автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Точностная редукция математических моделей при воспроизведении динамики нелинейных систем в натуральных моделирующих комплексах

ВВЕДЕНИЕ.

1. ТОЧНОСТНАЯ рдащия МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В

НАТУРНЫХ ИМИТАТОРАХ.

1.1. Обзор методов уцрощения математических моделей динамики систем.

1.2. Подход к решению задачи упрощения математических моделей в натурных имитаторах.

1.3. Пути реализации точностной редукции математических моделей динамики.

Выводы.

2. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МОДЕЛЕЙ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

2.1. Аппроксимация дополнительного движения нелинейных систем.

2.2. Оценка показателей качества системы при аппроксимации функций координат полиномами

Ньютона.

2.3. Использование параметрической чувствительности координат при оценке точностных требований к элементам системы.

Выводы.

3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1. Определение вероятностных характеристик выходных координат методами интерполяции координат и функций координат

3.2. Нахождение оптимальных узлов интерполяции и весовых коэффициентов квадратурных формул по заданным числовым характеристикам параметров системы.

3,3. Сравнение методов интерполяции координат и функций координат с другими методами

Выводы.

4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ТОЧНОСТНОЙ РЕДУКЦИИ

МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ САМОЛЕТА.III

4.1. Методика параметрического упрощения моделей динамики по точностному критерию.III

4.2. Комплект программ параметрической редукции математических моделей.

4.3. Результаты точностной редукции модели динамики самолета.

Выводы

Развитие науки и техники приводит к необходимости управления все более усложняющимися системами, в связи с чем возрастает роль надежного прогноза их движения. Необходимым условием такого прогноза является получение математической модели, параметры которой отображают реальные физические, конструктивные,технологические и другие факторы, влияющие на динамику системы. Однако построение ее достаточно точной модели часто невозможно из-за отсутствия адекватных моделей элементов и взаимосвязей системы с внешней средой. Для преодоления этой трудности создаются моделирующие комплексы, содержащие в своем составе реальные элементы системы, модели которых сложны или неизвестны. Комплексами такого рода являются испытательные стенды для доводки и испытаний технических систем и различные тренажеры для обучения персонала, управляющего сложными объектами 0«П - тренажеры для подготовки операторов электростанций, водителей наземного транспорта, экипажей судов, пилотов летательных аппаратов и т.п.

Следующим шагом в направлении приближения модели к оригиналу является использование натурных имитаторов С31,110],иг3-ШЦ] - натурных моделирующих комплексов, позволяющих моделировать движение исследуемых объектов в натурных условиях их эксплуатации. Применение натурных имитаторов с оператором в контуре управления дает возможность производить отработку элементов и технических систем, с которыми взаимодействует оператор, эффективно организовать профессиональный отбор, обучение и тренировку обслуживающего персонала в реальных условиях функционирования исследуемой эргатической системы.

В последние годы как за рубежом, так и в нашей стране значительное внимание уделяется созданию натурных имитаторов летательных аппаратов СШ, ПОП. 111271,11331,СЗ^ПЗЗ.Ш].

С использованием подвижных имитаторов летательных аппаратов решаются такие исследовательские задачи 1133,1114].

I* Выбор параметров, определяющий характеристики продольной и боковой устойчивости и управляемости, в том числе при ассимет-ричной тяге двигателей, при возбуждении неблагоприятных боковых и продольных колебаний, при полете на критических режимах,

2. Выбор параметров системы управления (мощность рулевых приводов, инерционность и характеристики механизмов загрузки органов управления и др.).

3. Оценка поведения самолета при изменении массы.

4. Сопоставление результатов стендового и летного управления самолетом, и другие задачи.

Кроме исследовательских задач, подвижные имитаторы летательных аппаратов позволяют решать следующие задачи обучения и тренировки летных экипажей:

1. Подготовка летчиков для испытания новых или разрабатываемых летательных аппаратов (ЛА).

2. Подготовка и тренировка экипажей дорогих или сложных в эксплуатации ЛА.

3. Обучение пилотированию на опасных, критических режимах, и другие задачи.

Преимущества обучения и тренировки летных экипажей на подвижных имитаторах по сравнению с обучением на натурных летательных аппаратах: экономичность - за счет использования простых в эксплуатации, достаточно легких и дешевых ЛА, а также за счет использования ЛА по прямому назначению; повышение безопасности полетов - за счет постройки имитаторов на базе ЛА с хорошей собственной устойчивостью, надежностью систем, силовых установок и навигационно-пилотажного оборудования.

Решение задач, аналогичных перечисленным, достигается цриме-нением натурных имитаторов подвижных объектов и других классов (например, наземного и водного транспорта и т.п.).

Сказанное иллюстрирует актуальность работ по созданию имитаторов управляемых подвижных объектов.

Принцип воспроизведения динамики исследуемого объекта на его подвижном натурном имитаторе показан на рис.В.1. Подвижный натурный имитатор представляет собой натурный моделирующий комплекс, состоящий из трех основных элементов [121*.

- эталонной модели, обеспечивающей ввод в систему исследуемого движения моделируемого объекта;

- натурной модели, или базового объекта, обеспечивающей натурные условия функционирования моделирующей системы;

- управляющей системы, вырабатывающей такие сигналы управления базовым объектом, при которых движение базового объекта воспроизводит движение моделируемого объекта.

Сложность режимов, воспроизводимых на имитаторе, зависит от полноты описания эталонной моделью динамики исследуемого движения. Поэтому разработка подвижного имитатора с расширенными возможностями для исследования приводит к задаче определения управления базовым объектом в нелинейной постановке, когда моделями движения моделируемого и базового объекта являются системы нелинейных дифференциальных уравнений. В такой постановке задача обеспечения подобия (по производным их координат) двух движущихся объектов ставится следующим образом ПЧ1.

Пусть движение моделируемого объекта описывается системой СДЧ] = , • (Ы)

Ут=Ут+Ушо,Уб=^+Убо. Вычисление Ив из уравнений £т(^Ут+Уто,ит) = (1,Уб-ьУб0,иб) обеспечивает динамическое подобие имитатора и исследуемого объекта: Ут=Уб»Ут=гУь^Убо-У

Рис. В1. Воспроизведение динамики на подвижном имитаторе исследуемого объекта а базового - системой = У СО)- и0- (В2)

В(В1) и (62) 7,У - векторы фазовых координат моделируемого и базового объектов; V» и - векторы управления моделируемым и базовым объектом: - операторы (правых частей) моделируемого и базового подвижных объектов (ПО).

Задача моделирования динамики подвижного объекта, описываемой системой (ВО , на натурном имитаторе, движение которого описывается системой СВ2) , при требовании равенства производных

-М- СВЗ) к " Л ^ моделируемого и базового объектов в математическом плане сводится к нахождению вектора Ы управлений базовым объектом из системы алгебраических уравнений

А КД.У) =В а.У.и), у(0) = у0.2(0)=70. (ВЦ)

Приняв , У - У~Уа соотношения можно записать в эквивалентной форме

ЯС+Д+г.,у)- В(Л,1^у0,и), СВБ) из которой следует принципиальная возможность определения управления таким образом, что будет обеспечиваться подобие натурного имитатора и исследуемого ПО по производным их координат. При этом ошибка в значениях координат будет равна разности соответствующих балансировочных значений.

Итак, задача моделирования динамики подвижных объектов с помощью натурного имитатора формулируется так 1141 : требуется найти вектор-функции а

I Яц - область допустимых управлений), чтобы выполнялись неравенства

ЗдесьФ0,Ф - функционалы типа норм,<?0,(? - заданные допуски на выполнение равенств координат У и их производных соответственно.

В результате проведенного в £№3,11121 анализа рекомендуется вариант системы управления натурным имитатором, в котором основная часть вектор-функции управления и Ш вычисляется с использованием замкнутого цикла по части переменных состояния базового объекта и разомкнутого цикла - по остальной части координат. Это приводит к комбинированной системе в основном канале вычисления управления базовым объектом. Во вспомогательном канале с использованием сигналов рассогласования формируются поправки к основному управлению* Схема рекомендуемого варианта системы выработки управления натурным имитатором приведена на рис.В.2. (Для упрощения рисунка на нем вместо случая ПИД - закона регулирования показан пропорциональный закон регулирования в обоих каналах выраоотки управления иШ).

Эталонная модель исследуемого объекта в вычислительном устройстве обозначена блоком А • Модель базового объекта входит в блок Вгосн основного канала и в блок Е>гвсл ПРИ использовании комбинированного цикла во вспомогательном канале. Переход от комбинированного к замкнутому циклу во вспомогательном канале условно обозначен на рисунке переключателем КЗ. Знаком А на рисунке помел чены физические переменные: у а)

- выходные координаты базового объекта, ^ - параметры внешней среды, V«) - моделируемое управление, снимаемое с имитаторов органов управления (ИОУ). 0 1

Рис.В2. Схема выработки управления натурным имитатором

Необходимость управления базовым объектом в реальном времени предъявляет к блоку выработки управления жесткие требования по быстродействию, ослабление которых достигается допустимым по точностным требованиям упрощением моделей динамики исследуемых объектов. Максимальная простота модели динамики, по которой с требуемой точностью определяется воспроизводимое на имитаторе движение, является необходимым условием минимальных временных затрат на выработку управления базовым объектом»

Для реализации этого условия в настоящей работе было поставлено целью разработать методику упрощения (редукции) математической модели динамики с оценкой точностных требований к параметрам элементов имитатора для обеспечения заданной точности динамического подобия.

Ограничимся моделями динамики, заданными в виде системы дифференциальных уравнений, в которых параметры и фрагменты отображают влияние на динамику физических, конструктивных, технологических и т.п. факторов так, что с упрощением модели она становится менее точной* Упрощение такой модели может вдти только за счет незначимости (по точностному критерию) некоторых фрагментов и параметров модели. Таким образом, поставленная задача является задачей точностной редукции заданной математической модели.

Решение ее представляется возможным в рамках одного из направлений технической кибернетики - теории чувствительности динамических систем. В настоящей работе методы теории чувствительности явились методологической основой предложенного подхода к упрощению модели и разработки основных процедур методики упрощения. В частности, на основе оценки параметрической чувствительности координат исходной модели формализовано определение множества незначимых параметров и определяются ограничения на возмущения параметров для обеспечения заданной точности исследуемой модели динамики.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:

1. Оценки дополнительного движения системы, обусловленного детерминированными и случайными возмущениями параметров.

2. Оценки параметрической чувствительности и числовых вероятностных характеристик выходных координат нелинейных систем при известных числовых характеристиках случайных возмущений параметров.

3. Определения максимального числа параметров и фрагментов модели, незначимых для заданной точности оценок показателей качества системы.

4. Оцределения точностных требований к параметрам элементов натурного моделирующего комплекса для обеспечения требуемой точности модели во всей области изменения номиналов параметров системы.

В соответствии с полученным в работе решением поставленных задач на защиту выносятся следующие основные положения:

1. Подход к упрощению математических моделей, при котором критерием близости моделей является не оценка разности их выходных координат при номинальных значениях параметров, используемая в большинстве известных методов упрощения, а оценка разности областей неопределенности координат, обусловленных возмущениями параметров моделей.

2. Методика упрощения моделей динамики на основе оценки параметрической чувствительности координат, отличающаяся от известных определением максимального числа параметров и фрагментов модели, незначимых для требуемой точности прогноза движения исследуемой системы.

3. Аналитические соотношения между функциями и условными коэффициентами чувствительности, позволяющие сократить затраты машинного времени на оценку дополнительного движения системы.

4. Алгоритмы оценок моментных характеристик координат нелинейных систем, реализующие вариант метода интерполяции функций координат, отличающийся от известных црототой расчетных формул и определением оптимальных узлов интерполяции при задании лишь числовых характеристик случайных компонент аддитивных возмущений параметров,

5. Методика оценки точностных требований к элементам системы с использованием параметрической чувствительности и предложенных показателей критичности подобластей номиналов параметров к точности модели, функции цели и ограничениям на возмущения параметров.

6. Структура комплекта программ, реализующего методику точностной редукции математических моделей.

Содержание работы по главам распределено следующим образом.

В первой главе сделан обзор известных методов упрощения математических моделей динамических систем, сформулирован предлагаемый принцип уцрощения моделей, намечены основные этапы упрощения динамики и изложен используемый подход к обоснованию точностных требований к элементам вычислительно-управляющего комплекса натурного имитатора.

Во второй главе рассматриваются методы оценки функционалов качества, определенных на координатах дополнительного движения исследуемой динамической системы при реально имеющейся информации о возмущениях параметров системы. Определены условные коэффициенты чувствительности, рассмотрено использование специфики модели при вычислении функций и условных коэффициентов чувствительности для оценки искомых характеристик системы. Разработаны варианты методов интерполяции координат и функций координат для оценки показателей качества системы. Описана методика использования параметрической чувствительности координат при определении точностных требований к элементам системы.

В третьей главе получены рабочие формулы метода интерполяции функций координат для получения оценок вероятностных числовых характеристик выходных координат нестационарных нелинейных систем. Разработан алгоритм вычисления узлов и весов гауссовых квадратур для оценок этих характеристик, требующий задания лишь числовых характеристик параметров системы. Вычислены оптимальные узлы и веса для композиций нормального и равномерного распределений и всех распределений, стандартных по ГОСТ 8.011-72 "Показатели точности измерений и формы представлений результатов измерений". Проведено сравнение методов интерполяции функций координат с другими методами неслучайных воздействий.

В четвертой главе описана разработанная методика параметрической редукции математических моделей по точностному критерию, в которой реализован предложенный принцип упрощения с учетом параметрической чувствительности выходных координат исследуемой системы. Предложена методика построения конечного множества точек пространства параметров системы, в которых определяются точностные характеристики элементов, обеспечивающие требуемую точность моделирования во всей области работоспособности системы. Дано описание разработанного комплекта программ параметрической редукции математических моделей. Проведена оценка результата точностной редукции модели динамики, который был получен с использованием разработанного комплекта программ.

В приложении I рассмотрено использование специфики моделей для уменьшения временных затрат на оценку функций чувствительности координат по параметрам, связанным некоторой функциональной зависимостью. Дано определение и способы вычисления условных коэффициентов чувствительности - чувствительности координат к параметрам при фиксированном значении одной из них.

В цриложении 2 проведено сравнение оценок математического ожидания и дисперсии выходной координаты нелинейной системы, полученных с использованием функций чувствительности и интерполяционными методами.

Основные результаты данной работы вошли составной частью в отчеты по темам "Точность" (№ гос.регистрации 70055256), "Точ-ность-2" (№ гос.регистрации 75009903), "Допуск" (№ гос.регистра-ции 81005186) и "Имитатор" (№ гос.регистрации 81036509), выполненным в течение 1970-1983г.г. в отделе моделирования динамических систем Института проблем моделирования в энергетике АН УССР, докладывались на республиканском семинаре "Точность и надежность кибернетических систем", на XXI Украинской республиканской научно-технической конференции (Киев, 1972), на республиканской конференции "Стабильность и надежность информационных устройств и систем" (Киев, 1974), на У Всесоюзной научно-технической конференции "Дальнейшее развитие аналоговой и аналого-цифровой вычислительной техники" (Москва, 1977), на Втором Ленинградском симпозиуме "Теория чувствительности и ее'применение" (Ленинград, 1979), на Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы нелинейной электротехники" (Киев, 1981).

Результаты диссертационной работы использовались в разработках специализированной вычислительной системы и программного обеспечения самолетного имитатора. По предложенному методу оценки точностных требований к параметрам был произведен отбор вариантов внешних устройств по показателям точности проектируемой системы. Проведенная точностная редукция эталонной модели динамики полета самолета позволила снизить затраты на эксперименты для оценки коэффициентов аэродинамических сил и моментов. В приложении 3 цредставлены документы, подтверждающие экономический эффект от внедрения этой части работы в сумме 24,5 тыс.рублей.

ВЫВОДУ.

Результаты заключительного раздела работы можно сформулировать следующим образом.

I. На основе оценки области неопределенности выходных координат вследствие возмущений параметров разработана методика точностной редукции модели, обеспечивающая требуемую точность прогноза движения системы по ее модели.

Отличительной чертой предложенной методики является согласование допуска на координаты с оценкой влияния на них возмущений параметров и оценка устойчивости к ним упрощенной модели исследуемой системы.

Предложенный способ формирования множества незначимых параметров обеспечивает широкие возможности эквивалентирования упрощенных моделей и оптимальное упрощение моделей требуемой точности.

2. Разработан комплект программ, реализующий предложенную методику точностной редукции математических моделей динамических систем.

Комплект позволяет на основе оценок чувствительности коорди нат к возмущениям параметров обосновать точностные требования к элементам и определить критические режимы исследуемой системы.

3. Проведена точностная редукция эталонной модели динамики полета самолета.

Определены списки незначимых и существенных (необнуляемых) параметров, соответствующие нескольким вариантам допусков на выходные координаты моделируемого самолета. Получена информация о чувствительности координат к возмущениям параметров в заданном критическом режиме полета имитатора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Основные научные и практические результаты работы могут быть сформулированы следующим образом.

1. Предложен подход к упрощению моделей динамических систем (раздел 1.2) с использованием в качестве !фитерия близости моделей оценки разности областей неопределенности координат исходной и уцрощенной моделей с учетом отклонений параметров системы от их номинальных значений.

Сформулированы необходимое условие упрощения (формула 1.28) и условие эквивалентности исходной и упрощенной моделей (формула 1.29) при обеспечении требуемой точности прогноза движения системы по ее упрощенной модели.

2. Разработана методика редукции заданной математической модели по критерию точности (раздел 4.1), которая на основе оценки параметрической чувствительности координат позволяет, в отличие от других методов, определить максимальное число параметров и фрагментов модели, незначимых для требуемой точности прогноза движения исследуемой системы.

3. Для оценки дополнительного движения дано определение и способы вычисления условных коэффициентов чувствительности -чувствительности координат к возмущениям параметров при значении одной из координат, фиксированном заданной зависимостью от параметров системы.

Получены выражения (формулы (19),(20),(23) в приложении I) для вычисления условных коэффициентов чувствительности при нахождении функций чувствительности решением системы уравнений чувствительности. Выявлены соотношения между функциями чувствительности к параметрам, связанным некоторой функциональной зависимостью (формулы (2),(4),(9),(24),(25) в приложении I), что позволяет вычислить требуемые характеристики с меньшими затратами машинного времени.

4. Получены рабочие формулы для оценок показателей точности нелинейных систем (разделы 2.2, 3.1, 3.2), более простые по сравнению с используемыми в известных вариантах интерполяционных методов. В отличие от них в разработанном варианте для вычисления оптимальных узлов интерполяции не требуется знания плотностей распределения, а достаточно (формулы (3.2)-(3-9),(3.16)-(3.20), (з.гг) - (3.27) ) задания лишь моментных характеристик возмущений параметров. Этим достигается реализация замкнутого процесса исследования нелинейных нестационарных систем без преобразования модели или составления уравнений для оцениваемых характеристик. Разработан алгоритм вычисления узлов и весов квадратур наивысшей алгебраической точности (расчетные формулы (339)-сз4о), (346)-(З.Ч8)Д3.51Н3.56), СЗ.П) - (3.28)) в общем случае возмущений параметров, являющихся суммами первичных возмущений с известными моментными характеристиками. Для оптимальной оценки точностных характеристик координат при задании стандартной информации о погрешностях измерений параметров системы вычислены узлы и веса гауссовых квадратур для распределений, стандартных по ГОСТ 8.011-72 "Показатели точности измерений и формы представлений результатов измерений", и для композиции усеченного нормального и равномерного распределений с соотношением компонент суммарного возмущения, обычно реализуемым на практике.

6. Формализовано обоснование точностных требований к элементам системы с построением конечного множества ограничений в сформулированной задаче нелинейного программирования (разделы X.3,2.3), основанном на поиске экстремумов предложенных показателей критичности (2.69 )-С£Л1) подобластей номиналов параметров к точности модели, функции цели и ограничениям на возмущения параметров.

7. Разработан комплект программ на языке Р1>/1, реализующий предложенную методику упрощения с обеспечением заданной точности моделирования (раздел 4.1,4.2).

Комплект позволяет сократить сроки разработки алгоритмического и программного обеспечения динамического подобия натурных имитаторов за счет автоматизации получения максимально цростых моделей при просчете вариантов допустимой погрешности эталонной модели; уменьшить затраты на оценку параметров эталонной модели; дать исходные данные для метрологического обеспечения натурных имитаторов.

Проведенная с использованием этого комплекта параметрическая редукция эталонной модели динамики полета самолета на заданных критических режимах подтвердила правильность методологии и эффективность разработанных алгоритмов интерполяционного метода при реализации автоматизированного упрощения заданной модели.

В результате исследования была установлена незначимость ряда коэффициентов аэродинамических сил и моментов, даны рекомендации по организации плана экспериментов для оценок коэффициентов сил и моментов и получена информация для обоснования метрологического обеспечения самолетного имитатора.

Методика обоснования точностных требований к элементам нелинейных систем была использована цри выполнении работ по разработке специализированного вычислительного устройства.

Экономический эффект от использования методики редукции моделей при разработке самолетного имитатора составил 24,5 тыс.руб. Материалы о внедрении результатов работы приведены в приложении 3.

Применение изложенной методики упрощения моделей не ограничено задачами натурного моделирования. Точностная редукция моделей целесообразна при проведении большого числа расчетов по типовым моделям (например, в системах автоматизированного проектирования), при имитационном моделировании и вычислительных экспериментах в реальном времени. Перспективным направлением дальнейших исследований по упрощению моделей представляется комплексное использование методов групповой симметрии и оптимального управления с оценкой дополнительного движения методами теории чувствительности и интерполяционными методами.

1. Белошапкин B.K. Уравнения чувствительности и границы их применимости в задаче быстродействия. - В кн.¡Вопросы кибернетики. Теория чувствительности и ее применение/Под редакцией Р.М.Юсупова и Ю.Н.Кафанова.-М.:1981,с.57-70.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.¡Наука,1966, т.1, 632с.

3. Берестов Л.М. Моделирование динамики вертолета в полете. -М.: Машиностроение, 1978, 160с.

4. Богданов B.C. Метод определения моментов характеристик качества нелинейных систем автоматического управления ( L -метод).I.-Автоматика и телемеханика, 1973,№6,с.25-15;П.-Автоматика и телемеханика, 1973,№7, с.25-33.

5. Ботвинников О,В. Алгоритм получения многооптимального математического описания объектов.-В кн.¡Автоматизация анализа и синтеза структур ЭВМ и вычислительных алгоритмов.-Новосибирск,1978, с.139-142.

6. Бранец В.Н., Шмыглевский И,П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела.-М.¡Наука,1973, 320с.

7. Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М., Срагович В.Г., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). -M«: Физматгиз, 1962.

8. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем.- М.¡Советское радио, 1973, 439с.

9. Вахутинский И.Я., Дудкин Л.М., Щенников Б.А. Итеративное агрегирование в оптимальных экономических моделях. Экономика и математические методы, 1973,т.9, №3, с.420-434.

10. Верлань А.Ф., Владимиров В.М., Ефимов И.Е., Латышев A.B.,

11. Шаталов В.Н. Вопросы построения вычислительно-управляющих систем натурных имитаторов.-В кн.: У Всесоюзная научно-техническая конференция "Дальнейшее развитие аналоговой и аналого-цифровой вычислительной техники". Тезисы докладов.-М.:МДЙТП,1977,с.15.

12. Верлань А.Ф., Евдокимов В.Ф. Электронное моделирование передаточных функций. Киев: Техн1ка,1971,231с.

13. Верлань А.Ф., Ефимов И.Е., Латышев А.В. Вычислительные процессы в системах управления и моделирования.-Л. .'Судостроение, 1981, 246с.

14. Верлань А.Ф.»Ефимов И.Е., Шаталов В.Н. Вопросы моделирования динамики летательных аппаратов посредством летающих имитаторов.« В кн.: Точность и надежность кибернетических систем.-Киев: Наукова думка, 1976, вып.4, с.24-27.

15. Верлань А.Ф., Ефимов И.Е., Шаталов В.Н. Методы обеспечения подобия подвижных тренажеров летательных аппаратов. Пре-принт-128.-Киев: Ин-т электродинамики АН УССР,1977, 66с.

16. Владимиров В.М. Определение требований к точности параметров нелинейной системы.- В кн.:Тезисы докладов XXI Украинской научно-технической конференции, посвященной 50-летию образования СССР, Дню радио и Дню связиста. Киев: УкрНИИНТИ,1972, вып.З, с.50.

17. Владимиров В.М. Об одном случае применения метода эквивалентных возмущений при анализе точности нелинейных систем.-Киев: Наукова думка, 1973, вып.1, с.14-21.

18. Владимиров В.М. Определение моментных характеристик выходных координат нелинейных систем.-В кн.:Точность и надежность кибернетических систем,- Киев:Наукова думка, 1975, вып.3,с.18-26.

19. Владимиров В.М. Об определении функций и коэффициентов чувствительности выходных координат динамических систем,- В кн.: Точность и надежность кибернетических систем,- Киев: Наукова думка, 1975, вып.З, с.34-40.

20. Владимиров В.М. Исследование нелинейных систем с использованием методов неслучайных воздействий. Препринт-103.- Киев: Ин-т электродинамики АН УССР, 1975, 76с.

21. Владимиров В.М. Методы полиномиальной аппроксимации при анализе систем со случайными параметрами.-В кн.¡Всесоюзная конференция "Стохастические системы управления".Тезисы докладов.- Челябинск: Челябинский политехнический ин-т, 1976, с.23-25.

22. Владимиров В.М. Узлы и веса гауссовых квадратур для стандартных весовых функций.-В кн«:Точность и надежность кибернетических систем.-Киев:Наукова думка,вып.5,1977, с.24-31.

23. Владимиров В.М. Условно оптимальные узлы интерполяции при исследовании систем с несколькими компонентами возмущения параметров.-В кн.:Точность и надежность кибернетических систем.-Киев: Наукова думка, 1978,вып.6,с.11-17.

24. Владимиров В.М. Узлы и веса гауссовых квадратур при заданной системе моментов,- В кн.:Точность и надежность кибернетических систем.-Киев:Наукова думка,1978,вып.6,с.29-35.

25. Владимиров В.М. Исследование показателей точности моделей нелинейных динамических систем. Отчет по теме "Допуск"- Киев:

26. Ин-т электродинамики АН УССР, Сектор электроники и моделирования, 1980, №гос.регистрации 8I005I86, с.87-169.

27. Владимиров В.М. Об одном подходе к линеаризации нелинейных задач.- В кн.¡Проблемы нелинейной электротехники. Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции, ч.З. Киев: Наукова думка, 1981, с.145-148.

28. Воропай Н.И, Упрощение математических моделей динамики элект-ро-энергетических систем.- Новосибирск: Наука, Сибирское отд., 1981, И2с.

29. Горбань A.B. О теории упрощения математических моделей сложных целенаправленных систем.- В кн.: Методы анализа и реконструкции сложных систем.- Рига: Зинатне, 1972, с.10-12.

30. Горбань A.B. Об упрощении математических моделей сложных систем и о некоторых приложениях теории. В кн.: Кибернетика и вычислительная техника.-Киев:Наукова думка,1977,вып.37,с.10-14.

31. Горбань A.B., Северилов В.А. Математические модели динамики летательных аппаратов.- Харьков: Изд-во Харьковского авиационного ин-та, 1978, 56с.

32. Горбань A.B. Аналитическое проектирование целенаправленных систем: оптимизация и проектирование системы по частям.- В кн.: Теория автоматизированного проектирования.-Харьков: Харьковский авиационный ин-т, 1979, вып.1, с.53-60.

33. Горбатенко С.А., Макашов d.M., Полушкин Ю.Ф., Шефтель Л.В. Механика полета.- М.: Машиностроение: 1969, 420с.

34. Горбунов А.Д., Шахов Ю.А. О приолиженном решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с наперед заданным числом верных знаков. I.-ЖВМ и МФ, 1963,№2,с.239-253; П.-ЖВМ и МФ, 1964, №3, с.426-433.

35. Городецний В.И., Захарин Ф.М., Розенвассер E.H.,Юсупов P.M. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении.-Л.: Энергия, Ленинградское отделение, 1971, 344с.

36. ГреОенюк Д.Г. Полиномы наилучшего приближения по многим переменным. Ташкент: 1970, 215 с.

37. Гумовский И. Анализ чувствительности и устойчивость по Ляпунову. В кн.: Чувствительность автоматических систем. - М.: Наука, 1968, с.3-25.

38. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. -М.: Мир, 1972, 312с.

39. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981, 304 с.

40. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.4.е изд., испр. М.: Наука, 1970, 664с.

41. Дзёх В.П. К синтезу системы управления самолетом, обеспечивающей оптимальные пилотажные характеристики.- В кн.: Эргатичес-кие динамические системы управления. Киев: Наукова думка, 1975, с.115-122.

42. Добродеев Л.Н. Кубатурный метод вычисления вероятностных моментов. Автоматика и телемеханика, 1969,№10, с.54-59.

43. Доступов Б.Г. Приближенное оцределение вероятностных характеристик выходных координат нелинейных систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика, 1957,т.ХУШ,№П, с.999-1009.

44. Евланов Л.Г. Методы анализа динамических систем, содержащих случайные параметры. I.-Автоматика и телемеханика, 1968, №8, с.31-39; П.-Автоматика и телемеханика, 1968, №12,с.5-13; Ш.- Автоматика и телемеханика, 1970, №7, с.21-27.

45. Железнов И.Г., Семенов Г.П. Комбинированные оценки характеристик сложных систем. М.Машиностроение, 1976, 55с.

46. Ивахненко А.Г. Системы эвристической самоорганизации в технической кибернетике. Киев: Техника, 1971, 372с.

47. Ивахненко А.Г., Высоцкий В.Н., Ивахненко Н.А. Основные разновидности критерия минимума смещения модели и исследование их помехоустойчивости. Автоматика, 1978, №1, с.32-53.

48. Исследования по общей теории систем. Сборник переводов. -М.: Прогресс, 1969, 520с.

49. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975, 432с.

50. Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962, 332с.

51. Кокотович П.В., Рутман Р«С. Чувствительность САУ. Оозор.-Автоматика и телемеханика, 1965, т.ХХУ1,М, с.730-750.

52. Корнейчук Н.П. Эктремальные задачи теории приближения. М#: Наука, 1976, 320 с.

53. Карагодин В.М. Теоретические основы механики тела переменного состава. М.: Оборонгиз, 1963, 179с.

54. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир,1975, 648с.

55. Красовский А.А. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М.: Наука, 1968, 240с.

56. Кротов) В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета.-М.:Машиностроение,1969,288с,

57. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967, 500с.

58. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961, 524с.

59. Лепеха Н.П. К оценке полной погрешности задачи корректировки математической модели. В кн.:Вычислительная и прикладная математика. - Киев: Вища школа, 1969, вып.8, с.109-123.

60. Лепеха Н.П. Оценка точности математических моделей сложных объектов управления. В кн.Некоторые вопросы моделирования и управления систем.- Киев: Наукова думка, 1973, с.71-75.

61. Лившиц H.A., Пугачев В.Н. Вероятностный анализ систем автоматического управления.-М.:Сов.радио,1963,с.1,896с.;ч.П,284с.

62. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. М.:Сов.радио, 1978, 376с.

63. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973, 344с.

64. Налимов В.В., Чернова H.A. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов.- М.: Наука,1965, 340с.

65. Никитенко О.В. Применение непрерывных групп при исследовании динамических систем. Рига: Зинатне, 1972, с.7.

66. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974, 304с.

67. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Чувствительность решений задач математического программирования и приближенная оптимизация. В кн.: Теория инвариантности и ее применение. Труды У Всесоюзного совещания. - Киев: Наукова думка,1979,ч.2,с.49-57.

68. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегатирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979, 342с.

69. Петров В.Н., Крутько П.Д. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления. Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1970, №2, с.202-212.

70. Петров Б.Н., Уланов Г.М., Гольденблат И.И., Ульянов C.B. Теория моделей в процессах управления.~М.:Наука,1978,224с.

71. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем.- М.:Физматгиз,I960, 792с.

72. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления.- 3-е изд.- М.: Физматгиз, 1962, 883с.

73. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979, 208с.

74. Розевассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем автоматического управления. Л.: Энергия, Лениградское отделение, 1969, 208с.

75. Сахаров М.П. Параметрическая чувствительность в задаче управления по неполной модели объекта. Автоматика и телемеханика, №6, 1973, с.24-30.

76. Свилин A.B. К факторному интерполяционному методу анализа точности нелинейных систем автоматического управления прислучайных воздействиях.- Известия вузов, Авиационная техника, 1979, № 4, с.

77. Стастические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления /Под ред. Б.Г.Доступова М.: Машиностроение, 1970, 408с.

78. Стефенсен И.Ф. Теория интерполяции.- М.:0НТИ НКТПД935.

79. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976 , 248с.

80. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими переменными.-М. :Наука, 1981, 111с.

81. Стоич М., Шиляк Д. Чувствительность автоколебаний в нелинейных системах управления.- В кн.:Чувствительность автоматематических систем. М.:Наука, 1968, с.116-123.

82. Томович Р., Вукабратович М. Общая теория чувствительности.-М.: Советское радио, 1972, 239с.

83. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970, 564с.

84. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971, 312с.

85. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука, T.I, 1969, 608с.

86. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967, 507 с.

87. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.:Гостехиздат, 1950, 102с.

88. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления.-М.: Машиностроение, 1968, 248с.

89. Чистяков А.И. О понижении порядка дифференциальных уравнений движения гидродинамических углубителей. В кн.: Труды КАЙ. Авиационные приборы и автоматы. - Казань: Казанский авиационный институт, вып.187, 1975, с.30-38.

90. Широкопояс В.А. О возможности упрощения дифференциальных уравнеьий дважемая * зад; 4t о мсксл к"льй-Р стар.п дъ. La ст®самолета. Ученые записки ЦАГИ, 1979, II, №1, с.127-135.

91. Яценко В.А. Динамически эквивалентные системы в исследовании управляемых процессов. Киев: 1982, 20с.99. flppiah R.K. Интерполяция Коши в применении к редукции линейных систем. ЭИ ВИНИТИ САУ, 1978, №34, реф.198,с.6-9.

92. Rppiah R.K. Упрощение линейной модели с помощью аппроксимирующих полиномов Гурвица. ЭИ ВИНИТИ, САУ,1979, № 12, реф. 64, с.15-18.

93. CalfeM.R.,Headty М. Квадратично-амплитудная частотная характеристика и использование методов Чебышева для апцрокси-мации цепными дробями. ЭИ ВИНИТИ, САУ, 1976, №47, реф.295, с.13-16.

94. ChenCF:T Yates R.E. Аппроксимация систем с бесконечномерным пространством состояния. РЖ 81. Техническая кибернетика, 1978, 2, реф.2. 81.52.

95. Cruz I.В., Perkins W.R. R new approach "to ±Ь>е Sensitivity Pro&lem in Multivariate FeedSock System Design. -IEEE Trqn*qtion* on Automatic Control, 1964,RC-9, 43,216-223.

96. Da^y K.C.,Cole6ourn fl.R Pode approximation -for state space models .-International "Journal of Corrtrol,1. VTI9, Y.30, tsl 1,31-47.

97. Dorwish M., Farrtin J. Декомпозиция и агрегирование енерге-тических систем большой размерности и исследование устойчивости. РЖ. Кибернетика, 1977, 12, реф.12г50.т» I Motdu*E.

98. JJecosterM., Аппроксимация линейных систем путем сопоставления с взвешенной весовой частотной реакцией. ЭИ ВИНИТИ, САУ, 1976, №32, реф.191, с.1-8.

99. НО. Devison Е.З- R method for simplifying linear dynamicsystems-IEEE Transactions on Rutomatic Control, 1%6, ЯС-11, r41, 93-101.

100. Eifel&ergE. Понижение порядка модели путем минимизации. ЭИ ВИНИТИ, САУ, 1979, №21, реф.108, е.П-14.

101. EUerlon Roger RV.flsai-Wei-Yann. Оценивание с минимальным смещением и выбор полиномиальных членов для поверхности отклика. РЖ. Математика, 1980, 6, реф.6В156.

102. Field fl.D.f0wens В.Н. Каноническая форма для редукции линейных скалярных систем. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1978,№39,реф.225,с.7-12.

103. Garrard W-,Jordan Design nonlinear automatic flight control systems.- Automatics, 1917, 13, tvl^, 497-505.

104. Genesio R.? Milanese M. R note on -the derivation and use of reduced order models.-IEEE Transactions on Automatic Control, 1976, flC-21, , 118-122.

105. GenesioR., Milanese M. 0 понижении порядка модели. ЭИ ВИНИТИ САУ, 1976, № 46, реф.258, с.5-6.

106. Goldman M.J., Leondes С.Т."Trans atfon of the mi*ed Cauer form.The best approximation in a definite mathematical sense-International journal of Control ,1977,y.25,976-982.

107. НУ. Haggan V., РпевИеуМВ.Понижение размерности многомерных стохастических систем. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1976, Jf<6, реф. 31, с. 5-8.

108. Hic-kin J-,Sinha N.K. Канонические формы редуцированных моделей. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1978, №46, реф.270, с.8-10.

109. HirzingerG.jKretoielmeier G. Оо оптимальной аппроксимации систем высокого порядка моделями низкого порядка. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1976, № 6, реф.35, с.26-32.

110. Huang C.C.,Liemba W.T. Границы математического ожидания выпуклой функции случайных переменных. ЭИ ВИНИТИ. Техническая кибернетика, 1977, №42, реф.277, с.24-28.

111. Inoaka И. Методы упрощения передаточных функций с точки зрения замкнутых систем. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1979, № 17, реф. 88, с.1-4.

112. Kamy М. Байесовская оценка порядка модели. РЖ, Математика, 1980, 6, реф.6В190.

113. Langholz 6., Bist г itz Y. Понижение порядка моделей динамических систем в частотном интервале. РЖ. Техническая кибернетика, 1980, 6, реф. 6.81.18.

114. LHz L. Понижение порядка линейной модели с сохранением доминирующих полюсов. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1979, № 35, реф.189, с.11-18.

115. Mahapatra G.B.Выбор системы невысокого порядка с помощью метода упрощения Девисона. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1978, № 15, реф.87, с.8-10.

116. Мс Fadden Н.М., Yomaske R.F;, Heiule D.R. Flight investigcrtion using variable-stability airplanes of minimum stability requirements -for high -speedhigh- attitude vehicles.-NflSR-TN.TND -179,1961.

117. Reddy B.^.^.Q. Частотный метод упрощения передаточной функции. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1976, № 19, реф.IIb, с.18-21.

118. TIFS>: a simulator -that Jties.- Rmericqn flvia-Иоп, Ш68, June , v.32, i4l, p.64.134. lowiU D R-, Mebdi Z. Оценка чувствительности системы высокого порядка с помощью модели пониженного порядка. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1971, №15, реф. , с.

119. Vakhutinsky I.Y.,Dudk:in L.M., Ryvkin R.R. Iteration aggregation a new approach to "the sotu-tion o-f large- scale problem Econometrica, 1979, hi, rl4,821-841.

120. Yahagi Т. Оптимальная аппроксимация передаточных функций линейных динамических систем. ЭИ ВИНИТИ. САУ, 1978, № 32, 187, с.4-15.1. ПРИЛОЖШИЕ I

121. Допустим, что в системе вида (2.1) один из параметров,^ например, является детерминированной функцией другого параметра: §=1\(Р|) , цричем входит в систему только через параметр Я .

122. Для доказательства рассмотрим системы уравнений чувствительности координат системы (2.1) по отношению к параметрам Fj и (1. В силу предположений

123. V- S = Щ \ i Ct,y,P) dT+qttj^ fKCT,y,P)dT,-ti•lAWb^-t || -Su, cnis)1 î=i ОУ!аналогично : ^ ^tj -Ьз готсюда•i.w^tfe-4" Cm,,

124. Предположим, что ^ ^ 0b ) является решением системы (5) • Непосредственной подстановкой функции (Ц) в систему (6) убеждаемся, что при этом Ô^Ct) является решением системы (6).1. Утверждение доказано.

125. В силу предположений о правых частях системы (2.1) функции чувствительности ¿»^ Ш вычисляются по (9) , еслиЙ^ОЬ) являются функциями чувствительности координат Ук по отношению к параметру Р, .

126. Если правые части системы (2.1) представимы в видеV

127. Пусть решение системы СП) . Непосредственной подстановкой СЮ) в СП) убеждаемся, что 5>кгШ , определяемое соотношением СЮ), также удовлетворяет системе СП) • Утверждение доказано.

128. Коэффициент чувствительности áijuf будем называть условным коэффициентом чувствительности координаты по отношению к параметру Pjieo.

129. В нормальной форме его можно записать следующим образом:с1У1ц = —-sincp,,1. K^-CO2- ^ 1-tfy^asinccob ср.), Уго^-^Г-^ ^o. d-t

130. Решением этой системы являются функции

131. Ca/Clcz-cjz))-Sin c^t + cpo), сп1.1в)

132. Уг=Сас^Д^-сое)) со8 (Ot+Cpo). СП1.Ш)

133. Пусть вектор параметров равен р = С<г,а,со,ср0).

134. SlM= -2- . cos CCAJ"t+Cyo),cos Ссо* + Ч>0),ск^ со2-)2—~ eos C^-t+^o)»--. Sin (U>t+4>0).

135. В то же время можно убедиться, что искомый коэффициент чувствительности в действительности равен

136. Таким образом, нужно получить формулы для вычисленияискоморо коэффициента чувствительности (12) , используя значения функций чувствительности, получаемые в результате решения системы2.1), Ш.

137. В случае, когда координаты системы заданы не в явном виде (15) , а являются решением системы дифференциальных уравненийвида (2.1) , можем записать1. О ЗУ»ар, ' > эр.или311. СШ.22)где определяется по формуле (20).

138. Из (2.1) и (22) получим формулуиМьР)1. П1.23)

139. Формула (23) является искомой зависимостью условного коэффициента чувствительности от значений функции чувствительности координат системы (2.1) при значении аргумента , определяемом фиксированным значением У ^ координаты Ук системы (2.1).

140. Сравнение метода степенных рядов и интерполяционных методов получения оценок числовых характеристик выходной координаты нелинейной системы.

141. Сравним указанными методами математическое ожидание и дисперсию случайной функции, заданной дифференциальным уравнениемГ56.= + 0 , у (.0) = У0 11. СП2.1)цравая часть которого определяется нелинейной функцией следующего вида:1., эс>а71. К*) -а1 1/ а