автореферат диссертации по энергетике, 05.14.05, диссертация на тему:Вариант конечно-элементного метода контрольного объема для решения задач тепломассообмена

Уажовекий ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и }. ордена Трудового Красного Знамени

Государственный технический университет имени Н.Э.Баумана

На правах рукописи Щ 532.516 ■

Скибин Александр Петрович

ВАРИАНТ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССООБМЕНА-

05.14.05 - Теоретические основы теплотехники

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1993

РаОота выполнена в Московском ордена Ленина, ордена Огаябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственной техническом университете имени Н.Э.Баумана

Научный руководитель: кандидат технических наук,

доцент В. 11 Югов

доктор тетнических наук, доцент P.S. Кавторадае

кандидат фиаико-математических наук, доцент А.Ы. Гсивокш

Институт проблем ».¡еханики РАН

Защита диссертации состоится nfß" I® 1993 г. в чао. на заседании специализированного Совета К.053Л5.05 при Московском Государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 107005, г. Москва, Лефортовская наб., д.1 ф-т "Энергомашиностроение"

О диссертацией можно овнакоииться в библиотеке университета.

Ваш отвыв на автореферат в 2- х зкв., заверенный печатью, просим выедать по адресу: 107005, г. Москва, 2-я Бауманская ул. 5, МГТУ им.Н.Э.Баумана, ученому секретарю специализированного Совета К.053.16.06

Автореферат разослан "Ii" Q9. 1993 г. .

Учений секретарь

специализированного к.т.н., доцент

Подп. к леч.Де&ОЗ Заказ Объем 1 п.л. Тнр. 100 эка.

Официальные оппоненты:

Ведущая оргаяиеация

Чб2- География ЫГГУ им. Н.Э. Баумана

<ШЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАРл'ТЫ

Актуальность. Многие задачи теплообмена и массообмена, гидродинамики и газовой динамики, аэрогидродинамики окружающей среды, магнитодинамики, с которыми в настоящее время приходится сталкиваться исследователям и инженерам, не поддаются аналитическому решению, поэтому единственной возможностью их теоретического анализа становится математическое моделирование на ЭВМ. Прогресс в разработке численных методов позволил существенно расширить круг задач, доступных анализу. В настоящее время признано, что математическое моделирование с помощью ЭВМ часто оказывается; более дешевым и точным, чем экспериментальные исследования, также можно указать многие другие достоинства математического моделирования как метода научного исследования., .

Метод конечных элементов (ЬКЭ) на сегодняшний день является ' одним из основных методов математического моделирования во многих ооластях науки и техники. Созданные на его основе-программные комплексы (ПК) широко используются в аэрокосмической и автомобильной промышленности, кораблестроении, строительной механике, акустике и т.д. МКЭ является эффективным численным методом, так как позволяет достаточно точно описать сложные криволинейные границы расчетной области и краевые условия. Следовательно, ■ создание новых высокоэффективных вариантов ШЭ для решения широкого класса задач тепломассообмена в геометрически сложных расчетных областях Является актуальной проблемой.

Цель работы. Разработка вариантов метода конечных элементов, основанного на интегрированию по контрольному объему (ШЭ-КО), для решения двумерных задач тепломассообмена в геометрически сложных областях. Проверка эффективности программных комплексов, созданных на основе разработанного метода, оценка достоверности и точности получаемых результатов.

Научная новизна. Разработаны варианты МКЭ-КО,'воплощенные в ПК, позволяющие более эффективно исследовать задачи тепломассообмена, чем это позволяют существующие Ш, основанные на конечно-разностной и обычной конечно-элементной формулировках. Предложен

1

ноши способ расчета плотности теплового потока и напряжения трения на границе расчетной области с. граничными условиями 1-го рода. Предлагаемый способ точнее традиционных. Предложена новая расчетная сетка для решения задач тепломассообмена и гидродинамики несжимаемой жидкости пригодная как для конечно-разностной, так, и для конечно-элементной формулировки чи енного метода. Предложенная сетка легко обобщается на трехмерный случай.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные ПК позволяют получать достаточно точные решения на довольно грубых сетках и тем самым экономить компьютерное время и память ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы обсуждались на конференции,, проведенной Днепропетровским Государ-' ственньш Университетом 26-28 мая 1993 т. и на научно-технических семинарах кафедр "Теоретические основы теплотехники" и "Прикладная математика" ЫГТУ им, Н.З.Баумана.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано две печатных работы, материалы диссертации использовались в 6 научно-технических отчетах.

Структура и объем работы.-Диссертация состоит из введения, , пяти глав, списка литературы и приложения. Работа содержит 148 страниц текста, 57 страниц рисунков и список литературы из 84 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ. РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность теш и определена цель исследования.

В первой главе дан обзор численных методов, применяющихся для математического моделирования гидродинамики и теплообмена в областях сложной формы.

В задачах тепломассообмена и гидродинамики расчетные области, как аравщо, имеют нерегулярную форму; часто именно эта нерегулярность является наиболее интересной и важной особенностью рассматриваемых вадач. Некруглые и непрямоугольные участки встречаются в теплообменниках и трубопроводах. Крылья самолетов, лопатки турбин и улитки центробежных насосов являются примерами 2

геометрии произвольной формы. Ни в окрулающей среде, ни в инженерной практике, как правило, не существуют области, границу которых "параллельны" координатным'плоскостям обычно используемых осей координат. Поэтому решение практически важных задач тепломассообмена и гидродинамики требует применения методов, допускающих нерегулярные расчетные области.

Численные методы для решения сложных задач, связанных стечениями жидкости и тепломассообменом, могут быть разделены нй две главные группы: методы конечных разностей (МНР) и методы конечных элементов. Традиционно численные методы для задач, связанных о течениями жидкости, принадлежали к классу МКР. МКЗ впервые.Стали применяться в механике твердого тела. Однако в 80-е годы была проделана колоссальная исследовательская работа, направленная на приспособление ТО для решения задач, связанных с течениями жидкости.

Каждый из двух классов методов: ИКР и МКЭ мохет быть, в свою очередь, разделен на две группы: методы, использующие в качестве зависимых переменных функцию тока и вихрь, и методы, в которых зависимыми переменными являются давление и компоненты скорости или обычные переменные. В последнее время гораздо чаще применяются обычные переменные, как в ШР так и в ШЭ.

Класс' МКЭ идеально приспособлен для решения задач, имеющих расчетную область нерегулярной формы. С другой стороны, МКР традиционно рассматриваются как методы, ограниченные расчетными облас- , тями регулярной формы или областями, ограниченными координатными поверхностями. Однако существуют многочисленные примеры использования МКР для областей нерегулярной формы. -

. Патанкар предложил универсальный метод, который позволяет модифицировать № и применять их для расчетных областей произвольной геометрии. Модификация заключается в выключении или блокировании некоторых контрольных объемов (КО) регулярной сетки таким образом, чтобы оставшиеся КО составляли рассматриваемую нерегулярную область. Однако этот метод имеет ряд недостатков." Он неэффективно использует ресурсы ЭВМ: требуются большие объемы памяти и выполняются бессмысленные расчеты в заблокированных КО. Кроме того, область произвольной формы может быть аппроксимирована только набором КО регулярной формы.

В принципе, для всех просто связанных областей произвольной формы можно применять численный метод, который использует криволинейную ортогональную систему координат. Однако можно перечислить следующие трудности, с которыми можно встретиться, применяя этот метод: уравнения могут стать слишком сложными и это может отразиться на точности полученного решения; „..я каждой конкретной задачи должна быть сгенерирована своя координатная система, и это влечет за собой дополнительные трудности; многоевяэные области представляют дополнительные трудности.

В гидродинамике и теплопередаче МКЭ впервые применялся для расчета стационарных потенциальных течении, течений че'-з пористые среды к для задач теплопроводности. Для уравнений Навье-Стокса Одек и Велфорд показали, что конечно-элементные модели для задач динамики сжимаемой и несжимаемой жидкости могут быть получены методами знергетического баланса или методом взвешенных невязок (методом Галеркина). После этого усилия исследователей были екон-■ центрированы на применении ШЭ для задач динамики жидкости и тепломассообмена. Однако, прежде чем ШЭ стал применяться для решения широкого круга важных задач конвективного тепломассообмена, пришлось преодолеть ряд трудностей.

Когда конвективный перенос зависимой переменной соизмерим или превосходит диффузионный перенос, в МКР.применяются противопоточ-ные или гибридные конечно-разностные схемы. Кристи и Гриффите были первыми, кто предложил для ШЭ идеи подобные противопоточным схемам, однако, их метод был ограничен одномерными задачами, Хейнрич и Хаякорн распространили идеи работы Кристи на двумерные задачи; их методы были названа "противопоточньши" конечно-элементными методами. Центральной идеей их "противопоточных" ШЭ является несим-. . матричная весовая функция, отличающаяся от первоначально использовавшихся симметричных функций формы. Кроме того, ШЭ применякщийся да решения вадач тепломассообмена должен учитывать еще одну особенность надежных ЖР. В конечно-разностных методах расположения уалов, где хранятся значения давлений к компонент скорости, является критическим, независимо от порядка интерполяционных функций для этих переменных; это привело к концепции смещенных иди "шахматных" сеток, впервые примененных для МНР в работе Сполдинга, а

затем успешно использованных в работах Патанкара.

Начиная с 1983 года появился ряд работ, в которых успешно преодолеваются трудности, присущие ШЭ, изложенные выше. Предла гаемый Патанкаром, Балигой и Пракашем метод можно рассматривать как синтез лучших особенностей конечно-элементных и конечно-разностных методов (авторы называют его контрольно-объемным методом конечных элементов (МКЭ-КО).В последние годы появились и отечественные работы (Кочубей и др.), в которых развивается МКЭ-КО для решения задач гидродинамики и теплообмена в двух- и трехмерных областях сложной формы.

Таким образом, разработка и создание программной реализации новых, эффективных вариантов МКЭ-КО для численного решения задач гидродинамики и тепломассообмена в областях сложной формы, преде-тавлякшх практический интерес, является весьма актуальной задачей.

Во второй главе описывается разработанный вариант МКЭ-КО, для решения нестационарного, нелинейного уравнения теплопровод- . ности в анизотропной среде, имеющей сложную форму. Расчетная 1.0-ласть разбивалась на трехузловые симплекс-элементы, на форму и размеры которых не накладываются никакие ограничения. С каждым узлом расчетной области ассоциируется КО, построенный так, как показано на рис. 1. Дискретные аналоги для каддого узла получаются из уравнения теплового баланса для КО, связанного с этим узлом, которые затем собираются в систему линейных уравнений.

На основе описанного в главе варианта МКЭ-КО был создан ПК Ш-К0_Т для решения в декартовой или цилиндрической системах ко-' ординат двумерного нестационарного нелинейного уравнения теплопроводности с анизотропными коэффициентами теплопроводности. Разработанный ПК использует треугольные симплекс-элементы, а для определения значений тепловых потоков в узлах элементов был применен метод согласованной аппроксимации.

Для тестирования разработанного ПИ был решен ряд задач, имеющих аналитическое решение, и было получено очень хорошее соответствие численных и точных решений. Из решенных задач в главе представлены четыре тестовые задачи. Для демонстрации возможностей раз-•работавного МКЭ-КО, использующего новый метод построения дискрет-

ного аналога уравнения теплопроводности в цилиндрической системе координат, рассматривалась задача математического моделирования теплового состояния цилиндрического образца, изготовленного из анизотропного графита МПГ-8 при импульсном тепловом воздействии. Образец с радиусом 1Ю.009 м и толщиной 1-0.003 м располагался в центральной части вакуумной камеры (размеры образца много меньше размеров камеры). Единственным видом теплообмена мевду камерой и образцом был теплообмен излучением, так как теплообмен через систему крепления образца можно не учитывать.

В начальный момент времени образец находился ь состоянии теплового равновесия со стенками камеры при температуре '00 К. В процессе эксперимента на лицевую торцевую поверхность образца действовал импульс лазерного излучения в 210 Дж длительностью 10~э секунды. Пространственно-временное распределение энергии импульса известно и приведено на рис. 2. Ось симметрии образца и ось симметрии пространственного распределения энергии импульса совпадают. Изменение температуры в центре тыльной торцевой поверхности образца во времени регистрировалось пирометром.

Рассчитано изменение температуры в центре тыльной поверхности цилиндрического образца во времени, результаты расчета сравнивались с результатами эксперимента. Следует отметить,что в случае обычного МКЭ, где особенности цилиндрической системы координат учитываются с помощью среднего радиуса по элементу, невозможно точно определить температуру на оси вращения, а в данной задаче требуется именно это. Также на примере этой задачи покагано, что разработанному ШЭ-КО не требуется согласование мевду вагами по времени и пространственным координатам, характерное для традиционных МКЭ. Численное решение задачи проводилось на сетке 11x6 узлов в расчетной области, причем шаг по времени изменялся от 10~5 до Ю-2 секунды. Сравнение рассчитанной зависимости изменения температуры в центре тыльной поверхности образца с экспериментально измеренной Шаговым Е.В. и Червяковым В.В. приведено на рис.3. Как видно из рисунка они имеет хорошее соответствие, несмотря на применений для численного расчета грубой сетки.

Рассматриваемый вариант .Ш-КО обладает следующей интересной особенностью, которая позволяет очень точно определять тепло-6

вой поток (или плотность теплового потока) на границе расчетной области с заданными граничными условиями 1-го рода. Тепловой поток можно получить из уравнений тепловых балансов для граничных КО, подставив в них заданные значения температур в граничных узлах и рассчитанные значения температур во внутренних узлах расчетной области.

Предлагаемый способ нахождения тепловых потоков через внешнюю границу имеет следующие преимущества перед традиционным^способами: во-первых, его можно применять для любой формы внешней границы и, во-вторнх, в предложенном способе не применяется численное вычисление частных производных, которые загисят от геометрических параметров разбиения расчетной области на конечные элементы. Поэго-.г/ данный способ даже на очень грубых сетках дает очень хоройне результаты.

Третья глава посвяцена разработке варианта МКЭ-КО для решения дй4>. уравнения,, описывающего только конвективный перенос теп-.,а движутся средой, которое получается из уравнения энергии

рСИ * 3)'- & + эрт (1)

где 3 - вектор полного теплового потока, являющейся суммой кснвекшного и диффузионного тепловых потоков

3 - рСиГ - Л дга<4 Т

а есв! шдолняется условие \\jyCUTW >> ¡\z\gradГ!! то уравнение (1) " прзкаает вид

реи * йшреит) - 5с *ЭРТ (2)

Данное уравнение используется при ыатегаткческом вделщюва-ейз процесса переноса тепла в пористой среде движущейся идаэстыэ 1Ш газом, если применяется двухтекпературная 6-3 модель« которая состоит из уравнения теплопроводности для пористой среды (индекс Б) и уравнения энергии да аэдкоста (индекс б)

(рС)бГР& + (и,9)П]=7<'Ас*Т61 + с(»<Тв-Тй) (3)

дт

п-у>НрС}& дТв * * Та-Та)*С1гу (4)

Вт

Данная модель соответствует представлению пористой среды, ьа-полнлшой жидкостью, как совокупности двух континуумов. В каждой из фаь, жидкой и твердой, процесс теплообмена описывается обычным уравнением сохранения энергии в данной фазе , но с использованием эффективных коэффициентов теплопроводности Хс и

Если в уравнении (4) модно пренебречь членом. я/АьуЪ) . то оно принимает вид _

(рС)с <рШе +грС/с (й,1)Тс о(< (Ъ - 1с) (5)

ИЛИ дт

что полностью соответствует уравнению (2),

Для численного моделирования теплового состояния теплообмена в пористой среде был модифицирован ПК МКЭ-КО_Т, в который были добавлены подпрограммы для решения уравнения энергии для жидкости.

Для проверки достоверности разработанного варианта МКЭ-КО били решены несколько тестовых задач, в том числе задача об определении теплового состояния плоской стенки с активным охлаждением. Результаты решения представлены на рис..4,

В четвертой главе разработан вариант МКЭ-КО для решения обобщенного дифференциального конвективно-диффузионного уравнения, которое является уравнением сохранения обобщенной переменной. Ею может быть: температура, энтальпия, проекции вектора скорости на оси координат и т.д.

Предлагаемый вариант МКЭ-КО основан на предложенной Патанка-ром и Балигой экспоненциальной интерполяции на треугольном элементе. Было проведено сравнение Ш-КО с экспоненциальной интерполяцией с вариантом МКЭ-КО, использующим линейную интерполяцию на элементе, Сравнение показало явное преимущество "экспоненциальной" интерполяции на конечном элементе.

Для проверки влияния сеточной диффузии была решена тестовая задача о "переносе" заданного профиля температуры через квадратную область равномерным полем скорости жидкости,^ имеющей практически нулевую теплопроводность. Численное решение данной задачи осущест-6

плялось для случая, когда коэффициент диффузии Г-10"7 на сетке 11x11 при различных'углах между направлением скорости жидкости и осью абсцисс, лежащих в интервале [-45*,45'}. На рис. 5 показано распределение безразмерной температуры полученное при решении данной задачи МКР-КО и МКЭ-КО при значении угла между вектором скорости и осью абсцисс равным 45*. ,

При решении всех тестовых задач было получено полное совпадение с результатами полученными Патанкаром, Балигои и Пракашем.

В пятой главе разработан вариант МКЭ-КО для численного решения задач тепломассообмена в областях сложной Форш, которые в общем случае описываются системой эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных:

Уравнение движения по оси х

В(риипд (рт5и),-дР +д(^ди)+дГ/4ди}>5и(7) -

«Эх ду дх ах дх ау ду

Уравнение движения по оси у

ЦцГриНУ * 4 (8)

Уравнение неразрывности

д!ри) +£1рг!):0 (9)

дх ду

Уравнение энергии

й(рц Т) +д1р#7]д (£ й.7/ + й ¡¿¡€и в (10)

дх ду о* ду Ргду

Уравнения сохранения, для обобщенной переменной

&ри<Р) й(ГйЧ>) + д(ГдФ1 * В*

дх . ау дх дх ду а у

(Ш

В МКР для для численного решен!« этой системы уравнений обычно используют "смещенную" (ваттную) сетку. Ддя нее компонента скорости рассчитываются в узловых точках, смещенных относительно узлов, которым соответствуй давления и все другие основные

э

менные: Т, Ф. Компоненты скорости смещены только в их "собственных" направлениях, го есть и - проекция скорости в направлении х, смещена только в направлении х, v - только в направлении у . Но шахматная сетка обладает также следующими основными недостатками;

1. Расчетная область разбивается на три разньпс сетки узлов (дм и, для v. для Ф и Р), не совпадающих друг с другой.

2. Невозможно рассчитать еиачения давления по границам областей, без применения экстраполяции.

3. Практически невозможно применить шахматную сетку для численного решения системы уравнении Наьье-Стокса для конечно-элементной формулировки метода контрольного объема.

Для преодоления указанных недостатков предлагается новый вариант построения сетки которая состоит ив двух : "грубой" - для обобщенной переменной и давления, и "мелкой" - для продольной к поперечной скорости, которая будет "вложенной" сеткой для грубой (рис. 6). Эта сетка имеет следующие преимущества по сравнению с шахматной: расчетная область разбит на две (а не три) сетки узлов вложенных одна в другую» причш "грубая" и "мелкая" сетки со-веренно идентичны по построении. В случае трехмерной задачи тайке буду? только две сетки, а не четыре для смещенной.

Еще одно преимущество предложенной сетки состоит в teas, что ее можно использовать как для конечноразностнои реализации метода контрольного объема, так и для конечно-элементной реализации этого метода. Для «того случая дискретизация расчетной области показала на рис 7.

Используя предложенную разбивку расчетной области, на основе процедуры SIMPLE (связывающей скорость и давление), был разработан вариант Ш-КО и его программная реализация ПК Ш-КО для рееешт системы эллиптических уравнений {в том числе уравнений Бавье-Сток-са) в двумерной области произвольной формы в декартовой скстеке о координат. ПК собран таким образом, что кроме уравнений движения • и уравнений для поправки давления можно решать швое количество . конвективно-дгойузмонннх уравнений (уравнение энергии, уравнение ди4Фугии, уравнение кинетической знергш турбулеятеоетий и скорости ее диссипации, и т.д.)„ В данной версии ЯК число дшгштемша уравнений равно 11. Для тестирования предложенного варианта 1ШЭ-К0 10

и разработанного ПК были решены 4 тестовых задачи, имеющих или аналитическое решение, или точное численное решение, которые также решались двумя другими ПК, основанными на № и использующими традиционную шахматную сетку и предлагаемый новый вариант с двумя вложенными сетками.

Сравнение результатов расчетов показало, что применение ново-, го способа разбивки расчетной области позволяет получать такие же точные решения, как и при шахматной сетке, но на гораздо более грубых сетках. Так на рис. 8 показаны для течения в квадратной полости с движущейся стенкой при (?е-100 распределения безразмерной продольной скорости в центральном сечении каверны. Данные получены с помощью ПК "ДЭГ на довольно подробной яшматной сетке 21x21 узел и ПК МКР-КО и МКЗ-КО, использующих предлагаемый вариант разбивки области на грубой сетке 9x9 узлов. С данными результатами расчетов хороио согласуются данные Бурггра£а, полученные МКР на сетке 52x52.

Используя свойство консервативности предложенного варианта МКЭ-КО, можно определять плотности тепловых потоков и напряжения трения на криволинейных внешних границах гораздо точнее, чем при применении традиционных способов, требуювдх численного определения частных производных. Для демонстрации возможностей разработанного варианта Ш-КО, использующего две вложенные друг в друга сетки, были численно исследована задача о ламинарной естественной конвекции в квадратной и трапециевидной полости при числах Рэлея равных 103, 104 и 105. Для случая, когда исследовался теплообмен в квадратной полости, применялись сетки 5x5 для Яа равных 103 и 104 и * 8x8 для йа-Ю5. Получившиеся поля температур практически совпали с результатами расчетов Кочубея на сетке 21x21 узел. Рассчитанные на таких грубых сетках локальные Ки по горячей и холодной сторонам полости хорошо» согласуются с результатами полученными Кочубеем и Полежаевым на расчетной сетке 21x21 узел (рис. 9.)

Исследование естественной конвекции в трапециевидной полости проводилось на сетке 7x7 узлов. Рассчитанные поля температур в полости (рис. 10} и интегральные числа Нуесельга (рис. 11) сопоставлялись с результатами экспериментов Ликсна и расчетов Патан кара ка гораздо более лодрсбных детках и показали хорошее совпадение с и;ш

11

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан вариант конечно-элементного метода контрольного объема для численного решения в декартовой или цилиндрической системах координат двумерного нестационарного и нелинейного уравнения теплопроводности в анизотропной среде.

2. Предложен новый способ построения дискретного аналога для уравнения теплопроводности, записанного в цилиндрической системе координат, и разработана его реализация, использующая понятие "среднеинтегральной теплопроводности".

3. Сформулирован алгоритм, осуществлена программная реализация и тестирование разработанного варианта ШЭ-КО.

4. Предложен новый способ определения плотности теплового потока на границе расчетной области с граничными условиями 1-го рода, основанный на уравнении теплового баланса для контрольных объемов, расположенных на границе области. Осуществлена программная реализация нового способа и его сравнение с обычно применяемыми. Показано, что предлагаемый способ более точен.

5. Предложен вариант МКЭ-КО для'численного решения уравнения, описывающего только конвективный перенос тепла в двумерной произвольной области в декартовой или цилиндрической системах координат, осуществлена его программная реализация и тестирование.

6. Сформулирован алгоритм построения варианта МКЭ-КО для решения конвективно-диффузионного эллиптического уравнения, основанный на экспоненциальной интерполяции на треугольном конечном зле-менте. Проведено тестирование разработанной программной реализации метода.

7. Предложена новая расчетная сетка для решения задач гидродинамики и тепломассообмена несжимаемой вязкой жидкости методом контрольного объема,, которую можно построить как для конечно-разностной, так и конечно-элементной формулировки метода контрольного

* объема. Предложенная сетка состоит из двух вложенных одна в другую сеток и легко обобщается на трехмерный случай.

8. Сформулирован алгоритм, осуществлена его программная реализация и тестирование предложенного варианта МКЭ-КО для решения задач гидродинамики и тепломассообмена.

12

9. Проведено сравнение разработанного программного комплекса

ШЭ-КО с программным комплексом МКР-КО, использующим конечно-разностный вариант предложенной сетки, и с ПК "ДЭТ", в котором применяется шахматная сетка. Показано, что ПК, использующие предложенную сетку, позволяют получать более точные реиения, особенно на , грубых сетках.

10. Предложен новый способ определения напряжения трения на стенке, основанный на свойстве консервативности дискретных аналогов. Осуществлена его программная реализация, тестирование и сравнение с традиционным способом определения касательного напряжения. Предлагаемый способ точнее традиционных.

11. Разработанные программные комплексы позволяют получать достаточно точные решения на довольно грубых сетках и тем самым экономить компьютерное время и память 90/.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

3. Математическое моделирование трехмерных температурных полей в пространственно армированных композиционных материалах / Б.В. Шилюв , В.П. Югов, А.П. Скибин, В.В. Червяков // Теория приближении и задачи вычислительной математики: Тезисы докладов конференции. -Днепропетровск, 1993. - С. 31-32.

2. Югов В.П., Скибин Д.П. Вариант метода контрольного объема для решения задач гидродинамики и тепломассообмена У/Теория приближений и задачи вычислительной математики: Тезисы докладов конференции. -Днепропетровск, 1993. - С. 33-34.

Рис. 1. Контрольный объем 1-го узла

Рис. 2. Распределение энергии импульса лазерного излучения

30 2+ '.15

Г 12

6

V-

акспчрямент рпсчят

/

00

/

т.к

А температуре ир*аса о мма*р*ттр* «лвдятвл* - »очное .....

.0 2 ОЛ 0.6

врем», сен

Рис. 3. Значения температуры

в центре тыльной поверхности

образца

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1. *

Рис. 4. Сравнение аналитического и численного решений

а)

Рис. 5. Распределение безразмерной температуры в расчетной области для случая 9=45 (ордината точки А у* равна 0), рассчитанное МКР-КО (а) и МКЗ-КО (б)

! ■:- --: 1 '- 1 ; 1 ■Ш 1 4 11

1 —| 1 1

1 —ч—, 1 : - ; ? г-—к---- 1 - 1 1 1 :--*--: . 1 |----%

' х/ / \ / /Гч -д. /1/ Г'Т/| Л"; ■.-к"-у. %

у' / (/ / \ ' | ж /1 ' г—т*- ■-' I / < К'

Рис. 6. Предлагаемый вариант сетка для МНР: о - узлы для Ф и Р; х - узлы для и и V

уЛ

1.0 о.е н 0.6 0.4 0.2 0.0

-- Уурггсл! 62*62 о ДЗГ гиг! (ГЫтаа*«! о ИКР-КО 9«в (автзвГ , МЮ-КЭ 919

о.* ая"^ Гг и/и

Рис. ?. Предлагаемый вариант сетки для ИКЗ: о - узлы для Ф и Р; х - узлы для и и v

г.о

1.5

Чо 1.0 0.5 00

• к. _ ^ 1 Ж 2

1.2 0.4 0.6 0.8 1.0

уд

Рис. 8. Профиль безразмерной скорости в центральном сечении каверны

«.о

а)

зо

»и 2 0

1 ч ж 2

У

/ А-- / > V 4 \ ч\

ч -Ч;

Ми

5)

0.0 0.3 0.4 0 6 08 "О

I»4 2

\

V

У Ч. •

0.0 О 2 0.4

я}

уЛ

0 6 0.8 1.0

Рис. 9. Изионг-нне лекального "йена Ич вдоль "горячей" (1) и "хололноП" (2) стсточ лс-гулн при Ка-30 (а). 10* (б), 105 (в); результаты: • Кечу£Чя; - - !Ь/К1*.пг»: л - ролгльгаты автора ¡5 '

уД 0.5

1.0 и

у/1 0.5

а)

б)

1.0 п

у/1 0.5

Рис. 10. Поле безразмерной температуры в расчетной области при На, равных 103 (а). 104 (б) и 10Б (в)

10-

Ии

0 1у|'сап и др. (экспер )

° ^орТЛоГ'с^

О '

, ✓ Ни-О.ОО? Ра

и

■ч' м чщ| т « I ниц у « > чип ' 10* 10' 10' Ра

Рис. Л. Зависимость среднеинтегрального числа Nu от На для случая естественной конвекции в трапециевидной полости

о