автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Редукция математических моделей механизмов цепных реакций

РГВ

РГ8 ОД

ОД

На правах рукописи

Тропин Анатолий Викторович

Редукция математических моделей механизмов цепных реакций

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математических методов и математического моделирования в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа -1998

Работа выполнена в лаборатории химической кинетики Института органической химии Уфимского научного центра Российской академии наук.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Спивак С. И.

Официальные оппоненты-

доктор физико-математических наук, профессор, Рамазанов М. Д., кандидат химических наук, доцент Хурсан С. Л..

Ведущая организация - Чувашский государственный университет.

Защита состоится " " октября 1998 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д-064.13.02 при Башкирском государственном университете по адресу:

450074, г. Уфа, Фрунзе - 32, физ-мат корпус, ауд. 511.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государств енного университета.

Автореферат разослан " \\ " сентября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д-064.13.02

Болотное А. М.

Общая характеристика работы

Актуальность. Основной математической моделью сложных химических процессов является система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Точное аналитическое решение таких систем как правило невозможно. Поэтому для их интегрирования чаще всего используют численные методы и приближенные аналитические методы, такие как метод квазистационарных концентраций, асимптотические методы.

При использовании универсальных современных численных методов теряется качественная часть информации.

Метод квазистационарных концентраций (КСК) качественно достаточно информативен, но позволяет исследовать фактически лишь окончание химического процесса, то есть самую медленную его часть. Кинетика же высокоскоростной части процесса остается малоизвестной.

В приложениях математики достаточно часто используют асимптотические методы. Они являются более тонким математическим инструментом для решения сложных систем дифференциальных уравнений (СДУ) по сравнению с методом КСК. Асимптотические методы позволяют существенно упростить исходную СДУ на определенных интервалах времени и найти приближенные аналитические решения. Эти методы уже применялись для приближенного аналитического решения прямой кинетической задачи, однако даже для очень простых химических механизмов они оказались слишком трудоемкими.

Широко известным свойством всех реальных химических процессов является так называемое свойство разделения времен. Это свойство заключается в том, что весь временной интервал можно разделить на подынтервалы, на каждом из которых реализуется только часть сложного механизма реакций. Это позволяет редуцировать сложную СДУ химической кинетики (ХК) на определенных временных интервалах к системам меньшей размерности. На этом свойстве основан метод КСК. Но этот метод позволяет выделить только 2 временных масштаба, хотя реально их больше.

Цель работы. Основная цель настоящей работы - использование свойства разделения времен для приближенного аналитического интегрирования СДУ ХК, а именно: разработка методики, алгоритма и

сервисной программы; обоснование методики и оценка точности; использование методики для анализа конкретных систем.

Научная новизна работы. Разработана методика приближенного интегрирования сложных СДУ ХК. Решение ищется в виде составного решения цепочки подсистем дифференциально-алгебраических уравнений, полученных из исходной СДУ ХК занулением некоторых ее членов по определенному правилу. Сформулирована и доказана теорема об условиях, при которых решение исходной СДУ ХК в безразмерном виде и составное решение цепочки близки в определенном смысле. Выяснена область изменения коэффициентов скоростей и начальных концентраций, при которых близость вышеупомянутых решений сохраняется.

Практическая ценность работы. Разработанная методика и алгоритм реализованы в виде сервисной программы для персональных компьютеров типа IBM PC. Программное обеспечение может быть использовано для анализа достаточно широкого класса химических механизмоЕ;. Найдены приближенные аналитические решения прямой кинетической задачи для трех сложных химических механизмов: жидкофазного ингибированного окисления, озонирования циклогексана, термического распада дифенилдиазометана в присутствии кислорода.

Апробация работы. Результаты работы обсуждены на VIII Всероссийской конференции "Математические методы в химии" (Тула, 1993):; Всероссийской конференции "Озон-94" (Уфа, 1994); IX Международной конференции "Математические методы в химии и химической технологии" (Тверь, 1995); II Международной конференции "Кинетика радикальных жидкофазных реакций" (Казань, 1995), II Международной конференции по нестационарным процессам (St.Louis, Missoury, USA, 1995). Работа обсуждалась на семинарах кафедры математического моделирования БашГУ, отдела физической химии ИОХ УНЦ РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Содержание диссертации

Во введении кратко изложены цели работы и ее содержание.

Глава 1. Литературный обзор и постановка задачи. Проводится обзор литературы по следующим вопросам: -аксиоматика математического моделирования в химической кинетике; -свойства СДУ ХК, методы решения и упрощения СДУ ХК; -асимптотические методы в применении к СДУ ХК.

В разделе аксиоматики формулируются основные предположения. Рассматривается схема реакций:

(О

/=/ к; ;=/

где п, г - количество веществ и элементарных стадий; A¡ - вещества; a¡„ ßp -стехиометрические коэффициенты; к/, kj - коэффициенты скорости 7-0Й стадии в прямом и обратном направлении; причем:

Vi=l..n Vj=i..r aJh ßp ef0,l,2}; (2)

b;=/..!■ 0<¿«„ <2, 0<Yjßß<2, k/,k->0- (3)

<w 1=1

гв = о,

где Г - {aß - ßß } - стехиометрическая матрица, В - атомная матрица. Рассматривается СДУ ХК, соответствующая схеме (1): da/dt = rTw(a), а(0) = а0, (4)

где а - (a¡,..., вектор-столбец концентраций веществ А,,...., А„; Гг- транспонированная стехиометрическая матрица; w(a) = (w¡(a),..., wr(a))T- вектор-столбец скоростей стадий:

у», = w/-w- = к/ (\аГ - к/-fia?" j=l..r. (5)

На основе изложенных в литературном обзоре методов формулируется основная задача - построение методики и алгоритма, выделяющего цепочку временных интервалов и соответствующих им упрощенных подсистем аппроксимирующих исходную СДУ ХК в определенном смысле с заданной точностью е. Формулируются другие задачи.

Глава 2. Приближение безразмерной СДУ ХК цепочкой подсистем дифференциально-алгебраических уравнений.

Любую систему дифференциальных уравнений химической кинетики можно преобразовать к безразмерному виду:

x'=F(x),x(0)=x0, (6)

где х - неизвестная вектор-функция концентраций, компоненты которой нормированы к единице; F: [0,1]" -» R"; х0 е [0,1]"-

В качестве приближения для системы (6) возьмем некоторую цепочку подсистем дифференциально-алгебраических уравнений, полученных из (6) приравниванием нулю каких-то членов по некоторому правилу. Такая цепочка имеет вид: при te[tk, tM]

(sk)'=0k, (7.1)

(^/(sVY), (k=0..N) (7.2)

0k=f(s\V\qk), (7.3)

с начальными условиями

[Sa,vo]r(O)=*0) (8)

и условиями сращивания

[j\ v\ /]T(tk)« [s"-1, vk-', ^TOfcMk-l-.N) (9)

где 0 = to < ti < ... < tN+i = T - некоторое разбиение интервала времени [0,Т], причем Т <со; запись [.vk,vk,^rk]T здесь и далее обозначает n-мерную вектор-функцию, составленную из трех подвекторов-функций ^ и qv, так что для их размерностей выполняется равенство dim(sk) + dim(vk) + dim(<jrk) = n; £k, вектор-функции, определенные в n-мерном кубе [0,1]° и в составном виде принимающие значения в Лп; если dim^/1) = lt > 0, то (7.3) - подсистема lk алгебраических уравнений; если dim(g-k)= mk> 0, то (7.2) - подсистема mk дифференциальных уравнений; из k-ых условий сращивания (9) выбираются начальные условия для дифференциальных уравнений к-ой подсистемы цепочки (7.2).

Далее в работе формулируются условия, при которых цепочка подсистем (7) с начальными условиями (8) и условиями сращивания (9) имеет кусочно непрерывно-дифференцируемое решение, притом достаточно близкое к решению системы (6). Io Пусть jc( ) является решением (6). 2° Предполагаем, что для всех d из е-окрестности D= {d е [0,1]": 3t>0 I d-x(t) I <е, где дг-решение (6)} (10)

все характеристические числа X матрицы частных производных сР/дх((Г) удовлетворяют неравенству

Р1е(Х) < -а < 0. (11)

3° Предполагаем, что а>рв, (12)

где Р = так ((Яг,г),г); (13)

1ИИ

В=д 2Р/ск2 - кубическая матрица частных производных с компонентами максимум берется по всем п-мерным векторам единичной

длинны .

4° Пусть для всех к = 1, 2, ..., N выполнено условие: если к-ая подсистема алгебраических уравнений (7.3) непуста, то в области О существует однозначная и непрерывная вместе с производными по всем компонентам ук вектор-функция <7к(/', ук) - один из корней этой подсистемы. 5° Предположим, что для всех к =1,2,..., N решение задач (*•")•=/(/, Л ^(¿У)) (14)

с соответствующими (9) начальными условиями определено на ^н] и [$к,у'1,дк(51',у11)]т принимает значения в И.

Определим на [0,Т] вектор-функцию

[До, /(1), 9к(Л0/(1))]т, при 1€ [1к, 1к+1) (15)

и назовем ее решением цепочки (7-9).

6° Пусть скачки вектор-функции/ в точках ^ малы, а именно: Ук=1,2,...,К ИХ^-Ж-)! <£/(2И). (16)

7° Предположим, что для всех I е [0,Т]\0ь 12,..., I гт>У«)» ^ 1у(0 I -е/(2 ), (17)

N 'ы

где = £ | IIУ(I) II <1т (18)

*=0 ,к

-суммарная длина непрерывных дуг траекторий вектор-функции у из >'(0) в КГ).

Теорема. Пусть выполнены условия 1°-7°, тогда справедлива оценка:

У1е[0,Т) |*©-Х01 <в. (20)

Далее в данной главе изложено доказательство теоремы и замечания.

В реальных СДУ ХК коэффициенты скорости, начальные и максимальные концентрации обычно известны лишь приближенно, т.е. они являются параметрами. В связи с этим возникает вопрос: в каких

диапазонах изменения этих параметров цепочка подсистем дифференциаогьно-алгебраических уравнений (7-9) является хорошим приближением для безразмерной СДУ ХК вида, аналогичного (6):

*'= Лх,ц), х(0) = х0, (21)

где ц. вектор параметров.

Выяснено, что в условиях теоремы

Уб«х/С1 ЗЩц0) Уцеи(ц°) [0,Т) /дП<£, (22) где С!>0 - константа; ц° - фиксированный набор параметров; Щц0) -окрестность точки в пространстве параметров, состоит из тех (1=ц°+Дц, для которых выполнено неравенство

/)+Г

-ае + пт£^Ь)+ С,г2 + С21 А/и II2 + С3 \ А/л I б < 0; (23)

м

у(1,ц) - веьггор-функция, полученная из у0,/и0) (решения цепочки (7-9) при фиксированном векторе параметров /л°) формальной подстановкой вектора /и=/1}+А/л вместо /£.

Глава 3. Алгоритм редукции СДУ ХК.

Не умаляя общности рассматриваем химические процессы вида

£а „А, , Ц=1..г), (24)

/=/ ¡=1

Входные данные: количество компонент и стадий («, г); стехиометрические коэффициенты {ар, (Зу, ); вектор коэффициентов скоростей стадий (к); вектор начальных концентраций (Хо); требуемая точность (е>0); конечное время (Т>0).

Выходные данные: численное решение исходной СДУ ХК и ее приближения; цепочка подсистем дифференциально-алгебраических уравнений.

0. Проверить корректность входных данных (условия (2 - 3)).

1. Подготовить данные для решения СДУ ХК вида (4 -5):

Х = С(Х),Х(0)=Х0. (25)

2. Числено интегрируя систему (25) на [0,Т], найти величины:

1Р, Л1 (р=0..М); {векторы численного решения в узлах 1?}

Хта* := тах Х^ (1=1 ..п); {максимальные концентрации}

р=0..м

хр, := Хр;/Хга^ (1=1 ..п); {нормированные концентрации}

lit - I i

A4-1 n

Sg= ^ -xpi)2 {длина дуги траектории решения в

1/2

р=0 [_ i-1

фазовом пространстве [0,1]"}.

3. Преобразовать данные для решения СДУ ХК в безразмерном виде

где Р,(х) = ]Г к,/х) 0=1. .п); 1='

4. Найти число (3:

В = Э^/йс2; {постоянная кубическая матрица частных

производных 2 порядка от Б из формулы (26)}

р = тах ((Вг,г),г). И='

5. Присвоить начальные значения:

р:=0; ур:=Хо; {векторы приближенного решения в узлах 1р} 5:=е/(2 Яд ); А:=0; {порог малости; скачки функции>>}.

6. Проверка устойчивости:

А(ур) := тах (дР1Вх{ур)1, г); {максимальное собственное число

ИМ

матрицы частных производных д2/7<Эл:(ур) } если \(ур)>0 или ре+Х(ур)>0,

то (Ошибка(неустойчивость); конец работы алгоритма).

7. Вычислить:

x' = F(x), х(0)=х0,

(26)

].(здесь0°=1; i=l..n, j=l..г);

8. Упростить систему (26) до подсистемы вида:

0,

0 -fis,v,q).

(27.1)

(27.2)

(27.3)

по правилу: S := 0; V := 0; Q := 0; {инициализация множеств} для i=l..n:

если \F, (f)| / I F(yP) 1 < 5 (28)

то Q:=Q U {i}; {i-e уравнение считать алгебраическим} если \w¡j()P)\ / 1 F()P) | <8 (29)

то член M>¡j()f) приравнять нулю;

если Vj=l..г |wyV)\ / 1 F(f) S <S (30)

то S ::=S U {i} {i-e уравнение считать стационарным x¡' = 0} иначе V:=VU {i}; {i-e уравнение считать дифференциальным}

9. Если Q го найти величины:

q¡ (ieQ); {решение подсистемы |Q| алгебраических уравнений 0 =f(s,v,q) относительно переменных <7, (ieQ) при *„• = /, (ieS); V,--/, (ieV)} /у,'(ieQ); {решение системы |Q| алгебраических уравнений 0 =/'(s,v,q) относительно переменных q,' (ieQ); приs¡ (ieS); v, : = /, (ieV); s' :=0 (ieS); v,'/=g, (s,v,q) (ieV);

10. Проверить выполнение условия 7o теоремы:

если: Y,(F>(y"))2 ^(F/y'J-q/)2

ieS Í& ieQ

VibS ¿£T ieQ J

то (£:= ¿72 ; перейти к 5).

11. Если структура подсистемы (27) изменилась, то проверить выполнение условия 6° теоремы:

/ \ "2

; {сумма длин скачков функции j>}

если А > е/2 то (А := А/2; перейти к 5) иначе записать в выходной файл У и подсистему (27).

12. Сделать шаг численного интегрирования для подсистемы (27):

найти ур+1;р :=р+1.

13. Проверка окончания алгоритма:

если р=М то конец работы алгоритма иначе переход к 6.

Далее в главе следует подробное описание компьютерной программы, реализующей данный алгоритм: назначение программы, требования к системе ir конфигурации, входные данные программы, выходные данные программы, возможности программы, структура исходной программы на языке Паскаль.

Глава 4. Примеры.

Приводятся 3 примера получения приближенных аналитических решений прямой кинетической задачи для сложных химических механизмов. Вначале рассматривается довольно распространенный в природе механизм жидкофазного цепного окисления органического субстрата RH молекулярным кислородом в присутствии ингибитора InH.

Входные данные для программы оформлены в виде текстового

файла:

Жидкофазное ингиб. окисление орг. субстрата RH молек. кислородом

{Наим.вещ-ва Нач.коиц-ция Макс.конц-ция "Цвет" Обозначение}

R02 le- 7 1е-7 2 х

InH 5е-б 5е-6 3 у

In" 0 2е-10 4 ъ

{Химический механизм:

R02 R02

+ +

->R02 2*R02 -> InH ->In' In' -> 2*In" ->

Kohct. = Числ. знач} Wi = 2e-8 k6 = le6 k7 = 2e4 k8 = 5e8 k9 = le8

{Начальное_рреми le-4

Конечноевремя} leí»

{Порог_малостн Se-2

Точность_в_МРК} le-4

Программа формируют цепочку упрощенных подсистем вида

Ю= О.ОООЕ+ОО

х'= 0, х(Ш)= 1.000Е-07;

у'=0, у(Ш)= 5.000Е-06;

г'= +к7ху, г(Ю)= 0.000Е+00;

11= 1.677Е-03 х'= О, у'=0,

г'= +к7ху -к8хг,

х(И)= 9.99&Е-08; у(Ч1)= 5.00С1Е-06; г(И)= 1.609 Е-11;

Й= 6.040Е-02 х'= -2к6хх, у'=0,

О = +к7ху -к8хг,

х(12)= 9.900Е-08; у(12)= 4.999Е-06; г#2)= 1.900Е-10;

И= 8.724Е-02

х'= +Wi -2к6хх -к7ху -к8хг, у'=0,

О = +к7ху -к8хг,

х(0)= 9.850Е-08 у(0)= 4.999Е-06 г(0)= 1.998Е-10

14= 4.329Е+00

х'= +\У1 -2к6хх -к7ху -к8хг,

у'= -к7ху,

О = +к7ху -к8хг,

х(М)= 6.676Е-08 у(М)= 4.966Е-06 г(Ы)= 1.984Е-10

15= 6.047Е+00 О = -2к6хх -к7ху -к8хг, у'= -к7ху, О = +к7ху -к8хг,

6.421Е-08 у(15)= 4.955Е-06 1.980Е-10

16= 1.404Е+03 О = +Wi -2к6хх, у'= -к7ху, О = +к7ху -к8хг,

х(16)— 9.510Е-08; у^6)= 5.024Е-07; г(Ь6)= 2.009Е-11;

2.160Е+04

О = -2к6хх, х(17)= 1.000Е-07;

у'= 0, у(17)= 1.516Е-24;

О = +к7ху -к8хг, г(17)= 6.064Е-29;

Учитывая условия сращивания, последовательно интегрируем подсистемы цепочки. Получаем составное аналитическое решение: [О, г,) х=х0, у=у0, 2=к7ХоУоГ,

х=х0, у=уо, 2=к7Уо/к8-(1-ехр(-к8ХоО);

[г2, 13) х=х0, у=уп, г=к7уо/к8;

[Ь, и) 1п {(х+х0(а0+р))/(х+х0(а0-р))} =

=1п {(1+а0+р)/(1 +а0-Р)}+ 2|32к^,

У=Уо, г=к-,У(/к8;

^5) х'=\у1-2к6х"-к7ху-кЕх2, х(14)==(р-а0) -Хо, у'=-к7ху, у(14)=у0,

г=1с7у/к8; (не имеет аналитического решения) [15,« х = {((к.узЧг^О1'2 - к7у}/2к6,

1п{((1+Ч2),/2+1)/Ч}-Ч-(1+я2)Ю =

= 1п{((1+а02)ш+1)/ао}-ао-(1+ао2)1/2 + «'¡с^Уо, г = к7у/к8;

К С7) х = (ш;/2кЛ)1/2,

у == е-\уДк7х>ехр{-к7х-(И6}}, г = к7у/к8;

р7,оо) х = («'¡/2к<5)1/2, у = О, 2 = 0;

где ао=к7уо/(2кбХо), р=(1+с«02)1/2, Ч=У'а(/Уо-

Сравним полученное приближенное аналитическое решение с графиком численного решения, приведенным ниже.

(И02'](х

1од(зес.)

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

Ось абсцисс соответствует десятичному логарифму от времени, выраженному в секундах. По оси ординат откладываются нормированные концентрации. Пронумерованные вертикальные линии (кроме оси ординат) обозначают точки переключения. На графике отображено только точное численное решение. Приближенное аналитическое решение практически совпадает с ним.

При 1е[0д2) на графике видно, что концентрация радикала 1п' (г) нарастает при почти неизменных [ЕЮ2'](х) и [1пН](у). Это точно соответствует решению цепочки на интервалах времени [0,^) и [^Дг). Интервал [^з) мал и все концентрации почти неизменны.

При 16^3^4) - концентрация [ГЮ2'] (х) убывает, приближаясь к некоторому значению (¡}-а0)хо, при квазистационарной концентрации 1п'(г) и неизменной [1пН] (у). На происходит то же самое.

При [15,16) - начинает активно расходоваться ингибитор 1пН (у), растет концентрация пероксидных радикалов К02' (х) до значения (\У(/2кб)|/2 и уменьшается [1п'] (г) до нуля. На интервале [^7) ингибитора 1пН (у) уже почти нет, поэтому концентрация [1п'](г) ничтожна, а концентрация [ГЮ2'] (х) практически равна (\У;/2к6)ш.

Приближенное аналитическое решение на всех этих интервалах соответствует графику. Можно выделить 3 основных интервала времени: [ОДз), рз^) и ^5,оо) и предложить более простое решение: [0Д3) х=х0, У=Уо, 2=к7уо/к3*(1-ехр(-к8х01));

[13,15) 1п{(х+хо(а0+р))/(х+хо(ао-р))} = 1п{(1+а0+Р)/(1+а0-Р)} + 2|ИкбХ&

у=у0, :г=к7уо/к.8; в,со) х ={((к7у)2+2к6%у,)'/2 - к7у}/(2кД г = к7у/к8.

1П{((1+Ч2)'/2+1)/Ч}-Я-(1+Ч2),/2=

= 1п{((1+а02)|/2+1Уао}-а0-(1+ао2)1/2 + ™,а01/уо,

Аналогичные приближенные аналитические решения и их подробные интерпретации получены также для двух других примеров: озонирования циклогексана и термического распада дифенилдиазометана в присутствии кислорода.

Выводы

1. На основе идеи разделения времен разработана методика приближенного аналитического интегрирования СДУ ХК. Решение ищется в виде составного решения цепочки подсистем дифференциально-алгебраически уравнений.

2. Сформулирована и доказана теорема об условиях, при которых решение исходной СДУ ХК в безразмерном виде и составное решение цепочки близки в определенном смысле. Выяснена область изменения коэффициентов скоростей и начальных концентраций, при которых близость вышеупомянутых решений сохраняется.

3. В соответствии с теоремой предложен алгоритм построения цепочки. Он легко модифицируется в зависимости желательного вида цепочки и других требований.

4. Разработанная методика и алгоритм реализованы в виде компьютерной программы, которая пригодна для анализа достаточно широкого класса химических механизмов, имеет большие возможности, простой и удобный сервис.

5. С помощью программы найдены и интерпретированы приближенные аналитические решения прямой кинетической задачи для трех сложных химических механизмов.

6. С помощью численного эксперимента исследованы области изменения всех параметров, при которых приближенные аналитические решения близки (в определенном смысле) к точным решениям.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Тропин A.B., Масленников С.И., Спивак С.И. Новый подход к решению нелинейных систем дифференциальных уравнений химической кинетики. // Кинетика и катализ. 1995. т.36, No. 5, С.658-664.

2. Тропин A.B., Спивак С.И. Алгоритм редукции систем дифференциальных уравнений нестационарной химической кинетики. // 9-я Международная конференция "Математические методы в химии и химической технологии", сборник тезисов.ч. 1. Тверь. 1995. с. 107.

3. Тропин A.B., Спивак С.И. Компьютерный анализ механизмов сложных реакций жидкофазного ингибированного окисления углеводородов. //Тезисы И-й Международной конференции "Кинетика радикальных жидкофазных реакций". Казань. 1995. С.Зб.

4. Tropin А.V., Spivak S.I. The reduction of systems of differential equation of non-stationary chemical kinetics. The Second International Conference of Unstedy Processes. St.Louis, Missoury, USA. 1995. p. 17.

5. Тропин A.B., Масленников С.И., Спивак С.И. Построение асимптотических приближений систем дифференциальных уравнений химической кинетики. //Тезисы докладов VIII-й Всероссийской конференции "Математические методы в химии". Тула. 1993. С. 5.

6. Тропин A.B., Масленников С.И., Спивак С.И. Анализ механизма цепного разложения озона в системе СбН12-03-02 асимптотическим методом. //Тезисы докладов Всероссийской конференции "Озон-94" . Уфа. Реактив С.48.

Трогшн Анатолий Викторович

РЕДУКЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЗМОВ ЦЕПНЫХ РЕАКЦИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия № 0225 от 10.06.97 г.

Подписано в печать7.09.98 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская № 1. Компьютерный набор. Отпечатано на ризографе. Усл.печ.л. 1,02. Уч.-изд.л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 450.

Редакционно-издателъский центр башкирского университета Множительный участок Башкирского университета 450074. Уфа, ул.Фрунзе, 32. Тел.: (3472)236-710