автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теория, методы и алгоритмы моделирования гарантированного результата в задачах управления движением с помехой и с неопределенностью

На правах рукописи

Ухоботов Виктор Иванович

ТЕОРИЯ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГАРАНТИРОВАННОГО РЕЗУЛЬТАТА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ С ПОМЕХОЙ И С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

05.13.18 Теоретические осповы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Челябинск -1996

Работа выполнена на кафедре теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Альбрехт Э.Г.

доктор физико-математических наук,

профессор Благодатских В.И.

доктор физико-математических наук,

профессор Жуковский В.И.

Ведущая организация - Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится 3 1997 г. в // часов

на заседании диссертационного^ совета Д 064.19.03. в Челябинском государственном университете по адресу: 454136, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических паук, профессор

Свиридюк А.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Диссертационная работа связана с изучением и с разработкой методов п алгоритмов моделирования гарантированного управления в динамических системах при наличии воздействия со стороны помехи, а также неточности пли нечеткости в замере фазового состояния. Подход, положенный в диссертации в основу построения моделей таких задач управления, базируется на принципе гарантированного результата. При таком подходе помехам приписывается поведение, ухудшающее показатель качества, в соответствии с которым строится управление. Моделирование. неточности или нечеткости получаемой информации о фазовом состоянии системы приводит к конструированию нового фазового пространства, которое в отличие от исходного обладает неполной линейной структурой. Выбранный подход приводит к рассмотрению задачи моделирования управления в рамках теории дифференциальных игр.

Актуальность темы. Такие задачи имеют своим источником многочисленные задачи из механики и других областей знании. Они находят все большее применение при решении различных проблем. Актуальность этих задач, их большой теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие теории дифференциальных игр, составляющей основу алгоритмов синтеза гарантированного управления. Установлены прочные связи этой теории с другими разделами математики: теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, включений и уравнений в частных производных; недифференцнруемой оптимизацией п выпуклым анализом; вычислительной математикой. Интенсивно разрабатываются вычислительные методы решения задач гарантированного управления.

Становление теории дифференциальных игр относится к началу 60-х годов и связано с именами советских и зарубежных математиков Н.Н.Красовского, Л. С. Понтрягнна, Р. Аизекса, У. Флеминга. Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли Э. Г. Альбрехт, М. Барди, В. Д. Батухтин, Е. Н. Баррон, Т. Башар, Р. Беллман. А. Брай-

сон, H. Л. Григоренко, Р. В. Гамкрелидзе, В. И. Жуковский, М. И. Зеликин, Н. Калтон, А. Ф. Клейменов, А. Н. Красовский, А. В. Крхжимский, А. Б. Куржанскнй. Дж. Лейтман, П. Л. Лпонс, А. А. Мелнкян, Е. Ф. Мшценко, М. С. Никольский, Г. Ольсдер, Ю. С. Осипов, А. Г. Пашков, В. С. Пацко; H. II. Петров, Л.А. Петросян, Г. К. Пожарпцкпй, Б. II. Пшеничный, А. И. Субботин, H. Н. Субботина, В. Е. Третьяков, В. Н. Ушаков, А. Фридман, Хо-Ю-Шн, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусысо, А.А.Чикрий, Р.Эллиот и многие другие.

Предметом исследования теории дифференциальных игр являются задачи управления в условиях конфликта и неопределенности. На практике при решении различных механических и других задач возникает потребность построить позиционную стратегию, гарантирующую определенное качество управляемого процесса при любом допустимом и неизвестном заранее воздействии со стороны помехи.

Н.Н.Красовским и представителями его научной школы развита концепция позиционных игр, в основе которой лежит понятие стабильного моста п правило экстремального прицеливания на него1,2,3. Для широкого круга дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе2. Обоснованы методы детерминированных и стохастических программных конструкций3. В работах А.И.Субботина условия стабильности сформулированы с помощью производных по направлению. В результате получены дифференциальные неравенства, которые обобщают основное уравнение дифференциальных игр, записанное Р.Айзексом4.Этот подход применен к построению

1 Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука. 1970. 420 с.

2 Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974. 4-56 с.

3 Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука. 1985. 518 с.

4 Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967.479 с.

теории обобщенных решений уравнения Гамильтона - Якоби.

В работах Л.С.Понтрягина5 разработана аналитическая схема нахождения решения линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования выпуклых множеств. Эти два прямых метода получили названия первого и второго прямых методов Л.С.Понтрягина. Во втором методе используется идея попятного движения от терминального множества. В работах Л.С.Понтрягина и А.С.Мшценко на основе альтернированного интегрирования разработаны алгоритмы моделирования управления преследователя без дискриминации убегающего объекта. Конструкции первого и второго методов Л.С.Понтрягина активно развивались в работах М.С.Никольского. Были разработаны вычислительные процедуры и доказана сходимость для альтернированных сумм.

Идея второго метода Л.С.Понтрягина была обобщена Б.Н.Пшеничным на нелинейные дифференциальные игры. Им разработана операторная конструкция решения игровых задач.

Наряду с наличием воздействия со стороны помех, поступающая информация о реализовавшемся фазовом состоянии может носить неполный и неточный характер. Известна только область, где находится фазовая точка. В этом случае приходится строить управление в зависимости от этих информационных множеств. Исходная управляемая система индуцирует движение множеств. В такой постановке задачи управления рассматривались в работах А.Б.Куржанского, В.Е.Третьякова, В.С.Пацко и С.И.Кумкова и других. Операции сложения двух множеств и умножения множества на число удовлетворяют не всем свойствам линейного пространства. Не выполняется дистрибутивный закон умножения на множество относительно сложения двз'х чисел н не существует противоположный элемент.

Другим примером является совокупность нечетких по Заде® множеств

0 Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. 1.2.// Докл. АН СССР. 1967. Т.174. N б. С. 1278 - 1280. Докл. АН СССР. 1967. Т.175. N 4. С. 764 - 766.

универсальным множеством которых является линейное вещественное пространство. К постановке задач управления нечеткими множествами приходим, например, в том случае, когда для оценки начального состояния системы, а также для оценки помех привлекается группа экспертов, после опроса которых строятся функции принадлежности нечеткого начального состояния и нечеткой помехи. Отметим, что обычное подмножество универсального множества можно рассматривать как нечеткое множество, функция принадлежности которого совпадает с ее характеристической функцией. При таком отождествлении операции сложения и умножения яа числа в пространстве нечетких множеств переходят в обычные операции сложения множеств и умножения их на числа. В этом смысле задача синтеза гарантированного управления в пространстве нечетких множеств содержит в себе задачу синтеза с неполной и неточной информацией.

Вопросам принятия решений в рамках теории нечетких множеств посвящена обширная литература. Дифференциальные игры с нечетким целевым множеством и нечеткими начальными условиями рассматривались в работах В.А.Байдосова и В.Н.Ушакова. Ими была принята такая формализация исходной задачи, что она сводится к задаче о вычислении цены игры в классе обычных позиционных стратегий с платой, равной функции принадлежности нечеткой цели.

Задачи управления с помехами при наличии неполной и неточной или нечеткой, расплывчатой информации о фазовом состоянии рассматриваются в диссертации с единых позиций, а именно как задача синтеза гарантированного результата в фазовых пространствах с неполной линейной структурой. Под такими пространствами в диссертации понимаются множества, наделенные линейной структурой, в которой может не выполняться дистрибутивный закон умножения числа на вектор относительно сложения двух чисел и не существовать противоположный элемент.

6 Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений // М.: Мир. 1976. 161 с.

В диссертации исследуются теоретические аспекты моделирования гарантированного результата в таких задачах управления. Отсутствие топологии в фазовом пространстве требует формализации понятий движения, условия окончания. Зависимость уравнений движения от фазового состояния и от времени (в линейных нормированных пространствах - это непрерывность, условие Липшица и т.п.), при выполнении которых можно строить гарантированное управление, требует разработки. Вносит специфику и отсутствие некоторых свойств линейного пространства.

В диссертации предложен и обоснован алгоритм синтеза гарантированного управления с учетом специфики рассматриваемой проблемы. Синтезируемое управление рассматривается как обычное, "четкое", но определенное на всем фазовом пространстве. Это формализуется следующим образом: вектограммы синтезируемого управления лежат в подмножестве, которое относительно операций в фазовом пространстве является линейным подпространством.

В теории позиционных игр управление является функцией времени и положения2. Н.Н.Красовский ввел3 более сложную формализацию, в которой управление является функцией времени, положения и положительного параметра точности. Она обеспечивает существование универсальной оптимальной стратегии. В диссертации применяются оба этих подхода при синтезе гарантированного управления в фазовых пространствах с неполной линейной структурой и при отсутствии топологии.

В основе алгоритмов синтеза гарантированного позиционного управления лежит2 понятие стабильного моста, ведущего на заданную цель. В монографии2 обозначен подход к построению стабильного моста на основе аппроксимации исходного дифференциального уравнения. Этот подход активно развивался В.С.Падко, В.Н.Ушаковым и их сотрудниками при разработке численных методов построения стабильных мостов, в основе которых лежит аппроксимация сечений моста и всктограмм многогранниками. В линейных задачах управления при наличии малой нелинейности в качестве аппроксимационой модели можно использовать уравнения, которые

получаются из исходного при значении малого параметра, равного нулю. Задачи с малой нелинейностью рассматривались М.С.Никольским, а зависимость функций цены от параметра исследовалась Э.Г.Альбрехтом.

Этот подход развивается в диссертации применительно к рассматриваемым проблемам. Проводится обоснование применения разработанного алгоритма синтеза управления с помощью стабильного моста, построенного на основе аппроксимационных вектограмм. Обосновывается применение такого подхода к синтезу гарантированного управления с помехами при малых велинейностях.

Наряду с численными методами активно разрабатывались методы, дающие аналитические схемы конструирования стабильных мостов, функций цены, гарантированных стратегий для: конкретных классов задач. Это направление развивается и в диссертации. Разрабатывается метод построения стабильного моста, когда оператор программного поглощения имеет инвариантное параметрическое семейство множеств.

Задачам управления простым движением в условиях воздействия помех посвящена обширная литература. Такие задачи рассматривались в монографиях2'3,4, в работах П.Б.Гусятникова и Е.С.Половинкина, М.С.Никольского, Л.А.Петросяна и Г.В.Томского, Б.Н.Пшеничного и других. Этот класс игр может служить для приближенного получения решения в более сложных системах. Так, например, А.И.Субботин с помощью функции цены дифференциальной игры с простым движением провел локальную аппроксимацию функции пены достаточно общей дифференциальной игры. В работах Б.Н.Пшеничного, П.Б.Гусятникова и Е.С.Половинкина доказано свойство стабильности операторов программного поглощения, построенных для задач с простым движением, на выпуклых множествах. Это может служить основой синтеза управления в задачах с простым движением при наличии малой нелинейности. Однако в основе метода доказательства этого факта лежит теорема отделимости выпуклых множеств и доказательство проведено для линейных пространств. В диссертации разрабатывается алгебраический метод доказательства стабильности таких операторов в

пространствах с неполной линейной структурой, и он основан на их связи с операциями инфимальной конволюции и правого произведения на число многозначных функций. Получены достаточные условия стабильности операторов программного поглощения и для более широкого класса задач.

Для построения стабильного моста и функции цены развивались разные итерационные методы. Существенный вклад в развитие методов программных итераций внес А.Г.Ченцов.В диссертации разрабатывается и применяется метод итераций, основанный на пересечении по времени образов оператора программного поглощения.

Наряду с подходом в рамках позиционных стратегий, в диссертации использован подход, основанный на коррекции программных управлений. Такой подход развивался в работах А.Г.Ченцова, Ф.Л.Черноусько и А.А.Меликяна и других. В этой постановке в диссертации рассматривается задача удержания.

Уравнения движения в задаче "изотропные ракеты"4 и в ее варианте при отсутствии трения2,7 "мальчик и крокодил", а также в контрольном примере Л.С. Понтрягина7 после замены переменных2 сводятся к виду, когда вектограммы в каждый момент времени гомеоморфны одному и тому же выпуклому компакту. Такие задачи названы в диссертации однотипными, п полученные для них решения положены в основу разработанного в диссертации метода одномерного проектирования для решения линейных задач управления с интегральными ограничениями общего вида в условиях воздействия помех.

При управлении механическими системами переменного состава условие неперерасхода начального запаса топлива приводит к интегральным ограничениям на выбор управления. Так, в случае двигателя малой тяги8 получаем интегральное ограничение на квадрат нормы управления. В случае, если величина относительной скорости выброса частиц реактивной

_ . _ . _ . _

7 Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Матем. сб. Новая серия. 1980. Т. 112. Вып. 3. С. 307 - 330.

массы постоянна, а в отдельные моменты времени может "мгновенно" выбрасываться конечное количество реактивной массы, то9 формализация такого процесса, приводит к задачам импульсного управления.

Задачи оптимального импульсного управления рассматривались в работах Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского, С.Т.Завалишина и других.

В 1963 г. Н.Н.Красовский предложил10 метод, решения задач преследования, основанный на принципе поглощения областей достижимости. В этой работе рассматривались геометрические, интегральные и импульсные ограничения на выбор управления. Введено понятие первого момента поглощения и предложено правило экстремального прицеливания для синтеза позиционного управления. Были установлены условия регулярности1, при выполнении которых предложенный алгоритм синтеза управления гарантировал окончание игры за первый момент поглощения. Условия регулярности и возможность окончания игры за первый момент поглощения рассматривались в работах Э.Г.Альбрехта, В.Д.Батухтина, Ю.М.Репина, В.Е.Третьякова, А.Й.Субботина, В.Н.Ушакова и других авторов. М.С.Никольекий обобщил прямой метод Л.С.Понтрягина на линейные дифференциальные игры с общими интегральными ограничениями^ Регулярные дифферешщальпые игры со смешанными ограничениями на управления рассматривались Ю.С.Ледяевым.

Применение метода, основанного на принципе поглощения областей достижимости, для дифференциальных игр с импульсным управлением усложняется тем, что области достижимости, зависящие от оставшихся запасов ресурсов, могут меняться скачкообразно.

8 Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука. 1972. 360 с.

9 Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука.1968. 475

с.

10 Красовский H.H. Об одной задаче преследования // Прикл. матем. и мех. 1963. Т. 27. Вып.2. С. 244 - 254. ^

Неоднотипная линейная игра имиульсиой встречи рассмотрена в работе Н.Н.Красовского и В.Е.Третьякова11 . Приводится пример об импульсной "мягкой" встрече двух точек, когда первый игрок не сможет поддерживать требуемого включения областей достижимости. Обсуждается вопрос о возможности применения метода динамического программирования к задачам импульсной встречи. .

Применение метода динамического программирования для решения мехапичсских задач импульсной встречи получило развитие в работах Г.К.Пожарицкого. В работе С.М.Кумкова и В.С.Пацко решается одна модельная задача импульсной встречи с неполной информацией о позиции. Н.Н.Субботиной и А.И.Субботиным доказана теорема об альтернативе для дифференциальных игр с импульсными управлениями в предположении, что целевые координаты вектора состояния меняются непрерывно.

Разработанный в диссертации метод одномерного проектирования применяется для решения линейных задач импульсной встречи в условиях действия помех. Решается пример Н.Н.Красовского и В.Е.Третьякова. На базе этого метода введено понятие регулярности. Разработан алгоритм синтеза управления без использования информации об оставшихся запасах ресурсов помехи.

Цель работы.Цель работы состоит в разработке теоретических основ проблемы синтеза гарантированного управления в задачах управления с помехой в фазовых пространствах с неполной линейной структурой; в разработке алгоритмов и методов получения аналитического и приближенного вида гарантированного результата и выделения классов задач, для которых это можно сделать; в разработке метода одномерного проектирования для линейных задач управления с интегральными ограничениями общего вида в условиях воздействия помех и применение его к исследованию

11 Красовский H.H., Третьяков В.Е. К задаче о преследовании в случае ограничений на импульсы управляющих сил // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. N 5. С. 587 - 599.

задач импульсной встречи.

Методы исследования. В основе разрабатываемых в диссертации методов лежит концепция теории оптимального гарантированного управления. Активно используются понятия и результаты теории дифференциальных уравнений и включений, теории многозначных функций, линейного и выпуклого анализа, функционального анализа, теории нечетких множеств.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми. Среди них отметим следующие.

1.Заложены основы теории гарантированного результата в фазовых пространствах с неполной тшейной структурой. Разработан алгоритм синтеза гарантированного управления и найдена оценка параметра точности. Обосновано применение этого алгоритма синтеза управления с помощью апнроксимационных мостов.

2.Разработаны методы, дающие аналитические схемы построения стабильных мостов и фукций цены, в том числе, с векторной платой.

3.Для решения линейных задач управления с интегральными ограничениями общего вида в условиях воздействия помех разработан метод одномерного проектирования, который применен к задачам импульсной встречи. Разработан алгоритм синтеза импульсного управления без использования информации об оставшихся запасах ресурсов помехи.

Теоретическая и практическая значимость диссертации заключается в том, что изложенные в ней методы и алгоритмы являются конструктивными. Полученные теоретические результаты для задачи гарантированного управления в пространствах с неполной линейной структурой составляют содержание нового направления в исследовании управляемых динамических систем с помехами. Разработанный в диссертации метод одномерного проектирования и примененный к задачам импульсной встречи допускает распространение на другие типы интегральных ограничений..

Результаты диссертации легли в основу трех специальных курсов по нечетким множествам и их применениям, по дифференциальным играм, которые были прочитаны автором на математическом факультете Челя-

бинского государственного университета. По одному из них автор издал учебное пособие.

Апробация работы.

Основные результаты представлялись на Всесоюзной конференции "Динамическое управление" (Свердловск, 1979), на 5 - ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата , 1981), на Международном Конгрессе математиков (Варшава , 1983), на 7,8,9 Всесоюзных конференциях ''Проблемы теоретической кибернетики" (Иркутск,1985), (Горький,1988), (Волгоград,1990), на 3,4 Уральских конференциях " Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь,1986), (Уфа,1989), на конференциях "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1990 и1992), па 4 -ой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (Руссе, Болгария,1989), на 2 и 3 Международном семинаре по негладким и разрывным задачам управления и оптимизации (Челябинск,1993), (Санкт-Петербург,1995), на конференции "Дифференциальные уравнения в математическом моделировании "(Воронеж,1993), на 3-м Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Самара,1994), на 5 и б Пон-т'рягинских чтениях (Воронеж, 1994 и 1996), на 3 и 4 Международных конференциях "Многокритериальные и игровые задачи при неопределенности" (Орехово-Зуево, 1994 и 1996), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994 ), докладывались на семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН, кафедры оптимального управления ВМК МГУ , кафедры теории управления и оптимизации ЧелГУ, кафедры математического анализа ЧелГУ.

Публикации,Основные результаты диссертации представлены в работах [1] -[30].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 320 страницах машинописного текста, набранного на ЭВМ. Состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, который содержит 213 наименований. Сравнительный анализ новизны полученных результатов

проводится во введении.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается описание предмета исследования, показано его место в теории гарантированного управления, делается краткий обзор основных результатов, полученных другими авторами по данной тематике. Излагаются основные результаты и проводится сравнительный анализ их новизны.Завершается введение благодарностями в адрес ректора, профессора В.Д.Батухтина п коллег по кафедре теории управления и оптимизации Челябинского государственного университета.

В первой главе рассматриваются управляемые системы при наличии помехи в фазовом пространстве с неполной линейной структурой. Под такими пространствами понимаются в диссертации множества, в которых введены операции сложения двух элементов и умножение их на вещественные числа, удовлетворяющие всем аксиомам линейного пространства, кроме, быть может, дистрибутивного закона умножения числа на вектор относительно сложения двух векторов и существование противоположного элемента.

В первом параграфе в качестве такого пространства рассматривается совокупность нечетких, по Заде6, множеств, универсальным множеством которых является линейное пространство. Дается интерпретация линейных операций с ними на языке экспертных оценок.

Во втором параграфе рассматривается задача синтеза управления в фазовом пространстве Z с неполной линейной структурой г\ * (сложение) и а о г (умножение на число а)

Заданы промежуток I С Я и вектограммы синтезирующего управления 1/(1, г) С 2 ж помехи У(т, С Z, а также скалярные функции а(т, > О, Ь(т, г) при г < г (*, г из а я е 2).

Для начального состояния г^Ц) и разбиения о; : ¿о < < ■■• < ¿н1. < — - строится ломаная

■гш(г) = * (а(М,0 ° щ) * ° «.)> Ь < t <

(1)

Помеха j;,- формируется произвольным образом и удовлетворяет включению Vi 6 V(ti+i,t{. zu(t,)). . Зависимость ее всктограммы от последующего момента времени объясняется тем, что на формирование помехи могут тратпться ресурсы, ограниченна на запас которых приводит к такому виду гектограммы.

Рассматриваются два способа синтеза, управления. Первый (и он соответствует подходу из2 ), когда управление ищется в виде u{t.z) £ U(t.s). В этом случае, в формуле (1) it; = u(t{, zu(ti)).

Во втором случае управление зависит еще от положительного параметра точности е и имеет вид u(t.z,e) £ U(t,z) (это соответствует подходу из3). Фиксируется начальное значение £д > Oj 11 110 заданному разбиению вычисляется последовательность е,-. Тогда в (1) гц = u(f,-. zw(f;), £,-).

Заданы произвольное множество Е, многозначная функция F : Z —* 2е и точка с £ Е. Цель синтеза управления заключается в осуществлении включения е G F(z(p)) п заданный момент времени р.

В теории позиционных игр2 реализовавшееся движение понимается как пучок функций, каждая из которых является равномерным пределом некоторой подпоследовательности ломаных при диаметре разбиения d{u) = sup(f,-+j — ti) —> 0. Условия окончания должпы выполняться для любого реализовавшегося движения.

Отсутствие понятия сходимости в Z требует формализации условия окончания, а также зависимости вектограмм от времени t и состояния z(b обычных случаях - непрерывность, условие Липшица и т.д.). Это осуществляется с помощью фиксированной многозначной функции 5 : / х Z —* 2Z. связанной с вектограммой U следующими соотношениями:

S(t, z) С (1 + Щт, *)) о S(t, z * (a(r, t) о и) * (b(r, t) о v)) S(t, z*{e о щ) * (-е о «2) * (£ о s)) с (1 + B(i, е)) о S{t, z) U(t, z) С U(r, z * (a(r, t)ou)* (b(r, t) о v)) * (D(t, t) о S(t, z)) U(t, г * (e oui)* (-e о и2) * (e о s)) С U(t, z) * (C(t, e) о S{t, z))

Здесь любые и, щ G U{t,z), s € S(t,z), z E Z, t < т из I, v G V(r,t,z).

- iU -

Функции R(r,t), D(t,e), D{r,t), C(t,e) неотрицательны и считаются заданными.

Отметим, что в случае S(t,z) = const, первые два условия в (2) выполнены.

Предполагается, что вектограмма U{t, z) лежит в линейном подпространстве (что формализует понятие "четкого" управления в случае с нечеткими множествами) и является выпуклым множеством. Множество S(i, г) считается выпуклым и симметричным.

Относительно вектограммы помехи предполагается, что для любых v £ V(r,t,z), Uj € U(t,z), s 6 S(t,z) выполнено

[г; * (A(r, t, e) о S{t, 2))] П V(r, t, z * (s о щ) * (-e о u2) * (e о s)) ф 0

Здесь функция А{т, t,e) > 0 считается заданной.

Считается, что выбранная стратегия первого игрока гарантирует окончание игры из начального состояния z(to), если для любого числа 7 > О найдется число 6 > 0 такое, что для любой ломаной с диаметром разбиения d(io) < 6 выполнено включение

е € F(zJyp) * (7 о U(p}zu{p))) * (-7 о U(p,z^V))) * (7 о %,zu(p)))) (3)

Фундаментальное в теории позиционных игр понятие стабильного моста2 конкретизируется в диссертации следующим образом.

Определение 2.2. Многозначная функция W : I х Z —> 2е называется стабильным мостом, если для любых z € Z, t < т из промежутка I выполнено включение

П W(r,z*{a(T,t)oU{t,z))*(b{T,t)ov)*{<p(T,i)oS{t,z))) D W(t,z) (4)

veV{T,i,z)

Здесь функция ip > О считается заданной. Мост (4) ведет в момент времени р на цель F, если W(p,z) = F(z). Разрабатывается следующий алгоритм синтеза управления:

e(t,z) = inf{e> 0:е6 W{t,z*(eoU(t,z))*(-EoU{t,z))*{£oS{t,z)))} (5)

U(t, z, e) ~ {и e U(t, z):e€ W(t, z * (e о и) * (~e о [f(t, z)) *(eo S(t, z))},

г > e(t, z)

£,-+i max(max(£i;a(i,-4.1,ii));51-), e0 > Фо, za) Si = (1 + Н(и+ьи))[2П(Ь+ьЬ)тах(еца(и+г,Ь)) + г}ц\ tpi = b(ti+i, ti)A(ti+1, th ei) + (1 + B{U, ei))(p{tM, t<)+ +£i + a(ti+uti)C(ti,£i)

Теорема 2.4. Для любого разбиения ш и для начального состояния, удовлетворяющего условию e(io,Zo) < любое управление u(t{,zu(£,•),£;) € U(li, zu(tj),£i) обеспечивает выполнение включения

е € W(ti,z^(ti)*(€iQU(ti,z4ti)))*(-eioU{ti,zu(ti)))*(eioS(ti,z4ti)))) (7)

В случае, если A(r,t,e) < L(t)e, B(t,e) < L(t)£, C(i,e) < L{t)e верна оценка

Ф, zu(p)) < [тах(е0; а(ш)) + N{w)\e^

a(w) = m&x0<j<k a(tj+i,tj), N(u) = Ey=0(l + # (<>+ъ

ф(ы) = E^o((l + Ä(ii+bii))(a(<i+i»ij) + HWi) +

+(1 + 2D(tj+i, tj))R(tj+1, «,) + 2 D{ti+i, tj)]

Если i/>(cj) ограничена, a a(w) —> 0 и N(ui) 0 при d{w) —► 0, to c(p, z,Jp)) —> 0. Следовательно, построенная стратегия обеспечивает окончание игры.

Если в ¿Г ввести понятие сходимости и потребовать, чтобы множества U и 5 были компактами, а стабильный мост удовлетворял условию замкнутости, тогда в (5) нижняя грань достигается. Любое управление

2) G U(t, z, г)) обеспечивает включение (7) при £,■ = e(it-, zw(ti)).

В третьем параграфе диссертации рассматривается оператор

(T[*)(t,z)= П Ф(г, z * (а(т,е) о i/(i, z)) *(6(r,i) о«)) и строится следующая итерационная процедура:

WM{t,z)= П {T[Wk)(t,z), Wi(i,z) = (TfF)(z)

t<r<p

Приводятся достаточные условия, когда предельная функция fU>i Wt(f, z) является стабильным мостом. В частности, если Wt(t,z) = Wt+i(t,z) при некотором к > 1, то это выполнено.

Четвертый параграф посвящен изучению алгебраических свойств оператора программного поглощения в задаче управления простым движением при наличии помехи. Этот оператор имеет следующий вид (Т,тФ)(г) = (Lr-t$){z), где

(LrФ)(г) = П * (r ° tO * {г 0 v))

_ . «ev

Вводятся операции инфимальной конволюции двух многозначных функций и их правого произведения на число . Устанавливается связь оператора L с этими операциями. Доказывается, что если для каждой точки z g Z выполнено условие выпуклости (Л о г) * ((1 — Л) о z) = z,VА £ (0,1), то для любой выпуклой функции F выполнено условие стабильности оператора L

(Lri(Lr2F))(z) Э (L^riF)(z), п > 0

В качестве примера рассматривается задача моделирования "четкого" управления, при наличии помехи, которая принимает значения из заданного выпуклого множества со степенью нечеткости, принадлежащей заданному отрезку. Цель синтеза управления заключается в том, чтобы значение реализовавшейся в момент окончания функции принадлежности в заданной точке было не меньше фиксированного числа.

В пятом параграфе диссертации: исследуются однотипные задачи, у которых вектограммы U = V , и U лежит в линейном нормированном подпространстве Е С Z и является выпуклым компактом. Заданы интегрируемые функции a(i) > 0, b(t) > 0 и а(т, t) — ff a(r)dr,b(r,t) = ¡[b{r)dr. Каждая точка z g 2 удовлетворяет условию выпуклости. Доказывается, что для любой выпуклой и замкнутой целевой функции F максимальный стабильный мост задается следующей формулой:

W(t, z) = UuevOveu Hz * И*) 0 «) * (-0(0 0 »))

a(t) = m;iXt<T<pIf(a(r) - b(r))dr, /3(f) = a(t) - Jtp(a(r) - b(r))dr

В шестом параграфе рассматриваются задачи управления с помехами, в которых вектограммы линейно зависят от заданных множеств, а коэффициенты линейности суть интегрируемые функции. Выписано неравенство, связывающее коэффициенты линейности, при выполнении которых оператор программного поглощения па любой выпуклой целевой функцшт удовлетворяет условию стабильности. В общем случае гарантированный стабильный мост строится с помощью решеннй выписанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В седьмом параграфе рассматриваются квазилинейные игры с простым движением. Формализация вывода в заданный момент на цель и удержания на конечном промежутке времени, а также задачи о выводе к заданном}" моменту времени на цель, приводят к рассмотрению оператора специального вида.

Устанавливается связь этого оператора с операциями инфимальной кон-волюции и правого произведения. Доказывается, что оператор обладает условием стабильности на любой выпуклой функции. В качестве, приложения решается задача синтеза гарантированного управления в задаче удержания при наличии в уравнении движения малой нелинейности. Устанавливается оценка для значений параметра точности.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы построения стабильных мостов, функции цены и синтеза управления в случае, когда фазовое пространство Z является линейным нормированным пространством.

В первом параграфе разрабатывается алгоритм синтеза гарантированного управления на основе стабильного моста., построенного с помощью аппроксимационной вектограммы синтезирующего управления. Основу составляет алгоритм, изложенный во втором параграфе предощущен главы. В качестве приложения рассматривается задача синтеза при наличии в уравнепип движения малой нелинейности по стабильному мосту, построенному для линейной системы. Вычисляется оценка, для параметра точности.

Во втором параграфе исследуется вопрос построения стабильного моста, когда существует параметрическое семейство множеств B(f,y) С Z.

определенное при t & у € Rl и связанное с оператором программного поглощения Тгт условием инвариантности

T?{B(T,y))DB(tJ(T-t,t,y)) (8)

Предполагается, что существуют область D С I х R1 и непрерывная функция F : D R1 такие, что

п > tu п -* г, fr - ц g => /(т-' ~f" t'f:> ~ F(t, у)

Т; ti

Теорема 2.2. Пусть функция у : [q.p] —> ß' является » :

решением следующей задачи:

(<,1/(0)6 d, (9)

Тогда TtT(W(r)) D где = B(t, y(t)).

Таким образом, стабильным мостом является многозначная функция W(t).

Рассматриваются другие формы инвариантности, и для них строятся стабильные мосты.

В качестве приложения построен гарантированный стабильный мост, когда вектограмма помехи линейно зависит от заданного набора выпуклых множеств. Аналогичную структуру имеет вектограмма дополнительно стесненного интегральными ограничениями синтезируемого управления.

Этот метод также используется в третьем параграфе для построения стабильного моста в управляемой системе

z = -и +1>, z € Rn, U € Ф(04(а(<)), V е V(t)

Здесь А(у) - ограниченный многогранник, задаваемый системой неравенств

Л(у) = {z € Rn :< xjt z >< yh j = 1,..., i}, Xj € R" (10)

Матрица Ф(<) является невырожденной.

- 1'i -

Существует выпуклый конус К С В1 такой, что ,4(»/) j- 0 # j 6 Л". Предполагается, что множество Л(у) линейно зависит от у £ К.

Вычисляется функция /', при которой семейство множеств B(t,i/) = Ф(t)A(y) удовлетворяет условию инвариантности (8). Записывается система уравнений (9). Показывается, что в случаях параллелепипеда и симплекса. многогранник (10) линейно зависит от правой части. Процедура синтеза управления сводится к решению экстремальной задачи со связями. Процедура построения стабильного моста сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений. Синтезируется управление при наличии в управляемой системе малой нелинейности и вычисляется оценка параметра точности.

В четвертом параграфе рассматриваются задачи _удержания управляемой фазовой точки z(t) в заданном семействе множеств W(t). Эти задачи рассматриваются с коррекцией своих программных управлений одной стороной. Множество L(t) моментов коррекций, следующих за временем £, задано. Сформулированы задачи слабого и сильного удержания. Для этих задач развивается метод итерации на основе оператора программного поглощения

W0(t) = W(l),...,Wk+x(t)= n T{(Wk(r)) (11)

TZL(t)

Для квазилинейной системы получены достаточные условия, когда метод итераций дает решение после первой итерации. Доказывается, что в однотипных играх слабого удержания метод итераций оканчивается на первом шаге.

Оператор программного поглощения Т строится на базе выбранных классоз допустимых программных управлений. Если для целевого множества X и для момента окончания р оператор 'Г удовлетворяет условию стабильности

то стабильным мостом является семейство множеств IV (t) = Т[(X).

В пятом параграфе приводятся достаточные условия стабильности оператора программного поглощения. Эти условия опираются не на условия регулярности, а в их основе, как и в случае задач управления простым движением, лежат алгебраические свойства рассматриваемого оператора.

При получении достаточных условий используется следующее утверждение. Пусть заданы отображения Р1 : 22 —> 2г(г = 1,2,3), £/ : 2г —> 2*0 = 1.2).

Теорема 5.1. Пусть множество X выпукло, а отображения Fi и удовлетворяют следующим условиям: М С У => Р»(М) С ^(У) (г = 1,2); Г;(М + Л') Э #(М) + (' = !>2). Пусть существует число Л С (0,1),

такое, что ^(¿2(ЛХ)) Э Л^(А'), Ь^Ц] - А)А') 3 (1 - А)Р3(А'). Тогда Э

В линейных играх оператор Т записывается с помощью операщш геометрической разности двух множеств5 в следующем виде:

Теорема 5.2. Пусть при каждых Ь < т < р определены выпуклые множества Pi С Ъ, Qi С 2 (г = 1,2) н число А 6 (0,1) такие, что

и! = Р1 + Р2, (1 - А)и; = ЛРЬ V; = д, + д2, = (1 -

Тогда на любом выпуклом множестве X выполнены условия стабильности (12).

В качестве приложения рассматривается случай, когда вектограммы ¿/¡г = Л(/1га(г)с/г), 1/(Г = В(![ 0{г)йг), где многозначные функции А(а) и В(/3) определены и линейно зависят от аргументов на выпуклых конусах. Условие теоремы 5.2 будет выполнено, если

шах -я—г- < шт в ^ ; . — (13)

Следующий класс связан с игрой"шофер-убийца"4, уравнения движения которой в редуцированном пространстве молено записать в следующем ви-

де:

г - гп Аг + а,({)и2 + г £ Д", а,-(г) > О

Здесь А - кососимметрическая матрица; VI 6 Л, и2 € И С Я"; и £ £>, 5 - евклидов шар в Л" единичною радиуса.

К таком}' же виду приводится задача о погоне за двухколесной тележкой точкой с ограниченной скоростью, которая может служить кинематической моделью игры "танк и вертолет".

Структура допустимых программных управлений следующая: в начале меняется ^(г)) < 1, а г>2(г) = 0 при f < г < tt, затем иДг) = 0, г^(г) 6 ^ при и < г < т. При этом отношение промежутка ^ — < к промежутку т — ^ всегда одно и то же. Управление гг(г) £ 5 является измеримым.

Показывается, что для е5 при дополнительных условиях типа (13) на функции аг- выполнено условие стабильности (12).

Уравнения движения третьего рассмотренного класса характеризуются тем, что управление и,- вектограмма - которого является многогранником, удовлетворяющим условию линейности, влияет на динамику только части переменных. Структура терминального множества такова, что эта часть переменных выделена. Строится максимальный стабильный мост.

Материал шестого параграфа посвящен вопросам вычисления функции цены, когда качество управления оценивается вектором.

Такая постановка задачи может возникнуть в приложениях, когда качество процесса оценивается несколькими критериями. При этом, каждый критерий важен для оценки и не может быть ухудшен за счет улучшения других.

Многокритериальным дифференциальным играм, вопросам определения и существования цены игры и стратегий, посвящена обширная литература.

Существует несколько подходов в анализе многокритериальных дифференциальных игр и задач управления в условиях неопределенности. В работах М. И. Гусева и А. Б. Куржанского было введено определение рав-

новесия как обобщение понятий оптимальности по Парето и равновесия по Нэшу. Подобные конструкции рассматривались в работе А. Ф. Клейменова. В работах В. И. Жуковского введено понятие минимаксной и максиминной, по Слейтору, стратегий, а так же ссдловой точки по Слейтору. В работе М. С. Никольского, где многокритериальная задача рассматривалась в рамках первого прямого метода Л. С. Понтрягина, введено понятие оптимальной гарантирующей оценки. К этому понятию близки определения векторных многозначных функций выигрыша у А.М.Тарасьева, которые в случае скалярного критерия обращаются в функцию цены задачи оптимального гарантированного результата.

Такой подход принят в диссертации при определении и вычислении функции цены. Определение векторной цены формулируется с помощью заданного конуса К* оптимальности в терминах оператора программного поглощения. Нахождение векторной цены соответствует подходу, предложенному Б. Н. Пшеничным при нахождении функции цены в случае скалярного критерия.

Если векторная плата задается функцией / : ¿¡Г —> й', то для любого еёй' определяется множество

Зафиксируем разбиение и : Ц < ¿1 < ... < =ри обозначим Ти{Х) — Определение 6.1. Набор

чисел £ — о, ^о) назовем значением цепы игры в точке ¿о, -сь если он удовлетворяет следующим условиям:

Ти(Х(ё0)У, Уе € ¿о + К* Эш .- 2^Ты{Х{ё)) Вводятся множества

Я(«о,го) = {ё € Л' : 6 П2ЦВД)} (14)

Е0Ц0,20) = {ё е Е{го,г0) : (ё+ = 0} (15)

Теорема 6.1. Для того, чтобы набор чисел ёц 6 К1 являлся зпачснием цены игры в точке ¿о, ¿о необходимо и достаточно, чтобы ёо 6 25о(£о, ¿о)-

В качестве приложения рассматривается однотипная игра с фиксированным моментом окончания, векторная плата в которой определяется двумя одинаковыми функциями, равными норме вектора. Конус, по которому определяется оптимальность, есть четвертый квадрат на плоскости. Решение этой задачи связано с построением максимального моста с терминальным множеством в форме кольца.

В качестве примера рассматривается задача "мальчик и крокодил". Для каждой начальной позиции вычисляется векторная многозначная функция выигрыша (15).

Рассматривается случай, когда оператор программного поглощения обладает полугрулиовым свойством

тт) Ф 0 ткт?{х(ё)))=т?(х(е))

Тогда, вводя число ¿(г) такое, что

7?(Х(ё)) ф 0, V* 6 [*(£-),?], Зг,- -»«СЮ - 0; 2*(Х(ё)) = 0

множество (14) можно записать в следующем виде:

о) = {ёеп1: Х{Е) ф 0, 1{г) < Ь0, г» £ Т(рв(Х(ё))}

По этой схеме строится множество (14) в линейной игре с вектограммой синтезирующего управления в форме многогранника. Вычисляются функции цены игры для некоторых скалярных плат. В частности, вычисляется функция цены в задаче с поломкой.

В работах М. С. Никольского рассматриваются задачи управления, когда в динамике за счет, например, поломок может произойти нарушение. Такие задачи с одной поломкой можно сформулировать как задачи удержания.

В седьмом параграфе рассматривается задача синтеза управления в однотипной задаче удержания. Доказано существование области безразличия,

в каждой позиции из которой игроки могут выбрать произвольные допустимые управления. Рассмотрен пример "мальчик и крокодил" с одной поломкой.

В третьей главе диссертации разрабатывается метод одномерного проектирования, описание которого, вместе с формализацией линейных задач управления с интегральными ограничениями общего вида при наличии помех, содержится в первом параграфе.

При наличии интегральных ограничений общего вида состояние системы вместе с фазовой точкой из линейного вещественного нормированного пространства характеризуют запасы ресурсов, которые тратятся на формирование синтезируемого управления и помех.

При переходе от начального к следующему моменту времени множества допустимых значений оставшихся запасов ресурсов зависят от соответствующих начальных запасов ресурсов и от этих двух моментов времен.

Области достижимости зависят от начальной и конечной пар, каждая из которых состоит из момента времени и запаса ресурсов. Считается, что области достижимости являются выпуклыми компактами.

Управление и помеха отождествляются с соответствующими точками из областей достижимости; Для каждого момента времени определено множество следующих возможных моментов коррекций управления.

Фиксируется непрерывный линейный функционал из пространства, сопряженного к фазовому. Рассматривается одномерное движение образа фазовой точки при ее отображении линейным функционалом. Поскольку образами областей достижимости являются отрезки, то получается одномерная однотипная задача, вектограммы в которой для каждых начальной и конечной пар гомотетичны отрезку [—1,1]. Такого же типа получаются и условия окончания. Необходимые и достаточные условия окончания в одномерной задаче, записанные при каждом линейном функционале для данного начального состояния, являются необходимыми условиями окончания в исходной задаче.

Во втором параграфе получены условия окончания в однотипной задаче

управления при наличии помехи как для случая заданного числа коррекций управления, так и для случая, когда число коррекций заранее не задано. Строятся соответствующие управления.

Область достижимости при импульсных ограничениях на выбор управления линейно зависит от потраченного запаса ресурсов. В третьем параграфе рассматривается однотипная задача, в которой область достижимости линейно зависит от затраченных ресурсов. Эта линейность позволяет записать условия окончания в явной аналитической форме. Эти условия конкретизируются для областей достижимости помехи, соответствующие геометрическим и импульсным ограничениям, а также интегральным ограничениям общего вида.

В четвертом параграфе на основе метода одномерного проектирования разрабатывается алгоритм синтеза гарантированного импульсного управления в линейной управляемой системе, которая с помощью замены переменных2 записывается в следующем виде: .

z(t) - z(t) + j^ N{r)du(r) +v, z£Rn

v(T)£r(t,T,v(t))cN,v€VtT(v(t)>v{T))cRn '

Матрица N(r) - непрерывна; управление u(r) является функцией с ограниченной вариацией; запасы ресурсов характеризует число v - помеха; параметр v характеризует запасы ресурсов помехи.

Цель синтеза управления заключается в том, чтобы в заданный момент времени р осуществить равенство z(p) = 0. Наличие импульсного управления приводит к мгновенному изменению позиции. Поэтому условия окончания конкретизируются с помощью областей достижимости

z(p) + УД^), vt) С VI/, С Р(р,р, и(р)) (16)

Здесь

Щ = {л £ R" : z =JtP N(r)du(r), Ц \du(r)\ = 1}

Области достижимости; являются выпуклыми компактами с опорными функциями c(U?,<p) = m(t,<p), c(y¿(v,vt),<p) = c(t,T,v,v„<p), <р G Rn. Предполагается, что c(f,r, u,v*,<p) — c(t,T,v,u*,—<p) = 2 ft f(<p,r)dr при некоторой функции /. Если область достижимости V симметрична или не зависит от запасов v (случай геометрических ограничений), то это условие выполнено.

Допустимой стратегией синтеза импульсного управления называется последовательности точек to < t\ < ... < —► р и правило, ставящее каждой позиции z G Rn, /¿ > 0, v G N в соответствие функцию щ : [f,-,í,+i] —» Rn\ вариация которой не превосходит числа ц.

Полученные из метода одномерного проектирования необходимые условия окончания записываются с помощью функции

ту (i , ч .... ^ фи к+ь Vj, Vj+\ M + Фи tj+l, Vj, Vj+l, -y>)

B(t, I/, <p) = sup ^- ■ <-,

i=0 ™{ч,<Р)

где верхняя грань вычисляется по всем разбиениям t~t0<t1< ... < tjfc+i ~р, v — i/o, Щ+i G

Теорема 4.1. Пусть начальное состояние таково, что при некотором векторе ip (Е Rn выполнено неравенство

[Р

] < Zo, <р > +J f(<p, r)dr\ > m (t0, tp)(/i0 - В (to, i/0, <p))

Тогда помеха может не допустить выполнения включения (16).

Следствие 4.1. Пусть

Й) < ff(to, щ) = sup B(to, Uq, lp)

f

Тогда из любого положения zq G Rn возможно уклонение.

Зафиксируем любую функцию G(t, и) > g(t, v), удовлетворяющую условию монотонности.

Определение 4.2. Семейство множеств W(t, и) С Rn удовлетворяет условию стабильности, если

W(t, v) + V?(v, vt) С G(t, v)Uf, Vi < p, V^ G P(t,p, v), Vu G N

и для любой точки г 6 [to,p) существует число ё = 6(г) > 0 такое, что для всех чисел t < т из 5 - окрестности точки г выполнено включение

W(t,v)+Vtr{v,vt) С (G(t,v)-G(T,v,))U?+W(T,v<), to. G P(t,r,i/), Vi/ G N

Теорема 4.2. Пусть семейство множеств W(t, v) удовлетворяет условию стабильности, а начальное состояние удовлетворяет условиям

¿о е (цо - eG(£o, fo))^ + И/(<0, ^о), № > "о)

при некотором е > 1. Тогда существует стратегия, гарантирующая выполнение условий окончания.

Управление строится по следующему правилу. Выбирается разбиение io < t\ < ■■■ < ifc+i = V так, чтобы второе включение в определении стабильности выполнилось для функции eG(t, v) для любых соседних точек tj < t{+1. Если не выполнено условие

Зх G О - eG(U,v))Ul, 3у G г/) г = х + у,

то берется любое допустимое управление щ : [¿¿, i,+i] —> Л"1. В противном случае решается проблема моментов

J* |^м(г)| min, х + JtP N(r)du(r) = 0

Сужение полученного решения на отрезок [¿¿. и есть требуемое управление

Этот алгоритм использует информацию об оставшихся запасах ресурсов помехи. Если динамика помехи монотонна относительно запасов ресурсов, то этот алгоритм допускает модификацию и позволяет строить управление без учета оставшихся запасов ресурсов. Для построения семейства, множеств W применяется метод итераций.

В пятом параграфе рассматривается случай, когда па выбор управления помехи накладываются импульсные, геометрические и интегральные ограничения. В случае импульсного управления помехи W — 0 удовлетворяет условию стабильности с функцией G = g(t, и).

Сформулированные на базе метода одномерного проектирования условия регулярности требуют единственности максимального элемента только для начального состояния. Тогда, если эта начальная позиция удовлетворяет необходимым условиям окончания, то синтезируемое управление обеспечивает требуемое окончание.

На основе метода, разработанного во втором параграфе второй главы, строится система множеств \¥ для случая, когда область достижимости синтезируемого управления является параллелишшедом, деформирующимся с течением времени. Решается пример Н.Н.Красовского и В.Е.Третьякова из работы11. В случае геометрических и интегральных ограничений на выбор управления помехи находятся функции С, при которых IV ~ 0 удовлетворяет условию стабильности. Рассматривается также случай, когда область достижимости синтезируемого управления является параллелишшедом.

Заключение

В диссертации проведена формализация задачи синтеза гарантированного управления при наличии воздействия на движение со стороны помехи, а также неопределенности и нечеткости в определении состояния, как динамической игры в пространстве с неполной линейной структурой п с отсутствием топологии. Разработан метод синтеза гарантированного управления в таких задачах по построенному стабильному мосту. Предложены методы построения стабильных мостов и вычисления функции цены. Для решения линейных задач управления с интегральными ограничениями общего вида в условиях воздействия помех предложен и обоснован метод одномерного проектирования.

В рамках разработанных в диссертации методов получены следующие основные результаты.

1. Разработан алгоритм синтеза гарантированного управления и выписано реккурентное соотношение, с помощью которого вычисляется оценка параметра точности. Найдены достаточные условия, при которых значение этого параметра стремится к нулю. Обосновано применение этого алгоритма синтеза управления с помощью стабильных мостов, построенных на основе аппроксимации исходной динамической системы. Вычислена оценка для параметра точности при синтезе управления в системах, имеющих малую нелинейность, на основе стабильного моста, построенного для линейной системы. Для построения стабильного моста на основе оператора программного поглощения разработан метод итераций.

2. Установлена алгебраическая связь операторов программного поглощения в линейных и квазилинейных задачах управления простым движением при наличии помехи в пространствах с неполной линейной структурой с операциями инфимальной хонволюции двух многозначных функций и с их правым произведением на число. Доказано свойство стабильности этих операторов на выпуклых функциях, и на этой основе разработана аналитическая схема построения стабильного моста в задачах с вектограммами,

линейно зависящими от заданного семейства выпуклых множеств. Найдены достаточные условия стабильности операторов программного поглощения для таких задач.

3. На основе разработанного в диссертации метода построения стабильного моста для случая, когда оператор программного поглощения имеет инвариантное семейство множеств, исследованы задачи управления при наличии помех, вектограмма синтезируемого управления в которых является деформируемым с течением времени многогранником. Получена система дифференциальных уравнений, определяющих мост. Построен стабильный мост в задачах с вектограммами, линейно зависящими от заданного семейства множеств, и с интегральными ограничениями на выбор синтезируемого управления.

4. Предложен алгоритм вычисления функции цены с векторной функцией платы. Он применен для вычисления двумерной функции цены в однотипных играх. Если оператор программного поглощения на лебеговых множествах векторной функции платы удовлетворяет условию стабильности, то из ппедложенного алгоритма выводится аналитическая схема вычисления функции цены. С помощью этой схемы вычислены функции цены в задачах управления при наличии помехи с вектограммой синтезируемого управления в форме многогранника.

Получены достаточные условия стабильности оператора программного поглощения, и они применены к конкретным содержательным классам задач управления в условиях воздействия помех.

5. Разработанный в диссертации метод итераций позволил получить аналитические записи стабильных мостов, функций цены и синтезировать управления в игровых задачах, вектограммы игроков в которых в каждый момент времени гомотетичны выпуклому симметрическому компакту.

6. Решения, полученные для однотипных игр, были положены в основу разработанного в диссертации метода одномерного проектирования для линейных задач управления с интегральными ограничениями общего вида в условиях воздействия помех. Он применен в диссертации к решению задачи

- оо —

импульсной встречи в заданный момент времени с разными ограничениями на выбор управления помехи. Разработаны алгоритмы синтеза импульсного управления, как с использованием, так и без использования информации об оставшихся запасах ресурсов помехи. Найдены и обоснованы условия регулярности в задаче импульсной встречи.

ПУБЛИКАЦИЯ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Ухоботов В. И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикл. математ. и мех. 1977. Т. 41. Вып. 2. С. 358-3G1.

2. Ухоботов В. И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральным ограничением // Прикл. матем. и мех. 1977. Т. 41. Вып. 5. С. 819-824.

3. Ухоботов В. И. Стабильный мост для одной игры с импульсными управлениями // Тез. докл. Всесоюзн. конф. "Динамическое управление". Свердловск. ИММ УНЦ СССР. 1979. С. 269-270.

4. Ухоботов В. И. К построению стабильных мостов // Прикл. матем. и мех. 1980. Т. 44. Вып. 5. С. 934-938.

5. Ухоботов В. И. Об одной липейной игре //В сб.: "Прикладная математика". Челябинск. Челяб. полпт. ин - т. 1980. N 252. С. 98-103.

6. Ухоботов В. И. К построению стабильного моста в игре удержания // Прикл. матем. и мех. 1981. Т. 45. Вып. 2. С. 236-240.

7. Ухоботов В. И. Построение цены игры в некоторых дифференциальных играх с фиксированным временем // Прикл. матем. и мех. 1981. Т. 45. Вып.6. С. 994-1000.

8. Ухоботов В.И. Об одной задаче преследования // Пятый Всес. съезд по теорет. и прикл. мех. Аннотация докладов. Алма-Ата. Изд - во Наука Казахе. ССР. 1981. С. 342.

9. Ухоботов В. И. Метод итераций в дифференциальных играх удержания // Internal Conger ess of Mathematicians. Short communications (Abstract). Warszava. 1983. XII. p. 7. P.7.

10. Ухоботов В. И. Дифференциальная игра удержания // Изв . АН СССР. Техн. кибернетика. 1984. N 2. С. 70-76.

11. Ухоботов В. И. К вопрос}' об окончании игры за первый момент поглощения // Прикл. матем. и мех. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 892-897.

12. У хоботов В. И. Однотипная линейная игра со смешанными ограничениями на управления // Прикл. матем. н мех. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 179-185.

13. Ухоботов В. И. Стабильный мост в игре с вектограммами, зависящими линейно от заданных множеств // Изв. В У Зов. Математика. 1988. N 2. С. 63-65.

14. Ухоботов В. И. Линейная дифференциальная игра с ограничениями на импульсы управлений // Прикл. матем. и мех. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 355-362.

15.Ухоботов В. И. Лилейная игра импульсной встречи со смешанными ограничениями // Проблемы теоретической кибернетики. Тез. докл. VIII Всесоюзной конференции. Часть 2. Горький. 1988. С. 142.

16.Ухоботов В. И. Метод одномерного проектирования в дифференциальных играх импульсной встречи // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения . Тез. докл. IV Урал. кон. Уфа. 1989. С. 114.

17.Ухоботов В. И. Нелинейная однотипная игра со смешанными ограничениями // Проблемы теоретической кибернетики. Тез. докл. XI Всес. конф. 4.1 (1). Волгоград. 1990. С. 109.

18. Ухоботов В. И. Линейная игра импульсной встречи заданной продолжительности с интегральным ограничением // Вестник Челябинского ун-та. Сер. матем., мех. Челябинск. 1991. Вып. 1. С. 47-64.

19. Ухоботов В. И. Дифференциальная игра с простым движением // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1991. N 8. С. 69-72.

20. Ухоботов В. И. Задача управления при нечеткой информации // Моделирование и исследование устойчивости процессов. Часть II. Тез. докл. конф-ии. Киев. Об-во "Знание Украины". 1992. С. 53.

21. Ухоботов В. И. Дифференциальные игры в нечетких условиях // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тез. докл. II Межд. конф. Саранск. 1996. С. 118.

22. Ухоботов В. И. Метод одномерного проектирования в линейной игре с интегральным ограничением it однотипные игры // Изв. АН. Техн. кибернетика. 1994. N3. С. 192-199.

23. Ухоботов В. И. Вычисление цены дифференциальной игры простых однотипных движений с выпуклой платой // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Тез. докл. III Межд. семпяара. Самара. 1994. С. 9.

24. Ухоботов В. И. Область безразличия в однотипных дифференциальных играх удержания на ограниченном промежутке времени // Прпкл. матем. п мех. 1994. Т.58. Вып. б. С. 56-02.

25. Ухоботов В. И. Об одном классе однотипных дифференциальных игр // Матем. моделирование. 1995. Т.7. N 5. С. 91.

26. Ухоботов В. И. Синтез управления в линейной игре импульсной встречи со смешанным ограничением противника // Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации. Тез. докл. 3 Межд. семинара. Часть 2. Санк-Петербург. 1995. С. 119-121.

27. Ухоботов В. И. Об одной игре с поломкой // Понтряглнскпе чтения - VII. Тез. докл. Воронеж. 1996. С. 179.

28. Ухоботов В. И. Синтез управления в однотипных дпфферегацталь-ных играх с фиксированным временем // Вестник Челябинского ун-та. Сер. матем., мех. Челябинск. 1996. Вып. 1. С.178-184.

29. Uhobotov V. I. An Impulse Meeting Linear differential Game // Fourth Conference on Differential Equations and Applications. Abstracts of Presented Papers. R.ousse. 1989. Bulgaria. Г. 481.

■30. Uhobotov V. I. About one differential game with disturbances in the dynamics // Multiple criteria and game problems under uncertainty. Abstracts. The 4-d Inter. Workshop. Moscow. Russia. 199G. P. 124.