автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Совершенствование методов интерполяции сигналов и построения регрессионных прогнозирующих моделей для мониторинговых систем

На правах рукописи

" ~~1У С

Чефранов Сергей Георгиевич

Совершенствование методов интерполяции сигналов и построения регрессионных прогнозирующих моделей для мониторинговых систем.

Специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г. Таганрог 1998

Работа выполнена на кафедре «Исследование систем управления» Майкопского государственного технологического института.

Научный руководитель:

доктор технических наук,

профессор Лябах Николай Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук,

профессор Горелова Галина Викторовна

кандидат технических наук Коваленко Ирина Евгеньевна

Ведущая организация: Ростовский государственный университет путей сообщения

Защита диссертации состоится « 18 » декабря 1998 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д063.13.02 Таганрогского государственного радиотехнического университета по адресу: 347928, г.Таганрог, пер.Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Автореферат разослан «16.» ноября 1998 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета, к.т.н., доцент

Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Представленная диссертационная работа посвящена развитию методов построения регрессионных прогнозирующих моделей в условиях неопределенности, совершенствованию метода интерполяции сигналов, основанного на применении функций отсчета Котельникова, а также особенностям применения указанных методов при создании и функционировании систем мониторинга и управления.

Актуальность проблемы. В настоящее время техногенное воздействие человека на окружающую среду таково, что может привести к непоправимым последствиям для природы. Поэтому особое внимание общество уделяет экологическим проблемам. Из опыта преодоления последствий экологических катастроф известно, сколь значительны средства и время, необходимые для восстановления. В этих условиях актуальной является задача получения своевременной информации об экологической ситуации, прогноз ее развития и, возможно, корректировка или управление взаимодействием человека и природы. Практическая реализация указанных мероприятий может быть произведена путем создания систем мониторинга и управления. !

Другим важным применением мониторинговых систем является исследование экономических процессов. Необходимость получения своевременной и достоверной информации о них ни у кого не вызывает сомнений. Развитие рыночных отношений в стране породило большое количество заинтересованных в такой информации субъектов - предпринимателей, руководителей предприятий и органов государственного управления, различные общественные движения.

Еще одна область, остро нуждающаяся в системах мониторинга и управления - социальные процессы. В связи с происходящей в стране переориентацией экономики происходит расслоение общества, другие процессы, для исследования которых необходимы мониторинговые системы.

Вместе с тем, системы мониторинга и управления -относительно новое направление в исследованиях различных процессов, еще нет в достаточном, количестве данных о функционирующих в настоящее время системах. Особенности мониторинговых систем предъявляют определенные требования к применяемым методам сбора, хранения и обработки информации. Не всегда выполняются предпосылки применения того или иного метода. Применение же методов без должных на то оснований ведет

к получению неадекватных процессу описаний и принятию неверных решений.

В этих условиях актуальной является задача усовершенствования известных и (или) разработка новых методов и подходов.

Целью диссертации является разработка методологам построения и функционирования мониторинговых систем, развитие методов интерполяции, основанных на применении функций отсчета Котельникова, создание процедур построения прогнозирующих регрессионных моделей сложных процессов . в условиях зашумленности входных и выходных данных. - ,

Для . достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи: .. ...

1. Разработка общей методологии построения систем мониторинга и управления распределенными системами.

2. Разработка метода интерполяции сигналов, основанного на использовании , функций отсчета Котельникова, позволяющего повысить точность восстановления или снизить затраты на получение информации при сохранении прежней точности.

3. Развитие методов восстановления непрерывных сигналов для случая неравноотстоящюс. отсчетов.

4. Создание процедуры получения регрессионных прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины.

Методы исследования : основаны на применении теории вероятностей, математической статистики, регрессионного анализа, теории представления сигналов, теории самоорганизации моделей, идентификации сложных : . систем, методов математического программирования. В работе наряду с аналитическими методами активно использовались экспериментальные - моделирование на ЭВМ, апробация на конкретных примерах.

Достоверность научных положений и выводов подтверждается проведенными вычислительными экспериментами на ЭВМ, публикациями, результатами практической реализации.

Научная новизна... . ,. <:.

1. Разработана методология лостросния систем мониторинга и управления, позволяющая проводить часть исследований не в реальном масштабе времени. .:

2. Обобщены; методы восстановления непрерывного сигнала, основанные на применении функций отсчета Котельникова. По сравнению .с известными, предлагаемый метод позволяет повысить • • точность: • ■■ восстановления (в смысле

среднеквадратичного критерия) при одинаковом числе отсчетов.

3. Предложен оригинальный метод восстановления непрерывных сигналов по неравноотстоящим отсчетам.

4. Разработан алгоритм построения регрессионных прогнозирующих моделей, дающий интервальную оценку выходной величины.

Практическая иенность. Разработанные методы отличаются универсальностью и могут быть использованы в различных областях.

Для реальных объектов получены таблицы и графики распределения интенсивностей сигналов, а также модели для прогноза.

Результаты исследований используются в учебном процессе в Майкопском государственном технологическом институте при подготовке инженеров-механиков по математическому моделированию. Все результаты исследований подтверждаются актами о внедрении.

Реализация результатов. Предложенные в диссертации алгоритмы и методы практически реализованы:

Метод построения прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины:

1) при обработке результатов наблюдений за интенсивностью транспортных потоков г.Майкопа;

2) при построении математической модели прогнозирования цен "потребительской корзины" основных продуктов питания, а также прогнозы цен на ряд товаров рынка на период до одного года. Результаты прогнозов приняты к внедрению в комитете по статистике Майкопского района Республики Адыгея;

Метод интерполяции, основанный на применении функций отсчета Котельникова:

3) при проектировании гидроцилиндров манипуляторов на Майкопском машиностроительном заводе. Интерполировалась зависимость коэффициента податливости от давления рабочей жидкости гидроцилиндра.

4) в учебном процессе Майкопского государственного технологического института.

Необходимые акты о внедрении имеются. Апробаиия работы. Основные теоретические и практические результаты изложены в докладах на научно-методических конференциях Майкопского государственного технологического института (МГТИ) 1997-98гг., на научно-практической конференции Кубанского государственного аграрного университета (КГАУ), на

научных семинарах кафедры "Машины и аппараты пищевых производств" МГТИ, кафедры ' вычислительной техники и автоматизированных систем управления Ростовского государственного университёта путей сообщения (РГУПС).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 6 печатных работах и научных отчетах по НИР: "Построение системы мониторинга АООТ "Российский инсулин", "Программно-математическое и техническое обеспечение мониторинга и управления распределенными системами" единого заказ-наряда Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации, "Идентификация состояния рыночной среды предприятий" гранта фонда фундаментальных исследований экономики Российской Федерации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа содержит 115 страниц машинописного текста, 12 таблиц, 29 рисунков, 87 наименований библиографических источников.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны структура, цель и основные направления выполненных научных исследований.

Первая глава посвящена анализу свойств и особенностей объекта исследования. Рассмотрены математические проблемы мониторинга и: управления распределенными системами. Определены цели и задачи, являющиеся предметом исследования настоящей диссертационной работы. Предложена методика построения и функционирования систем мониторинга и управления, предусматривающая выделение из всего множества характеризующих объект параметров медленно меняющихся с целью обработки информации .о них не в реальном масштабе времени. Предлагаемая методика оринтирована на использование программного обеспечения ГИС (геоинформационных систем) и представляет собой представленный ниже алгоритм.

1. Определение целей и; задач построения и функционирования системы мониторинга и управления.

2. Определение критериев работы разрабатываемой системы, выполняемое на основании требований «заказчика».

3. Формализованное описание обозначенных в п.2 критериев.

4. Составление набора информативных для характеристики объекта параметров.

Ч

5. Определение необходимых для построения и функционирования системы мониторинга исходных данных (выбор количества и положения точек съема информации, очередность их опроса и т.д.).

6. Выполнение "лабораторной" части. Построение всех слоев ГИС-карты, которые мало изменяются за время функционирования системы может осуществляться однократно (или, по крайней мере, значительно реже построений быстроменяющихся параметров). Этот процесс может быть осуществлен не в реальном масштабе времени и назван, поэтому, лабораторным. Все остальные слои будем называть рабочими. Примером лабораторных слоев могут служить карты рельефа, построек, инженерных сооружений при исследовании экологической ситуации.

6.1. Сбор информации, проводимый в соответствии с пп.1-3.

6.2. Исследование наличия связи между различными слоями.

6.3. Определение структуры и коэффициентов неизвестных связей.

6.4. Собственно построение слоя.

7. Функционирование в реальном масштабе времени:

7.1. Построение слоев.

7.2. Исследование наличия связи между различными слоями (лабораторными и рабочими).

7.3. Определение структуры и коэффициентов неизвестных связей.

8. Анализ динамики развития объекта исследования, расчет реакций на управляющие воздействия с целью достижения наилучшего эффекта (в соответствии с определенными целями).

9. Выработка и реализация управляющих воздействий.

Усовершенствованный в работе метод интерполяции, основанный на использовании функций отсчета Котелышкова, применяется при построении карт-слоев (лабораторных п.6.4 и рабочих п.7.1 предлагаемой методики). Алгоритм построения регрессионных прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины применяется для анализа динамики развития исследуемого объекта (пп.б.3, 7.3, 8) и построения формализованных описаний критериев (п.З).

Вторая глава содержит описание усовершенствованного метода восстановления непрерывных сигналов по их выборочным значениям, основанного на использовании функций отсчета Котельникова.

. По сравнению с остальными этот метод имеет ряд преимуществ:

•если функция и(х) имеет ограниченный спектр, то она может быть точно восстановлена при соответствующем выборе интервала дискретизации;

•коэффициенты в разложении и(х) по системе ортогональных функций отсчета Котельникова равны и(кАх), т.е. самим измеренным значениям. Указанное обстоятельство означает, что при использовании данного метода не требуется специального расчета коэффициентов разложения;

•появление новой точки измерения приводит лишь к добавлению одного слагаемого и не требует перерасчета всех коэффициентов разложения.

Предложена новая система базисных функций

Ска=(1-а)С'и+аС'к2 (1)

где

Г(С4+С_4), кФ О Си=\ С0, к = 0 ' с/ = ,(С1~С_1), к*о

" с,, к = О

(3)

пе|у-й»)] , = (4)

0}ь(х-кАх) 4 '

функции отсчета Котельникова. Для сигналов с

неофаниченным спектром, использование базиса (1) позволяет

уменьшить ошибку интерполяции по сравнению с другими

методами, основанными на применении функций отсчета

Котельникова. Уменьшение ошибки понимается в смысле

среднеквадратичного критерия:

ь

0

где а, Ь — границы интервала интерполяции, и{х),и(х) -истинная и восстановленная зависимости соответственно.

Неизвестный параметр ос определяется на проверочной части выборки.

Доказаны две теоремы, приводимые ниже без доказательств. .

Теорема 1: система функций (1) ортогональна на промежутке (-со,со). Ддя скалярного произведения двух функций можно записать:

СО

[(О-оОС,, +аСкг)((1-а)Сц +аСп)с!х =

((1-а)2 + а2)2л

со.

, к = 1* О

(\-2сс)2я

со,

, Л = -/*0

к

2 ал

, к = 1 =О

О , к*±1

Теорема 2: если функция и(х) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и

ы(-/Дх) = (1 - 2а)и(/Дг), / = 1,2,3,...

со

то коэффициенты у к в разложении иа -^Ук^ка по базису

(1) равны «(¿Ахг).

Выведены формулы для оценки возникающих при восстановлении ошибок, обусловленных двумя причинами: усечением спектра

е\ +е\-г Г

е21 * е\

г =

е, = е

О, (с,2 = 0)и(е\ = 0)

1 >

о *=о к=о

ошибки разложения по базисам (2) и (3) соответственно, и(х) -восстанавливаемая функция;

и взятием ограниченного числа отсчетов

Ы V — ^

,2 4 _ -2 1

| Ф) ~ Ё и(кАх)Ск (*) !]Г ы(кАх)С_ц (х)ск

(е1) ■ =е1-

к-0

х» - *п Ч

*о

.2

{(¿и(АДх)С_,(*)] ск

Лк* о )

где е2К - ошибка восстановления сигнала функциями отсчета Котельникова. Из приведенных формул видно, что ошибка восстановления по базису (1) меньше или равна аналогичной

величине для базисов (2), (3) и (4). Равенство указанных ошибок соответствует случаю восстановления функций с ограниченным спектром и соответствующем выборе интервала дискретизации.

Предложен метод восстановления сигналов по выборке с неравномерным интервалом дискретизации, суть которого заключается в переходе в новую систему координат, в которой интервал дискретизации становится равномерным. Порядок перестроения поясняется на рис.1. Принятые здесь обозначения: u{xt) - полученные в результате измерений выборочные значения некоторой непрерывной функции; u'(x't) - перестроенная функция, заданная с равномерным интервалом дискретизации; х' - F(x) -функция, удовлетворяющая условию

отсчетам.

Установлены ограничения на вид функции х' = Р(х) и ее влияние на распределение ошибки интерполяции внутри интервала дискретизации.

и

В третьей главе рассмотрены вопросы построения регрессионных прогнозирующих моделей, дающих интервальную оценку выходной величины. Предложен алгоритм для построения интервальной оценки интересующей величины, упрощенная схема которого представлена на рис.2. Введено понятие граничных линий, т.е. линий, принадлежащих всем областям допустимых значений у наблюдаемых параметров, приводящих заданный критерий в максимальное и минимальное значение. В качестве такого критерия * в работе использовались значения, полученные по модели для аргументов, лежащих за пределами интервала построения (прогнозирующая модель). Предложенная процедура построения

Рис.2. Алгоритм построения регрессионных прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины.

прогнозирующих моделей осуществляет подбор вида зависимости из классов заданных функций. В работе были использованы полиномиальные модели.

.Введена мера рассеивания ошибок выходной величины внутри предсказанного интервала.

Алгоритм построения граничных линий разработан более подробно и излагается ниже.

1.Определяем число неизвестных коэффициентов в уравнении линии

У = (5)

где а • вектор неизвестных коэффициентов. Например, для прямых у = ах+Ь число таких коэффициентов равно двум (а и Ь), для у-Лап(ак + ?>) трем (А, а, р)ит.д.

2. Из имеющейся выборки берем столько точек (точнее областей), сколько требуется определить коэффициентов в уравнениях граничных линий. То есть, если число коэффициентов равно к, то берем ¿областей (в произвольном порядке).

3. На границах областей определяем начальные точки (точки А и В на рис.3).

4. Подставляя координаты этих точек в (5), получаем систему уравнений, решение которой дает искомые коэффициенты.

5. С учетом этих коэффициентов по (5) определяем значение у в прогнозируемой точке.

6. Перемещаем эти точки (А и В) вдоль границы областей, каждый раз проделывая пп.4,5. Фиксируем те значения коэффициентов, при которых у принимает максимальное и минимальное значения. Эти коэффициенты и определяют граничные линии, принадлежащие к классу функций (5).

7. Добавляем следующую область 0*+/. Здесь возможны следующие варианты:

а) Обе граничные линии принадлежат области (рис.4).

В этом случае переходим к следующей области, т.е. к:=к+1,

возврат к пункту 7.

У

-в--

Рис.4

б) Одна из граничных линий проходит через 2*+/. вторая ей не принадлежит (рис.5). Пусть Лу, / = 1 ,к - точки, использованные для построения линии, не принадлежащей Поочередной заменой точек ] = 1,к точкой, лежащей на границе (Зщ определяем их новый набор, для которого построенная граничная линия принадлежит всем областям Qi, I = 1 ,п.

(Г*

Рис.5.

в) Область <2к\! целиком лежит внутри (7 (рис.6), т.е. с С. В этом случае в качестве к начальных областей прежний набор, в котором Qk+l заменяет область, для которой выполняются условия пп.7 а), б). После этого процедура повторяется с пункта 3. Если такой области нет, то заменяемая область определяется путем поочередной замены.

Можно в этом случае применить процедуру, похожую на изложенную в п.7,б с той разницей, что проделать ее придется для обеих граничных линий.

г) Область ()к+1 целиком лежит вне области в* (рис.7). Это означает, что граничных линий выбранного класса не существует и необходимо перейти к более сложному классу моделей.

Рис.7.

Выход из процедуры осуществляется после обработки последней области из имеющейся выборки. После выполнения приведенного выше алгоритма получим уравнения граничных линий.

. • Предлагаемый подход к построению прогнозирующих . регрессионных моделей имеет ряд преимуществ по сравнению с ^ существующими:

т ч. 1 .Предлагаемая методика предоставляет возможности для уменьшения интервала вероятных значений выходной величины. Делается это путем повторного промера значений переменных в критических точках (если, конечно же, это измерение возможно). В процессе построения граничных линий определяются те точки выборки, по которым определяются коэффициенты этих линий.

• Любое уточнение значений этих точек приведет к изменению положения границы и, как следствие, к сужению интервала возможных значений выходной величины.

2.Метод позволяет косвенно оценить качество выбора классов опорных функций. В качестве такой оценки может служить отношение количества изменений структуры модели к количеству точек, доля точек, удовлетворительно описанных моделью после последнего изменения структуры и др.

К недостаткам можно отнести необходимость проведения относительно большой вычислительной работы, что приводит к увеличению затрат машинного времени и накоплению ошибок округления.

Четвертая глава посвящена описанию вычислительных экспериментов, проведенных для проверки работоспособности, а также выявления сильных и слабых сторон предложений, сделанных в главах 2 и 3. Разработано и описано программное обеспечение для численного решения задачи прогнозирования с интервальной оценкой выходной величины. На рис.8 в форме графиков приведены полученные интервалы прогноза, истинная зависимость ы(х) = (х- 0.3)0 ~ 0.8)(* - 1)(х - 2) и граничные линии для пяти точек с погрешностями 2.4% Ц 1.4% по осям абсцисс и ординат (выходная величина) соответственно. Подобные эксперименты проводились для десяти функций и различного числа точек (от 5 до 50) и погрешностей (0.2-^5.0% от максимальных значений по осям).

Описаны эксперименты по восстановлению сигналов (функций), истинное описание которых было известным. Эти эксперименты проводились для десяти видов функций. Количество узлов интерполяции менялось от 10 до 100. В каждом случае определялись ошибки интерполяции. Для функции и(х) = е~' полученные данные приведены на рис.9. Принятые здесь обозначения - ЕО, Е1, Е2, ЁЗ - ошибка восстановления функциями отсчета Котельникова (4), (2), (3) и (1) соответственно

Исследовалась возможность определения неизвестного параметра а по проверочным точкам. Для той. же функции полученные данные сведены в таблице 1.

V- На рис.10 приведены графики точного и восстановленных по (1), (2), (3) и (4) сигналов, а на рис.11 зависимость среднеквадратичной ошибки интерполяции предложенным методом для функции и(х) = е~х и тридцати узлов интерполяции. На графиках приняты следующие обозначения: и(х) - исходная (восстанавливаемая) функция, иЗ(х,0.5) - интерполяция функциями отсчета Котельникова, и1(х) - интерполяция функциями отсчета (2), и2(х) - интерполяция функциями отсчета (3), иЗ(х, «ш„) - интерполяция предлагаемыми функциями отсчета (1).

Таблица. 1

Число проверочных точек о о к л пЗ ^ ' К СЛ о Ы <Я я « Й 45 е 1 в 0) о ц у 3 ° - с 2 ^ о у з ¡4-

о* «> к о X о «и ^ 2 3 к а, <0 щ V с ей О Я И ГО п 5 н <г и ^ а о и н ° о ¡5 " с. 5 к о п о о н Я е; го 4

3 -0,022 1,792* 10° -0,033 1,538,Е-04

' 6 -0,021 1,786* 10'' -0,01 9,599,Е-05

9 -0,020 1,781*10° 0,027 1,649,Е-05

12 -0,019 1,775*10° -0,003 3,281,Е-05

15 -0,018 1,770*10° 0,002 3,603,Е-05

18 -0,016 1,764*10° 0,017 1,042,Е-05

21 -0,015 1,757*10° 0,012 1,135,Е-05

24 -0,013 1,748*10° 0,007 1,924,Е-05

27 -0,011 1,735*10° 0,013 7,430,Е-06

30 0,004 1,708*10° 0,019 4,296, Е-Об

Зависимость ошибки интерполяции от количества узлов для различных способов

\

—•—Е 0 ■ - т - Е 1

Е 2 --- --Е 3

1

■ —1 х * 1__ •— . — ■-1 1 1 1

Рис.9.

Рис.10.

0.005

„2.509743-10"^ .j о.кш

0.0024 ■ 0.0021 0.001*

е(а) охи

00012

a

«•и*,4

I

зчо-4

л.648887-10"0

-2 -1.4 -u -о.» -о.» о ».< at 13 и :

РИС.11

Проводились эксперименты по восстановлению функций, заданных неравноотстоящими отсчетами.

Результаты всех проведенных экспериментов хорошо согласуются со сделанными в работе выводами.

Пятая глава содержит описание применения разработанных методов для решения конкретных практических задач. Разработанные методы применялись:

Метод построения прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины:

1. При обработке результатов наблюдений за интенсивностью транспортных потоков г.Майкопа. Разработанное программное обеспечение используется в работе отдела планирования и прогнозирования комитета городского хозяйства, землеустройства, строительства, транспорта и связи администрации г.Майкопа.

В таблице 2 представлены данные наблюдений за интенсивностью транспортного потока (после удаления суточного тренда), а на рис.12 приведен результат работы программы для его прогноза.

Таблица 2

№ 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Значение го оо 0\ CN оо i о CN 1 «о fl 1 1 ON 1 оо -ч- (N (N CN М-1 r-¡- о г- ,

600 500 400

зоо 200 100 О -100 -200 -зоа

.400 -500 .600

Рис.12. Прогноз интенсивности транспортного потока. 2. При построении математической модели прогнозирования цен "потребительской корзины" основных продуктов питания. Разработанное программное обеспечение использовано в работе

комитета по статистике Майкопского района. Результаты работы программы по прогнозированию стоимости потребительской корзины на февраль 1994г. представлены на рис.13. Получен интервал от 39584 до 41566 руб. Истинное значение за февраль 1994 г. равно 41277.

Метод интерполяции, основанный на применении функций отсчета Котельникова:

3. При проектировании гидроцилиндров манипуляторов на Майкопском машиностроительном заводе. Интерполировалась зависимость коэффициента податливости от давления рабочей жидкости гидроцилиндра. Полученные экспериментальные данные приведены в таблице 3. На рис.14 показан график полученной зависимости.

4. В учебном процессе Майкопского • государственного технологического института. Предложенный метод интерполяции излагается в курсе лекций по предмету «моделирование работы механизмов» специальности «Машины и аппараты пищевых производств» в Майкопском государственном технологическом институте.

Зависимость ко э ф ф и ц ив мта по д атл и в о сти от массы груза (давления)

Ш

Рис.14.

Необходимые акты о внедрении имеются.

Результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах:

1) Родимцев П.Г., Чефранов С.Г. Обобщение метода восстановления непрерывных сигналов, заданных отсчетами. Изв.вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки, 1998, №3, с. 1416.

2) Строганов А.Н., Родимцев П.Г., Чефранов С.Г. Перспективы применения геоинформационных технологий в экологических целях. Материалы второй научно-практической конференции Майкопского государственного технологического института : Тезисы.- Майкоп: "Зихи", 1997. - с. 67-71.

3) Строганов А.Н., Чефранов С.Г., Родимцев П.Г. К вопросу о методах обработки экологической информации. Вестник Краснодарского научного центра АМАН, №2, 1998, с 4-5.

4) Чефранов С.Г., Кацко И,А. Имитационная модель проверки адекватности регрессионных методов построения зависимостей// Актуальные проблемы экономической теории и практики. Сборник-трудов. Ростов-на-Дону, Майкоп. 1997. с. 58-59.

5) Чефранов С.Г., Кацко И.А. К вопросу о методах построения регрессионных моделей. Дел. в ВНИИТЭИ агропром, 1997,-Рег .№123 ВС-97. -5 с.

6) Родимцев П.Г., Чефранов С.Г. Создание зон техногенных резерваций на основе изучения экологических сигналов// Социально-экологические проблемы юга России. Сборник статей. Майкоп, 1998, с. 114-117.

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Чефранов Сергей Георгиевич

Совершенствование методов интерполяции сигналов и построения регрессионных прогнозирующих моделей для мониторинговых систем.

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли технических наук)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор технических наук,

профессор Н.Н.Лябах

Таганрог 1998

Содержание

Введение......................................................................................................5

ГЛАВА 1. Анализ математических проблем мониторинга и управления распределенными системами. Цель и задачи исследования.............................................................................................13

1.1. Характеристика объекта исследования............................13

1.2. Исследование возможных методов решения задач построения математических моделей в системах мониторинга и управления объектами с

распределенными параметрами..............................................15

1.3. Анализ математических задач, возникающих при использовании ГИС-технологий для мониторинга и управления распределенными системами..............................20

1.4. Разработка методики построения и функционирования системы мониторинга и

управления.................................................................................24

1.5. Выводы................................................................................28

ГЛАВА 2. Разработка метода восстановления непрерывных сигналов по их выборочным значениям, основанного на использовании функций отсчета Котельникова....................................29

2.1. Обобщение методов интерполяции сигналов функциями отсчетов Котельникова..........................................29

2.1.1. Оценка ошибки интерполяции первого рода.................38

2.1.2. Оценка ошибки интерполяции второго рода.................43

2.2. Разработка метода интерполяции функций по выборке с неравномерным интервалом

дискретизации............................................................................46

2.3. Алгоритм восстановления сигналов с

использованием обобщенного метода Котельникова.............51

2.5. Выводы...............................................................................53

ГЛАВА 3. Разработка методики построения регрессионных прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины....................................................................................................54

3.1. Анализ основных особенностей построения регрессионных прогнозирующих моделей в системах мониторинга...............................................................................54

3.2. Методика построения регрессионной прогнозирующей модели с интервальной оценкой выходной величины...................................................................57

3.3. Разработка алгоритма построения граничных

линий..........................................................................................64

3.4. Выводы................................................................................70

ГЛАВА 4. Разработка программно-математических средств и имитационное моделирование.................................................................72

4.1. Имитационное моделирование процесса восстановления непрерывных сигналов, основанного

на использовании функций отсчета Котельникова..................73

4.2. Исследование процедуры восстановления функции по выборке с неравномерным интервалом дискретизации............................................................................75

4.3. Проверка процедуры построения граничных линий прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины...................................................................79

4.4. Результаты имитационного моделирования.....................82

ГЛАВА 5. Применение разработанных методов для решения

практических задач...................................................................................85

5.1. Прогноз интенсивности транспортных потоков................85

5.2. Применение усовершенствованного метода интерполяции сигналов в расчетах гидроцилиндров манипуляторов...........................................................................97

5.3. Прогнозирование стоимости потребительской

корзины в Республике Адыгея................................................100

Заключение..............................................................................................103

Литература...............................................................................................107

Приложения...................................................................... 116

Введение

Представленная диссертационная работа посвящена разработке общей методологии построения и функционирования систем мониторинга и управления; развитию методов построения регрессионных моделей для прогноза количественных характеристик сложных объектов в условиях неопределенности; совершенствованию метода интерполяции сигналов, основанного на применении функций отсчета Котельникова.

Актуальность проблемы. В настоящее время техногенное воздействие человека на окружающую среду таково, что может привести к непоправимым последствиям для природы. Поэтому особое внимание общество уделяет экологическим проблемам. Из опыта преодоления последствий экологических катастроф известно, сколь значительны средства и время, необходимые для восстановления нормального режима функционирования экосистем. В этих условиях актуальной является задача получения своевременной информации об экологической ситуации, прогноз ее развития и, возможно, корректировка или управление взаимодействием человека и природы. Практическая реализация указанных мероприятий может быть произведена путем создания систем мониторинга и управления.

Другим важным применением мониторинговых систем является исследование экономических процессов. Необходимость получения своевременной и достоверной информации о них ни у кого не вызывает сомнений. Развитие рыночных отношений в стране породило большое количество

заинтересованных в такой информации субъектов предпринимателей, руководителей предприятий и органов государственного управления, различные общественные движения.

Еще одна область, остро нуждающаяся в системах мониторинга и управления - социальные процессы. В связи с происходящей в стране переориентацией экономики происходит расслоение общества, другие процессы, для исследования которых необходимы мониторинговые системы.

Вместе с тем, системы мониторинга и управления -относительно новое направление в исследованиях различных процессов, еще нет в достаточном количестве данных о функционирующих в настоящее время системах. Особенности мониторинговых систем предъявляют определенные требования к применяемым методам сбора, хранения и обработки информации. Не всегда выполняются предпосылки применения того или иного метода. Применение же методов без должных на то оснований ведет к получению неадекватных процессу описаний и принятию неверных решений.

В этих условиях актуальной является задача усовершенствования известных и (или) разработка новых методов и подходов.

Целью диссертации является разработка методологии построения систем мониторинга объектов с распределенными параметрами, развитие методов интерполяции, основанных на применении функций отсчета Котельникова, исследование и создание процедур построения прогнозирующих регрессионных

моделей сложных процессов в условиях зашумленности входных и выходных данных.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. Разработка общей методологии построения систем мониторинга и управления распределенными системами.

2. Разработка метода интерполяции сигналов, основанного на использовании функций отсчета Котельникова, позволяющего повысить точность восстановления или снизить затраты на получение информации при сохранении прежней точности.

3. Развитие методов восстановления непрерывных сигналов для случая неравноотстоящих отсчетов.

4. Создание процедуры получения прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины.

Методы исследования основаны на применении теории вероятностей, математической статистики, регрессионного анализа, теории представления сигналов, теории самоорганизации моделей, идентификации сложных систем, методов математического программирования. В работе наряду с аналитическими методами активно использовались экспериментальные - моделирование на ЭВМ, апробация на конкретных примерах.

Достоверность научных положений и выводов подтверждается проведенными вычислительными

экспериментами на ЭВМ, публикациями, результатами практической реализации.

Научная новизна.

1. Разработана методология построения систем мониторинга и управления, позволяющая проводить часть исследований не в реальном масштабе времени.

2. Обобщены методы восстановления непрерывного сигнала, основанные на применении функций отсчета Котельникова. По сравнению с другими аналогичными, предлагаемый метод может использоваться при невыполнении некоторых предпосылок применения известных методов, что позволяет повысить точность восстановления (в смысле среднеквадратичного критерия) при одинаковом числе отсчетов.

3. Предложен оригинальный метод восстановления непрерывных сигналов по неравноотстоящим отсчетам.

4. Разработан алгоритм построения математических описаний сложных объектов, дающий интервальную оценку. По сравнению с известными, метод может использоваться при невыполнении некоторых условий их применения.

Практическая ценность. Разработанные методы отличаются универсальностью и могут быть использованы в различных областях.

Для реальных объектов получены таблицы и графики распределения интенсивностей сигналов, а также модели для прогноза.

Результаты исследований используются также в учебном процессе в Майкопском государственном технологическом институте при подготовке инженеров-механиков по

математическому моделированию. Необходимые акты о внедрении прилагаются.

Реализация результатов. Предложенные в диссертации алгоритмы и методы практически реализованы:

Метод построения прогнозирующих моделей с интервальной оценкой выходной величины:

1) при обработке результатов наблюдений за интенсивностью транспортных потоков г.Майкопа;

2) при построении математической модели прогнозирования цен "потребительской корзины" основных продуктов питания, а также прогнозы цен на ряд товаров рынка на период до одного года. Результаты прогнозов и разработанное на основе предложенного метода программное обеспечение приняты к внедрению в комитете по статистике Майкопского района Республики Адыгея;

Метод интерполяции, основанный на применении функций отсчета Котельникова:

3) при проектировании гидроцилиндров манипуляторов с учетом податливости рабочей жидкости и металлоконструкций на Майкопском машиностроительном заводе. Интерполировалась зависимость коэффициента податливости от давления рабочей жидкости гидроцилиндра.

4) в учебном процессе Майкопского государственного технологического института при подготовке инженеров-механиков по моделированию работы механизмов.

Необходимые акты о внедрении прилагаются.

Апробация работы. Основные теоретические и практические результаты изложены в докладах на научно-

методических конференциях Майкопского государственного технологического института (МГТИ) 1997-98гг., на научно-методической конференции Кубанского государственного аграрного университета (КГАУ), на конференции молодых ученых «Перспектива-98» г.Нальчик, на научных семинарах кафедры "Машины и аппараты пищевых производств" МГТИ, кафедры вычислительной техники и автоматизированных систем управления Ростовского государственного университета путей сообщения (РГУПС).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 6 печатных работах и научных отчетах по НИР: "Построение системы мониторинга АООТ "Российский инсулин", "Программно-математическое и техническое обеспечение мониторинга и управления распределенными системами" единого заказ-наряда Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации, "Идентификация состояния рыночной среды предприятий" гранта фонда фундаментальных исследований в области экономики Российской Федерации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа содержит 115 страниц машинописного текста, 12 таблиц, 29 рисунков, 87 наименований библиографических источников.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны структура, цель и основные направления выполненных научных исследований.

Первая глава посвящена анализу свойств и особенностей объекта исследования. Рассмотрены математические проблемы мониторинга и управления распределенными системами. Определены цели и задачи, являющиеся предметом исследования настоящей диссертационной работы. Предложена методика построения и функционирования систем мониторинга и управления.

Вторая глава содержит описание усовершенствованного метода восстановления непрерывных сигналов по их выборочным значениям, основанного на использовании функций отсчета Котельникова. Предложена новая система базисных функций. Доказаны две теоремы об ортогональности введенной системы функций и равенстве коэффициентов разложения самим выборочным значениям. Выведены формулы для оценки ошибок интерполяции, вызванных усечением спектра и взятием ограниченного числа отсчетов.

Предложен алгоритм восстановления сигналов по выборке с неравномерным интервалом дискретизации.

В третьей главе предложена методика построения регрессионных прогнозирующих моделей, дающих интервальную оценку выходной величины. Разработан алгоритм для построения граничных линий прогноза интересующей

_ М V V

величины, являющийся составной частью указанной методики. Введена мера рассеивания ошибок выходной величины.

Четвертая глава посвящена описанию вычислительных экспериментов, проведенных для проверки работоспособности, а также выявления сильных и слабых сторон предложений, сделанных в главах 2 и 3.

Пятая глава содержит описание применения разработанных методов для решения конкретных народнохозяйственных задач.

ГЛАВА 1. Анализ математических проблем мониторинга и управления распределенными системами. Цель и задачи исследования

1.1. Характеристика объекта исследования

Внимание общества к экологическим проблемам вполне объяснимо, если учесть все растущее воздействие человека на природу. Разумное управление (а где-то и ограничение) деятельностью людей возможно при наличии информации о возможных последствиях для окружающей среды и, в конечном счете, для самого человека. Поэтому в настоящее время велика потребность в исследовании экологических процессов с целью направить их в нужное русло, предсказать развитие, просто оценить состояние экосистемы. Решение этих задач связано с определенными трудностями, которые объясняются присущими природным системам специфическими чертами: их открытостью, сложностью и распределенностью.

1) Под открытостью экологических систем понимается наличие связанных и взаимодействующих с ней других систем. В /52,54/ указывается, что всякая попытка рассмотрения открытых систем как замкнутых, когда внешняя среда не принимается во внимание, таит в себе большую опасность.

В настоящее время достаточно хорошо разработан теоретический аппарат и имеется необходимое программно-математическое обеспечение исследования так называемых

замкнутых систем /52/, для которых внешние шумы либо отсутствуют, либо настолько малы, что не влекут за собой изменение структуры системы, и их влиянием можно пренебречь.

Сложнее обстоит дело с открытыми системами, для которых учет всех вероятных возмущений оказывается невозможным. Состояние замкнутой системы зависит только от ее начальных условий. В открытых системах, напротив, одно и то же конечное состояние может быть достигнуто при различных начальных условиях благодаря взаимодействию с внешней по отношению к этой системе средой.

2) Понятие «сложности» объекта в настоящее время не имеет четкого определения. Разные авторы вкладывают в это понятие различный смысл. Обобщая приводимые в /12,25,4345,54,56,64,65/ толкования этого термина, можно выделить наиболее характерные черты, присущие сложному объекту:

* Отсутствие математического описания, алгоритмов принятия решений.

* Многомерность, создающая вычислительные трудности.

* Зашумленность исходных данных, отсутствие информации о законах распределения шумов. Это также порождает ряд вычислительных проблем и проблему управления системой в условиях ошибки, в сбойных ситуациях.

* Нелинейность связей в системе, усложняющая их математическое описание, управление ими.

* Нестационарность процессов.

* Многокритериальность, отражающая сложность взаимодействия объекта с внешней средой. Критерии, которые приходится учитывать (надежность, быстродействие, стоимость, эффективность и др.), часто противоречивы.

3) Многие параметры, характеризующие состояние экологической ситу