автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Развитие операционального подхода в теории оценивания параметров в измерительных экспериментах с неоднородными объектами

На правах рукописи

РГБ ОД

Чебраков Юрий Владимирович " з МАР 2033

РАЗВИТИЕ ОПЕРАЦИОНАЛЬНОГО ПОДХОДА В ТЕОРИИ

ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ В ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ С НЕОДНОРОДНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

Специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург - 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном техническом университете.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Ермаков С. М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Мелас В. Б. доктор технических наук, профессор Цветков Э, И. доктор технических паук, профессор Шенета А. П.

Ведущее предприятие - Институт информатики и автоматизации РАН

Защита состоится ^иа^^^мх 2000 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 063.36.08 в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете "ЛЭТИ" по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан ' 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Экало А. В.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Как показали многочисленные физико-хими-✓ ческие исследования, проведенные за последние 15-20 лет, значения ряда физических характеристик современных материалов, используемых в микро- и наноэлектроинке, нелинейной оптике и др. областях, плохо воспроизводятся несмотря на прецизионный характер синтеза этих материалов. При тщательном физико-химическом исследовании некоторого класса стеклообразных, мопо- и ноликристаллических веществ (В.Б.Алесковский с сотр., Р.З.Валиев с сотр., Л.П.Страхов, Р.Биррингер, Г.Глейтер, Е.Хопдрос, и др.) было выяснено, что указанное явление объясняется существованием в исследованных материалах сложной сети дислокаций, межзеренных, межфазных и поверхностных образований, возникающих на контактах разноорпептированных по отношению друг к другу зерен и фаз. Для теоретического описания выявленной экспериментально структурной неоднородности различных ноликристаллических систем - керамики,^ ^'металлов, композиционных материалов - в настоящее время используется язык теории иерархических структур, а иерархическая организация указанных материалов объясняется особенностями различных динамических процессов в материалах (Р.П.Брагинский с сотр., В.В.Гусаров, В.Е.Панин с сотр.). Широкое внедрение представлений о сложном иерархическом строении ноликристаллических систем в экспериментальные физико-химические исследования затруднено тем, что в ноликристаллических материалах доля вклада дислокаций, межзеренных, межфазных и поверхностных образований в исследуемые физические свойства объектов существенно зависит от операциональных условий экспериментов.

Существует несколько возможных подходов к обнаружению и анализу межзеренных, межфазных и поверхностных состояний в перечисленных выше материалах. Одним из подходов является разработка специальных экспериментальных методов исследования. К таким методам относятся, например, сканирующая туннельная и силовая микроскопия, рентге-нофотоэлектронная спектроскопия, сканирующая высокоточная электронная микроскопия и др. (Б.С.Бокштейн с сотр., Дж.Гопалакришнан, В.Густ, И.Каур, В.Кингери, Ч.Рао, М.Си, Е.Хондрос, и др.) Недостатками указанного подхода являются малая доступность этих методов, невозможность исследования объектов без предварительной трудоемкой подготовки и

структурная селективность получаемых результатов. Альтернативным подходом может быть проводимый специальным образом анализ результатов прецизионных экспериментов но исследованию некоторых свойств указанных материалов. На первый взгляд кажется, что при реализации этого подхода достаточно ограничиться хорошо известными методами регрессионного анализа (С.А.Айвазян с сотр., Й.Бард, В.Н.Вашшк, И.Вучков с сотр., Ф.Гилл с согр, Е.П.Гильбо, В. А. Грановский, В.С.Губанов, Е.З.Демиденко, Н.Дрейпер, С.М.Ермаков, А.А.Жиглявскнй, В.А.Живописцев, В.А.Иванов, Ю.В.Линник, Ф.Мостеллер, Дж.Себер, Т.Н.Сирая, Г.Смиг, Дж.Тыоки, Ф.Хампель, Д.Хи.ммельблау, П.Хыобер, И.Б.Челнанов, и др.). Однако, практическое использование этих методов затруднено отсутствием объективных критериев выбора наилучшего результата количественной обработки экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов. Для борьбы с этой "субъективностью" в литературе по статистике имеются различные рекомендации, которые часто взаимно исключают друг друга. Отсюда можно сделать вывод, что причина субъективности результатов регрессионного анализа обсуждаемых экспериментальных зависимостей носит фундаментальный характер и для ее устранения необходимо провести некоторую модификацию существующей теории peipeccnoiinoro анализа.

Перечисленные выше факты свидетельствуют об актуальности развития второго подхода к изучению физических свойств л поликрисгаллических материалов, и позволяют сформулировать цель работы как создание специальных методов оценивания параметров аппроксимирующих моделей в измерительных экспериментах, позволяющих получать объективные результаты количественной обработки экспериментальных зависимостей, найденных для неоднородных объектов, и основные задачи работы:

- анализ и исследование существующих в теории регрессионного анализа различных постановок задач оценивания параметров линейных и нелинейных аппроксимирующих моделей и методов решения этих задач;

- развитие специальной теории оценивания параметров аппроксимирующих моделей в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов;

- разработка специальных методов анализа, позволяющих выявить вид и степень влияния совокупности межзерепных, межфазных и поверхностных состояний на магнитные характеристики полнкристаллических и монокристаллических слабомагнитных материалов.

Диссертационная работа выполнена в рамках Координационного плана АН СССР научно-исследовательских работ по проблемам "Физическая химия", "Неорганическая химия" на 1986-1990 годы. Актуальность ее темы определяется тем, что проблема выявления вида и степени влияния совокупности межзерепных, межфазных и поверхностных состояний па физические характеристики поликристаллических и монокристаллических систем является одной из до сих нор нерешенных задач физики и химии твердого тела, хотя, например, для активно развивающихся в настоящее время физики и химии дисперсных систем знание физико-химических свойств перечисленных образований и их влияния на свойства систем имеет фундаментальное значение.

Научная новизна. Предложен, разработан и исследован операциональный (учитывающий особенности измерительных экеперимешов) подход в теории анализа данных, в рамках которого можно получать объективные результаты количественной обработки экспериментальных зависимостей, найденных для неоднородных объектов.

Принципиальный вклад в развитие теории анализа данных составляют следующие научные результаты, полученные автором:

- результаты исследования вычислительных сложностей анализа данных, доказывающие, что в рамках существующей теории анализа данных невозможно получить достоверного решения задачи количественной обработки экспериментальных зависимостей, найденных для неоднородных объектов, а также система классификации основных причин, вызывающих появление вычислительных сложностей в анализе данных, и методов их преодоления;

- общий метод преодоления вычислительных сложностей в анализе данных, состоящий в дальнейшем развитии теории оценивания параметров за счет приближения постановок задач анализа данных к реальным экспериментальным ситуациям, имеющим место в измерительных экспериментах, и внедрения в эту теорию основных понятий теорий аппроксимации и планирования экспериментов, и разработанные в рамках

этого метода общие процедуры аттестации методов оценивания и планирования измерительного процесса в естественнонаучных экспериментах, система классификации возможных экспериментальных ситуаций, методы идентификации этих ситуаций и методы решения задач оценивания в классифицированных ситуациях;

- постановки основных задач теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов, и методы решения этих задач, позволяющие по исследованным экспериментальным зависимостям находить оценки параметров аппроксимирующих моделей с наперед заданной степенью точности и определять вид и степень влияния неоднородности объектов па их свойства;

- общий алгоритм создания аналогов робастных оценивателей, предназначенных для повышения достоверности решения задач нелинейного оценивания в случаях присутствия в экспериментальных массивах данных аномальных выбросов, и методы решения задач о поиске дня экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов, наилучшего равномерно аппроксимирующего многочлена минимальной степени и наилучшей равномерно аппроксимирующей линейной многофакторной модели;

общий подход к построению аналитических описаний вычислительных алгоритмов, способ построения комбинаторных аналитических функций методами регрессионного анализа, способ уменьшения уровня зашумленности численных решений интегральных уравнений, а также общий алгоритм конструирования и методы аттестации программных систем, предназначенных для анализа результатов измерительных экспериментов по исследованию свойств неоднородных объектов.

Практическая ценность работы.

Разработанные в диссертации методы решения задач оценивания могут быть использованы в различных научных экспериментах, в которых по экспериментальным зависимостям, полученным для неоднородных объектов, требуется найти оценки параметров аппроксимирующих моделей с наперед заданной степенью точности и определить вид и степень влияния неоднородности объектов на их свойства. Основные теоретические положения и результаты доведены до наборов конкретных алгоритмов

обработки данных, вычислительных программ и программных комплексов, большинство из которых сданы в государственный фонд алгоритмов и программ, г. Москва.

С помощью разработанных в диссертации методов решено большое количество практических задач анализа данных. В частности, получены аналитические решения ряда комбинаторных н теоретико-числовых задач анализа данных; проведен анализ температурных зависимостей магнитной восприимчивости ряда слабомагнитных материалов; продемонстрировано, что физические свойства как поликристаллов, так и монокристаллов содержат информацию не только об объемных состояниях исследуемых объектов, но и о совокупности существующих в них межзеренных, межфазных и поверхностных состояний.

На защиту выносятся:

- операциональный (учитывающий особенности измерительных экспериментов) подход в теории анализа данных и развитая в его рамках теория оценивания параметров;

- система классификации основных причин, вызывающих появление вычислительных сложностей в анализе данных, и методов их преодоления;

- постановки основных задач теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных па исследование свойств неоднородных объектов, и методы решения этих задач;

- общий алгоритм создания аналогов робастных оценнвателей и методы решения задач о поиске наилучшего равномерно аппроксимирующего многочлена минимальной степени и наилучшей равномерно аппроксимирующей линейной многофакторной модели;

- общий подход к построению аналитических описаний вычислительных алгоритмов, способ построения комбинаторных аналитических функций, способ уменьшения уровня зашумленности численных решений интегральных уравнений, общий алгоритм конструирования и методы аттестации программных систем, предназначенных для анализа результатов измерительных экспериментов по исследованию свойств неоднородных объектов;

- методы решения задач количественной обработки экспериментальных данных по измерению температурной зависимости магнитной восприимчивости однородных и неоднородных слабомагнитных систем;

-результаты анализа магнитного поведения ряда слабомагнитных снсгем, доказывающие, что физические свойства поликристаллических и монокристаллических образцов содержат информацию не только об объемных состояниях исследуемых объектов, но и о совокупности существующих в них межзеренных, межфазных и поверхностных состояний.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях и школах: конф. "Информационно-управл. и вычислит, комплексы на основе новых технологий. Наука и маркетинг" (Санкт-Петербург, 1992); междунар. конф. "Взаимодействие человека с компьютером, Е\\гНС1-92" (Санкт-Петербург, 1992); междунар. конф. "Математика в вузе" (Новгород, 1994; Санкт-Петербург, 1998); конф. "Диагностика, информатика и метрология" (Санкт-Петербург, 1994, 1996, 1997); 1Х-я междунар. конф. молодых ученых по химии и химической технологам "МКХТ-95" (Москва, 1995); междунар. конф. "Информационные технологии в моделировании и управлении" (Санкт-Петербург, 1996); Школа молодых ученых при Х-й междунар. конф. "Математические методы в химии и химической технологии" (Тула, 1996); конф. "Наука и техника: вопросы истории и теории" (Санкт-Петербург, 1996, 1997, 1998); 1-я междунар. конф. по высокоорганизованным соединениям (Санкт-Петербург, 1996); междунар. конф. по аналитической и элементарной теории чисел (Вена, 1996), П-й Европейский конгресс по математике (Будапешт, 1996); междунар. конф. но аппроксимации и оптимизации (Ключ-Напока, 1996); Ш-я Европейская конф. но современным математическим методам в метрологии (Берлин, 1996); 7-я междунар. конф. по ферритам (Бордо, 1996); 1У-я междунар. конф. по интегральным методам (Оулу, 1996); междунар. конф. по алгебре и дискретной математике (Сан-Фелиу-де-Гишальс, 1997); 3-й междунар. семинар но моделированию (Санкт-Петербург, 1998); междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям (Санкт-Петербург, 1998, 1999), 3-я Европейская конф. по численной математике и приложениям, ЕТчИЖАТН-99 (Ювяскюля, 1999), междунар. конф. по математическим методам, МАТНТООЬ5-99 (Санкт-Петербург, 1999), 2-й междунар. конгресс по прикладным вычислениям, 15ААС-99 (Фукуока, 1999), 4-я междунар. конф. по теории и математике в биологии и медицине (Амстердам, 1999), симпозиум по теории чисел (Турку, 1999).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 83 печатных работ, из них 5 монографий, 32 статьи, 5 программных продуктов и 41 тезисов конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 231 наименование, и четырех приложений. Основная часть работы изложена на 220 страницах машинописного текста. Работа содержит 55 рисунков и 41 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении анализируются различные подходы к задачам обнаружения и анализа совокупности межзеренных, межфазных и поверхностных состояний в поликристаллических материалах. Обосновывается актуальность темы. Формулируются цели и задачи работы. Указывается, что в данной работе решение сформулированных задач осуществляется в рамках операционального подхода (В.В.Алексадров, Ю.И.Алимов, К.Берка, П.Бриджмен, Л.Бриллюэн, М.Буиге, Н.Д.Горский, Л.М.Гутнер, Ю.А.Кравцов, В.А.Лекторский, Г.Н.Солопченко, Э.И.Цветков, и др.) к проведению естественнонаучных исследований.

В главе 1 исследуются различного рода вычислительные сложности, которые могут возникать на практике при проведении количественной обработки числовой информации, и разрабатываются методы преодоления этих сложностей. Материал главы 1 изложен в 5-и параграфах.

В 1-м параграфе приводятся классические постановки задач линейного регрессионного анализа, описываются стандартные алгоритмы решения этих задач и указываются условия, при которых стандартные решения являются наилучшими. Излагается и исследуется ряд известных альтернативных методов регрессионного анализа, позволяющих решать линейную аппроксимационную задачу в рамках схемы засорения П.Хыобера - распределение погрешностей результатов наблюдений Ф(х) иредставимо в виде смеси двух распределений случайных величин, каждая из которых является нормальным Гауссовым распределением - и/или при наличии плохой обусловленности матрицы регрессоров. На конкретных примерах демонстрируется, что при использовании альтернативных алгоритмов оценивания интерпретация полученных результатов за-

труднена тем, что на практике эффекты, связанные с мульти-коллинеарностыо независимых переменных и наличием аномальных выбросов в массивах данных, могут проявля ться одинаковым образом.

На основании проведенных в 1-ом параграфе исследований делается вывод, что для найденной экспериментальной зависимости {>•„, Х„} (п = 1, 2, ..., N) и заданной аппроксимирующей функции F(A, X) основными задачами теории регрессионного анализа в измерительных экспериментах являются нахождение оценок А' и у' и дисперсий 5 А' и 5(у - у'), где А' -оценка векторного параметра А функции F(A,X) и {>•„'} = {F(A',X„)}. В частности, если F(A,X) = £f_¡a¡/ij(X) (является линейной по параметрам

моделью), где /¡/(X) — некоторые функции от X, то в традиционной теории линейного регрессионного анализа стандартное решение обсуждаемых задач имеет вид

А' = (//т//)-1 HTY, (8А')2 = s/(N-L) diag(//T//)_1 ^

Ьр(у-у') = ±tps-J 1+//,Т(//Т//)^1//, ,

где Н матрица размерности LxN, п-я строка которой имеет вид (/ц(Х„), 1п(Х„), ... , hL(X„)); //т - транспонированная матрица Н; Y = {_у„}; s = S^LlO'n-Н,= (1ц(Х,), ln{X¡), ..., h¡(X¡))\ величина tp определяется по таблицам распределения í-Стьюдснта и в общем случае зависит от выбранного значения уровня надежности р и значения разности N-L (числа степеней свободы); при выбранном значении уровня надежности р 8р0'-З'О имеет смысл доверительного интервала для возможных отклонений экспериментальных значений у от расчетных значений у '= F(A', X).

С точки зрения традиционной теории регрессионного анализа решения (1) являются наилучшими, если для массива {у„, Хп) выполнены модельные условия схемы Гаусса - Маркова (В.С.Губанов, Е.З.Демиденко, С.М.Ермаков, С.Рао, В.В.Федоров, и др.). Если же модельные условия схемы Гаусса - Маркова не выполнены {в массивах {)'п> Xп} присутствуют аномальные выбросы и/или матрица НТН является плохо обусловленной (| //т//1 ~ 0 )¡, то для получения решений задач оценивания в этих случаях предлагается использовать набор так называемых альтернативных методов оценивания. При использовании этих методов на практике возникает неопределенность в выборе наилучшего решения, вызванная главным образом отсутствием математических методов, позволяющих по

анализируемым массивам {}•„, Х„} вычислять оптимальные значения внутренних параметров альтернативных оценивателей.

Во 2-ом параграфе исследованы различные методы выявления аномальных выбросов в анализируемых экспериментальных массивах (Д.М.Дайитбегов с сотр., Т.Геттмапспергер, С.Коаклей, П.Рауссеу, С.А.Смоляк, Г.В.Стогов с сотр., Б.П.Тигаренко, и др.) и предложен комбинаторно-параметрический подход к решению указанной задачи. Суть предложенного подхода заключается в использовании для выявления аномальных выбросов семейства комбинаторно-параметрических процедур и проверке выполнимости для полученных решений известного из теории выбора и принятия решений условия Плотга: вид решений не должен зависеть от путей их получения (Э.И.Вшжас, Е.З.Майминас, И.М.Макаров с сотр., и др.). Эффективность разработанных комбинаторно-параметрических процедур продемонстрирована на ряде иллюстративных примеров. В выводах ко 2-му параграфу отмечается, что недостатком комбинаторно-параметрических процедур является отсутствие объективных критериев, позволяющих выявить в массиве данных полный набор графически невизуализируемых аномальных выбросов. Методы преодоления этого недостатка указываются в последующих главах диссертации.

В 3-ем параграфе исследуются стандартная постановка задачи нелинейного регрессионного анализа и универсальные (описание которых не зависит от вида нелинейной функции) методы решения этой задачи. Отмечается, что среди универсальных методов нелинейного оценивания на практике наибольшее распространение получили способы минимизации

(суммы квадратов остатков), основанные на итерационном методе Ньютона - Гаусса, главная идея которого заключается в линейной аппроксимации нелинейной функции Г(А,Х) (Й.Бард, Ф.Гилл, Е.З.Демиденко, Д.Химмельблау, и др.). С точки зрения классификации, принятой в теории линейного регрессионного анализа (см. выше), указанные универсальные методы оценивания следует отнести к семейству альтернативных методов по той причине, что все они содержат некоторые внутренние параметры (например, метод оценивания Марквардга содержит два внутренних параметра и по существу является нелинейным аналогом ридж-регрессии). Таким образом, в том случае, когда в анализируемом массиве данных присутствуют аномальные выбросы и/или

соответствующая задача оценивания является плохо обусловленной, к результатам решения задач оценивания, полученным с помощью этих методов, необходимо относиться с той же осторожностью, как и к результатам решения задач оценивания, полученным в линейном регрессионном анализе с помощью альтернативных методов. Эту осторожность следует еще более повысить, если в универсальных оценивателях в качестве начальных оценок параметров используются значения, намного отличающиеся от расчетных.

В 3-ем параграфе для повышения достоверности решения задач нелинейного оценивания в случаях присутствия в экспериментальных массивах данных аномальных выбросов предлагается использовать аналоги робастных оценивателей, выбранные нз совокупности универсальных и/или специальных (разработанных с учетом специфики нелинейной функции ПА, X)) методов оценивания, при условии, что они применяются совместно с комбинаторными процедурами, позволяющими генерировать выборки из анализируемого массива данных. Общий алгоритм разработки аналогов робастных методов нелинейного оценивания имеет следующий вид:

а) принятое в существующей теории анализа данных (С.А.Айвазян с сотр., Е.П.Гильбо, Е.З.Демиденко, В.Л.Кушко, В.И.Мудров, П.Рауссеу, С.А.Смоляк, В.Стахель, Б.П.Титаренко, Ф.Хамнель, П.Хыобер, И.Б.Челпанов, Д.Эндрюс, и др.) понятие "робастные свойства методов оценивания" модифицируется следующим образом: считается, что метод оценивания обладает робасгными свойствами, если при его использовании совместно с осуществляемым по некоторому правилу последовательным усечением анализируемого массива данных удается правильно восстановить порядок следования в этом массиве аномальных отсчетов;

б) для заданного множества нелинейных аппроксимирующих моделей генерируется набор различных прецизионных методов оценивания, включая и их соответствующие робастные модификации;

в) для заданного класса экспериментов моделируется набор наиболее возможных ситуаций распределения в массиве данных аномальных выбросов;

г) для моделированных в п. (в) наборов аномальных выбросов исследуются робастные свойства у совокупности прецизионных методов нелинейного оценивания, генерированных в п. (б);

д) на основе результатов исследования, указанного в п. (г), определяется такой минимальный набор методов нелинейного оценивания, из которого для любой из моделированных в п. (в) ситуации можно выбрать метод оценивания, обладающий робастными свойствами.

В последующих главах диссертации демонстрируется, что в совокупности с комбинаторными процедурами предложенные аналоги робастных оценивателей можно использовать для ускорения процесса выявления аномальных выбросов в анализируемых массивах данных.

В 4-ом параграфе исследуются методы решения задач количественного анализа данных в условиях отсутствия теоретических моделей. При этом считается, что, если перед исследователем стоит задача проведения количественного анализа массива данных {Хп} в указанных условиях, то основными являются следующие задачи:

- получение достоверного доказательства существования (или отсутствия) взаимосвязей между исследуемыми свойствами или явлениями;

- выяснение того (в том случае, когда взаимосвязь заранее очевидна и логически обоснована), насколько сильно проявляется эта взаимосвязь по сравнению с другими факторами, влияющими на исследуемые явления;

- определение наличия (или отсутствия) достоверных различии между выделенными группами изучаемых объектов;

- выявление признаков исследуемого объекта, несущественных для изучаемого свойства или явления;

- построение математической (регрессионной) модели взаимосвязи между исследуемыми свойствами или явлениями.

В выводах к 4-му параграфу отмечается, что с формальной точки зрения перечисленные задачи решаются методами, развитыми в теориях корреляционного (Дж.Бендат, А.Пнрсол, Ю.А.Розанов, и др.), дискрнминантного (С.А.Айвазян с сотр., А.Афифи, И.Д.Мандель, Дж.Себер, С.Эйзен, и др.) и регрессионного анализов. Однако в случаях присутствия в экспериментальных массивах данных аномальных выбросов при использовании методов корреляционного, дискрнминантного и регрессионного анализа возникают сложности с интерпретацией полученных результатов и/или выбором наилучшего решения из-за зависимости результатов расчетов от вида используемого критерия и метода количественной обработки массивов данных.

Помимо изложенного выше в 4-ом параграфе с помощью некоторых стандартных методов, а также развитого в диссертации подхода к построению аналитических описаний вычислительных алгоритмов (основанного на использовании логических функций) получены аналитические решения ряда комбинаторных и теоретико-числовых задач анализа данных {например, в диссертации установлено, что

а) наряду с ранее известными (М.М.Постпиков) линейными аналитическими функциями

f(N, и) = at(N- 1) + b,l (N-l) /п] + ch (2)

g(N, п) = a2(N - 1) + Ь2{ (N-l) /п] + с2, для построения магических квадратов нечетного порядка п можно также использовать аналитические формулы вида

N(x, у)= а + b - Хс, (3)

в которых

а = - (-1)* п(п - 1)/4 + к(п + 1)/2 +{п{п - 3) +2} /4, Ъ = п-\-у, с = п, Х = [sign{(h-y) +2}/2], /г = [ z/2] -1 +(«+ 1)(г/2-[г/2]), cy(z)=y + z + 2- n[s\gn{{y + z-n+\)+2}/2], к,=оу(х), где для формулы (2) функции /(N, п) и g (N, и) позволяют для любого натурального числа Л' от 1 до л2 определить его положение в клетках магического квадрата: х=/(iV, н)> j>=g (TV, /г), где i и ; — декартовы координаты клеток магического квадрата; квадратные скобки означают целую часть; знак "=" — равенство по модулю п; а\, /л, ci и аг, bi, о — некоторые параметры; для формулы (3) — последовательность {ак}, если ее значения подсчитывать при к = 0, 1, ..., п - 1, совпадает с последовательностью чисел, находящихся в первой строке магического квадрата; <Jy(t) является оператором перестановки чисел 0, 1,...,«- 1; knz — некоторые параметры; sign(x) = \х\/х при х 0 и sign(O) = 0. При этом для п нечетных и некратных трем для генерирования новых алгоритмических методов построения магических квадратов достаточно положить в (3) к\ = ау4(х) или к\ = оу7(х), и/или изменить вид ау или вид последовательности

б) наряду с хорошо известным алгоритмическим метом Деланэ -

Мондезира (В.Бенсон и О.Якоби, У.Болл и К.Коксетер, М.М.Постников,

В.Эндрюс, и др.) для построения магических квадратов порядка п = 4к можно использовать следующий ряд аналитических формул: f(N,n) = (а + 1) (с mod 2) + (л-а) {(с + 1) mod 2} - 1, (4)

g(N,n) = (n-b)(c mod 2) + (b + 1) { (с + 1) mod 2} - 1, c = l+{(_l)[(^"-l)/(2«)]+(_1p/2]}/2i

a = (iV- 1) mod n, b = [(N~l)/n], или

f(N,n) = c(a+ 1) + (l-c)(y+l), (5)

g(N,n) = c(b+ 1) + (1-<■)(//+1),

с = [{(2i + N) mod 4}/2 ], i = 1 - [ {(b + 1) mod 4 } /2 ], a = (N- 1) mod n, b = [(N-\)/n], d = rfi + 1, или формулу (3), в которой а = пк, b = w, с = п- 2w-\, X = [((к+2) mod 4)/2],

oH.(z)= 1 + {г - /; ( 2 ( (г + Л) mod 2 ) -1 )} mod/г, h-у+ с[ у/[у /2 ] ], к, = о„.(г), Ху = [((у + 1) mod 4 )/2], к = кь К = [( 1+2Я,.) mod 4 )/2], г = ((1 - 2(xs mod 2))) mod п, xs = Хх х +(1 - A.J (п-х -1), н' = Xvy +(1 (п-у-1), или др.}.

Результаты исследований найденной в 4-ом параграфе совокупности аналитических решений позволяют заключить, что появление неоднозначных результатов количественной обработки данных возможно и в том случае, когда элементами анализируемого массива являются строго детерминированные целые числа. На основании изложенного делается вывод, что в случае отсутствия теоретических моделей причиной неоднозначности результатов количественной обработки данных может являться и изначальная неопределенность, присутствующая в постановках указанных задач анализа данных.

В 5-ом параграфе проведено комплексное исследование основных причин, вызывающих появление вычислительных сложностей в анализе данных, и методов их преодоления. Предложенная в работе система классификации основных причин и методов преодоления вычислительных сложностей представлена в табл. Символом в в табл. отмечены те методы

преодоления вычислительных сложностей в задачах оценивания, которые в настоящее время или недостаточно разработаны {при их практическом применении может возникнуть некоторая неопределенность}, или отсутствуют в современной теории анализа данных. С использованием информации, представленной в табл., в диссертации проведен анализ нроб-

Таблица.

Основные причины возникновения оценивания и ме Основные причины вычислительных сложностей в задачах тоды их преодоления Методы преодоления

1. Неучет моделью анализа данных конечной точности измерения значений зависимой переменной в Модификация модели анализа данных

2. Фиксированная точность проводимых на ЭВМ вычислений Повышение точности проводимых на ЭВМ вычислений

3. Точечное оценивание параметров Замена точечного оценивания параметров интервальным

4. Недостаточная точность задания значений зависимой переменной Повышение точности задания значений зависимой переменной

5. Плохая обусловленность задач оценивания 0 Использование альтернативных методов оценивания; Повышение точности задания значений зависимой переменной; 0 Выявление и удаление аномальных выбросов; Специальное планирование экспериментов

6. Присутствие в массивах данных аномальных выбросов 0 Выявление и удаление аномальных выбросов; 0 Робастное оценивание параметров

7. Неадекватность аппроксимирующей модели 0 Устранение неадекватности аппроксимирующей модели; 0 Использование специальных методов оценивания

8. Нахождение только единственного решения задач оценивания для зашумленных массивов данных 0 Нахождение семейства решений

9. Несоответствия между аналитическими, алгоритмическими и программными реализациями вычислительных методов 0 Устранение несоответствий между аналитическими, алгоритмическими и программными реализациями вычислительных методов

лем обработки экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов.

На основании результатов этого анализа утверждается, что в рамках существующей теории регрессионного анализа невозможно получить достоверного решения задачи количественной обработки экспериментальных зависимостей, найденных для неоднородных объектов. При этом недостаточная эффективность методов преодоления вычислительных сложностей, помеченных в табл. 1 символом 0, связывается с тем, что существующая в настоящее время теория анализа данных не достаточно полно учитывает специфику задач анализа данных, которые приходится решать в измерительных экспериментах. Отмечается, что ранее на эту особенность современной теории анализа данных указывали такие известные отечественные и зарубежные исследователи как С.А.Айвазян с сотр., В.В.Александров с сотр., Ю.И.Алимов, Б.Ц.Бахшиян с сотр., В.М.Белов с сотр., Л.Бриллюэн, В.С.Губанов, Е.З.Демиденко, Н.Дрейпер, И.А.Зограф, Р.Калман, Ю.А.Кравцов, М.Л.Лндов,

A.И.Матасов, Ф.Мостеллер, П.В.Новицкий, М.Реглер, Г.Смит,

B.Н.Тутубалин, Дж.Тыоки, и др., настаивающие на том, что при анализе данных необходимо принимать во внимание

1) способ, которым эти данные получены;

2) то, что требуемой погрешности расчетных величин нельзя достигнуть на данных, измеренных с недостаточной точностью;

3) то, что для зашумленных массивов данных ответ не может быть однозначным; и др.

Однако, из-за отсутствия методов, позволяющих при количественной обработке данных учесть перечисленные требования в полной мере, приходится констатировать, что все эти в целом правильные утверждения остаются нереализованными в теории и практике анализа данных. Например, это проявляется в том, что в отличии от современных теорий аппроксимации и планирования экспериментов (Г.П.Акилов, Н.И.Ахиезер, В.К.Дзядык, С.М.Ермаков, А.А.Жиглявский, Л.В.Канторович, П.Лоран, А.Ф.Тиман, Р.Эдвардс, и др.) в теории регрессионного анализа отсутствуют или недостаточно активно используются такие понятия как

а) погрешность задания зависимой переменной;

б) аппроксимирующая функция наилучшего равномерного приближения;

в) задача оценивания параметров неадекватной регрессионной модели;

г) активный и пассивный регрессионный эксперименты, и др.

На основании изложенного сделан вывод, что один из возможных общих путей преодоления вычислительных сложностей в современном анализе данных состоит в дальнейшем развитии теории оценивания параметров за счет приближения постановок задач анализа данных к реальным экспериментальным ситуациям, имеющим место в измерительных экспериментах, и внедрения в теорию анализа данных ряда методов, понятий и определений теорий аппроксимации и планирования экспериментов. Реализация этого направления развития теории оценивания осуществляется в главах 2-4 диссертации.

В главе 2 разработаны основные положения, задачи и методы развиваемой теории оценивания параметров в измерительных экспериментах. В частности,

- с учетом особенностей измерительных экспериментов сформулирована основная задача развиваемой теории оценивания {полагается, что значения зависимой переменной задаются с некоторой фиксированной погрешностью е„ и по экспериментально найденному массиву {у„, А",,} значение векторного параметра А функции F(A, X) требуется определить с погрешностью, не превышающей некоторой величины 5/4};

- предложена операциональная модификация схемы Гаусса-Маркова {в основную модель анализа данных, принятую в схеме Гаусса -Маркова, введена измерительная функция g, что позволяет

а) приблизить задачу оценивания к экспериментальным ситуациям, имеющим место в измерительных экспериментах;

б) автоматически решить проблему учета погрешностей измерения значений зависимой переменной при анализе данных и, следовательно, перейти в теории оценивания параметров от двоичной логики Аристотеля к прогрессивной "fuzzy logic" — нечеткой или непрерывной логике (А.Н.Бугаец, Д.Дюбуа, Л.Заде, Б.Коско, Н.Н.Моисеев, А.Прад, Г.Танака с сотр., и др.)};

- введены некоторые новые для теории оценивания параметров понятия {например, активный (прецизионный, непрецизионпый и локально непрецизионпый) и пассивный измерительные эксперименты, планирование измерительного процесса, оптимальный метод оценивания,

эквивалентные аппроксимирующие функции, уровень зашумленности анализируемого массива данных и др.}; с помощью введенных понятий продемонстрировано, что появление вычислительных сложностей в схеме Гаусса - Маркова вызвано главным образом тем, что эта схема в неявном виде подразумевает использование для решения задач оценивания только методов непрерывной оптимизации;

- разработаны методы, позволяющие упростить решения задач оценивания в рамках модифицированной схемы Гаусса - Маркова: метод виртуального прибора, позволяющий определить уровень зашумленности анализируемого массива данных {в диссертации обращается внимание на связь, существующую между методом виртуального прибора и некоторыми методами, разработанными в рамках так называемого "гарантированного подхода" к решению задач аппроксимации (Б.Ц.Бахшиян с сотр., В.М.Белов с сотр., М.Л.Лидов, А.И.Матасов, В.Н.Соловьев, Л.Песотчинский, Дж.Сакс, П.Е.Эльясберг, Д.Ялвисакер)}; метод эквивалентных формул, позволяющий для заданных аппроксимирующих функций построить эквивалентные им аналитические формулы, значения параметров которых непрерывно зависят от значений некоторой переменной Ь, {в диссертации приводятся конкретные примеры эквивалентных аналитических формул для тех случаев, когда под функцией g понимается функция "округление по дополнению" для виртуального прибора со шкалой деления ос/2:

ga 0')= а [у/а] +а при I у - а [у/а] I > а/ 2, иначе g(y) = а [у/а] (6)

где запись [ Ъ ] означает целую часть от Ь, и указывается, что метод эквивалентных аналитических формул в этом случае можно воспринимать как аналитическую реализацию графического метода "обведения контуром", предложенного ранее П.В.Новицким и И.А.Зограф}; метод определения точных границ варьрования значений параметров в аппроксимирующих функциях, и др.;

- продемонстрировано, что предложенная модифицированная модель анализа данных имеет значение не только для развития лишенной вычислительных сложностей теории оценивания параметров, но и в совокупности с методами регрессионного анализа может быть использована для построения комбинаторных аналитических формул и уменьшения уровня зашумленности численных решений интегральных уравнений {в

диссертации доказывается, например, что, если измерительная функция g является "ближайшим целым к ..."

0 А(к) =9 [к/6 Р + {3(£ mod 6) - 8 }[к/6 ] + 2 - 2 [ ((к mod 6) (7) + 5} /6 ]+ [ (к mod 6)/5 ] = g((3k2 -16к+ 18,5)/12),

где через А (к) обозначено общее количество различных магических квадратов размеров 3x3 из натуральных чисел, в центральных клетках которых находится одно и то же наперед заданное число к > 5;

н) R(kA)=U R(k> 2)= g({k - 1,5)/2); R{k, 3)= g( {к-3) V12); (8)

при к нечетных: R(k, 4) = g( (к- 2) (к- З)2 /144),

R(k,5)=g({k^-30k^+3l0k2 - 1230к + 1324)/2880 );

' при к четных: R(k, 4) = g( (к - 9) (к 2 - 13 к + 46) /144 ) ,

R(k, 5)= g( ( к 4 - 30 к 3 + 310 к2 - 1320 к + 2024)/2880 ) .

где через R(k, I) обозначено общее количество различных (к, ^-разбиении {представлений натурального числа к в внде суммы I различных натуральных чисел (Дж.Риордан, М.Холл, Г.Эндрюс)}.

В главе 3 формулируются основные задачи теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов, и с использованием результатов, изложенных в главе 2, разрабатываются методы решения этих задач. При этом рассматриваются случаи как активного {производится планирование измерительного процесса}, так и пассивного измерительных экспериментов.

Для активных экспериментов в работе постулируется, что на реализации эксперимента {Хп}

}„ = g(F(A, Х„) + W(D, Хп) + еп), (9)

где у„ — и-е значение зависимой переменной; g — функция, описывающая способ измерения зависимой переменной; F(A, X) — известная аппроксимирующая функция; W{D, X) — неизвестная аппроксимирующая функция, с помощью которой, в частности, можно моделировать влияние на исследуемые свойства объекта его неоднородности (предполагается, что она может

принимать только конечные значения на 'A"„¡); X — вектор, содержащий детерминированные значения независимых переменных; е„ — случайные ошибки; п =1, 2, ... , N. При указанных предположениях первая основная задача оценивания состоит в том, чтобы по найденным для неоднородных объектов зависимостям {>',„ Х„} определить значения векторного параметра А функции F(A, X) с наперед заданной точностью 5А. Основным теоретическим результатом главы 3 является доказательство того факта, что, если на реализации {Л-,,} активный регрессионный эксперимент является прецизионным или локально ненрецизионпым, или его возможно привести к прецизионному или локально непрецнзионному путем замены или некоторой модификации исходной аппроксимирующей функции, то в рамках развитой теории оценивания для указанного эксперимента всегда существует искомое решение обсуждаемой основной задачи оценивания {активный измерительный эксперимент является прецизионным, если для amin, полученного методом виртуального прибора {см. (6)} по исходной экспериментальной зависимости {у,„ X,,}, выполняется следующее неравенство:

ammSEmax, (10)

где еШах — наибольшая погрешность задания значений зависимой переменной, для которой с помощью выбранного метода оценивания по массиву {>'„, A"„[eme возможно восстановить значение Лист с погрешностью, не превышающей заданной величины 5А; локально непрецизионным — если он является прецизионным только на некоторой выборке {A"„i} из реализации эксперимента {Хп}\ {A^i} = {Хп}-{Х„2}, и непрецизионным — если он не является прецизионным ни на какой выборке ¡Xn¡} из реализации эксперимента {X,,} или объем выборки {A„i}, на котором он является прецизионным, меньше некоторого допустимого для данного эксперимента значения}. В частности, в главе 3 отмечается, что для наиболее сложного случая {когда на реализации эксперимента {X,,} активный измерительный эксперимент не является прецизионным или локально непрецизионным для исходной аппроксимирующей функции g(F(A, X)), но является таковым для аппроксимирующей функции g(G(B, -V))}, основной является задача восстановления параметров неадекватной функции g(F(A,X)) по функции g(G(B', X})}. В главе 3 для решения указанной задачи предложено использовать интегральные МНК-

соотношения (ИМНК-соотпошения), которые можно подсчитать аналитически или с помощью численных методов. В качестве примера использования ИМНК-соотношений в главе 3 приводится решение задачи оценивания для того случая, когда является линейной моделью

а о + сих, а С(В, х) генерируются из полинома 1\,(кВ, х) =Ь(1 + ~К,п Ьт х "', где Л„, = 1 если член Ьтх" присутствует в РМ(ХВ, х) и

Хт = 0 в противном случае, и отмечаются следующие преимущества получаемых оценок параметров неадекватной линейной модели:

а) при достаточно представительной выборки они определяют линейную модель, близкую к равномерной аппроксимации;

б) позволяют решать задачу о восстановлении параметров неадекватной линейной модели даже в условиях малой выборки (что, очевидно, приводит к значительному снижению затрат на проведение соответствующих экспериментов).

Пассивный измерительный эксперимент

Для {у„, Хп) |

О^тт — Ття* I Ктт ^тпх

Прецизи- Непреци-

онный зионный 0

для (у„, У ,} «„„ > е

Прецизионный Непрецизионный

ДЛЯ {у„, Х„}* 0^,п<Стах

Локально непрецизионный

1для {у„

3 в(В, X) 3 в(В, X)

Приводим Неприводим

к преци- к прецизион-

зионному ному 0

Рис. 1.

Для пассивных измерительных экспериментов в главе 3 выделено 6 возможных различных ситуаций, из которых (в отличие от активных экспериментов) только для 4-х обсуждаемая выше первая основная задача

оценивания разрешима {случаи, для которых указанная задача неразрешима отмечены на рис. 1 символом 0}. На рис. 1 oimin — величина, определяемая методом виртуального прибора {см. (6)}; е — погрешность задания значений зависимой переменной; еШах — наибольшая погрешность задания значений зависимой переменной, при которой еще возможно восстановление значений векторного параметра А функции F(A, X) с погрешностью, не превышающей некоторой наперед заданной величины 5/1.

В качестве второй основной задачи развиваемой теории оценивания параметров в главе 3 рассматривается задача восстановления вида функции W(D, X) из (9). При этом подробно обсуждаются следующие два простых случая, для которых эта задача разрешима.

1. Когда истинная функция G(B, X) получается из исходной (постулируемой) функции F(A,X) путем ее модификации и отличается от нее на аддитивную добавку W(D, X) {в качестве конкретного иллюстративного примера, в котором реализуется случай 1, в диссертации рассматривается некоторый класс физико-химических экспериментов, в которых исследуется температурная зависимость магнитной восприимчивости %(Т) слабомагнитных материалов. Для указанного класса экспериментов доказывается, что

а) наблюдаемые па экспериментальных диаграммах l/% -Тизломы не имеют отношения к каким-либо физическим явлениям, а инициируются совокупностью операциональных ошибок соответствующих физико-химических экспериментов: неправильным разбиением % на температурно зависимую (yj~CI(T+Q)) и температурно независимую (Х-= Хо) части, неточностью определения значений % и Т, а также дискретностью измерений;

б) W(D, Х)= хо};

2. Когда вклад ог функции W(D, Л) в исследуемые свойства объектов приводит к локальной неадекватности аппроксимирующей функции F(A, X) {в качестве конкретного иллюстративного примера, в котором реализуется данный случай, в главе 3 рассматриваются эксперименты по исследованию магнитного поведения ноликристаллических систем ^х Л'1-х 01,5 и демонстрируется, что для указанных систем W(D, X) =

Xi th (а(Т + Тс)), где С, 9, хо, Хь я и Гс — параметры, а функция Xi th (а(Т + Тс) ) является аналогом "функции включения", которую ранее Б.Н.Ролов и

В.Э.Юркевич предложили использовать для описания гак называемых "размытых фазовых переходов"}.

В заключительных параграфах главы 3 обсуждается область применения развитой теории оценивания параметров, приводится полный перечень задач анализа данных, которые можно решать в ее рамках, и делается вывод, что разработанные в рамках этой теории методы решения задач оценивания могут быть использованы в различных измерительных экспериментах, в которых по найденным для неоднородных объектов экспериментальным зависимостям требуется определить, во-первых, значения векторного параметра А аппроксимирующей функции X) с наперед заданной точностью 5А и, во-вгорых, вид и степень влияния неоднородности объектов на их свойства.

В главе 4 в рамках развитой в главах 2 и 3 теории оценивания параметров разработаны методы решения задач о иоиске для экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов, наилучшей равномерно аппроксимирующей модели среди заданного множества моделей {отметим, что необходимость решения сформулированной задачи в рамках данной работы определяется тем, что в главе 3 результаты ее решения предлагается использовать для восстановления параметров неадекватных аппроксимирующих моделей}. В частности, в главе 4

- анализируется классический вариант постановки задачи о поиске наилучшей аппроксимирующей модели и метод ее решения, и указываются причины, из-за которых в общем случае в измерительных экспериментах {для операциональной схемы Гаусса - Маркова} классическое решение обсуждаемой задачи не является наилучшим;

- формулируется операциональный вариант рассматриваемой задачи {требуется найти функцию %и(Р0Хл{Л, X)), которая наиболее точно аппроксимирует таблично заданную зависимость {у„,Х„}, где /оР1 (А, X) выбирается из семейства X)), и для найденного решения ga(FoV\{A,X)) построить соответствующий ему набор эквивалентных формул ga(Fox,^(Pm. (С,, Х„)), где Рт (СД 4) некоторые полиномы степени

п;, от переменной а С/оценки векторного параметра полинома Рт.};

- обсуждается ряд вычислительных проблем, возникающих при решении операциональных задач о поиске наилучшего равномерно аппроксимирующего многочлена (первая задача) и наилучшей равномерно

аппроксимирующей линейной многофакторной модели (вторая задача), и разрабатываются методы решения этих задач. В частности, при разработке методов решения первой задачи отдельно рассматриваются случаи прецизионного и/или локально непрецизиоиного (случай 1) и непрецизионного (случай 2) экспериментов. При этом утверждается, что

а) при решении задач о поиске набора наилучших аппроксимирующих функций к обычно задаваемым условиям необходимо добавлять требование {отсутствующее в существующей теории регрессионного анализа} равномерной аппроксимации наилучшими функциями анализируемого массива данных;

б) решение обсуждаемой задачи можно найти в первом случае с помощью метода виртуального прибора, используемого в совокупности с методов эквивалентных формул {при некоторых указанных условиях найденное с помощью этих методов решение будет являться близким к многочлену наилучшего равномерного приближения} и во втором случае либо с помощью двух разработанных в данной главе методов, позволяющих сравнивать аппроксимирующее качество функций {Р^(А,Х)} с выбранной в качестве эталона функцией И(В,х) {в первом методе (методе третьей модели) посредством некоторой третьей аппроксимирующей функции и во втором методе (методе отношений) путем сравнения дискретных теоретических (определяемых из вида функций {РЧ(Л, X)} п Я(В,х)) и экспериментальных (определяемых методами регрессионного анализа по массиву {ут х„}) отношений, существующих между значениями параметров функций {РЧ(А,Х)} и Я(В,х)}, либо при некоторых указанных условиях с помощью стандартных методов линейного дискриминантного анализа. При разработке методов решения второй задачи указывается, что хотя формулировки операциональных задач о поиске наилучших равномерно аппроксимирующих многочлена и линейной многофакторной модели похожи друг на друга, вторая задача часто является более сложной главным образом из-за необходимости при проведении расчетов учитывать разнообразное проявление "эффектов мульгиколлинеарности" (И.Вучков с сотр., Н.Дрейпер, А.Лерой, П.Рауссеу, Г.Смит, и др.). Особенности использования метода виртуального прибора для получения решений второй задачи демонстрируются в главе 4 на ряде конкретных иллюстративных примеров.

В главе 5 в рамках развитой в главах 2-4 теории оценивания параметров разработаны методы решения задач о выявлении вида и степени влияния совокупности межзерепных, межфазных и поверхностных состояний на магнитные характеристики ряда ноликристаллических и монокристаллических слабомагнитных материалов. В частности, в главе 5

- приведены результаты тестирования методом виртуального прибора экспериментальных зависимостей магнитной восприимчивости от температуры {х„, Т„] ряда поликрисгаллических и монокристаллических систем с различными концентрациями парамагнитного иона {VxAli_xOi5, LaMexAli_x03 (Me = V, Сг, Fe, Mn), LaSrMexAl1.x04 (Me = Cr, Fe), Y Ca FexAli_x04} (Н.П.Бобрышева, Б.Н.Дудкин, Ю.И.Рябков, и др.) и на основании этих результатов сделан вывод, что для анализированных экспериментальных зависимостей решение рассматриваемой задачи оценивания невозможно получить в рамках существующей теории анализа данных {например, с помощью только одних прецизионных методов дробно-линейного оценивания, разработанных и аттестованных в главе 1};

- с использованием сведений, приведенных ранее в главах 1 - 4, разработаны и исследованы различные методы решения задач оценивания применительно к тому конкретному случаю, когда аппроксимирующая модель имеет вид дробно-линейной функции (модифицированного закона Кюри - Вейсса) и является устранимо (локально) (первый случай) или неустранимо (глобально) (второй случай) неадекватной {для первого случая в главе 5 помимо метода виртуального прибора и предложенных в главе 1 аналогов робастных дробно-линейных оценивателей, разработан альтернативный метод, в котором оценивания параметров С и 0 закона Кюри - Вейсса производится по аппроксимирующей модели, составленной из модифицированного закона Кюри - Вейсса и добавочного члена Х\ th {а(Т-Тс)); при этом отмечается, что по сравнению с ранее известными аппроксимирующими моделями (У.Хинатсу с сотр., В.Гонг с сотр., К.Лии с сотр., М.Мапле с corp., Л.Неель, М.Парантхаман с сотр., и др.) предложенная аппроксимирующая модель имеег следующие преимущества: позволяет для ряда слабомагнитных систем

а) объяснить поведение экспериментальных зависимостей % (Т) как в области, в которой магнитная неоднородность существенно влияет па свойства исследуемых материалов, так и вне его (в частности, позволяет определить температурный интервал, в котором магнитная неоднородность оказывает существенное влияние на магнитное поведение исследуемых систем);

б) с единых позиций рассматривать поведение экспериментальных зависимостей %(Т) для близких по свойствам слабомагнитных систем;

для второго случая в качестве основного предложено использовать метод третьей модели, в котором "третьей" моделью является простая линейная функция и "эталонные" значения ее параметров подсчитываются аналитически с помощью соответствующих ИМНК-соотношений};

- рассмотрены некоторые проблемы создания программных систем количественной обработки экспериментальных зависимостей, найденных для неоднородных объектов, и предложен общий алгоритм их конструирования, в котором главным пунктом является разработка и анализ "идеального" алгоритма решения основной задачи создаваемой программной системы; с помощью предложенного алгоритма разработана конкретная программная система, предназначенная для анализа зависимостей (7) однородных и неоднородных слабомагнитных материалов;

- с использованием разработанных в главе 5 методов получены результаты анализа температурных зависимостей магнитной восприимчивости ряда слабомагнитных систем, доказывающие, что физические свойства поликристаллических и монокрнсталлпческих образцов содержат информацию не только об объемггьгх состояниях исследуемых объектов, но и о совокупности существующих в них

ДХ (усл. сдЛ

0,5

-0.1

60

120

180 Г, К

а)

0,35

0,05

-0.25

АХ (усл. сл.)

120 б)

180 Т.К.

Рис. 3. Зависимости Дх(Т) = - х + СЦТ+ 6') + хо' Для систем У Са РехА1].х04: а — монокристаллические образцы: х = 0,0027(1), 0,0054(6), 0,0055(7), 0,060(8), 0,060 (9), 0,0126(10), 0,0148(11); б—керамические образцы: х = 0,0037 (1). 0,0039 (6), 0,0062 (7), 0,0066 (8), 0,0119 (9).

межзеренных, межфазных н поверхностных состояний {см., например, рис.3, на котором для слабомагнитных систем У Са КехЛ1^х04

представлены зависимости Лх (Т) = -%+С'/{Т+ в') + Хо'; очевидно, что приведенные зависимости А%(Т) различаются для иоликрисгаллических и монокристаллических образцов (непрерывными линиями на рис.3 представлены аппроксимирующие зависимости А%= Хо+Х^Ь (а(Т+Тс)))}.

В главе 6 разработаны дополнительные по о 1 ношению к задаче оценивания параметров закона Кюри - Вейсса методы количественного анализа температурных зависимостей магнитной восприимчивости неоднородных слабомагнитных материалов. В частности, в главе 6

- разработан аналитический подход к выделению из зависимостей %(Т) парамагнитной составляющей магнитной восприимчивости ХмеР° {в этом подходе полагается, что парамагнитная составляющая удельной магнитной восприимчивости ХмеПара = С/(Т0 + 6'), где С и 8' — значения оценок параметров модифицированного закона Кюри - Вейсса х (Т) = С/(Т + 6) + Хо} и продемонстрированы его преимущества по сравнению с используемым на практике графическим подходом {например, с использованием предложенного аналитического подхода в главе 6

а) доказана несостоятельность так называемого метода "бесконечно разбавленных твердых растворов", в котором значения ХмГ (х = получают путем экстраполяции изотерм восприимчивости Хме" (х) па х = 0, где х — концентрация ионов парамагнитного металла Ме в исследуемом твердом растворе;

1,5

а)

6)

Рис. 4.

б) продемонстрировано, что для систем У Са РехА]1_хС>4 при расчете значений Хме"4™ и ХмГ необходимо учесть магнитную неоднородность исследуемых образцов (см. рнс. 4, на котором для указанной системы приведены зависимости Хмепара 11 Хме"» рассчитанные для Т — 80 К: кружочки н треугольники — расчетные значения соответственно без удаления (графический подход) и с удалением (аналитический подход) аномальных выбросов, непрерывные линии — аппроксимирующие зависимости};

- для решения задачи о построении математической (регрессионной) модели темиературно-концентрационных зависимостей ХмГ (Т, х) предложено использовать разработанный в главе 2 метод эквивалентных аналитических формул {например, с помощью указанного метода в главе 6 установлено, что для систем У СаРехА11_х04 зависимость ХреРа(Т, х) хорошо аппроксимируется аналитическим выражением:

Х"Т(Т, х) = {ах/(аг+ яз7) + ехр(-х)/(я4+ а5Т) }/х, (11)

где {я,} — параметры (график зависимости (11) см. на рис. 5).

- для экспериментального выявления магнитной неоднородности в слабомагнитиых материалах предложено исследовать зависимости % = Х(Т) при малых значениях величин напряженности магнитного поля (Н ~ 1 Кэ) в режиме непрерывного изменения температуры {в качестве примера в диссертации приводятся результаты исследования зависимостей х(7) для железосодержащего образца кремнезема при разных значениях напряженности магнитного ноля Н).

В заключительных параграфах главы 6 обсуждается связь, существующая между разработанными в главах 2-4 общими методами количественного анализа зависимостей, найденных дня неоднородных объектов, и специальными методами количественного анализа зависимостей х(7) слабомагнитных неоднородных материалов, разработанными в главах 5-6, и область применения разработанных специальных методов анализа зависимостей %(?) (в частности, указывается, что так как кроме магнитной восприимчивости закону Кюри - Вейсса подчиняются температурные зависимости многих других физических характеристик твердых тел (например, электропроводность, диэлектрическая проницаемость, коэффициент температурного расширения и др.), область применения разработанных специальных методов анализа зависимостей %(7) является значительно более широкой, чем это представлено в диссертации}.

ВЫВОДЫ

Совокупность научных положений, сформулированных и обоснованных в диссертационной работе, составляет новое перспективное направление в области теории анализа данных — развитие теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов.

При этом в диссертации получены следующие теоретические и практические результаты:

1. Разработагга система классификации основных причин, вызывающих появление вычислительных сложностей в анализе данных, и методов их преодоления.

2. Предложен общий метод преодоления вычислительных сложностей в анализе данных, состоящий в дальнейшем развитии теории оценивания параметров за счет приближения постановок задач анализа данных к реальным экспериментальным ситуациям, имеющим место в измерительных экспериментах, и внедрения в эту теорию основных понятий теорий аппроксимации и планирования экспериментов, и в рамках этого метода разработаны общие процедуры аттестации методов оценивания и планирования измерительного процесса в естественнонаучных экспериментах, система классификации возможных экспериментальных

ситуаций, методы идентификации этих ситуаций и методы решения задач оценивания в классифицированных ситуациях.

3. Сформулированы основные задачи теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов, и разработаны методы решения этих задач, позволяющие по исследованным экспериментальным зависимостям находить оценки параметров аппроксимирующих моделей с наперед заданной степенью точности и определять вид и степень влияния неоднородности объектов на их свойства.

4. Предложен общий алгоритм создания аналогов робастных оцепивателей, предназначенных для повышения достоверности решения задач нелинейного оценивания в случаях присутствия в экспериментальных массивах данных аномальных выбросов, и разработаны методы решения задач о поиске для экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов, наилучшего равномерно аппроксимирующего многочлена минимальной степени и наилучшей равномерно аппроксимирующей линейной мпогофакторной модели.

5. Разработаны различные методы решения задач количественной обработки экспериментальных данных по измерению температурной зависимости магнитной восприимчивости однородных и неоднородных слабомагнитных материалов и предложена аппроксимирующая модель, позволяющая определять температурный интервал, в котором магнитная неоднородность оказывает существенное влияние на магнитное поведение исследуемых систем.

6. Предложены общий подход к построению аналитических описаний вычислительных алгоритмов, основанный на использовании логических функций, способ построения комбинаторных аналитических функций методами регрессионного анализа и способ уменьшения уровня зашумленности численных решений интегральных уравнений за счет использования набора эквивалентных аппроксимирующих формул.

7. Разработаны общий алгоритм конструирования и методы аттестации программных систем, предназначенных для анализа результатов измерительных экспериментов по исследованию свойств неоднородных объектов; с помощью созданных методов выявлены недостатки стандартных программных систем анализа данных и разработан комплекс

программ для количественной обработки результатов исследования неоднородных объектов.

8. На примере количественного анализа температурных зависимостей магнитной восприимчивости ряда слабомагнитных материалов, проведенного с использованием разработанных в диссертации методов, продемонстрировано, что физические характеристики как иоликрисгалли-ческих, так и монокристаллических образцов содержат информацию не только об объемных состояниях исследуемых объектов, но и о совокупности существующих в них межзерепных, межфазных и поверхностных состояний.

Опубликованные работы по теме диссертации:

1.Чебраков Ю.В. Операциональный подход к количественному анализу результатов прецизионных физических экспериментов // Изв. вузов. Физика,- 1991,- №2,- С.127.

2. - Системный подход к прецизионным исследованиям. - СПб: СПб. гос. ун-т, 1992.- 168 с.

3. - Операциональный подход к построению алгоритмов проведения качественных физических исследований // Изв. вузов. Физика. - 1992. - № 10,- С.127.

4. - Идентификация параметров дробно-линейной модели в условиях ее локальной неадекватности // Изв. вузов. Приборостроение. - 1993. - № 910,- С.5-9.

5.- Идентификация параметров неадекватных регрессионных моделей // Изв. вузов. Приборостроение. - 1994. - № 1. - С.12-15.

6. - Системный анализ задачи о выборе наилучшей полиномиальной регрессии // Изв. вузов. Приборостроение. - 1997. - № 1. - С. 16-23.

7. - Выбор наилучшей модели для аппроксимации результатов физического эксперимента // Изв. вузов. Физика. - 1997. - № 7. - С. 103-112.

8. - Методы системного анализа в экспериментальных исследованиях. -СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1997. - 304 с.

9.-Теория оценивания параметров в измерительных экспериментах. -СПб: СПб гос. ун-т, 1997. - 300 с.

10. - Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - 2-е изд. - СПб: СПб гос. техн. ун-т, 1998. - 368 с.

11. Чебраков Ю.В., Гусаров В.В. Магнетохимическое исследование состояния ионов железа в берилле // Геохимия. - 1987. - № 8. - С. 1206-1208.

12.-Анализ отклонения экспериментальных данных магнитной восприимчивости от закона Кюри-Вейсса // Изв. вузов. Физика. -1988,- № 1.- С.128.

13.- Магпегохимический анализ фаз переменного состава в системах АЬОз-МегОз (Me = V, Cr,Fe) // Журн. прикл. хим. - 1988. - № 7. -С. 1694.

14. - Сравнение различных подходов к анализу данных прецизионного физического эксперимента // Изв. вузов. Физика. - 1990. - № 1. -С. 126.

15. Чебраков Ю.В., Шмагин В.В. Программные системы для обработки результатов прецизионных физических экспериментов // Изв. вузов. Физика,- 1991,- № 10,- С.128.

16.- Идентификация параметров неадекватных физических моделей // Изв. вузов. Физика. - 1995.- №5.- С. 40-45.

17. - Проблемы обработки экспериментальных зависимостей, полученных для структурно-неоднородных объектов // Изв. вузов. Физика. - 1998. -№6,- С. 110-116.

18. Чебраков Ю.В., Шмагин В.В., Перес Г. Современный анализ данных: Достижения н неудачи // Моделирование экономических и социальных процессов. - СПб.: СПб гос. техн. уи-г, 1998,- С.21-39.

19. Chebrakov Y.V. - Analytical formulae and algorithms for constructing Magic squares from an arbitrary set of 16 numbers // Smarandache Notions J.- 1997.-Vol.8-№ 1-2-3. - P. 184-201.

20. - Computing the number of different orthogonal generalized Latin squares 4x4 in size // Research Conf. on Algebra and Discr. Math.: Combinatorics — Algebraic, Geometric and Probabilistic Aspects: Abstracts. - San Feliu de Guixols, 1997. - P. 20-21.

21. - Computative paradoxes in regresión analysis of contaminated data arrays // 3rd Workshop on Simulation: Proceedings. - St.-Petersburg, 1998. - P. 248-253.

22. - Advance of Smarandache approach to solving systems of Diophantine equations // Smarandache Notions J. - 2000. - Vol.11 - № 1-2-3. P. 144-155.

23. Chebrakov Y.V., Gusarov V.V. Magnetic properties of Fe-O-Cl films on the silica / / 7th International Conference on ferrites: Abstracts. - Bordeaux, 1996. - P.222.

24. Chebrakov Y.V., Shmagin V.V. Different types of formulae for the analytical description of Magic squares constructing methods / / Conf. on Analytic and Elementary Number Theory. Proceedings. - Vienna, 1996. - P. 200-203.

25. - Correct solutions of fit problems in different experimental situations// Advanced Mathematical Tools in Metrology III /Ciarlini P., Cox M.J., Pavese F. and Richter D. (eds.). - Singapore: World Scientific, 1997. - P.246-249.

26. - Some nontraditional approaches to solving a few data analysis problems // Integral methods in science and engineering / C.Constanda, J.Saranen and S.Seikkala (eds.). - Edinburgh: Longman, 1997. - Vol. II. -

1997. - P.69-73.

27.- Finding the best linear-multiple model in the case of microstatistics // International Conference on Approximation and Optimization: Proceedings. -Cluj-Napoca, 1997. - Vol. II.- P.41-46.

28.- Uncertainty in decisions of regression analysis problems // International Conference on Soft Computing and Measure: Proceedings. - St.-Petersburg,

1998.-Vol. I. - P.186-189.

29. - Regression data analysis for physicists and chemists. - St.-Petersburg: St.-Petersburg State University Press, 1998. - 196 p.

30. - Computative paradoxes in modern data analysis // Smarandache Notions J. - 1999. - Vol. 10 - № 1-2-3. P. 61-80.

31.- Data analysis methods for processing results of measurement experiments with heterogeneous objects // International Conference on Soft Computing and Measure: Proceedings. - St.-Petersburg, 1999. - Vol.11. -P.20-24.

32. - Analytical approach to description of some combinatorial and number-theoretic computative algorithms // Smarandache Notions J. - 2000. - Vol.11 -№ 1-2-3. P. 156-164.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 04.02.2000. Объем в п.л. 2. Тираж 100 экз. Заказ № 597.

Отпечатано с готового оригинал макета в Издательстве СПбГТУ 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Введение

1. Исследование постановок и методов решения задач оценивания в современном анализе данных

1.1. Обзор и исследование постановок и методов решения задач оценивания в линейном регрессионном анализе

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Стандартный метод оценивания

1.1.3. Альтернативные методы оценивания

1.1.4. Выводы

1.2. Исследование методов выявления аномальных выбросов в анализируемых экспериментальных зависимостях

1.2.1. Методы выявления экстремальных аномальных выбросов

1.2.2. Методы выявления невизуализируемых аномальных выбросов

1.2.3. Выводы

1.3. Исследование постановок и методов решения задач оценивания в нелинейном регрессионном анализе

1.3.1. Постановка задачи

1.3.2. Описание некоторых универсальных и специальных алгоритмов нелинейного оценивания

1.3.3. Исследование некоторых универсальных и специальных алгоритмов нелинейного оценивания

1.3.4. Общий алгоритм разработки аналогов робастных методов нелинейного оценивания

1.3.5. Выводы

1.4. Исследование методов количественного анализа данных в условиях отсутствия теоретических моделей

1.4.1. Постановка задачи

1.4.2. Корреляционный анализ

1.4.3. Дискриминантный анализ

1.4.4. Регрессионный анализ

1.4.5. Аналитические методы решения некоторых задач анализа данных в комбинаторике и теории чисел

1.4.6. Выводы

1.5. Комплексное исследование основных причин, вызывающих появление вычислительных сложностей в анализе данных, и методов их преодоления

1.5.1. Вычислительные сложности в анализе данных и методы их преодоления

1.5.2. Проблемы обработки экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов

1.5.3. Выводы

2. Разработка основных положений, задач и методов теории оценивания параметров в измерительных экспериментах.

2.1. Постановка основной задачи регрессионного измерительного эксперимента

2.2. Модификация модели анализа данных, принятой в схеме

Гаусса - Маркова.

2.3. Разработка основных понятий и методов, упрощающих решение задач оценивания в операциональной схеме Гаусса -Маркова

2.3.1. Планирование измерительного процесса

2.3.2. Определение оптимальных методов оценивания

2.3.3. Определение уровня зашумленности экспериментального массива данных.

2.3.4. Классификация активных измерительных экспериментов и их свойства.

2.3.5. Определение адекватности аппроксимирующих моделей

2.4. Эквивалентные аппроксимирующие функции и их использование в естественнонаучных исследованиях

2.4.1. Эквивалентные аппроксимирующие функции для подсчета термо эдс термопар в области низких температур

2.4.2. Исследование ряда эквивалентных аналитических формул

2.4.3. Общий алгоритм определения границ варьирования значений параметров аппроксимирующих моделей

2.4.4. Генерирование аналитических комбинаторных формул методами регрессионного анализа

2.4.5. Сравнительный анализ решений интегральных уравнений, полученных с учетом и без учета измерительной функции

2.5. Выводы

3. Постановка основных задач теории оценивания в измерительных экспериментах по исследованию свойств неоднородных объектов и разработка методов их решения

3.1. Постановка основной задачи оценивания и разработка методов ее решения

3.1.1. Постановка основной задачи оценивания

3.1.2. Разработка методов решения основной задачи оценивания

3.2. Разработка методов решения задач о восстановлении вида функции W

3.2.1. Случай

3.2.2. Случай

3.3. Область применения развитой теории оценивания

3.4. Выводы

4. Разработка методов решения задач о поиске наилучшей равномерно аппроксимирующей модели из заданного семейства функций

4.1. Общая постановка задачи

4.1.1. Классический вариант постановки задачи о поиске наилучшей аппроксимирующей модели и метод ее решения

4.1.2. Операциональный вариант формулировки задачи

4.2. Методы решения операциональной задачи о поиске наилучшего равномерно аппроксимирующего многочлена минимальной степени

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Случай прецизионного и локально непрецизионного экспериментов

4.2.3. Случай непрецизионных экспериментов

4.3. Методы решения операциональной задачи о поиске наилучшей равномерно аппроксимирующей линейной многофакторной модели

4.3.1. Постановка задачи

4.3.2. Сравнительный анализ различных методов решения задач о поиске наилучшей аппроксимирующей линейной многофакторной модели

4.4. Выводы

5. Разработка методов решения задач о выявлении вида и степени влияния совокупности межзеренных, межфазных и поверхностных состояний на магнитные характеристики слабомагнитных материалов

5.1. Разработка методов анализа зависимостей %(7) структурно однородных слабомагнитных материалов

5.1.1. Постановка задачи и методы ее решения

5.1.2. Результаты тестирования ряда экспериментальных зависимостей %(Т) методом виртуального прибора

5.2. Разработка методов анализа зависимостей %(7) структурно неоднородных слабомагнитных материалов

5.2.1. Эксперименты с устранимой неадекватностью модифицированного закона Кюри - Вейсса

5.2.2. Эксперименты с неустранимой неадекватностью модифицированного закона Кюри - Вейсса

5.3. Разработка и исследование программной системы для анализа зависимостей %(Т) слабомагнитных материалов

5.3.1. Некоторые общие вопросы разработок программных систем анализа данных

5.3.2. Проектирование и исследование программной системы

5.4. Выводы

6. Разработка дополнительных методов количественного анализа зависимостей %(Т)

6.1. Сравнительный анализ графического и аналитического подходов к выделению из зависимостей %(Т) парамагнитной составляющей магнитной восприимчивости

6.1.1. Твердые растворы ЬаМеОз-ЬаАЮз

6.1.2. Твердые растворы АА' MexAlix

Актуальность проблемы

Как показали многочисленные физико-химические исследования, проведенные за последние 15-20 лет, значения ряда физических характеристик современных материалов, используемых в микро- и наноэлектро-нике, нелинейной оптике и др. областях, плохо воспроизводятся несмотря на прецизионный характер синтеза этих материалов. При тщательном физико-химическом исследовании некоторого класса стеклообразных, моно- и поликристаллических веществ [12, 37, 38, 184, 203, 227] было выяснено, что указанное явление объясняется существованием в исследованных материалах сложной сети дислокаций, межзеренных, межфазных и поверхностных образований, возникающих на контактах разно ориентированных по отношению друг к другу зерен и фаз. Для теоретического описания выявленной экспериментально неоднородности различных поликристаллических систем — керамики, металлов, композиционных материалов — в настоящее время используется язык теории иерархических структур, а иерархическая организация указанных материалов объясняется особенностями различных динамических процессов в материалах [28, 58, 119].

Широкое внедрение представлений о сложном иерархическом строении поликристаллических систем в экспериментальные физико-химические исследования затруднено тем, что в поликристаллических материалах доля вклада дислокаций, межзеренных, межфазных и поверхностных образований в исследуемые физические свойства объектов существенно зависит от операциональных условий экспериментов. Таким образом, в большинстве случаев для обнаружения эффектов влияния совокупности указанных выше образований на характеристики материалов требуется варьирование операциональных условий эксперимента, что, очевидно, приводит к существенному усложнению физико-химических экспериментов и, в частности, к необходимости создания новых инструментальных и аналитических методов исследования.

Отметим, однако, что в настоящее время выявлен ряд экспериментов, в которых неучет вклада от указанных образований в экспериментально исследуемые характеристики материалов приводит к а) существенно неадекватному описанию поведения поликристаллических систем {например, такие характеристики материалов как пластичность, ползучесть, реакционная способность и некоторые другие определяются, главным образом, составом и структурой дислокаций, межзерен-ных, межфазных и поверхностных образований [5, 50, 64, 96, 190, 199, 206]}; б) появлению противоречащих друг другу физико-химических представлений о поведении одних и тех же исследуемых объектов {например, в

- [149, 154] доказано, что высказанное ранее мнение о том, что при образовании твердых растворов в системе А1203 - Fe203 реализуется явление блочного изоморфизма, ошибочно;

- [38, 148] продемонстрировано, что гипотезу о независимости магнитных характеристик поликристаллических систем от указанных выше образований можно опровергнуть путем подбора соответствующих операциональных условий эксперимента}.

Существует несколько возможных подходов к обнаружению и анализу межзеренных, межфазных и поверхностных состояний в перечисленных выше материалах. Одним из подходов является разработка специальных экспериментальных методов исследования. К таким методам относятся, например, сканирующая туннельная и силовая микроскопия, рентге-нофотоэлектронная спектроскопия, сканирующая высокоточная электронная микроскопия и др. [25, 83, 128, 162, 192, 196, 208]. Недостатками указанного подхода являются малая доступность этих методов, невозможность исследования объектов без предварительной трудоемкой подготовки и структурная селективность получаемых результатов.

Альтернативным подходом может быть проводимый специальным образом анализ результатов прецизионных экспериментов по исследованию некоторых интегральных свойств указанных материалов {см., например, [206]}. Так как в современных естественнонаучных исследованиях для решения задач оценивания параметров аппроксимирующих моделей обычно используются методы регрессионного анализа, а результаты решения задач оценивания широко используются для аппроксимации, интерполяции и моделирования имеющихся экспериментальных зависимостей, то кажется очевидным, что для развития указанного альтернативного подхода достаточно воспользоваться именно этими хорошо известными [3, 13, 46, 51, 52, 54, 61, 63, 66, 68, 71, 98, 103, 112, 117, 121, 122, 127, 130, 137, 158, 160, 164] методами регрессионного анализа. Однако, при практическом использовании этих методов сразу же обнаруживается, что в теории регрессионного анализа отсутствуют объективные критерии выбора наилучшего результата количественной обработки экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных данных {см. далее § 1.5}. Именно это обстоятельство привело, в частности, к тому, что в литературе по статистике для борьбы с "субъективностью" результатов количественной обработки экспериментальных зависимостей существует большое число различных и часто взаимоисключающих друг друга рекомендаций [2, С.35; 55, С.34; 95, С.15].

Как продемонстрировано в первой главе данной работы причина субъективности результатов регрессионного анализа экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов, носит фундаментальный характер и устранить эту причину можно только путем некоторой модификации существующей теории регрессионного анализа.

Перечисленные выше факты свидетельствуют об актуальности развития второго подхода к изучению физических свойств поликристаллических материалов, и позволяют сформулировать основную цель диссертации как создание специальных методов решения задач оценивания в измерительных экспериментах, позволяющих получать объективные результаты количественной обработки экспериментальных зависимостей, найденных для неоднородных объектов, и основные задачи работы:

1) анализ и исследование существующих в теории регрессионного анализа постановок задач оценивания параметров линейных и нелинейных аппроксимирующих моделей и методов решения этих задач (глава 1);

2) развитие специальной теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов (главы 2-4);

3) разработка специальных методов анализа, позволяющих выявить вид и степень влияния совокупности межзеренных, межфазных и поверхностных состояний на магнитные характеристики оликристаллических и монокристаллических слабомагнитных материалов (главы 1-9).

Диссертационная работа выполнена в рамках Координационного плана АН СССР научно-исследовательских работ по проблемам "Физическая химия", "Неорганическая химия" на 1986-1990 годы. Актуальность ее темы определяется тем, что проблема выявления вида и степени влияния совокупности межзеренных, межфазных и поверхностных состояний на физические характеристики поликристаллических и монокристаллических систем является одной из до сих пор нерешенных задач физики и химии твердого тела, хотя, например, для активно развивающихся в настоящее время физики и химии дисперсных систем знание физико-химических свойств перечисленных образований и их влияния на свойства систем имеет фундаментальное значение.

Укажем, что в диссертации решение перечисленных задач осуществляется в рамках операционального подхода к проблемам прецизионных измерительных исследований, для которого характерны следующие черты [20, 33, 35, 94, 166, 167, 168, 186]:

- учет в исследовании уникальности операциональной ситуации;

- определение понятий (в том числе теоретических) через набор измерительных операций;

- учет возмущающего воздействия измерительного прибора на объект {"относительность к средствам измерения" [59, С.40]};

- учет появления в научной теории ошибок, связанных с измерительными процессами;

- операциональный анализ результатов измерений и методов их обработки, т.е. выяснение того, каким образом и при каких условиях получены экспериментальные результаты и на основании каких моделей и каким методом они обрабатываются;

- осознание места индивида в структуре измерительного процесса и, в частности, осознание самим индивидом используемых им измерительных операций, приборов, систем отсчета, способов кодирования знания в той или иной системе знаков и т.д.

Операциональный подход имеет как сторонников, так и противников. Разногласия носят в основном философский характер и связаны с присущей операциональному подходу философской неопределенностью в решении вопроса о соотношении между теоретическим и операциональным определениями измеряемых величин. Например, в [35, СС.17, 21] этот подход характеризуется следующими словами "(операционализм) — домотканная философия, крайне популярная среди физиков-профессионалов с начала нашего столетия. В ней (в этой философии) считается, что символ, также как и уравнение, имеет физическое значение лишь в той мере, в какой он соотносится с некоторыми возможными операциями человека. Это ведет к утверждению, что физика в целом — наука об операциях, главным образом измерительных и вычислительных, а не наука о природе. Данная точка зрения представляет собой возвращение к антропоцентризму, превалировавшему до рождения науки. . .(В действительности) ни одна физическая теория не высказывает предположений, что её объектами должны быть чувства, мысли или действия человека. Физические теории — это теории о физических системах".

На наш взгляд, указанные разногласия устранятся, если всеми будет признан тот неоспоримый факт, что практически любой естественнонаучный измерительный эксперимент проводится в условиях неадекватности теоретических моделей, понятий и/или представлений: "как это не покажется странным, физики интересуются не только внутренними, но очень часто еще и внешними характеристиками, т.е. интересуются степенью соответствия между наблюдением и модельным процессом (теорией)" [8, С. 180]. В настоящее время с использованием операционального подхода решаются самые различные проблемы естественнонаучных исследований {см., например, [58, 144, 165, 166, 167, 168]}. Особенности использования операционального подхода к решению различных проблем измерительных экспериментов подробно изложены автором в публикациях, список которых приведен в Приложении 4.

Научная новизна

В диссертации предложен, разработан и исследован операциональный (учитывающий особенности измерительных экспериментов) подход в теории анализа данных, в рамках которого можно получать объективные результаты количественной обработки экспериментальных зависимостей, найденных для неоднородных объектов.

Принципиальный вклад в развитие теории анализа данных составляют следующие научные результаты, полученные автором:

- результаты исследования вычислительных сложностей анализа данных, доказывающие, что в рамках существующей теории анализа данных невозможно получить достоверного решения задачи количественной обработки экспериментальных зависимостей, найденных для неоднородных объектов, а также система классификации основных причин, вызывающих появление вычислительных сложностей в анализе данных, и методов их преодоления;

- общий метод преодоления вычислительных сложностей в анализе данных, состоящий в дальнейшем развитии теории оценивания параметров за счет приближения постановок задач анализа данных к реальным экспериментальным ситуациям, имеющим место в измерительных экспериментах, и внедрения в эту теорию основных понятий теорий аппроксимации и планирования экспериментов, и разработанные в рамках этого метода общие процедуры аттестации методов оценивания и планирования измерительного процесса в естественнонаучных экспериментах, система классификации возможных экспериментальных ситуаций, методы идентификации этих ситуаций и методы решения задач оценивания в классифицированных ситуациях;

- постановки основных задач теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов, и методы решения этих задач, позволяющие по исследованным экспериментальным зависимостям находить оценки параметров аппроксимирующих моделей с наперед заданной степенью точности и определять вид и степень влияния неоднородности объектов на их свойства;

- общий алгоритм создания аналогов робастных оценивателей, предназначенных для повышения достоверности решения задач нелинейного оценивания в случаях присутствия в экспериментальных массивах данных аномальных выбросов, и методы решения задач о поиске для экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов, наилучшего равномерно аппроксимирующего многочлена минимальной степени и наилучшей равномерно аппроксимирующей линейной многофакторной модели;

- общий подход к построению аналитических описаний вычислительных алгоритмов, основанный на использовании логических функций, способ построения комбинаторных аналитических функций методами регрессионного анализа и способ уменьшения уровня зашумленности численных решений интегральных уравнений за счет использования набора эквивалентных аппроксимирующих формул;

- общий алгоритм конструирования и методы аттестации программных систем, предназначенных для анализа результатов измерительных экспериментов по исследованию свойств неоднородных объектов.

Практическая ценность работы

Разработанные в диссертации методы решения задач оценивания могут быть использованы в различных научных экспериментах, в которых по экспериментальным зависимостям, полученным для неоднородных объектов, требуется найти оценки параметров аппроксимирующих моделей с наперед заданной степенью точности и определить вид и степень влияния неоднородности объектов на их свойства. Основные теоретические положения и результаты доведены до наборов конкретных алгоритмов обработки данных, вычислительных программ и программных комплексов, большинство из которых сданы в государственный фонд алгоритмов и программ, г. Москва.

С помощью разработанных в диссертации методов решено большое количество практических задач анализа данных. В частности, получены аналитические решения ряда комбинаторных и теоретико-числовых задач анализа данных; проведен анализ температурных зависимостей магнитной восприимчивости ряда слабомагнитных материалов; продемонстрировано, что физические свойства как поликристаллов, так и монокристаллов содержат информацию не только об объемных состояниях исследуемых объектов, но и о совокупности существующих в них межзеренных, межфазных и поверхностных состояний.

На защиту выносятся:

- операциональный (учитывающий особенности измерительных экспериментов) подход в теории анализа данных и развитая в его рамках теория оценивания параметров;

- система классификации основных причин, вызывающих появление вычислительных сложностей в анализе данных, и методов их преодоления;

- постановки основных задач теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов, и методы решения этих задач;

- общий алгоритм создания аналогов робастных оценивателей и методы решения задач о поиске наилучшего равномерно аппроксимирующего многочлена минимальной степени и наилучшей равномерно аппроксимирующей линейной многофакторной модели;

- общий подход к построению аналитических описаний вычислительных алгоритмов, способ построения комбинаторных аналитических функций, способ уменьшения уровня зашумленности численных решений интегральных уравнений, общий алгоритм конструирования и методы аттестации программных систем, предназначенных для анализа результатов измерительных экспериментов по исследованию свойств неоднородных объектов;

- методы решения задач количественной обработки экспериментальных данных по измерению температурной зависимости магнитной восприимчивости однородных и неоднородных слабомагнитных систем;

-результаты анализа магнитного поведения ряда слабомагнитных систем, доказывающие, что физические свойства поликристаллических и монокристаллических образцов содержат информацию не только об объемных состояниях исследуемых объектов, но и о совокупности существующих в них межзеренных, межфазных и поверхностных состояний.

6.4. Выводы

В данной главе разработаны дополнительные по отношению к задаче оценивания параметров закона Кюри - Вейсса методы количественного анализа температурных зависимостей магнитной восприимчивости неоднородных слабомагнитных материалов. В частности, в данной главе

- разработан аналитический подход к выделению из зависимостей %(7) парамагнитной составляющей магнитной восприимчивости ^ (в этом подходе полагается, что парамагнитная составляющая удельной магнитной восприимчивости = С'/(Т0 + где С' и 0' — значения оценок параметров модифицированного закона Кюри - Вейсса %(7) = С/(Т+ е) + х0} и продемонстрированы его преимущества по сравнению с используемым на практике графическим подходом {например, с использованием предложенного аналитического подхода в данной главе а) доказана несостоятельность так называемого метода "бесконечно разбавленных твердых растворов", в котором значения Хме^ (х = 0) получают путем экстраполяции изотерм восприимчивости Хме & (х) на х = 0, где х — концентрация ионов парамагнитного металла Ме в исследуемом твердом растворе; б) продемонстрировано, что для систем У Са НехА1|.х04 при расчете значений паРа и Х^е^ необходимо учесть магнитную неоднородность исследуемых образцов};

- для решения задачи о построении математической (регрессионной) модели температурно-концентрационных зависимостей Хм^ (Т, х) предложено использовать разработанный в главе 2 метод эквивалентных аналитических формул;

- для экспериментального выявления магнитной неоднородности в слабомагнитных материалах предложено исследовать зависимости % = %(7) при малых значениях величин напряженности магнитного поля (Н= 1 Кэ) в режиме непрерывного изменения температуры {в качестве примера в диссертации приводятся результаты исследования зависимостей %(Т) для железосодержащего образца кремнезема при разных значениях напряженности магнитного поля Н).

В заключительных параграфах данной главы обсуждается связь, существующая между разработанными в главах 2-4 общими методами количественного анализа зависимостей, найденных для неоднородных объектов, и специальными методами количественного анализа зависимостей %(Т) слабомагнитных неоднородных материалов, разработанными в данной главе и главе 5, и область применения разработанных специальных методов анализа зависимостей %(Т) {в частности, указывается, что так как кроме магнитной восприимчивости закону Кюри - Вейсса подчиняются

217 температурные зависимости многих других физических характеристик твердых тел (например, электропроводность, диэлектрическая проницаемость, коэффициент температурного расширения и др.), область применения разработанных специальных методов анализа зависимостей %(Т) является значительно более широкой, чем это представлено в диссертации}.

Заключение

Совокупность научных положений, сформулированных и обоснованных в диссертационной работе, составляет новое перспективное направление в области теории анализа данных — развитие теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов.

При этом в диссертации получены следующие теоретические и практические результаты:

1. Разработана система классификации основных причин, вызывающих появление вычислительных сложностей в анализе данных, и методов их преодоления.

2. Предложен общий метод преодоления вычислительных сложностей в анализе данных, состоящий в дальнейшем развитии теории оценивания параметров за счет приближения постановок задач анализа данных к реальным экспериментальным ситуациям, имеющим место в измерительных экспериментах, и внедрения в эту теорию основных понятий теорий аппроксимации и планирования экспериментов, и в рамках этого метода разработаны общие процедуры аттестации методов оценивания и планирования измерительного процесса в естественнонаучных экспериментах, система классификации возможных экспериментальных ситуаций, методы идентификации этих ситуаций и методы решения задач оценивания в классифицированных ситуациях.

3. Сформулированы основные задачи теории оценивания параметров в измерительных экспериментах, направленных на исследование свойств неоднородных объектов, и разработаны методы решения этих задач, позволяющие по исследованным экспериментальным зависимостям находить оценки параметров аппроксимирующих моделей с наперед заданной степенью точности и определять вид и степень влияния неоднородности объектов на их свойства.

4. Предложен общий алгоритм создания аналогов робастных оценивателей, предназначенных для повышения достоверности решения задач нелинейного оценивания в случаях присутствия в экспериментальных массивах данных аномальных выбросов, и разработаны методы решения задач о поиске для экспериментальных зависимостей, полученных для неоднородных объектов, наилучшего равномерно аппроксимирующего многочлена минимальной степени и наилучшей равномерно аппроксимирующей линейной многофакторной модели.

5. Разработаны различные методы решения задач количественной обработки экспериментальных данных по измерению температурной зависимости магнитной восприимчивости однородных и неоднородных слабомагнитных материалов и предложена аппроксимирующая модель, позволяющая определять температурный интервал, в котором магнитная неоднородность оказывает существенное влияние на магнитное поведение исследуемых систем.

6. Предложены общий подход к построению аналитических описаний вычислительных алгоритмов, основанный на использовании логических функций, способ построения комбинаторных аналитических функций методами регрессионного анализа и способ уменьшения уровня зашумленности численных решений интегральных уравнений за счет использования набора эквивалентных аппроксимирующих формул.

7. Разработаны общий алгоритм конструирования и методы аттестации программных систем, предназначенных для анализа результатов измерительных экспериментов по исследованию свойств неоднородных объектов; с помощью созданных методов выявлены недостатки стандартных программных систем анализа данных и разработан комплекс программ для количественной обработки результатов исследования неоднородных объектов.

1. Адлер Ю.П. (1982) Предисловие к книге: Мостеллер Ф., Тьюки Дж.

2. Анализ данных и регрессия / Пер. с англ. М.: Финансы и статистика. Вып.1. 317 е.; Вып.2. 239 с.

3. Александров В.В. и Горский Н.Д. (1983) Алгоритмы и программыструктурного метода обработки данных. Л.: Наука. 208 с.

4. Алесковский В.Б. (1996) Химия надмолекулярных соединений. СПб:

5. Изд-во СПб гос. ун-та. 256с.

6. Алефелъд Г. и Херцбергер Ю. (1987) Введение в интервальныевычисления / Пер. с англ. М.: Мир. 360 с.

7. Алимов Ю.И. (1980) Альтернатива методу математическойстатистики. М.: Знание. 64 с.

8. Алимов Ю.И. и Кравцов Ю.А. (1992) Является ли вероятностьнормальной" физической величиной ? // УФН, Т. 162. №7. С. 149-182.

9. Амосов A.A. и др. (1994) Вычислительные методы для инженеров /

10. А.А.Амосов, Ю.А.Дубинский и Н.В.Копченова. М.: Высшая школа. 544 с.

11. Афифи А. и Эйзен С. (1982) Статистический анализ: Подход сиспользованием ЭВМ. / Пер. с англ. М.: Мир. 488 с.

12. Ахиезер Н.И. (1965) Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука.407 с.

13. Байков И.С. (1994) Япония укрепляет свое лидерство в нанотехнологии

14. Технология. Сер. Прикладная физика. М. Вып. 4. С. 58-60.

15. Бард Й. (1979) Нелинейное оценивание параметров / Пер. с англ. М.:1. Статистика. 349 с.

16. Бахман 77. (ред.) (1988) Программные системы / Пер. с нем. М.: Мир.288 с.

17. Бахшиян Б.Ц. и др. (1980) Определение и коррекция движениягарантированный подход) / Б.Ц.Бахшиян, Р.Р.Назаров и П.Е.Эльясберг. М.: Наука. 360 с.

18. Бейкер Дж., мл. и Грейвс-Моррис П. ( 1986) Аппроксимация Паде /

19. Пер. с англ. М.: Мир. 502 с.

20. Белов В.М. и др. (1991) Оценивание параметров линейных физикохимических зависимостей прямоугольником метода центра неопределенности / В.М.Белов, В.А.Суханов, В.В.Гузеев и Ф.Г.Унгер // Изв. вузов. Физика. № 8. С.36-43.

21. Белое К.П. (1959) Магнитные превращения. М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит-ры. 259 с.

22. Бендат Дж. и Пирсол А. (1989) Прикладной анализ случайных данных

23. Пер. с англ. М.: Мир. 540 с.

24. Берка К. (1987) Измерения: понятия, теории, проблемы / Пер. с чеш.1. М.: Прогресс. 320 с.

25. Бертсекас Д. (1987) Условная оптимизация и методы множителей

26. Лагранжа / Пер. с англ. М.: Радио и связь. 399 с.

27. Бобрышева Н.П. (1974) Магнитные разбавления ряда окисловэлементов первого переходного периода / Автореф. канд. дис. Л.: ЛГУ. 19 с.

28. Бобрышева Н.П. и Чежина Н.В. (1994) Состояние атомов имежатомные взаимодействия в сложных перовскитоподобных оксидах. 4.1. // Журн. общей химии. Т.64. Вып.7. С. 1066-1071.

29. Боглаев Ю.П. (1990) Вычислительная математика и программирование.1. М.: Высшая школа. 544 с.

30. Бокштейн Б.С. и др. (1988) Структура и свойства внутреннихповерхностей раздела в металлах / Б.С.Бокштейн, Ч.В.Копецкий, Л.С.Швиндлерман и др. М.: Наука. 272 с.

31. Болл У. и Коксетер К. (1986) Математические эссе и развлечения / Пер.с англ. М.: Мир. 470 с.

32. Большее Л.Н. и Смирнов Н.В. (1968) Таблицы математическойстатистики. М.: Наука. 476 с.

33. Брагинский Р.П. и др. (1989) Математические модели образованиямногомасштабной, иерархической, структуры поликристаллов / Р.П.Брагинский, С.А.Молчанов, Г.С.Наркумская, В.Ф.Писаренко и А.Я.Резникова // Докл. АН СССР. Т.3046 № 2. С. 348-351.

34. Брач Б.Я. (1984) Магнетохимические свойства сложных оксидов //

35. Эволюция идей Д.И.Менделеева в современной химии. Д.: Наука. С.84-108.

36. Бриллюэн Л. (1966) Научная неопределенность и информация / Пер. сангл. М.: Мир. 272 с.

37. Бугаец А.Н. (1994) Нечеткие множества в геологии. М.: АО1. Геоинформмарк". 57 с.

38. Бунге М. (1975) Философия физики / Пер. с англ. М.: Прогресс. 348 с.

39. Бухштабер В.М. и др. (1989) Конструирование интерактивных системанализа данных / В.М.Бухштабер, Е.А.Зеленюк и А.А.Зубенко М.: Финансы и статистика. 119 с.

40. Валиев Р.З. и др. (1992) Структура и свойства материалов ссубмикрокристаллической структурой / Р.З.Валиев, А.В.Корзников и Р.Р.Мулюков // Физика металлов и металловедение., Т.4. С.70-86.

41. Валиев Р.З. и др. (1989) Температура Кюри и намагниченностьнасыщения никеля с субмикрозернистой структурой / Р.З.Валиев, Р.Р.Мулюков, Х.Я.Мулюков, В.И.Новиков и Л.И. Трусов // Письма в ЖТФ. Т. 15, № 1. С.78-81.

42. Вардапетян Р.П. и др. (1992) Магнитная восприимчивость и эффект

43. Мессбауэра в CdS, легированном Fe / Р.П.Вардапетян, В.Д.Кузнецов, В.А.Кульчинский и др. // ФТТ. Т.34. №7. С.2016-2024.

44. Васильев Ф.П. (1988) Численные методы решения экстремальныхзадач: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука. 552 с.

45. Веневцев Ю.Н. и др. (1982) Сегнетомагнетики / Ю.Н.Веневцев,

46. В.В.Гагулин и В.Н.Любимов. М.: Наука. 224 с.

47. Верланъ А.Ф. и Сизиков B.C. (1986) Интегральные уравнения: Методы,алгоритмы, программы. Киев: Наукова Думка. 543 с.

48. Вилкас Э.И. и Майминас Э.З. (1981) Решения: теория, информация,моделирование. М. 328 с.

49. Виноградов В.Н. и др. (1987) Аналитическая аппроксимация данных вядерной и нейтронной физике / В.Н.Виноградов, Е.В.Гай и Н.С.Работнов. М.: Энергоатомиздат. 128 с.

50. Вонсовский C.B. (1971) Магнетизм. М.: Наука. 1032 с.

51. Вучков И. и др. (1987) Прикладной линейный регрессионный анализ /

52. И.Вучков, Л.Бояджиева и Е.Солаков / Пер. с болг. М.: Финансы и статистика. 239с.

53. Гавалешко Н.П. и др. (1991) Особенности магнитной восприимчивостимонокристаллов HgixMnxTejySey / Н.П.Гавалешко, П.Д.Марьянчук и А.М.Падалко // Изв. вузов. Физика. Вып.4. С.60-62.

54. Гантмахер Ф.Р. (1988) Теория матриц. 4-е изд. М.: Наука. 548 с.

55. Гелбаум Б. и Олмстед Дж. (1997) Контрпримеры в анализе / Пер. сангл. Волгоград: Платон. 251 с.

56. Георгиев В.К. и др. (1990) Межкристаллитные границы и свойстваполикристаллического кремния / В.К.Георгиев, Л.И.Попова, Л.Е.Поляк и Л.К.Фионова // Поверхность. Физика, химия, механика. № 9. С.5-21.

57. Гилл Ф. и др. (1985) Практическая оптимизация / Ф.Гилл, У.Мюррей и

58. М.Райт / Пер. с англ. М.: Мир. 509 с.

59. Гилъбо Е.П. и Челпанов И.Б. (1976) Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора. М.: Сов. радио. 344 с.

60. Горшков B.C. и др. (1991) Особенности магнитных свойств слоистогооксида LiNi02 / В.С.Горшков, Д.Г.Келлерман, В.А.Переляев и Г.П.Швейкин // Изв. АН СССР. Неорганич. материалы. Т.27. № 6. С.1274-1278.

61. Грановский В.А. и Сирая Т.Н. (1990) Методы обработкиэкспериментальных данных при измерениях. Л.: Энергоатомиздат. 288 с.

62. Грешилов A.A. (1990) Анализ и синтез стохастических систем.

63. Параметрические модели и конфлюентный анализ. М.: Радио и связь. 320 с.

64. Губанов B.C. (1997) Обобщенный метод наименьших квадратов. Теорияи применения в астрометрии. СПб.: Наука. 318 с.

65. Гуревич Е.Я. (1969) Тайна древнего талисмана. М.: Наука. 152 с.

66. Гусаров В.В. (1996) Статика и динамика поликристаллических системна основе тугоплавких оксидов / Автореф. докт. дисс. СПб: СПб техн. ун-т. 44 с.

67. Гутнер JI.M. (1985) Измерение в структуре теоретических отношений.1. Л.: Изд-во ЛГУ. 104 с.

68. Дайитбегов Д.М. и др. (1984) Программное обеспечениестатистической обработки данных: Учеб. пособие / Д.М.Дайитбегов, О.В.Калмыкова и А.И.Черепанов. М.: Финансы и статистика. 192 с.

69. Демиденко Е.З. (1981) Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансыи статистика. 302 с.62. — (1986) Вычислительные вопросы нелинейной регрессии // Заводскаялаборатория. № 3. С. 51-54.63. — (1989) Оптимизация и регрессия. М.: Наука. 296 с.

70. Дерягин Б.В. и др. (1989) Течение незамерзающей воды в пористыхтелах / Б.В.Дерягин, О.А.Киселева, В.Д.Соболев и Н.В.Чураев / Вода в дисперсных системах. М.: Химия. С. 101-115.

71. Дзядык В.К. (1977) Введение в теорию равномерного приближенияфункций полиномами. М.: Наука. 512 с.

72. Дрейпер Н. и Смит Г. (1986, 1987) Прикладной регрессионный анализ.

73. В 2-х книгах / Пер. с англ. М.: Финансы и статистика. Кн.1. (1986) 366 с. Кн.2. (1987) 351 с.

74. Дудкин E.H. (1978) Магнитные свойства твердых растворов оксидов соструктурой перовскита, содержащих трехвалентные атомы 3d-элементов / Автореф. канд. дисс. Л.: ЛГУ. 16 с.

75. Дэннис Дж. мл. и Шнабелъ Р. (1988) Численные методы безусловнойоптимизации и решение нелинейных уравнений / Пер. с англ. М.: Мир. 440 с.

76. Дюбуа А. и Прад А. (1990) Теория возможностей. Приложения кпредставлению знаний в информатике / Пер. с англ. М.: Радио и связь. 288 с.

77. Ермаков С.М. (ред.) (1983) Математическая теория планированияэксперимента. М.: Наука. 392 с.

78. Ермаков СМ. и Жиглявский A.A. (1987) Математическая теорияоптимального эксперимента. М.: Наука. 320 с. 12. Живописцев В.А. и Иванов В.А. (1995) Регрессионный анализ в экспериментальной физике. М.: Изд-во МГУ. 208 с.

79. Жиглявский A.A. и Жилинскас А.Г. (1991) Методы поиска глобальногоэкстремума. М.: Наука. 247 с.

80. Жирабок А.Н. и Шумский А.Е. (1993) Управляемость, наблюдаемость,декомпозиция нелинейных динамических систем. Владивосток: Дальневост. гос. техн. ун-т. 128 с.

81. Заячук Д.М. и др. (1996) Фазовый переход в системе магнитныхмоментов ионов Гадолиния как примеси в кристаллах Pb1xSnxTe(Gd) / Д.М.Заячук, Р.Д.Иванчук, В.И.Кемпник и В.И.Микитюк // ФТТ. Т.36. № 8. С.2502-2504.

82. Зоркалъцев В.И. (1995) Метод наименьших квадратов: Геометрическиесвойства, альтернативные подходы, приложения. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние. 220 с.

83. Игнатьев М.Б. и др. (1992) Активные методы обеспечения надежностиалгоритмов и программ / М.Б.Игнатьев, В.В.Фильчаков и Л.Г.Осовецкий СПб.: Политехника. 288 с.

84. Ильин В.А. и Позняк Э.Г. (1984) Линейная алгебра. 3-е изд. М.: Наука.294 с.

85. Калман Р. (1985) Идентификация систем с шумами // УМН. Т.40.1. Вып.4. С.27-41.

86. Калмыков С.А. и др. (1986) Методы интервального анализа / С.А.Калмыков, Ю.И.Шокин и З.Х.Юлдашев. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 223 с. 81 .Канторович Л.В. и Акилов Т.П. (1977) Функциональный анализ. М.: Наука. 742 с.

87. Катковник В.Я. (1985) Непараметрическая идентификация исглаживание данных: метод локальной аппроксимации. М.: Наука. 336 с.

88. Каур И. и Густ В. (1991) Диффузия по границам зерен и фаз. М.: Машиностроение. 448 с.

89. Кинг Д. (1991) Создание эффективного программного обеспечения /

90. Пер. с англ. М.: Мир. 288 с.

91. Клемм В. (1939) Магнетохимия / Пер. с нем. М: Госхимиздат. 234 с.

92. Клир Дж. (1990) Системология. Автоматизация решения системныхзадач / Пер. с англ. М.: Радио и связь. 544 с.

93. Кнут Д. (1976) Искусство програмирования для ЭВМ. В 3-х томах. Т.1.

94. Основные алгоритмы / Пер. с англ. М.: Мир.

95. Королева Л.И. и др. (1995) Магнитные и электрические свойства новыхтиошпинелей, содержащих Бе, Сг и Бп / Л.И.Королева, Л.Н.Лукина, М.Г.Михеев и др. // ФТТ. Т.37. № 4. С.922-928.

96. Котерлин МД. и др. (1994) Особенности магнитных свойств новойкондо-решетки СеРе2А18 / М.Д.Котерлин, Б.С.Морхивский, Н.Г.Бабич и Н.И.Захаренко // ФТТ. Т.36. № 4. С.1162-1165.

97. Кузнецова И.В. (1997) Закономерности изменения магнитныххарактеристик кобальта(Ш) и никеля(Ш) в слоистых оксидах при замещении диамагнитных атомов / Автореф. канд. дисс. СПб: СПб ун-т. 15 с.

98. Кульчицкий О.Ю. и др. (1986) Планирование экспериментов в механикетвердого тела и системах управления: Учеб. пособие / О.Ю.Кульчицкий, М.Г.Захаров и Е.А.Белов. Л.: ЛПИ. 88 с.

99. Лекторский В.А. (1980) Субъект, объект, познание. М.: Наука. 358 с.

100. Леман Э. (1991) Теория точечного оценивания. / Пер. с англ. М.: Наука.448 с.

101. Леонов А.И. и др. (1988) Влияние поверхностных микроструктур нафизико-химические свойства оксидов / А.И.Леонов, Ю.П.Костиков и В.С.Стрыканов // Успехи химии, Т.57, № 8. С.1233-1252.

102. Лидов М.Л. (1991) К задачам гарантированного оценивания // Космич.исслед. Т.29. № 6. С.803.

103. Линник Ю.В. (1958) Метод наименьших квадратов и основыматематико-статистической теории обработки наблюдениий. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры. 333 с.

104. Липаев В.В. (1990) Проектирование программных средств: Учеб.пособие для вузов. М.: Высшая школа. 303 с.

105. Липский В. (1988) Комбинаторика для программистов / Пер. с польск.1. М.: Мир.

106. Лисенков А.Н. и др. (1989) Аппроксимационный подход к решениюзадач идентификации и управления многомерными объектами / А.Н.Лисенков, С.А.Овчарова и Ю.А.Шитов. М.: ВЦ АН СССР. 45 с.

107. Лисс А.Р. и др. (1995) Програмирование в системах реальноговремени: Учеб. пособие / А.Р.Лисс, Г.П.Селеджи и С.М.Селеджи. СПб: ГЭТУ. 80 с.

108. Ллойд Э. и Ледерман У. (1989- 1990) Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. / Пер. с англ. М.: Финансы и статистика. Т.1. 510 с. Т.2. 526 с.

109. Лоран П.-Ж. (1975) Аппроксимация и оптимизация / Пер. с франц. М.: Мир. 496 с.

110. Макаров И.М. и др. (1982) Теория выбора и принятия решений: Учеб.пособие для вузов / И.М.Макаров, Т.М.Виноградская, А.А.Рубчинский и др. М. 327 с.

111. Мандель ИД. (1988) Кластерный анализ. М.: Наука. 176 с. lOl.Mamacoe А.И. (1988) Об оптимальности линейных алгоритмовгарантирующего оценивания //Космич. исслед. Т.26. № 5. С.643.

112. Матиясевыч Ю.В. (1986) Вещественные числа и ЭВМ // Кибернетикаи вычислительная техника. Вып.2. С. 104-133.

113. Мешалкин Л.Д. и Курочкина А.И. (1979) Новый подход кпараметризации регрессионных зависимостей // Исследования по математической статистике: Записки научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. Л. Т.87. С.79-86

114. Мироновский Л.А. (1991) Инварианты математических моделей (текстлекций). СПб.: ЛИАП. 42 с. 111 .Моисеев H.H. (1975) Простейшие экономические модели экономического прогнозирования. М.: Знание.

115. Мостеллер Ф. и ТъюкиДж. (1982) Анализ данных и регрессия / Пер. сангл. М.: Финансы и статистика. Вып.1. 317 с.; Вып.2. 239 с.

116. Мудрое В.И. и Кушко В.Л. (1983) Методы обработки измерений:

117. Квазиправдоподобные оценки. М.: Радио и связь. 304 с.

118. Неелъ Л. (1956) Магнитные свойства ферритов, ферромагнетизм иантиферромагнетизм // Антиферромагнетизм: Сб. статей / Пер. с англ. М.: Издат. иностр. лит-ры. С.56-84.

119. Нелепин P.A. (ред.) (1990) Алгоритмический синтез нелинейныхсистем управления. Л.: Изд-во ЛГУ. 240 с.

120. Новицкий П.В. и Зограф И.А. (1991) Оценка погрешностей результатовизмерений. JL: Энергоатомиздат. 304 с. 1П. Носач В.В. (1994) Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. М.: МИКАП. 382 с.

121. Орлов А.И.(?) (1986) От редакции // Заводская лаборатория. № 5. С.52.

122. Панин В.Е. (ред.) (1990) Структурные уровни пластической деформации и разрушение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 255 с.

123. Первозванский A.A. (1986) Курс теории автоматического управления.1. М.: Наука. 616 с.

124. Песаран М. и Слейтер Л. (1984) Динамическая регрессия: теория иалгоритмы. / Пер. с англ. М.: Финансы и стаистика. 310 с.

125. Поляк Б.Т. (1983) Введение в оптимизацию. М.: Наука. 384 с.

126. Попечителев Е.П. и Романов C.B. (1985) Анализ числовых таблиц вбиотехнических системах обработки экспериментальных данных. Л.: Наука. 148 с.

127. ПостниковМ.М. (1964) Магические квадраты. М.: Наука. 84 с.

128. Пытъев Ю.П. (1989) Математические методы интерпретацииэксперимента: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа. 351 с.

129. Ракитин Ю.В. и Калинников В. Т. (1994) Современная магнетохимия.1. СПб: Наука. 272 с.

130. Pao С.Р. (1968) Линейные статистические методы и их применение. /

131. Пер. с англ. М.: Наука. 548 с.

132. Pao Ч.Н.Р. и Гопалакришнан Дж. (1990) Новые направления в химиитвердого тела: Структура, синтез, свойства, реакционная способность и дизайн материалов / Пер. с англ. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 520 с.

133. Реглер М. (ред.) (1993) Методы анализа данных в физическомэксперименте / Пер. с англ. М.: Мир. 478 с.

134. Реклейтис Г. и др. (1986) Оптимизация в технике. В 2-х книгах /

135. Г.Реклейтис, А.Рейвиндран, К.Рэгсдел. М.: Мир. Кн.1. 349 с. Кн.2. 320 с.

136. Риордан Дж. (1963) Введение в комбинаторный анализ / Пер. с англ.

137. М.: Изд-во иностр. литературы. 287 с.

138. Рогельберг И.Л. и Бейлин В.М. (1983) Сплавы для термопар. Справоч.изд. М.: Металлургия. 360 с.

139. Розанов Ю.А. (1989) Теория вероятностей, случайные процессы иматематическая статистика. М.: Наука. 320 с.

140. Ролов Б.Н. и Юркевич В.Э. (1983) Физика размытых фазовыхпереходов. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та. 320 с.

141. Романов В.Л. (1990) Выбор наилучшей линейной регресии: сравнениеформальных критериев // Заводская лаборатория. № 1. С.90-95.

142. Рябков Ю.И. (1986) Влияние особенностей структур на состояниеатомов Зй?-элементов и магнитные свойства перовскитоподобных оксидов / Автореф. канд. дисс. Д.: ЛГУ. 16 с.

143. Себер Дж. (1980) Линейный регрессионный анализ / Пер. с англ. М.:1. Мир. 456 с.

144. Секей Г. (1990) Парадоксы в теории вероятности и математическойстатистике / Пер. с англ. М.: Мир. 240 с.

145. Селвуд П. (1958) Магнетохимия / Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. литры. 457 с.

146. Сирая Т.Н. и Храмов H.H. (1997) Аттестация алгоритмов построенияфункциональных зависимостей по экспериментальным данным // Тез. докл. конф. Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасность-97. СПб. С. 140-141.

147. Смоляк С.А. и Титаренко Б.П. (1980) Устойчивые методы оценивания.1. М.: Статистика. 208 с.

148. Соколова НД. (1982) Программное обеспечение ЭВМ. Вып. 36.

149. Минск: Ин-т математики АН БССР. 72 с.

150. Соловьев В.Н. (1994) Об оптимальности линейных алгоритмовгарантирующего оценивания при наличии случайных ошибок измерений // Космич. исслед. Т.32. № 2. С. 122-124.

151. Солопченко Р.Н. и др. (1990) Объект метрологической аттестацииалгоритмов и программ обработки данных при измерениях / Н.Н.Вострокнутов, В.П.Кузнецов, Г.Н.Солопченко и Б.А.Френкель // Измерительная техника. № 7. С.6-7.

152. Стадник М.П. (1989) Модификация критерия Меллоуза Акаике дляподбора порядка регрессионной модели // Автоматика и телемеханика. № 4. С. 98 -108.

153. Стенли Р. (1990) Перечислительная комбинаторика / Пер. с англ. М.:1. Мир. 440 с.

154. Стогов Г.В. и др. (1982) Устойчивые методы обработки результатовизмерений / Г.В.Стогов, А.В.Макшанов и А.А.Мусаев // Зарубежная радиоэлектроника. № 9. С.3-46.

155. Страхов Л.Р1. (1982) Магнетизм и адсорбция. I. / Поверхность имежфазовые границы. JI.: Изд-во ЛГУ. С.81-148.

156. Суворов С.А. и др. (1986) Фазовые диаграммы и термодинамикаоксидных твердых растворов / С.А.Суворов Е.Г.Семин и В.В.Гусаров Л.: Изд-во ЛГУ. 140 с.

157. Тиман А.Ф. (1960) Теория приближений функций действительногопеременного. М.: Наука. 624 с.

158. Тихонов А.Н. и Арсенъев В.Я. (1979) Методы решения некорректныхзадач. М.: Наука. 286 с.

159. Тутубалин В.Н. (1993) Вероятность, компьютеры и обработкарезультатов эксперимента// УФН, Т. 163. № 7. С.93-109.

160. Тъюки Дж. (1981) Анализ результатов наблюдений. Разведочныйанализ / Пер. с англ. М.: Мир. 693 с.

161. Урусов B.C. (1977) Теория изоморфной смесимости / М.: Наука. 251 с.

162. Федоров В.В. (1971) Теория оптимального эксперимента. М.: Наука.312 с.

163. Фокс Дж. (1985) Программное обеспечение и его разработка /Пер. сангл. М.: Мир. 268 с.

164. Хал ъд А. (1956) Математическая статистика с техническими