автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.09, диссертация на тему:Совершенствование трубогибочного производства предварительным деформированием сечения заготовок

На правах рукописи

МАЛЬЦЕВ ДЕНИС НИКОЛАЕВИЧ

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТРУБОГИБОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ ДЕФОРМИРОВАНИЕМ СЕЧЕНИЯ ЗАГОТОВОК

05.02.09 - Технологии и машины обработки давлением

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

I г МАЙ 2014

Орел-2014

005548740

005548740

Работа выполнена ФГБОУ ВПО «Госуниверситет УНПК».

Вдовин Сергей Иванович

доктор технических наук, профессор, профессор ФГБОУ ВПО

«Госуниверситет - УНПК»

Сосенушкин Евгений Николаевич

доктор технических наук, профессор, профессор ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН»;

Шпунькин Николай Фомич

кандидат технических наук, профессор, профессор ФГБОУ ВПО МГМУ «МАМИ»;

ФГБОУ ВПО «Тульский

государственный университет»

Защита состоится « 10 » июня 2014 года в 14.00 час. на заседании диссертационного совета Д212.182.03, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Госуниверситет-УНПК» по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, д. 29, ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке на сайте ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» по адресу: http://gu-unpk.ru

Автореферат разослан « 24 » апреля 2014 года.

Научный руководитель -

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

Ученый секретарь диссертационного совета

у "Борзёнков Михаил Иванович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гибка трубы сопровождается искажением сечения, отрицательно влияющим на работоспособность трубопровода. Применение дорна, поддерживающего стенку трубы изнутри, усугубляет ее утонение. Придание участку прямой заготовки обратной овальности может компенсировать искажение сечения при гибке, однако применение такой технологии затруднено не изученностью деформированного состояния трубы на каждом из этапов формоизменения.

Традиционным средством преодоления подобных "белых пятен" является решение вариационной задачи в деформациях, с использованием координатных (по Ритцу) функций перемещений. Для достоверного вариационного анализа деформаций трубы требуется связать координатные функции с уравнениями статики. Также нуждается в уточнении форма переходного участка изгибаемой трубы с переменной -от нуля до обратной величины радиуса копира - кривизной оси. Длина названного участка, влияющая на утонение стенки, зависит от размеров и компоновки инструментов гибки, однако известные аналитические выражения этой зависимости не учитывают сдвиговый компонент прогиба оси трубы.

Таким образом, совершенствование трубогибочного производства предварительным деформированием сечения заготовок является актуальной темой исследования.

Работа выполнялась на кафедре «Автоматизированные процессы и оборудование бесстружковой обработки материалов» Госуниверситета — УНПК в рамках проекта «Метод вариационных оценок деформаций пластического изгиба труб» аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)".

Степень разработанности темы: Отечественными и зарубежными исследователями (Ю.Н. Алексеев, Б.С. Билобран, Е. Reissner, М.М. Seddeik, К.А. Stelson, L.C. Zhang и др.) получены вариационные оценки овальности изогнутых труб, оказавшиеся весьма различными из-за недостаточных ограничений на выбор координатных функций. Придание овальности сечениям прямой трубы, подлежащей изгибу, в изученных публикациях не рассматривается. Опубликованное уравнение изогнутой оси трубы, нагруженной поперечной силой, учитывает только поворот сечений, игнорируя сдвиги.

Цель работы — уменьшение овальности сечения трубы, изогнутой по круглому копиру без дорна и наполнителя.

/

Объект исследования - процессы деформирования плитами сечения прямой трубы и последующей гибки по круглому копиру.

Предметом исследования являются размеры сечения прямой трубы, деформированной плитами, и утонение стенки изогнутой трубы.

Задачи исследования

- выполнить теоретическое исследование процесса деформирования сечения прямой трубы плитами с вогнутой рабочей поверхностью;

- разработать математическую модель изгиба трубы по круглому копиру с учетом сдвигов сечений на участке свободного деформирования;

- усовершенствовать инженерный метод вариационной оценки деформаций, обеспечив сходимость решения задачи и учет вариации работы внешних сил;

- создать упрощенные методики расчета деформирования плитами сечения прямой трубы и утонения стенки при последующей гибке по круглому копиру.

Методология и методы исследования: системный подход к решению сформулированных задач в напряжениях и в деформациях с применением вариационного метода Ритца и опытного деформирования труб на испытательной машине МР200 и экспериментальной гибочной установке с измерением деформаций по изменению сетки, нанесенной лазерным прибором МИНИМАРКЕР 2.

Научная новизна работы

- теоретическое исследование деформирования сечения прямой трубы позволило связать изменение его высоты и ширины системой уравнений, удовлетворяющих условиям равновесия;

- математическое моделирование изгиба трубы на участке свободного деформирования с применением интерполирующих полиномов прогиба трубы, вызванного поворотом и сдвигом сечений, повысило точность уравнения изогнутой оси и вариационной оценки деформаций;

- вариационная оценка деформаций с использованием выборочных условий статического равновесия обеспечила сходимость и повышенную точность решения задачи при минимальном числе варьируемых параметров;

- использование варьируемого отношения напряжений гибки трубы позволило получить упрощенную методику расчета толщины стенки.

Достоверность полученных результатов обеспечена:

- корректной постановкой задач и обоснованными допущениями;

- сходимостью решения вариационной задачи;

- согласованием результатов анализа процесса различными методами и их проверкой экспериментальными средствами.

Теоретическая значимость работы заключается в:

- применении условия равенства нулю суммарного изменения угла наклона касательной к средней линии деформируемого сечения прямой трубы для преодоления статической неопределимости пластического напряженно-деформированного состояния;

- улучшении сходимости вариационной оценки пластических деформаций дополнением кинематических ограничений, накладываемых на координатные функции перемещений, выборочными условиями статического равновесия;

- учете вариации работы внешней силы для оценки деформаций пластического изгиба трубы благодаря варьированию коэффициента пропорциональности напряжений.

Практическая ценность работы состоит из:

- определения рабочего перемещения инструмента деформирования прямой трубы, обеспечивающего необходимое увеличение ширины сечения;

- установления зависимости длины переходного участка трубы при изгибе обкатыванием по круглому копиру от размеров инструмента и его компоновки, а также от показателя степенной функции упрочнения материала;

- установления зависимости утонения стенки трубы от длины переходного участка при изгибе по круглому копиру и от коэффициента цилиндрической анизотропии материала.

Положения, выносимые на защиту:

- преодоление статической неопределимости задачи свободного деформирования сечения прямой трубы из упрочняемого материала условием равенства нулю интеграла изменения кривизны стенки в пределах четверти периметра;

- применение выборочных условий равновесия для корректировки коэффициентов координатной функции радиального перемещения для вариационной оценки размеров прямой трубы, сжимаемой плитами по высоте сечения;

- применение варьируемого соотношения напряжений для оценки изменения толщины стенки трубы, изгибаемой по копиру;

- теоретически установленная знакопеременная кривизна оси трубы на участке свободного изгиба трубы по круглому копиру;

- методика инженерного расчета размеров деформированного сечения прямой трубы из жесткопластического материала с максимальным ограничением размеров очагов пластической деформации.

Реализация работы. Результаты выполненных исследований внедрены в учебный процесс подготовки бакалавров по направлению 150400 «Технологические машины и оборудование» постановкой лабораторной работы.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международных конференциях, а также на научных семинарах.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 трудов, в том числе 4 статьи в рецензируемых изданиях перечня ВАК; получен 1 патент Российской Федерации на изобретение. *

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, библиографического списка Текст диссертации изложен на 124 страницах машинописного текста, иллюстрирован 41 рисунком, содержит 6 таблиц. Библиографический список включает 52 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В разделе 1 содержится аналитический обзор исследований гибки труб, констатировано отсутствие не только общепринятой инженерной теории этого процесса, но и сформировавшегося подхода к ее разработке. Математическое моделирование технологического изгиба труб эволюционирует от простейшей схемы чистого изгиба к более адекватным схемам изгиба поперечной силой; те и другие малопригодны для практики: первые недостоверны, а последние - предназначенные для компьютерной реализации — сложны в программировании. Разрозненные обращения к проблеме овализации труб объединяет использование принципа минимума полной потенциальной энергии и слабо ограниченный кинематическими условиями выбор координатных функций, аппроксимирующих форму деформируемого сечения. В изученных публикациях не рассматривается придание трубчатым заготовкам обратной овальности, также отсутствует учет сдвигов сечений при гибке поперечной силой, позволяющий существенно уточнить форму переходного участка трубы и расчет утонения.

Автор выражает глубокую благодарность кандидату технических наук, доцету Т.В. Федорову и учебному мастеру Н.В. Татар ченкоку за оказанную помощь при выполнении работы

В разделе 2 представлена математическая модель деформирования сечения прямой трубы, сжимаемого по высоте инструментами в виде плит с вогнутой рабочей поверхностью. Задача решается на основе равновесия внешних и внутренних сил и относится к разряду статически неопределимых, для получения разрешающих уравнений потребовалось связать внутренний момент М с изменением кривизны стенки трубы Д£ и наложить на эту величину корректное кинематическое ограничение.

Деформируемый материал принят жесткопластическим, упрочняющимся по степенному закону о"5 = Ае\. Относительное удлинение оси трубы и ее продольного волокна принимается равным нулю, формоизменение всех поперечных сечений, схематично представленное на рисунке 1, одинаково.

а б

Рисунок 1 — Исходное сечение трубы (а) н его средняя линия после деформирования плитами с вогнутой поверхностью (б) Диапазонам 0<«<а1 и а, < й < л/2 соответствуют дуги исходной линии, получившие в результате данной операции положительное и отрицательное приращения кривизны В пределах а2<а< ж/2 Д£ = 1/7? - 1/г; граница конечного положения этой дуги обозначена угловым размером /?2, к ней приложена внешняя сила Р.

При 0 < а < а2 величина связана с погонным моментом формулой

±АГ+2 ГМТ

—1 Учитывая, что М = О при

М =

S(n + 2)

Я

М2=М\

имеем: Р = -

м,

а = aj и обозначая

—.--М = M1+rP(cosa-cosa1). То, что

r(cosa2 -cosa,)

условия статики деформированного сечения заданы на его исходной форме - вынужденная мера, вносящая погрешность (занижение плеча силы Р).

Из приведенных выражений Ми Р следует:

= sign(a, - a)V3

| М2+ rP(eos а - eos a2} ^"„^

, где т = 1 /п.

Неизвестная координата ai определяется из уравнения

7

отражающего равенство нулю суммарного изменения угла касательной к средней линии сечения. Смещение _ус нейтральной линии, вызываемое силой Р, приблизительно равно ±/2cosa/[4r(l - cosa2)] и имеет тот же знак, что и Д£

Задавая значением а2 размер участка сечения, прилегающего к инструменту, решаем данное уравнение в программе MathCAD относительно неизвестной cti методом подбора. В развернутой записи уравнения диапазон интегрирования разделен на три части значениями ах и а2, для каждой из которых применяется соответствующая формула Д£

Размеры Н=\{т + А4] sinßdß и 5={(г+А<Г) C°Sßdß

также подсчитываются с применением различных формул Д£ Приращения размеров: отрицательное АН = Н-г и положительное AB = В — г зависят от заданного угла а2, относительной толщины стенки трубы t/r и показателя п функции упрочнения материала, рисунок 2.

-АН/А В 1,30

1,25

1,20

1,15

0,15

Рисунок 2 — Изменение размеров сечения трубы при R/r = 2, <*2 = 1,1

Увеличению отношения -АН/АВ способствует сжатие периметра средней линии — как показывает расчет и подтверждает практика — минимальное у тонкостенных труб. Слабо

упрочняющемуся материалу,

нержавеющей стали (п = 0,239) соответствуют большие отношения — АН/АВ, чем сплавам на основе титана (и = 0,1).

В третьем разделе описан

альтернативный подход к определению размеров Н и В деформированного сечения трубы. Он заключается в априорном задании кинематически допустимых функций перемещений и варьировании значений их параметров V, на основе минимума полной потенциальной энергии системы. В теории обработки металлов давлением принят упрощенный метод вариационной оценки деформаций, согласно

ему разрешающие уравнения

2 Г.

rs - касательное материала;

с f

напряжение

дГ2

dv~ 8v~~ содеРжат:

текучести жесткопластического

ГиГс- интенсивность деформаций сдвига и ее среднее значение; W — погонную величину работы внешних сил; F — площадь сечения трубы.

Предлагаемая функция радиального перемещения точек средней линии сечения и, = v,r/¡(a)+vbr/b(a) содержит варьируемый Vi и заданный vb

параметры, а также функции /ь(а)= cos2 а и /,(а) = -sin2"a.

Коэффициенты sj, в сумме равные единице, призваны обеспечить выполнение статических ограничений, их значения определяются подбором.

Изменение кривизны средней линии сечения трубы

f j2 \ а и,

——г + и, симметрично относительно границ квадрантов, где

и[ = О, и" = 0. Равенство нулю перемещения по периметру сечения при a = ±7г/2 обеспечивает функция

= р(р ~ + A')í/a + v2rf2(a) с варьируемым параметром v2

при /2 («) = sin a cosa и компонентом

А'Л

vb f s, 3 5 35 —+ v, — + -s7 +-í, +-i

2 4 2 8 16 128

. Последний компенсирует отличие от

нуля при а = ±я/2 интеграла |мг£/а 5 содержащегося в функции иа.

Интегрирование условия постоянства объема вида -гЕ-+ —= ——г-

ар р раа

при = 0 с граничным условием мр|р=г=мг определяет радиальное

перемещение и - вместе с функцией иа —деформации, содержащиеся в выражении Г.

Работа внешних сил IV = 4Р\АН], путь |ДЯ| силы Р, приложенной к V* сечения трубы единичной длины, равен -VIг. Обозначая моменты М0 = М\а.0, М,п = М\а=яП и приравнивая каждый т5/2/2, выражаем Р = т//[г( 1 + Уь)].

Для придания компактности разрешающим уравнениям предлагается эффективный подход, получивший название объектно-ориентированного. Объединяя слагаемые I* согласно принятым классам объектов, получаем

jГ dF = + К2у2 + Кпу1 + + К12у\ + К0) с численными значениями К0 и коэффициентов при неизвестных. Дифференцируем данное

выражение по VI и и находим их значения из разрешающей системы уравнений.

Коэффициенты ^ функции перемещения иг, первоначально заданные произвольно, подлежат корректировке по результатам проверки выборочных условий равновесия, например: (Ма - М90)/[(М0 - М90)со5а] ~ 1. Выражения

I

ма = \аа(р,а\р-г)ар, а также да(Р,а) = — 2т-е'(Р'а) подлежат

вводу в программу Ма^САБ как пользовательские функции. Проверка приведенного выше условия статики выполнялась при а = 45° и а = 60°. Примеры окончательных результатов приведены в таблице 1. Таблица 1

Выходные данные решения задачи в зависимости от относительной толщины стенки трубы t/r_

t/r s2> s3> $4 -АН/АВ М0; М45; М60; М90 ^45 Кво

0,05 1; 0,3; 0,2; 0 1,114 0,044; 0,005; -0,019; -0,078 0,969 0,962

0,1 1; 0,4; 0,5; 0 1,190 0,256; 0,072; -0,066; -0,399 1,016 1,016

0,2 1; 0; 0; 0,5 1,225 1,843; 0,771; -0,0006; -1,851 1,004 1,002

Отношения -АН/АВ во второй и третьей строках, будучи перенесены на рисунок 2, практически совпадают с графиком для слабо упрочняющегося материала. Значение -АН/АВ, равное 1,114, оказывается существенно ниже графика. По-видимому, выбранная конструкция функции перемещения иг недостаточно адекватна при малой относительной толщине стенки трубы t/r.

В четвертом разделе разработана математическая модель гибки трубы 3 обкатывающим роликом 1 по копиру 2 (рисунок 3) и получена вариационная оценка изменения толщины стенки.

Установившаяся стадия процесса характеризуется

непрерывным увеличением

Рисунок 3 — Примеры наладки инструментов гибки

протяженности участка заготовки, изогнутого на окончательный радиус Ro, и наличием зоны свободного (без контакта с инструментом) изгиба, которая перемещается по заготовке вслед за обкатывающим роликом и имеет стабильную длину. В названной зоне располагается переходный

Рисунок 4 - Схема без учета (а) и с учетом (б) сдвигов поперечных сечений

Точками 0, 1 обозначены границы зоны свободного изгиба; длина интервала 0-1, приблизительно равная аппликате zx точки 1, находится в прямой зависимости от зазора с между заготовкой и роликом в его исходном положении. При достаточно большом зазоре с — порядка 0,2d отношение z\/d > 2, что оправдывает пренебрежение сдвигами сечений. Размеры на схеме и координаты точки 1: уи zj связаны уравнениями Rp cos/3 = R0 cos«?, + У i + 0,5«/ ■+ rp + (hn); Rp sin /? = z, - R0 sin q>x • Rf = R0+c + 0,5 d + rp+(hn); h„- размер планки 4 на рисунке 3. Для жесткопластического материала и функции упрочнения

z,__z,2

cts=A£¡ имеем формулы: У, - + ™ =

Подставляя в уравнения выражения <pt и у\, находим значения неизвестных fiuz\.

Утонение стенки трубы максимально при z\/d —> 0, когда в зоне свободного изгиба перемещение иа затруднено соседними участками заготовки, деформированное состояние близко к плоскому: еа —> 0, ега ~ aJ2.

Вводим варьируемый параметр V! в соотношение напряжений: оа =

ViCTz-

Из условия пластичности при ар = 0 и пренебрежимо малых касательных напряжениях получаем ст2 = ±Sts / -Jl - v, +v,2 . Для не

11

упрочняемого материала вариация работы внешнего момента в зоне свободного изгиба

■ = (р, 1 уОБШааг

£р =

öv, Sv, Из уравнений связи 1 + v, l-2v,

е = —е

напряжении . Принимаем s7

и деформаций следует:

psina

и получаем формулы

2-у,' ° 2 2-у, - ----------------г л

перемещений ир, иа, «г, а также деформаций сдвига.

Значение варьируемого параметра VI находим из уравнения

I

z, 2я 2 ЯП2

Iii

аг2

öv,

pdpdadz +

2ГС dW ts 9v,

рисунок 5.

0,1 0 -0,1

to

Ro/d

= 0

результаты иллюстрирует

2 3 Рисунок 5 — Влияние относительной длины переходного участка: материалы труб — сплавы ВТ1-2 и АМгбМ (пунктир).

Atmin, шах

Приближенную оценку

относительного удлинения е0 оси изогнутого участка заготовки получаем из условия {о-2^ = 0, в котором

площадь сечения ограничена окружностями радиуса г\ = г + 0,5/0 и г2 = г - 0,5/0 с эксцентриситетом

с = 2 —

При

одноосном

2-у,-

напряженном состоянии

жесткопластического материала

(ог = ±-УЗг5) расстояние нейтральной линии от центра радиуса наружной границы сечения приблизительно равно г2/ЯоИ

А/

_ г

= +-

1 + v,

2 3 4 5 Рисунок 6 - Экстремальные изменения толщины стенки трубы в зависимости от относительных значений радиуса гибки при г\!й = 2 и цШ = 4 (пунктир)

Я0 2-у, 2Щ ' Графики на рисунке 6 иллюстрируют рассчитанное согласно данной формуле изменение толщины стенки трубы из стали 20 (и = 0,161) при относительной толщине стенки ¡(/с! = 0,05.

Уточняем форму изогнутой оси переходного участка с учетом зависимости момента внутренних сил от касательного напряжения — ryz. Внешней силе Р и создаваемому ей моменту соответствуют выражения Р = fT^dF и Pz = -jazydF, Задаем три значения радиуса оси в точках

F F

переходного участка: R\ = R0, R2 = 37?0, R3 = 15R0, а также внешнюю силу -относительной величиной Р = P/(t02F) .

Находим деформации ууг из интегрального выражения силы Р и уравнений связи для каждого из заданных радиусов R\, R2, R3. По найденным значениям ууг и формуле М = Pz с подстановкой выражения напряжения az в деформациях подсчитываем моменты М; (/' = 1, 2, 3) в рассматриваемых сечениях и аппликаты точек z, = MJP, i = 1, 2, 3. Выражаем изгибный и сдвиговый компоненты прогиба оси полиномами ул = а^3 + a2z4 + a3z5 и ус =b,z + b2z3 +b3zA +b4z5, где У„=Уп/^; yc=yJz\', z = zlz,.

Принимая 1 / R = у"п, определяем коэффициенты полинома у„ из системы трех выражений его второй производной, отличающихся значениями г. Аналогично находим коэффициенты полинома Ус, приравнивая выражения его первой производной подсчитанным ранее значениям деформации уу2.

Суммирование вторых производных полиномов уп и ус показывает наличие участка оси с отрицательной кривизной, примыкающего к началу координат на рисунке 4. Наличие точки перегиба оси трубы не означает изменение знака деформации ez, которая зависит не от суммарной кривизны оси, а от одного из ее компонентов, равного Уп. Другой компонент - 3?» вызываемый сдвигом сечений, не влияет на длину материального волокна трубы.

В пятом разделе разработаны инженерные расчеты деформаций трубы на основе изложенных выше исследований. Предлагаемый технологический процесс предусматривает двухэтапное деформирование трубной заготовки с приданием ее сечениям овальности, компенсирующей последующее изменение формы при изгибе по копиру.

Упрощенный расчет размеров % сечения трубы из жесткопластического не упрочняемого материала при деформировании вогнутыми плитами основан на неизменности кривизны значительной части стенки, рисунок 7.

Участок стенки с размерами Ли ¡3 приобрел форму инструмента, соседний жесткий участок сохранил исходный радиус и длину г(а2 -а]). К месту их стыковки приложена внешняя сила, здесь образуется пластический

шарнир.

На участке свободного изгиба с угловым размером а.\ и переменным изменением кривизны средней линии Д£ сила Р вызывает

смещение с«^/(4г) нейтральной поверхности деформаций и равна

2соасо$а. Соответствующее увеличение толщины стенки А/ = с/0А£.

а,+у

Рисунок 7 - Расчетная схема и эпюра изгибающего момента (пунктир)

Исходя из м '■

А + а/)2

2>/з

Лр]2

2аЛ)

с1М а,Ш„

лД£ у/з

ам

Поскольку М =М0-/•/>(!-сова) и -^ = -гР$та,

уравнение

сг^0+с10А%)с10 _

¿а

л/3

—гРъта

Узр

V2CTs'0y

получаем откуда

На границе пластического и жесткого участков Д£ = 0, следовательно,

а, - агссоБ

1

4г

2 л

Угол у поворота жесткого участка стенки трубы определяется из

уравнения Д£ « -

¿4

2 I как , гУЙ гаа

^"г I ас 4г

По заданному А£0 - приращению кривизны средней линии при а = О и найденному у подсчитываем р = у\ — -1 ] и х2 = К эт /?. Зная углы и «2

= 0,57г — Р - у, находим длину / и угол <р отрезка прямой, соединяющего крайние точки 1 и 2 дуги г(а2— а^). Абсцисса точки 1: Х\ = х2 + Ып(<р + у); размер В на рисунке 7 принимаем равным х\ + п[1 - соз(а] + у)]. Условно

принятый радиус средней линии на участке свободного изгиба гх — га\!{а\ + 3')•

Так же элементарно подсчитывается другой размер на рисунке 7 Н = rx sin(a, + у) + / cos(^ + у) + /?(l - cos /?).

Результаты расчета размеров В и Н иллюстрируют графики на рисунке 8.

ЛВ/г

-ДН/АВ

0,20 0,15 0,10 0,05

xj

0,5

1,0

1,5 а

2,0

t/r ОД 0,1

гДЕо

1Д0 1,15 1,10 1,05

—V

\

/

t/r ОД 0,1

0,05

0,1

0,15 б

од

ДВ/г

Рисунок 8 - Связь параметров деформируемого сечения трубы

Графическое представление соотношений - АН/АВ на рисунке 8, б отличается от вариационной оценки в начале деформирования на 10 ...15%, а затем отличие уменьшается. Данные экспериментального деформирования труб из стали 20 с размерами: d = 30 мм, t = 3 мм также близки к результатам расчетов.

Для расчета утонения стенки трубы, изогнутой по схеме на рисунке 4, применяем метод вариационной оценки деформаций, разработанный в предыдущем разделе. Анизотропия материала учитывается

коэффициентом ц = -

ZL + 1

. Здесь £р и еа означают деформации по

толщине и ширине образца, вырезанного из трубы вдоль ее оси, при растяжении. Из уравнений связи напряжений и деформаций с учетом <та = У1<ти а также условия не сжимаемости материала и формулы еъ = р^та/я

имеем: £,

_ -psin« (1 + v,X1-/y) _ -psin« //-v,

Л 1-у,// ' Я 1-У 1Уи

Интегрируя эти формулы, выражаем перемещения щ, мр, иа, а затем деформации ура, уш, угр. Принимаем координату р равной ее среднему значению г. Соответственно изменяется вариационное уравнение:

¥? л л 2 Г°д1Г « г/-с1асЬ + —-= 0.

н зу, Г, ^ '

где Г2 =4

е2а + 2цЕаег + Е] +(гД + ^ + у

■¿)

Рассчитываемое отношение деформаций:

_-(1 + у,Х1~Л*)

находится в сильной зависимости от показателя анизотропии /л, рисунок 9.

0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 ц 0,4 0,5 0,6 0,7 0,4 0^ 0,6 0,7

а б в

Рисунок 9 — Соотношение деформаций изгиба труб из стали 20 (а), сплава ВТ1-1 (б), стали 12Х18Н9Т (в) при ц/г = 4 и 8 (пунктир

Экспериментальная гибка труб из сплава Д16М с размерами с1 =30 мм, / =1,8 мм выполнялась на лабораторной установке с ручным приводом.

Радиус обвода копира 105 мм ограничивает радиус изогнутой оси трубы величиной ЛУ^/ ~ 4. Изогнутый участок заготовки предварительно сжимали по высоте сечения вогнутым инструментом; степень сжатия варьировали в диапазоне 10... 20%. Увеличение ширины сечения достигало 13,5%. После гибки значения размеров сечения приближались к исходным, в итоге показатель овализации сечения уменьшился примерно в два раза. Фактические и рассчитанные значения толщины стенки трубы отличались на 8%, а показатель овальности сечения, деформированного до гибки, на 20%.

Разработана и защищена патентом Российской Федерации конструкция устройства для гибки труб обкатыванием по копиру с приложением к сечению изгибаемого участка сил сжатия по ширине для уменьшения его искажения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация является научно-квалификационной работой, в которой содержится решение задачи, имеющей существенное значение для теории и практики гибки труб - компенсирование искажения сечений заготовок при гибке путем предварительного придания им обратной овальности для получения трубопроводов, отвечающих жестким ограничениям искажения проходного сечения и утонения стенки.

В процессе теоретических и экспериментальных исследований получены следующие основные результаты и сделаны выводы:

1. Сформулирована задача свободного деформирования сечения прямой трубы из упрочняемого материала, частично принимающего форму инструмента - плит с вогнутой рабочей поверхностью, дано ее решение в напряжениях, устанавливающее зависимость увеличения ширины сечения ДВ от уменьшения высоты АН. Параметры напряженного состояния стенки трубы связывали с изменением ее кривизны, статическая неопределенность преодолевалась условием нулевого суммарного изменения производной прогиба средней линии сечения.

2. Вариационная оценка соотношения размеров В и Н сечения прямой трубы в начальной стадии деформирования плитами подтверждает достоверность результатов решения данной задачи в напряжениях и отличается от традиционного инженерного подхода к аппроксимации функций перемещений, дополнением кинематических ограничений выборочными статическими, что обеспечило сходимость решения, несмотря на малое число варьируемых параметров, равное двум.

3. Получена вариационная оценка изменения толщины стенки трубы из жесткопластического материала, изгибаемой по копиру при неизменной круглой форме сечения, с приравненным нулю радиальным напряжением стр; в качестве варьируемого параметра принят коэффициент пропорциональности напряжений оа и сг2, что отличает данный подход от других приложений вариационного метода к расчетам пластических деформаций и позволяет адекватно учесть вариацию работы внешних сил.

4. Рассчитанное изменение толщины стенки изгибаемой трубы зависит от установки обкатывающего ролика, определяющей длину участка свободного изгиба гь и показателя степенной функции упрочнения материала п\ увеличение от двух диаметров трубы до четырех сопровождается уменьшением разнотолщинности стенки до полутора раз для слабо упрочняющихся материалов (» > 0,2) и до двух раз для труб из сплава титана (и = 0,1); последние в наибольшей степени подвержены утонению стенки, тогда как трубы из нержавеющей стали 12Х18Н9Т и сплавов алюминия — в наименьшей.

5. Выполнено моделирование участка свободного изгиба заготовки при обкатывании по круглому копиру: прогибы оси, вызванные поворотом и сдвигом сечений, описываются различными полиномами, коэффициенты которых определяются из условий статического равновесия, справедливых для точек оси с окончательным значением радиуса и произвольно заданными — промежуточными. Названные прогибы и их производные связаны с размерами гибочного инструмента системой геометрических уравнений, из которой определяется параметр установки обкатывающего ролика.

6. Учет сдвига сечений на участке свободного изгиба позволил установить следующие факты:

- кривизна оси трубы изменяет знак на некотором расстоянии от обкатывающего ролика, возрастающем с уменьшением плеча внешней силы, вызывающей изгиб;

- переходный участок с переменным радиусом оси Я имеет локальный контакт с копиром, после которого значения Я продолжают уменьшаться, а сдвиги сечений изменяют направление.

7. На основе выполненного математического моделирования и полученных решений вариационных задач разработаны методики инженерных расчетов предварительного деформирования прямой трубы и последующей гибки по копиру. Рассчитанное изменение толщины стенки в большой степени зависит от коэффициента ¡л цилиндрической анизотропии материала труб: с увеличением ц от 0,3 до 0,7 отношения -

уменьшаются примерно в три раза и для слабо упрочняющихся материалов приближаются к 0,2 при длине участка свободного изгиба порядка двух диаметров трубы.

8. Разработанные методики расчета размеров сечения трубы и толщины стенки прошли опытную проверку на трубах из дюралюминия, изгибаемых на лабораторной установке с предварительным приданием овальной формы инструментом с вогнутой рабочей поверхностью. Размеры сечения трубы, предварительно обжатого по высоте, отличаются от рассчитанных ввиду уменьшения периметра средней линии, не учитываемого методикой расчета; отличие показателя овальности при большой степени деформирования достигает 20%. Придание прямой трубе обратной овальности позволило почти вдвое уменьшить итоговую некруглость сечения после изгиба.

Отклонение действительной минимальной толщины изогнутой трубы от рассчитанного значения, не превышающее 8%, объясняется проведением расчета без учета овализации сечения.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИМССЕРТАЦИИ:

1 Мальцев, Д.Н. Поперечный изгиб стенки трубы / С. И. Вдовин, Д. Н. Мальцев, Н. В. Татарченков // XIII Международная конференция «Информационно-вычислительные технологии и их приложения», Пенза. - 2010. - декабрь. - С. 52-54.

2 Мальцев, Д.Н. Пластический изгиб трубы овального сечения / С. И. Вдовин, Д. Н. Мальцев // IV Международная научно-практическая конференция «Системы проектирования, моделирования, подготовки производства и управление проектами САО/САМ/САЕ/РОМ», Пенза. -2010.-апрель.-С. 3-6.

3 Мальцев, Д.Н. Моделирование пластического изгиба трубы с деформируемым сечением / В. Н. Михайлов, Д. Н. Мальцев // IV Международная научно-практическая конференция «Системы проектирования, моделирования, подготовки производства и управление проектами САО/САМ/САЕ/РОМ», Пенза. - 2010. - апрель. - С. 60-63.

4 Мальцев, Д.Н. Исследование влияния смещения дорна на процесс овализации при гибке трубы наматыванием / Т. В. Федоров, Д. Н. Мальцев // IV Международная научно-практическая конференция «Системы проектирования, моделирования, подготовки производства и управление проектами САО/САМ/САЕ/РОМ», Пенза. - 2010. - апрель. -С. 95-98.

5 Мальцев, Д.Н. Изгиб трубы с поперечным сжатием / Д. Н. Мальцев // «Машиностроение и безопасность жизнедеятельности», Москва. - 2010. - выпуск № 7. - С. 126-129.

6 Мальцев, Д.Н. Оценка параметров овальности трубы при деформировании ее плитами / С. И. Вдовин, Д. Н. Мальцев, Н. В. Татарченков // «Кузнечно - штамповочное производство. Обработка материалов давлением». - 2012. - № 2. - С. 13-16.

7 Мальцев, Д.Н. Пластический изгиб трубы с деформируемым сечением / С. И. Вдовин, В. Н. Михайлов, С. А. Москвитин, Д. Н. Мальцев // «Фундаментальные проблемы техники и технологии». - 2010. - № 1. -С. 35 -38.

8 Мальцев, Д.Н. Деформирование круглого сечения прямой трубы / Д. Н. Мальцев // «Фундаментальные проблемы техники и технологии». - 2013. -№ 4. - С. 44-47.

9 Мальцев, Д.Н. Утонение стенки трубы при гибке по копиру / С. И. Вдовин, К. С. Лунин, Д. Н. Мальцев // «Фундаментальные проблемы техники и технологии». - 2013. - №3. - С. 57-61.

10 Пат. 2406584 Российская Федерация, МПК7 В2Ш7/02 Устройство для гибки труб / С. И. Вдовин, Д. Н. Мальцев; заявитель и патентообладатель Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Орловский государственный технический университет" (ОрелГТУ). - №2009103523; заявл. 03.02.09; опубл. 20.12.2010, Бюл. № 35. - Зс.

Подписано к печати 04.04.2014 г. Формат 60x84 1/16. Объем 1,0 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1558

Отпечатано с готового оригинал»макета на полиграфической базе ФГБОУ ВГ10 «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс» 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО - НАУЧНО -ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТРУБОГИБОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ ДЕФОРМИРОВАНИЕМ СЕЧЕНИЯ ЗАГОТОВОК

05.02.09 - Технологии и машины обработки давлением

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель Вдовин Сергей Иванович, д. т. н., профессор

На правах рукописи

04501458594

Мальцев Денис Николаевич

Диссертация

Орел 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................................5

1 Аналитический обзор исследований гибки труб.......................................................8

1.1 Пластический изгиб трубы моментом.......................................................................9

1.1.1 Овализация сечения......................................................................................................9

1.1.2 Изгибающий момент...................................................................................................13

1.1.3 Изменение толщины стенки трубы.......................................................................16

1.2 Технологический изгиб.................................................................................................18

1.2.1 Экспериментальное определение деформаций.................................................19

1.2.2 Теоретические исследования...................................................................................23

1.3 Другие виды изгиба труб..............................................................................................28

1.3.1 Изгиб морских трубопроводов................................................................................28

1.3.2 Сжатие прямой трубы по высоте сечения плитами........................................30

Выводы по разделу и задачи исследования..................................................................32

2. Математическое моделирование деформирования сечения прямой трубы.34

2.1 Постановка задачи...........................................................................................................34

2.1.1 Исходные уравнения...................................................................................................36

2.2 Вывод расчетных формул............................................................................................37

2.2.1 Нейтральная линия изгиба........................................................................................37

2.2.2 Момент внутренних сил............................................................................................37

2.2.3 Точка перехода через ноль момента внутренних сил.....................................39

2.2.4 Размеры деформированного сечения трубы......................................................41

2.2.5 Результаты математического моделирования...................................................43

2.3 Оценка погрешности формулы момента внутренних сил................................46

Выводы по разделу................................................................................................................47

3 Вариационная оценка размеров деформированного сечения прямой трубы49

3.1 Постановка задачи...........................................................................................................49

3.2 Координатные функции перемещений....................................................................50

3.3 Расчетные формулы деформаций..............................................................................53

3.4 Вариационные уравнения.............................................................................................55

2

3.4.1 Вариация работы внешних сил...............................................................................56

3.4.2 Система разрешающих уравнений........................................................................57

3.4.3 Объектно-ориентированный подход.....................................................................58

3.5 Тестирование функции овальности сечения.........................................................60

3.5.1 Моменты внутренних сил.........................................................................................60

3.5.2 Выборочные условия равновесия..........................................................................62

3.6 Результаты решения вариационной задачи...........................................................63

Выводы по разделу................................................................................................................66

4 Математическое моделирование изгиба трубы по круглому копиру..............68

4.1 Постановка вариационной задачи.............................................................................68

4.1.1 Вариация работы внешней силы............................................................................70

4.1.2 Формулы деформаций................................................................................................71

4.2 Решение вариационной задачи...................................................................................73

4.2.1 Расчет изменения толщины стенки трубы..........................................................76

4.3 Геометрическая модель переходного участка......................................................78

4.3.1 Полином изгибного компонента прогиба оси...................................................81

4.3.2 Полином сдвигового компонента прогиба оси.................................................82

4.3.3 Геометрические параметры операции..................................................................84

4.3.4 Параметры изогнутой оси трубы...........................................................................85

4.4 Конечно-элементное моделирование.......................................................................88

Выводы по разделу................................................................................................................91

5 Расчеты гибки труб и предварительного деформирования сечения................94

5.1 Деформирование сечения прямой трубы................................................................94

5.1.1 Область свободного изгиба......................................................................................96

5.1.2 Расчет размеров деформированного сечения....................................................98

5.1.3 Сравнение результатов расчета с данными эксперимента.........................101

5.1.4 Компенсация искажения сечения при гибке....................................................102

5.2 Утонение стенки трубы при гибке по копиру.....................................................105

5.2.1 Учет анизотропии материала.................................................................................105

5.2.2 Рассчитанное и фактическое утонение стенки...............................................108

3

5.3 Совмещение предварительного деформирования сечения трубы с гибкой

по копиру.................................................................................................................................112

Выводы по разделу..............................................................................................................113

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................................116

Основные результаты и выводы.....................................................................................116

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ..................................................119

ВВЕДЕНИЕ

В производстве летательных аппаратов и энергетического оборудования, а также в других отраслях машиностроения широко применяется гибка труб по круглому копиру на станках с программным управлением. Возможное уменьшение высоты проходного сечения изогнутых участков отрицательно влияет на работоспособность трубопровода. При бездорновой гибке оно может превышать допустимые пределы; применение дорна, поддерживающего стенку трубы изнутри, усугубляет ее утонение, которое также жестко регламентируется.

В данной работе рассматривается двухэтапный процесс, предусматривающий придание обратной овальности сечениям прямой трубы с целью компенсации их последующего искажения на этапе бездорновой гибки. Предварительное деформирование участков заготовки, подлежащих изгибу, может выполняться плитами или роликами - как отдельная операция или совмещенная с гибкой. Практическое применение предлагаемой технологии затруднено не столько дополнительными материальными затратами, сколько не изученностью деформированного состояния трубы на каждом из этапов формоизменения.

Традиционным средством преодоления подобных "белых пятен" является решение вариационной задачи в деформациях, с использованием координатных (по Ритцу) функций перемещений. Отечественными и зарубежными исследователями (Ю.Н. Алексеев, Б.С. Билобран, Е. Reissner, М.М. Seddeik, К.А. Stelson, L.C. Zhang и др.) получены вариационные оценки овальности изогнутых труб, оказавшиеся весьма различными. Использовались разнообразные конструкции координатных функций, выбор которых - вообще говоря, произвольный - связан лишь со "слабыми" кинематическими условиями.

Для получения адекватной математической модели и достоверного вариационного анализа деформаций трубы представляется целесообразным

дополнить кинематические ограничения связями варьируемых параметров с напряжениями. Также нуждается в уточнении форма переходного участка изгибаемой трубы с переменной - от нуля до обратной величины радиуса копира - кривизной оси. Длина названного участка, влияющая на утонение стенки, зависит от размеров и компоновки инструментов гибки, однако известные аналитические выражения этой зависимости игнорируют сдвиговый компонент прогиба оси трубы.

Применению вариационных методов в практике обработки металлов давлением долгое время препятствовали вычислительные трудности; сейчас они преодолеваются с помощью компьютерной программы типа МаШСАО. На основании опыта ее применения разработана организация вычислений с элементами объектно-ориентированного подхода, ставшая частью методики расчетов предлагаемого процесса гибки труб.

Актуальность темы исследования подтверждается систематическим ужесточением допусков, устанавливаемых отраслевыми стандартами [1, 2, 3] на размеры трубопроводов ответственного назначения.

Цель работы: получение изогнутых труб, отвечающих жестким ограничениям искажения проходного сечения и утонения стенки.

Объектом исследования являются процессы деформирования плитами сечения прямой трубы и последующей гибки по круглому копиру.

Предметом исследования являются размеры сечения прямой трубы, деформированной плитами, и утонение стенки изогнутой трубы.

Методы исследования: инженерные методы решения задач в напряжениях и вариационной оценки деформаций с аппроксимацией функций перемещений и напряжений.

Автор защищает:

- математическую модель свободного деформирования сечения прямой трубы из упрочняемого материала, частично принимающего форму инструмента - плит с вогнутой рабочей поверхностью;

- вариационную оценку соотношения размеров овального сечения прямой трубы из жесткопластического материала, полученных в начальной стадии деформирования плитами;

- вариационную оценку изменения толщины стенки трубы из жесткопластического материала, изгибаемой по копиру, с варьируемым коэффициентом пропорциональности напряжений;

- математическую модель участка свободного изгиба трубы с полиномиальной аппроксимацией прогибов оси, вызванных поворотом и сдвигом сечений;

- методики инженерных расчетов размеров деформированного сечения прямой трубы и утонения стенки при последующей гибке по копиру.

1 Аналитический обзор исследований гибки труб

Теоретические исследования по данной тематике имеют сугубо прикладной характер и предпринимаются по мере возникновения практического интереса к тем или иным аспектам изгиба труб.

Изменение формы сечения трубы привлекло к себе внимание в начале прошлого века. Изучалась упругая податливость изогнутого элемента трубопровода, служащего компенсатором монтажных и эксплуатационных воздействий (A, Bantlin, Th. V. Karman, 1910 - 1911 г.). Принцип минимума потенциальной энергии деформации впервые был применен к упругому чистому изгибу тонкостенной бесконечно длинной трубы (Brazier, 1927). Спустя полвека он, вкупе с аппроксимацией функций перемещений, нашел применение в расчетах различных процессов пластического формоизменения, включая деформирование сечения трубы, изогнутой моментом (Ю.Н. Алексеев, Б.С. Билобран, S. Clifford, L.C. Zhang, Т.Х. Yu и ДР)-

Развитие вычислительной техники привело к разработке и внедрению в инженерную практику более точных, дискретных методов расчета, однако в последнее время снова возрастает интерес к аналитическим исследованиям. Помимо технологических вопросов рассматривается изгиб морских трубопроводов, вызванный неровностью дна и накладывающийся на эксплуатационные нагрузки. Очередные исследовательские задачи выдвигает также появление трубогибочного оборудования с элементами адаптивного управления.

1.1 Пластический изгиб трубы моментом

Постоянное обращение исследователей к изгибу моментом (чистому изгибу) объясняется сравнительно простой постановкой теоретической задачи, позволяющей получить формульное решение. Кривизну оси трубы и другие параметры деформированного состояния принимают одинаковыми по длине деформируемого объекта, включая форму поперечных сечений и торцов, остающихся плоскими и нормальными к оси.

Практика эксплуатации тяжело нагруженных трубопроводов показывает, что наибольшее число разрушений связано с утонением стенок и некруглостью проходного сечения в местах изгиба - явлениями, сопровождающими процессы гибки труб [4, 5, 6]. Первое из названных явлений регламентируют, исходя из давления рабочей среды и прочности материала на разрыв, второе - из цикличности эксплуатационного нагружения и усталостной прочности.

1.1.1 Овализация сечения

А.И.Гальперин отмечает, что упругое деформирование овального сечения трубы при повышении внутреннего давления вызывает уменьшение овальности и - как следствие - дополнительные напряжения изгиба. Будучи растягивающими на внутренней поверхности стенки в окрестностях большей оси овала, они суммируются с напряжениями, вызванными внутренним давлением. Именно в этих местах образуются усталостные трещины при циклическом изменении давления рабочей среды, они зарождаются на внутренней поверхности трубы и видны лишь при сквозном разрушении, рисунок 1.

Рисунок 1- Характерное местоположение усталостного разрушения

В монографии [7] дана одна из первых теоретических оценок овальности сечения трубы, подвергнутой пластическому изгибу. Метод решения, ставший традиционным в расчетах пластических деформаций [8], предусматривает аппроксимацию неизвестных перемещений функциями координат, содержащими варьируемые параметры V; (/ = 1, 2, ... Г). Значения последних находят решением системы / уравнений:

Г ди Ж

-¿V +-

Эу- ЭУ-

-(IV +-= 0 т

V

где IV и 1]- работа внешних и внутренних сил; V - объем деформируемого материала.

В классической интерпретации данного метода аппроксимирующие функции называют координатными (по Ритцу), предполагая сходимость решения задачи при достаточно большом числе варьируемых параметров -десятки и даже сотни [9] - неприемлемом в инженерной практике.

Автор монографии [7] Ю.Н. Алексеев вводит предельно простую координатную функцию

иг = О соъ2а, (2)

аппроксимирующую радиальное перемещение точек средней линии стенки трубы (окружности радиуса г в исходном состоянии), рисунок 2.

Рисунок 2 - Схема изгиба трубы с деформируемым сечением

Единственным варьируемым параметром принятой функции является коэффициент С, который определяется согласно (1) из условия |<Й//ЭС = 0 в

пренебрежении вариацией работы внешнего момента. Работа внутренних сил U = JcrJe, = <т0е, + Пе~ / 2 выражается через интенсивности напряжений (У, и

деформаций e¡. Упрочнение материала учитывает линейная зависимость <7, = <т0 + I7et.

У ы

Используются формулы деформаций £v =-- sin а \ еа =[р~ г .

Ro

Изменение кривизны средней линии стенки трубы:

_л ( jl \

а 4=4

г2

f+ w„

Káa J

(3)

Принятые допущения, включая пренебрежение деформациями сдвига -Ура, достаточно серьезны. Согласно приведенной выше формуле при р = г

имеем еа = О и ер= -е^. В действительности одноосному напряженному

состоянию соответствуют соизмеримые значения деформаций £а и ер.

Чтобы избавиться от радикала в выражении е(, Ю.Н. Алексеев в

дальнейшем принимает деформацию ер равной [е^ + еа)/ 2. При этом не

выполняется условие постоянства объема:

£р + еа + еф = О, (4)

если учесть, что еа =-1^-+—. Но зато получились простые формулы:

рйа р

е = . „ ±ал(. \ П

= - £а)+ — (£<р - еа)2; знак ± соответствует ер > 0 и е9 < 0.

В уравнении (1), которое Ю.Н. Алексеев записывает в виде:

Г Г Г —— с1(р(Д() + г вт а)йарйр = О ЭС '

О 0Г_ 2

также заложено противоречие. Длина материального волокна принята переменной (/?0 а толщина стенки ( — постоянной. Было бы

логичнее и проще интегрировать по объему недеформированной трубы. Решением данного уравнения определяется коэффициент функции (2). Его выражение

С = — П

г2

согласуется с практикой в том, что овальность сечения увеличивается с уменьшением толщины стенки и радиуса изгиба, а также с уменьшением модуля упрочнения материала. Одинаковое, но с противоположными знаками изменение ширины АВ и высоты АН сечения трубы на рисунке 1, заданное функцией (2), противоречит данным физических и вычислительных экспериментов, согласно которым |Д#| > АВ.

Аналогичный подход к оценке овальности сечения трубы, изогнутой моментом, с применением функции (2) в работе [10] Б.С. Билобрана содержит ряд существенных отличий. Прежде всего - это корректное

2 а

выражение интенсивности деформаций е,- = + €ч>£а + £>

преобразуемое к виду: ei - г) благодаря принятой формуле

деформации £а =-0,5£р+{р-г)А^, в принципе вполне допустимой. Однако в

данном случае она противоречит еще одной аппроксимирующей функции, которая введена для перемещений по периметру сечения:

иа = —(5)

поскольку из нее с учетом (2) следует равенство нулю деформации еа средней линии сечения.

По сравнению с [7], уточняется выражение деформации

К

£(р =—этяг+м,. 5лпа + иа соъа, вместе с выражениями (2) и (3) оно

преобразуется к виду: =— ята^-Свт2 а). Пренебрегая вариацией работы

внешнего момента, автор [10] интегрирует уравнение (1) по исходным размерам трубы. Из-за наличия тригонометрических функций под знаком радикала в выражении е, интегрирование выполняется с применением специальных функций.

1.1.2 Изгибающий �