автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Решение задач фильтрации жидкости в плотине методом отпимизации формы области

РГБ ОД

7 иг т

на правах рукописи

АБУШОВ Октай Гуламгусейн-оглы

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПЛОТИНЕ МЕТОДОМ ОТПИМИЗАЦИИ ФОРМЫ ОБЛАСТИ

Специальность: 05.13.16- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных

исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ-2000

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Научные руководители - доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Лапин, доктор физико-математических наук, профессор Р.Б.Сашшов

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Т.К.Сиразетдинов,

- доктор физико-математических наук, профессор Е.Г.Шешуков

Ведущая организация - Институт механики УРО РАН,

г.Ижевск

Защита диссертации состоится " 30 "_Ь'Н?^

_2000 г.

в_часов на заседании диссертационного Совета Д 063.43.03 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева по адресу: 4200111, г.Казань, ул.К.Маркса, 10, КГТУ (КАИ).

та.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университе-

Автореферат разослан "Зр "

Жал

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

ГГГ.Данилаев

Н 412.252-022.81

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи фильтрации со свободными или подвижными границами составляют существенную часть явлений, происходящих в природе, например, фильтрация через земляные плотины (дамбы), фильтрация из открытых источников (каналы, реки, озера, системы орошения и заполняемые водоемы), приток к колодцам.

Большой вклад в развитие теории и методов решения задач фильтрации внесла советская школа механиков, основоположниками которой являются Н.Е.Жуковский, Н.Н.Павловский, Л.С.Лейбензон и, в дальнейшем, В.И.Аравин, С.Н.Нумеров, П.Я.Полубаринова-Кочина. Как правило, эти исследования были посвящены аналитическим и численно-аналитическим исследованиям задач фильтрации, следующим закону Дарси.

Исследования, заложившие основы теории нелинейной фильтрации в гидродинамической постановке, выполнены С. А. Христиановичем. Дальнейшее развитие теория и методы решения таких задач получили в работах С. Н. Нумерова, В. М. Ентова, 10. М. Молоковича, Н. Б. Ильинского, А. В. Костерина, Н. Д. Якимова, Р. Б. Салимова, Э. В. Скворцова, Е. Г. Шешукова. В этих работах в основном изучались задачи напорной фильтрации. В большинстве случаев был использован метод преобразования исследуемой задачи в плоскость годографа. Математическими моделями задач нелинейной напорной фильтрации при постановке в физической плоскости служат квазилинейные эллиптические уравнения с коэффициентами, зависящими от градиента искомой функции. В такой постановке эти задачи были изучены в работах А.Д.Ляшко, М.М.Карчевского, А.В.Лапина, И.Б.Бадриева.

Задачи безнапорной фильтрации, к которым относится исследуемая в диссертации задача о фильтрации в плотине, - это задачи с частично неизвестными (свободными) границами даже при линейном законе фильтрации.

В настоящее время существуют два основных подхода к решению задачи о плотине, т.е. задачи фильтрации несжимаемой жидкости через пористую преграду под действием силы тяжести - метод вариации свободной границы и метод преобразования к вариационному неравенству в фиксированной области.

В 1971 году К.Байокки сформулировал задачу установившейся фильтрации жидкости, подчиняющейся закону Дарси, через прямо-

угольную плотииу в виде вариационного неравенства в фиксированной области. Подход Байокки позволил получить теоретические результаты по существованию, единственности и гладкости решения и свободной границы и применять для ее численного решения методы конечных разностей и конечных элементов на фиксированных сетках. В 1979 году Г. В. Альт и, независимо, X. Брезис, Киндерлерер, Г. Стампаккья предложили новую вариационную формулировку задачи о линейной фильтрации в плотине произвольной геометрии при произвольной неоднородности материала плотины. Был доказан результат о существовании обобщенного решения. Позже была изучена проблема единственности этого решения и исследованы схемы МКЭ.

Известно, что свободная граница - депрессионная поверхность - и в особенности участок высачивания, определяемый по свободной границе, представляют наибольший практический интерес. При численном решении вариационных неравенств свободная граница определяется на основе апостериорной обработки полученного приближенного решения. В связи с этим для ее достаточно точного определения требуется использовать либо специальные методы апостериорной обработки информации, недостаточно разработанные к настоящему времени, либо решать задачу с использованием численных методов высокого порядка, что приводит к существенному повышению трудоемкости численного решения.

Метод вариации свободной границы позволяет уточнять ее положение непосредственно в процессе решения задачи. Суть этого метода состоит в последовательном приближении к свободной границе на основе решения краевой задачи для дифференциального уравнения в очередном приближении к искомой области фильтрации. При этом в постановке краевой задачи участвует одно из двух условий на неизвестной границе, а второе условие используется в процедуре уточнения положения этой границы.

Различные варианты метода вариации свободной границы давно используются в практике решения задач фильтрации. Однако, в большинстве случаев их применение основано на некоторых эмпирических соображениях и теоретически не обосновано. Кроме того, условие высачивания жидкости через низовой откос плотины не контролируется, что может привести к "нефизическим" решениям. Более строгим является подход, основанный на постановке задаче со свободной границей как задачи оптимального управления областью. При таком подходе мы фактически реализуем метод вариации свободной гра-

ницы, когда "направление" вариации указывается на основе градиентной информации для функционала цели. Это дает возможность обосновать сходимость приближений к точке локального минимума функционала цели.

Теория и применение методов оптимального управления системами с распределенными параметрами являются одним из наиболее важных и актуальных разделов математики. В нашей стране первые исследования в этой области были проведены А.Г.Бутковским, К.А.Лурье, Т.К.Сиразетдиновым. Известны математические монографии по теории оптимального управления Ж.-Л.Лионса и В.Барбу. Теория оптимизации формы области как одно из направлений в теории оптимального управления получило значительное развитие в последние два десятилетия (см. книги О.Пиронно, Хог Э., Чой К., Комков В., Я. Хаслингер, П. Нейттаанмяки.)

Методы решения задач со свободными границами, основанные на их формулировке в виде вариационных неравенств в фиксированной области, являются на данный момент наиболее универсальными. В совокупности с сеточными методами аппроксимации (методы конечных элементов и конечных разностей) и численными методами нелинейной оптимизации они образуют мощный инструмент решения задач со свободными границами в многомерных областях сложной геометрии. В то же время, методы вариации свободной границы, основанные на теоретически обоснованной постановке задач в виде задач оптимального управления, дают возможность более точного определения свободной границы как одного из основных составляющих решения задачи. Бесспорно, что совместное использование этих двух подходов может стать эффективным средством решения упомянутых задач. Все вышесказанное определяет актуальность разработки и исследования методов оптимизации формы области для задач со свободными границами.

Цели диссертационной работы:

1. Математическая формулировка задач фильтрации несжимаемой жидкости в плотине при линейном и нелинейном законах фильтрации в виде задач оптимизации формы области; теоретическое исследование поставленных задач.

2. Построение и исследование сеточных аппроксимаций сформулированных задач оптимального управления; развитие и применение алгоритмов оптимизации к численному решению конечномерных ап-

проксимаций.

3. Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для модельных задач.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации.

В работе Бежиса и Гловински впервые метод оптимизации формы области был применен к решению задачи со свободной границей - решена простейшая задача фильтрации в прямоугольной плотине. Подход к решению более общей задачи указан Хаслингером и Мяки-неном, при этом теоретическое обоснование не было проведено. В диссертации предложен и обоснован новый метод решения задач фильтрации в плотине, основанный на методах оптимизации . Основное отличие состоит в том, что в функционал цели включается Хг-норма нормальной компоненты скорости фильтрации на варьируемой границе вместо И/2~1/2- нормы как у Хаслингера и Мякинена. Это дает возможность строить более простые в реализации сеточные аппроксимации задачи. Для формулировки задачи оптимального управления с использованием 1/2-нормы нормальной компоненты скорости фильтрации требуется соответствующая регулярность решения и свободной границы. Такая регулярность доказана в диссертации в случае линейного закона фильтрации и предполагается в случае нелинейного закона.

Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами:

1. Предложена новая постановка задач фильтрации жидкости со свободными границами в виде задач оптимизации формы области; обоснована корректность сформулированных задач в случае линейного закона фильтрации.

2. Предложен и обоснован новый подход к решению сеточных аппроксимаций прямой и сопряженной задач оптимального управления, основанный на использовании модифицированной функции Лагранжа и примененный к задачам с линейным и нелинейным законами.

Методика исследований. Математическое моделирование задач фильтрации жидкости через пористую преграду основано на использовании методов теории линейной и нелинейной фильтрации. При исследовании существования и регулярности решений поставленных задач применяются методы функционального анализа, теории пространств С.Л.Соболева и теории краевых задач для уравнений с частными производными. Анализ численных методов решения основан на

теории метода конечных элементов и теории методов оптимизации. Вывод градиентной информации в задачах оптимального управления формой области опирается на теорию чувствительности.

Достоверность сформулированных теоретических результатов обеспечена строгими доказательствами. Достоверность численных расчетов обусловлена хорошим совпадением результатов с известными.

Научное и практическое значение работы. Диссертационная работа содержит в основном теоретические результаты. Ее основное научное значение состоит в том, что предложен и исследован новый численный метод решения задач фильтрации со свободными границами, основанный на их сведении к задачам оптимального управления областью.

Вместе с тем, разработанные алгоритмы и программы могут быть включены в комплекс прогаммных средств, предназначенных для решения практических задач со свободными границами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета, на Всероссийских молодежных школах-конференциях (Казань. 1998, 2000) и на научных семинарах Научно-исследовательского института им.Н.Г Чеботарева КГУ. Диссертация в целом обсуждена на семинаре Отделения математического моделирования Научно-исследовательского института им.Н.Г Чеботарева КГУ.

Публикации. Основное теоретическое содержание диссертации изложено в работах [1]-[3]. В этих работах автор принимал участие на всех этапах исследования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Работа изложена на 80 страницах. Список литературы насчитывает 44 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе изучается задача установившейся фильтрации несжимаемой жидкости через пористую преграду в предположении линейной зависимости скорости фильтрации от напора жидкости (закон Дарси).

Приводится и изучается постановка этой задачи как задачи оптимального управления формой области, строится и исследуется ее се-

точная аппроксимация, выводятся сеточная задача для сопряженного состояния и формулы для вычисления градиента целевого функционала.

Рис. 1.

Пусть плотина из однородного материала на горизонтальном во-доупоре разделяет два водных бассейна с высотами Н\ > Н^ > 0 (см. рис. 1). Задача состоит в отыскании полей напоров и(х) и скорости фильтрации воды V{x) в плотине в предположении, что они связаны линейным законом фильтрации (законом Дарси)

V (г) = -kVu(x), (1)

где к = const - коэффициент проницаемости материала по отношению к данной жидкости (в дальнейшем предполагаем к = 1), ж = (аз 1, )• Процесс фильтрации в предположении несжимаемости жидкости и отсутствия испарения и капиллярных явлений описывается следующей краевой задачей:

-Ли = 0вП, (2)

ди

и = Hi на Гъ и = Н2 на Г2, -ц- = 0 на Г(<р) U Г^, (3)

и = х2 на Г(</>) иг(ст), (4)

g < 0 на Г(<т). (5)

Здесь Vi : х2 = ß{x\), х\ G (-¿,0); Г(<р) : х2 = <p(xi), Щ £ (0,6а); Г(ст) : Х2 = G (bn,c); Г^ : жг = 0, ®i 6 [—d, е], ¿7 - единичный

вектор внешней нормали к дй. Кривая Г^ U Г1 U Г 2 U Г(у>) U Г(ег) составляет границу дй искомой области фильтрации П, при этом IV, Гь Гг - известные участки границы, а Г(<р) и Г(сг) - неизвестные, которые называются соответственно, депрессионной кривой и участком высачивания.

Известно, что задача (2) - (5) имеет единственное обобщенное решение и(х) из W^i^l) П И^оДО), а свободная граница Г(у>) обладает следующими свойствами:

- функция <р(х{) монотонно убывает и аналитична в точках Х\ £ (0,6«),

- в точке В(Ьа,(т(Ьа)) кривые Г(^) и Г(сг) имеют общую касательную,

- кривая Г(</?) ортогональна кривой Ti в точке Л(0, Нi),

- участок высачивания Г(сг) - непустое множество, т.е. Ьа < с.

Поставленная задача фильтрации в плотине решается методом оптимизации формы области.

Введем допустимое множество областей, параметризованных функцией a(a;i):

Uad = € C7u([0,c])|-Mi < а (ая) < 0; ¡«"(^г)! < М2 Уц G [0,с];

а(0) = Hi;a(c) = Я2; cr'(xi)-a'(xi) < ©o(®i —b«) Для xi G (ba-S,ba);

ct'(xi) - a'(xi) <0Vxi £ [а, с], cr'(ba) = а'(6а)},

где ba = min{a;i G [а, c] : a(xi) = cr(xi)}, a положительные постоянные Mi, Mz, ©о и 5 таковы, что Uad ф 0- Пусть функция и(х) = и[а](х) является решением в П(а) краевой задачи

f —Ди = 0 в О(а);

и= Hi наГ1,и = Я2наГ2;^ = 0наГлг; (Р(а))

( и = х2 наГ(а) = r(v?) иГ(сг).

Задача состояния (Р(а)) имеет единственное решение u[a] G И^21(0(а)) при любом а G Uad-

В диссертации исследована регулярность решения задачи состояния (Р(а)), что дает возможность включить в функционал цели Ьг-норму нормальной компоненты скорости фильтрации на варьируемой границе.

Теорема 1.1. Для любого а £ иаа решение и[а] задачи (Р(а)) принадлежит классу ИЛ21(П(а:)) П]¥~(0(а)), где г £ (4/3,2), £>(а) = Г2(а) П {£2 > ¿1}, ¿1 £ (0, Яг), и может быть продолжено на П до функции {¿[а] £ И^П) П И^ДО), И — О. П {х2 > ¿1}; при этой справедлива равномерная по а £ 11аа оценка

Нй[«311и^сй) + НйИ11и?(Д) < сопБг V« £ иал.

дь\сх 1

Из Теоремы 1.1 следует существование из Ь2(Т(а)). Таким

образом, мы можем определить множество

и = {а £ иаЛ

Задача

< 0 при почти всех х £ Г(<7)}.

Ма*) = тщМа), Л (с*) = \ / (^Ц^Г, (^

где и[а] - решение (Р(а)), является задачей оптимального управления формой области. Наряду с этой задачей изучается задача со штрафом:

тт(70(а) + 1л(а)), Л(а) = Ми(а)) = /([^Н]+)2<Я\ Щ

Т(а)

г9и[а]1+ 9и[а]

где I—г—I - положительная часть —7:;—, е > 0. ои ди

Существование решений задач оптимального управления (/) и (Зс) для любого е > 0 доказана на основе исследования свойств компактности в С1 множеств II и непрерывности функционалов Jl(a). Кроме того, установлена связь решений этих задач при £ —> +0:

Теорема 1.2. Задачи оптимального управления (.7) и при любом е > 0 имеют решения.

Теорема 1.3. Пусть еь —> +0 при к —> оо и (ак^и^) - оптимальная пара для (Л*). Тогда существует такая подпоследовательность

последовательности {(abui)}> обозначаемая так же, что ад. —> а* в С1 [0,с], ut и* слабо в W21(Ö)nW,2(£)), где (а*,и*) - оптимальная пара для (J).

Для решения задачи (Р(а)) используется метод расширенного лагранжиана. Именно, ставится задача отыскания седловой точки расширенного лагранжиана на V(P(a) х L\{ü{a)) х ЬЦЩа)) :

L(u,q,X) = \ / \q\2dx + l { \Vu-q\2dx+ / A(Vu - q)dx. {L)

Ща) í)(Q) Q(a)

где Уф(а) ={ti£ И^(П(а))|и = Ф на Гх U Г(а) U Г2}, Ф = {#i на Ги Х2 на Г(а);Яг на Гг}.

Седловая точка (и, q, А) существует и единственна, при этом и(х) = и[а](г) — решение задачи (Р(а)). Поскольку Х(х) = —V(x) почти всюду в D(a), то решив задачу на отыскание седловой точки лагранжиана, мы можем использовать его компонент Л (ж) для вычисления функционала цели, что освобождает пас от необходимости вычисления компонентов скорости V(x) по найденному напору и{х).

Далее в главе 1 строятся и исследуются сеточные аппроксимации поставленных задач оптимизации формы области.

Пусть область П полигональна, 0 = üq < ai < a2 < ... < ап — с разбиение отрезка [0,с] с шагами a,-+i — a¡ < h, h = const > 0. Определим множество

Ub = W*i) € С[0,с] I aA|[aiiaj+i¡ 6 Р:,аЛ(0) = Huah{c) = Я2,

Я2 < 07,(2:1) < ЯьаЛ(х\) < crh(xi) для х\ £ [а,с]},

где Р\ - пространство полиномов 1-й степени, 07,(2:1) = <?{х\). Используя аппроксимацию кривой а(хг), строим триангуляцию т(Л, а/,) варьируемой области П(о-д) и определяем пространство Wh кусочно-постоянных функции на треугольниках Де £ т(Н,ан), V/, = {щ £ С(ПЛЮ) I щ £ Pi УДе £ r(ft,aA)}, и = {uh £ Vfc | иЛ = 4>{xi) на riUr(aA)ur2}.

Сеточной аппроксимацией функционала цели является:

Ш = ^ / & ■ ¿?ft)2dr + ¿ / [(A* • ¿7Л)+]2<Я\ (7,л)

где Vh - единичный вектор внешней нормали к Г(с^), А/,(к) - третий компонент седловой точки сеточного лагранжиана Lh(uk,qh,Xh)

на множестве V¡f х W^ х Wh- Дискретная задача оптимизации формы состоит в следующем:

найти a*h € U'ald такое, что Je,h(al) < -Л.ь(ал) VaA G U}¿d. • (6)

Теорема 1.4. Для любого h > 0 существует решение а* Е U задачи (6).

Учитывая, что любая функция аА £ однозначно определяется своими узловыми значениями aA(a¿), г = 0,1,....п, и обозначая a¡ = 07,(0*), можем отождествить с подмножеством в Rn+l:

U = {aeRn+l \H2<ai<Hx i = 0,l,...,n, a0 = Яь a„ = Я2}.

Вводя в рассмотрение матрицу жесткости Л размерности роХрц, кхк матрицу масс М и к х р матрицы D¡, соответствующие аппроксимациям конвективных слагаемых, получаем систему уравнений для определения седловой точки сеточного лагранжиана:

' rA0u° - rDW - rD¡0q2 + Z^A1 + Df0А2 - -гЛ^,

-rDiQU0 + (1 + r)Mql - MX1 = rDn¡p,

-rD2Ou0 + (1 + r)Mq2 - MA2 = rD2i¥>,

Dmü-Mql = -ЯцР,

D20u°-Mq2 = -D21<p.

Матрица E(a) этой системы симметрична, а из существования и единственности седловой точки лагранжиана для любого а € U следует существование Е~1(а).

Сеточный функционал цели принимает вид

J(a) = Je,h(ah) = £ meas Tepi(Xeh ■ Г'сгю

где pe(s) = ф2, на Г С ¿(S+)2, на Р С T(ah),} Ге - звено

ломаной линии Г(аА).

Далее в главе 1 проводится анализ чувствительности для сеточной задачи оптимального управления и выводятся соотношения для вычисления градиента минимизируемого функционала для использования известных методов решения задачи оптимизации.

Пусть h > О, а/, 6 Uad фиксированы, а 6 U - соответствующий а/, вектор узловых параметров. Кроме того, предположим, что á G Rn+1. В диссертации определены производные по направлению а в

точке а от J (а), А(а), M (a), F (a), De(a), Л,-(а), Çj(or), v(a), и(а), Xi(a), qi(a), v(a). В результате получено, что вектор w(a) и матрица Е(а) имеют производные по направлению.

Градиент функционала J{a) определяется равенством:

= Ь («) + /1(а),

где

= 1 Е

^ 1=1

(ЛЭД2 ¿meas^ + 2шеазГ< (АЭД [л^]

+

1 2 S

r'çn^l

((АЯ)+)2 ¿ттев-Г* + 2шеавГ' (^g)

,,<«) = I ш-г- (ЛМ) 4 —г' (ЛИ) .

Вводя векторы С\ = С2 = (с^)^ с компонентами:

0; для г, соответствующих треугольникам,

не имеющим стороны на и Г(сгЛ),

теая Г( (\\vtyvl для г, соответствующих треугольникам.

имеющим стороны Г* на Г((/З(г)>

-теаэ Г^ (А^г//) г/ для г, соответствующих треугольникам, имеющим стороны Гг на Г(стЛ),

и вектор с = (0,..., 0, С1, с2) размерности ра -+- 4к можно определить сопряженное состояние р 6 для задачи оптимального управления как решение системы

Е(а)Р = С. (7)

Теорема 1.6. Частные производные от функционала J{oi) задаются равенством

- /,(«) + (Р, §£(«) - ■< - 1.-.»■

где Р - решение задачи (7).

Вторая глава диссертации посвящена изучению задачи фильтрации при нелинейной зависимости скорости фильтрации от градиента

напора. При этом рассматривается случай неизотропной среды, что приводит к нелинейному уравнению состояния с коэффициентами, зависящими как от градиента искомой функции, так и от координат. Пусть фильтрация следует нелинейному закону

У(х) = -К{х, = -К0{х)д{\Чи\2)Чи,

где функция К(.,.) удовлетворяет при всех х £ П, £ £ Я2 следующим условиям:

• К0{х) непрерывна;

• существует рс(£2);

• 0 < тп < 2+ К{х,£2) < М.

Пусть иа,1 определено как и ранее, а задача состояния в области П(а) имеет вид:

сКуУ(г) =0,16 П(а); и(х) = Яь х £ Гх; и(х) - Я2, х £ Г2;

и(г) = х2, х £ Г(а); У[х) • V = 0, х £ IV (Рк{а))

Существование единственного обобщенного решения задачи (Рдг(а)) при сформулированных предположениях хорошо известно. Определим множество й — {а £ 1/аа • у > 0 при п. вс. х £ Г(<т)}. Задача

■/„(«*) = шпМа) Ма) = ^ [ {У(х) ■ и)ЧТ

2г<*>)

где и [а] - решение (Рдг(а)), является задачей оптимального управления формой области.

Как и в главе 1 мы снимаем ограничение на состояние введением функционала со штрафом:

тт (70(а) + ¿«М«)). Ма) = / ([${*)• *]~)2 ¿Г,

Г(о-)

где \у(х) • - отрицательная часть У{х) • V.

Задача заменяется задачей отыскания седловой точки (и, д, х)

на УР(а) х ЬЦЩа)) х Ь1(С1(а)) расширенного лагранжиана.

Далее изучается сеточный аналог задачи, при этом как и в главе 1 считается, что область П полигональна, а ее триангуляция г(/г, а^) непрерывно зависит от ан 6

Сеточная аппроксимация расширенного лагранжиана имеет вид:

Ы г

Lh(uh,qh:Xh) = / К(х) f g{Ç2)£dÇdx + - f \Vuh-qh\2dx+ Лфк) 0 ОаС«Л)

+ / XhÎQh - Vuh)dx; uh € V,f, qh, Xh £ Wh (Lh)

iîh{ah)

Соответственно, сеточная аппроксимация функционала цели представлена формулой:

Л,/.(<*,,) = ^ / (Хл • j [(ха ■ ,

Г(Ы ГЫ

где ¿7/, - единичный вектор внешней нормали к Г(ад), хл(ж) ~~ третий компонент седловой точки лагранжиана Lh(uh,qh>Xh), Дискретная задача оптимизации формы состоит в следующем: найти a"h 6 Ugd такое, что

Jc,h(*h) < Vc*b е c/0V (8)

Введем в рассмотрение матрицы А, М, К, Di аналогично главе 1 и пусть Г' - звено ломаной линии Г(ад). Тогда лагранжиан (Lh) может быть записан в следующей форме:

Ьн{инЛх) = [к ]д(еы, lj + '-(Au, и) + ¿(Mq,q)~

-r ¿(Ди, g'') - ¿(Ди, x') + (Mx ■ g). (9)

¡=1 ¿=i

a сеточный функционал цели имеет вид:

J(a) = Jtlh(ah) = Е те^Ггрг(хеА), (10)

Г'СГ(ац)

Таким образом, состояние задачи определяется седловой точкой лагранжиана (9), целевой функционал имеет вид (10) и задача (8) эквивалентна следующей:

найти а* £ U такое, что

J(a") < J(a) для всех а е U. (И)

Пусть

гА0 -гОЪ -ЛГо

-гАо гМ 0 м 0

-г А 0 0 гМ 0 м

-Ао м 0 0 0

-Ао 0 м 0 0

Еу = Ех(а) = К,К,0,0), Си, = (0,5(д2)«(2),0,0)т,

/

А = А И

/

Тогда седловая точка функции Лагранжа (9) является решением системы

Е0(а)го + £?1(а)Оги - = 0. (12)

Теорема 2.1. При любом а £ и существует единственное решение задачи (12).

Теорема 2.2. При любом Л > 0, а £ V, решение системы уравнений (12) ги(а) непрерывно зависит от а.

Результаты Теорем 2.1, 2.2 вместе с теоремой о неявной функции позволяют установить существование решения сеточной задачи управления:

Теорема 2.3. При любом И > 0 существует решение задачи оптимального управления (11), т.е. решение а* £11 задачи (8).

Сопряженное состояние р £ ДР°+41: для задачи оптимального управления (11) определяется как решение системы

Е0(а)Р + Е^а)^ (и{а))Р = С, (13)

где С - производная Гато оператора С?, а вектор С определяется аналогично главе 1.

Теорема 2,4. Частные производные от функционала J(а) задаются равенством

±Ла) - «а) + (*§£<«) - Ц(сМа) - Ц,

г = 1,..., п,

где Р - решение задачи (13).

Глава завершается описанием процедуры решения задачи оптимизации формы.

Основные результаты диссертационной работы На защиту выносятся следующие основные положения диссертационной работы:

1. Постановка задач безнапорной фильтрации жидкости в виде задач оптимального управления и доказательство существования их решений.

2. Сеточные схемы, аппроксимирующие с формулированные задачи оптимального управления, обоснование их корректности, универсальный метод решения прямых и сопряженных задач, основанный на использовании функции Ланранжа.

3. Процедура решения и программы для расчетов задачи фильтрации с линейным законом.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1.Абушов О.Г., Лапин A.B. Решение задачи о плотине методом оптимизации формы области - Изв. ВУЗов. Математика. - 1995. -N.4 - С.12-22.

2. Абушов О.Г., Лапин A.B. Решение задачи о плотине методом оптимизации формы области: сеточная аппроксимация - Изв. ВУЗов. Математика. - 1996. - N 9. - С.3-18.

3. Абушов О.Г., Лапин A.B. Применение метода оптимизации формы области к решению задач нелинейной фильтрации в плотине -Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского, Казань, изд-во Казанского математического общества, 1998, с.134-140.

Введение

1 Решение задачи линейной фильтрации в плотине методом оптимизации формы области

1.1 Абстрактная задача оптимизации формы области и ее аппроксимация.

1.1.1 Постановка общей задачи оптимизации формы области и теорема существования решения.

1.1.2 Аппроксимации задачи оптимизации формы

1.2 Формулировка задачи с линейным законом фильтрации в плотине.

1.3 Постановка задачи фильтрации в плотине как задачи оптимизации формы области.

1.4 Разрешимость сформулированных задач оптимизации формы области.

1.5 Построение и исследование сеточных схем для задач оптимизации формы области.

1.5.1 Конечно-элементная аппроксимация задачи.

1.5.2 Материальные производные.

1.5.3 Анализ чувствительности, градиент функционала цели.

Для многих аспектов инженерной практики важное значение имеет решение задачи фильтрации жидкости через пористую среду. Задачи фильтрации со свободными или подвижными границами составляют существенную часть явлений, происходящих в природе, например, фильтрация через земляные плотины (дамбы), фильтрация из открытых источников (каналы, реки, озера, системы орошения и заполняемые водоемы), приток к колодцам.

При исследовании задач фильтрации с неизвестными границами используются различные подходы (см. монографии Полубариновой-Кочиной [14], Бэра [27] и обзоры Бруха [32, 33]). Большой вклад в развитие теории фильтрации внесла советская школа механиков, основоположниками которой являются Н.Е.Жуковский, Н.Н.Павловский, Л.С.Лейбензон и, в дальнейшем, В.И.Аравин, С.Н.Нумеров, П.Я.Полубаринова-Кочина. Разработанные ими аналитические и приближенные методы позволили исследовать и решить многие задачи фильтрации несжимаемой жидкости, в том числе задачи безнапорной фильтрации со свободными границами. Как правило, эти исследования были посвящены задачам фильтрации, следующим закону Дарси.

Закон Дарси, приводящий к линейному уравнению фильтрации, имеет пределы применимости и во иногих случаях описание процесса движения воды в пористой среде линейным законом не дает адекватного отражения реального физического процесса. Актуальным становится исследование фильтрации за пределами применимости закона Дарси, когда связь между скоростью фильтрации и градиентом напора выражается нелинейным законом.

Первые теоретические исследования, заложившие основы теории нелинейной фильтрации в гидродинамической постановке, выполнены С. А. Христиановичем. Дальнейшее развитие теория и методы решения таких задач получили в работах С. Н. Нумерова, В. М. Ен-това, Ю. М. Молоковича, Н. Б. Ильинского, А. В. Костерина, Н. Д. Якимова, Р. Б. Салимова, Э. В. Скворцова, Е. Г. Шешукова и их учеников. В этих работах в основном изучались задачи т.н. напорной фильтрации. В большинстве случаев был использован метод преобразования исследуемой задачи в плоскость годографа.

Математическими моделями задач нелинейной напорной фильтрации в постановке в физической плоскости служат квазилинейные эллиптические уравнения с коэффициентами, зависящими от градиента искомой функции. В такой постановке эти задачи были изучены в работах А.Д.Ляшко, М.М.Карчевского, А.В.Лапина, И.Б.Бадриева. При этом исследованы и задачи с т.н. предельным или начальным градиентом сдвига и с "разрывным" законом фильтрации, приводящие к появлению неизвестной (свободной) границы, разделяющей область течения и застойную зоны. Были решены проблемы существование решения, построены и изучены сеточные методы решения.

В 1971 году К.Байокки [23] сформулировал задачу установившейся фильтрации жидкости, подчиняющейся закону Дарси, через прямоугольную плотину в виде вариационного неравенства в фиксированной области. В его подходе искомая функция (давления) в а priori неизвестной области продолжается за свободную границу и в качестве новой неизвестной используется т.н. гидравлический заряд, получаемый с помощью преобразования, названного затем преобразованием Байокки.

Подход Байокки позволил получить теоретические результаты по существованию, единственности и гладкости решения и свободной границы. Более того, формулировка задачи в фиксированной области позволила строить и применять для ее численного решения достаточно стандартные приближенные методы, в том числе методы конечных разностей и конечных элементов на фиксированных сетках. Численная реализация этих сеточных схем сводится к известной задачи квадратичного программирования с простыми ограничениями.

В 1979 году Г. В. Альт [20] и, независимо, X. Брезис, Киндерлерер, Г. Стампаккья [30] предложили новую вариационную формулировку задачи о линейной фильтрации в плотине произвольной геометрии при произвольной неоднородности материала плотины. Был доказан результат о существовании обобщенного решения. Позже в работе Корильо-Менендеса и Шипо [36] была изучена проблема единственности этого решения. Г. В. Альт [21] исследовал также схему МКЭ для общей задачи фильтрации и получил первые результаты по сходимости сеточных аппроксимаций и обосновал итерационный метод решения сеточной задачи о плотине типа нелинейного метода Зей-деля. Впоследствии были исследованы и более эффективные методы решения этой сеточной задачи [41],[29].

Задачи нелинейной безнапорной фильтрации существенно сложнее как задач безнапорной фильтрации, следующей закону Дарси, так и нелинейных задач напорной фильтрации. Эти задачи, в том числе при наличии предельного градиента и "разрывного" закона фильтрации, были поставлены в форме вариационных неравенств в фиксированной области и теоретически исследованы в работе А.В.Лапина [8].

В настоящее время существуют два основных подхода к решению задачи о плотине, т.е. задачи фильтрации несжимаемой жидкости через пористую преграду под действием силы тяжести - метод вариации свободной границы и метод преобразования к вариационному неравенству в фиксированной области.

Известно, что свободная граница - депрессионная поверхность - и в особенности участок высачивания, определяемый по свободной границе, представляют наибольший практический интерес. При численном решении вариационных неравенств свободная граница определяется на основе апостериорной обработки полученного приближенного решения. В связи с этим для ее достаточно точного определения требуется использовать либо специальные методы апостериорной обработки информации, недостаточно разработанные к настоящему времени, либо решать задачу с использованием численных методов высокого порядка, что приводит к существенному повышению трудоемкости численного решения.

Метод вариации свободной границы позволяет уточнять ее положение непосредственно в процессе решения задачи. Суть этого метода состоит в последовательном приближении к свободной границе на основе решения краевой задачи для дифференциального уравнения в очередном приближении к искомой области фильтрации. При этом в постановке краевой задачи участвует одно из двух условий на неизвестной границе, а второе условие используется в процедуре уточнения положения этой границы. Решение последовательности задач в варьируемой области приводит к "удорожанию" процедуры численного решения. Эта проблема при сеточном решении задачи частично снимается за счет модификации узлов сетки лишь в небольшой части области, примыкающей к варьируемой границе.

Различные варианты метода вариации свободной границы давно используются в практике решения задач фильтрации. Однако, в большинстве случаев их применение основано на некоторых эмпирических соображениях и теоретически не обосновано. Кроме того, условие высачивания жидкости через низовой откос плотины не контролируется, что может привести к "нефизическим" решениям. Более строгим является подход, основанный на постановке задаче со свободной границей как задачи оптимального управления областью. При таком подходе мы фактически реализуем метод вариации свободной границы, когда "направление" вариации указывается на основе градиентной информации для функционала цели. Это дает возможность обосновать сходимость приближений к точке локального минимума функционала цели.

Теория и применение методов оптимального управления системами с распределенными параметрами (т.е. системами, описываемыми уравнениями и вариационными неравенствами с частными производными, интегро-дифференциальными уравнениями, задачами оптимизации) являются одним из наиболее важных и актуальных разделов чистой и прикладной математики. В нашей стране первые исследования в этой области были проведены А.Г.Бутковским [5],К.А.Лурье [13], Т.К.Сиразетдиновым [15]. Известны математические монографии по теории оптимального управления Ж.-Л.Лионса [11] и В.Барбу [26].

Теория оптимизации формы области представляет собой одно из направлений в теории оптимального управления. Данное направление получило значительное развитие в последние два десятилетия. Это прежде всего относится к общей математической теории, анализу чувствительности и решению конкретных задач оптимизации форм в механике деформируемых тел. Среди известных монографий по этой тематике можно перечислить книги О.Пиронно [42] , Хог Э., Чой К., Комков В.[18], Я. Хаслингер, П. Нейттаанмяки [17]. Успехи в развитии теории оптимизации формы области обеспечены достижениями в теории вариационных задач с неизвестными (свободными) границами, теории и методов решения вариационных неравенств. Наибольшее црименеие методы оптимизации формы имеют при оптимальном проектировании конструкций, в особенности при компьютеризации процессов проектирования. Совместно с технологией метода конечных элементов и машинной графики - это путь к полной компьютеризации процесса проектирования.

В работе [28] впервые метод оптимизации формы области был применен к решению задачи со свободной границей - решена простейшая задача фильтрации в прямоугольной плотине. Подход к решению более общей задачи указан в [38], при этом теоретическое обоснование не было проведено.

В диссертации предлагается отличный от [38] метод решения. Основное отличие состоит в том, что в функционал цели включается ¿2-норма нормальной компоненты скорости фильтрации на варьируемой границе вместо И^ нормы как в [38]. Это дает возможность строить более простые в реализации сеточные аппроксимации задачи. Для формулировки задачи оптимального управления с использованием ¿2нормы нормальной компоненты скорости фильтрации требуется соответствующая регулярность решения и свободной границы. Такая регулярность доказана в диссертации в случае линейного закона фильтрации и предполагается в случае нелинейного закона.

Методы решения задач со свободными границами, основанные на их формулировке в виде вариационных неравенств в фиксированной области, являются на данный момент наиболее универсальными. В совокупности с сеточными методами аппроксимации (методы конечных элементов и конечных разностей) и численными методами нелинейной оптимизации они образуют мощный инструмент решения задач со свободными границами в многомерных областях сложной геометрии. В то же время, методы вариации свободной границы, основанные на теоретически обоснованной постановке задач в виде задач оптимального управления, дают возможность высокоточного определения свободной границы как одного из основных составляющих решения задачи. Бесспорно, что совместное использование этих двух подходов может стать эффективным средством решения упомянутых задач. Именно, первоначальное решение задачи в фиксированной области с предварительным, достаточно грубым, определением свободной границы и ее последующее уточнение методами оптимизации формы области (возможно, лишь вблизи некоторых особых подобластей, таких как нижний бьеф плотины, скважина, дрена и др.) позволяют строить "недорогие" приближенные методы высокой точности. Все вышесказанное определяет актуальность разработки и исследования методов оптимизации формы области для задач со свободными границами.

Цели диссертационной работы:

1. Математическая формулировка задач фильтрации несжимаемой жидкости в плотине при линейном и нелинейном законах фильтрации в виде задач оптимизации формы области; теоретическое исследование поставленных задач.

2. Построение и исследование сеточных аппроксимаций сформулированных задач оптимального управления; развитие и применение алгоритмов оптимизации к численному решению конечномерных аппроксимаций.

3. Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для модельных задач.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем:

1. Предложена новая постановка задач фильтрации жидкости со свободными границами в виде задач оптимизации формы области; обоснована корректность сформулированных задач в случае линейного закона фильтрации.

2. Предложен и обоснован новый подход к решению сеточных аппроксимаций прямой и сопряженной задач оптимального управления, основанный на использовании модифицированной функции Лагранжа и примененный к задачам с линейным и нелинейным законами.

Достоверность сформулированных теоретических результатов обеспечена строгими доказательствами. Достоверность численных расчетов обусловлена хорошим совпадением результатов с известными.

Научное и практическое значение работы. Диссертационная работа содержит в основном теоретические результаты. Ее основное научное значение состоит в том, что предложен и исследован новый численный метод решения задач фильтрации со свободными границами, основанный на их сведении к задачам оптимального управления областью.

Вместе с тем, разработанные алгоритмы и программы могут быть включены в комплекс прогаммных средств, предназначенных для решения практических задач со свободными границами.

Структура диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

2.5 Основные результаты и выводы.

Методы оптимизации формы области применены к решению нелинейной задачи фильтрации со свободной границей. Исследована корректность построенной сеточной схемы для задачи оптимального управления. Построена и изучена сеточная задача для определения сопряженного состояния и получены формулы для вычисления градиента функционала цели. Построены расширенные лагранжианы для прямой и сопряженной задач, что позволяет применять известные методы нелинейной оптимизации при решениии поставленных задач. Описана процедура численного решения задач оптимизации формы области.

Для задачи фильтрации жидкости в плотине с нелинейным законом фильтрации предложен и обоснован новый метод численного решения. По сравнению с используемыми методами решения сеточных вариационных неравенств, аппроксимирующих рассматриваемую задачу фильтрации, он обладает преимуществом по точности определения свободной границы.

1. Абушов О.Г., Лапин A.B. Решение задачи о плотине методом оптимизации формы области - Изв. ВУЗов. Математика. -1995. - N.4 - С.12-22.

2. Абушов О.Г., Лапин A.B. Решение задачи о плотине методом оптимизации формы области: сеточная аппроксимация Изв. ВУЗов. Математика. - 1996. - N 9. - С.3-18.

3. Абушов О.Г., Лапин A.B. Применение метода оптимизации формы области к решению задач нелинейной фильтрации в плотине- Труды Математического центра им. Н.И.лобачевского, Казань, изд-во Казанского математического общества, 1998, /б"/- ¡<?Ъ

4. Байокки К., Капелло А. Вариационные и квази-вариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

5. Бутковский А.Г .Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами МгНаука, 1965.

6. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях УМН. - 1983.- Т.38. N2. - С.3-76.

7. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. 2-е изд. - М.: Наука, 1973.

8. Лапин A.B. Обобщенное решение задачи нелинейной фильтрации жидкости в пористой среде Докл. РАН - 1998 - т.361, 2, С. 158160.

9. Лапин A.B. Метод расширенного лагранжиана для задач фильтрации с предельным градиентом Сб."Выч.процессы и системы", вып.6, М:Наука, 1988, С.192-198.

10. Лапин A.B., Шешуков Е.Г. Задача фильтрации через пористую преграду на проницаемом основании со слоем соленой воды -Изв. ВУЗов. Математика. 1999. - N 10. - С.9-18.

11. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными М:Мир, 1972.

12. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач М:Мир, 1972

13. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики М:Наука, 1975.

14. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод -М:Наука, 1977.

15. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами М:Наука, 1977.

16. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990.

17. Хаслингер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения. М.: Мир, 1992.

18. Хог Э., Чой JL, Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций М:Мир, 1988.

19. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы- М:Мир, 1979.

20. Alt H.W. Strömungen durch inhomogene poröse Medien mit freiem Rand- J. reine und angew. Math. 1979 - Bd.305. - S.89-115.

21. Alt H.W. Numerical solution of steady-state porous flow free boundary problems Numer.Math. 1980. V.36, P.73-98.

22. Alt H.W., Gilardi G. The behaviour of the free-boundary for the dam problem-Ann. Scoula norm, super. Pisa. CI. Sei. 1981. - V.4. - N9.- P.571-625.

23. Baiocchi C. Su un problema di frontiera libera connesso aquestioni de idraulica Ann. mat. pura ed appl. - 1992.- N4. - P.107-127.

24. Baiocchi C., Comincioli Т., Magenes E., Pozzi G.A. Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous media: existence and unequeness theorems Ann.Mat.Pura Appl., 1973. V.97, N.4, P.l - 82.

25. Baiocchi C., Comincioli T., L.Guerry, G.Volpi.Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous media: a numerical approach Calcolo. 1973. V.10, N.l, P.l-86.

26. Barbu V. Optimal control of variational inequalities -London:Pitman Advanced Publishing Program, 1984.

27. Bear I. Dynamics of fluids in porous media New York.: Amer. Elsevier, 1972.

28. Begis D., Glowinski R. Application de la méthode des éléments finis à l'approximation d'un proléme de domaine optimal. Méthodes de résolution des problèmes approchés- Appl. Math, and Optim. 1975.- V.2. N2. - P.130-169.

29. Bolrath C. Two multi-level algorithms for the dam problem -Math.Institut Ruhr, Bochum, 1985, Preprint N.45.

30. Brezis H., Kinderlehrer D., Stampacchia G. Sur une nouvelle formulation du problème de Vécoulement a travers une dique -Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 1978. - V.287. - P.711-714.

31. Brezzi F, Gilardi G. Fundamentals of P.D.E. for numerical analysis.- Pavia, Istituto di Analisi Numerica, 1984.

32. Bruch J.C. Jr. Fixed domain method for free and moving boundary flows in porous media- Trans, in Porous Media. 1991. - V.6. -P.627-649.

33. Bruch J.C. Jr. A survey of free boundary value problems in the theory of fluid flow through porous media: variational inequality approach -Adv.Water Resourc., 1980, V.3, Part 1, P.65-80, Part 2, P.115-124.

34. Bruch J.C. Jr. Three-dimensional free and moving boundary seepage problems solved using an integral transformation in a fixed domain method Proc. of Conf. Solving Ground Water Problems with Models, Feb.10-12, 1987, Denver,Colo., 1, P.575-588.

35. Carillo-Menendes J., Chipot M. Sur l'unicité de la solution du problème de l'écoulement à travers une digue C.R.Acad. Sei.Paris, 1981, T.292, P.191-194.

36. Chenais D. On the existence of a solution in a domain identification problem J. Math. Anal, and Appl. - 1975. - V.52. - N2. - P.189-219.

37. M.Fortin,R.Glowinski. Augmented Lagrangians. -North Holland: Amsterdam, 1983.

38. Haslinger I., Mäkinen R. On the numerical solution of the dam problem Report N7, University of Ijvärskylä, Finland. - 1991. -15 p.

39. Haug E.J., Cea J.(eds.) Optimization of distributed parameter structures, Part 1,2 Nato Advanced Study Institute Series, Series E - Sijthoff- NoordhofF: Alphen aan den Rijn, 1981.

40. Hlavacek I. Optimization of the domain in elliptic problems by the dual finite element method Apl. Mat. - 1985. - V.30. - N1. - P.50-72.

41. Pietra P. An up-wind method for a filtration problem- RAIRO, Anal.Numer., 1982, V.16, P.463-481.

42. Pironneau O. Optimal shape desing for elliptic systems. New York.: Springer-Verlag, 1983. 165 p.

43. Sokolowski J., Zolezio J.P. Introduction to shape optimization. Shape sensitivity analysis 1989.

44. Zolezio J.P. The material derivative (or speed) method for shape optimization in: Haug E.J., Cea J.(eds.), P.1089-1151.