автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивое определение околостационарных спутниковых орбит

На правах рукописи

□030Б2Б83

Кислов Дмитрий Евгеньевич

Устойчивое определение околостационарных спутниковых

орбит

05 13 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2007

003062683

Работа выполнена в лаборатории управления и навигации при Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор

Девятисильный Александр Сергеевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Ащепков Леонид Тимофеевич

кандидат технических наук, доцент

Шевченко Игорь Иванович

Ведущая организация

Дальневосточный государственный университет (г Владивосток)

Защита состоится "¿Г" мая 2007 года в" № часов на заседании диссертационного совета Д 005 007 01 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу 690041, г Владивосток ул Радио, 5

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан " /Ц " Ctä/;£/'{ 9007

года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 005 007 01, к тн г* / AB Лебедев

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Роль искусственных спутников Земли (ИСЗ) в развитии человечества бесспорна Современные средства связи, системы управления движением объектов в окололоземном пространстве, теле- и радиовещание, интернет, геодезия, метеорология - далеко не полный список прикладных областей, в которых широко используются ИСЗ Отдельно следует выделить класс геостационарных ИСЗ (ГИСЗ), являющихся объектом внимания диссертационной работы Находящиеся на суточно-синхронных орбитах (ССО) объекты данного класса способны длительное время сохранять почти неизменное по отношению к земной поверхности положение, обеспечивая возможность непрерывного своего наблюдения с Земли Благодаря способности "зависать" над заданным сегментом земной поверхности ГИСЗ широко используются при телевещании, а также в коммуникационных целях

Теоретические основы методов решения задач определения спутниковых орбит были заложены в 60-х-70-х годах прошлого столетия в работах Т М Энеева, П Е Эльясберга, М Л Лидова Р Р Назирова Б Ц Бах-шияна, В Н Брандина, В Н Почукаева и др , и в последнее время этим задачам уделялось несколько меньшее внимание

Внедрение цифровых вычислительных технологий при решении задач определения орбит привело к необходимости учета особенностей их представления в компьютерных средах, в отдельных случаях, являющихся решающими при получении высокоточных оценок параметров дпижеиия ИСЗ Несмотря на многочисленные публикации, посвященные задачам определения орбит, взгляд на рассматриваемую проблему в контексте погружения задачи в среду вычислений в настоящее время является развитым не в полной мере Учитывая, что в последнее время интерес к запуску ИСЗ на околостационарные орбиты существенно вырос, что в свою очередь, явилось причиной роста заселенности их окрестностей и вызвало необходимость высокоточной навигации управляемых и наблюдения неуправляемых объектов, разрабатываемая в рамках диссертации тема приобретает особую прикладную актуальность

В теоретико-методологическом плане актуальность работы заключается в развитии модельных представлений задачи определения орбит, а также адаптации условий корректности ее постановки в свете неизбежного погружения задачи в среду вычислений

Целью работы является разработка и исследование проблемно-ориентированных моделей и вычислительно устойчивых алгоритмов решения задач определения околостационарных орбит ИСЗ л

Задачи исследования. В процессе достижения цели диссертационной работы решались следующие задачи

- аналитической оценки наблюдаемости околостационарных орбит,

- разработки технологии численно-аналитического анализа корректности математической постановки задач определения спутниковых орбит,

- оценки накапливаемых вычислительных погрешностей при погружении задачи в вычислительную среду,

- локализации спектров операторов,

- выработки условий практической разрешимости рассматриваемых задач в вычислительной среде,

гарантированной численной оценки устойчивости динамических процедур обработки траекторной информации,

построения альтернативных моделей задач определения орбит

Положения, выносимые на защиту:

численно-аналитический метод исследования корректности математической постановки задач определения спутниковых орбит

метод численной оценки устойчивости процедур обработки траекторной информации, основанный на анализе псевдоспектров операторов,

метод модификации модели задачи определения орбит ИСЗ,

теоремы разрешимости задачи определения квазистационарных спутниковых орбит

Научная новизна работы состоит в следующем

- сформулированы и доказаны утверждения о наблюдаемости околостационарных орбит,

- разработан метод численного анализа корректности математической постановки задачи определения орбит,

- разработана технология численной оценки устойчивости динамических процедур обработки траекторной информации,

- предложена технология модификации традиционных модельных представлений задач определения орбит,

- разработана и исследована новая модель задачи определения орбит

Научная и практическая ценность работы Научная значимость работы состоит в том что в ней предлагается и теоретически обосновывается совокупность методов, составляющих фундамент технологии моделирования и численного исследования задач определения спутниковых орбит

Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты непосредственно ориентированы на решение прикладных проблем, связанных с созданием устойчивых и высокоточных систем наблюдения околоземного космического пространства

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием классических результатов вычислительной линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, небесной механики, математической теории систем и подтверждается численными экспериментами

Апробация работы. По итогам исследований опубликовано 22 работы Полученные в процессе работы над диссертацией результаты прошли апробацию на международных, всероссийских и региональных конференциях IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), 13th International Conference On The Methods of Aerophysical Research (Novosibirsk, 2007), Дальневосточной математической школе-семинаре им акад Е В Золотова (Владивосток, Хабаровск, 2002-2006гг), Вологдинских чтениях ДВГТУ (Владивосток 2003 2005), Sixth International Young Scholars Forum of the Asia-Pacific Region Countries (Vladivostok, 2005) Fifth International Young Scholars Forum of the Asia-Pacific-Region Countries (Vladivostok, 2003), Региональной научно-технической конференции молодежь и научио-тех-нический прогресс (Владивосток, 2004), Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2002-2003гг)

Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории управления и навигации и межлабораторных семинарах "Физика и управление" в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (2006 2007гг)

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 137 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав заключения и списка литературы, содержит 49 иллюстраций и 12 таблиц Список

литературы составляет 132 наименования

Краткое содержание диссертации

Во введении указаны актуальность темы исследования, цель работы положения, выносимые на защиту, и новизна полученных результатов

В первой главе приводится краткий проблемно-ориентированный исторический обзор, дается математическая постановка задачи определения орбит, рассматриваются методы ее решения

Базовая модель задачи определения орбит по измерениям представляется в виде

г = д(г) + /(г,г,£), ..

где г, г векторы положения и скорости объекта, д(г) модель вектора напряженности гравитационного поля Земли, ¡л - гравитационный параметр Земли, / - вектор сил, возмущающих орбиту ИСЗ, Z - вектор измерений, Ф - модель измеряемой вектор-функции, £ - вектор инструментальных погрешностей измерений

Задача состоит в том, чтобы по совокупности траекторных измерений ^(Ъ)}, выполненных на некотором ограниченном множестве времен Д = {¿1, , £д'}, определить траекторию принадлежащую классу, порождаемому динамической частью системы (1)

В качестве методов решения данной задачи в работе выбираются метод наименьших квадратов, фильтр Калмана и его винеровекая интерпретация

Во второй главе проводятся аналитические и численно-аналитические исследования разрешимости задачи определения орбит

В параграфе 2 1 исследуется локальная разрешимость задачи (1) для чего выполняется ее линеаризация около геостационарной траектории Соответствующая модель "в малом" (для центрального гравитационного поля Земли) имеет вид

А =

А5х, 5хо, 5хт = (¿гт, 6уТ),

Н5х,

/00 0 1 0 0\

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

з и% 0 0 0 2 иЕ 0

0 0 0 -2 иЕ 0 0

V о о -щ 0 0 0/

где 5г, ¿V - первые вариации координат и скоростей КА соответственно, Н матрица наблюдения, составленная из частных производных модельной функции измерений (Ф) по фазовым координатам, Ле угловая скорость вращения Земли В отношении наблюдаемости динамической системы (2) доказаны утверждения

Теорема 2 11 При любой скалярной непрерывно дифференциру-

<ЭФ

емой модельной функции измерений Ф, такой, что = 0, соответствующая линейная система (2) является ненаблюдаемой

Теорема 2 13 Пусть в размерность модельной векторной функции измерений, а Н = соответствующая матрица наблюде-

ния Тогда для наблюдаемости системы вида (2) необходимо, чтобы

(3)

Теорема 2 14 Если векторная функция измерений размерности 2 (Ф = {Ф1, Фг}) зависит только от фазовых координат движения объекта, то для наблюдаемости (2) необходимо и достаточно, чтобы ее якобиан имел полный ранг и

вФЛ2+(вФЛ!

дх2) \ дх2)

ЭФЛ2 | /ЭФ2у

(4)

В параграфе 2 2 приводятся примеры применения доказанных в п 2 1 теорем Исследуется разрешимость задач определения околостационарных орбит в конкретных измерительных ситуациях (далыюмериой, угловой)

Параграф 2 3 посвящен методу численно-аналитического исследования разрешимости задачи определения орбит По сути здесь идет речь о построении формально строгой процедуры численной оценки локальной наблюдаемости задачи (1) Для чего при достаточно общих положениях относительно точности компьютерных вычислений строится численно-аналитическая оценка погрешности реализации в компьютерной среде образа Ьс оператора связи "состояние-измерение"

Ь = (Фт(<ь , Фг(4*, *> )ЯТМ)Т

< р^М^Ж^У, (5)

1|Яс||ЯФс|15

где Р = max ( К . гт ^ . „ „ т ,,„ ) ,г = 1,N, N - коли-

чество измерений, m,s~ размерности векторов параметров состояния и измерения соответственно, || || - спектральная норма матрицы,

к = ^ + +earner+ {1 + £н)£ф + £н!

1--¿-ех

S = (1 - 2R(m, s))(l - R(m, m))(l - ен){1 - еФ),

ч Д . pqei_. pqei

^ + 2 + (l-w)eJ £1 + 2 + (1 —pq)e\

е\ относительная точность представления вещественных чисел в ЭВМ, R(p, q) - относительная точность вычисления фробениусовой нормы произвольной р х q матрицы, £ц,£ф ~ относительные точности с которыми известны матрицы Н и Ф соответственно, || значение фробениусовой нормы матрицы, найденное в вычислительной среде Далее формулируется следующее предложение

Предложение 2 3 1 Для невырожденности возмущенного (Lc) и исходного (L) операторов (а следовательно, локальной наблюдаемости задачи (1)) достаточно выполнения неравенств

^a(Lc) < 1, V^P < 1, (6)

1 — y/mP

где /i(Lc) спектральное число обусловленности оператора Lc

Для случая околостационарных орбит приводятся примеры применения достаточных условий (6)

Учитывая, что для ситуаций, имеющих практический интерес S К, можно принять Р = KG{А, <£>), где

га «л - тяхМШ1]!М1

ip - соответственно долгота и широта пункта наблюдения (НП) Вид функции G(\,tp) весьма важен при интерпретации неравенств (5) и (6) Характерный вид изолиний функции G(A, tp) для случая однопозици-онных дальномерных наблюдений из НП с географическими координатами (A, р) и ССО с наклонением г = 0 5° и чксцентриситетом е = 0 001 представлен на рис 1, где области значений G обозначены следующим образом 0 - 0 < G(А, <р) < 5,1 - 5 < G{А, <р) < 10, 2 - 10 < G(А, <р) < 20, 3 - 20 < G{A, ip) < 30, 4 - 30 < G{A, ip) < 60, 5 - 60 < G{А, (р) < 500

Отметим что с уменьшением различия между параметрами долготы наземного пункта наблюдения и стационарной точки (см рис 1), над которой происходит зависание ИСЗ следует ожидать увеличения относительных возмущений оператора Ь Этот факт находит свое отражение при итерационном решении задачи определения орбит При смещении позиции наблюдателя по долготе к подспутниковой точке отмечается значительное сужение соответствующих областей сходимости а соответствующие числовые значения обусловленности оператора связи "состояние-измерение'' возрастают

Материалы параграфа изложены в публикациях [1, 3, 11, 12, 13, 16, 17]

В параграфе 2 4 приводится один из возможных вариантов современной интерпретации парадокса Лапласа о скорости распространения гравитационных взаимодействий Концепция предлагаемого исследования заключается в постановке обратной задачи определения параметра сд, отождествляемого со "скоростью гравитационных взаимодействий" для следующей системы "состояние-измерение"

70 Г

г(*) =

г(* ~ г)

||г(г-т)||з

2(4) = Ф(г,г,«) + С,

(7)

где т ■■

|г(01

, £ вектор инструментальных погрешностей траекторных

измерений

Для соответствующей задачи в малом, численно исследуется разрешимость, формируются оценки чисел обусловленности оператора задачи

На рис 2 изображены земные трассы кеплеровой орбиты (жирная вось- -2 4 мерка) и модели динамической части 3-(7) при сд = с « 3 108 м/с2 на временном интервале [0,4 105]с

Ф,град

27 43

х 10 X,град

Рис 2

По результатам численных экспериментов делается вывод, что задача определения скорости гравитационных взаимодействий (с5) в обозначенных выше модельных представлениях является принципиально разрешимой и с точки зрения вычислительной устойчивости вполне толерантной к относительной компьютерной точности Вместе с тем большие значения чисел обусловленности оператора связи "состояние-измерение" приводят к усилению влияний инструментальных погрешностей измерений, что с учетом состояния и перспектив развития технологий измерений по крайней мере на ближайшее будущее указывает на нецелесообразность постановки реального физического эксперимента Результаты этого исследования опубликованы в [5]

Третья глава посвящена практическим аспектам реализации методов решения задачи определения орбит в компьютерных средах

В параграфе 3 1 строится оценка вычислительных погрешностей численного решения системы уравнений с оператором связи "состояние-измерение" Ь, на основе которой формируется класс критических значений чисел обу-м

словленности /х™, определяемых из условия ограниченности величиной 7 относительных погрешностей МНК-ре-

Р7 ~ (к(р,д) + 8д + 58)е1' ^

где к(р, д) = ^/д(2д - 3)(4р + 27), сЬт Ь = р х д

На рис 3 представлены линии уровня чисел обусловленности оператора Ь для случая дальномерных однопозиционных наблюдений с опорной ССО г = 2°, е = 0 (измерения осуществляются на интервале 86164 с каждые каждые 15 мин, вычисления ведутся с относительной точностью £1^22 Ю-16) в зависимости от географического положения НП Видно, что неразрешимыми являются ситуации, когда НП расположен внутри линии //кр (/^кр = (Нр>1) + 4д + 30)_1е^1^, те достаточно близко к подспутниковой точке (0°, 0°) Для получения точностей выше, чем 7 = 0 001 пункт наблюдения должен быть вне соответствующей области, определяемой линией 0о1

шения системы с оператором Ь

В параграфе 3 2 формируется процедура гарантированной оценки устойчивости динамических процедур обработки траекторией информации пл основе анализа псевдоспектров операторов задачи Формулируется и доказывается теорема о спектральных портретах двух близких по норме операторов и приводятся се следствия

Теорема 3 2.1 Пусть Р и Р соответственно точный и возмущенный операторы задачи, удовлетворяющие неравенству Ц.Р— < 7||-Р|| Тогда любой е-спектр (Аё(Р)) оператора Р (ё > £*), содержит е-спектр (Ае(Р)) невозмущенного оператора Р, причем

- 7 + £

1-7

(9)

Следствие 3 2 1 Если ёо спектр возмущенного оператора Р целиком содержится в области 0 причем 3 Р Р € д^0(Р) и Р € 50, то при выполнении

^ * ёо

7<7 =Т7ГГ 1 + £о

существует ненулевой е-спектр оператора Р целиком содержащийся в ёо-спектре Р

Следствие 3 2 2 Для того, чтобы невозмущенный оператор Р был устойчив при условии, что спектр оператора Р находится в области устойчивости (см рис 4), достаточно выполнения

7<7 =

£о

1 + ё0'

Б-спектр с Яе(г)>0

0 Е-спчсгр 0 г

Рис 4

где ёо > 0 такое, что 3 Р € С Р € дА^Р) и Яе(Р) = 0 (в дискретном случае |Р| = 1)

Следствие 3 2 3 Для невырожденности исходной и возмущенной систем заданных операторами Р и Р соответственно, достаточно выполнения 7 < 7* = --(Щ* ^ конечное спектральное число обусловленности оператора Р

Приводятся результаты имитационного моделирования по оценки устойчивости процедуры винеровского оценивания параметров околостацио-парных орбит при ее погружении в вычислительную среду Материалы параграфа опубликованы в [4, 2, 8, 9, 14, 15, 22]

Параграф 3 3 посвящен численному исследованию обусловленности задачи определения околостационраных орбит В качестве информационной ситуации рассматривается случай далыюмерных измерений от одного двух- и трех наземных пунктов наблюдения Исследования прошли апробацию на конференциях [11, 12, 13, 16]

В параграфе 3 4 для случая дальномерной информации приводятся результаты статистической оценки размеров областей сходимости Представленные в параграфе материалы опубликованы в [19, 20 21]

Четвертая глава диссертации посвящена развитию модельных представлений задач определения спутниковых орбит В ней формируется и реализуется концепция модификации моделей и приводятся результаты вычислительных экспериментов

В параграфе 4 1 указываются предпосылки модификации традиционных модельных представлений задачи

Сущность модификации заключается во введении в исходную систему дифференциальных уравнений искусственных возмущений (С?х, С 2) , обеспечивающих асимптотическую устойчивость системы по известному скалярному первому интегралу около заранее выделенной траектории

г = V + С1,г(к) = Го,

« =- П2г - 2Пи + <?2,«(*(>) =«Ь (10)

И3

Выделим некоторые опорные начальные условия Го,Уо и соответствующее им целевое значение скалярного интеграла 3*(го,Уо) Рассмотрим производную скалярной функции Д J(r,v) = 3(г,у) — 3* характеризующей отклонение от опорного значения интеграла на траекториях (10)

й&3{г,у) дЗ дЗ дЗ „ дЗ„

Выберем С?1 и Сг так, чтобы удовлетворить условию

^^1 = -ААЗ(г,у),А>0, (12)

означающего асимптотическую устойчивость траекторий (10) по интегралу 3 с экспоненциальным показателем А вблизи опорного решения, задаваемою начальными условиями Го,г>о

Общее решение уравнения (11) с учетом (12) относительно искомых функций бх^г имеет следующий вид

(2)--^'■•Ч'-**(££))» <1з>

Р+ =

д£д±т д£д£т дг дг ду дь>

д.]т \

дЗт ду /

где I - единичный оператор соответствующей размерности, Р+ - псевдообратная матрица, у - произвольная функция, определяющая многообразие решений системы

Предлагаемая концепция построения модифицированной модели обратной задачи определения орбит заключается в ее постановке с моделью (10) с учетом (13)

При выборе в качестве 7 интеграла энергии и последующей линеаризации (10) около геостационарной опорной орбиты р = (^/¡ЩТ^, 0, 0 модифицированная модель обратной задачи примет вид

5у = А5у, 5ут — (5гт, 5ут),

5г = Н5у + е, (

А = Л +

-Л

4 Щ.

-А

V

1+4 и2Е 0 о о

2 УЕ 1+4 и% 0

о о о -Л

0 0 0 ООО 0 0 0

0 0 0 0 0 0

-л

2 иЕ

1 + 4С/£ о о о

1

1 +АЩ о

о о о

о 0/

(14)

где А оператор из (2)

Оператор А - устойчив В работе приводится аналитическая форма для ехр(Л£), играющая важную роль при реализации алгоритмов оценивания параметров состояния системы (14)

В параграфе 4 2 указывается на справедливость следующих утверждений относительно пары (А, Н)

Предложение 4 2 1 Если задача (2) является наблюдаемой, ш существует такое значение регуляризирующего параметра Л > 0 , что соответствующая модифицированная модель (14) также является наблюдаемой и обратно, - существует такое значение параметра Л > 0, чю из наблюдаемости модифицированной модели (14) следует наблюдаемость (2)

Теорема 4 2 1 Пусть я размерность модельной векторной функции

измерений, а Н ( = ^- ) соответствующая матрица наблюдения То-V ОХ,)

Рис 5 1 е = КГ4, 2 е = 5 1СГ4, 3 рис 6

е = 0 005, 4 - е = 0 02

гда для наблюдаемости модифицированной системы вида (14) необходимо, чтобы

В параграфе 4 3 приводятся результаты численного имитационного моделирования модифицированной задачи определения околостационар-пых спутниковых орбит

На рис 5 представлены графики отношений |Ari|/|Ar2| для случая десятипозициопных далыюмерных наблюдений при некоторых значениях параметров наклонения (г) и эксцентриситета (е) имитируемой орбиты (|Ari| - модуль ошибки определения положения ИСЗ в рамках модели (2),|Дг2| - модуль ошибки определения положения ИСЗ в рамках модели (14)) Из иллюстрации видно, что при увеличении эксцентриситета определяемой орбиты отношение |Дг1|/|Дгг| ведет себя вполне устойчиво, при больших его значениях (е > 0 01) несколько смещаясь относительно положения г = 0°

На рис 6 изображен типичный случай соотношения погрешностей (|Дг|) определения околостационарной орбиты (е = 0 0005, г = 0 001) для классической модели график 'Г и модифицированной график '2' при многопозиционных далыюмерных наблюдениях с интенсивностью ошибок измерения для каждого пункта наблюдения ^ й 1 3 м2

В условиях данного эксперимента дисперсии ошибок определения координат для графиков 'Г и '2' в конце временного интервала (t = 86164 с) сооавили = 1391 4 м2 и с|дГ2| = 38 7 м2 соответственно так что

СГ(ДГ1|/СГ|Дг2| ~ 6

В заключении подводятся итоги и указываются основные результаты работы

Основные результаты работы

1 Сформулированы и доказаны утверждения о наблюдаемое!и задач определения околостационарных орбит

2 Разработан численно-аналитический метод исследования корректности математической постановки задач

3 Доказано достаточное условие принципиальной разрешимости задач при конечной точности их погружения в вычислительную среду

4 Дана современная интерпретация "парадокса Лапласа"

5 Разработаны технологические приемы оценки кртическою шаче-пия спектрального числа обусловленности задачи и сформулированы достаточные условия ее компьютерной разрешимости

6 Предложена процедура гарантированной оценки устойчивости динамических алгоритмов обработки траекторной информации

7 Доказана теорема о псевдоспектрах, указаны следствия теоремы

8 Предложена новая модель задачи определения спутниковых орбит как следствие интерпретации кеплоровых орбит с учпом первых интегралов

9 Сформулированы и доказаны утверждения о коррек-нюс ги «тематической постановки задачи в новых модельных представлениях

10 Представлена совокупность численных имитационных примером решения задач, подтверждающих теоретические выводы

Итогом обобщения полученных результатов явилась формулировка выносимых на защиту положений

Публикации по теме диссертации

1 Девятисильный А С , Кислое Д Е Численно-аналитические оценки вычислительных погрешностей и разрешимости задачи определения квазистационарпых орбит ИСЗ по измерениям //Космические исследования 2005 Т 43 №4 -С 317-320

2 Девятисильный А С, Кислое Д Е Устойчивость динамических алгоритмов определения орбит квазистационарных ИСЗ //Космические п( ( юдовапия 2007 Т 45 -№2 -С 138-143

3 Девятисильный А С, Кислов Д Е Исследование разрешимости задач определения спутниковых орбит по измерениям//Проблемы управления, 2006 -№4 -С 50-53

4 Девятисильный А С, Кислов Д Е Псевдоспектры и устойчивость линейных систем Препринт -Владивосток ИАПУ ДВО РАН, 2006 -16с

5 Девягисильный А С, Кислов Д Е Моделирование физического эксперимента для оценки запаздывания гравитационного потенциала Препринт -Владивосток ИАПУ ДВО РАН, 2006 -12с

6 Кислов Д Е Анализ накопления вычислительных погрешностей в задаче оценивания орбит ИСЗ по дальномерным измерениям Препринт Ч I -Владивосток ИАПУ ДВО РАН, 2004 -32с

7 Кислов ДЕ Анализ накопления вычислительных погрешностей в задаче оценивания орбит ИСЗ по дальномерным измерениям Пре-приш Ч II -Владивосток ИАПУ ДВО РАН, 2004 -40с

8 Денятисильный А С, Кислов Д Е Исследование вычислительной устойчивости алгоритмов определения спутниковых орбит //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, -Нижний Новгород, 2006 Т 1, -С 43

9 Девятисильный А С, Кислов Д Е , Чнслов К А , Прудкогляд Н А Исследование устойчивости алгоритмов ЗБ навигации объектов в околоземном пространстве // XXXI Дальневосточная математическая школа-семинар им акад Е В Золотова Тезисы Докладов -Владивосток ИПМ ДВО РАН, 2006 -С 47-48

10 Кислов ДЕ Численное моделирование движения искусственных спутников Земли //Дальневосточная математическая школа-семинар имени акад Е В Золотова Тезисы докладов -Владивосток Дальнаука, 2002 -С 78-79

11 Кислов ДЕ Об одном численно-аналитическом подходе к оцениванию вычислительных погрешностей в задаче определения орби! ИСЗ по измерениям // Региональная научно-техническая конференция молодежь и научно-технический прогресс Тезисы докладов, -Владивосток 2004 -С 7

12 Кислов Д Е Исследование разрешимости задач определения спутниковых орбит по измерениям // Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию Тезисы докладов -Владивосток ИПМ ДВО РАН 2004 -С 9

13 Кислов ДЕ Исследование принципиальной разрешимое i и задач определения квазистационарных орбит по измерениям //Дальневосточная математическая школа-семинар им акад Е В Золотова Тезисы Докладов -Владивосток Дальнаука, 2004 -С G4

14 Кислов Д Е Исследование устойчивости задачи определения килзи-стациопарных орбит по измерениям //Вологдинские чтения Сборник докладов -Владивосток ДВГТУ, 2005 -С 8-10

15 Кислов ДЕ, Числов К А О вложенности спектральных портретов линейных операторов и ее приложении в исследовании устойчивости //XXX Дальневосточная математическая школа-семинар им академика Е В Золотова Тезисы Докладов Изд ДВГУПС, -Хабаровск, 2005 -С 80-81

16 Кислов Д Е Об обусловленности задачи определения парамет ров орбит искусственных спутников Земли //Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию Тезисы докладов -Владивосток ИПМ ДВО РАН, 2002 -С 4-5

17 Кислов ДЕ О гарантированной точности решения задачи оценивания параметров орбит ИСЗ по дальномерным измерениям //Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и моло-

дых ученых по математическому моделированию Тезисы докладов -Владивосток ИПМ ДВО РАН, 2003 -С 35-36

18 Кислой ДЕ Анализ численного оценивания параметров орбит ИСЗ по дальномерным измерениям //Дальневосточная математическая школа-семинар имени акад Е В Золотова Тезисы докладов, -Владивосток Изд Дальневост Университета, 2003 -С 72-73

19 Кислов Д Е Исследование сходимости в задаче оценивания параметров квазистациопарных ИСЗ по дальномерным измерениям //Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Золотова Тезисы докладов, -Владивосток Изд Дальневост Универ-(и ieiа 2003 -С 73-74

20 Кислоп ДЕ Численное исследование областей сходимости в задаче оценивания параметров орбит по дальномерным измерениям //Во-ло1динские чтения Сборник докладов -Владивосток ДВГТУ, 2003 -С 114

21 Kislov D Е Areas of Convergence m Estimation Problem of the Orbit Parameters with Distance Measurements //Fifth international Young Scholars Forum of the Asia-Pacific-Eegion Countries Vladivostok, 2003 pp 24-25

22 Kislov D E On Guaranteed Stability m the Linear Filtering Problem / / Sixth International Young Scholars Forum of the Asia-Pacific Region Countries Proceedings, Part I, Vladivostok 2005 pp 127-128

Личный вклад автора Все результаты, представленные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно Работы [6-7,1014,16-22] выполнены автором лично В работах [1-5,8-9] руководителем выполнены постановки задач, а автором проведены исследования и сформулированы основные результаты В [15] автору принадлежат результаты непосредственно относящиеся к теме диссертации

Кислов Дмитрий Евгеньевич

"Устойчивое определение околостационарных спутниковых

орбит

Автореферат

Подписано к печати 10 04 2007 Уел п л 1 0 Уч -и ад л 0 8 Формат 60x84/16 Тираж 100 экз Зак<и 25

Издано ИАПУ ДВО РАН 690041, г Владивосток, ул Радио 5 Отпечатано участком участком оперативной печахи ИАПУ ДВО РАН 690041, Владивосток Радио, 5

Введение.

Глава 1. Постановка задачи.

1.1 Исторический очерк проблемы.

1.2 Математическая постановка задачи определения орбит.

1.3 Модели спутниковых орбит.

1.4 Модели измерений.

1.5 Методы решения обратных задач.

1.6 Краткие итоги главы.

Глава 2. Методы исследования разрешимости задачи определения орбит.

2.1 Теоремы разрешимости.

2.2 Анализ разрешимости задачи определения околостационарных орбит в некоторых информационных ситуациях.

2.3 Численный анализ наблюдаемости задачи определения орбит.

2.4 Интерпретация и моделирование парадокса

Лапласа.

2.5 Краткие итоги главы.

Глава 3. Вычислительные аспекты решения задачи определения околостационарных орбит.

3.1 Оценки погрешностей решения задачи.

3.2 Исследование устойчивости динамических алгоритмов определения орбит.

3.3 Исследование обусловленности задачи определения околостационарных орбит.

3.4 Сходимость в задаче определения орбит.

3.5 Краткие итоги главы.

Глава 4. Регулярная модель задачи определения спутниковых орбит.

4.1 Модельные представления.

4.2 Некоторые теоремы разрешимости модифицированной задачи определения орбит.

4.3 Численное исследование модифицированной модели определения орбит.

4.4 Краткие итоги главы.

Актуальность работы. Роль искусственных спутников Земли (ИСЗ) в развитии человечества бесспорна. Современные средства связи, системы управления движением объектов в окололоземном пространстве, теле- и радиовещание, интернет, геодезия, метеорология - далеко не полный список прикладных областей, в которых широко используются ИСЗ. Велика значимость спутниковых систем и в научных (фундаментальных) аспектах. Высокая точность космических измерений в настоящее время позволяет выполнять астро- и геофизические исследования. Так, в рамках программы SRTM (Shuttle Radar Topography Mission) [127] получены, имеющие высокое разрешение карты высот земной поверхности; Германо-американский проект GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment) [115] посвящен исследованиям ледового покрова Земли, уровня мирового океана, динамики материков и др.; в рамках американской программы LAGEOS (Laser Geodynamics Satellites) [129] проводятся исследования по анализу высокоточных позиционных наблюдений ИСЗ, уточнению параметров геопотенциала, формы Земли и др.

Отдельно следует выделить класс геостационарных ИСЗ (ГИСЗ), являющихся объектом внимания диссертационной работы. Находящиеся на суточно-синхронных орбитах (ССО) объекты данного класса способны длительное время сохранять неизменное по отношению к земной поверхности положение, обеспечивая возможность непрерывного своего наблюдения с Земли. Благодаря способности "зависать" над заданным сегментом земной поверхности ГИСЗ широко используются при телевещании, а также в коммуникационных целях [128, 124, 20, 116].

Фундаментальные основы методов решения задач определения орбит были заложены в 60-х-70-х годах в работах [1, 95, 8, 14] (и др.), и в последнее время этим задачам уделялось несколько меньшее внимание.

Внедрение цифровых вычислительных технологий при решении задач определения орбит привело к необходимости учета особенностей их представления в вычислительных средах [35], в отдельных случаях, являющихся решающими при получении высокоточных оценок параметров движения ИСЗ. Несмотря на многочисленные цитированные публикации, посвященные задачам определения орбит, взгляд на рассматриваемую проблему в контексте предстоящего погружения задачи в среду вычислений в настоящее время является развитым не в полной мере. Восполнить данный недостаток и призвана настоящая работа.

В теоретико-методологическом плане актуальность работы заключается в развитии модельных представлений задачи определения орбит, а также адаптации условий корректности се постановки в свете неизбежного погружения процедуры решения в среду вычислений.

Перманентно возрастающие потребности в получении высокоточных эфемерид ИСЗ, надежных вычислительных процедурах обработки тра-екторных измерений, рост популярности околостационарных ИСЗ [132, 113] обосновывают прикладную актуальность разрабатываемой в рамках диссертации темы.

Целью работы является разработка и исследование проблемно-ориентированных моделей и вычислительно устойчивых алгоритмов решения задач определения околостационарных орбит ИСЗ.

Задачи исследования. В процессе достижения декларируемой цели решаются задачи:

- аналитической оценки наблюдаемости околостационарных орбит;

- разработки технологии численно-аналитического анализа корректности математической постановки задач определения спутниковых орбит;

- оценки накапливаемых вычислительных погрешностей при погружении задачи в вычислительную среду;

- локализации спектров операторов;

- выработки условий практической разрешимости рассматриваемых задач в вычислительной среде;

- гарантированной численной оценки устойчивости динамических процедур обработки траекторной информации;

- построения альтернативных моделей задач определения орбит.

Положения, выносимые на защиту:

- численно-аналитический метод исследования корректности математической постановки задач определения спутниковых орбит;

- метод численной оценки устойчивости процедур обработки траекторной информации, основанный на анализе псевдоспектров операторов;

- метод модификации модели задачи определения орбит ИСЗ;

- теоремы разрешимости задачи определения квазистационарных спутниковых орбит.

Научная новизна работы. В работе развит численно-аналитический подход к оцениванию накапливаемых вычислительных погрешностей при решении задачи определения орбит. Ранее в [35], при исследовании разрешимости задач данного класса в вычислительных средах рассматривались исключительно аналитические оценки. Переход к численно-аналитической концепции оценивания позволил синтезировать строгую и практически реализуемую процедуру численного исследования локальной наблюдаемости задачи определения спутниковых орбит, построить проблемно-ориентированные оценки вычислительных погрешностей [27].

Внедрение концепции численно-аналитического оценивания в процедуру анализа устойчивости динамических методов обработки измерений стимулировало развитие теоремы о вложенности спектральных портретов операторов [30], позволяющей получить строгие оценки максимально допустимых возмущений, сохраняющих устойчивость используемых методов.

Впервые предложена и развивается в рамках работы проблемно-ориентированная (ориентированная на локальное описание околостационарных движений) устойчивая модель квазистационарных движений космических аппаратов (КА). В отличие от классической модели, используемой при решении задач сопровождения движений К А [84, 107], введенная модель позволяет существенно повысить точность решения задачи определения орбит. Фундаментом представлений при синтезе указанной модели явились работы [99, 101, 103], в которых рассматривалась задача численного моделирования гамильтоновых систем, интерпретируемая как решение дифференциально-алгебраической системы уравнений. Принципиально новым стал переход к обратным задачам в рамках представлений цитированных работ.

Аналитические исследования в свете единых представлений о регулярности постановки задач определения КА по измерениям [14], являющихся в свою очередь развитием понятия корректности математической постановки обратных задач по Ж.Адамару [91], позволили получить ряд утверждений в отношении одного из фундаментальных требований регулярности - наблюдаемости задачи определения околостационарных орбит и указать ряд принципиально неразрешимых ситуаций при конкретных типах траекторной информации.

Проведено численное моделирование и дана современная интерпретация парадокса Лапласа [80]. В рамках модельных представлений [41] впервые (как обратная траекторная задача) поставлена задача идентификации "скорости гравитационных взаимодействий", а также численно показана ее принципиальная разрешимость.

Практическая ценность работы. В последнее время существенно возрос интерес к запуску ИСЗ на околостационарные орбиты [113], что явилось причиной роста заселенности (включая космический мусор) окрестностей геостационарного кольца [109,104,125,132] и вызвало необходимость высокоточной навигации управляемых и наблюдения неуправляемых объектов [126,109,120,121]. Указанные тенденции прежде всего обусловлены востребованностью геостационарных орбит в коммуникационных целях различного назначения [116, 124, 90, 128].

В навигационных целях геостационарные спутники используются для повышения надежности функционирования существующих систем позиционирования. Так, космические сегменты известных дифференциальных расширений системы GPS (NAVSTAR) - WAAS (Wide Area Augmentation System), EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Services), MS AS (Multi-Functional Satellite Augmentation System) содержат ГИСЗ, тем самым обеспечивая надежную передачу информации о целостности GPS-системы, дифференциальных поправках, что позволяет значительно повысить точность определения координат потребителя [90]. Непрерывное покрытие земной поверхности в международной системе поиска и спасения COSPAS-SARSAT [74] также достигается введением геостационарных спутников в ее космический сегмент.

Учитывая тенденции развития современных представлений организации наземного автоматизированного комплекса управления КА, в которых использование многопозиционных систем при наблюдении околостационарных орбит рассматривается как неоправданные излишества, особую значимость приобретают системы сепаратного визирования КА, состоящие из нескольких, или даже одного пункта наблюдения [42]. Внедрение таких систем в практику наблюдений околостационарных объектов (характеризующихся, как правило, малой информационной базой в сравнении с многопозиционными системами) в свете необходимого погружения модели задачи определения орбит в вычислительную среду актуализируют проблему детальной проработки ее разрешимости как принципиальной, так и практической, - безаварийной реализации алгоритма решения в компьютерной среде, которые и являются приоритетными в настоящей работе.

Развитые в диссертации методы гарантированного численного анализа разрешимости и оценки устойчивости функционирования алгоритмов решения задач определения околостационарных орбит могут быть востребованы при создании реальных систем наблюдения, выборе оптимальных конфигураций измерительных пунктов, формировании условий проведения сеансов наблюдений, что обосновывает практическую значимость работы.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27, 33, 49, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 118, 50, 51, 52, 119, 53, 54, 28, 29, 30, 31, 32, 60], а также прошли апробацию на международных, всероссийских и региональных конференциях:

IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006); 13th International Conference On The Methods of Aerophysical Research (Novosibirsk, 2007); Дальневосточной математической школе-семинаре им. акад. Е.В. Золотова (Владивосток, Хабаровск, 2002-2006гг); Вологдинских чтениях ДВГТУ (Владивосток, 2003, 2005); Sixth International Young Scholars Forum of the Asia-Pacific Region Countries (Vladivostok, 2005); Fifth International Young Scholars Forum of the Asia-Pacific-Region Countries (Vladivostok, 2003); Региональной научно-технической конференции молодежь и научно-технический прогресс (Владивосток, 2004); Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2002—2003гг); а также на семинарах лаборатории управления и навигации и межлабораторных семинарах "Физика и управление" в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (200б-2007гг).

Заключение

Приоритетной целью работы явилось исследование принципиальной и численной разрешимости проблемы определения околостационарных спутниковых орбит, а также развитие ее классических модельных представлений. Учитывая рост популярности геостационарного кольца и возможности сепаратного наблюдения околостационарных спутников, затрагиваемая в рамках диссертации тема приобретает особую актуальность.

В процессе исследования поставленных задач получены следующие основные результаты:

- сформулированы и доказаны утверждения о наблюдаемости задач определения околостационарных орбит (п. 2.1, с.31-37);

- разработан численно-аналитический метод исследования корректности математической постановки задач (п. 2.3, с.40-56);

- доказано достаточное условие принципиальной разрешимости задач при конечной точности их погружения в вычислительную среду (п. 2.3, с.46);

- дана современная интерпретация "парадокса Лапласа" (п. 2.4, с.56-66);

- разработаны технологические приемы оценки критического значения спектрального числа обусловленности задачи и сформулированы достаточные условия ее компьютерной разрешимости (п. 3.1, с.69-75);

- предложена процедура гарантированной оценки устойчивости динамических алгоритмов обработки траекторной информации (п. 3.2, с.76-89);

- доказана теорема о псевдоспектрах (п. 3.2, с.79); указаны следствия теоремы (с. 80,81,82);

- предложена новая модель задачи определения спутниковых орбит как следствие интерпретации кеплеровых орбит с учетом первых интегралов (гл. 4, с.100-120);

- сформулированы и доказаны утверждения о корректности математической постановки задачи в новых модельных представлениях (п. 4.2, с.109-111);

- совокупность численных имитационных примеров решения задач, подтверждающих теоретические выводы;

В качестве положений, выносимых на защиту, предложены следующие обобщения результатов исследования:

- численно-аналитический метод исследования корректности математической постановки задач определения спутниковых орбит;

- метод численной оценки устойчивости процедур обработки траек-торной информации, основанный на анализе псевдоспектров операторов;

- метод модификации модели задачи определения орбит ИСЗ;

- теоремы разрешимости задачи определения квазистационарных спутниковых орбит;

Полученные теоретические и численные результаты ориентированы на решение проблем организации спутниковых телекоммуникационных систем, систем спутниковой навигации (расширении существующих ГЛО-НАСС, GPS), а также, учитывая фундаментальную компоненту исследований, могут служить первоначальным этапом развития новых модельных представлений обратных задач небесной механики.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.т.н. А.С. Девятисильному за цепные замечания и детальное обсуждение результатов работы.

1. Аким Э.Л., Энеев Т.М. Определение параметров движения космического летательного аппарата по данным траекторных измерений./ /Космические исследования, 1963. T.l -№1., -С.5-50

2. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. -М.: Наука, 1977. -360с.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. -М.: Наука, 1978. -424с.

4. Аоки М. Введение в методы оптимизации. -М.: Наука, 1977. -344с.

5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1989. -471с.

6. Ащепков Л.Т. Лекции по оптимальному управлению. Владивосток: Изд. ДВГУ, 1996. -206с.

7. Бажинов И.К., Почукаев В.Н. Оптимальное планирование навигационных измерений в космическом полете. -М.: Машиностроение, 1976.-288с.

8. Бахгаиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения: гарантирующий подход. -М.: Гл. ред. физ. мат. лит. 1980. -360с.

9. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. -М.: Наука, 1965. -416с.

10. Бордовицина Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. -136с.

11. Брайсон А., Хо Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972. -544с.

12. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси: детерминированные наблюдения и стохастическая фильтрация. -М.: Наука, 1982. -199с.

13. Брандин В.Н., Васильев А.А., Куницкий А.А. Экспериментальная баллистика космических аппаратов. -М.: Машиностроение, 1984. -262с.

14. Брандин В.Н., Разоренов Г.Н. Определение траекторий космических аппаратов. -М.: Машиностроение, 1978. -216с.

15. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. -М.: Наука, 1972. -382с.

16. Вашковяк С.Н. Учет нецентралыюсти поля Луны на движение ИСЗ. //Астрономический журнал. Т. 70, -№3, 1993. -С.635-641.

17. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. -300с.

18. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. -336с.

19. Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны. М.: Мир, 1962. -271с.

20. Гарбук С.В., Гершензон В.Е. Космические системы дистанционного зондирования Земли. -М.: Издательство А и Б, 1997. -296с.

21. Гербер П. Пространственное и временное распространение гравитации. //в кн. Н.Т. Роузвер Перигелий меркурия от Леверье до Эйнштейна -М.: Мир 1985, -С.168-176.

22. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. -Новосибирск: ВО "Наука". Сибирская издательская фирма, 1992. -360с.

23. Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибриск: Научная книга. 2002. -216с.

24. Граничин О.Н. Введение в методы стохастической оптимизации и оценивания. -Спб.: Изд. Спб университета. 2003. -131с.

25. Грушинский Н.П. Теория фигуры Земли. -М.: Наука, 1976. -446с.

26. Даугавет А.И., Постников Е.В. Определение параметров орбиты ИСЗ по измерениям его углового положения с орбитального космического аппарата. //Космические исследования, Т. 30, -JM, 1992. -С.45-51.

27. Девятисильный А.С., Кислов Д.Е. Численно-аналитические оценки вычислительных погрешностей и разрешимости задачи определения квазистационарных орбит ИСЗ по измерениям. //Космические исследования, 2005, Т.43, -М. -С.317-320.

28. Девятисильный А.С., Кислов Д.Е. Псевдоспектры и устойчивость линейных систем. Препринт. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2006. -16с.

29. Девятисильный А.С., Кислов Д.Е. Моделирование физического эксперимента для оценки запаздывания гравитационного потенциала. Препринт. -Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2006. -12с.

30. Девятисильный А.С., Кислов Д.Е. Устойчивость динамических алгоритмов определения орбит квазистационарных ИСЗ //Космические исследования, 2007, Т. 45, -№2, -С.138-143.

31. Девятисильный А.С., Кислов Д.Е. Исследование вычислительной устойчивости алгоритмов определения спутниковых орбит. //IX

32. Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, -Нижний Новгород 22-28 августа, 2006. Т.1, -С.43.

33. Дсвятисильный А.С., Кислов Д.Е. Исследование разрешимости задач определения спутниковых орбит по измерениям//Проблемы управления, 2006. -№4, -С.50-53.

34. Девятисильный А.С., Крыжко И.Б. О разрешимости обратных задач динамики движущихся объектов. // Приморский математический сборник. Вып. l./под ред. Е.Е. Скурихина. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 1999. -С.11-17.

35. Девятисильный А.С., Крыжко И.Б. Исследование обусловленности задачи численного определения квазистационарной орбиты ИСЗ по наземным наблюдениям. // Космические исследования, 1997. Т.35. -М. -С.99-101.

36. Дубоптин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. -М.: Наука, 1978. -456с.

37. Дубошин Г.Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. -М.: Наука, 1976. -864с.

38. Егоров А.И. Уравнения Риккати. М.: Физматлит, 2001. -320с.

39. Заусаев А.Ф., Исуткин А.С. Чпслсннос интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Нептун) и Луны методом

40. Тейлора. //Вестник СамГТУ, сер. физ.-мат. науки, вып. 9. 2000. -С.25-31.

41. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. -JL: Изд-во ЛГУ, 1983.-385с.

42. Иванов М.Н., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических аппаратов. -М.: Дрофа. 2004. -544с.

43. История математики. С древнейших времен до начала нового времени.// под ред. А.П. Юшкевича, -М.: Наука, 1970. -351с.

44. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М. Мир, 1971. -400с.

45. Каргу Л.И. Системы угловой стабилизации космических аппаратов. -М.: Машиностроение, 1980. -172с.

46. Келдыш М.В. Избранные труды. Ракетная техника и космонавтика. -М.: Наука, 1988. -493с.

47. Кириллов В., Михеев П. Расстояния на миг сократив. (обзор геостационарных спутниковых систем связи, часть 1) //Теле-Спутник Вып.19, -№5,1997. -С.24-28.

48. Кислов Д.Е. Численное моделирование движения искусственных спутников Земли. //Дальневосточная математическая школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов. -Владивосток: Дальнаука. 2002. -С.78-79.

49. Кислов Д.Е. Исследование разрешимости задач определения спутниковых орбит по измерениям.// Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию. Тезисы докладов. -Владивосток: ИПМ ДВО РАН 2004. -С.9.

50. Кислов Д.Е. Исследование принципиальной разрешимости задач определения квазистационарных орбит по измерени-ям.//Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова. Тезисы Докладов. -Владивосток: Дальнаука. 2004. -С.64.

51. Кислов Д.Е. Исследование устойчивости задачи определения квазистационарных орбит по измерениям.//Вологдинские чтения. Сборник докладов. -Владивосток: ДВГТУ. 2005. -С.8-10.

52. Кислов Д.Е. Анализ численного оценивания параметров орбит ИСЗ по дальномерным измерениям. //Дальневосточная математическая школа-семинар имени акад. Е.В. Золотова. Тезисы докладов, -Владивосток: Изд. Дальневост. Университета, 2003. -С.72-73.

53. Кислов Д.Е. Численное исследование областей сходимости в задаче оценивания параметров орбит по дальномерным измерениям. //Во-логдинские чтения. Сборник докладов. -Владивосток: ДВГТУ, 2003. -С.114.

54. Кислов Д.Е. Анализ накопления вычислительных погрешностей в задаче оценивания орбит ИСЗ по далыюмерньтм измерениям. Препринт. Ч. I. -Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2004. -32с.

55. Кислов Д.Е. Анализ накопления вычислительных погрешностей в задаче оценивания орбит ИСЗ по далыюмерньтм измерениям. Препринт. Ч. И. -Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2004. -40с.

56. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. 4.1 -М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТИ СССР, 1937. -432с.

57. Крамер Г. Математические методы статистики. -М.: Мир, 1975. -648с.

58. Красовский Н.Н. Теория управления движением. -М. Наука, 1968. -467с.

59. Кузнецов Э.Д. Оценка влияния геопотенциала на движение геостационарного спутника.// Кинематика и физика небесных тел. Т.8,-№2, 1992. -С.52-55.

60. Кузнецов Э.Д. Аналитическая теория движения геостационарного спутника в сферических координатах. // -С.170-182 в сборнике: /Астрономо-геодезические исследования: Физика и динамика звездных систем. Сб. науч. тр. Свердловск. 1991. -220с.

61. Кузнецов Э.Д. Оценка влияния Луны, Солнца и светового давления на движение геостационарного епутника.//Вестник Санкт-Петербургского Университета Сер. 1, Вып. 3, -№15, 1992.

62. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика в 10 томах: Механика. Т.1. -М. Наука, 1988. -С.214.

63. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика в 10 томах: Теория поля. Т.2. -М.: Наука, 1988. -508с.

64. Лаплас П.С. Изложение системы мира. -Л.: Наука, 1982. -376с.

65. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. -232с.

66. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1991. -232с.

67. Медич Дж. Статистически оптимальные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. -440с.

68. Молотов Е.П. Наземные радиотехнические системы управления космическими аппаратами. -М.: Физматлит, 2004. -256с.

69. Мохов В. Космическая "Радуга". //Новости космонавтики, -.№9. 1999. -С.48-49.

70. Ньютон И. Математические начала натуральной философии, /под ред. Л.С. Полака. -М.: Наука, 1989. -688с.

71. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Г.Е. Основы механики космического полета. -М.: Наука, 1990. -448с.

72. Паули В. Теория относительности. -М.: Гл. ред. физ. мат. лит., 1991. -328с.

73. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. -М.: Изд. ин. лит. 1961, -248с.

74. Писаренко В.Г. Проблемы релятивистской динамики многих тел и нелинейной теории поля. -Киев.: Наукова думка, 1974. -463с.

75. Платонов А.К., Казакова Р.К. Первая машинная обработка траекторньтх измерений спутника Земли // Вестник РАН, Т.72, -№9, 2002. -С.815.

76. Пономарев В.М. Теория управления движением космических аппаратов. -М.: Наука, 1965. -455с.

77. Пуанкаре А. Измерение времени. /-С.12 в книге Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности -М.: Атомиздат, 1973. -332с.

78. Регггетнев М.Ф., Лебедев А.А., Бартенев В.А. и др. Управление и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах. -М.: Машиностроение, 1988. -336с.

79. Ричарде П.Б. Современное состояние механики космического полета. -М.: Наука, 1969. -240с.

80. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Гл. ред. физ. мат. лит., 1971. -396с.

81. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. -М.: Физ-матлит. 2000. -296с.

82. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. -М.: Наука, 1982.-656с.

83. Сизиков B.C. Устойчивые методы обработки результатов измерений. -Спб.: Специальная литература, 1999. -240с.

84. Соловьев Ю.А. Системы спутниковой навигации. М.: Эко-Трендз, 2000.-269с.

85. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:Наука, 1986. -320с.

86. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений./под. ред. Г.И. Марчука. -М.: Мир, 1969. -167с.

87. Хайрер Э., С. Нёрсетт, Г. Ваннер Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. -М.: Мир, 1990. -512с.

88. Эльясберг П.Б. Введение в теорию полёта искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965. -540с.

89. Эльязберг П.Е. Определение движения по результатам измерения. -М.: Наука, 1976. -416с.

90. Эльясберг П.Е. Определение орбиты по двум положениям./ /Искусственные спутники Земли. -Вып.13, 1962. -С.3-28.

91. Эльясберг П.Е. Об устойчивости характеристик точности определения орбит по результатам измерений.//Космические исследования. Т.16, -№5, 1978. -С.643-652.

92. Asada Н. Comments on "Measuring the Gravity Speed by VLBI".// Proc. of "Physical Cosmology", the XVth Rencontres de Blois, 15-20 June 2003.

93. Avdyushev V. Numerical Stabilization of Orbital Motion. //Celes. Mech. and Dyn. Astr. Vol.87, 2003. pp.383-409.

94. Basics of the Geostationary Orbit. // Satellite Times, Vol. 4, -№7,1998, May. pp.76-77.

95. Baumgarte J. Stabilization of Constraints and Integrals of Motion in Dynamical Systems. //Сотр. Math. Mech. Eng. Vol. 1, pp.1-16.

96. Baumgarte J. Numerical Stabilization of the Differential Equation of Keplerian Motion.//Celestial Mechanics, Vol.5, 1972. pp.490-501.

97. Baumgartc J. Numerical Stabilization of All Laws of Conservation in the Many Body Problem. //Celcs. Mech. and Dyn. Astr. Vol.8, 1973. pp.223-228.

98. Bendisch J., Bunte K., Klinkrad H., Krag H., et. al. The MASTER-2001 model. //Advances in Space Research, 2004. Vol.34, pp.959-968.

99. Carlip S. Model-dependence of Shapiro time delay and the 'speed of gravity/speed of light' controversy. //Class. Quantum Grav. Vol. 21. 2004. pp.3803-3812.

100. Clarke A.C. Extra Terrestrial Relays. //Wireless World, October 1945, pp.305-308.

101. Clohessy, W.H., Wiltshire, R.S. Terminal Guidance for Satellite Rendezvous //J. Aerospace Sciences, Vol. 27, 1960. p.653-658.

102. Darling D. The Complete Book of Spaceflight Prom Apollo 1 to Zero Gravity. John Wiley к Sons, Inc. 2003. 537 p.

103. Drolshagen G., Svedhem H., Grtin E., Bunte K.D. Measurements of cosmic dust and micro-debris in GEO. //Advances in Space Research, 2001. Vol.28, pp.1325-1333.

104. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium.// Nov. Comm. Petrop., 1765, 11, p.144.

105. Falomont E.B., Kopeikin S.M. The Measurement of the Light Deflection from Jupiter: Experimental Results. //The Astrophysical Journal, Vol. 598, Iss. 1, 2003, pp.704-711.

106. Felix R. H., Ronald L. R. Spacetrack report No. 3. /Technicalrep ort, Aerospace Defense Center, 1980. //http://celestrack.com/NORAD /documentation/spacetrk.pdf.

107. Jehn R., Agapov V., Hernandez C. The situation in the geostationary-ring. //Advances in Space Research, 2005. Vol.35, pp.1318-1327.

108. Jezewski D.J. K/S Two-Point-Boundary-Value Problems. //Celestial Mechanics, Vol. 14, 1976. pp.105-111.

109. GRACE Gravity Recovery and Climate Experiment. // http://www.esr.utexas.edu/graee/.

110. Handsbook on Satellite Communications, 3rd Edition// International Communication Union, 2002. 1076p.

111. Hugentobler U., Beutler G. Strategies for Precise Orbit Determination of Low Earth Orbiters Using the GPS.//Space Science Reviews Vol.108,2003. pp.17-26.

112. Kislov D.E. Areas of convergence in estimation problem of the orbit parameters with distance measurements. //Fifth international Young Scholars Forum of the Asia-Pacific-Region Countries, Vladivostok, 2003. pp. 24-25.

113. Kislov D.E. On Guaranteed Stability in the Linear Filtering Problem. // Sixth International Young Scholars Forum of the Asia-Pacific Region Countries, Proceedings, Part I, Vladivostok, 2005. pp.127-128.

114. Musci R., Schildknecht Т., Ploner M. Orbit improvement for GEO objects using follow-up observations. //Advances in Space Research,2004. Vol.34, pp.912-916.

115. Oswald M., Krag H., Wegener P., Bischof B. Concept for an orbital telescope observing the debris environment in GEO.//Advances in Space Research, 2004. Vol.34, pp. 1155-1159.

116. Pearlman M.R., Degnar J.J., Bosworth J.M. The international laser ranging service. //Advances in Space Research, 2002. Vol.30, pp.135143.

117. Pseudospectra Gateway. // http://web.comlab.ox.ac.uk/projects-/ pseudospectra/index.html

118. Roddy D. Satellite Communications. Third Edition. McGraw-Hill, 2001. 569p.

119. Schildknecht Т., Ploner M., Hugentobler U. The search for debris in GEO. //Advances in Space Research, 2001. Vol.28, pp.1291-1299.

120. Seitzer P., Smith R., Africano J., Jorgensen K., Stansbery E., Monet D. MODEST observations of space debris at geosynchronous orbit. //Advances in Space Research, 2004. Vol.34, pp.1139-1142.

121. Shuttle Radar Topography Mission, //http://www2.jpl.nasa.gov/srtm/

122. Soop E.M. Handbook on Geostationary Orbit. Springer. 1994. 316p.

123. The LAGEOS Programm. // http://www.earth.nasa.gov/history/lageos/lageos.html.

124. Trefethen L.N. Pseudospectra of matrices. /In D. F. Griffiths and G. A. Watson, eds., Numerical Analysis 1991, pp.234-266.

125. Van Flandern T. The speed of gravity? What the experiments say. //Phys. Lett. A Vol. 250, Iss. 1-3, 1998, pp.1-11.

126. Wegener P., Bendischb J., Kragc H., Oswalda M., Stabrotha S. Population evolution in the GEO vicinity. //Advances in Space Research, 2004. Vol.34, pp.1171-1176.