автореферат диссертации по химической технологии, 05.17.08, диссертация на тему:Стохастическое моделирование массообменных процессов в дисперсных средах (на примерах сушки, растворения и экстрагирования в системе твердое тело- жидкость)

КАЗАНСКИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Для служебного пользования Экз. №

МАНУЙКО Галия Вагизовна

СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАССООБМЕННЫХ ПГОЦЕССОВ В ДИСПЕРСНЫХ СРЕДАХ (НА ПРИМЕРАХ СУШКИ, РАСТВОРЕНИЯ И ЭКСТРАГИРОВАНИЯ В СИСТЕМЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО - ЖИДКОСТЬ)

05. 17. 08 - Процессы и аппараты химической технологии

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

у1»

/

г."-.

^ ■ кШ V * КАЗАНЬ - 1991 ; ^

.......// 9/■ \ ........

- - ' • I тати ш. с. |

Работа выполнена в Казанском химико-технологическом институте

Научные руководители - доктор технических наук, профессор

A.A. Александровский, доктор технических наук, профессор Ф.Г. Ахмадиев

Официальные оппоненты - доктор.технических наук, профессор

f.А. Парифуллин, кандидат технических наук, ст.науч.сотр. Н.И. Еайнуллин

Ведущая организация - институт "КазНИИтехфотопроект",

г. Казань

Защита диссертации состоится ^т2"■ 12 < 1991 г. в ty часов на заседании специализированного совета Д.063.37.02 при Казанском химико-технологическом.институте им. С.М. Кирова по адресу: 420015,.г. Казань, ул. К. Маркса, 68 (зал заседаний Ученого совета).

С диссертацией можно ознакомиться.в библиотеке Казанского химико-технологического института им. С.М. Кирова.

Автореферат разослан ' ' < '' 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук, доцент ■

Ветошкина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы; Массообменные процессы в дисперсных системах как и все процессы; в которых участвует большое число атшмен——-тов определенного вида, имеют двойственную детерминированно-стоха-стическую природ/.

В последнее время в химической технологии получили распространение процессы переработки дисперсных систем, в результате которых необходимо получить продукт с заданными свойствами, колеблющимися в узких пределах. Флуктуации значений выходных параметров массо-обменного процесса мо1ут быть обусловлены двумя основными причинами. Первая из них заключается в том; что значения внешних,входных параметров (таких как расходы фаз,' концентрация целевого компонента'в фазах, температура фаз и т.д.) неизбежно флуктуируют во времени. Вторая причина обусловлена явлениями нерегулярной, хаотической природы в самом физическом объекте, которые сопровозда-ют любой достаточно интенсивный процесс. Учет влияния этих явлений на- выходные параметры возможен лишь при исследовании процесса с использованием-статистических методов.

Применение методов оптимизации' и управления химико-технологическими процессами также предполагает наличие достаточно точных-математических моделей. Широко используемые для описания процессов массообмена детерминированные модели нетучитывают стохастич-ность процессов"обработки дисперсных систем, что вносит б описание погрешности, которые не позволяют удовлетворяться моделированием процесса в среднем.

Двойственную детерминированно-стохастическую природу массооб-менного процесса в дисперсной системе наиболее полно отражает модель, построенная на основе кинетического уравнения, описывающего эволюцию начального распределения свойств'(характеристик) частиц дисперсной'фазы к равновесному состоянию.

Цель работы. Построение' варианта математической модели массо-■обменных процессов в дисперсной системе'с учетом их двойственной детерминированно-стохастической природы.

Использование полученного математического описания для-оценки равномерности обработки дисперсной фазы в процессах сушки, растворения и экстрагирования. • ■

•Построение уточненной средней кинетики массообменного процесса, в котором участвуют полидисперсные частицы, с помощью статистических методов.

■ Выработка практических рекомендаций по оптимальной организации Исследуемых"'массообменных процессов.

Научная новизна. Предложены математические модели процессов обработки дисперсных сред: сушки, растворения и экстрагирования, построенные с учетом детерминированно-стохастической природы этих процессов на основе уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка (К-Ф-П).

Разработан алгоритм решения уравнения К-Ф-П с малым коэффициентом перед второй производной и с точками поворота в получающейся при этом задаче на собственные функции.

Построено математическое описание средней кинетики растворения полидисперсной системы частиц, учитывавшее моменты функции распределения частиц по размерам более высокого порядка, чем первый;" """""'" "": ' '

Практическая ценность. Построены математические модели процессов сушки, растворения и экстрагирования, позволившие выявить факторы, илияпцие на равномерность массообмена, и на этой основе выбрать оптимальные режимы1проведения этих процессов.

~ Построена- математическая модель средней кинетики растворения полидисперсной системы частиц с помощью статистических методов. Учет в полученном уравнении вклада моментов функции распределения более высокого- порядка, чемвервый, позволяет аппроксимировать'опытные данные по средней кинетики с высокой точностью. " Построенные" стохастические модели Ю1ут составить основу математического обеспечения системы автоматизированного проекти-роваВйя'~ага1"араМв~ для переработки дисперсных сред. ~ 'Апробапия работа."Основные-результаты работы докладывались и обсуждались на^научно-технических-конференциях Казанского химико-технологического" института- (Казань, 1985-1990 г.г.) и на ,У1 Всесоюзной конференции "^тематические методы в химии" (Ново-.черШоойг.).

1ШШШШ"По"ттерй'ашг диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введении, четырех тлав, заключения и приложения, изложенных на 196 страницах, включает 29 рисунков, 14 таблиц и список литературы 195 наименований.

. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматриваются современные подходы к описа-

нию массопереноса в дисперсных системах. Отмечается, что система уравнений переноса может быть получена различными способами (феноменологическим путем, с помощью методов осреднения, с использованием кинетических уравнений), но наиболее полно учесть детерми-нированно-стохастическую природу-массообменного процесса в дисперсной системе позволяет подход, основанный на использовании кинетического уравнения для функции распределения свойств (характеристик) частиц дисперсной фазы.

Анализируются работы, в которых моделирование массообменного процесса в дисперсной системе осуществляется с помощью статистических методов (таких как осреднение уравнения массообмена, записанного для произвольной частицы дисперсной фазы, по набору "пробных" частиц; определение по методу Мэнте-Карло времени пребывания частиц дисперсной фазы в реакторе).

Отмечается, что при стохастическом моделировании химико-технологических процессов одним из наиболее часто используемых кинетических уравнений является уравнение К-Ф-П, оно применялось при ■ описании процессов смешения; сепарации, измельчениягрануляции, сгущения суспензий и других. Установлено, что"подход, базирующийся на использовании кинетических уравнений, совместно с методами механики многофазных сред может служить основой стохастического моделирования массообменных процессов в дисперсных средах.

Во второй главе строится стохастическая модель'массообменного процесса в системе с сосредоточенными параметрами. При этом используется следуиций подход.

Шссообменные процессы,-в которых наблвдаются флуктуации физико-химических параметров, целесообразно описывать не через средние величины, а через многомерную плотность распределения lt/(£,i) точек, изображающих изучаемое явление в фазовом пространстве. Координатами обобщенного вектора x(t)={xt(i),..., xjt)} могут быть любые характеристики дисперсной системы: концентрации целевого компонента в фазах, температуры фаз, скорости движения и т.д.

Цусть случайная функция x(t) удовлетворяет системе стохастических уравнений

цце - детерминированные функции, a - дельта-

коррелированные во времени гаусеовские случайные поля с нулевым средними значениями. Тогда плотность распределения цг(х,-Ьо удовлетворяет уравнению К-Ф-П

¿=1 т- 1 з

где и К^(зсД) - первые и вторые инфинитезимальные мо-

менты случайной санкции ¿с('Ь).

При моделировании массообменного процесса в системе с сосредоточенными параметрами данный подход применяется в следующем виде. Чтобы упростить алализ, из набора параметров, определяющих состояние кавдой частицы дисперсной фазы, выбирается основная характеристика х изучаемого процесса (это может быть концентрация целевого компонента в частице, размер частицы, влагосодержание и т.д.). Скорость изменения характеристики х представляется как сумма средней скорости ¿-(-ос) и случайной функции времени ,

отражающей колебания "мгновенной" скорости изменения х относи-

^ V Л"

тельно среднего значения: —— = £(зс)+ £ (1). Тогда согласно (1),(2)

<Аь *

функция 10(х,Ь) распределения частиц по характеристике зс удовлетворяет одномерному уравнению К-Ф-П

Эt Эх"1 -1 Ээс. £ > о. (з)

Функция распределения иг(хЛ) определяется таким образом, что величина гсгГх^)с1ос задает долю частиц дисперсной фазы .имеющих в момент,.времени Ь характеристику х в интервале (х, х+с£ос). Коэффициент сноса £(зс) в уравнении (3) описывает скорость систематического изменения эс , а коэффициент С? (называемый коэффициентом диффузии в фазовом пространстве переменной х ) характеризует интенсивность флуктуации скорости изменения х .

Решение уравнения К-Ф-П (3) строится при произвольном начальном распределении иг(х, о)= ига(х) , ос < х^ , (4)

и граничных условиях вида

«о, Ь>о,

Ээс 1аг-тг .

(5)

которые означают, что поток вероятности через границы области

отсутствует. В этом случае выполняется условие нормировки ЗСтчх

$ г1Г(х,Ь)<1 эс = 1. (6)

хтЪу

При решении задачи (3)-(6) используется метод'Фурье. Предварительный анализ моделей исследуемых процессов сушки,растворения и экстрагирования показал, что для этих процессов безразмерный комплекс, включающий отношение коэффициента диффузии <э к кинетическим коэффициентам, входящим в функцию ^(ос), является малым параметром задачи (З)-(б).Поэтому подробно рассматривается построение решения одномерного уравнения К-Ф-П в случае малого коэффициента перед второй производной; решение записывается в виде:

00 / я/2.

*п~ту гк ~ *

Хпар т 1/2.

ЗСтвХ

(7)

здесь ига(х.)=ехр^$ ^¿х^/- (8)

стационарное решение; коэффициенты ряда Аа вычисляются по формулам

(9)

*Х.|пи1 Хщ

X

0 (Х,0)« I[Ч С*0-<и£г(х)]<^уехр^ ^ -^«¿э^. Собственные функции Уа(эс) определяются ив решения задачи

полученной методом разделения переменных.

При решении задачи на собственные функции (10) возможны два

случая. I) Если О^х)^о при ос 6(эс^,, тогда собственные функции в ВКБ-приближении запишутся в виде

Уо^Г к ' (и)

2) Если (?(х)=0 в точке хгэсщ^, называемой точкой попорота, тогда собственные функции определяются с помощью модифицированного метода ВКБ по формулам г

, ОС 6 ос^ ,

(12)

ОС

+ ий-»**)],

Р*>=-мт(т&)1тГЧ - щГ].

Собственные числа ^(Ц^ задачи (10) определяются из первого граничного условия , преобразованного к виду

Хгпщ

Точки поворота определяются из условия равенства нулю в

них функции О^Сэс) • Второе граничное условие задачи (10) и условия сшивания функций У и У2п по значениям и первым производным в точках поворота эс^ позволяют определить константы интегрирования:

, . Хтак ч г , »

Отмечается, что в зависимости от вида функции- , описыва-

ющей кинетику массообмена, функция

может обращаться в ноль не в одной, а в нескольких точках ос 6

£0 ^гс

^Г^СтЬиЗСтч*].^ этом случае все точки являются точками пово-

рота уравнения на собственные функции (10), что, конечно, увеличивает объем вычислений. Так, если каждому собственному числу 14-

С1) со

соответствуют две точки поворота х и , то это означает,

что функция (За(эс) два раза пересекает ось Ох. Тогда по известной теореме Ролля внутри отрезка [зс^, существует точка ос°,

в которой значение производной1 С^Сх) равно нулю. Точка к разбивает исходный отрезок на два. На кадцом из этих отрезков строятся собственные функции

а)

X™

Л, (гК О ,

п- I л ,(2) т

Хк1-^' ХГ*Л<Х&Х'»** >

сшитые в точке ос." с помощью констант интегрирования (на основании равенства в точке ж" значений собственных функций и Уг) и их производных). Аналогичная схема построения собственных Функций предлагается и в случае большего числа точек поворота.

Используя функцию распределения иг(хЛ> , можно определить и другие характеристики изучаемого процесса: математическое ожидание х(Ъ)= J хги"(х,Ъс1х, дисперсию сК^)*- £(эс-5с) ш(х,±)<£х, у

интегральную функцию распределения

По полученным формулам составлен алгоритм и программа расчетов для ЭВМ.

В третьей главе строится стохастическая модель стационарного массообмена в системе с распределенными параметрами.

В массообменных задачах с распределенными параметрами для упрощения описания обычно выделяют одну из пространственных координат, вдоль которой происходит значимое изменение функции распределения частиц дисперсной фазы по выбранной характеристике. Кроме того, ■ массообменный процесс обычно описывается на стадии, когда его можно считать установившимся.

В качестве примера рассматривается моделирование стационарного массообмена, осуществляемого в вертикально расположенной конической трубе. Влияние процесса массообмена на гидродинамику не учитывается. Считается, что при установившемся режиме работы аппарата -средняя кинетика массопереноса имеет вид dx./cLt=,где х-концентрация целевого компонента в частицах дисперсной фазы. Данный процесс описывается уравнением К-Ф-П

с соответствующими краевыми условиями

■ = о. de)

■ I Х- ЭСтщ

Решение-задачи (15)-(16) строится для случая медленных течений (Re« I), при этом используется формула для осредненной по сечению конической трубы скорости движения дисперсной фазы V СО ,

mlfl*

.

С помощью преобразования

X. X /х £ г \

$w(x,t)d** $ur„p(*)cLx+ Y(x,*)exp($ J^r^*)'

"m in

I. Зиннатуллин H.H. Расчет течения двухфазных сред в каналах и рабочих элементах аппаратов химической технологии: Канд. дис.-Казань: КХТИ им.С.М. Кирова, Т986.- Т79 с.

где предельное распределение ^р(х)=£ипиг(эсх) вычисляется по формуле (6), задача (15)-(16) сводится к задаче с однородными граничными условиями относительно новой функции Щ^ъ) • После разделения переменных получаем задачу относительно собственных функций Ул(х) , аналогичную (10); ее решение также строится с учетом наличия малого параметра и точек поворота.

Решение исходной задачи (15)-(16) записывается в виде

Щх,*)-ъгпр(х)+ Ааехр(-} Чг+К* А

г к АЬ /а=1 -у /

«X

*тел 1/2,

(17)

где коэффициенты Ап, определяются по формулам

X X

Осредненная по сечешю аппарата скорость движения дисперсной фазы^ъ зависит от величины угла полураствора конической трубы 0О ; при 0 соотношение (17) переходит в решение для цилиндрической трубы и записывается в виде

- -Х-тсн

где - текущая длина трубы; - средняя по сечению цилиндрической" трубы скорость движения дисперсной фазы [I].

Используя функцию распределения гире, V) , можно определить изме-зенив'по длине'аппарата: средней концентрации х(£) целевого ком-тонента'В частицах, разброса сЮ.) концентрации целевого компонента- относительно ее среднего значения и интегральной функции рас-тределения &(ас} £) .

_ 1U

Если в соответствии с технологическими требованиями доля частиц с содержанием целевого компонента в пределах от xL до хг должна бить меньше заданного значения £ , то используя формулу

*г

§W(x,l)dx <& , можно определить длину аппарата, при которой до-

ai

стигается заданная степень обработки дисперсного материала ( при известных значениях остальных параметров исследуемого процесса).

В четвертой главе разработанная стохастическая модель массооб-менного процесса в дисперсной системе используется для описания .процессов сушки, растворения и экстрагирования.

Построенная математическая модель позволяет поставить и решить задачу оптимизации описываемого массообменного процесса, определить минимальное время достижения заданной степени обработки дисперсного материала.Критерием оптимизации может служить дисперсия концентрации целевого компонента в частицах твердой фазы (или дисперсия "размеров частиц) относительно среднего значения, которая является хорошей оценкой равномерности массообмена.

Исследован процесс сушки гранулированного полимерного материала в периодической- сушилке (удаление связанной влаги). Известно , что температура теплоносителя - параметр сушки, оказывающий существенное влияние на кинетику процесса, поэтолу очень важен оптимальный выбор этого параметра.

Были заданы три, экспериментальные кривые сушки при температурах теплоносителя Т равных 50, 75 и 80°С. На первом этаде расчетов каждая из этих кривых аппроксимирована с помощью линейной зависимости скорости сушки от текущего влагосодержания ос гранулированного материала: $(x)=<íx/clt=-K(x- х.р). Коэффициент К определен для кадцой кривой сушки из условия мишщума максимальной по-.грешности & аппроксимации точек экспериментальной кривой сушки расчетной кинетической кривой.

В ходе экспериментов установлено, что не менее 85% продукта, внеушенного при Т=5сРс, имело влагосодержание в пределах от 0,018 до 0,025 кг/кг,' а при температурных' режимах сушки 75 и 80°С в указанных пределах имело влагосодержание соответственно не менее 95 и 90% высушенного продукта.С помощью этих данных формулы (8) для стационарного распределения,а также интегральной функции рас-х

прёделения ^т(х)= $wíT(x)cLx на втором этапе расчетов определены

Хщ'ис

(по составленной для ЭВМ программе) значения параметра <э при заданных температурных режимах сушки.

На третьем этапе по формулам (7)-(9),(12)-(14) с использованием разработанного алгоритма проведены расчеты на ЭВМ,позволившие выявить основные закономерности исследуемого процесса сушки. Расчеты показали, что в системе с заданными хтих , х.Р , и начальным распределением частиц по влагосодержанию при' постоянных значениях коэффициента сушки К с уменьшением величины (э время достижения стационарного распределения уменьшается, т.е. с уменьшением интенсивности случайных воздействий в системе она быстрее приходит в стационарное состояние. При этом доля частиц, имеющих влагосодержание близкое к равновесному, увеличивается (рис.1).

В заключении по формулам (7)-(9) ,(12)-(14) при = зср =

=0,018 кг/кг, хт<к%=0,2 кг/кг и найденных значениях параметров К и <о определено время достижения стационарного состояния процесса сушки при каждом из трех температурных режимов. Полученные данные сведены а таблицу:

Т- {«IV Г—- -- Г----------- Т,°С ! к .1/4 6 Л 5г(а025)-100 % сх ё ,1/ч t ,ч ст '

\ I ! 2 ! 3 50 75 80 0,144 0,187 0,285 21 23 28 85 95 90 0,370-10"^ 32 0,248-1СГ5| 24 0,540-1СГ^ 20

На рисунке 2 показаны графики первых трех собственных функций задачи, вычисленных по формулам (12)-(14) при указанных значениях параметров.

Из таблицы видно, что время достижения стационарного состояния процесса сушки при температуре теплоносителя 50°С значительно больше, чем при других температурных режимах, для которых получились близкие значения этого времени. Поэтому с учетом специфических свойств материала и условий сушки,а также с целью уменьшения энергозатрат рекомендовано проводить сушку при температуре теплоносителя 75°С. Полученный результат хорошо согласуетея о данными экспериментальных исследований, показывающих, что рост температуры теплоносителя, с одной стороны, увеличивает интенсивность удаления влаги, т.е. скорость сушки в первом периоде, а с другой стороны, уменьшает скорость сушки в конце второго' периода вследствие усадки поверхностных слоев полимерных гранул.

С целью изучения кинетики процесса экстрагирования и проверки

адекватности построенной стохастической модели проведены исследования процесса извлечения соли из гранулированных полимерных частиц большим объемом воды в противоточном экстракторе. Соль в небольшом количестве вводится в полимерную массу, из которой гранулируются частицы, для создания потребительских свойств.

Полученные экспериментальные кривые, выражающие зависимость доли неизвлеченной из частиц соли от времени, аппроксимированы с помощью уравнения, предложенного Г.А. Аксельрудом:

.. Аас ^

где К=3®М0/(урЯ.а), Х=(СЬ~СК)У/М.0. Поэтапные расчеты дали следующие результаты. Установлена зависимость функции распределения' от отношения Сэ/(КуУ При <о/СКу)-» I стационарное распределение приближается к равномерном/, а при ¿>/(Ку) —> 0 вырождается в дельта-функцию, т.е. в этом предельном случае все частицы на выходе из экстрактора имеют одинаковую долю неизвлеченной соли X = Хтиг. Следовательно, процесс извлечения соли из полимерных частиц необходимо организовать таким образом, чтобы отношение <э/(К у) было возможно минимальным.

Согласно (18) Ск)/($>£1 ) , анализ входящих в эту

формулу величин таков: плотность соли £ и размер частиц Я можно считать постоянными. При повышении температуры экстрагента, а значит и системы в- целом, концентрация насыщения С5 увеличивается (С^=111 кг/и3 при 20°С, С& =165 кг/м3 при 50°С, £.=214 кг/м3 при 80°С); коэффициент диффузии в этом случае также несколько возрастает (5В =0,4*Ю~5см/с при 0°С, Я =0,9*Ю~5см/с при 20°С). Увеличению Ку' могло бы способствовать уменьшение концентрации соли С^ в воде на выходе из экстрактора. Но в изучаемом процессе" в силу налого количества соли в системе (от 5 до 0,2% веса твердой фазы)"величина Ск мала" по сравнению с концентрацией насыщения • С'5 г поэтому ожидать существенного изменения величины К/ с"увеличением расхода воды не приходится. Исходя из вышеизложенного,' рекомендовано повысить температуру экстрагента с 35 до 50°С. Опыты подтвердили, что с увеличением температуры экстрагента систена быстрее приходит в стационарное состояние без ухудше-ншгравнонерности экстрагирования; увеличение же расхода экстрагента на время выхода-к .стационарному состоянию и равномерность обработки дисперсной фазы существенно не влияет.

При моделировании процессов сушки и экстрагирования в качестве

коэффициента сноса в уравнении К-Ф-П использованы средние кинетики этих процессов, известные из литературы. А для процесса растворения полидисперсных'частиц"-средняя-кинетика получена с помощью статистических методов. Сделано это исходя из двух соображений. Первое,- при стохастическом описании массообменного процесса на основе уравнения К-Ф-П представляется последовательным построение коэффициента сноса именно с помощью'статистических методов, учитывающих случайные свойства процесса. Второе, использование статистических методов позволяет построить уравнение, описывающее экспериментальные данные по средней кинетике с высокой точностью.

Рассмотрен процесс растворения N твердых- полидисперсных частиц в аппарате с мешалкой. Записана система, включающая уравнение массоотдачи ь -й частицы твердой фазы' (1=1,N ) и уравнение баланса по растворяемогду веществу в сплошной среде.При обычных в таких случаях упрощающих предположениях выведено уравнение

. <19>

описывающее изменение во времени размера г -й частицы. Уравнение средней кинетики растворения полидисперсных частиц получено статистическим осреднением уравнения (19)."Оно записано относительно нормированного среднего размера частиц Х=Я/Я0 в виде

, (20)

при этом использованы следующие обозначения: #=(С*-С„)У/Мо , + Ръъ'Я» - ^нстанты;

- функция .зависящая от трех первых моментов эмпирического распределения частиц по размерам: математического ожидания ^ — , дисперсии

-т и третьего центрального момента ^ = •

1-1 ** Чч 1 ^

Индексом "о" помечены моменты начального эмпирического распределения частиц по размерам.

При выводе уравнения (20) использована связь третьего начального момента = ^ К.^—• с центральными моментами: З&сАл-

При описании растворения монодисперсных частиц коэффициент ^=1,

а функция оС=0, так как /£лз= сРо=^3=с1=0, и уравнение (20) совпадает с уравнением растворения монодисперсных частиц, предложенным Г.А. Аксельрудом

¿¿~-тк[хъ-а-}()1 (21)

Для проверки адекватности полученного уравнения (20) экспериментальной кинетике, растворения полидисперсных частиц проведены опыты по растворению кристаллов Жа,№ в воде.

.При вычислениях по формуле (20) коэффициент массоотдачи аппроксимировали константой, а функцию (¿(х.оС,^)- двучленом а0+- а^зс „ Расчеты показали хорошее соответствие кривой, вычисленной по формуле (20), экспериментальной кинетике растворения полидисперсных кристаллов соли,•погрешность не превысила &%. Тогда как вычисления по формуле Г.А. Аксельруда (21) для тех же опытных данных дали погрешность 18,6/6.

Для сравнения также проведены-расчеты по формуле

предложенной Ю.А. Буевичем и Г.П. Ясниковым для описания кинетики квазистационарного растворения полидисперсной системы частиц, когда коэффициент массоотдачи можно считать постоянным. Параметр Л в формуле (22) зависит от коэффициента массоотдачи. Максимальная погрешность аппроксимации тех же опытных данных по формуле (22) составила 16,25?.

Полученная средняя кинетика использована в качестве коэффициента сноса при решении уравнения К-Ф-П. Расчеты по формулам (7)-(9), (1.2)—(14) показали, что равномерность растворения твердой фазы зависит от величины отношения р>К/ё=р[£/(3\/')/<6 : чем больше отношение £К/<о при фиксированном <о , тем меньше дисперсия функции распределения частиц по размерам (- суммарная поверхность твердой фазы в начале процесса растворения).

V '316 Чг

1,0 0,6 0,2 183 82 --- 4' А V /

0,018 0,028 0,038 х

Рис.I. Зависимость и£т(*) и 5ст(зс) от (о (при х^-э^=0,018 кг/кг,

Хту=0,2 кг/кг, К=0,285 1/ч): 1,1 - 6 =0,27-Т0"4 1/ч;

2,Т1 - =0,54-10~5 1/ч;

3,Ш - £ =0,18-ПГ5 Т/ч.

Рис.2.Собственные функции 2/а(х) П-=1,2,3,вычисленные по формулам (12)-Ц4)при#х)=-К(х-'Хр), ое^^О.СШЗ кг/кг, эста»=

=0,2 кг/кг, К =0,187 1/ч, ё =0,248»1СГ5 1/ч.

Основные результаты и выводы '

1.Построена стохастическая модель на основе уравнения Колмогоро-ва-Фоккера-Планка: а)для процесса массообмена в двухфазной системе с сосредоточенными параметрами; б)для стационарного массообмена в двухфазной системе с распределенными параметрами. Разработанные математические модели позволяют оценить равномерность массообмена, определить время достижения заданной степени обработки дисперсных материалов, а также позволяют выявить факторы, влияющие на равномерность массообмена, и на этой осно-■ ве выбрать оптимальные режимы проведения исследуемых процессов.

2.Разработан алгоритм решения однородного, одномерного уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка в случае I,талого параметра перед второй производной и наличия точек поворота в получащейся при этом задаче на собственные функции; составлена программа для ЭВМ.

3.Получено адекватное математическое описание изучаемых процессов сушки, растворения и экстрагирования на базе разработанной стохастической модели массообмена в дисперсной системе. Выяв-

лежи факторы, влияющие на равномерность обработка дисперсного материала.

4.Поотроена математическая модель средней кинетики растворения полидисперсной системы частиц с помощью статистических методов.Учет в полученном уравнении вклада моментов функции распределения более высокого порядка, чем первый, позволяет аппроксимировать опытные данные по средней кинетике с высокой точностью.

ОБОЗНАЧЕНИЯ "

Но - начальная масса дисперсной фазы; V- объем сплошной фазы; Я - размер (радиус) частиц дисперсной фазы;£ _ коэффициент мас-соотдачи; aPj", - коэффициенты пропорциональности, зависящие от формы частиц; 0о- начальная концентрация раствора; Cs - концентрация насыщения.'

1 Основное содержание диссертации■изложено в следующих работах: 1;Ахмадиев Ф. Г., Александровский A.A., Шнуйко Г.В. К оценке равномерности массообмена в двухфазных системах с сосредоточенными параметрами/Дъссообменные процессы и аппараты химической технологии: Меквуз. сб;- Казань: КХТИ, 1983.- C.I3-I6.

2.Ахмадиев Ф.Г., Килмов Х.Г., Мануйко Г.В. Применение уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка для оценки равномерности процесса массообмена 'И'об одном асимптотическом методе его решения /Казан, инж.-строит. ин-т;- Казань, 1985.- 13 е.- Библиогр.: 7 назв.- Деп. в'ВИНИТИ'"28. II;85," № 8227. -

3."Ахмадиев Ф.Г., Александровский A.A., Мануйко Г.В. Оценка равномерности массопередачи в двухфазных системах с распределенными параметрами/ ДЬссообменные процессы и аппараты химической технологии: Межвуз. сб.- Казань: КХТИ, 1987.- С.27-31.

4.Александровский A.A., Шлуйко Г.В. Моделирование кинетики растворения полидисперсной системы частиц /Казан, хпм.-технол. ин-т.-Казань, 1987.- 10 е.- Деп. в ОНИИТЭхим,.г.Черкассы, 12.06.87,

674-хп87."

5.Александровский A.A., Мануйко Г.В. Кинетика растворения полидис-перейой системы частиц'//Изв; вузов. Химия и хим. технология.-1988.- Т.31,'Внп.7.- С.94-97. -

6.Ахмадиев Ф.Г. / Мануйко Г.В.' Мэделирование процесса массообмена с- помощью уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка и об одном асимптотическом методе его решения //проблемы теории фильтрации и теп-ломйссопереноса: Сб. научных трудов,- Калинин: НУ, 1988,- G.I53-

Подписан? в печать 26. 11. 91 г.Печ,л. 1.Тнраж ЮО.Закаэ 4. Лаборатория оперативной полиграфии Казанского университета.