автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Преобразование аффинных систем к квазиканоническому виду и построение минимально-фазовых систем

На правах рукописи

ШЕВЛЯКОВ Андрей Анатольевич

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННЫХ СИСТЕМ К КВАЗИКАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ И ПОСТРОЕНИЕ МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление

и обработка информации (информатика, машиностроение)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

18 АПР 2013

Москва — 2013

005052309

005052309

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Ткачев Сергей Борисович

Официальные оппоненты: Рапопорт Лев Борисович,

доктор физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт проблем управления РАН имени В.А. Трапезникова», заведующий лабораторией динамики нелинейных процессов управления имени Е.С. Пятницкого

Фомичев Василий Владимирович, доктор физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», профессор

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Вычислительный центр имени A.A. Дородницына РАН»

Защита состоится «14» мая 2013 г. в 13 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: Москва, Рубцовская наб., 2/18, ауд. 1006 л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана. Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, технических наук, доцент

Аттетков A.B.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Один из подходов к решению задачи управления нелинейной динамической системой основывается на преобразовании системы к специальному виду, для которого метод решения соответствующей задачи управления известен. Примером являются системы канонического вида, которые с помощью линеаризации обратной связью можно преобразовать в линейную систему, записанную в канонической форме Бруновского.

Условия приводимости к каноническому виду хорошо известны, однако не всякую аффинную систему можно преобразовать к этому виду. Поэтому среди аффинных систем выделяют системы, которые преобразуются к квазиканоническому виду. Такие системы содержат подсистему, которая линеаризацией обратной связью преобразуется в каноническую форму Бруновского, и подсистему общего вида.

Условия существования преобразования аффинной системы к квазиканоническому виду в заданной области известны (А.П. Кри-щенко; 1981), однако представляет интерес получение различных локальных условий существования требуемых преобразований, а также условий, при выполнении которых квазиканонический вид имеет специальные свойства.

Если аффинная система преобразована к регулярному квазиканоническому виду в некоторой области, то функции, определяющие это преобразование, можно рассматривать как выходы системы, а квазиканонический вид — как нормальную форму системы (А. Ыс1оп; 1980). Среди систем, записанных в нормальной форме, выделяют минимально-фазовые системы. Получение выходов, относительно которых система является минимально фазовой, является важной задачей, так как для минимально-фазовых систем способы решения задачи стабилизации положения равновесия известны.

Метод виртуальных выходов, предложенный А.П. Крищенко и С.Б. Ткачевым (2002), позволяет для класса неминимально-фазовых аффинных систем, записанных в нормальной форме, находить выходы, относительно которых эти системы являются минимально-фазовыми, и решать для таких систем задачу стабилизации. Его распространение на более широкий класс аффинных систем является важной теоретической проблемой.

Современные системы компьютерной алгебры позволяют в значительной степени автоматизировать процесс проверки условий существования преобразования к каноническому или квазиканоническому виду, выполнения самого преобразования и нахождения стабилизирующего управления. В связи этим представляет интерес формализованный алгоритм проверки необходимых и достаточных условий существования требуемого преобразования, а также нахождения соответствующей замены переменных и получения квазиканонического вида.

Целью работы является разработка теоретических основ и алгоритмов преобразования аффинных систем со скалярным и векторным управлением к квазиканоническим видам, а также распространение метода виртуальных выходов на аффинные системы с высоким индексом приводимости.

Задачами исследования являются:

— получение условий существования квазиканонического вида для аффинных систем;

— создание алгоритмов преобразования стационарных аффинных систем к квазиканоническим видам, ориентированных на использование систем компьютерной алгебры;

— получение условий существования виртуальных выходов, относительно которых система с высоким индексом приводимости является минимально-фазовой;

— исследование преобразуемости к квазиканоническому виду моделей технических систем.

Методы исследования. В диссертации применяются методы математической теории управления, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и дифференциальной геометрии, компьютерной алгебры.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. локальные условия существования квазиканонического вида для аффинных систем со скалярным управлением;

2. алгоритмы преобразования к регулярному квазиканоническому виду для аффинных систем со скалярным и векторным управлением;

3. распространение метода виртуальных выходов для аффинных систем со скалярным и векторным управлением, имеющих высокий индекс (мультииндекс) приводимости;

4. преобразование к регулярному квазиканоническому виду и стабилизация положения аффинной системы, описывающей пространственное движение вертолета.

Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами и результатами расчетов.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что теоретические результаты доведены до конструктивных методов, позволяющих решать задачи преобразования к квазиканоническим видам, а также в сведении задачи стабилизации класса неминимально-фазовых аффинных систем к задаче, для которой способ решения известен (линеаризация обратной связью). Разработан и зарегистрирован программный комплекс quasiPack. Комплекс представляет собой набор процедур, реализованных в среде Maple, и предназначен для автоматизации решения задач, возникающих при преобразовании систем к квазиканоническому виду (свидетельство о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ №2012617543 от 21 августа 2012 г.)

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на III Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" (Звенигород, 2009), I традиционной Всероссийской молодежной летней школе "Управление, информация и оптимизация" (Переславль-Залесский, 2009), XI Международной конференции имени Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2010), конференции "Управление в технических системах" (Санкт-Петербург, 2010), II Международной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" (Москва, 2011), XII Международной конференции имени Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2012), III традиционной Всероссийской молодежной летней школе "Управление, информация и оптимизация" (Звенигород, 2012).

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №09-07-00486, №11-07-00329, проекта 2.1.1/227 аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы"

(2009 - 2011 гг.), а также Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.В37.21.0370).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 13 научных работах, в том числе 4 научных статьях из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, и 8 тезисах докладов.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и двух приложений. Работа изложена на 123 страницах, содержит шесть иллюстраций. Библиография включает 54 наименования.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, их достоверность, основные положения, выносимые на защиту, а также приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе введены основные используемые в работе математические понятия, в том числе Аф{х) — производная от функции ф{х) вдоль векторного поля А , коммутатор [А, В) векторных полей Ata В, последовательность коммутаторов векторных полей A tí В:

ad°AB = B,a,d\B = [A,B}, ad^+1£= [A,adkABl к> 1.

Рассматривается аффинная система

х = А(х) + В(х)и, (2)

где х 6 R", и € R1, А(х) = (ai(x),..., ап(х))т, В(х) = = (bi(x),... ,bn(x))T, ai(x), bi(x) 6 C°°(Q), i = 1 ,m, fi — открытое множество, содержащее положение равновесия х = 0, причем Л(0) = 0,В(0) т^О.

Изучаются условия, при которых она преобразуется к виду 2\ = 22, . . . , 2Г-1 =

¿1■ = 1{г,т])+д(г,г1)и, (3)

V =

где л = (2г...2г)т,2 в Кг, V = Ы, ■ ■ ■ ,1п-тУ ,-П е К71-7", Ч{2,7]) =

= Ы^,??), ••• ,1п-г(2,г))У, р(г,т0 = (Р! (г, Г]),..., Рп-г(2, V) Г-

Если д(2,г/) / 0 в П, то (3) называется в регулярным квазиканоническим видом.

С аффинной системой (2) связывают матрицу управляемости 1/(х) = (и..., и71'1), где 11к — столбец координат векторного поля = (—1)к &йкАВ. В связи с задачей преобразования (2) к виду (3) из матрицы и(х) выделяют подматрицу 11г(х), состоящую из первых г столбцов матрицы управляемости {/(ж).

Доказаны локальные условия преобразуемости аффинной системы со скалярным управлением к регулярному квазиканоническому виду. Эти условия сформулированы в виде следующих теорем.

Теорема 1. Если при некотором г, 2 < г < п, для аффинной системы (2) существует такое решение ф(х) е С°°(П) системы линейных однородных уравнений в частных производных

а.&кА Вф(х) = 0, к = 0, г-2, (4)

для которых соответствующая функция 7(х) = ВАГ~1ф(х) в точке х° пространства состояний системы удовлетворяет условию

7(1°) ф 0, (5)

то в некоторой окрестности точки а;0:

— подматрица 1/г матрицы управляемости системы (2) имеет ранг г\

— матрица Якоби Ф'(а;) функций Ф = (ф(х), Аф(х) ..., Аг~1ф(х)), имеет ранг г;

— аффинная система (2) преобразуется к регулярному квазиканоническому виду (3).

Теорема обобщает известный результат (А.П. Крищенко; 2005) для преобразования систем к каноническому виду.

Теорема 2. Пусть в некоторой окрестности точки х° размерность инволютивного замыкания распределения

= 5рап(5, а йАВ,..., а<^_2 В), г > 2,

постоянна и равна тп, г — 1 < тп < п, и для векторного поля ас!^-1 В выполняется условие ас^ ^г_х(х°).

Тогда в некоторой окрестности точки хо аффинная система (2) преобразуется к регулярному квазиканоническому виду (3) с индексом приводимости г.

Разработан алгоритм преобразования системы к регулярному квазиканоническому виду, теоретическое обоснование которого составляют приведенные теоремы. Разработан алгоритм вычисления ранга функциональной матрицы, использующий методы компьютерной алгебры и являющийся частью алгоритма преобразования к квазиканоническому виду.

Рассмотрены примеры нахождения индекса приводимости, преобразования систем к квазиканоническому виду. В число рассмотренных систем входят модели технических систем (маятник на тележке, мобильный робот).

Во второй главе рассматриваются аффинные системы с векторным управлением

т

X = А(х) + ^ В{(х)щ, (6)

г=1

где I е Г, и = (гц.....ггт)т € К™, Л(0) = О,

А(х) = (а^х),..., ап(х))т, В{х) = (В^х),..., Вт(х)), В5{х) = (6}(х),..., Ь?(х))т, з = Т"^,

г = 1,п, сц(х), Ь?(х) € С°°(£1), П — открытое множество, содержащее положение равновесия х = 0.

Квазиканонический вид в случае системы с векторным управле-

нием определяется следующим образом:

а -

2> ■ • • I гп-1 ~

¿г, = + ■

¿771 __'771

¿1 — ,..., гГт_1

= /т{г, V) + 9пл(г, + • ■ • + 9тт(г, VI = ЯЛ2,*]) + • • • +Р1т(2,Т1)ит,

(7)

Г)п-г = + Рп-г 1(г,г])и1 + ... +рп-г т(г,г])г

где г = (гь ..., гг)т, г е ЛГ, г = П + . .. + гт,г] = (т?1,. . ., г)п-т)Т, г] 6 Ип~т. Приведены результаты, обобщающие теоремы из главы 1 на случай систем с векторным управлением. На их основе разработаны алгоритмы преобразования системы с векторным управлением к квазиканоническому виду.

Рассмотрим систему (6). Предположим, распределение 03 = = зрап(-£?1,..., Вт) имеет размерность т всюду на П. Пусть В л = зрап(51 + А,..., Вт + А). С системой (6) связан набор распределений

В° = «В,

В^врап (В,[®л,В]),

03' = Брап^-1, [ВА, В'-1]),

ШТ° = В,

. . . ,

Ш1 = зрап(В,..., в.б!А В),

£° = В, _

£} = зрап(ас!лВ,В),

£,к = эрап(ас1^ В, В*1-1).

Далее всюду будем предполагать, что распределения (8) имеют постоянную размерность в Г2.

Рассмотрим следующий набор чисел щ: щ = dim*3 = т,

п\ = dimZ1 — dim*B , ^

щ = dimZ1 — dimSB1 \

Данные числа показывают, насколько увеличивается размерность при пополнении его векторными полями adiA<B.

Последовательность щ,... ,пг,... является невозрастающей. Ей можно поставить в соответствие набор чисел fj = |n;- > i,j > 1|. Здесь fi равно количеству чисел из последовательности щ, больше либо равных г.

Для построения алгоритма используется следующий результат (R. Marino, 1986).

Теорема 3. Пусть векторное поле А гладкое в некоторой окрестности точки хо, распределение span(5i,.... Вт) в этой окрестности является гладким и имеет размерность т. Тогда

— существует окрестность точки хо, в которой система (6) эквивалентна регулярной системе квазиканонического вида с индексами приводимости fi\

— если (6) приводится к регулярному квазиканоническому виду с индексами ri,..., г^, /л < т, то для каждого г, г = 1, ц п < f{.

В случае, если какое-либо из распределений SÖT*, 05*, Ü* является сингулярным, теорема 3 неприменима, и построить квазиканонический вид с помощью данного алгоритма нельзя.

Пусть среди чисел Г{ есть лишь q попарно различных. Обозначим их через k, i = 1, q, а через /с, — кратности соответствующих чисел. Тогда для нахождения индексов приводимости k и определения их кратности кг удобно использовать таблицу 1.

Аналогом условия ad^f1 В(х°) ф. Fr-i(x°) в векторном случае является условие щ 0, так как щ = dim£' — dim(3 определяет, принадлежит ли acf^05 распределению 03

Для заполнения второго столбца вычисляются числа

n,_i = — dimS1-2.

Таблица 1

i гц_1 =dim £i_1 - dim Q3'"2 di2 = щ-1 — k\ di3 = di2 — k2

1 т m — k\ m — ki — k2

* * Tii — ki — k2

* k2 *

* 0 0

* 0 0

S h 0 0

S+1 0 0 0

Вычисления производятся до тех пор, пока очередное число не будет равным нулю. Номер, соответствующий последнему ненулевому элементу второго столбца, равен значению ii, а его кратность ki равна последнему ненулевому значению щ. Затем вычисляется третий столбец по формуле

di2 = Пг_1 — к\.

Индекс последнего ненулевого значения во втором столбце равен ¿2, а само последнее ненулевое значение равно /с2.

Аналогично заполняются остальные столбцы таблицы до тех пор, пока очередной столбец не окажется состоящим целиком из нулевых значений.

Согласно теореме 3, полученные индексы являются максимальными индексами приводимости к квазиканоническому виду.

Рассмотрены примеры нахождения мультииндекса приводимости, преобразования систем к квазиканоническому виду.

В третьей главе приведено краткое описание основных функций программного комплекса quasiPack. Комплекс представляет собой набор процедур, реализованных в среде Maple и предназначен для автоматизации решения задач, возникающих при преобразовании систем к квазиканоническому виду.

Рассмотрены примеры исследования возможностей преобразования к квазиканоническому двух систем — маятника на тележке и трехмерной модели вертолета. Трехмерное движение вертолета описывается системой уравнений

г = V, тУ =

Ттг = шиТ* =

(10)

Г2 = Выъ, ./¡А, = Мь — ыь х Juь, а = ш3,/3 = Ш4-

где г = (ж, г/, г), V = — радиус-вектор и скорость цен-

тра масс соответственно, Г2 = {-ф, г?, 7) — углы Крылова ориентации вертолета, ш/, — вектор угловой скорости, Р, Мь — суммарные сила и момент, действующие на вертолет. Найден максимальный мультииндекс приводимости. Рассмотренная система имеет наибольшую размерность (п = 16) из всех, к которым был успешно применен алгоритм.

В четвертой главе приводятся результаты, обобщающие метод виртуальных выходов на случай систем с высоким индексом (мультииндексом) приводимости.

Наряду с теорией квазиканонического вида широкое распространение получила теория нормальной формы. Объектом ее изучения также является преобразование системы (6) в систему специального вида (7) с той разницей, что вместо нахождения функций ф(х), удовлетворяющих уравнениям (4), для системы (6) фиксируются некоторые функции у = Ь(х), выбранные из каких-либо иных соображений. Таким образом, после того, как найдены ф{х), можно использовать как аппарат квазиканонического вида, так и аппарат нормальной формы. Полученные результаты изложены в терминах нормальной формы с целью сохранения преемственности с известными результатами метода виртуальных выходов.

Нормальной формой аффинной системы со скалярным управлением называют следующий вид:

Частным случаем нормальной формы аффинной системы со скалярным управлением является следующий вид системы:

¿г = /(г, г)) + д{г, т])и,

(П)

Ц = Я(г, V) + Р(г> У =

(12) (13)

¿1 — ¿2, ■■■, 2г-1 — гг, . .

¿г = /(г, г]) + д(г, г])и,

г1 = я(г,г)), (15)

У = 21. (16)

Такая форма системы (11),(12) может быть получена выбором переменных т] из числа первых интегралов векторного поля В, однако их запись в аналитической форме может представлять значительные трудности. Также полученная замена переменных может быть неудобной по другим причинам: трудно найти обратную форму, или она не является диффеоморфизмом в интересующей нас области.

Под минимальной фазовостью системы (14),(15) здесь следует понимать локальную асимптотическую устойчивость нулевого положения равновесия системы

?> = 9(0,7?). (17)

Пусть в положении равновесия х° = 0 система (2) является минимально фазовой. Для системы (2) можно выбрать управление в виде

г-1

и = (-Агф(х) - £ скАкф{х)) /ВАг~1ф(х) , (18)

к=0

где коэффициенты сь к = 0,..., р— 1, выбраны так, что корни уравнения Хр + о Ск^к = 0 имеют отрицательные действительные части, ВАг~1ф(х) ф 0 в силу определения относительной степени выхода.

В переменных г, т? управление (18) имеет вид

Г— 1

= (-/(2,т?) /д{г,г}) . (19)

к=0

Для функции у = /г (ж) также используют название "виртуальный выход", чтобы подчеркнуть произвольный ее выбор. Для систем вида (14),(15) доказана

Теорема 4. Пусть нормальная форма аффинной системы (2) с виртуальным выходом у = Н(х) в окрестности точки х = 0 имеет вид (14),(15), причем д(г,т]) = р(у,т]) = р(лЬ7?). Для того, чтобы аффинная система (2) имела виртуальный выход с относительной степенью р = г в точке х = 0 и асимптотически устойчивую нулевую динамику, необходимо и достаточно, чтобы положение равновесия г? = 0 нелинейной системы

с управлением V было стабилизируемо гладкой обратной связью V = у(г}). Каждой такой стабилизирующей обратной связи в системе (20) соответствует виртуальный выход у = г\ — 11(77) = к{х) — г>(Ф(х)) аффинной системы (2) относительной степени р = г в точке х = 0 и асимптотически устойчивая нулевая динамика.

Доказанная теорема задает достаточные условия существования виртуального выхода, относительно которого система является асимптотически устойчивой. Необходимые условия задает следующая теорема.

Теорема 5. Пусть в системе (14),(15) д{г,г}) = р(-г:, г2, существует виртуальный выход ф(г\,г]), такой, что относительная степень аффинной системы с этим выходом в точке х = 0 будет равна г, нулевая динамика асимптотически устойчива, и 0) ф 0. Тогда найдутся функции VI = ^1(77), ^ = 1*2(77), такие, что г>1 (0) = 0, «г(0) = 0, стабилизирующие положение равновесия г] = 0 системы

г) = р(ь,т])

(20)

V = р(г>1, У2, 77)

(21)

и удовлетворяющие условию

<Ьх(?7)

с1£ г1=рМт))тЫ,у)

= Ы??)-

(22)

Рассмотрим специальную нормальную форму системы (6):

= •г21 • • • > ¿Г1-1 =

¿Г! = Мг,т]) +дп(г,п)и1 + ■ ■ ■ + д1ш{г,т])ит,

21 — ¿2 >•••> ггт-1 —

(23)

¿^ = /т(-г, 77) + Т])щ + ... + дтт{г, 77)1^,

т7 = 77),

Доказаны следующие теоремы, позволяющие получать новые выходы, относительно которых система (6) является минимально-фазовой.

Теорема 6. Пусть нормальная форма аффинной системы (6) с виртуальным выходом у = (Ь\(х),..., кт(х)) в окрестности точки х = О имеет вид (23), причем <7(2,77) = р(.г},..., г}™, 77), относительная степень р = (I,... ,1). Для того, чтобы аффинная система (23) имела виртуальный выход с относительной степенью р = (I,... ,1) в точке х = 0 и асимптотически устойчивую нулевую динамику, необходимо и достаточно, чтобы положение равновесия 7] = 0 нелинейной системы

т]=р(у1,...,ут,г)) (24)

с управлениями «1,..., ут было стабилизируемо гладкой обратной связью VI = «1(77),..., ут = ут(г]). Каждой такой стабилизирующей обратной связи в системе (24) соответствует виртуальный выход у = - «1(77), - ут{ 77)) = (Ьх(х) - -^(Ф^)),..., кт(х) -

ут(Ф(х))) аффинной системы (23) относительной степени р = (I,... ,1) в точке х = 0 и асимптотически устойчивая нулевая динамика.

Теорема 7. Если в динамической системе (23) д(г, 77) = = р(г},..., г™, ..., ¿2,77), относительная степень р =(/,... I), а управления у} = у}(77),..., = ^(77), г^ = 1^(77),..., у? = у?(г]), •у1(0) = 0, ...,и5"(0) = 0,^(0) = 0, = 0 стабилизируют

положение равновесия 77 = 0 системы

77 =Р(У\,...,у?,У1)...,У?,71), (25)

и удовлетворяют условиям

cbiMl

= 4(ч)

(26)

det(Emxm - (vi)>1ii...i2?(0,0,0)) ф 0,

,(27)

то система (23) с виртуальным выходом 4>{z,r}) = {4>i(z, т]),...,фт(г,Г1)), (f>i(z,r)) = z{ - v{(r]) имеет относительную степень р = (I,... ,1) в точке (z, ту) = 0, а нулевая динамика, соответствующая этому виртуальному выходу, асимптотически устойчива в точке г] = 0.

В приложении 1 описывается разработанный программный комплекс quasiPack для среды Maple, позволяющий частично автоматизировать решение задач преобразования к квазиканоническому виду.

В приложении 2 приведено решение задачи стабилизации положения равновесия системы, описывающей движение вертолета, методом виртуальных выходов.

Основные результаты диссертационной работы

1. Получены новые локальные условия существования квазиканонического вида.

2. Разработаны алгоритмы преобразования к регулярному квазиканоническому виду для систем со скалярным и векторным управлением, ориентированные на применение методов компьютерной алгебры.

3. Метод виртуальных выходов распространен на класс аффинных систем с высоким индексом (мультииндексом) приводимости.

4. Разработан программный комплекс quasiPack, позволяющий автоматизировать типовые задачи, возникающие при преобразовании аффинных систем с управлением к квазиканоническому виду.

5. Для системы уравнений, описывающей движение вертолета, с помощью разработанного программного обеспечения произведен поиск максимальных индексов приводимости и преобразование к квазиканоническому виду и стабилизация положения равновесия.

Основные результаты диссертации отражены в работах

1. Ткачев С.Б., Шевляков A.A. Преобразование аффинных систем со скалярным управлением к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2013. №1. С. 3 - 16.

2. Ткачев С. Б., Шевляков А. А. Стабилизация аффинных систем с высоким индексом приводимости к квазиканоническому виду // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон, журн. 2012. №9. URL: http://technomag.edu.ru/doc/467824.html (дата обращения: 02.02.13).

3. Шевляков A.A. Преобразование аффинных систем к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ «Станкин». 2012. №1. С. 55 - 59.

4. Шевляков A.A. Вычисление ранга функциональной матрицы // Наука и образование [электронный ресурс]. 2011. № 10. URL: http://technomag.edu.ru/ doc/243762.html (дата обращения: 01.09.2012).

5. Свидетельство о государственной регистрации программы №2012617543 quasiPack / С.Б. Ткачев, A.A. Шевляков. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 21 августа 2012 г.

6. Шевляков A.A. Дифференциально-геометрические методы в теории управления // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Труды научно-технической конференции с международным участием. М., 2010. С. 42 - 43.

7. Кондрашова А.Д., Шевляков A.A. Создание моделирующего комплекса, разработка алгоритмов управления нелинейными динамическими системами и их применение к задачам стабилизации заданного положения вертолета в пространстве в режиме висения

// Управление, информация и оптимизация: Труды Всероссийской молодежной летней школы. Переславль-Залесский, 2009. С. 50.

8. Шевляков A.A. Приведение уравнений гидроцилиндра к обобщенной нормальной форме и стабилизация положения поршня

// Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XI Международной конференции им. Е.С. Пятницкого. М., 2010. С. 434 - 436.

9. Ткачев С.Б., Шевляков A.A. Квазиканонический вид аффинной системы с векторным управлением и задача стабилизации вертолета // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XI Международной конференции им. Е.С. Пятницкого. М., 2010. С. 392 - 393.

10. Шевляков A.A. Стабилизация неминимально-фазовых аффинных систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XII Международной конференции им. Е.С. Пятницкого. М., 2012. С. 343.

11. Ткачев С.Б., Кондрашова А.Д., Шевляков A.A. Стабилизация беспилотного вертолета методом виртуальных выходов // Системный анализ и информационные технологии: Труды Международной научно-технической конференции. Звенигород, 2009. С. 17.

12. Ткачев С.Б., Шевляков A.A. Оценка нулевой динамики неминимально-фазовых аффинных систем // Управление в технических системах: Труды конференции с международным участием. СПб., 2010. С. 48 - 51.

13. Ткачев С.Б., Шевляков A.A. Алгоритм преобразования системы со скалярным управлением к квазиканоническому виду // Моделирование нелинейных процессов и систем: Труды Международной научной конференции. М., 2011 С. 307.

Подписано к печати 01.04.13. Заказ №224 Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 (499) 263-62-01

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

На правах рукописи

04201356164

Шевляков Андрей Анатольевич

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННЫХ СИСТЕМ К КВАЗИКАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ И ПОСТРОЕНИЕ МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление

и обработка информации (информатика, машиностроение)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Ткачев Сергей Борисович

Москва, 2013

Оглавление

стр.

ВВЕДЕНИЕ ............................................................4

1. СИСТЕМЫ СО СКАЛЯРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ..........10

1.1. Квазиканонический вид аффинной системы..............10

1.2. Условия существования квазиканонического вида .... 12

1.3. Локальные условия существования квазиканонического вида............................................................13

1.4. Алгоритм преобразования к квазиканоническому виду . 19

1.5. Проблема оценки ранга функциональной матрицы ... 29

1.6. Алгоритм исследования ранга функциональной матрицы 32

2. СИСТЕМЫ С ВЕКТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ..............41

2.1. Нахождение мультииндекса приводимости................43

2.2. Алгоритм преобразования к квазиканоническому виду . 47

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КВАЗИКАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ....................................................52

3.1. Программный комплекс quasiPack..........................52

3.2. Преобразование к квазиканоническому виду модели перевернутого маятника на тележке..........................53

3.3. Преобразование модели движения вертолета..............58

4. ПОСТРОЕНИЕ МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ АФФИННЫХ

СИСТЕМ............................................................71

4.1. Квазиканонический вид и нормальная форма............71

ч 4.2. Построение минимально фазовых систем со скалярным

управлением в случае высокого индекса приводимости . 75 4.3. Построение минимально фазовых систем с векторным управлением в случае высокого однородного мультииндекса приводимости..........................................86

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ........................96

ЛИТЕРАТУРА ........................................................97

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА С^иА81РАСК............................................103

д 1. Вычисление ранга функциональной матрицы............103

стр.

1.1. Функция calcRank......................................103

1.2. Функция numZeroRows................................104

2. Вычисление коммутатора векторных полей..............104

2.1. Функция adjoint........................................104

3. Анализ инволютивности распределений..................106

3.1. Функция checklnvolutivity............................106

3.2. Функция involutiveClosure............................107

4. Преобразование к квазиканоническому виду..............107

4.1. Функция transIndMult................................107

4.2. Функция changeCoords................................108

4.3. Функция quasiCanCoordChange......................109

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СТАБИЛИЗАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ ВЕРТОЛЕТА ............................................................111

1. Линеаризация обратной связью............................113

2. Метод виртуальных выходов................................115

3. Результаты моделирования ................................119

Введение

Актуальность темы. Один из подходов к решению задачи управления нелинейной динамической системой основывается на преобразовании системы к специальному виду, для которого метод решения соответствующей задачи управления известен. Примером являются системы канонического вида [1,6,9], которые с помощью линеаризации обратной связью можно преобразовать в линейную систему, записанную в канонической форме Бруновского [31].

В работах [7,9] вводятся понятия канонического и квазиканонического вида. Условия приводимости к каноническому виду хорошо известны [6], однако не всякую аффинную систему можно преобразовать к этому виду. Поэтому среди аффинных систем выделяют системы, которые преобразуются к квазиканоническому виду [7]. Такие системы содержат подсистему, которая линеаризацией обратной связью преобразуется в каноническую форму Бруновского, и подсистему общего вида.

Основные теоретические положения о преобразовании в некоторой открытой области аффинных систем со скалярным управлением к квазиканоническому виду приведены в [7], а с векторным управлением — в [6].

Представляет интерес получение различных локальных условий существования требуемых преобразований, а также условий, при выполнении которых квазиканонический вид имеет специальные свойства.

Близким по смыслу к понятию квазиканонического вида является понятие нормальной формы [40] аффинной системы. Преобразование к нормальной форме также используется для решения задач управления аффинными системами. Чтобы получить нормальную форму аффинной системы в окрестности некоторой точки нужно указать специальную функцию — выход системы, для которой в этой точке определена относительная степень в скалярном случае или векторная относительная степень в случае векторного управления. Среди систем в нормальной форме выделают удовлетворяющие условию минимальной фазово-сти. Получение выходов, относительно которых система является минимально фазовой, является важной задачей, так как для минимально-фазовых систем способы решения задачи стабилизации положения равновесия известны.

В работах [28,54] предлагается использовать линеаризацию по части переменных, соответствующих системе, определяющий нулевую динамику, в окрестности положения равновесия и решать задачу стабилизации на основе анализа свойств линеаризованной системы. Ограниченность данного подхода связана с тем, что линеаризованная система не всегда отражает свойства исходной. Для неминимально фазовых систем, у которых неминимальная фазовость является "слабой", в работе [38] предлагается строить для исходной системы аппроксимацию, которая будет минимально фазовой, и решать задачу стабилизации на основе этой аппроксимации.

В работах [46,52] развивается идея построения нового выхода, называемого статически эквивалентным, относительно которого аффинная система оказывается минимально фазовой, а решение задачи стабилизации заданного значения нового выхода дает решение задачи стабилизации заданного значения исходного выхода.

В рамках теории плоскостности рассматривается вопрос о поиске нового выхода [35,36], обеспечивающего минимальную фазовость аффинной системы, рассматриваемой в пространстве состояний, расширенном за счет производных от управления. При реализации этого подхода как правило встречаются значительные технические трудности. Кроме того, отсутствуют достаточные условия, позволяющие определить количество производных от управления, которые следует принять в рассмотрение.

Для неминимально фазовых аффинных систем, нормальная форма которых имеет специальный вид, построение стабилизирующего управления возможно методом обратного обхода интегратора [12,47].

В [49] по части переменных нормальной формы на фиксированном отрезке времени строится программная траектория, и на основе этой траектории формируется стабилизирующая обратная связь по всем переменным. Отметим, что полученные в работе необходимые и достаточные условия существования требуемой траектории являются достаточно обременительными.

Примеры решения прикладных задач, сводящихся к задаче стабилизации неминимально фазовых систем, можно найти в [42,53].

Одной из интересных идей, обсуждаемой различными авторами, является идея нахождения новых выходов аффинной системы, относительно которых система будет минимально фазовой [11-13,28,46,52]

или иметь другие требуемые свойства. Однако до настоящего времени проблема поиска новых выходов, обеспечивающих минимальную фазовость, остается в общем случае нерешенной.

А.П. Крищенко, Д.Ю. Панфиловым и С.Б. Ткачевым в работах [10,11,13] предложен метод виртуальных выходов, позволяющий для аффинных систем находить новые выходы, которым соответствует нормальная форма с асимптотически устойчивой нулевой динамикой.

Знание таких выходов позволяет строить стабилизирующие обратные связи методами, известными для минимально фазовых систем. Если такой выход найдется, то для построения стабилизирующей обратной связи аффинную систему с этим выходом в окрестности положения равновесия следует преобразовать к нормальной форме и для полученной нормальной формы записать стабилизирующую обратную связь. Поскольку при невырожденных гладких заменах переменных локальная асимптотическая устойчивость положения равновесия замкнутой стационарной системы сохраняется, полученная обратная связь, записанная в исходных переменных, будет стабилизирующей.

В работах [10,11,13] рассматривались системы с относительной степенью выхода 1 и 2 и векторной относительной степенью (1,..., 1) и (2,..., 2). Представляет интерес получение обобщения на случай относительной степени выхода больше двух для систем со скалярным управлением и аналогичный результат для систем с векторным выходом.

Современные системы компьютерной алгебры (CAS, computer algebra system) позволяют в значительной степени автоматизировать процесс проверки условий существования преобразования к каноническому и квазиканоническому видам, в связи с чем представляет интерес вопрос о создании процедур проверки необходимых и достаточных условий существования требуемого преобразования, а также процедур нахождения соответствующей замены переменных и квазиканонического вида.

Системы компьютерной алгебры начали применяться в решении задач нелинейного управления в 80-90 годах [40]. Эти направления получили названия CACSD (Computer Aided Control Systems Design) и CACE (Computer Aided Control Engineering). Существуют пакеты программ, предназначенные для решения задач управления нелинейными

системами (стабилизации положения равновесия путем преобразования к каноническому виду).

В рамках исследования использовались системы Мар1е и МАТЬАВ. Выбор этих систем обусловлен тем, что МАТЬАВ достаточно широко распространен, а Мар1е предоставляет обширные возможности для символьных вычислений.

Целью работы является разработка теоретических основ и алгоритмов преобразования аффинных систем со скалярным и векторным управлением к квазиканоническим видам, а также распростанение метода виртуальных выходов на аффинные системы с высоким индексом приводимости.

Задачами исследования являются:

— получение условий существования квазиканонического вида для аффинных систем;

— создание алгоритмов преобразования стационарных аффинных систем к квазиканоническим видам, ориентированных на использование систем компьютерной алгебры;

— получение условий существования виртуальных выходов, относительно которых система с высоким индексом приводимости является минимально-фазовой;

— исследование преобразуемости к квазиканоническому виду моделей технических систем.

Методы исследования. В диссертации применяются методы математической теории управления, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и дифференциальной геометрии.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. локальные условия существования квазиканонического вида для аффинных систем со скалярным управлением;

2. алгоритмы преобразования к регулярному квазиканоническому виду для аффинных систем со скалярным и векторным управлением;

3. распространение метода виртуальных выходов для аффинных систем со скалярным и векторным управлением, имеющих высокий индекс (мультииндекс) приводимости;

4. преобразование к регулярному квазиканоническому виду и стабилизация положения аффинной системы, описывающей пространственное движение вертолета.

Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами и результатами расчетов.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что теоретические результаты доведены до конструктивных методов, позволяющих решать задачи преобразования к квазиканоническим видам, а также в сведении задачи стабилизации класса неминимально-фазовых аффинных систем к задаче, для которой способ решения известен (линеаризация обратной связью). Разработан и зарегистрирован программный комплекс quasiPack. Комплекс представляет собой набор процедур, реализованных в среде Maple, и предназначен для автоматизации решения задач, возникающих при преобразовании систем к квазиканоническому виду (свидетельство о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ №2012617543 от 21 августа 2012 г.)

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на III Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" (Звенигород, 2009), I традиционной Всероссийской молодежной летней школе "Управление, информация и оптимизация" (Переславль-Залесский, 2009), XI Международной конференции им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2010), конференции "Управление в технических системах" (Санкт-Петербург, 2010), II Международной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем" (Москва, 2011), XII Международной конференции им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2012), III традиционной Всероссийской молодежной летней школе "Управление, информация и оптимизация" (Звенигород, 2012). Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №09-07-00486, №1107-00329, проекта 2.1.1/227 аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (2009 - 2011 гг.), а также Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.В37.21.0370).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 научных статьях [18.22-24] в журналах из Перечня ведущих научных журналов и 8 тезисах конференций [5,14-16,21,25-27].

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и двух приложений. Работа изложена на 123 страницах, содержит шесть иллюстраций. Библиография включает 54 наименования.

1. Системы со скалярным управлением

1.1. Квазиканонический вид аффинной системы

Рассмотрим аффинную систему со скалярным управлением

х = А(х) + В(х)и,

(1.1)

где х е мп, иек1, А(х) = Мх),..., ап(х))т, В(х) = (Ьг(х),..., Ьп(х))т, аг(х), Ьг(х) Е С°°(Г2), О, — открытое множество, содержащее положение равновесия х = 0, причем А(0) = 0, В(0) Ф 0.

Пусть система (1.1) в области преобразуется к виду

г\ = ¿2, • • •) ¿г-1 = ^г)

где 2 = (¿1... 2Г)Т, г € Мг, Г] = (77Ь ... ,Г]П-Г)Т,Г] е Мп Г, =

= (91(2, Г])У, 77) = (рх(2;, 77),... ,рп-г{г, г)))т.

Указанный вид при г < п называют квазиканоническим видом [7], а при г = п — каноническим видом [1] системы (1.1). Число г называют индексом приводимости.

Систему (1.2) квазиканонического вида называют регулярной в точке (г°,77°), если коэффициент при управлении д(г,г}) не обращается в точке (2°,77°) в ноль.

Говоря о том, что в области О, стационарная аффинная система преобразуется к стационарной системе того или иного вида, предполагают [6], что существует диффеоморфизм Ф : —> Ф(Г2), который переводит траектории одной системы в траектории другой системы, соответствующие одним и тем же управлениям.

Пусть замена переменных (г, г/) = Ф(х), задающая преобразование системы (1.1) к квазиканоническому виду (1.2), выбрана так, что Ф(0) = (0,0). Тогда точка (2,77) = (0,0) будет положением равновесия системы (1.2). Если квазиканонический вид регулярен в этой точке, а система (1.2) является минимально фазовой [40,43], то управление

¿г = /(2,77) + д{г,т))щ 77 = ф,77) +р(г,г])щ

(1.2)

(1.3)

и

обеспечивает локальную стабилизацию положения равновесия (г, 77) = = (0,0).

Удобным для анализа свойств аффинных систем является аппарат дифференциальной геометрии. В рамках дифференциально-геометрического подхода системе (1.1) на области О, можно взаимно однозначно сопоставить гладкие векторные поля

п я п я

г=1 1 г=1 1

Напомним, что для гладкой функции ф{х) определена производная этой функции по векторному полю [6]. Например, производная функции ф по векторному полю А, записанная в координатах х} имеет вид

Лф(х) = ЕГ=1

Если в замене переменных (2,77) = Ф(ж) координатные функции VI = Vl{x)■! • • •) Vn-r = Vn-r{x) выбраны таким образом, что

Вг)г(х) = 0, г = 1 ,п — г, (1.5)

то система (1.2) в переменных г, 77 примет вид

¿1 = • • • , 1 —

2г = /(г,г})+д(г, v)u, (1.6)

V = Ф,^),

который будем называть специальным квазиканоническим видом. Такой вид более удобен для анализа свойств системы.

Коммутатором гладких векторных полей X и У называют [6] векторное поле [X, У], координаты которого можно вычислить через координаты векторных полей Х{х) и У(х) по следующей формуле

Зададим последовательность коммутаторов векторных полей А и

В:

ас!к/гВ = [АМаЩ, к >

Отметим, что вычисление коммутаторов легко реализуется средствами компьютерной алгебры.

Семейство гладких векторных полей ,..., Хк, определенных в области О, порождает в гладкое распред