автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Согласование экспертных оценок при построении интегральных индикаторов

На правах рукописи

Стрижов Вадим Викторович

СОГЛАСОВАНИЕ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК ПРИ ПОСТРОЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНДИКАТОРОВ

05.13.11 — математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2002

Работа выполнена в Вычислительном центре имени А. А. Дородницына

Российской академии наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук В. В. Шакин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С. А. Айвазян кандидат физико-математических наук И. Ф. Шахнов

Ведущая организация:

Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится "_" _ 2002 г. в _ часов на заседании диссертационного совета Д002.017.02 Вычислительного центра имени А. А. Дородницына РАН по адресу 119991, Москва, ГСП-1, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра имени А. А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан "_"_ 2002 г.

секретарь диссертационного совета

В. В. Рязанов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Важной задачей анализа данных, требующей количественных методов оценки, является задача согласования экспертных оценок при построении интегральных индикаторов. Её решение нужно для объективного судейства в спорте, анализа состояния социальных, экономических, экологических систем и для многих других пред-iv! ет н ых областей. Этой задаче посвящено много работ как зарубежных, тек и отечественных исследователей.

Содержательное основание диссертации составляют работы в области снижения размерности признакового пространства и экспертно-статис-тический метод. В этой области работали С. А. Айвазян, В. М. Бухшта-бер, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин и В. В. Шакин. Термин "экспертно-статистический метод" впервые был введен С. А. Айвазяном1. В его работе было предложено оценить удельный вес влияния частных показателей на общее, агрегированное состояние эффективности и построить интегральный индикатор множества объектов в виде линейной комбинации показателей объектов. Предложены2 такие способы построения интегрального индикатора, как метод главных компонент, факторный анализ, метод экстремальной группировки признаков, многомерное шкалирование и отбор наиболее информативных показателей.

В. В. Шакиным3 предложен метод объективизации работы жюри, основная идея которого заключалась в двойственности экспертной оценки, когда эксперты могли оценивать как веса показателей, так и ценность объектов. В настоящей работе на основе этого метода был развит метод согласования экспертных оценок.

1Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. —

М.: ЮНИТИ, 1998. - С. 363.

2Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Е нюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная

статистика /Классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989. - 607 с.

3Шакин В. В. К объективизации работы жюри. Линейная модель связи ценности объектов и индексов, /в кн. под ред. Кулагина А. С. Методика и техника статистической обработки материалов социологических исследований идеологической работы. — М.: Академия общественных наук при ЦК КПСС, 1972. — С. 251-263.

Аналитическое основание составляют работы по сингулярному разложению и регуляризации линейных операторов. Использовалась, в частности, работа Дж. Форсайта и К. Молера , в которой было описано сингулярное разложение и доказаны необходимые теоремы. В работе П. К. Хансена5 изложены проблемы регуляризации линейных операторов при решении систем вырожденных уравнений. В этой работе рассматриваются как методы регуляризации А. Н. Тихонова, так и регуляризация при помощи сингулярного разложения.

Термин "согласование экспертных оценок" был введен Б. Р. Литва-ком6. Методы, описанные в его работах, основаны на последовательной коррекции экспертами своих оценок.

Термин интбгр)ЭлЛЬ>ныи индикатор CB6p)TK£L дл^анных^ наиболее информативно описывающих объект, был -В в сз^л^сз и С. А. Айвазяном7.

В данной работе описано три подхода к построению интегрального индикатора. С помощью процедуры построения интегрального индикатора "без учителя" был получен интегральный индикатор, который, по мнению экспертов, оказался неудовлетворительным. Согласно второму подходу, интегральный индикатор строился "с учителем", как взвешенная сумма измерений показателей каждого объекта. По-видимому8, веса назначались неверно, что также приводило к результатам, спорным с точки зрения экспертов.

Предлагаемый подход имеет целью согласовать экспертные оценки и заключается в поиске компромиссного решения. Согласно этому подходу, экспертам предоставляется возможность разрешить противоречие меж-

4Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических

уравнений. — М.: Мир, 1969. — С. 15-18.

5Hansen, Per Christian. Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems, SI AM.

Philadelphia, 1998. — P. 29-31.

'Vimвак Б. Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. — М.: Радио

и связь, 1982. — С. 69-88.

7Айвазян С. А. Сравнительный анализ интегральных характеристик качества

жизни населения субъектов Российской Федерации. /Препринт #WP/2001/125. — М.:ЦЭМИ РАН, 2001. - 65 с.

Юрлов А. И. Современный этап развития теории экспертных оценок. /Заводская лаборатория, 1996, №1.

_ з -

ду интегральными индикаторами объектов, весами показателей и измеряемыми данными.

Цели и задачи работы. Теоретическая Т Т^бЛ -Ь Н сЛСТОЯЩбИ работы — развитие методов построения интегральных индикаторов, основанных как на информации об анализируемых объектах, так и не экспертных оцен ках. Практической целью работы является создание программного обеспечения для построения интегральных индикаторов и согласования экспертных оценок.

Методы исследования, материалы. Методологической основой для выполнения настоящей работы послужили современные исследования в теории принятия решений. Использовались, в частности • работы В. В. Ша-кина по измерению связи между качественными признаками, работы С. А. Айвазяна по построению интегральных индикаторов и методы регуляризации при решении некорректно поставленных задач.

Для апробации предложенных расчётных процедур использовались данные и^ эк^спе^этные отт^ент*сип^эед^остсьвл^ен^н^ые Департаментом охраны окружающей среды и экологической безопасности Министерства природных ресурсов России в рамках проекта Глобального экологического фонда "Сохранение биоразнообразия".

Обоснованность научных положений. Теоретические положения диссертации, сформулированные в виде теорем и более частных утвержде нии, строго доказаны. Выводы, сделанные в прбдмбтног[ области, одобрены экспертами Представительства Всемирного союза охраны природы ^л^ л .Я- стран СНГ.

Научная новизна.

1. Введен оператор согласования экспертных оценок.

2. Предложены процедуры согласования экспертных оценок для ли-неиных и ранговых ттткал.

3. Предложена процедура регуляризации оператора, отображающего пространство весов показателей в пространство интегральных ин-

дикаторов, и доказана его устойчивость.

4. Создано программное обеспечение д^ля построения интегральных индикаторов и согласования экспертных оценок.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные процедуры нахождения интегрального индикатора могут использоваться в задачах принятия решения, для согласования экспертных оценок состояния объектов, построения экологических и социальных индикаторов, а также индикаторов качества, таких как интегральный индикатор качества жизни, индекс развития человеческого потенциала.

Апробация работы. Работа поддержана грантом РФФИ 00-01-00197 "Критерии качества жизни и устойчивого развития для социально-экономических систем в экстремальных условиях".

Работа выполнена в рамках реализации проекта ГЭФ "Сохранение биологического разнообразия России" и программы Представительства ВСОП для стран СНГ по экологическим сетям и охраняемым природным территориям. Предложенная в данной работе модель протестирована на данных — результатах мониторинга заповедников РФ за 1996-2000 годы.

Материалы диссертации докладывались HcL Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов" — ММРО-Ю, Москва, 19-22 ноября 2001 г. и ММРО-9, Москва, 15-19 ноября 1999 г.; Научном семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" — Москва, Центральный экономико-математический институт РАН, 17 апреля 2002 г. и 28 марта 2001 г.; 8-й международной конференции "Исследование операций — К01-2000" — Ровинь, Хорватия, 27-29 сентября 2000 г.

Созданное в рамках данной работы программное обеспечение и методики используются компанией GAIA UNLIMITED, Inc., USA для оценки влияния работы электростанций на качество окружающей среды и Представительством ВСОП ^л^ л .Я- стран СНГ дл я о це н к и эффективности управления государственными заповедниками России. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура диссертации. Во введении описана актуальность и цели работы. Приведен обзор литературы, посвященной данной тематике. В первом разделе описаны известные способы нахождения интегрального индикатора без обучающей выборки. Во втором разделе описаны предложенные процедуры согласования экспертных оценок и регуляризации оператора, отображающего вектор из пространства экспертных оценок весов показателей в пространство интегральных индикаторов. В третьем разделе описана предложенная модель управления с обратной связью, в рамках которой оценивается эффективность работы заповедников, и описаны результаты вычисления интегрального индикатора с использованием данных ежегодных отчетов заповедников и экспертных оценок. Четвертый р 0)3 д б л посвящен обсуждению процедур нахождения интегральных индикаторов и полученных результатов. В заключении подведены итоги работы по оценке эффективности управления заповедниками. Диссертация содержит 106 страниц машинописного текста, 16 рисунков, 7 таблиц. Список литературы включает 64 наименования.

Содержание работы

Введение содержит общую характеристику работы. Приведено обоснование актуальности темы, сформулированы цели и задачи исследования. Сделан обзор работ, посвященных ^донной тбмотикб• Указаны основные способы нахождения интегральных индикаторов и роль экспертов. В первом разделе приведены известные методы построения интегральных индикаторов. Описана модель порождения данных. Приведены четыре различных метода нахождения интегрального индикатора "без учителя", описана процедура кластеризации объектов при построении индикаторов.

множество Y = {v\, ...,um} объектов и множество показателей Ф = }• Объект и, описан с вектором-строкой a,. = (a,i,...,ain) :

a,. G Rn. Множество описаний объектов

представлено в видб iviотрицы

л _ г

исходных данных — {a, j}, j_1 •

Определение 1. Объект vi, имеющий максимальный по значению интегральный индикатор (наибольшую экспертную оценку, если она рассматривается в качестве интегрального индикатора), qi = maxjqi, ...,qm}, является наилучшим. Объект vi, имеющий минимальный по значению интегральный индикатор qi = min{q1?..., qm} является наихудшим.

Определение 2. Показатель фj, имеющий максимальный по значению вес (наибольшую экспертную оценку, если она рассматривается в качестве веса показателя), Wj = max{w^ ...,wn}, является наиважнейшим при нахождении интегрального индикатора.

Выполнены следующие предложения. Максимальное значение элемента ^измеряемого показ ателя ф^ с номер ом ( означало, что £-й объект vg наилучший по данному показателю. Также, минимальное значение элемента ^показателя ф^ означало, что объект vg является наихудший по данному показателю,

a^ = max{a^}m=i^q^ = max{qi, ...,qm}, ^

aф = min{ai^}m=i^qv = min{qi, ...,qm}.

Векторы a.j = {a^, ...,amj)T : a.j G A нормированы так, что справедливо равенство

I opt I

, _\aij— aj \_ . , . ,

aij = 1--opptt--, 1 = j = l,...,n,

max([a°p — min(a.j)], [max(a.j) — a? ])

(2)

где оптимальное значение opt (a.j) : min(a.j) < opt (a.j) < max(a.j) задано.

Для нахождения интегральных индикаторов "без учителя" использовались метод главных компонент, метод сингулярных компонент и расслоение Парето. Использовалась также взвешенная сумма q = Aw0, где веса w0 = {w01, ...,w0n)T : w0 G Rn назначались экспертами.

Определение 3. Интегральным индикатором объекта ui G Y с номером i называется скаляр qi G R1, поставленный в соответствие набору ai. описаний объекта.

При рассмотрении множества объектов Т вектор q = (д1, ...,дт)т : ц Е Кт считался интегральным индикатором множества объектов, описанных матрицей А = {а^}тт=1 : А Е Щтхп,

Метод главных компонент9. Для нахождения первой главной компоненты нормированной (2) и центрированной матрицы А требовалось найти такие коэффициенты С = {с^ }пП что линейные комбинации векторов = Ас г = 1,...,п обладали бы наибольшей дисперсией шах(Бъ• 1 + Бъ• 2 + ... + Бъп) при ограничениях нормировкн Х^т=1 с^ = 1,] = 1,...,п и С'ЧСк = §,3,к = 1,---,п,3 = к- Значение интегрального индикатора вычислялось как проекция векторов-строк матрицы на первую главную компоненту, = Ас• 1.

Метод сингулярных компонент. Процедура нахождения интегрального индикатора по сингулярному разложению заключалась в следующем. Было найдено сингулярное разложение матрицы исходных данных

А = иЛУТ.

Теорема 1. (Дж. Форсайт) Для любой вещественной (п х п)-матрицы А существуют две вещественные ортогональные (п х п)-матрицы и и У, такие, что иТАУ диагональная матрица Л. Матрицы и и У выбираются так, чтобы диагональные элементы Л имели вид Х1 ^ Л2 ^ ... ^ Аг > Аг+1 = ... = Ап = 0, где г — ранг матрицы А.

Была найдена проекция всех векторов а^ • на сингулярный вектор, соответствующий наибольшему сингулярному числу А1 матрицы А, = Ма g(Аl, 0, — , 0).

Расслоение Парето10. Описания {а^ •} множества объектов Т были

9Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Е нюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика /Классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989. - С. 334.

И,1 Пакпн В. В. Парето-классификация конечных выборок. Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции. У-я научная конференция стран СНГ. Тезисы докладов. — М.: Центральный экономико-математический институт РАН, 1993. — С. 96-97.

представЛ6НЫ В ВИД6

Т = 5, 5 П = если ( = п,

С =1

где множество Парето £-го порядка 5 = {а,. : г £ {1,т}} и I — число разбиений конечного множества {а,.}.

Определение 4. Вектор а^. = (а^, ...,аП называется недоминируемым, если не найдется ни одного вектора а,., такого, что а^ > а^, г =

Для всех ( = 1,I множество 5 было определено как набор недоминируемых векторов, не принадлежащих множеству 5-1, то есть,

5С = {ае. : ае. £ —1,Уг £ {1,..,т},г = ^ £ {1, ...,п} : а& ^ аг]}£=1.

В соответствие каждому вектору а^., £ = 1,..., т был поставлен индекс ( множества которому принадлежит вектор а^.. Полученное множество £ = {(^приведем к виду, удовлетворяющему (1), qз = {шах(£} —

/■ 1 т

Во втором разделе описаны способы согласования экспертных оценок, выставленных в линейных и ранговых шкалах. Обсуждалась регуляризация при нахождении согласованных оценок. Каждому объекту

и, была поставлена в соответствие экспертная оценка до,, также, каждому показателю фу была поставлена в соответствие экспертная оценка , то есть заданы векторы qo = (д01,..., %т)Т : qo £ ЖтИ wo = ^01,...^0пп)Т : wo £ Кп.

Тройку (q0, w0, Л) представлена с помощью таблицы, в которой каждый элемент вектора q0 поставлен в соответствие строке, а каждый элемент вектора w0 поставлен в соответствие столбцу матрицы Л:

Т

qo

Л

В общем случае вектор экспертной оценки q0 объектов и вектор взвешенной суммы значений показателей объектов Aw0 различиы, q0 = Aw0,

также, wo = А+40, где А — линейный оператор, представляемый при помощи данной матрицы, и пусть существует А+ — оператор, псевдооб-

А

Определение 5. Согласованными значениями интегрального индикатора и весов показателей называются такие значения 4 и Л, при которых выполняется условие

Определение 6. Оператором согласования Ф экспертных оценок называется оператор, переводящий тройку (ц0, л0, А) в тройку (4, Л,А), где векторы 4, Л удовлетворяют условию (3):

«-согласование. Оператор согласования был определён следующим А

странство весов показателей W Э л0 в пространство интегральных индикаторов объектов Ц Э 40:

и А поставлен в соответствие псевдообратный оператор А+, отображающий пространство интегральных индикаторов в пространство весов показателей А+ : Ц —> W, то есть, А+А = 1П} АА+ = А+АА+ = А+, АА+А = А, где 1п и 1т ~ единичные матрицы размерностей, соответствующих индексам.

у с т в ус т сингулярное разложение матрицы А гада А = иЛУТ, где Л = сИа§(А1,..., ), Я = шт(ш, и), и

Теорема 2. Матрица А+ = УТЛ-1 и является для матрицы А псевдообратной.

"Го.[уо Дж., Ван-Лоун Ч. Матричные вычисления М.: Мир, 1999. - С. 223.

АЛ, А+4.

(3)

Ф : (40, л0,А) —> (4, Л,А).

А : W —►

иТи = 1т, УУТ = 1п.

(4)

Определим А+ как

А+ = УЛ—1ит, (5)

где Л-1 = сИа§(Л—\Л—1,0,..., 0) — диагональная матрица размерности п х п.

Исходные значения векторов интегрального индикатора и весов показателей были обозначены соответственно qo : qo £ Я С Кт и wo : wo £ W С Пусть

q1 = Aw0 и w1 = A+q0.

Заданы отрезки [q1, q0] С Я и w0] С W. Евклидова длина отрезков 1^0 — q1|| и ||wo — w1|| была использована как мера несогласованности экспертных оценок. Были найдены согласованные оценки на этих отрезках. Для выпуклые линейные комбинации векторов qo, ql, и Wo, Wl были X1, л ^ЗН Ы В ВИД6«

{wa : wa = (1 — 0^0 + аwl} £ ^0, Wl],

: qв = вqo + (1 — в)ql} £ ^0, ql],

где а, в £ [0,1].

Теорема 3. Для любых значении а, в £ [0,1], значения векшоров wa, qв удовлетворяют требованиям согласования, то есть, Awa = qp, причем а = 1 — в-

Таким образом, согласованные экспертные оценки найдены с помощью выражения

Wa = (1 — 0^0 + аA+qo, qa = аqo + (1 — а)Awo, где а : а £ [0,1] — параметр доверия экспертным оценкам интегральных индикаторов объектов, либо экспертным оценкам весов показателей. а=0

а=1

оценки весов и учитываются оценки объектов.

Теорема 4. Тройка wa, Л), полученная процедурой а-согласования (6) удовлетворяет требованиям согласования (3).

Таким образом, с помощью выражения (6) выбран параметр а, определяющий согласованные значения векторов экспертных оценок qa = Была сделана оценка невязки при выбрани ом параметре а. Евклидово расстояние между исходными векторами qo, wo и полученными векторами qa, wa в пространстве интегральных индикаторов и в пространстве весов соответственно равны

2 II 112

= № - qolг,

¿2 = - Wo||2.

а

нпмума расстояния между начальными и согласованными экспертными оценками в обоих пространствах Q и W. Учитывая, что размерности этих пространств соответственно равны мп, нормируем квадраты расстояний и найдены такие согласованные значения векторов qa и wa, что они удовлетворяют условию

* д (7)

т — 1 п — 1

а

зависимости от предпочтений оценок объектов или оценок показателей. Полученные результаты предлагались экспертам на обсуждение в следующем виде:

тй Т

Й11 wT а

qo qa А

а

объектов и показателей или при изменении самих экспертных оценок вышеописанная процедура повторялась, и на обсуждение экспертов передавались вновь полученные результаты.

72-согласование. Согласованное решение было определено как решение, удовлетворяющее условию (3), при котором расстояние от согласованных векторов q7 и w7, таких, что q7 = Aw7 до, соответственно,

векторов экспертных оценок qo и wo минимально. Пусть

е2 = ||Aw — q0||2, ö2 = ||w — w0||2.

Решение задачи нахождения минимального расстояния от согласованных векторов до векторов экспертных оценок принял вид

wY = arg min (е2 + 72ö2), (9)

weW

где весовой множитель 72 e (0, ж) — определяет степень компромисса между оценкой объектов и показателей. При малых значениях 72 в большей степени учитывается экспертная оценка объектов, а при больших значениях 72 в большей степени учитывается экспертная оценка показателей.

Теорема 5. Функционал (е2 + 72ö2) достигает единственного минимума на множестве wY e W в точке

w7 = (AT A + y2I )—1(AT qo + 72wo). (10)

Теорема 6. Тройка (qY, wY, A), полученная процедурой 72-согласования (10) удовлетворяет требованиям согласования (3).

Параметр 72 для получения согласованных векторов qY = AwY и wY выбирался из условия (7).

т-согласование. Предложена процедура, где с оценками q0, w0 раз-р 6 ТТТ 6 н ы любые монотонные преобразования. То есть у в ведено отношение порядка на множестве элементов векторов w0 = {wj : w1 ^ ... ^ wn}n=1 и q0 = {qi : q1 ^ ... ^ qm}m=b которое задает соответственно конусы12 W e Rn и Q e Rm. При нахождении согласованных оценок вводились монотонные корректирующие функции Tq : Q —> Q и Tw : W —> W, приближающие начальные экспертные оценки при сохранении отношения порядка.

Дана тройка (q0, w0, A). Найдем такие век торы qT = Tq (q0) и wT = Tw (w0), что выполняется условие минимума невязки

ATw (w0) — tq (q0) = А. (И)

12Карманов В. Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1980. — С. 29.

Для k = 0,..., K указаны такие векторы

Wk+i = Tw(wk, A+qk), ^

qk+i = TQik (qk, Awk),

которая доставляют минимум функционалу \\Ak||2 = ||Awk — qk||2- Векторы qT, wT, найдены в результате ком позиции Tq = Tq^ ◦ ... ◦ Tqk и TW = TW,i ◦ ■■■ ◦ TW,k■

T

жества x = {x]^, ...,xm} и t = {t1,...,tm : t1 ^ ... ^ tm}. Множество пар ф = {(t1,x1),..., (tm,xm)} задают функцию ф, и Xi = ф(t{). Функция ф, в общем случае, немонотонна. Найдена такая монотонную функцию f : t —> x f £ Pm которая аппроксимирует ф,

m

f (t) = aigminYJ(f (ti) — ф(и))\

i = 1

где Pm множество всех возрастающих полиномов степени p ^ т. Также,

найдена такая функцию ф : t —> х,ф £ О, которая интерполирует

ф

ф{Ъ) = aigmm y(t) — ф(Щ,

где О — множество полиномиальных сплайнов с т узлами степени r дефекта 1.

Для приближения функции ф функцией f был использован метод Kctc cLT ел ь н ых

Ньютона-Канторовича 13. Функция f (t)^(t) рассматривалась на отрезке S = [a,b] Э t.

Требуется найти гомеоморфизм § : S —> S, §(t) = t + т(t)7 такой, что

§ = ZYgMn Wf (t) — ф(§(Щ2,

т £S

при значении т = O(t). Для нахождения т функция ф(§^)) представлена в виде ф(§^)) = ф(t) + т(t)ф'(t) + O(r2(t)). Для решения задачи оптимизации

т() = &Ygmm(Wf (t) — ф(т2 + б2||т (t)W2)

теБ

Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — С. 323-329.

использовано выражение

т (/(г) —

Те(1) = -2-.

(Ф)) + е2

Искомая функция Т : х —> у была задана следующим образом. Подставляя в найденную функцию ф(&(г)) значения ^ из ф получены скорректированные оценки = г = 1,т. Параметр е2, определяющий, насколько велика разность между значениями, которые принимает функция ф в точках г и $(г)7 подбирались таким образом, чтобы функция Т($(г)) была монотонной.

Регуляризация при согласовании экспертных оценок. Предложено следующее решение проблемы выбора алгоритма вычисления псевдообратного оператора А+ : Q —> Задано множество ^ = {}, алгоритмов вычисления псевдообратного оператора А+. Из данного множества выбирается такой алгоритм ы, что для полученного А+ = А+(и) имеет место ^^ + ^^) гДе £2 = ||q — q0||2, и 52 = — w0||2.

Для рбТТТСНИЯ были 11 редло^жеиы дв ^ способа нахождения псев-

дообратного оператора А+: регуляризация псевдообратного оператора методом Тихонова14 и обращение усеченного сингулярного разложения. В первом случае был найден псевдообратный оператор А+ = (АТА + 7 21 )—1-

Алгоритм обращения матрицы посредством усеченного сингулярного разложения состоит в следующем. Пусть матрица исходных данных А представлена в виде А = иЛУТ. Тогда при нахождении обратной матрицы А+ = УЛ—1иТ в силу ортогональности матриц и и У: иТ и = УУТ = I и в силу условия убывания диагональных элементов матрицы Л = сИа§(А1,Ап), псевдообратная матрица А+ более

Л

ния, чем от первых сингулярных чисел. Действительно, если по усло-

А

числа А1 ^ А2 ^ ... ^ Ап, то сингулярные числа матрицы А+ равны

14Тихонов А. II.. Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. - С. 110.

А"1 = diag( ,) и ^ ^ ■■■ ^ Считая пер вые r сингулярных чисел определяющими собственное пространство матрицы A, при обращении матрицы A использовались первые r сингулярных чисел. Обратная матрица A+ найдена как A+ = VA—1UT.

Для обоснования предложенных методов согласования использовалась лемма о непрерывности обратного отображения, впервые сформулированная А. Н. Тихоновым.

Тройка (q, w, A) определена на следующих метрических пространствах. Вектор q является элементом Q, где область Q является компактной bQ: Q С Q = Rm, так как область Q замкнута и ограничена. Также, вектор w является элементом W, где область W является компактной в ^W С "W^ = Rn, так как W

задается нормами векторов ||q||2 для компакта Q и ||w||2 для компакта W. Функционал pq = pq(Aw, q) определен как pq = ||Aw — q||2.

Теорема 7. Псевдообратный оператор A+, определенный как A+ = (ATA + y2I)—1, является непрерывным по метрике пространства W.

Теорема 8. Оператор A+ = UTArV, полученный методом обраще-

r

мерном подпространстве.

A Aw = q

q

женного решения этого уравнения по формуле q = A+w возможно в

W С W

AW

Показано, что согласованные векторы q, w, получаемые с помощью процедур согласования, являются единственными.

Задача нахождения тройки (q, w, A) называется корректно поставленной на паре метрических пространств (Q, W), если удовлетворяются условия:

1. для всякого элемента q Е Q существует решение w Е W;

2. решение определяется однозначно;

3. задача устойчива на пространствах Q, Ш.

Таким образом, получены решения задач (6) и (10), корректные по Ада-мару.

В третьем разделе приведены результаты построения индикаторов и описана библиотека функций, необходимых дл я в ы 'ч с л е н и^ и^ •

Для решения задачи по оценке эффективности управления заповедниками были собраны следующие ^л^сьнн•

— ежегодные отчеты заповедников за 1995-2000 гг.,

— экспертные оценки интегральных индикаторов заповедников,

— экспертные оценки весов показателей ежегодных отчетов,

— мнения экспертов относительно классификации заповедников,

Для оценки эффективности управления заповедниками экспертам был предложен специально составленный сборник анкет15. В данном сборнике экспертам предлагалось дать оценку эффективности работы заповедника по различным критериям (охрана, наука, просвещение, работа директора), а также сравнить заповедники друг с другом. Помимо этого, экспертам предлагалось сделать самооценку осведомленности о работе заповедника.

В данной работе, в качестве иллюстративного примера выбраны данные ежегодных отчетов по разделу "Работа службы охраны заповедников Российской Федерации". Предлагаемые процедуры были применены к выбранным денным «I результаты обработки данных описаны ни^ке.

В качестве исходных данных рассмотрена матрица А, включающая в себя 23 заповедника, указанных экспертами. Число обусловленности матрицы А равн о ж а = 2700. При нахождении интегрального индикатора "без учителя" к матрице исходных данных применялись три процедуры нахождения интегральных индикаторов — вычисление нормы в метрике

|:,1 ГСХ-С11 ).\-\\"\\Т\ Экспертно-статистический метод оценки эффективности работы ООПТ. Сборник ян кет. Рукопись. - М.:1Г(:\. 2001 - 18 с.

Минковского, метод главных компонент и метод сингулярного разложения. Вычисленные индикаторы qi = Aw0, q2 = Ac.1 и q3 = UA1 слабо коррелирует с интегральным индикатором q0, предполагаемом экспертами: rqbq0 = — 0.15, rq2,q0 = — 0.14 rq3,q0 = -0.34.

Таким образом, для того чтобы получить удовлетворительные для экспертов результаты, минимально противоречащие экспертным оценкам и исходным данным, требовалось выполнить процедуру согласования экспертных оценок.

Были использованы два метода согласования, давшие примерно одинаковые оценки интегральных индикаторов, которые эксперты сочли удовлетворительными. Параметры доверия 072 решено было назначить исходя из условия (7). В данном случае а = 0.32575, 72 = 0.93376. При минимальном значении параметра а, близки исходная оценка индикатора q0 и согласованная оценка qa. При максимальном значении а и сход н ctя оцен

ка весов показателей w0 и согласованная оценка wa. При некото-а

их согласованных векторов до соот-

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 1: Зависимость расстояний е и 6 от

ветствующих им исходных векторов

£2 ¿2 параметра а

становятся одинаковы: т = т.

" т— 1 п—1

Изменение расстояний е2, б2 при выборе пара метра а £ [0,1] можно уви-

а

нат значения е, 6. При увеличении а расстояние е между векторами qo и qa увеличивается, а расстояние 6 между вектор ами w0 и wa уменьша-ется«

К рассматриваемым экспертным оценкам была применена процедура т-согласования. Процедура отображает векторы экспертных оценок q0, w0 соответственно в такие векторы qт и wт, которые минимизируют невязку ||Д||2 уравнения А(ТШ^0)) = Тд(q0) + Д.

т

^ 2 стве входной троики для процедуры 7 -согласования с целью получения

согласованных экспертных оценок. Для оценки работ различных процедур согласования было использовано полученное расстояние от векторов

экспертных оценок до согласованных векторов. Результаты сравнения работ алгоритмов показаны в таблице 1. Как

-- £2 б2 "

Таблица 1: Расстояние между вектора- РасСТОЯНие т—1 + п—1' полУченное С

2

ми экспертных оценок и согласованны- помощью процедуры 7 -согласования ми векторами

1 меньше, чем расстояние, полученное с

помощью процедуры «-согласования, так как во втором случае согласованные векторы qa, wa принадлежали соответственно отрезкам [^0, q1] и ^о, w1], а в первом случае согласованные векторы q7, w7 лежали в

окрестности соответственно векторов q0 и w0. Композиция процедур т-

2

согласованпя и 7 -согласования дала еще меньшее суммарное расстояние

Процедура £2 , б2 т—1 1 п—1

«-согласование 2 7 -согласование 2 т-7 -согласование 0.67 0.62 0.59

£

2

+

б2

т—1 п—1'

Так как обе описанных процедуры — «-согласования и 72-согласования дали близкие результаты, первая процедура была рекомендована в том случае, когда параметр согласования назначают сами

эксперты. В том случае, когда требуется найти минимальное суммарное

2

расстояние рекомендовалась процедура 7 -согласования. В обсуждении указаны особенности применения процедур построения и согласования интегральных индикаторов, и описаны области применения этих процедур.

Заключение содержит основные результаты диссертации, а также список публикаций по теме исследования.

1. Введен оператор согласования экспертных оценок. Предложены процедуры согласования экспертных оценок для линейных и ранГОВЫХ ШКЭЛ •

2. Предложена процедура регуляризации оператора, отображающего пространство весов показателей в пространство интегральных ин-

дикаторов, и доказана его устойчивость.

3. Рассмотрены известные процедуры получения интегрального индикатора множества объектов "без учителя". Развита процедура, разделяющая множество объектов на кластеры.

4. Создано программное обеспечение для построения интегральных индикаторов и согласования экспертных оценок.

5. Методы проиллюстрированы задачей по оценке эффективности работы заповедников России. Использовались данные е^кегодных от* четов о работе службы охраны заповедников и экспертные оценки интегральных индикаторов и весов показателей работы заповедников. В качестве результата получены согласованные интегральные индикаторы и веса показателей.

Публикации по теме работы

1. Стрижов В. В. Согласование экспертных оценок для биосистем В экстремальных условиях. Сообщения по прикладной математике. Научное издание • — М.: ВЦ РАН 2002. — 41 с.

2. Стрижов В. В., Шакин В. В. Согласование экспертных оценок в р ан гов ых ттт кал ах. /Математика. Компьютер. Образование. IX международная конференция. Тезисы докладов« — М.: "Прогресс-Традиция", 2002. — С. 148.

3. Стрижов В. В., Шакин В. В. Согласование экспертных оценок. /Математические методы распознавания образов (ММРО-Ю), Доклады X всероссийской конференции. Научное издание. — РАН, ВЦ, РФФИ, Москва, 2001. - с. 137-138.

4. Стрижов В. В., Шакин В. В., Благовидов В. В. Согласование экспертных оценок при анализе эффективности управления заповедниками. /Тезисы докладов "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества." — Москва, 2001. — С. 30.

5. Molak V, Shakin V. Strijov V., Kyoto Index for the Power Plants in the USA. The 3-rd Moscow International Conference On Operations Research (ORM2001). Abstracts. — Вычислительный центр РАН, Москва, 2001 - P. 80.

6. Strijov V., Shakin V., An algorithm for clustering of the phase trajectory of a dynamic system. — Mathematical Communications — Supplement 1(2001) — p. 159-165.

7. Зубаревич H. В., Тикунов В. С., Крепец В. В., Стрижов В. В., Шикни В. В. Многовариантные методы интегральной оценки развития человеческого потенциала в регионах Российской Федерации, /в сб. ГИС для устойчивого развития территорий. Материалы Международной конференции. — Петропавловск-Камчатский, 2001. — с. 84105.

8. Стрижов В. В., Шакин В. В. Программное обеспечение ^Л^ Л .Я-дования фазовых траекторий. /Математические методы распознавания образов (ММРО-9), Доклады IX всероссийской конференции. Научное издание. — РАН, ВЦ, РФФИ, Москва, 1999. — с. 227-230.

Введение

1 Построение интегральных индикаторов

1.1 Модель порождения д&нных.

1.2 Нахождение интегрального индикатора "без учителя"

1.2.1 Нахождение расстояния.

1.2.2 Метод главных компонент.

1.2.3 Сингулярное разложение.

1.2.4 Расслоение Парето.

1.3 Кластеризация объектов при построении индикаторов.

2 Согласование экспертных оценок

2.1 Постановка задачи согласования экспертных оценок.

2.2 Согласование В ЛИНеИНЫХ ТТТКсХЛсХХ.

2.2.1 «-согласование.

2.2.2 72-согласование

2.3 Согласование в ранговых тпкэлэх.

2.3.1 т-согласование.

2.3.2 Нахождение корректирующей функции Т.

2.4 Регуляризация при нахождении согласованных оценок.

3 Результаты

3.1 Описание библиотеки функций

3.2 Модель управления заповедниками.

3.3 Описание ИСХОДНЫХ ДсШНЫХ

3.4 Получение экспертных оценок.

3.5 Предварительный анализ и кластеризация.

3.6 Нахождение интегрального индикатора "без учителя"

3.7 Согласование экспертных оценок

4 Обсуждение

Актуальность проблемы. Важной ЗсХДДЧбИ аНЭЛИЗсХ ДсХННЫХ. требующей количественных методов оценки, является задача согласования экспертных оценок при построении интегральных индикаторов. Её решение нужно для объективного судейства в спорте, анализа состояния социальных, экономических, экологических систем и для многих других предметных областей. Этой задаче посвящено много работ как зарубежных, так и отечественных исследователей.

Содержательное основание диссертации составляют работы в области снижения размерности признакового пространства и экспертно-статистический метод. В этой области работали С. А. Айвазян, В. М. Бухштабер, И. С. Е нюков, Л. Д. Мешалкин и В. В. Шакин. Термин "экспертно-статистический метод" впервые был вв( ?ден в 1974 году С. А. Айвазяном. В работе [3] он писал! Пытаясь оценить (в целом) эффективность деятельности отдельного специалиста, подразделения или предприятия, проранжировать страны по некоторому интегральному качеству (например, по качеству жизни населения или по так называемому общему индексу человеческого развития), наконец, проставить балльные оценки спортсмену — участнику командных соревнований в игровых видах спорта за качество его игры в определенном цикле, мы каждый раз по существу решаем (на интуитивном уровне) одну и ту же задачу: отправляясь в своем анализе от набора частных показателей х(1\ х(2\ ., х(р, каждый из которых может быть измерен и характеризует какую-нибудь одну частную сторону понятия "эффективность", мы их как бы взвешиваем (т. е. внутренне оцениваем удельный вес их влияния на общее, агрегированное, понятие эффективности) и выходим на некоторый скалярный агрегированный показатель эффективности у." Таким образом, было предложено построить интегральный индикатор множества объектов в виде линейной комбинации показателей объектов.

Некоторые способы построения интегрального индикатора были предложены в справочном издании по прикладной статистике [1]. В разделе "Снижение размерности признакового пространства и отбор наиболее информативных показателей" были предложены такие методы как метод главных компонент, использовавшийся в данной работе для предварительного построения интегрального индикатора, факторный анализ, метод экстремальной группировки признаков, многомерное шкалирование, отбор наиболее информативных показателей в моделях дискриминантного анализа, отбор наиболее информативных переменных в моделях регрессии и другие.

С другой стороны, в 1972 году В. В. Шакиным в работе [50] был предложен метод объективизации работы жюри. Основная идея этого метода заключалась в двойственности экспертной оценки, когда эксперты могли оценивать как веса измеряемых показателей, так и ценность объектов. В н ас тоя тце и работе на основе этого метода был развит метод согласования оценок, полученных непосредственно от экспертов и вычисленных оценок.

Ряд работ [14], [28] по упорядочиванию объектов был опубликован И. Ф. Шах-новым и его соавторами. В этих работах были поставлены задачи ранжирования объектов, описанных с помощью матриц парных предпочтений и нечетких отношений второго типа, определяемых матрицами лингвистических парных оценок. Для решения этих задач предложен ряд методов, не использующих описание объектов с помощью измеряемых показателей. Рассмотренные экспертные оценки выставлялись в ранговых шкалах или были лингвистическими.

Аналитическое основание составляют работы по сингулярному разложению и регуляризации линейных операторов. Использовались в частности работы Дж. Форсайта и К. Молера по численному решению систем линейных алгебраических уравнений [57], в которых было описано сингулярное разложение и доказаны необходимые теоремы. В работе Дж. Голуба и Ч. Ван Лоуна введено понятие оператора, псевдообратного данному линейному.

Понятие регуляризации введено А. Н. Тихоновым в работах по решению некорректно поставленных задач, в частности в [45]. Показано, что задача называется корректно поставленной на паре метрических пространств (О, Ш), если удовлетворяются три условия. Во-первых, для всякого элемента я € О существует решение w € Ш, во-вторых, решение определяется однозначно, и в третьих, задача устойчива на пространствах О, Ш.

В работе А. М. Шурыгина по робастности в прикладной стохастике [55] предложены методы получения стойкой регрессии при наличии загрязняющих элементов в выборке. Они заключаются в использовании первых главных компонент матрицы данных. Идеи метода стойкой регрессии использовались при нахождении согласованной экспертной оценки в пространствах с конусом.

В работе П. К. Хансена [61] изложены проблемы регуляризации при решении систем вырожденных уравнений. В этой работе рассматриваются как методы регуляризации А. Н. Тихонова, так и регуляризация при помощи сингулярного разложения. Введено понятие обобщенного сингулярного разложения для решения некорректно поставленных задач.

Термин согласование экспертных оценок был ввс ;ден в работах Б. Р. Лит-вака, см. например, [24]. В данной работе были описаны методы согласования экспертных оценок для случаев, когда измеряемые данные при построении обобщенной согласованной оценки не рассматривались. Описаны несколько методов согласования экспертных оценок для групп экспертов. Методы основаны на последовательном изменении экспертами своих оценок. В частности, описан метод согласования экспертных оценок "Дельфи". Также термин "согласование экспертных оценок" использовал А. И. Орлов в обзоре "Современный этап развития теории экспертных оценок" [32]. Он подчеркивал важность обоснования модели построения интегральных индикаторов, в которой используются экспертные оценки: "В некоторых случаях всё-таки можно глобально сравнить объекты например, с помощью тех же экспертов получить упорядочение рассматриваемых объектов — изделий или проектов. Тогда можно подобрать коэффициенты при отдельных показателях так. чтобы упорядочение с помощью линейной функции возможно точнее соответствовало глобальному упорядочению." Тем не менее, следует точно определить, в какой шкале эксперты могут выставить свои оценки: "Наоборот, в подобных случаях не следует оценивать указанные коэффициенты с помощью экспертов. Эта простая идея до сих пор не стала очевидной для отдельных составителей методик по проведению экспертных опросов и анализу их результатов. Они упорно стараются заставить экспертов делать то, что они выполнить не в состоянии — указывать веса, с которыми отдельные показатели качества должны входить в итоговый обобщенный показатель. Эксперты обычно могут сравнить объекты или проекты в целом, но не могут вычленить вклад отдельных факторов. Раз организаторы опроса спрашивают, эксперты отвечают, но эти ответы не несут в себе надежной информации о реальности."

В данной работе описано три подхода к построению интегрального индикатора. Первый и второй подходы — построение интегрального индикатора "без учителя" и построение интегрального индикатора строился "с учителем", как взвешенная сумма измерений показателей каждого объекта.

Предлагаемый подход имеет целью согласовать экспертные оценки и заключается в поиске компромиссного решения. Согласно этому подходу, экспертам предоставляется возможность разрешить противоречие между интегральными индикаторами объектов, весами показателей и измеряемыми данными.

Для построения интегральных индикаторов необходимы как экспертные оценки качества объектов, так и объективные, измеряемые показатели описания объектов. Роль экспертной оценке в данной работе очень велика. Эксперт устанавливает критерий, по которому оценивается объект, определяет множество сопоставимых по данному критерию объектов и выставляет оценки каждому объекту.

Предполагается, что эксперт имеет собственное мнение^ не несвязанное общественным мнением и не построенное только на основании измеряемых данных. Это мнение базируется на личном опыте и на знаниях, приобретенных в процессе работы. Свое мнение эксперт отражают в специально приготовленных анкетах и в комментариях к этим анкетам. Все анкеты составляются таким образом, чтобы дать эксперту наибольшую свободу в высказываниях.

Интегральные индикаторы объектов в данной работе строились следующим образом. На основании измеряемых данных, для описания т объектов Т = {уг}т=1 было построено множество из п базовых показателей Ф = {ф^}™=1- Каждому показателю соответствует столбец, а каждому объекту соответствует строка в матрице исходных данных А = {а^ : а^ Е К1}™^ 1- Для получения экспертных оценок каждому показателю ф^ поставлен в соответствие вес а каждому объекту поставлен в соответствие интегральный индикатор Эксперт оценивал веса базовых показателей и интегральные индикаторы объектов. Для этого эксперту был предложен специально подготовленный набор анкет [62], [59]. В результате оценки были получены множество весов л0 = {ш^ : Е К}™=1 и множество интегральных индикаторов я0 = {дг : Е К}™^

После этого была проведена процедура согласования экспертных оценок. Результаты этой процедуры — согласованные интегральный индикатор Я и веса показателей лу были опубликованы для дальнейшего обсуждения. При необходимости эксперт мог скорректировать свои оценки. Тогда процедура согласования повторялась.

Цели и задачи работы. Теоретическая цель настоящей работы — развитие методов построения интегральных индикаторов, основанных как на информации об анализируемых объектах, так и на экспертных оценках. Практической целью работы является создание программного обеспечения для построения интегральных индикаторов и согласования экспертных оценок.

Методы исследования, материалы. Методологической ОСНОВОЙ ДЛЯ ВЫполнения настоящей работы послужили современные исследования в теории принятия решений. Использовались, в частности, работы В. В. Шакина [50], [51] по измерению связи между качественными признаками и работы С. А. Айвазяна [1], [2] по построению интегральных индикаторов, методы регуляризации при решении некорректно поставленных задач, методы кластеризации. В работе использовались данные и экспертные оценки, предоставленные Департаментом охраны окружающей среды и экологической безопасности МПР России в рамках проекта Глобального экологического фонда (ГЭФ) "Сохранение биоразнообразия". Для тестирования предложенных процедур использовались данные Государственного Комитета РФ по Статистике по разделу "Окружающая среда".

Обоснованность научных положений. Теоретические положения диссертации, сформулированные в виде теорем и более частных утверждений, строго доказаны. Выводы, сделанные в предметной области, одобрены экспертами Представительства Всемирного союза охраны природы для стран СНГ.

Научная новизна.

1. Введен оператор согласования экспертных оценок.

2. Предложены процедуры согласования экспертных оценок для линейных и ранговых шкал.

3. Предложена процедура регуляризации оператора, отображающего пространство весов показателей в пространство интегральных индикаторов, и доказана его устойчивость.

4. Создано программное обеспечение для построения интегральных индикаторов и согласования экспертных оценок.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные процедуры нахождения интегрального индикатора могут использоваться в задачах принятия решения, для согласования экспертных оценок состояния объектов, построения экологических и социальных индикаторов, а также индикаторов качества, таких как интегральный индикатор качества жизни, индекс развития человеческого потенциала.

Апробация работы. Работа поддержана грантом РФФИ 00-01-00197 "Критерии качества жизни и устойчивого развития для социально-экономических систем в экстремальных условиях".

Работа выполнена в рамках реализации проекта ГЭФ "Сохранение биологического разнообразия России" и программы Представительства ВСОП для стран СНГ по экологическим сетям и охраняемым природным территориям. Предложенная в данной работе модель протестирована на данных — результатах мониторинга заповедников РФ за 1996-2000 годы.

Материалы диссертации докладывались на Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов" — ММРО-Ю, Москва, 19-22 ноября 2001 г. и ММРО-9, Москва, 15-19 ноября 1999 г.; Научном семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных про-Ц6ССОВ — Москва, Центральный экономико-математический институт РАН, 17 апреля 2002 г. и 28 марта 2001 г.; 8-й международной конференции "Исследование операций — К01-2000" — Ровинь, Хорватия, 27-29 сентября 2000 г.

Созданное в рамках данной работы программное обеспечение и методики используются компанией GAIA UNLIMITED, Inc., USA для оценки влияния работы электростанций на качество окружающей среды и Представительством ВСОП для стран СНГ для оценки эффективности управления государственными заповедниками России. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура диссертации. Во введении описана актуальность и цели работы. Приведен обзор литературы, посвященной данной тематике. В первом разделе описаны известные способы нахождения интегрального индикатора без обучающей выборки. Во втором разделе описаны предложенные процедуры согласования экспертных оценок и регуляризации оператора, отображающего вектор из пространства экспертных оценок весов показателей в пространство интегральных индикаторов. В третьем разделе описана предложенная модель управления с обратной связью, в рамках которой оценивается эффективность работы заповедников и описаны результаты вычисления интегрального индикатора с использованием данных ежегодных отчетов заповедников и экспертных оценок. Четвертый рэздел посвящен обсуждению процедур нахождения интегральных индикаторов и полученных результатов. В заключении подведены итоги работы по оценке эффективности управления заповедниками. Диссертация содержит 105 страниц машинописного текста, 16 рисунков, 7 таблиц. Список литературы включает 64 наименования.

Результаты работы процедуры г-согласованпя использовались в качестве 2 входной троики для процедуры 7 -согласования с целью получения согласованных экспертных оценок. Для оценки работ различных процедур согласования воспользуемся полученным расстоянием от векторов экспертных оценок до согласованных векторов. Результаты сравнения работ алгоритмов показаны в таблице 6. Как видно из вышеприведенной таблицы, расстояние — + —, полученное

Процедура ^ + т п

-согласование 0.67

2 7 -согласование 0.62

2 т-^ -согласование 0.59

5 Заключение

В данной работе получены следующие основные результаты:

1. Рассмотрены процедуры получения интегрального индикатора множества объектов "без учителя". Предложена процедура построения интегрального индикатора с помощью первого сингулярного вектора матрицы исходных данных. Предложена процедура выбора базовых показателей при расслоении Парето на основе метода главных компонент.

2. Развита процедура, разделяющая множество объектов на кластеры. Исходными данными является матрица, соответствующая данному множеству объектов. Дополнительными параметрами являются размерность пространства, в котором должны находится кластеры и распределение наложенного шума. Результатом работы процедуры является древовнднын граф, в узлах которого находятся кластеры.

3. Введен оператор согласования экспертных оценок. Предложены процедуры согласования экспертных оценок для линейных и ранговых шкал.

4. Предложена процедура регуляризации оператора, отображающего пространство весов показателей в пространство интегральных индикаторов, и доказана его устойчивость.

5. Создано программное обеспечение для построения интегральных индикаторов и согласования экспертных оценок.

6. Методы проиллюстрированы задачей по оценке эффективности работы заповедников России. Использовались данные е^кегодных отчетов о работе службы охраны заповедников и экспертные оценки интегральных индикаторов и весов показателей работы заповедников. Описана модель управления заповедниками с обратной связью, в рамках которой поставлена задача оценки состояния заповедника.

7. Получены согласованные оценки эффективности работы заповедников России, учитывающие как измеряемые данные о работе заповедников, так и экспертные оценки. Получены веса показателей, применяемые для последующих вычислений интегральных индикаторов без дополнительного опроса экспертов.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Стрижов В. В. Согласование экспертных оценок для биосистем в экстремальных условиях. Сообщения по прикладной математике. Научное издание. - М.: ВЦ РАН 2002. !1 с.

2. Стрижов В. В., Шакин В. В. Согласование экспертных оценок в ранговых niKäJläX. /Математика. Компьютер. Образование. IX международная конференция. Тезисы докладов. — М.: "Прогресс-Традиция", 2002. — С. 148.

3. Стрижов В. В., Шакин В. В. Согласование экспертных оценок. /Математические методы распознавания образов (ММРО-Ю), Доклады X всероссийской конференции. Научное издание. — РАН, ВЦ, РФФИ, Москва, 2001. — с. 137-138.

4. Стрижов В. В., Шакин В. В., Благовидов В. В. Согласование экспертных оценок при анализе эффективности управления заповедниками. /Тезисы докладов "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества." — Москва, 2001. — С. 30.

5. Molak V, Shakin V. Strijov V., Kyoto Index for the Power Plants in the USA. The 3-rd Moscow International Conference On Operations

Research ((ЖМ2001). Abstracts. — Вычислительный центр РАН, Москва, 2001 - Р. 80.

6. Strijov V., Shakin V., An algorithm for clustering of the phase trajectory of a dynamic system. — Mathematical Communications — Supplement 1(2001) — p. 159-165.

7. Зубаревич H. В., Тикунов В. С., Крепец В. В., Стрижов В. В., Шакин В. В. Многовариантные методы интегральной оценки развития человеческого потенциала в регионах Российской Федерации, /в сб. ГНС для устойчивого развития территорий. Материалы Международной конференции. — Петропавловск-Камчатский, 2001. — с. 84-105.

8. Стрижов В. В., Шакин В. В. Программное обеспечение для исследования фазовых траекторий. /Математические методы распознавания образов (ММРО-9), Доклады IX всероссийской конференции. Научное издание. — РАН, ВЦ, РФФИ, Москва, 1999. - с. 227-230.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность Всеволоду Владимировичу I Накину и Алексею Константиновичу Благовидову за постоянное внимание к работе и предложенные идеи. Автор выра^жает признательность Александру Михайловичу Шурыгину за ряд ценных замечаний, Всеволоду Борисовичу Степаницкому и сотрудникам отдела особо охраняемых природных территорий Департамента ООС и ЭБ МПР России за предложенную тему исследования и предоставленные данные, а также экспертам за проделанную работу по выставлению экспертных оценок.

1. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Е нюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика /Классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989. — С. 334.

2. Айвазян С. А. Интегральные индикаторы качества жизни населения: их построение и использование в социально-экономическом управлении и межрегиональных сопоставлениях. — М.: ЦЭМИ РАН, 2000. — С. 56.

3. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998. - С. 111.

4. Айвазян С. А. Сравнительный анализ интегральных характеристик качества жизни населения субъектов Российской Федерации. /Препринт #\¥Р/2001/125. М.:ЦЭМИ РАН, 2001. - С. 8-13.

5. Айзерман М. А., Алескеров Ф. Т. Выбор вариантов: основы теории. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — С. 52-58.

6. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. — М.: Мир, 1972. С. 13-45.

7. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы: Учеб. пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — С. 44-56.

8. Белкин А. Р., Левин М. Ш. Принятие решений: комбинаторные методы аппроксимации информации. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — (Теория и методы системного анализа). — С. 40-42.

9. Гилязов С. Ф. Методы решения линеиных некорректных задач. — М.: Изд-во МГУ, 1987, С. 54-60.

10. Голуб Дж., Ван-Лоун Ч. Матричные вычисления М.: Мир, 1999. С. 223.

11. Государственный комитет Российской Федерации по охране окружающей среды. Государственный доклад "О состоянии окружающей природной среды Российской Федерации в 1998 году". — М.: Государственный центр экологических программ, 2000. — 2-е изд. — 498 с.

12. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: пер. с англ. — М: Радио и связь, 1985. — С. 41-68.

13. Дёжкин В. В., Пузаченко Ю. Г. Концепция системы особо охраняемых природных территорий России. Авторская версия. — М.: Изд. Рос. Представительства ВВФ, 1999. — С. 6.

14. Жуковин В. Е., Макеев С. П., Шахнов И. Ф. Потенциальные нечеткие отношения и их использование в задачах упорядочивания объектов. /Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1988, №5. — С. 182-189.

15. Закон РФ об особо охраняемых природных территориях.

16. Загоруйко Н. Г. Прикладные методы анализа данных и знании Новосибирск: Издательство института математики, 1999. — С. 36-61.

17. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах. — ДАН СССР, 1962, 145, №2.

18. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математичское программное обеспечение: Пер. с англ. — М.: Мир, 1998. — С. 233-234.

19. Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры: Пер. с англ. М.: Мир, 2000. - 687 с.

20. Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. Изд. 2-е, пересмотр, и дополнен. — М.: Фазис: ВЦ РАН, 2000. — С. 203.

21. Крохмаль А. Г. Карачаево-Черкессия: эколого-географические проблемы. Ростов-на-Дону. Изд-во Ростовского госуниверситета, 1999 — 200 с.

22. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика: пер. с англ. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 384 с.

23. Кулагина Г. Д. Статистика окружающей среды: учебное пособие. — М.: Изд-во МНЭПУ, 1999. 104 с.

24. Литвак Б. Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. — М.: Радио И связь, 1982. С. 69-88.

25. Лурье П. М., Крохмаль А. Г., Панов В. Д., Панова С. В., Тамов М. Ч. Карачаево-Черкессия: климатические условия. Отв. Редактор доктор геол.-минер. наук, проф. Ю. П. Хрустал ев. Ростов н/Д: Изд-во Рост. Унта, 2000. 196 с.

26. Малоземов В. II. Певный А. Б. Полиномиальные сплайны : Учеб. пособие. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. — С. 9-17.

27. Макаров В. Л., Айвазян С. А., Борисова С. В., Лакалин Э. А. Эконо,метрическая модель экономики России для целей краткосрочного прогноза и сценарного анализа. /Препринт #\¥Р/2001/121. — М.: ЦЭМИ РАН, 2001. — 34 с.

28. Макеев С. П., Остапенко С. Н., Серов Г. П., Шахнов И. Ф. Аппроксимация нечетких отношений второго типа нечеткими обратимыми кавзисериями. — М.: ВЦ АН СССР, 1988. 34 с.

29. Маркус. М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука. 1972, С. 128-129.

30. Материалы 1-го рабочего совещания \VWF-IUCN по экспресс-оценке эффективности управления ООПТ Кавказского региона. Сочи, 2001 г.

31. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. — М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 20-33.

32. Орлов А. И. Современный этап развития теории экспертных оценок. /Заводская лаборатория, 1996, №1.

33. Пинскер И. Ш. Представление функций многих переменных при помощи суммирующих, множительных и простейших функциональных устройств. — Труды 11МЛIII. Семинар по точности в машиностроении и приборостроении, вып. 8. М., 1965.

34. Родоман Б. Б. Территориальные ареалы и сети. Очерки теоретической географии. — Смоленск: Ойкумена, 1999 — С. 66-82.

35. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г., — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — С. 59-75.

36. Северо-Осетинский государственный заповедник. — Орджоникидзе: Ир, 1989. 106 с.

37. Скотт П. Психология оценки и принятия решений /Перевод с англ. — М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. — С. 266.

38. Соболев Н. А., Руссо Б. Ю. Стартовые позиции экологической сети Северной Евразии: рабочая гипотеза. — Охрана живой природы, 1998, вып.1(9). Нижний Новгород. — С. 22-31.

39. Соболев Н. А. Предложения к концепции охраны и использования природных территорий. "Охрана дикой природы". 1999, № 3 (14), — С. 20-24.

40. Статические и динамические экспертные системы: Учеб. пособие /Э. В. Попов, И. Б. Фоминых, Е. Б. Кисель, М. Д. Шапот. — М. Финансы и статистика, 1996. 320 с.

41. Степанов В. С. О вероятности ошибки линейного фишеровского классификатора с использованием отбора главных компонент. /Заводская лаборатория, 1991, №5, с. 57-61.

42. Стратегия экологического образования и воспитания в XXI веке: Тезисы докладов VI международной конференции по экологическому образованию /Под общей ред. акад. Н. Н. Моисеева. — М.: Изд-во МНЭПУ, 2000. — С. 246.

43. Стрижов В. В., Шакин В. В., Благовидов В. В. Согласование экспертных оценок /Тезисы докладов "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества". Москва, 2001. — С. 30.

44. Стрижов В. В., Шакин В. В. Программное обеспечение для исследования фазовых траекторий. Математические методы распознавания образов (ММРО-9), Доклады IX всероссийской конференции. Научное издание — РАН, ВЦ, РФФИ, Москва, 1999. С. 227-230.

45. Тихонов А. II. Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. С. 110.

46. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. С. 20-22.

47. Шакин В. В. Вычислительная электрокардиография. — М.: Наука, 1981. — С. 67.

48. Шакин В. В. Вычислительные процедуры для опознавания векторных функций /В сб. Опознавание и описание линий — М.: Наука, 1972, С. 58-77.

49. Шакин В. В. Биосистемы в экстремальных условиях. /Журнал общей биологии 1991, 6, Том 52. — С. 784-791.

50. Шакин В. В. Простые алгоритмы классификации линий, /в кн. Опознавание и описание линий. — М.: Наука, 1972 — С. 40-46.

51. Шурыгин А. М. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз. — М.: Финансы и статистика, 2000. — С. 99.

52. Экология, охрана природы и экологическая безопасность. Учебное пособие для системы повышения квалификации и переподготовки государственных служащих. Под общей редакцией проф. В. И. Данилова-Данильяна. — М.: Изд-во МНЭПУ, 1997. С. 511.

53. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. — М.: Мир, 1969. — С. 15-18.

54. Функциональное шкалирование. /П. О. Авен, И. Б. Мучник, А. А. Ослон. — М.: Наука, 1988. 181 с.

55. IUCN-CIDA-WWF. Экспертно-статистический метод оценки эффективности работы ООПТ. Сборник анкет. Рукопись. M.:IUCN, 2001 - 18 с.

56. IUCN-CIDA-WWF. Ежегодные отчеты о работе государственных заповедников России. 1995-2000 гг. Рукопись. — М.: IUCN, 2001 — 118 с.

57. Hansen, Per Christian. Rank-Deficient and Discrete 111-Posed Problems, SI AM, Philadelphia, 1998. — p. 29-31.

58. Hocking, M., Stolton, S. and Dudley, N. Evaluating Effectiveness: A Framework for Assessing the Management of Protected Areas. Gland, Switzerland and Cambridge, UK.: IUCN, 2000. x 121pp.

59. Strijov V., Shakin V., An algorithm for clustering of the phase trajectory of a dynamic system. — Mathematical Communications — Supplement 1(2001) — pp. 159-165.

60. Press W. II. Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Eecipies in C: The Art of scientific Computing — NY: Cambridge University Press, 1992. — P. 456.

61. Список условных обозначений

62. Для опроса экспертов была введена шкала, в которой эксперты выставляли оценки С = {д^ : д^ € К1, г € {1,., т}}'П=1 и матрица парных сравнений Р =

63. Рц : Рц € {0, -1,1},рц = -Рц}ПП=1