автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Синтез оптимальных множеств натуральных чисел со свойством "не более одного совпадения"

На правах рукописи

ПЛАТОНОВ СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ СО СВОЙСТВОМ «НЕ БОЛЕЕ ОДНОГО СОВПАДЕНИЯ»

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Великий Новгород - 2011

4845928

Работа выполнена в Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого на кафедре прикладной математики и информатики.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Гантмахер Владимир Ефимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Леухин Анатолий Николаевич

Кандидат технических наук, доцент Жукова Ирина Николаевна

Ведущая организация: Институт прикладных математических

исследований Карельского научного центра РАН

Защита диссертации состоится ^МАЙ 2011 г. в 1°Уч. на заседании диссертационного совета Д 212.168.04 при Новгородском государственном университете имени .Ярослава Мудрого по адресу: 173003, г. Великий Новгород, ул. Б. С-Петербургская, д. 41, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Автореферат разослан " " (^«¡-^а_2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.168.04, кандидат физико-математических ^ , Токмачев М. С. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Множества натуральных чисел со свойством «не более одного совпадения» (МОС) являются широко востребованными, область их применения расширяется с каждым годом. Они применяются в системах передачи информации - для построения кодов, обнаруживающих и исправляющих ошибки. В радиолокации и гидролокации для формирования шумоподобных зондирующих сигналов. В вычислительных системах - для моделирования процессов с псевдослучайным интервалом распределения единичных символов. В системах связи и телемеханики -для формирования самосинхронизирующихся кодов. Обзор работ последнего десятилетия показывает, что синтез множеств со свойством «не более одного совпадения» по-прежнему является чрезвычайно актуальной задачей для многих отраслей науки и техники.

В разнообразных областях науки МОС используют для различных целей: в радиолокации в качестве моделей сигналов, импульсная корреляционная функция (ИАКФ) которых не превосходит единицы, в теории информации для построения кодов исправляющих ошибки, в цифровой обработке изображений для построения фильтров. Соответственно различается и терминология, используемая для их обозначения. В зависимости от контекста применения их называют: множеством некоррелированных чисел со свойством «не более одного совпадения», двоичными последовательностями со свойством «не более одного совпадения» (ПОС), ансамблями со свойством «не более одного совпадения», частотно-модулированными сигналами со свойством «не более одного совпадения» и так далее. Объектом диссертационного исследования являются множества со свойством «не более одного совпадения». Под мощностью МОС будем понимать количество элементов множества. Оптимальным МОС (ОМОС) будем называть то из множеств с одинаковой мощностью, максимальный элемент которого минимален,

будем говорить также,., ^что множество является оптимальным по минимаксному критерию.

¡В. [1] наиболее полно и обстоятельно рассмотрен вопрос; синтеза множеств со свойством «не более одного совпадения». До сих пор остался не опровергнутым главный вывод монографии: «не существует регулярных методов синтеза двоичных последовательностей со свойством «не более одного совпадения», оптимальных по критерию «максимально плотного заполнения». В приведённых методах синтеза на первом этапе формируется совершенное разностное множество (СРМ), а на втором этапе осуществляется оптимизация МОС. Формирование СРМ выполняется над расширенными полями Галуа второй, и третьей степени с привлечением методов проективной геометрии. Кроме того, в [1] не достаточно чётко определено правило выбора ((подобных векторов». И, наконец, если для синтеза МОС над полем Галуа йР^) требуется вычислить всего один цуг М-последовательности, то над полем Галуа (^(¡у2) для этих же целей требуется вычислить весь период. Эти обстоятельства' определяют сложность реализации алгоритма. Предложенные методы синтеза: имеют ограниченную сетку значений количества элементов множества (мощность множества) - синтез возможен только для мощности, равной д +1. Расчёт оптимальных МОС выполнен только для множеств с мощностью ¡V < 48 В работе [2] также предлагается метод синтеза МОС. Как ив [1] в основе методологии лежит аппарат проективной геометрии, что усложняет алгоритм. Расчёт ОМОС выполнен только для множеств с числом элементов IV <98. В работе [3] предложены алгоритмы построения оптимальных по объему семейств множеств со свойствами «не более одного совпадёйия» и «не более двух совпадений» над расширенными полями Галуа. Авторами не рассматривался вопрос об оптимизации МОС. В монографии [4] был предложен способ формирования периодических

ДП со свойством «не более одного совпадения». Попытки распространить эти методы на импульсные ДП не дали удовлетворительного результата [5].

В [1] предложено формировать сложные зондирующие сигналы, позволяющие одновременно измерять как дальность, так и скорость. Основой для формирования таких сигналов являются множества, которые одновременно обладают и свойством «не более одного совпадения», и свойством «минимальной апериодичности». Такие множества названы автором «кодами с минимальной апериодичностью» (КМА). Там же приведена таблица синтезированных КМА с мощностью, равной простому числу до ]¥ < 47. К сожалению, методика синтеза КМА, предложенная в [1], применима только для значений мощности Ж <13 . Результаты синтеза, приведённые в [1] для IV >13, получены каким-то другим способом, который в этой работе не раскрыт. Не доказана оптимальность КМА. В [6] рассматривается проблема многокритериального синтеза фазоманипулированных сигналов, обладающих заданными спектральными и корреляционными свойствами. Метод направлен на синтез фазоманипулированных сигналов и сложно адаптируется к синтезу КМА. Основные трудности связаны с тем, что в методе жёстко ограничивается форма ■ спектра. В работе [7] рассмотрен вопрос синтеза квазипериодических бинарных двумерных сигналов с идеальной ПАКФ. К сожалению, данный метод синтеза не может быть применён для синтеза одномерных сигналов, т.к. размерность сигнала должна быть равна р, х , где р1,рг- нечётные простые числа.

Целью диссертационной работы является разработка численных методов и комплекса программ для синтеза оптимальных по минимаксному критерию множеств со свойством «не более одного совпадения». Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

Л) разработать численные методы синтеза оптимальных по минимаксному критерию МОС;

2). разработать комплекс программ, реализующих предлагаемые методы;

3) рассчитать модели оптимальных двоичных сигналов со свойством

....«не более одного совпадения» и весом ^<1000, сформировать

базу данных таких сигналов;

4) провести анализ свойств синтезированных моделей и сопоставление их с известными.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы: теория чисел, высшая алгебра, теория Галуа, численные методы, теория автономных линейных последовательностных машин, теория алгоритмов, методы оптимизации.

Научная новизна работы заключается в новых . более быстродействующих численных методах, алгоритмах и комплексе программ для синтеза оптимальных множеств со свойством «не более одного совпадения» с мощностями на порядок большими известных. Эффективность численных методов и комплекса программ проиллюстрирована на примере расчета моделей оптимальных двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения» и весом 1¥ < 1 ООО.

Практическая ценность работы.

1) Методология синтеза, комплекс программ и базы данных оптимальных МОС могут быть использованы разработчиками радиотехнических, оптико-электронных и вычислительных систем, систем связи и передачи информации, телемеханических и других систем.

2) Отличительной особенностью комплекса программ является высокое быстродействие, позволяющее на компьютере средней производительности синтезировать оптимальные МОС с

мощностью W <1000 за разумное, с точки зрения вычислительных затрат, время.

3) Рассчитанные базы данных моделей оптимальных двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения» значительно превосходят по объёму все известные базы данных и способны удовлетворить широкий круг разработчиков, так как потребности современной перспективной техники не превосходят веса W=1000.

4) Результаты диссертационной работы были использованы в следующих научно-исследовательских работах.

a) Фундаментальная НИР "Теория анализа, синтеза и обработки шумоподобных сигналов в радиотехнических системах различного назначения", руководитель Гантмахер в.Е., по заданию Рособразования, roc. per. № 0120.0 503550, 2005-2009 г.

b) Фундаментальная НИР "Исследование методов синтеза сложных сигналов, видов модуляции и способов обработки для перспективных радиолокационных систем", руководитель Гантмахер D.E., по научно - технической программе Рособразования «развитие научного потенциала высшей школы», гос. per. № 0120.0 603815,2006-2008 г.

c) Фундаментальная НИР «Разработка методов синтеза и обработки сложных сигналов с большой базой для радиолокационных станций с квазинепрерывным режимом работы», руководитель Гантмахер В.Е., по аналитической целевой программе Министерства образования и науки РФ "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)", № 2.1.2/2714.

d) Фундаментальная НИР "Разработка методов синтеза дискретно - кодированных последовательностей с заданной

совокупностью свойств, руководитель Гантмахер В.Е., по заданию Рособразования, 2010-2014 г.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на:

• XII Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её применение - Б8РА-2010» (Москва, 2010 г.);

• Всероссийской научно-технической конференции молодых учёных и студентов, посвященной Дню Радио (Красноярск, 2008

г.);

• ежегодных научных конференциях преподавателей, аспирантов и студентов НовГУ (Великий Новгород, 2008 г. - 2011 г.);

• совместном научном семинаре кафедр радиосистем и прикладной математики НовГУ (Великий Новгород, 2008 г. - 2011 г.).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 10 работ. Из них 3 работы в центральных рецензируемых научных журналах, рекомендованных перечнем ВАК (две опубликованы, одна принята к печати), 3 работы в сборниках материалов научных конференций, 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ, 3 свидетельства о государственной регистрации базы данных. При участии автора написано 4 отчёта по НИР.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трёх глав, Заключения, Библиографического списка и трёх приложений. Она изложена на 84 страницах машинописного текста (без приложений), содержит 16 рисунков, 8 таблиц, библиографический список включает 115 публикаций.

На защиту выносятся следующие положения:

1) численные методы синтеза ОМОС;

2) комплекс программ, для синтеза ОМОС;

3) рассчитанные базы данных моделей оптимальных двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения»;

4) результаты синтеза ОМ ОС.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Содержание работы. Во введении приведён обзор литературы, обоснована актуальность темы, сформулированы цель, направление исследований и основные научные положения, выносимые на защиту, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе приводится постановка задачи синтеза множеств со свойством «не более одного совпадения», обосновывается выбор численных методов синтеза, разрабатываются методы синтеза оптимальных МОС со свойством «не более одного совпадения».

Множеством со свойством «не более одного совпадения» будем называть множество натуральных чисел А = {а, е К,/ = О,IV -1}. Значение максимального элемента МОС будем обозначать N. Мощностью IV МОС будем называть количество элементов, содержащихся в нём.

А'-1

Пик-фактором МОС отношение р/ =

Алгоритм синтеза оптимальных МОС основывается на следующем утверждении.

Утверждение 1.1 Пусть д=рт, р - простое число, теМ, тогда:

• МОС в поле (ЗУ^2) соответствует номерам позиций, на которых расположен один (любой ненулевой) из символов ц -ичной М-последовательности;

• МОС в поле соответствует номерам позиции, на которых расположены нулевые символы д -ичной М-последовательности.

Входными данными алгоритма являются: простое число р, в ~ первообразный корень поля Галуа , степень первого расширения

поля Галуа т(те М), степень второго расширения поля Галуа п е {2,3}, ..количество . элементов. синтезируемого множества Ж е < р" +1. Выходными данными является ОМОС с мощностью IV.

Алгоритм синтеза оптимальных. МОС включает в себя следующую последовательность действий:

1) найти примитивный полином над расширенным полем Галуа второй или третьей степени;

2) по выбранному полиному сформировать М-последовательность (или её цуг) любым из известных способов; . ■,:,,, .

3) построить МОС сопоставлением номеров позиций с соответствующими символами М-последовательности;

4) построить все неинверсно-изоморфные МОС любым из известных способов, например, путём домножения элементов МОС на изоморфный коэффициент по модулю периода;

5) оптимизировать найденные МОС по длине, например, так же, как это сделано в [1];

6) выбрать из полученных оптимальных МОС Ж символов по критерию наименьшей длины.

На основе предложенного алгоритма была разработана программа синтеза ОМОС. Программа написана на языке С++ с использованием функций, и контейнеров (словари, списки, векторьт) .стандартной библиотеки. Также была использована библиотека №ГЬ. Для иллюстрации возможностей методов синтеза и ПО была рассчитана база данных моделей сигналов со свойством «не более одного совпадения» и весом 3<Ж <1000. Программа и рассчитанная база данных прошли государственную регистрацию.

Рассмотрим возможные варианты синтеза МОС с заданными значениями мощности и пик-фактора.

Вариант 1 заключается в том, чтобы использовать методы синтеза оптимальных МОС. Все они включают в себя два этапа: формирование МОС и оптимизацию МОС. Для решения рассматриваемой задачи первый этап необходимо сохранить, а второй заменить выбором МОС с заданным значением пик-фактора.

Вариант 2 основан на следующем утверждении.

Утверждение 1.2 Множество со свойством «не более одного совпадения» не теряет этого свойства, если из него исключить произвольный набор элементов.

Из утверждения 1.2 следует, что для синтеза МОС с заданными значениями веса и пик-фактора можно взять оптимальное МОС с большим весом (Приложение А) исключить из него такие и столько элементов, чтобы пик-фактор оказался равным заданному значению.

Таким образом, в первой главе разработаны эффективные, с точки зрения возможности реализации на вычислительной технике, методы синтеза МОС над расширенными полями Галуа второй и третьей степени. Результаты синтеза иллюстрируют продуктивность предложенных методов. Предложен простой и удобный для пользователей метод синтеза множеств со свойством «не более одного совпадения» и заданными значениями мощности и пик-фактора.

Во второй главе приводится постановка задачи синтеза множеств со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности», обосновывается выбор численных методов синтеза. Разрабатывается методика синтеза оптимальных КМА.

N -1

Квазипериод МОС - отношение М- ^ри достаточно

больших длинах значение квазипериода практически совпадает со значением пик-фактора.

Если МОС удовлетворяет условию: \Л' е й, 0 < г < Ж - 1: Л, = | а,. - г ■ |< | - 11,

(2.1)

будем говорить, что . оно обладает свойством «миншлапьной апериодичности». Если множество одновременно обладает этим свойством и свойством «не более одного совпадения», то по аналогии с [1] будем называть его кодом с минимальной апериодичностью (КМА).

На рис. 2.1 представлен КМА с весом Ж = 5.

1_

I I

такты

ао=0 Тк

¿и

2Тк

Д3

ЗТк

4Тк

N

Рисунок 2.1. КМА с весом 5

Входными данными алгоритма синтеза оптимального КМА является заданная мощность - простое число IV. Выходными данными является

IV -I

оптимальный КМА. Расчёт для всех множеств лишь--элементов

2

обусловлен симметричностью множеств {Д}* и тем, что значение наименьшего элемента всегда равно нулю.

Алгоритм состоит из следующей последовательности действий.

1) Инициализация. Для заданного V/ вычислить:

Ж -1 1

--. 71 =]¥-

2

2) Условие выхода из цикла. Если 5/>0> то перейти к шагу 3, иначе к шагу 12.

3) Если {8;,ТУ -1) = 1, перейти к шагу 4, иначе к шагу 11

и = -—, 5> = Ж -1, Тк = IV аор1 = 0, Аор1 = и ,к = О,/ = 1.

4) Рассчитать множество: {а{ | а/= (г-5)шос1^,г-1,——}.

" ¡у".. ¡'

5) Рассчитать разности: {О}1 = {с1[ | с1{ = а{ + и,г = 1,—-—}..

6) Рассчитать множество:

{А}' = {а{ | а{ = 0, а/ = ¿¿/,1 -.

7) Рассчитать множество отклонений от квазипериода:

{Л}7 -{Д/1Ц 0,-^-}. .

8) Найти минимаксное множество и обновить : Если тах{Д/} < (Д) „, то перейти к шагу 9.

9) /чи=/.(Д)ч„. = тах{Д/}

10) Увеличить переменную цикла./: / = / + 1.

11) Уменьшить переменную цикла ^ : и перейти к шагу 2. ' '

12) Сформировать исходное множество:

{А}1- = {а,/ч> | а^' = О,*/00' = = 1,1^1}

/=1

13) Сформировать к -ое множество: {Л} * = {а,* | а* = а/«* + г • А, г = £}

14) Проверить выполнение свойства «не более одного совпадения» для множества {Л*}. Если оно обладает этим свойством, то синтез окончен ({Л*}- оптимальный КМА), иначе перейти к шагу 15.

15) Инкремент переменной цикла. ТК =ТК+1, к = к +1. Перейти к шагу 10.

Была разработана программа, реализующая данный алгоритм. Программа написана на языке С++ с использованием функций и контейнеров (словари, списки, векторы) стандартной библиотеки. Для иллюстрации возможностей методов синтеза и ПО была рассчитана база данных моделей сигналов со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности» и весом IV < 997. Встроенные фрагменты программы по проверке достоверности её работы подтвердили правильность результатов синтеза. На расчёт всех моделей сигналов с указанными весами потребовалось 16,5 часов машинного времени на компьютере средней производительности. Программа и рассчитанная база данных прошли государственную регистрацию.

Был проведён сравнительный анализ синтезированных множеств с аппроксимацией результатов, полученных в [1]. Выявлены следующие закономерности.

Зависимость значения максимального элемента синтезированных КМА от веса: - 0,5644^2'2" . Разность ДЛ.(Ж) = ЩШ)

между значениями максимальных элементов КМА для одного и того же веса, приведёнными в [1] и полученными в настоящей работе можно аппроксимировать выражением: « 0,0066Жгт*.

Зависимость квазипериода синтезированных последовательностей от веса Тк{Ж) = 0,624Ш,г" . Разность \Ю^(ТК{Ж))С-ТК(Ю можно

аппроксимировать выражением: Дг ((У) и 0,07^''9716.

Рассмотрим возможные варианты синтеза КМА с мощностью IV отличной от простого числа. Под оптимальными КМА мы будем понимать КМА, мощность и квазипериод которых удовлетворяют выражению:

Т-Т (2 2)

гг Ц

где Р^Рг - два соседних простых числа, Р)<№<Р1, ТК1 -

оптимальные квазипериоды КМА с мощностями Р1,Р1, соответственно.

Вариант N91. Суть первого варианта синтеза КМА с произвольной мощностью IV заключается в следующем:

1) построить множество с минимальным отклонением от квазипериода для веса Р2 , квазипериод которого лежит в интервале

2) вычислить таблицу разностей (ТР) [1] на каждой итерации увеличения квазипериода и зафиксировать разности 3/ = а.- а],

которые встречаются в ТР дважды, а также элементы й; и а..

Обозначим число таких разностей на к-ой итерации пК;

, 3) если Рг-Ц/Г = пк, то согласно утверждению 1.2, усечённое на пк элементов множество будет обладать свойством «не более одного совпадения», но оно может не обладать свойством «минимальной апериодичности» - возможно ситуация, когда не каждому квазипериоду будет соответствовать активный символ.

Вариант Ш2. Согласно утверждению 1.2 КМА с весом Рг~1¥ = 1 можно получить, усекая КМА с мощностью Р2 путём исключения наибольших элементов. Бесспорным достоинством этого варианта является простота реализации. Недостатками являются: практически постоянство квазипериода и, как следствие, не оптимальность.

Вариант №3.

1) синтезировать КМА с мощностью Р^ и множеством отклонений {Д} = {0,А1,Д2,...,Ди,.1} любым из известных методов или выбрать из базы данных;

2) из (2,2) определить оптимальный квазипериод (Тк (Ж))ор!; ,

3) сформировать множество {Л}^ = {г ■ (Тк (}7У)вр, + Л,. | / = О,Ж -1};

4) добавить ко множеству {А}Р1 V = УУ - Рх символов таким образом,

чтобы сохранялось свойство «не более одного совпадения».

Вариант №4.

1) любым известным способом сформировать подходящие МОС, воспользоваться программой или выбрать из базы данных;

2) определить число «лишних» элементов множества и область возможных значений квазипериода по (2.2);

3) построить множество равноудалённых позиций с интервалом Тк(1¥) для каждого из допустимых значений квазипериода;

4) рассчитать множество отклонений для каждого из допустимых значений квазипериода;

5) исключить из дальнейшего рассмотрения те множества, которые не удовлетворяют свойству «минимальной апериодичности»

(¡ЛД™ <Тр

6) выбрать то из решений, которое в большей степени соответствует требованиям синтеза.

Таким образом, во второй главе разработана эффективная, с точки зрения возможности реализации на вычислительной технике, методика синтеза оптимальных КМА. Приведены возможные варианты синтеза КМА с весом отличным от простого числа. Результаты синтеза иллюстрируют продуктивность предложенных методов.

В третьей главе разрабатывается методика синтеза оптимальных КМА с отличным от рассмотренного способом формирования множества отклонений.

В главе 2 разработан метод синтеза КМА с мощностью равной простому числу. Недостатком предложенного метода является то, что первый этап синтеза практически повторяет предложенный в [1], хотя

очевидно, что множество {af} можно сформировать иначе, например, по случайному или псевдослучайному закону.

На первом этапе приведённого в главе 2 алгоритма формируется оптимальное множество отклонений от квазипёриода в виде полной системы наименьших вычетов по модулю W : {аУл - г" Sf г = \,W~--~i , для всех (Sf,W-\)=-\, /■= 1^(^-1), где

¡р(•) - фи-функция Эйлера. Индекс «А» означает, что множество сформировано старым, аддитивным методом, индекс «М» - новым, мультипликативным методом.

Изменим способ формирования множеств {а ¡У : {а-Ум = 6"s' mod W,i~- ],W ,где в - первообразный корень простого поля Галуа GF(W), (S^,W — 1) = 1, f = \,cp(W - \). Число различных множеств {а¡У в обоих случаях, одинаково: Отличаются они только порядком следования вычетов. Изменение метода упорядочивания вычетов влечёт за собой модификацию алгоритма синтеза1 КМА. В отличие от старого метода (аддитивный метод) предлагаемый новый метод' будем называть мультипликативным.

На основе предложенного модифицированного л алгоритма 'была разработана программа для ПК. С её помощью была синтезирована база данных моделей сигналов со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности», весом W < 997, синтезированных мультипликативным методом. База данных прошла государственную регистрацию. В процессе синтеза с целью исследования свойств КМА, синтезируемых мультипликативным методом, были т^кже..рассчитаны следующие параметры. , ,■,:•.■■.•■. ,;,•!!

Оптимальный квазипериод TkoptQY) г наименьший;квазипериод, для

которого существует КМА с заданной мощностью. Если этот параметр

является определяющим, то аддитивный метод синтеза является предпочтительнее.

Пороговое значение квазипериода (Тк (]¥)) — значение, при котором

дальнейшее увеличение квазипериода всегда приводит к множеству со свойством «не более одного совпадения». Если необходимо синтезировать КМА с минимальными пороговым значением квазипериода, при заданномй мощности, то мультипликативный метод синтеза является предпочтительнее.

Обозначим С„{Тк) количество КМА, которые можно синтезировать при одинаковой мощности, в заданном интервале изменения квазипериода {ТК(Ж))ор1 <ТК (^О)тм пУтём выбора различных коэффициентов ^

при синтезе аддитивным методом и различных первообразных корней в{

при синтезе мультипликативным методом. Сопоставление этих параметров для различных значений мощности выявило следующие особенности КМА, полученных мультипликативным методом, по сравнению с КМА, полученных аддитивным методом:

• (Тк больше при синтезе новым методом;

• меньше при синтезе новым методом;

• совместное использование обоих методов позволяет существенно увеличить число синтезированных КМА с различными квазипериодами и структурой.

Таким образом, в третьей главе разработана методика синтеза

оптимальных КМА. Проведён сравнительный анализ аддитивного и мультипликативного методов синтеза КМА, который позволил определить преимущества и недостатки каждого из методов.

В Заключении приведены выводы по диссертационной работе. Приложение А содержит таблицу синтезированных МОС с весом 1 <М < 200 . В Приложении В приведены КМА с весом 5 < Ш < 200 синтезированные с помощью предложенного во второй главе метода. В

Приложении С КМА, синтезированные с помощью метода, предложенного в третьей главе с весом 5 < Ж < 200.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Разработаны численные методы синтеза оптимальных по минимаксному критерию множеств чисел, обладающих свойством «не более одного совпадения». Отличительные особенности методов заключаются в том, что синтез осуществляется на основе расширенных полей Галуа (/^(д2) и с использованием одного цуга М-последовательности, операндами являются числа, а операции сложения и умножения выполняются по модулю простого числа. Это существенно облегчает реализацию методов на элементной базе цифровой вычислительной техники и позволяет строить быстродействующие алгоритмы.

2) Разработан комплекс программ, обеспечивающий компьютерное проектирование множеств со свойством «не более одного совпадения» в следующих вариантах:

• оптимальные по минимаксному критерию множества с мощностью IV = д -(-1, где д = рт;

• близкие к оптимальным множества с мощностью, равной произвольному натуральному числу;

• оптимальные множества с мощностью, равной простому числу, обладающие дополнительно свойством «минимальной апериодичности» при формировании множества отклонений от квазипериода аддитивным или мультипликативным методом;

• множества со свойством «не более одного совпадения» и , заданным квазипериодом.

3) Рассчитаны базы данных моделей двоичных сигналов . со свойством «не более одного совпадения» с весом Ж < 1000 для:

• оптимальных и близких к оптимальным двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения»;

• оптимальных двоичных сигналов со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности», сформированных аддитивным методом;

• оптимальных двоичных сигналов со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности», сформированных мультипликативным методом.

4) Выполнен анализ рассчитанных баз данных моделей двоичных сигналов. Сопоставление их с известными базами данных позволяет сделать следующие выводы.

• Объёмы рассчитанных баз данных на порядок превосходят объёмы известных баз данных.

• Длина оптимальных двоичных сигналов со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичностью», синтезированных аддитивным методом, значительно меньше чем у известных сигналов. Например, по сравнению с [1] преимущество синтезированных сигналов увеличивается в (0,012 ■ Ж07475 + 1) раз.

• Оптимальные двоичные сигналы со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности», синтезированные мультипликативным методом, позволяют варьировать значение квазипериода в более широком диапазоне, чем синтезированные аддитивным методом.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях.

Статьи в рецензируемых научных журналах, . вьюченных в реестр ВАК.

1. Гантмахер В. Е., Платонов С. М. Синтез оптимальных импульсных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" над расширенными полями Гапуа второй и третьей степени // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. - СПб, 2009.

. - №6. С. 31-36.

2. Гантмахер В. Е., Платонов С. М. Синтез двоичных последовательностей с произвольно заданным весом и свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности" // Вестник Новгородского государственного университета.: Сер. Естественные науки. - Великий Новгород, 2010. - № 60. С. 23-26

3. Гантмахер В. Е., Платонов С. М. Мультипликативный метод синтеза оптимальных двоичных последовательностей со свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности" И Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. -СПб., 2011. -№1. С. 3-1.1 ... Публикации докладов научных конференций

4. Гантмахер В.Е., Платонов С. М. Синтез оптимальных двоичных последовательностей с минимальной апериодичностью. Сб. докл. 12-ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения". - М.: 2010 г. т. 1, с.33-35.

5. Гантмахер В.Е., Платонов С. М. Синтез двоичных последовательностей с ИАКФ, обладающих свойством «не более одного совпадения» на основе известных последовательностей, ПАКФ которых обладает свойством «не более одного совпадения». Тезисы докладов аспирантов, соискателей, студентов XVII научной конференции преподавателей, аспирантов и студентов. НовГУ. Великий Новгород, НовГУ им. Ярослава Мудрого. - Великий Новгород, 2009.

Публикации в других изданиях

6. Программа синтеза оптимальных импульсных последовательностей со свойством «не более одного совпадения»: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009616270/ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НовГУ имени Ярослава Мудрого; Платонов С.М., Гантмахер В.Е.,заявл. 21.09.2009, зарег. 13.11.2009

7. База данных оптимальных импульсных последовательностей со свойством «не более одного совпадения»: Свидетельство о государственной регистрации базы данных Кг 2009620525/ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НовГУ имени Ярослава Мудрого; Платонов С.М., Гантмахер В.Е., заявл. 20.10.2009, зарег. 11.01.2010

8. Программа синтеза оптимальных импульсных последовательностей со свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности": Свидетельство о государственной регистрации базы данных № 2010610081 / Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НовГУ имени Ярослава Мудрого; Платонов С.М., Гантмахер В.Е., заявл. 11.01.2010, зарег. 05.03.2010

9. База данных оптимальных импульсных последовательностей со свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности": Свидетельство о государственной регистрации базы данных № 2010620024 / Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НовГУ имени Ярослава Мудрого; Платонов С.М., Гантмахер В.Е., заявл. 11.01.2010, зарег. 03.05.2010

Ю.База данных оптимальных двоичных последовательностей со свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности", сформированных мультипликативным методом:

Свидетельство о государственной регистрации базы данных № 2011620166 / Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НовГУ имени Ярослава Мудрого; Платонов С.М., Гантмахер В.Е., заявл. 11.01.2011, зарег. 28.02.2011

Список литературы

1. Свердляк, М.Б Оптимальные дискретные сигналы / М.Б. Свердлик. -М.: Сов. радио, 1975.-200 с.

2. Meshkovsky К.А., Miller F., Kuznetsov V.S., Arkhipkin V.Ya., Sokolov A.G. Optimal frequency axrqngements completely preventing the influence of the third order intermodulation product on useful components in multiple access and optimal unipolar sequences. // IEEE ISSSTA' 96, Fourth international Symposium on Spread Spectrum Techniques & Applications. Electoral Palace, Mainz, Germany. September 22-25, 1996, vol.2/3, p.523- 529

3. Мазурков М.И., Кропачев C.H. Правила построения полных классов оптимальных и квазиоптимальных систем ДЧ-сигналов над изоморфными полями Галуа // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника.-2007. - № 10.-С. 66-71.

4. Гантмахер, В.Е. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка / В.Е. Гантмахер, Н Е. Быстрое, Д.В. Чеботарёв. - СПб.: Наука и техника, 2005.-400 с.

5. Гантмахер В.Е., Платонов С. М. Синтез двоичных последовательностей с ИАКФ, обладающих свойством «не более одного совпадения» на основе известных последовательностей, ПАКФ которых обладает свойством «не более одного совпадения». Тезисы докладов аспирантов, соискателей, студентов XVII научной конференции преподавателей, аспирантов и студентов НовГУ. Великий Новгород, НовГУ им. Ярослава Мудрого. - Великий Новгород, 2009.

6. Кириллов С.Н., Бакке А.В. Многокритериальный синтез фазоманнпулированных сигналов // Радиотехника. -1997. - № 2. - С. 21-24.

7. Luke H.D. Perfect • pseudoperiodic binary arrays// ELECTRONICS LETTERS. - 1998. - Vol. 34; No. 1

Изд. лиц. ЛР № 020815 от 21.09.98. Подписано в печать 11.04.2011. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура. Times New Roman. Печать офсетная. ; Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 6 Издательско-полиграфический центр Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41. Отпечатано в ИПЦ НовГУ. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

Введение б

1. Синтез оптимальных множеств со свойством «не более одного ^ совпадения».

1.1 Постановка задачи

1.2 Алгоритм синтеза оптимальных множеств со свойством «не ^ более одного совпадения» над расширенными полями Галуа

1.3 Описание программного обеспечения

1.4 Анализ результатов синтеза

1.4.1 Зависимость значения максимального элемента от мощности

1.4.2 Зависимость пик-фактора от мощности

1.4.3 Зависимость времени синтеза множества от мощности

1.5 Исследование возможности синтеза МОС над простыми^ полями Галуа

1.6 Синтез МОС с заданными значениями мощности и пик-фактора

1.7 Выводы по главе

2. Разработка метода синтеза множеств со свойствами «не более ^ одного совпадения» и «минимальной апериодичности»

2.1 Постановка задачи

2.2 Метод синтеза КМА, значение мощности которых — простое ^ число

2.3 Алгоритм синтеза оптимальных КМА, значение мощности ^ которых — простое число

2.4 Апробация программного обеспечения и проверка достоверности расчетов

2.5 Сравнительная оценка синтезированных КМА с известными

2.6 Варианты синтеза КМА с мощностью, отличной от простого ^ числа

2.7 Выводы по главе

3. Мультипликативный метод синтеза множеств со свойствами «не ^ более одного совпадения» и «минимальной апериодичности»

3.1 Постановка задачи

3.2 Разработка методики синтеза КМА, мощность которых равна простому числу

3.2.1 Методика синтеза КМА, мощность которых равна простому числу

3.2.2 Алгоритм синтеза КМА, мощность которых равна простому ^ числу

3.3 Описание программного обеспечения

3.4 Сравнение результатов синтеза КМА аддитивным и ^ мультипликативным методами.

3.4.1 Оптимальный квазипериод

3.4.2 Пороговое значение квазипериода

3.4.3 Возможность плавно изменять квазипериод КМА

3.4.4 Количество КМА, которые можно синтезировать при одинаковой мощности, в заданном интервале изменения Тк ^

3.4 Выводы

Диссертация посвящена синтезу оптимальных по длине минимаксному критерию множеств со свойством «не более одного совпадения» (МОС).

Актуальность работы.

МОС являются широко востребованными, область их применения расширяется с каждым годом. В системах передачи информации — для построения кодов, обнаруживающих и исправляющих ошибки. В радиолокации и гидролокации для формирования шумоподобных зондирующих сигналов. В вычислительных системах - для моделирования процессов с псевдослучайным интервалом распределения единичных символов. В системах связи и телемеханики — для формирования самосинхронизирующихся кодов. Обзор работ последнего десятилетия [67 — 98] показывает, что синтез таких множеств по-прежнему является чрезвычайно актуальной задачей для многих отраслей науки и техники.

Обзор известных методов анализа и синтеза множеств со свойством «не более одного совпадения».

Предметом исследования являются множества со свойством «не более одного совпадения» [1, 59, 66, 98] или одновременно свойством «не более одного совпадения» и свойством «минимальной апериодичности» [1,61, 64].

Вопросам анализа и синтеза МОС и их применениям посвящены многочисленные научные публикации. В различных областях науки МОС используют для различных целей: в радиолокации в качестве моделей сигналов, импульсная корреляционная функция (ИАКФ) которых не превосходит единицы, в теории информации для построения кодов исправляющих ошибки, в цифровой обработке изображений для построения фильтров. Соответственно различается и терминология, используемая для их обозначения. В зависимости от контекста их могут называть: двоичные последовательности (ДП) со свойством «не более одного совпадения» (ПОС), распределения частот, фильтры и так далее.

Работы [1-35, 57-98] посвящены синтезу, исследованию свойств, а также доказательству необходимых и достаточных условий существования последовательностей с ограничениями на уровень боковых лепестков (БЛ) периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) и импульсной автокорреляционной функции. Работы [36—56] посвящены развитию теории разностных множеств. Почти разностные множества, которым соответствуют бинарные последовательности с оптимальной автокорреляцией, исследованы в работах [8 - 14]. В [13] Гантмахером В.Е. предложен аппарат теории спектров разностей классов вычетов (СРКВ) по простому модулю. С помощью этого аппарата в работах [13, 74-79] были разработаны методы синтеза двоичных и троичных ДКП с заданными ограничениями и периодом р — простое число. В [81, 82] предложены способы распространения этих методов на период 2р. Леухиным А. Н. в [86] было предложено алгебраическое решение задачи синтеза многофазных последовательностей с одноуровневой ПАКФ.

В [1] наиболее полно и обстоятельно рассмотрен вопрос синтеза двоичных последовательностей со свойством «не более одного совпадения» (ПОС). До сих пор остался не опровергнутым главный вывод монографии [1]: «не существует регулярных методов синтеза ДП со свойством «не более одного совпадения», оптимальных по критерию «максимально плотного заполнения». В приведённых в [1] методах синтеза на первом этапе формируется совершенное разностное множество (СРМ), а на втором этапе осуществляется оптимизация длины последовательности. Формирование СРМ выполняется над расширенными полями Галуа второй и третьей степени с привлечением методов проективной геометрии. Кроме того, в [1] не достаточно чётко определено правило выбора «подобных векторов». И, наконец, если для синтеза ПОС над полем Галуа для построения СРМ требуется вычислить всего один цуг М-последовательности, то над полем Галуа GF(q2) для этих же целей г требуется вычислить весь период. Эти обстоятельства определяют сложность реализации алгоритма. Предложенные в [1] методы синтеза имеют ограниченную сетку весов — синтез возможен только для веса, равного простому числу. Расчёт оптимальных ПОС выполнен только для последовательностей с весом Ж < 48. В работе [66] предлагается метод синтеза ' ПОС. Как ив [1] в основе методологии лежит аппарат проективной геометрии, что усложняет алгоритм. Расчёт двоичных последовательностей со свойством «не более одного совпадения» выполнен только для последовательностей с весом Ж <98. В работе [97] предложены алгоритмы построения оптимальных по объему множеств последовательностей со свойствами «не более одного совпадения» и «не более двух совпадений» ( Л(т)<2,т = 1,7У-1 ) над расширенными полями Галуа. Авторами не рассматривался вопрос об оптимизации последовательностей по длине.

В [1] предложено формировать сложные зондирующие сигналы, позволяющие одновременно измерять как дальность, так и скорость. Основой для формирования таких сигналов являются такие множества, которые одновременно обладают и свойством «не более одного совпадения», и свойством «минимальной апериодичности». Такие множества названы автором «кодами с минимальной апериодичностью» (КМА). Там же приведена таблица синтезированных КМА с весом, равным простому числу до Ж <47. К сожалению, методика синтеза КМА, предложенная в [1], применима только для весов Ж <13. Результаты синтеза, приведённые в [1] для Ж> 13, получены каким-то другим способом, который в этой работе не раскрыт. Не доказаны оптимальность длины и квазипериода синтезированных КМА. В [61] рассматривается проблема многокритериального синтеза фазоманипулированных сигналов, обладающих заданными спектральными и корреляционными свойствами. Метод направлен на синтез фазоманипулированных сигналов и сложно адаптируется к синтезу КМА. Основные трудности связаны с тем, что в методе жёстко ограничивается форма спектра. В работе [65] рассмотрен вопрос синтеза квазипериодических бинарных двумерных сигналов с идеальной ПАКФ. К сожалению, данный метод синтеза не может быть применён для синтеза одномерных сигналов, т.к. размерность сигнала должна быть равна рх х р2, где рх,рг — нечётные простые числа.

Целью диссертационной работы является разработка численных методов и комплекса программ для синтеза оптимальных по минимаксному критерию множеств со свойством «не более одного совпадения». Для достижения этой цели необходимо решить задачи:

1) разработать численные методы синтеза оптимальных по минимаксному критерию множеств, обладающих указанными выше свойствами;

2) разработать комплекс программ, реализующих данные методы;

3) рассчитать модели оптимальных двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения» и весом IV <1000, сформировать базу данных таких сигналов;

4) провести анализ свойств синтезированных множеств и сопоставление их с известными.

Оптимальным по минимаксному критерию будем называть множество с минимальным максимальным элементом во множестве МОС, объединённых каким-либо признаком (например, правилом кодирования).

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы: теория чисел, высшая алгебра, теория Галуа, численные методы, теория автономных линейных последовательностных машин, теория алгоритмов, методы оптимизации.

Научная новизна работы заключается в новых более быстродействующих численных методах, алгоритмах и комплексе программ для синтеза оптимальных множеств со свойством «не более одного совпадения» с мощностями на порядок большими известных. Эффективность численных методов и комплекса программ проиллюстрирована на примере расчета моделей оптимальных двоичных сигналов со свойством «не более •: ■ одного совпадения» и весом W < 1000.

Практическая ценность работы. ¥

1) Методология синтеза, комплекс программ и базы данных оптимальных МОС могут быть использованы разработчиками . радиотехнических, оптико-электронных и вычислительных систем, -систем связи и передачи информации, телемеханических и других систем.

2) Отличительной особенностью комплекса программ является высокое быстродействие, позволяющее на компьютере средней I производительности синтезировать оптимальные МОС с числом элементов W < 1000 за разумное, с точки зрения вычислительных •■ затрат, время.

3) Рассчитанные базы данных моделей оптимальных двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения» значительно превосходят по объёму все известные базы данных и способны удовлетворить широкий круг разработчиков, так как потребности современной перспективной техники не превосходят веса .

4) Результаты диссертационной работы были использованы в следующих научно-исследовательских работах. a) Фундаментальная НИР "Теория анализа, синтеза и обработки . шумоподобных сигналов в радиотехнических системах различного назначения", руководитель Гантмахер В.Е., по заданию Рособразования, гос. per. № 0120.0 503550, 20052009 г. b) Фундаментальная НИР "Исследование методов синтеза сложных сигналов, видов модуляции и способов обработки для перспективных радиолокационных систем", руководитель Гантмахер В.Е., по научно - технической программе Рособразования «развитие научного потенциала высшей школы», гос. per. № 0120.0 603815, 2006-2008 г. c) Фундаментальная НИР «Разработка методов синтеза и обработки сложных сигналов с большой базой для радиолокационных станций с квазинепрерывным режимом работы», руководитель Гантмахер В.Е., по аналитической целевой программе Министерства образования и науки РФ "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)", № 2.1.2/2714. d) Фундаментальная НИР "Разработка методов синтеза дискретно — кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств, руководитель Гантмахер В.Е., по заданию Рособразования, 2010-2014 г. На защиту выносятся следующие положения:

1) численные методы синтеза ОМОС;

2) комплекс программ, для синтеза ОМОС;

3) рассчитанные базы данных моделей оптимальных двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения»;

4) результаты синтеза ОМОС.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на:

• XII Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её применене - DSPA-2010» (Москва, 2010 г.);

• Всероссийской научно-технической конференции молодых учёных и студентов, посвящённой Дню Радио (Красноярск, 2008 г.);

• ежегодных научных конференциях преподавателей, аспирантов и студентов НовГУ (Великий Новгород, 2008 г. - 2010 г.);

• совместном научном семинаре кафедр радиосистем и прикладной математики НовГУ (Великий Новгород, 2008 г. - 2010 г.).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 10 работ. Из них 3 работы в центральных рецензируемых научных журналах, рекомендованных перечнем ВАК, 2 работы в сборниках материалов научных конференций, 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ, 3 свидетельства о государственной регистрации базы данных. При участии автора написано 4 отчёта по НИР.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трёх глав, Заключения, Библиографического списка и трёх приложений. Она изложена на 82 страницах машинописного текста (без приложений), содержит -16 рисунков, 8 таблиц, библиографический список включает 115 публикаций.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1) Разработаны численные методы синтеза оптимальных по минимаксному критерию множеств чисел, обладающих свойством «не более одного совпадения». Отличительные особенности методов заключаются в том, что синтез осуществляется на основе расширенных полей Галуа СЕ(д2) и С/7^3) , с использованием одного цуга М-последовательности, операндами являются числа, а операции сложения и умножения выполняются по модулю простого числа. Это существенно облегчает реализацию методов на элементной базе цифровой вычислительной техники и позволяет строить быстродействующие алгоритмы.

2) Разработан комплекс программ, обеспечивающий компьютерное проектирование множеств со свойством «не более одного совпадения» в следующих вариантах:

• оптимальные по минимаксному критерию множества с мощностью ЙГ = дг + 1,где д = рт;

• близкие к оптимальным множества с мощностью, равной произвольному натуральному числу;

• оптимальные множества с мощностью, равной простому числу, обладающие дополнительно свойством «минимальной апериодичности» при формировании множества отклонений от квазипериода аддитивным или мультипликативным методом;

• множества со свойством «не более одного совпадения» и заданным квазипериодом.

3) Рассчитаны базы данных моделей двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения» с весом Ж <1000 для:

• оптимальных и близких к оптимальным двоичных сигналов со свойством «не более одного совпадения»;

• оптимальных двоичных сигналов со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности», сформированных аддитивным методом;

• оптимальных двоичных сигналов со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности», сформированных мультипликативным методом.

4) Выполнен анализ рассчитанных баз данных моделей двоичных сигналов. Сопоставление их с известными базами данных позволяет сделать следующие выводы.

• Объёмы рассчитанных баз данных на порядок превосходят объёмы известных баз данных.

• Длина оптимальных двоичных сигналов со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичностью», синтезированных аддитивным методом, значительно меньше чем у известных сигналов. Например, по сравнению с [1] преимущество синтезированных сигналов увеличивается в (0,012 • Ж0'1475 + 1) раз.

• Оптимальные двоичные сигналы со свойствами «не более одного совпадения» и «минимальной апериодичности», синтезированные мультипликативным методом, позволяют варьировать значение квазипериода в более широком диапазоне, чем синтезированные аддитивным методом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Свердлик, М.Б Оптимальные дискретные сигналы / М.Б. Свердлик. — М.: Сов. радио, 1975. 200 с.

2. Ипатов, В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами / В.П. Ипатов. — М.: Радио и связь, 1992. -152 с.

3. Ipatov, V.P. Spread Spectrum and CDMA. Principles and Applications /. V.P. Ipatov. Wiley, 2005. 383 pp.

4. Пелехатый, М.И. О последовательностях квадратичных вычетов с наилучшими автокорреляционными свойствами / М.И. Пелехатый // Радиотехника и электроника. 1971. - Т. 16, № 5. - С. 788 - 796.

5. Storer, Т. Cyclotomy and Difference Set / Т. Storer, Т. Chicago.: Marham, 1967,-134 p.

6. Pott, A. Difference Sets, Sequences and Their Correlation Properties / A. Pott, P. V. Kumar, T. Helleseth, D. Jungnickel. Kluwer, 1999.-542 c.

7. Ding, C. Several Classes of binary sequences with tree-level autocorrelation / C. Ding, T. Helleseth Т., K.Y. Lam // IEEE Trans. Inform. Theory. 1999. - V. 45. - P.2601-2606.

8. Bernasconi, J. Low autocorrelation binary sequences: statistical mechanics and configuration space analysis / J. Bernasconi // J. Physique.- 1987.-V. 48 PP. 559-567.

9. Arasu, K.T. Almost difference sets and their sequences with optimal autocorrelation / K.T. Arasu, C. Ding, T. Hellesenh, P. V. Kumar, H.M. Martinsen // IEEE transactions on information theory. 2001. - V. 47. - № 7. -P. 2934-2943.

10. Ding, С. New families of binary sequences with optimal three-level autocorrelation / C. Ding, T. Hellesenh, H.M. Martinsen // IEEE Trans. Info. Theory. -2001. V. IT-47. - P. 428 - 433.

11. Zhang, Y. A new family of almost differences sets and some necessary conditions / Y. Zhang, J. G. Lei J. G., S. P. Zhang // IEEE Trans. Info. Theory.-2006.-V. 52. -PP. 2052- 2061.

12. Chen, Z. Sequences related to Legendre/Jacobi sequences/ Z. Chen, X. Du, G. Xiao // Information Sciences: an International Journal.- 2007.-V. 177.- Is. 21 .PP. 4820-4831.

13. Гантмахер, B.E. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка / В.Е. Гантмахер, Н.Е. Быстров, Д.В. Чеботарёв. СПб.: Наука и техника, 2005. -400 с.

14. Вакман Д.Е. Сложные сигналы и принцип неопределённости в радиолокации. М.: Сов. радио, 1965. - 304 с.

15. Харкевич А.А. Борьба с помехами. 2-е изд., исправл. - М.: Наука, 1965.- 275 с.

16. Мешковский К.А., Кириллов Н.Е. Кодирование в технике связи. — М.: Связь, 1966.-324 с.

17. Вакман Д.Е. Регулярный метод синтеза фазоманипулированных сигналов.- М.: Сов. радио, 1967. 96 с.

18. Варакин JI.E. Синтез фазоманипулированных сигналов // Радиотехника и электроника. 1969. - Т. 14, № 5. - С. 796 - 806.

19. Алексеев А.И. и др. Теория и применение псевдослучайных сигналов / А.И. Алексеев, А.Г. Шереметьев, Г.И. Тузов, Б.И. Глазов. М.: Наука, 1969.-368 с.

20. Петрович Н.Г., Размахнин М.К. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Сов. радио, 1969. - 232 с.

21. Варакин JI.E. Теория сложных сигналов. — N1.: Сов. радио, 1970. — 375 с.

22. Пелехатый М.И. О некоторых блок-конструкциях, порождающих последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами // Радиотехника и электроника. 1970. - Т. 15, № 7. - С. 1428 - 1439.

23. Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.: Сов. радио, 1971.-416с.

24. Пелехатый М.И., Голубев Е.А. Автокорреляционные свойства некоторых типов двоичных последовательностей // Проблемы передачи информации. 1972. - Т. 8, № 1. - С. 92 - 99.

25. Вакман Д.Е., Седлецкий P.M. Вопросы синтеза радиолокационных сигналов. М.: Сов. радио, 1973. - 312 с.

26. Пестряков В.Б., Афанасьев В.П., Гурвиц B.JI. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации / Под ред. В.Б. Пестрякова. М.: Сов. радио, 1973.-424 с.

27. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

28. Сколник М.И. Справочник по радиолокации: в 4 т. Т.1. Основы радиолокации / Ред. М.И. Сколник, К.Н. Трофимов, Я.С. Ицхок. -М.: Сов. радио, 1976. -456 с.

29. Фрэнк Р. Многофазные коды с хорошими непериодическими корреляционными свойствами // Зарубежная радиоэлектроника. 1963. -№ 12.-С. 39-44.

30. Голомб С. Цифровые методы в космической связи / Пер. с англ.; Под ред. В.И. Шляпоберского. М.: Связь, 1969. - 272 с.

31. Френке JI. Теория сигналов / Пер. с англ.; Под ред. Д.Е. Вакмана. М.: Сов. радио, 1974. - 344 с.

32. Мохарир П.С. Троичные последовательности Баркера // Зарубежная радиоэлектроника. 1975. - № 7. - С. 135- 137.

33. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Теория и применение / Пер. с англ.; Под ред. B.C. Кельзона. М.: Сов. радио, 1971. - 568 с.

34. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования / Пер. с англ. И.И. Грушко; Под ред. С.Д. Бермана. М.: Мир, 1971. - 479 с.

35. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки / Пер. с англ.; Под ред. Д. А. Добрушина, С.И. Самойленко. М.: Мир, 1976. - 594 с.

36. Golomb S.W. Remarks on Orthogonal Sequences. Baltimore: Glen L. Martin Co. - 1954.

37. Golomb S.W. Sequences with randomness properties / Final Rep. Contract. W36-039SC-54-36611. Baltimore: GlenL. Martin Co. - 1955.

38. Cheng U.J. Exhaustive construction of (255, 127, 63) — cyclic difference sets // Journal of Combinatorial Theory. 1983. - Vol. A-35. - PP. 115 - 125.

39. Dreier R.B., Smith K.W. Exhaustive determination of (511, 255, 127) cyclic difference sets // Manuscript. 1991.

40. Gaal P., Golomb S.W. Exhaustive determination of (1023, 511, 255) cyclic difference sets // Mathematics of Computation. - 2001. - Vol. 70. - PP. 357 -366.

41. Gong G., Golomb S.W. The decimation-Hadamard transform of two-level autocorrelation sequences // IEEE Trans. Inform. Theory. 2002. - Vol. 48. -PP. 853 - 865.

42. Dillon J.F., Dobbertin H. New cyclic difference sets with singer parameters // Finite Fields and Their Applications. 2004. - Vol. 10. - PP. 342 - 389.

43. Golomb S.W., Gong G. Signal design for good correlation for wireless communication, cryptography, and radar. New York: Cambridge University Press, 2005-438 p.

44. Chowla S. A property of biquadratic residues // Proc. Nat. Acad. Sci. India. -1944. Vol. A-14. - PP. 45 - 46.

45. Lehmer E. On residue difference sets // Canadian J. Math. 1953. - Vol. 5. -PP. 425 - 432.

46. Whiteman A.L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. - Vol. 6. -PP. 107-121.

47. Hayashi H.S. Computer investigation of difference sets // Math. Сотр. 1965. -Vol. 19.-PP. 73-78.

48. Baumert L.D., Fredricksen H. The cyclotomic numbers of order eighteen with applications to difference Sets // Math. Сотр. 1967. - Vol. 21. - PP. 204 -219.

49. Yamamoto K. On jacobi sums and difference sets // J. Combinatorial Theory. — 1967.-Vol.3.-PP. 146-181.

50. Холл M. Комбинаторика. M.: Мир, 1973. - 424 с.

51. Klapper A. d-form sequences: families of sequences with low correlation values and large linear spans // IEEE Trans. Inform. Theory. 1995. - Vol. 41. -PP. 423 -431.

52. Maschietti A. Difference sets and hyperovals // Design, codes and cryptography. 1998. - Vol. 14, No. 1. - PP. 89 - 90.

53. Lin H.A. From cyclic Hadamard difference sets to perfectly balanced sequences // Ph.D. Dissertation. — University of Southern California. — 1998.

54. Hellesth Т., Kumar P.V., Martinsen H. A new family of ternary sequences with ideal two-level autocorrelation function // Designs, Codes and Cryptography. -2001. Vol. 23. - PP. 157 - 166.

55. Helleseth Т., Gong G. New nonbinary sequences with ideal two-level autcorrelation function // IEEE Trans. Inform. Theory. 2002. - Vol. 48. - PP. 2868-2872.

56. No J.S. New cyclic difference sets with singer parameters constructed from d-homogeneous functions // Designs, Codes and Cryptography. 2004. - Vol. 33. -PP. 199-213.

57. Винокуров В.И., Гантмахер B.E. Дискретно-кодированные последовательности / Отв. редактор Б.Ф Кирьянов. Ростов-на-Дону: Ростовский ун-т, 1990. - 283 с.

58. Гантмахер В.Е., Чернова И.Л. Троичные импульсные последовательности // Радиотехника. 1991. - № 11. - С. 31 - 33.

59. Гантмахер В.Е. Алгоритмы синтеза двоичных последовательностей со свойством «не более совпадений» // Вестник Новгородского государственного университета. Сер. Естественные науки. Новгород, 1995.-№3.-С. 74-82.

60. Моисеева Г.Г. Синтез сигналов с локально минимальными свойствами автокорреляционной функции // Радиотехника. — 1996. — № 10. С. 29 — 31.

61. Кириллов С.Н., Бакке А.В. Многокритериальный синтез фазоманипулированных сигналов // Радиотехника. 1997. - № 2. - С. 21 — 24.

62. Бородин Н.И., Буканов И.П., Соколов В.В. Синтез обобщенных дополнительных последовательностей // Радиотехника. 1990. -№ 3. — С. 43-44.

63. Чепруков Ю.В., Соколов М.А. Синтез фазоманипулированных сигналов с требуемым уровнем боковых пиков АКФ // Радиотехника. 1997. - № 5. -С. 68-69.

64. P. Z. Fan and М. Darnell, Sequence Design for Communications Applications, Research Studies Press (RSP), John Wiley & Sons, London, UK, 1996.

65. Luke H.D. Perfect pseudoperiodic binary arrays// ELECTRONICS LETTERS. 1998.-Vol. 34; No. 19.

66. Быстров H.E., Чеботарёв Д.В. Последовательная процедура синтеза фазоманипулированных сигналов с большой базой // Труды 1Х-ой международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж, 2003. - Т. 1. - С. 133 - 140.

67. Быстров Н.Е., Чеботарёв Д.В. Синтез амплитудно-фазоманипулированных сигналов по критерию минимума среднеквадратического уровня боковых лепестков корреляционной функции в ограниченном диапазоне задержек // Радиотехника. 2004. - № 11. - С. 49 - 53.

68. Быстров Н.Е., Чеботарёв Д.В. Сложные фазомодулированные сигналы с частотной режекцией мешающих отражений // Труды ХУШ-ой научно-технической конференции НИИ Приборостроения им. В.В. Тихомирова. -Жуковский, 2005. -С. 31- 40.

69. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Методика анализа и синтеза ДКП, формируемых на основе классов вычетов по модулю / Новгородский госуд. ун-т им. Я. Мудрого. Великий Новгород, 2005. - 49 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.12.2005, № 1737 - В2005.

70. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Квазиодноуровневые разностные множества // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. -2007.-№4.-С. 8- 19.

71. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Корреляционные функции троичных последовательностей с простым периодом // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. 2007. -№2.-С. 41-44.

72. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. О семействах бинарных последовательностей простого периода с квазиидеальной автокорреляцией // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. - № 1, Вып. 1. - С. 7 - 12.

73. Едемский В.А. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики / Едемский В.А., Гантмахер В.Е; НовГУ им. Ярослава Мудрого. Великий Новгород, 2009. - 189 с.

74. Кренгель Е.И. Новые идеальные 4- и 8-фазные последовательности с нулями // Радиотехника. 2007. - № 5. - С. 3 - 8.

75. Гантмахер В.Е., Едемский В.А., Платонов С. М. О синтезе дискретно-кодированных последовательностей периода 2р. Сб. докл. 10-ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения". М.: 2008 г. т. 1, с.16-19.

76. Едемский В.А. Троичные последовательности периода 2р с квазиидеальной автокорреляцией // Радиотехника. 2009. - № 9. - С. 21 -24.

77. Леухин А.Н. и др. Новые фазокодированные последовательности с хорошими корреляционными характеристиками / А.Н. Леухин, А.Ю. Тюкаев, С.А. Бахтин Л.Г. Корнилова // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. - № 6. - С. 51 - 54.

78. Леухин А.Н, Парсаев Н.В. Синтез шумоподобных фазокодированных последовательностей // Учёные записки Казанского государственногоуниверситета. 2008. - Т. 150, кн. 2. - С. 38 - 50.

79. Леухин А.Н., Парсаев Н.В., Корнилова Л.Г. Решение системы нелинейных уравнений для задачи синтеза шумоподобных фазокодированных последовательностей // Нелинейный мир. — 2009. — Т. 7, № 10. С. 749 — 756.

80. Леухин А.Н., Парсаев Н.В. Общий подход к построению фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией» // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. 2009. - №6. - С. 5 - 12.

81. Леухин А.Н., Парсаев Н.В. Бесконечные множества фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией» // Радиотехника. 2009. - №12.

82. Леухин А.Н. и др. Новые фазокодированные последовательности с хорошими корреляционными характеристиками / А.Н. Леухин, А.Ю. Тюкаев, С.А. Бахтин Л.Г. Корнилова // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. - № 6. - С. 51 - 54.

83. Leukhin, A.N. Algebraic solution of the synthesis problem for coded sequences / A.N. Leukhin // Quantum Electronics. 2005. - Vol. 35, No 8. - PP. 688 -692.

84. Мазурков M. И., Дмитренко В. С. Класс оптимальных систем ДЧ-сигналов на основе М-последовательностей в расширенных полях Галуа //

85. Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. — 2004. № 12. -С. 17-20.

86. Мазурков М. И., Конопака Е. А. Семейства линейных рекуррентных последовательностей на основе полных множеств изоморфных полей Галуа // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2004. - № 11.-С. 58-65.

87. Мазурков М.И., Кропачев С.Н. Правила построения полных классов оптимальных и квазиоптимальных систем ДЧ-сигналов над изоморфными полями Галуа // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. -2007. № 10.-С. 66-71.

88. Фукунага, К. Введение в статистическую теорию распознавания образов / К. Фукунага; Пер. с англ. М.: Наука, 1979. - 368 с

89. Сосулин, Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации: Учеб. пособие для вузов / Ю.Г. Сосулин. М.: Радио и связь, 1992. - 304 с.

90. Ипатов В.П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / В.П. Ипатов; Пер. с англ. М.: Техносфера, 2007.-448 с.

91. Мальцев, C.B. Бинарные последовательности для криптостойких систем связи / C.B. Мальцев, Р.П. Богуш // Известия Белорусской инженерной академии. 2000. - № 1 (9) / 1. - С. 142 - 14

92. Гантмахер В. Е., Платонов С. М. Синтез двоичных последовательностей с произвольно заданным весом и свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности" // Вестник НовГУ. 2010

93. Гантмахер В. Е., Платонов С. М. Мультипликативный метод синтеза оптимальных двоичных последовательностей со свойствами "не более одного совпадения" и "минимальной апериодичности" // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника.

94. Гантмахер В.Е., Платонов С. М. Синтез оптимальных двоичных последовательностей с минимальной апериодичностью. Сб. докл. 12-ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения". М.: 2010 г. т. 1, с.33-35.

95. Гантмахер В.Е., Захарин Ю. В. Таблицы неприводимых над

96. СЩр") полиномов /Новгородский гос. Университет.- Новгород, 1995 г. 465с. -Деп. в ВИНИТИ №3006-В95 от 10.11.95.

97. Бахвалов, Н. С. Численные методы: Учебное пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003.-632 с.

98. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 592с.