автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Решение обратной проблемы N-мерных аффинных самоподобных функций методом голосования для всплеск-максимумов

На правах рукописи

Елистратов Николай Александрович

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ПРОБЛЕМЫ Ы-МЕРНЫХ АФФИННЫХ САМОПОДОБНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ ГОЛОСОВАНИЯ ДЛЯ ВСПЛЕСК-МАКСИМУМОВ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

1 7 НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2011 г.

005001090

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Холщевникова Наталья Николаевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич

кандидат физико-математических наук, Галатенко Владимир Владимирович

Ведущее предприятие: ГОУ ВПО Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе

Защита состоится « /3 » ^ 6.>са Ур \ 2011 г. в 12. часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан « I) » кР^Ср^ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доц.

Семячкова Е.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время значительный интерес для таких областей как компьютерная графика, распознавание образов, обработка и сжатие изображений, теория динамических систем, геофизика, всплеск-анализ, психология и многих других представляет изучение фрактальных объектов.

Модели самоподобных детерминированных и случайных фракталов успешно применяются при описании изображений природных объектов. Изучение моделей хаотической динамики, таких как DLA (diffusion limited aggregation, модели роста, ограниченного диффузией) и странных аттракторов, показывает, что они также обладают свойствами самоподобия. В теории всплесков самоподобные фракталы применяются для построения кратно-масштабных анализов (КМА).

В настоящей работе проведено исследование класса многомерных самоподобных фракталов - аффинных самоподобных функций, описываемых функциональными уравнениями с уточняющим оператором. Уточняющий оператор представляет собой сумму аффинных функциональных операторов. В частности, масштабирующие функции КМА являются примерами аффинных самоподобных функций. Аттракторы IFS (Iterated Function Systems, системы итерируемых функций) можно описать с помощью их характеристических функций, которые также являются аффинными самоподобными. При изучении самоподобных фракталов мощные средства предоставляет непрерывный всплеск-анализ. В работе используется непрерывное всплеск-преобразование, ассоциированное с группой подобий евклидова пространства, и вводится его обобщение.

Важным свойством самоподобных фракталов является то, что довольно сложные структуры, имеющие фрактальную природу, можно описать с помощью небольшого набора параметров. Генерирование самоподобных фракталов является довольно простой задачей, нашедшей применение при получении изображений природных ландшафтов и текстур в компьютерной гра-

3

фике. В то время как численный анализ свойств самоподобия сигналов является более сложной обратной задачей. Зная параметры самоподобия, можно эффективно кодировать видео и изображения. Не менее важным является получение фрактальных характеристик при изучении физических явлений, например, таких как землетрясения. В одномерном случае известно решение обратной задачи методом моментов, для решения такой задачи в двумерном случае применяют геометрические методы, метод моментов и всплеск-анализ. Решение двумерной задачи получено для довольно узкого класса фракталов. Значительный интерес представляет данная задача в многомерном случае для аффинных самоподобных функций.

Таким образом, актуальной научной проблемой диссертационного исследования является разработка новых методов получения фрактальных характеристик многомерных аффинных самоподобных функций.

Целью настоящей работы является разработка методов численного решения обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций с использованием всплеск-анализа. Научная новизна

1. Для анализа многомерных аффинных самоподобных функций предложено обобщение непрерывного всплеск-преобразования, обладающее свойствами самоподобия в отношении таких функций.

2. Разработан метод численного решения обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций, особенностью которого является вычислительная устойчивость и подавление шумовой составляющей сигнала.

3. Разработан алгоритм вычисления обобщенного непрерывного всплеск-преобразования, вычислительная сложность которого ниже по сравнению с прямым методом за счет использования быстрого преобразования Фурье.

4. Доказано утверждение о распространении до самых малых масштабов линий всплеск-максимумов обобщенного непрерывного всплеск-

4

преобразования с всплесками Гаусса, что позволяет повысить устойчивость разработанного метода к численным погрешностям всплеск-преобразования в тех областях, где оно близко к нулю. Практическая ценность. Разработан комплекс программ, реализующих вычисление обобщенного всплеск-преобразования, объединение точек всплеск-максимумов в кривые и восстановление параметров двумерных аффинных самоподобных функций. Разработанные методы, вычислительные алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы при решении следующих задач:

1. Анализ и сжатие изображений, содержащих самоподобные фракталы, при этом теоретически достижимо весьма эффективное сжатие за счет того, что аффинные самоподобные функции описываются при помощи относительно небольшого набора параметров.

2. Распознавание образов объектов, обладающих свойствами аффинного самоподобия.

3. Анализ объектов, описываемых моделями хаотической динамики в молекулярной физике, геофизике и метеорологии.

Установленное свойство обобщенного непрерывного всплеск-преобразования о распространении его всплеск-максимумов до самых малых масштабов является важной характеристикой, позволяющей разрабатывать новые методы анализа многомерных сигналов, такие как локализация особенностей и оценка спектра.

Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, методы теории интегральных и дискретных преобразований, таких как преобразование Фурье и всплеск-преобразование, методы теории самоподобных фракталов Хатчинсона, теории всплесков, теории матриц, методы теории компьютерного зрения. Разработка программного обеспечения проводилась в среде МАТЬАВ.

Апробация результатов. Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

5

1. Научный семинар по теории всплесков под руководством профессора H.H. Холщевниковой кафедры «Математика» МГТУ «Станкин» (г. Москва, 2008 г.);

2. XI научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2008 г.);

3.1 международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2008 г.);

4. IX международная конференция «Новые идеи в науках о земле» РГГРУ, (РГГРУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2009 г.)

5. XIII научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2010 г.);

6. Семинар по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством профессора М.К.Потапова, профессора В.А.Скворцова, профессора М.И.Дьяченко механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (г. Москва, декабрь 2010 г.);

7. X международная конференция «Новые идеи в науках о земле» РГГРУ, (РГГРУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2011 г.)

8. XIV научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2011 г.);

9. II международная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ «Станкин», г. Москва, 2011 г.);

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 7 печатных работах, в числе которых 1 публикация в издании, рекомендованном

ВАК, 5 - в сборниках трудов научных конференций и 1 - в периодическом

издании.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 75 наименований. Общий объем диссертации - 120 страниц, включая 16 рисунков, 1 таблицу и 1 приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая ценность работы. Приведено описание структуры диссертации и краткое содержание работы.

В первой главе приводится постановка задачи. Рассматривается модель аффинных самоподобных функций - функций /: R" -> С, являющихся решениями уравнений вида

/(*) = ЕмЛ |detA/,|/(A/,(jc-i;)), xeR", (1)

где N > 1, r¡ б R", p¡ e R \ {0}, M, - действительная квадратная невырожденная матрица, для которой обратная матрица Л/,"' определяет сжимающий оператор в Л" с евклидовой нормой | • |.

Если решение / имеет компактный носитель supp(/) - замыкание множества |/(jc)?to}, то supp(/) содержится в компактном множе-

стве D, таком что

D = Tx(D)<j..,kjTn(D), где T¡ - аффинные отображения, соответствующие уравнению (1): 7](дс) = М~1х + г,. Такие множества D называются аффинными самоподобными. Если N = 1, то D содержит только один элемент, являющийся неподвижной точкой Г,, поэтому далее рассматриваются уравнения (1), где N>2. Примеры рассматриваемых в работе множеств приведены на рис. 1,2.

Рассматриваются уравнения (1), для которых отображения Т: удовлетворяют условию открытого множества (open set condition, OSC): существует

открытое множество О, такое что Т1(О)г,Т)(О) = 0 при ; Ф у и Т,(О) с О для всех /'. При этом если О имеет пустую внутренность, ¡п1:(£)) = 0, то дополнительно предполагается О с: О (рис. 2). Если же т\.{Э)ф0, то предполагается, что мера Лебега пересечений 7](0)пГД0), I*], равна нулю (рис. 1).

Рис. 1: Множество «двойной дракон» Рис. 2: Множество «птица»

При таких ограничениях образы аффинных операторов

= д ] с!йМ, |§(М,.(дс-/;)), уравнения (1) оказываются локализованны-

зирр (Л | М, | ДМ,, (х - г,))) с Т, (О), / = 1,2,..., N. Для одномерной аффинной самоподобной функции /: /? —» С, удовлетворяющей уравнению (1), непрерывное всплеск-преобразование (НВП)

—00 ^ '

с всплеск-функцией 1|/е12(й) также представляет собой самоподобную структуру. В этом случае М{ = /,. е Д,/, > 1,г. е Л, и выполняется равенство

ИУ(а, 6) = р, 1№{1,а, 1,(Ь-г)),Ье В, (а), (2)

где множества 5Да) зависят от множеств локализации 7^(0) операторов 5,.. На этом свойстве всплеск-преобразования основан подход Хвонга и Малла

(Hwang, Mallat) численного восстановления параметров (р,,/,,г,) одномерных самоподобных функций, использующий алгоритм голосования для всплеск-максимумов. Поставлена задача обобщения указанного подхода для многомерных аффинных самоподобных функций. Для функции f(x),

xeR", п> 2 с компактным носителем supp(/), являющейся решением некоторого уравнения вида (1), ставится вопрос численного восстановления параметров (рпМпг:) этого уравнения по значениям f(x) в узлах некоторой сетки.

Исследуются свойства многомерных аффинных самоподобных функций. Рассматриваются функции g : R" С, принадлежащие линейному пространству Л, замкнутому относительно линейных преобразований координат, т.е. если g(x)eA., то g(M(x-r))e Л. Вводятся понятия локального самоподобия и локального самоподобия на множестве. Функция g е Л называется локально самоподобной относительно аффинного оператора S,Sg = р|detМ|g(M(х-г)), если существует открытое множество Е, такое что g Ф О на Е и

g(x) = Sg(x),xeE. (3)

Если пространство Л есть пространство эквивалентных относительно меры Лебега функций, то g Ф 0 на Е означает, что мера Лебега множества [д: е £ | ф 0} отлична от нуля, а равенство (3) должно выполняться почти всюду на Е.

Множество G называется максимальным открытым множеством локального самоподобия функции g относительно S, если G есть объединение всех таких открытых множеств Е, для которых выполняется (3). При этом говорят, что g локально самоподобна относительно S на G.

Если int(D)*0, то рассматривается пространство Л эквивалентных относительно меры Лебега функций.

Вводятся обозначения: пусть (у,,...,^) е {1 ,...,Щк - некоторый набор

номеров, Е с Л", тогда =7; 7},, = 5Л ° • ■ • о ,

^л-л (£) • Далее доказывается следующее утверждение:

Пусть /еЛ есть решение с компактным носителем уравнения (1), К = К" \ яирр (/), тогда

1. / локально самоподобна относительно Л на ¡п1(0^Л и А");

2. / локально самоподобна относительно Л на

Для других композиций прямых и обратных операторов функция / не является локально самоподобной.

Во второй главе рассмотрено непрерывное всплеск-преобразование функции / е , ассоциированное с группой подобий и -мерного евкли-

дова пространства (НВП с вращениями):

где ц/е£2(Д") - всплеск-функция, а>0,{/е50л,ЬеЛ", БОп - «-мерная группа матриц вращения, т.е. йеЮ = 1. Показано, что такое НВП обладает свойстом, аналогичным свойству (2) для я-мерных самоподобных функций (1), т.е. когда Л/, = 1УП1, > еБО„ и отображения Г, являются преобразованиями подобия. Когда М, представляет собой матрицу общего вида, то такое НВП указанным свойством не обладает.

Данная проблема решается путем модификации преобразования (4). При помощи полярного разложения всякую матрицу >§, можно

представить в виде М =1НУ, где 1 > 0, V е БО„, Н - симметрическая поло-

(4)

жительно определенная матрица, наибольшее собственное значение которой равно 1. Вводится обобщенное НВП:

а аегН

л

так что если матрица М, имеет разложение М, - /, // V,, то для преобразования (5) аффинной самоподобной функции с уравнением (1) верно IV/(а, 1Г,Ь) = р, сЫ М}УН' (1,а, У,и, М, {Ь -/; )), Ь е В, (а), где множества Д(о) зависят от множеств локализации операторов . Таким образом, для обобщенного НВП (5) и преобразования с вращениями (4) характерно свойство, аналогичное свойству (2) одномерного НВП. Преобразование (4) есть частный случай (5) при Н - Е, где Е - единичная матрица.

Установленное свойство также характерно и для всплеск-максимумов соответствующих преобразований. Точкой всплеск-максимума преобразования 1УН/ называется точка (а,\],Ъ), являющаяся точкой строгого локального максимума функции \ШН${а,и,Ъ)\, рассматриваемой как функция переменной Ь при фиксированных а, I/. Значение IVм/(а,и,Ь) в точке всплеск-максимума называется всплеск-максимумом преобразования IVм/.

Если функция / локально самоподобна относительно оператора 5 на 2, 5/(д:) = р с1е1 М /(М(*-/; )), М = 1НУ, то выполняется равенство

\У/{а,и,Ъ) = р(1с1М1У"(1а,Уи,М(Ь-г1)), ЬеВ^а), где множества В0(а) определяются множеством Q на каждом масштабе а. При этом всплеск-максимумы и точки всплеск-максимумов IVй/ и IV/ связаны определенными соотношениями:

1. Пусть (вр^рб,), е (а) - точка всплеск-максимума IV/, тогда

(а1,и1,Ь1) = {1а1,Уих,М{Ь1 -г)) -точка всплеск-максимума IVй/, причем

__ ¡УД^АЛ)

с!е1 Ши{аг,иг,Ьг)' 11

(б)

2. Пусть («,,{/,,6, + Д,), ¿>, +Д, е Вд(а) - ближайшая в евклидовой метрике |х,-дс2| к (а,,[/,,/>,)точка всплеск-максимума ИХ, тогда существует ближайшая в метрике | Н~\хх -дг2)| к (аг,иг,Ъг) точка всплеск-максимума IVй/: (а2,и2,Ь2 +А2) = (1а1,Уи„М(Ь1 +Д,- г)),поэтому

¡¥/(4,1/,,^+ Д,) . ... Р =- „ ---, Д, =МА.. п)

В третьей главе исследуется вопрос численной реализации обобщенного НВП. Получено представление численной версии НВП в виде дискретной свертки с параметрами. Эффективный алгоритм вычисления таких дискретных сверток получен с использованием быстрого преобразования Фурье. Если объем выборки исследуемого сигнала / равен Г", то вычисление всплеск-преобразования на каждом масштабе по предложенному алгоритму требует 0(Т" Т) операций, в то время как прямой метод вычисления требует 0(Т2") операций.

В качестве всплеск-функции выбирается всплеск Гаусса - частная производная многомерной функции Гаусса. Доказывается следующее утверждение:

Пусть 0(л:) = (27иУ'/2(с1е1Ео)~"2ехр(- ^лЛ^л:) - и-мерная функция Гаусса, где - действительная положительно определенная матрица порядка п, хт означает транспонирование вектора-столбца х. Пусть всплеск-функция

дт

Ч/(х) = (—1)"-в(*), тогда для любой /е/,2(Д") точки всплеск-

Эх •••Эх

максимума преобразования №н/(а,и,Ь) при любом фиксированном (/ = {/„ е БОп принадлежат кривым, сходящимся к точкам пространства

(О, ад.

Таким образом, для всплесков Гаусса всплеск-максимумы распространяются до самых малых масштабов а.

Доказанное утверждение обобщает результаты, принадлежащие Хюм-мелю, Юию и Поджио (Hummel, Yuille, Poggio). Доказательство основано на применении метода Фурье и на принципе максимума для уравнения теплопроводности.

На рис. 3 изображены линии всплеск-максимумов преобразования ^У/(а,и„/3,Ь) характеристической функции множества «двойной дракон» (рис. 1), где U%lз - матрица поворота на угол л/3. Преобразование вычислено с двумерным всплеском «мексиканская шляпа»

v|/(x) = C

dxfdxj

в(х),

где С - нормирующий множитель, такой что ||\|;||; (/(!) = 1 (рис. 4).

Рис. 3. Линии всплеск-максимумов характе- Рис. 4: Двумерный всплеск «мексиканская ристической функции множества «двойной шляпа»

дракон»

Применеиие доказанного свойства всплеск-максимумов для всплесков Гаусса состоит в том, что при вычислении дискретной версии всплеск-преобразования могут возникнуть численные погрешности в тех областях, где всплеск-преобразование близко к нулю. За счет объединения точек всплеск-максимумов в кривые возможно удалить ложные всплеск-максимумы, возникающие в результате таких численных погрешностей.

Далее проводится обобщение одномерного подхода Хвонга и Малла, предлагается алгоритм с голосованием для всплеск-максимумов в простран-

стве параметров (р,М,г) аффинной самоподобной функции /. В алгоритме используется подобие \¥/ и Шн/, и установленные соотношения (6), (7), связывающие всплеск-максимумы. Приводится обоснование алгоритма, основанное на описании всех возможных аффинных операторов, относительно которых аффинная самоподобная функция локально самоподобна (утверждение в первой главе).

Для двумерного случая разработан комплекс программ для среды МАТЬАВ, реализующих вычисление дискретной версии обобщенного всплеск-преобразования с всплесками Гаусса, объединение точек всплеск-максимумов в кривые и восстановление параметров аффинных самоподобных функций по предложенному алгоритму с голосованием.

/ = 1.41,0= .г)0".н = 1). гз = 0 1 = 1.41.» = Я1-.П = 0.52. п= -0-52

р = 0.5, г; = О, Г2 = о р = 0.5. Г1 = 0.52. ъ = -0.52

ш.

р = 0.5,1 = 1.41,в = 50°

р = 0.5,(= 1.41.0 = 50°

Рис. 5: Распределения голосов в пространстве неизвестных параметров. Пики голосов соответствуют параметрам уравнения аффинной самоподобной функции

Работоспособность алгоритма исследуется на ряде модельных примеров аффинных самоподобных функций. В частности рассматриваются характеристические функции аффинных самоподобных множеств. На рис. 5 приведена визуализация результатов работы программного комплекса для характеристической функции множества «двойной дракон» (рис. 1). Пики голосов соответствуют параметрам (р:,Мпг) уравнения аффинной самоподобной функции.

Для получения исходных данных используются алгоритмы генерирования самоподобных фракталов, такие как алгоритм случайной итерации.

0.5-

МЬк I

......................... .

0 0.5 1 1.5 2

Рис. 6: Множество «тройной дракон»

Исследуется возможность восстановления параметров для приближенно самоподобных и зашумленных данных. Предполагается, что к исходному сигналу /[/', _/'] добавлен белый шум:

/Л'>Л=Ли]+4',Л,

где и[/,у] - случайная последовательность, такая что Е(п[/,у]) = 0, Е{п[1,]]п[к,!\) = а25, ^5 7, где 5,; - символ Кронекера, £ - среднее значение.

Таблица 1: Зашумленный и восстановленный сигналы, значения SNR

SNR, дБ 00 9 6 3 0

Восстановление

9,9 10,6 10,8 9,5 9,5

SNR, дБ

Для оценки степени зашумленности используется показатель отношения сигнала к шуму (signal to noise ratio, SNR):

яга = .(/[''>/!)2 /X ,(/Л'".7]-Л',у])2 ■

В результате вычислительных экспериментов установлено, что наличие случайных шумов даже в случае, когда шум имеет ту же энергию, что и сам сигнал, позволяет восстанавливать параметры аффинных самоподобных функций. Это связано с тем, что всплеск-преобразование содержит эти шумы только на самых малых масштабах.

В заключении приводятся основные результаты работы.

(») <Ь) (с)

1 ! i 1 щ ; :. 1 ti 1 ■ШяШШ I !

г: 1: % ? 1 ■fe Ж.! 1 г-.:

Рис. 7: (а) - исходный сигнал, SNR = со; (b) - SNR = 6; (с) - SNR=0, ниже - результаты восста-

В приложение вынесены тексты программ основных алгоритмов решения поставленных в работе задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны методы численного решения обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций с использованием всплеск-анализа, имеющие большое значение в вопросах, связанных с цифровой обработкой сигналов, распознаванием образов, анализом моделей хаотической динамики в молекулярной физике, геофизике и метеорологии.

2. На основе выявленных свойств самоподобия НВП (непрерывного всплеск-преобразования) с вращениями для самоподобных функций было получено обобщенное НВП, которое обладает такими же свойствами самоподобия в отношении аффинных самоподобных функций.

3. Разработан алгоритм численного восстановления параметров аффинного самоподобия, причем восстановление происходит посредством голосования для всплеск-максимумов обобщенного НВП в пространстве параметров аффинных операторов.

4. Получено обоснование того, что точки всплеск-максимумов обобщенного НВП для всплесков Гаусса принадлежат кривым, распространяющимся до самых малых масштабов, что позволяет повысить устойчивость алгоритма к численным погрешностям в тех областях, где НВП близко к нулю.

5. Получена эффективная численная реализация непрерывного всплеск-преобразования, особенностью которой является применение быстрого преобразования Фурье.

6. Для численного решения рассматриваемых задач разработан комплекс программ, реализующий предложенные в диссертационной работе алгоритмы в двумерном случае.

7. Проведен численный анализ эффективности разработанного алгоритма в случае, когда входной сигнал содержит шумы.

16

8. Результаты работь' могут быть использованы в системах цифровой обработки сигналов, распознавания образов и анализа динамических систем, описываемых моделями фрактальной геометрии, а также рекомендуется использовать их при подготовке специалистов в учебном процессе по направлению 231300 «Прикладная математика».

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Елистратов H.A. Непрерывное двухмерное всплеск-преобразование и его применение для восстановления параметров двухмерных самоподобных функций, Вестник МГТУ «Станкин», февраль 2011, 1(13), с. 88-94.

в сборниках трудов научных конференций:

2. Елистратов H.A. Обобщение многомерного непрерывного всплеск-преобразования для изучения самоподобных функций, Сборник докладов X международной конференции «Новые идеи в науках о земле» РГГРУ, 2011.

3. Елистратов H.A. Обобщение двумерного непрерывного всплеск-преобразования для изучения самоподобных функций, Материлы XIV научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике: Сборник докладов/Под ред. Казакова O.A. - М:ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2011.

4. Елистратов H.A. О двумерных непрерывных всплеск-преобразованиях с полярным разложением матриц масштаба, Материлы XIII научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математи-

ческому моделированию и информатике: Сборник докладов / Под ред. Казакова O.A. -М:ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2010.

5. Елистратов H.A. Восстановление параметров многомерных самоподобных функций при помощи всплеск-преобразования, Сборник докладов IX международной конференции «Новые идеи в науках о земле» РГГРУ, 2009.

6. Елистратов H.A. Алгоритм оценки параметров многомерных самоподобных функций, Материлы XI научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике: Сборник докладов / Под ред. Казакова O.A. - М:ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2008.

в других периодических изданиях:

7. Елистратов H.A. Множество «дракон», Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технических систем, под редакцией Уваровой Л.А. - М:Янус-К, 2007, вып. 10, с. 11-13.

Подписано в печать: 09.11.2011

Заказ № 6220 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

1 Аффинные самоподобные фракталы

1.1 Аффинные самоподобные множества

1.2 Аффинные самоподобные функции

1.2.1 Носитель с пустой внутренностью.

1.2.2 Носитель с непустой внутренностью.

2 Непрерывное всплеск-преобразование

2.1 НВП с вращениями

2.1.1 Основные определения.

2.1.2 Самоподобие всплеск-максимумов.

2.2 Обобщение НВП с вращениями.

2.2.1 Аффинное самоподобие всплеск-максимумов.

2.2.2 Всплеск-максимумы аффинных самоподобных функций.

3 Восстановление параметров аффинного самоподобия

3.1 Вычислительные алгоритмы

3.1.1 Всплеск-преобразование.

3.1.2 Линии всплеск-максимумов.

3.1.3 Алгоритм голосования.

3.2 Результаты экспериментов

3.2.1 Примеры вычислений.

3.2.2 Восстановление из зашумленных данных.

В настоящее время значительный интерес для таких областей как компьютерная графика, распознавание образов, обработка и сжатие изображений, теория динамических систем, геофизика, всплеск-анализ, психология и многих других представляет изучение фрактальных объектов.

Термин "фрактал" (лат. fractus — дробленый, разломанный, разбитый) впервые введен Мандельбротом [43, 66] в 1975 г. для обозначения таких объектов, для которых характерно самоподобие в достаточно широком смысле. Такие объекты являются в точности самоподобными, то есть составлены из уменьшенных преобразованных "копий" самих себя, или же представляют собой некоторое приближение к таким точным самоподобным объектам. Так, термин "фрактальное множество" имеет строгое математическое определение, а словосочетание "природный фрактал" может применяться к достаточно широкому классу естественных структур, которые так или иначе могут быть описаны с помощью фрактальных множеств.

На настоящий момент имеется большое количество литературы и научных работ, посвященных самоподобным фракталам. Понятие самоподобного множества было введено Хатчинсоном (Hutchinson) в работе [29]. Дальнейшим развитием теории занимались Барнсли (Barnsley) [18, 17], Фальконер

1)Слово "самоподобие" здесь понимается в широком сысле, то есть для произвольных отображений Т\, , TN самоподобное множество есть объединение образов этих отображений на самом множестве.

Falconer) [26, 27, 25], Бандт (Bandt) [12, 13, 14, 15, 16] и другие. Важной характеристикой при изучении самоподобных множеств является размерность Хаусдорфа. Особенностью самоподобных множеств является, то, что размерность Хаусдорфа может отличаться от топологической (в частности, может быть дробной).

Модели самоподобных детерминированных и случайных фракталов успешно применяются при описании изображений природных объектов [43, 66, 18]. Изучение моделей хаотической динамики, таких как DLA (diffusion limited aggregation), модели роста, ограниченного диффузией) и странных аттракторов, показывает, что они также обладают свойствами самоподобия [33, 6, 64]. В теории всплесков самоподобные фракталы применяются для, построения кратномасштабных анализов (КМА) [19, 68].

В настоящей работе проведено исследование класса многомерных самопоV добных фракталов — аффинных самоподобных функций, описываемых функциональными уравнениями с уточняющим оператором. Уточняющий оператор представляет собой сумму аффинных функциональных операторов. В частности, масштабирующие функции КМА являются примерами аффинных самоподобных функций [68]. Аттракторы-IFS (Iterated Function Systems, системы итерируемых функций) [18, 64] можно описать с помощью их характеристических функций, которые также являются аффинными-самоподобными.

Важным свойством самоподобных фракталов является то, что довольно сложные структуры, имеющие фрактальную природу, можно описать с помощью небольшого набора параметров. Генерирование самоподобных фракталов является довольно простой задачей, нашедшей применение при получении изображений природных ландшафтов и текстур в компьютерной графике. В то время как численный анализ свойств самоподобия сигналов является более сложной обратной задачей. Зная параметры самоподобия, можно эффективно кодировать видео и изображения [17, 32]. Не менее важным является получение фрактальных характеристик при изучении физических явлений, например, таких как землетрясения [39]. В одномерном случае известно решение обратной задачи методом моментов [28], а также при помощи всплесков [8, 31]. Для решения такой задачи в двумерном случае применяют геометрические методы [24], метод моментов и всплеск-анализ [47]. Решение двумерной задачи получено для довольно узкого класса фракталов, поэтому значительный интерес представляет данная задача в многомерном случае для аффинных самоподобных функций. Таким образом, разработка новых методов получения фрактальных характеристик многомерных аффинных самоподобных функций является актуальной научной проблемой диссертационного исследования.

При изучении самоподобных фракталов мощные средства предоставляет непрерывный всплеск-анализ. Теория всплесков возникла сравнительно недавно'. Само название всплеск (или вейвлет (wavelet)) возникло менее 30 лет назад в работах Морле (Morlet), Аренса (Arens), Форже (Fourgeau) и Жи-ара (Giard) [45], Морле [44], Гроссмана (Grossman) и Морле [34]. Исследованием приложений всплесков к анализу сигналов (таких как звук и изображения) занимались Кроланд-Мартин (Kroland-Martinet), Морле, Гроссман [36], Малла (Mallat) [40, 41, 42], Добеши (Daubechies) [22]. Международный стандарт сжатия изображений JPEG2000 основан на разложении изображений по базису всплесков [49]. Анализу фракталов при помощи непрерывного всплеск-преобразования посвящены работы Арнеодо (Arneodo) и др. [5, 6, 9, 8]. Результатом является разработанный метод WTMM (wavelet transform modulus maxima, метод максимумов модуля всплеск-преобразования) для вычисления спектра особенностей мультифрактальных сигналов, имеющий важные применения в ряде проблем, таких как развитая турбулентность (fully developed turbulence), метеорология, физиология, анализ ДНК [7] и геофизика [39]. Для анализа многомерных сигналов метод WTMM использует векторное всплеск-преобразование, представляющее собой градиент сглаженного сигнала. Другой подход к анализу многомерных сигналов, основанный на направленных всплесках (directional wavelets) разработан Муренци (Murenzi), Антуаном (Antoine) и Вандергейнстом (Vandergheynst) [1, 2, 3], использует непрерывное всплеск-преобразование, ассоциированное с группой подобий евклидова пространства (НВП с вращениями) [46]. Этот подход успешно применяется для распознавания образов (изображений, контуров, рукописных текстов, симметрий), имеет ряд приложений в астрономии, геофизике, гидродинамике и др. [4]. В настоящей работе для анализа многомерных фракталов используется НВП с вращениями и вводится его обобщение.

Целью настоящей работы является разработка методов численного решения обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций с использованием всплеск-анализа.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

1. На основе свойств самоподобия НВП с вращениями для самоподобных функций была поставлена и решена задача обобщения НВП, обладающего такими же свойствами в отношении аффинных самоподобных функций.

2. Обобщение одномерного подхода Хвонга (Hwang) и Малла [31]. для восстановления параметров самоподобных функций на случай многомерных аффинных самоподобных функций. Был разработан алгоритм численного восстановления указанных параметров. Данный алгоритм при1 7 надлежит к классу алгоритмов с голосованием, таких как алгоритм Хафа (Hough) [10].

3. Выбор всплеск-функции НВП, для которой указанный алгоритм будет устойчив к численным погрешностям. В качестве таковой функции был выбран многомерный всплеск Гаусса, позволяющий избежать численных погрешностей в тех областях, где НВП близко к нулю.

4. Численная реализации НВП. Был разработан алгоритм вычисления НВП с применением быстрого преобразования Фурье.

5. Разработка комплекса программ с использованием современного математического программного обеспечения.

6. Тестирование разработанных алгоритмов, методов и комплекса программ на модельных примерах аффинных самоподобных функций.

7. Для проверки эффективности разработанного алгоритма в случае содержания шума в исследуемом входном сигнале потребовалось провести ряд соответствующих вычислительных экспериментов.

Объектами исследования являются многомерные аффинные самоподобные функции и их непрерывное всплеск-преобразование.

Предметом исследования является численное решение с применением непрерывного всплеск-анализа обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций — задача нахождения аффинных операторов, относительно которых функция является самоподобной.

Основные научные результаты работы, имеющие новизну:

1. Для анализа многомерных аффинных самоподобных функций предложено обобщение непрерывного всплеск-преобразования, обладающее свойствами самоподобия в отношении таких функций.

2. Разработан метод численного решения обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций, особенностью которого является вычислительная устойчивость и подавление шумовой составляющей сигнала.

3. Разработан алгоритм вычисления обобщенного непрерывного всплеск-преобразования, вычислительная сложность которого ниже по сравнению с прямым методом за счет использования быстрого преобразования Фурье.

4. Доказано утверждение о распространении до самых малых масштабов линий всплеск-максимумов обобщенного непрерывного всплеск-преобразования с всплесками Гаусса, что позволяет повысить устойчивость разработанного метода к численным погрешностям всплеск-преобразования в тех областях, где оно близко к нулю.

К практически значимым результатам относятся разработанные методы, вычислительные алгоритмы и комплексы программ, которые могут быть использованы при решении следующих задач:

1. Анализ и сжатие изображений, содержащих самоподобные фракталы, при этом теоретически достижимо весьма эффективное сжатие за счет того, что аффинные самоподобные функции описываются при помощи относительно небольшого набора параметров.

2. Распознавание образов объектов, обладающих свойствами аффинного самоподобия.

3. Анализ объектов, описываемых моделями хаотической динамики в молекулярной физике, геофизике и метеорологии.

Также отметим, что установленное свойство обобщенного непрерывного всплеск-преобразования о распространении его всплеск-максимумов до самых малых масштабов является важной характеристикой, позволяющей разрабатывать новые методы анализа многомерных сигналов, такие как локализация особенностей и оценка спектра [42, 9],[65, глава 6].

В работе применяются методы функционального анализа [63], методы теории интегральных и дискретных преобразований, таких как преобразование Фурье [73, 59] и всплеск-преобразование [65, 60, 53, 72], методы теории самоподобных фракталов [29, 64, 27, 26], теории всплесков [68, 74], теории матриц [58, 57, 52, 69, 61], методы теории компьютерного зрения [10, 11, 48]. Разработка программного обеспечения проводилась в среде МАТЬАВ [50].

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 75 наименований. Общий объем диссертации— 120 страниц, включая 16 рисунков, 1 таблицу и 1 приложение.

8. Результаты работы могут быть использованы в системах цифровой обработки сигналов, распознавания образов и анализа динамических систем, описываемых моделями фрактальной геометрии, а также рекомендуется использовать их при подготовке специалистов в учебном процессе по направлению 231300 "Прикладная математика".

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Разработаны методы численного решения обратной задачи для многомерных аффинных самоподобных функций с использованием всплеск-анализа, имеющие большое значение в вопросах, связанных с цифровой обработкой сигналов, распознаванием образов, анализом моделей хаотической динамики в молекулярной физике, геофизике и метеорологии.

2. На основе выявленных свойств самоподобия непрерывного всплеск-преобразования (НВП) с вращениями для самоподобных функций было получено обобщенное НВП, которое обладает такими же свойствами самоподобия в отношении аффинных самоподобных функций.

3. Разработан алгоритм численного восстановления параметров аффинного самоподобия, причем восстановление происходит посредством голосования для всплеск-максимумов обобщенного НВП в пространстве параметров аффинных операторов.

4. Получено обоснование того, что точки всплеск-максимумов обобщенного НВП для всплесков Гаусса принадлежат кривым, распространяющимся до самых малых масштабов, что позволяет повысить устойчивость алгоритма к численным погрешностям в тех областях, где НВП близко к нулю.

5. Получена эффективная численная реализация непрерывного всплеск-преобразования, особенностью которой является применение быстрого преобразования Фурье.

6. Для численного решения рассматриваемых задач разработан комплекс программ, реализующий предложенные в диссертационной работе алгоритмы в двумерном случае.

7. Проведен численный анализ эффективности разработанного алгоритма в случае, когда входной сигнал содержит шумы.

1. Antoine J.-P. and Murenzi R. Two-dimensional directional wavelets and the scale-angle representation. Signal Process., 1996, 52, pp. 259—281.

2. Antoine J.-P., Murenzi R., and Vandergheynst P. Two-dimensional directional wavelets in image processing. International Journal of Imaging Systems and Technology, 1996, 7(3), pp. 152-165.

3. Antoine J.-P., Murenzi R., and Vandergheynst P. Directional wavelets revisited: Cauchy wavelets and symmetry detection in patterns. Appl. Comput. Harmon. Anal., 1999, 6, pp. 314-345.

4. Antoine J.-P., Murenzi R., Vandergheynst P., Ali S.T. Two-Dimensional Wavelets and their Relatives. Cambridge University Press, 2004.

5. Argoul F., Arneodo A., Elezgaray J., Greasseau G. and Murenzi R. Wavelet transform of fractal aggregates. Phys. Lett. A, 1989, 135(6-7), pp. 327-336.

6. Arneodo A., Argoul F., Bacry E., Muzy J.F., and Tabard M. Golden Mean Arithmetic in the Fractal Branching of Diffusion-Limited Aggreagtes. Phys. Rev. Lett., 1992, 68(23), pp. 3456-3459.

7. Arneodo A., Audit В., Kestener P., Roux S. Wavelet-based multifractal analysis. Scholarpedia, 2008, 3(3), 4103. http://www.scholarpedia.org/article/

8. Wavelet-basedmultifractalanalysis

9. Arneodo A., Bacry E., Muzy J.F. Solving the inverse fractal problem from wavelet analysis. Europhys. Lett., 1994, 25(7), pp. 479-484.

10. Bacry E., Muzy J.F., Arneodo A. Singularity spectrum of fractal signals from wavelet analysis: exact results. Journ. of Statistical Physics, 1993, 70(3-4), pp. 635-674.

11. Ballard D. Generalizing the Hough transform to derect arbitrary shapes. Pattern Recognition 13(2), 1981, pp. 111-122.

12. Ballard D.H., Brown C.M. Computer vision. Prentice-Hall, 1982.

13. Bandt C. Self-Similar Sets 1. Topological Markov chains and mixed self-similar sets. Math. Nachr., 1989, 142(1) pp. 107-123.

14. Bandt C., Keller K. Self-Similar Sets 2. A Simple Approach to the Topological Structure of Fractals. Math. Nachr., 1991, 154(1), pp. 27-39.

15. Bandt C. Self-similar sets 3. Constructions with sofic systems. Monatsh. Math., 1989, 108(2-3), pp. 89-102.

16. Bandt C. Self-similar sets 5. Integer matrices and fractal tilings of Mn. Proceedings of the AMS, 1991, 112(2), pp. 549-562.

17. Bandt C., Graph S. Self-similar sets 7. A characterization of self-similar fractals with positive Hausdorff measure. Proceedings of the AMS, 1992, 114(4), pp. 995-1001.

18. Barnsley М. and Sloan A. A better way to compress images. Byte Magazine, January 1988, pp. 215-223.

19. Barnsley M.F. Fractals Everywhere. Academic Press, 1988

20. Cabrelli, C.A., Heil C., Molter U.M. Self-Similarity and Multiwavelets in Higher Dimensions. Memoirs of the AMS, 2004, 170(807), 82p.

21. Cabrelli C.A., Motler U.M. Generalized self-similarity. J. of Math. Anal and Appl., 1999, 230, pp. 251-260.

22. Chu E., George A. Inside the FFT Black Box: Serial and Parallel Fast Fourier Transform Algorithms. CRC Press, 2000.

23. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis. IEEE Trans. Inform. Theory, 1990, 36(5), pp. 961-1005.

24. Daubechies I., Lagarias J. Two-scale difference equations I. Existence and global regularity of solutions. SIAM J. Math. Anal, 1991, 22(5), pp. 13881410

25. Deliu A., Geronimo J. and Shonkwiler R. On the inverse fractal problem for two-dimensional attractors. Phil. Trans. R. Soc. bond., 1997, 355(1726), pp. 1017-1062.

26. Falconer K. Sub-Self-Similar Sets. Transactions of the AMS, 1995, 347(8), pp. 3121-3129.

27. Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. 2nd Edition, John Wiley & Sons Ltd, 2003.

28. Falconer K. Techniques in Fractal Geometry. John Wiley & Sons Ltd, 1997.

29. Handy C.R., Mantica G. Inverse problems in fractal construction: Moment method solution. Phys. D, 1990, 43(1), pp. 17-36.

30. Hutchinson J.E. Fractals and Self Similarity. Indiana Univ. Math. J., 1981, 30(5), pp. 713-747.

31. Hummel В., Moniot R. Reconstruction from zero-crossings in scale-space. IEEE Trans. Acoust., Speech, and Signal Proc., December 1989, 37(12), pp. 2111-2130.

32. Hwang W.L. and Mallat. S. Characterization of self-similar multifractals with wavelet maxima. J. of Appl. and Comput. Harmonic Analysis, 1994, 1, pp. 316-328.

33. Gharavi-Alkhanasri M., Huang T.S. Fractal-Based Image and Video Coding, in Video Coding: The Second Generation Approach. Torres L., Kunt M., Springer; 1st ed., 1996, pp. 265-304.

34. Goold N.R., Somfai E. and Ball R.C. Anisotropic diffusion limited aggregation in three dimensions: Universality and nonuniversality. Phys. Rev. E, 2005, 72(3), 031403, 10p.

35. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy Functions into Square Integrable Wavelets of Constant Shape. SIAM J. Math. Anal., 1984, 15(4), pp. 723-736.

36. Káenmáki A., Vilppolainen M. Dimension and Measure on Sub-Self-Affine Sets. Montash. Math., 2010, 161(3), pp. 271-293.

37. Kroland-Martinet R., Morlet J., Grossman A. Analysis of sound patterns through wavelet transforms. Internat. J. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 1987, 1, pp. 273-301.

38. Lau К., Xu Y. On the boundary of attractors with non-void interior. Proc. Amer. Math. Soc., 2000, 128, pp. 1761-1768.

39. Lee J.S. Digital Image Enhancement and Noise Filtering by Use of Local Statistics. IEEE Trans. Patt. Anal. Machine Intell., 1980, 2(2), pp. 165-168.

40. Lyubushin A.A. Synchronization Trends and Rhythms of Multifractal Parameters of the Field of Low-Frequency Microseisms. Izvestiya, Physics of the Solid Earth, 2009, 45(5), pp. 381-394.

41. Mallat S. A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation. IEEE Trans. Patt. Anal, and Mach. Intell, 1989, 11(7), pp. 674-693.

42. Mallat S. Multifrequency Channel Decomposition of Images and Wavelet Models. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., 1989, 37(12), pp. 20912110.

43. Mallat S. and Hwang W.L. Singularity Detection and Processing with Wavelets. IEEE Trans. Info. Theory, 1992, 38(2), pp. 617-643.

44. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Company, New York, 1982

45. Morlet J. Sampling theory and wave propagatioin. NATO ASI Series, 1, Issues in Acoustic signal/Image processing and recognition, C.H. Chen, ed., SpringerVerlag, Berlin, pp. 233-261.

46. Morlet J., Arens G., Forgeau I., Giard D. Wave Propagation and Sampling Theory. Geophysics 1982, 47(2), pp. 203-236.

47. Murenzi R. Wavelet transforms associated to the n-dimensional Euclidean group with dilations: signals in more than one dimension, in Wavelets, J.M. Combes, A.Grossman, and Ph.Tchamitchian, eds., Springer-Verlag, Berlin, 1989, pp. 239-246.

48. Rinaldo R., and Zakhor A. Inverse and Approximation Problem for Two-Dimensional Fractal Sets. IEEE Trans. Image Proc., 1994, 3(6), pp. 802-820.

49. Ritter G.X., Wilson J.N. Handbook of computer vision algorithms in image algebra. 2nd. ed., 2001, CRC Press LLC.

50. Taubman D.S., Marcellin M.W. JPEG2000: image compression fundamentals, standards and practice. Kluwer Academic Publishers, 2002.

51. Yang W.Y., Cao W., Chung T.S., Morris J. Applied numerical methods using MATLAB®. John Wiley & Sons, 2005.

52. Yuille A., Poggio T. Scaling theorems for zero-crossings. IEEE Trans. Patt. Anal, and Mach. Intell., 8(1), 1986, pp. 15-25.

53. Веллман P. Введение в теорию матриц. Москва: Мир, 1969.

54. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. Москва: Техносфера, 2006.

55. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

56. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр., Москва: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

57. Винберг Э.Б. Курс алгебры. 2-е изд., Москва: Факториал пресс, 2001.

58. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. Москва: Наука, 1984.

59. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, 5-е изд., Москва: Физматлит, 2010.

60. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. Москва: Мир, 1988.

61. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. пер. с англ., Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

62. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. Москва: Наука, 1970.

63. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. 2-е изд., доп, Москва: Изд-во АФЦ, 1999.

64. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд., Москва: Физматлит, 2004.

65. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000.

66. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов, пер. с англ., Москва: Мир, 2005.

67. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, пер. с англ., Москва: Институт компьютерных исследований, 2002.

68. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. Москва: Высшая школа, 1977.

69. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. Москва: Физматлит, 2006.

70. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. 3-е изд., испр., Москва: Наука, 1973.

71. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, т. 2, пер. с англ., Москва: Мир, 1984.

72. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2002.

73. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике, пер. с англ., Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.

74. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: в 4-х т., т. 1., Теория распределений и анализ Фурье, пер. с англ., Москва: Мир, 1986.

75. Чуй Ч.К. Введение в вейвлеты. пер. с англ., Москва: Мир, 2001.