автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Алгоритмы решения задач редукции

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Бобышев Владимир Николаевич

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕДУКЦИИ

Специальность 05.13.16-лримеиение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области физико-математических и технических наук)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физикочиитемаггических наук

Тверь-1994

Работа выполнена в Московском и Тверском государствен университетах

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Пытьев Ю.П. кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Николаев Е.С.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Богданчук В.З. кандидат физико-математических наук, доцент Подобряев В.Н.

Ведущая организация- Научно-исследовательский институт ядврно<

физики МГУ

*

Защита дисертации состоится "26" апреля 1994 года в 11 » I на заседании совета по защите диссертаций Д.063.97.01 в ТГУ г*. «дре< 170000, г.Тверь, уЛ-Жепябова, д.ЗЗ. (Для совета по защите диссерп Д.063.97.01).

С диссертацией можно познакомиться в научной библиотеке Тверс государственного университета.

Автореферат разослан ' О/ * ^с^ р^лсс 1994 г.

Ваши отзывы в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просьба высьи по уканному выше адресу.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СОВЕТА ПО ЗАЩИТЕ ДИССЕРТАЦИЙ кандидат фиаико математик юс ких наук.

Доцент,

ВАХижняк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации развиваются численные методы и алгоритмы решения задач редукции при обработке экспериментальных данных.

Актуальность темы определяется широким внедрением в практику вычислительного эксперимента в важнейших областях естествознания (физика плазмы, управляемый термоядерный синтез, физика атмосферы и океана, производство новых материалов и др.), что требует разработки эффективных методов и численных алгоритмов решек**» возникающих при этом задач.

Современные экспериментальные установки включают, как правило, в настоящее время в свой состав ЭВМ, что позволяет планировать стратегию проведения эксперимента и интерпретировать его результаты. Такой измерительно-вычислительный комплекс позволяет при некоторых условиях улучшить предельные возможности измерительной аппаратуры и компенсировать искажения, возникающие в процессе измерения, соответствующим образом преобразовав результаты эксперимента. Результат такого преобразования интерпретируется, как дашь» измерения, полученные на каком-то другом, возможно гипотетическом, приборе с лучшими характеристиками, и называется редукцией.

Метод редукции часто позволяет вместо дорогостоящего и долговременного физического эксперимента проводить вычислительный эксперимент, который позволяет проанализировать взаимосвязь параметров математической модели, оценить ее качество и достоверность получаемых результатов, а также получить результаты, соответствующие более высокоточному прибору.

В связи с этим возникает актуальная задача разработки соответствующего математического и программного обеспечения.

позволяющего ■ режим* реального времени проводить вычислитепьнь эксперименты. При этом часто основные затраты ресурсов ЭВ приходятся на решение больших серий ппохообусповпенных сист« линейных алгебраических уравнений, возникающих в процеа дискретизации уравнений, описывающих исследуемый реальнь процесс.

Цель работы заключается в теоретической разработке и программ» реализации методов и численных алгоритмов решения различных зад) редукции при обработке результатов экспериментальна исследований, обладающих большими эффективностью, быстродействие и точностью по сравнению с ранее используемыми методами.

Научная новизна данной работы определяется развитием нового подход в разработке численных методов решения задач редукции, основанном I предварительном разложении операторов, входящих в формулиров задачи, в произведение специальным образом подобранных оператор« фиксированными свойствами. Использование в дальнейии ' , расчетах этих свойств позволяет уменьшить объем используемой памя! количество арифметических операций, а как следствие увеличи быстродействие и эффективность измерительно-вычислительно

комплекса.

В качестве метода исследования применяется общая теор| обобщенных обратных матриц, при этом, в частности, получе» результаты, имеющие самостоятельное значение при исследован! обобщенных обратных матриц. Использование предварительно разложения позволило ослабить существовавшие ранее ограничения I применимость методов редукции в различных моделях.

На защиту выносятся следующие новые результаты:

а) обоснование метода построения обобщенного бидиагонапьнс разложения пары матриц;

б) обоснование метода построения обобщенной обратной д окаймленной положительно полуопределенной матрицы;

в) обоснование методе« построения решения простейшей задами редукции и частной задачи редукции в модели [ А, 2], задач редукции и синтеза в моделях [А,Р,2] и [А^.Е] на основе использования бидиагонального, сингулярного разложения матрицы или обобщенного бидиагонального или обобщенного сингулярного разложения пары матриц;

г) разработка и реализация численных алгоритмов решения различных задач редукции на основе описанных в а)-в) методов.

В работе сформулированы и доказаны новые результаты, позволяющие строить решение задач редукции при более слабых предположениях на оператор редукции. Доказано, что при построении оператора редукции нет необходимости использовать псевдообратнью операторы, а достаточно использовать обобщенные обратные операторы. Построение же обобщенного обратного оператора требует меньших затрат по сравнению с построением псевдообратного оператора.

Показано, что при построении оператора редукции не обязательно использовать квадратный хорем» корреляционного оператора, вычисление которого довольно трудоемко в общем случае, а достаточно использовать разложение Хопецкого для корреляционного оператора, которое можно эффективно вычислить с помощью существующего программного обеспечения.

Хорошо известны бидиагональное и сингулярное разложение матриц. Менее известно обобщенное сингулярное разложение пары матриц, очень полезное во многих приложениях. Но, как сингулярное разложение матриць по сравнению с бидиагональным разложением, так и обобщенное сингулярное разложение пары матриц требует значительны) вычислительных затрат. В работе предлагается обобщенно« бидиагональное разложение пары матриц, позволяющее снизит вычислительные затраты за счет уменьшения количества арифметически) операций при его вычислении по сравнению с обобщенным сингулярны» разложением. Правда, следует заметить, что при этом сужается клав задач, где его можно использовать. Впрочем,

аналогичная ситуация имеет место относительно бцдиагонального и сингулярного разложений матриц.

Результат обработки п+1 измерения экспериментальных данных выгодно трактовать как поправку результата обработки п измерений. С математической точки зрения в этом случав приходится вычислять различные свойства окаймленной матрицы при уже известных ранее аналогичных свойствах исходной матрицы. В частности, при решении задач редукции так приходится поступать при вычислении обобщенных обратных матриц для симметричных положительно полуопределенных матриц. В работе предлагается новый экономичный метод вычисления таких матриц.

Описанные в в) методы позволяют использовать дпя решения соответствующих задач вместо псевдообратных операторов, чтс требовалось в работах других авторов, обобщенные обратные операторы. В общем случае множества (1,3)-, (1,4)-обрвтных операторов шире множества псевдообратных операторов, следовательно, легче найти их представителей. А так как в данной работе показано, что результа! редукции не зависит от выбора представителя из соответствующегс множества обобщенных обратных операторов, то ясно, что в этом случас легче посчитать и результат редукции.

Кроме того, в работе удалось ослабить условия на положитепьнук определенность операторов (АА* + Е ),Р, 2 и доказать существование решения соответствующей задачи редукции в случае положительно» полуопределенности этих операторов ( дпя каждой конкретной задачи эп условия выглядят по-разному).

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в рвзвити» теории обработки результатов измерений. Предлагаемая методик? построения численных алгоритмов является достаточно гибкой и позволяв строить аналогичные методы и дпя решения других задач. Описанные I работе алгоритмы являются более эффективными по сравнению с ране* известными алгоритмами решения соответствующих задач, что, I частности, и было подтверждено большим количеством расчетов.

Практическая значимость работы состоит и в том, что на основа некоторых разработанных алгоритмов был составлен комплекс программ, примененный в НИИЯФ МГУ для расчета эффективных сечений фотоядерных реакций. Полученные результаты также подтвердили эффективность разработанных алгоритмов. При этом разрешение особенностей структуры сечений, полученное с помощью разработанных программ, существенно лучше полученных ранее на основе других алгоритмов. Кроме того, разработанные ьмтоды поззоляли существенно расширить диалозон исследуемых одновременно энергий.

Таким образом, показано, что разработанные алгоритмы дают возможность более эффективного и точного определения параметров исследуемого объекта с помощью измерительно-вычислительного комплекса.

В целом предлагаемые алгоритмы могут служить основой для составления пакетов прикладных программ для численной обработки результат измерений в режиме реального времени.

Достоверность результатов и выводов обеспечивается математической строгостью и обоснованностью проводимых рассуждений, тестированием расчетных алгоритмов по аналитическим и численным результатам, полученным на основе других методов.

Аппообация работы. Основные результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинара "Численные методы математической физики" кафедры численных методов факультета ВМиК МГУ под руководством академика АА Самарского, на научно-исследовательском семинаре кафедры общей математики физического факультета МГУ под руководством профессора Ю.П.Пытьева, на каучно-иследоватепьском семинаре лаборатории разностных методов факультета ВМиК МГУ, на научном семинаре кафедры вычислительной математики факультета ПМиК ТГУ, на научно-исследовательском семинаре НИИЯФ МГУ.

?

Кроме того результаты работы докладывались на Конференциях молодых ученых факультета ВМиК МГУ (г.Москва, 1982, 1983гг.), на Конференции молодых ученых факультета ПМиК К ГУ (г.Калинин, 1987г.), на Всесоюзной школе "Современные проблемы численного анализа" (г.Ереван, 1988г.), на Конференции слушателей ФПК МГУ (г.Москва, 1989г.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1-7] автора. Работы [1,3,5,6] опубликованы в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 112 страниц машинописного текста и состоит из аннотации, введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. В тексте диссертации 8 рисунков. Список литературы включает 80 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В аннотации дается краткий обзор содержания каждого параграфа, приводятся его основные результаты.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, выбор метода решения поставленных задач, приводятся формулировки основных положений, вынесенных автором на защиту.

Первая глава диссертации носит в основном вспомогательный характер. В ней описываются некоторые, в том числе и новые, методы построения обобщенных обратных матриц и обобщенных решений систем линейных алгебраических уравнений.

В §1 напоминаются определения обобщенных обратных матриц и их основные свойства. Кроме того доказывается ряд утверждений, в частности, следующие довольно простые, но важные в дальнейшем

Лемма 1. Пусть АеВ(Р,0), СеВ/ф^), и С=ВВ*йО - положительно полуопределенный оператор, где ВеВ(С,Р). Тогда

С1/2(АС1/2)+=В(АВ)+,

&

и

Лемма 2. Пусть А с В (Я,О), СеВ(0,0), и С=ВВ*^0, где ВеВ(0,С). Тогда

(С 1/2А)+С1/2=(ВА)+В.

В §2 приводятся определения бидиагонального, сингулярного разложений матрицы и обобщенного сингулярного разложения пары матриц. В отличии от общепринятого, обобщенное сингулярное разложение вводится для пары матриц с одинаковым количеством строк, а не столбцов. Такое определение более удобно в дальнейшем. С помощью указанных разложений строятся некоторые типы обобщенных обратных матриц.

В §3 описываются некоторые алгоритмы построения сингулярного разложения матрицы, обобщенного сингулярного разложения пары матриц, а также их модификации.

В §4 описываются некоторые другие методы построения обобщенных обратных матриц, дается их сравнительная характеристика. В данном параграфе также вводится понятие обобщенного бидиагонального разложения пары матриц, доказывается его существование при различных предположениях. Так, имеет место

Теорема 1. Пусть А.В б№м1 , причем гдА = п. Тогда существуют ортогональные матрицы II,\/ еИ1501 , а также невырожденная матрица X еИ"*" такие, что

I) *АХ = С, ВХ = Э,

где С,в еЯ™01 - верхние бидиагональные матрицы, причем

С* С + в1 Б = Е.

»

В §5 для дальнейших приложений строится псеядообратная матрица для окаймленной положительно полуопределенной матрицы. Имеет место следующая

Теорема 2. Пусть Б=8* ¿0 и С =1

Э ц

Ц 47

где ЗеН"*", цеЯ™1, ч» е!*,

тогда псевдообратная матрица для С имеет вид:

а) при ц =5Б+ ц, ц" Б+ ц = с^

0\ 1

с+ = !

-1

ОI ч»-«! б) при р, =8Э+ ц, р.* ц = сц = ф Гэ+ О

с+ =

о о

1 V о

1+0(2 0 0 -1

( цв8+,-1)+

-1

(ц'Б*,-!)

О

О О

«3

(1+02)2 \ -1

(ц*8\-1);

в)при ц-88+ц = <1?*0

с+ =

гэ+ <И 1 Г/Га> .о о; [До,

(й*<1)2

(о),

где ок= ц'(5+)киЛ=1.2,3.

Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению моделей и задач редукции в линейной схеме измерения

где А еВ(Р,0), ТеР, у.деО, причем V является случайным вектором с известным. нулевым математическим ожиданием и корреляционным оператором X.

Основной целью данной главы является построение при более общих предположениях, чем рассматривалось до сих пор, решений соответствующих задач редукции вектора д к вектору 1Д где 1 непосредственно ненаблюдаемый вектор, а и - оператор, описывающий какой-то другой прибор.

В §1 следуя работам Пытьева Ю.П., описываются некоторые модели и задачи редукции и синтеза в линейной схеме измерения. В следующих параграфах с помощью предварительного разложения операторов строится иное, чем ранее, решение сформулированных в данном параграфе задач.

И

О В §2 рассматривается простейшая задача редукции в модели [А.Г Используя 1-обратную для матрицы А вместо псевдообратной I разложение Е=!±* вместо £1/2, доказывается

Теорема 3. Условие и(Е-А(1)А)=0 необходимо и достаточно до разрешимости простейшей задачи редукции. При этом оценка редукции

1*0=1* *=А<1)(Е-1.(Р1.)<1>)д=А<1>А<г»У.

минимальная ошибка редукции

т](и)= ЫЯд-ЦТ 2 = М РУ 2 = М Ш2 = М 1Л.

где 2=И* , проектор Р=Е-АА <1), корреляционный оператор случайное вектора у=А(1)(Е-ЦР1.) (% есть

Е=А<1) (Е-1/Р*(Р1.1/Р*)<1)Р1)1/(А<1)) «ил

Если оператор АА*+Е невырооден, то оператор редукции I единственен. В частности, если Е>0, то

Р=и(1"1А)(1.3)И, Е =(1."1А)(1'3)((1."1 А)(1 -3))*,

У=(1"1А)<1>3)1-'1У.

В §3 рассматривается частная задача редукции в модели [АД Используя (1,4)-обрвтную для матрицы А вместо используемой ране псевдообратной и разложение 1=И* вместо Е1/2, доказывается Теооема 4. Пусть А еВ^.О), ЕеВ(0,0), 11еВ(Р,и).

2=2*а>, С=АА'+£>0, Св =АА*+®2, Р=Е-АА(1>4>

и, кроме того,

2=Ц-, С=ВВ\ Са =ВЛВ*Я ,

ЕчАМШДО^ШГ =И*. Н=Е-{Р1.)П.4)Р1, где 1-еВ(1.,0), ЬеВО.^), В,Ва сВ(0,0).

Тогда, если 1т11*с£кегС*, то решение частной задачи редукции имеет вид = иА*Са<1'4) , ю=а>8 , 0<« <5о ,

Я +о= иА(1>4)(Е-ЦР1.) <1-4)), «са*.

+ = и(Е-Ш1 -4))А(1 4)(Е-Ь(РЬ)<1.% 6=0,

/к

где 1](и)а([ иЦ22 , гов=» ©в(А,Е,и) есть единственный корень уравнения т,» (иИиА*С0 (^Цр^.

Если ¡ти* скм!" , то иА<1.4>(Е-Ь(Ри)<1 >4>)г 6^0, и с вероятностью единица

ЯдЗ = иА(1'4Ш,

причем

И^-иРгИИЕ-А^А^.

В §4 рассматривается задача редукции в моделях [А/.Е] и (А,Р,Т0,Е] при общих предположениях 1=2*^0, С=АРА*+Е^0, С0=АРоА*+ 2*0, Доказанные в данном параграфе теоремы показывают, как при данных

предположениях можно выразить решение задачи редукции в модел [А,Р,10,Е]в виде поправки к решению задачи редукции в модели [А,Р,£ что позволяет эффективно организовать на практике работ экспериментатора в диалоге с ЭВМ при исследовании различны вариантов вектора Т0. При этом показано, что в процессе определен*«

результата редукции вместо псевдообратных операторов достаточи использовать обобщенные обратные, а операцию определен» квадратного корня из положительно полуопределенной матрицы меток заменить вычислением разложения матрицы в произведение нижней I верхней треугольных матриц, что гораздо выгоднее с вычислительной точи зрения. В частности, имеет место

Теорема Б. Пусть выполнены условия

С0=АР0А*+Е^О,

Тогда для любого и решение задачи редукции в модели [А,Р,10,£]

^иРоАЧСоГ существует. При этом, если <ГС+&1, то оценка

1Л=Яд- аЬ, где ава^. <*,=1-<д.С+с1), с^МСМДО+сО),

с!-АГ0, Ь-Кс1-иГ0. Если <1*С+<1=1, то оценка ^Яд-рЬ+рз-ЦВС+с!,

где Р=Э1Р2-1Р2"1 , Р1=р2(С+а,С+д)^з(С+с1,д)+рз , р^СЧС^ Рз=((С+)3с1,сО, а оператор редукции

Я = иРА"С+

не зависит от выборе 10.

В §5 рассматривается задача синтеза моделей [А,Р,Е] и [А,Р,Т0,£] при условии 2=Е*^0 и Р>0. Для ее решения строятся разложения операторов £ и Я в произведения самосопряженных операторов Е=И*, Р=ГТ*, что позволяет уменьшить числа обусловленности используемых в дальнейшем матриц.

В третьей главе диссертации на основе рассмотренных в первой главе методов и полученных во второй главе результатов строятся численные алгоритмы решения задач редукции и синтеза, проводится их сравнительный анализ.

В §1 рассматриваются численные алгоритмы решения простейшей задачи редукции в модели [А,£]. В первую очередь рассматривается случай и=Е, Е>0, то есть . с физической точки зрения редукция к идеальному прибору. Интерес к этому варианту косит скорее в основном теоретический характер, однако в этом случае удается довольно просто сравнить различные методы между собой. Кроме того, в данном параграфе подробно, демонстрируется методика получения численных алгоритмов решения задач редукции с использованием предварительного разложения.

Из предлагаемых следует выделить алгоритм, основанный на использовании обобщенного сингулярного разложения, по следующим причинам:

1) этот алгоритм не требует явного вычисления произведения 1.~1А;

2) он применим и в случае плохо обусловленных матриц;

3) алгоритм можно использовать и в случае

4) данный алгоритм обобщается и на более общие случаи, рассмотренные далее в данном параграфе, когда Ц*Е, £>0, либо а АА+Е^О.

В §2 рассматриваются численные алгоритмы решения частной задачи редукции в модели [А.Е]. Они строятся на основе алгоритмов,

рассмотренных в предыдущем параграфе, поэтому изменения которые требуется сделать, даются без подробного вывода, так ни основные моменты были подробно разобраны ранее.

В §3 рассматриваются численные алгоритмы решения задач редукцик с априорной информацией. Известные ранее рекуррентные алгоритмь использовали оператор Р0=М0Ч0. Поэтому его выгодно использовать при

неизменном (0 . При изменении 10 , что естественно в случае роботы в диалоге, все расчеты следует провести заново. Предлагаемые в данном параграфе алгоритмы основаны на результатах §4 предыдущей главы. В них вместо оператора используется оператор Р, а влияние Т0 учитывается в виде соответствующей поправки. Это позволяет после изменения векторе 10 не делать пересчет всех вычислений, а срезу получить результат.

В §4 рассматриваются численные алгоритмы решения задачи синтеза в моделях [А.Р, £ ] и [А,РД0,£], основанные на полученных в предыдущей главе результатах.

В §5 3 проводится сравнительный анализ некоторых предложенных выше численных алгоритмов. В частности, проводится теоретическое исследование поведения оперативной характеристики измерительно-вычислительного комплекса, которое затем сравнивается с поведением реальной оперативной характеристики.

Проведенные многочисленные тестовые расчеты на задачах различной размерности позволяют сделать по всему спектру сравниваемых критериев (точность, быстродействие, объем вспомогательной памяти и т.д.) вполне обоснованный вывод о преимуществе ИВК, построенного с помощью численных алгоритмов, основанных на предварительном использовании сингулярного разложения.

В четвертой главе диссертации рассмотренные ранее методы и численные алгоритмы решения задач редукции и синтеза, применяются для построения эффективных сечений фотоядерных реакций.

1й

В §1 формулируется задача построения эффективного сечения фотоядерной реакции, описываются некоторые методы ее численного решения.

В §2 проводится аппроксимация интегральных уравнений и задача построения эффективного сечения фотоядерной реакции сводится к конечномерной задаче редукции в одной из моделей, взависимости от полноты исходных данных.

В §3 приводятся и енализируются результаты расчетов, построенных с помснцью описанных ранее методов и алгоритмов. Конкретно, они были применены для восстановления эффективных сечений фотоядерных реакций 12С(г,п), ^РЬКу.гпЖг.прЖг.гп)), 348((г,п)+(т.пр)+(т,2п)) из реальных экспериментальных данных. Сравнение формы и величины соответствующих максимумов восстановленных сечений хорошо согласуются и по положению и по величине с экспериментальными ТИ-сечениями. Форма же этих максимумов свидетельствует о лучшем достигнутом разрешении. При этом, использование предложенных в данной работе позволило почти вдвое увеличить исследуемый участок сечения.

Все это свидетельствует о большом прикладном значениии предлагаемых методов и численных алгоритмов.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

В приложении приведены результаты тестовых расчетов по сравнению численных алгоритмов, а также некоторые численные результаты по расчету эффективных сечений фотоядерных реакций.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен метод построения обобщенного бидиагонального разложения пары матриц, в котором две квадратные матрицы одинаковой размерности представляются в виде произведения ортогональной,

бидиагональной и одинаковой для обоих матриц квадрат невырожденной матрицы.

2. Предложен метод построения псевдообратной матрицы ; окаймленной положительно полуопределенной матрицы.

3. Предложен новый подход к построению алгоритмов реше* различных задач редукции, основанный на предваритель» разложении операторов, входящих в формулировку задачи, произведение специальным образом подобранных операторов с зарш фиксированными свойствами. Разработаны методы и алгоритмы построе» решения различных задач редукции и синтеза в моделях [А,Е], [А,РД 1А,Р,Т0,Е) на основе использования бидиагонального, сингулярн разложения матрицы или обобщенного бедиагонального или обобщен» сингулярного разложения пары матриц.

4. Разработаны эффективные численные алгоритмы реше» различных задач редукции на основе предложенных методов. Числе» моделирование показало, что использование вышеуказанных разложений численных расчетах позволяет уменьшить объем используемой памя количество арифметических операций, а как следствие увелич быстродействие и эффективность измерительно-вычислительного компле* Проведены расчеты модельных задач для тестирования разработан* алгоритмов и реальных задач для оценки эффективных сечений некотос фотоядерных реакций. Большой объем проведенной экспериментвлы работы позволяет достоверно убедиться в эффективно разработанных методов и алгоритмов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ребо автора

1. Бобышев В.Н., Довман С.Г. О сходимости метода сопряженных пар сб. Разностные методы математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1984. С.З

2. Бобышев В. H. Численны* алгоритмы решения задачи линайного оценивания // Калинин. 1985.13 с. Дел. в ВИНИТИ N7822-B.

3. Бобышев В.Н., Юдин Д.В. Новые численные алгоритмы решения задач обработки фотоядерных данных // Вестник МГУ. Сер.З. Физика и астрономия.

1985. Т.26. N6. С.3-7.

4. Бобышев В.Н. Алгоритм решения задачи линейного оценивания// В сб. Численные методы решения задач математической физики. М.: Изд-во МГУ.

1986. Дел. в ВИНИТИ 08.09.86, N6541-86. С.2-13.

5. Варламов В.В., Ишханов Б.С., Бобышев В.Н., Черняев А.П., Юдин Д.В. Восстановление сечений фотоядерных реакций методом редукции It Украинский физический журнал. 1987. Т.32. N12 С.1799-1804.

6. Отчет о научно-исследовательской работе : "Разработка программных средств автоматизированной обработки геопого-геофизическия данных." Калинин. КГУ. Минвуз РСФСР. 1988.172 с. Гос. per. 01.86.0032741. С.

7. Бобышев В.Н. Решение задачи редукции в моделях с априорной информацией.// В сб. Математические методы исследования систем. Тверь Иэд-воТГУ. 1991. С.13-21.

/В.Н.Бобышев/