

де Рі - точки, в яких функція /і (в, с) переходять через нуль:

А (Рі,с) = 0.

(13)

(14)

однорідного рівняння:

*//і(*,Сі)«'(в,сі) = J (в, і, Сі)з£п(і)іи(і,Сі)(Іі. (15)

В п. -2.3 виписані в явному вигляді власні функції, що відповідають и = 1. Ці функції беруть участь у побудові відгалужених розв’язків. Одержано трансцендентні рівняння для знаходження точок галуження Сі-

Рівняння (15) е лінійним інтегральним рівнянням третього роду

[4]. Воно не зводиться до рівняння Фредгольма другого роду, оскільки /і має перехід через нуль. В п. 2.4 показано, що лема Шмідта, яка необхідна при подальших дослідженнях, переноситься на рівняння Фредгольма третього роду (лема 1, лема 2).

В п. 2.5 описана ідея використання узагальнено-одноріднпх форм [3] для знаходження галужень первинного розв’язку /і- Ітераційна формула, що наведена в цьому параграфі, дає змогу виписати в явному вигляді довільну кількість членів розкладу в дробово-степеневий ряд відгалужених від /і розв’язків рівняння (9).

Виявляється, що точки галужень можуть бути різних типів. Галуження розв’язку /і в цих точках виписані в п. 2.6.

Точки галуження першого типу (сі) існують для довільної заданої діаграми .Г. В цих точках від первинного роов’язку /і відгалужуються два комплексно-спряжені між собою розв’язки, що надають однакові значення функціоналу а. Уявна частина відгалуженого в сі розв’язку розкладається по дробових степенях параметра збурення. Відповідний цьому розв’язку струм на антені є дійсним, але несиметричним відносно центра антени. Створена цим струмом діаграма напрямленості є парною функцією.

Точки галуження другого тину (сг) існують лише для парних заданих діаграм Р(з). В таких точках відгалужуються чотири попарно-спряжені між собою розв’язки, що надають мінімум функціоналу а. Два о них мають парну фазову діаграму, а два - непарну.

На відміну від первинного парного розв’язку /о, для непарного первинного розв’язку /і існує ще один тип точок, в яких можливі галуження. Точки можливого галуження третього тішу (сд) існують лише для дааграм, які зображаються у вигляді: F(s) = ак * д(в), де к > 1, р(«) - деяка неперервна функція. Слід зауважити, що не у всіх точках типу (сз) галуження існують. Це пояснюється тим фактом, що рівність одиниці власних значень рівняння (15) є необхідною, сіле не. достатньою умовою існування галужень в знайдених точках. Виявляється, що галуження існують лише для діаграм з властивістю к> 3.

В роботі показано, що первинні розв’язки /і та їх галуження краще наближають так звані двопелюсткові діаграми, тобто такі, які володіють властивістю Р(0) = 0. Для однопелюсткових діаграм кращими, як правило, є первинні розв’язки /о та їх галуження.

Для конкретних заданих діаграм первинні розв’язки /і та їх галуження знайдено числовим методом. Шукались вони методом послідовних наближень з рівняння (9). За початкове наближення брались функції, подібні до функцій, що аналітично наближають галужені розв’язки.

В п. 2.8 наводяться числові результати. Показана поведінка власних значень рівняння (15) для певних типів діаграм, чисельно знайдені первинні розв’язки /о і /і та їх галуження, обчислені струми, що створюють такі оптимальні- діаграми, показана поведінка функціонала а на цих розв’язках. На рис. 1 та рис. 2 показані власні значення рівняння (15) та значення функціоналу а на розв’язках рівняння (9) для випадку Р(в) = ] він |. Досліджено, який із знайдених відгалужених розв’язків є кращим для тих чи інших значень параметра с.

В п. 2.7. доведена теорема 1 про зв’язок другої варіації функціоналу а з рівнянням на власні значення відносно збурення струму.

Рис. 1. Рис.2.

Третій розділ дисертації присвячений дослідженню задач синтезу циліндричної антени. Розглядається площина поперечного перерізу циліндра.

В п. 3.1 виписані функціонал типу (3) для цієї задачі і його рівняння Ейлера:

+ J = J (16)

Де •

K(v, <pi) = J’ k^jr2 + ^ j d(p>t (17)

ґ = r{ip) описує форму антени.

Для колової циліндричної антени радіуса г(ір) = а з узагальненим ‘ параметром с = ка (к - хвильове число в пустоті) ядро спрощується і має вигляд: ,

К(<Р,<Рі) = 27rc/0(2csinO, 5(^1 - <р)), (18)

де Jo - функція Бесселя першого роду нульового порядку. Це ядро є

дійсним і симетричним.

В п. 3.2 доводиться існування двох дійсних первинних розв’язків, які обчислюються як розв’язки неоднорідних рівнянь Фредгольма другого і третього роду відповідно:

*/о(р) + [ Л'(‘Л‘г’і)/о(9іМу>і = / ь (19)

О — 7Г і/—7Г

</1(9)+ / К('Р,<РІ)М'Р№‘Р 1= [ ^(^^<^і)-?г(‘»3і)»6іі(у5і)^і• (20)

і/ — 7Г «/—-ЇГ

Рівняння (20) виписано для випадку парних і7. Доведено, що для парних F первинний розв’язок /о, е парним, а /( - непарним; доведена також єдпність розв’язків рівнянь (19) та (20) при малих значеннях параметра с. Ставиться питання їх можливих галужень при зростанні параметра с. Для знаходження точок галуження отримується рівняння на власні значення, яке є інтегральним рівнянням третього роду:

,с)+[\

З — ТС

"</і(^)«>(Р,с)+І К(Ч>,<Р і,с)

= 0, (21) де і = 0,1.

Точками галуження первинних розв’язків /о, /і можуть бути лише такі значення с, для яких и = 1 є власним значенням цього рівняння.

На відміну від лінійної антени, власні функції рівняння (21) в явному вигляді не виписуються. Основне навантаження в цій задачі лягло на числові розрахунки. В п. 3.2 показана поведінка власних значень рівняння (21).

Первинні та відгалужені від них розв’язки шукались методом послідовних наближена

tfn(<p) + J К(<р,ч>\)и{ірі)<1<р\ = І

Чисельно визначені первинні розвязки та їх галуження, обчислені струми, що створюють оптимальні діаграми, показана поведінка функціоналу а на цих розв’язках.

На рис. З та рис. 4 показані власні значення рівняння (21) та значення функціоналу а на розв’язках рівняння (16) для випадку F(ip) = cos2 0,5ір прп t = 0,1.

Як і для лінійних антен первинні розв’язки /о та їх галуження краще наближають однопелюсткові діаграми, а первинні розв’язки /і та їх галуження кращі в сенсі мінімума функціоналу для двопелюсткових діаграм ( Е(0)=0 ).

В п. 3.3 показано (теорема 2), що функціонал а на розв’язках рівняння Ейлера (16) спрощує свій вигляд:

ег(с) = J /,(р)(/’(р) - |/(р)|)<1<р. (23)

В четвертому розділі ті ж ідеї поширені на так звані резонаторні антени [5]. Вони характерні тим, що шуканим тут є не струм, а поле на антені і це поле повинно бути дійсним. Ви. 4.1. виписано рівняння Ейлера функціоналу (3) для цієї антени:

іи + А'Аи = КеА'[Реі*'*А'1}. У випадку колової резонаторної антенн радіуса а

Аи = К(&,<р\)и{<рі)й<ри (25)

(25)

—Т

(26)

с = Ага., Н^\с) - функція Ханкеля другого роду, <5„о - символ ІСро-неккера

У рівнянні (24), крім нелінійності, що оппсує фазову діаграму, з’являється нелінійність у вигляді функції їіе.

В п. 4.2. виведено рівняння на власні значення. В опєраторному зображенні воно має вигляд:

де /о = Ащ; щ - деякий первинний розв’язок рівняння Ейлера (24). На відміну від попередніх задач рівняння для визначення первпн-

розв’язок, як і відгалужені від нього розв’язки шукались методом послідовних наближень:

Вигляд оператора А дає змогу суттєво спростити розрахунки, якщо користуватись апаратом рядів Фур’є (п. 4.З.). В цьому ж параграфі обчислені власні значення рівняння (27), показано галуження розв’язків та поведінка функціоналу на них.

На рис. 5 та рис. 6 показані власні значення рівняння (27) та значення функціонала а на розв’язках рівняння (24) для випадку Р(ір) =

іми = —ІіпА

(27)

ного розв’язку /о тут в явному вигляді не витісується. Первинний

іи„ 4-А*Аи„ = КеА'[Р ехр(г а^ .4м„_])].

(28)

сов2 0,5ір прп і = 0,1.

Рнс. 5. Рпс.б.

В п. 4.4 показано (теорема 3), що функціонал а на розв’язках рівняння Ейлера (24) спрощує свій вигляд. В п. 4.5 доведена теорема 4 про зв'язок другої варіації функціоналу сг з рівнянням на власні значення відносно збурення поля. В п. 4.6. розглянуті деякі питання точності обчпсленнь. Доведено, що прп наближенні до розв’язку точність обчислень за функціоналом а має порядок квадрата точності о'бчпслень За полями.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ.

1. Для лінійної антенп прп малих її розмірах виявлено існування принаймні двох первинних розв’язків (один з якпх, парний, досліджувався раніше). Знайдений другий розв’язок є дійснпм і непарним. Цей розв’язок є кращим (у сенсі середньо-квадратичного наближення заданої амплітудної ДН) для так званих двопелюсткових діаграм (Г(0)=0) порівнянно з парним первинним розв’язком.

2. Розроблена нова методика аналітичного дослідження галужень розв’язків задачі синтезу лінійної антенп за заданою амплітудною ДН, що базується на ідеї узагальнено-однорідніїх форм. Ця методика простіша, оскільки галуження первинних розв’язків шукаються

без отримання рівнянь розгалужень Лягіунова-Шмідта та діаграм Ньютона.

3. Використовуючи вказану методику, вдалось отримати в явному вигляді головні члени розкладу галуженпх розв’язків в дробово-степеневші ряд. Для визначення точок галуження отримані нескладні трансцендентні рівняння.

4. Для визначення точок галуження непарних первинних розв’язків одержано рівняння Фредгольма третього роду. Рівняння такого типу мало досліджені і рідко трапляються в науковій літературі. В роботі показано, що лема Шмідта, яка була необхідною для дослідження галужень, переноситься на рівняння Фредгольма третього роду.

5. Розроблено аналітико-чисельний метод дослідження галужень розв’язків задачі синтезу циліндричної антени оа заданою амплітудною ДН. Показано існування прп малих параметрах антени двох дійсних первинних розв’язків; обчислені точки їх галужень та самі відгалужені розв’язки. Чисельно виявлено, що для однопелюсткових діаграм кращими (в сенсі мінімума функціоналу) с парні первинні розв’язки та їх галуження, а для двопелюсткових діаграм - непарні первинні розв’язки та їх галуження.

6. Досліджено галуження розв’язків задач синтезу резонаторної антени за заданою амплітудною ДН. Виведено рівняння на власні значення. Чисельно знайдені галужені розв’язки, проведено їх аналіз.

7. Доведена теорема про зв’язок другої варіації функціоналу о рівнянням на власні значення, показані деякі оцінки точності обчислень.

ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Войтович Н. Н., Савенко П. А. Ветвление решений задачи синтеза антенн по заданной амплитудной диаграмме направ лености.// Радиотехника и электроника. - 1976. - Т. 21, Л" 4. - С. 723-729.

2. Ваннберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений

нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 527 с.

3. Насыров И. С. Построение малых решений нелинейного интегрального уравнения методом разветвляющихся итераций. // Нелинейные колебания и теория упругости. -Ижевск, 1981.-Т. 8. -С. 89-97.

4. Коротков В. Б. Интегральные операторы. - Новосибирск: Наука, 1983. - 224 с.

5. Войтович Н. Н., Каценеленбаум Б. 3., Коршунова Е. Н. и др. Электродинамика антенн с полупрозрачными поверхностями: Методы конструктивного синтеза/ Под ред. Б. 3. Каценеленбаума, А. Н. Спвова- М.: Наука, 1989. - 175 с.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ВИКЛАДЕНІ В РОБОТАХ:

1. Пісь О. М. Ветвление решений задачи синтеза линейной антенны. //Радиотехника и электрон. - 1988. -Т. 33, Л1” 6. С. 1136-1141.

2. Войтович Н. Н., Гіїсь О. М., Савенко П. А. Ветвление решений нелинейного интегрального уравнения теории синтеза антен. // Интегральные уравнения в прикладном моделировании - Киев: Изд. Ин-та электродинамики АН УССР, 1986. -Ч. 2. - С. 53-54.

3. Гіїсь О. М. //Материалы 9-ой конференции молодых ученых ИППММ АН УССР, ч. 2., ВИНИТИ, Львов, 1982. с. 28-32.

4. Войтович Н. Н., Гпсь О. М., Савонко П. А. Численное исследование ветвлений решений одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна. // Тр. международной конференции ” Алгебра и анализ ”, Казань, 1994, -с. 34-35.

5. Гіїсь О. М. Ветвление решений задачи синтеза цилиндрической антенны. // Радиотехника и электрон. -1994, Т. 39, Af 11., (в друці).

6. Гпсь О. М. Исследование решений задачи синтеза резонаторной антенны. // Радиотехника и электрон. -1994, Т. 39, Af 12., (в друці).

7. Гісь О. М. Галуження розв’язку одного нелінійного інтегрального рівняння теорії синтезу антен. //Питання математичного моделювання фізпко-механічнпх процесів. Львів, 1987, N 28, -с. 50-56.