Системный анализ и методы исследования устойчивости управляемых объектов с неполной информацией

Масина, Ольга Николаевна

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Системный анализ и методы исследования устойчивости управляемых объектов с неполной информацией

доктора физико-математических наук: Масина, Ольга Николаевна
город: Москва
год: 2011
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Системный анализ и методы исследования устойчивости управляемых объектов с неполной информацией»

Автореферат диссертации по теме "Системный анализ и методы исследования устойчивости управляемых объектов с неполной информацией"

005005745

На правах рукописи

Масина Ольга Николаевна

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ ОБЪЕКТОВ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

- 8 ДЕК 2011

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2011

005005745

Работа выполнена в Московском государственном университет путей сообщения (МИИТ)

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор О.В. Дружинина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Дикусар

доктор физико-математических наук, доцент Н.О. Седова

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Щенников

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт системного анализа РАН

Защита диссертации состоится «29» декабря 2011г. в _ часо

на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаци Д 002.017.03 при Учреждении Российской академии нау Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН по адресу 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российско академии наук Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН.

Автореферат разослан ноября 2011г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017.03 кандидат физико-математических наук

А.В. Мухин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Бурное развитие техники и новые компьютерные технологии, разработка программного обеспечения и систем сбора и обработки данных определяют значительное усложнение структуры проектируемых промышленных систем и управляемых технических систем. В связи с этим возникает проблема системного анализа сложных управляемых систем, позволяющего определять условия безопасного и устойчивого их функционирования с обеспечением заданного режима работы, влияние параметров системы на ее устойчивость. Значительное место в исследовании этой проблемы занимает разработка математических методов построения управляемых систем с учетом различных особенностей, таких как структура, неполнота информации о состоянии окружающей среды и параметрах системы, запаздывание в обработке этой информации. Кроме того, в связи с повышением требований к точности прогнозирования свойств исследуемых систем, к качеству функционирования проектируемых систем повышаются требования и к адекватности их математических моделей.

Как при эксплуатации современных технических систем, так и при внедрении новых технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязей между ними, увеличивается число отказов и, соответственно, число технических и техногенных катастроф. Кроме того, ситуация, сложившаяся к настоящему времени, характеризуется и значительным износом оборудования. Часто это приводит к авариям, для ликвидации которых привлекается достаточно большое количество ресурсов.

Актуальной проблемой теории управляемых систем является проблема управления объектами с неполной информацией. Системы управления с неполной информацией применяются в случаях, когда объект управления достаточно сложен для его точного описания и существует дефицит априорной информации о поведении системы. Вопросам алгоритмического конструирования и устойчивости систем управления с неполной информацией посвящены работы Е. Мамдани, М. Суджено, Т. Такахи, Х.О. Ванга, К. Танаки, М. де Гласа, Jle Ван Хиена, Д. Дрянкова, А. Пегата, Р. Дорфа, Р. Бишопа, Б. Лю, К.А. Пупкова, H.H. Моисеева, Д.А. Поспелова, С.Н. Васильева, А.Н. Аверкина, И.З. Батыршина, P.A. Алиева, В.И. Гостева, В.Н. Афанасьева, A.A. Шестакова, В.В. Круглова, В.В. Дикусара, A.A. Милютина и других исследователей.

В работах А.Н. Аверкина, P.A. Алиева, В.Н. Афанасьева, С.Н. Васильева, А. Пегата, Р. Дорфа, Р. Бишопа, В.И. Гостева, Т. Тэрано, К. Асаи, М. Суджено, Д. Дрянкова смещение исследований систем с неполной информацией в область практических приложений привело к постановке целого ряда задач, таких, как новые архитектуры компьютеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки систем управления. Промышленная реализация управляемых систем с неполной информацией оказывается полезной в случаях, когда технологические процессы

являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных (числовых) методов или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно.

Как известно, система управления состоит из управляющего объекта (регулятора), предназначенного для осуществления управления, и объекта управления, подвергаемого управляющим воздействиям. Нечеткий регулятор осуществляет процесс выработки управляющих воздействий на базе нечеткой логики, при этом для описания системы используются знания экспертов.

Знания о взаимодействии такого регулятора с объектом управления представляются в форме правил вида: ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО (ответная реакция). Часть ЕСЛИ означает сопряжение нечетких операций, а часть ТО представляет собой указание лингвистической величины для выходного воздействия (управляющего воздействия на объект управления) регулятора.

Большой класс нечетких регуляторов представляют регуляторы, в которых выход выражается в виде одноточечного множества (синглетона). Управляемые системы с синглетон-выходом разделяются на дискретные и непрерывные. Эти системы эффективно применяются в задачах управления беспилотным вертолетом, управления железнодорожным транспортом, управления грузовыми лифтами, управления прохождением грузовых судов между островами без вмешательства человека, управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена.

При решении задач управления системами с неполной информацией на основе нечетких регуляторов возникает проблема исследования устойчивости этих систем.

В ряде промышленных нормативов в России и за рубежом заложено требование обеспечения устойчивости системы управления. Это требование рассматривается как необходимое условие для использования системы управления. Имеется много прикладных задач, для которых проверка устойчивости управляемой системы оценивается как задача первейшей важности. К этим задачам относятся управляемые системы, влияющие на безопасность людей (стабилизация полета самолета и т.п.), управляющие дорогостоящие объекты и сложные технические процессы, подверженные потере устойчивости. Подобного рода нормативы обеспечения устойчивости должны соблюдаться, независимо от типа регулятора.

Одним из эффективных методов исследования устойчивости и других качественных свойств динамических нечетких систем является классический и обобщенный методы функций Ляпунова. В монографии A.A. Шестакова «Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами» (М.: Наука, 1990) с помощью функций Ляпунова получены необходимые и достаточные условия устойчивости для динамических систем Биркгофа. В работах М. Брэа и Д.А. Рузерфорда, Д. Дрянкова, Ле Ван Хиена содержатся результаты по применению разрывных функций Ляпунова к изучению устойчивости управляемых систем.

Во многих задачах управления изучаемые нелинейные явления описываются с помощью управляемых систем Такахи-Суджено. Указанные типы

систем с неполной информацией, базирующиеся на правилах нечеткого вывода и нечетких регуляторах, находят многочисленные приложения в промышленности, в естествознании, в инженерной практике. Системы Такахи-Суджено эффективно применяются в задачах управления механическими транспортными средствами, управления подъемными и мостовыми кранами, управления роботами-манипуляторами.

Динамика большого числа современных промышленных объектов описывается дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Запаздывания возникают и как последействия во внутренних обратных связях объекта, и как временные задержки в измерительных и управляющих устройствах. Большой прикладной интерес представляет задача исследования устойчивости систем Такахи-Суджено при наличии запаздывания в динамической части правил.

Анализ устойчивости систем Такахи-Суджено может быть сведен к задачам, решаемым с помощью свойств линейных матричных неравенств, которые обеспечивают требуемые свойства функций Ляпунова (отрицательность производной функции Ляпунова в силу системы).

Однако, несмотря на возрастающее число применений, развитие систематических методов изучения устойчивости управляемых систем с неполной информацией остается малоизученным направлением в теории управляемых систем, требующим дальнейшей разработки.

В связи с указанными обстоятельствами возникает, с одной стороны, необходимость создания новых математических моделей, описывающих динамические процессы, а с другой стороны, необходимость разработки методов, позволяющих оценивать безопасность функционирования динамических систем. Так, в связи с проектированием и внедрением скоростных и высокоскоростных составов актуальными задачами являются изучение качественного поведения и устойчивости математических динамических моделей с учетом различных типов возмущений, возникающих при взаимодействии колеса и рельса, а также вопросы динамической безопасности и управления движением. Вопросы, связанные с надежностью и безопасностью функционирования систем, рассмотрены в работах H.A. Северцева, В.К. Дедкова, А.И. Дивеева, В.А. Каштанова, Г.С. Садыхова, Е.А. Воронина и в работах других авторов.

Объектами исследования являются управляемые дискретные и непрерывные системы с синглетон-выходом, системы с нечеткими регуляторами, системы Такахи-Суджено с запаздыванием и без запаздывания, а также нелинейные системы «реакция-диффузия».

Целью работы является повышение эффективности первого и второго методов Ляпунова в сочетании с другими методами для системного анализа управляемых объектов с неполной информацией и в создании на основе этих методов эффективных критериев устойчивости и конструктивных алгоритмов анализа устойчивости управляемых систем. Кроме того, целью работы является обеспечение на основе методов Ляпунова высоких эксплуатационных показателей проектируемых промышленных и технических систем.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории управления, методы теории устойчивости, методы функционального анализа, математической логики, теории дифференциальных уравнений, а также разработанные в работе методы: спектрально-бифуркационный метод, комбинированный метод функций Ляпунова, метод дивергентных функций Ляпунова, техника линейных матричных неравенств.

Научная новизна. Диссертация является теоретической научно-квалификационной работой, в которой разработаны следующие новые результаты: а) понятия устойчивости для управляемых систем с неполной информацией; б) системный анализ управляемых систем с неполной информацией; в) условия устойчивости состояний равновесия управляемых систем с неполной информацией на основе развитого в диссертации спектрально-бифуркационного метода; г) понятие «запас устойчивости» и разработанный алгоритм нахождения запаса устойчивости для многомерных управляемых систем с неполной информацией; д) условия устойчивости дискретных и непрерывных управляемых систем с синглетон-выходом, систем Такахи-Суджено при наличии и отсутствии запаздывания на основе предложенного в диссертации комбинированного метода функций Ляпунова с использованием свойств линейных матричных неравенств; е) условия устойчивости состояний равновесия систем с неполной информацией на основе развитого в диссертации метода дивергентных функций Ляпунова; ж) условия существования неотрицательных состояний равновесия и качественное исследование решений системы «реакция-диффузия»; з) условия устойчивости на основе метода функций Ляпунова и подхода к изучению устойчивости решений, основанного на принципе сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений; и) теоремы об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях транспортной системы с неполной информацией.

Практическая значимость. Полученные в работе научные результаты могут служить теоретической основой анализа устойчивости управляемых объектов с неполной информацией, возникающих в прикладных задачах промышленности, производства, естествознания, экологии и в технике. Разработанные в диссертации методы могут быть применены в задачах проектирования и разработки промышленных, технических и транспортных управляемых систем с высокими эксплуатационными показателями. К таким задачам, например, можно отнести автоматическое управление технологическими процессами, сопровождающимися химическими реакциями, управление потоками данных в компьютерных сетях и транспортными потоками, космическими летательными аппаратами.

Ряд результатов диссертации получен в рамках работы по фанту РФФИ (проект № 10-08-00826-а).

дарственного университета путей сообщения (МНИТ). Кроме того, результаты диссертации используются в научной работе студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, гарантируется строгими доказательствами, опирающимися на методы функционального анализа, математической логики, теории устойчивости и управления.

Личный вклад автора в проведение исследования. Представленные на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно. Результаты, опубликованные совместно с другими авторами, принадлежат соавторам в равных долях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 22 Международных и Всероссийских научных конференциях и семинарах, среди которых наиболее важными являются: Международная конференция им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2006, 2008, 2010 гг.); Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ» (NDA-3) (Санкт-Петербургский гос. университет, 2007 г.); IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2007 г.); Международная конференция «Проблемы системной безопасности» (Москва, ВЦ РАН, 2007 г.); XVI, XVIII Международные конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем» (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010 гг.); Международная научная конференция, посвященной 80-летию со дня рождения акад. В.А.Мельникова (Москва, ИСП РАН, 2009 г.); конференция «Управление в технических системах» (УТС-2010) (Санкт-Петербург, ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010 г.); вторая Международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва, МГТУ «СТАНКИН», 2011 г.); III Международная научная конференция «Фундаментальные проблемы системной безопасности и устойчивости», посвященная 50-летию полета Ю.А. Гагарина (Звездный городок, 2011 г.); научный семинар по нелинейному анализу и проблемам безопасности Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН (Москва, 2011 г.); научный семинар Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) (2010, 2011 гг.); научно-практическая конференция Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина (Елец, 2006-2011 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 работ, общим объемом 37,9 п.л., в том числе 2 монографии, объемом 21,5 пл., 19 публикаций - в рецензируемых журналах и изданиях, объемом 6,7 п.л., 27 публикаций в сборниках тезисов и трудов конференций.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 243 страницы текста и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 156 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Главы состоят из разделов, в каждом разделе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы,

не входящие в текущий раздел, даются указания на соответствующие главы и разделы. Первый раздел каждой главы является вводным. Работа содержит 3 таблицы и 41 рисунок.

Краткое содержание диссертации

Введение содержит обоснование актуальности темы. Проводится обзор результатов исследований по тематике диссертации, формулируется цель исследования и приводятся основные результаты работы.

В первой главе «Проблема исследования устойчивости управляемых систем с неполной информацией» дана постановка проблемы исследования устойчивости управляемых систем с неполной информацией. Здесь введены и изучены понятия устойчивости для указанных систем. Охарактеризовано применение систем с неполной информацией в промышленных и технических системах. Развит системный подход к исследованию устойчивости и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов. Описано понятие ключевой математической системы, позволяющее с единой точки зрения рассматривать свойства устойчивости и управляемости систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями с запаздыванием, стохастическими дифференциальными уравнениями, дифференциальными включениями, нечеткими дифференциальными уравнениями. Все изучаемые в диссертации системы являются частными случаями ключевой системы.

В контексте использования ключевой системы далее рассмотрен вопрос об универсальной аппроксимации произвольной гладкой нелинейной системы управления с помощью системы Такахи-Суджено. Установлена связь между свойствами устойчивости стохастического уравнения и соответствующего ему нечеткого уравнения.

Далее в первой главе обобщен принцип сведения Шестакова-Меренкова задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений. Кроме того, с помощью метода функций Ляпунова доказаны теоремы об устойчивости замкнутого множества в евклидовом пространстве для дифференциального включения, а также для неавтономного нечеткого дифференциального уравнения.

Установлена связь между свойствами нечеткого дифференциального уравнения и соответствующего ему дифференциального включения в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть У - нечеткое множество, Ya - а-уровень этого множества, Р(/?л) - совокупность всех нечетких подмножеств из евклидова пространства R", D - открытое множество из R". Нечеткая функция Х\ JP(R") при s&J является решением задачи Коши Дх)= Y для неавтономного дифференциального уравнения dXI dt = F(t, X) тогда и только тогда, когда она определяется нечетким множеством решений S так, что Ув = {ф(^)| <peSa} и каждое движение ереSa является решением дифференци-

алыюго включения d<p/dt е Fa(t,<p), где Fa : RxD-* 2"' определятся условием Fa(t,y)=F(t, ф)а.

Далее в первой главе представлена классификация и дан анализ методов исследования устойчивости управляемых систем с неполной информацией. Проанализированы методы построения регуляторов, осуществляющих процесс выработки управляющих воздействий на основе лингвистических данных. Указанные регуляторы состоят из следующих элементов: базы правил, процедуры фаззификации, процедуры выработки решения, процедуры дефаз-зификации. База правил представляет совокупность правил П!А|, k= 1, ..., с/, вида

П(А): ЕСЛИ (.V, есть А\ и х2 есть А\... и хп есть Акп), ТО (у есть Вк),

где d - число правил, а\ - нечеткие множества такие, что A)c.Xt<zR, i = \,...,n, Bkj- нечеткие множества такие, что ßjc^cß, j = \,...,m, хьх2, ...,хп - входные переменные, причем х2, ■■■,х„) = хеХх хЛ'2х... х Л'„, У\,Уг> ->Ут ~ входные переменные, причем (уиу2, -,ут) =уеУ\х >2Х •••* >'т-Буквы Х„ i = 1,..., п, и Yp j = h ..., т, обозначают соответственно пространства входных и выходных переменных.

Конкретное значение х = (Зс,, х2,..., *„)'е X входного сигнала регулятора подлежит фаззификации, целью которой является получение нечеткого множества А с Х= Л-, х Х2 х ... х Х„. Оператор фаззификации обозначен через ¿,. Множество А подается на вход выработки решения. На выходе выработки решения вырабатывается либо d нечетких множеств Вк с функциями принадлежности к = 1,2,..., с/, либо одно нечеткое множество В с функцией принадлежности цв(.у)- Возникает задача об отображении нечетких множеств В" в единственное значение у е Y, которое является управляющим воздействием на вход объекта. Это отображение называется дефаззификаци-ей и обозначено через L2. Если на выходе выработки решения формируется d множеств //, то значение у е Y нетрудно вычислить с помощью различных способов.

Далее проанализированы методы построения регуляторов, вырабатывающих управляющие воздействия на основе числовых данных измерительных датчиков. Для обработки этих данных применяется метод нейронных сетей. Описаны этапы разработки нечетких правил и предложен алгоритм построения базы правил на основе численных данных.

Наконец, рассмотрен вопрос об оптимальном управлении по времени для дифференциальных уравнений, заданных в евклидовом пространстве. Получены теоремы о существовании и единственности оптимального управления и сформулирован принцип максимума.

Результаты первой главы дополняют исследования A.A. Шестакова и Ю.Н. Меренкова о системном подходе на случай управляемых систем. Кроме того, в рассматриваемую этими авторами ключевую систему добавлен важный класс систем, являющихся универсальным аппроксиматором. Полученный в главе принцип сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений является обобщением результатов A.A. Шестакова и Ю.Н. Меренкова на случай дифференциальных включений общего вида. Эти результаты можно использовать при решении задач системного анализа устойчивости систем с неполной информацией.

Вторая глава «Развитие методов анализа устойчивости управляемых систем с неполной информацией в пространствах состояний и скоростей» посвящена развитию двух методов изучения устойчивости управляемых систем с неполной информацией: спектрально-бифуркационного метода и метода дивергентных функций Ляпунова. Спектрально-бифуркационный метод заключается в совместном использовании критерия Ляпунова и бифуркационной картины поля состояний системы. Метод дивергентных функций заключается в совместном использовании функций Ляпунова и дивергентных функций поля скоростей.

В главе получены условия устойчивости состояний равновесия систем с неполной информацией. Рассмотрены одномерный, двумерный и n-мерный (л > 2) случаи. Определено понятие «запас устойчивости» для изучаемых систем и разработан алгоритм нахождения запаса устойчивости. Рассмотрена система вида dx

— = Дх) + и,Л0) = 0, u = F(x),F(0) = 0, xeR, (1)

где R = (-00, +оо), fix) - нелинейная монотонно возрастающая функция, и - скалярная переменная управления, и g U, U с R, F(x) — нелинейная функция, описывающая функционирование нечеткого регулятора. Дефаззифика-ция F(x) определяется формулой

^(*)=12(цгоцп(*,»)), (2)

где символ о означает операцию композиции; Ь2 - оператор дефаззификации; цп<:,(дг,») = цд. (х).ц^ (и) - степень принадлежности пары (х, и) к правилу

П(,), (и) - функция принадлежности и к множеству Ü, \хх (х) - результат

агрегирования степеней принадлежности входа х, к множеству символ . означает операцию логического минимума или алгебраического произведения; ц =ц' (х, )<ц2 (х (х ), j = 1,..., п, - нечеткий выход, соот-

х .VJ 1 х'2 2 X' "

ветствующий входу х = Ц ,x2,...,xj-, n = Un(i) - база правил регулятора.

Результат действия Fix) соответствует управляющему воздействию на объект управления.

Теорема 2. Если справедливо неравенство

/'(0) + F'(0) < 0,

то состояние равновесия х = 0 системы (1) является устойчивым. Если выполнены неравенства

П0)<-Л0); |FW|<|/W| Vx*o, (3)

то состояние равновесия х = 0 системы (1) является устойчивым в целом.

Запишем первое неравенство (3) в виде -(F(0)+f'(0))>0. Величина -(F(0)+/'(0)) определяет запас устойчивости системы (1). Этот показатель определяет, насколько далека эта система от потери устойчивости в точке * = 0. Чем больше значение величины ~{F(0)+f'(0)), тем ближе граница неустойчивости. Условием, определяющим границу неустойчивости, является равенство -(F(0)+/'(0)) = 0.

Второе неравенство (3) задает минимальное расстояние min между функциями F{x) и -fix). Обозначим через Q некоторую область в окрестности точки х-0, граничные значения yt и у2 которой являются ближайшими к точке дг = 0 и удовлетворяют равенствам: F(yt ) = -/'(Yi)> /Л(у2) = -/'(у2). Величина min|F(x) + /(jc)|, где Qc - дополнение области

Q = (уь у2), также определяет запас устойчивости системы (1).

Запасы устойчивости системы (1) определяются соотношениями: /<» =-(F(0)+/'(0)), I^=mm\F(x) + f(x)\.

Далее рассмотрена система вида dx

-r = fÁxvxi) + bi-fÍxMxI)> dt (4)

-± = f2(xi,x2) + b2-F{xi,x2), dt

где /i(0, 0) =/2(0,0) = /-Т0, 0) = 0, b = (bu b2) - двумерный вектор, f\(xux2) и Мх\,х2) - монотонные функции, F{xl,x2) - функция, определяемая (2) для х = (хих2).

Состояние равновесия х]=х2 = 0 системы (4) устойчиво, если оба собственных значения линеаризованной системы в начале координат имеют отрицательную действительную часть. Состояние равновесия системы (4) неустойчиво в двух ситуациях, представленных на рис. 1, 2. Статическая бифуркация, представленная на рис. 1, имеет место, если один из корней полинома P(s) = s2+ avs + а2, где а, = -tr(J2), а2 = det(J2), J2 - матрица Якоби, равен нулю. Бифуркация Хопфа, представленная на рис. 2, имеет место, если два комплексных собственных значения характеристического многочлена P{s) имеют нулевую действительную часть.

Запас устойчивости системы (4) определяется соотношениями: /«» = det(J2), /<2) = -tr(J2), /з,2) = minjДх) + b ■ F(x)\.

Далее во второй главе рассмотрена система вида

— = f{x) + b-u, /(0) = 0, и = F(x),F(0) = 0, X е R", (5)

где/jr) - нелинейная монотонно возрастающая функция, b - л-мерный вектор, и - скалярная переменная управления, и € U, U с R, F(x) - нелинейная функция, определяемая (2).

-1- ... ' 1m -x Re Y ^ ' Im Re

-X X

Рис. 1. Статическая бифуркация Рис. 2. Бифуркация Хопфа

Теорема 3. Пусть задана система (5). Если спектр характеристической матрицы системы (5) гурвицев, то состояние равновесия = х2= ... = х„ = О системы (5)устойчиво.

Для системы (5) при п > 2 предложен следующий алгоритм нахождения запаса устойчивости.

Шаг 1. Записать матрицу Якоби Jn нелинейной системы (5) при п> 2 в точке х =*=... = *=() и найти соответствующий ей характеристический

многочлен, представив его в виде P(s) = s" + al +a2s"'2 +... +anAs + an, где a, =-tr(J„), a„ = det(J„).

Шаг 2. Определить запас устойчивости /w по формуле

=an=(-\)"dti(Jn).

ШагЗ. Представить характеристический многочлен в виде P(s) = p^s)-^2 +i2) + c -s + c .

Шаг 4. Найти условия, при которых с = с, = 0. Эти условия означают наличие бифуркации Хопфа и определяют запас устойчивости .

Шаг 5. Записать одномерное дополнительное подпространство в виде /¿xrx2....,xj = f2(xt,x2,...,x)^ Jn(xrx2....,xJ

А А "' А

Шаг 6. Определить запас устойчивости /'"' по формуле I\n) = minj/(.x) + b ■ F(xj\, где лг = {хихг, ..., х„), b = (Аь А2, ..., b„).

Далее во второй главе проводится анализ устойчивости состояний равновесия динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями с параметром, а также систем с неполной информацией. Даны условия равномерной устойчивости состояний равновесия указанных систем. Рассмотрены двумерный и и-мерный (п >3) случаи.

Известно, что если z- асимптотически устойчивое состояние равновесие

обыкновенного дифференциального уравнения вида — = g(x) и У(х) - функ-

ция Ляпунова, для которой выполнено условие

-У > аУ*2, cti >0,а2 >0,

то существует множитель Эйлера <у(х), для которого дивергенция div(a(jc)/(jc)) является отрицательно определенной. Функция Ляпунова, обладающая указанным свойством, называется дивергентной функцией Ляпунова для состояния равновесия z.

Известно, что если тривиальное состояние равновесия х = 0 системы

x = g(x,h), xeR",he Не: it, (6)

асимптотически устойчиво для каждого И, принадлежащего компактному множеству Я с Л*, то состояние равновесия х^ = х2 =... =*„ = 0 системы (6) равномерно устойчиво относительно множества Я.

Решение х = 0 называется равномерно устойчивым относительно множества Wc/, если

V е > 0 3 5 = 5(e) U0l<0=> I х(*,хо,й)|<б V I е R\ V h е Я. где число 5 зависит от е, но не зависит от выбора точки he Н. С учетом (6) систему (5) можно представить в виде

x = g(x,u), xeR",u е UcR, (7)

где множество U является ограниченным, а, следовательно, компактным. Дивергенция поля скоростей системы (7) имеет вид:

,. , , eg dg, 8g » df ix) » SF{x) div g(x,u) = —L + —+... + —= У—1— + > b ——.

ox йх ox "J & ' dx

Теорема 4. Пусть для системы (7) в окрестности состояния равновесия Х\ =х2=... =х„ = 0 выполнено неравенство

divgfjc, и) <0

и существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия х, = х2~... = х„ = 0. Тогда это состояние равновесия системы (7) асимптотически устойчиво для каждого и е (/.

Теорема 5, Если выполняются условия теоремы 4 для каждого и, принадлежащего компактному множеству UcR, то состояние равновесия xt = х2 - ... = х„ = 0 системы (7) равномерно устойчиво относительно множества U.

Теорема 6. Пусть для системы (7) в окрестности состояния равновесия выполнено неравенство

, Vi. cte(.v)

o(i) > —■—+\b--— +——g +——g + ...+—— g <0,

fi dx frf ' dx 8x 1 dx dx "

v . / I 2 я

и пусть существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия xi~x2= ... =хп = 0. Тогда это состояние равновесия системы (7) асимптотически устойчиво для каждого и е U.

Теорема 7. Если выполняются условия теоремы 6 для каждого и, принадлежащего компактному множеству U с R, то состояние равновесия Х[ = хг ~ ■•• = х„ = 0 системы (7) равномерно устойчиво относительно множества U.

Результаты второй главы обобщают исследования М. Брэа, Д.А. Рузерфорда, Д. Дрянкова, X. Хелендорма, Р. Франка на случай «-мерных управляемых систем с неполной информацией. Полученные в главе условия равномерной устойчивости состояний равновесия систем с неполной информацией являются обобщением результатов A.A. Шестакова, А.Н. Степанова, О.В. Дружининой. Эти результаты можно использовать для обеспечения высоких эксплуатационных показателей проектируемых промышленных систем с использованием роботов-манипуляторов.

Третья глава «Развитие метода функций Ляпунова анализа устойчивости управляемых систем с неполной информацией» посвящена развитию метода функций Ляпунова для изучения устойчивости управляемых систем с неполной информацией. Этот метод заключается в совместном использовании функций Ляпунова и свойств линейных матричных неравенств. Рассмотрена система, описываемая с помощью правил вида

ЕСЛИ x(t) есть цо,(х(0),ТО + есть А(с,т), а = 1,2,...,и,, т = 1,2,..., «2, где дс(/) = (дг, (/), jc2 (i))* - двумерный вектор состояния; цо,(х(0) = (*,(/)),ЦгС^О)))* - вектор-функция принадлежности и

x2(i); А(а,т) = (А,(сг,г),А2(а,т)) - вектор-синглетон; и,, п2 >2. Использованы упорядоченные координаты d(l)<...<с/(с)< d (о + 1)<...<^(и ) для х, и d2(\)<...<d2(x)< ¿,(т + 1)<...<с/2(/72) для х,.

Пусть Rm = [d, (с), d, (а +1)] х [d2 (x),d2 (т +1)] - квадратная область, /?°t -квадратная область, в которой выполнено условие x(f) = 0->x(i + l) = 0, и пусть d(c,x) = (i/,(a),rf2(T))* - вектор в двумерном пространстве. Для х(0 е Rm вектор лг(/ +1) записан в виде

*(Г + 1) = 4,(х(0)*(0 + Р„.

где

ßot = ос VA(o,t) + а"(1 - а°)А(ст,т + 1) + + а° (1 - а° )А(а +1, т) + (1 - а? )(1 - а° )А(а +1, т +1), (8)

а° =а,(0), = а5(0), Раг =0 для х(/)е Матрица Ат(х(0) имеет четыре различных выражения в зависимости от матриц первого типа ¡ = а, с + 1 и матриц второго типа 5(-,у), у = т, т + 1.

Пусть Р - положительно определенная матрица размера 2x2. Функция Ляпунова имеет вид К(дг(/)) = лг(/)' Рх(1). Тогда

ДН(х(Г)) = х{1 + \)'Рх{1 + \)- х(1)'Рх(1) = -х'Г(-,аг)х, (9)

где матрица /•"(■, а ^) определяется равенством

Р(;а2) = -Л(-,а})'РА(-,а2)+Р,

в котором

А(-,а г) = а т) + (1 - а2 )5(-,т +1). (10)

М. Суджено установлено, что неравенство ДК(х)<0 Ч/л: ^ 0 выполнено в области А^ тогда и только тогда, когда справедливы следующие условия: ДК(;,у)<0, / = о, 0 + 1, у = т, т + 1, (11)

где Д У О, у) = Щ, у)" РЩ, Л - </(/, Л' Л/(/, у), / = о, а +1, у = т, т +1; С(/,-)<7ДГ('.*)ДН(/,т + 1), » = о, а +1, С(-,7)<л/ДК(ст,у)ДК(ст + 1,у), у = т, т + 1,

где

С(г» = /г(/, г)' Рй(/, т +1) - ¿(¡, т)' т +1), г = а, а +1, С(-, у) = А(ст, у)' РЫр +1, у) ■- (¿(а, Л' +1, у), у = т, т +1; матрица /•"(•,а2) является положительно определенной для а2 = а°. (13)

Если для политопной системы

*(/ +1) = 2)х(0 + рс1, х(()(14) где =0 в области выполняются условия Суджено (11) и (12), то неравенство АУ(х) < 0 справедливо всюду в области Яат.

Теорема 8. Состояние равновесия системы (14) асимптотически устойчиво в целом, если существует матрица Р> О такая, что

1) в области выполняются условия (11), (12) с учетом соотношения (9) и неравенство - Л(-,а°)* РА(-,а°) + Р > 0, гарантирующее выполнение условия (13);

2) в других областях условия (11) и (12) с учетом соотношения (9) выполняются для двух политопных систем вида х^ +1) = 5(-,т)х(?) + Ра, и х({ +1) = 5(-, т + 1)х(/) + Рот.

Аналогичные условия асимптотической устойчивости в целом получены и для системы вида х(( + 1) = + *(0еЛО1, где р =0

в области . При этом использовано соотношение (9), представленное в следующем виде:

AV{x(t)) = x(t +1)' Px(t +1) - *(/)' Px{t) = -x'F{a^)x, где матрица F(a^) определяется равенством

F(ai,-) = -A(ftl,-)'PA(ai,-) + P,

в котором

А(а ,,-) = а ,S(o,-) + (1 - а, )S(c +1,-). (15)

Далее в третьей главе рассмотрена система, описываемая с помощью правил вида

ЕСЛИ x(t) есть цО1(*(0). "ГО i(r) есть А(ст,т), а = 1,2,...,и,, т = 1,2,...,и2, где входящие величины пояснены ранее.

Пусть 9î°,„=[rfl(cr),i/l(a + l)]x[i/ï(T),rf2(T + l)], rf,(o) < 0 <dx(a + 1),

d2(x) < 0 < d2(x + 1 ), - квадратная область, в которой выполняется условие x(t) = 0 -> x(t) = 0. Для x(t) е Raz производную х(/) можно записать в виде

где pat определяется (8) и |3 = 0 для x(l) е 9?°пт. Производная функции Ляпунова V(x) = х'Рх имеет вид

V(x) = х'Рх+х'Рх = ~х' Ф(а, ,-)х + 2х' />pot, (16)

где Ф(а,,-) = -А{а1г-)'Р~ РА(а^-), матрица A(a]7-) определяется (15).

Неравенство У(х) <0 У.х ф 0 выполняется в области 91°ст тогда и только тогда, когда справедливы следующие условия:

V{i,j)< 0, / = ст, o + l, j = т, т + 1, (17)

где V(iJ) = h(iJ)'Pd(i,j) + d{iJ)'Ph(i,j), i = o, o + l, j = т, т + 1;

D(i,-)<JV(i,x)V(i,ï +1), / = а,а + 1,

----(lo)

D(-J) < jV(cJ)V(a + ]J), j = X, T +1,

где

Щ,-) = ~ fa/, t)* Pd(i, т +1) + h(i, t +1)' Pd(i, t)]+ + ^[d(i,x)'Ph{i,x +1) + d(i,x + 1)*ЯА(/,т)], i = a, а +1, D(;j) = ^[h(Gj)'Pd(G +1 J) + h(а +1 J)' Pd(v,j)]+ + PA(a + l,y) + rf(o +1 ,j)'Ph(a,j)}, j = т, t + 1 ;

матрица Ф(а1,-) является положительно определенной для а, =а<1'. (19)

Если для политопной системы

*(/) = Л(а„-)*(0 + Р„, х(() е , (20)

где рет =0 в области 9!°ат, выполняются условия Суджено (17) и (18), то неравенство У(х) < 0 справедливо всюду в области Яаг

Теорема 9. Состояние равновесия системы (14) асимптотически устойчиво в целом, если существует матрица Р> 0 такая, что

1) в области 3{°ат выполняются условия (17), (18) для производной функции Ляпунова вида (16) и свойство - А(а°,•)' Р - РА(а°,•) > 0, гарантирующее выполнение условия (19);

2) в других областях условия (17) и (18) для производной функции Ляпунова вида (16) выполняются для двух политопных систем вида х(1) = 5(ст,•)*(/) + К и т = 5(о + 1,-)х(/) + р„.

Получены условия асимптотической устойчивости в целом и для системы вида х(г) = Л(-,а2)х(0 + РО1, хЦ) е где Р„т =0 в области матрица /1(-,а2) определяется (10). При этом использованы свойства производной функции Ляпунова (16), представленной в виде

У(х) = х'Рх + х'Рх = -х'Ф(-, а2)х + 2х'Р$ах, где Ф(-,а2) = -А(-,а2)'Р~РА(-,а2).

Далее в третьей главе рассмотрена линейная управляемая система, описываемая правилами вида

ЕСЛИ *(/) есть (*(/)), ТО х(0 = Ах(1) + Ви{1), а = 1, 2, т = 1, 2, где и(1) = (;/((/), и2(0) - вектор управления, А и В - постоянные матрицы размера 2x2.

Для указанной системы пространство состояний разделено на области и в каждой области определены постоянные матрицы К(а, •), К(а+1, •) и вектор В этом случае нечеткое управление с обратной связью имеет вид

и(/) = [аД(о,-) + (1-а1)/Г(о + 1,-)]*(0 + 4ет. *(0еЛ„, (21)

где = 0 для € У!°а,. С учетом (21) получена замкнутая система вида

х(/) = [а,5(а,-) + (1-а1)5(а + 1,-)]х(0 + РО1, *(0еЛ„, (22)

где

5(ст, •) = Л + ВК(о, •), 5(а+1, •) = А + ВК(о+1, •), (*„ = В^,- (23)

Далее рассмотрен вопрос о стабилизации системы (22), сводящийся к тому, чтобы выбрать управление «(/), обеспечивающее асимптотическую устойчивость состояния равновесия системы (22). Получена следующая

Теорема 10. Если управление определено посредством (21) и выполнены условия \ )и2) теоремы 9 для матриц вида (23), то система (22) стабилизируема.

Далее в третьей главе рассмотрен вопрос о построении управляемых систем с неполной информацией с помощью разрывных функций Ляпунова. Особенность анализа устойчивости систем с нечеткими регуляторами состоит в том, что регулятор обладает свойством, при котором возможно разделение фазового пространства на области, для которых параметры ре1улятора и его структура являются зависящими от области. Нечеткие регуляторы могут быть непрерывными или разрывными, в зависимости от операторов, которые используются, и от принятых правил нечеткой логики.

Большинство устойчивых систем с регуляторами допускают квадратичную функцию Ляпунова. Однако когда число подсистем увеличивается, важным становится объем вычислений, и существование или нахождение приемлемой функции Ляпунова не гарантируется, хотя система и является фактически устойчивой.

Чтобы преодолеть указанный недостаток, для исследования устойчивости систем с нечеткими регуляторами используются разрывные функции Ляпунова. С помощью разрывных функций Ляпунова проверяются условия устойчивости в соответствующей области; разрывность функции Ляпунова всегда возникает на границе областей. Предположим, что для непрерывно дифференцируемой нелинейной системы с нечетким регулятором выбрана «кусочная» функция Ляпунова Vh(х) для каждой области Rh, множество которых образует разбиение фазового пространства. Обозначим Аш = {х \ х(С) е Rh, x(t)eRk, k=l, 2, ...}. Установлено, что если выполнены условия: a) Vh(x) > д(|М|) V * е Rh, б) Vh(х) < О V * е Rh, в) Vk{x) < Vh(x) V х е Ahk,

где а - функция Хана, то состояние равновесия системы с нечетким регулятором равномерно устойчиво.

Кроме того, установлено, что если выполнены свойства:

a) oflKOII) * Ш < ¿>(|М/)[|) V * е Rh, б) F (*) < -сфф, в) Vk(x) < Vh(x)

V х е Am, где a,b,c- функции Хана, то состояние равновесия системы с нечетким регулятором равномерно асимптотически устойчиво.

Наконец, в третьей главе представлены результаты компьютерного моделирования движения транспортной системы с неполной информацией по фиксированному маршруту с заданной формой пути. Для моделирования движения используется интегрированная программная математическая среда Maple. Установлены условия устойчивости и асимптотической устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

Результаты третьей главы продолжают исследования М. Суджено, К. Танаки, Г. Канга, Г. Фэна, С. Цао, Н. Риса, С. Чака на случай дискретных и непрерывных систем с неполной информацией. Полученные в главе условия асимптотической устойчивости дополняют исследования Ле Ван Хиена, П. Борна, Дж.-Ив. Дюлота, P.M. Тонга, Дж. Ширера, Д. Кара на случай раз-

рывных функций Ляпунова. Эти результаты обеспечивают конструктивный подход для получения высоких эксплуатационных показателей промышленных и технических систем, связанных с проектированием самолетов с высокотехнологичными крыльями улучшенной аэродинамики.

В четвертой главе «Качественное исследование нелинейных систем «реакция-диффузия» исследована устойчивость трех типов динамических систем, учитывающих взаимодействие и диффузию компонент: системы «реакция-диффузия», системы «реакция-диффузия», описываемой дифференциальным включением, и системы «реакция-диффузия», описываемой нечетким дифференциальным уравнением. Для системы «реакция-диффузия» в этой главе использован новый подход к изучению устойчивости решений, основанный на принципе сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений. Указанный принцип предполагает переход от нелинейных многомерных дифференциальных уравнений, описывающих систему «реакция-диффузия», к векторному дифференциальному включению и нечеткому дифференциальному уравнению. Полученное нечеткое уравнение для каждого а-уровня, а б (0, 1], задается соответствующим дифференциальным включением. Множество всех движений включения порождает многозначное отображение, соответствующее а-уровню нечеткой функции, являющейся решением его нечеткого дифференциального уравнения.

Рассмотрена система ■*! = *! (1 - - ад ) + Р*2-У*1> = + -Р^у, =у,(1у,), (24)

где дг1 и у\ - численность взаимодействующих компонент х и у в ареале компоненты Х\ (ареале 1), х2 - численность компоненты х в ареале компоненты х2 (ареале 2), ^ > 0 и г > 0 - коэффициенты взаимодействия компонент в ареале 1,Р>0иу>0 - скорости диффузии компоненты х между двумя ареалами, причем р ^ у.

С помощью системы символьных, графических и численных вычислений МаШетаиса найдены четыре состояния равновесия системы (24). Получены значения (3 и у, при которых существуют неотрицательные состояния равновесия. Исследована устойчивость состояний равновесия. Построены локальные фазовые портреты. Установлено, что диффузия соответствует процессу, когда существование исчезающей компоненты становится устойчивым, и, кроме того, приводит к асимптотически устойчивому сосуществованию всех компонент.

Далее изучена система (24) в случае дифференциального включения и в случае нечеткого дифференциального уравнения. Эти случаи учитывают нечеткие изменения в скоростях диффузии компонент.

Система (24) представлена в виде векторного уравнения

где л: = дгз,^!), Ax) = (f\>f2,fi) = {x$i-xt-qy$+$x2-yxu Х2{\-Х2)^ХХ-$Х2, y^-rxt-yi)), х е Я3 = R X R х , R+ = [0, °о), /: R* -> R].

Для уравнения (25) построено дифференциальное включение в виде

dx/dteF(x), (26)

где F{x) = {/{*): р е Я, у е С, q е Q, г е 7}, Я = [рь [32], С = [уьу2],

б= [<7ь <72!, Т= 2s*. Множества Я, С, Q и Г определяют мно-

жества значений нечетких параметров р, у, q и г соответственно.

Далее в четвертой главе приведены: а) определение функции Ляпунова V для замкнутого множества MczR+ относительно включения (26), б) определение производной функции Ляпунова V вдоль движений включения (26), в) определение верхней D+V и нижней D_F производных функции Ляпунова, г) определение устойчивости в малом, д) притягиваемости в малом, е) асимптотической устойчивости в малом замкнутого множества MczR+ относительно включения (26).

Множество

В(М, г) = {xeR,31 е(х, М)<г} называется r-окрестностью множества М с X, где X - банахово пространство с метрикой р, е(х, М) = sup{inf{p(r, у): у&Х\, xsR+] - отклонение.

Теорема 11. Если для замкнутого множества M<zR+ существует функция Ляпунова V относительно включения (26), для которой верно неравенство ZX V(x) < 0 УхеВ(М,г), то множество М устойчиво в малом относительно этого включения. Если справедливо неравенство £>+ V(x) < -юг(е(х, Щ VxeB{M, г), где функция й>3: В(М, г )->/?, R = (-х, <х>), непрерывна и положительна вне М, то множество М асимптотически устойчиво в малом относительно включения (26).

Теорема 12. Если для замкнутого множества MaR,3 существует функция Ляпунова V относительно включения (26), для которой верно неравенство D,V{x) <0 V хsB{M,r), то множество М устойчиво в малом относительно этого включения. Если найдутся h> 0 и положительная непрерывная функция r)->R такие, что D^V(x)<-w3(e(x,M)) VxeB(M,h), то множество М асимптотически устойчиво в малом относительно включения (26).

Уравнение (25) сводится к нечеткому дифференциальному уравнению

dX/dt = F(X), (27)

где X - нечеткое множество, F: '/-1~> Р{ К), 7. ] - открытое нечеткое подмножество пространства R], Р( R]) - совокупность всех нечетких подмножеств из R]. Тогда dq/dt е Fa(<р) - соответствующее уравнению (27) дифференциальное включение при ае(0,1], HFa((p) = (Дф(г)): РеЯ0, уеСа, qeQa, геТа}. Уровни значимости Яа={Р: ц„(Р)>а}, Са={у: цг(у)>а}, Qa = {q: |Д(Д<7) > а} и Та = {г. |i/(r) > а}, где ц - функция принадлежности, представляют более узкие множества, полученные при учете дополнительных условий ae(0,1], влияющих на диффузию и взаимодействие компонент.

Далее в главе приведены: а) определение функции Ляпунова К для замкнутого нечеткого множества Л/сД/?^) относительно уравнения (27), б) определение производной функции Ляпунова ('вдоль движений уравнения (27), в) определение верхней Л+Ка(?,х)н нижней £>_Капроизводных а-уровня, ае(0,1], функции Ляпунова, г) определение а-устойчивости, д) определение а-притягиваемости, е) определение а-асимптотической устойчивости, ж) определение а-устойчивости в малом, з) определение а-притягиваемости в малом, и) определение а-асимптотической устойчивости в малом замкнутого множества А/ сДЙ*3) относительно уравнения (27).

Теорема 13. Если для замкнутого нечеткого множества М сР(/?^3) существует функция Ляпунова V относительно уравнения (27), для которой при ае(0,1] верно неравенство 0+Уа(х)< 0 \/хеВ(М,г), то множество М а-устойчиво в малом относительно этого уравнения. Если выполняется неравенство £>+ Уа(х) < -&1а(е(х, А/)) \/хеВ(М, г), где функция гс>3а:(0, г)->Я непрерывна и положительна, то множество А/ а-асимптотически устойчиво в малом относительно уравнения (27).

Теорема 14. Если для замкнутого нечеткого множества А/ аР(К^) и некоторого г::=г(а) существует функция Ляпунова V относительно уравнения (27), для которой ОЛ'а(х)< О Мх&В(Ма,г), то множество А/ а-устойчиво в малом относительно этого уравнения. Если найдутся И>0 и положительная непрерывная функция а'3а:(0 такие, что

0_Га(х) <-а'3а(е(х, Л/а)) УхеВ(Ма,И), то множество Л/ а-асимптотически устойчиво в малом относительно уравнения (27).

Результаты четвертой главы обобщают исследования Жанг Ксин-ана и Л. Чена на случай разных скоростей диффузии. Эти результаты можно использовать для обеспечения устойчивости экологических систем, систем химических реакций, систем управления биопроцессами.

Пятая глава «Анализ устойчивости систем Такахи-Суджено на основе свойств линейных матричных неравенств» посвящена развитию метода функций Ляпунова с использованием свойств линейных матричных неравенств для изучения устойчивости управляемых систем Такахи-Суджено. Даны достаточные условия устойчивости и на основе этих условий сформулирован алгоритм анализа устойчивости нелинейных управляемых систем Такахи-Суджено.

Рассмотрена система вида

x = g(x)+f(x)u,x{t0) = x0, (28)

где х е Е, х = (х],х2, ...,дг„/ - вектор состояния; #(х) = (£-|(х),#2М,..., £я(х))\ Лх) = </](х),/2(х), ...,/„{х)) - функции, описывающие динамику процесса,/ g: О ¡С - локально липшицевы отображения из области Ос/?" в /?"; и - управляющий сигнал применительно к входу процесса; ?- переменная времени; х(г0) - начальное состояние в момент времени /0-

Для описываемой системы (28) /-е правило базы правил имеет вид: П"': ЕСЛИ х, есть Ё1 и ЕСЛИ х2 есть Ё2 и ... и х„ есть А*„,

ТО и = и,{х), i=\,...,d, где d - число правил, Е!2, •■■, - нечеткие множества, описывающие лингвистические термы входных переменных хь к=\, ...,п, и = и,{х) - управляющий сигнал правила /. и, может рассматриваться как функция вектора состояния х.

Обозначим: G,(x) = g{x)Px + х'Р&х), G2(x) =Лх)*Рх + x'Pfix), G° ={х е Е | С2(х)= 0}, G+ -- {х е Е\ G2(x) > 0}, G~ ={хеЕ] G2(x) < 0}.

Теорема 15. Пусть задана система (28), для которой х = 0 € R" является состоянием равновесия. Пусть существует положительно определенная неограниченная функция V: R"-> R, V(x) = х'Рх, Р е Я"'", удовлетворяющая свойствам:

1) £,(*)< 0 VjceG20,

2) u,{x)<~Gt(x)/G2(x) для xeAnG* и u^t-G^x) / G2(x) для

х s A nG~, / = 1,..., d,

i 2

3) множество {x e £ | V(x) = 0} не содержит решений, кроме тривиачьно-го, x(t) - 0 для t>0.

Тогда замкнутая система (28) асимптотически устойчива в целом в начале координат.

Далее рассмотрены управляемые нелинейные системы, являющиеся обобщением систем Такахи-Суджено на случай запаздывания. Изучена глобальная асимптотическая устойчивость состояний равновесия управляемых систем с запаздыванием с помощью метода функций Ляпунова с использованием свойств линейных матричных неравенств.

Система Такахи-Суджено без запаздывания задается правилами двух видов (динамической части и выхода соответственно):

П(1): ЕСЛИ />,(<) есть М, и ... и p,(t) есть Mh

ТО x(t) = A,x(t) + biu(t), / = 1,2,...,г; П<2): ЕСЛИ pt(i) есть А/, и ... и p^t) есть Af„ ТО y(t) = C,x(t),

где *(/), u(t), y(t), p(t) - фазовый, входной, выходной векторы и вектор параметров соответственно. Через Щ обозначается нечеткая функция, отвечающая /-му правилу и }-му параметру. В общем случае функции pi могут быть функциями фазовых переменных, внешних возмущений и времени.

Каждому /-му правилу П(,) соответствуют функции и-,(/?(/)) и вида

2>,(М0)

где г - число правил. Предполагается, что w, > 0, а /г, нормированы.

При наличии запаздывания динамическую часть системы Такахи-Суджено можно записать в виде

П(,): ЕСЛИ px(t) есть Мх и ... и pf,t) есть\fh

то

х{1) = А10х(1) + Лшх(1 - т,) + В,йи( 0 +

+ Вшх{1-х2), /' = 1,2,..„г, где 0 < т, < оо, 0 < т2 < оо - запаздывания.

Предполагается, что на запаздывания т, и Ь наложены ограничения, которые в совокупности с условиями, фигурирующими в теоремах, обеспечивают требуемые свойства устойчивости.

Рассмотрим для (29) начальное условие вида х(/) = 0. В соответствии с (29) динамика системы с запаздыванием описывается уравнениями

*(') = £ К (р)(А,0х( <) + Ашх(1 - т,) + В,0и{1) + Вшх(1 - х2)),

г (30)

При отсутствии //(/) соответствующее уравнение имеет вид

■*(/) = £ А, (/>)( + А,,х(1 - т,)). (31)

/=1

Получены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости для системы (31) в виде следующей теоремы.

Теорема 16. Пусть для системы (31) существуют положительно определенные матрицы Р и <2 такие, что выполнены линейные матричные неравенства

РАЮ + А'ШР + РАш0ГхА*шР + Q <0,1=1,2,..., г. Тогда состояние равновесия системы (31) асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство теоремы 16 опирается на свойства функции Ляпунова

У(х) = (*(/)) /МО + | (*(■?)) Qx(s)ds, где т, - запаздывание.

Для систем с запаздыванием управляющее правило можно записать в виде:

ЕСЛИ />,(/) есть Л/1, и ... и р,(1) есть Л/'/;), ТО и(!) = -/•>(/), /'= 1 ,...,/•. Регулятор задается равенством вида

и(0 = -£>,(/>)/\*(0- (32)

1=1

Подставляя (32) в (30), получим

т = £ А? (о, *(/) + А„х(1 - X,) - №(? - Х2)) +

1=1

+2^ К(р) + О„))л(0 + - т,) + - т,)) - (33)

- -{в^хЦ-Х^ + В^ХЦ-т2>).

гДе<лу = 4„-V7,-

Теорема 17. Пусть существуют матрицы Р>0, 0, ()2> 0 такие, что выполнены неравенства

рац+с'(р+РА^Ак(р+дх + +рв^г^д^р'в^р+рд2р< о, /=

> г,

си+сл

р +

+ в1с1р]р-1д-21р-'^в'1с1)+ ря2р<а, « = 1

Тогда состояние равновесия системы (33) устойчиво.

Доказательство теоремы 17 опирается на свойства функции Ляпунова

I I

У(х) = (х(0)* Рх(1) + | + | (х(з))'рд2Рх{з)с1.ч,

/-Т, /-Т,

где т, и^- запаздывания.

Далее в главе с помощью свойств линейных матричных неравенств для системы (30) с запаздыванием синтезирована стабилизирующая обратная связь. Получена следующая

Теорема 18. Пусть выполнены неравенства

<0;

X Км,

1) для любого / = 1 г X -IV, 0

у М'К, 0 -IV,

2) для любой пары индексов 1 <1<]<г

(и +И' ч ч X В,

X -V, 2 0 0

0 1¥2 0

1 0 0

<0,

«Эе 2п = АЮХ + ХА,0 + Л,/К, Аи, - ВЮМ, - М, Вт, 11 ч = АЮХ + ХАЛ + + А10Х + ХА]0, Уи = -влмгм)вл-в10м, УГИ,,,. П'^А^Л], + +А/с/И']А'1/ + Ж2.

Тогда существует нечеткий регулятор, стабилизирующий систему (30) с запаздыванием.

Наконец, в пятой главе рассмотрены вопросы управления техническим средством доставки грузов для комплекса промышленных предприятий. Для построения нечеткого регулятора использована следующая модель задачи управления:

x0(t +1) = x0(l) + ^~ig(u(l)), Л, (/) = Х„(г) - (/), x2(t + \) = x1(l) + ^j-sm(х,(/)), х,(/) = х2(г)-х4(/), x4(t + l) = x4(t) + ^-sin(x3(l)), x,(t) = x4(t)-x6(t), (34)

x1 (/ + 1) = x7 (/) + vAt cos(x5 (/))sinl^iliillfliil ;

(' + ») = **(>)+ vAtcos(x5 (/»sin ^ ^ + ^+ '^ j,

где xo(t) - угол направления движения технического средства относительно горизонтальной оси, x\(t) - угол между направлениями движения технического средства и первого прицепа, x2(t) - угол направления движения первого прицепа относительно горизонтальной оси, x?(t) - угол между направлениями движения первого и второго прицепов, x4{t) - угол направления движения второго прицепа относительно горизонтальной оси, xs(t) - угол между направлениями движения второго и третьего прицепов, x6(t) - угол направления движения третьего прицепа относительно горизонтальной оси, xj(f) - вертикальная координата задней части третьего прицепа, xg(t) - горизонтальная координата задней части третьего прицепа, и(1) - угол положения руля относительно горизонтальной оси, I - длина технического средства, L - длина прицепа, Д/ - время между измерениями, v - постоянная скорость обратного движения.

Цель управления состоит в возвращении конфигурации технического средства доставки грузов к прямолинейной форме. Это означает выполнение условий

xt(t) О, X}(t) 0, xs(t) ->• О, x6(t) -» О,Л7(0 0.

Предполагается, что значения u{t), xt(t), x}(t), x5(t) достаточно малы. Для

углов Xt(I), X}{t), x5(t), ~ и соответствуют восьми положениям «складывания». Система Такахи-Суджено для представления нелинейных уравнений (34) имеет вида

П1": ЕСЛИ p(t) «приблизительно равно 0 рад», ТО x(t+\)=A,x(t) + B^it), П(2): ЕСЛИ р(1) «приблизительно равно п или -п рад», ТО х(/ + 1) = Л2х(!) + В2и(1\

где р(0 = *«(0 + ^*5е), *(') = (*. (О, *з(0.*5(0.*б('),*7(0)\ матрицы А, и выбраны соответствующим образом.

Далее на основании теоремы об устойчивости с помощью линейных матричных неравенств установлено, что неравенства

¡*,(/)|<л„ 1М0И. ЫОИз

справедливы для любого момента времени г > 0, если известно начальное условие л(0) и выполняются следующие линейные матричные неравенства

>0,

х ха[

>о,

' X ХсГгл у(12Х \\1 у

<0,

А' Хс1'

\йъХ Хз /

1 х{0)

{т х ,

где X - положительно определенная матрица, X,, /' = 1,2,3, - положительные числа. В случае доставки грузов выходы х^), х3(г) и х<(!) имеют вид: (г)= </,*(<) =(1,0,0,0,0) ■ (*, (Г), х3 (/), х5 (/), х6 (0, (/))*, *3(0 = с!гх(1) = (0,1,0,0,0) • (*,(0, *,(/), х5(Г), *в(0, *т(0)\

*,(0=¿3д(о=(о, о, 1, о, 0) .(д,(о, *,(/), *5(0, *6(0> *,('))* •

Управление движением технического средства вперед и назад осуществляется с помощью двигателя постоянного тока. Регулирование направления движения осуществляется с помощью шагового двигателя. Последовательные разности углов х3(() и дг5(0 обеспечиваются тремя потенциометрами. На третьем прицепе установлена маркированная площадка, за которой следит видеокамера. Переменные х6(/) и х7(г) последовательно вычисляются путем обработки изображений с видеокамеры. Вход управления, т.е. угол поворота и(1), определяется нечетким регулятором. В экспериментальных исследованиях использованы следующие значения параметров: I = 0,087 м, Ь = 0,13 м, V = -0,1 м/с, А; = 0,5 с. Результаты показывают, что управление положением звеньев технического средства доставки грузов может эффективно осуществляться с помощью нечеткого регулятора.

Результаты пятой главы дополняют и продолжают исследования Т. Такахи, М. Суджено, Х.О. Ванга, К. Танаки, Ю. Дина, X. Ина, С. Шао, Л. Мозелли на случай запаздывания. Эти результаты можно использовать для обеспечения высоких эксплуатационных показателей проектируемых промышленных систем, связанных с перевозками грузов.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

1. Определены новые понятия устойчивости для систем с неполной информацией и новое понятие «запас устойчивости».

2. Развит системный подход к анализу устойчивости управляемых систем с неполной информацией, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов, на основе ключевой системы. Обобщен принцип сведения задачи об устойчивости дифференциальных включений к задаче об устойчивости нечетких дифференциальных уравнений. Даны условия существования решений дифференциальных включений общего вида.

3. Развиты новые методы исследования устойчивости: спектрально-бифуркационный метод, метод дивергентных функций Ляпунова, комбинированный метод функций Ляпунова с использованием свойств линейных матричных неравенств.

4. Получены новые условия устойчивости состояний равновесия многомерных систем с неполной информацией и условия устойчивости систем Такахи-Суджено при наличии и отсутствии запаздывания. Разработан новый алгоритм для нахождения запаса устойчивости многомерных управляемых систем с неполной информацией.

5. Построены локальные фазовые портреты и исследована устойчивость состояний равновесия системы «реакция-диффузия». Рассмотрено обобщение и модификация системы на случай дифференциального включения и нечеткого дифференциального уравнения. Получены новые теоремы об устойчивости с помощью принципа сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений и метода функций Ляпунова.

6. Полученные результаты нашли применение при создании и совершенствовании авиационной и ракето-космической техники, а также в создании и совершенствовании наземного и воздушного транспорта.

Публикации автора по теме диссертации

I. Монографии

1. Дружинина О.В., МасинаО.Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. М.: ВЦ РАН, 2009. 180 с.

2. Масина О.Н., Дружинина О.В. Моделирование и анализ устойчивости некоторых классов систем управления. М.: ВЦ РАН, 2011. 164 с.

II. Публикации в рецензируемых журналах и изданиях

3. Масина О.Н. Об оптимальных по устойчивости законах управления // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика нелинейных систем. Т. 17(1). 2005. С. 42-47.

4. Масина О.Н. Вопросы управления движением транспортных систем // Транспорт: наука, техника, управление. 2006. № 12. С. 10-12.

5. Дружинина О. В., Масина О.Н., Садыкова О. И. Структура и качественные свойства нечетких систем // Наукоемкие технологии. 2007. № 10. Т. 8. С. 41-45.

6. Дружинина О.В., Масина О.Н., Садыкова О.И., Соболева A.B. Индексные и дивергентные условия устойчивости движения систем железнодорожного транспорта // Транспорт: наука, техника, управление. 2007. № 10. С. 18-20.

7. Масина О.Н., Дружинина О.В. Существование устойчивых состояний равновесия и предельные свойства решений обобщенных систем Лотки-Вольтерра // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2007. № 1. С. 55-57.

8. Дружинина О.В., Масина О.Н. Об оптимальном управлении по времени для эволюционных уравнений // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32(3). С. 41-15.

9. Масина ОН. О существовании решений дифференциальных включений //Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 6. С. 845-847.

10. Масина ОН. Об устойчивости и управляемости динамических систем воздушного транспорта // Транспорт: наука, техника, управление. 2008. № 2. С. 20-24.

11. Масина О.Н., Дружинина О.В. Об оптимальном управлении бесконечномерными объектами // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32 (1). С. 24-29.

12. Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование существования и устойчивости решений дифференциальной системы экологической динамики с учетом конкуренции и диффузии // Нелинейный мир. 2009. Т. 7. №11. С. 881-888.

13. Дружинина О.В., Масина О.Н. Об устойчивости нечетких технических систем управления // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 50(1). С. 20-25.

14. Масина О.Н., Петрова Н.П., Карпеченкова О.Н. Применение лингвистических переменных и функций Ляпунова для стабилизации нелинейных нечетких систем // Нелинейный мир. 2010. Т. 8. № 9. С. 592-596.

15. Масина О.Н. Метод функций Ляпунова исследования устойчивости непрерывных систем с нечеткими регуляторами синглетонного типа // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 53(1). С. 61-65.

16. Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование устойчивости управляемых технических систем индексно-дивергентным методом // Нелинейный мир. 2011. Т. 9.№ 10. С. 677-682.

17. Масина О.Н. Конструирование регуляторов нечеткого управления техническими системами на основе качественных данных // Наукоемкие технологии. 2011. Т. 12. № 3. С. 50-55.

18. Масина О.Н. Конструирование регуляторов нечетко-нейронного управления техническими системами на основе количественных данных Н Наукоемкие технологии. 2011. Т. 12. № 4. С. 16-20.

19. Дружинина О.В, Масина О.Н., Щенникова Е. В. Оптимальная стабилизация программного движения манипуляционных динамических систем // Динамика сложных систем. 2011. Т. 5. № 3. С. 58-64.

20 .Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование устойчивости технических систем управления с нечеткими регуляторами на основе свойств векторных полей // Наукоемкие технологии. 2011. Т. 12. № 7. С. 57-61.

21. Масина О.Я., Дружинина О.В., Афанасьева В.И. Анализ устойчивости дискретных систем управления на основе функций Ляпунова и свойств линейных матричных неравенств // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2011. Т. 9. № 7. С. 53—62.

III. Прочие публикации в научных периодических изданиях

22. Масина О.Н. О задаче обеспечения устойчивости управляемой системы// Качественное и численное исследование математических моделей динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2006. С. 95-97.

23. Дружинина О.В., Иванова Ю.А., Масина О.Н. О совершенствовании математических моделей безопасности транспортных систем // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ РАН, 2008. Вып. 11. С. 61-68.

24. Масина О.Н., Дружинина О.В., Мулкиджан Т.С. О предельных свойствах и инвариантности управляемых динамических процессов // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ РАН, 2008. Вып. 10. С. 55-63.

25. Масина О.Н., Дружинина О.В. О показателях безопасности функционирования системы в нечетких условиях // Фундаментальные проблемы системной безопасности. М.: Вузовская книга, 2008. С. 305-312.

26. Масина О.Н., Дружинина О.В., Осташкевич В.А. О задаче управления движением некоторых классов транспортных динамических систем // Фундаментальные проблемы системной безопасности. Вып. 2. М.: Вузовская книга, 2009. С. 269-273.

27. Масина О.Н., Дружинина О.В. Об асимптотической устойчивости состояния равновесия математической модели популяционной динамики // Дифференциальная алгебра и динамика систем. Сб. науч. тр. Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П. Огарёва, 2008. С. 65-68.

28. Дружинина О.В., Масина О.Н., Игонина Е.В. Исследование устойчивости состояний равновесия экологических уравнений индексно-дивергентным методом // Качественные свойства, асимптотика и стабилизация нелинейных динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 2010. С. 105-111.

29. Меренное Ю.Н., Масина О.Н., Дружинина О.В. Устойчивость движения и управление транспортными системами с нечеткими параметрами // Качественные свойства, асимптотика и стабилизация нелинейных динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. Саранск: Изд-во Мордовского ун-та, 2010. С. 96-104.

30. Дружинина О.В., Масина О.Н., Игонина Е.В. Использование нечетких регуляторов для алгоритмического конструирования систем управления // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 13. М.: МГТУ «Станкин», Янус-К. 2010. С. 142-148.

31. Дружинина О.В., Масина О.Н. Асимптотическая устойчивость некоторых классов систем с запаздыванием // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ РАН, 2011. Вып. 13. С. 19-28.

32. Масина О.Н., Шулиманова З.Л., Гладких О.Б. Анализ устойчивости динамических систем с неполной информацией на основе свойств энергетической функции // Избранные вопросы современного естествознания. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: МИИТ, 2011. С. 85-90.

33. Дружинина O.B., Масина О.Н. О системном подходе к исследованию устойчивости управляемых объектов // Избранные вопросы современного естествознания. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: МИИТ, 2011. С. 62-69.

IV. Публикации в трудах научных конференций

34. Масина О.Н. Анализ управляемости динамической системы // Математика. Компьютер. Образование. Сб. научн. трудов. Том 2. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. С. 232-240.

35. Масина О.Н. Об оптимальных по устойчивости законах управления нелинейными динамическими системами // Нелинейный динамический анализ. Тез. докладов Международного конгресса NDA-3. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. С. 100.

36. Масина О.Н. Об управлении нелинейными динамическими системами // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. Труды IX Международной Четаевской конференции, посвященной 105-летию Н.Г. Четае-ва. Иркутск: Ин-т динамики систем и теории управления, 2007. Т. 3. С. 125-129.

37. Масина О.Н., Дружинина О.В., Иванова Ю.А., Игонина Е. В. Об устойчивости и управляемости транспортных систем // Сб. докладов Международной науч. конф., посвященной 80-летию со дня рождения акад. В .А. Мельникова. М.: ИСП РАН, 2009. С. 190-193.

38. Масина О.Н., Игонина Е.В. Компьютерное моделирование движения управляемой транспортной системы // Тез. докл. XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого). М.: Изд-во ИПУ РАН, 2010. С. 271-273.

39. Масина О.Н., Дружинина О.В. Алгоритмическое конструирование систем управления с помощью нечетких лингвистических регуляторов и разрывных функций Ляпунова // Тез. докл. XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого). М.: Изд-во ИПУ РАН, 2010. С. 269-271.

40. Масина О.Н., Климачкова Т.С., Кузьмина Т.Н. Вопросы управления и обеспечения безопасности движения транспортных систем// Труды XVIII Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». М.: ИПУ РАН, 2010. С. 460-462.

41. Масина О.Н. Исследование устойчивости нечетких управляемых систем на основе анализа векторных полей // Материалы конференции «Управление в технических системах» (УТС-2010). СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010. С. 231-234.

42. Масина О.Н. О безопасности функционирования нечетких управляемых систем // Труды XVIII Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем», М.: ИПУ РАН, 2010. С. 439-443.

43. Дружинина О.В., Масина О.Н. Устойчивость и предельные свойства некоторых классов динамических моделей с управлением // Материалы XLVI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. М.: РУДН, 2010. С. 79-81.

44. Дружинина О.В., Масина О.Н., Игонина Е.В. О структуре нечетких регуляторов и их применении к алгоритмическому конструированию систем управления // Материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Актуальные проблемы современной науки и образования». Уфа: РИД БашГУ, 2010. С. 117-121.

45. Дружинина О.В., Масина О.Н. Качественное исследование нелинейных систем экологической динамики // Материалы LX1II Международной конференции «Герценовские чтения - 2010». СПб.: Изд-во БАН, 2010. С. 26-32.

46. Дружинина О.В.. Масина О.Н. Об устойчивости математических моделей технических систем управления с нечеткими регуляторами // Сборник тезисов второй Международной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем». М.: Янус-К, 2011. С. 296-297.

47. Масина О.Н., Дружинина О.В. Исследование устойчивости математических моделей систем с нечеткими регуляторами на основе анализа дивергенции поля скоростей // Сборник тезисов второй Международной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем». М.: Янус-К, 2011.С. 302-303.

48. Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование устойчивости математических моделей нечетких управляемых систем с дискретным временем // Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». М.: РУДН, 2011. С. 265-267.

МАСИНА Ольга Николаевна

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ ОБЪЕКТОВ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

05.13.01 -Системный анализ, управление и обработка информации

(промышленность)

Тип. зак. '1С) I Подписано в печать

15.11.11

Гарнитура Times

Тираж 100 экз.

Офсет Формат 60x90i/u,

Усл. печ. л. 2.0

Издательский центр РОАТ 125993, Москва, Часовая ул.. 22/2

Участок оперативной печати РОАТ 125993. Москва. Часовая >л., 22/2

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Масина, Ольга Николаевна

Введение.

Глава 1 - Проблема исследования устойчивости управляемых систем с неполной информацией.

1.1. Введение.

1.2. Базовая структура управляемых систем с неполной информацией.

1.3. Определения устойчивости для систем с неполной информацией.

1.4. Промышленные и технические системы управления с неполной информацией.

1.5. Системный подход к исследованию устойчивости и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов.

1.6. Принцип сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений.

1.7. Современные методы анализа устойчивости управляемых систем с неполной информацией.

1.8. Построение нечетких регуляторов на основе лингвистических данных.

1.9. Построение нечетких регуляторов на основе численных данных.

1.10. Оптимальное управление по времени динамическими системами.

Глава 2 - Развитие методов анализа устойчивости управляемых систем с неполной информацией в пространствах состояний и скоростей.

2.1. Введение

2.2. Метод анализа устойчивости на основе свойств векторных полей состояний (спектрально-бифуркационный метод).

2.3. Алгоритм нахождения запаса устойчивости.

2.4. Метод анализа устойчивости на основе свойств дивергенции поля скоростей.

Глава 3 - Развитие метода функций Ляпунова анализа устойчивости управляемых систем с неполной информацией.

3.1. Введение

3.2. Анализ асимптотической устойчивости дискретной системы с синглетон-выходом на основе функций Ляпунова.

3.3. Анализ асимптотической устойчивости непрерывной системы с синглетон-выходом на основе функций Ляпунова

3.4. Анализ устойчивости систем нечеткого управления с помощью разрывных функций Ляпунова.

3.5. Моделирование движения транспортной системы.:.

Глава 4 - Качественное исследование нелинейных систем реакция-диффузия».

4.1. Введение

4.2. Существование и устойчивость решений трехмерной системы «реакция-диффузия».

4.3. Устойчивость систем «реакция-диффузия», описываемых дифференциальными включениями и нечеткими дифференциальными уравнениями.

Глава 5 - Анализ устойчивости систем Такахи-Суджено на основе свойств линейных матричных неравенств.

5.1. Введение

5.2. Анализ асимптотической устойчивости систем Такахи-Суджено.

5.3. Асимптотическая устойчивость и стабилизация систем Такахи-Суджено с запаздыванием.

5.4. Управление техническим средством доставки грузов.

5.5. Анализ устойчивости системы управления перевернутым маятником.

Введение 2011 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Масина, Ольга Николаевна

Диссертационная работа посвящена системному анализу, развитию существующих методов и разработке новых методов исследования устойчивости управляемых систем с неполной информацией.

Актуальной проблемой теории управляемых систем является проблема управления объектами с неполной информацией. Системы управления с неполной информацией применяются в случаях, когда объект управления достаточно сложен для его точного описания и существует дефицит априорной информации о поведении системы. Вопросам алгоритмического конструирования и устойчивости систем управления с неполной информацией посвящены работы Е. Мамдани [89], М. Суджено [97], Т. Такахи [99], К. Танаки и Х.О. Ванга [102], М. де Гласа [71], Ле Ван Хиена [76], Д. Дрянкова [73], А. Пегата [44], Р. Дорфа и Р. Бишопа [14], Б.Лю [33], К.А. Пупкова [51], Н.Н.Моисеева [41], Д.А. Поспелова [49], С.Н. Васильева [9], А.Н. Аверкина, И.З. Батыршина,

A.Ф. Блишуна, В.Б. Силова и В.Б. Тарасова [1], P.A. Алиева [4],

B.И. Гостева [12], В.Н. Афанасьева [6], A.A. Шестакова [62], В.В. Круглова [30], В.В. Дикусара и A.A. Милютина [13] и других исследователей.

При решении задач управления системами с неполной информацией на основе нечетких регуляторов возникает проблема исследования устойчивости этих систем. Начиная с работ А.М. Ляпунова [34], Н.Е. Жуковского [18], А. Пуанкаре [50], Дж. Биркгофа [8], теория устойчивости динамических систем развивалась в работах В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [43],

A.A. Красовского [26, 27], H.H. Красовского [28], A.A. Шестакова [62], Ю.Н. Меренкова [39], В.В. Румянцева и A.C. Озиранера [53], В.М. Попова [48],

B.М. Матросова [36], А.Ф. Филиппова [60] и в работах других отечественных и зарубежных ученых.

Тридцатые и сороковые годы двадцатого столетия были ознаменованы плодотворной деятельностью двух крупных научных школ по теории устойчивости: научной школы ГАИШ (В.В. Степанов, Н.Д. Моисеев, Г.Н. Дубошин, Н.Ф. Рейн и другие) и казанской научной школы (Н.Г. Четаев, К.П. Персидский, И.Г. Малкин, Г.В. Каменков и другие). Ученые этих школ внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости по Ляпунову. Возникшие в более поздний период научные школы по качественной теории, теории устойчивости и теории нелинейных колебаний в Москве, Киеве, Екатеринбурге, Минске, Санкт-Петербурге, Самарканде, Нижнем Новгороде внесли дальнейший крупный вклад в развитие теории устойчивости.

Методы теории устойчивости нашли применение и в теории управления [2, 3, 6, 19, 29, 32, 35, 38, 41, 46, 49, 51, 61, 63, 64, 67, 71, 73, 78, 79, 83, 92, 103]. Современные вопросы теории устойчивости управляемых систем рассмотрены в работах [12, 14, 30, 44, 56, 59, 66, 72, 74, 76, 86, 90, 91, 93, 95-99, 106, 2*].

Одним из эффективных методов исследования устойчивости и других качественных свойств динамических систем является классический и обобщенный методы функций Ляпунова. В монографии A.A. Шестакова [62] с помощью функций Ляпунова получены необходимые и достаточные условия устойчивости для динамических систем Биркгофа. Вопросы устойчивости систем, описываемых дифференциальными уравнениями, рассматривались также в работах [15, 16, 28, 39, 53, 107]. Подход к изучению систем, связанный со свойствами дифференциальных включений, предложен в работах [39, 62, 1*]. Теория устойчивости для стохастических систем развита в работах A.A. Шестакова [62], Ю.Н. Меренкова [39] и других ученых. В работах М. Брэа и Д.А. Рузерфорда [67], Д. Дрянкова [73], Jle Ван Хиена [76] содержатся результаты по применению разрывных функций Ляпунова к изучению устойчивости управляемых систем.

Теории общих систем и системному анализу посвящена обширная литература (см., например, [11, 25, 37]). Системный подход к исследованию устойчивости неуправляемых систем описан A.A. Шестаковым [62] и Ю.Н. Меренковым [39]. Указанный подход основан на понятии ключевой математической системы, позволяющей с единой точки зрения рассматривать свойства устойчивости систем, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов.

Важным классом управляемых систем с неполной информацией являются нечеткие системы управления. Конструктивными сторонами нечеткого управления являются: 1) естественность требований в том смысле, что описание условий и метода решения задачи осуществляется на языке, близком к естественному; 2) универсальность требований в том смысле, что любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике; 3) эффективность требований в том смысле, что для каждой вещественной непрерывной функции g, заданной на компакте U и для произвольного в > 0 существует нечеткая экспертная система, формирующая выходную функциюХх) такую, что sup||g(x) - /(х)|| < 8 . xeU

Вместе с тем для нечетких экспертных и управляющих систем характерны и определенные недостатки: 1) исходный набор постулируемых нечетких правил формулируется экспертом-человеком и может оказаться неполным или противоречивым; 2) вид и параметры функций принадлежности, описывающих входные и выходные переменные системы, выбираются субъективно и могут не вполне отражать реальную действительность.

Для устранения указанных недостатков рядом авторов было предложено выполнять нечеткие экспертные и управляющие системы адаптивными -корректируя, по мере работы системы, и правила и параметры функций принадлежности. Среди нескольких вариантов такой адаптации разработан метод гибридных нейронных сетей [9].

В работах А.Н. Аверкина [1], Р.А.Алиева [4], В.Н.Афанасьева [6], С.Н. Васильева [9], А. Пегата [44], Р. Дорфа и Р. Бишопа [14], В.И. Гостева [12], Т. Тэрано, К. Асаи и М. Суджено [58], Д. Дрянкова [73] смещение исследований систем с неполной информацией в область практических приложений привело к постановке целого ряда задач, таких, как новые архитектуры компьютеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки систем управления. Промышленная реализация управляемых систем оказывается полезной в случаях, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных (числовых) методов или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно.

В работе [9] С.Н. Васильевым выделены шесть уровней систем управления: 1) системы программного управления (разомкнутые системы); 2) системы с обратной связью (замкнутые системы); 3) системы идентификационного управления; 4) системы адаптивного управления (системы с самонастройкой); 5) системы интеллектного управления (СИУ без целеполага-ния); 6) интеллектуальные системы управления (СИУ с целеполаганием). Каждый класс систем управления включает все предыдущие с точки зрения охвата их возможностей управления. К одному из уровней интеллектуального управления относится и нечеткое управление.

Д.А. Поспеловым [49] дана следующая классификация систем управления по объему необходимой информации о внешнем мире: 1) простые системы управления, состоящие из систем программного управления и систем с обратной связью; 2) системы с адаптацией, состоящие из систем идентификационного управления и систем адаптивного управления; 3) модельные системы управления, состоящие из систем интеллектного управления; 4) семиотические системы управления, состоящие из интеллектуальных систем управления.

Н.Н.Моисеев [41] различает три уровня управления: 1) верхний уровень управления: целеполагание; 2) средний уровень управления: поиск способа достижения поставленной на верхнем уровне цели; 3) нижний уровень управления: реализация выбранного на среднем уровне способа достижения поставленной цели.

В [9] отмечено, что в настоящее время системы интеллектуального управления с нетривиальным верхним уровнем управления существует только в виде человеко-машинных систем, а проблема аппаратно-алгоритмического обеспечения среднего уровня управления и, в особенности, верхнего уровня управления является вызовом для специалистов в области интеллектного управления.

На стыке современной теории управления и искусственного интеллекта интенсивно развивается интеллектное управление. Возможно рассматривать интеллектное управление не только как пограничную область теории управления и искусственного интеллекта, но и как пограничную область теории управления, искусственного интеллекта и исследования операций. Взаимное влияние указанных трех базовых областей исследований и разработок детально рассмотрено в [9]. Отметим, что в монографии Б.Лю [33] показаны возможность и перспективы сочетания указанных областей.

Интеллектными компонентами систем управления для реализации высокоинтеллектуальных функций являются системы, основанные на знаниях. Важно отметить, что в общем случае системы, основанные на знаниях, оперируют с более широкой информацией - логическими, объектно-ориентированными и другими моделями, основанными на знаниях экспертов.

Вместе с тем системы, основанные на знаниях, могут использовать и традиционные алгоритмы, базирующиеся на уравнениях динамики.

К системам, основанным на знаниях, относятся а) системы, основанные на правилах; б) системы, основанные на автоматическом доказательстве теорем; в) системы, основанные на автоматическом гипотезировании; г) системы, основанные на рассуждениях по аналогии; д) объектно-ориентированные интеллектные системы [9]. Отметим, что управление на основе знаний образует раздел интеллектного управления и включает, например, управление на основе правил и управление на основе логических моделей.

Относительно пределов использования интеллектного управления следует отметить, что нечеткие регуляторы являются более робастными, чем обычные. Имеются многие приложения, где использование указанных регуляторов обеспечило высокую робастность систем управления [44].

В ряде задач управления системами с неполной информацией изучаемые нелинейные явления описываются с помощью систем Такахи-Суджено [99]. Указанные типы систем с неполной информацией, базирующиеся на правилах нечеткого вывода и нечетких регуляторах, находят многочисленные приложения в промышленности, в естествознании, в инженерной практике. Системы Такахи—Суджено эффективно применяются в задачах управления механическими транспортными средствами, управления подъемными и мостовыми кранами, управления роботами-манипуляторами [12, 44, 97, 102].

Динамика большого числа современных промышленных объектов описывается дифференциальными, уравнениями с запаздыванием. Запаздывания возникают и как последействия во внутренних обратных связях объекта, и как временные задержки в измерительных и управляющих устройствах. Большой прикладной интерес представляет задача исследования устойчивости систем Такахи-Суджено при наличии запаздывания в динамической части правил [106].

Анализ устойчивости систем Такахи-Суджено изучался в работах [70, 72, 91, 95, 102, 104-106]. Исследование устойчивости указанных систем может быть сведено к задачам, решаемым с помощью свойств линейных матричных неравенств, которые обеспечивают требуемые свойства функций Ляпунова (отрицательность производной функции Ляпунова в силу системы) [102].

В связи с указанными обстоятельствами возникает, с одной стороны, необходимость создания новых математических моделей, описывающих динамические процессы, а с другой стороны, необходимость разработки методов, позволяющих оценивать безопасность функционирования динамических систем. Так, в связи с проектированием и внедрением скоростных и высокоскоростных составов актуальными задачами являются изучение качественного поведения и устойчивости математических динамических моделей с учетом различных типов возмущений, возникающих при взаимодействии колеса и рельса, а также вопросы динамической безопасности и управления движением. Вопросы, связанные с надежностью и безопасностью функционирования систем, рассмотрены в работах H.A. Северцева и A.B. Бецкова [55], А.И. Дивеева, В.А. Каштанова, Г.С. Садыхова, Е.А. Воронина и в работах других авторов (см. библиографию в [55]).

Одной из задач, возникающих при описании эволюции взаимодействующих объектов, является задача исследования устойчивости состояний равновесия систем «реакция-диффузия». Для классической системы «реакция-диффузия» получены многочисленные результаты в направлении развития качественной теории и, в первую очередь, теории устойчивости решений [7, 52]. Для обобщенных систем «реакция-диффузия» получено значительно меньше результатов (см., например, [7, 40, 7*] и др.). В работе [7] показана эффективность применения функций Ляпунова для изучения устойчивости решений указанных систем. Устойчивость решений классических и обобщенных систем «реакция-диффузия» в многомерном случае исследована в [7*] методом функций Ляпунова. В работах [15, 28*] вопрос об устойчивости решений обобщенных многомерных систем «реакция-диффузия» изучен с помощью метода, основанного на свойствах дивергенции поля скоростей.

В связи с вышеизложенным проблема исследования устойчивости управляемых систем с неполной информацией является важной и актуальной в области системного анализа, теории управления и теории устойчивости, требующей дальнейшей разработки.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории управления, методы теории устойчивости, методы функционального анализа, математической логики, теории дифференциальных уравнений, а также разработанные в работе методы: спектрально-бифуркационный метод, комбинированный метод функций Ляпунова, метод дивергентных функций Ляпунова, техника линейных матричных неравенств.

Научная новизна. Диссертация является теоретической научно-квалификационной работой, в которой получены следующие новые результаты: а) введены понятия устойчивости для управляемых систем с неполной информацией; б) проведен системный анализ управляемых систем с неполной информацией; в) найдены условия устойчивости состояний равновесия управляемых систем с неполной информацией на основе развитого в диссертации спектрально-бифуркационного метода; г) определено понятие «запас устойчивости» и разработан алгоритм нахождения запаса устойчивости для многомерных управляемых систем с неполной информацией; д) получены условия устойчивости дискретных и непрерывных управляемых систем с синглетон-выходом, систем Такахи-Суджено при наличии и отсутствии запаздывания на основе предложенного в диссертации комбинированного метода функций Ляпунова с использованием свойств линейных матричных неравенств; е) установлены условия устойчивости состояний равновесия систем с неполной информацией на основе развитого в диссертации метода дивергентных функций Ляпунова; ж) найдены условия существования неотрицательных состояний равновесия и проведено качественное исследование решений системы «реакция-диффузия»; з) получены условия устойчивости на основе метода функций Ляпунова и подхода к изучению устойчивости решений, основанного на принципе сведения задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений нечетких дифференциальных уравнений; и) доказаны теоремы об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях транспортной системы.

Ряд результатов диссертации получен в рамках работы по гранту РФФИ (проект № 10-08-00826-а).

Отдельные результаты диссертации включены в содержание учебных курсов для студентов физико-математического факультета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина и для студентов Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ). Кроме того, результаты диссертации используются в научной работе студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 22 Международных и Всероссийских научных конференциях и семинарах, среди которых наиболее важными являются: Международная конференция им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2006, 2008, 2010 гг.); Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ» (ЪГОА-З) (Санкт-Петербургский гос. университет, 2007 г.); IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2007 г.); Международная конференция «Проблемы системной безопасности» (Москва, ВЦ РАН, 2007 г.); XVI, XVIII Международные конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем» (Москва, ИПУ РАН, 2008, 2010 гг.); Международная научная конференция, посвященной 80-летию со дня рождения акад. В.А.Мельникова (Москва, ИСП РАН, 2009 г.); конференция «Управление в технических системах» (УТС-2010) (Санкт-Петербург, ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010 г.); вторая Международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (Москва, МГТУ «СТАНКИН», 2011 г.); III Международная научная конференция «Фундаментальные проблемы системной безопасности и устойчивости», посвященная 50-летию полета Ю.А. Гагарина (Звездный городок, 2011 г.); научный семинар по нелинейному анализу и проблемам безопасности Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН (Москва, 2011 г.); научный семинар Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) (2010, 2011 гг.); научно-практическая конференция Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина (Елец, 2006-2011 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы £1 *—48*] (см. список литературы к диссертации), общим объемом 37,9 п.л., в том числе 2 монографии, объемом 21,5 п.л., 19 публикаций - в рецензируемых журналах и изданиях, объемом 6,7 п.л., 27 публикаций в сборниках тезисов и трудов конференций.

Заключение диссертация на тему "Системный анализ и методы исследования устойчивости управляемых объектов с неполной информацией"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты настоящей диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

4. Получены новые условия устойчивости состояний равновесия многомерных систем с неполной информацией и условия устойчивости систем Та-кахи-Суджено при наличии и отсутствии запаздывания. Разработан новый алгоритм для нахождения запаса устойчивости многомерных управляемых систем с неполной информацией.

Библиография Масина, Ольга Николаевна, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Аверкин А.H., Батыршин ИЗ., Блишун А.Ф., Силов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. М.: Наука, 1986.

2. Аксенов Г.С., Фомин В.Н. Синтез адаптивных регуляторов на основе метода функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1982. № 6. С. 126-138.

3. Александров А.Ю., Платонов A.B. Устойчивость движений сложных систем. СПб.: НИИ Химии. СПбГУ, 2002.

4. Алиев P.A., Захарова Э.Г., Ульянов C.B. Нечеткие регуляторы и интеллектуальные промышленные системы управления // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1991. Т. 32. С. 233-313.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке Matlab. СПб.: Наука, 1999.

6. Афанасьев В.Н. Динамические системы управления с неполной информацией. Алгоритмическое конструирование. М.: КомКнига, 2007.

7. Базыкин АД. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

8. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

9. Васильев С.Н. К интеллектному управлению // Нелинейная теория управления и ее приложения. М.: Физматлит, 2000. С. 57-126.

10. Воронов A.A. Введение в динамику сложных систем. М.: Наука, 1985.

11. Волкова В.H., Денисов A.A. Основы теории систем и системного анализа. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.

12. Гостев В.И. Нечеткие регуляторы в системах автоматического управления. Киев: Радюматор, 2008.

13. Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы принципа максимума. М.: Наука, 1989.

14. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория базовых знаний, 2004.

15. Дружинина О.В. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных динамических систем. М.: ВЦ РАН, 2007.

16. Дружинина О.В., Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах // Матем. сборник. 2002. Т. 193. № 10. С. 17-48.

17. Дружинина О.В., Шестаков A.A., МеренковЮ.Н. Устойчивость движения нечетких динамических систем железнодорожного транспорта // Транспорт: наука, техника, управление. 2004. № 2. С. 6-9.

18. Жуковский Н.Е. О прочности движения// Уч. зап. Московского ун-та. 1882. Вып. 4. С. 1-104.

19. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. унта, 2004.

20. Калман Р.Э., Фалб П.Л., Арбиб М.А. Очерки по математической теории систем. М.: Едиториал УРСС, 2010.

21. Катулев А.Н., Северцев H.A. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

22. Козлов В.В., Фурта СД Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1996.

23. Корсаков С.Н. Начертание нового способа исследования при помощи машин, сравнивающих идеи / Пер. с франц. под ред. А. С. Михайлова. М.: МИФИ, 2009.

24. Кофман А., Хил АлухаХ. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями. Минск: Вышейшая школа, 1992.

25. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2000.

26. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

27. Красовский A.A. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

28. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

29. Красовский H.H., Куржанский А.Б., Кибзун А.И. Современные проблемы оптимизации и устойчивости неопределенных и стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 2007. № 10. С. 3-4.

30. Круглое В.В., Дли М.Н., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Издательство физико-математической литературы, 2001.

31. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределённости. М.: Наука, 1977.

32. Jlemoe A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.

33. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

34. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М—Л.: Гостех-издат, 1950.

35. Максвелл Д.К., Вышнеградский H.A., Стодола А. Теория автоматического регулирования. Линеаризованные задачи. М.: Наука, изд-во АН СССР, 1949.

36. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

37. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

38. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

39. Меренков Ю.Н. Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем. Дисс. . докт. физ.-матем. наук. М.: РГОТУПС, 2003.

40. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М: ФИЗМАТ ЛИТ, 2010.

41. Моисеев H.H. Теория управления и проблема «человек-окружающая среда»// Вестник АН СССР. 1980. № 1. С. 62-73.

42. Молодцов Д. А. Теория мягких множеств. М.: Едиториал УРСС, 2004.

43. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.

44. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

45. Персидский К.П. Избранные труды. Т. 1, 2. Алма-Ата: Наука КазССР, 1976.

46. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 32. С. 3-31.

47. Попов В.М. Гиперустойчивость автономных систем. М.: Наука, 1970.

48. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления. М.: Энергоиздат, 1981.

49. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1,2. М.: Наука, 1971, 1972.

50. Пупков К.А. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

51. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука, 1983.

52. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

53. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

54. Северцев H.A., Бецков A.B. Системный анализ теории безопасности. М.: МГУ, 2009.

55. Седова НО. Устойчивость и стабилизация нелинейных управляемых систем с запаздыванием. Дисс. . докт. физ.-матем. наук. М.: ВЦ РАН, 2010.

56. Таунсенд К., Фохт Д. Проектирование и программная реализация экспертных систем на персональных ЭВМ: Пер. с англ. В.А. Кондратенко, C.B. Трубицына. М.: Финансы и статистика, 1990.

57. Тэрано Т., Асаи К., Сугэно М. (ред.) Прикладные нечеткие системы. М.: Мир, 1993.

58. Ульянов C.B., Тятюшкина О.Ю., Колбенко Е.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления. Методология проектирования // Электронный журнал «Системный анализ в науке и образовании». 2011. Вып. 2. С. 1-18.

59. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

60. Хэррис К., Валенка Ж. Устойчивость динамических систем с обратной связью. М.: Мир, 1987.

61. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: УРСС, 2007.

62. Щенников ВН. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем. Дисс. . докт. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ, 1988.

63. Щенникова Е.В. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем. М.: Изд-во РУДН, 2006.

64. Barron E.N., Jensen R. Lyapunov stability using minimum distance control // Nonlinear Analysis. 2001. V. 43. P. 923-936.

65. Borne P., Dieulot J.-Y. Fuzzy systems and controllers: Lyapunov tools for a regionwise approach // Nonlinear Analysis. 2005. V. 63. P. 653-665.

66. Braae M, Rutherford D.A. Selection of parameters for a fuzzy logic controller // Fuzzy Sets and Systems. 1979. V. 2. P. 185-199.

67. Carr D., Shearer J. Nonlinear control and decision making using fuzzy logic in logix. USA: Rockwell Automation, 2007.

68. Chang S.S.L., ZadehL.A. On fuzzy mappings and control//IEEE Trans. Syst. Man Cybernet. SMC-2. 1972. P. 30-34.

69. Ding Y., Ying H., Shao S. Typical Takagi-Sugeno PI and PD fuzzy controllers: analytical structures and stability analysis // Inf. Sciences. 2003. V. 151. P. 245-262.

70. Driankov D., Hellendorm H., Reich Frank M. An introduction to fuzzy control. Berlin: Springer, 1996.

71. Feng G., Cao S.G, Rees N.W., Chak C.K. Design of fuzzy control systems with guaranteed stability // Fuzzy Sets and Systems. 1997. V. 85. P. 1-10.

72. Grasse K.A. A control equivalent to global controllability in systems of vector fields // Journal of Differential Equations. 1985. V. 56. P. 262-269.

73. Hien Le Van. A note on the asimptotic stability of fuzzy differential equations // Украинский матем. журнал. 2005. Т. 57. № 7. С. 904-911.

74. Hirota К., Pedrycs W. Analysis and synthesis of fuzzy systems by the use of probabilistic sets // Fuzzy Sets and Systems. 1983. V. 19. № 3. P. 1-13.

75. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. 1987. V. 24. №3. P. 301-317.

76. Kalouptsides N., Elliott D.L. Stability analysis of the orbits of control systems // Math. Systems Theory. 1982. V. 15. P. 323-342.

77. Karsakof S. Apercu (Tun procede nouveau cTinvestigation au moyen de machines a comparer les idees. St. Petersbourg, 1832. 22 p. 2 pi.

78. King P.E., Mamdani E.N. The application of fuzzy control systems to industrial processes // Automatica. 1977. V. 13. P. 493-507.

79. Kiszka J.B., Gupta MM, Nikiforuk P.N. Energetistic stability of fuzzy dynamic systems // IEEE Trans. On Systems, Man and Cybernetics. 1985. V. SMC-15. № 6. P. 783-792.

80. Kloeden P.E. Fuzzy dynamical systems// Fuzzy Sets and Systems. 1982. V. 7. P. 275-296.

81. Kluska J., Wiktorowicz K. Integral evaluations for a class of multivariable fuzzy control systems // 15th Triennial World Congress. Barcelona, 2002. P. 1-6.

82. LaSalle J.P. Invariance principle and stability theory for nonautonomous systems// Proc. Greek Math. Soc. Caratheodory Symp. Athens, 1973. P. 397^108.

83. Lee C. Fuzzy logic in control systems: fuzzy logic controller I—II // IEEE Trans. Syst. Math. Cybernetic. 1990. V. 20. P. 401^118.

84. Li L., Liu X. New results on delay-dependent robust stability criteria of uncertain fuzzy systems with state and input delays // Information Sciences. 2009. V. 179. P. 1134-1148.

85. Liu C-L., Tong S.-C., Li Y.-M., Xia Y.-Q. Adaptive fuzzy backstepping output feedback control of nonlinear time-delay systems with unknown high-frequency gain sign // International Journal of Automation and Computing. 2011. V. 8. № l.P. 14-22.

86. Mamdani E.H. Application of fuzzy algorithms for simple dynamic plant // Proc. IEE. 1974. V. 121. № 2. P. 1585-1588.

87. Mozelli L.A., Palhares R.M., Avellar G.S.C. A systematic approach to improve multiple Lyapunov function stability and stabilization conditions for fuzzy systems // Information Sciences. 2009. V. 179. P. 1149-1162.

88. Mozelli L.A., Palhares R.M., Souza F.O., Mendes E.M.A.M. Reducing con-servativeness in recent stability conditions TS fuzzy systems // Automatica. 2009. V. 45. P. 1580-1583.

89. Negoita C.V. On the stability of fuzzy systems// Proc. of the Int. Conf. on Cybernetics and Society (Tokyo-Kyoto, Japan. Nov. 3-7, 1978). IEEE Systems, Man and Cybernetics Soc. V. II, III. P. 936-937.

90. Precup R.-E., Tomescu M.-L., Preitl St. Fuzzy logic control system stability analysis based on Lyapunov's direct method // Int. J. of Computers, Communications & Control. 2009. V. IV. № 4. P. 415-426.

91. Puri M.L., Ralescu D.A. Fuzzy random variables // J. Math. Anal. And Appl. 1986. V. 116. P. 409—422.

92. Rajesh R., Kaimal M. R. Variable gain Takagi-Sugeno fuzzy logic controllers // Informática. 2006. V. 17. № 3. P. 427-444.

93. Sala A., Guerra T.M., Babuska R. Perspectives of fuzzy systems and control. Preprint submitted to Elsevier Science. 2005. P. 1-17.

94. Sugeno M. On stability of fuzzy systems expressed by fuzzy rules with singleton consequents // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 1999. V. 7. № 2. P. 201-224.

95. Sugeno M., Kang G.T. Fuzzy modelling and control of multilayer incinerator // Fuzzy Sets and Systems. 1986. V. 18. № 3. P. 329-346.

96. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control// IEEE Trans. Syst., Man and Cyber. 1985. V. 15. P.116-132.

97. Tanabe H. Equations of evolution. London: Pitman, 1979.

98. Tanaka K., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Systems. 1992. V. 45. № 2. P. 135-156.

99. Tanaka K., WangH.O. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach. N.Y.: Wiley, 2001.

100. TongR.M. Some properties of fuzzy feedback systems // IEEE Trans. Syst. Man Cybernet SMC-10. 1980. P. 327-330.

101. Ying H. Constructing nonlinear variable gain controllers via the Takagi-Sugeno fuzzy control // Transactions on Fuzzy Systems. 1998. V. 6. № 2. P. 226-234.

102. Ying H. General SISO Takagi-Sugeno fuzzy systems with linear rule consequent are universal approximators // Transactions on Fuzzy Systems. 1998. V. 6. № 4. P. 582-587.

103. YoneyamaJ. Robust stability and stabilization for uncertain Takagi-Sugeno fussy time-delay systems// Fuzzy Sets and Systems. 2007. V. 158. P. 115-134.

104. Yoshizawa T. Asymptotic behaviour of solutions of a system of differential equations// Contr. Differential Equations. 1963. V. 1. P. 371-387.

105. Zhang Xin-an, Chen L. The linear and nonlinear diffusion of the competitive Lotka-Volterra model // Nonlinear Analysis. 2007. V. 66. P. 2767-2776.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00