автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Розвиток методу узагальненого роздiлення змiнних iз застосуванням до задач синтезу конформних антенних граток

? V ь

ол

М1НЮТЕРОТВО ОСВ1ТИ УКРА1НИ

Льв1вський державний ун!верситет 1м. 1вана Франка

На правах рукопису

ЯРОШКО Серг1й Адамои«

Р03ВИТ0К МЕТОДУ УЗАГАЛЬНЕНОГО РОЗД1ЛЕННЯ ЗЫ1НШХ 13 ЗАСТОСУВАННЯМ ДО ЗАДАЧ СИНТЕЗУ КОНЮНШ АНХЕШт ГРАТОК

(Спец1альн1сть 05.13.16 г застосування оОчислшвадьно! техн!ки, математичного моделювання 1 математичних метод!в в наукових досшдаеннях)

АВТОРЕФЕРАТ дисертацП на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зика-математичних наук

Льв1в - 1994

ДисертаШев е рукопис.

Робота виконана в 1яститут1 прикладних проблем механ1ки 1 математика 1м. Я.С.Шдстригача НАН Укра1ни.

Науковий кер!вник - доктор ф1зико-математичних наук, црофесор

0ф1ц1йн1 опоненти:

1. доктор ф^ико-матемаишшх наук, професор,

КАЛЕНШ Петро 1ванович

2. доктор ф!зико-математичаих науй,

ШКНКАРЕНКО Георг1й Андр1йОВИЧ

Пров1даа орган!зац1я - Рад1оастронам1чний 1нститут НацЮ-нально! Академ! I Наук УКРАШИ.

спец1ад1зовано! ради К 04.04.05 в Льв1вському державному ун!вер-ситет! 1м. 1.Франка, 2Э0000, м. Льв1в, вул. Ун1верситетська, 1,

3 дисертац1ею мохна ознайомигись в 010л1отец1 Львгвського державнаго ун!верситету 1м. I.Франка.

ВОИТОВИЧ Никола Николаевич

факультет прикдадно! математики^ О

Автореферат роз1сланий " с ^

¿^иЯ 1994 року .

Вчений секретар опэц1ал1зовано! ради

Б.А.ОСТУДШ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА КЖОТИ

Актуаяьн1сть проблема. Бурхливий розвиток сучасно! обчислю-вальноГ техн!ки зумовлюе активну розробку нових числових метод!в для застосування 1х у р!зноман!тних областях науки. Ода{ею з них е теор!я синтезу аятен.

Днтени сучасних рад!отехн!чйих систем в значн!й м!р! назначать 1х ефективн!сть та можлив! сбласт! застосування. Тому проекту-вавня антен, параметра яких задов1льняють певним задании вимогам, е важливою задачею. Здеб!льшого так! вимоги ставляться до характеристики електромагн!тного поля на неск!нченност! (дя характеристика називаеться д!аграмов напрямленост! (ДН) ацтени).

Гипова задача синтезу антен - зовн!шня оберенена задача елек-троданам!ки. В класичн!й постановц! вона формулюеться так: за за-даиою комплексно») ДН знайти комплексная розпод!л струму (поля) в розкрив! випром!нюичо1 системи. В так!й постановц! теор!я синтезу розроблена досить глибоко 1 р!зноеторонньо1, проте II результата бувае не достатньо для розв'язання практичних задач. Виникас необ-Х1дн1сть враховувати не т!льки реальн! вимоги до ДН, а й додатков! вимоги- до розпод!лу струм!в (поля) на антен! та 1н.2 Часто на практиц! !нтерес представляе не вся комплексна ДН, а лише II ам-пл!туда (модуль). З'являеться свобода у вибор! фазово! ДН, яку

Зелкин Е.Г. Построение излучаюцгй системы по заданной диаграмме направленности.- М.-Л.: Знергоиздат, 1963.

Минкович Б.М., Яковлев В.П. Теория синтеза антенн. - М.: Сов. радио, 19&9. о

Бахрах Л.Д., Кременецкий С.Д. Синтез излучающих систем. - М.: Сов. радио, 1974.

Чаплин А.Ф. Анализ и синтез антенных решеток. - Львов: Вгица школа, 1997-

можна використати для задрволення тих чи 1нших дрдаткових виыог.

Задача синтезу антенн стае нел1н!йнов 1 багатопараметричною. Для И розв'язання найб1льш зручно вастосовувати вар1ац1йн! метода.

Синтез двовим!рних конформних антен (напрюслад, плоских пря-мокугаих, цил!ндричних ! т.д.) - як неперервних, так 1 дискретних - ускладнюеться ще к!лькома обставинами. По-перше, доводиться до-лати значн! обчислювальн! !груднощ1, розв'язуши нел!я1йн1 двови-м!рн! 1нтегральн! р!вняння або системи великого числа нел1н1йних алгебраТчних р!внянь. Ш-друге, суттево ускладнюеться тезсн!чна реал!зац!я отриманого розв'язку, який. описуеться, як правило, складною функц!ею .двох зм!нних або велико» даовим1рною таблицею. Тому актуальном залишаеться питания рбзробки числових метод2в, як! дозволили б, не звахаючи на вс! перерахован1 труднощ!, розв'язува-ти потр!бн1 для практики задач! синтезу антен, зокрема антенних граток (АГ). Одним 1з таких метод!в е метод узагальненого розд!-лення зм!нних3. В1н дозволяе, 1 це п!дтвердилось у даному досл!-дженн!, ефективно розв'язувати задач! синтезу двовим!рних антен за заданою ДН, зм!нн! яка! не розд!ляигься.

Метою дисертвц:1йно1 робота е розвиток методу узагальненого розд!лення зм!нних (МУРЗ) в задачах синтезу плоских прямокутних антенних граток, модиф!кац!я його для !нших тип!в конформних дво-вим1рних граток, його алгоритм!чна та програмна реал1зац!я, об-грунтування методу, числове досл!дкення застосовност! методу до задач синтезу конкретних випром1нювчих систем. Розглядаються плос-

3

Войтович H.H. Синтез двумерной антенной решетки с обобщенным разделением переменных // Радиотехника и электроника, 1983, т.33, * 12, с.2637.

к! прямокутн1 антенн! гратки, плоек! гексагональн! гратки та ци-л!ндричн! гратки. У вс!х випадкзх задано» е лише ампл1тудна ДН. „I аргумент (фаза) залишаеться при цьому в!льяим.

Наукова новизна досл!дження полягяе в настушому:

- згтерше зд!йснена алгоритм!чна та програмнз реал!зац1я методу узагальненого розд!лення зм!нних стосовно до задач синтезу антен-них граток за ззданою амшИтудноп ДН;

- доведена можлив1стъ отримання розв'язну задач! вказаним методом за ск1нчене число крок!в;

- метод модиф!ковано на Еипадок синтезу плоских гексаГональних тэ щШндричних антенних граток.

Достов1рн1оть отриманих в робот! результат1в визначаеться:

- використанням загальноприйнятих в аналог!чних наукових досл!-дасенкях математичяих моделей ф!зичних явищ;

- застосуванням до розв'язку задач синтезу зб!яних чисельних метод!в;

- перев!ркою, де це мажливо, узгодкеност! результат!в з в1доми-ми для под!бних тия!в антен; у загальному випадиу отриман! результата не суперечать !снуючим ф!зичним концещ!ям.

Практична ц1нн1сть робота голягае в тому, що розроблений комплекс програм моина застосовувати при створенн! автоматизованих систем проектування антен. В1н вимагае невеликих затрат машинного часу для розв'язання достатньо складних задач синтезу, ваочно в!д-ображае процес розв'язування, дозволяе у зручн!й форм! представля-ти та анал!зувати отриман! результата. Програми цього комплексу були використан! при синтез! коннретних випром!шютих систем.

Одержан} в робот! теоретичн! результата можуть використовува-тиоь при розв'язуванн! аналог !чшх або подЮних зада? синтезу та

- б -

д1агностики.

Отриман! числов! результата можуть бути безпосередаьо вико-ристан! при проектуванн! реальних антенних систем.

Апробац1я робота i публ1кац11. Основн! результата дисертаЩй-но! робота були представлен! на м!«народному симпаз1ум! URSI (м. Стокгольм, 1989 р.), допов1дались 1 обговоривались на X Всесоюзному симпоз1ум! по дифракцП та розповсюдкенню хвиль (м. В1ннвдя, 1990 р.), на Республ1канськ!й конференц!Т "Застосування обчислю-вально! техн!ки та математичних метод!в у наукових досл1дженнях" (м. Льв1в, 1991 р.), на щор1чн!й конференц ГI секцП UHSI (м. Кяейнхойбах, ФРН, 1992 р.), на Шхнародному симяоз1ум! "Метод дис-кретних особливостей в задачах математично! ф!зики" (м. Харк!в, 1993 р.), на наукових сем1нарах 1ППЫМ HAH УкраХни.

За матер1алами дисертацП опубл!ковано ш1сть друкованих праць, частина результата дано! роботи використана в монограф11 Андрийчук М.И., Войтович H.H., Савенко П.А., Ткачук В.П. Синтез антенн по амплитудной диаграмме направленности.- Киев: Наукова думка, 1993.

Структура 1 обсяг дисертвцИ. Дисертац1йна робота складаеться з1 вступу, чотирьох глав, висновк1в, списку л1тератури 1 додатку. Загальний об'ем дисертацП складае стор1нок, в тому числ! V<f малшк1в, 2 таблиц!, список використано! л!тератури 1з найме-нуваньЛО стор1нок додатку.

КОРОТКИЙ ЗЫ1СТ РОБОТИ

У вступ1 обгрунтована ваялив!сть та. актуальн1сть питань, ви-р1шенню яких црисвячена дисертаЩя. Наведено короткий огляд л!те-

ратури по вибрзн1й тем!. Сформульованз мета досл!дження, наукова новизна, а також основн! положения, як! викосяться на захист. Дано короткий зм!ст ус1х глав дисертзцП.

В перш1й глав1 дано постановки задач синтезу конформних антен за заданими повнсю ДН та .змял!туднс» ДН (АДН), викладено метод узагальненого розд!лення зм!янех (ЫУКЗ) розв'язування цих задач, доведена його з51кн!сть в сенс! монотонного спадання вих!дного функц1оналу, обгрунтована можлив!сть отримання розв'язку задач! синтезу за ск!кчене число крок1Е методу.

У першому параграф! розглянуто задачу синтезу антенн за задз-нов повною ДН. Розв'язок прямо! задач! - визначення ДН /Лр.О) за струмом Кх.у) на антен! ~ в!домий 1 може бути представления у вигляд!

/ = А Г, (1)

де А - л!н!йний обмежений оператор, конкретний вигляд якого ззлежать а!д типу антени: для антен з неперервким розкривом А - !нте-гральний оператор, 1=1(х,у) - функц!я двох зм!няих (координат); для дискретних антен (знтенних граток) А - так званий суматорнкй оператор, 1=1Г(Ш)*=1 *=)- матрица. . -

Класична постановка обернено! задач! (задач! синтезу)-як задач! Еизначення 1(х,у) за в!домою полягае в розв'язанн! р!вняння (1). Як в!домо4, така задача е некоректною. Вена иожэ взагал! не мати розв'язку або цей розв'язок може бути нест1йким. Використаемо вар!ац!йну регуляризовану постановку задач! синтезу, яка полягае в м!н!м!зац!1 функц!оналу

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Метода решения некорректных задач. -Ы.: Наука, 1986.

а = в / - А х i] + t у I (2)

де AI е fff; X е Ях; Hr, tfj - комплексы! г!льбертов! простора д!аграм t струй1в в!дпов!дно (якщо розглядаеться антенна гратка, то Я-j- - евкл1д1в прост 1р).

В норму простору Яг моке входити вагова функц!я pfcp.fl) s о, яка дозволяе покращувати наОлиження в певних д!апазонах кут!в. Другий доданок в (2) з ваговим мнокником t г О дозволяе виключати з розгляду розв'язки з великою нормою струму. Ц1 розв'язки характеризуются осцилювчими розпод!лами струму, 1 1х вахко реалГзуватп на практиц!.

Легко отримати р!вняння Ейлера функЩоналу (2):

А* А 1 + t I = Л*/, (3)

де Л*- оператор, спряжений до оператора А в сенс1 р!вност! (AI,f)I = (1,АчТ)г, (',')]., (•,•)-£- скалярн! добутки в просторах В£, Hj в!дпов1дао.

Розв'язок р1вняння (3) 1 Оуде розв'язком задач! синтезу. Про-те на практиц! його отримання пов'язане з! значними обчислювальни-ми труднощами, а знайдений розпрд1л струму, який описуеться функ-ц!ею двох зм!нних або великою двовим!рною таблицею, вахко реал!зу-вати техн!чно. Тому варто було б ауканий розпод!л струму представ-ляти у деякому спрощеному наближеному вигляд!.

Метод узагальненого розд1лення зм!нних полягае в тому, що розв'язок задач! синтезу шукаеться у бигляд! суми доданк!в з роз-д!яешдаи зм!нними, в як!й кожен доданок вцзначаеться посл!довно з вимоги м!н!ы1зац11 в!дпов!дного функц!оналу. Такий прийом ран!ше

використовувався для наближено! зам!ни ядра на виродкеве5, а такоа для розв'язування багатовим!рних !нтегральних р1внянь6.

Представимо а-те наближення до розпод!лу струму 1(х,у) у виг-

ляд!

11я}(х.у) = У a(J)(x) Ъи)(у) = (4)

М

> I(я~1}(х,у) + ai3;(xj Ъ(я)(у), а=1,2,...

I шукатимем поправку a(3j(x) b!sj(y) - при в1домому розпод!л! I(3~i}(.x,y) (на першому кроц! вважаемо 1(0)(х,у)а 0). Вимагатимем, щоб шукана поправка м!н1м!зувала функцЮнал

В / ~ A I(3J if + t I I(s) ||. (5)

Р1еняння Ейлера цього функцЮналу машь вигляд

' <U*A + т1(я).Ь(я)>г = <А*/,Ь(я)>2 <(А*А + mzls),ais)>x = <А*/.а(а\,

(6)

де Е - одиничний оператор; зашс <•,■ >1 (<•,->2) означае скалярний добуток двох елемент!в простору Н^, взятий лише по перш1й (дру-г!й) зм!нн!й, як в!д функцИ одного аргументу таким чинок, що ви-

конусться = <<"»,>)>о = <<'»'>2>1-

к

Берлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы. программы.- Киеа, Наук, думка, 1986.

8 Баляш Ю.Г., Войтович H.H. // Интегральные уравнения в приклад-, ном моделировании: Тез. докл. II респ. конф. 4.2. Киев: Ин-т алек-тродинамики АН УССР, 1906, с.23.

Перше р!внянвя в систем1 (6) е л!н1йним в!дносно а дру-

ге - в!дносно Ь^. Розв'язок системи (6) можна отримати методом посл1довних наближенъ, розв'язувчи р!вняння системи (6) почергово як л!н!йн! в!даосно одн!е1 1з функц!й о^ чи Ъ(3* при значениях другого нев!домого з попереднього наближення. Перед першим кроком достатньо задати початкове наблихення будь-яко! 1з цих двох фувк-ц!й. Показано (теорема 1), що такйй процес на кожному кроц! змен-шуе значения обмеженого знизу функц!оналу (5) I*, отже, посл!дов-н!сть значень цього функц!оналу зб!гаеться.

В другому параграф! розглянуто задачу синтезу антени за зада-ною ашл!тудною ДН. Часто на практиц! ц!кавляться лише розпод!лом Ей1гоом1нювано1 антенов енерг! I по кутових напрямках, .тобто модулем функцП /Гф.'в;. Фазова ДН (аге /Сер,в;) залишаеться в!льною. У цьому випадку потрЮно розв'язати р!вняння

I А I | = Г (7)

Ця задача, як 1 (1), е некоректною. Кр!м того, вона е нел!н!йною 1 може мати к!лька розв'язк!в. (Питания встановлення к1лькост! роз-в'язк!в, досл1дження 1х галужень та !н. виходить за рамки дано! роботи). Як 1 в попередньому параграф!, використовуетья вар!ац!йна постановка задач! синтезу.

Наближений розв'язок задач! шукатимем у вигляд! (4). Шукана поправка Ъ(в^(у) поеиннэ м!Е1м1зувати Функц!онал

<т8= I У - I А 1(3} | ||| + ! В 1(*> в|, (8)

Кого р!вняння Ейлёра мають вигляд

' <{А*А + tE)Il3),bl3}>2 = CA*(F expC i arg AI(3)1),b(3)>s

<(4*4 + tE)I(3j,a(3j>t = <A*(P exptl arg il2f3j]),af3;>1

Система (9) e значно складн1шою, н1ж система (6), оск1льки м!стить в прав!й частин! фазову д!аграму expti arg AIl3j], яка залежить в!д нев!домих а{3\ btsJ. Проте, як 1 в поцередньому ви-падку, л!ва частина пертого р!вняння системи (9) е л1н!йною в!д-носно а л!ва частина другого - в!дносно Ъ(3\ Систему (9)

також можна разв'язати методом ггосл!довних наближень. При цьому, на в!дм1ну вгд системи (6), тепер потр!бна задавати значения функ-ц!й. а1-3^, Ъ(3^ з папереднього набливення також 1 в правих час тинах р!внянь. Такий 1терац!йний процес зб1гаеться в тому ж сенс!, що й для системи (6) (теорема 2).

Сл!д мати на уваз!, що при невдалому вибор! початкового наблквення для а(3К Ъ(3} !терац!йний прочее, на в!дм!ну в!д попе-редаьо! задач!, може привести до поб!чного, "трив!ального" роз-в'язку a(3^Q, b'3)sO системи (9). Щоб цього не в!дбулось, почат-кове наближення сл!д вибирати таким, щоб значения б3 на ньому було меншим за . Цього можна досягти, якщо дов{льне пбчаткове наближення а(03)Ь^3) домножити на коеф!ц!ент обчислений за формулою

cs =| {? exptl arg М(3~*')-Л1(3~:) , Ja^^bj -

(10)

-tci'^-'. а^М / { + ' -;lr}

В третьему параграф! формули МУРЗ конкретизовано для задач!

синтезу плоска! прямокутно! ¿Г. Розглядаеться ¿Г з л!н!йно поляри-зованих вшром!нгоач!в, розташованих у вузлах прямокутно! с!тки. ор!ентрвано! паралельно до осей декартово! система координат. Як в!домо, ДН тако! ¿Г мае вигляд

я я

г(<р,*) = л » £ £ Ф,«;> - (11)

* е*р[1 к э1п А (хя соз ф + уи з1п ф)1,

де I = {1ШЯ)*=1 *=1, струм на випром1нювач1 з 1вдексами п, т; /„(»,«)■ - ДН цього вицром1ншача при единичному струм! на ньому; й - хвилъове число; хя, уп- декартов1 координата тт-то випром!ню-вача.

Розпод!л струму шукаеться у вигляд!

з

Х(*> ш гО-'а<3>гЪ(3>~ У з=1,2..... (12)

де а^^Са^.а^К..,^^). Ъ<а>-(ь(а>.ъ<а',...Ъ<яа>). символ V означае транспонування. Доданки в (12) визначаються поел!доено. На а-му кроц! шуканим е ,а^3^тЬ(3}. В1н повинен надавати м!н!мум функ-ц!оналов!

гтос/2 я х

|[РГф,«л/Гв;Гф,<лз2рГф,«; зшв <шр + и ^ (13)

О о п=1в=1

де - задана АДН; Т(а)(9,Ъ) = = + 4

а=1,2,...; рГф,«;, г - вагов! функц!я I мнояник.

С3 е функц!ею зм!нних комплексних а^3-1 Сп=1 Ъ^3* (т= \,Н). Знайдем компоненте II град!ента га прир1вняемо 1х до нуля (необ-х!дна умова м!н!муму). Шсля деяких перетворень отримуеться система нелШйних алгебра1чних р!внянь

я'=г Я =1 я=>

(14а)

«{о,,,,,!? ехр(1 ащ/(3)) - п=1...,гг.

я'=) п=Г п'=Г п=Г п=Г (146)

"{с^СР ехр(1 ЕГ8 /3->) - ду Я-1

де символ "«" означав комплексне спряжения, ги %/2

Спя1Фи | \ *<*•*> РОР.*) * '

о о

* ехр!-{ й з1п А (хд соа ф + уп з1л ф)] з!пв М Лр

2% %/г

* « (1в)

о о

» ехрИ й з1пв ((хл,-хл)созф + (уя,-уя)з1пф)1 з!ив СЮ (Ьр,

Система (14) е даскретним аналогом система (Э) 1 розв'язуеться описании ран1ше методом посл!довних наближень. Коеф!ц!ент с„ для початкового наближення обчислюеться за формулою

2it тс/г

азП f вхр(1 arg fls~l 'f<p,"9j) - ris"l;fqve.n«

(17)

0 0

ЯК ,

V^V'M-WMJ-slnfl dfl dip - ^ £ £ /

2ГС X/2 ^

/[ i sin« üfl dip + ^ £ ^Ji^/l2 ] ,

1 О о

де al03}%3\ g<s>(9,«) = 4

При розв'язуванн! задач1 синтезу плоско! AT за заданою поеною ДН f(ip.'O) м!н!м1зуеться функцЮнал типу (13), в якому д!аграма F(<p,Q) зам1нена на /(Чр.'в;, а синтезована ДН /1з '(<р,-в) входить пов-н1стю (1 модуль, 1 фаза). Задача м!н1м1зацН зводаться до задач! розв'язування системи типу (14) з! зм!неною правою частиною: заметь функц!Г ? expti arg f'3 13 в 1нтеграли СПЯ!Ф! входить функц!я /. Така система е дискретним аналогом системи (6).

В цьому параграф! показано такок, що дискретний аналог р!в-няння (3) записуеться у вигляд!

К X _ _

I I Ш - V m=1 <18>

а'"Г п'=1

В четвертому параграф! розглянуто деяк1 аспекта обгрунтування МУРЗ. Зокреыа показано, що у випадку синтезу АГ розпод!л струму.

на якому досягаеться м!н!мум вих!дного функцЮналу, мокна обчисли-ти за ск!нчене число крок!в, дещо модиф1кувавши описану ран!ше обчислввальну схему настушшм чином.

Очевидно, що перш! два доданки в (12) л!н!йно незалекн!, 1 спос!б 1х обчислення залишаеться без зм!н. При знаходженн! наступ-них доданк!в розпод!л струму представимо у вигляд!

г" = а(3'тЪ<3\ з=3.4..........(19)

Нев!дом! Еектори а^3>,Ъ1з} та коеф!ц!енти с^3 ',/=1____,з-1 визна-

чаються з умови м!н!муму того ж функц1оналу-сГ3.

Таким чином кожен новий обчислений доданок буде л!н!йно неза-лежним 1з ус!ма попередн!ми. На останньому (У«*)-у кроц! розв'язок буде обчислюватись у вигляд! розкладу з в!льними коеф!ц!ентами по отримзн!й баз! №*.)-вим!рного матричного простору, що гарантуе завершения обчислювального процесу на цьому етап!. Знайдений розв'язок буде принайм! стац!онарною точкою функц!оналу (13). При в!дцов1дному Еибор1 початкових наближень на пром!кних кронах е!к буде забезпечувати м!н!мум цьому функц!оналу.

Описана обчислювальна схема служить лише для доведения зб!ж-ност! методу, Як покззують числов! експерименти, для досягнення практичних ц!лей достатньо, як правило, знайти 2-3 доданки. Причо-му перш! два кроки в обох схемах сп1нпадають.

Друга глава присвячена чисельн!й реал!зац!Т МУРЗ для синтезу плоских прямокутних АГ. 3 метою досл!дкення реальних властивостей методу було розв'язано ряд конкретних задач з р!зними наборами вх!дних даних. В глав! наведено деяк! !з отриманих результата.

В перших двох параграфах розглядаються плоек! прямокутн! ДГ,

шбудован! а 1дентичних вшфом1нввач!в, ДН яких /^ftp.fljsi, n=í,K, m=l,Jf. Вагова функц!я вибрана найцрост!шою: p(tp,Q)s\.

Значних затрат машинного часу вимагае обчислення з достатньою TO4HÍCTD cepíl Я2**2 1нтеграл!в типу (16), як! е елементами матриц! оператора А*А. В первому параграф1 показано, що для розглядува-них АГ значения Яд'*' мокна отримати анал!тично. Формула (16) приймае вигляд:

»

гг %/г

d£'*'=J JexpCi fe sinO ((хп,-хп)соа(н-(г;т,-уя)а1пф) 1 sin« ев dtp (20) о о

Позначимо / (хп-хп,)г+ (Уп-Уп,)S- Дал1, користуючись neplo-

дичн!стю п1д1нтегрально! функцИ та 1нтегральним представлениям цил!ндричних функц!й Бесселя, можна отримати

jfl '= 21 3ln < я > ¿J '>0; Й »'= 2х. '! (21)

71 Я J JJ'*' ' Я Я ' Я S "пи

п л

у другому параграф! обговоршгься числов! результата. Методом УРЗ було розв'язано ряд модельних задач синтезу АГ з р!зно! к1ль-кост! елемент!в (в!д 3x3 до 7x7). за задано© повнов ДН. Одночасно дня кожно! з цих задач туканий розпод1л струму було знайдено як розв'язок р!вняння (18), Пор!вняння розв'язк!в, отрийаних двома р!зними способами, показуе, що достатньо врахувати три-чотири до-данки в розклад! (12) матриц! розпод!лу струму, щоб .обидна роз-в'язки си!впадали в межах оОчислювально! точност! ЕОМ.

Розглядались також задач! синтезу за заданов амшИтудною ДН. Синтезовано АГ р!зних розм!р1в: в1д 5*5 до 51x51 елемент!в. Задан! АДН були симетричними та несиметричними. Для косно! задач! приведен! знайдений розпод!л струму та граф!ки заданих 1 синтезованих

т.

В наступних двох параграфах розглядаються АГ, побудован! з вузьковапрямлевих випром 1нювач í в. 3 1х . допомогою формують.ся так зван! контурн! ДК - д1аграми олизьк! до одиниц! всередин! деякого контура складно! фории на неск!нченно в1дцаленШ сфер! 1 швидко спадаюч! до нуля поза цим контуром. Щоб р!вном!рно осв!тнти прос-т!р всередин! контура задано! АДН, кожен з вшром1нввач!в осв1тлюе "св!й" сектор. Т! вщром!нввач1, сектори яких виходять за меж! контура, в АГ не включаються. Напрямок максимального вкпром!кивания елемента АГ з 1ндексами (п,я) задано кутами ф^вдд в сферичн!й систем! координат:

"б__= d__, соз ф__= а„/й___ sin ф__= з/й__, (22)

ГУМ яя* •пт п пя' TTwi я яда * '

де й^Уа^ + э® , ап= э1п Цп-па)%/211, ат= з1п С(т-та)чс/211,

т=1 ,..,*, {п0,та) - !ндекси випром!нювача, напрямленого в полюс система координат. ДН кожного випром!ншача а локальн!й сферичн!й систем! координат, полюс яко1 лежить на його напрямку максимального випром!нювання, р!Ена /гот(Ф,'в)=соз27'в, А « г/14; /ПЯ(Ф.«)=0 при 1НШИХ значениях •в.

При обчисленн1 матриц! оператора А*А викориотовуеться той факт, що для розглядуваних АГ мае м!сце

0 при.|п-п'|>2 або |т-т'|>2 (23)

В наведених задачах контури заданих ДН описуються, в простому випадку, анал!тично (з допомогою спеЩально п!д!браних функ-ц!й), або, в складн!шому випадку, з допомогою куб!чних сплайн1в, гобудованих за заданою таблицею значень.

Б одн1й !з задач синтезовано АГ з 11x8 елемент!в, котра ствс-рюе ДН, контур яко! .наближено повторюе форму кордон!в УкраТни. На малшку показан1 три л1н!1 р1вня задано! АДН Г/ср.'в) та модуля синтезовано! ДН /^^Сф.'вД. Максимальне значения ГСф,«.! р!вне одиниц!. В правому верхньому кут! малинку схематично зображена синтезована АГ.

-г

—ш

1- »1 = 0.25

?- И1 »0.70

3- №■0.99

За отриманими чиеельними результатами можна зроОити висновок про достатньо високу ефектинн!сть МУРЗ. Щоб досягти точност! порядку 0.1-1% в!д ЙРЦу у вс!х розглянутих задачах було достатньо врахувати 2-3 доданки в розклад! матриц! розпод!лу струму. Для обчислення одного такого доданку, як правило, потр!бно було зроби-•ги не 0!льше 15-20 1терац1й методу посл!довних наближень. Нав!ть при синтез! АГ з великим числом випром!нювач!в МУРЗ дозволяе отри-мувати ст1йк1 розв'язки.

В трет!й глав! розглядаеться ще один поширений тип плоских

антенних граток - гексагональн! (трикутн!) АГ г границею у вигляд! правильного шестикутника. Показано, як потрЮно модиф!куЕати МУРЗ у випадку застосування його до задач синтезу гексагональних АГ, приведен! числов! результата розв'язання к!лькох задач.

Кожному з вйпр°м!нювач!в гексагонально! АГ присвоГмо пару ' 1ндекс!в í'n,п) таким чином, щоО 1х декартов! координата задавались формулами

хп~ ~ л0> d + (и - яс> = I (п - по)+(т - яд)/2: d угГ /1/2 (л - ne) d

дэ (па,) - !ндекси центрального випром!нювача гратки (и0=п0), розташованого в початку система координат, d - в!дстань м!ж двома сус!дн!ми елементами гратки (у вс!х задачах ц!е! глави прийнято d=K/Z, де Л. - довкина хеил!).

Як 1 ран!ше, /пя(ф,'9) - ДН випром!нювача з !ндексами (л,я). Введемо псзначення

|(п+и).'(У+1)-1|<1/2, I 0, в протилежному випадку

Тод! формулу для обчислення ДН гексагонально! АГ мокна зашг-сати у вигляд!

v 1Г

/flp.f» = XX * £ £ Гда, /^(ф.^ « (26)

n=í ¡я=(

* ехрП к sin О соз Ф + 1/я sin ф)1,

Як 1 ран!ше, шукатимем розпод1л струму I = У вигляд1

(12), який м!н!м!зуе функцЮнал (13). 3 допомогоп таких же, як в глав! Í, перетворень задача м!н1м1зац1! функцЮналу зводиться до

задач! розв'язувавня системи нел!н!йних алгебраТчних р!внянь виду (14), у яко! И=11, С„_ 1ФЗ, Д?'!!' зам!нено в!дпов!дно на С„„СФ1,

ТиЛ 71 »1 ТмД

да -

Г С,,,,!®), |(тшп)/(К+1)-1|<1/2, = ] ™ (27)

I 0, в протилекному випадку

Г^У' I (1»я)/(ЯГ+1 )-11 <1/2,1 (п-+т- )/(М )-1 (<1/2.

Ф я = I я, п (28)

[О, в протилежному випадку

Як 1 для прямокутних АГ, для гексагональних граток значения елемент1в матриц! оператора А* А отримуються анал!Тично, Для цього можна скористатись формулою (21), зам!нивши спосЮ обчислення

¿'¡¡' на (п'-п)2+ (п'-п)(т'-т)+(т'-т)г.

71 Я п П

В другому параграф! приведено результата розв'язання задач синтезу АГ при N = 7, 15 ! при р!зних задание АДН. Анал!з отрима-них результат!в показуе, що висновки про ефективн!сть МУРЗ, зроб-лен! в попередн!й глав!, справедлив! 1 в цьому випадку.

Четверти глава присвячена цил!ндричним антеннам граткам (ЦАТ). Модиф!ковано МУРЗ для синтезу ОДГ, обговорюеться спос1б обчислення матриц! оператора А*А. Наведен! числов! результата розв'язання ряду конкретних задач.

ЦАТ яЕляе собою систему випром1нювач1в, розташованих на ци-л1вдричн!й поверхн1. Антена складаеться з N л1н1йних граток по II випром1нивач1в в кожн!й. Л!в1йн! гратки (л!н!йки) розм!щен! вздовж тв!рно! цил1ндра, т-1 випром!нявач! кожно! з л!н!йок лежать в од-н!й площин! 1 утворюють к1льцеву гратку. Не хай вшром1нювач! ЦАТ л!н!йно поляризован! (збудкувться магн!тним струмом, паралельним

- г\ -

до ос! 02), тод! II д!аграма напрямленост! мае вигляд

1Г ж

/Г9.*) -ЛГ = £ £ Г^ Т^щ,*) « (29)

п=Г т=/

* ехрИ К {г э!п® соз(ч>-<рп) + г^соэФ}],

де фл, координата тт-го випром!штача в цил!ндричн!й систем! координат; Иг - електричний рад!ус цил1ндра; вс! 1нш! позначення так! ж, як рая!ше. Формула (29) в!др!зняеться в!д (11) лише вигля-дом експоненти. Очевидно, що вс! формули МУРЗ, отримаи! в гл. 1 та 3- легко можуть Сути перенесен! на вшадок ЦАТ.

Виконавши перетворения аналог!чно до гл.1, легко отримати систему 1Г+* нел1н!йних алгебра1чних р!внянь вигляду (14а),(146) для визначення нев!домих Ъ^3^(т=\,И). Бона в!др1зня-тиметься лише способом обчислення величин. С__СФЗ та #?'!!':

Тал 71 т

X X

/ I Р<*'*> ж (30)

-X О ■

* ехрС-1 & 1г з1яв соэ(ф-<р)1) + г^соз1®}] з1пв ,м Лр, х .х

о

х ехрСИгО* з1п'в(соз(<)?-фпГ)-соэ(ф-<ря))+(гп,-гя)соз'в)]з1нв £№ Лр.

У всьому 1ншому алгоритм залишаеться без зм!н. В1дпов!дно, доведения зб!жност! МУРЗ, запропоноване для плоских АГ, справед-ливе 1 для ЦАТ.

В розглянутих задачах АГ були побудован! 1з одаакових випро-

м1нювач1в з д1аграмами напрямленост! вигляду

{з1пг« соэг(ш - ф_), |Ф - Ф„ 1 <-к/2, _ _

* п п=1 ,1Г, т=1 (32)

О, в !нпптх вшадках.

де фп= (п-п0) х/йт, (п0,т0) - !декси центрального вщром!нювача ¿Г. Показано, що в цьому нипадку елементи матриц! Л*Л е д1йсними ! 1х можна представити у вигляд! зб!жних знакозм1нних ряд!в, загаль-н! члени яких обчислвються за рекурентними формулами.

Наведено чисельн! результата синтезу к!лькох ЦАТ 1з 7x7 (та 9x9) елемент!в, з електричним рад!усом цил!ндра кг = 11.25 (та 15). 1фок м!ж випром!шшачами гратки р1вен 16° (12°) по кутов1й координат! 1 \/2 - по вертикально.

Задан! ДДН були одно-, дво- та чотирипелюстков1 з пелюстками вигляду

{соз24 О, в 1

\«о((р'Ю = ' (33>

в 1ншому випадку,

де = агссоз(соз(ф - ф0) з1п(« - «0)), кути зада-

ють напрямок пелюстк1в д1аграми.

Отриман! результата по точност! та ефективност! узгоджуються з отриманими ран!ше.

У висновках сформульован! основн! результата, отриман1 в ди-сертац1йн!й робот!:

1. Метод узагальненого розд!ленвя зм!нних реал!зований для задач синтезу плоских црямокутних, шоских гексагональних 1 цил!ндричних антенних граток за заданою пивною та ампл!тудною д!аграмов напрямленост!. На прикладах цих задач показана ефективн1сть методу. Встановлено, що- для досягнення задов!льно! для практики точност!

достатньо зробити в цьому метод! 2-3 кроки.

2. Доведена можлив!сть отримання розв'язку задач! синтезу антен-но! гратки методом узагальненого розд!лення зм!нних за ск'нчене число крок!в.

3. Для трьох тип!в розглянутих антенних граток розроблен! ком-плекси програм, як! мояуть бути використан! в САПР випром!нюючих систем, як! м!стять так! антени. Проведена апробаЩя цих комплек-с!в як на модельних задачах, так ! на задачах, що виникають на практиц!.

Основн! результата дисертацИ онубл1кован1 в наступних роботах

1. Yu.G.Balyaah, N.N.Voltovlch, S.A.Yaroahlta Generalizes Separation of Variables in Problems oi Diffraction and Antenna Synthesis // The 1989 URSI International symposium on electromagnetic theory, Stockholm, 1989, pp. 650-652.

2. Войтович H.H., Яроижо с.А. Метод обобщенного разделения переменных в задачах синтеза плоских двумерных антенных решеток.- // Волны и дифракция - 90. X Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн, Винница / М.: Физическое общество ССОР, 1990, т.З, с. 260-263.

3. Н.Н.Войтович, С.А.Ярсшю. Численное решение задачи синтеза двумерной антенной решетки. // Радиотехника и электроника. 1991, т.36, * 1, с.192-196. »

4. J.Jarbcmül, N.Voltovtch, S.Yaroaftko. Specific Examples of -Antenna Design Using the Synthesis Method. // Kleinheubacher Berichte. Band 36. pp.73-77. Kleinheubach, 1992.

5. Войтович H.H., Ярошю С.А. Синтез двумерных антенных решеток методом обобщенного разделения переменных. // Тез. докл. Международного симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики", Харьков, 1993.

6. Войтович. H.H., Ярашко С.А. Метод обобщенного разделения переменных в задачах синтеза антенных решеток. // Препринт jf 1-94, Львов: ШПММ АН Украины, 1994 , 22 с.