автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Вероятностный анализ характеристик оптических сетей с маршрутизацией по длине волны

На правах рукописи

Ефимушкин Александр Владимирович

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ОПТИЧЕСКИХ СЕТЕЙ С МАРШРУТИЗАЦИЕЙ ПО ДЛИНЕ ВОЛНЫ

05.13.17 - Теоретические основы информатики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 6 ОКТ 2011

Москва-2011

4855636

Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Гелий Павлович Башарин

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Степанов Сергей Николаевич

кандидат физико-математических наук Дедовских Татьяна Владимировна

Ведущая организация: Институт проблем информатики Российской академии наук (ИЛИ РАН)

Защита диссертации состоится « 21 » октября 2011 г.

в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 в Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу:

117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6. (Отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу.)

Автореферат разослан «- » сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ДА ^''ЪУ/ М.Б. Фомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Развитие сетей идет со значительным ускорением; прогнозируется дальнейший рост числа пользователей, повышение требований к качеству услуг и ширине полосы пропускания (ШПП) мультисервисных систем и сетей.

Применение в сетях оптического волокна для передачи информации ставит перед разработчиками множество задач, решение которых невозможно без специальных исследований, разработки математических моделей и численных методов анализа при расчетах показателей эффективности телекоммуникационных сетей. Значительный вклад в развитие данной области внесли российские и зарубежные ученые: Башарин Г.П., Вишневский В.М., Наумов В.А., Нейман В.И., Печинкин A.B., Пшеничников А.П., Самуйлов К.Е., Севастьянов Б.А., Степанов С.Н., Харкевич А.Д., Шоргин СЛ., Яновский Г.Г., Feller W., Benes V.E., Cooper R.B., Iversen V.B., Kelly F.P., Kleinrock L„ Neuts M.F., Perros H.G., Ross K.W., Rouskas G.N. и др.

Требования к IUI 111 быстро растут из-за развития сети Интернет, появления новых приложений и услуг. Сегодня сети, использующие медный кабель, уже не могут удовлетворять возросшим требованиям, поэтому большое внимание уделяется исследованиям в области оптических сетей. Использование оптических компонентов на базе технологии спектрального уплотнения каналов (Wavelength Division Multiplexing, WDM) обеспечивает большую ШПП, малое число ошибок и потерь.

Для современного этапа развития волоконно-оптических систем характерен поиск путей повышения эффективности систем передачи. Технологии пакетной коммутации и групповой (англ. burst) коммутации пакетов в оптических сетях продолжают разрабатываться ведущими исследовательскими центрами и производителями оборудования. Таким образом, практический интерес для оптических сетей представляют задачи анализа производительности, как с коммутацией каналов, так и исследования пакетной и групповой коммутации.

При построении математических моделей для оптических сетей применим и широко используется аппарат марковских процессов, теории массового обслуживания (ТМО) и теории телетрафика. Специфические особенности применения WDM в оптических сетях ставят ряд задач, требующих решения, а именно: разработка методов анализа вероятностно-временных характеристик (ВВХ) функционирования оптических сетей с ограниченной и полной конверсией длин волн в узлах коммутации, моделей коммутатора оптической сети. Таким образом, задача разработки и развития моделей оптических сетей и методов их исследования является актуальной.

Целью диссертационной работы является модификация известных и разработка новых методов для анализа вероятностных характеристик функционирования оптических сетей с маршрутизацией по длине волны и их элементов, включая исследование аналитических моделей и проведение вычислительных экспериментов.

Методы исследования. В работе использованы методы теории вероятностей, теории случайных процессов, ТМО, теории телетрафика.

Научная новизна работы состоит в разработке методов вычисления вероятностных характеристик в оптических сетях. Отличие разработанных моделей и методов расчета их характеристик от известных моделей и методов состоит в следующем:

1) Для оптических сетей, использующих ограниченную конверсию длин волн, проведен математический анализ линейного фрагмента оптической сети с учетом того, что преобразование длины волны в узлах сети не является изменением круговой симметрии. В отличие от известных результатов получено доказательство применимости данного метода для расчета вероятностей блокировок маршрута оптической сети.

2) Разработана модель для анализа вероятностей блокировок звеньев сети, в которой в отличие от известных моделей учитывается оптический буферный накопитель (БН) в устройстве передачи. Разработан рекуррентный алгоритм вычисления стационарных вероятностей для системы (И' +1)( г + 1) + 1 уравнений глобального баланса, что дает возможность более эффективно проводить расчеты характеристик модели.

3) Проведен анализ показателей эффективности маршрутов и сети с произвольной топологией как без возможности преобразования длин волн в узле, так и с преобразованием длин волн на основе разработанной модели звена сети с БН. Получены рекуррентные выражения для вероятности блокировки маршрута сети.

4) Разработана мультисервисная модель коммутатора оптической сети с учетом времени выгрузки информации. Получена формула для вероятности блокировки коммутатора оптической сети. Отличие разработанной модели и методов расчета ее характеристик заключается в учете сценария поведения источников трафика в оптической сети и требований к качеству обслуживания.

Практическая ценность работы. Аналитические методы и вычислительные алгоритмы, полученные в диссертации, предназначены для анализа характеристик качества обслуживания в оптических сетях, использующих технологию мультиплексирования с разделением длин волн и маршрутизацией по длине волны. Результаты могут использоваться при анализе фрагментов

оптических сетей и могут быть обобщены для изучения оптических сетей WDM с произвольной топологией. Результаты исследований могут использоваться в учебном процессе на кафедре систем телекоммуникаций РУДН для студентов, обучающихся по направлениям «Прикладная математика и информатика». Результаты работы использованы в рамках НИР № 16/06-22 от 27.04.2006 г. «Методика расчета качественных показателей и коэффициента готовности отказоустойчивых структур BOJIC ОАО «Ростелеком»» ФГУП ЦНИИС и НИР № 128/10-22 от 19.03.2010 г. «Разработка методик эксплуатационного контроля показателей и параметров качества функционирования сетей ОАО «Ростелеком»» ФГУП ЦНИИС.

Достоверность научных результатов диссертационной работы обоснована строгими математическими доказательствами. Достоверность подтверждается вычислительными экспериментами, проведенными с использованием близких к реальным исходных данных.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на:

- XXXVII и XXXVIII научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 2001, 2002);

- Научных семинарах секции «Моделирование сетей связи, информационных систем и процессов» РНТОРЭС им. A.C. Попова (Москва, 2003, 2004, 2005);

- Семинарах кафедры систем телекоммуникаций Российского университета дружбы народов (Москва, 2004-2007).

- Отраслевых научно-технических конференциях «Технологии информационного общества» (Москва, 2007, 2008, 2010, 2011). Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них работы

[6,8,9] опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, и содержат выносимые на защиту результаты.

В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит: в [1] -приближенный метод и рекуррентный алгоритм для расчета вероятностей блокировок на маршруте волоконно-оптической сети; в [2] - приближенный метод расчета вероятностей блокировок маршрутов в многоволоконных оптических сетях; в [3] - модель расчета вероятностей блокировок функционирования оптоволоконной сети; в [4] - численный анализ блокировок двухзвеньевого линейного фрагмента сети с одно- и многоадресными соединениями; в [6] - модифицированная модель Энгсета коммутатора оптической сети с учетом времени освобождения каналов от информации, численные примеры; в [9] - модель коммутатора оптической сети при

предоставлении услуг различного качества с учетом времени освобождения каналов. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 115 наименований, приложения. Диссертация содержит 115 страниц текста, 33 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено обоснованию актуальности темы диссертации, приведен обзор публикаций по теме, сформулирована цель исследований, кратко изложены содержание и основные результаты диссертации по главам, охарактеризованы их научная новизна и практическая значимость.

В первой главе исследована вероятностная модель блокировок волоконно-оптической сети с ограниченной конверсией длин волн в узлах коммутации.

Приняты следующие допущения: в каждый узел сети поступает пуассоновский поток запросов (заявок) с интенсивностью а на установление соединений передачи данных; время удержания заявки распределено экспоненциально с параметром fi = 1; заявка, которая не может быть маршрутизирована в сети, блокируется и теряется, не оказывая влияния на функционирование сети; число длин волн любого звена сети равно W; длины волн назначаются случайно поступающим в узел сети заявкам из всех доступных длин волн; рассматриваются соединения «точка-точка».

Предположим также, что преобразование длины волны в узле сети не является изменением круговой симметрии. В известных работах данное допущение определяло круговую замкнутость диапазона длин волн и возможность ограниченной конверсии длин волн без учета границ диапазона. Входящая длина волна Д. может быть преобразована в следующие выходящие длины волн: , при i <d \ , при d<i<W-d и

^¿....Д,...,^ при i>W -d, где d показатель конверсии (рис.1).

Пусть R = (1,2,..., ЛО - маршрут, состоящий из N звеньев множества звеньев # = {1,2,...,У} сети, последовательно соединяющих узлы сети, и Хп где i = 1 ,...,N, случайная величина (СВ), определяющая число свободных длин волн на г'-м звене, a XR - СВ, определяющая число вариантов выбора свободных длин волн на всем маршруте. Пусть pm(x,,x2,...,xN) вероятность того, что существует т вариантов выбора свободных длин волн на маршруте R, если x1,x1,...,xN - числа свободных длин волн на звеньях 1,2,..., N соответственно.

Зерно i Звеноj

Рис.1. Возможное преобразование длин волн в узле при d = 1 Обозначая w :=(x,,x2,...,xN), получим

Pm(w) = p(xR = т\Х1 = xvX2=x2,...,XN = *J. (1)

Для R = (г, j) вероятность рт(х,у) = P[XR = m|Xf = х,Хj = у). (2)

Пусть ■)] et/, J'j czV - множества свободных из U и V длин волн на звеньях г и j соответственно, когда = х, = у и ji/| = jvj = W. Пусть Г(г) -множество доступных по конверсии для z 6 U длин волн из V, будем называть Г(г) множеством соседей для z. Для Г(Л,:) := иПг) доказано следующее

утверждение.

Лемма. Для любого множества l]cU справедливо неравенство min(lV,|^| + d)< r(Xi) < min(w,(2d +(3) В разделе 1.3 доказывается основное утверждение 1 и выводится рекуррентный алгоритм вычисления pm(w). Для двухзвеньевого маршрута R = (i, j) справедливо следующее

Утверждение 1. Вероятность наличия т свободных длин волн на маршруте R = (г, j), при условии наличия свободных длин волн вычисляется по формуле

пп

Ы

где /, = minlrtell, L = тах|г(Х)|.

л,си1 1 1

Рассмотрим теперь общий случай маршрута из N > 3 звеньев. Он сводится к анализу уже рассмотренного случая N = 2.

В соответствии с формулой полной вероятности имеет место следующее рекуррентное соотношение, где рт {к,х„) определяется из утверждения 1:

Р„ (*1 , х„ )=^рк (*„..., )рт (к,х„). (5)

к=т

В разделе 1.4 рассматривается фиксированная маршрутизация по длине волны для сети с произвольной топологией, множеством звеньев Д и количеством возможных длин волн на каждом звене, приводится алгоритм вычисления вероятности блокировки сети.

На маршрут /? поступает пуассоновский поток вызовов с интенсивностью аК. Время обслуживания вызова принимается экспоненциальным с параметром Ц = 1. Пусть

qj(w):=p{Xj=w),w = O^У ■ (6)

Введем следующее предположение. Пусть СВ Хх,...,Х] взаимно

независимы, так что q{w)=Y[q¡{wj), н> = (и',,).

При существовании »■ свободных длин волн на звене _/, время до поступления нового вызова на звено }, распределено экспоненциально с параметром аДм>), т.е. это суммарная интенсивность поступления нового вызова на звено } со всех маршрутов, содержащих звено у: [О, = О,

а» = | ^а*р[х* >0|х,=4и> = йУ • (7)

При рассмотрении одного звена, переходы из состояния в состояние можно рассматривать как процесс размножения и гибели. Запишем систему уравнений локального баланса (СУЛБ):

0Г;(и')^(н>)=^(и>-1Хи'-и' + 1),и, » = 17^. (8)

Для /? = (¡',7') условная вероятность наличия свободных длин волн равна

р{хК >о|х, = и>)= Ъ{х> = l\xJ = *)р{хя >о|х,. = и-.*, = г)=

(9)

7=1

Справедливо следующее

Утверждение 2. Вероятность блокировки маршрута К вычисляется по формуле

Г<7, (0), если /? = (/).

;гл = Р(хл=0)= (10)

I Е яА1кМ)р0{ю,1\есш К = (1,7).

и=0^=0

В сделанных предположениях и с учетом утверждения 2 получен алгоритм для расчета вероятности блокировки сети.

Во второй главе разрабатывается приближенный метод вычисления вероятностей блокировок оптоволоконной сети.

Предлагается аналитическая модель для нахождения вероятности блокировки маршрута сети, как без возможности преобразования длин волн в узле, так и с полным преобразованием длин волн. В устройстве передачи перед звеном имеется оптический БН, обеспечивающий задержку вызова в течение фиксированного времени. В модели, в целях упрощения анализа предполагается не детерминированное, а экспоненциально распределенное время пребывания в буфере со средним, равным указанному фиксированному значению. Таким образом, БН моделируется дополнительной группой приборов, называемой БН для упрощения. Предполагается также, что нагрузки на звенья сети независимы.

Интенсивность поступающего пуассоновского потока на звено г есть Ц, а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром ц, тогда нагрузка на звено г равна г = 1,7. В случае занятости всех

длин волн звена вызов буферизуется в БН конечной емкости г, причем время пребывания вызова в БН распределено экспоненциально с параметром ц0. По окончании этого периода вызов занимает свободную длину волны, при ее наличии, либо блокируется и теряется не оказывая влияния на поступающий поток вызовов (рис. 2).

( 1 У^-

и

т -О

ИЛ*

Иск

Ж

<¡=1

Рис.2. СМО

СяЛ^

Пусть X'" - СВ, определяющая число занятых длин волн на ;-м звене, а У'" - СВ числа вызовов в БН. Функционирование звена описывается двумерным марковским процессом (МП) (Xм0),Уи)0)), г > 0 с пространством состояний X = : к = О, IV, ^ = 0, г}. Стационарное распределение вероятностей

введенного МП p[nt := Р{Х<п = k,Yin = q], к = О,W , q = 0, г, существует и

находится из следующей системы уравнений глобального баланса (СУГБ):

pinq{u(r-q)Li+u(W -k)u(q-r + l)Ll+k/l + q/l0)= и(к)+

+ u(W -к)р{кЧи (k + l)/l + u(k)u(r - q)p[']U4+, (q + l)fl0+ (11)

+ u(k + l-W)u(r-q)pi»+i(q + l)Mo+u(k + l-W)u(q)pii^Li,

- — ("0, x<0,

k = 0,W,q = 0,r,u(x) = -{ Здесь и далее в моделях для нахождения

[1, *>0.

единственного решения СУГБ используется условие нормировки.

Данная система содержит (W +1)(г+1) + 1 уравнений, для которой в диссертационной работе разработан рекуррентный алгоритм вычисления вероятностей p[nq , (k,q)e X.

Алгоритм вычисления стационарных вероятностей для системы. Шаг1. Вероятности состояний (1,<?)е X,q = 0,r выражаются в виде

г*

Шаг 2. Для всех состояний (k,r)eX,k = 0,W выражаются через р(й"г. Шаг 3. Для всех состояний (A-,r-l)e X,k=<XW Pil-,,k = О ,W выражаются через Pol-i и p(Q'\.

Шаг 4. Для граничного состояния (W, г -1) pi,i'r_] выражается через р\Ц . Шаг5. Для всех состояний (к,г-1)еХ,к = 0,W подставляем в уравнения выражение Po'.i-i через р[^г.

Шаг 6. Для всех состояний (k,q)e X,k=0,W при q = r-2, q = r-3, ..., q = О повторяем шаги 3-5.

Шаг 7. Из нормировочного условия находится вероятность р'0,}г. Вероятности остальных состояний находятся из полученных выражений на шагах 1-6.

Введем следующие показатели эффективности системы: вероятность занятости всех длин волн звена i равна р[у\,; вероятность буферизации вызова

1 1

вычисляется по формуле ^ рЦ'^; вероятность потери вызова вследствие

q=0

занятости всех длин волн звена и БН равна рЦ,'г.

Интенсивность потери вызова после пребывания в БН вычисляется по формуле Ао^]^',. Совокупная интенсивность потери вызова на звене г?(,)

равна ¿'^ЦрЩ+МоЪчрЬ^.

?=1

Вероятность потери вызова на звене / совпадает с долей совокупной интенсивности потери вызова от интенсивности поступающего потока вызовов:

Распределение = 0,1У,д = 0, г, позволяет найти маргинальные

вероятности занятости к длин волн на звене р)!1 := = .

Пусть маршрут Интенсивность Ц определяется объединением

вкладов от всех предложенных потоков на маршруты, содержащие звено г.

Проведем анализ для маршрута из большего числа звеньев. Пусть д^.....-

вероятность наличия к занятых длин волн на первых п звеньях маршрута.

Для маршрута Я = {а,Ь) из двух звеньев а и Ь обозначим через па и пь количество соответствующих свободных длин волн. Вероятность Р(/\пс,пь) того, что / длин волн свободны на звеньях а и Ь, эквивалентна вероятности наличия одних и тех же свободных длин волн, как на звене а , так и на звене Ь, и имеет вид:

'IV-л.

> па+пь-У/ </ <тт{па,пь),

(12)

О, в остальных случаях. Здесь пй+пь~/<Ш, 0<па,пь<\¥.

По формуле условной вероятности распределение занятых длин волн на маршруте из двух звеньев имеет вид

V/ IV

= (13)

;=о;=о

Пусть Л'(п,IV) и л(п,\У) обозначают соответственно вероятности блокировки маршрута состоящего из 1Л1=и звеньев, содержащих по длин волн без конверсии длин волн и с полной конверсией длин волн в узлах.

Вероятность блокировки маршрута из двух звеньев без конверсии длин волн в узлах определяется как = дЦ'2'.

Можно распространить описанный выше анализ на нахождение вероятности блокировки вызова, поступающего на маршрут из п звеньев, п > 1. Будем использовать рекуррентную формулу, определяющую распределение занятых длин волн на маршруте из п звеньев через распределение занятых длин волн на маршруте из п -1 звена. Для п > 1

У/ V/

= Т. ът -/, (14)

¡=07=0

И

= (15)

Если в сети возможно преобразование длин волн, то ограничение на использование одной и той же длины волны для установления соединения отпадает. Блокировка вызова происходит при данных условиях только в отсутствии свободных длин волн на каком-либо из звеньев маршрута. Вероятность блокировки для запросов соединений, поступающих на маршрут из п звеньев равна

лг(п,И0 = 1-П(1-р«). (16)

¿=1

Если средняя загрузка звеньев одинакова, то р^ =: р„ и вероятность блокировки может быть выражена в виде

л{п,Ч/) = \-(\-р„у. (17)

В разделе 2.5 проводится оценка вероятности блокировки сети. Пусть Ак -интенсивность предложенной нагрузки на маршрут Я, - вероятность

блокировки маршрута Л длины и звеньев.

Хорошей аппроксимацией интенсивности предложенной нагрузки, на звене г с возможностью преобразования длин волн в сети, является следующая функция:

(18)

Я 1 - Я)

[о, и я,

гдеЛ(Л)=и

Результатом разработанного приближенного метода и модели, учитывающей оптический БЫ, является возможность производить приближенный расчет вероятностей блокировок оптических сетей в сделанных выше предположениях по следующей формуле:

ЕЛ

Для того, чтобы осуществить анализ сети без конверсии длин волн, сделаем допущение о пуассоновском потоке поступления вызовов. Из формулы (18) можно получить интенсивность предложенной нагрузки для сети без преобразования длин волн в узлах сети. При этом используем формулу (16) для получения 7Гк(п,\¥), если конверсия длин волн в сети возможна, и формулы (14)

и (17) для Лк (п,\У), если не возможна.

Вероятности блокировки звеньев сети могут быть получены из решения СУГБ (12). Можно показать, что эта система уравнений с нормировочным условием имеет единственное решение. Для решения системы нелинейных уравнений и нахождения вероятности блокировки, используется итерационная процедура.

В третьей главе исследованы модели работы коммутатора оптической сети с коммутацией пакетов.

В разделе 3.1 описываются алгоритмы функционирования коммутатора оптической сети с коммутацией пакетов.

В разделе 3.2. исследуется система массового обслуживания (СМО) для коммутатора оптической сети в виде модификации модели Энгсета, осуществляется вывод и решение системы уравнений равновесия, проводится численный сравнительный анализ ВВХ.

В модели будем называть пакет заявкой, входную длину волны коммутатора - источником заявок, а выходную - линией. Предложенная нагрузка - независимый пуассоновский поток заявок с параметром е от каждого из N источников. Будем учитывать время освобождения входных каналов передачи данных от информации при работе коммутатора оптической сети.

Пакет данных, поступивший с входной длины волны в коммутатор в момент занятости требуемой выходной длины волны, будет выгружаться из входного канала передачи данных, а входная длина волны будет находиться в состоянии "2" выгрузки и только после ее окончания перейдет в состояние "О".

Каждый из N независимых источников в свободном состоянии "О" может с интенсивностью е сгенерировать заявку, которая мгновенно займет одну из свободных линий, если они имеются, а источник перейдет в состояние "1"- занят, либо с вероятностью ру занятости всех V линий предложенная источником и заблокированная заявка будет выгружаться из него, а сам источник перейдет в состояние "2". Примем, что длительности пребывания источника в состоянии "1" и "2" не зависят от состояния СМО и описываются экспоненциальным распределением с параметрами и цг, соответственно.

Функционирование СМО описывается двумерным марковским процессом X(i) = {(дгу(г)): 7(1)}г > 0 с двумя структурными параметрами (N,V) и тремя нагрузочными параметрами (f,//,,//,).

Здесь 7(1) пространство состояний рассматриваемого марковского процесса:

J m = {(¿, j ) : ' = ÔV ; j = 0,N-v}, (20)

где I- число источников в состоянии "1", j - число источников в состоянии выгрузки "2". Количество состояний равно |7(1)| = (У + 1)(7V—V +1).

Поскольку исследуемая СМО - система с явными потерями, то при любых структурных и нагрузочных параметрах существует равновесное распределение {pi j,i, je У(|)}. Обозначая функцию индикатор

{1, если событие А произошло г1_„

, СУГБ можно записать в виде:

0, в противном случае

[¡Mi + jMi +{N -i — j)s]pij = (N -i- j + \)ip,_hju(i) +

+ (N -V - j +1 )tpVJ_, 1 (i = V)u(j) + (i + mpMJu(y - 0 + (21)

U + ï)/hP,.j+i«W-V-j), (i,7)e Jm.

Аналогично модели Энгсета вероятность блокировки по времени в данной модели есть:

N-V

л= S PV j=-Pv,.- (22)

J=о

Вероятность блокировки по вызовам равна отношению среднего числа заблокированных заявок к среднему числу поступивших заявок за некоторый интервал времени Т :

Y Pi,M-v - j)ît

-—• <23>

i=0 j=0

В разделе 3.3. исследуется модель коммутатора оптической сети при предоставлении услуг различного качества с учетом времени освобождения каналов от информации. В введенных предположениях для раздела 3.2 выделим два класса услуг: класс 1: высший приоритет, соответствующий передаче данных в реальном времени; класс 2: низший приоритет, не требующий передачи данных в реальном времени.

Пусть для услуг классов 1 и 2 выделен пул длин волн V,, а для услуг класса 1 выделен пул V,, причем V. +V2=V.

Предлагаемая мультисервисная модель с N источниками, V выходными длинами волн, N-V виртуальными местами (заблокированные источники) для выгрузки получивших отказ заявок и выделенным общедоступным пулом длин

волн V, является СМО, которую, будем обозначать М

м,С1,гг

М;М

V, V,

О. Диаграмма

интенсивностей переходов для СМО изображена на рис. 3. В случае занятости V, приборов, и при N -V выгружающих источниках процесс поступления заявок с низшим приоритетом прекращается, поскольку они могут помешать поступлению приоритетных заявок.

I 2 а, ~ > О ЛО-А-Ь^О-М 1

ех е-, (1-Рр)

\ ег(\~р,)

~~--- е, „ /

Л' е- . «|0 -РУ)

£-(1 Р..)

^и-й-,) / /

¡¡а-р,1 /

Ц+1

Рис.3. Диаграмма интенсивностей переходов между состояниями источника

Функционирование СМО описывается двумерным ступенчатым марковским процессом Х(г) = |лг,у(г)):1,уе 7(2>}г >0, с тремя структурными параметрами и четырьмя нагрузочными - (г,, е,, //,,//,). Здесь,

.1{2) = ^/,7):/=0,У;У = 0,Л'-У} - пространство состояний рассматриваемого марковского процесса, содержащее |У<2)| = (У + -У+ 1) состояний.

Соответствующий граф интенсивностей переходов представлен на рис.4, где €. = е1+£2. Отметим, что поскольку не все переходы являются парными, то

распределение марковского процесса Х(/) в пространстве не является мультипликативным.

Рис.4. Граф интенсивностей переходов

Используя граф интенсивностей переходов на рис.4, СУГБ можно записать следующим образом:

р,_+ jfl2 + (N-i- fle.u^ -i) + (N - i - j)e,(1 -H(V, - 0) + + (N-l-j)e2( 1-«(V, -/))и((ЛГ-V)-j)] = pMj[(Af-f- j + (1 -a(V, +1-/)) + + (N - i - j + l)£.u(V, +1 - 0M0 + PMJ(> + l)ftu(V - 0 + + P,.H l(N-i-j + (1 - u(Vt -/)) + CJV -1 - j +1)£, (1 - и(У - i))Mj) + + Pi.j+xU+ -V - j).

Основными показателями эффективности, исследуемыми в главе 3, являются вероятности блокировок приоритетного и неприоритетного классов заявок в модели коммутатора оптической сети с учетом времени освобождения входных каналов передачи данных от информации.

Эти вероятности соответствуют блокировкам запросов передачи трафика данных, требовательного к ресурсам сети, и трафика, некритичного к задержкам и потерям пакетов (англ. best-effort).

Вероятность блокировки по времени для заявок класса 1 вычисляется по

N-V

формуле El(V,N) = '^jpv j :=pv, а для заявок класса 2 - по формуле

1=0

V N-V I=v, j»о

В разделе 3.5 проведен численный анализ для коммутатора оптической сети с характеристиками, соответствующими современным коммутаторам WDM. В качестве примера на рис.5 представлен график зависимости вероятностей я1 и л2 от N {V = 88, Vt = 30, Hi = 1 ,fi2 = 0,5, ^ = 0,3, f2 = 0,2).

щ

О.ООЕ-05 -,-1-, N

100 102 1Ы 1М 1С5 110 112 114 116 118 123

Рис.5. Вероятности блокировок заявок класса 1 и класса 2 от N

В данном случае лг быстро возрастает, а щ практически не растет.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена модель блокировок для оптических сетей, использующих ограниченную конверсию длин волн в узле, с учетом того, что преобразование длины волны в узле сети не является изменением круговой симметрии. Получено доказательство применимости данного метода для расчета вероятностей блокировок маршрута оптической сети.

2. Разработана модель для нахождения вероятностей блокировок звеньев сети, в которой в отличие от известных моделей учитывается оптический буферный накопитель в устройстве передачи. Разработан рекуррентный алгоритм вычисления стационарных вероятностей для системы (И7 + 1)( г + 1) + 1 уравнений глобального баланса, что дает возможность более эффективно проводить расчеты характеристик модели.

3. Проведен анализ показателей эффективности маршрутов и сети с произвольной топологией как без возможности преобразования длин волн в узле, так и с преобразованием длин волн на основе разработанной модели звена сети с БН. Получены рекуррентные выражения для расчета вероятности блокировки маршрута сети и проведен численный эксперимент, который подтвердил незначительные отличия значений вероятности блокировки сети при числе длин волн более 16 для рассматриваемых нагрузочных параметров.

4. Разработана модель для анализа вероятностей блокировок коммутатора оптической сети при предоставлении услуг различного качества с учетом времени выгрузки информации. Получена формула для вероятности блокировки коммутатора оптической сети, и проведен численный эксперимент, который показал значительное повышение вероятности блокировки заявок класса 2 и незначительное повышение вероятности блокировки заявок класса 1 при увеличении числа источников нагрузки.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих опубликованных работах:

1. Башарин Г.П., Ефимушкин A.B. Вероятностная модель блокировок в волоконно-оптических сетях с ограниченной конверсией в узлах коммутации // В сб.: Труды ХХХУП Всероссийской научной конференции по проблемам математики и информатики. - М.: РУДН, 2001. - С.5-14.

2. Башарин Г.П., Ефимушкин A.B. Вероятностный анализ пропускной способности в многоволоконных оптических сетях // Труды ХХХУШ Всероссийской научной конференции по проблемам математики и информатики.

- М.: РУДН, 2002. - С.13-20.

3. Башарин Г. П., Савочкин Е. А., Ефимушкин А. В. Приближенный метод вычисления вероятностей блокировок оптоволоконной сети // Труды XXXIX Всероссийской научной конференции по проблемам математики и информатики.

- М.: РУДН, 2003. - С.45.

4. Башарин Г.П., Савочкин Е.А., Ефимушкин A.B. // Анализ блокировок двухзвеньевого линейного фрагмента оптической сети с одно-многоадресными соединениями // В сб.: Труды 60-й Конференции РНТОРЭС, - М.: РНТОРЭС. -2005. - С.3-6.

5. Ефимушкин A.B. Анализ вероятностей блокировок коммутатора оптической сети при предоставлении различного качества услуг связи // Технологии информационного общества: Тезисы докладов московской отраслевой научно-технической конференции, 23-25 апреля 2007 г. - М.: Инсвязьиздат. - 2007. - С. 10.

6. Башарин Т.П., Ефимушкин A.B. Анализ блокировок коммутатора оптической сети с коммутацией пакетов // М.: Электросвязь, - 2007. - № 8. -С.8-11.

7. Ефимушкин A.B. Подходы к анализу вероятностно-временных характеристик коммутатора оптической сети с коммутацией пакетов // Труды Московского технического университета связи и информатики Т.1. - М.: ИД Медиа Паблишер, - 2008. - С.118-124.

8. Ефимушкин А. В. Численный анализ блокировок оптической сети с маршрутизацией по длине волны // М.: T-Comm, - 2010. - № 7. - С.119-122.

9. Башарин Т.П., Ефимушкин A.B. Анализ вероятностей блокировок коммутатора оптической сети для услуг различного качества с механизмом освобождения каналов от информации // М.: Электросвязь. - 2011. - № 2. -С.48-51.

Ефимушкин Александр Владимирович (Россия)

Вероятностный анализ характеристик оптических сетей с маршрутизацией

В диссертационной работе исследуются математические модели оптических сетей WDM с маршрутизацией по длине волны. Получены основные ВВХ функционирования оптических сетей и оптического коммутатора.

Разработана математическая модель узла сети с ограниченной конверсией длин волн с одноадресными соединениями с учетом того, что преобразование длины волны в узлах сети не является изменением круговой симметрии, в виде системы массового обслуживания с явными потерями.

Предложен эффективный рекуррентный алгоритм для расчета вероятностных характеристик модели оптической сети с полной конверсией длин волн и без конверсии длин волн, снижающий вычислительную сложность расчета вероятностей блокировок соединений.

Разработана математическая модель оптического коммутатора с учетом времени выгрузки информации в виде мультисервисной системы массового обслуживания с явными потерями. Выполнен сравнительный численный анализ поведения некоторых ВВХ.

Для приближенного вычисления вероятностей блокировок заявок моделей предложены эффективные аналитические и алгоритмические методы анализа.

Probabilistic analysis of characteristics of wavelength-routed optical networks

In this paper, the mathematical model of WDM wavelength-routed optical network is introduced. Main probability-time characteristics of optical network and optical switch operation are obtained.

The network node model with limited wavelength conversion is developed with not round symmetric wavelength conversion as a queuing system with point to point calls.

The effective recurrent algorithm to compute the optical network probabilistic characteristics with and without wavelength conversion of the model is developed.

The model of an optical switch with time of discharge information is constructed as a multiservice loss queuing system. The comparative numerical analysis of behavior of some probability-time characteristics is made.

Effective analytical and algorithmic approaches for approximately evaluating blocking probabilities of calls are presented.

по длине волны

Alexander Efimushkin (Russia)

Подписано в печать 16.09.2011г. Заказ №05996 Тираж: ЮОэкз. Копицентр «ЧЕРТЕЖ.ру» ИНН 7701723201 107023, Москва, ул.Б.Семеновская 11, стр.12 (495) 542-7389 www.chertez.ru

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Вероятностная модель блокировок в волоконнооптических сетях с ограниченной конверсией длин волн в узлах коммутации

1.1. Особенности преобразования длин волн в узле сети

1.2. Аналитическая модель ограниченной конверсии длин 15 волн в узле сети

1.3. Основное утверждение и рекуррентный алгоритм

1.4. Фиксированная маршрутизация по длине волны

1.5. Алгоритм вычисления вероятности блокировки

1.6. Выводы

ГЛАВА 2. Приближенный метод вычисления вероятностей блокировок оптоволоконной сети

2.1. Анализ многозвеньевого маршрута оптической сети с 31 маршрутизацией по длине волны

2.1.1. Построение и анализ модели

2.1.2. Рекуррентный алгоритм вычисления вероятностей 40 состояний СМО

2.1.3. Показатели эффективности системы

2.1.4. Анализ блокировок на примере двухзвеньевого 42 линейного фрагмента оптической сети

2.2. Численные примеры по предложенной модели

2.3. Оценка вероятности блокировки сети и итерационная 52 процедура ее нахождения

2.4. Численный анализ нахождения вероятностей 54 блокировки сети на примере сети с конверсией и без конверсии длин волн

2.4.1. Характеристики промышленных систем WDM

2.4.2. Численный анализ

2.5. Выводы

ГЛАВА 3. Анализ вероятностей блокировок коммутатора оптической сети с коммутацией пакетов

3.1. Алгоритмы функционирования коммутатора 65 оптической сети с коммутацией пакетов

3.2. Построение системы массового обслуживания в виде 70 классической модели Энгсета и вывод системы уравнений равновесия

3.3. Построение системы массового обслуживания в виде 71 модифицированной модели Энгсета, вывод и решение системы уравнений равновесия

3.4. Вывод выражений для вероятностно-временных 75 характеристик и их численный анализ

3.5. Анализ вероятностей блокировок коммутатора 82 оптической сети при предоставлении услуг различного качества

3.5.1. Модель для двух классов услуг

3.5.2. Модель для двух классов услуг с управлением

3.5.3. Численные примеры

3.6. Выводы 99 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 100 СПИСОК ИСТОЧНИКОВ 101 ПРИЛОЖЕНИЕ. Документы, подтверждающие использование результатов диссертации ввх воле оскп смо

СУГБ СУР тмо шпп

ATM CWDM

DEMUX DWDM

MUX IP

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

Вероятностно-временные характеристики Волоконно-оптическая линия связи Оптические сети с коммутацией пакетов Система массового обслуживания Система уравнений глобального баланса Система уравнений равновесия Теория массового обслуживания Ширина полосы пропускания

Asynchronous Transfer Mode, асинхронный режим переноса Coarse Wavelength Division Multiplexing, грубое спектральное мультиплексирование Demultiplexer, демультиплексор

Dense Wavelength Division Multiplexing, плотное спектральное уплотнение каналов

Multiplexor, мультиплексор

Internet Protocol, протокол Интернет

Next Generation Network, сеть следующего поколения

Optical Cross-Connect, оптическая коммутация, оптический коммутатор

Wavelength Division Multiplexing, спектральное уплотнение каналов

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГО, х < 0 - функция Хевисайда и(х) = {\, х >0, х\ - мощность множества

- число оптических волокон звена сети

N - число источников (узлов сети)

Ж - количество возможных длин волн для передачи на каждом звене/волокне

Л, - длина волны л - интенсивность обслуживания ак - интенсивность поступления заявок (Гл.1)

Ц - интенсивность поступления заявок (Гл.2) е - интенсивность поступления заявок (Гл.З)

Я - маршрут сети

I* - множество маршрутов сети л - вероятность блокировки

Основными факторами развития инфокоммуникаций XXI века являются экономика, технологии и услуги. Развитие сетей связи идет со значительным ускорением; быстрый рост числа пользователей, расширение перечня-услуг и их качества повышают уровень требований, предъявляемых к системам и сетям связи [37, 70, 89].

Применение оптического волокна для передачи данных ставит перед разработчиками оборудования связи множество различных вопросов и задач, решение которых невозможно без современных исследований. Достижения в областях электроники, разработки новых материалов, радио, вычислительной техники ставили перед учеными новые задачи [3,12,14,15,18-20,24,25,27-29,33,3537,43,45,55,58,59,63-65,68]. Большое число российских - Гнеденко Б.В., Башарин Г.П., Боровков A.A., Бочаров П.П., Вишневский В.М., Климов Г.П., Коваленко И.Н., Наумов В.А., Нейман В.И., Печинкин А.В:, Пшеничников А.П., Рыков В.В., Самуйлов К.Е., Севастьянов Б.А., Степанов С.Н., Харкевич А.Д., Шнепс-Шнеппе М.А., Шоргин С.Я., Яновский Г.Г. и др. - и зарубежных ученых - Feller W., Benes V.E., Cooper R.B., Iversen V.B., Kelly F.P., Kleinrock L., Neuts M.F., Perros H.G., Ross K.W., Rouskas G.N. и др. участвовали в разработке математических моделей и численных методов анализа, широко применяющихся при расчетах, проектировании и строительстве различных телекоммуникационных сетей [14,13,14,16,17,23,28,29,34,35,37-43,48-53,64,75,78,98].

В течение последних лет требования на большую ширину полосы пропускания (ШПП) быстро росли из-за развития сети Интернет и появления новых мультимедиа приложений и услуг. В настоящее время традиционные сети связи, использующие медный кабель, уже не могут обеспечивать необходимой производительности. Поэтому большое внимание уделяется сетям, при построении которых задействованы оптические и оптоэлектронные компоненты [21, 22, 24, 26, 47, 54, 57, 60,71,88, 101, 114].

Сети, использующие оптическое волокно для передачи информации, привлекательны потому, что оно предоставляет большую ШПП, обеспечивает малые потери и малое число ошибок [99].

Технология спектрального уплотнения каналов (Wavelength Division Multiplexing, WDM), была предложена несколькими телекоммуникационными компаниями вследствие роста запросов на увеличение ШПП в транспортных сетях связи. Данная технология является намного более рентабельной в случае превышения потребности в ШПП над имеющимися ресурсами оптических каналов и позволяет добиться необходимого повышения пропускной способности без прокладки нового оптического кабеля.

Долгое время в сетях WDM использовались 2 и 4 длины волны в одном волокне. Появление технологии DWDM (Dense WDM) позволило передавать в одном волокне десятки длин волн и вести передачу с суммарной скоростью более 1 Тбит/с. Создание оптических усилителей и разработка волоконно-оптических линий связи (BOJIC) на базе DWDM значительно ускорили процесс развития систем передачи информации. В результате к концу прошлого века были созданы магистральные BOJIC значительной информационной емкости.

Частотный план современных WDM систем определяется Рекомендациями МСЭ-Т G.692, G.694.1 и G.694.2 [72-74].

Настоящий этап развития волоконно-оптических систем связи характеризуется как этап поиска путей повышения эффективности систем передачи. Выполнение данной задачи достигается за счет снижения стоимости строящихся сетей в основном регионального, городского масштаба и локальных сетей. Учитывая массовость этих дешевых и эффективных сетей, можно обеспечить большую загрузку магистральных DWDM-систем. Один из вариантов такого подхода — системы с «грубым» спектральным уплотнением (Coarse WDM, С WDM).

Успехи и перспективы развития BOJIC обусловлены в первую очередь реализацией тех возможностей, которые заложены в оптическом волокне, как передающей среде [46,62,87,96,100,105]. Число каналов зависит от спектральной ширины окна, в котором происходит передача и усиление оптического сигнала, а также от частотного интервала между каналами.

Технологии, предоставляющие возможности пакетной коммутации или коммутации групп пакетов (называемой групповой, burst) в оптических сетях, находятся на стадии НИОКР и продолжают дорабатываться ведущими производителями оборудования. Вследствие этого больший интерес сейчас представляют задачи анализа производительности оптических сетей с коммутацией каналов. Тем не менее, работы по исследованию групповой или пакетной коммутации также являются важными. Известно, что в сетях с групповой коммутацией трафик имеет самоподобный характер. При изучении таких сетей применяется теория самоподобных процессов [44,48,61,84,108]. Однако, при построении математических моделей для сетей, в основу которых заложен принцип коммутации каналов, применим и широко используется аппарат марковских процессов, хорошо изученный в рамках теории массового обслуживания (ТМО) и теории телетрафика. Специфические особенности применения в оптических сетях технологии WDM ставят перед ТМО ряд задач, которые не возникали ранее.

В оптической сети с маршрутизацией по длине волны и без волновых конвертеров сообщение между узлами передается с использованием одной и той же длины волны по цепочке звеньев, формирующей путь между узлами [97,99,101,102]. Такой путь следования называется световым путем (lightpath). При прохождении сообщений по световому пути не требуется выполнять электронно-оптические преобразования и буферизацию в узлах сети [80-82]. Сеть с маршрутизацией по длине волны без волновых конвертеров характеризуется следующими двумя ограничениями:

- световой путь должен использовать одну и ту же длину волны на всех звеньях маршрута между узлами;

- все световые пути, использующие в некоторый момент времени одно и то же звено сети, должны передавать сообщения по различным длинам волн.

Условие отсутствия волновых конвертеров в узлах фрагмента сети приводит к обязательному ограничению наличия длины волны на определенном маршруте при поступлении как запросов на многоадресное соединение, так и запросов типа «точка-точка». Обслуживание каждого нового запроса типа «точка-точка» поступающего на некоторый маршрут требует наличия на этом маршруте свободной длины волны, сразу же занимаемой запросом. Обслуживание каждого нового запроса на многоадресное соединение поступающего на некоторый маршрут может не требовать наличия свободной на этом маршруте длины волны, при условии, что на данный момент в сети осуществляется обслуживание идентичного запроса на многоадресное соединение на данном маршруте [109-113].

Однако существование запросов на установление передачи такого типа сильно усложняет задачу маршрутизации, которая помимо выбора маршрута, включает в себя выбор длины волны (одной и той же на всех звеньях маршрута, при отсутствии в сети волновых конвертеров, или разной на некоторых частях маршрута, если некоторые узлы сети оборудованы волновыми конвертерами). Таким образом, при анализе оптических сетей связи возникают задачи вычисления их вероятностно-временных характеристик (ВВХ).

Требование постоянства длины волны на всех звеньях маршрута является серьезным ограничением [8,9,66,95]. При наличии конвертеров всех длин волн в узлах, условие постоянства длины волны на маршруте отпадает [76], но при этом применение соответствующей технологии становится дорогим. Более экономичной является технология использования ограниченной конверсии в узлах [5,103]. Альтернативным решением является применение многоволоконных сетей с DWDM.

Использование многоволоконных сетей связи позволяет уменьшить стоимость создания новых сетей равноценных сетям с конвертерами длин волн в узлах. При этом использование в многоволоконных сетях связи различных конфигураций узлов основанных на использовании небольших коммутаторов одинакового размера позволяет значительно упростить многоволоконные сети и их управление, а также еще больше уменьшить их стоимость [7,85,86].

Современные коммутаторы оптических сетей связи применяют различные режимы работы, алгоритмы обработки поступающих данных и выделения свободных ресурсов. Данные задачи приводят к необходимости построения моделей в виде систем массового обслуживания (СМО) и их аналитического исследования. В настоящее время известно ограниченное число работ, рассматривающих технические аспекты реализации подобных задач [91,92,103].

Применение современных пакетных коммутаторов в оптических сетях с коммутацией пакетов (ОСКП) является новой эволюционной ступенью развития оптических сетей с магистральной сетевой архитектурой на основе технологии WDM.

Таким образом, эффективные методы анализа оптических сетей и коммутаторов оптической сети и их ВВХ являются актуальными задачами в условиях современного этапа развития сетей связи и быстрого роста возможностей для применения новых методов управления сетевыми ресурсами.

В связи с изложенным, целью диссертационной работы является модификация известных и разработка новых методов для анализа вероятностных характеристик функционирования оптических сетей с маршрутизацией по длине волны и их элементов, включая исследование аналитических моделей и проведение вычислительных экспериментов. Перейдем к общей характеристике полученных в диссертации результатов и одновременно продолжим обзор литературы.

Диссертационная работа состоит из 3 глав.

3.6. Выводы

Проведен анализ вероятностных характеристик функционирования коммутаторов оптической сети с коммутацией пакетов. Показана применимость для этих целей как классической модели Энгсета, так и ее модификации.

Проведено исследование модифицированной модели Энгсета учитывающей, что заблокированный на входной линии пакет теряется не мгновенно, а требует случайное время с известным средним значением для своей выгрузки из соответствующей входной линии, при этом переводя ее в состояние «свободно».

Проведено исследование моделей оптического коммутатора с обеспечением качества предоставления услуг, получены аналитические результаты.

Проведен численный анализ исследуемого метода, рассмотрены численные примеры иллюстративного характера.

Разработана модель для анализа вероятностей блокировок коммутатора оптической сети при предоставлении услуг- различного качества с учетом времени выгрузки информации. Получена формула для вероятности блокировки коммутатора оптической сети, и проведен численный эксперимент, который показал значительное повышение вероятности блокировки заявок класса 2 и незначительное повышение вероятности блокировки заявок класса 1 при увеличении числа источников нагрузки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработаны математические модели оптической сети WDM с маршрутизацией по длине волны и коммутатора оптической сети с коммутацией пакетов как с применением конвертеров длин волн, так и без них.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена модель блокировок для оптических сетей, использующих ограниченную конверсию длин волн в узле, с учетом того, что преобразование длины волны в узле сети не является изменением круговой симметрии. Получено доказательство применимости данного метода для расчета вероятностей блокировок маршрута оптической сети.

2. Разработана модель для нахождения вероятностей блокировок звеньев сети, в которой в отличие от известных моделей учитывается оптический буферный накопитель в устройстве передачи. Разработан рекуррентный алгоритм вычисления вероятностей р, (k,q)eX для системы {W + 1)(г + 1) + 1 уравнений глобального баланса, что дает возможность более эффективно проводить расчеты характеристик модели.

3. Проведен анализ показателей эффективности маршрутов и сети с произвольной топологией как без возможности преобразования длин волн в узле, так и с преобразованием длин волн на основе разработанной модели звена сети с БН. Получены рекуррентные выражения для вероятности блокировки маршрута сети. Проведен численный эксперимент.

4. Разработана модель для анализа вероятностей блокировок коммутатора оптической сети при предоставлении услуг различного качества с учетом времени выгрузки информации. Получена формула для вероятности блокировки коммутатора оптической сети. Проведен численный эксперимент.

1. Башарин Г.П. Введение в теорию вероятностей // М.: РУДН, 1990.-228 с.

2. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика // М.: РУДН, 2009.-342 с.

3. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета // М.: Наука, 1989.-336 с.

4. Башарин Г.П., Гайдамака Ю.В., Самуйлов К.Е. Модель функционирования сети с многоадресными соединениями и несколькими источниками информации // В сб.: Труды межд. конференции по телеком. ИСС-2001. -2001. -С. 48-52.

5. Башарин Г.П., Ефимушкин A.B. Анализ блокировок коммутатора оптической сети с коммутацией пакетов // М.: Электросвязь. 2007 № 8. - С.8-11.

6. Башарин Г.П., Савочкин Е.А. Анализ многозвеньевого маршрута оптической сети с маршрутизацией по длине волны // В сб.: Труды 59 конференции РНТОРЭС / М.: МТУ СИ, 2004. -Том 1.-С.8-10.

7. Башарин Г.П., Савочкин Е.А. Анализ пропускной способности линейного фрагмента оптической сети с маршрутизацией по длине волны // Электросвязь. 2005, №5. - С.48-52.

8. Башарин Г. П., Савочкин Е. А., Ефимушкин А. В. Приближенный метод вычисления вероятностей блокировок оптоволоконной сети // В сб.: Труды XXXIX Всероссийской научной конференции по проблемам математики и информатики // М.: РУДН. 2003. - С. 45.

9. Башарин Г.П., Самуйлов К.Е. Современный этап развития теории телетрафика // Информационная математика. 2001. -№ 1. - С.153-166.

10. Башарин Г.П., Толмачев A.JI. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем / ИНТ. Теория вероятностей. Мат. статистика. Техн. кибернетика // М.: ВИНИТИ, 1983. Т.21. -С.3-119.

11. Башарин Г.П., Харкевич А.Д., Шнепс М.А. Массовое обслуживание в телефонии // М.: Наука, 1968. 247 с.

12. Бенинг В.Е., Королев В.Ю., Соколов И.А., Шоргин С.Я. Рандомизированные модели и методы теории надежности информационных и технических систем // М.: ТОРУС ПРЕСС, 2007.-256 с.

13. Боровков A.A. Асимптотические методы в ТМО // М.: Наука, 1980.

14. Бочаров П.П. Однолинейные системы обслуживания конечной емкости // М.: Изд-во УДН, 1985.

15. Бочаров П.П., Печинкин В.А. Теория массового обслуживания // М.: Изд-во РУДН, 1995. 529 с.

16. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных серей // М.: Техносфера, 2003. 512 с.

17. Вербовецкий A.A. Основы проектирования цифровых оптоэлектронных систем связи // М.: Радио и связь, 2001. -160 с.

18. Ганьжа Д. Полностью оптические сети // Открытые системы. LAN. 2000, № 4.

19. Гауэр Дж. Оптические системы связи // М.: Радио и связь, 1989.-504 с.

20. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания // М.: Наука, ГРФМЛ, 1987. 336 с.

21. Гринфилд Д. Оптические сети // С.-Пб.: ДиаСофтЮП, 2002. -256 с.

22. Гринфилд Д. Оптические сети: Элементарная теория света и передачи световых волн. Коммутация световых волн // У-Фактория, 2002.

23. Гроднев. И.И. Волоконно-оптические линии связи // М.: Радио и связь, 1990.

24. Деарт В.Ю. Мультисервисные сети связи. Транспортные сети и сети доступа // М.: Инсвязьиздат, 2007. 166 с.

25. Дымарский Я.С., Купрянова Н.П., Яновский Г.Г. Управление сетями связи: принципы, протоколы, прикладные задачи // М.: ИТЦ «Мобильные коммуникации», 2003. 384 с.

26. Ершов В.А., Кузнецов H.A. Мультисервисные телекоммуникационные сети // М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

27. Ефимушкин A.B. Подходы к анализу вероятностно-временных характеристик коммутатора оптической сети с коммутацией пакетов // В сб.: Труды Московского технического университета связи и информатики / М.: ИД Медиа Паблишер, 2008.-Т1.-С.118-124.

28. Ершов В. А. Кузнецов H.A. Мультисервисные телекоммуникационные сети //М. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

29. Жожикашвили В. А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ // М.: Радио и связь, 1988.

30. Клейнрок JL Теория массового обслуживания // М.: Машиностроение, 1979.-432 с.

31. Корнышев Ю.Н., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика // М.: Радио и связь, 1996. 270 с.

32. Кох Р., Яновский Г.Г. Эволюция и конвергенция в электросвязи // М.: Радио и связь, 2001. 280 с.

33. Лагутин B.C., Степанов С.Н. Телетрафик мультисервисных сетей связи // М.: Радио и связь, 2000. 320 с.

34. Липский В. Комбинаторика для программистов. // М.: Мир, 1988.-213 с.

35. Мардер Н.С. Современные телекоммуникации // М.: ИРИАС, 2006.-384 с.

36. Назаров А.Н. ATM: Модели и методы расчета структурно-сетевых параметров сетей // М.: Горячая линия Телеком, 2002.-256 с.

37. Наумов В.А., Добровольская Н.Ф. Минимизация загрузки в оптических сетях по длине волны // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математики». 2002. - Т.1, № 1.- С.34-49.

38. Наумов В.А., Самуйлов К.Е., Яркина Н.В. Теория телетрафика мультисервисных сетей // М.: РУДН, 2007. 191 с.

39. Нейман В.И. Структура систем распределения информации // М.: Радио и связь, 1983.

40. Нейман В.И. Самоподобные процессы и их применение в теории телетрафика // В сб.: Труды Международной академии связи, 1999.-Т.9.-№1.-С.11-15.

41. Нейман В.И. Тенденции развития телетрафика (к итогам MKT- 18) // Электросвязь. 2004. №9.

42. Основы волоконно-оптической связи // М.: Сов. радио, 1980.

43. Портнов Э. Л. Принципы построения первичных сетей и оптические кабельные линии связи // Горячая Линия Телеком, 2009.-550 с.

44. Ромашкова О.Н. Обработка пакетной нагрузки информационной сетей // М.: МИИТ, 2001. 196 с.

45. Рыков В.В. Сети обслуживания прозрачных требований // Автоматика и телемеханика. 2001. - №5.

46. Рыков В.В., Самуйлов К.Е. К анализу вероятностей блокировок ресурсов сети с динамическими многоадресными соединениями // Электросвязь, 2000. -№10. С.27-30.

47. Самуйлов К.Е. Методы расчета вероятностных характеристик модели сети с многоадресными соединениями // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика». -2003. -Т.2, № 1. -С.45-51.

48. Севастьянов Б.А. Эргодическая теорема для Марковских процессов и ее приложения к телефонным линиям с отказами // Теория вероятностей и ее приложения, 1957. — Т.2. Вып. 1.

49. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики // М.: Изд-во ИКИ, 2004. 272 с.

50. Скляров O.K. Волоконно-оптические сети и системы связи // Солон-пресс, 2004. 272 с.

51. Слепов H.H. Современные технологии цифровых оптоволоконных сетей связи // М.: Радио и связь, 2000.

52. Степанов С.Н. Основы телетрафика мультисервисных сетей // М.: Эко-Трендз, 2010 г. С.392.

53. Стерлинг Д. Техническое руководство по волоконной-оптике // М.: ЛОРИ, 2001.-288 с.

54. Убайдуллаев P.P. Волоконно-оптические сети // М.: ЭКО-ТРЕНДЗ, 1998.

55. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1 //М.: Мир, 1984.-528 с.

56. Фокин В. Г. Оптические системы передачи и транспортные сети // Эко-Трендз, 2008. 288 с.

57. Цыбаков Б.С. Модель телетрафика на основе самоподобного случайного процесса// Радиотехника, 1999. -№5. С.24-31.

58. Черемискин И.В., Чехлова Т.К. Волноводные оптические системы спектрального мультиплексирования /демультиплексирования // Электросвязь, 2000. № 2.

59. Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ. 4.1 //М.: Наука, 1992.-336 с.

60. Шнепс-Шнеппе М.А. Системы распределения информации. Методы расчета // М.: Связь, 1979. 342 с.

61. Alwayn V. Optical Network Design and Implementation (Networking Technology) // Cisco Press, 2004 r. 840 p.

62. Basharin G.P., Savochkin E.A. Decomposition analysis of linear fragments of wavelength routed WDM networks with multicast calls // Proc. Intern. Teletraffic Congress 19, Beijing, 2005. -Vol.6a.-Pp. 1059-1069.

63. Berthold J., Saleh A.A.M., Blair L., Simmons J.M. Optical Networking: Past, Present, and Future // IEEE Journal of Lightwave Technology. 2008. - Vol.26. - Pp. 1104-1118.

64. Bertsekas D. Gallager R., Data Networks // Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1992.

65. Birman A. Computing approximate blocking probabilities for a class of all-optical networks// IEEE J. Select. Areas Commun. -1996. Vol. 14, № 5. - Pp.852-857.

66. COST-257. Final Report. Impacts of New Services on the Architecture and Performance of Broadband Networks . Eds. Tran-Gia P., Vicari N.

67. Green P.E. Fiber Optics Networks // Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993.

68. ITU-T Recommendation G.692: Optical interfaces for multichannel systems with optical amplifiers. October, 1998.

69. ITU-T Recommendation G.694.1: Spectral grids for WDM applications: DWDM frequency grid. June, 2002.

70. ITU-T Recommendation G.694.2: Spectral grids for WDM applications: CWDM wavelength grid. December, 2003.

71. Iversen V.B. Teletraffic Engineering Handbook // ITU-D, SG2 Q 16/2.-May, 2008.

72. Karasan E., Ayanoglu E. Effects of wavelength routing and selection algorithms on wavelength conversion gain in WDM optical networks // IEEE/ACM Trans. On Networking. 1998. -Vol.6, No.2.-Pp.l86-196.

73. Kelly F.P. Blocking probabilities in large circuit switched networks // Advances in Applied Probability. 1986. - Pp.473-505.

74. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks // Chichester: John Wiley & Sons, 1979.-630 p.

75. Kim J., Choi J., Kang M., Rhee J.-K. K. Design of novel passive optical switching system using shared wavelength conversion with electrical buffer // IEICE Electronics Express. 2006. - Vol. 3, No.24. - Pp.546-551.

76. Kovacevic M., Acampora A. Benefits of wavelength translation in all-optical clear-channel Networks // IEEE JSAC. 1996. - Vol.14, No.5. - Pp.868-880.

77. Kovacevic M., Acampora A. Benefits of wavelength translation in all-optical networks // Proc. IEEE INFOCOM'95, Boston, MA. -Vol. 2, April 1995. Pp.413-422.

78. Kovacevic M., Acampora A. On wavelength translation in all-optical clear-channel networks // IEEE J. Select. Areas Coramun. -1996. Vol. 14, No.5. - Pp.868-880.

79. Lambert J. Performance Analysis of Optical Fibre Delay Line Bufers and DOCSIS Cable Modem Networks// Universiteit Antwerpen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde & Informática, 2008. 202 p.

80. Leland W.E., Taqqu M.S., Willinger W., Wilson D.V. On the selfsimilar nature of Ethernet traffic (extended version) // IEEE/ACM Trans. Of Networking. 1993. - Vol.1, No.2. -Pp.1-15.

81. Leung Y.-W., Xiao G., Hung K.-W. Design of Node Configuration for All-Optical Multi-Fiber // IEEE Trans, on Comm. 2002. -Vol.50, No.l.-Pp.l35-145.

82. Li L., Somani A.K. A New Analitical Model for Multifiber WDM Networks // IEEE J. Select. Areas Commun. 2000. - Vol. 18, No.10. -Pp.2138-2145.

83. Malli R., Zhang X., Quiao C. Benefits of multicasting in all-optical networks // Proc. SPIE Conf. All-Optical Networking. 1998. -Vol.3531.-Pp.209-220.

84. Mukherjee B. Optical Communication Networks // New-York: McGraw-Hill, 1997.

85. Nong G, Hamdi M. On the Provision of Quality-of-Service Guarantees for Input Queued Switches // IEEE Commun. Magazine. 2000. - No. 12. - Pp.62-69.

86. Overby H. Performance modeling of optical packet switched networks with the Engset traffic model // OPTICS EXPRESS 1685.- 7 March 2005. Vol.13, No.5.

87. Perez J. F., Van Houdt B. A Mean Field Model for an Optical Switch with a Large Number of Wavelengths and Centralized Partial Conversion // Performance Evaluation. 2010. - Vol.67, No.ll. - Pp. 1044-1058.

88. Pinart C. Anticipation of traffic demands to guarantee QoS in IP/optical networks // Future Internet. 2010. - Vol.2, No.3. -Pp.417-430.

89. Rahbar A.G.P., Yang O.W.W. Contention avoidance and resolution schemes in bufferless all-optical packet-switched networks: A survey // IEEE Communications Surveys and Tutorials. 2008. -Pp.94-107.

90. Ramamurthy B., Mukherjee B. Wavelength conversion in WDM networking // IEEE JSAC. 1996. -Vol.16. -Pp.1061-1073.

91. Ramaswami R., Sivarajan K.N., Sasaki G.H. // Optical Networks A practical Perspective, Third Edition. 2010. - 893 p.

92. Ross K.W. Multiservice Loss Models for Broadband Communication Networks // London, Berlin, New-York: SpringerVerlag, 1995.-343 p.

93. Rouskas G.N., Perros H.G. A tutorial on optical networks //s

94. Networking 2002 Tutorials. 2002. - Pp. 155-193.

95. Sahasrabuddhe L.H., Mukherjee H. Light-trees: Optical multicasting for improved performance in wavelength-routednetworks // IEEE Commun. Mag. 1999. - Vol.37, No.2. - Pp.6773.

96. Siva Ram Murthy C., Gurusamy M. WDM Optical Networks: Concepts, Design and Algorithms // Prentice Hall PTR, 2001. -430 p.

97. Stern T.E., Ellinas G., Bala K. Multiwavelength optical networks : architectures, design and control // Cambridge; New York, 2nd ed., -2009.-966 p.

98. Subramanium S., Azizouglu M., Somani A. All-optical networks with sparse wavelength conversion // IEEE/ACM Trans, on Networking. 1996. - Vol.4. -Pp.544-557.

99. Subramanium S., Azizouglu M., Somani A. On the optimal placement of wavelength converters in wavelength-routed networks //Proc. IEEE INFOCOM. 1998. -Pp.902-909.

100. Subramanium S., Azizouglu M., Somani A., Barry R.A. A performance model for wavelength conversion with non-poisson traffic // Proc. IEEE INFOCOM. 1997. - Pp.500-507.

101. Tripathi T., Sivarajan K.N. Computing approximate blocking probabilities in wavelength routed all-optical networks with limited-range wavelength conversion // IEEE J. Select.Areas Commun. -2000. Vol.18. -Pp.2123-2129.

102. Tripathi T., Sivarajan K.N. Computing approximate blocking probabilities for Wavelength routed all-optical networks with limited-range wavelength conversion // Proc. IEEE INFOCOM. -1999. -Pp.329-336.

103. Tsibakov B., Georganas N.D. Self-Similar Processes in Communication Networks // IEEE Trans. On Information Theory. -1998.-Vol.44, No.5. -Pp.1713-1725.

104. Zang H., Jue J.P., Mukherjee B. A Review of Routing and Wavelength Assignment Approaches for Wavelength Routed Optical WDM Networks // Optical Networks Magazine. 2000. -Pp.47-60.

105. Zhu Y., Rouskas G.N., Perros H.G. Blocking in wavelength routing networks, Part I: The single path case // Proc. IEEE INFOCOM. -1999. -Pp.321-328.

106. Zhu Y., Rouskas G.N., Perros H.G. Blocking in wavelength routing networks, Part II: Mesh topologies // Proc. IEEE INFOCOM. -1999. -Pp.1321-1330.

107. Zhu Y., Rouskas G.N., Perros H.G. A comparison of allocation policies in wavelength routing networks // Photonic Network Commun. Vol.2, No.3. - Pp.265-293.

108. Zhu Y., Rouskas G.N., Perros H.G. A path decomposition approach for computing blocking in wavelength-routing networks // IEEE/ACM Trans.on Networking. 2000. - Vol.8, No.6. - Pp.747762.

109. WDM Technologies: optical networks // Ed. by Dutta A.K., Dutta N.K., Fujiwara M. -Elsevier Academic Press, 2004. 302 Pp.

110. Wong E. W. M., Zukerman M., Performance evaluation of an optical hybrid switch with circuit queued reservations and circuit priority preemption // Opt. Exp. 2006. - Vol.14, No. 23. -Pp.11043-11070.