автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Решение оптимальных задач коррекции траекторийкосмических аппаратов при ограничениях на корректирующие импульсы

с

На правах рукописи УДК 519.852:629.78

/

Пак Чже Ву

Решение оптимальных задач коррекции траекторий космических аппаратов при ограничениях на корректирующие импульсы

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва, 1997

Работа выполнена в Институте космических исследований РАН

Научный руководитель: к.ф.-м.н. Бахшиян Б. Ц.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Матасов А. А. доктор технических наук Белоусов Л. Ю.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита диссертации состоится " 1997 г. в часов на заседа-

нии диссертационного совета^с^ в ИПУ РАН в конференц-зале Ин-

ститута по адресу: 117806, Москва, ул. Профсоюзная, 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН.

Автореферат разослан маЯ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н. С. А. Власов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Практическая и теоретическая актуальность темы обусловлена следующими обстоятельствами.

1. Часто возникают ситуации: когда имеются технические ограничения на величину импульсов коррекции.

2. При малом пороге на величину импульса программа коррекции достаточно хорошо моделирует коррекцию траектории с двигателем малой тяги , что позволяет использовать эффективные алгоритмы линейного программирования для решения задач коррекции с малой тягой.

3. При уменьшении порога на величину импульса в оптимальной программе идеальной коррекции увеличивается число импульсов. Это при наличии неучитываемых ошибок исполнения импульсов приводит к уменьшению влияния этих ошибок на корректируемые параметры из-за взаимной компенсации некоторых составляющих ошибок исполнения.

4. Создание эффективного алгоритма коррекции параметров траектории с ограничениями дает позволяет использовать его при разработке космических проектов для выбора того или иного варианта коррекции, оценок ошибок линеаризации и исполнения импульсов при вычислении программы коррекции и иных теоретических разработках.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных алгоритмов решения задач коррекции с ограничениями и получения свойств этих решения путем аналитических и численных исследований.

Научная новизна работы:

1. Обоснован и построен эффективный алгоритм решения задачи идеальной коррекции с ограничениями на величины импульсов в случае, когда используются шесть двигателей. Найдены максимальные значения корректируемых параметров, при котором коррекция может считаться линейной.

2. Доказана ошибочность утверждений работ [1,2] о возможности применения алгоритмов, решающих задачу ОЛИК без ограничений, для решения этой задачи с ограничениями.

3. Построена теория и создан эффективный алгоритм решения задачи идеальной коррекции с ограничениями на величину импульса в случае, когда используются шесть двигателей.

4. Проведены массовые численные расчеты для задач коррекции траекторий ИСЗ и траекторий полета к Луне и Марсу. На основании этих расчетов сделаны следующие выводы:

а) показано, что допустимая величина порога импульсов слабо влияет на величину суммарного импульса, а увеличивается лишь число этих импульсов.

б) показано, что уменьшение порога часто приводит к уменьшению влияния неучитываемых ошибок исполнения импульсов и в этих случаях численно найдены оптимальные значения порога, для которых это влияние минимально.

Практическая ценность Ценность работы обусловлена тем, что получение результатов является основной для оптимальной использования систем коррекции траектории космического аппарата(КА) с малыми импульсами или импульсами малой тяги.

Результаты диссертации нашли применение при разработке проекта полета к Марсу с двигателем малой тяги.

Достоверность результатов основана на корректном применении теоретических методов выпуклого анализа и эффективных алгоритмов линейного программирования для решения реальных задач коррекции космических аппаратов, а также на сравнении полученных результатов с ранее известными.

Публикации: По результатам диссертации опубликовано 4 печатные работы.

Апробация работы: Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в ИКИ РАН и МАИ.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из 3 глав(1 глава - введение), заключения, списка литературы. Содержит страниц 54 текста, 33 рисунков, I таблицы, список литературы на 2 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Здесь представлена общая постановка задачи и дан обзор имеющихся работ по теме диссертации. Один из первых авторов, рассматривающих линейную модель в задаче импульсной коррекции был Платонов[3] и Платонов, Дашков и Кубасов[4]. Аналогичные исследования проводились также в работе Стерна и Поттера[5]. В этих работах была рассмотрена задача оптимальной линейной идеальной коррекции (ОЛИК) без ограничений на импульсы при условии, что коррекция проводится одним двигателем, ориентируемым в пространстве. Было показано, что имеется оптимальная программа коррекции, дня которой число импульсов не превосходит числа т корректируемых параметров и для случаев т = 2 и тп = 3 дана геометрическая интерпретация алгоритма. Она заключается в том, что строится выпуклая оболочка множеств влияния каждого импульса (эти множества - эллипсоиды) и находится точка пересечения вектора корректируемых параметров с этой оболочкой. Однако алгоритм решения задачи ОЛИК впервые был разработан в работе Лидова [1], где эта задача сведена к обобщенной задаче линейного программирования (ЛП), которая эффективно решается симплекс-методом с некоторой модификацией.

После этого исследования такого рода проводились в основном рядом российских исследователей Лидова, Бахшияна, Кузьминых, Назирова, Тимохо-вой [2,6-7, 9] и др. Однако задача при ограничениях на величину корректирующих импульсов исследовались мало. Нам известно только работа [11]. В ней рассматривается задача минимизации суммарного расхода топлива. При этом указано (без строгого математического обоснования), что эта задача сводится к задаче ЛП с двухсторонними ограничениями.

Гйава 2. Во второй главе рассматривается задача линейной идеальной коррекции параметров ИСЗ в случае использования шести жестко связшишх с ИСЗ двигателей и при дополнительном ограничении на модуль каждого импульса. Исследуется задача линейного программирования с двусторонними ограничениями, к которой сводится оптимальная задача коррекции. Приводятся результаты численных экспериментов и выясняется область возможного использования линейной модели коррекции. Показывается, что допустимая величина порога импульсов слабо влияет на величину суммарного импульса, а увеличивается лишь число импульсов.

Раздел 2.1. Постановка задачи и алгоритм сс решения. Будем считать, что коррекция траектории ИСЗ осуществляется путем включения двигателей, направленных вдоль трех взаимно перпендикулярных осей, которые жестко связаны с ИСЗ. Пусть число возможных моментов коррекции равно я, п = Зд - число возможных импульсов (в каждый момент времени проводится по три импульса), а щ, 1 = 1 ,...,л - указанные скалярные импульсы, где нумерация импульсов является сплошной.

Рассмотрим линейную модель коррекции:

¿и,В( = Ь, (1)

где Ь - требуемое изменение вектора корректируемых параметров, а вектор Ц характеризует влияние < -го импульса на корректируемые параметры. Влияние ошибок, возникающих вследствие замены истинной модели коррекции на линейную модель, исследуется в п.2.3. Будем считать, что величины и, ограничены по модулю:

\щ\<М,, < = 1.....п. (2)

где М, - заданный порог. Рассмотрим задачу минимизации суммарного расхода топлива. Она сводится к нахождению минимума

£ = ттХ|и(| (3)

к, <=]' '

при условиях (1), (2).

Сведение задачи (3) к задаче ЛП. В диссертации показано, что задача (3) сводится к следующей задаче линейного программирования (ЛП)

/, = тт| + и.): -иАВ,=Ъ, М,>и1> О, М,>и~ > 0, / = !.....л[, (4)

1=1 )

При этом решение задачи (3) получается из решения задачи (4) по формулам

{и,+, если щ = О, I | I и"., если и7 =0,

' = 1 -и,, если щ =0, , если и, =0,

Таким образом, решение задачи оптимальной коррекции (3) сводится к задаче ЛП (4) с двусторонними ограничениями. Введем кратко некоторые понятия, соответствующие этой задаче. Допустимое решение задачи (4) называется базисным, если линейно независимы векторы В,,.условий (нумерация векторов условна), которые соответствуют ее переменным удовлетворяющим строгим неравенствам 0<и*, ,и~ <МГ Число к таких векторов, очевидно, не превосходит т. Любые т линейно независимые векторы В,,...,Вт включающие векторы В1,...,Вк, образуют базисную матрицу В (базис). Невырожденному допустимому базисному решению(ДБР) соответствует только один базис, а вырожденному ДБР может соответствовать некоторое множество базисов. Если й=т, то ДБР будем называть невырожденным, в противном случае - вырожденным. Согласно теории ЛП, существует оптимальное ДБР, которое ищется симплекс-методом за конечное число шагов [8].

Таким образом, мы можем найти оптимальное решение задачи (3), которому соответствует проведение не более т импульсов, величины которых строго меньше своего порога М,, и некоторого числа импульсов с величиной, равной своему порогу. Отметим, что при увеличении порога число последних импульсов будет сокращаться и станет равным нулю при достаточно большом пороге, так как задача (3) превращается в задачу коррекции без ограничений.

Задача (3) может быть решена также при помощи метода генерации столбцов, разработанного для решения задачи коррекции с целевой функцией более общего вида (см. глава 3). Однако, рассматриваемый здесь алгоритм является более простым, так как в отличиеот алгоритма, предложенного в главе 3, позволяет находить ДБР за конечное число итераций симплекс-метода.

Раздел 2.2. Численные эксперименты решения задачи коррекции.

Раздел 2.2.1. Здесь приводится пример для задачи коррекции ИСЗ. Рассмотрим задачу оптимальной коррекции орбитальных параметров ИСЗ, определяющих конфигурацию и ориентацию орбиты. Корректируемые параметры следующие: га - радиус спутника в апогее, гр - радиус спутника в перигее,га - аргумента перигея; 1 - наклонение орбиты; П - долгота восходящего узла орбиты. Импульсная коррекция выполняется реактивными соплами, которые дают импульсы в следующих направлениях; - вдоль вектора скорости; Ур - перпендикулярно вектору скорости; Уп - по нормали к плоскости орбиты.

Требуемые изменения параметров орбиты Дг„, Дг^.Дш, Д1,ДО предполагаются малыми, так что мы можем сформулировать задачу (3). Подробнее вопрос о возможности линеаризации рассмотрен в разделе 2.3. Используя эксцентрическую аномалию £, запишем задача (3) в виде

¿ = (5)

при условиях

¿{ А(Е1)АУ' +В(£')Д^ +С(Е')ЛК.' }=Ь (6)

где Ь - пятимерный вектор требуемых изменений корректируемых параметров; 3 х 5-матрицы А(«),В(«),С(») вычисляются согласно [9]. Ограничения на величину импульса будем задавать в виде

|ДУ„|<М, \йУр\<М, |ДУ„| <М. (7)

При проведении расчетов приняты следующие значения начальных элементов орбиты : а = 42167,6к*, е = 0,0005, и = 90°, П = 90°, ¿ = 0'05.

Коррекция конфигурации орбиты. Требуемые изменения параметров орбиты

Дга = -\4$Акм, Агр = 6,54 лаг, Д<о = 0°, Д£1=0°, дг = 0°.

Рассмотрим сначала задачу без ограничений на величины импульсов. Для этого нужно задать достаточно большое М. Указанные выше требуемые изменения соответствуют получению круговой орбиты в результате коррекции. На рис.1 приведены решения задачи (5) без ограничений на импульсы для совместного случая, в котором корректируемыми параметрами являются радиусы апогея н перигея. Во всех решениях ненулевыми оказались только компоненты +К„, прилагаемые в апогее, и -У„, прилагаемые в перигее. Эти решения совпадают с результатами решения точной задачи коррекции, полученными из условия максимума гамильтониана[10]. Выберем теперь М=0,01л/с. Из рис.2 видно, что если тяга ограничена, то это требование удовлетворяется путем многократного включения тяги в окрестностях оптимальных импульсов, полученных для задачи без ограничений.

ООО 60.00 123 00 18000 240.00 30000 360.00 0.00 60.00 12)00 180.00 ЭЮ.00 зоооо эбаоо

Е(срад.) Е(гр,д.)

Рис. 1. Совместная коррекция радиусов Рис. 2. Совместная коррекция радиусов

апогея и перигея без ограничений. апогея и перигея при ограничениях.

Коррекция ориентации орбиты. Требуемые изменения параметров орбиты Агч = 0км, Агр=0км ,До = 0°, ДП = 3°, Д/ = -0,001°. На рис.3 приведены результаты решения пространственной задачи коррекции без ограничений. На нем изображен только Кп и Для коррекции узла орбиты появляются составляющие Ув, корректирующие аргумент перигея. В задаче с

VV(M/CI 1

Vn( 1 VV(M/C) м/с)

ООЭ 6000 12000 18000 24000 ЭООСО 360 00

Е(град)

Рис. 3 Совместная коррекция наклонения наклонения и узла без ограничений.

Vn(M/cl W(ч/с)

Vn(u/c) Щ*/с)

ООО 6000 12000 18000 24000 30000 36000 Щград)

Рис. 4, Совместная коррекция и узла орбиты при ограничениях.

ограничениями при М = 0,01 л/с, как показано на рис. 4, в отличие от плоской задачи видно, что при уменьшении порога М увеличиваются интервалы коррекции, которые включают точку Е*0° траектории, в то время, как при достаточно большом пороге коррекция в этой точке не проводится. Как показано выше, двухимпульсная коррекция в точке £«180° и £»0* сводится к уменьшению скорости только по нормали к плоскости орбиты.

Раздел 2.2.2. Здесь рассматривается задача достижения Луны и Марса при помощи серии ограниченных по модулю импульсов. Для того, чтобы выявить основную закономерность задачи коррекции (4) при полете к Луне, используется упрощенная модель движения. Будем считать Луну непритягивающей точкой, совпадающей с центром Луны и движущейся по круговой орбите радиуса гл = 384000кж. Будем рассматривать движение космического аппарата(КА) до пересечения сферы действия Луны. Траектории КА и Луны считаются компланарными.

Рассмотрим движение КА на временном интервале движения Я, который определяется условием

в-={«:«,...М (8)

где t - текущее время, f, и f, - заданные моменты старта и финиша. Пусть V, есть начальная скорость с радиусом-вектором г, на момент В соответствии с целью достижения Луны в качестве вектора корректируемых параметров будем рассматривать вектор координат КА г(t,), заданный в момент tt. Тогда требуемое изменение корректируемого вектора есть

b = r,-r(t.) (9)

При этом матрица влияния B(t) равна матрице изохронных производных

первого порядка в задаче двух тел.

Таким образом, решается следующая задача коррекции:

£ = тт2т{|дГ,(ф|дУ-,(0[} (10)

при условиях

где М - заданный порог.

Результаты вычислений. В полярной системе координат изображены

приведены решения задачи (10) для четырех случаев, в которых величинами К, и направлениями ф начальной скорости и углом положения вл Луны соответственно являются :

А) 10.9км/с, ф = 112.5°, 135°; В) V,= 10.9km/c, ф = 180°, 8Д= 270°; С) К,= 11.0км/с, ф = 112.5°, 0„= 135°; D) Г,=11.0км/с, ф = 180°, 0д = 270°.

1

-0.5

з £ с

1-0.5

-1.5

/\ЧА беэкЬровкции — с коррекциями —

орбита Луны Земля 1 8 / 4>ерв действия Лум

?

<* 0.5

"Я

0

с;

s

% -0.5

s Р

> -1

-1.5

без коррекции- сюрренфмми

орбита Луны Д сфера дейспия Лун*

-1.5

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 X (растоянив Луш от Земли) Рис. 5 (а) Траектории достижения Луны при начальной скорости 10.9 км/с.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 15 X (растояние Луны от Земли)

Рис. 5 (б) Траектории достижения Луны при начальной скорости 11.0 км/с.

Во всех решениях ненулевыми оказались компоненты Ух,Уу и все коррекции проводятся в диапазоне 25% общего времени перелета. В задаче с ограничениями помимо случая "А" импульсы «размазаны» в окрестности моментов проведения оптимальных импульсов в задаче без ограничений, как это было в задаче коррекции ИСЗ. На рис.5 показано, что для достижения Луны может быть использована оптимальная программа коррекции с достаточно малым порогом на величину корректирующих импульсов.

В задаче достижения Марса приведены решения задачи (10) для четырех случаев, в которых величинами V, начальной скорости соответственно являются 0,0 км/с, 2,0 км/с, 3,0 км/с и 4,0км/с.

Раздел 2.3. Влияние ошибок, возникающих вследствие замены истинной модели коррекции на линейную модель. Пусть А - корректируемый параметр траектории, ДА,. - его требуемое изменение, Ар - значение этого параметра после коррекций, вычисленное согласно истинной модели движения, - его начальное значение. Учитывая допуск 5%, запишем следующее условие:

ДА = ДАТ-(АР-А0)^^. (12)

По каждому элементу увеличивая или уменьшая требуемое изменение, найдем максимальное изменение ДАГ, удовлетворяющее равенству в (12). Рассмотрим результаты вычислений для случаев, когда корректируется требуемое изменение только параметра А, а остальные параметры в линейной модели коррекции не рассматриваются. Однако при использовании корректирующих импульсов, рассчитанных для линейной коррекции, в истинной модели движения произойдет некоторое изменение некорректируемых в линейной модели параметров. Расчеты показывают, что эти изменения пренебрежимо малы. Указанные выше максимальные изменения ДАТ равны: Ддт = 2675км, Д£1Г =23°, ¿¿г =42°5.

Раздел 2.4. Влияние ошибок исполнения коррекции на ее качество. Приводимые выше результаты вычислений показывают, что в широком диапазоне изменения порога его значение слабо влияет на величину корректирующего импульса и на точность линеаризации модели коррекции. Однако наличие

о

неучитываемых нами ошибок исполнения импульсов может привести к фактической коррекции вектора Ь+6Ь вместо вектора Ь. Оценим величину 66 с помощью численного эксперимента. При этом примем следующую реальную модель исполнения ошибок импульсов. Реальная зависимость ошибки 5 и исполнения импульса от расчетного корректирующего импульса достаточно точно моделируется соотношением [2]: би = (р,|ц|+рг)у+(р,|и|+р4)г|, и * 0 , где у-единичный вектор вдоль направления импульса, п - случайный единичный вектор, ортогональный импульсу, а коэффициенты pi - случайные величины, которые определяют соответственно влияние следующих ошибок:

- ошибки вдоль направления импульса, пропорциональной его величине;

- ошибки вдоль направления импульса, не зависящей от его величины;

- угловой ошибки ориентации корректирующего импульса;

- ошибки стабилизации, перпендикулярной корректирующему импульсу и не зависящей от его величины.

Значения величин р, моделировались как случайные числа, равномерно распределенные на интервалах где = 0.002, =0.001л/с, =0.001,

(¡^ =0.1 град.

Результаты вычислений для различных значений порога приведены на рис.6 для случая когда корректируется только один параметр ИСЗ га. Они показывают, что при задании соответствующего порога величины корректирующих импульсов использование оптимальной программы коррекции позволяет уменьшить влияние ошибок исполнения на качество коррекции. Это с тем, что при изменении порога в интервале суммарный импульс мало меняется. В то же время, если мы возьмем значение порога, то ошибка исполнения будут в 10-20

Глава 3. Здесь рассматривается задача линейной идеальной коррекции параметров системы при использовании одного двигателя и ограничениях на модули векторов корректирующих импульсов. Показывается, что эта задача сводится к обобщенной задаче линейного программирования, которая может быть решена столь же эффективно, как и обычная задача линейного программирования. Приводятся примеры коррекции орбиты ИСЗ, демонстрирующие эффективность предлагаемого метода. Для них показывается, что если ограничить величины корректирующих импульсов одной константой, то при уменьшении этой константы почти до ее минимально возможного значения не происходит значительного увеличения суммарного расхода топлива, а увеличивается лишь количество импульсов. Это означает возможность проведения непрерывной коррекции с двигателем малой тяги, столь же эффективной как и импульсной

коррекции, которая моделирует коррекцию с двигателем большой тяги на малом интервале времени. Приводятся некоторые обобщения, связанные с видом целевой функции.

Раздел 3.1. Постановка задачи невозможность ее решения методом, используемым в ряде работ для задачи без ограничений на импульсы. Рассмотрим задачу обобщенной линейной импульсной коррекции(ОЛИК)[1,2], считая ее идеальной, т.е. не имеющей ошибок исполнения импульсов. Пусть Ь е 91™ - корректируемый вектор, в, ей"'- корректирующие импульсы, В, - т х п,-матрицы влияния 1-го импульса на корректируемый вектор,. <= 1,..„п. Величина п, есть число независимых параметров коррекции.

Рассматривая далее в качестве приложения импульсную коррекцию космического аппарата, заметим, что если может быть реализовано любое направление импульса в трехмерном пространстве, топ,=3. Если задана плоскость или прямая, которым должен принадлежать этот импульс, то л, равно двум или единице. В линейной идеальной коррекции импульсы должны находиться из условия

¿В, «,=*>• (13)

м

Кроме этого будем предполагать, что

и,е(Ц ¿ = 1.....п, (14)

где Щ - замкнутые выпуклые множества.

В межпланетных перелетах обычно проводится коррекция с использованием одного двигателя после соответствующей ориентации космического аппарата в пространстве. Этому способу соответствует модельная функция энергических затрат на исполнение I -го импульса равная евклидовой норме |и,|| векторов и,. Изложение ниже ведется для этого случая, однако все результаты справедливы, с некоторый модификацией, для рассмотренного в диссертации случая, когда.затраты на 1-й импульс равны некоторой норме р,(щ) вектора |и,||. Например, для случая рассмотренного в главе 2 р(х) есть сумма модулей компонент вектора х.

Оптимальная задача ОЛИК может быть сформулирована в виде (ср. с (3)):

Ь = тт{£|и(|: ¿В(и,=Ь(, щ (15)

<=1 J

Раздел 3.1.1. Здесь рассматривается теория и алгоритм решения задачи (15) при отсутствии ограничений на импульсы. В этом случае заменой переменных

щ=х,у,, *,=|«4 у<е9Г", ||у,||=1 задача (15) сводится к следующей задаче [1,2]:

Ь-1тп\'21х,:^,х,^ = Ь1, ДеЦ, 4 = 1.....п[ (16)

где

<Л, = {Аей": А = В,у, |тИЬ (17)

В (17) формально должно стоять условие | у || = 1. Однако расширение множества изменения векторов условий А1 не меняет значения задачи (16). Это следует из того, что каждому оптимальному х,>0 всегда соответствует оптимальный вектор, А, = В,у, |у| = 1 принадлежащий границе множества (17) (так как замена А, на е/^, где О<0<1, приводит к увеличению целевой функции). Пусть

7?, = {Л: Л = Л,у, у е3!} - линейное многообразие, в котором лежит множество с4п если п, = 2, то 7?/ - плоское, если п, = I, то ф, - прямое. Относительная граница множества в <7>, есть эллипсоид {Л е9!т: Д = В,у, |г[| = Ч размерности не большей т, который является линейным образом множества | у || = 1 из

9)"' в <Л. Задача (16) называется обобщенной задачей ЛП и отличается от обычной задачи ЛП тем, что каждый вектор условий А, не задан, а может быть произвольно выбран из заданного выпуклого множества [12,13].

Задачу (16) можно формально рассматривать как обычную задачу ЛП с бесконечным числом векторов условий, заполняющих множества <4,. Исходя из этого, а также из геометрических соображений, иллюстрируемых ниже на примере, в [1] был предложен симплексный алгоритм решения этой задачи. Фактически, этот алгоритм является применением метода генерации столбцов для обобщенной задачи ЛП к задаче (16), который рассматривается в [12,13]. Более полное обоснование этого метода для задачи (16) рассматривается в [2,15]. Для описания этого алгоритма введем понятия, аналогичные используемым г обычном ЛП.

Назовем допустимым решением задачи (16) переменные х,, / = 1.....п и соответствующие векторы удовлетворяющие ограничениям этой задачи. Пусть положительными являются только переменные .....хк. Если к<т, то это решение называется допустимым базисным решением (ДБР). ДБР соответствует оптимальное решение задачи (15), содержащее не более т импульсов. Если к = т, то это решение - невырожденное, в противном случае - вырожденное. Любые т

линейно независимых векторов Л,.....А„ (нумерация векторов условна),

включающих векторы допустимого базисного решения А,,...,ЛЛ, образуют базисную матрицу В {базис). Невырожденному ДБР соответствует только один базис, а вырожденному ДБР может соответствовать некоторое множество базисов.

Будем пояснять введенные понятия и дальнейшие результаты на следующем примере. Пусть

п = 3, л, = 2, пг = п} = 1,

-С:) ЧЯ 420 -О

Тогда (см.рис.7) единичная окружность — относительная граница множества с4,, точки (-В2,В2) и (~В,,В}) - относительные границы Множеств с4г и соответственно. Базис (Д,В2) соответствуют невырожденному ДБР, а базис (Ь,В2) -вырожденному. Согласно [2], существует оптимальное ДБР, а также имеет место критерий оптимальности Куна-Таккера.

ТЕОРЕМА 1. ДБР задачи (16) является оптимальным тогда и только тогда, когда найдется т- вектор ж такой, что

\-%ТА,=0, 1 = 1...,Ь (19)

Я

(20)

Для примера (18) оптимальными являются базисы (6,±В,) и (Ь,±Вг), которым соответствует одно оптимальное вырожденное ДБР: зс, = 1 с соответствующим вектором условий Ь. Это следует из того, что условия теоремы 1 выполняются при тс = (0,1)г. В случае вырожденного ДБР из теоремы 1 не вытекает однозначного алгоритма нахождения вектора ж. Поэтому для описываемого метода генерации столбцов используется следующее достаточное условие оптимальности.

Рис. 7 Иллюстрация работы метода ОЛИК.

ТЕОРЕМА 2. ДБР является оптимальным, если выполняются условия (20), где вектор л определяется из уравнений

1-тсгА, =0, 1 = 1.....т « т1ТВ = еТ (21)

в которых базисная матрица соответствует этому ДБР.

Геометрическое и аналитическое описание алгоритма решения задачи (16). Рассмотрим геометрическую интерпретацию этого алгоритма. Теорема 2 аналогична соответствующему достаточному условию оптимальности в обычной задаче ЛП. Однако, здесь есть существенное отличие. В обычной задаче ЛП всегда существует базнс, удовлетворяющий этим условиям. В обобщенной задаче ЛП такого базиса может не быть. Действительно, в рассматриваемом примере наличие такого базиса означает, что существуют две точки на окружности такие, что выше прямой, проходящей через них, нет других точек окружности [1](так как выше прямой не выполняется условие (21). Но такого базиса нет, хотя, как указывалось выше, любой базис Ь, А является оптимальным, если точка А лежит в круге. Однако, согласно [2], существует множество базисов, для которых в задаче (16) вместо условия (20) выполняется достаточное условие е - оптимальности:

1-7стА^-е УАе(22) ы

где е >0 - заданное число. Один из таких базисов ищется симплекс-методом, геометрическая интерпретация которого на данном примере следующая. Если взять, например, базис (В,,.В2), то выше прямой, проходящей через концы векторов В, и Вг окажутся точки окружности, каждая из которых может быть введена в базис и целевая функция уменьшится. Вводя наиболее возвышающуюся точку Ь = (0,1) вместо точки В,, получим оптимальный базис {Ь,В2). Однако этот базис не удовлетворяет условию (21). Мы можем удовлетворить лишь условию (22) при любом малом е , проводя далее описанную итерацию симплекс-метода многократно. При этом каждая итерация будет вырожденной, т.е. не меняющей значения целевой функции.

Перейдем к аналитическому описанию алгоритма решения задачи (16) и его обоснованию. Представим в формульном виде описанный выше геометрически метод генерации столбцов. Запишем достаточные условия е - оптимальности в виде:

Д2-в (23)

где величина д определяется аналитически {1]

1 -и'Аг-е

УА е иА, 1-1

1 = 1,...,п)

= 1~Р,

(24)

Р = тах {р, 1

Р, = тах {я7 А: А е А,} = тах {пТВ, у: |у)| = 1} ^В^пЦ, (25) При этом существует полезная оценка близости текущего значения ¿(*) = £х,

целевой функции задачи (16) и ее оптимального значения Ь [1]:

тт*1-*™

1+Д

Отметим, что оптимальное решение может содержать не более одного с соответствующей положительной компонентой т.е. получаемый эти алгоритмом базис является допустимым для задачи (16).

Таким образом, в случае отсутствия ограничений па импульсы метод генерации столбцов сводится к обычным симплексным итерациям, на каждой из которых для ввода в базис вектора и проверки достаточного условия оптимальности нужно дополнительно решать подзадачи (25), не представляющие затруднений.

Раздел 3.1.2 Здесь рассматривается неприменимость описанного в разделе 3.1.1 алгоритма для задачи ОЛИК с ограничениями. В отличие от задачи ОЛИК без ограничений на импульсы при некоторых способах задания множеств <Ц указанный алгоритм может не привести к допустимому решению задачи, как это было в задаче коррекции без ограничений. В описанном выше модельном примере рассмотрим случай, когда имеются ограничения на величины импульсов: ||и(||<Л^, г = 1,2,3. Положим М, = 1/-Уз, М2 =М3 = 1. Тогда задача ОЛИК сводится к задаче (16) с дополнительными ограничениями

х,<М,, « = 1.....п. (27)

Как показано в разделе 3.2, для рассматриваемого примера (18) в случае (27) оптимальная программа коррекции включает три импульса: двумерный вектор и? = (0, 1/л/З), соответствующий матрице влияння В{, и два одномерных импульса и2 =ы3 = 1-1/>/з, соответствующих матрицам влияния В2 и Б3. Значение целевой функции при этом равно 2-1/-Уз. С другой стороны, для задачи (16) с дополнительными ограничениями (27) допустимым является решение, которое соответствует базису (Д,,^) и дает значение целевой функции, равное 1/-Уз, меньшее оптимального значения в исходной задаче (15). Но это решение задачи (16) с ограничениями (27) не является допустимым для задачи (15). Таким образом, рассмотренный выше вариант симплекс-метода, вообще говоря, не позволяет решать задачи ОЛИК с ограничениями на импульсы и утверждения работ [1,2] о его применимости в этом случае ошибочны.

Раздел 3.2 Преобразование задачи с ограничениями к обобщенной задаче ЛП. Без ограничения общности можно считать, что задача (15) решается при дополнительном ограничении

[и,|£ЛГ„ 4 = 1,. ...п. (28)

Здесь постоянную М0 нужно положить равной значению целевой функции в (15) на некотором допустимом решении. Введем дополнительные переменные у,, 1 = 1.....п, удовлетворяющие условиям у, 2 Ц и,Ц и обозначим

ЛГ = £п,, Гг = (у1....,у,)еЭТ", иТ = (и,г.....ет ={1...}) - вектор из п едим

ниц, В0=(В,.....Вя) - матрица размерности /их N.

В пространстве <Я№" определим выпуклое и ограниченное множество М векторов (ут,ит):

Ж = {{Гт,ит)б«"": У,2М0, и, е<И„ « = и..,п>. (29)

Тогда получим, что задача коррекции ограничениями сводится к оптимальной задаче

Ь = пйп ^МГ,и)етУ: £ЦГ,17)В017 = Ь, (30)

ЧГХГуТв.С^гГрГдо Vе7/ ]

где <7 е М - некоторое конечное множество, а переменные Ц*) удовлетворяют условиям

£цг,и)=1, (31)

Задача (30) есть обобщенная задача ЛП, в которой целевая функция и ограничения линейны по переменным Х(У,1/), а коэффициенты целевой функции и вектора условий выбираются из выпуклого множества. Для этой задачи базисная матрица содержит все те векторы условий ((В0С/,)Г,1), I = 1.....к, которые соответствуют положительным компонентам Я.,.....Хк, к<т+\, т.е. эта (т + 1)х(т+1) -

матрица имеет вид

ЧВо?::Во1Н (32)

После того, как найдена оптимальная базисная матрица (32), оптимальное значение и'Т =(и1т.....и'„т) находится из разложения:

V = ¥,ЦХ;,и',)и',. (33)

1=1

Для задачи (30) справедливы теоремы 1 и 2 с очевидными изменениями, соответствующими виду этой задачи. В частности, условие оптимальности (20) имеет вид

(34)

а соотношение (21) для определения (т+1) - вектора 71 есть

(еГУ,.....етГ^)-птВ = 0. (35)

Применим теорему 1 для доказательства оптимальности решения задачи (16), приведенного в разделе 3.1 для примера (18) с ограничениями (27). Возьмем в (32)

У,Г = (^ДО), иГ = (0,^,0,0). У* = (-^,1,0), и* = (0,-^,1,0),

и1= (0,-^,1,1).

Тогда из соотношений (35), (32) и условий задачи (30) получаем ,-(0.2,-^),

Непосредственно проверяется, что для данного к удовлетворяются условия оптимальности (34), т.е. полученное решение оптимально и согласно формулам (33) оно совпадает с решением, приведенным в разделе 3.1.

Раздел 3.3. Алгоритм решения задачи коррекция и область его эффективности.

Раздел 3.3.1 Здесь рассматривается алгоритм поиска оптимального базисного решения. Опишем этот алгоритм в соответствии с изложенным в разделе 3.1. Представим вектор я, определенный из соотношения (21) в виде кТ = (ят,71т+|), где кт е 91я, ит+1 - скаляр. Правая часть неравенства (34) тогда запишется в виде

ЕМ-

двгг-ггв01л-^1: (36)

Если выполняется неравенство (23) для величины (36), то матрица В удовлетворяет условию (22) е - оптимальности ДБР в задаче (30). В противном случае в базис вводится вектор ((В017)г,1), на котором достигается минимум в (36) и опять проверяется условие (22). Вместо оценки (26) в задаче (30) существует следующая оценка близости текущего значения ЦХ) целевой функции в (30) к ее оптималь-

ному значению Ь [14]: ЦХ) + А <Ь<ЦХ), где ЦХ) - текущее значение целевой функции, а величина Д определена в (36). Эта оценка используется для нахождения оптимального решения с заданной точностью.

Согласно разделу 3.1, итерации в описанном алгоритме генерации столбцов будут так же эффективны, как и итерации симплекс-метода в обычной задаче Л П порядка т + 1 с т + 2 переменными, если подзадача (36) решается эффективно.

Раздел 3.3.2. Здесь рассматривается решение подзадачи (36) в некоторых важных частных случаях. В диссертации показано, что эта подзадача решается аналитически в случае, когда имеются только ограничения на величину затрат на коррекцию, т.е. когда

= |и,|<М„ < = 1,...,п), (37)

где постоянные М, можно считать не превосходящими величины М0, определенной в (28). В практических приложениях постоянные М1 выбираются как из условий ограничений при аппаратной реализации импульсов коррекции, так и из условий достаточно точного описания цели коррекции линейной зависимостью (13).

Показано, что если в (15) и (37) заменить [|ц,[| на любую норму р,(щ), то подзадача (36) сводится к нахождению так называемой двойственной нормы р'(х) - тах{жти°: р, (и") = 1} к норме р,("(). Для многих случаев эта двойственная норма находится аналитически.

Раздел 3.4 Некоторые численные примеры. Для иллюстрации работы предлагаемого алгоритма рассмотрим задачу коррекции кеплеровской орбиты спутника Земли. В качестве корректируемых параметров выберем следующие параметры: радиусы апогея и перигея г„ и гр, аргумент перигея ш, наклонение I , долгота восходящего узла £1. Необходимые для коррекции приращения этих параметров равны компонентам вектора Ь в задаче (15), а корректирующий импульс и в каждый момент времени будем записывать в орбитальной системе координат,

Будем полагать, что коррекция проводится на одном витке траектории, возможные моменты приложения импульсов соответствуют точкам орбиты со значениями эксцентрической аномалии Е - ..¿59°, а все нормы векторов в задаче (15) - евклидовы и ограничены одной константой М. Для проведения расчетов выбрана орбита с параметрами: а = 42163кл, е = 0,00025, ( = 0,05", со = 80', О = 270° где а - большая полуось орбиты, е - эксцентриситет орбиты. Значение эксцентрической аномалии в начальный момент времени полагается равным нулю.

Далее предполагается, что соотношения (13) получены линеаризацией истинных зависимостей между вектором ъ и корректирующими импульсами. При этом матрицы влияния вычисляются по формулам в, = ВЬ/дУ,, где V, - вектор скорости, соответствующий I -й эксцентрической аномалии. Вычисление матриц в, основано на формулах работы [9].

Плоская задача коррекции. В этой задаче будем рассматривать коррекцию параметров га и г . Рассмотрим сначала задачу без ограничений на величины импульсов. Для этого нужно задать достаточно большое М. Пусть 6г, = бг, = 20к*. На рис. 8 приведены решения задачи (15) без ограничений на импульсы для трех случаев. В них корректируемыми параметрами соответственно являются: только радиус апогея - при этом радиус перигея не должен меняться в результате коррекции; только радиус перигея - не изменяется радиус апогея;'

оба радиуса. Таким образом, во всех трех случаях решается задача коррекции с двумерным вектором Ь. Во всех решениях ненулевыми оказались только компоненты v„, прилагаемые в апогее и перигее (для рассматриваемой почти круговой орбиты это соответствует импульсам вдоль скорости, что согласуется с выводами теории оптимальных маневров [16]). Как видно из рисунка, решение задачи в третьем случае является объединением решений для первого и второго случаев.

Выберем теперь М =0.01*/с. На рис. 9-11 приведены оптимальные импульсы для рассматриваемых трех случаев. Видно, что наличие ограничений привело к появлению радиальных составляющих импульса скорости для случаев раздельной коррекции радиусов апогея и перигея. Кроме того, одноимпульсная коррекция апогея в задаче без ограничений превратилась в трехинтервальную: два больших "размазанных" импульса в перигее и один (в пять раз меньше и в другую сторону) - в апогее. Совместная коррекция радиусов апогея и перигея уже не является здесь точным объединением однопараметрических коррекций, как это было в задаче без ограничений. Кроме того, на рис.11 отсутствуют радиальные составляющие импульса и импульс в апогее. Отметим также, что при дальнейшем уменьшении величины М импульсы будут "размазываться" до тех пор, пока при некотором критическом значении м' задача (15) не будет иметь решения из-за несовместности ограничений этой задачи.

L= 0.3(396 М=(Ш!

Е.цщ Елда

Рис. 8. Коррекция радиусов апогея и перигея Рис. 9. Коррекция радиуса апогея

в плоской задаче без ограничений в плоской задаче, (по отдельности и совместно).

L-CL3QM №&01

l=a7232 м=0.01

о 50

300 360 400

ЮО 1® 230 250 Е.цвд

Рис. 10. Коррекция радиуса перигея в плоской задаче.

О 3) Ю0 1Э0 230 250 300 350 400 Еда

Рис. И. Совместная коррекция радиусов апогея и перигея в плоской задаче.

Пространственная коррекция. Рассмотрим коррекцию наклонения и узла орбиты. Выберем &t = 0,025°, 8Q = Г. Как и в плоском случае, проведем расчеты

для однопараметрнческой и совместной коррекций наклонения и узла орбиты. При этом всегда решается пятимерная задача коррекции, т.е. один или два параметра корректируются, а другие в результате коррекции не меняют своих значений.

Решение задачи без ограничений приведено на рис.12. На нем изображен только к„». Отметим, что совместная коррекция не

равна объединению однопараметрических, как это было в плоском случае при коррекции радиусов апогея и перигея.

В задаче с ограничением при м =0,01 для коррекции только наклонения (рис.13) оптимальным является использование импульсов, перпендикулярных к плоскости орбиты. Для коррекции узла орбиты (рис.14) появляются составляющие у„; для совместной коррекции узла орбиты и наклонения (рис.15) не равны нулю все компоненты импульса в рассматриваемой системе координат.

1=1.43 №001

1.2 1

аа 0.6 04 0.2 о

о 50 и «в т и т и о

Е.фвд

Рис. 12. Импульсы скорости для оптимальной коррекции узла (О), наклонения (I) и совместной коррекции (¡.О) в задаче без ограничений}¿¡=0.02!?, АП=10.).

1 = Ш> МОЯ1

001 асое аооб

0.004 ОЛЕ

о

■01X2

-ааи -0006 -0.006 -001

У.гЛ ч

—

\ и

О 50 Ю0 150 200 250 300 350 400 Е.три

Рис. 14 Коррекция узла орбиты при ограничениях на модуль импульса.

0.01 аоов (ШВ аам аоог о

-ояв -оом ■0.006 -0.008 -001

О 3) ЮЭ 13) 2X3 233 300 350 4ЭЭ Е.твд

Рис. 13. Коррекция наклонения орбиты при ограничениях на модуль импульса.

1=2.01 №0.01

001 аоое 0006 йам оде о

-0002 -аом

-СЮ06 -оосе -001

А

V, |гЛ

V» %

V.

О 33 Ю0 150 30 23) 300 350 СО Е.пвд

Рис. 15. Одновременная коррекция наклонения и узла орбиты при ограничениях на модуль импульса.

Заключение

Основные результаты работы состоят в следующем.

1) Обоснован h построен эффективный алгоритм решения задачи оптимальной линейной идеальной коррекции с ограничениями на величины импульсов в случае, когда используются шесть двигателей.

2) Показана ошибочность утверждений работ [1,2] о возможности применения алгоритмов, решающих задачу оптимальной коррекции без ограничений, для этой задачи с ограничениями на величину импульсов при использовании одного ориентируемого двигателя. Для этого случая построена теория и создан эффективный алгоритм решения задачи оптимальной коррекции путем сведения ее к обобщенной задаче линейного программирования.

3) Проведены массовые расчеты, из которых сделаны следующие выводы.

а) Найдены максимальные значения корректируемых параметров, при котором коррекция может считаться линейной.

/ б) Показано, что допустимая величина порога импульсов слабо влияет на величину суммарного импульса, а увеличивается лишь число этих импульсов.

в) Путем численного моделирования показано, что уменьшение порога часто приводит к уменьшению влияния неучитываемых ошибок исполнения импульсов и в этих случаях численно найдены оптимальные значения порога, для которых это влияние минимально.

Литература

1. Лидов МЛ. Математическая аналогия между некоторыми оптимальными задачами коррекции траекторий и выбора состава измерений и алгоритмы их решения .//Космические исследования. 1971. Т.9. № 5. С.687.

2. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М: Наука. 1980.

3. Платонов А.К. Исследование свойств корректирующих маневров в межпланетных полетах. IIКосмические исследования., 1966. Т. 4. № 5. С.670.

4. Платонов А.К., Дашков. А.А., Кубасов В.Н. Оптимизация управления полетом космичеких аппаратов. //Автоматическое управление космическими летательными аппаратами. М.: Наука. 1968.

5. Стерн Р.Дж., Поттер Дж.Э. Оптимизация коррекции на маршевом участке траектории. //Автоматическое управление космическими летательными аппаратами. М.:Наука. 1968.

6. Кузьминых В.А. Оптимизация обобщенной линейной коррекции траектории космического аппарата. II Космические исследования, 1975, Т. 13. № 4. С. 443.

7. Лидов МЛ. Линейная импульсная коррекция траектории с маневрами. //Космические исследования, 1978. Т. 16. № 4. С.619.

8. Муртаф Б. Современное линейное программирование. М.:Мир. 1984.

9. Назиров P.P., Тимохова ТА. Оптимальная линейная коррекция эллиптических орбит. II Автоматика и телемеханика. 1993. № 3. С.93 - 101.

10. И.БАлексеев, Г.Г.Бебенин, В.А.Ярошевский, Маневрирование космических аппратов. М:Машиностронение, 1970.

11. Waespy С.М. Linear-programming solutions for orbital-transfer trajectories II Operation Research. 1970. V.18. № 5. P.635 - 653.

12. Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966.

13. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. М.:Мир. 1973.

14. Лидов М.И., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор) // Космические исследования. 1991. Т.29. № 5. С.659.

15. Бахшиян Б.Ц. Критерии оптимальности и алгоритмы решения вырожденной и обобщенной задач линейного программирования. II Экономика и мат.методы. 1989. Т.28. №2, С.314.

16. Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966.

Основные результаты работы представлены в следующих публикациях:

1. Jae Woo Park, Linear Programming Solutions of the Generalized Linear Impulsive Correction for Geostationary Stationkeeping, J. Astron. Space Sei., 1996, vol. 13, № 1, p48-54.

2. Бахшиян Б.Ц., Войсковский М.И., Ч.В. Пак, О решении задачи линейной иде-апной коррекции с ограничениями на корректирующие импульсы, Препринт 1937, ИКИ РАН, 1996.

3. Бахшиян Б.Ц., Войсковский М.И., Ч.В. Пак, Об оптимальной линейной идеальной коррекции при ограничениях на корректирующие импульсы, Космич. исследования, 1997. Т. 35. №4. С1.

4. Ч.В. Пак. Использование ограниченных по величине импульсов для коррекции траектории, Космич. исследования, 1997. Т.35. № 5.

055(02)2 Ротапринт ИКИ РАН

Москва, 117810, Профсоюзная, 84/32

Подписано к печати < О5". Э?

Заказ 980 Формат 70x108/32 Тираж -{00 ОРуч.-излл