автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов



Ла правах] кописи

Павлов Сергей Владимирович

ТЕХНОЛОГИЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ НАБЛЮДАЕМЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям: информатика, вычислительная техника и управление)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Красноярск - 2007

003068245

Работа выполнена в Федеральном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» (г. Красноярск)

Научный руководитель доктор технических наук, доцент,

Слюеарчук Валентин Федорович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Доррер Георгий Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент Мисюль Сергей Валентинович

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и

математической геофизики Сибирского отделения РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится 11 мая 2007 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.06 при Сибирском федеральном университете по адресу: ул. академика Киренского, 26, Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс: (3912) 43-06-92 (ПИ СФУ, для каф. САПР)

E-mail: sovet@front.ru

Телефон: (3912) 912-295 (ПИ СФУ, каф. САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Политехнического института Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан 10 апреля 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.т.н.

lllj) С. А. Бронов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Обоснование актуальности работы. В диссертации рассматривается проблематика сложных объектов в аспекте прогнозирования их наблюдаемой динамики. Под сложными объектами понимаются объекты, «погруженные» в иерархически структурированную окружающую среду, являющиеся открытыми и состоящими из большого количества компонент (включая слабо формализуемые, ненаблюдаемые и неуправляемые), отношения между которыми не могут быть строго установлены.

В диссертации в качестве представителей класса сложных объектов для проведения исследований выбраны: «Международный валютный рынок», «Международный фондовый рынок» и «Мировая экономика».

Выбранные для исследования сложные объекты финансово-экономической природы характеризуются динамической и организованной сложностью, наличием рефлексии, поведения и эффектов самоорганизации, мультифрактальностыо структуры динамики и т.д.

Наблюдаемая динамика свойств выбранных сложных объектов является, с одной стороны, композицией детерминированных, стохастических и хаотических составляющих, а, с другой стороны, наложением движений разных масштабов, отличающихся по степени и частоте воздействия.

В диссертации решается задача прогнозирования наблюдаемых свойств сложных объектов финансово-экономического типа (котировки валют, курсы акций, индексы) на основе имеющейся информации о ретроспективных наблюдениях этих свойств - сложных наблюдаемых временных рядов.

Объектом исследований в диссертации является сложный наблюдаемый временной ряд - конечное и дискретное множество упорядоченных данных числовой природы единого информационного ранга.

Сложные наблюдаемые временные ряды характеризуются уникальной траекторией динамики, наличием сингулярностей, структурированностью значений по уровням, полимодальностью распределения значений и распределением с «тяжелыми хвостами» для приращений. Указанные характеристики для сложных наблюдаемых временных рядов являются уникальными на различных временных масштабах (минутные, часовые, дневные и другие значения), т.е. наблюдаемая динамика сложных объектов не является масштабно-инвариантной.

Актуальность решения задачи прогнозирования котировок валют, курсов акций и ключевых индексов определяется необходимостью в наличии информации прогностического характера при решении задач планирования и управления в области производства, инвестиций и др. для принятия упреждающего решения.

Использование мощной методологии теории случайных процессов и теории сигналов для прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов ограничено, поскольку эти ряды доступны в виде единственной траектории (ансамбль реализаций принципиально отсутствует), а их эргодическое «рассмотрение» неприемлемо, поскольку все характеристики (среднее,

дисперсия) сильно изменчивы, а корреляционные характеристики в принципе не могут быть корректно построены.

Использование методик кусочно-линейного моделирования, сингулярно-спектрального анализа, нейросетей и группового учета аргументов для прогнозирования ценовых последовательностей (на валютных и фондовых рынках) позволяет добиться удовлетворительного результата на несколько точек вперед (но не более 10).

Применение распространенных пакетов статистического анализа временных рядов (Эвриста, СТАТИСТИКА, PolyAnalyst, Vanguard и др.) не позволяет успешно решить задачу прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов (например, рядов котировочного типа), поскольку в большинстве таких пакетов применение методов прогнозирования (сводимых, в основном, к моделям авторегрессии, скользящего среднего и их обобщениям) осуществляется к не преобразованному временному ряду без специальной предварительной обработки.

В областях финансовой математики и финансовой инженерии существенный вклад внесли Акелис, Александер, Басс, Башелье, Блэк, Больлерслев, Вильяме, Гирсанов, Кендалл, Крянев, Мандельброт, Маркович, Медведев, Нейштадт, Петере, Самуэльсон, Сорос, Терпугов, Фама, Фишер, Четыркин, Шарп, Ширяев, Шоулз, Элдер и др. Перечисленными учеными были заложены основы стохастической финансовой математики и математический аппарат ведения актуарных расчетов. Задача прогнозирования ценовых последовательностей была ими только сформулирована, но не решена.

Не существует моделей валютных, фондовых и других рынков, степень адекватности которых достаточна для прогнозирования ценовых последовательностей. Для некоторых сложных объектов физической природы (например, атмосфера) удалось построить модели, позволяющие осуществить краткосрочный прогноз погоды. В то же самое время, для сложных геофизических объектов не существует моделей, позволяющих построить удовлетворительный прогноз землетрясений.

Основная идея диссертации заключается в том, что прогнозирование сложных наблюдаемых временных рядов (на примере ценовых последовательностей) в условиях реального режима времени возможно на основе информационно-технологического подхода, базирующегося на системе наблюдаемых данных, а не на системе моделей объектов, порождающих эти данные. Назначение технологического подхода заключается в последовательном применении к сложным наблюдаемым временным рядам операционных преобразований, направленных на постепенное снижение сложности исследуемых временных рядов.

Исходным положением является то, что прогнозирование сложных наблюдаемых временных рядов доступными средствами может быть построено только с точки зрения определенной целевой функции, в качестве которой в диссертации выбрано обнаружение изменений в направлении движения траектории динамики наблюдаемого свойства сложного объекта.

В диссертации предлагается следующая структура технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов:

1. повышение целостности сложных наблюдаемых временных рядов на основе процедуры сглаживания - цифровой фильтрации;

2. переход от сглаженной траектории к временному ряду-заместителю на основе приращений;

3. повышение целостности временного ряда-заместителя за счет процедуры сглаживания — цифровой фильтрации;

4. прогнозирование сглаженного временного ряда-заместителя;

5. интерпретация полученных прогнозных значений относительно исходной траектории сложного наблюдаемого временного ряда.

Разрабатываемая технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов применима не только к рассматриваемым в диссертации объектам финансово-экономического типа, а к более широкому классу сложных объектов, структура которых хорошо описывается иерархическими моделями и которые доступны в виде наблюдаемых траекторий с наличием определенных стереотипов поведения.

В диссертации вводится понятие «целостность временного ряда», означающее согласованность расположения соседних значений: чем сильнее «соседи» зависят друг от друга, тем целостность выше. Целостность временного ряда характеризует то, насколько отдельные значения единым образом формируют целое - временной ряд.

Процедура прогнозирования на четвертом этапе технологии осуществляется на основе рассмотрения работ таких ученых, как Бокс, Браун, Винер, Голяндина, Грешилов, Данилов, Дженкинс, Жиглявский, Зайченко, Ивахненко, Колмогоров, Котюков, Мюллер, Степашко, Хеннан, Хольт и Уинтерс. Для получения прогнозных значений были выбраны модели авторегрессионного типа.

Предметом исследований в диссертации являются целостные характеристики сложных наблюдаемых временных рядов, которые могут быть интерпретированы с точки зрения возможности прогнозирования этих рядов моделями в классе авторегрсссиошшх.

Цель исследований заключается в построении информационной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов с точки зрения обнаружения изменений в направлении движения траектории этих рядов.

Достижение поставленной цели предполагается осуществить на основе решения следующих задач:

1. разработка алгоритмов оценивания целостности сложных наблюдаемых временных рядов, позволяющих оценивать меру «зазубренности» значений временных рядов на разных иерархических масштабах;

2. разработка алгоритмов повышения целостности сложных наблюдаемых временных рядов, позволяющих осуществить сглаживание временных рядов с учетом принципа рефлексии, выражающегося в

рекуррентности алгоритмов цифровой фильтрации, и с учетом принципа иерархии;

3. разработка методики иерархического прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов;

4. программная реализация разработанной информационной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, включающей решения первых трех задач.

Методологические основания исследований базируются на теории вероятностей и математической статистике, теории случайных процессов, цифровой обработке сигналов, линейной алгебре, методах прогнозирования временных рядов и системологических представлениях Дж. Клира.

К основным результатам диссертационного исследования, выносимым на защиту, относятся:

1. алгоритмы оценивания целостности временных рядов — спектр показателей целостности;

2. алгоритмы цифровой фильтрации временных рядов, учитывающие принцип рефлексии;

3. методика иерархического прогнозирования временных рядов, основанная на формировании временных рядов разных масштабов по времени;

4. информационная технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, включающая все полученные результаты.

Научная новизна полученных результатов заключается в построении обобщенной технологии прогнозирования наблюдаемых свойств сложных объектов.

Теоретическая значимость проведенных в диссертации исследований определяется обоснованностью применения информационно-технологического подхода к решению задачи прогнозирования наблюдаемой динамике сложных объектов. Значение для теории имеет предложенные спектр показателей целостности и алгоритмы цифровой рефлексивной фильтрации временных рядов.

Значение для практики определяется возможностью применения разработанной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов и алгоритмов оценивания целостности и цифровой рефлексивной фильтрации временных рядов не только для рассматривающихся в диссертации сложных объектов финансово-экономического типа, но и сложных объектов геофизической и другой природы, структура которых удовлетворительно описывается иерархически, а их наблюдаемая динамика представляется выраженными траекториями с наличием сингулярностей.

Достоверность полученных результатов (в части прогнозирования) определяется успешным сопоставлением прогнозных значений по отношению к наблюдаемым значениям, но не по критерию невязки, а согласно определенной целевой функции — обнаружение изменений в направлении движения.

Использование результатов диссертации. Материалы, положения и результаты диссертационной работы использованы в учебных программах дисциплин «Модели случайных процессов и сложных объектов» и «Методы и

средства экстраполяции и прогнозирования» кафедры «Системный анализ и управление» факультета информатики и процессов управления Политехнического института Сибирского федерального университета для преподавания студентам направления 221000.68 «Системный анализ данных и моделей принятия решений».

Апробация результатов диссертации. Основные положения и результаты диссертационных исследований докладывались на И всероссийской научно-технической конференции «Транспортные системы Сибири» (Красноярск, 2004), на IV и V всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2005 и 2006), на VIII и IX всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2005 и 2006), на VII всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006), на X международной конференции «Рететнсвские чтения» (Красноярск, 2006), на семинарах «Системные задачи финансовой инженерии» Красноярского института экономики (Красноярск, 2006), а также на постоянно действующем семинаре кафедры «Системный анализ и управление» Политехнического института Сибирского федерального университета (Красноярск, 2005 - 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, из которых: 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК, 6 статей в сборниках научных трудов, 8 работ в трудах всероссийских конференции, 1 работа в трудах международной конференции.

Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 4 глав, содержит основной текст на 132 страницах, 63 иллюстрации (из них 20 находятся в приложениях), 9 таблиц, 2 приложения на 15 страницах, список использованных источников из 114 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, указаны методологические основания исследований, изложены основные положения, рассмотрены вопросы научной новизны, теоретической и практической значимости работы и изложены результаты, выносимые на защиту.

В первой главе («Сложные наблюдаемые временные ряды и характеристики их целостности») рассматривается системологическая модель сложных объектов и синтезируются алгоритмы оценивания целостности временных рядов, позволяющие, основываясь на числовом индикаторе, выносить суждения о внутренней целостности упорядоченных данных, представляющих временной ряд, и сравнивать различные временные ряды по критерию целостности.

В разделе 1.1 («Сложные объекты и сложные данные») проводится анализ основных свойств сложных объектов, являющихся продуцентами сложных наблюдаемых временных рядов.

К существенным свойствам сложных объектов относятся: наличие слабо формализуемых, ненаблюдаемых и неуправляемых компонент; многомерность; динамическая сложность; неравновесноть; самоорганизация; глобальные масштабы функционирования (вплоть до планетарных масштабов).

Наличие слабо формализуемых компонент обусловлено социальным генезисом сложных объектов и вызваны организованной сложностью этих объектов, порождающей рефлексию и наличие поведения, а также многофакторность и многоаспектность.

В этом же разделе определяется класс конкретных сложных объектов, исследуемых в рамках диссертационной работы, — сложные объекты финансово-экономического типа: «Международный валютный рынок» (свойства — котировки различных пар валют), «Международный фондовый рынок» (свойства - курсы акций различных компаний), «Мировая экономика» (свойства — различные индексы). Выбор сложных объектов финансовой и экономической среды для проведения исследований обосновывается их доступностью в среде Internet и наблюдаемостью с высокой разрешающей способностью (вплоть до минутных значений) на интервале жизни этих объектов.

Далее формулируется задача прогнозирования последовательностей наблюдаемых значений свойств сложных объектов — сложных наблюдаемых временных рядов, для которых рассматриваются основные характеристики с точки зрения визуального когнитивного анализа, статистического анализа и вейвлет-анализа на примере наблюдаемой последовательности котировки валют EURUSD (рис. 1).

Время, отсчеты

Рис. 1. Сложный наблюдаемый временной ряд на примере котировки EURUSD [данные предоставлены IDC Alpari], окружностями указаны целевые точки изменения направления движения

Значения сложных наблюдаемых временных рядов (рис. 1) структурированы по уровням, переход между которыми происходит в виде

сингулярностей, и имеют несколько мод в распределении значений. Распределение приращений такого временного ряда (рис. 1) симметрично относительно нуля и является унимодальным с «тяжелыми хвостами», эксцесс которого на порядки отличается от эксцесса нормального распределения.

Для того чтобы показать иерархическую структуру динамики траектории сложного наблюдаемого временного ряда (рис. 1), в диссертации осуществляется его вейвлет-преобразование, показывающее, что данный ряд представляется иерархической композицией составляющих, различающихся по силе воздействия и частоте изменчивости.

Далее указываются причины ограниченной применимости методов теории случайных процессов, сигнальной теории, теории мартингалов, регрессионной методологии для прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов (рис. 1) и в качестве решения предлагается построение технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, первый компонент которой (оценивание целостности) рассматривается далее в первой главе.

В разделе 1.2 («Проблема оценивания характеристик целостности сложных наблюдаемых временных рядов») рассматривается проблема оценивания характеристик целостности временных рядов, выражающейся в мере его «зазубренности» или степени гладкости, которая подчеркивается многими учеными (Климонтович, Кравцов, Мачарашвили, Петере, Татарский, Челидзе) и решается, как правило, с использованием фрактальных или хаотических моделей либо с использованием метода нормированного размаха.

В разделе 1.3 («Анализ возможности использования методов оценивания «зазубренности» при исследовании наблюдаемых свойств сложны объектов») рассматриваются принципиальные и вычислительные трудности применение фрактальных размерностей, показателей Ляпунова и показателя Херста в качестве числовой меры «зазубренности» или индикатора степени гладкости временных рядов. С одной стороны, эти характеристики требуют грубых допущений о природе временного ряда. С другой стороны, их оценивание требует субъективной человеческой оценки «на глаз» и не может быть полностью автоматизировано. Вследствие указанных причин в диссертации предлагается новая методика оценивания целостности сложного наблюдаемого временного ряда.

Сложный наблюдаемый временной ряд рассматривается как абстрактный объект, для которого, как и для сложного объекта, прежде всего, важны целостные характеристики. Вероятно ожидать наличие у сложного наблюдаемого временного ряда множества целостных характеристик, соответствующим его разным целостным свойствам.

Ключевой идеей в понимании целостности временного ряда является идея соседства: чем сильнее зависимость между соседними значениями и чем шире диапазон зависимых значений, тем выше целостность временного ряда.

Для оценивания целостности временных рядов в разделе 1.4 («Синтез алгоритма оценивания целостности временных рядов в метрическом пространстве») предлагается рассматривать временной ряд как блуждание в

одномерном метрическом пространстве и изучать дисперсионные характеристики (средние пройденные расстояния) временного ряда на разных масштабах на основе различных локальных скользящих усреднений его значений.

Для исходного временного ряда Х(Д=!) = {хь ...,х„} (Л - масштабный уровень) определим пройденное им среднее расстояние ]) как

1

—421**

И -1

0)

Далее из ряда Х(д = 1) сформируем временной ряд Х(д = 2)> каждый элемент которого равен среднему значению двух соседних значений ряда Х(Д= ]):

Х(Д = 2)"

+ Х.

(2)

2*2

Для полученного ряда Х(д „ 2) также определим пройденное им среднее расстояние 5(д «2) как

5(А=2) ■

1 п-г п-2 м

X, + X

(3)

2 2

Для старшего рассматриваемого уровня Д = к среднее расстояние 5(Д=ц, пройденное временным рядом Х(Д=ц равно

| п~1

V*) = Т 2

1 п-к /л

х.

1

к(п-к)':

¿к

(4)

к к

Из полученных средних расстояний 1},..., = ц сформируем

характеристику П= {щ,..., щ} - спектр показателей целостности временного ряда, в котором каждое значение 7гЛ определяется как

=

(5)

Показатели целостности Яд обладают свойством 0 < яд < 1. Для выбора параметра к, характеризующего старший рассматриваемый масштаб, было установлено соотношение к< 10"Зл, исходя из статистической устойчивости оценивания показателей /гд.

В ходе диссертационного исследования в разделе 1.5 было установлено, что для гауссовского блуждания (модели броуновского движения) показатели целостности хорошо аппроксимируются гиперболической зависимостью:

*а=7- (6)

д

На рис. 2 представлены спектры показателей целостности для различных временных рядов (рассматриваемые в разделах 1.5 и 1.6), демонстрирующие чувствительность предлагаемой методики оценивания целостности временных рядов к различной природе этих рядов (периодической, детерминированной, случайной).

Масштаб, Д

Рис. 2. Спектры целостности временных рядов: 1 — синусоида с периодом 120;

2 - последовательность прямоугольных импульсов с периодом 120;

3 - гауссовское блуждание; 4 - индекс Доу-Джонса ОЛ

Во второй главе («Конструирование цифровой рефлексивной фильтрации сложных наблюдаемых временных рядов») рассматривается второй компонент разрабатываемой технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов — методика повышения целостности сложных наблюдаемых временных рядов, основанная на сглаживающих цифровых фильтрах.

В разделе 2.1 («Обоснование использования принципа рефлексии при решении задачи прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов») обосновывается применение принципа рефлексии в построении сглаживающей методики. Для этого анализируются работы таких ученых, как Бажанов, Воробьев, Лефевр, Разумовский, Сорос, и на основании того, что использование теории рефлексивности для описания динамики ценовых последовательностей конструктивно (наличие в ценовых последовательностях повторяющихся стереотипов поведения), предлагается внести принцип рефлексии на алгоритмическом уровне в процедуру цифровой фильтрации в виде рекуррентности фильтра.

В разделе 2.2 («Анализ цифровых фильтров») в качестве базового цифрового фильтра, способного учесть принцип рефлексии в рекуррентном виде и обладающего меньшим запаздыванием по сравнению с простыми скользящими средними, выбирается экспоненциальное скользящее среднее:

У, =(*!+{ (7)

где {х,} - значения исходного временного ряда;

{у,} — значения отфильтрованного временного ряда;

/¿-степень фильтрации, удовлетворяющая условию 0 <¡л< 1.

К разрабатываемым фильтрам кроме соответствия требованию рефлексии, предъявлялись следующие требования: управление запаздыванием/опережением отфильтрованного временного ряда относительно исходного, отсутствие принципиальных расхождений между исходным и фильтруемым временными рядами на концах, управление степенью фильтрации по иерархическому принципу - степень гладкости отфильтрованного временного ряда должна быть сильной в начале и слабой в конце (значения, уходящие в прошлое влияют на будущее сильнее в смысле основной тенденции, а значения, находящиеся близко к текущему моменту времени, влияют на будущее сильнее в смысле своей индивидуальности).

В разделе 2.3 («Базовая модель рефлексивной фильтрации временных рядов: прямой и обратный рефлексивные фильтры») на основании преобразования (7) вводится прямой рефлексивный фильтр FRF (forward reflexive filter):

Y(K) = FRF(/4f))[X] : ym i = //(F)x, + (l - /i(F) )y(F), при i=2^n. (8)

FRF-фильтр (8) вносит в отфильтрованный временной ряд Y(F) относительно исходного ряда X запаздывание, величина которого определяется параметром /^щ.

Далее на основе применения преобразования (7) к фильтруемому ряду X с конца, вводится обратный рефлексивный фильтр BRF (back reflexive filter):

Y(B) = BRF(//(B))tX]: yw = /!(п)х; + (l -//(B)}y(I1)M, при / = (и-1),1. (9)

FRF-фильтр (9) вносит в отфильтрованный временной ряд Y(b> относительно исходного ряда X опережение, величина которого определяется параметром

В разделе 2.4 («Разработка двусторонней и многократной рефлексивной фильтрации временных рядов») на основе совместного использования фильтров FRF и BRF вводятся двусторонний (прямой->обратный) рефлексивный фильтр FBRF (forward->back reflexive filter):

Y(KB) = FBRF(№> //(b))[X]: Y(Fn) = BRF(/i(Ii))[FRF(//(F))[X]] (10) и двусторонний (обратныйпрямой) рефлексивный фильтр BFRF (back->forward_reflexive filter):

Y(bf> = BFRF(Ai)), Лда)[Х]: Y(BF> = FRF(//(F))[BRF(Ml!))[X]] (11)

В этом же разделе предложено многократное использование фильтров FBRF и BFRF (т раз) для придания отфильтрованному временному ряду гладких свойств (высокой целостности) без изменения основного темпа временного ряда при параметрах /¿<f) и близких к единице.

В разделе 2.5 («Неравномерная и иерархическая рефлексивная фильтрация временных рядов») предлагается выбирать в (7) параметр ц переменным, на основе чего вводится иерархический рефлексивный фильтр, позволяющий за счет выбора параметра ц как

добиться результата фильтрации, когда значения отфильтрованного временного ряда тем сильнее сглажены, чем сильнее они «уходят» в прошлое.

На рис. 3 представлено применение всех предложенных в третьей главе цифровых рефлексивных фильтров к котировочному ряду ЕикиВЦ в виде единого обобщенного рефлексивного фильтра ИР.

Рис. 3. Обобщенный вариант рефлексивной фильтрации, включающей в себя двустороннюю, многократную и иерархическую фильтрацию: 1 - исходная котировка; 2 - отфильтрованная котировка

Третья глава («Синтез коллективов линейных рекуррентных моделей прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов») посвящена разработке компонента технологии, непосредственно предназначенного для прогнозирования. Разрабатываемые алгоритмы для прогнозирования временных рядов основываются на моделях авторегрессионного типа.

В разделе 3.1 («Задача прогнозирования состояния сложных объектов в контексте общих представлений о будущем») формулируются общие положения, исходя из которых для сложных объектов может быть построена процедура прогнозирования для формирования представлений о будущих состояниях таких объектов.

В разделе 3.2 («Анализ методов прогнозирования временных рядов -математические модели») рассматриваются основные модели (линейные и нелинейные, детерминированные и стохастические) и методики (сингулярно-спектральный анализ, кусочно-линейное моделирование, нейроинформатика, метод группового учета аргументов) прогнозирования временных рядов, среди которых для технологии выбираются модели авторегрессионного типа.

В качестве базовой модели для построения прогнозных значений в диссертации выбрана линейная рекуррентная формула (рассматриваемая далее как частная модель прогноза)

характеристики которой, а также алгоритмы оценивания коэффициентов {о,} рассмотрены в разделе 3.3. Там же описывается эксперимент по прогнозируемости тестового временного ряда частной моделью прогноза (13) при различных соотношениях сигнал/шум для определения уровня целостности, при котором временной ряд в принципе может прогнозироваться моделью вида (13).

В разделе 3.4 («Синтез коллективов частных моделей прогноза») модель (13) обобщается на случай коллектива таких моделей. Это необходимо для того чтобы довести модель (13) до технологического исполнения, наделив создаваемый коллектив регламентом. Кроме того, в силу высокой сложности исследуемых объектов и порождаемых ими наблюдаемых последовательностей частные модели прогноза могут «работать» не эффективно.

Построение коллективов частных моделей прогноза основано на выборе различных длин обучающих последовательностей для определения коэффициентов {а,} в (13), а также на выборе различных порядков авторегрессии с/в (13).

Для выбора «лучшей» частной модели прогноза из коллектива в пространстве параметров Ь х с! в диссертации использовании стандартные критерии оценивания качества: среднеквадратическая ошибка аппроксимации

„-„-> ( 4 V

м

и среднеквадратическая ошибка прогнозирования

а

4М)= X • О5)

р="-г\ У=1 )

В диссертации дополнительно к критериям и были предложены новые критерии оценивания качества частных моделей прогноза: точность решения СЛАУ

С1 II—

!2>, ЦхР-кхР-!~ Об)

исходя из которой оцениваются коэффициенты {я,} модели (13), баланс коэффициентов {«,■} в модели (13)

= иВА1М) = £а,2 (17)

и среднеквадратическая ошибка обратного прогнозирования

£2Е,ьаЛМ)= • (18)

При использовании приведенных выше критериев, обучающая последовательность разбивалась на участки, показанные на рис. 4.

п

{ М—

Г I *

Рис. 4. Разбиение обучающей последовательности на отдельные участки

Регламент выбора «лучшей» частной модели прогноза из всего коллектива дедуктивный. Прежде всего, из коллектива исключаются модели по критерию Затем исключаются модели, плохо аппроксимирующие

обучающую последовательность, по критерию Ед. После этого исключаются модели по критерию Хр. Затем исключаются модели, не удовлетворяющие критериям баланса ВД1 и ВА1. Из оставшихся моделей «лучшей» считается та, у которой лучшее значение критерия Ьаск.

Для того, чтобы учесть иерархическую структуру динамики сложных наблюдаемых временных рядов, в разделе 3.5 («Разработка иерархического обобщения частной модели прогноза») предлагается методика, позволяющая построить иерархическое прогнозирование, основанное на формировании временных рядов разных масштабов по времени.

Принцип формирования временных рядов разных масштабов по времени, используемый в диссертационном исследовании, представлен на рис. 5 и заключается в регулярном исключении (А —1) элементов из исходного временного ряда для масштабного уровня А.

Далее временной ряд каждого масштабного уровня прогнозируется с использованием предложенных выше коллективов частных моделей прогноза, после чего из полученных прогнозов синтезируется результирующий прогноз с весами, пропорциональными масштабным уровням А либо как простое среднее.

Рис. 5. Принцип формирования временных рядов различных масштабов по времени (схематично)

В четвертой главе из разработанных в первой, второй и третьей главах компонент синтезируется единая информационная технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, структура которой представлена на рис. 6-9.

Рис. 6. Структура технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов (концептуально)

Предварительная обработка сложного наблюдаемого временного ряда (рис. 7) заключается в повышении целостности исходного ряда на основе рефлексивной фильтрации и применения оператора ЮВх[в].

Оценивание спектра показателей целостности П = {яь ...,я*г}

ГМ Х= {л"1, ...,Л'И}

ШЪН

ГЦ

Н[.]

Хк

_ J

Управляющие параметры: т\ «П»; р(.1),ь\

«в),ъ; ив).«;

Рис. 7. Предварительная обработка сложных наблюдаемых временных рядов

Затем от сглаженной траектории осуществляется переход замещающему временному ряду, стационарному в смысле среднего и дисперсии, на основе применения оператора Н[«], в качестве которого в диссертации были выбраны простые приращения. Далее построенный заместитель дополнительно сглаживается оператором М^н!»].

Следующим этапом является непосредственное построение прогнозных значений (рис. 8). Для этого из сглаженного временного ряда-заместителя (Хь Хл) формируются временные ряды различных масштабов по времени, для каждого из которых строится коллектив частных моделей прогноза и получаются прогнозные значения каждого иерархического уровня. Затем из полученных прогнозов для разных уровней с определенной весовой функцией синтезируется искомый прогноз.

Заключительным этапом технологии является интерпретация полученных прогнозных значений сглаженного заместителя относительно исходного сложного наблюдаемого временного ряда (рис. 9).

Рис. 8. Прогнозирование обработанных сложных наблюдаемых временных рядов

Интерпретация основана на применении обратных рефлексивных фильтров и М7^!»], а также оператора восстановления II"1 [•],

позволяющего вернуться от временного ряда-заместителя (приращений) к траектории сложного наблюдаемого временного ряда.

н-'М

RFxM

-4-f>

прпвлятощие параметры:

т-. WF),b; Р(Т)У,

ЖВ),Ь'. WB),e; Р(В),е

Рис. 9. Интерпретация прогнозных значений обработанного сложного наблюдаемого временного ряда

На основе разработанной информационной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов (рис. 6-9) в среде «Borland Delphi 7» был создан программный инструмент «ForIT», с использованием которого в диссертации были проведены эксперименты с натурными данными выбранных сложных объектов финансово-экономического типа. Полученные результаты (рис. 10) подтверждают состоятельность разработанной технологии и предположения о сложных объектах, связанные с иерархической структурой, наличием рефлексии и возможности перехода к ряду-заместителю.

Время, отсчеты

Рис. 10. Прогнозирование котировки Е1ЛШ8В (увеличенный фрагмент) на 60 точек вперед по 2 иерархическим уровням при отступе назад 10 точек: 1 — исходный ряд ЕиКШО; 2 - прогнозные значения

В заключении приведены основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертационного исследования, сформулированы выводы по работе в целом и определены перспективы дальнейших исследований.

В диссертационной работе решена задача решена задача прогнозирования наблюдаемых свойств сложных объектов в контексте определенной целевой функции прогнозирования, определенной как обнаружение изменений в направлении движения траектории, представляющей наблюдаемые свойства.

Полученным решением задачи прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, с одной стороны, является обобщенная информационная технология, основанная на предложенных в диссертации методики оценивания целостности временных рядов, рефлексивной фильтрации временных рядов. А также методики построения иерархических коллективов линейных рекуррентных моделей прогнозирования временных рядов.

С другой стороны, полученным решением является реализация синтезированной информационной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов в виде программного инструмента «Гог1Т».

Оба решения являются завершенными и готовыми к использованию.

В основе полученных в диссертации решений лежат следующие результаты, выносимы на защиту:

1. алгоритмы оценивания целостности временных рядов — спектр показателей целостности;

2. алгоритмы цифровой фильтрации временных рядов, учитывающие принцип рефлексии;

3. методика иерархического прогнозирования временных рядов, основанная на формировании временных рядов разных масштабов по времени;

4. информационная технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, включающая все полученные результаты.

Задачи диссертационного исследования, поставленные во введении, решены успешно и цель диссертационной работы достигнута.

Синтезированная информационная технология прогнозирования наблюдаемых свойств сложных объектов может быть применима не только к рассматриваемым в диссертации объектам финансово-экономического тина, а к более широкому классу сложных объектов, структура которых хорошо описывается иерархическими моделями и которые доступны в виде наблюдаемых траекторий с наличием определенных стереотипов поведения.

Публикации автора по теме диссертации

1. Павлов, С. В. Иерархические коллективы линейных моделей прогноза сложных наблюдаемых временных рядов / С. В. Павлов // Системы управления и информационные технологии. — 2007. - № 1 (27). — С. 18-22.

2. Павлов, С. В. Иерархические линейные регрессионные модели для прогнозирования динамики аграрного сектора / С. В. Павлов, В. В. Сафроиов // Вестник Красноярского государственного аграрного университета.- 2006. -№ 15. - С. 177-183.

3. Павлов, С. В. Рефлексивная фильтрация временных рядов / С. В. Павлов // Вестник университетского комплекса: сб. науч. тр. / Красноярск: ВСФ РГУИТП, НИИ СУВПТ, 2005. - Вып. 5(19). - С. 56-64.

4. Павлов, С. В. Эпистемологические Хааровские модели наблюдений свойств сложных объектов / С. В. Павлов, В. Ф. Слюсарчук // Вестник университетского комплекса: сб. науч. тр. / Красноярск: ВСФ РГУИТП, НИИ СУВПТ, 2005. - Вып. 5 (19). - С. 65-80.

5. Павлов, С. В. Коллективы линейных прогнозных моделей финансовых временных рядов / С. В. Павлов // Управление и экономика. Теория и практика: сб. науч. тр. / Красноярск: ООО «Издательский центр «Платина», 2006. - Вып. 2. - С. 286-292.

6. Павлов, С. В. Вейвлет-представления финансовых процессов / С. В. Павлов, А. И. Максимов // Управление и экономика. Теория и практика: сб. науч. тр. / Красноярск: ООО «Издательский центр «Платина», 2006. - Вып. 2. - С. 302-305.

7. Максимов, А. И. Использование вейвлет-представлений для выделения иерархической структуры наблюдаемой динамики сложных неравновесных объектов / А. И. Максимов, С. В. Павлов // Моделирование неравновесных систем. Материалы IX Всероссийского семинара, 13-15 октября 2006 г. / Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 117-118.

8. Павлов, С. В. Выделение тенденций в нестационарном потоке данных / С. В Павлов // Транспортные системы Сибири. Материалы II Всероссийской научно-технической конференции, 25-26 ноября 2004 г. / Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004.-С. 135-137.

9. Павлов, С. В. Оценивание спектра траекторной целостности наблюдений свойств сложных объектов / С. В. Павлов // Моделирование неравновесных

систем. Материалы VIII Всероссийского семинара, 14-16 октября 2005 г. / Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. - С. 133-134.

Ю.Павлов, С. В. Целостные представления сложных объектов в фазовых пространствах / С. В. Павлов, В. В. Сафронов, В. Ф. Слюсарчук // V Всероссийская ФАМ конференция: тезисы докладов, 3-5 марта 2006 г. / Красноярск: Красноярский гос. ун-т, 2006. - С. 85-86.

П.Павлов, С. В. Иерархическое прогнозирование наблюдаемых свойств сложных неравновесных объектов и систем / С. В. Павлов, В. Ф. Слюсарчук // Моделирование неравновесных систем. Материалы IX Всероссийского семинара, 13-15 октября 2006 г. / Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 133134.

12.Павлов, С. В. Синтез алгоритмов цифровой рефлексивной фильтрации временных рядов / С. В. Павлов // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). Программа выступлений и тезисы докладов, 13 ноября 2006 г. / Новосибирск: ИВТ СО РАН, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 24.

1 З.Павлов, С. В. Синтез коллективов линейных рекуррентных моделей прогнозирования временных рядов / С. В. Павлов // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). Программа выступлений и тезисы докладов, 13 ноября 2006 г. / Новосибирск: ИВТ СО РАН, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 24-25.

Н.Павлов, С. В. Алгоритмы оценивания целостности наблюдаемых временных рядов / С. В. Павлов // Решетневские чтения: материалы X международной научной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетнокосмических систем академика М.Ф. Решетнева, 8-10 ноября 2006 г. / Красноярск: Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т., 2006. - С. 256-257.

15.Сафронов, В. В. Алгоритм оценивания целостности наблюдаемых траекторий динамки сложных многомерных объектов / В. В. Сафронов, С.В.Павлов // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). Программа выступлений и тезисы докладов, 13 ноября 2006 г / Новосибирск: ИВТ СО РАН, Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 27-28.

Павлов Сергей Владимирович Технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов Автореф. дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 3.04.2007. Заказ № 653.

Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз.

Типография Политехнического института Сибирского федерального университета

Введение.

Глава 1. Сложные наблюдаемые временные ряды и характеристики их целостности.

1.1. Сложные объекты и сложные данные: основные свойства.

1.1.1. Сложные объекты.

1.1.2. Сложные данные.

1.2. Проблема оценивания характеристик целостности сложных наблюдаемых временных рядов.

1.3. Анализ возможности использования методов оценивания «зазубренности» при исследовании наблюдаемых свойств сложных объектов.

1.3.1. Фрактальные представления.

1.3.2. Представления теории динамических систем и динамического хаоса.

1.3.3. Метод нормированного размаха.

1.3.4. Обоснование необходимости разработки методики оценивания целостности сложных наблюдаемых временных рядов.

1.4. Синтез алгоритма оценивания целостности временных рядов в метрическом пространстве.

1.5. Важные результаты вычислительных экспериментов по оцениванию целостности периодических и случайных временных рядов.

1.6. Примеры оценивания целостности сложных наблюдаемых временных рядов.

Обоснование актуальности работы. В диссертации рассматривается проблематика сложных объектов в аспекте прогнозирования их наблюдаемой динамики. Под сложными объектами понимаются объекты, «погруженные» в иерархически структурированную окружающую среду, являющиеся открытыми и состоящими из большого количества компонент (включая слабо формализуемые, ненаблюдаемые и неуправляемые), отношения между которыми не могут быть строго установлены.

В диссертации в качестве представителей класса сложных объектов для проведения исследований выбраны: «Международный валютный рынок», «Международный фондовый рынок» и «Мировая экономика».

Выбранные для исследования сложные объекты финансово-экономической природы характеризуются следующими особенностями: динамическая сложность: трудность предсказания поведения объекта в «будущем» и строгого формального оценивания «будущего» - проблема прогнозирования [25, 60, 62]; организованная сложность: социальный генезис объектов, не являющихся ни детерминированными, ни стохастическими, а также их глобальность - вплоть до планетарного масштаба [28, 85]; принципы бихевиоризма (поведения) и рефлексии: саморазвитие, самоорганизация, обратная связь [84, 85]; мультифрактальность структуры динамики [49, 50, 82, 111].

Наблюдаемая динамика свойств выбранных сложных объектов является, с одной стороны, композицией детерминированных, стохастических и хаотических составляющих, а, с другой стороны, наложением движений разных масштабов, отличающихся по степени и частоте воздействия.

В диссертации решается задача прогнозирования наблюдаемых свойств сложных объектов финансово-экономического типа (котировки валют, курсы акций, индексы) на основе имеющейся информации о ретроспективных наблюдениях этих свойств - сложных наблюдаемых временных рядов.

Объектом исследований в диссертации является сложный наблюдаемый временной ряд - конечное и дискретное множество упорядоченных данных числовой природы единого информационного ранга.

Сложные наблюдаемые временные ряды характеризуются уникальной траекторией динамики, наличием сингулярностей, структурированностью значений по уровням, полимодальностью распределения значений и распределением с «тяжелыми хвостами» для приращений. Указанные характеристики для сложных наблюдаемых временных рядов являются уникальными на различных временных масштабах (минутные, часовые, дневные и другие значения), т.е. наблюдаемая динамика сложных объектов не является масштабно-инвариантной.

Актуальность решения задачи прогнозирования котировок валют, курсов акций и ключевых индексов определяется необходимостью в наличии информации прогностического характера при решении задач планирования и управления в области производства, инвестиций и др. для принятия упреждающего решения.

Использование мощной методологии теории случайных процессов и теории сигналов для прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов ограничено, поскольку эти ряды доступны в виде единственной траектории (ансамбль реализаций принципиально отсутствует), а их эргодическое «рассмотрение» неприемлемо, поскольку все характеристики (среднее, дисперсия) сильно изменчивы, а корреляционные характеристики в принципе не могут быть корректно построены.

Использование методик кусочно-линейного моделирования, сингулярно-спектрального анализа, нейросетей и группового учета аргументов для прогнозирования ценовых последовательностей (на валютных и фондовых рынках) позволяет добиться удовлетворительного результата на несколько точек вперед (но не более 10).

Применение распространенных пакетов статистического анализа временных рядов (Эвриста, СТАТИСТИКА, PolyAnalyst, Vanguard и др.) не позволяет успешно решить задачу прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов (например, рядов котировочного типа), поскольку в большинстве таких пакетов применение методов прогнозирования (сводимых, в основном, к моделям авторегрессии, скользящего среднего и их обобщениям) осуществляется к не преобразованному временному ряду без специальной предварительной обработки.

В областях финансовой математики и финансовой инженерии существенный вклад внесли Акелис, Александер, Басс, Башелье, Блэк, Больлерслев, Вильяме, Гирсанов, Кендалл, Крянев, Мандельброт, Маркович, Медведев, Нейштадт, Петере, Самуэльсон, Сорос, Терпугов, Фама, Фишер, Четыркин, Шарп, Ширяев, Шоулз, Элдер и др. Перечисленными учеными были заложены основы стохастической финансовой математики и математический аппарат ведения актуарных расчетов. Задача прогнозирования ценовых последовательностей была ими только сформулирована, но не решена.

Не существует моделей валютных, фондовых и других рынков, степень адекватности которых достаточна для прогнозирования ценовых последовательностей. Для некоторых сложных объектов физической природы (например, атмосфера) удалось построить модели, позволяющие осуществить краткосрочный прогноз погоды. В то же самое время, для сложных геофизических объектов не существует моделей, позволяющих построить удовлетворительный прогноз землетрясений.

Основная идея диссертации заключается в том, что прогнозирование сложных наблюдаемых временных рядов (на примере ценовых последовательностей) в условиях реального режима времени возможно на основе информационно-технологического подхода, базирующегося на системе наблюдаемых данных, а не на системе моделей объектов, порождающих эти данные. Назначение технологического подхода заключается в последовательном применении к сложным наблюдаемым временным рядам операционных преобразований, направленных на постепенное снижение сложности исследуемых временных рядов.

Исходным положением является то, что прогнозирование сложных наблюдаемых временных рядов доступными средствами может быть построено только с точки зрения определенной целевой функции, в качестве которой в диссертации выбрано обнаружение изменений в направлении движения траектории динамики наблюдаемого свойства сложного объекта.

В диссертации предлагается следующая структура технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов:

1. повышение целостности сложных наблюдаемых временных рядов на основе процедуры сглаживания - цифровой фильтрации;

2. переход от сглаженной траектории к временному ряду-заместителю на основе приращений;

3. повышение целостности временного ряда-заместителя за счет процедуры сглаживания - цифровой фильтрации;

4. прогнозирование сглаженного временного ряда-заместителя;

5. интерпретация полученных прогнозных значений относительно исходной траектории сложного наблюдаемого временного ряда.

Разрабатываемая технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов применима не только к рассматриваемым в диссертации объектам финансово-экономического типа, а к более широкому классу сложных объектов, структура которых хорошо описывается иерархическими моделями и которые доступны в виде наблюдаемых траекторий с наличием определенных стереотипов поведения.

В диссертации вводится понятие «целостность временного ряда», означающее согласованность расположения соседних значений: чем сильнее «соседи» зависят друг от друга, тем целостность выше. Целостность временного ряда характеризует то, насколько отдельные значения единым образом формируют целое - временной ряд.

Процедура прогнозирования на четвертом этапе технологии осуществляется на основе рассмотрения работ таких ученых, как Бокс, Браун, Винер, Голяндина, Грешилов, Данилов, Дженкинс, Жиглявский, Зайченко, Ивахненко, Колмогоров, Котюков, Мюллер, Степашко, Хеннан, Хольт и Уинтерс. Для получения прогнозных значений были выбраны модели авторегрессионного типа.

Предметом исследований в диссертации являются целостные характеристики сложных наблюдаемых временных рядов, которые могут быть интерпретированы с точки зрения возможности прогнозирования этих рядов моделями в классе авторегрессионных.

Цель исследований заключается в построении информационной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов с точки зрения обнаружения изменений в направлении движения траектории этих рядов.

Достижение поставленной цели предполагается осуществить на основе решения следующих задач:

1. разработка алгоритмов оценивания целостности сложных наблюдаемых временных рядов, позволяющих оценивать меру «зазубренности» значений временных рядов на разных иерархических масштабах;

2. разработка алгоритмов повышения целостности сложных наблюдаемых временных рядов, позволяющих осуществить сглаживание временных рядов с учетом принципа рефлексии, выражающегося в рекуррентности алгоритмов цифровой фильтрации, и с учетом принципа иерархии;

3. разработка методики иерархического прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов;

4. программная реализация разработанной информационной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, включающей решения первых трех задач.

Методологические основания исследований базируются на следующих направлениях научно-технического знания: теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов (обработка данных, статистическое оценивание и т.д.) [5, 6, 36,44,47, 108]; цифровая обработка сигналов (теория линейной цифровой фильтрации) [45]; линейная алгебра (решение систем линейных алгебраических уравнений) [11,100, 101,102,103]; методы прогнозирования временных рядов [12, 13, 16, 22, 29, 30, 32]; нотации теория множеств [33, 36]; системологические представления Джорджа Клира [28].

К основным результатам диссертационного исследования относятся:

1. алгоритмы оценивания целостности временных рядов - спектр показателей целостности;

2. алгоритмы цифровой фильтрации временных рядов, учитывающие принцип рефлексии;

3. методика иерархического прогнозирования временных рядов, основанная на формировании временных рядов разных масштабов по времени;

4. информационная технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, включающая все полученные результаты.

Научная новизна полученных результатов заключается в построении обобщенной технологии прогнозирования наблюдаемых свойств сложных объектов.

Теоретическая значимость проведенных в диссертации исследований определяется обоснованностью применения информационно-технологического подхода к решению задачи прогнозирования наблюдаемой динамике сложных объектов. Значение для теории имеет предложенные спектр показателей целостности и алгоритмы цифровой рефлексивной фильтрации временных рядов.

Значение для практики определяется возможностью применения разработанной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов и алгоритмов оценивания целостности и цифровой рефлексивной фильтрации временных рядов не только для рассматривающихся в диссертации сложных объектов финансово-экономического типа, но и сложных объектов геофизической и другой природы, структура которых удовлетворительно описывается иерархически, а их наблюдаемая динамика представляется выраженными траекториями с наличием сингулярностей.

Достоверность полученных результатов (в части прогнозирования) определяется успешным сопоставлением прогнозных значений по отношению к наблюдаемым значениям, но не по критерию невязки, а согласно определенной целевой функции - обнаружение изменений в направлении движения.

Использование результатов диссертации. Материалы, положения и результаты диссертационной работы использованы в учебных программах дисциплин «Модели случайных процессов и сложных объектов» и «Методы и средства экстраполяции и прогнозирования» кафедры «Системный анализ и управление» факультета информатики и процессов управления Политехнического института Сибирского федерального университета для преподавания студентам направления 221000.68 «Системный анализ данных и моделей принятия решений».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

II всероссийская научно-техническая конференция «Транспортные системы Сибири» (Красноярск, 2004);

IV и V Всероссийская конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2005-2006;

VIII и IX Всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2005-2006);

VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006);

X Международная конференция «Решетневские чтения» (Красноярск, 2006); научные семинары «Системные задачи финансовой инженерии» Красноярского института экономики Санкт-Петербургской академии управления и экономики (Красноярск, 2006); научные семинары кафедры «Системный анализ и управление» Политехнического института Сибирского федерального университета (Красноярск, 2005-2007).

Публикации. Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 15 научных работах (приведены в общем списке использованной литературы), из которых: 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК, 6 статей в сборниках научных трудов, 8 работ в трудах всероссийских конференции, 1 работа в трудах международной конференции.

Структура диссертации. Диссертация состоит из 4 глав, содержит основной текст на 132 страницах, 63 иллюстрации (из них 20 находятся в приложениях), 9 таблиц, 2 приложения на 15 страницах, список использованных источников из 114 наименований.

В изложении материалов диссертации осуществлена попытка построения логических посылок, постепенно приводящих к созданию целостной информационной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена задача прогнозирования наблюдаемых свойств сложных объектов в контексте целевой функции прогнозирования, определенной как обнаружение изменений в направлении движения траектории, представляющей наблюдаемые свойства.

Полученным решением задачи прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов, с одной стороны, является обобщенная информационная технология, основанная на предложенных в диссертации методики оценивания целостности временных рядов, рефлексивной фильтрации временных рядов и методики построения иерархических коллективов линейных рекуррентных моделей прогнозирования временных рядов.

С другой стороны, полученным решением является реализация синтезированной информационной технологии прогнозирования сложных наблюдаемых временных рядов в виде программного инструмента «РогГГ».

Оба решения являются завершенными и готовыми к использованию.

В основе полученных в диссертационном исследовании решений лежат следующие результаты:

1. алгоритмы оценивания целостности временных рядов - спектр показателей целостности;

2. алгоритмы цифровой фильтрации временных рядов, учитывающие принцип рефлексии;

3. методика иерархического прогнозирования временных рядов, основанная на формировании временных рядов разных масштабов по времени;

4. информационная технология прогнозирования сложных наблюдаемых временных ярдов, включающая все полученные результаты.

Задачи диссертационного исследования, поставленные во введении, решены успешно и цель диссертационной работы достигнута.

Синтезированная информационная технология прогнозирования наблюдаемых свойств сложных объектов может быть применена не только к рассматриваемым в диссертации сложным объектам финансово-экономического типа, а к более широкому классу сложных объектов, структура которых хорошо описывается иерархическими моделями и которые доступны в виде наблюдаемых траекторий с наличием определенных стереотипов поведения.

Перспективы дальнейших исследований по тематике диссертации делятся на следующие направления: исследование модели структуры сложных объектов и численное определение весов компонентов иерархии; исследование свойств методики оценивания спектра показателей целостности сложных наблюдаемых временных рядов и ее обобщение на многомерный вариант наблюдаемой траектории динамики сложного объекта в фазовом пространстве его свойств; развитие рефлексивной фильтрации, ее обобщение на многомерный случай и исследование свойств рефлексивных фильтров; реализация более эффективных и надежных методов решения систем линейных алгебраических уравнений на основе методов регуляризации и гарантированной точности получения решений; построение информационной системы прогнозирования временных рядов, структурно более гибкой к построению технологии; включение в технологию других методов (секвентного анализа, вейвлет-анализа и др.) для снижения сложности наблюдаемых временных рядов.

1. Анищенко, В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. Лекции соросовского профессора: учеб. пособие / В. С. Анищенко. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 144 с.

2. Бажанов, В. А. Рефлексия в современном науковедении / В. А. Бажанов // Рефлексивные процессы и управление. 2002. - №2, том 2. - С.73-89.

3. Бассвиль, М. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / М. Бассвиль, А. Вилски, А. Банневист. М.: Мир, 1989. -278 с.

4. Брур, X. В. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы / X. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин, Ф. Такенс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 336 с.

5. Булинский, А. В. Теория случайных процессов. / А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2003. -400 с.

6. Вайну, Я. Я.-Ф. Корреляция рядов динамики / Я. Я.-Ф. Вайну. М.: Статистика, 1977. - 119 с.

7. Винер, Н. Я математик / Н. Винер. - М.: Наука, 1967. - 356 с.

8. Винер, Н. Преобразование Фурье в комплексной области / Н. Винер, Р. Пэли. М.: Наука, 1964. - 268 с.

9. Воробьев, О. Ю. Эвентология рефлексивного выбора / О. Ю. Воробьев // Труды IV Всероссийской ФАМ'2005 конференции. Часть первая (под ред. Олега Воробьева). Красноярск: ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, СИБУП, Изд-во Гротеск, 2005. - С. 170-210.

10. Ю.Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. М.: Наука, 1967.-376 с.

11. П.Годунов, С. К. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С. К. Годунов, А. Г. Антонов, О. П. Кирилюк, В. И. Костин. Новосибирск: Наука, 1988. - 456 с.

12. Голяндина, Н. Э. Метод «Гусеница^А». Анализ временных рядов: учеб. пособие / Н. Э. Голяндина. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ, 2003.-87 с.

13. Голяндина, Н. Э. Метод «Гусеница-ЗБА». Прогноз временных рядов: учеб. пособие / Н. Э. Голяндина. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ, 2003. - 55 с.

14. Горбань, А. Н. Нейроинформатика / А. Н. Горбань, В. Л. Дунин-Барковский, А. Н. Кирдин и др. Новосибирск: Наука, Сибирское предприятие РАН, 1998. - 296 с.

15. Горбань, А. Н. Геометрия необратимости. Натуральный проектор и пленка неравновесных состояний / А. Н. Горбань, И. В. Карлин // V Всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем»: лекция. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. - 64 с.

16. Данилов, Д. Л. Главные компоненты временных рядов. Метод «Гусеница» / Д. Л. Данилов, А. А. Жиглявский. Санкт-Петербург: Пресском, 1998. - 308 с.

17. Дли, М. И. Локально-аппроксимационные модели социально-экономических систем и процессов / М. И. Дли, В. В. Круглов, М. В. Осокин. М.: Наука, Физматлит, 2000. - 224 с.

18. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 464 с.19.3агоруйко, Н. Г. Прикладные методы анализа данных и знаний / Н. Г. Загоруйко. Новосибирск: изд-во института математики, 1999. -270 с.

19. Ивахненко, А. Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами / А. Г. Ивахненко. Киев: Техника, 1975. - 312 с.

20. Ивахненко, А. Г. Самоорганизация прогнозирующих моделей /

21. A. Г. Ивахненко, Й. А. Мюллер. Киев: Техника, 1985. - 223 с.

22. Ивахненко, А. Г. Предсказание случайных процессов / А. Г. Ивахненко,

23. B. Г. Лапа. Киев: Наукова думка, 1971. - 416 с.

24. Ивахненко, А. Г. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным / А. Г. Ивахненко, Ю. П. Юрачковский. -М.: Радио и связь, 1987. 120 с.

25. Капица, С. П. Синергетика и прогнозы будущего / С. П. Капица,

26. C. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий. М.: Едиториал УРСС, 2003. -288 с.

27. Касти, Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы / Дж. Касти. М.: Мир, 1982. - 216 с.

28. Клаербоут, Дж. Ф. Теоретические основы обработки геофизической информации с приложением к разведке нефти / Дж. Ф. Клаербоут. М.: Недра, 1981.-304 с.

29. Климонтович, Ю. JI. Проблемы статистической теории открытых систем: критерии относительной степени упорядоченности состояний в процессах самоорганизации / Ю. J1. Климонтович // Успехи физических наук. Май 1989. - Том 158. - Вып. 1. - С. 59-91.

30. Клир, Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач / Дж. Клир. М.: Радио и связь, 1990. - 544 с.

31. Колмогоров, А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей / А. Н. Колмогоров // Избранные труды. Том 2: теория вероятностей и математическая статистика. 2005. - С. 268-276.

32. Колмогоров, А. Н. К вопросу о пригодности найденных статистическим путем формул прогноза / А. Н. Колмогоров // Избранные труды. Том 2: теория вероятностей и математическая статистика. 2005. - С. 170175.

33. Колмогоров, А. H. К обоснованию метода наименьших квадратов /

34. A. Н. Колмогоров // Избранные труды. Том 2: теория вероятностей и математическая статистика. 2005. - С. 281-292.

35. Колмогоров, А. Н. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве / А. Н. Колмогоров // Избранные труды. Том 2: теория вероятностей и математическая статистика. 2005. - С. 227-267.

36. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Физматлит, 2004. -572 с.

37. Котюков, В. И. Многофакторные кусочно-линейные модели /

38. B. И. Котюков. М.: Финансы и статистика, 1984. - 216 с.

39. Кравцов, Ю. А. Случайность, детерминированность, предсказуемость / Ю. А. Кравцов // Успехи физических наук. Май 1989. - Том 158. -Вып. 1.-С. 93-122.

40. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. М.: Мир, 1975.-650 с.

41. Кроновер, Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р. М. Кроновер. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

42. Крянев, А. В. Математические методы обработки неопределенных данных / А. В. Крянев, Г. В. Лукин. М.: Физматлит, 2003. - 216 с.

43. Лабскер, Л. Г. Вероятностное моделирование в финансово-экономической области / Л. Г. Лабскер. М.: Альпина Паблишер, 2002. -224 с.

44. Левин, Б. Р. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления / Б. Р. Левин, В. Шварц. М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

45. Лем, С. О невозможности жизни, о невозможности прогнозирования /

46. C. Лем // Собрание сочинений. Том 10. М.: Текст, 1995. - С. 252-271.

47. Лем, С. Сумма технологии / С. Лем. М.: ООО Издательство ACT; Спб: Terra Fantastica, 2004. - 668 с.

48. Лефевр, В. А. О самоорганизующихся и саморефлексивных системах и их исследовании / В. А. Лефевр // Проблемы исследования систем и структур. 1965. - С. 61-68.

49. Липцер, Р. Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы / Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. М.: Главная редакция физ.-мат. литературы изд-ва Наука, 1974. - 696 с.

50. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. Основные принципы и классические методы. Том 1 / Ж. Макс.-М.: Мир, 1983.-312 с.

51. Маланин, В. В. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах / В. В. Маланин, И. Е. Полосков. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 296 с.

52. Малинецкий, Г. Г. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику / Г. Г. Малинецкий. М.: Едиториал УРСС, 2002.-256 с.

53. Мандельброт, Б. Фракталы, случай, финансы / Б. Мандельброт. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 256 с.

54. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. -М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

55. Маршалл, Дж. Ф. Финансовая инженерия. Полное руководство по финансовым нововведениям ./ Дж. Ф. Маршалл, В. К. Бансал. М.: ИНФРА-М, 1998.-784 с.

56. Месарович, М. Д. Общая теория систем. Математические основы / М. Д. Месарович, Я. Такахара. М.: Мир, 1978. - 312 с.

57. Месарович, М. Д. Теория иерархических многоуровневых систем / М. Д. Месарович, Д. Мако, И. Такахара. М.: Мир, 1973. - 344 с.

58. Методы нейроинформатики / Под ред. А. Н. Горбаня, отв за выпуск М. Г. Доррер. Красноярск: КГТУ, 1998. - 205 с.

59. Митасов, И. М. Кусочно-линейные многофакторные модели в задачах анализа и прогноза динамики объектов: дис. . канд. техн. Наук: 05.13.01 / И. М. Митасов; рук. работы В. И. Котюков. Новосибирск, 1990. -149 с.

60. Монин, А. С. Гидродинамическая теория краткосрочных прогнозов погоды / А. С. Монин // Успехи физических наук. Октябрь 1968. -Том 96. - Ввып. 2. - С. 327-367.

61. Монин, А. С. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Часть 1 / А. С. Монин, А. М. Яглом. М.: Наука, 1965. -640 с.

62. Монин, А. С. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Часть 2 / А. С. Монин, А. М. Яглом. М.: Наука, 1967. -720 с.

63. Моттль, В. В. Скрытые марковские модели в структурном анализе сигналов / В. В. Моттль, И. Б. Мучник. М.: Физматлит, 1999. - 352 с.

64. Мун, Ф. Хаотические колебания. Вводный курс для научных работников и инженеров / Ф. Мун. М.: Мир, 1990. - 312 с.

65. Найденов, В. И. Эффект Харста в геофизике / В.И.Найденов, И. А. Кожевникова // Природа. Январь 2000. - № 1. - С. 3-11.

66. Николис, Г. Познание сложного / Г. Николис, И. Пригожин. М.: Едиториал УРСС, 2003 - 344 с.

67. Павлов, С. В. Выделение тенденций в нестационарном потоке данных / С. В Павлов // Транспортные системы Сибири. Материалы II Всероссийской научно-технической конференции, 25-26 ноября 2004 г. / Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. С. 135-137.

68. Павлов, С. В. Оценивание спектра траекторной целостности наблюдений свойств сложных объектов / С. В. Павлов // Моделирование неравновесных систем. Материалы VIII Всероссийского семинара, 14-16 октября 2005 г. / Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. С. 133-134.

69. Павлов, С. В. Рефлексивная фильтрация временных рядов / С. В. Павлов // Вестник университетского комплекса: сб. науч. тр. / Красноярск: ВСФ РГУИТП, НИИ СУВПТ, 2005. Вып. 5(19). - С. 5664.

70. Павлов, С. В. Эпистемологические Хааровские модели наблюдений свойств сложных объектов / С. В. Павлов, В. Ф. Слюсарчук // Вестник университетского комплекса: сб. науч. тр. / Красноярск: ВСФ РГУИТП, НИИ СУВПТ, 2005. Вып. 5 (19). - С. 65-80.

71. Павлов, С. В. Целостные представления сложных объектов в фазовых пространствах / С. В. Павлов, В. В. Сафронов, В. Ф. Слюсарчук // V

72. Всероссийская ФАМ конференция: тезисы докладов, 3-5 марта 2006 г. / Красноярск: Красноярский гос. ун-т, 2006. С. 85-86.

73. Павлов, С. В. Коллективы линейных прогнозных моделей финансовых временных рядов / С. В. Павлов // Управление и экономика. Теория и практика: сб. науч. тр. / Красноярск: ООО «Издательский центр «Платина», 2006. Вып. 2. - С. 286-292.

74. Павлов, С. В. Вейвлет-представления финансовых процессов / С. В. Павлов, А. И. Максимов // Управление и экономика. Теория и практика: сб. науч. тр. / Красноярск: ООО «Издательский центр «Платина», 2006. Вып. 2. - С. 302-305.

75. Павлов, С. В. Иерархические линейные регрессионные модели для прогнозирования динамики аграрного сектора / С. В. Павлов, В. В. Сафронов // Вестник Красноярского государственного аграрного университета. 2006. - № 15. - С. 177-183.

76. Павлов, С. В. Иерархические коллективы линейных моделей прогноза сложных наблюдаемых временных рядов / С. В. Павлов // Системы управления и информационные технологии. 2007. - № 1 (27). - С. 1822.

77. Паркер, Т. С. Введение в теорию хаотических систем для инженеров / Т. С. Паркер, О. А. Чжуа // Хаотические системы. Труды института инженеров по электронике и радиотехнике. Август 1987. - Том 75. -№8.-С. 6-40.

78. Пеллер, В. В. Операторы Ганкеля и их приложения / В. В. Пеллер. -Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2005. 1028 с.

79. Перегудов, Ф. И. Введение в системный анализ: учеб. пособие для вузов / Ф. И. Перегудов, Ф. П. Тарасенко. М.: Высшая школа, 1989. - 367 с.

80. Петерс, Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э. Петере. М.: Мир, 2000.-333 с.

81. Пригожин, И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени / И. Пригожин, И. Стенгерс. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 240 с.

82. Пригожин, И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой / И. Пригожин, И. Стенгерс. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 312 с.

83. Разумовский, О. С. Бихевиоральные системы / О. С. Разумовский. -Новосибирск: ВО Наука, Сибирская издательская фирма, 1993. 240 с.

84. Растригин, Л. А. Адаптация сложных систем / Л. А. Растригин. Рига: Зинатне, 1981.-375 с.

85. Садовский, М. А. Избранные труды. Геофизика и физика взрыва / М. А. Садовский. М.: Наука, 2004. - 440 с.

86. Семенкин, Е. С. Методы оптимизации в управлении сложными системами / Е. С. Семенкин, О. Э. Семенкина, В. А. Терсков. -Красноярск: СибЮИ МВД РФ, 1999. 254 с.

87. Слюсарчук, В. Ф. Масштабные иерархии в задачах наблюдений и интерпретации состояния геофизических сред и сложных объектов / В. Ф. Слюсарчук // Сб. науч. тр. НПО «Сибцветметавтоматика» НИИ «Геоцветмет». Москва, 1991. - С. 21-29.

88. Слюсарчук, В. Ф. Методы и средства решения системных проблем и задач: курс лекций / В. Ф. Слюсарчук. Красноярск, 2004 - 148 с.

89. Слюсарчук, В. Ф. Наблюдения и модели сложных объектов и систем: конспект лекций для для бакалавров и магистров направления «Системный анализ и управление» / В. Ф. Слюсарчук. Красноярск, 2001.-150 с.

90. Слюсарчук, В. Ф. Основы системных представлений: конспект лекций для бакалавров и магистров направления «Системный анализ и управление» / В. Ф. Слюсарчук. Красноярск, 2000. - 146 с.

91. Слючарчук, В. Ф. Рациональные технологии наблюдения и оценивания состояния финансовых объектов / В. Ф. Слюсарчук // Труды Первой

92. Всероссийской ФАМ'2002 конференции. Часть вторая (Под ред. Олега Воробьева). Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 258-263.

93. Слюсарчук, В. Ф. Системные технологии в бизнесе / В. Ф. Слюсарчук // Управление и экономика. Теория и практика: сб. науч. трудов / Красноярск: ООО «Издательский центр «Платина», 2006. Вып. 2. -С. 271-276.

94. Смолянский, M. JI. О некоторых вопросах современной математики и кибернетики: сборник статей в помощь учителю математики / М. Л. Смолянский. М.: Просвещение, 1965. - С. 7.

95. Сорос, Дж. Алхимия финансов / Дж. Сорос. М.: Инфра-М, 1996. -416 с.

96. Стрейц, В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления / В. Стрейц. М.: Наука, главная редакция физ.-мат. Литературы, 1985. - 296 с.

97. Татарский, В. И. О критериях степени хаотичности / В. И. Татарский // Успехи физических наук. Май 1989. - Том 158. - Вып. 1. - С. 123-126.

98. ЮО.Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М.: Наука, 1979. - 286 с.

99. Тихонов, А. Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. М: Наука, 1990.-231 с.

100. Уоткинс, Д. С. Основы матричных вычислений / Д. С. Уоткинс. М.: БИНОМ; Лаборатория знаний, 2006. - 664 с.

101. Форсайт, Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Дж. Форсайт, К. Молер. М.: Мир, 1969. - 168 с.

102. Ю4.Фрик, П. Г. Турбулентность. Подходы и модели / П. Г. Фрик. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 292 с.

103. Хармут, X. Теория секвентного анализа. Основы и применения / X. Хармут. М.: Мир, 1980. - 576 с.

104. Юб.Челидзе, Т. JI. Анализ сложности природных объектов и процессов -вызов геофизике XXI века / Т. JI. Челидзе, Т. И. Мачарашвили // Проблемы геофизики XXI века. Книга 1 / Отв. А.В. Николаев. М.: Наука, 2003.-С. 142-159.

105. Чернышев, С. Л. Моделирование экономических систем и прогнозирование их развития: учебник / С. Л. Чернышев. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. - 232 с.

106. Ширяев, А. Н. Вероятность 1 / А. Н. Ширяев. - М.: МЦНМО, 2004. -520 с.

107. Ю9.Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели / А. Н. Ширяев. М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с.

108. Ю.Ширяев, А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2. Теория / А. Н. Ширяев. М.: ФАЗИС, 1998. - 544 с.

109. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая / М. Шредер. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 528 с.

110. Яглом, А. М. Корреляционная стационарных случайных функций (с примерами из метеорологии) / А. М. Яглом. Ленинград: Гидрометиоиздат, 1981. - 280 с.

111. Grassberger, P. Characterization of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia // Phys. Rev. Letters. 1983. - v. 50. - P. 346-349.

112. Wolf A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, J. A. Vastano // Physica 16D. North-Holland, Amsterdam, 1985. - P. 285-317.