автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретические основы нестационарного анизотропного математического моделирования неоднородностей систем минерального сырья

На правах рукописи

РЕДЬКИН ГЕННАДИИ МИХАИЛОВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НЕСТАЦИОНАРНОГО АНИЗОТРОПНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ СИСТЕМ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

2 ии3459676

Белгород - 2008

003459676

Работа выполнена в Белгородском государственном технологическом университете имени В.Г. Шухова

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Гридчин Анатолий Митрофанович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Боровский Д.И.; доктор физико-математических наук, профессор Брусенцев А.Г.; доктор геолого-минералогических наук, профессор Дунаев В.А.

Ведущая организация - Белгородский государственный университет

Защита диссертации состоится « 20 » февраля 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного Совета Д-212.014.06 при Белгородском государственном технологическом университете имени В.Г. Шухова по адресу: 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова

Автореферат разослан « 18 » января 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета^

анд. техн. наук, доц. Дуюн Т.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В процессе разработки месторождений полезных ископаемых попутно добывают миллиарды кубометров вмещающих горных пород. Однако, рациональное и эффективное использование полезных ископаемых и данных пород возможно в том случае, когда при проектировании, добыче и переработке используется наиболее полная и достоверная информация о полезных ископаемых и вмещающих их горных породах. Носителями такой информации и ее дополнительными источниками являются математические модели месторождений - одни из основных инструментов системных исследований и изучения свойств геологических объектов.

Большой вклад в математическое моделирование месторождений полезных ископаемых внесли: П.П. Бастан, С.А. Батугин, Д.И. Боровский, В.А. Букринский, Г.И. Вилесов, А.Б. Вистелиус, A.B. Гальянов, В.М. Гудков, В.А. Дунаев, А.Б. Каждан, Д.А. Казаковский, В.М. Ка-линченко, Н.Г. Келль, В.И. Кузьмин, A.M. Марголин, Ж.Матерон, С.Э. Мининг, З.Д. Низгурецкий, В.Н. Попов, В.В. Руденко, П.А. Рыжов, П.К. Соболевский, В.И. Снетков, И.Н. Ушаков, Л.И. Четвериков и др..

Вместе с тем предшествующие математические модели не учитывают анизотропии свойств запасов минерального сырья. Настоящая работа является продолжением, развитием и обобщением проведенных ранее исследований, она выполнена в формате системного подхода и отражает анизотропные структуры показателей месторождений полезных ископаемых и попутно добываемых горных пород, что повышает достоверность моделирования и служит важным фактором эффективного использования запасов минерального сырья.

Объект исследований. Системы неоднородностей: пространственного оруденения месторождений полезных ископаемых; трещиновато-сти массивов горных пород; структурно-текстурного строения вмещающих попутно добываемых анизотропных горных пород.

Предмет исследований. Индуцированные данными неоднородно-стями анизотропные структуры: изменчивости геологических показателей оруденения, размещенных в пространстве недр; интенсивности трещиноватости массивов горных пород; физико-механических свойств попутно добываемых вмещающих горных пород.

Цель исследований: повышение эффективности использования месторождений полезных ископаемых и попутно добываемых вмещающих горных пород, создание основ для оптимального планирования качественных показателей и проектирования разработки минерального сырья, оптимизации параметров производства и эффективности его управления в оптимальном режиме.

Основные задачи исследований:

• на базе анализа современного состояния проблемы рационального и комплексного использования недр сформулировать в формате системного анализа основные подходы и принципы построения математических моделей систем минерального сырья;

• данные принципы положить в основу разработки классификации математических моделей систем минерального сырья, в соответствие с которой дать анализ существующих классов математических моделей;

• исследовать зависимость эффективности использования минерального сырья от точности определения неуправляемых (природных) и управляемых (зависящих от деятельности человека) параметров производства;

• разработать обобщенные двойные ряды Фурье и методику определения математических ожиданий геологических показателей;

• разработать класс нестационарных анизотропных математических моделей пространственной изменчивости геологических показателей, в котором решить проблемы дискретного анизотропного крайгинга, регуляризации корреляционных функций, дисперсии средних значений геологических показателей в блоках, оптимизации объема геологоразведочных работ;

• разработать класс статистико-анизотропных математических моделей физико-механических параметров и трещиноватости массивов горных пород, в котором установить показатели структурной раздробленности данных массивов и разработать математические модели дезинтеграции горных пород при разных технологиях дробления и прочностных показателей конструктивных слоев дорожных одежд из щебня пластинчатой формы.

Ведущей идеей анизотропного математического моделирования является векторное представление исследуемого показателя с последующим переходом к квадрату проекции вектора (либо к ее модулю) на произвольное направление, который выражается через квадратную симметричную неособенную матрицу - тензор второго ранга. Полученный тензор описывает значения моделируемого показателя по любым направлениям и поэтому является более информативным математическим выражением, чем традиционно используемые числовые характеристики показателей - тензоры нулевого ранга.

Научная новизна исследований заключается в разработке:

• классификации математических моделей систем минерального сырья по виду функций связей между значениями показателей и закономерностей их пространственного размещения;

• выражений для определения ущерба в зависимости от точности работы предприятия в оптимальном режиме;

• обобщенных двойного ряда и коэффициентов Фурье, позволяющих аппроксимировать любое количество данных опробования, размещенных в геометрических базах произвольной конфигурации, и обобщения метода наименьших квадратов по увеличению числа аппроксимирующих функций;

• совокупных характеристик коррелированной и координированной изменчивостей, выраженных тензорами второго ранга и отражающих анизотропные структуры полей значений геологических показателей с учетом взаимосвязи этих значений между направлениями в пространстве;

• показателей анизотропии, представляющих собой экстремальные значения и направления изменчивости параметров месторождений;

• дискретного анизотропного крайгинга, формул регуляризации коррелированных функций, дисперсии среднего значения в блоке, критерия оптимизации объема геолого-разведочных работ;

• тензоров второго ранга средних, среднеквадратичных значений и дисперсий показателей, которые определяют тензоро-статистические модели анизотропии физико-механических параметров пород слоистой, сланцеватой, полосчатой текстур;

• математического ожидания, дисперсии, экстремумов интенсивности трещиноватости массива горных пород и формы, ориентировки в пространстве, размеров средней естественной отдельности, блочности массива горных пород;

• семейств плотностей вероятностей распределений направлений воздействия разрушающей нагрузки в камерах дробления и ориентировок щебня пластинчатой формы в конструктивных слоях дорожных одежд;

• моделей выхода лещадных зерен при разных технологиях дробления и прочностных показателей конструктивных слоев дорожных одежд.

Методы исследований представлены научным анализом и обобщением результатов предшествующих исследований в области изучения и математического моделирования месторождений полезных ископаемых и попутно добываемых вмещающих анизотропных горных пород; методами горной и аналитической геометрий, линейной и векторной алгебр, тензорного исчисления, математического и системного анализов, математической статистики и теориями классификаций, аппроксимаций, погрешностей, матриц, вероятностей, случайных функций; вероятностно-статистическим анализом замеров качественных и

физико-механических показателей минерального сырья с использованием ЭВМ.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Принципы построения и классификация математических моделей систем минерального сырья.

2. Тензоры совокупных характеристик коррелированной и координированной изменчивостей геологических показателей, порождающие класс нестационарных анизотропных моделей.

3. Методы определений: дискретного анизотропного крайгинга; регуляризации корреляционных функций и дисперсий средних значений в блоках; оптимизации объема геолого-разведочных работ.

4. Тензоры среднеквадратичных, средних значений, дисперсий значений показателей анизотропного сырья и интенсивности трещиновато-сти массива горных пород, индуцирующие класс статистико-анизотропных математических моделей.

5. Статистико-анизотропные модели показателей структурной раздробленности массивов горных пород, выхода зерен пластинчатой формы при разных технологиях дробления и прочностно-деформационных показателей конструктивных слоев дорожных одежд на анизотропном щебне.

6. Ортонормированная в геометрических базах произвольной конфигурации система тригонометрических функций и построенные на ее основе обобщенные двойные ряды Фурье.

7. Методика аналитического определения математических ожиданий закономерностей пространственного размещения геологических показателей.

8. Методика определения эффекта деятельности предприятия от повышения точности его работы в оптимальном режиме.

Достоверность научных положений, результатов и выводов обоснована использованием результатов моделирования анизотропной структуры изменчивости компонентов Ковдорского месторождения при определении направлений максимальной однородности рудного сырья и рациональных параметров сети эксплуатационной разведки, внедренных в производство на Ковдорском ГОКе; совпадением направлений наименьших изменчивостей содержаний Ре и тектонических нарушений; сопоставимостью полученных результатов с геометрическим моделированием интенсивности трещиноватости и анизотропии изменчивости параметров залежи.

Практическая значимость и реализация результатов исследований. Разработанные методика определения эффекта деятельности предприятия от повышения точности его работы в оптимальном режи-

ме позволяет решать проблемы оптимального управления производством, оптимальной точности измерений, экономической эффективности новой измерительной техники; обобщенные двойной ряд и коэффициенты Фурье позволяют определять математические ожидания (геометризацию) пространственного размещения концентраций оруденения в недрах, используемые при расчете кондиций на рудоминеральное сырье, оконтуривании и подсчете запасов, проектировании схемы вскрытия, порядка отработки и систем разработки, долгосрочном и оперативном планировании (проектировании) горных работ, нормировании запасов по степени их подготовленности, стабилизации качества сырья; тензоры совокупных характеристик координированной и коррелированной изменчивостей показателей, лежат в основе определения рациональных параметров разведочных сетей, направлений добычных работ, обеспечивающих максимальную однородность рудного сырья, и решения в формате класса нестационарных анизотропных моделей проблем оценок (дискретный анизотропный крайгинг) ковариаций и погрешностей оценок качественных показателей, необходимых для оптимизации параметров производства и определения эффективности его управления в оптимальном режиме; тензоро-вероятностная модель анизотропии интенсивности трещиноватости массива горных пород определяет ориентировку в пространстве и линейные размеры средней естественной отдельности и позволяет дополнительно найти следующие показатели структурной раздробленности: блочность, среднюю интенсивность трещиноватости, среднюю площадь сечения средней естественной отдельности, которые в совокупности влияют на анизотропию физико-механических параметров попутно-добываемых горных пород, на разрушаемость и дробимость используемых материалов, на рациональное освоение строительного, поделочного, облицовочного и декоративного камня; статистико-анизотропная модель выхода зерен пластинчатой формы, отражая минералогический состав, структурно-текстурное строение дробимого материала, способы и технологии дробления, определяет выходы лещадных зерен при дезинтеграции горных пород как известными щековыми, конусными, валковыми, молотковыми дробилками, так и при использовании новых технических решений; статистико-анизотропная модель конструктивных слоев дорожных одежд, описывая анизотропию показателей щебня пластинчатой формы, структуру его размещения в слое, степень уплотнения и расклинцовки последнего, определяет значения прочностно- деформационных показателей конструктивных слоев и может быть положена в основу проектирования дорожных одежд на анизотропном щебне.

Использование результатов моделирования анизотропной структуры изменчивости компонентов Ковдорского месторождения при отработке его участков в направлениях максимальной однородности рудного сырья и внедрение рациональных параметров сети эксплуатационной разведки на Ковдорском ГОКе позволило получить годовой экономический эффект в размере 113,7 тыс. руб., а управление горными работами в приконтактной зоне в режиме технического решения дало экономический эффект 500 тыс. руб. (эффекты в ценах 1981 года).

Статистико-анизотропная модель выхода лещадных зерен при дроблении горных пород использована при разработке пресс-валкового агрегата (решение РОСПАТЕНТа о выдаче патента на изобретение по заявке № 2007112760/03(013856) от 05.04.2007 года), который внедрен в технологическую линию производства силикатного кирпича ОАО «КСМ» с годовым экономическим эффектом 427788 рублей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили одобрение на конференции маркшейдеров КМА «Новые методы и технические средства производства маркшейдерских работ» (г.Белгород, ВИОГЕМ, 1975 г.); научно-технической конференции молодых ученых и специалистов по вопросам развития КМА (г.Белгород, ВИОГЕМ, 1976 г.); Всесоюзном совещании «Задачи геологической и маркшейдерской служб отрасли в области улучшения использования полезных ископаемых и усиления охраны недр» (г.Белгород, ВИОГЕМ, 1977г.); XXII научно-технической конференции (Москва, ВЗПИ, 1978 г.); 17-м Международном симпозиуме по применению ЭВМ и математических методов в горных отраслях промышленности (СССР, Москва, 1980 г.); заседаниях кафедры маркшейдерского дела и геодезии (Москва, ВЗПИ, 1976, 1978 г.г.); горной секции научно-технического совета Ковдорского ГОКа (г.Ковдор, КГОК, 1981 г.); НТС института ВИОГЕМ; Всесоюзном научно-техническом совещании «Научно-технические проблемы повышения эффективности работ и совершенствования маркшейдерской службы на горных предприятиях страны» (г.Свердловск, 1984 г.); Всесоюзной конференции «Фундаментальные исследования и новые технологии в строительном материаловедении» (г.Белгород, БТИСМ, 1989 г.); Всесоюзной конференции «Физико-химические проблемы материаловедения и новые технологии» (г.Белгород, БТИСМ, 1991 г.); Международной конференции «Ресурсосберегающие технологии строительных материалов изделий и конструкций» (г.Белгород, БТИСМ, 1993 г.); Международной конференции «Ресурсо - и энергосберегающие технологии строительных материалов, изделий и конструкций» (г.Белгород, РААСН, Бел-ГТАСМ, 1995 г.); Международной научно-технической конференции «Проблемы информатики и моделирования» (г.Харьков, НАНУ, НТУ «ХПИ», 2001 г.); Международной научно-практической конференции «Рациональные энергосберегающие конструкции, здания и сооружения в строительстве и коммунальном хозяйстве» (г.Белгород, РААСН. БелГТАСМ, 2002 г.); Международном конгрессе «Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии», посвященном 150-летию В.Г. Шухова (г.Белгород, БелГТУ, 2003 г.); Восьмых академических чтениях РААСН «Современное состояние и перспектива развития строительного материаловедения» (г.Самара, РААСН, СГАСУ, 2004 г.); Международной конференции «Геомеханика, механика подземных сооружений» (г.Тула, РАЕН, ТулГУ, 2005 г.); Международной научно-практической конференции «Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии» (г.Белгород, РААСН, БелГТУ, 2005 г.); Девятых академических чтениях РААСН «Новые научные направления строительного материало-

ведения» (г.Белгород, РААСН, БелГГУ, 2005 г.); научном симпозиуме «Неделя горняка -2006» (Москва, ИПКОН РАН-МГГУ, 2006 г.); Международной научно-практической конференции «Научные исследования, наносистемы и ресурсосберегающие технологии в стройиндустрии» (г.Белгород, РЛАСН, БелГТУ, 2007 г.); научном симпозиуме «Неделя горняка - 2008» (Москва, ИПКОН РАН - МГГУ, 2008 г.); общем собрании РААСН «Здоровье населения - стратегия развития среды жизнедеятельности» (г. Белгород, РААСН, БелГТУ, 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 69 научных работ, в том числе 3 монографии, 2 авторских свидетельства, решение о выдаче патента на изобретение, 19 публикаций в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 8 глав, заключения, списка используемой литературы, приложений, включая 50 рис. и 58 табл. Работа изложена на 415 стр. машинописного текста, содержит 368 стр. основного текста, список литературы из 297 наименований на 22 стр., 11 приложений на 25 стр..

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы диссертации, научная новизна, выносимые на защиту научные положения; определены объект, предмет, цель, задачи, ведущая идея, методы исследования; изложены практическая значимость, достоверность, апробация результатов исследований.

В первой главе дан анализ проблемы математического моделирования месторождений полезных ископаемых и попутно добываемых вмещающих анизотропных горных пород.

В соответствии с основными положениями системного подхода и теории систем разработаны понятия состояние месторождения, последовательность поведения состояний месторождения и система рационального и комплексного использования минерального сырья, которая в теоретико-множественных символах имеет вид

5 = (С,ес)Д,Л/,Л',К,г = Ф(*,К))» О)

где множества: С - объект исследований; <2С,Л * предмет исследований; М - математические модели объекта исследований, описывающие анизотропные структуры свойств ()с и связей Я элементов С; X У - средства достижения цели на основе математической модели объекта и представляющие собой значения соответственно неуправляемых и управляемых переменных; 2~Ф(Х, У) - целевая функция, связывающая цель (полезность) исследования со средствами её достижения, такой функцией может быть прибыль, объём товарной продукции, себестоимость продукции, приведенные затраты и др..

В формате системы (I) рассмотрены детерминированный, вероятностный, системный подходы и разработаны принципы математического моделирования геологических объектов, заключающихся в выборе и использовании дополнительных условий или предположений двух родов о свойствах изучаемых показателей, которые являются результатами практических исследований, априорных или эвристических соображений. К первому роду отнесены предположения о закономерностях пространственного размещения геологических показателей. Ко второму роду отнесены предположения о связях между значениями геологических показателей.

Дополнительные предположения двух родов положены в основу разработанной классификации математических моделей систем минерального сырья, которая представляет собой таблицу с двумя входами или матрицу-классификацию (табл. 1). Отношение эквивалентности между моделями установлено по виду функций F связей между значениями показателей и виду закономерностей М{х) (математических ожиданий) размещения геологических показателей в пространстве. Функции связей F разбивают всё множество математических моделей

на классы (столбцы матрицы), а закономерности М(х) выделяют в классах уровни моделирования (строки матрицы). Пересечение ¡'-го класса и к -го уровня образует тип i. к модели (клетку матрицы). Разработанная классификация, в отличие от существующих, удовлетворяет всем свойствам теории классификаций, это взаимно однозначное соответствие между реально существующими моделями и типами ¡.к моделей (клетками матрицы) и полнота классификации. Классификации необходимы исследователям для облегчения выбора модели при изучении объекта. В соответствии с классификацией проведен анализ существующих моделей и выявлены условия их применения.

Рассмотренные классы математических моделей не отражают анизотропную структуру свойств месторождений минерального сырья. Поэтому актуально создание нестационарных анизотропных моделей, которые учитывают анизотропные структуры значений и связей между значениями геологических показателей. Комплексный учет широкого круга существенных свойств исследуемых показателей повышает достоверность их оценок и погрешностей оценок, что является важным фактором эффективного использования запасов полезных ископаемых и вмещающих горных пород.

Таблица 1

КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ

Уровни моде.пеи Классы моделей

1. Детерминированные Я=0 2. Статистические =0 3. Конечно- ралюст- ные =1 4. Рааиостно- статисти- ческне 5. Стационарные 6. Иерархические Ш-Ш" ю 7. Миогофак-торные регрессионные 8. Статистико- аиизотроп- ные =0, но У. Нестационарные анизотропные

М/(х)=С = сопх1 1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1

2- М/{х)~ ах + Ьу + с- 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 7.2 8.2 9.2

л/гй- I 0 1.3 2.3 3.3 4.3 5.3 6.3 7.3 8.3 9.3

4' £«*<»(*,У,Л) к-1 1.4 2.4 3.4 5.4 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 ...

5 \ п< 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 1 9.5

6. лу (*)=/(*) 1.6 2.6 3.6 4.6 5.6 6.6 7.6 8.6 9.6

/ = 1,2 ,...;т 1.7 2.7 3.7 4.7 5.7 6.7 7.7 8.7 9.7

... ... ... ... ...

Вторая глава посвящена разработке методики определения экономической эффективности предприятия в зависимости от повышения точности его деятельности в оптимальном режиме. Суть проблемы рассмотрим на простом примере.

Пусть оптимальный режим производства достигается при максимуме целевой функции от двух переменных г = Ф(х;у)> гДе параметр *

определяется природными свойствами или условиями производства и не может быть изменен в процессе управления (неуправляемая переменная), а у в пределах существующих ограничений выбирается таким, чтобы обеспечивался необходимый оптимум (управляемая переменная) (рис.1).

хф(х,у)

Рис. 1. Схема для расчета эффекта Э от повышения точности определения параметров х, у, где стандарты

<т2(х)«х,(*)> а2М«Т1(у)> а /ы -кривая оптимумов, в которой целевая функция принимает максимальные значения , .

ф(*;У(*))= тахФ(л,у)

Тогда, из рис. 1 следует, что двум режимам работы предприятия менее точному - область ^-уЦ«^) и более точному -

область \у-уЦ<(ф^ отвечают соответственно ущербы

У, = Л/тахФ(*,у;£>,*)- А/Ф(л,у; Ддг, Ду)' у, = МтахФ{х,у,02х)~ МФ(х,у,02х,02у) У у

и эффект от повышения точности управления в оптимальном режиме

Э = У,-Г2- (2)

Проблема определения ущерба от погрешности деятельности предприятия в оптимальном режиме решена в общем виде и представляет выражение

У = Мтахф(х,>>)- Ж>(х-у)=--Ц £(с„ + Э^йх, -

> )' I

«-1 п 1л и—1 П т т-\ т (3)

+ I +Э,к/2)КхЛ +-£ X I ь„Ку,у,.

1=1*=/+1 ■г/=2*=У-1 /=1>=1 у-11.,-1

где х = (х1,хг,...,х„)> у = (у, у2 у ) ' вект°Ры соответственно неуправляемых и управляемых переменных; Их,, йур Кх, хк, Кх, у„ Ку, у! - дисперсии и ковариации неуправляемых и управляемых переменных.

Разработанная методика (2), (3) позволяет установить влияние всех переменных на величину ущерба и выявить факторы существенно влияющие на эффективность работы предприятия.

Наряду с решением проблемы эффективности управления производством в оптимальном режиме, аналогичным образом по методике (2), (3) решаются задачи оптимальной точности измерений, экономической эффективности новой измерительной техники и др.. Для этого необходимы, как следует из формулы (3) значения математических ожиданий, ковариаций и дисперсий параметров производства. Данные характеристики принимают наиболее достоверные значения в классе статистико-анизотропных и нестационарных анизотропных моделей (табл. 1), разработке которых и посвящены настоящие исследования.

В третьей главе разработана методика определения математических ожиданий закономерностей пространственного размещения геологических показателей, применимая, согласно классификации (табл. 1), для построения всех уровней моделей.

Реализация дополнительных предложений первого рода во всех классах математических моделей систем минерального сырья (табл. 1) заключается в определении математического ожидания д/ = М/ (х)

геологического показателя уф в точках исследуемого пространства

хев, и имеет три аспекта.

Первый аспект состоит в выборе, на основе практических исследований неоднородностей оруденения, аппроксимирующих функций. В зависимости от особенностей пространственного размещения показателей минерального сырья используют в качестве аппроксимирующих функций константы, линейные, полиноминальные, дробно-полиноминальные, гармонические, топофункции и др., которые определяют уровни моделей (табл. 1).

Второй аспект является содержанием основной задачи теории аппроксимации, которая заключается в определении значений параметров аппроксимирующей функции, минимизирующих уклонение от значений исследуемого геологического показателя. Его решают либо по методу наименьших квадратов (МНК), либо по методу Фурье.

Применение МНК ограничено плохой обусловленностью системы нормальных уравнений, превышающей пятый порядок. Это не позволяет удовлетворительно аппроксимировать достаточно большое количество экспериментальных данных.

Метод Фурье имеет преимущества по сравнению с МНК, им можно аппроксимировать любое количество экспериментальных данных и увеличение аппроксимирующего ряда происходит за счет добавления новых коэффициентов, еще не участвовавших в приближении, и отпа-

дает необходимость в пересчете ранее найденных коэффициентов, обязательном при приближении по МНК. Однако, в методе Фурье необходимо наличие полной ортонормированной в аппроксимируемой области недр системы функций.

Автором разработано обобщение МНК по увеличению числа аппроксимирующих функций, которое расширяет применение МНК и позволяет аппроксимировать любое количество экспериментальных данных.

Третий аспект определения математического ожидания состоит в нахождении оптимального набора параметров аппроксимирующей функции. Его решают по методам группового учета аргументов (МГУА), Р.И. Дубова, и по минимуму остаточной дисперсии с учетом степеней свободы. Данные методы на практике доказали свою эффективность и широко используется в исследованиях. Однако наиболее теоретически обоснованным и дающим единственное решение является третий метод.

Четвертая глава посвящена разработке обобщенных двойных рядов Фурье, применимых для определения математических ожиданий закономерностей пространственного размещения геологических показателей в областях произвольной конфигурации и большого количества данных опробования.

В формате методики определения математического ожидания (глава 3) первый и второй аспекты реализованы разработкой в произвольной конфигурации области а<у<е, <р(у)-х-у{у)} °РТ0"

нормированного канонического базиса, на основе которого определены обобщенные двойной ряд и коэффициенты Фурье показателя

с = /(у; х)

,, ч 1 £ ( 2як 2 л/

/Су;*)= / , =г 2 "я а*/«И-уск-

<¥\У)-Ч>\у)к,ыо V е-а V

УЬ>)~Ч>Ь)

2лк га . 2лк гы

+ Рч сем-у ■ 51П ~ х + г и ИП-у ■ СС« X

е-а У(у)-<рЬ>) в~а У\У)~ЧЛУ)

. . 2як . 2 тА

+ Ю-у-ПП-

в-а Ч'{у)~<р{у)

(4)

4 Ау-х) 2лк 2x1

ак1=-—| { т-Т Г'"ТТС03-усоз--———х сЫу,

в-аа?мЧ¥(у)-<р{у) Ч'КУУ'РКУ) 4 .V (у) /(>.;л) 2тгк . Ы Ры=-\ I ГУ : ^соя--у ят-—--—х-(Ьс1у,

4 /(у;л) . ш га У И =-1 ! -У' С0&~Т~\—Г\хсЫу'

4 «!"(>') г(гх\ 2лк . 2тА , ^ =-1 1 ' ---у^т-—-—хсЫ(1у

в-а<,гЬ )Ы¥\у)-Ч>\у) в~а чЛу)~-<р{у)

где vu={0,25 при k=l=0; 0,5 при к>0, 1=0 или к=0,1>0; 1 при к>0, 1>0}.

Пятая глава посвящена разработке класса нестационарных анизотропных моделей изменчивости геологических показателей (табл. 1). В соответствии с ведущей идеей исследований, отклонение значения геологического показателя е„в точке опробования, принадлежащей

/-му профилю, параллельному оси 0у, иу-му профилю, параллельному оси Ох, представлено в векторной форме

Ас. = (AJcIJ;bycIJ-,), (6)

где д^ =c,j-c . > = Су - с,, а ~С/, c¡- средние значения показателя соответственно по j-му и i-му профилям.

Проекцию вектор-отклонения (6) на произвольное направление п = (cosa; sin a) возведем в квадрат, просуммируем по i и по j, разделим на число данных опробования и получим порождающую класс нестационарных анизотропных моделей корреляционную функцию

VÍU Л ~r<uVT í JKvW feos «у W

где K{h) - тензор совокупной характеристики коррелированной изменчивости, отражающий анизотропную структуру поля значений геологического показателя с учетом взаимосвязи этих значений между направлениями в пространстве; - расстояние между точками

хи х2 пространства недр; К ^ к (Л) - корреляционные функции,

характеризующие связи между значениями геологического показателя в зависимости от шага и соответственно в направлениях осей Ох и Оу; к (h)=к (Л) " ковариационные функции, характеризующие связи значений показателя между направлениями в пространстве.

Приведение тензора к^ к главным осям определяет показатели анизотропии: наибольшее и наименьшее значения коррелированной изменчивости

_ К„{!,) +К„(h)^ 1{Л„(/0-Х„(>>))\ „2

и направления достижения этих значений

и позволяет в системе главных осей привести тензор к диагональному виду, а корреляционную функцию (7) к наиболее простой канонической форме

Ли Л ~ ( ' ■ 0 Л

а/, }=п к (п) п ; 5шаЛ ] 1 ^

\Stnah

О ¿2 ('<) |

Перемножая матрицы в равенстве (8), получим корреляционную функцию в функциональном виде

к(A; ah')= ^(h)cos2а,', + ^(A)sin2а,,' - СО

которая для каждого И равна квадрату уравнения подеры эллипса с полуосями дщ щь) (Рис.2).

Для решения проблемы исследования анизотропии изменчивости совокупности р геологических показателей, совместно размещенных в

геометрическом поле месторождения, разработано обобщение корреляционной функции (7).

В формате данного класса решена проблема моделирования анизотропии координированной изменчивости, которая выражается средне квадратическим значением производной математического ожидания закономерностей размещения в пространстве геологического показателя по любому направлению ё = (cosa; cos/7; cosy)

4) А

e-J-e =

(cos a; cos P; cosy)-

[j2x] [j J ] [JXJ2

[jyjx\ \ji\ [J j

tvJ [jzjy] k2]

cosa cos/} cosy

(10)

где

- средние значения по геометрическо-

му полю V выражений, стоящих в квадратных скобках;

_/,Я=эл4)/эу " частные производные по переменным величинам х и у математического ожидания м(й)> где Z=(x,yz) ' точка

поля V. Остальные элементы тензора У имеют аналогичный смысл.

Подобно (7), (8) приведение тензора J к главным осям определяет направления наибольших и наименьших изменчивостей, экстремальные значения координированной изменчивости геологического показателя по этим направлениям и позволяет в системе главных осей представить показатель (10) в канонической форме, переход от которой

к функциональному выражению дает уравнение подероида в пространстве

j(e)= cos2 а' + Л2 cos2 /}' + Л3 cos2/ С)

с модулями полуосей

На основе различия и кратности корней характеристического уравнения тензоров анизотропии изменчивости К(И), J выделены три типа анизотропных структур значений геологических показателей:

1) первый тлп определяется тремя различными однократными корнями (я, которым отвечает описывающий анизотропию

изменчивости по всем направлениям подероид в пространстве с тремя разными по модулю взаимно-ортогональными вектор-полуосями, я = 6 = с = ВТ0Р0Й тпп - одним однократным и

одним двукратным корнями ^ =д2 ^ которым отвечает подероид вращения вокруг вектор полуоси "с _ с модулем полуоси вращения 3) третий тип - характеризуется одним трехкратным

корнем (л, =Л2=Лз =Л)' которому соответствует подероид, выраженный сферой радиуса VI, описывающей изотропное размещение показателя в пространстве.

Тензоро-дифференциально-интегральный показатель ^ (11) анизотропии координированной изменчивости характеризует средне-квадратическую скорость поля значений закономерной составляющей геологического показателя в произвольном направлении (е). А тензорная корреляционная функция к(и-,а) (V и описывает наиболее полную совокупность существенных свойств месторождений полезных ископаемых, включая законы распределений пространственных переменных, анизотропию размещенных в пространстве значений и корреляционных связей между значениями геологических показателей. Применение разработанной в классе нестационарных анизотропных моделей корреляционных функций к{И\а) (7) и показателя (10) позволяет более полно представить структуру поля изменчивости совместно размещенных в пространстве недр геологических показателей, повысить достоверность определения рациональных параметров разведочных сетей, направлений максимальной однородности рудного сырья, погрешностей оценок геологических показателей (дисперсий, ковариа-ций), что необходимо для оптимизации параметров при планировании горного производства и управления горными работами в оптимальном режиме (глава 2).

В шестой главе, на основе глав 3, 4, 5 по разработанным алгоритмам и комплексам программ построена нестационарная анизотропная модель Ковдорского месторождения комплексных железных руд,

представляющая собой описание тензорной корреляционной функций анизотропной структуры коррелированной изменчивости совокупности компонентов (рис. 2) Ре, РтО^, КГК (компонент гравитационного концентрата), СО, н математические ожидания (рис. 3) закономерностей пространственного размещения (геометризация) содержаний Ре и Р2Оз .

Рис. 2. Анизотропные структуры коррелированной изменчивости компонентов Ковдорского месторождения: а) Ие, б) Р^О?

Анализ анизотропных структур компонентов на горизонтах 70-178 м позволил установить: 1) наличие большей анизотропии у Ре, С02, КГК и меньшей у Р205; 2) подобие анизотропных структур изменчивости этих компонентов на горизонтах 70-178 м. Полученные результаты согласуются с геологическими особенностями Ковдорского месторождения, заключающимися в трубообразной форме, вертикальном падением, сложной конфигурацией а плане контактов между комплексными железными (КЖР) и маложелезистыми апатитовыми рудами (МЖР), запасы которых находятся в соотношении 3:1.

Планы изолиний средних содержаний полезных компонентов служат основой при расчете кондиций на рудоминеральное сырье: окон-туривакии и подсчете запасов полезных ископаемых: проектировании схемы вскрытия, порядка отработки и систем разработки; долгосрочного и оперативного планирования (проектирования) горных работ; нормирования запасов по степени их подготовленности и потерь, и засорения руд при добыче; обеспечении эксплуатации месторождения в режиме усреднения качественных показателей.

Обобщенный двойной ряд Фурье (4), (5) и методика определения математических ожидании с программным обеспечением и быстр оде й-

ствукнцей вычислительной техникой позволяют автоматизировать процессы сбора и обработки горно-геологической информации и решать проблемы горно-геометрического анализа на качественно более высоком теоретическом уровне, обуславливающем повышение точности геометризации с последующей эффективностью разработки запасов полезных ископаемых (глава 2).

горизонта К2 м. Ковдорского месторождения

На основе нестационарного анизотропного моделирования коррелированной изменчивости извлекаемых компонентов Ре, Р;05 Ковдорского месторождения, принципа одинаковой разведанности, требования к изученности запасов по категории А определены параметры ячейки рациональной сети эксплуатационной разведки 25 м в направлении профилей (максимальной изменчивости) и 50 м вкрест им и сети опробования буровзрывных скважин. Внедрение данных параметров на Ков до рс ком ГОКе позволило получить годовой экономический эффект в сумме 71,7 тыс. руб. (1981 год).

В классе нестационарных анизотропных моделей решена проблема дискретного крайгинга, которая заключается в определении оценки среднего содержания в блоке, минимизирующей дисперсию разности истинного среднего значения с' и его оценки т.е. ^(с* - с *

В результате нестационарного анизотропного моделирования участков, объединение которых представляет Ковдор-ское месторождение, установлены: а) направления отработок участков, обеспечивающие максимальную однородность рудной массы, внедрение которых в производство дало годовой экономический эффект 42 тыс, руб. (1977 год); б) совпадение направлений наименьших изменяй воете й содержаний Ре с направлениями тектонических

нарушений, что свидетельствует о существенном влиянии тектонических нарушений на анизотропную

Рис 3. План изолиний математических ожиданий содержаний Ре южной части

структуру изменчивости геологических показателей.

Дискретный анизотропный крайгинг учитывает не только значения содержаний внутри блока, но и значения проб, прилегающих к блоку, геометрию оцениваемого блока, анизотропию изменчивости оцениваемых значений. Его применение эффективно при оценке бедных либо богатых сравнительно небольших блоков, имеющих малое количество данных опробования.

При описании геологических показателей случайными функциями объективной мерой погрешности среднего значения сс в блоке О относительно генерального среднего по месторождению с служит дисперсия

{- I 1 • (12)

1 аа

Однако теории и практике рационального использования месторождений минерального сырья необходимы дисперсии средних значений в блоках относительно истинных средних в этих блоках, которые получены переходом от стационарности по месторождению к стационарности по блоку и определены выражением

(13)

Дисперсия (13) существенно меньше дисперсии (12), особенно для небольших блоков.

Дискретный анизотропный крайгинг, дисперсия (13) и разработанные формулы регуляризации коррелированных функций

Кс(ь «)= I1 "¡¿'(«'-И^м-мУЛ^; )/[!>/У и дисперсий

1 1 = -(м-1)у = -(я-|)

необходимы при оптимизации параметров горного производства и повышения эффективности управления горными работами в оптимальном режиме (глава 2).

С целью снижения риска экономических потерь при введении месторождения в эксплуатацию разработано аналитическое выражение критерия 0,276 л)(о.27б л) _ . , (14), где У - экономические У+Я=—--•—Т7-+- +Си->гшп

потери или ущерб от погрешности (дисперсии) работы предприятия в оптимальном режиме, определенный согласно главе 2; Л - затраты на разведку; Д - запасы руды, а - параметры аппроксимации соответственно удельных затрат за год и капиталовложений; А - относительная

дисперсия мощности залежи; С - стоимость бурения одной скважины; п - число скважин.

Разработанный критерий (14), представляющий собой сумму экономических потерь и затрат на разведку, позволяет определять оптимальное количество разведочных скважин, минимизирующих его (14) на ранней стадии разведочных работ.

Седьмая глава посвящена разработке класса статистико-анизотропных моделей физико-механических параметров и трещинова-тости массивов горных пород.

Согласно ведущей идее исследований, замеры моделируемого показателя V в направлениях параллельном (ось Ох) и перпендикулярном (ось Оу) слоистости представлены в векторной форме

/=1,2,..., И, где - значения показателя /-го образца в направлени-

ях соответственно осей Ох и 0у; N - количество испытываемых образцов.

Сумма квадратов проекций этих векторов на направление 7(а)=(сош, ¡¡па), гДе а - угол между осью Ох и ортом й(а)> приводит к тензоро-статистической модели, выражающей математическое ожидание (среднее значение).

исследуемого показателя v в направлении а изучения анизотропной горной породы, где | j и ^ j - средние значения, a Dvt, - дисперсии

значений показателя соответственно в направлениях осей Ох и 0у.

Тензоры второго ранга М и D представляют существенно более информативные аналоги коэффициента анизотропии k-v^/vL ' чнсла

(тензора нулевого ранга) и вектора у - тензора первого ранга. Тензо-ро-вероятностные характеристиками М и D в составе формул (15) и (16) выражают анизотропные структуры средних значений (15) и дисперсий значений (16) моделируемых показателей.

Перемножение матриц в правых частях равенств (15), (16) дает тензоро-статистическую модель анизотропных показателей в функциональном виде

Mv(a) = д/^ц}2 eos2 а + f sin2 а ' Dv(ct)= Dv^ eos2 а + sin2 a-

и дисперсию (погрешность значений)

(16)

Математическое ожидание Mv(cc) является уравнением подеры с полуосями а = |у,]> в = JyxJ, а дисперсия Ov(a) - уравнением квадрата

подеры с полуосями e=fi5v±-

Разработанная тензоро-статистическая модель может быть положена в основу решения многих научно-практических горно-строительных проблем, оптимизации эффективности производства и использования строительных и дорожно-строительных материалов.

Математическим эквивалентом системы трещин является вектор системы трещин, перпендикулярный плоскости системы, модуль которого равен частоте трещин системы со

<u=íu(-siivísin<5; cos/ísin<5; cos^/V^in^sin^+coS^sin^+cos2!?' где Á g - соответственно азимут линии простирания (о<л<2л) и Угол линии падения (o<¿<7¡/2) плоскости системы трещин.

Строго математически доказано и подтверждено экспериментальным моделированием, что интенсивность трещиноватости в направлении орта ё=(cosa;cosр,cosy) и индуцированная развитыми в массиве горных пород п системами трещин равна сумме моделей проекций математических ожиданий случайных векторов систем трещин на направление е, т.е.

м » _ » [«,] | [*j]cosa + [>>, jcos/J + [z,]cosy| >

Я ^ííiwr

(18)

где 0„в, = дх.,ду„дг, " отклонения замеров параметров систем трещин от математических ожиданий д/^,,; й - тензор погрешности интенсивности трещиноватости совокупности п систем трещин, представляющей собой квадратную симметричную неособенную матрицу 3-го порядка.

Разработанная тензоро-вероятностная модель анизотропии трещиноватости массива горных пород (17), (18) позволит эффективно решать задачи структурной и инженерной геологии, механики горных пород, строительного материаловедения при использовании попутно добываемых вмещающих горных пород в качестве строительных и природных облицовочных материалов.

На основе теории математического программирования разработана методика нахождения экстремумов анизотропии интенсивности трещиноватости (17), которая необходима для определения прочностных и напряженно деформационных параметров состояний массивов гор-

ных пород, конструкций систем разработок, разрушаемости и дроби-мости горных пород, механико-технологических свойств строительных и природных облицовочных материалов.

Системы трещин разделяют горный массив на структурные блоки различных форм и размеров, называемые отдельностями, которые влияют на оптимизацию параметров буровзрывных работ, способы дробления и измельчения горных пород. В этих условиях важно и необходимо математическое моделирование средней естественной отдельности, которое является основным инструментом изучения трещинной тектоники.

Для решения проблемы определения средней естественной отдельности и блочности массива горных пород рассмотрены квадратичные-значения интенсивности трещиноватости

где ¡4М44 у к] - Компоненты векторов I -

тензор второго ранга квадратичных значений интенсивности трещиноватости, выраженный квадратной неособенной 3-го порядка матрицей.

Приведение тензора Ь к главным осям дает экстремальные направления анизотропии интенсивности трещиноватости, которые определяются ортами ~е, , / = 1,2,3- В направлениях этих ортов интенсивности трещиноватости вычисляются по формуле (17) и принимают значения ¿(ё,')> ¿(¡г)' )• Тогда средняя естественная отдельность представляет в пространстве недр прямоугольный параллелепипед (рис. 4), построенный на векторах

;-;,'/*(;/)' 1.«/$)' (20)

модули векторов (20) определяют линейные размеры средней естественной отдельности

а модуль их (20) смешанного произведения - блочность массива горных пород

3 = ■ в• с] = ■ |в|• = '')• )• ¿(с/)'

Наряду с разработанными показателями раздробленности массива горных пород (20) - (22) теории и практике физики горных пород и строительного материаловедения могут быть полезны следующие показатели:

- средняя интенсивность трещиноватости массива горных пород;

5 = зДф')- ф')- ь{е 3')+ (24)

- средняя площадь сечения средней естественной отдельности.

Таким образом, разработанная

тензоро-вероятностная модель анизотропии интенсивности трещиноватости (17), (18) и ее квадратичных значений (19) позволило определить показатели структурной раздробленности массива горных пород (20) - (24) при развитии в нем любого количества систем трещин. Данные показатели являются основным инструментом изучения трещинной тектоники и представляют дополнительную информацию, полученную за счет математического моделирования, странстве и размеры средней естественной которая И обеспечивает эффектив-отдельности массива горных пород НОСТЬ последнего.

В восьмой главе рассмотрено применение статистико-анизотропных моделей для решения проблем рационального использования попутно-добываемых горных пород.

По разработанной математической модели (15), (16) и экспериментальным данным пределов прочности при сжатии, растяжении, изгибе; модулей упругости статистического, динамического; предельной деформации вдоль и поперек слоистости попутно добываемых магматических, осадочных, метаморфических анизотропных горных пород построены тензоро-статистические модели приведенных физико-механических параметров. Данные модели описывают средние значения и дисперсии значений показателей по любым направлениям а (рис. 5), что необходимо для решения научно-технических проблем строительного материаловедения, оптимизации эффективности производства и использования строительных и дорожно-строительных материалов.

По выполненным замерам элементов залегания систем трещин построены тензоро-вероятностные модели (17), (18) анизотропии интенсивности трещиноватости горных пород Лебединского и участков Ко-робковского (шахта им. Губкина) месторождений. В частности, участок №39 горизонта 71м описывает модель

7

/

/

е

'и"""

< II

Г/ I I - - I

I..... ( (> (

¡ег^Л /

....._I__^

К ^ V

\ /

у

Рис. 4. Форма, ориентировка в про-

а)

б)

в)

90

90

90

0

Рис. 5. Индикатрисы (подери) анизотропных структур по Лебединскому месторождению: а) - пределов прочности при сжатии железистых кварцитов; б) - дисперсий пределов прочности при сжатии железистых кварцитов; в) - пределов прочности при изгибе метаморфических сланцев подсвиты К42

¿(г)= |10,90со sa + 2,40cos /? + 0,50 cos f|+ |- l,29cosa- 4,l7cos /? + 0,77 cos y\+• +1-1,5 8 cos a -1,24 cos +1,62 cos y| +1- 0,64cosa + 0,63cos/?+3,3 6cos/| > (25)

на основе которой по формулам (19) - (26) определены показатели его структурной раздробленности: 1) определяющие направления главных осей тензора L взаимно ортогональные орты е!=(-0,96; -0,29; 0,01); ё2=(-0,19; 0,66; 0,73); ёз=(-0,22; 0,70; -0,68); 2) интенсивности трещи-новатости в направлениях этих ортов L,{e\)= 15,968, ¿(¡2)=5,722, ^¡з)=7,542; 3) определяющие среднюю естественную отдельность (прямоугольный параллелепипед) векторы д=(-0,96; -0,29; 0,01)/15,968, в =(-0,19; 0,66; 0,73)/5,722, с =(-0,22; 0,70; -0,68)/7,542; 4) линейные размеры средней естественной отдельности j^j _ 1/15,968 = 0,06 См)»

= 1/5722 = 0,17 W' |с| = 1/7,542 = 0,13^ 5) блочность участка

^ _.. j~j =0,06-0,17-0,13=0,001326 (м3); 6) среднюю интенсивность

трещиноватости [¿]=(15,968+5,722+7,542)/3=9,74 (1/м); 7) среднюю площадь сечения средней естественной отдельности 5=3/(15,968-5,722+15,968-7,542+5,722-7,542)=0,0118 (м2). Данные показатели влияют на анизотропию физико-механических параметров по-путно-добываемых горных пород; на разрушаемость и дробимость используемых материалов; на рациональное освоение строительного, поделочного, облицовочного и декоративного камня.

33,851 7,245 —0,I37l feos я £)(ё)= (eos a; eos/3; cos г)- 7,245 6,068 -0,190 • cos p -0,137 -0,190 1,461 Uosr.

(26)

V

На основе модели (15), (16) разработана статистико-анизотропная модель выхода зерен пластинчатой формы при разных технологиях дробления

мп =

2Е(*/2; ф.

Ф\

¡2ьЩт-2а)

2 а

^-¡Няп'а-^,!

ф(ЛТпЛ/)

О < а <. л/г, N = 1,

О <.а<. х/4, 1 < /V < т,

л/4<а< л/2, I < N < <ю,

О < а 5 я/2, N=00,

йП = Ш„ (1 - /2 О - (/(а; Л'))/г)

(27)

(28)

где МП, ОП - соответственно математическое ожиданий и дисперсия выхода лещадных зерен; <,, о^(ОЩ-ОП^/ОП^

^ ^ - эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра; Л,(а;ЛГ;Л)> й2(а;Л';£) - специальные функции; ф(х) - функция Лапласа.

Данная модель отражает минералогический состав, структурно-текстурное строение (величины ш , А:, /) дробимого материала -

природные, независящие от деятельности человека, факторы первого рода и способы, технологии дробления, которые формируются деятельностью человека - управляемые факторы второго рода (параметры ви1У, значениям которых отвечают различные способы дробления). Она позволяет определять эффективность как известных так и новых способов дезинтеграции анизотропных горных пород.

По разработанной модели (27) определены выходы лещадных зерен метаморфических сланцев Курской серии (табл. 2) при их дезинтеграции на известных типах дробилок.

Таблица 2

№ Типы дроби- N а

п/п лок 0и 15° 30° 45° 60° 75° 90°

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 Щековые 5 68 67 65 60 52 49 48

2 Конусные 2 63 62 61 59 55 54 53

3 Валковые 1 58 - - - - - -

4 Молотковые 00 - - - - - - 13

Статистико-анизотропная модель (27), (28) использована при разработке пресс-валкового агрегата (решение РОСПАТЕНТа о выдаче патента на изобретение по заявке №2007112760/03(013856) от 05.04.2007

года), который внедрен в технологическую линию производства силикатного кирпича ОАО «КСМ» с годовым экономическим эффектом 427788 рублей.

Кроме того, на базе (15), (16) разработана тензоро-статистическая модель прочностно-деформационных показателей конструктивных слоев дорожных одежд

Ш=

2ф,к/1пЖ?(М; к) , „ ОК= — - ---1------' 1 < Л' < от,

Ф±1

2-/)/2, N=1, (29)

где г = прочностно-деформационный показатель; с/ - коэффициент, зависящий от толщины проектируемого слоя и степени его расклин-цовки; = о</ = (ой1-оя||)/ой1<р ¿(/V) -

специальные функции.

Величины [д ], к, I являются не зависящими от деятельности

человека природными факторами первого рода, а параметр N - управляемый фактор второго рода, зависящий от технологии укладки и уплотнения анизотропного щебня в конструктивный слой дорожной одежды. Поэтому, тензоро-статистическая модель (29) отражает анизотропию прочностных свойств щебня, структуру его размещения в конструктивном слое, степень уплотнения и расклицовки последнего. Данная модель может быть положена в основу проектирования дорожных одежд на анизотропном щебне.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Диссертация представляет собой законченную научно-квалификационную работу, в которой разработаны теоретические положения совокупность которых обеспечивает решение крупной научной проблемы нестационарного анизотропного математического моделирования анизотропных структур свойств месторождений полезных ископаемых, физико-механических показателей попутно добываемых горных пород, трещиноватости массивов горных пород. По полученным новым математическим выражениям составлены алгоритмы и разработаны комплексы программ, позволяющие автоматизировать процессы сбора и обработки информации и решать поставленные научно-технические проблемы с применением ЭВМ.

Основные научные результаты и рекомендации, полученные лично автором, заключаются в следующем:

1. Построена матрица - классификация математических моделей систем минерального сырья по виду функций связей между значениями показателей и закономерностей их пространственного размещения. Данная классификация отвечает требованиям теории классификаций (полнота, взаимнооднозначность) и облегчает выбор типа ¡.к модели, описывающей изучаемый объект.

2. Разработана методика определения эффекта деятельности предприятия от повышения точности его работы в оптимальном режиме, которая позволяет решать проблемы оптимизации параметров производства, его управления в оптимальном режиме, оптимальной точности измерений, экономической эффективности новой измерительной техники.

3. Предложена методика аналитического определения математического ожидания пространственного размещения геологических показателей на базе разработанной полной ортонормированной в геометрических полях произвольной конфигураций системы тригонометрических функций и построенных на ее основе обобщенных двойного ряда и коэффициентов Фурье. Данная методика повышает точность геометризации показателей месторождений и служит основой для решения проблем: расчета кондиций на рудоминеральное сырье; оконтуривания и подсчета запасов полезных ископаемых; проектирования схемы вскрытия, порядка отработки и систем разработки; планирования (проектирования) добычи полезного ископаемого и ведения горных работ в режиме усреднения рудной массы.

4. Разработана тензорная совокупная характеристика коррелированной изменчивости, отражающая анизотропную структуру поля значений геологического показателя с учетом взаимосвязи этих значений между направлениями в пространстве. Ее скалярное произведение на направляющие орты дает порождающую класс нестационарных анизотропных моделей тензорную корреляционную функцию, а приведение к главным осям позволяет определить показатели анизотропии - направления наибольших и наименьших связей и экстремальные значения связей по этим направлениям. Тензорная корреляционная функция лежит в основе достоверного определения: рациональных параметров разведочной сети; направлений максимальной однородности рудного сырья; оптимизации объема геолого разведочных работ; дискретного анизотропного крайгинга; дисперсии среднего значения и регуляризации корреляционных функций, необходимых при оптимизации параметров горного производства и эффективности управления горными работами в оптимальном режиме.

5. Построена нестационарная анизотропная математическая модель Ковдорского месторождения комплексных железных руд, представляющая собой описанные тензорными корреляционными функциями анизотропные структуры коррелированной изменчивости компонентов Ре, Р2О5, КГК, С02 и математические ожидания (геометризация) пространственного размещения содержаний Ре и Р205, определенные по предложенной методике на базе разработанных обобщенных двойных рядов Фурье. На основе построенной модели определены: направления отработок участков, обеспечивающих максимальную однородность рудного сырья, внедрение которых в производство дало экономический эффект в сумме 42 тыс. руб.; рациональные параметры сети эксплуатационной разведки 25 м в направлении профилей и 50 м в крест им, внедрение которых в производство дало годовой экономический эффект в сумме 71,7 тыс. руб. (эффекты получены в ценах 1981 года).

6. Разработана тензорная дифференциально-интегральная характеристика координированной изменчивости, описывающая средне-квадратнческую скорость роста поля значений закономерной составляющей геологического показателя в произвольном направлении. Ее приведение к главным осям определяет направления наибольших и наименьших изменчивостей и экстремальные значения по этим направлениям. Данная характеристика может служить основой для оптимизации параметров разведочных сетей, определения направлений добычных работ с целью стабилизации качества рудного сырья и т.д..

7. На основе отождествления развитых в массиве горных пород п систем трещин со случайными векторами систем трещин разработана тензоро-вероятностная модель анизотропии интенсивности трещино-ватости массива горных пород, на базе которой определены следующие показатели структурной раздробленности горного массива при развитии в нем любого количества систем трещин: ориентированная в пространстве параллелепидальной формы средняя естественная отдельность; блочность массива горных пород; средняя интенсивность трещиноватости; средняя площадь сечения средней естественной отдельности, которые являются основным инструментом изучения трещинной тектоники. Эти разработки эффективны при изучении прочностных и напряженно деформационных параметров состояний массивов горных пород, разрушаемости и дробимости горных пород, механико-технологических свойств строительных и природных облицовочных материалов.

8. На основе разработанных тензоро-статистической модели анизотропии физико-механических параметров горных порол и плотности вероятности направлений воздействия разрушающей нагрузки по-

строена статистико-анизотропная модель выхода зерен пластинчатой формы при разных технологиях дробления. Даная модель отражает минералогический состав, структурно-текстурное строение дробимого материала природные, независящие от деятельности человека, факторы первого рода и способы, технологии дробления, которые формируются деятельностью человека - управляемые факторы второго рода. Данная модель использована как для выхода лещадных зерен при дроблении анизотропных горных пород на известных типах дробилок, так и при разработке пресс-валкового агрегата (решение РОСПАТЕНТа о выдаче патента на изобретение по заявке №2007112760/03 (013856) от 05.04.2007 года), внедренного в технологическую линию производства силикатного кирпича на ОАО «КСМ» с годовым экономическим эффектом 427788 рублей.

9. На базе разработанных тегаоро-статистической модели прочностных показателей анизотропного щебня и плотности вероятности распределения направлений пластинчатой формы щебня в конструктивном слое построена статистико-анизотропная модель конструктивных слоев дорожных одежд, которая отражает анизотропию прочностно-деформационных показателей щебня пластинчатой формы, структуру его размещения в слое, степень уплотнения и расклинцовки последнего. Данная модель может быть положена в основу проектирования дорожных одежд на анизотропном щебне.

Содержание диссертации опубликовано в 69 работах. Основные из них следующие:

Монографии

1. Редькин Г.М. Нестационарное анизотропное математическое моделирование не-однородносгей систем минерального сырья) Г.М. Редькин. -М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007. - 500 с.

2. Кузьмин В.И. Геометризация и рациональное использование недр/ В.И. Кузьмин, С.Э. Мининг, Г.М. Редькин. -М.: Недра, 1991. - 320 с.

3. Геометризация месторождений полезных ископаемых/В.А. Букринский, Ю.В. Корбченко, ...,Г.М. Редькин и др.-М.: Недра, 1977. —376 с.

Статьи, принятые к печати до 31 декабря 2006 года и изданные в ведущих научных журналах, включенных в Перечни ВАК

4. Редькин Г.М. Погрешность среднего значения в геологических блоках/ Г.М. Редькин// Маркшейдерия и недропользование. - 2008. - №1. - С. 52-54.

5. Редькин Г.М. Аналитическое моделирование анизотропии координированной изменчивости/ Г.М. Редькин// Горный информационно-аналитический бюллетень: Сб. научн. тр. - М.: МГГУ, 2007. - №9. - С. 332-334.

6. Редькин Г.М. Экстремумы анизотропии координированной изменчивости геологических параметров/ Г.М. Редькин, В.И. Стрельцов// Маркшейдерия и недропользование. -2007. -№5.-С. 56-58.

7. Редькин Г.М.Погрешность среднего значение в блоке /Г.М. Редькин// Горный информационно-аналитический бюллетень: Сб. научн. тр. - М,: МГГУ, 2007. - №5. - С. 190-192.

8. Редькин Г.М. Тензоро-аналитический показатель координированной изменчивости геологических параметров/ Г.М. Редькин// Маркшейдерия и недропользование. -2007. -№4.-С. 56-57.

9. Редькин Г.М. Дисперсии средних значений геологических показателей с интенсивной изменчивостью в блоках/ Г.М. Редькин, В.И. Стрельцов// Маркшейдерия и недропользование. - 2007. - №3. - С. 32-34.

10. Редькин Г.М. Оптимизация объема геолого-разведочных работ/Г.М. Редькин// Горный информационно-аналитический бюллетень: Сб. научн. тр. - М.: МГГУ, 2007. - №4. -С. 307-309.

11. Редькин Г.М. Практическое определение дисперсии среднего содержания в блоке // Горный информационно-аналитический бюллетень: Сб. научн. тр. - М.: МГГУ, 2007. -№8. - С. 269-272.

12. Редькин Г.М. Определение экстремумов интенсивности трещиноватости/ Г.М. Редькин// Изв: вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2006. -№1. - С. 62-63.

13. Редькин Г.М. Математическое моделирование выхода пластинчатых зерен при разных способах дробления анизотропных горных пород/ Г.М. Редькин// Изв. вузов. Строительство.-2005.-С. 110-117.

14. Редькин Г.М. Математическое моделирование физических свойств анизотропных горных пород/ Г.М. Редькин// Известия ТулГУ. Серия Геомеханики, Механика подземных сооружений. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. - Вып. 3. - С. 167-170.

15. Редькин Г.М. Математическое моделирование трещиноватости массива горных пород / Г.М. Редькин// Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2005. - №4.-С. 79-82.

16. Редькин Г.М. Экстремумы анизотропии интенсивности трещиноватости/ Г.М. Редькин//Известия ТулГУ. Серия Геомеханика. Механика подземных сооружений,- Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. Вып. 3. - С. 170-173.

17. Редькин Г.М. Математическое моделирование прочностных показателей конструктивных слоев дорожных одежд из анизотропного щебня/ Г.М. Редькин// Изв. вузов. Строительство. - 2004. - №6. - С. 78 - 83.

18. Редькин Г.М. Тензоро-вероятностная модель физико-механических показателей анизотропных пород/ Г.М. Редькин// Известия вузов. Строительство. - 2004. -№ 10. - С. 113-118.

19. Севостьянов B.C. Энергосберегающие помольные агрегаты с винтовыми энергообменными устройствами/ B.C. Севостьянов, Г.М. Редькин, С.И. Ханин, A.A. Гончаров// Строительные материалы. - 1995. - №3. - С. 30 - 31.

20. Севостьянов B.C. Исследование взаимодействия энергообменных устройств с мелющей загрузкой мельницы/ B.C. Севостьянов, Г.М. Редькин, A.A. Гончаров// Изв. вузов. Строительство, - 1993. -№11-12. - С. 92-96.

21. Редькин Г.М. Математическая модель анизотропии значений показателей слоистости горных пород и строительных материалов / Г.М. Редькин, В.К. Кокунько, А.Е. Бабин и др. // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1990. - №3. - С. 113-117.

22. Кампель Ф.Б. Особенности нормирования потерь и засорения комплексных руд Ковдорского месторождения / Ф.Б. Кампель, С.Э. Мининг, Г.М. Редькин и др. //Горный журнал. - 1982. - №7. - С. 12-13.

Другие статьи

23. Гридчин A.M. Исследование процесса измельчения анизотропных материалов в пресс - валковых агрегатах/ A.M. Гридчин, B.C. Севостьянов, B.C. Лесовик, Г.М. Редькин и др.// Изв. вузов. Строительство. - 2007. - N°9. -С. 71-78.

24. Редькин Г.М. Зависимость выхода лещадных зерен от коэффициента анизотропии пределов прочности при сжатии/ Г.М. Редькин// Изв. вузов. Строительство. - 2007. - №9. -С. 85-88.

25. Гридчин A.M. Аппроксимация кинетики твердения композитов/ А.М. Гридчин, Г.М. Редькин, Р.В. Лесовик, Н.В. Ряпухин// Промышленное и гражданское строительство. - 2007. - №8. - С. 13-15.

26. Редькин Г.М. Исследование выхода лещадных зерен в зависимости от способа дробления пород слоистой текстуры/ Г.М. Редькин// Новые научные направления строительного материаловедения: материалы докладов Академических чтений РААСН. -Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г.Шухова, 2005. - Часть II. - С. 115-126.

27. Гридчин A.M. Технологические аспекты получения щебня улучшенной формы из анизотропных горных пород/ А.М. Гридчин, Г.М. Редькин, В.М. Сопин// Современное состояние и перспектива развития строительного материаловедения: Восьмые академические чтения РААСН. - Самара: Изд-во СГАСУ, 2004. - С. 143-145.

28. Гридчин A.M. Определение прочностных характеристик слоев дорожных одежд и из анизотропного сырья/ A.M. Гридчин, Г.М. Редькин// Вестник БГТУ. - 2003. - №5. - С. 265-268.

29. Редькин Г.М. Определение выхода пластинчатых зерен при дроблении пород слоистой текстуры в щековых дробилках/ Г.М. Редькин, М.В. Сопин, В.В. Сгрокова, Л.А. Сулеманова// Рациональные энергосберегающие конструкции, здания и сооружения в строительстве и коммунальном хозяйстве: Сб. научн. тр. Междунар. научн.-практ. конф. - Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2002. - Ч. 2. - С. 195-200.

30. Редькин Г.М. Математическое моделирование анизотропных структур свойств пород сланцеватой текстуры/ Г.М. Редькин //Рациональные энергосберегающие конструкции, здания и сооружения в строительстве и коммунальном хозяйстве. Сб. научн. тр. Междунар. научн. - практ. конф. - Белгород: БелГТАСМ, 2002.- 4.2. - С. 190-194.

31. Редькин Г.М. Стохастическое моделирование трещиноватости массива горных пород/ Г.М. Редькин// Системы обработки информации: Сб. научн. тр. - Харьков: НАНУ, ПАНМ, ХВУ, 2001. -Вып. 6(16). -С. 234 - 238.

32. Редькин Г.М. Аналитическое выражение интенсивности трещиноватости горных пород/ Г.М. Редькин//Математическое моделирование технологических процессов в производстве строительных материалов и конструкций: Сб. научн. тр. - Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 1998. - С. 139-141.

33. Редькин Г.М. Характеристики выхода зерен лещадной формы/ Г.М. Редькин// Физико-химические проблемы материаловедения и новые технологии: Тез. докл. Всесоюзной конф. - Белгород: Изд-во БТИСМ, 1991. - Ч. 5. - С. 66-67.

34. Редькин Г.М. Математическое моделирование анизотропии показателей слоистых пород н искусственных строительных конгломератов ! Г.М. Редькин, В.К. Кокунько, А.Е. Бабин // Фундаментальные исследования и новые технологии в строительном материаловедении. Часть 4. Теория искусственных строительных конгломератов и ее практическое применение: Тез. докл. Всесоюзн. конф. - Белгород, БТИСМ, 1989. - С. 145-146.

35. Мининг С.Э. Дисперсия средних значений геологических признаков в блоках/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Рациональное использование и охрана минеральных ресурсов: Сб. науч. тр. - Белгород: ВИОГЕМ, 1985. - С. 16-20.

36. Мининг С.Э. Совокупная характеристика колебаний показателей качества руды в недрах/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Совершенствование методов усреднения руд. -Фрунзе: 1984.-С. 94-96.

37. Редькин Г.М. Дискретный анизотропный крайгинг/ Г.М. Редькин // Геолого-геофизическое обеспечение горнорудных предприятий и рациональное использование недр: Сб. научн. тр. - Белгород: ВИОГЕМ, 1982. - С. 110-115.

38. Мининг С.Э. Нормирование потерь комплексных руд на Ковдорском ГОКе / С.Э. Мининг, Ю.М. Ситало, Г.М. Редькин и др. // Промышленное освоение комплексных руд Ковдора. - Апатиты: Кольский филиал АН СССР, 1982. - С. 66-69.

39. Мининг С.Э, Нестационарные анизотропные геолого-математические модели месторождений как основа планирования горного производства/ С.Э. Мининг, Г.М. Редь-

кин 11 Применение ЭВМ и математических методов в горном деле: Труды 17-го международного симпозиума. - М.: Недра, 1982. - С. 32-36.

40. Редькин Г.М. Анизотропная структура изменчивости компонентов Ковдорского месторождения / Г.М. Редькин, Н И. Федосеенко, М.Я. Коломец // Опыт и перспективы использования математического моделирования при геолого-гидрогеологическом обосновании народохозяйственных мероприятий: Тез. докл. конф. - Белгород, 1980. С. 71-73.

41. Редькин Г.М. Определение погрешностей оценок средних содержаний железа в блоках Стойленского месторождеия / Г.М. Редькин, Ю.Д. Гопапова, М.Я. Коломоец, Н.И. Федосеенко // Вклад молодых ученых КМА в развитие горной промышленности в свете решений XXV съезда КПСС: Сб. научн. тр. - Белгород: ВИОГЕМ, 1979. - С. 101104.

42. Редькин Г.М. Погрешности оценок геологических признаков/ Г.М. Редькин // Рудничная геология, прикладная геофизика, маркшейдерское дело, устойчивость бортов карьеров и отвалов: Сб. науч. тр. - Белгород: ВИОГЕМ, 1978. - Выпуск XXVI. - С. 66 -72.

43. Редькин Г.М. Выявление закономерностей размещения геологических признаков на примере Ковдорского месторождения/ Г.М. Редькин, Г.Л. Попов, O.A. Владимирова // Задачи геологической и маркшейдерской служб отрасли в области улучшения использования полезных ископаемых и усиления охраны недр: Сб. научн. тр. Всесоюзного совещания - Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1977.-С. 107-108.

44. Мининг С.Э. Аппроксимация размещения геологических признаков ортогональны-мн тригонометрическими функциями/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Осушение месторождений, специальные горные работы, рудничная геология, маркшедерское дело: Сб. науч. тр. - Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1976. - Выпуск XXII - С. 141-147.

45. Редькин Г.М. Исследование совокупной изменчивости содержаний железа и кремнезема Лебединского месторождения / Г.М. Редькин, Н.И. Федосеенко // Материалы научно-технической конференции молодых ученых и специалистов по вопросам развития КМА: Тез. докл. - Белгород: ВИОГЕМ, 1976. - С. 99-102.

46. Мининг С.Э. Моделирование свойств полезных ископаемых с использованием теории нестационарных случайных функций/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Осушение месторождений, специальные горные работы, рудничная геология, маркшейдерское дело: Сб. научн. тр. - Белгород: ВИОГЕМ, 1975. - Выпуск XXI - С. 163-169.

47. Мининг С.Э. Об эффективности точности маркшейдерских измерений/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Осушение месторождений, специальные горные работы, рудничная геология, маркшейдерское дело. Сб. науч. тр. - Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1974. - Вып. XX.-С. 129-136.

48. Редькин Г.М. К вопросу об аппроксимации установленных зависимостей разубо-живання руды от добычи при выпуске под обрушенными породами/ Г.М. Редькин // Осушение месторождений, специальные горные работы, рудничная геология, маркшейдерское дело: Сб. науч. тр. - Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1973. - Выпуск XVIII - С. 215220.

Авторские свидетельства

49. A.C. №798300 СССР. Способ открытой разработки месторождений полезных ископаемых / С.Э. Мининг, А.К. Мясоедов, А.Н. Елин, Г.М. Редькин; Белгород, ВИОГЕМ; Опубл. в Б.И., 1981,-№3.

50. A.C. №1315612 СССР. Способ селективной выемки полезных ископаемых / С.Э. Мининг, А Н. Елин, Г.М. Редькин и др.; Белгород, ВИОГЕМ; Опубл. в Б.И., 1987. - №21.

51. Решение РОСПАТЕНТа о выдаче патента на изобретение от 28.04.2008 по заявке №20071127960/03(013856) от 05.04.2007. Пресс-валковый агрегат/Гридчин A.M., Сево-стянов B.C., Лесовик B.C., Романович A.A., Редькин Г.М., Колесников A.B.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Редькин Геннадий Михайлович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НЕСТАЦИОНАРНОГО АНИЗОТРОПНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ СИСТЕМ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ

Подписано в печать.26./4.0S. . Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,9. Тираж 150 экз. Заказ а/ Отпечатано Издательским центром Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова» 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46.

Введение.

Глава 1. Современное состояние проблемы моделирования систем месторождений минерального сырья.

1.1. Актуальность рационального и комплексного использования минерального сырья.

1.2. Анализ исследований горных пород сланцеватой текстуры.

1.3. Системный подход к рациональному и комплексному использованию запасов минерального сырья.

1.4. Понятия математического моделирования сложных систем.

1.5. Основные подходы и принципы построения математических моделей систем минерального сырья.

1.6. Классификация математических моделей систем минерального сырья.

1.7. Классы математических моделей систем минерального сырья.

1.7.1. Детерминированные.

1.7.2. Статистические.

1.7.3. Конечно-разностные.

1.7.4. Разностно-статистические.

1.7.5. Стационарные.

1.8. Выводы.

Глава 2. Исследование зависимости эффективности от точности определения оптимальных параметров производства.

2.1. Постановка задачи на примере деятельности горностроительного предприятия.

2.2. Определение ущерба от погрешностей измерений или управления в оптимальном режиме.

2.3. Ущерб при линеаризации условий оптимальной работы предприятия.

2.4. Примеры определения ущерба от точности работы в оптимальном режиме.

2.5. Выводы.

Глава 3. Разработка методики определения математических ожиданий геологических показателей.

3.1. Выбор аппроксимирующих функций.

3.2. Основная задача теории аппроксимации.

3.2.1. Метод наименьших квадратов.

3.2.2. Метод Фурье.

3.3. Критерии оптимальной аппроксимации.

3.3.1. Метод группового учета аргументов (МГУА).

3.3.2. Метод Р.И.Дубова.

3.3.3. Метод минимума остаточной дисперсии с учетом степеней свободы.

3.4. Обобщение метода наименьших квадратов по увеличению числа аппроксимирующих функций.

3.4.1. Практическое применение обобщения МНК.

3.5. Выводы.

Глава 4. Разработка обобщенных двойных рядов Фурье для определения математических ожиданий геологических показателей.

4.1. Правильные области геометрических полей месторождений минерального сырья.

4.2. Разработка в гильбертовом пространстве I?{G) ортогональной системы тригонометрических функций.

4.3. Разработка обобщенных двойных рядов и коэффициентов Фурье.

4.4. Определение математических ожиданий содержаний полезных компонентов участков месторождений.

4.4.1. Дашкесанское месторождение.

4.5. Выводы.

Глава 5. Разработка класса нестационарных анизотропных моделей изменчивости геологических показателей.

5.1. Пространственная изменчивость геологических показателей.

5.2. Индикатриса изменчивости показателей.

5.3. Математическое моделирование координированной изменчивости.

5.3.1. Тензорная характеристика координированной изменчивости.

5.3.2. Экстремумы анизотропии координированной изменчивости.

5.3.3. Типы анизотропии изменчивости.

5.4. Нестационарное анизотропное моделирование коррелированной изменчивости.

5.4.1. Совокупная характеристика коррелированной изменчивости.

5.4.2. Экстремумы анизотропии коррелированной изменчивости.

5.4.3. Тензоро-корреляционная характеристика изменчивости совместно размещенных в пространстве свойств месторождений.

5.4.4. Погоризонтная анизотропная структура изменчивости геологических показателей.

5.5. Выводы.

Глава 6. Нестационарные анизотропные модели и их применение при решении проблем рациональной эксплуатации недр.

6.1. Тензоро-корреляционная характеристика изменчивости компонентов участков месторождений.

6.1.1. Дашкесанское.

6.1.2. Лебединское.

6.2. Нестационарная анизотропная модель Ковдорского месторождения.

6.2.1. Геологические и горнотехнические условия разработки Ковдорского месторождения.

6.2.2. Анизотропная структура коррелированной изменчивости качественных показателей.

6.2.3. Геометризация математических ожиданий качественных показателей.

6.3. Использование нестационарной анизотропной модели при отработке Ковдорского месторождения.

6.3.1. Определение направлений максимальной однородности рудного сырья.

6.3.2. Определение рациональных параметров эксплуатационной сети.

6.4. Проблемы оценок и погрешностей оценок геологических показателей.

6.4.1. Дискретный анизотропной крайгинг.

6.4.2. Регуляризация корреляционных функций.

6.4.3. Погрешность среднего значения в блоке.

6.4.4. Дисперсии средних значений геологических показателей с интенсивной изменчивостью в блоках.

6.5. Оптимизация объема геолого-разведочных работ.

6.6. Выводы.

Глава 7. Статистико-анизотропные математические модели физико-механических параметров и трещиноватости массивов горных пород.

7.1. Горные породы.

7.1.1. Классификация горных пород.

7.1.2. Анизотропные горные породы.

7.2. Построение тензоро-статистических моделей анизотропии физико-механических показателей минерального сырья.

7.2.1. Свойства показателей анизотропного сырья.

7.2.2. Случайный вектор показателя анизотропного сырья.

7.2.3. Тензор среднеквадратичных значений показателя анизотропного сырья.

7.2.4. Тензоры среднего значения и погрешности значений анизотропного показателя.

7.3. Разработка статистико-анизотропных моделей трещиноватости массива горных пород.

7.3.1. Вектор системы трещин.

7.3.2. Формула интенсивности трещиноватости системы трещин.

7.3.3. Стохастическое моделирование трещиноватости массива горных пород.

7.4. Экстремумы анизотропии интенсивности трещиноватости систем трещин.

7.5. Тензоро-статистическое моделирование средней естественной отдельности.

7.5.1. Тензор квадратичных значений интенсивности трещиноватости.

7.5.2. Форма, ориентировка в пространстве, размеры средней естественной отдельности и блочность массива горных пород.

7.5.3. Плоский случай показателей раздробленности массива горных пород.

7.6. Выводы.

Глава 8. Применение статистико-анизотропных моделей для решения проблем рационального использования попутно добываемых вмещающих горных пород.

8.1. Тензоро-статистическое моделирование анизотропии показателей кристаллических сланцев месторождений

8.1.1. Лебединское месторождение.

8.1.2. Стойленское месторождение.

8.2. Статистико-анизотропное моделирование пределов прочности при сжатии вмещающих горных пород.

8.2.1. Магматические горные породы.

8.2.2. Осадочные горные породы.

8.2.3. Метаморфические горные породы.

8.3. Зависимость содержаний зерен лещадной формы от параметров анизотропного минерального сырья.

8.3.1. Влияние коэффициента анизотропии пределов прочности при сжатии на содержание лещадных зерен.

8.3.2. Влияние плотности горной породы на содержание лещадных зерен.

8.4. Тензоро-вероятностные модели анизотропии интенсивности трещиноватости массивов горных пород месторождений.

8.4.1. Лебединское.

8.4.2. Коробковское (шахта им. Губкина).

8.5. Показатели структурной раздробленности массивов горных пород месторождений.

8.5.1. Лебединское.

8.5.2. Коробковское.

8.6. Тензоро-статистическое моделирование модуля упругости квазиизотропной смеси.

8.7. Описание процессов дезинтеграции горных пород в классе статистико-анизотропных моделей.

8.7.1. Дробление и измельчение анизотропных горных пород.

8.7.2. Тензоро-статистическое моделирование зависимости выхода зерен лещадной формы от направления дробления.

8.7.3. Статистико-анизотропное моделирование выхода пластинчатых зерен при разных технологиях дробления.

8.7.4. Плотности вероятностей направлений воздействия разрушающей нагрузки.

8.7.5. Косвенный метод определения выхода лещадных зерен при разных способах дробления.

8.8. Статистико-анизотропное моделирование прочностных показателей конструктивных слоев дорожных одежд из анизотропного щебня.

8.8.1. Использование анизотропного щебня в дорожных одеждах.

8.8.2. Разработка семейства плотностей вероятностей распределения направлений анизотропного щебня в конструктивных слоях дорожных одежд.

8.8.3. Тензоро-статистическое моделирование прочностно-упругих показателей конструктивных слоев дорожных одежд.

8.9. Выводы.

Рост благосостояния граждан Российской Федерации возможен на основе устойчивого, поступательного развития экономики, эффективного использования производственного и природного потенциалов страны. При этом ограниченность, невосполнимость, исчерпаемость запасов минерального сырья и все возрастающие объемы его добычи в условиях научно-технического прогресса повышают роль научно-обоснованного подхода к бережному, рациональному и комплексному использованию земных недр - составной части важной проблемы взаимодействия человеческого общества и окружающей среды.

Под месторождениями (запасами) минерального сырья будем понимать объединение месторождений полезных ископаемых и вмещающие их попутно добываемые и используемые в промышленности горные породы, объемы которых составляют миллиарды кубических метров. Комплексное использование наряду с полезными ископаемыми и данных пород позволяет дополнительно снизить затраты на отвалообразование, рекультивацию земель, добычу, дробление и транспортировку вмещающих пород; обеспечить исходным минеральным сырьем строительную и дорожно-строительную индустрии; в целом повысить эффективность использования недр.

Однако, рациональное, комплексное и эффективное использование запасов минерального сырья возможно в том случае, когда при проектировании, добыче и переработке используется наиболее полная и достоверная информация о полезных ископаемых и вмещающих их горных породах; строительных и дорожно-строительных материалах, изделиях и конструкциях на основе попутно добываемых горных пород. Носителями информации и ее дополнительными источниками служат математические модели месторождений — одни из основных инструментов системных исследований и изучения свойств геологических объектов.

Исторически первым, в отсутствии ЭВМ, основным эффективным и распространенным методом изучения недр является геометризация или горно-геометрический анализ - детерминированная геометрическая модель месторождения, созданная П.К. Соболевским, описывающая, по его выражению [52] «свойства массы, заполняющей эксплуатируемое пространство». В результате геометризации геометрии форм, свойств, процессов выражаются планами гипсометрическими, изосодержаний, изомощностей, изолиний коэффициента вскрыши и др.

Тем не менее, методы геометрии, как и любые другие методы и теории, имеют свои границы применения, свой круг решаемых проблем. Существуют практические задачи, например: определение погрешностей оценок геологических показателей, которые неразрешимы в рамках геометрии.

Бурное развитие ЭВМ открывает новые перспективы для автоматизации процессов сбора и обработки геолого-маркшейдерской информации и построения геолого-математических моделей месторождений на качественно более высоком теоретическом уровне, с привлечением, например, математического анализа, тензорного исчисления, теории случайных функций и других математических дисциплин. Это позволяет решать с большей достоверностью более широкий круг проблем эффективного использования недр.

В процессе математического описания геологических, горно-технических условий разработки месторождений были выявлены следующие важные существенные, свойства геологических показателей:

- распределение геологического показателя, при его небольшой концентрации, по закону Пуассона и соответствие функции распределения характеру изменения признака в недрах (П.А. Рыжов, В.М. Гудков [100]);

- линейная зависимость стандарта распределения показателя от его среднего содержания (Г.И. Виллесов [71]);

- существование связей между значениями геологических показателей (С.Н. Иванов [87], A.A. Петров [88], Ж. Матерон [43]);

- анизотропия пространственного размещения геологических показателей Л.И. Четвериков [48], З.Д. Низгурецкий [104]);

- анизотропия связей между значениями геологических показателей (С.Э. Мининг, Г.М. Редькин [152]),

- анизотропия трещиноватости массива горных пород (С.Э. Мининг, Г.М. Редькин [213], С.А. Батугин [223]),

- анизотропия физико-механических параметров метаморфических сланцев (A.M. Гридчин, Н.И. Зощук [15], Г.М. Редькин [202]).

Для решения проблем рационального использования запасов минерального сырья исследователями: Е.И. Азбелем, П.П. Бастаном, С.А. Батугиным, Д.И. Боровским, В.А. Букринским, Г.И. Вилесовым, А.Б. Вистелиусом, A.B. Гальяновым, В.М. Гудковым, В.А. Дунаевым, А.Б. Кажданом, Д.А. Казаковским, В.М. Калинченко, П.Л. Каллистовым, Н.Г. Келлем, В.И. Кузьминым, A.M. Марголиным, Ж. Матероном, С.Э. Минингом, З.Д. Низгурецким, В.Н. Поповым, В.В. Руденко, П.А. Рыжовым, И.Н. Ушаковым, Л.И. Четвериковым и др. были разработаны математические методы, которые в разной степени отражают существенные свойства геологических показателей.

Вместе с тем предшествующие математические модели не учитывают анизотропии свойств запасов минерального сырья. Настоящая работа является продолжением, развитием и обобщением проведенных ранее исследований, она выполнена в формате системного подхода и отражает анизотропные структуры показателей месторождений полезных ископаемых и попутно добываемых горных пород, что повышает достоверность моделирования и служит важным фактором эффективного использования запасов минерального сырья.

Объектом исследований являются системы неоднородностей пространственного оруденения месторождений минерального сырья; трещиноватости массивов горных пород; структурно-текстурного строения вмещающих анизотропных горных пород, строительных и дорожно-строительных материалов, изделий и конструкций на их основе.

Предметом исследований тогда будут индуцированные данными неоднородностями анизотропные структуры изменчивости показателей оруденения, размещенных в пространстве недр; физико-механических и технологических свойств попутно добываемых вмещающих горных пород и строительных материалов на их основе; интенсивности трещиноватости массивов горных пород; показателей дезинтегрируемых горных пород, сланцеватой, слоистой, полосчатой текстур; упруго-деформационно-прочностных показателей конструктивных слоев дорожных одежд, сложенных из щебня пластинчатой формы.

Цель исследований: повышение эффективности использования месторождений полезных ископаемых и попутно добываемых вмещающих горных пород, создание основ для оптимального планирования качественных показателей и проектирования разработки минерального сырья, оптимизации параметров производства и его управления в оптимальном режиме.

Для достижения цели определены следующие задачи исследований:

- на базе анализа современного состояния проблемы рационального и комплексного использования недр сформулировать в формате системного анализа основные подходы и принципы построения математических моделей систем минерального сырья;

- данные принципы положить в основу разработки классификации математических моделей систем минерального сырья, в соответствие с которой дать анализ существующих классов математических моделей;

- исследовать зависимость эффективности использования минерального сырья от точности определения неуправляемых (природных) и управляемых (зависящих от деятельности человека) параметров производства;

- разработать обобщенные двойные ряды Фурье и методику определения математических ожиданий геологических показателей; разработать класс нестационарных анизотропных математических моделей пространственной изменчивости геологических показателей;

- в классе нестационарных анизотропных математических моделей установить на Ковдорском месторождении анизотропные структуры и математические ожидания размещенных в пространстве недр качественных показателей, направления максимальной однородности рудного сырья, рациональные параметры эксплуатационной сети;

- решить проблемы дискретного анизотропного крайгинга, регуляризации корреляционных функций, дисперсии средних значений геологических показателей в блоках, оптимизации объема геологоразведочных работ;

- разработать класс статистико-анизотропных математических моделей физико-механических параметров и трещиноватости массивов горных пород;

- в классе статистико-анизотропных математических моделей установить на месторождениях КМА анизотропные структуры физико-механических показателей сланцев и интенсивностей трещиноватости массивов горных пород, показатели структурной раздробленности данных массивов;

- установить зависимость содержаний зерен лещадной формы от параметров анизотропного минерального сырья; разработать тензоро-статистическую модель дезинтеграции анизотропных горных пород при разных технологиях дробления;

- разработать тензоро-статистическую модель прочностных показателей конструктивных слоев дорожных одежд из анизотропного щебня.

Настоящее моделирование выполнено в формате системного подхода и основных принципов построения математических моделей систем минерального сырья, которые заключаются в выборе и использовании на основе практических исследований, априорных или эвристических соображений определенных предположений первого и второго родов о свойствах изучаемых показателей. Эти предположения определяют тип модели и касаются функций связей между значениями показателей и закономерностей их пространственного размещения.

Ведущей идеей анизотропного математического моделирования является векторное представление исследуемого показателя с последующим переходом к квадрату проекции вектора (либо к ее модулю) на произвольное направление, который выражается через квадратную симметричную неособенную матрицу - тензор второго ранга. Полученный тензор описывает значения моделируемого показателя по любым направлениям и поэтому является более информативным математическим выражением, чем традиционно используемые числовые характеристики показателей - тензоры нулевого ранга.

Научная новизна исследований заключается в разработке:

- системы рационального и комплексного использования минерального сырья, а также понятий состояние месторождения и последовательность поведения состояний месторождения;

- классификации математических моделей систем минерального сырья по виду функций связей между значениями показателей и закономерностей их пространственного размещения;

- выражений для определения ущерба в зависимости от точности работы предприятия в оптимальном режиме;

- обобщенных двойного ряда и коэффициентов Фурье, позволяющих аппроксимировать любое количество данных опробования, размещенных в геометрических базах произвольной конфигурации и обобщения метода наименьших квадратов по увеличению числа аппроксимирующих функций;

- совокупных характеристик коррелированной и координированной изменчивостей, выраженных тензорами второго ранга и отражающих анизотропные структуры полей значений геологических показателей с учетом взаимосвязи этих значений между направлениями в пространстве;

- показателей анизотропии, представляющих собой экстремальные значения и направления изменчивости параметров месторождений; дискретного анизотропного крайгинга, формул регуляризации корреляционных функций, дисперсии среднего значения в блоке, критерия оптимизации объема геолого-разведочных работ;

- зависимостей выхода лещадных зерен от коэффициента пределов прочности при сжатий и от направления воздействия разрушающей нагрузки;

- тензоров второго ранга средних, среднеквадратичных значений и дисперсий показателей, которые определяют тензоро-статистические модели анизотропии физико-механических параметров пород слоистой, сланцеватой, полосчатой текстур;

- математического ожидания, дисперсии, экстремумов интенсивности трещиноватости массива горных пород и формы, ориентировки в пространстве, размеров средней естественной отдельности, блочности массива горных пород; семейств плотностей вероятностей распределений направлений воздействия разрушающей нагрузки в камерах дробления и ориентировок щебня пластинчатой формы в конструктивных слоях дорожных одежд;

- моделей выхода лещадных зерен при разных технологиях дробления и прочностных показателей конструктивных слоев дорожных одежд.

Методы исследований представлены научным анализом и обобщением результатов предшествующих исследований в области изучения и математического моделирования в формате системного подхода месторождений полезных ископаемых и попутно добываемых вмещающих анизотропных горных пород; методами горной и аналитической геометрий, линейной и векторной алгебр, тензорного исчисления, математического и системного анализов, математической статистики и теориями классификаций, аппроксимаций, погрешностей, матриц, вероятностей, случайных функций; вероятностно-статистическим анализом замеров качественных и физико-механических показателей минерального сырья с использованием ЭВМ.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Принципы построения и классификация математических моделей систем минерального сырья.

2. Тензоры совокупных характеристик коррелированной и координированной изменчивостей геологических показателей, порождающие класс нестационарных анизотропных моделей.

3. Методы определений: дискретного анизотропного крайгинга; регуляризации корреляционных функций и дисперсий средних значений в блоках; оптимизации объема геолого-разведочных работ.

4. Тензоры среднеквадратичных, средних значений, дисперсий значений показателей анизотропного сырья и интенсивности трещиноватости массива горных пород, индуцирующие класс статистико-анизотропных математических моделей.

5. Статистико-анизотропные модели показателей структурной раздробленности массивов горных пород, выхода зерен пластинчатой формы при разных технологиях дробления и прочностно-деформационных показателей конструктивных слоев дорожных одежд на анизотропном щебне.

6. Ортонормированная в геометрических базах произвольной конфигурации система тригонометрических функций и построенные на ее основе обобщенные двойной ряд и коэффициенты Фурье.

7. Методика аналитического определения математических ожиданий закономерностей пространственного размещения геологических показателей.

8. Методика определения эффекта деятельности предприятия от повышения точности его работы в оптимальном режиме.

Достоверность научных положений, результатов и выводов обоснована использованием результатов моделирования анизотропной структуры изменчивости компонентов Ковдорского месторождения при определении направлений максимальной однородности рудного сырья и рациональных параметров сети эксплуатационной разведки, внедренных в производство на Ковдорском ГОКе; совпадением направлений наименьших изменчивостей содержаний Бе и тектонических нарушений; сопоставимостью полученных результатов с геометрическим моделированием интенсивности трещиноватости и анизотропии изменчивости параметров залежи.

Практическая значимость и реализация результатов исследований. Разработанные классификация математических моделей систем минерального сырья облегчает выбор модели, описывающей изучаемый объект; методика определения эффекта деятельности предприятия от повышения точности его работы в оптимальном режиме позволяет решать проблемы оптимального управления производством, оптимальной точности измерений, экономической эффективности новой измерительной техники; обобщенные двойной ряд и коэффициенты Фурье позволяют определять математические ожидания (геометризацию) пространственного размещения концентраций оруденения в недрах, используемые при расчете кондиций на рудоминеральное сырье, оконтуривании и подсчете запасов, проектировании схемы вскрытия, порядка отработки и систем разработки, долгосрочном и оперативном планировании (проектировании) горных работ, нормировании запасов по степени их подготовленности, стабилизации качества сырья; тензоры совокупных характеристик координированной и коррелированной изменчивостей показателей, лежат в основе определения рациональных параметров разведочных сетей, направлений добычных работ, обеспечивающих максимальную однородность рудного сырья, и решения в формате класса нестационарных анизотропных моделей проблем оценок (дискретный анизотропный крайгинг) ковариаций и погрешностей оценок качественных показателей, необходимых для оптимизации параметров производства и определения эффективности его управления в оптимальном режиме; тензоро-вероятностная модель анизотропии интенсивности трещиноватости массива горных пород определяет ориентировку в пространстве и линейные размеры средней естественной отдельности и позволяет дополнительно найти следующие показатели структурной раздробленности: блочность, среднюю интенсивность трещиноватости, среднюю площадь сечения средней естественной отдельности, которые в совокупности влияют на анизотропию физико-механических параметров попутно-добываемых горных пород, на разрушаемость и дробимость используемых материалов, на рациональное освоение строительного, поделочного, облицовочного и декоративного камня; статистико-анизотропная модель выхода зерен пластинчатой формы, отражая минералогический состав, структурно-текстурное строение дробимого материала, способы и технологии дробления, определяет выходы лещадных зерен при дезинтеграции горных пород как известными щековыми, конусными, валковыми, молотковыми дробилками, так и при использовании новых технических решений; статистико-анизотропная модель конструктивных слоев дорожных одежд, описывая анизотропию показателей щебня пластинчатой формы, структуру его размещения в слое, степень уплотнения и расклинцовки последнего, определяет значения прочностно- деформационных показателей конструктивных слоев и может быть положена в основу проектирования дорожных одежд на анизотропном щебне.

Использование результатов моделирования анизотропной структуры изменчивости компонентов Ковдорского месторождения при отработе его участков в направлениях максимальной однородности рудного сырья и внедрение рациональных параметров сети эксплуатационной разведки на Ковдорском ГОКе позволило получить годовой экономический эффект в размере 113,7 тыс. руб., а управление горными работами в приконтактной зоне в режиме технического решения дало экономический эффект 500 тыс. руб. (эффекты в ценах 1981 года).

Статистико-анизотропная модель выхода лещадных зерен при дроблении горных пород использована при разработке пресс-валкового агрегата (решение РОСПАТЕНТа о выдаче патента на изобретение по заявке № 2007112760/03(013856) от 05.04.2007 года), который внедрен в технологическую линию производства силикатного кирпича ОАО «КСМ» с годовым экономическим эффектом 427788 рублей.

С целью интенсификации учебного процесса в высшей школе и фундаментализации естественно-научных дисциплин целесообразно разработанные в диссертации анизотропные математические модели использовать в учебном процессе в составе учебников и учебных пособий.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили одобрение на конференции маркшейдеров КМА «Новые методы и технические средства производства маркшейдерских работ» (г.Белгород, ВИОГЕМ, 1975 г.); научно-технической конференции молодых ученых и специалистов по вопросам развития КМА (г.Белгород, ВИОГЕМ, 1976 г.); Всесоюзном совещании «Задачи геологической и маркшейдерской служб отрасли в области улучшения использования полезных ископаемых и усиления охраны недр» (г.Белгород, ВИОГЕМ, 1977г.); XXII научно-технической конференции (Москва, ВЗПИ, 1978 г.); 17-м Международном симпозиуме по применению ЭВМ и математических методов в горных отраслях промышленности (СССР, Москва, 1980 г.); заседаниях кафедры маркшейдерского дела и геодезии (Москва, ВЗПИ, 1976, 1978 г.г.); горной секции научно-технического совета Ковдорского ГОКа (г.Ковдор, КГОК, 1981 г.); НТС института ВИОГЕМ; Всесоюзном научно-техническом совещании «Научно-технические проблемы повышения эффективности работ и совершенствования маркшейдерской службы на горных предприятиях страны» (г.Свердловск, 1984 г.); Всесоюзной конференции «Фундаментальные исследования и новые технологии в строительном материаловедении» (г.Белгород, БТИСМ, 1989 г.); Всесоюзной конференции «Физико-химические проблемы материаловедения и новые технологии» (г.Белгород, БТИСМ, 1991 г.); Международной конференции «Ресурсосберегающие технологии строительных материалов изделий и конструкций» (г.Белгород, БТИСМ, 1993 г.); Международной конференции «Ресурсо - и энергосберегающие технологии строительных материалов, изделий и конструкций» (г.Белгород, РААСН, БелГТАСМ, 1995 г.); Международной научно-технической конференции «Проблемы информатики и моделирования» (г.Харьков, НАНУ, НТУ «ХПИ», 2001 г.); Международной научно-практической конференции «Рациональные энергосберегающие конструкции, здания и сооружения в строительстве и коммунальном хозяйстве» (г.Белгород, РААСН. БелГТАСМ, 2002 г.); Международном конгрессе «Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии», посвященном 150-летию В.Г. Шухова (г.Белгород, БелГТУ, 2003 г.); Восьмых академических чтениях РААСН «Современное состояние и перспектива развития строительного материаловедения» (г.Самара, РААСН, СГАСУ, 2004 г.); Международной конференции «Геомеханика, механика подземных сооружений» (г.Тула, РАЕН, ТулГУ, 2005 г.); Международной научно-практической конференции «Современные технологии в промышленности строительных материалов и стройиндустрии» (г.Белгород, РААСН, БелГТУ, 2005 г.); Девятых академических чтениях РААСН «Новые научные направления строительного материаловедения» (г.Белгород, РААСН, БелГТУ, 2005 г.); научном симпозиуме «Неделя горняка - 2006» (Москва, ИПКОН РАН-МГГУ, 2006 г.); Международной научно-практической конференции

Научные исследования, наносистемы и ресурсосберегающие технологии в стройиндустрии» (г.Белгород, РААСН, БелГТУ, 2007 г.); научном симпозиуме «Неделя горняка - 2008» (Москва, ИПКОН РАН -МГГУ, 2008 г.); общем собрании РААСН «Здоровье населения - стратегия развития среды жизнедеятельности» (г. Белгород, РААСН, БелГТУ, 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 69 научных работ, в том числе 3 монографии, 2 авторских свидетельства, решение о выдаче патента на изобретение, 19 публикаций в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 8 глав, заключения, списка используемой литературы, приложений, включая 50 рис. и 58 табл. Работа изложена на 415 стр. машинописного текста, содержит 368 стр. основного текста, список литературы из 297 наименований на 22 стр., 11 приложений на 25 стр.

8.9. Выводы

1. Разработанные тензоро-статистические модели адекватно описывают анизотропные структуры физико-механических параметров попутно добываемых вмещающих горных пород слоистых, полосчатых, сланцеватых текстур основных генетических групп: магматических, осадочных, метаморфических из различных регионов, включая КМА, что необходимо для решения научно-технических проблем строительного материаловедения, оптимизации эффективности производства и использования строительных и дорожно-строительных материалов.

2. Выявлены сильные корреляционные зависимости содержаний лещадных зерен от коэффициентов анизотропии пределов прочности при сжатии для магматических и метаморфических горных пород и средние для осадочных горных пород. Причем полученные уравнения регрессии практически не зависят от генетических типов пород.

3. Установлено, что метаморфические сланцы КМА и Ларса (Сев. Кавказ) образуют статистически однородную совокупность отличную от однородной совокупности анизотропных горных пород приуроченных к месторождениям Мурманской обл., Карелии, Украины, Урала и др.

4. На основе разработанных тензоро-вероятностных моделей анизотропии интенсивности трещиноватости массивов горных пород Лебединского и участков Коробковского (шахта им. Губкина) месторождений определены ориентировки в пространстве, параллелепидальные формы и линейные размеры средних естественных отдельностей данных массивов. Это позволило дополнительно найти следующие показатели структурной раздробленности моделируемых массивов горных пород: блочность, среднюю интенсивность трещиноватости, среднюю площадь сечения средней естественной отдельности. Данные показатели влияют на анизотропию физико-механических параметров попутно-добываемых горных пород; на разрушаемость и дробимость используемых материалов; на рациональное освоение строительного, поделочного, облицовочного и декоративного камня.

5. Разработанная тензоро-статистическая модель физико-механических показателей квазиизотропной статистической смеси открывает новые перспективы в исследовании физических свойств пород и решении широкого круга задач практики.

6. Разработанная статистико-анизотропная модель выхода зерен пластинчатой формы отражает минералогический состав, структурно-текстурное строение дробимого материала - природные, независящие от деятельности человека факторы первого рода, и способы, технологии дробления, которые формируются деятельностью человека (управляемые факторы второго рода). Это позволяет определять эффективность как известных так и новых способов дезинтеграции анизотропных горных пород.

7. Разработанная тензоро-статистическая модель конструктивных слоев дорожных одежд отражает анизотропию прочностно-упруго-деформационных показателей щебня пластинчатой формы, структуру его размещения в слое, степень уплотнения и расклинцовки последнего. Данная модель может быть положена в основу проектирования дорожных одежд на анизотропном щебне.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ современного состояния проблемы математического моделирования систем месторождений минерального сырья, литературных источников и результаты выполненных исследований приводят к следующему утверждению. Научно-обоснованный подход к рациональному и эффективному освоению месторождений полезных ископаемых и попутно добываемых анизотропных горных пород возможен на базе математических моделей систем минерального сырья. Данные модели являются основным инструментом изучения свойств минерального сырья, носителем и дополнительным источником информации о нем, которая необходима для оптимизации параметров производства и определения эффективности его управления в оптимальном режиме.

В формате построенных развивающих системные представления системы рационального и комплексного использования минерального сырья (1.4) и понятий состояние месторождения, последовательность поведения состояний месторождения, а также подходов и принципов математического моделирования разработана классификация математических моделей систем минерального сырья (табл. 1.1) по виду функций связей между значениями показателей и закономерностей их пространственного размещения, которая облегчает выбор модели, описывающей изучаемый объект.

Согласно классификации (табл. 1.1) пятый уровень моделирования во всех классах моделей представляет собой методику аналитического определения математического ожидания пространственного размещения показателя на базе разработанной ортонормированной в геометрических полях произвольной конфигурации системы тригонометрических функций и построенных на ее основе обобщенных двойного ряда и коэффициентов Фурье, которую можно использовать при оконтуривании, обосновании кондиций, подсчету запасов минерального сырья; планировании (проектировании) добычи полезного ископаемого и горных работ в режиме усреднения рудной массы; поддержании технологического режима при переработке и др.

Предложенная методика определения эффекта деятельности предприятия от повышения точности его работы в оптимальном режиме позволяет решать проблемы оптимизации параметров производства, его управления в оптимальном режиме, оптимальной точности измерений, экономической эффективности новой измерительной техники. Для этого необходимы (см. главу 2) значения математических ожиданий, ковариаций и дисперсий параметров производства. Данные характеристики принимают наиболее достоверные значения в разработанных классах статистико-анизотропных и нестационарных анизотропных моделей (табл. 1.1) потому, что в отличии от предшествующих моделей они отражают анизотропные структуры значений и связей между значениями геологических показателей.

Разработанная тензорная совокупная характеристика коррелированной изменчивости отражает анизотропную структуру поля значений геологического показателя с учетом взаимосвязи этих значений между направлениями в пространстве. Ее скалярное произведение на направляющие орты дает порождающую класс нестационарных анизотропных математических моделей тензорную корреляционную функцию, а приведение к главным осям позволяет определить показатели анизотропии - направления наибольших и наименьших связей и экстремальные значения связей по этим направлениям и привести тензор к диагональному виду в системе его главных осей, а корреляционную функцию к наиболее простой канонической форме, геометрическая интерпретация которой представляет квадрат модуля радиуса-вектора подеры в плоскости, либо подероида в пространстве. Тензорная корреляционная функция описывает наиболее полную совокупность существенных свойств показателей месторождений, в том числе анизотропию и значений, и силы связей между значениями геологического показателя в зависимости от шага к и направления в пространстве п. Поэтому применение разработанной в классе нестационарных анизотропных моделей тензорной корреляционной функции повышает достоверность определения оценок и погрешностей оценок (математических ожиданий, дисперсий, ковариаций) геологических показателей, что необходимо для эффективности оптимизации параметров производства и его управления в оптимальном режиме.

Построена нестационарная анизотропная математическая модель Ковдорского месторождения комплексных железных руд, представляющая собой описанные тензорными корреляционными функциями анизотропные структуры коррелированной изменчивости компонентов

Ее, Р205, КГК, С02 и математические ожидания (геометризация) содержаний Ее и Р205, определенные по предложенной методике (глава 3) на базе разработанных обобщенных двойных рядов Фурье (глава 4). На основе построенной модели установлены:

- наличие большей анизотропии у Ее, С02, КГК, меньшей у Р205 и совпадение тенденций направлений наименьших изменчивостей содержаний Ре с направлениями тектонических нарушений, это свидетельствует о существенном влиянии тектонических нарушений на анизотропную структуру изменчивости содержаний Ре\

- подобие анизотропных структур изменчивости названных компонентов на десяти исследуемых горизонтах 70, 82, ., 178 м, что хорошо согласуется с геологическими особенностями Ковдорского месторождения, заключающимися в трубообразной форме, вертикальном падении, сложной конфигурацией в плане контактов между КЖР и МЖАР;

- направления отработок участков, обеспечивающих максимальную однородность рудного сырья, внедрение которых в производство дало экономический эффект в сумме 72,3 тыс. руб.;

- размеры рациональных параметров сети эксплуатационной разведки 25м в направлении профилей и 50м в крест им, внедрение которых в производство дало годовой экономический эффект в сумме 71,7 тыс. руб. (эффекты получены в ценах 1981 года).

Управление горными работами в приконтактной зоне в режиме технического решения [158] дало экономический эффект в сумме 500 тыс. руб.

Кроме того, в формате класса нестационарных анизотропных математических моделей решены следующие проблемы рациональной эксплуатации недр:

- дискретного анизотропного крайгинга — оценки среднего содержания в блоке, минимизирующей дисперсию разности истинного среднего значения и оценки, его применение эффективно в суточных сменных и более малых объемах в целях стабилизации качества руда и в приконтактных зонах при оптимизации потерь и засорения рудной массы;

- регуляризации корреляционных функций и дисперсий, которые могут служить основой для оптимизации параметров при планировании горного производства и решения проблем повышения однородности добываемой рудной массы;

- дисперсии среднего значения геологического показателя относительно истиной средней в блоке, которая позволяет установить имеющие практическое значение две геометрические константы месторождения, существенно уточнить погрешности определения средних значений в блоках, что необходимо для оптимизации параметров горного производства и повышения эффективности управления горными работами в оптимальном режиме;

- оптимизации объема геолого-разведочных работ на ранней стадии разведки, снижающей риск экономических потерь при введении месторождения в эксплуатацию.

Координированная изменчивость показателей представлена во всех классах математических моделей, начиная со второго уровня моделей (табл. 1.1). Поэтому актуальная и важная проблема математического моделирования ее анизотропии решена в классе нестационарных анизотропных моделей путем разработки тензорной характеристики координированной изменчивости, описывающей средне-квадратическую скорость роста поля значений закономерной составляющей геологического показателя в произвольном направлении. Приведение тензора анизотропии координированной изменчивости к главным осям определяет направления наибольших и наименьших изменчивостей и ее экстремальные значения по этим направлениям. При этом тензор в системе главных осей принимает диагональный вид, а индуцированная им тензорная характеристика координированной изменчивости наиболее простую каноническую форму, геометрическая интерпретация которой дает подероид в пространстве и подеру в плоскости. Тензорная характеристика координированной изменчивости может служить основой для решения различных проблем рационального использования недр, включая геометрию разведочных сетей, определение направлений добычных работ с целью стабилизации содержаний полезных компонентов в добытой рудной массе и т.д.

Согласно основным положениям теории систем (параграф 1.3) попутно добываемые горные породы представляют собой природную систему. В качестве элементов этой системы выступают минералы - природные химические соединения, однородные по своему составу, внутреннему строению и физическим свойствам. Между минералами различают связи сильные, в этом случае породы твердые (скальные, полускальные); водно-коллоидные, отвечающие глинистым породам; либо отсутствие связей у раздельно-зернистых пород. Минералы (элементы) и связи между ними образуют структуру системы (породы), которая характеризует строение, упорядоченность организованность системы.

Приведенная классификация пород по признакам строения (см. табл. 7.1) способствует их систематизированному изучению и прогнозированию свойств. При этом текстуры: слоистая, сланцеватая, полосчатая, флюидальная индуцируют анизотропию физико-механических параметров метаморфических, осадочных, магматических пород.

Эффективные технологии рационального использования попутно добываемых анизотропных горных пород в строительной и дорожно-строительной индустриях возможны в том случае, когда они базируются на изученности горных пород, на наиболее полной и достоверной информации об их физико-механических и технологических свойствах. Одним из основных методов изучения свойств и процессов в строительном материаловедении является их математическое моделирование, которое отражает внутреннюю сущность исследуемых явлений и процессов. Математические модели, будучи математическим эквивалентом исследуемых свойств и процессов, являются носителями информации об изучаемых объектах и ее дополнительными источниками. При этом дополнительная информация, полученная в результате моделирования объекта, обуславливает эффективность математического моделирования.

Применяя геостатический метод разделения изучаемых совокупностей показателей на статистически однородные части полей корреляции, выявлены сильные корреляционные зависимости содержаний лещадных зерен от коэффициентов анизотропии пределов прочности при сжатии для магматических и метаморфических горных пород из различных регионов и средние для осадочных горных пород. Причем полученные уравнения регрессии практически не зависят от генетических типов пород. Кроме того, установлено, что метаморфические сланцы КМА и Ларса (Сев. Кавказ) образуют статистически однородную совокупность отличную от однородной совокупности анизотропных горных пород приуроченных к месторождениям Мурманской обл., Карелии, Украины, Урала и др.

Традиционно анизотропию изучаемого параметра породы слоистой текстуры характеризуют коэффициентом анизотропии, представляющим собой число — тензор нулевого ранга, минимально информативный объект, который не может описать значения исследуемого показателя по разным направлениям.

В соответствии с ведущей идеей исследований разработан в классе статистико-анизотропных моделей (табл. 1.1) более информативный смысловой аналог коэффициента анизотропии - тензор второго ранга Т среднеквадратичных значений параметров анизотропного сырья, который удовлетворяет всем установленным свойствам данных параметров и, поэтому, достоверен.

Тензор Т индуцирует (порождает) тензоры М средних значений (математических ожиданий) и дисперсий £> значений показателей, которые определяют в том же классе тензоро-статистическую модель анизотропии физико-механических параметров пород слоистой, сланцеватой, полосчатой текстур. Данная модель выражает математические ожидания (средние значения) и дисперсии (погрешности значений) исследуемых параметров в зависимости от направления изучения анизотропных горных пород и удовлетворяет установленным свойствам данных параметров, что свидетельствует о ее достоверности. Геометрическим аналогом тензоров М и £) являются эллипсы, а геометрическим местом проекций эллипсов на произвольные оси - подеры математических ожиданий и стандартов значений показателей минерального сырья.

Для железистых, малорудных и безрудных кварцитов, сланцев подсвит

К2 , К2 и свиты К2 = К2 и К2 Лебединского месторождения построены тензоро-статистические модели анизотропии следующих физико-механических параметров: пределов прочности при сжатии, растяжении, изгибе; динамического, статистического модулей упругости; предельной деформации; скорости ультразвука.

Аналогично, по экспериментальным данным пределов прочности при сжатии и растяжении вдоль и поперек сланцеватости андалузито-, серицито-, кварцево-, гранато-, биотитовых кристаллических сланцев Стойленского месторождения и анизотропных горных пород основных генетических групп из различных регионов построены тензоро-статистические модели анизотропии данных параметров. Приведены примеры геометрических интерпретаций полученных математических моделей, это индикатрисы анизотропных структур исследованных параметров, выраженные графиками подер и квадратов подер.

Построенные математические модели являются существенно более информативными аналогами коэффициента анизотропии. Они удовлетворяют установленным пяти свойствам сланцеватых пород и, поэтому, адекватно описывают анизотропные структуры исследуемых физико-механических параметров горных пород сланцеватой слоистой, полосчатой текстур, что необходимо для решения научно-практических проблем строительного материаловедения, оптимизации эффективности производства и использования строительных и дорожно-строительных материалов.

Согласно ведущей идее анизотропного математического моделирования построен вектор системы трещин, являющийся адекватным математическим эквивалентом системы трещин. Строго аналитически доказано и проверено экспериментальным моделированием, что модуль проекции этого вектора на направляющий орт е выражает обусловленную данной системой интенсивность трещиноватости в направлении орта е.

На основе отождествления развитых в массиве горных пород п систем трещин со случайными векторами систем трещин разработана в классе статистико-анизотропных моделей (табл. 1.1) тензоро-вероятностная модель анизотропии трещиноватости массива горных пород, представляющая собой индуцированную п системами трещин интенсивность трещиноватости ь(е), выраженную суммой п модулей проекций математических ожиданий случайных векторов на направление орта е, и дисперсию интенсивности трещиноватости о(е) в направлении е, равную скалярному произведению разработанного тензора погрешности интенсивности трещиноватости совокупности п систем трещин на орт е. Данная модель позволит эффективно решать задачи структурной и инженерной геологии, механики горных пород, строительного материаловедения при использовании попутно добываемых вмещающих горных пород в качестве строительных и природных облицовочных материалов.

Кроме того, разработанная методика нахождения экстремумов анизотропии интенсивности трещиноватости ь{е) массива горных пород дает дополнительную информацию необходимую для определения прочностных и напряженно деформационных параметров состояний массивов горных пород; разрушаемости и дробимости горных пород; механико-технологических свойств строительных. и природных облицовочных материалов.

На базе тензоро-вероятностной модели анизотропии интенсивности трещиноватости и разработанного тензора квадратичных значений интенсивности трещиноватости определены следующие показатели структурной раздробленности массива горных пород при развитии в нем любого количества систем трещин: параллелепидальная форма, ориентировка в пространстве и размеры средней естественной отдельности; блочность массива горных пород; средняя интенсивность трещиноватости; средняя площадь сечения средней естественной отдельности, которые являются основным инструментом изучения трещинной тектоники.

По выполненным замерам элементов залегания систем трещин построены тензоро-вероятностные модели анизотропии интенсивности трещиноватости горных пород Лебединского и участков Коробковского (шахта им. Губкина) месторождений на основе которых определены следующие показатели структурной раздробленности моделируемых массивов: ориентировки в пространстве и линейные размеры параллелепидальных форм средних естественных отдельностей, блочности, средние интенсивности трещиноватости, средние площади сечений средних естественных отдельностей. Данные показатели влияют на анизотропию физико-механических параметров попутно добываемых горных пород; на прочностные, напряженно-деформационные параметры массивов пород; на разрушаемость и дробимость используемых материалов; на рациональное освоение строительного, поделочного, облицовочного и декоративного камня.

Применение разработанной тензоро-статистической модели показателей анизотропных горных пород к определению математических ожиданий параметров квазиизотропной статистической смеси, открывает новые теоретически обоснованные перспективы в исследовании физических свойств пород и решении широкого круга задач геомеханики, строительного материаловедения и др.

На основе разработанных тензоро-статистической модели зависимости выхода зерен лещадной формы от направления дробления и двух параметрического семейства плотностей вероятностей направлений воздействия разрушающей нагрузки построена статистико-анизотропная модель выхода зерен пластинчатой формы при разных технологиях дробления. Данная модель отражает минералогический состав, структурно текстурное строение дробимого материала - природные, независящие от деятельности человека, факторы первого рода и способы, технологии дробления, которые формируются деятельностью человека (управляемые факторы второго рода). Это позволяет определять эффективность как известных так и новых способов дезинтеграции анизотропных горных пород.

На базе разработанных тензоро-статистической модели прочностных показателей анизотропного щебня и семейства плотностей вероятностей распределения направлений пластинчатой формы щебня в конструктивном слое построена тензоро-статистическая модель конструктивных слоев дорожных одежд, которая отражает анизотропию прочностно-упруго-деформационных показателей щебня пластинчатой формы, структуру его размещения в слое, степень уплотнения и расклинцовки последнего. Данная модель может быть положена в основу проектирования дорожных одежд на анизотропном щебне.

Так как изотропность частный случай анизотропии (см. подпараграф 5.3.3, рис. 5.5), то настоящая работа является теоретическим фундаментом рационального и комплексного использования недр, ее применение в горной геометрии, структурной и инженерной геологии, механики горных пород, строительном материаловедении способствует эффективному решению научных, производственных, экологических и социальных проблем.

1. Лесовик B.C. Строительные материалы из отходов горнорудного производства Курской магнитной аномалии: Учебное пособие. /B.C. Лесовик. М. - Белгород: Изд-во АСВ, 1996. - 155 с.

2. Гридчин A.M. Вскрышные породы КМА в дорожном строительстве /A.M. Гридчин, И.В. Королев, В.И. Шухов. Воронеж: ЦентральноЧерноземное кн. изд-во, 1983.- 95с.

3. Гридчин A.M. Дорожно-строительные материалы из отходов промышленности. Учеб. Пособие/А.М. Гридчин. Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 1997.- 204с.

4. Агошков М. И. Развитие идей и практики комплексного освоения недр/М.И. Агошков. М.: ИПКОН АН РФ, 1982.

5. Colling R.K., Winter A. A., Feasbyd.V. The utilization of mineral water." I. Gas. Ceram. Sea".

6. Watson K. L., Grant E.D., Jones R. M. Potential use for slate waste " Precast concrete", 1976, v 7, n 9, Sibliegr, 9 re.f.

7. Dek F., Word L.S., Lovell C.V. Use of slate inemban kments. Transp. Res. Board. Spec. Rept. 1974, N149, 67-96.

8. Watcner N. F. Shale Road pavements. " Contract and constr. Eqvips". 1969, 16, N6.

9. Комплексное использование сопутствующих пород при добыче руд КМА в производстве строительных материалов.- Белгород: Изд-во БТИСМ, 1973.-215 с.

10. Комплексное использование нерудных пород КМА в строительстве. Том I.- М.: Изд-во МИСИ, БТИСМ, 1975. Вып. 13. 145 с.

11. Строительные изделия конструкции и сооружения. Том II. М.: Изд-во МИСИ, БТИСМ, 1975. - Вып. 12. - 146 с.

12. Комплексное использование нерудных пород КМА в строительстве. Том 2.- М.: Изд-во МИСИ, БТИСМ, 1976. Вып. 21. - 121 с.

13. Комплексное использование нерудных пород КМА в строительстве. Том 3. Сб. научн. тр. М.: Изд-во МИСИ, БТИСМ, 1977. Вып. 27. - 175 с.

14. Малыхина B.C. Влияние формы зерен крупного заполнителя на анизотропию прочности бетона/ B.C. Малыхина, Н.И. Зощук // Комплексное использование нерудных пород КМА в строительстве: Сб. научн. тр. М.: Изд-во МИСИ, БТИСМ, 1979. - С. 100-104.

15. Зощук Н.И. Скальные породы Курской магнитной аномалии — сырье для строительных материалов/ Н.И. Зощук. — М.: Стройиздат, 1986. 140 с.

16. Сопин М.В. Исследования по обогащению продуктов дробления нерудных полезных ископаемых по крупности и форме зерен: дис. . канд. техн. наук: 05.15.08/ Сопин Михаил Васильевич. — Днепропетровск, 1982. — 127 с.

17. Смирнов В.И. Геология полезных ископаемых/ В.И. Смирнов. — М.: Недра, 1969.-688 с.

18. Каждан А.Б. Методологические основы разведки полезных ископаемых/А.Б. Каждан. -М.: Недра, 1974. —270 с.

19. Рац М.В. Неоднородность горных пород и их физических свойств/М.В. Рац. -М.: Наука, 1968. 108 с.

20. Дунаев В.А. Магномагнетитовая формация Тунгусской синеклизы/ В.А. Дунаев. Белгород: ВИОГЕМ, 1998. - 260 с.

21. Казикаев Д.М. Методические рекомендации по изучению трещиноватости массива скальных пород для решения задач механики горных пород/ Д.М. Казикаев, Г.И. Чухлов. Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1976.-59 с.

22. Рац М.В. Трещиноватость и свойства трещиноватости горных пород/ М.В. Рац, С.Н. Чернышев. М.: Недра, 1970. - 160 с.

23. Ушаков И.Н. Горная геометрия/ И.Н. Ушаков. М.: Недра, 1979. — 440 с.

24. Волкова В.Н. Основы теории системного анализа/ В.Н. Волкова, A.A. Денисов. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГТУ, 1997. - 510 с.

25. Советов Б.Я. Моделирование систем/ Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. — М.: Высшая школа, 1998. 320 с.

26. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа/ H.H. Моисеев.-М.:.Наука, 1981.-488 с.

27. Вентцель Е.С. Исследование операций/ Е.С. Вентцель. М.: Сов. радио, 1978. - 551 с.

28. Bertalanfy L. Theoretische Biologie. В., 1932.

29. Берталанфи Л. фон. Общая теория систем — критический обзор/ Л. Берталанфи // Исследования по общей теории систем. — М.: Прогресс, 1969.-С. 23-82.

30. Богданов A.A. Теория организации, или Тектология/ A.A. Богданов. -М.: 1913.

31. Шмальгаузен И.И. Основы дарвинизма/ И.И. Шмальгаузен. М., 1960.

32. Уемов А. И. Системный подход и общая теория систем/ А.И. Уемов. М.: Мысль, 1978. - 272 с.

33. Месарович М. Общая теория систем: математические основы/ М. Месарович, И. Такахара. М.: Мир, 1978. — 311 с.

34. Афанасьев В.Г. Проблема целостности в философии и биологии/ В.Г. Афанасьев.- М.: Мысль, 1984. -416 с.

35. Исследования по общей теории систем: Сб. переводов / Под ред. В.Н. Садовского и Э. Г. Юдина. М.: Прогресс, 1969. -520 с.

36. Букринский В.А. Перспективы развития геометрии недр/ В.А. Букринский, Ю.В. Коробченко. // Геометризация месторождений полезных ископаемых. — М.: Недра, 1977. — С. 5 -11.

37. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей/ А.Д. Мышкис. -М.: Наука, 1994. 191 с.

38. Кузьмин В.Н., Геомертизация и рациональное использование недр/

39. B.И. Кузьмин, С.Э. Мининг, Г.М. Редькин. -М.: Недра, 1991. -320 с.

40. Матерон Ж. Основы прикладной геостатистики/ Ж. Матерон. М.: Мир, 1968.-408 с.

41. Воронин Ю.А. К математико-логическому освоению геологических классификаций/ Ю.А. Воронин // Геология и геофизика. 1963. - №-9.1. C. 129-133.

42. Волкова В.Н. Методы формализованного представления систем: Текст лекций/ В.Н. Волкова, Ф.Е. Темников. М.: ИПКИР, 1974. - 114 с.

43. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера/ В.П. Сигорский. Киев: Техшка, 1977. - 766 с.

44. Кухтенко А.И. Об аксиоматическом построение математической теории систем/А.И. Кухтенко// Кибернетика и вычислительная техника. — Киев: Наукова думка, 1976. С. 3 - 25.

45. Четвериков Л.И. Теоретические основы моделирования тел твердых полезных ископаемых/ Л.И. Четвериков. Воронеж: Воронежский университет, 1968. - 152 с.

46. Ландкоф Н.С. Введение в теорию вероятностей/ Н.С. Ландкоф. — Харьков: ХГУ, 1968. 236 с.

47. Пугачев B.C. Теория случайных функций/ B.C. Пугачев. М.: Физматгиз, 1960. - 883 с.

48. Вентцель Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель. — М.: Наука, 1969.-576 с.

49. Соболевский П.К. Современная горная геометрия/ П.К. Соболевский // Научные труды МГИ: Сб. научн. тр. М., 1969. - С. 18 — 63.

50. Казаковский Д.А. Оценка точности результатов в связи с геометризацией и подсчетом запасов месторождений/ Д.А. Казаковский. — М.: Углетехиздат, 1948, 132 с.

51. Гудков В.М. О применимости формул математической статистики при оценке результатов разведки/ В.М. Гудков // Научные труды. — М.: МГИ, 1959. Выпуск 25. - С. 3 -30.

52. Кузьмин В.И. К оценке ошибок аналогий запасов месторождений полезных ископаемых/ В.И. Кузьмин, В.Н. Зарайский // Известия вузов, Горный журнал. 1961. - №2. - С. 41 - 50.

53. Зарайский В.Н. К определению изменчивости показателей месторождений с помощью вторых разностей/ В.Н. Зарайский, В.И. Кузьмин // Известия вузов, Геология и разведка. 1965. - №1. - С. 94 - 96.

54. Дунаев В.И. Компьютерные технологии месторождений полезных ископаемых/ В.И. Дунаев, В.А. Ермолов, В.П. Зервандова, С.С. Серый// Изд. вузов. Геология и разведка. — 2000. №1. — С. 76-84.

55. Финаревский И.И. Решение маркшейдерских задач на ЭВМ вычислительных центров/ И.И. Финаревский, З.Д. Низгурецкий, Е.И. Рыхлюк и др. М.: Недра, 1975. — 125 с.

56. Низгурецкий З.Д. Автоматическое построение геолого-маркшейдерских планов в изолиниях с применением ЭВМ «Минск 32» и электрокоординатографа «Атлас-2»/ З.Д. Низгурецкий, C.B. Захаров // Сб. науч. тр. / ВНИМИ. - Л., 1975.-Выпуск 97.-С. 110-118.

57. Захаров C.B. Использование степенных полиномов для описания закономерностей размещения компонент и мощности в залежах/ C.B. Захаров // Научн. тр. / ВНИМИ. Л., 1970. - Выпуск 80. - С. 257-262.

58. Симкин Б.А. Аналитическое моделирование месторождений и их открытой разработки/ Б.А. Симкин, Ю.К. Шкута. М.: Наука. 1976. — 152 с.

59. Симкин Б.А. О принципиальной оценке математических моделей месторождений полезных ископаемых/ Б.А. Симкин, Ю.К. Шкута // Горный журнал. 1978. - №12. - С. 29 - 30.

60. Дубов Р.И. Количественные исследования геохимических полей для поисков рудных месторождений/ Р.И. Дубов. Новосибирск: Наука. 1974.-275 с.

61. Дубов Р.И. Построение геохимических карт и разрезов с помощью электронно-вычислительных машин/ Р.И. Дубов// Математические методы в геологии и геологическая информация. М., 1972. - С. 15-21.

62. Шиманский A.A. Составление геохимических карт и разрезов с помощью интерполяции и тренд-анализа/ Шиманский A.A., Л.П. Плотников // Математическая обработка данных в поисковой геохимии. Новосибирск, 1976. - С. 82 - 93.

63. Аппроксимация функций вида h=f(x:y) уравнением Лапласа: Инструктивные указания, серия VII (подсчет запасов) / Мин-во геол. Каз. ССР. Алма-Ата, 1972. - Выпуск 3. - 49 с.

64. Савинский И.Д. Применение математических методов и ЭВМ при выборе разведочных сетей и построении планов в изолиниях/ И.Д. Савинский. М.: Недра, 1974. - 115 с.

65. Рыжов П.А. Геометрия недр/ П.А. Рыжов. М.: Углетехиздат, 1952. - 604 с.

66. Букринский В.А. Практический курс геометрии недр/ В.А. Букринский. М.: Недра, 1965. - 244 с.

67. Боровский Д.И. Оптимизация извлечения полезных ископаемых из недр на основе эксплуатационной геометризации рудных месторождений: дис. докт. техн. наук: 05.15.01/Боровский Дмитрий Иванович.-М.: Изд-во МГГУ, 1995г.-340с.

68. Вилесов Г.Н. Геометризация золоторудных месторождений/ Г.И. Вилесов // Вопросы рационализации маркшейдерской службы на горных предприятиях. М., 1955. - С. 101 - 129.

69. Вилесов Г.Н. Методика геометризации месторождений/ Г.И. Вилесов, А.М. Ивченко, И.М. Диденко. М.: Недра, 1973. - 176 с.

70. Кузьмин В.И. Геометризация и подсчет запасов месторождений твердых полезных ископаемых/ В.И. Кузьмин. М.: Недра, 1967. -244 с.

71. Боровский Д.И. Информационный подход к обоснованию разведочных и горных работ песчано-гравийных месторождений /Д.И. Боровский //13 международный конгресс.-Будапешт, Венгрия, 2007.-С. 914.

72. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями/ А. Хальд. -М.: ИЛ, 1956. 664 с.

73. Смирнов Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений/ Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. -М.: Наука, 1965. 242 с.

74. Худсон Д. Статистика для физиков/ Д. Худсон. М.: Мир, 1967. -242 с.

75. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.Е. Гмурман. М.: Высшая школа, 1977. - 480 с.

76. Гихман И.И. Теория вероятностей и математическая статистика/ И.И. Гихман, A.B. Скороход, М.И. Ядренко. Киев: Выща школа, 1988. — 440 с.

77. Брусенцев А.Г. Численное моделирование стационарного пламени/ А.Г. Брусенцев, B.C. Брусенцева, Ю.А. Фокин// Компьютерное моделирование: Сб. научн. тр. Белгород: Изд-во БелГТАСМ-БИИМ, 1998.-С. 286-293.

78. Псарев Н. Приложения теории вероятностей к вычислениям на золото/ Н. Псарев // Вестн. золотопромышлен. 1899. №15.

79. Шаманский Л.И. Математическая обработка разведочных данных/ Л.И. Шаманский. -М.: ГОНТИ, 1936.

80. Барышев Н.В. Анализ ошибок подсчета запасов твердых полезных ископаемых/Н.В. Барышев // Горное дело. 1937. - Вып. 1. - С. 23 - 26.

81. Рыжов П.А. Математическая статистика в горном деле/ П.А. Рыжов.- М.: Высшая школа, 1973. 287 с.

82. Кудряшов П.И. Геометризация и учет запасов месторождений твердых полезных ископаемых/ П.И. Кудряшов, В.И. Кузьмин. М.: Недра, 1981.

83. Каллистов П.Л. Изменчивость орудинения и плотность наблюдений при разведке и опробовании/ П.Л. Каллистов// Сов. геология. 1956. — Вып. 53.-С. 118-151.

84. Иванов С.Н. Об определении густоты сети опробования методами вариационной статистики/ С.Н. Иванов // Разведка недр. 1963. - №19. - С. 16-19.

85. Петров A.A. Применение математической статистики для решения основных вопросов разведки месторождений/А.А. Петров // Сов. геология.- 1963. №9. - С. 132-141.

86. Шауб Ю.Б. Применение корреляционного анализа для обработки геофизических данных/ Ю.Б. Шауб // Изв. АН СССР. 1963. - №4. - С. 578 -589.

87. Шарапов И.П. Об определении изменчивости и выдержанности месторождений полезных ископаемых/ И.П. Шарапов // Разведка недр. — 1952.-№3.-С. 14-16.

88. Березин И.С. Методы вычислений/ И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: физматиз, 1962. - Том I. - 464 с.

89. Власов A.C. О количественной характеристике степени изменчивости оруденения/ A.C. Власов. Магадан: БТИ Магаданского совнархоза, 1958.

90. Низгурецкий З.Д. О количественной оценке изменчивости (сложности) формы залежей в связи с ее геометризацией/ З.Д. Низгурецкий // Научн. тр. ВНИМИ. 1961. - Выпуск 41. - С. 72 - 82.

91. Бастан П.П. О возможности применения разностей показателей для оценки их изменчивости/ П.П. Бастан // Известия вузов. Горный журнал. — 1963.-№7.-С. 74-84.

92. Попов Е.И. К оценке точности изображения залежи полезного ископаемого по данным разведки/ Е.И. Попов // Записки ЛГИ. 1959. — Выпуск2. -С. 5- 10.

93. Гальянов A.B. К вопросу количественной оценки изменчивости показателей/ A.B. Гальянов // Вопросы рационализации маркшейдерской службы на горных предприятия Урала: Сб. научн. тр. 1970. - Выпуск 65. -С. 89-98.

94. Гудков В.М. Определение и использование характеристик изменчивости показателей полезных ископаемых/ В.М. Гудков // Геология угольных месторождений. М., 1969. - Том I. - С. 175 - 180.

95. Мининг С.Э. Строгое решение задачи определения общей ошибки запасов месторождения/ С.Э. Мининг // Исследования по вопросам горного и маркшейдерского дела: Сб. научн. тр. ВНИМИ. — М.: Углетехиздат,1957. Выпуск XXXI. - С. 114 - 130.

96. Вистелиус А.Б. Проблемы математической геологии (случайный процесс) // Геология и геофизика. 1963. - №12.

97. Рыжов П.А. Применение математической статистики при анализе разведочных данных/ П.А. Рыжов, В.М. Гудков. М.: Недра, 1966. -235 с.

98. Букринский В.А. Приложение теории случайных функций для характеристики размещения показателей залежи/ В.А. Букринский // Известия вузов. Геология и разведка. 1966. - №7. - С. 57 - 67.

99. Марголин A.M. Развитие аппарата геостатистики/ A.M. Марголин // Методы и результаты математико-статистических исследований в геологоразведочном деле. М., 1972. - С. 85 - 113.

100. Марголин A.M. Характеристика изменчивости залежей нефти и газа и оценка погрешности результатов их разведки/ A.M. Марголин // Оценка точности определения параметров залежей нефти и газа. М., 1965.-С. 178-190.

101. Низгурецкий З.Д. К приложению теории нестационарных случайных функций для оценки результатов геометризации месторождений/ З.Д. Низгурецкий // Сб. научн. тр./ ВНИМИ. Л., 1974. -Выпуск 93.-С. 99-113.

102. Гудков В.М. Прогноз и планирование качества полезного ископаемого/ В.М. Гудков, A.A. Васильев, К.П. Николаев. М.: Недра, 1976.-191 с.

103. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей/ А.Н. Колмогоров // Изв. АН СССР. 1941. - Вып. 1.

104. Мининг С.Э. Влияние точности определения параметров на эффективность оптимизации горного производства/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Геометризация месторождений полезных ископаемых. М.: Недра, 1977.-С.196-213.

105. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М.: Наука, 1989.-623 с.

106. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной/ И.П. Натансон. СПб.: Изд-во Лань, 1999. -560 с.

107. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I/ Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1970. - 800 с.

108. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации/ Н.И. Ахиезер. -М.: Наука, 1970.-256 с.

109. Рождественский Б.Л. Лекции по математическому анализу/ Б.Л. Рождественский. М.: Наука, 1972. - 544 с.

110. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. / А.И. Плис, H.A. Сливина. - М.: Высш. шк., 1994. - 416 с.

111. Гнеденко Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей/ Б.В. Гнеденко, А. Хинчин. -М.: Наука, 1964.

112. Чеботарев A.C. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей/ A.C. Чеботарев. — М.: Геодезиздат, 1958. 606 с.

113. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. -М.: Наука, 1984.-608 с.

114. Фахтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III./ Г.М. Фахтенгольц. — М.: Наука, 1969. 656 с.

115. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции/ Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1966. - 256 с.

116. Толстов Г.П. Ряды Фурье/ Г.П. Толстов. М.: Наука, 1980. -384 с.

117. Зорич В.А. Математический анализ. Часть II/ В.А. Зорич. М.: Наука, 1984,- 640 с.

118. Ивахненко Л.Г.Принятие решений на основе самоорганизации/ Л.Г. Ивахненко, Ю.П. Зайченко, В.Д. Димитров. М.: Советское радио, 1976.-279 с.

119. Румшиский Л.З. Элементы теории вероятностей/ Л.З. Румшиский. М.: Наука, 1970. - 256 с.

120. Айвазян С.А. Применение методов корреляционного и регрессионного анализов к обработке результатов эксперимента/ С.А. Айвазян // Заводская лаборатория. 1964. - №7. - С. 833-851; №8 - С. 973 -996.

121. Хемминг Р.В. Численные методы/ Р.В. Хемминг. М.: Наука, 1972.-400 с.

122. Шилов Г.Е. Интеграл, мера и производная/ И.П. Шилов, Б.Л. Гуревич. М.: Наука, 1967. - 220 с.

123. Попов В.Н. Квалиметрия недр. Учебное пособие для вузов/ В.Н. Попов, X. Бадамсурэн, М.И. Буянов, В.В. Руденко. М.: Изд-во Академии горных наук, 2000. - 303 с.

124. Елин А.Н. Методика расчета потерь и разубоживания при выпуске руды под обрушенными породами из смежных рудоспусков/ А.Н. Елин // Вопросы рационального использования недр: Сб. науч. тр. -Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1972. С. 59-63.

125. Тростников В.Н. Всемирный конгресс математиков в Москве/

126. B.Н. Тростников. М.: Знание, 1967. - 64 с.

127. Попов В.Н. Оценки недропользования. Учеб. пособие для вузов/ В.Н. Попов, В.В. Руденко, X. Бадамсурэн и др. М.: Изд-во Академии горных наук, 2001. - 296 с.

128. Павелко В. Л. Общие требования к показателям и методам оценки изменчивости/ В.Л. Павелко // Геометризация месторождений полезных ископаемых. М.: Недра, 1977. - С. 71-82.

129. Четвериков Л.И. Залежь полезного ископаемого (особенности формы и внутреннего строения)/ Л.И. Четвериков // Геометризация месторождений полезных ископаемых. -М.: Недра, 1977. С. 16-46.

130. Ильин Б.А. Аналитическая геометрия/ Б.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. -М.: Наука, 1988. -233 с.

131. Гильберт Д. Наглядная геометрия/ Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Л.: Госиздат, 1951. - 3 52 с.

132. Мазмишвили А.И. Способ наименьших квадратов/ А.И. Мазмишвили, Б.И. Беляев. М.: Геодезиздат, 1959. - 371 с.

133. Погорелов A.B. Геометрия/ A.B. Погорелов. М.: Наука, 1984. -288 с.

134. Соболевский П.К. Современная горная геометрия/ П.К. Соболевский // Социалистическая реконструкция и наука. — 1932. №7. —1. C. 32-65.

135. Редькин Г.М. Аналитическое моделирование анизотропии координированной изменчивости/ Г.М. Редькин// Горный информационно-аналитический бюллетень: сб. науч. тр. М.: МГГУ, 2007. - №9. -С. 332-334.

136. Борисенко А.И. Векторный анализ и начала тензорного исчисления/ А.И. Борисенко, И.Е. Тарапов. — Харьков: Изд. ХГУ, 1972. — 255 с.

137. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц/ Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1967. - 575 с.

138. Курош А.Г. Курс высшей алгебры/ А.Г. Курош. М.: Ф-М. 1963.-430 с.

139. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов. 9-е изд./ А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович- М.: Издательство физико-математической литературы, 2003. — 800 с.

140. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства)/ Г.Е. Шилов. М.: Наука, 1969. - 432 с.

141. Редькин Г.М. Нестационарные анизотропные математическое моделирование неоднородностей систем минерального сырья / Г.М. Редькин. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007. — 500 с.

142. Редькин Г.М. Разработка геолого-математичеких моделей месторождений в приложении к задачам рационального использования недр: Автореф. дис. . канд. техн. наук/ Редькин Геннадий Михайлович; ЛГИ-Л., 1983.- 18 с.

143. Шапошников В.А. Сырьевая база и внедрение оперативных мотодов опробования в условиях комплексного использования Ковдорских руд / В.А. Шапошников, Б.И. Сулимов, Т.Ю. Рико и др. // Горный журнал. -1982.-№7.-С. 9-12.

144. A.C. №798300 СССР. Способ открытой разработки месторождений полезных ископаемых / С.Э. Мининг, А.К. Мясоедов, А.Н. Елин, Г.М. Редькин; Белгород, ВИОГЕМ; Опубл. в Б.И., 1981. №3.

145. A.C. №1315612 СССР. Способ селективной выемки полезных ископаемых / С.Э. Мининг, А.Н. Елин, Г.М. Редькин и др.; Белгород, ВИОГЕМ; Опубл. в Б.И., 1987. №21.

146. Мининг С.Э. Новый способ разработки, снижающий потери и засорение полезных ископаемых / С.Э. Мининг, А.К. Мясоедов, А.Н. Елин, Г.М. Редькин // Проспект на ВДНХ. М.: Черметинформация, 1982. - 2 с.

147. Мининг С.Э. Способ открытой разработки месторождений уступами с наклонными рабочими площадками / С.Э. Мининг, А.К. Мясоедов, А.Н. Елин, Г.М. Редькин // Информационный листок о научно-техническом достижении №83-12. -Белгород:ЦНТИ, 1983. 4 с.

148. Мининг С.Э. Нормирование потерь комплексных руд на Ковдорском ГОКе / С.Э. Мининг, Ю.М. Ситало, Г.М. Редькин и др. // Промышленное освоение комплексных руд Ковдора. Апатиты: Кольский филиал АН СССР, 1982. - С. 66-69.

149. Кампель Ф.Б. Особенности нормирования потерь и засорения комплексных руд Ковдорского месторождения / Ф.Б. Кампель, С.Э. Мининг, Г.М. Редькин и др. //Горный журнал. 1982. - №7. - С. 12-13.

150. Мининг С.Э. Оптимизация эксплуатационных потерь комплексных железных руд / С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Всесоюзное научно-техническое совещание: Тез. докл. Свердловск, 1984. - С. 150151.

151. Мининг С.Э. Новая методика нормирования потерь комплексных железных руд при их добыче / С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Проспект на ВДНХ. М.: Черметинформиция, 1982. - 2 с.

152. Мининг С.Э. Оптимизация потерь и засорения комплексных руд / С.Э. Мининг, Г.М. Редькин //Информационный листок о научно-техническом достижении №84-20. Белгород: ЦНТИ, 1984. - 4 с.

153. Гудков В.М. Теоретические основы оценки однородности руды / В.М. Гудков, A.A. Васильев, К.П. Николаев //Маркшейдерское дело: Сб. науч. Тр. М: ВЗПИ, 1976. - Выпуск 99. - С. 15-28.

154. Дюмей Р. Применение геостатистики при моделировании рудных тел/ Р. Дюмей // Применение ЭВМ и математических методов в горном деле: Труды 17-го международного симпозиума. — М.: Недра, 1982. Т. 2. С. 25-28.

155. Зарайский В.Н. Усреднение руд / В.Н. Зарайский, К.П. Николаев, К.В. Казанский. -М.: Недра, 1975. 195 с.

156. A.C. №629342 СССР. Способ определения направления развития горных работ / В.Н. Зарайский, В.В. Крымский, Г.В. Щавинский; Белгород, ВИОГЕМ, 1976.

157. Мининг С.Э. Совокупная характеристика колебаний показателей качества руды в недрах/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Совершенствование методов усреднения руд. — Фрунзе: 1984. С. 94 - 96.

158. Редькин Г.М. Погрешности оценок геологических признаков/ Г.М. Редькин // Рудничная геологи я, прикладная геофизика, маркшейдерское дело, устойчивость бортов карьеров и отвалов: Сб. науч. тр. Белгород: ВИОГЕМ, 1978. - Выпуск XXVI. - С. 66 - 72.

159. Редькин Г.М. Дискретный анизотропный крайгинг/ Г.М. Редькин // Геолого-геофизическое обеспечение горнорудных предприятий и рациональное использование недр: Сб. научн. тр. Белгород: ВИОГЕМ, 1982. — С. 110-115.

160. Мининг С.Э. Дисперсия средних значений геологических признаков в блоках/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин // Рациональное использование и охрана минеральных ресурсов: Сб. науч. тр. Белгород: ВИОГЕМ, 1985. - С. 16-20.

161. Редькин Г.М. Погрешность среднего значения в блоке/ Г.М. Редькин // Горный информационно-аналитический бюллетень: Сб. научн. тр. -М.: МГГУ, 2007. №5. - С. 190-192.

162. Давид М. Геостатистические методы при оценке запасов руд/ М. Давид. Л.: Недра, 1980. - 360 с.

163. Редькин Г.М. Практическое определение дисперсии среднего содержания в блоке // Горный информационно-аналитический бюллетень: Сб. научн. тр. М.: МГГУ, 2007. - № - с.

164. Bilodeau M.L. and Mackenzie B.W. The Driell Investment Decion in Mineral Exploration. 14th APCOM proceedings, 1977, AIME, p. 932-949.

165. Marshall K.T. A preliminary model for determining the optimum Drilling pattern in locating and Evaluating an ore body. Quaritely of the Colorado School of Mines, 1964, Vol. 59, №4, p. 223-236.

166. Ермолов В.А. Геология: Учебник для вузов в 2-х частях. Часть II: Разведка и геолого-промышленная оценка месторождений полезных ископаемых /В.А. Ермолов, В.А. Дунаев и др.. -М: Изд-во МГГУ, 2005. -392 с.

167. Руденно В. Оптимизация затрат на дополнительную разведку при проектировании добычи/ В. Руденно // Применение ЭВМ и математических методов в горном деле: Труды 17-го международного симпозиума. М.: Недра, 1982. - Т. 2. - С. 232-239.

168. Редькин Г.М. Оптимизация объема геолого-разведочных работ/ Г.М. Редькин // Горный информационно- аналитический бюллетень: Сб. научн. тр. М.: МГГУ, 2007. - № 4. -С. 307-309.

169. Ржевский В.В. Основы физики горных пород / В.В. Ржевский, Г .Я. Новик. М.: Недра, 1973. - 286 с.

170. Половинкина Ю.И. Структуры и текстуры изверженных и метаморфических горных пород. Изверженные породы/ Ю.И. Половинкина. М.: Недра, 1966. - 4.2. - T.I.

171. Гаррелс Р. Науки о земле / Р. Гаррелс, Ф. Макензи // Эволюция осадочных пород. М.: Мир, 1974. 512 с.

172. Половинкина Ю.И. Структуры и текстуры изверженных и метаморфических горных пород. Метаморфические породы/ Ю.И. Половинкина. М.: Недра, 1966. - Ч. 2. - T. II.

173. Кобранова В.Н. Определение физических свойств горных пород / В.Н. Кобранова, Г.Д. Лепарская. М.: Гостоптехиздат, 1957. -160 с.

174. Ильницкая Е.И. свойства горных пород и методы их определения / Е.И. Ильницкая. М.: Недра, 1969. - 136 с.

175. Кобранова В.Н. Петрофизика/ В.Н. Кобранова. М.: Недра, 1986.-392 с.

176. Борщ-Компанеец В.И. Механика горных пород, массивов и горное давление/ В.И. Борщ-Компанеец. М.: Изд-во МГИ, 1968. - 484 с.

177. Уэрт Ч. Физика твердого тела/ Ч. Уэрт. М.: Мир, 1969. -560 с.

178. Микляев П.Г. Анизотропия механических свойств металлов / П.Г. Микляев, Я.Б. Фридман. -М.: Металлургия, 1969. 162 с.

179. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела/ С.Г. Лехницкий. М.: Наука, 1977. - 416 с.

180. Гридчин A.M. Производство и применение щебня из анизотропного сырья в дорожном строительстве/ A.M. Гридчин. Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 2001.-149 с.

181. Куюнджич Б. Анизотропия скальных массивов/Б. Куюнджич // Проблемы инженерной геологии. М., 1960 №2. - С. 96 - 104.

182. Гридчин A.M. Повышение эффективности дорожного строительства путем использования анизотропного сырья/ A.M. Гридчин. — М.: Изд-во Ассоц. стр. вузов, 2006. 486 с.

183. Вилесов Г.И. Геометризация золоторудных месторождений/ Г.И. Вилесов // Тр. СГИ. 1986. - Вып. 56. - С. 3 - 51.

184. Редысин Г.М. Математическая модель анизотропии значений показателей слоистости горных пород и строительных материалов / Г.М. Редькин, В.К. Кокунько, А.Е. Бабин и др. // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1990. - №3. - С. 113-117.

185. Редькин Г.М. Тензоро-вероятностная модель физико-механических показателей анизотропных пород/ Г.М. Редькин// Известия вузов. Строительство. -2004. -№ 10.-С. 113-118.

186. Боровков A.A. Теория вероятностей/ A.A. Бороков. -М.: Наука, 1986.-432 с.

187. Зощук Н.И. Свойства кристаллических сланцев Сторооскольского железнорудного района/ Н.И. Зощук, П.А. Боровский, Г.Н. Карпов// Комплексное использование нерудных пород КМА в строительстве. Том 1: Сб.науч. тр. Москва, 1975. -Выпуск 13. - С. 25-35.

188. Нейштадт Л.И. Методы инженерно-геологического изучения трещиноватости горных пород/ Л.И. Нештадт, И.А. Пирогов. -М.: Энергия, 1969.-248 с.

189. Беликов Б.П. О методике изучения трещинной тектоники месторождений строительного и облицовочного камня/ Б.П. Беликов. -М.: АН СССР, 1953.

190. Белоусов В.В. Тектонические разрывы, их типы и механизм образования/ В.В. Белоусов// Тр. Геофизического ин-та АН СССР. 1952. -№17.

191. Такранов P.A. Об определении интенсивности трещиноватости сложнодислоцированных пород/ P.A. Такранов// Тр. по изучению вопросов трещиноватости пород в горном массиве -Л.: ВНИМИ, 1964. -C6.LI.

192. Мининг С.Э. Математическое моделирование анизотропии трещиноватости массива горных пород/ С.Э. Мининг, Г.М. Редькин// Рациональное использование и охрана минеральных ресурсов: Сб. научн. тр. -Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1985. С. 41 - 44.

193. Редькин Г.М. Стохастическое моделирование трещиноватости массива горных пород/ Г.М. Редькин// Системы обработки информации: Сб. научн. тр. -Харьков: НАНУ, ПАЯМ, ХВУ, 2001. -Вып. 6 (16). С. 234 -238.

194. Редькин Г.М. Математическое моделирование трещиноватости массива горных пород / Г.М. Редькин// Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2005. - №4. - С. 79-82.

195. Редькин Г.М. Экстремумы анизотропии интенсивности трещиноватости/ Г.М. Редькин//Известия ТулГУ. Серия Геомеханика. Механика подземных сооружений Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. Вып. 3. — С. 170-173.

196. Редькин Г.М. Определение экстремумов интенсивности трещиноватости/ Г.М. Редькин// Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2006. -№1. - С. 62-63.

197. Карманов В.Г. Математическое программирование/ В.Г. Карманов. -М.: Наука, 1986.-285 с.

198. Машанов А.Ж. Механика массива горных пород/ А.Ж. Машанов. -Алма-Ата: Наука, 1961. -210 с.

199. Машанов А.Ж. Основы геомеханики скальнотрещиноватых пород/ А.Ж. Машанов, A.A. Машанов. Алма-Ата: Наука, 1985. - 190 с.

200. Мудров В.И. Метод наименьших модулей/ В.И. Мудров, B.JI. Кушко. М.: Знание, 1971. - 64 с.

201. Батугин С.А. Анизотропия массива горных пород/ С.А. Батугин. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1988. 86 с.

202. Чухлов Г.И. Анализ способов обработки замеров трещин массива горных пород/ Г.И. Чухлов// Осушение месторождений, специальные горные работы, рудниная геология, маршейдерское дело: Сб. научн. тр. -Белгород: Изд-во ВИОГЕМ, 1974. Вып. XX. С. 169-173.

203. Чухлов Г.И. Методика полевых работ при исследовании систем трещин массива пород/ Г.И. Чухлов// Маркшейдерское дело: Сб. научн. тр. -М.: Изд-во ВЗПИ, 1976. Вып. 99. - С. 73-75.

204. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов/ И.Н. Бронштейна и др.. — Изд., доп. и перараб. М.: Наука, 1980. - 976 с.

205. Редькин Г.М. Математическое моделирование физических свойств анизотропных горных пород/ Г.М. Редькин// Известия ТулГУ. Серия Геомеханики, Механика подземных сооружений. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005.-Вып. З.-С. 167-170.

206. Сопин М.В. Исследования по обогащению продуктов дробления нерудных полезных ископаемых по крупности и форме зерен: дис. . канд. техн. наук: 05.15.08/ Сопин Михаил Васильевич. —Днепропетровск, 1982. -127 с.

207. Севостьянов B.C. Исследование взаимодействия энергообменных устройств с мелющей загрузкой мельницы/ B.C. Севостьянов, Г.М. Редькин, A.A. Гончаров// Изв. вузов. Строительство. 1993. - №11-12. -С. 92-96.

208. Севостьянов B.C. Энергосберегающие помольные агрегаты с винтовыми энергообменными устройствами/ B.C. Севостьянов, Г.М. Редькин, С.И. Ханин, A.A. Гончаров// Строительные материалы. 1995. -№3.-С. 30-31.

209. Курденков Б.И. Улучшение технических свойств каменных материалов при их производстве/ Б.И. Курденков, К.В. Мохортов. М.: Высшая школа, 1976, - 176 с.

210. Малыхина B.C. Требования к щебню для высокопрочных бетонов/ B.C. Малыхина, Н.И. Зощук// Строительные материалы. 1971. - №4. - С. 30.

211. Михайлов Б.В. Влияние формы зерен щебня на технологические свойства бетонной смеси и расход цемента/ Б.В. Михайлов и др. //Труды ВНИИНеруд. Тольятти, 1972. - С. 62-126.

212. Редькин Г.М. Математическое моделирование выхода пластинчатых зерен при разных способах дробления анизотропных горных пород/ Г.М. Редькин// Изв. вузов. Строительство. 2005. - №5. - С. 110117.

213. Березин Д.В. Искусственные пески из отходов дробления горных пород/ Д.В. Березин, Н.И. Зощук// Комплексное использование нерудных пород КМА в строительстве: Сб. науч. тр. М., 1976. - Вып. 21. - С. 40 -52.

214. Волков М.И. Исследования скальных горных пород для производства щебня/ М.И. Волков, М.М. Протодьяконов// Труды Харьковского автодорожного института. — М.: СоюздорНИИ, 1966. — С. 4-9.

215. Дудко A.A. О форме щебня, полученного с помощью щековой и конусных дробилок/ A.A. Дудко. М.: ВНИИСтройдормаш, 1969. - 29 с.

216. Дубов В.А. Прогнозирование содержания лещадных зерен в продукте дробления конусных дробилок/ В.А. Дубов, В.А. Немова, В.Ф. Ларина, Н.Л. Дегтярева// Строительные материалы. 1980. -№2. - С. 16.

217. Рекомендации по технологии производства щебня улучшенной формы и гравия. М.: СоюздорНИИ, 1971. - 24 с.

218. Беркович В.А. Исследование влияния технологических факторов на зерновой состав и форму зерен продуктов дробления однородных дробилок: автореф. дис. . канд. техн. наук/ В.А. Беркович. Тольятти, 1972.-25 с.

219. Шлайн И.Б. Производство щебня из карбонатных пород/ И.Б. Шлайн. М.: Стройиздат, 1970. - 48 с.

220. Зощук Н.И. Изучение возможности получения щебня кубовидной формы из сланцевых пород/ Н.И. Зощук, М.В. Сопин// Строительные материалы. 1978. - №10. - С. 33.

221. A.C. 1005893 СССР. Камерная перегородка щековой дробилки/ М.В. Сопин, Н.И. Зощук, М. Ю. Ельцов (СССР). Опубл. 1983, Бюл. №10.

222. Редькин Г.М. Характеристики выхода зерен лещадной формы/ Г.М. Редькин// Физико-химические проблемы материаловедения и новые технологии: Тез. докл. Всесоюзной конф. Белгород: Изд-во БТИСМ, 1991.-Ч. 5.-С. 66-67.

223. Казикаев Д.М. Математическое моделирование выхода лещадных зерен/ Д.М. Казикаев, Г.М. Редькин// Математическое моделирование в технологии строительных материалов: Сб. научн. тр. Белгород: Изд-во БТИСМ, 1992.-С. 86-91.

224. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 2./ Г.М. Фитенгольц. М.: Наука, 1970. - 800 с.

225. Янке Е. Специальные функции/ Е.Янке, Ф.Э. Леш. М.: Наука, 1977.-344 с.

226. Шишонок H.A. Основы теории надежности и эксплуатации радиоэлектронной техники/ H.A. Шишонок, В.Ф. Репкин, JI.JI. Барвинский.- М.: Сов. радио, 1964. 550 с.

227. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике/А.Д. Мышкис. — М.: Наука, 1969. 640 с.

228. Лесовик B.C. Повышение эффективности производства строительных материалов с учетом генезиса горных пород/ B.C. Лесовик. — М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2006. — 526 с.

229. Бабков В.Ф. Проектирование автомобильных дорог. Ч. I./ В.Ф. Бабков, О.В. Андреев. М.: Транспорт, 1979. - 367 с.

230. Программа совершенствования и развития автомобильных дорог РФ «Дороги России» на 1995-2000г.г. -М.: Минтранс РФ, 1994. 78 с.

231. Лесовик Р.В. Мелкозернистые бетоны с использованием техногенных песков Курской магнитной аномалии для строительства укрепленных оснований автомобильных дорог: Монография/ Р.В. Лесовик.- Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г.Шухова, 2004. 174 с.

232. Дубровин E.H. Изыскания и проектирование городских дорог/ E.H. Дубровин, Ю.С. Ланцберг. М.: Транспорт, 1981. - 471 с.

233. Инструкция по проектированию дорожных одежд нежесткого типа. ВСН 46-83. -М.: Транспорт, 1985. 157 с.

234. Полосин-Никитин С.М. Основы строительства и эксплуатации автомобильных дорог/ С.М. Полосин-Никитин. М.: Транспорт, 1979. -248 с.

235. Дорожно-строительные материалы: учебник для автомобильно-дорожных институтов/ И.М. Грушко и др.. М.: Транспорт, 1993. - 383 с.

236. Дорожный асфальтобетон/ Л.Б. Гезенцвей и др.; под ред. Л.Б. Гезенцвея. — 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Транспорт, 1985. 350 с.

237. Баженов П.И. Комплексное использование минерального сырья и экология/ П.И. Баженов. М.: ИздОво АСВ, 1994. - 264 с.

238. Баженов Ю.М. Многокомпонентные бетоны с техногенными отходами/ Ю.М. Баженов// Современные проблемы строительного материаловедения: Сб. научн. тр. Междунар. конф. Самара: Изд-во СГАСУ, 1995.-Ч. 4.-С. 3-4.

239. Гридчин A.M. Прогнозирование прочности бетона/ A.M. Гридчин, Г.М. Редькин, Р.В. Лесовик//Вестник БГТУ. 2005. - №9. -С. 15- 77.

240. Гридчин A.M. Отходы в дело. Особенности строительства автомобильных дорог на щебне анизотропного сырья/ A.M. Гридчин// Автомобильные дороги. 2002. -№8. - С. 66 - 67.

241. Гридчин A.M. Асфальтобетон с использованием анизотропного сырья/ A.M. Гридчин// Строительные материалы оборудование технологии XXI века. 2002. - №10. - С. 5 - 7.

242. Исследование кристаллических сланцев Старооскольского железорудного района как материалов для строительства автомобильныхдорог: отчет о НИР: 1/77/Белгор. технолог, ин-т строит, матер.; рук. Зощук Н.И. Белгород, 1976. - 84 с.

243. Одинцов Б.Н. Щебень из сопутствующих пород Криворожского железорудного бассейна/ Б.Н. Одинцов, Г.Н. Бондаренко, Г.Ф. Неаронова// Автомобильные дороги. 1975. - №10. - С. 15.

244. Волошенко И.Н. Обоснование формы зерен щебня для слоев дорожных конструкций/ И.Н. Волошенко//Труды Фрунзенского политехнического института: сб. научн. тр. Фрунзе, 1974. - Вып. 80. - С. 14-19.

245. Watcner N.F. Shale road pavements. Contract and constr/ Eqvips. 1963, 16, №6.

246. Travaux rontiers. Ind miner. 1973, 55, №1, 16-18.

247. Рыбьев И.А. Строительное материаловедение/ И.А. Рыбьев. М.: Высш. шк., 2002. - 701 с.

248. Редышн Г.М. Математическое моделирование прочностных показателей конструктивных слоев дорожных одежд из анизотропного щебня/ Г.М. Редькин// Изв. вузов. Строительство. 2004. - №6. - С. 78 - 83.

249. Гридчин A.M. Определение прочностных характеристик слоев дорожных одежд и из анизотропного сырья/ A.M. Гридчин, Г.М. Редькин// Вестник БГТУ. 2003. - №5. - С. 265 - 268.

250. Прочность и деформируемость горных пород/ Ю.М. Карташов и др.; отв. ред. А.Б. Фадеев. М.: Недра, 1979. - 269 с.

251. Редькин Г.М. Математическое моделирование модуля упругости квазиизотропной статистической смеси/Г.М. Редькин, A.M. Гридчин// Вестник БГТУ имени В.Г. Шухова. 2007. - №1. - С. 17 - 19.

252. Редькин Г.М. Стохастическое моделирование трещиноватости массива горных пород/ Г.М. Редькин// Проблемы информатики имоделирования. Материалы международной научно-технической конференции: Тез. докл. Харьков: НТУ «ХПИ», 2001. - С. 11.

253. Редькин Г.М. Дисперсии средних значений геологических показателей с интенсивной изменчивостью в блоках/ Г.М. Редькин, В.И. Стрельцов// Маркшейдерия и недропользование. 2007. №3. - С. 32-34.

254. Гридчин A.M. Аппроксимация кинетики твердения композитов/

255. A.M. Гридчин, Г.М. Редькин, Р.В. Лесовик, Н.В. Ряпухин// Промышленное и гражданское строительство. 2007. - №8. - С. 13-15.

256. Редькин Г.М. Тензоро-аналитический показатель координированной изменчивости геологических параметров/ Г.М. Редькин// Маркшейдерия и недропользование. 2007. №4. - С. 56-57.

257. Редькин Г.М. Экстремумы анизотропии координированной изменчивости геологических параметров/ Г.М. Редькин, В.И. Стрельцов// Маркшейдерия и недропользование. 2007. -№5. - С. 56-58.

258. Гридчин A.M. Исследование процесса измельчения анизотропных материалов в пресс валковых агрегатах/ A.M. Гридчин, B.C. Севостьянов,

259. B.C. Лесовик, Г.М. Редькин и др.// Изв. вузов. Строительство. 2007. - №9. -С. 71-78.

260. Редькин Г.М. Зависимость выхода лещадных зерен от коэффициента анизотропии пределов прочности при сжатии/ Г.М. Редькин// Изв. вузов. Строительство. 2007. - №9. - С. 85-88.

261. Редькин Г.М. Погрешность среднего значения в геологических блоках/ Г.М. Редькин// Маркшейдерия и недропользование. 2008. - №1. —1. C. 52-54.

262. MNTEgER « U, « REAL* X, y i13 'B^GIN'14 ' I NtEGER ' Ul, X , L i ' REAL ' S)K i15 'ReAL'W.*;16 s*t: =0 i ui; Si 1 I ■17 W:-2^3.141593/16,5?18 •<t>:=2*34l41593/8,5!19 «FoR'K-.rO'STEP'l'UNTlL'U'DO120 'FOR ' L ; =0 ' STEP1 1 •UNT I L1U« DO '21 «BEGIN«

263. S)K:aS*+n(UJ.xCOS{W*K*X)>i

264. CoS ( <}>x L * y ) » Uj: =111 + 1 5 ' I F • IU>)K24 4 THE N ' 4 GO ' TO « 10 } ' END « i2.5 ♦FOR<K:sO,STEP*1'UNTIL,I4«DO»26 * FOR«L:sO'STEP'1'UNT IL'U'DO«27 «BEGIN«26 'IF«L=0'THEN',GO TO'Ll;

265. SK : =S>K + n t lD J x CO S ( W* K * X ) x30 s 1 N{ 4»x Lx y ) ; 111: =HJ+ 1 I 4 I F <.UI>>K31 ' T H t N f. «GO-'TO'lOJLli'END'i32 'FOfi'KjcO'STEP'l'UNTlL'U'DO'

266. FOR'LtrO'STEP'l'UK'TlL'M'OO'34 'BEGIN'

267. MF<K = o * THEN ' 'GO T0'L2J

268. S>K ; =S)K + n tU 3 * S I N < Wx K* X ) x

269. CoS(«>>xL*y) J 111; r UJ+ 1 J ' I F « Ul> )K38 'THEN<«GO TO « K); L2 : « END ' ;39 ' FOR ' K : =0 ' STEp ' 1 'UNT I L ' U • DO«

270. Регулиризация данных геологических показателей, определенных в Е , ориентированных по заданному направлению а.е EG I N INTEGER N г N l» D { Р0042< N»M1) J

271. BEGIN INTEGER K#Kl»NX,N«. IX» iV^Ji I* :reals h x * h у ^ a l ,м1х,м1у». ma x # м a v j> r if 81 * p; i • real array x»y»xlti:,nbailjnii-xifclj,i p'sO |

272. Р0042(К1#Нх)нУ) t FOR K:«i .STEP 1 UNTu K1 OP BEGIN P0042<X,V,A) J. FOR AL:=0#0^7ei5398l 00

273. BEGIN MlXj*Mly:sl0t9 J МаХ*?МаУ:вО ».m m m Ш 9*

274. P0?4 0<rtI,DbfS0,!lMr6.2,3,2,3,2, 3,2»3*2»3»2»3»2*>»2>3»2»Ji2»3»2# 3#2»3i2>3,2»3*2*3>2»3»2»3i2»3»2»3,2)1end ifor lyiso step 1.until : ii 00, rtI» t»11амIУ*ну *<Iy-l).i;rti»0li*0 t1. Poi6»ii*»M i P0i63(l i»mi

275. P0?40<r|l^0J»P,0'*It + i»6»2»3*2»3i2#3»2*3», • ' - - • r • ' •2»3»2,3»2*3»2*3»2«3»2»3,2,3,2,3i2,3»2,5*2,3,2,3«2#3*2»3»2#3,2) t1. Pol63cli#M iend im ш —iг nv>l»an0ny<39.then

276. BEGIN P0165<1» * * » t poi65«i*<*»;i P0163I1*•'>:t . P01«5t i * *•> • »

277. FOR . tX**NX STEP -i iUNTHi I 00mmmif -v • • <

278. BEGIN RlilPCXlt Jl-MIX* «»« «•»1. HX«< IX-l) M2*(Vt Jj-Mtw1. HV«(tV-lMf2 J1. (4 #Itf1=QAND .» * «• • •

279. At4. j. = 0an0r1<r> or * »ft A. { V ) 40ANQ

280. BEGIN ! 1 : a39 I 0:^20 i 00,TO Mg,ïтт*ш-т1. ENO *m m m1. END t END {ш m1. END t « ~ <• '1. END i END

281. Вычисления дисперсий и корреляционных моментов по столбцам таблицданных опробования руд•*А«лчЛ .cTQOBbí V, ■ ' я^нтл ° Д Г- 01 ¡ А я , ' vi."sunrtouTitjEi u<s,.c,fi„n) ;' „niiíEMSJO!; 2<64,27),,С<64,;>7} „ Дн Ц {vf-" Í,4. " '

282. ПО 1 Jrr1,^; DO 2 I," ».И» CC.j>=r.t|i:JÍt»^? 'contimueÍCONTINUE- ' RH-rur.NJ ГМП !

283. SHñROUTIí:E CM«!T(CtlMfJbK2fR¿»n7»Re»ft»'»vr'//í u ' ' .njMHMSlOÜ C(.£4,,2?> ' Ч'-Г — • . s. V1. JO 22 t — 1 »f! ' " Ч"

284. RÍ=C.,C;',R?=C,O; R3=Ü.SÍ г,4=Г«,б(й5го ;O-Í MI-O

285. F ( Ц2-2 ) lío ,.l2l, 121; l?o I F ( К2„Д ) <4.22 « 123 23 . .122 íilrOi L = 1 ' Ll=MS 1.3 = 1 í GOTO 1*4 j, l23 .Nlsl 5 > L-1 ¡> ll=M-l Í ■ .

286. G0T0,i?4; ,2i Mi-=Hi«-l Tí L = Nl} c<=H-K2Í L2 = K2

287. U + K?. ; . lí}4 U=L3Í DO 23 !=L» ti» l2 í <IF<C< I w )»c< II » J ) > 24,230.24 24 R-R*C ( I ?:» P.1=K1+C< I • J >*"2 , 0 } R2«Rá*Ct , Л . .

288. R3=B3+c (i I».J )*~2. o; r>4=R4+',(:»J)*cri¿;>>i) t RS-RS+I.OiI = 11+ L 2 ; 23 . contjhuní IF(?!1-K2) 12цд25 , 12512 ? I F { r * ) 2ñ i 2 ? » 2 5 ",»l-f4\'" " '

289. R" = R6*(RA-ÍRS»<R/R5)a(R2/RK) > )

290. П7 = Я.->+ { {R/r.5j .»2,0 ) > ) гч8*П8-КпЗ-< R5*X < R2/R5 ) *«2 \ 0 > ) >

291. П^-цо + рд. ч2 cONT I?JUn ' /« .1. ПЕТиГч"» ПНП . ' и v\

292. SUPROUTIÍ.'S. С'!гТ1 (Пб^'^в.к^.кг)1.(RO) З^^Зи 3"» rORMAT ' r.9 = 0 K^a Ц I 3 , » , I 3 > ЗГ l.'RjTf 3 7>,K2,«:i5 G0T0 40 . 31 P,l?=t>6/Rí>í IFC413) "^Ю'311,310 V>~. ''

293. Ca^sCRJO-D ,00035 ) > 311 , 3 ; i, 3 ¿ 2 5 Mi'' Г. 11 = 0 « 0 » Rl2 = 0,0' Ri4«0«0713 С O" o 315-l* R12-^RS/r.<'; IF(KT) 25^2S»25i 26 R13=P,in

294. П5 IF{rH*r:2» 34,34,35«; 3.50 1г<Лв£( (Rll»Rl2)-n.nono5)J 34,34,3571