автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез оптимального управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам

На правах рукописи

ООЗ173Ь4Ь

МУРГА ЛЮДМИЛА ОЛЕГОВНА

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАНСПОРТИРОВКОЙ УГЛЕВОДОРОДНОГО СЫРЬЯ ПО ДЛИННЫМ ТРУБОПРОВОДАМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Онт

Щ

Казань-2007

003173646

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им А Н Туполева (КАИ)

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Балоев Арнольд Андреевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Сиразетдинов Талгат Касимович

кандидат технических наук, доцент Панченко Оксана Владимировна

Ведущая организация

ОАО «Татнефтехиминвест-Холдинг» (г. Казань)

Защита состоится & 2007 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212 079 01 в Казанском государственном техническом универ-ситеге им АН Туполева по адресу 420111, г Казань, ул К Маркса, 10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им А Н Туполева

Автореферат разослан ^ 5 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор

ПГ Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность темы определяется недостаточной проработкой на практике вопросов стабилизации распределения давления по длине трубопровода с учетом суточных колебаний давления, связанных с изменением потребления по времени Увеличение протяженности трубопроводов с одновременным усложнением структуры трубопроводных систем, повышение мощности трубопроводного оборудования усугубляют последствия любых нарушений производственного процесса Выход из строя оборудования, разрушение труб линейных участков могут привести не только к экономическому ущербу от недопоставки продукта, затрат на ремонт и длительные простои трубопровода, но и к авариям с тяжелыми последствиями для окружающей среды Одно из неприятных явлений, с которым приходится сталкиваться при транспортировке углеводородного сырья по длинным трубопроводам, заключается в суточных колебаниях давления, имеющих место при подключении-отключении потребителей с наступлением рабочего дня и его завершением Поддержание требуемого распределения давления, как правило, в настоящее время осуществляется путем заявок (диспетчерской службы или потребителя), передаваемых на газораспределительные станции по телефонной связи Управление газотранспортной системой осуществляется на основании интуиции и опыта специально подобранных и обученных диспетчеров. Здесь важны опыт работы в газотранспортной системе и личные качества специалиста Именно диспетчеру приходится обеспечивать нормальное функционирование газотранспортного предприятия на протяжении всего дежурства, а при необходимости принимать правильные решения по ликвидации внештатных ситуаций

При такой организации работы неизбежны провалы давления у потребителей или его забросы, что сопряжено с нарушениями технологических процессов на производстве или даже с авариями

Из всего сказанного вытекает, что необходимы системы автоматического управления (САУ), которые должны с требуемой точностью поддерживать за-

данный закон распределения давления по всей длине трубопровода при работающих потребителях

Заметим, однако, что при функционировании САУ необходима информация о распределении давления по длине трубопровода на каждый текущий момент времени По этой информации можно синтезировать такое управляющее воздействие в виде давления на входе в трубопровод, которое обеспечит решение поставленной задачи Практическое осуществление сбора такой информации является неразрешимой задачей При неполном измерении информация о параметрах состояния снимается лишь в отдельных точках Трубопровода, что осуществить значительно проще.

Сегодня для практического использования требуются алгоритмы поддержания требуемого распределения давления по всей длине трубопровода

Данная диссертационная работа посвящена актуальной теме, а именно решению задачи синтеза оптимального управления транспортировкой углеводородного сырья, которое обеспечивает оперативность управления трубопроводом и надежность его работы при наиболее экономичных режимах перекачки

Цель работы. Развитие методов и алгоритмов управления транспортировкой углеводородного сырья, обеспечивающих требуемое высокое качество переходных процессов

Задачи исследований.

1 Разработка алгоритма решения задачи синтеза граничного управления

транспортировкой углеводородного сырья при полном измерении, при неполном измерении,

2 Разработка алгоритма решения задачи синтеза сосредоточенного неграничного управления транспортировкой углеводородного сырья

V при полном измерении, ■У при неполном измерении,

Объектом исследования является магистральный трубопровод, предметом исследования являются методы и алгоритмы синтеза оптимального управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам

Методы исследования. В работе использованы методы системного анализа, вариационного исчисления, теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории дифференциальных уравнений, теории автоматического управления

Научная новизна. Разработка алгоритмов решения задачи синтеза граничного управления распределением давления и задачи синтеза сосредоточенного неграничного управления распределением расхода при транспортировке углеводородного сырья по длинным трубопроводам

Достоверность результатов работы. Достоверность результатов проверена математическим моделированием

Практическая ценность результатов заключается в том, что разработанные алгоритмы могут быть использованы для построения систем автоматического управления, которые обеспечивают заданный режим с предотвращением аварийных ситуаций, вызванных забросами давления

Реализация результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы и внедрены в проекте методического руководства по оптимизации транспортировки сырья в ОАО "Татнефте-пром-Зюзеевнефть", г Казань,

Основные положения, выносимые на защиту.

1 Алгоритм решения задачи синтеза граничного управления транспортировкой углеводородного сырья1 ^ при полном измерении,

^ при неполном измерении, 2 Алгоритм решения задачи синтеза сосредоточенного неграничного управления транспортировкой углеводородного сырья при полном измерении, при неполном измерении,

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на

Международной молодежной конференции «XIV Туполевские чтения», г Казань (2006 г ),

VII Всероссийской научно- технической конференции "Наука Промышленность Оборона", г Новосибирск (2006 г), ^ Научных семинарах кафедры «Автоматика и управление» и кафедры «Аэрогидродинамика» Казанского государственного технического университета им АН Туполева, г Казань(2004-2007 гг)

Публикация результатов работы. По теме диссертации опубликованы 4 печатных научных работы, в том числе 2 статьи, и 2 тезиса докладов конференций

Личный вклад автора. В работах, опубликованных в соавторстве, лично автором диссертации в [1] разработан алгоритм синтеза управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам, проведено математическое моделирование

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав основных результатов работы, списка литературы Работа изложена на 121 странице машинописного текста, в том числе основной текст на 121 странице, содержит 21 рисунок Список литературы включает 79 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведены цель и задачи исследования, отражена их практическая ценность, сформулированы основные научные положения и результаты работы, дается краткое содержание глав

В первой главе рассматривается принципиальная схема дальнего транспортирования продукта Для трубопровода переменного сечения, с учетом рельефа местности, плотности, скорости движения и температуры продукта приводятся уравнения неразрывности, движения, состояния и энергии (см рис 1).

Рис 1

На рис 1 х - пространственная координата и 0 <х<1, I - длина трубопровода, г0 - среднее по периметру напряжение силы трения, отнесенное к единице площади поверхности трубы, р(х,?)- давление, ¿Ю - вес, а- угол наклона оси трубы к горизонту

В таком случае уравнение неразрывности имеет вид др _ д(яр&)

5аГ~ аГ-'

где р(х,?), со(х,1), - плотность, средняя по сечению трубы скорость течения продукта и площадь сечения в сечении с координатой х Это уравнение неразрывности дополняется граничными условиями секундного расхода т(() либо на левом, либо на правом концах, то есть

sp®\x=0 = r»o(О > sp®\x=, = щ(О

Уравнение движения имеет вид

d(psa) Aps)

———= -<7Ч ' - тьл<1 - spg sin а, dt дх

где d - диаметр трубопровода, g - ускорение силы тяжести

Уравнение движения дополняем граничными условиями либо на левом, либо на правом концах трубопровода

p(x,t)\x^=p0(t), p(x,t)l=l =p¡(t), где p0(t)и Pi(t)- давление в соответствующих сечениях Уравнение состояния для общего случая

PgT

где R - газовая постоянная, Т- абсолютная температура Уравнение энергии имеет вид

а>г , к пгг

~2 Y—

где к - отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме

Из уравнений неразрывности, движения, состояния и энергии можно найти величины р, р, 0, Т

Во второй главе для горизонтального трубопровода постоянного сечения (см рис 2) ставится и решается задача синтеза оптимального управления транспортировкой углеводородного сырья давлением на входе

V ^ Ч •0 X

'— •1 ' г5? ! Io*.

О * *+& I

Рис 2

Уравнение движения в данном случае примет вид

dt дх 2dP ' где Л - коэффициент потери напора

Это уравнение нелинейное в силу наличия слагаемого par Линейным оно будет только для ламинарного движения, для которого потери напора пропорциональны первой степени скорости Существуют несколько способов линеариза-

Л Л

ции слагаемого — peo2 В данной работе принято, что — рсо1 = 2apeo, где

Лё ~ 2 со} + 0},аа - 2а>1

а = й> = ——*-'—У--, со0и со, - пределы изменения скорости со в неус-

4 а 3 ü>i-fi>0

тановившемся движении, а- расчетная постоянная скорость, а- коэффициент гидравлических потерь

Тогда линеаризованное уравнение движения запишется как

О

Для данной задачи уравнение неразрывности имеет следующий вид

f-^aga. я

Уравнение, эквивалентное системе (1), (2), после исключения секундного расхода m(x,t) = p(x,t)a>(x,t)

При этом введены следующие граничные условия p(x,t)\x=0=U(t),

где U(t)- управляющее воздействие, a pf(t) - наперед заданная функция времени. То есть суть граничных условий состоит в том, что давление на входе трубопровода является управляющим воздействием, а давление на выходе должно равняться наперед заданной функции времени p,(t)

Уравнения (1), (2) получены для горизонтального трубопровода без учета поступления и отвода продукта, изменения температуры на рассматриваемом отрезке и т п Таким образом, в данной задаче нет необходимости в использовании уравнений энергии и состояния

Давление в установившемся режиме падает линейно от начала к концу трубопровода по причине наличия гидравлических потерь (см рис 3)

* РШ)

Рис 3

Возмущение введено в рассмотрение через переменную Ар(х,г) так, что р(х,1) = Р,(х) + Ар(х,0, (4)

Р,(х) = и,-2ат,х,

где и, - установившееся значение управления, /и,- установившееся значение секундного расхода Таким образом, Р.(х)- программный (требуемый, установившийся) режим давления Заметим, что при t—> со р(х^)-^>Р,{х), тогда Лр(х,()—>-0 при

На основании уравнений (3), (4) было получено уравнение возмущенного движения

д&р

д21±р _ -2а-

д?

с граничными условиями

где 0(1) = и(г)-(/, и

Др(0,0=Щ0,

4Р(Л0=А(0,

где наперед заданная функция Д(г) = р,(/)-С/, +2ат,/

В результате поставлена следующая задача оптимального управления найти такое зависящее от фазовых координат

Ъ(х,0 = Др(х,0, <Р2(х,1) = дЛр^х-°

управление 0, чтобы система

а2

д<р2(х,0 _

дг дх

= с —--1а(р2{х,1),

^Со = ' <Р\(Х4Х=I = Р*^

из начального ненулевого состояния

где ^0(*) = р(х,О|^о-С/,+2а1я,д:, ^20 = перешла в состояние

при минимальном значении квадратичного функционала 1 00 /

= - I + с2ср1(х,г))сЬс + сги2цт,

2 00

где с,, с2> с3 — положительные весовые константы, причем съФ 0

Поставленная задача решена с использованием метода вариаций. Решение получено в виде

где матричный коэффициент г) содержит фазовые координаты

Рассмотрен частный случай изменения давления р(х,1) во времени и по длине трубопровода, когда давление на правой границе трубопровода постоянно.

На рис 4 приведен результат расчета изменения давления во времени и по длине трубопровода, когда в качестве требуемого состояния принят режим с

секундным расходом в установившемся режиме т, = 10—^—, давлением на

м сек

входе £/, =40х104-^-, давлением на выходе Р„ =20><104 Принято, кроме

м мы-

того, что коэффициент гидравлических потерь а =0,1 сек"1 , диаметр трубы ¿/=0,5 м, длина трубопровода /=105 м.

Как видно из приведенного графика, давление от некоторого исходного состояния при ?=0 переходит к требуемому примерно за 10 минут.

рМ.а™

60 -

40 - С=600 сек 1=0 сек

20 - Г= 0 сек вя7т 1=600 сек х, кг

20 60 80 100 Рис. 4

На рис.5 приведен график оптимального управления при тех же входных параметрах.

и

Далее рассмотрена задача граничного управления давлением при условии неполного измерения давления р(х,1) и по длине трубопровода, то

есть в случае, когда известны значения функций р(х,г) и ^р(хЛ) только в ко_

от

нечном числе точек хх,хг, ,хы

Для построения решения задачи при неполном измерении выполнен ряд преобразований ранее полученных формул

Входящие в матрицу Н^ интегралы вычислены с использованием линейной аппроксимации функции р(х,1) с учетом того, что значения этой функции известны лишь в заданных точках х1,х2, Для этого на отрезке ] функция р(х^) при фиксированном г приближенно представлена в виде

1 1-1

где р1 - величина давления в точке х , - величина давления в точке х1Л,

г = N - количество точек измерения, равноудаленных друг от друга, включая граничные точки

Приведен пример для частного случая, когда давление на правой границе трубопровода постоянно при неполном (в трех точках) измерении

Для заданных в примере исходных данных время переходного процесса составляет 10 минут как при полном, так и при неполном измерении

В третьей главе для горизонтального трубопровода постоянного сечения ставится и решается задача синтеза оптимального сосредоточенного управления транспортировкой углеводородного сырья при помощи расхода Управление рассматриваемым процессом осуществляется дополнительной подачей-отбором продукта

Рассмотрен трубопровод длины / постоянного сечения л- (см рис 6)

т(х,1)

О I

Рис 6

На рис. 6 т( хЛ) - распределенное поступление сырья

Рассматривается случай, когда сырье извне дополнительно поступает в трубопровод сосредоточенно в точке х = £ с интенсивностью д(1) (см рис. 7) Размерность $(0 - кг/сек (килограмм массы в секунду)

¿<7 (О

Рис 7

Сосредоточенное поступление д(1) представляется в виде распределенного поступления т(х^) = 3(х~4)д(1), где 5(х-£) -дельта-функция В таком случае уравнение неразрывности имеет вид.

Щ-^^+^тх-ы* (5)

Уравнение движения имеет вид

где /(т) = 2ат, расход т(х^) = р(х,1)ю(х,(), а- коэффициент линеаризации

гидравлического трения

Принято, что на границах трубопровода расход постоянный, то есть не зависит от г

т(0,Г) = т(1л) — т, = сою( Система уравнений (5), (6) представлена в виде одного уравнения второго порядка-

д2т 2д2™ ттяч ел о дт дГ дх Эг

где 2а^р- - гидравлические потери, \J-q- управляющий расход от

Граничные условия'

т{ 0,оо) = /и(/,оо) = т.,

где т.- программный установившийся расход

В установившемся режиме имеют место следующие выражения.

р(х,сс)=Е^х+р0, т(х,оо) = т,

В итоге получено уравнение возмущенного движения-

д2Лт 2 д2Ат Л дЛт с2 ТТХ</ е,

При этом граничные условия имеют вид

Л«(0,/) = 0, Дт(/,0 = 0 Поставлена следующая задача оптимального управления найти зависящее от фазовых координат Лт(х^), уПравление и ^ переводящее систему

11 = ^1 = с2^-2ау2-иЗ'(х-$), где у, ^Ат(хЛ) с граничными условиями

у,(0,о=0, У1о,о=о из состояния у/х,0) = ук(х), у2(х,0) = у20(х), где ую(х) и у1й(х) - заданы, в состояние ух(х,со) — а, у2(х,со) = 0 при минимальном значении функционала

¿^('¡(ьЯ+с^МЬ+с^ОМЬ,

'О (I

где с,, с2, с3 — положительные весовые константы, причем съ Ф О

Поставленная задача решена с использованием классического вариационного метода Решение получено в виде

где матричный коэффициент ?) содержит фазовые координаты

В ходе решения задачи возникает характеристическое уравнение, которое в данной работе приводится к виду алгебраического уравнения с неизвестной только в четных степенях, что принципиально важно для данной задачи

А-ХЕ =

4п\

Я4пЕ +Хг"(2г I -4а2Е -с a )-r2IJc2a.-rJ,) +

п,п 2 0 п п 2 4

+diag(c г i2+c +2ас Л)а

2 2 1 2 4|

Далее рассмотрена задача управления расходом при условии неполного

измерения расхода m(x,t) и dm(x,t) nQ длине трубопровода, то есть в случае,

at

когда известны значения функций m(x,t) и дмОс.О только в конечном числе

ot

точек х{,х2, ,xN

Входящие в матрицу Н^ интегралы вычислены с использованием линейной аппроксимации функции m(x,t) с учетом того, что значения этой функции известны лишь в заданных точках xvxv ,xN Для этого на отрезке ] функция т(x,t) при фиксированном t приближенно представлена в виде

т -т

m(x,t)=-J-ti(x-x )+т.,

х-х 11 11

I 1-1

где /я - величина давления в точке х , т. х - величина давления в точке ,

i=\,N, N - количество точек измерения, равноудаленных друг от друга, включая граничные точки

Приведены примеры для случая при полном и при неполном (в трех точках) измерении Для заданных в примерах исходных данных время переходного

процесса составляет 24 минуты, что свидетельствует об удовлетворительном качестве переходного процесса

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Алгоритм решения задачи синтеза оптимального граничного управления распределением давления при транспортировке углеводородного сырья по длинным трубопроводам:

S при полном измерении, S при неполном измерении

2 Алгоритм решения задачи синтеза оптимального сосредоточенного неграничного управления распределением расхода

^ при полном измерении, S при неполном измерении

Основные публикации по теме диссертации

1 Балоев А А, Мурга Л О Синтез управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам / Вестник КГТУ им А Н Туполева, 1, Казань, 2004 г. С 50-56.

2 Мурга Л О Синтез сосредоточенного неграничного управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам / Вестник КГТУ им АН Туполева, 1, Казань, 2007 г. С 64-67.

3 Мурга Л О Синтез сосредоточенного управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам / Труды VII Всероссийской научно- технической конференции "Наука Промышленность Оборона", г Новосибирск, 19-21 апреля 2006 г - С 306-308

4 Мурга Л О К проблеме синтеза управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам / Международная молодежная научная конференция «XIV Туполевские чтения», г Казань, 10-11 ноября 2006 г Материалы конференции, том V, С 61-62

Формат 60*84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Печл 1,0 Услпечл 0,93 Услкр-отг 0,93 Уч-издл 1,02

_Тираж 100 Заказ К 151_

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111 Казань, ул К Маркса, 10

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УГЛЕВОДОРОДНОГО СЫРЬЯ В ТРУБАХ С ДОЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ.

1.1 Задача о движении углеводородного сырья в магистральных трубопроводах.

1.2 построение математической модели процесса транспортировки углеводородного сырья по длинным трубопроводам.

ГЛАВА И. СИНТЕЗ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАНСПОРТИРОВКОЙ УГЛЕВОДОРОДНОГО СЫРЬЯ ПО ДЛИННЫМ ТРУБОПРОВОДАМ. введение.

2.1 построение математической модели процесса граничного управления транспортировкой углеводородного сырья.

2.2 постановка и решение задачи управления при полном измерении.

2.3 частный случай решения задачи управления при полном измерении при постоянном давлении на правой границе.

2.4 Пример решения задачи управления при полном измерении (частный случай).

2.5 Постановка и решение задачи управления при неполном измерении.

2.6 Пример частного случая решения задачи управления при неполном измерении.

ГЛАВА III. СИНТЕЗ СОСРЕДОТОЧЕННОГО НЕГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАНСПОРТИРОВКОЙ УГЛЕВОДОРОДНОГО СЫРЬЯ ПО ДЛИННЫМ ТРУБОПРОВОДАМ.

Введение.

3.1 Построение математической модели процесса неграничного управления транспортировкой углеводородного сырья.

3.2 Постановка и решение задачи управления при полном измерении.

3.3 Пример решения задачи при полном измерении.

3.4 Постановка и решение задачи синтеза управления при неполном измерении.

3.5 Пример решения задачи синтеза управления при неполном измерении.

Последние пять десятилетий ознаменовались исключительно интенсивными достижениями в области теории оптимального управления. Были получены результаты первостепенного значения - принцип максимума JI.C. Понтрягина [67, 68, 18] и метод динамического программирования Р. Беллмана [16].

Большой вклад в становление и развитие теории оптимального управления внесли представители казанской школы ученых, таких как Н.В. Куршев, Т.К. Сиразетдинов, Ю.В. Кожевников, Г.Л. Дегтярев.

Вопросам исследования систем, поведение которых описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений (в дальнейшем такие системы будем называть обыкновенными), посвящены обзоры H.H. Красовского [53], Р. Габбасова и Ф.М.Кирилловой [29], А.А.Фельдбаума [75] и др. Основополагающие результаты для систем с распределенными параметрами (распределенные системы) были получены в работах А.Г.Бутковского [20, 21], Т.К. Сиразетдинова [71], А.И. Егорова [41]. Среди работ, которые можно считать определяющими в теории оптимального управления объектами со случайными свойствами, отметим работы Ю.В. Кожевникова [47], Р.Беллмана [16,17], М.Аоки [2], H.H. Красовского [54].

Общеизвестно, что если все переменные состояния объекта представляют собой измеримые физические сигналы, то синтез замкнутой системы с заданными свойствами переходного процесса принципиальных затруднений не вызывает. Сказанное в равной мере относится как к обыкновенным, так и к распределенным системам. Однако в большинстве случаев вектор состояния объекта трудно или вовсе невозможно измерить полностью. В обыкновенных системах обычно доступны измерению лишь некоторые переменные состояния. Они образуют вектор выходного сигнала 7(г) объекта, размерность пу которого часто меньше, но в общем случае 4 может быть и больше и даже значительно, чем размерность п вектора состояния х(1). По результатам наблюдения выходного сигнала часто удается восстановить весь вектор состояния и использовать затем его при синтезе регулятора. Однако для упрощения аппаратуры целесообразно (даже при возможности измерения полного вектора состояния) желаемое качество регулирования обеспечивать подачей в цепь обратной связи лишь некоторых переменных состояния. Не следует упускать из виду и то, что использование измерительных приборов требует известной степени осторожности. Дело в том, что некоторые приборы описываются сложными уравнениями, существенно изменяющими структуру системы автоматического управления. Это, в свою очередь, порождает трудности решения задачи о желаемом размещении полюсов в замкнутой системе.

Свободные колебания замкнутой системы в основном определяются небольшим числом полюсов, называемых доминирующими, причем доказано [15], что, используя г обратных связей (из общего числа п теоретически возможных), можно сместить в желаемое положение г полюсов замкнутой системы. Поэтому к синтезу управления по всему вектору состояния х(1) следует прибегать лишь в том случае, когда будут исчерпаны все возможности улучшения системы обратной связью по неполному вектору состояния.

Теория оптимального управления обыкновенными системами при неполной информации получила значительное развитие как в работах отечественных, так и зарубежных ученых. Одними из первых, скажем так, определяющих работ в этом направлении были работы Н.Н.Красовского [53], где для построения регулятора используется прошлая информация о наблюдаемых компонентах; Е.А.Гальперина [30], где указаны способы построения управления, обеспечивающего замкнутой системе заданный спектр соответственных значений. В дальнейшем указанные направления получили свое развитие в работах Р.Ш. Липенера, Л.Н. Ширяева [59], Б.Н. 5

Петрова, П.Д.Крутько [66], Е.А.Гальперина, Л.И. Кожинской [31], Г.Н. Мильштейна [64], A.M. Мейлахса [63], Е.М.Смагиной [74], И.И. Ахметгалеева [6], А.Ю.Хасанова [76], М.М.Константинова, С.П. Патарински, П. Хр. Петкова, М.Д. Христова [50]. Заметим, что в последней работе предложен общий подход к синтезу линейных управляемых систем при неполной информации о состоянии объекта, основанный на концепции взаимного наблюдения [62] и позволяющий единым образом рассмотреть вопрос синтеза устройства наблюдения полного и пониженного порядка динамических компонентов.

Отметим некоторые работы, посвященные управлению движением летательных аппаратов (J1A) при неполной информации. Это работы Д.В.Лебедева [56, 57], где исследуется возможность управления движением твердого тела в условиях неполной информации о текущем фазовом состоянии этого тела; A.A. Балоева [7], где размерность необходимого для синтеза управления вектора выхода доводится до размерности вектора состояния y(t) за счет использования дифференцирующих и интегрирующих устройств; A.A. Балоева, А.А.Гусева [11], где предложен алгоритм синтеза управления движением системы на бесконечном отрезке времени по результатам измерения вектора выхода, размерность которого не лимитируется размерностью вектора состояния. Предложенный в этом последнем случае алгоритм применен к задаче управления движением ЛА при отсутствии замеров по одной из его координат.

Систематическому изложению методов и алгоритмов управления обыкновенными системами посвящены монографии Ли Р. [58], A.A. Красовского [52], A.M. Баткова, М.Б. Тарханова [14], И.А. Богуславского [18], А. Брайсона, Хо Ю-Ши [19], Дж. Медич [61], К.Острема [65], Я.Н. Ройтенберга [69], В. Я. Катковника [44], X. Квакернака, Р. Сивана [46], Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановского [78], Н.Т. Кузовкова [55]. Ю.Н.Андреев [1] приводит обзор иностранной литературы, где получены основные 6 результаты, связанные с управлением при помощи обратной линейной связи по состоянию и по выходу, с задачами оптимального (по квадратичному критерию качества) и модальному управлению, с конструированием идентификаторов (наблюдателей) состояния.

Перейдем к рассмотрению распределенных систем. Для таких систем полную информацию об их состоянии получить невозможно. Измеряемые переменные являются некоторыми функционалами, определенными на состоянии системы. Так, например, деформации упругих элементов конструкции, температурные или концентрационные поля можно измерить только в конечном числе точек. В такой ситуации управление, синтезированное в предположении наличия полной информации, является нереализуемым. Поэтому разработка методов и алгоритмов синтеза оптимального или субоптимального управления в системах с распределенными параметрами при неполном измерении является актуальной задачей, имеющей важное теоретическое и прикладное значение.

Впервые задача об управлении распределенной системой при неполном измерении ее состояния была поставлена Т.К. Сиразетдиновым [72, 73]. В этих работах также впервые было введено понятие измерения в системах с распределенными параметрами и приведено решение задачи синтеза распределенного управления, являющегося функцией переменных наблюдения, не содержащих погрешности измерения.

Несмотря на то, что с момента постановки задачи прошло более тридцати лет и к настоящему моменту получены значительные результаты, о чем будет сказано ниже, все же задача эта все еще далека от окончательного решения. Литературу, относящуюся к этому вопросу, можно найти в обзорах Т.К. Сиразетдинова [35], Г.Л.Дегтярева [36].

Обобщение результатов теории обыкновенных систем на системы с распределенными параметрами нельзя рассматривать как нечто тривиальное. Понятно, что известный параллелизм имеется, однако имеются и различия 7 принципиального характера. Эти различия связаны с тем, что системам с распределенными параметрами свойственны особенности, не имеющие аналогов в обыкновенных системах. К таким особенностям относятся:

- бесконечность размерности фазовых пространств систем с распределенными параметрами;

- разнообразие характера управляющих и возмущающих воздействий (распределенные, граничные, сосредоточенные);

- принципиальная невозможность полного измерения состояния системы.

Решение задач, которым присущи перечисленные особенности, требует особых методов, приемов, подходов.

Заметим, что реализуемое управление для распределенных систем при неполном измерении состояния должно быть функцией или функционалом от наблюдаемых переменных. Укажем два возможных пути решения задачи синтеза при неполном измерении.

Первый путь связан с синтезом управления, являющегося функцией наблюдаемых переменных. Во втором случае строится регулятор, на вход которого поступают оценки состояния распределенной системы, найденные по имеющейся информации. В том и другом случаях полученное управление в зависимости от метода решения задачи может быть оптимальным или субоптимальным. Оба эти пути представляют интерес и могут быть использованы при решении прикладных задач управления распределенными системами.

При синтезе управления в качестве критерия оптимальности используют квадратичный функционал или критерий "обобщенной" работы А.А.Красовского [52]. Эти функционалы оценивают своеобразное качество работы системы на конечном или бесконечном интервалах времени.

Можно синтезировать и такое управление, которое будет обеспечивать экстремальное значение некоторому функционалу в любой текущий момент 8 времени. В таком случае мы имеем дело с так называемым локальным функционалом. Локальный функционал предложен и успешно использован для решения задач синтеза оптимального управления при неполном измерении Г.Л.Дегтяревым. Отметим ряд работ этого плана, выполненных самим Г.Л.Дегтяревым, с его участием или под его руководством. Это работы [3-5, 25-28, 37-40], в которых синтезируются оптимальные управления для ЛА с учетом упругости элементов их конструкции и ЛА с жидким заполнением. Интерес к указанным классам ЛА не случаен.

Например, современный космический ЛА представляет из себя сложную механическую систему, включающую в себя элементы, которые допустимо считать абсолютно жесткими, и упругие элементы, игнорирование информаций которых в процессе эволюций ЛА недопустимо из-за значительного нарушения адекватности расчетной схемы и реального явления. Первые будем именовать жесткими элементами, вторые - гибкими.

К жестким отнесем, например, приборный отсек, к гибким - солнечные батареи, антенны, выносные штанги измерительных устройств и т.д.

Состояние жестких элементов характеризуется известной конечной совокупностью обобщенных координат, состояние упругих - совокупностью функций, зависящих от пространственных координат и времени. Упругие элементы моделируются пластинами, балками и т.д. с произвольным, в общем случае, распределением масс и жесткостей. Движение рассматриваемых механических систем описывается системами дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными.

К аналогичному результату приходим и в том случае, когда рассматриваем ЛА с полостями, частично заполненными жидкостью. Достаточно обстоятельный обзор отечественной и зарубежной литературы, посвященной разработке математических моделей движения ЛА с упругими 9 элементами и жидким наполнением, исследованию устойчивости их движения, можно найти в работах [36, 42,45,48,49, 70, 78, 79].

Итак, для того, чтобы обеспечить необходимую точность работы систем автоматического управления движением спутников, космических и даже обычных JIA, необходимо в математические модели этих аппаратов вводить распределенные массовые и жесткостные характеристики упругих элементов их конструкции. Синтез же законов управления производится на основе этих уравнений.

В работе Ф.Т. Валишина, Г.Л.Дегтярева [25] задача синтеза управления упругим спутником впервые рассмотрена с позиций теории оптимального управления систем с распределенными параметрами.

Отметим еще одно важное с практической точки зрения направление в развитии систем автоматического управления, элементами которых являются распределенные объекты - это оптические адаптивные системы [15]. Суть инженерной проблемы состоит в том, что необходимо путем целенаправленной деформации помещенного в оптический тракт специального оптического элемента (зеркала, линзы) добиться сведения к минимуму искажений изображения, возникающих в результате прохождения светового пучка от наблюдаемого объекта до оптического устройства через неоднородную среду.

В работе A.A. Балоева [8] разработан алгоритм синтеза субоптимального управления распределенными системами при неполном измерении их состояния на конечном заданном отрезке времени, а в работах A.A. Балоева, А.А.Гусева [12, 13] алгоритм работы [8] применен к задаче управления деформированным состоянием круглой пластинки и мембраны. Во всех работах по управлению системами с распределенными параметрами, где места приложения управляющих воздействий и съема информации сосредоточенные, весьма важным моментом является рациональный выбор этих точек приложения управлений и съема информации. Решению этой

10 проблемы посвящены работы А. А. Балоева [9]. Методы решения и обзор литературы, относящейся к вопросу оптимизации систем с распределенными параметрами с учетом соответствующего выбора места приложения управляющего воздействия (теория подвижного управления) можно найти в работах [22-24].

Интересно обратить внимание на тот факт, что там, где говорилось о неполном измерении в распределенных системах, то имелось в виду, что замер состояния системы осуществлялся в отдельных точках распределенных координат. Возможна и такая постановка задачи, когда в тех же распределенных системах неполный замер осуществляется еще и по времени. Другими словами, замеры состояния системы или возмущающих (задающих) воздействий осуществляются в отдельные дискретные моменты времени. В промежутках этих моментов информация о состоянии системы не известна. Такая задача об управлении давлением в газопроводе при неполном измерении в указанном смысле решается С.И.Ибрагимовым [43]. В работе [43] рассматривается задача управления состоянием газопровода путем изменения давления, поддерживаемого в начале газопровода с помощью турбокомпрессорных установок. На распределение давления в газопроводе оказывает воздействие изменение расхода потребителя, расположенного на конце газопровода. Предполагается, что эта величина известна не во все время управления, а лишь в отдельные моменты времени. Ставится и решается задача об оптимальном выборе моментов наблюдений величины расхода потребителя, обеспечивающих минимум уклонения между оптимальным управлением при непрерывном наблюдении, и оптимальном управлении при дискретном наблюдении величины расхода потребителя.

Вопросам транспортировки углеводородного сырья посвящены также работы Гусейнзаде М.А., Гусейнзаде С.М., Юфина В.А. [33], [34]. В частности, в работе [33] впервые рассмотрены задачи неустановившегося движения сырья по трубопроводам при наличии насосов, попутных отборов П и подкачек жидкости. В работе [33] получены такие новые научные результаты, как нелинейность зависимости давления в трубопроводе от места утечки и отбора, автоматическое определение количества и мест попутного отбора или же аварийной утечки жидкости при различных ситуациях. Это дает возможность управлять процессом транспортировки сырья по трубопроводам. При этом авторы отмечают недостаточную проработку вопроса о процессе управления трубопроводным транспортом как у нас, так за рубежом [33]. Поэтому применительно к магистральным трубопроводам большой протяженности проблема управления неустановившимся движением продолжает оставаться актуальной.

Настоящая работа посвящена решению задачи синтеза оптимального управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам.

На защиту выносятся следующие теоретические результаты:

- Задача синтеза граничного управления транспортировкой углеводородного сырья

- при полном измерении,

- при неполном измерении;

- Задача синтеза сосредоточенного неграничного управления транспортировкой углеводородного сырья

- при полном измерении,

- при неполном измерении;

- Приведение характеристического уравнения к виду алгебраического уравнения с неизвестной величиной только в четной степени.

Приведем краткое содержание работы по главам.

В первой главе приведены общие дифференциальные уравнения одномерного неустановившегося движения углеводородного сырья в трубах, приведены схемы трубопроводов для транспортировки сырья на примере газа.

12

Во второй главе получены уравнения движения и неразрывности для горизонтального трубопровода с постоянным сечением при постоянной температуре. На основании полученных уравнений разработан алгоритм синтеза граничного управления транспортировкой углеводородного сырья как при полном, так и при неполном измерении. Рассмотрен пример решения задачи при полном и неполном измерении для частного случая - постоянного давления на выходе трубопровода.

В третьей главе поставлена и решена задача управления транспортировкой углеводородного сырья сосредоточенным неграничным расходом транспортируемого продукта. Получено решение как для случая с полным, так и для случая с неполным измерением. В ходе решения задачи возникает характеристическое уравнение, которое приводится в общем виде к алгебраическому уравнению с неизвестной величиной только в четной степени, что принципиально важно для решения данной задачи. Приведены примеры решения задачи при полном и при неполном измерении.

Завершают диссертацию заключение и список использованной литературы.

Заключение.

Таким образом, в данной работе получены уравнения движения и неразрывности для горизонтального трубопровода с постоянным сечением. На основании полученных уравнений разработан алгоритм синтеза граничного управления транспортировкой углеводородного сырья как при полном, так и при неполном измерении. Рассмотрен пример решения задачи при полном и неполном измерении для частного случая - постоянного давления на выходе трубопровода.

Также поставлена и решена задача управления транспортировкой углеводородного сырья сосредоточенным неграничным расходом транспортируемого продукта. Получено решение как для случая с полным, так и для случая с неполным измерением. В ходе решения задачи возникает характеристическое уравнение, которое в данной работе приводится в общем виде к уравнению с неизвестной величиной только в четной степени, что принципиально важно для решения данной задачи. Приведены примеры решения задачи при полном и при неполном измерении.

1. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы). Автоматика и телемеханика, 1977, №3, с.5-50.

2. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1971. - 350 с.

3. Аузяк А.Г. Синтез оптимального управления твердым телом с полостью, частично заполненной жидкостью, при неполном измерении. В кн.: Динамика управляемых систем. Новосибирск, Наука, 1979, с.26-34.

4. Аузяк А.Г. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов для летательных аппаратов с полостями, частично заполненными жидкостью, при неполном измерении. Диссертация кандидата технических наук, Казань, 1978.-180 с.

5. Ахметгалеев И.И. Синтез нелинейных систем с неполной информацией. Тезисы докладов пятой всесоюзной конференции по управлению в механических системах, Казань, 1985, с.86.

6. Балоев A.A. Задача аналитического конструирования регуляторов по наблюдаемым переменным. Изв. ВУЗОВ: Авиационная техника, 1980, №2, с.10-14.

7. Балоев A.A. Синтез субоптимального управления при неполном измерении для систем с распределенными параметрами. Изв. ВУЗОВ: Авиационная техника, 1984, №1, с.59-64

8. Балоев A.A. Об оптимальном управлении упругими летательными аппаратами. Труды КАИ, вып. 103,1968, №1, с.187-195.1. И5

9. Балоев A.A. Универсальная форма записи решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Изв. вузов. Математика, №11,1991.

10. Балоев A.A., Гусев A.A. Синтез закона субоптимального управления поверхностью тонкой пластинки. Адаптивная оптика. Межвузовский сборник, 1991, с. 118-122

11. Балоев A.A., Гусев A.A. Оптимальное управление поверхностью гибкого зеркала при неполном числе измерений. В кн.: Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. Пятая Всесоюзная Четаевская конференция, Казань, 1987, с. 19.

12. Балоев A.A., Гусев A.A. Синтез управления с неполным, полным и сверхполным измерением. Изв. ВУЗОВ: Авиационная техника, 1992, №2, с.10-16.

13. Батков A.M., Тарханов М.Б. Системы телеуправления. М.: Машиностроение, 1972.- 192 с.

14. Бате Р., Хогге К. Фазово-сопряженная адаптивная оптическая система с использованием фазовых измерений по периметру аппаратуры. В сб. : Адаптивная оптика. -М,: Мир, 1980. с.54-65

15. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Иностранная литература, 1969.-400с.

16. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Наука, 1967. - 456 с.

17. Богуславский И.А. Методы навигации и управления по неполной статистической информации. М.: Машиностроение, 1970. - 256с.

18. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972.-544 с.

19. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.1. Библиографический список.116

20. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор). Автоматика и телемеханика, 1979, №11, с. 16-65.

21. Бутковский А.Г. К теории подвижного управления. Автоматика и телемеханика, 1979, №6, с. 29-41

22. Бутковский А.Г., Даринский Ю.В., Пустыльников JIM. Управление с распределенными системами путем перемещения источника. Автоматика и телемеханика, 1974, №5, с. 11-30

23. Бутковский А.Г., Даринский Ю.В., Пустыльников J1.M. Подвижное управление системами с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1976, №2, с. 15-25

24. Валишин Ф.Т., Дегтярев Г.Л. Об оптимальном управлении космическими летательными аппаратами с упругими элементами. В кн.: Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. - М.: Наука, 1975, с.75-82.

25. Ватолин В.В., Дегтярев Г.Л., Юнусов Н.К. Оптимальное управление летательными аппаратами с упругими элементами. Изв. ВУЗОВ: Авиационная техника, 1978, №4, с.36-42.

26. Ватолин В.В., Дегтярев Г.Л., Юнусов Н.К. Синтез релейного оптимального управления ЛА с упругими элементами. В сб.: Оптимизация процессов в авиационной технике, Казань. 1980, с.24-29

27. Ватолин В.В., Дегтярев Г.Л., Юнусов Н.К., Лопатников М.В. Оптимальное управление космическими аппаратами при неполном измерении. В кн.: Оптимальное управление в механических системах: Тез. докл. III Всесоюз. конф., Киев, 1979, с. 109

28. Габбасов Р., Кириллова Ф.М. Современное состояние теории систем (обзор). Автоматика и телемеханика, 1972, №9, с.31-62.

29. Гальперин Е.А. Синтез линейных управлений в стационарной линейной системе. Техническая кибернетика, 1968, №4, с.

30. Гальперин Е.А., Кожинская Л.И. Управление спектром в линейных системах с неполной информацией. Техническая кибернетика, 1979, №5, с. 159-171.

31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва, Наука, 1966. - 576 с.

32. Гусейнзаде М. А., Гусейнзаде С. М. Автоматическая система управления технологическим процессом трубопроводного транспорта. М.: ФГУП Изд-во "Нефть и газ" РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. - 72 с.

33. Гусейнзаде М. А., Юфин В. А. Неустановившееся движение нефти и газа в магистральных трубопроводах. М.: Недра, 1981.

34. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Синтез оптимального управления в системах с распределенными параметрами при неполном измерении состояния (обзор). Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, №2, 1983, с. 123-136.

35. Дегтярев Г.Л. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении состояния. Научно- технический отчет. 1980.-318с.

36. Дегтярев Г.Л. Синтез оптимального управления в системах с распределенными параметрами при локальном критерии качества. В кн.: Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением, Новосибирск, Наука, 1979, с.297-305.

37. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Оптимальное управление процессами с распределенными параметрами при неполном измерении. Автоматика и телемеханика, 1977, №5, с.5-10.

38. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. К задаче синтеза оптимального управления в распределенных системах при неполном измерении. -Автоматика и телемеханика, 1977, №2, с 45-49.1. Библиографический список.1. П8

39. Дегтярев Г.Л. , Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986.-214 с.

40. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Мир, 1975, с.130 164

41. Заведеев А.И. Системы управления ориентацией космических аппаратов с упругими элементами конструкции. В сб.: Вопросы управления космическими аппаратами. М.: Мир. 1975, с.130-164.

42. Ибрагимов С.И. Об оптимальном управлении процессами в газопроводах. Техническая кибернетика, 1985, №3, с.201-204

43. Катковник В.Я. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации. -М.: Наука, 1976.-488 с.

44. Кашин Г.Н., Федоренко Г.И. автоматическое управление продольным движением упругого самолета. М: Машиностроение, 1974.

45. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Мир, 1977.-650 с.

46. Кожевников Ю.В. К оптимизации управляемых систем случайными свойствами. Прикладная математика и механика, 1964, вып.З, с. 537-541.

47. Колесников К.С. Жидкостная ракета как объект регулирования. М.: Машиностроение, 1969.-299с.

48. Колесников К.С., Сухов В.Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. -М.: Машиностроение, 1974,- 268 с.

49. Константинов М.М., Патарински С.П., Петков П.Х. Христов Н.Д. К синтезу линейных управляемых систем при неполной информации о состоянии объекта. Автоматика и телемеханика, 1978, №9, с. 68-78.1. Библиографический список.1. П9

50. Контюков P.A., Максимов В.А., Хадиев М.Б. Компрессорные и газораспределительные станции. Казань: КГТУ им. В.И. Ульянова- Ленина, 2005.-412 с.

51. Красовский А.А.Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. - 232 с.

52. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем. В сб.: Механика в СССР за 50 лет, М.: Наука, 1968. с. 179-244.

53. Красовский H.H. О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи. Прикладная математика и механика, 1963, т.27, вып.4, с.641-663.

54. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976.-183 с.

55. Лебедев A.A., Чернобровкин Л.С. Динамика полета. М.: Машиностроение, 1973. - 547 с.

56. Лебедев Д.В. К управлению вращательным движением твердого тела при неполной информации о векторе угловой скорости.

57. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик управления. М.: Наука, 1966. - 175 с.

58. Липенер Р.Ш., Ширяев Л.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

59. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003,840 с.

60. Медич Дж. Статистические оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. - 440 с.

61. Библиографический список. 120

62. Мелешко В.И. Рекуррентное статистическое оценивание на основе псевдообращенных операторов. Автоматика и телемеханика, 1976, №8, с. 101-110.

63. Мейлахс A.M. О стабилизации систем автоматического регулирования с неполной информацией. Автоматика и телемеханика, 1976, №8, с. 101-110.

64. Мильштейн Г.Н. Линейные оптимальные регуляторы заданной структуры в системах с неполной информацией. Автоматика и телемеханика, 1978, №7, с.74.

65. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.-321 с.

66. Петров Б.Н., Крутько П.Д. Алгоритмическое конструирование оптимальных регуляторов при неполной информации о состоянии объекта. -Техническая кибернетика, 1972, с. 188-199.

67. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамрелидзе Р.В. Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. -392 с.

68. Розеноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, 1959, т.20, №10, с.1320-1334, №11, с.1442-1458, №12, с.1561-1578.

69. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. - 552 с.

70. Рутковский В.Ю., Суханов В.М. Управление угловым движением деформируемого спутника с распределенными массами. Космические исследования, 1970, т.8, №1, с. 71-79

71. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1977.-479 с.Ш

72. Сиразетдинов Т.К. Вопросы измерения, устойчивости и оптимизации систем с распределенными параметрами. Preprints of papers for IF AC Symposium on the Control of Distributed Parameter System, Banf, Canada, 1971, p. 1233 -1236.

73. Сиразетдинов Т.К. Синтез управления системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояний. ИВУЗ: Авиационная техника, №3,1971, с.37-43

74. Смагина Е.М. О синтезе многомерных систем управления с заданным спектром при неполной информации о состоянии объекта. Автоматика и телемеханика, 1976, №5, с. 95-100.

75. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. -М.: Наука, 1966.-623 с.

76. Хасанов А.Ю. Синтез нестационарных и нелинейных систем автоматического управления с заданной областью нормального функционирования. Диссертация кандидата технических наук, Казань, 1980.-137 с.

77. Чарный H.A. Основы газовой динамики. Государственное научно-техническое издательство нефтяной и горно-топливной литературы. М.: 1961.

78. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при слчайных возмущениях. М.: Наука, 1978. - 351 с.

79. Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с подвижными внутренними массами. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1973, №4, с.33-44.