автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Стабилизация программных движений аффинных систем

На правах рукописи

Кавинов Алексей Владимирович

СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ АФФИННЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление

и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Крищенко А. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Магницкий Н. А.

кандидат физико-математических наук, доцент Фомичев В. В.

Ведущая организация: Вычислительный центр имени А. А. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится / » 2006 года

в 1 I часов и Ц мин. на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ имени Н.Э. Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного сов« д.ф.-м.н., профессор

АОрвк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди широкого класса детерминированных динамических систем с управлением можно выделить подкласс аффинных систем. В течение последних десятилетий была разработана техника преобразования аффинных систем к каноническому виду (А. Isidori; Н. Nijmeijer; А.П. Крищенко; В.И. Елкин; В. Jakubczyk, W. Respondek и др.), которая успешно применяется при решении различных задач теории управления. Заложенный в этой технике дифференциально-геометрический подход может быть применён к двум задачам теории управления - задаче управления хаосом и задаче управления угловым положением космического аппарата.

Начиная с 60-х годов предыдущего столетия важное место в исследованиях динамических систем занимает изучение систем с хаотической динамикой. Одной из задач теории управления в области хаотических систем является задача управления хаосом. Она заключается в устранении хаотической динамики системы при помощи малых управляющих воздействий. К настоящему времени известно несколько методов решения этой задачи (Е. Ott, С. Grebogi, J.A. Yorke; К. Pyragas и др.). Эти методы успешно применяются для решения технических задач. Однако, следует отметить неполную теоретическую обоснованность методов и отсутствие достаточных условий работоспособности методов для конкретной системы. В связи с этим актуальной представляется разработка теоретически обоснованного алгоритма управления хаосом при помощи малых управлений, применимого к достаточно широкому классу систем.

Задача управления угловым положением космического аппарата в различных постановках (В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский; П.Д Крутько; С.А. Агафонов, К.Б. Алексеев, Н.В. Николаев; Р. Tsiotras и др.) также продолжает оставаться актульной на протяжении последних десятилетий. Алгоритмы, основанные на представлении о космическом аппарате как b твёрдом теле, продолжают представлять интерес. Они могут применяться для небольших космических конструкций либо при небольших угловых скоростях движения объекта.

РОС. НАЦИиНА„1ЬИ.\Я: БИБЛИОТЕКА С.-Петербург ОЭ 290бактУУ#-

Целью работы является разработка методов управления детерминированным хаосом и угловым положением космического аппарата, основанных на дифференциально-геометрическом подходе и концепции стабилизации программного движения.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления, дифференциальной геометрии и различные численные методы.

Научная новизна. Обоснован метод нелинейной стабилизации программного движения, основанный на дифференциально-геометрическом подходе. Разработаны два новых алгоритма управления хаосом, основанные на дифференциально-геометрических методах в теории управления. Первый алгоритм применим к системам с управлением, эквивалентным на всём пространстве состояний системам регулярного канонического вида. Доказана работоспособность алгоритма и возможность решения задачи при помощи малых управлений. Второй алгоритм может быть использован для более широкого класса систем, эквивалентных системам регулярного канонического вида на подмножестве пространства состояний, в том случае, если выполнены некоторые дополнительные условия. Показана возможность уменьшения управляющих воздействий путём численного решения задачи минимизации, а также проведён сравнительный анализ разработанных алгоритмов управления хаосом и известных методов.

С использованием дифференциально-геометрической техники решена задача стабилизации углового положения космического аппарата, предложен алгоритм построения ограниченного стабилизирующего управления и указана оценка области стабилизируемости. Метод стабилизации программной траектории применён для решения задачи переориентации космического аппарата.

Полученные результаты являются новыми.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления и позволяют решать задачи управления детерминированным хаосом и управления угловым положением космического аппарата с использованием метода нелинейной стабилизации.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Обоснование метода нелинейной стабилизации, основанного на дифференциально-геометрическом подходе.

2. Методы управления детерминированным хаосом в системах, эквивалентных системам регулярного канонического вида на всём пространстве состояний или на подмножестве пространства состояний.

3. Решение задач стабилизации углового положения и переориентации космического аппарата при помощи метода нелинейной стабилизации.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VI международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», проходившем в 2000 г. в Москве, на VIII всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, проходившем в 2001 г. в Перми, на 13 международной конференции по процессам управления, проходившей в 2001 г. в Братиславе и на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е. С. Пятницкого, проходившем в 2006 г. в Москве.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в трёх научных статьях, четырёх тезисах докладов на конференциях и в отчёте о НИР.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Работа изложена на 127 страницах, содержит 47 иллюстраций. Библиография включает 86 наименований.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №99-0100863, №02-01-00704, №05-01-00840, грантов государственной поддержки ведущих научных школ №00-15-96137, НШ-2094.2003.1, проекта УР.03.01.018 по программе «Университеты России - фундаментальные исследования» Министерства образования РФ и проекта УР.03.01.141 раздела 1.2. «Университеты России» подпрограммы «Фундаментальные исследования» ведомственной научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Федерального агентства по образованию РФ и программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006 - 2007)», проект РНП 2.1.1.2381.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

Первая глава содержит описание и обоснование метода нелинейной стабилизации программных движений аффинных систем. Рассмотрены случаи систем со скалярным и векторным управлением.

В разделе 1.1 описывается процедура преобразования аффинных систем со скалярным управлением к эквивалентным системам канонического вида, алгоритмы нелинейной стабилизации программных движений и построения гарантированной оценки области стабили-зируемости.

Известен дифференциально-геометрический подход к исследованию аффинных стационарных систем с управлением

х - А(х) + В(х) и, х £ R", uG Ж1, (1)

где А(х) = {аг{х),..., ап(х))т, В(х) = (^(х),..., Ьп(х))т, аг(.), Ьг(.) е С°°(0), О — открытое подмножество в М" = х = {ц,..., хп)Т}, а и — управление. Известна, в частности, техника преобразования аффинных систем (1) к эквивалентному каноническому виду

у{п) = /(у)+д(у)и, у = (у,у,...,у{п-1])т = Ф(х), (2)

где Ф(х) — диффеоморфизм, а также необходимые и достаточные условия существования для систем (1) эквивалентных систем вида (2).

Говорят, что система канонического вида (2) регулярна на множестве М С Ф(Г2), если д(М) ф О \/М е Ф(П).

Говорят, что пара из программного управления и программной траектории (ип(£)> £ € Т, Т = +оо) составляет программ-

ное движение системы (1), если

ШеТ ±п(«) = Л(хп(*)) + В(хп(4))«п(*), |«п(*)1 < «••

Задача стабилизации программного движения состоит в нахождении непрерывной обратной связи и = и(х,t & Т, такой, что |и(а;,4)| < и», и(х= а программная траектория жп(0

будет асимптотически устойчивым решением замкнутой системы

х = А{ х) + В{х)и{х,г).

Программное движение аффинной системы (ип(£), £ 6 Т,

определяет программное движение («п(^), I € Т, эквива-

лентной системы канонического вида (2),

Уп(«) = Ы*)> №(<). ■ • ■ - Уп = Ф(®п(«)),

для которого выполнено тождество

1/8°(<) = /й/п(*)) + Р(УП№Ы*), Ь 6 Т. (3)

Стабилизация программного движения системы (2) достигается стабилизацией нулевого решения системы в отклонениях

Ду<в> = Ду, I) + С( Ду, *) Ди, (4)

где Ау = у- з/п(<), Аи = и- ип(*), &У = (Д 2/, Ду, • • •, Ду(""1)):г,

Если эквивалентная система канонического вида регулярна на множестве Ф(Г2), то для системы в отклонениях (4) определено управление

Аи(Ау, ¿) = К = (ко,..., кп. х), кг = сопзЬ.

У' (5)

Замкнутую этим управлением систему (4) можно записать как дифференциальное уравнение

Ау{п)+КАу = 0.

Его нулевое решение асимптотически устойчиво при соответствующем выборе коэффициентов к,. Тогда управление

и(у,^ = ип(г) + Ыу-Уп№Л) (6)

стабилизирует программное движение системы (2).

Асимптотическая устойчивость решения системы в одних переменных в общем случае не гарантирует устойчивость соответствующего решения системы в других переменных. Для обоснования метода нелинйной стабилизации необходимо доказать, что при выполнении некоторых условий программное движение системы в исходных переменных также будет асимптотически устойчивым.

Известна1 теорема, касающиеся устойчивости решений замкнутых систем в разных переменных. Эта теорема дает достаточное условие устойчивости нулевого решения системы в отклонениях. Однако, для использования с методом нелинейной стабилизации более удобными являются результаты, сформулированные для решений эквивалентных систем (1) и (2). В рамках диссертационной работы были сформулированы и доказаны теоремы об устойчивости программного движения в исходных переменных.

1 Журавлёв В Ф. Основы теоретической механики. - М.. Изд-во физ -мат лит , 2001 - 320 с.

Теорема 1. Пусть xn(t) и ya(t) = $(xn(t)) — решения систем x = f(x,t), xefiCR"

и

y = h(y,t), ?/бФ(Г2)СГ1

соответственно, причём Ф(ж) — диффеоморфизм, а обратное к нему отображение Ф_1(а:) глобально липшицево на Ф(Г2). Пусть также решение yn{t) (асимптотически) устойчиво, причём

Vio е Т Зсг > О W ^ t0 Vy € Rn : j|у - тЩ\ < <т ^ у € Ф(П). (7)

Тогда решение хд(t) (асимптотически) устойчиво.

Следствие 1. Пусть xa(t) и yn(t) — Ф(хп(^) — решения систем

x = f(x,t), xeR"

и

y = h(y,t), yew1

соответственно, причём Ф(ж) — диффеоморфизм, а обратное к нему отображение Ф_1(:г) глобально липшицево на К". Пусть также решение ya(t) асимптотически устойчиво в целом. Тогда решение xx¡(t) асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 2. Пусть хп(t) и yn(t) = Ф(жп(£)) — решения систем

x = f(x,t), xGÜ CR"

и

у = h(y, t), у е Ф(П) сг, у = Ф(х),

соответственно, причём Ф(х) — диффеоморфизм, решение уи(t) ограниченно и (асимптотически) устойчиво, а замкнутая окрестность радиуса e(ío) любой точки ya(t), t ^ ío, при любом ta 6 Т является подмножеством Ф(П). Тогда решение хц(t) (асимптотически) устойчиво.

Далее в разделе 1.1 описывается алгоритм построения гарантированной оценки области стабилзируемости программного движения ограниченным управлением и приводится пример построения такой оценки.

В разделе 1.2 аналогичным образом рассматриваются аффинные системы с векторным управлением.

Вторая глава посвящена решению задачи управления хаосом в аффинных стационарных системах путем преобразования этих систем к каноническому виду и стабилизации некоторого их программного движения.

В разделе 2.1 приводятся необходимые сведения из теории хаотических систем, а также формулируется постановка задачи управления хаосом.

Пусть система

х = А(х), х € К", (8)

обладает хаотической динамикой. Задача управления хаосом заключается в построении для системы

х = А(х) + В(х)и, х Е К", и еШт (9)

такого управления в виде обратной связи, что замкнутая этим управлением система не будет обладать хаотической динамикой. Интерес при этом представляют лишь такие управления, величина которых может быть сделана меньшей любого наперед заданного положительного числа.

В разделе 2.2 производится анализ основных известных методов управления хаосом.

В разделе 2.3 описывается первый этап действия разработанного метода управления хаосом, заключающийся в поиске приближения к периодическому решению хаотической системы. Алгоритм поиска основан на методе локализации периодических решений (А.П. Крищенко) и свойстве рекуррентности хаотических решений. В процессе поиска рассмотривается численное решение задачи Коши для системы (8) с некоторым начальным условием ж(0) = хо. Среди точек пересечения этого решения с универсальным сечением Пуанкаре

Бн = {х б !Г| 1лк{х) = 0},

где к{х) — произвольная гладкая функция, всегда можно выбрать две точки .х(^) и х^), отстоящие друг от друга на расстояние, меньшее заранее заданного положительного числа е. Заключенный

между этими точками отрезок траектории будем называть приближением к периодическому решению системы.

В разделе 2.4 описывается первый из разработанных методов управления хаосом. Метод применим к аффинным системам, эквивалентным некоторой регулярной системе канонического вида.

На основе полученного в результате поиска приближения строится кусочно-непрерывное периодическое программное движение системы. При этом

щ ; \ - 2 - <х)), г 6 [<! + А(«2 - + Щ2 - ¿О),

un(t) = 0, к £ N. Стабилизацией этого программного движения достигается решение задачи управления хаосом при помощи малых управлений.

Теорема 3. Пусть система (9) эквивалентна на множестве П С R" регулярной на Ф(Г2) = М" системе (2). Пусть также отображение Ф_1(?/) глобально липшицево на Кп. Тогда задача управления хаосом для системы (9) может быть решена при помощи управления

щ(х, t) = Ди(у - уп(t), t) = (10)

= Ди(Ф(х)-Ф(®п(*)),«)-

При этом управление (10) является малым в том смысле, что Vi ^ in limu*(x(i),i) = 0,

где е — расстояние между началом и концом приближения к периодическому решению, а замкнутая управлением (10) система (9) имеет глобально асимптотически устойчивое периодическое решение Xf, причём

Vf ^ t0 lim(i(i) - xf(t)) = 0.

В разделе 2.5 приведены результаты численного моделирования управления хаосом в системе Рёсслера с управлением

¿1 = ~ хз

¿2 = х\ + ах 2 (11)

¿3 = Х1Х3 — Ьх з + с + и.

-2 0 2 4 » X,

4 в 8 10

XI

и

00Г4

-а 002

0004

ю -в -е

-2 0 2 4 6 X;

00 30 100

Рис. 1. Моделирование управления хаосом для системы Рёсслера

Система (11) эквивалентна системе канонического вида

(Ру ...... . ч/. ..

~ = ау-у + {у-ау + у) (у -ау-Ь)-с-и.

(12)

В качестве универсального сечения Пуанкаре была выбрана поверхность

Зга = {^1 Х1 + ах2 = 0}, в качестве начальной точки — х(0) = (-2.4036; -1.8825; -1.9071)т, е = 0.03. Было найдено приближение к периодическому решению ¿1 = 18.69, ¿2 = 53.74, х(^) = (0.79141; -3.97679; 0.03245)т, х(<2) = (0.79086;-3.97399; 0.03245)г. Результаты моделирования представлены на рисунке 1.

В разделе 2.6 при помощи численного моделирования показана возможность применения модифицированного метода к нерегулярным системам, в частности, к системе Лоренца с управлением

¿1 = — ахх 4- ах2

Х2 = СХ1 -Х2~ Я1Х3 (13)

х3 = хгх2 - Ъхз + и.

Приведены результаты моделирования, из которых следует, что в нерегулярном случае теряется возможность управления хаосом при помощи малых управлений.

В разделе 2.7 описан второй из разработанных методов управления хаосом. Метод применим к аффинным системам, эквивалентным системам канонического вида на подмножестве пространства состояний. В диссертационной работе приведены результаты численного моделирования процесса управления хаосом для системы (13). Анализ этих результатов показывает, что для этой * системы второй метод, в отличие от первого, позволяет решить за-

дачу управления хаосом при помощи малых управлений.

В третьей главе рассматривается задача управления угловым движением космического аппарата (КА).

Раздел 3.1 содержит краткий обзор постановок задач управления ! угловым положением КА.

! В разделе 3.2 произведён дифференциально-геометрический ана-

лиз уравнений движения КА.

Движение КА вокруг центра масс в орбитальной системе координат описывается системой уравнений в кватернионах

I ( Ju! + OJX Jш = и , >

! \2Л = Аоа;. ( ]

Эта система не эквивалентна никакой системе канонического вида ни на каком подмножестве пространства состояний. Однако, перейдя к системе

1 Л = А о уе^ (Л-1 о Л) -

[ -2Л о ./-1 (уей (Л-1 о А) х Jvect (л-1 оЛ^+|Ло

на К8, а затем рассмотрев ограничение этой системы на шестимерное многообразие

(

I 1

К = {(А, Л) £ К8 : А0+А1+А2+А3 = 1, А0А0+А1 А! +А2А2+А3А3 = 0}, £ можно получить систему

А = АоА~1оА-2АоГ1 Цл^оА) х 3 (л-1 о А)) + 1-АоГ\. (16)

Задача управления угловым положением рассматривается в каждой из координатных карт атласа многообразия К. При этом система (16) в координатах каждой из этих карт может быть записана в каноническом виде, причем этот вид является регулярным. Это позволяет применить метод нелинейной стабилизации для управления угловым движением.

В разделе 3.3 описаны возможности программного обеспечения, разработанного в рамках работы для трёхмерной визуализации процессов моделирования углового движения КА под воздействием управления и сравнения результатов управления для разных методов.

В разделе 3.4 на основе изложенных в разделе 3.2 результатов в соответствии с концепцией нелинейной стабилизации решена задача стабилизации углового положения КА. Приведены результаты численного моделирования процесса стабилизации. Исследована зависимость свойств переходного процесса и стабилизирующего управления в зависимости от параметров метода. Изложен алгоритм построения гарантированной оценки области стабилизируемости углового положения при помощи построенного управления.

Постановка задачи стабилизации углового положения КА формулируется следующим образом: требуется сделать заданное состояние покоя КА асимптотически устойчивым относительно орбитальной системы координат. Всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы стабилизируемое состояние описывалось кватернионом (1,0,0,0).

В соостветствии с процедурой метода нелинейной стабилизации в каждой координатной карте многообразия К можно выбрать управление таким образом, чтобы динамика системы в отклонениях имела линейную экспоненциально устойчивую динамику.

На рисунке 2 представлены результаты моделирования процесса стабилизации К А, матрица тензора инерции которого имеет вид

/ 1200 1000 700 \ J= 1000 1500 900 [кг-м2].

\ 700 900 2000 /

Приведены результаты моделирования для начального состояния, описываемого нормированным кватернионом

Л0 = (0.92246,0.05338,-0.07986,-0.37395) и вектором угловой скорости ш0 = (0.5,2,-0.5)г [1/с]. Управление было выбрано так, чтобы в координатной карте, соответствующей множеству

М0+ - (К4 х К4) П {(Л, А) : Л0 > 0},

уравнение углового движения в переменных А^, ] — 1,2,3, имело вид

А_, + А_, + к0]\3 = 0, (17)

где к1з = 0.06, ко] = 0.0005.

Рис. 2. Моделирование стабилизации углового положения К А

Был также получен алгоритм построения гарантированной области стабилизируемости системы при помощи ограниченного управления.

В разделе 3.5 изложено решение задачи переориентации К А со стабилизацией кинематической траектории движения.

Постановка задачи переориентации КА формулируется следующим образом: требуется перевести КА за заданное время из заданного начального положения Ло, шов заданное конечное положение покоя Л», = 0. Известен алгоритм переориентации, основанный на построении кинематической траектории углового движения. Этот алгоритм позволяет построить программное движение, состоящее из кинематической траектории и управления, реализующего движение по этой траектории. При помощи метода стабилизации программной траектории в каждой из координатных карт многообразия К движение в соответствующих переменных может быть сделано экспоненциально устойчивым.

На рисунке 3 представлено программное движение, построенное для задачи переориентации с условиями Ло = (0.5,0.5,-0.5,-0.5), щ = (0,0,0)г, Л, = (0.5,0,0.866,0), и = 200 с. Матрица тензора инерции КА была выбрана такой же, как при моделировании стабилизации.

и Н м

Рис. 3. Программное движение КА На рисунке 4 представлены результаты моделирования процесса переориентации со стабилизацией построенного программного движения. В качестве начального состояния было выбрано Л0 = (0.55,0.4468,-0.4468,-0.5461), и>0 = (0,0,0)г. Остальные условия задачи остались прежними.

Рис. 4. Моделирование стабилизации программного движения КА

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований.

1. Получено обоснование решения задачи стабилизации программных движений стационарных аффинных систем с помощью преобразования их к эквивалентным регулярным каноническим видам.

2. Разработаны методы решения задачи управления хаосом при помощи малых управлений, основанные на дифференциально-геометрическом подходе в теории управления и решении задачи стабилизации.

3. При помощи метода нелинейной стабилизации решены задачи стабилизации углового положения КА и переориентации КА. Найдены оценки области стабилизируемое™ углового положения ограниченным управлением.

4. Анализ результатов математического моделирования подтверждает возможность использования предложенных алгоритмов для управления сложными динамическими системами.

ТРУДЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Крищенко А. П., Кавинов А. В. Стабилизация аффинных систем // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 11. -С. 1482-1487.

2. Кавинов А. В., Крищенко А. П. Построение гарантированной оценки области стабилизируемости нелинейных систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VI международного семинара. - Москва. 2000. - С. 75.

3. Разработка программного обеспечения для проектирования облика сборных космических станций и разработка алгоритма управления ориентацией: Отчет о НИР (заключ.) / МГТУ. НУК ФН; Руководитель А.П. Крищенко. - ФН 12/01; №ГР 01990008630; Инв. №02200103252. - М., 2000. - 123 с.

4. Attitude Control Design for Spacestation with Variable Structure / A.P. Krishchenko, S.B. Tkachev, A.V. Kavinov, M.A. Velishchanskii // 13 Int. Conf. on Process Control'01, June 11-14, Strbske Pleso. Summaries Volume, SUT. - Bratislava, 2001. - P. 36.

5. Управление угловым положением космического аппарата с изменяющейся структурой / М.А. Велищанский, А.В. Кавинов, А.П. Крищенко, C.B. Ткачев // Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Тезисы докладов. - Пермь, 2001. - С. 150.

6. Крищенко А. П., Кавинов А. В. Подавление хаотической динамики // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40, № 12. -С. 1709-1715.

7. Кавинов А. В. Стабилизация программных движений и подавление хаотической динамики малыми управлениями // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина (М.). - 2006. - Вып. 5. - С. 175-184.

8. Кавинов А. В. Управление хаосом в регулярных системах // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX международного семинара. - Москва, 2006. -С. 113-115.

Принято к исполнению 10/05/2006 Исполнено 11/05/2006

Заказ №378 Тираж-100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 www.autoreferat.ru

IM1154

г

Введение.

• 1. Стабилизация аффинных систем на основе преобразования к каноническому виду.

1.1. Стабилизация аффинных систем со скалярным управлением

1.1.1. Преобразование к каноническому виду аффинных систем со скалярным управлением.

1.1.2. Стабилизация программных траекторий аффинных систем со скалярным управлением

1.1.3. Оценка области стабилизируемости при стабилизации ограниченным управлением. 1.1.4. Пример построения оценки области стабилизируемости

1.2. Стабилизация аффинных систем с векторным управлением

1.2.1. Преобразование к каноническому виду аффинных систем с векторным управлением.

1.2.2. Стабилизация программных траекторий аффинных систем с векторным управлением.

1.2.3. Оценка области стабилизируемости при стабилизации покомпонентно ограниченным векторным управлением. ф 1.3. Выводы.

2. Управление хаотической динамикой.

2.1. Некоторые сведения из теории хаотических систем

2.2. Обзор известных методов управления хаосом.

2.2.1. OGY-метод.

2.2.2. Метод Пирагаса.

2.2.3. Другие методы управления хаосом.

2.3. Поиск разрывных периодических решений.

2.4. Управление хаосом в регулярных системах.

2.5. Разрушение хаотической динамики траекторий системы Рёсслера.

2.6. Разрушение хаотической динамики траекторий системы Лоренца.

2.7. Стабилизация периодических траекторий управлением с ограниченной областью действия.

2.8. Выводы.

3. Управление сборными космическими объектами.

3.1. Постановка задач ориентации.

3.2. Дифференциально-геометрический анализ уравнений движения твёрдого тела вокруг центра масс.

3.3. Программное обеспечение для моделирования движения

КА вокруг центра масс. 3.4. Стабилизация положения равновесия твёрдого тела

3.5. Переориентация сборного КА.

3.6. Сравнительный анализ различных методов стабилизации углового положения К А.

3.7. Выводы.

Актуальность темы. Среди широкого класса детерминированных динамических систем с управлением можно выделить подкласс аффинных систем. В течение последних десятилетий была разработана техника преобразования аффинных систем к каноническому виду [1-3], которая успешно применяется при решении различных задач теории управления. Заложенный в этой технике дифференциально-геометрический подход может быть применён к двум задачам теории управления - задаче управления хаосом и задаче управления угловым положением космического аппарата.

Начиная с 60-х годов предыдущего столетия важное место в исследованиях динамических систем занимает изучение систем с хаотической динамикой. Одной из задач теории управления в области хаотических систем является задача управления хаосом. Она заключается в устранении хаотической динамики системы при помощи малых управляющих воздействий. К настоящему времени известно несколько методов ([25, 28, 38, 55] и др.) решения этой задачи. Эти методы успешно применяются для решения технических задач (см., например, [35, 37, 42 -49, 52]. Однако, следует отметить неполную теоретическую обоснованность методов и отсутствие достаточных условий работоспособности методов для конкретной системы. В связи с этим актуальной представляется разработка теоретически обоснованного алгоритма управления хаосом при помощи малых управлений, применимого к достаточно широкому классу систем.

Задача управления угловым положением космического аппарата в различных постановках также продолжает оставаться актульной на протяжении последних десятилетий. Алгоритмы, основанные на представлении о космическом аппарате как о твёрдом теле, продолжают представлять интерес. Они могут применяться для небольших космических конструкций либо при небольших угловых скоростях движения объекта.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов управления детерминированным хаосом и угловым положением космического аппарата, основанных на дифференциально-геометрическом подходе и концепции стабилизации программного дви-# жения.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления, дифференциальной геометрии и различные численные методы.

Научная новизна. Обоснован метод нелинейной стабилизации программного движения, основанный на дифференциал ьно-Ф геометрическом подходе. Разработаны два новых алгоритма управления хаосом, основанные на дифференциально-геометрических методах в теории управления. Первый алгоритм применим к системам с управлением, эквивалентным на всём пространстве состояний системам регулярного канонического вида. Доказана работоспособность алгоритма и возможность решения задачи при помощи малых управлений. Второй алгоритм может быть использован для более широкого класса систем, эквивалентных системам регулярного канонического вида на подмножестве пространства состояний, в том случае, если выполнены некоторые дополнительные условия. Показана возможность уменыпе-ния управляющих воздействий путём численного решения задачи минимизации, а также проведён сравнительный анализ разработанных алгоритмов управления хаосом и известных методов.

С использованием дифференциально-геометрической техники решена задача стабилизации углового положения космического аппарата, предложен алгоритм построения ограниченного стабилизирующего управления и указана оценка области стабилизируемости. Метод стабилизации программной траектории применён для решения задачи переориентации космического аппарата.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами математического моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления и позволяют решать задачи управления детерминированным хаосом и управления угловым положением космического аппарата с использованием метода нелинейной стабилизации.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Обоснование метода нелинейной стабилизации, основанного на дифференциально-геометрическом подходе.

2. Методы управления детерминированным хаосом в системах, ® эквивалентных системам регулярного канонического вида на всём пространстве состояний или на подмножестве пространства состояний.

3. Решение задач стабилизации углового положения и переориентации космического аппарата при помощи метода нелинейной стабилизации.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VI международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», проходившем в 2000 г. в Москве, на VIII всероссийском съезде по теоретической и ф прикладной механике, проходившем в 2001 г. в Перми, на 13 международной конференции по процессам управления, проходившей в 2001 г. в Братиславе и на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е. С. Пятницкого, проходившем в 2006 г. в Москве.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в трёх научных статьях [5, 6, 85], четырёх тезисах докладов на конференциях [7 - 9, 86] и в отчёте о НИР [10].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Работа изложена на 127 страницах, содержит 47 иллюстраций. Библиография включает 86 наименований.

Основные выводы и результаты работы

Сформулируем основные результаты и выводы проведенных исследований.

1. Получено обоснование решения задачи стабилизации программных движений стационарных аффинных систем с помощью преобразования их к эквивалентным регулярным каноническим видам.

2. Разработаны методы решения задачи управления хаосом при помощи малых управлений, основанные на дифференциально-геометрическом подходе в теории управления и решении задачи стабилизации.

3. При помощи метода нелинейной стабилизации решены задачи стабилизации углового положения К А и переориентации К А. Найдены оценки области стабилизируемости углового положения ограниченным управлением.

4. Анализ результатов математического моделирования подтверждает возможность использования предложенных алгоритмов для управления сложными динамическими системами.

1. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd edition. London: Springer-Verlag, 1995. - 550 p.

2. Крищенко А.П. Стабилизация программных движений нелинейных систем // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. -1985. -№ 6. -С. 103-112.

3. Nijmeijer Н., Schaft A. Van der. Nonlinear dynamical control systems.- New-York: Springer, 1990. 467 p.

4. Krishchenko A.P. Estimation of stabilisation domains for program motion of affine systems // 5th IFAC Symposium Nonlinear Control Systems NOLCOS'Ol. St-Petersburg (Russia), 2001. - Preprints. V.4-P. 1003-1006.

5. Крищенко А. П., Кавинов А. В. Стабилизация аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, № 11. - С.1482-1487.

6. Крищенко А. П., Кавинов А. В. Подавление хаотической динамики // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40, № 12.- С.1709-1715.

7. Кавинов А. В., Крищенко А. П. Построение гарантированной оценки области стабилизируемости нелинейных систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VI международного семинара. Москва, 2000. - С. 75.

8. Управление угловым положением космического аппарата с изменяющейся структурой / М.А. Велищанский, А.В. Кавинов, А.П. Крищенко, С.Б. Ткачев. // Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Тезисы докладов. Пермь, 2001. - С. 150.

9. Attitude Control Design for Spacestation with Variable Structure / A.P. Krishchenko, S.B. Tkachev, A.V. Kavinov, MA. Velishchanskii //13 Int. Conf. on Process Control'01 June 11-14, Strbske Pleso. Summaries Volume, SUT. Bratislava, 2001. - P. 36.

10. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления //Докл. АН СССР. 1981. -Т. 258, №4.-С. 805-809.

11. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2001. - 320 с.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967. 472 с.

13. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. - 240 с.

14. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. - 168 с.

15. Волынский В.В., Крищенко А.П. Оценки областей стабилизиру-емости нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. -1997. Т. 33, № 11. - С. 1474-1483.

16. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31, N°. 11. - С. 1858-1865.

17. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы // Автоматика и телемеханика. 2003.- № 5.-С. 3-45.

18. Андриевский Б.Р., Фрадков A.J1. Управление хаосом: методы и приложения. II. Приложения // Автоматика и телемеханика. -2004. -№ 4. -С. 3-34.

19. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmospheric Science. 1963. - V. 20, № 2. - P. 130-141. (Странные аттракторы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1981. - С. 88-116).

20. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2001. - 296 с.

21. Ressler О.Е. Chemical Turbulence: Chaos in a Small Reaction-Diffusion System // Z. Naturforsch. 1976. - Bd. 31. - S. 1168-1172.

22. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JL: ОГИЗ, 1947. - 448 с.

23. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 320 с.

24. Ott Е., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. 1990. - V. 64, № 11. - P.1196-1199.

25. Кроновер P. M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

26. Reyl С., Flepp L.,Badii R. and Brun E. Control of NMR-laser chaos in high-dimensional embedding space // Phys. Rev. E. 1993. - V. 47. -P. 267-272.

27. Grebogi C., Lai Y.C. Controlling chaos in high dimensions // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 1997. - V. 44. - P. 971-975.

28. Grebogi C., Lai Y.C. Controlling chaotic dynamical systems // Syst. Contr. Lett. 1997. - V. 31, № 3. - P. 307-312.

29. Дорф P. Бишоп P. Современные системы управления. M.: Лаборатория базовых знаний, 2002. - 832 с.

30. Nitsche G., Dressier U. Controlling chaotic dynamical systems using time delay coordinates // Physica. D. 1992. - V. 58. - P. 153-164.

31. Hunt E.R. Stabilizing high-period orbits in a chaotic system — the diode resonator // Phys. Rev. Lett. 1991- V. 67. - P. 1953-1955.

32. Безручко Б.П., Иванов Р.Н., Пономаренко В.И. Двухуровневое управление хаосом в нелинейных осцилляторах // Письма в ЖТФ. 1999. - Т. 25, В. 4. - С. 61-67.

33. Holyst J.A., Hagel Т., Haag G. Destructive role of competition and noise for control of microeconomical chaos. // Chaos, Solution and Fractals. 1997. - V. 8. - P. 1489-1505.

34. Control of human atrial fibrillation / W.L. Ditto, M.L. Spano, V. In et al // Int. J. of Bifurcation and chaos. 2000. - V.10. - P. 593-601.

35. Controlling chaotic systems with occasional proportional feedback / L.R. Senesac, W.E.Blass, G. Chin et al // Review of scientific instruments. 1999. - V. 70. - P. 1719-1724.

36. Controlling chaos in the Belousov-Zhabotinsky reaction / V. Petrov, V. Gaspar, J. Masere, K. Showalter // Nature. 1993. - V. 361.- P. 240-243.

37. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. - V. 170. - P. 421-428.

38. Socolar J.E.S., Sukow D.W., Gauthier D.J. Stabilizing unstable periodic orbits in fast dynamical systems // Phys. Rev. E. 1994. -V. 50.-P. 3245-3248.

39. Hai W.H., Duan Y.W., Pan L.X. An analytical study for controlling unstable periodic motion in magneto-elastic chaos. // Phys. Lett. A.- 1997. V. 234. - P. 198-204.

40. Hikihara Т., Touno M., Kawagoshi Т. Experimental stabilization of unstable periodic orbit in magneto-elastic chaos by delayed feedback control. // Int. J. Bifurcation Chaos. 1997. - V. 7. - P. 2837-2846.

41. Лойко H.A., Науменко А.В., Туровец С.И. Воздействие обратной связи Пирагаса на динамику лазера с модуляцией потерь // ЖЭТФ. 1997. - Т. 112, В. 4(10). - С. 1516-1530.

42. Controlling extended systems with spatially filtered, time-delayed feedback / M.E. Bleich, D. Hochheiser, J.V. Moloney et al // Phys. Rev. E. 1997.- - V. 55. - P. 2119-2126.

43. Chaos control in external cavity laser diodes using electronic impulsive delayed feedback / A.V. Naumenko, N.A. Loiko, S.I. Turovets, et al // Int. J. Bifurcation Chaos. 1998. - V. 8. - P. 1791-1799.V

44. Bias current impulsive feedback control of nonlinear dynamics in external cavity laser diodes / A.V. Naumenko, N.A. Loiko, S.I. Turovets, et al // Electronics Lett. 1998. - V. 34. - P. 181-182.

45. Elmer F.J. Controlling friction // Phys. Rev. E. 1998. - V. 57.- P. 4903-4906.

46. Konishi K., Kokame H., Hirata K. Decentralized delayed-feedback control of an optimal velocity traffic model // European Phys. J. B.- 2000.-V. 15.-P. 715-722.

47. Konishi K., Kokame H., Hirata K. Coupled map car-following model and its delayed-feedback control // Phys. Rev. E. 1999. - V. 60.- P. 4000-4007.

48. Battle C., Fossas E., Olivar G. Stabilization of periodic orbits of the buck converter by time-delayed feedback // Int. J. Circ. Theory and Appl. 1999. - V. 27. - P. 617-631.

49. Медведев B.C., Потёмкин В.Г. Нейронные сети. М.: Диалог-МИФИ, 2002. - 496 с.

50. Alsing P.M., Gavrielides A., Kovanis V. Using Neural networks for controlling chaos // Phys. Rev. E. 1994. - V. 49. - P. 1225-1231.

51. Lebender D., Muller J., Schneider F.W. Control of chemical chaos and noise a nonlinear neural-net based algorithm // J. Phys. Chem.- 1995. V. 99(14). - P. 4992-5000.

52. Konishi K., Kokame H. Stabilizing and Tracking Unstable Focus Points in Chaotic Systems Using a Neural Network // Physics Letters A. 1995. - V. 206. - P. 203-210.

53. Konishi K., Kokame H. Control of Chaotic Systems Using an On-Line Trained Linear Neural Controller // Physica. D. 1997. - V. 100. -P. 423-438.

54. Eric R. Weeks and John M.Burgess, Evolving artifical neural networks to control chaotic systems // Phys. Rev. E. 1997. - V. 56. - P. 1531 -1540.

55. Lin C.T., Jou C.P. Controlling chaos by GA-based reinforcement learning neural network // IEEE Trans. Neural Netw. 1999. - V. 10. -P. 846-859.

56. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.J1. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. -СПб.: Наука, 2000. 549 с.

57. Фрадков A.JT. Схема скоростного градиента и её применение в задачах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика.- 1979. -№9. -С.90-101.

58. Jackson Е.А., Grosu I. An OPCL control of complex dynamic systems // Physica. D. 1995. - V. 85. - P. 1-9.

59. Магницкий H. А. О стабилизации неподвижных точек хаотических отображений // Доклады РАН. 1996. - Т. 351, № 2. - С. 175-177.

60. Магницкий Н.А. О стабилизации неустойчивых циклов хаотти-ческих отображений // Доклады РАН. 1997. - Т. 355, № 6. -С. 747-749.

61. Khalil Н. К. Nonlinear systems; 2nd edition. New York: Prentice-Hall, 1996. - 750 p.

62. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975. 534 с.

63. Крищенко А.П. Синтез алгоритмов терминального управления для нелинейных систем // Известия АН. Техническая кибернетика 1994. - № 1. - С. 48-57.

64. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Издательство

65. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005. 520 с.

66. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука, 1965. - 468 с.

67. Механика больших космических конструкций / Н.В. Баничук, И.И. Карпов, Д.М. Климов и др. М.: Факториал, - 1997. - 302 с.

68. Junkins J.L., Rahman Z.H., Bang Н. Near-minimum-time control of distributed parameter systems: analytical and experimental results // Journal of guidance, control and dynamics. 1991. - V. 14.1. P. 406-415.w

69. Li Z., Bainum P.M. 3-D maneur and vibration control of flexible spacecraft using momentum exchange feedback control concept // AIAA/AAS Astrodynamics conf. San Diego, 1992. - AAS paper 92-4447.

70. Mortensen R. A globally stable linear attitude regulator // International journal of control. 1968. - V. 8. - P. 297302.- Palo Alto (California), 1994. P. 316-321.

71. Wie В., Weiss H., Arapostathis A. Quaternion feedback regulator for spacecraft eigenaxis rotations // Journal of guidance, control and dynamics. 1989. - V. 12., № 3. - P. 375-380.

72. Бранец В. H., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. - 320 с.

73. Tsiotras P., Shen Н., Hall С. Satellite Attitude Control and Power Tracking with Momentum Wheels // AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2001. - V. 24, № 1. - P. 23-34.

74. Алексеев К. Б., Бебенин Г.Г. Управление космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1974. - 343 с.

75. Агафонов С.А., Алексеев К. Б., Николаев Н.В. К устойчивости управления плоским разворотом космического летательного аппарата // Прикладная математика и механика. 1991. - Т. 55, В. 1.-С. 166-168.

76. Левский М. В. Оптимальное управление пространственным разворотом космического аппарата // Космические исследования. -1995. Т. 33, № 5. - С. 498-502.

77. Каменецкий В.А. Построение областей притяжения методом функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 6.- С. 10-26.

78. Shield D.N., Storey С. The behavior of optimal Lyapunov function // Int. J. Contr. 1975. - V. 21, № 4. - P. 561-573.

79. Chiang H., Thorp J.S. Stability regions of nonlinear dynamical systems: A constructive methodology // IEEE Trans. Automat. Contr. 1989. - V. 34, № 12. - P. 1229-1241.

80. Ермошина О. В. , Крищенко А. П. Синтез программных управлений ориентацией космического аппарата методом обратных задач динамики // Изв. АН Теория и системы управления. 2000. - № 2.- С. 155-162.

81. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели. М.: Наука, 1988. - 328 с.

82. Понтрягин JI. С. Обобщения чисел. М.: Едиториал УРСС, 2003.- 224 с.

83. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. - 824 с.

84. Кавинов А. В. Стабилизация программных движений и подавление хаотической динамики малыми управлениями // Нелинейная динамика и управление: Сборник статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина (М.). 2006. - Вып. 5. - С. 175-184.

85. Кавинов А. В. Управление хаосом в регулярных системах // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX международного семинара. Москва, 2006. -С. 113-115.85.