автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретико-графовый подход в моделировании структурного разрушения сложных систем

На правах рукописи

САЛПАГАРОВ Магометамин Бунияминович

ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЙ ПОДХОД В МОДЕЛИРОВАНИИ СТРУКТУРНОГО РАЗРУШЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 25.00.30 - Метеорология, климатология, агрометеорология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нальчик - 2007

003175168

Работа выполнена в Карачаево-Черкесской Государственной технологической академии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кочкаров Ахмат Магомедович

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

профессор Семановский Александр Яковлевич

доктор физико-математических наук,

профессор Ашабоков Борис Азретапиевич

Ведущая организация: Северо-Кавказский государственный технический университет (г.Ставрополь)

Защита состоится «14» ноября 2007 г в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 327 001 01 при Высокогорном геофизическом институте по адресу: 360030, КБР, г Нальчик, прЛенина, 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГУ «Высокогорный геофизический институт»

Автореферат разослан «12» октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

JUtJ-

Шаповалов А В

I. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Эффективность функционирования большинства отраслей экономики государства зависит от пространственной распределенности и разветвленности ее коммуникационных сетей (электроэнергетических, информационных, водо- и теплоснабжающих и т.п). Чем шире зона покрытия коммуникационных сетей, тем выше конкурентоспособность соответствующей отрасли экономики как на внутреннем рынке государства, так и за его пределами.

Сети с большой зоной покрытия требуют больших затрат на обеспечение штатного функционирования с одной стороны. С другой стороны, такие коммуникационные сети имеют сложную многоэлементную структуру с нетривиальным набором связей, что существенно повышает риск возникновения чрезвычайных и внештатных ситуаций Кроме того, сбои в функционировании коммуникационных сетей имеют значительные последствия, выходящие за пределы коммуникационных сетей.

Ряд аварий в электроэнергетических системах в крупных городах России (Москве, 2005 г.), Европы (Лондоне, 2003 и 2006 гг.; Париже, 2006 г.), США и Канады (Детройте, Нью-Йорке, Кливленде, Оттаве, Торонто, 2003 г.), показал, что развитие чрезвычайных ситуаций в коммуникационных системах с сетевой структурой проходит по "принципу домино" (в случае электроэнергетических систем -это веерные отключения) Один вышедший из строя объект (элемент системы) сильно повышает вероятность аварии на остальных, что приводит к возникновению лавины аварий. О последствиях таких аварий красноречиво свидетельствует следующий факт

14 августа 2003 года в ряде крупнейших городов восточного побережья США и Канады - Детройте, Нью-Йорке, Кливленде, Оттаве, Торонто и др - произошло 9-секундное отключение электроснабжения, приведшее к веерным отключениям электроэнергии на площади более 24 тыс кв км и получившее название "Блэкаут-2003" Причина - перегрузка на энергетическом каскаде Ниагара-Мохок (граница США и Канады) Авария затронула более 50 млн человек в восьми штатах США и провинции Онтарио Канады, привела к остановке более 100 электростанций, в том числе 22 атомных реакторов. Ликвидация последствий аварии заняла более 30 часов Сумма нанесенного США финансового ущерба составляет не менее 6 млрд. долларов

Нередки чрезвычайные ситуации в России в сетях тепло-, во-до- и газопроводного транспорта. Предотвращение, прогнозирование и профилактика чрезвычайных ситуаций с далеко идущими последствиями в сетевых системах со сложной структурой требуют новых исследовательских подходов в моделировании с учетом всех структурных особенностей моделируемой системы

Следует отметить, что все коммуникационные сети претерпевают заметные изменения в процессе функционирования Это затрудняет их исследование и прогнозирование их поведения во внештатных ситуациях.

В построенной в настоящей работе математической модели структурного разрушения сложной системы предусмотрена возможность изменения структуры моделируемых сетей, что повышает адекватность предложенной модели

Методы теории графов, использованные для исследования сетевых систем, и построенная модель несут дискретный характер Но не смотря на это, область приложения предложенных методов и модели распространяется далеко за пределы области исследований, связанных со сложными техническими системами

Во-первых, чрезвычайные ситуации и аварии в сетевых системах приводят к серьезным экологическим бедствиям. Поэтому специалистам и независимым экспертам в области экологической безопасности необходимо в своем арсенале иметь модели, осуществляющие поиск возможных аварий в сложных сетевых системах.

Во-вторых, при проектировании сетевых систем невозможно не учитывать требования специалистов по экологической безопасности Модель, предложенная в диссертационной работе, позволяет разработать методы проектирования сетевых систем с учетом требований по экологии, климату и географическому месторасположению.

В-третьих, многие системы, как искусственного так природного происхождения, обладают сложной иерархической структурой К иерархическим системам искусственного происхождения относятся сетевые системы. Интересно, что иерархические системы и природного происхождения демонстрируют поведение, присущее структурно-сложным техническим системам. Например, литосферу Земли можно представить как систему блоков, разделенных разломами. Каждый из этих блоков делится на более мелкие, те, в свою очередь, на еще более мелкие и т.д. Геофизики выделяют более 30 иерархических

уровней в земной коре от тектонических плит протяженностью в тысячи километров до зерен горных пород миллиметрового размера. Большие землетрясения обычно сопровождаются многочисленными повторными толчками- афтершоками, которые каскадом перераспределяют напряжение вниз по иерархии разломов. А подготовка землетрясения происходит посредством обратного каскада передачи напряжения, восходящего с нижних уровней иерархии к верхним. Поэтому построение и исследование таких универсальных моделей как модель структурного разрушения сложной сетевой системы являются своевременными и актуальными.

Цель работы. Построить математическую модель поведения сложной системы в аварийном состоянии и исследовать процесс изменения и разрушения структуры системы

Провести анализ структурного разрушения системы при различных критериях выхода системы из строя и различных типах структур самой системы.

Установить связь между типами структур коммуникационных сетей, временем их структурного разрушения и возможными причинами возникновения внештатных ситуаций в процессе функционирования коммуникационных сетей.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы теория и методы математического моделирования, комбинаторной оптимизации и теории графов. Кроме того, работе присущи основные принципы мягкого моделирования, фрактальной геометрии и концепции управления риском

Научная новизна. Достижение поставленных в диссертационной работе целей определяет научную новизну исследования В диссертационной работе получили дальнейшее развитие идеи теории стойкости и исследования систем, подверженных внезапным внешним воздействиям

Построенная математическая модель структурного разрушения сложной системы является дополнением к модели распространения внешних воздействий по структуре системы Эти модели в схеме развития чрезвычайных ситуаций (инициирова-

ние ЧС—»развитие ЧС—>выход ЧС за пределы системы) описывают первый и второй этапы

Практическая ценность и теоретическая значимость работы. Построенная в диссертационной работе математическая модель мо-

ясет быть использована в прогнозировании возникновения и развития чрезвычайных ситуаций в многоэлементных инфраструктурных системах,

Введенные в работе критерии выхода системы из строя представляют собой новые качественные графовые характеристики, т.е.

рни несут самостоятельное теорушч^га зиачшге.

Построенная модель в целом расширяет спектр дискретных математических моделей и область приложений теории графов. В соответствии с идеями структурной динамики на основе предложенной модели аналогично понятию клеточного автомата вводится понятие графового автомата, что также расширяет описательные возможности теории графов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 14-ой Международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем" (Москва, 2006), на 6-ой международной конференции "Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций" (Москва, 2006), на 2-ой Всероссийской научно-практической конференции "Перспективные системы и задачи управления" (Домбай, 2007), на 5-ой Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 2007), на Международной междисциплинарной научной конференции "Третьи Курдюмов-ские чтения. Идеи синергетики в естественных науках" (Тверь, 2007), на Международной научной конференции "Проблемы регионального и муниципального управления" (Москва, 2007), на 10-ом научно-практическом семинара "Новые информационные технологии" (Москва, 2007), а также на научных семинарах профессорско-преподавательского состава Карачаево-Черкесской Государственной технологической академии и Карачаево-Черкесского филиала Южного Федерального Университета (Черкесск, 2004-2007).

Публикации. По результатам выполненной работы имеется 14 публикация (см. список публикаций).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, изложенных на 126 страницах, содержит 23 рисунка и библиографию из 141 наименования. II. Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы. Проведен анализ существующих моделей по направлениям, близким к теме диссертации Определена область приложений иссле-

дования, проведенного в диссертации.

Дается краткое изложение содержания диссертации. В первой главе предложена математическая модель структурного разрушения сложной системы и исследован процесс структурного разрушения на обыкновенных графах Обозначим через (7 = (V, Е) - граф, соответствующий структуре

исследуемой системы, V - множество вершин, Е - множество ребер графа С? Каждой вершине V £ V припишем веса И>(у) и

>у(у), отражающие текущую загрузку и предельную загрузку элемента системы. В случае, когда текущая загрузка \у(у) элемента системы достигает предельного значения М>(у), то элемент системы выходит из строя, а проходящие через него потоки перераспределяются по "соседним" элементам системы. Выход из строя элемента системы в теоретико-графовой терминологии соответствует удалению из графа системы вершины с инцидентными ей ребрами. А перераспределение весов в тривиальном случае соответствует равному разделению

веса И>(у) удаленной вершины по вершинам, смежным с удаляемой.

Структурное разрушение, вообще говоря, процесс динамический. Не нарушая общности, будем считать, что (у) - текущая загрузка вершины V €Е V в момент времени t = 0,\,2,3,...,Т,....

Если через У( — {у^ } с V, } — ¥( , обозначить множе-

ство вершин, вышедших из строя в момент времени I, т.е. те, у которых "Н'Ду^) > >у(у^), а через = {у/ } - окружение вершины У^ (или множество вершин, смежных с вершиной У^),

= , = 1,2,3,...,, то процесс структурного

разрушения формально будет выглядеть следующим образом.

В момент времени t = 0 необходимо произвести проверку по

всем вершинам У Е V, и сформировать множество У\ из вершин,

для которых справедливо И^ (у^ ) > ). Во все последующие

моменты времени ? = 1,2,3,..., Тследует воспользоваться правилом

И>,+] (У/^ ) = ) + Е]- М<Уу), /у = 1,2,3,..., У = 1,2,3,..., г,

(1)

Если (у^ ) > \у(у/ ), то вершина удаляется из графа С и + .

Коэффициент - параметр распределения загрузки Параметр распределения загрузки может зависеть от различных факторов, в простейшем случае он равномерно распределяет предельную загрузку удаляемой вершины по соседним, т е. для каждой вершины

1

V} вычисляется как ЕJ —- Структурное разрушение при

1

параметре распределения загрузки 8J =- будем назвать равномерным

Процесс структурного разрушения следует продолжать до тех пор, пока система не перейдет в критическое состояние 3, т.е, когда перестанет выполнять возложенные на нее функции

Критическое состояние 3 определяется, исходя из особенностей моделируемой системы. Например, система может считаться пребывающей в критическом состоянии, если из ее структуры удален хотя бы один элемент (вершина), или система может считаться функционирующей, если ее структура после удаления элементов все еще остается связной. В настоящей работе будут рассмотрены различные критерии отказа системы (перехода в состояние отказа системы) или, иначе, критерии разрушения

Основная задача моделирования структурного разрушения системы - выяснить, при каких условиях система может перейти в 8

критическое состояние (Начальные причины повреждения системы могут быть как внутренние, так и внешние ) Переход системы в критическое состояние означает, что в системе начался процесс структурного разрушения, но это не значит, что система окончательно прекратила функционировать. Систему можно считать вышедшей из строя только в том случае, когда изменения произошедшие в структуре системы, будут удовлетворять критериям отказа. Поэтому одной из основных характеристик в модели структурного разрушения будет

служить время Тсг структурного разрушения, отражающее длительность самого процесса структурного разрушения.

Нельзя утверждать, что система, перейдя в критическое состояние, когда из ее структуры удаляются элементы (начало процесса структурного разрушение), непременно впоследствии выйдет из строя (перейдет и в состояние отказа системы). Время Тсг структурного разрушения системы соответствует продолжительности процесса структурного разрушения от момента первого удаления (выхода из строя) элемента системы до момента остановки процесса разрушения или отказа самой системы

Для исследования процесса структурного разрушения систем с "простой" структурой целесообразно использовать следующие критерии отказа

1. Критерий полного разрушения (7о (к). Система считается вышедшей из строя, если в системе выйдут из строя все элементы (будут удалены все вершины графа - структуры системы) Критерий связности (То (А) зависит от одного параметра: к - числа удаленных вершин в начальный момент времени структурного разрушения

2. Критерий связности <У\(к) Система считается вышедшей из строя, если нарушена связность ее структуры при удалении вершин. Критерий связности СГ] (к) зависит от одного параметра: к -числа удаленных вершин в начальный момент времени структурного разрушения

3. Компонентный критерий 0~2 {к, м)- Система считается вышедшей из строя, если число компонент в структуре системы при ее разрушении окажется не меньше заданного числа Ш Компонент-

ный критерий 0*2(к>т) выхода системы из строя зависит от двух

параметров: от к — числа удаленных вершин в начальный момент времени структурного разрушения, и т - максимально допустимого числа компонент структуры при ее разрушении

4. Диаметральный критерий О3(&,/)). Система считается вышедшей из строя, если диаметр хотя бы одной из компонент сгрук-туры системы в процессе разрушения окажется меньше заданного числа £). Диаметральный критерий О3(&,£)) выхода системы из строя зависит от двух параметров: от к - числа удаленных вершин в начальный момент времени структурного разрушения, и £) - минимально допустимого диаметра компонента структуры при ее разрушении.

По мере необходимости в дальнейшем будут вводиться и другие критерии отказа систем.

Множество Ф(Сг) элементов, вышедших из строя (удаленные из структуры) в момент времени / = 1, будем называть эпицентрами структурного разрушения В критериях СТ^(к), 0\ (к),

(У2 (к, т), СГ3 (к, £)) число к соответствует количеству эпицентров структурного разрушения системы.

Для систем со структурами, представляемыми в виде обыкновенных графов, проведено исследование структурного разрушения с равными значениями начальных загрузок ^(у) и равными значениями предельных загрузок И>(у) для всех вершин графов.

В формулировках следующих лемм и теорем констатируется связь между различными классами структур (цепей, деревьев, циклов, регулярных графов), временем структурного разрушения системы и множеством эпицентров структурного разрушения. Связи установлены по каждому из предложенных критериев структурного разрушения

лемма 1.1. Всякий граф-цепь С = (У^, Е^ ), | = Л, будет разрушен по критерию <7} (&), где \ <к<П — \, при удалении хотя бы одной невисячей вершины

лемма 1.2. Всякий граф-цепь С = (УС,ЕС), = П, П~> 3, будет разрушен по критерию СГ2 {к, ш), где 2 < т < (п + Х) / 2 при нечетном п и 2 < т < П / 2 при четном П, если количество попарно несмежных внутренних вершин-эпицентров равно к = т — 1.

теорема 1.3. Всякий граф-цепь С = (УС,ЕС), \УС\ = П,

будет разрушен по критерию <Т3 (1, г(С)) при удалении центральной вершины (т.е., когда эпицентром является центральная вершина). Причем диаметры появившихся в результате структурного разрушения компонент будут равны — 1 и

¿(С)-г(С)-1.

Теорема 1.7. Всякий граф-цепь С — (УС,ЕС), \УС\ = П,

П> 3 будет разрушен по критерию <Т0(1) при удалении одной из

внутренних вершин V еУс за время Тсг = Е(у) +1, где £"(у) -

эксцентриситет вершины V <= , если М>(у) — >у0(у) < И>(у) / 2

теорема 1.8. Всякое дерево Т = (УТ,ЕТ), = П, будет

разрушено по критерию(Т, где \<к<Пт, П-р - количество висячих вершин, при удалении хотя бы одной внутренней вершины за время Тсг = 1

теорема 1.10. Всякое дерево Т = (УТ,ЕТ), ]к}| = и, будет разрушено по критерию О2(к,т) при удалении к попарно несмежных внутренних вершин у,- € У-р за время Тсг = 1, причем

/я = £(ёеё(у,)-1) + 1

¡=1

Теорема 1.12. Всякое дерево Т — (УТ,ЕТ) будетразруше но по критерию €Г3 (к, 2(е(у) - Г (Г) -1) +1) при удалении всех к

вершин V, бКу, I — \,к, с эксцентриситетами £(у), т.е, когда эпицентрами являются все вершины с эксцентриситетом £"(у), за время Тсг = 1

теорема 1.13. Всякое дерево Т = (УТ,ЕТ) будет разрушено по критерию <7^ (1) при удалении вершины V Е Ур с максимальной степенью Л(7^) за время Тсг = £"(у), если ш(у) - \у0О) < Чу) / А (Г), где Д(Г) = ёе§(у)

теорема 1.14.Всякий цикл Р = (Ур,Ер), = я, я > 4, будет разрушен по критерию <У3 (2, р(у\ у") — 2) яры удалении двух несмежных вершин у', у" £ Рр, те, когда эпицентрами являются эти несмежные вершины.

лемма 1.15. Всякий цикл Р = (Ур,Ер), |к/>| = и, Я > 4,б>'де?/и разрушен по критерию СГд(1) при удалении одной из вершин V е Ур за время Тсг — (п +1) / 2 при нечетном П и за время Тсг —п! 2 + 1 при четном П, если \у(у) - И>0(у) < И»(у)/ 2

лемма 1.16. Всякий полный граф Кп=(У^,Е^) будет разрушен по критерию (7^ (1) при удалении вершины У е за время Тсг- 2, если М>(у) - >У0 (у) < >у(у) !{п -1)

теорема 1.17. Всякий граф сг = (У,Е) будет разрушен по критерию О"о(1) при удалении вершины V еУ с максимальной степенью МСг) за время ТСГ = £'(у), если >у(у) - м>0 (у) < уу(у) / Л((?), где Д(С) = deg(v)

Во второй и в третьей главах исследовано структурное разрушение систем со структурой, представляемой в виде масштабно-инвариантных графов большой размерности - предфрактальных графов.

12

В основе определения фрактальных графов лежит операция замены вершины затравкой. Термином затравка (ЗВЗ) условимся называть какой-либо связный граф Н — (IV, О) . Суть операции

(ЗВЗ) заключается в следующем. В данном графе (7 = (У, Е) у намеченной для замещения вершины V е V выделяется множество

У

смежных ей вершин. Далее из графа

С удаляется вершина V и все инцидентные ей ребра Затем каждая

вершина V. е У , ] = 1,2,...,

соединяется ребром с одной из

вершин затравки Н Вершины соединяются произвольно (случайным образом) или по определенному правилу при необходимости.

Предфрактальный граф будем обозначать через Сгу = (У^, Е^), где У^ - множество вершин графа, а Е^ - множество его ребер Определим его рекуррентно, поэтапно заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе I — 1,2,..., Ь — 1 графе (7/ = (У/, Е[) каждую его вершину затравкой Н. На этапе / = 1 предфрактальному графу соответствует затравка — Н. Об описанном процессе говорят, что предфрактальный граф порожден затравкой Н Процесс порождения предфракгального графа по существу, есть процесс построения последовательности

предфрактальных графов (7|, (72,..., С;,..., (7^, называемой траекторией. Фрактальный граф (7 = (У, Е), порожденный затравкой Я , определяется бесконечной траекторией.

Для предфракгального графа ребра, появившиеся на /ом, / € {1,2,..., Ь}, этапе порождения, будем называть ребрами ранга I Новыми ребрами предфрактального графа назовем ребра ранга Ь, а все остальные ребра назовем старыми.

При удалении из предфрактального графа всех ребер

рангов / = 1,2,..., Ь — Г получим множество

Г е {1,2,...,!, — 1}, блоков Г-го ранга, где / = 1,2г - порядковый номер блока. Термином подграф-затравка будем называть блок В^}, Б — 1, и' 1 первого ранга предфрактального графа , I — \,Ь из траектории. Мощность множества Х((Э^ — {г^Р}, 1 = 1, Ь, Б — \,п! 1 всех подграф-затравок из

траектории графа Сг^ равна \Х{С}^ )| =--.

П- 1

Предфрактальный граф Сг^ = (У^, Е ^ ) условимся называть (п,д,Ь)-графом, если он порожден П -вершинной д -реберной связной затравкой Н = (Ж, О).

Будем говорить, что предфрактальный граф G¿ = (У^, Е£ ) -вершинно взвешен, если каждой его вершине У^ € У/ приписано действительное число е (01~1а,01~1Ь), где I = \,Ь -

а

ранг вершины, а > 0 и р<-.

Рассмотрим вершинно взвешенный предфрактальный граф = (Уь' )' порожденный полной затравкой Н = (IV, О),

= п, = д с сохранением смежности старых ребер. Не нарушая правила взвешивания предфрактального графа, определим веса вершин следующим образом. Каждой вершине приписывается два числа, отражающие соответственно ее текущий и предельный вес

Предельный вес вершины У^ е У^ определяется как М^У^) = в1'ХЬ, а ее текущий вес - гу(у(/)) = 01~1а, где

1 = 1Л,,а> 0и<9<-.

Ъ

Рангом вершины предфрактального графа будем называть наименьший ранг / среди всех инцидентных ей ребер Вершину / -го ранга обозначим как У^, где I е {1,2,..., Ь}. Вершину / -го

~(/) 1 ранга V , являющуюся эпицентром, назовем эпицентром I -го

ранга, где I = 1,2,..., £.

Ранговый критерий СГ^{к,1). Система считается вышедшей из строя, если разрушенными оказались все вершины 1-го ранга, I — \,Ь Ранговый критерий СГд {к,1) выхода системы из строя зависит от двух параметров, где к - число удаленных вершин в начальный момент времени структурного разрушения.

Потерей веса будем называть ситуацию, когда в результате удаления вершины, ее предельный вес не может быть полностью перераспределен среди вершин окружения.

Во второй главе рассмотрен случай структурного разрушения систем со структурой, представимой в виде предфрактального графа, порожденного одной затравкой Процесс структурного разрушения исследован при различных порождениях предфрактального графа -различными классами затравок, при различных вариантах смежности старых ребер предфрактального графа

На число вершин затравки и веса рассматриваемого предфрактального графа наложим следующие ограничения:

Ь-а л

п<-+ 1,

в-Ъ

то есть разрушение любого количества вершин Х-го ранга предфрактального графа не влечет за собой разрушение вершин (Ь — 1)-го ранга,

в'Ь

п <-,

(0-1 )Ь + а

то есть разрушение любого количества вершин (Ь — 1)-го ранга предфрактального графа не влечет за собой разрушение вершин (X — 2) -го ранга;

а<Ъ{\-^=), (2.9)

текущие веса вершин Ь -го ранга не превышают предельные, и процесс разрушения предфрактального графа останавливается.

Следующие теоремы устанавливают связь между временем структурного разрушения системы, представляемой в виде предфрактального графа, порожденного одной затравкой, и множеством эпицентров структурного разрушения. Связи установлены по основным из предложенных критериев структурного разрушения

теорема 2.3. Всякий предфрактальный граф О^, порожденный полной затравкой с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами Ь -го ранга, может быть разрушен по критерию СГ3 (к, .О) при выполнении условия (2 5) только для Т) = 2Ь — 2 и

£) = 2Ь — 3, где соответственно к = П^ 1 •(/? — 1) — 1 и

к = пь~1-(п-1)-2.

Теорема 2.4. Всякий предфрактальный граф (Э^, порожденный полной затравкой с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами (Ь — 1) -го ранга, будет разрушен по критерию

(7] (&) при выполнении условий (2 7) и (2 9), где \<к<п1'2-{п-\)

теорема 2.6. Всякий предфрактальный граф Ст£, порожденный полной затравкой с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами (X — 1) -го ранга, при выполнении условий (2 7) и

(2 9) будет разрушен по критерию О" 2 {к, т) для всех т <к +1, где \<т<п1 - к и\<к< п1~1 *(и-1)

теорема 2.7. Всякий предфрактальный граф , порожденный полной затравкой с сохранением смежности старых ребер будет разрушен по критерию 0"з(Ус,£)) при удалении хотя бы од-

ной вершины (Ь — 1 )-го ранга для всех 1 < О < 2Ь — 1, при выполнении условий (2 7) и (2.9).

теорема 2.14. Всякий предфрактачышй граф (?£, порожденный полной затравкой с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами 1-го ранга, будет разрушен по критерию СГ4 • где Г - число всех вершин 1-го ранга, при выполнении неравенства в1~2Ы{{п-\)-1)>в1~ХЬ- в1~1а для всех/ = /,/ + 1,...,!

теорема 2.15. Всякий предфрактачышй граф (7^, порожденный полной затравкой с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами 1-го ранга, при выполнении неравенства

а будет разрушен по критерию

О"4 (/', , где Г - число всех вершин 1-го ранга, пошагово для всех

? = /,/- 1....Д

Третья глава посвящена исследованию процесса структурного разрушения систем со структурой, представимой в виде предфрак-тального графа, порожденного множеством затравок

Обобщением описанного процесса порождения предфрак-тального графа является такой случай, когда вместо единственной затравки Я используется м.-.оиеество затравок

Н = {Я/}={Я1,Я2,...,Я/,...,//г}, Т> 2 Суть зги,™ обобщения состоит в том, что при переходе от графа (?/_] к графу Сг/ каждая вершина замещается некоторой затравкой Нг € Н, которая

выбирается случайно или согласно определенному правилу, отражающему специфику моделируемого процесса или структуры Для мощностей множеств вершин затравок Н( € Н будем использовать

следующие обозначения - Ятах = Шах П1, Итш — ГПШ П,

Следующие теоремы устанавливают связь между временем

структурного разрушения системы, представляемой в виде предфрак-тального графа, порожденного множеством затравок, и множеством различных эпицентров структурного разрушения.

теорема 3.3. Всякий предфрактстъный граф , порожденный множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами Ь -го ранга, может быть разрушен

// г-»\ Ъ — а по критерию СТ^ \К,и) при выполнении условия <--Н I,

в-Ъ

только для 1У = 1Ь — 2 и О — 2Ь — 3, где соответственно

Н^НМ-^Н^НМ-2

теорема 3.4. Всякий предфракталъный граф (?£, порожденный множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами (Ь — 1) -го ранга, будет разрушен по

,14 в'Ь

критерию ук) при выполнении условий Птях <- и

(в -1 )Ь +а

Ь /(2ит|п-2)<въ-2ва,где\<к< | -1

теорема 3.6. Всякий предфракталъный граф О^, порожденный множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами {Ь — 1) -го ранга при выполнении

О 'Ъ

условий Итах <- и Ь/(2птт - 2) < ОЬ — 2да будет

(|9-\)Ь + а

разрушен по критерию <Т2 т) для всех т<к +1, где

На число вершин затравки и веса рассматриваемого пред-фрактального графа наложим следующие ограничения:

0М*-(Ип»х- О <91-2Ъ-91-2а, (3.3)

0M£/((nmin -\)-(L-l + l))<eL~lb- eL~xa. (З.б) bl(inmm-\)<{L-\))>eb-€b (3.8)

Теорема 3.10. Всякий предфрактальный граф G ^, порожденный множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами I -го ранга, при выполнении условий (3 3) и (3.6) будет разрушен по критерию С2 {k, m) для всех

m<{L-l)k +1, где \<m<\Vt\ и 1<А:<|Км|-|К/_2|,

/ — L 1,Z/ 2)..*Д

теорема 3.11. Всякий предфрактальный граф Gпорожденный множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер, будет разрушен по критерию СГ3 (&,£)) при удалении хотя бы одной вершины I -го ранга для любого D'il,, где 1 ^ к < |—1 1 = L — \,L — 2,...Д при выполнении условий (3 3) и (3 6)

теорема 3.13. Всякий предфрактальный граф G^, порожденный множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами 1-го ранга, будет разрушен по критерию СГ4 (г, t), где Г - число всех вершин 1-го ранга, при выполнении

неравенства 0^ 2Z>/((итах — 1) • 2) > 'b — '¿3 пошагово для всех t = /,/ + l,...,L

теорема 3.14. Всякий предфрактальный граф G ^, порожденный множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер и с эпицентрами 1-го ранга, при выполнении неравен-

вЬ • (итт -1)

ства -> и — а будет разрушен по крите-

("тах -1Н£-2) + 1

рию СГ4 где г - число всех вершин 1-го ранга, пошагово для

всех t — 1,1 — !,...,!

теорема 3.18. Всякий предфракталъный граф G^, порожденный множеством полных затравок, с сохранением смежности старых ребер, и с эпицентрами первого ранга будет разрушен по критерию СГ4 (г,2) при выполнении условия (3 8) на втором шаге,

где Г - число всех вершин первого ранга

TIT. Основные положения, выносимые ия ча.читу:

1 Математическая модель структурного разрушения сложной системы в частности грозовые процессы, процессы облако-осадкообразования Введены четыре критерия выхода системы из строя - критерий полного разрушения, критерий связности, компонентный критерий и диаметральный критерий.

2 Результаты процесса структурного разрушения для различных классов обыкновенных графов - цепей, циклов, деревьев и простых произвольных графов Для каждого класса исследованных графов по каждому из предложенных критериев получены оценки времени структурного разрушения Установлена связь между временем структурного разрушения с количеством эпицентров и их расположением на графах.

3 Исследован процесс структурного разрушения предфрактального графа Обоснована представимость структур сложных многоэлементных систем в виде предфрактальных графов. Для исследования структурного разрушения предфрактальных графов введен пятый - ранговый критерий выхода системы из строя. Доказаны утверждения, описывающие связи между временем структурного разрушения системы, представляемой в виде предфрактального графа, и множеством эпицентров структурного разрушения. Связи установлены по всем пяти введенным критериям структурного разрушения для предфрактальных графов, порожденных одной или множеством затравок при различных условиях сохранения смежности старых ребер

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. КочкаровАА, Салпагаров М Б, ЭлькановаЛ.М Дискретная модель структурного разрушения сложных систем// Проб темы управления. - 2007 - № 5

2 Кочкаров А.А , Салпагаров МБ Моделирование разрушения с ножных систем Структурные аспекты1 Препринт ИПМ им М.В Келдыша РАН № 33. М , 2007. 22 с

3 Салпагаров МБ, Кочкаров А А Когнитивное моделирование региональных социально-экономических систем // Управление большими системами Сб. научных трудов, Вып. 16 М/ Ин-т проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2007 -С 137-146

4 Салпагаров МБ, Кочкаров А А , Кочкаров P.A. Топологические аспекты разрушения сложных систем с ациклической структурой// Управление большими системами1 Сб научных трудов, Вып 17. М Ин-т проблем управления им. В А. Трапезникова РАН, 2007. - С. 103-120.

5 Салпагаров МБ, Кочкаров А А Когнитивное моделирование региональных социально-экономических систем // Труды VI международной конференции "Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций" М: Ин-т проблем управления им. В А Трапезникова РАН, 2006 -С. 132-141

6 Салпагаров МБ, Кочкаров А А., Кочкаров Р А Потоковое моделирование структурного разрушения сложных систем // Труды XIV Международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем". М РГГУ, 2006. - С. 454-456

7. Салпагаров МБ, Кочкароо 4 А Моделирование структурного разрушения сложных систем // Ма1ериалы Второй Всероссийской научно-практической конференции "Перспективные системы и задачи управления" - Таганрог- И?ц-во ТТИЮФУ, 2007 -С 156-159

8. Салпагаров М Б, Кочкаров А А, Кочкаров РА. Сетевое моделирование Оптимизационные задачи на масштябно-инвариантых графах и параллельные алгоритмы их решении // Труды V Московской международной конференции по исследование операций. М Макс Пресс, 2007 -С 246-248.

9 Салпагаров МБ., Кочкаров А А Моделирование структурного разрушения сложных систем // Материалы международной междисциплинарной научной конференции "Третьи Курдюмовские чгения Идеи синергетики в естественных науках". Тверь. ТвГУ, 2007.-С 80-84

10. Салпагаров M Б, КочкаровАА Исследование структурного разрушения сложных коммуникационных систем// Материалы международной научной конференции "Проблемы регионального и муниципального управления" M : РГГУ, 2007. - С 224-229.

11. Салпагаров M Б, КочкаровАА Исследование структурного разрушения сложных систем // Материалы X научно-практического семинара "Новые информационные технологии" M : Моек гос ин-т электроники и математики, 2007. - С. 165-167. 12 Салпагаров M Б Моделирование разрушения систем с масштабно-инвариантной структурой - Черкесск Карачаево-Черкес. Гос. Тех. Акад , 2007 Деп в ВИНИТИ № 745-В2007 - 36 с.

13. Салпагаров М.Б Моделирование разрушения структурно-сложных систем - Черкесск: Карачаево-Черкес Гос. Тех. Акад., 2007. Деп. в ВИНИТИ № 745-В2007. - 31 с.

14. Салпагаров M Б Моделирование разрушения сложных систем с ациклической структурой. Препринт №153 Т. - Нижний Архыз 2007 г - 14 с

Введение.

Сетевые системы и структурное моделирование.

Структурная динамика и структурное управление.

Надежность, живучесть, стойкость.

Краткое содержание и структура диссертационной работы.

Глава I. Математическая модель структурного разрушения сложной системы.

1.1. Математическая модель структурного разрушения сложной системы.

1.2. Характеристики и особенности структурного разрушения сложной системы.

1.3. Структурное разрушение граф-цепей.

1.3.1. Структурное разрушение граф-цепей по критерию связности.

1.3.2. Структурное разрушение граф-цепей по компонентному критерию.

1.3.3. Структурное разрушение граф-цепей по диаметральному критерию.

1.3.4. Структурное разрушение граф-цепей по критерию полного разрушения.

1.4. Структурное разрушение деревьев.

1.4.1. Структурное разрушение деревьев по критерию связности.

1.4.2. Структурное разрушение деревьев по компонентному критерию.

1.4.3. Структурное разрушение деревьев по диаметральному критерию.

1.4.4. Структурное разрушение деревьев по критерию полного разрушения.

1.5. Структурное разрушение циклических графов.

1.5.1. Структурное разрушение циклов по критерию связности.

1.5.2. Структурное разрушение циклов по компонентному критерию.

1.5.3. Структурное разрушение циклов по диаметральному критерию.

1.5.4. Структурное разрушение циклов по критерию полного разрушения.

1.6. Структурное разрушение полных графов.

1.7. Структурное разрушение графов по критерию полного разрушения.

1.8. Выводы.

Глава II. Структурное разрушение предфрактальных графов поро/вдение одной затравкой).

2.1. Фрактальные и предфрактальные графы.

2.2. Структурное разрушение предфрактального графа, порожденного полной затравкой, с сохранением смежности старых ребер.

2.2.1. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах L-то ранга.

2.2.2. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах (L -1) -го ранга.

2.2.3. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах / -го ранга, где / = Z, -1,.,2.

2.2.4. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах первого ранга.

2.2.5. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах разных рангов.

2.3. Выводы.

Глава III. Структурное разрушение предфрактальных графов пороадение множеством затравок).

3.1. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах L-то ранга.

3.2. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах (L -1) -го ранга.

3.3. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах / -го ранга.

3.4. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах первого ранга.

3.5. Разрушение предфрактального графа с эпицентрами в вершинах разных рангов.

3.6. Выводы.

Сетевые системы и структурное моделирование

Эффективность функционирования большинства отраслей экономики государства зависит от пространственной распределенности и разветвленно-сти ее коммуникационных сетей (электроэнергетических, информационных, водо- и теплоснабжающих и т.п.). Чем шире зона покрытия коммуникационных сетей, тем выше конкурентоспособность соответствующей отрасли экономики как на внутреннем рынке государства, так и за его пределами.

Сети с большой зоной покрытия требуют больших затрат на обеспечение штатного функционирования с одной стороны, а другой такие коммуникационные сети имеют сложную многоэлементную структуру с нетривиальным набором связей, что существенно повышает риск возникновения чрезвычайных и внештатных ситуаций. Кроме того, сбои в функционировании коммуникационных сетей имеют значительные последствия, выходящие за пределы коммуникационных сетей.

Аварий в электроэнергетических системах крупных городов России (Москва, 2005 г.), Европы (Лондон, 2003 и 2006 гг.; Париж, 2006 г.), США и Канады (Детройт, Нью-Йорк, Кливленд, Оттава, Торонто, 2003 г.), показали, что развитие чрезвычайных ситуаций в коммуникационных системах с сетевой структурой проходит по "принципу домино" (в случае электроэнергетических систем - это веерные отключения). Один вышедший из строя объект (элемент системы) сильно повышает вероятность аварии на остальных, что приводит к возникновению лавины аварий. О последствиях таких аварий красноречиво свидетельствует следующий факт.

14 августа 2003 года в ряде крупнейших городов восточного побережья США и Канады - Детройте, Нью-Йорке, Кливленде, Оттаве, Торонто и др. -произошло 9-секундное отключение электроснабжения, приведшее к веерным отключениям электроэнергии на площади более 24 тыс. кв. км и получившее название "Блэкаут-2003". Причина-перегрузка на энергетическом каскаде Ниагара-Мохок (граница США и Канады). Авария затронула более 50 млн. человек в восьми штатах США и провинции Онтарио Канады, привела к остановке более 100 электростанций, в том числе 22 атомных реакторов. Ликвидация последствий аварии заняла более 30 часов. Сумма нанесенного США финансового ущерба составляет не менее 6 млрд. долларов.

Нередки чрезвычайные ситуации в России в сетях тепло-, водо- и газопроводного транспорта. Во многих случаях причиной аварий является изношенность самих сетей и узлового оборудования. Предотвращение, прогнозирование и профилактика чрезвычайных ситуаций с далеко идущими последствиями в сетевых системах со сложной структурой требует новых исследовательских подходов в моделировании [1 - 8] с учетом всех структурных особенностей моделируемой системы.

Структурная динамика и структурное управление

Современные исследования сложных систем, таких как информационные, электроэнергетические, WWW (Internet), коммуникационные, показывают, что структуры этих систем по истечении времени претерпевают определенные изменения, вызываемые различными внешними обстоятельствами, внутренней потребностью самой системы (см. [9-13]). Структуру системы произвольной природы (социальной, социально-экономической, технической, химико-биологической и т.п.) можно представить в виде графа. Граф (см. [14-40]) - это абстрактный объект, как правило, вершины графа соответствуют элементам системы, а ребра - связям между элементами этой системы. Изменения, происходящие в структуре сложной системы, могут быть описаны простейшими теоретико-графовыми операциями: стягивание ребра, удаление (добавление) ребра, удаление (добавление) вершины. Изменения структуры системы могут быть разовыми, а могут быть постоянными. Для второго случая разумно ввести понятие структурной динамики - изменение структуры системы с течением времени. Несомненно, для описания структурной динамики лучше всего подходит аппарат теории графов.

Одним из наиболее распространенных сценариев структурной динамики является рост структуры. Рост структуры - это регулярное появление новых элементов и связей в структуре системы. Рост структуры может происходить по строго сформулированным правилам, не исключая наличие в них фактора случайности.

Вместе с тем, в системах с быстроизменяющимися структурами целесообразно ввести контроль появляющихся связей между "старыми" и "новыми" элементами системы. При этом важно не допускать появления в системе особо уязвимых для внешних воздействий (угроз) и внутренних ошибок связей между элементами системы. Решение этих задач требует особых подходов структурного управления.

Одним из формальных представлений систем с динамически изменяющейся структурой являются масштабно-инвариантные или самоподобные графы (self-similar graphs) большой размерности, называемые фрактальными (предфрактльные).

Фрактальный граф - сложный абстрактный объект, совмещающий в себе свойства, характеристики и достоинства фракталов и "обычных" графов.

Понятие фрактал, введенное Бенуа Мандельбротом [41], объединило объекты, обладающие особым свойством, - свойством самоподобия (self-similarity) или масштабной инвариантности. Работы, связанные с исследованием фрактальных объектов (фрактальных множеств), долгое время считались занимательными, но не имеющими значительных приложений. Мнения в мировой научной среде изменились с изданием книги [41]. В настоящее время о перспективности и значимости исследований, связанных с фрактальными множествами, можно судить по регулярно проводимым конференциям, периодическим изданиям (см., например, журнал "Chaos, Solitons & Fractals"), целиком посвященным соответствующей тематике, и множеству книг (учебников и монографий) [41 -47]. Это позволяет говорить о сформировавшемся круге прикладных физических модельных задач на основе фрактальных множеств [48-60]. Среди них выделяются задачи и модели, где фрактальные множества представлены как самоподобные (фрактальные или масштабно-инвариантные) графы большой размерности, т.е. с большим количеством вершин. К ним относятся, например, задачи о броуновском движении (случайном блуждании), диффузии и просачиваемости. Кроме того, самоподобные графы нередко выступают в качестве моделей структур сложных многоэлементных систем, таких как коммуникационные сети. Первое упоминание о фрактальных графах можно найти в работе [48].

Активное изучение фрактальных графов и областей их приложения ведется в научной школе профессора Кочкарова A.M. Исследования ведутся по трем направлениям: распознавание фрактальных графов [61, 62], свойства и характеристики фрактальных графов [63 - 78], задачи многокритериальной оптимизации в системах с масштабно-инвариантной структурой [79- 106]. Надо отметить, что масштабная инвариантность структур моделируемых систем является следствием структурной динамики в этих системах.

Надежность, живучесть, стойкость

С точки зрения концепции безопасности [107], всякую сложную техническую систему следует изучать с трех основных позиций: надежности системы, живучести системы и ее безопасности. Каждая из этих позиций по-разному описывает связь и взаимодействие системы с окружающей ее средой. Исследование перечисленных свойств системы позволяет уменьшить риск возникновения чрезвычайных ситуаций (ЧС), возникающих в результате бедствий, аварий и катастроф.

С позиции классических моделей теории надежности система изучается изолированно от окружающей среды: ни система не подвергается воздействиям внешней среды, ни сама окружающая среда не испытывает на себе воздействий со стороны системы.

Надежность [108-114] - свойство системы сохранять в течение определенного промежутка времени значение параметров, характеризующих функционирование системы. Надежность - это комплексное свойство системы, зависящее от ее безотказности, ремонтопригодности, долговечности и т.д.

Теория надежности использует аппарат теории вероятностей и математической статистики. Как правило, для оценки возможности возникновения опасного для окружающей среды состояния системы используется дерево событий (отказов). Дерево событий {отказов) - это диаграммное представление всех событий (отказов), последовательное и(или) совместное появление которых в системе приводит к некоторому главному событию (возможно, потенциально опасному происшествию). Зная вероятности появления тех или иных событий (отказов), можно подсчитать возможность возникновения главного события (опасного происшествия). В зависимости от задачи и традиций той или иной области, главным событием называют либо отказ системы (выход из строя), либо адекватную реакцию на воздействие.

В сложных многоэлементных системах к потенциально опасному происшествию могут привести последовательные и(или) совместные отказы различных элементов системы. Поэтому для повышения надежности элементов (вероятности безотказной работы) системы и, как следствие, надежности самой системы, используются различные методы резервирования [108 - 114].

Для коммуникационной сети (как и для других сложных систем, представляемых в виде графов) численный расчет ее надежности может оказаться задачей, требующей значительных временных ресурсов. По сути, построение дерева отказов для коммуникационной сети сводится к простому перебору всех возможных вариантов недостижения информационного сигнала от одной вершины до другой.

Живучесть - свойство системы, характеризующее ее способность функционировать под влиянием внешних воздействий (нагрузок), возбуждаемых в окружающей систему среде.

Изучение живучести систем возможно с помощью вероятностных моделей, в рамках современной математической теории надежности [108 - 114], и детерминистических, в рамках механики катастроф [107].

Вероятностную модель, описывающую живучесть системы, называют "нагрузка - прочность" ("нагрузка - несущая способность", "нагрузка - сопротивляемость", прочностная модель) [107]. Под действием внешней нагрузки прочность системы постепенно уменьшается до тех пор, пока система не выйдет из строя. Внешние нагрузки описываются случайной величиной (функцией) и, как правило, не приводят к скачкообразному изменению прочности системы.

Детерминистическая модель живучести системы лежит в основе механики катастроф [107]. Объектами исследований механики катастроф являются системы, испытывающие постоянные внешние воздействия (нагрузки). Простыми примерами таких систем являются инженерные конструкции. В рамках механики катастроф исследуются процессы накопления повреждений, достижения предельного (критического) состояния, реакции элементов конструкций на внешние воздействия и т.д.

Особое место в механике катастроф занимает изучение процесса закри-тического поведения элементов конструкций (систем), которое и приводит к тем или иным нежелательным событиям (авариям, катастрофам и т.д.). Элементы конструкций (систем) в своей закритической области выходят из строя, оказывают влияние на другие элементы системы, порождая тем самым внутренние для самой конструкции (системы) негативные воздействия. Внешние и внутренние воздействия приводят к последовательности отказов элементов системы, инициирующих переход системы в аварийное состояние (ЧС).

Понятие живучести широко используется и при исследовании систем со сложной структурой, таких как коммуникационные сети систем управления и систем энергетики [115]. Нарушение функционирования этих систем возможно при нарушении связности их структур. Система не может выполнять свои функции, когда не существует взаимодействия между всеми или, по крайней мере, жизненно важными элементами. "Мерой живучести" в этом случае служит минимальное число элементов системы {вершинная связность) или связей {реберная связность), выход из строя которых под влиянием внешних воздействий приводит к нарушению связности структуры системы. Внешние воздействия делят на воздействия природного [107] и техногенного [107] характера. Ко вторым относятся и воздействия, вызываемые умышленными действиями человека. Во многих случаях, при создании сложных технических систем, приходится принимать во внимание и возможность террористических актов. В зависимости от интенсивности и мощности оказываемых на систему воздействий рассматриваются нормативные (проектные) и экстремальные (сверхнормативные) нагрузки. В первом случае изучается живучесть системы в штатных (нормальных) условиях функционирования, когда переход в аварийное состояние возможен при длительном накоплении системой повреждений и достижения предельного (критического) состояния. (Подобное поведение систем описывается и методами самоорганизованной критичности [116, 117].) Во втором случае изучается живучесть системы, когда возможен относительно быстрый переход в аварийное состояние - форс-мажорные обстоятельства.

Механика катастроф занимается не столько изучением воздействий различного рода, сколько созданием аппарата перехода от воздействий к расчетным действующим нагрузкам.

Живучесть и надежность систем являются теми характеристиками, которые позволяют оценить риск возникновения чрезвычайных ситуаций при

Рис. 1. Схема развития чрезвычайных ситуаций эксплуатации сложных технических систем. Используя эти критерии, возможно обеспечение безопасности систем при чрезвычайных ситуациях или наделение системы необходимыми качественными характеристиками, не допускающими возникновения чрезвычайных ситуаций. В схеме на рис. 1 надежность и живучесть описывают переход от первого этапа ко второму. Живучесть системы предполагает тщательное описание поведения систем (в отличие от надежности) при имеющихся внешних воздействиях на систему как в докритической области (до ЧС), так и в закритической (при развитии ЧС), когда система функционирует, достигнув предельного состояния. Третий этап предполагает изучение возможных последствий ЧС на окружающую систему среду и лежит в области обеспечения безопасности систем [107].

Безопасность системы можно обеспечить различными способами: не допустить развитие ЧС в системе, не допустить выхода ЧС за пределы системы, и свести к возможному минимуму влияние аварий на окружающую систему среду.

В рамках концепции моделей, предлагаемых в работах [118 - 132], исследованы сложные технические системы, подвергнутые внешним воздействиям. Это соответствует попаданию системы в зону "форс-мажорных обстоятельств", т.е. под влияние ненормативных, непредусмотренных при проектировании системы, экстремальных нагрузок, имеющих также внезапный характер. В основе моделей лежит формально представленная структура системы, что позволяет детально воспроизвести все возможные варианты распространения внешних воздействий по элементам системы. Модели, при заданных нагрузках на некоторое множество элементов системы, вызываемых различными внешними воздействиями, определяют темп и сроки достижения системой предельного состояния.

Стойкостью [118-132] системы называют ее способность противостоять внешним воздействиям и функционировать в штатном режиме на этапе инициирования ЧС, т.е. в докритической области функционирования системы. Другими словами, стойкость - это живучесть системы в докритичес кой области функционирования под влиянием внешних ненормативных воздействий (нагрузок). Поэтому основной характеристикой стойкости системы будет служить время достижения системой предельного состояния. Увеличение этого промежутка времени будет способствовать уменьшению риска развития ЧС в системе и обеспечению ее безопасности.

В настоящей работе предлагается модель структурного разрушения сложной системы, описывающая поведение и изменение состояния многоэлементной системы со сложной структурой на II этапе развития ЧС согласно схеме, представленной на рис 1.

Краткое содержание и структура диссертационной работы

Диссертационная работа посвящена моделированию структурного разрушения сложных систем. Рассмотрены различные сценарии структурного разрушения и достижения критериев выхода системы из строя.

Публикации. По результатам выполненной работы имеется 14 публикаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, изложенных на 126 страницах, содержит 23 рисунка и библиографию из 141 наименования.

3.6. Выводы

В третьей главе обобщены результаты исследования второй главы. Проведен анализ предфрактального графа, порожденного множеством полных затравок с сохранением смежности старых ребер. Доказаны теоремы структурного разрушения предфрактального графа по пяти различным критериям:

• критерий полного разрушения сг0 (к);

• критерий связности сг, (к);

• компонентному критерию а2(к,т);

• диаметральному критерию сг3 (к, D);

• ранговому критерию <т4 (к, I).

Четыре критерия введены в первой главе и могут использоваться для исследования как простых, так и предфрактальных графов. Пятый - ранговый критерий, применим только для случая предфрактальных графов.

Особый интерес представляет процесс разрушения предфрактального графа с сохранением смежности старых ребер, в котором эпицентры находятся в вершинах разных рангов.

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: идеи, методы, примеры. -М: Физматлит, 2001.

2. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Издательство МГУ, 1983.

3. Краснощекое П. С., Петров А.А., Федоров В.В. Информатика и проектирование.-М.: Знание, 1986.

4. Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1996.

5. Тихонов А.Н., Костомаров Д. П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.

6. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

7. Моисеев Н.Н. Алгоритм развития. М.: Наука, 1987.

8. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

9. StrogatzS. Exploring complex networks// Nature. 2001. - №410. -P. 268-276.

10. Watts D.J. Small Worlds. Princeton: Princeton University Press, 1999.

11. Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of networks // Adv. Phys. 2002 -№51.-P. 1079-1187.

12. Dorogovtsev S.N., Mendes J.F.F. Evolution of networks: From Biological Nets to the Internet and WWW. Oxford: Oxford University Press, 2003.

13. AlbertR., BarabasiA. Statistical mechanics of complex networks// Reviews of Modern Physics. 2002. - № 74. - P. 47-97.

14. Емеличев B.A., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.

15. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

16. Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. Ижевск: НИЦ "РХД", 2001.

17. JloeacJI., ПлалшерМ. Прикладные задачи теории графов. Теория паро-сочетаний в математике, физике, химии. М.: Мир, 1998.

18. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984.

19. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на графах и сетях. М.: Мир, 1981.

20. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

21. Фляйншнер Г. Эйлеровы графы и смежные вопросы. М.: Мир, 2002.

22. Татт У. Теория графов. М.: Мир, 1988.

23. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974.

24. Зыков А.А. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука, 1969.

25. Берж К. Теория графов и ее применения. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

26. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968.

27. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.

28. Березина Л.Ю. Графы и их применение. М.: Просвещение, 1979.

29. Листель Р. Теория графов. Новосибирск: Издательство Института Математики, 2002.

30. МелиховА.И., БернштейнЛ.С., Курейчик В.М. Применение графов для проектирования дискретных устройств. М.: Наука, 1974.

31. СешуС., Рид М.Б. Линейные графы и электрические цепи. М.: Высш. шк., 1971.

32. Сушков Ю.А. Графы зубчатых механизмов. Д.: Машиностроение, 1983.

33. Применение теории графов связи в технике / Под ред. КернопаД., Ро-зенберга Р.-М.\ Мир, 1974.

34. Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. М.: Прогресс, 1966.

35. КочкаровР.А., КочкаровА.А. Формализация целевых программ// Модели экономических систем и информационные технологии: Сб. научныхтрудов / Под ред. О.В. Голосова. Вып. XII. М.: Финансовая академия, 2004.

36. Применение теории графов в химии / Под ред. Зефирова Н.С., Кучано-ва С. И. Новосибирск: Наука, 1988.

37. Химические приложения топологии и теории графов. Под ред. Кинга Р. М.: Мир, 1987.

38. Миркин Б.Г., Родин С.Н. Графы и гены. М.: Наука, 1977.

39. Костюкова Н.И. Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов. М.: БИНОМ, 2007.

40. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., ШварцД.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006.

41. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: ИКИ, 2002.

42. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

43. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

44. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «РХД», 2001.

45. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества. Функции, распределения. Киев: Наук, думка, 1992.

46. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

47. Фракталы в физике / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988.

48. Мелроуз Дж. Иерархические фрактальные графы и блуждания на них // Фракталы в физике / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988.-С. 519-523.

49. RiehlJ., Hespanha J.P. Fractal graph optimization algorithms// Proc. of the 44th Conf. on Decision and Contr., 2005. P. 2188-2193.

50. Schulman L.S., Gaveau В. Complex systems under stochastic dynamics // Att. Fond. G. Ronchi, 2003. V. LVIII, № 805.

51. Li L., AldersonD., TanakaR., Doyle J. C., Willinger W. Towards a Theory of Scale-Free Graphs: Definition, Properties, and Implications (Extended Version) // Technical Report CIT-CDS-04-006, Cal Tech, 2005.

52. Bollt E.M., ben-Avraham D. What is Special about Diffusion on Scale-Free Nets? // New J. Phys., 2005. V. 7, № 26. - P. 1-21.

53. KronB. Green functions on self-similar graphs and bounds for the spectrum of the Laplacian // Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 52(6): 1875-1900, 2002.

54. Kron B. Growth of self-similar graphs // J. Graph Theory, 45(3):224-239, 2004.

55. Kron В., Teufl E. Asymptotics of the transition probabilities of the simple random walk on self-similar graphs // Trans. Amer. Math. Soc., 356(1):393—414, 2004.

56. Malozemov L., Teplyaev A. Pure point spectrum of the Laplacians on fractal graphs//J. Funct. Anal., 129(2):390^05, 1995.

57. WoessW. Random walks on infinite graphs and groups/ Volume 138 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

58. Barlow M.T. Diffusions on fractals / Lectures on probability theory and statistics. Springer Verlag, Berlin, 1998. P. 1-121.

59. KigamiJ. Analysis on fractals / Volume 143 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

60. Song C., Havlin S., Mabe H.A. Self-similarity of Complex Networks // Nature 433, 392-395 (2005).

61. КочкаровА.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН САО, 1998.

62. Салпагаров С.И., Кочкаров A.M. Распознавание предфрактального графа с полной двудольной затравкой. Черкесск, КЧГТА, 2003, Деп. в ВИНИТИ, №2322-В2003. С. 1-43.

63. Кочкаров А.А. Число всевозможных предфрактальных графов. // IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Тез. докл., том 2. Кисловодск: КИЭП, 2000. С. 73 -74.

64. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. Исследование связности предфрактальных графов. // IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Тез. докл., том 2. Кисловодск: КИЭП, 2000.-С. 74-75.

65. Кочкаров А.А. Число точек сочленения предфрактального графа. //Вторая международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Тез. докл. Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2001.

66. Кочкаров А.А. Плоские и планарные предфрактальные графы. // V Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Тез. докл. Кисловодск: КИЭП, 2002. С. 35 - 35.

67. Кочкаров А.А., Салпагаров С.И. Число мостов предфрактального графа. // V Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Тез. докл. Кисловодск: КИЭП, 2002. С. 36 -37.

68. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. О критериях планарности фрактальных графов. // Труды XLVI научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. М.: МФТИ, 2003.-С. 186- 186.

69. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. Предфрактальные графы в проектировании и анализе сложных структур. Препринт. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №10, 2003.

70. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. О планарности и других топологических свойствах фрактальных графов. Препринт. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №83,2003.

71. Кочкаров A.M. Хроматическое число и хроматический индекс фрактальных графов. // Республиканская конференция преподавателей и аспирантов КЧТИ. Тез. докл. Черкесск: КЧТИ, 1997. С.56 - 57.

72. Кочкаров A.M. Топологические характеристики теоретико-графовой модели крупномасштабной кластеризации материи во Вселенной. Препринт. РАН С АО. Нижний Архыз. 1998. С. 1 - 6.

73. Кочкаров A.M., Перепелица В.А. Число внутренней устойчивости предфрактального и фрактального графа. Сб. статей. РАН САО. 1999.

74. Kochkarov A., Perepelitsa V. Fractal Graphs and Their Properties. // ICM 1998 Berlin, International Congress of Mathematicians, Abstracts of Short Communications and Posters, p. 347.

75. Кочкаров A.M., Перепелица В.А. О гамильтоновости фрактальных графов. //Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Тез. докл. Нальчик: НИИ ПМиА КБНЦ РАН, 1996. С.52-53.

76. Айбазов Б.А., Кочкаров A.M. Экономико-математическая модель с виртуальными каналами// IV Научно-практическая конференция "Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности". Труд. конф. Черкесск: КЧТИ, 2002.

77. Павлов Д.А. Нахождение диаметральной простой цепи на фрактальном и предфрактальном графах// XVI Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-16". Сб. труд. - С.-Пб.: СПбГТИ, 2004.

78. Павлов Д.А. Полиномиальный алгоритм нахождения максимального па-росочетания на предфрактальных графах// XVII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-17". Сб. труд. Кострома: КГТУ, 2004.

79. Салпагаров С.И. Задача о назначениях на фрактальных и предфрактальных графах. Многокритериальная постановка. Черкесск, КЧГТА, 2003, Деп. в ВИНИТИ, №2323-В2003. С. 1-34.

80. Кочкаров Р.А., Салпагаров С.И. Полиномиальные быстрые алгоритмы нахождения остовного дерева минимального веса. Черкесск, Карачаево-Черкесская Гос. Технолог. Ак., 2002. Деп. в ВИНИТИ, №437-В2002. -С. 1-75.

81. Батчаев И.З. Об одной многокритериальной задаче покрытия предфрактальных графов звездами одного рангового типа // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. Т. 8, № 1. - С. 1-5.

82. Коркмазова 3.0., Кочкаров А.А. Эйлеровы предфрактальные графы// Известия ТРТУ. Специальный выпуск. Таганрог, 2004. - № 8. -С. 304-305.

83. Коркмазова 3.0., Кочкаров А.А. Максимальный Эйлеров подграф// Материалы XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов за 2004 год. Ставрополь: СевКавГТУ, 2005. С. -.

84. Коршазова З.О. Многокритериальная задача разбиения на эйлеровые подграфы предфрактального графа. Черкесск, Карачаево-Черкесская Гос. Технолог. Ак., 2004. Деп. в ВИНИТИ № 1729-В2004. С. 1-25.

85. Коршазова З.О. Параллельный алгоритм вычисления задачи Эйлера на предфрактальных графах. Черкесск, Карачаево-Черкесская Гос. Технолог. Ак., 2004. Деп. в ВИНИТИ № 1730-В2004. С. 1-20.

86. Коршазова З.О. Выделение максимальных эйлеровых подграфов на предфрактальном графе. Черкесск, Карачаево-Черкесская Гос. Технолог. Ак., 2004. Деп. в ВИНИТИ № 1731-В2004. С. 1-25.

87. Коркмазова З.О., Кочкаров Р.А. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа эйлеровыми подграфами: Препринт Спец. астрофиз. обсерватории РАН № 208. Нижний Архыз, 2005. 15 с.

88. Коркмазова 3.0., Кочкаров Р.А. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа эйлеровыми подграфами Препринт Спец. астрофиз. обсерватории РАН № 209. Нижний Архыз, 2005. 27 с.

89. Кононова Н.В., Кочкаров A.M. Алгоритм раскраски предфрактального (п, £)-графа // Материалы VIII региональной научно-технической конференции "Вузовская наука Северо-Кавказскому региону". Том I. Ставрополь: СевКавГТУ, 2004.-С. 14-14.

90. Острейкоеский В. А. Теория надежности. М.: Высшая школа, 2003.

91. Райншке К. Модели надежности и чувствительности систем. М.: Мир, 1979.

92. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. М.: Советское радио, 1969.

93. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытание на безотказность. М.: Наука, 1984.1\2. Куюнджич С.М. Разработка и анализ моделей надежности и безопасности систем. М.: Физматлит, 2001.

94. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988.

95. ХА.Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. -СПб.: Политехника, 2000.

96. Моделирование живучести систем энергетики: методология, модель, реализация. Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1986.

97. П6.МалинецкийГ.Г., ПотаповА.Б., ПодлазовА.В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. -М.: КомКнига, 2006.

98. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

99. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Стойкость, управление риском и обеспечение безопасности сложных технических систем // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций. -2005. № 4. - С. 12-25.

100. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Обеспечение стойкости сложных систем. Структурные аспекты: . М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 53, 2003.

101. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Стойкость и обоснование стойкости сложных технических и социально-технических систем // Труды XI Meждународной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем". Часть 1. М.: РГГУ, 2003. С 50-53.

102. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Концепция стойкости для социально-экономических и технических систем // Труды Международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики". М.: РГСУ, 2004. С. 151-154.

103. Кочкаров А.А. Стойкость и моделирование систем, находящихся в условиях внешних воздействий // Труды XLVII научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть VII. М.: МФТИ, 2004. С. 190-190.

104. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Моделирование стойкости сложных технических систем // Труды XII Международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем". М.: РГГУ, 2004. -С. 348-352.

105. Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Моделирование распространения внешних воздействий по структуре сложной системы // Математическое моделирование. 2006. - Т. 18, № 2. - С. 51 -60.

106. КочкаровА.А. Стойкость, графы, синергетика// Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение: Сб. статей. Часть 2 / Под ред. Г.Г. Малжецкого. М.: Радиотехника, 2006. - С. 3-18.

107. Кочкаров А.А. Стойкость, графы, синергетика// Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение: Сб. статей / Под ред. Г.Г. Малинецкого. М.: Наука, 2007. - С. 187-202.