автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие математических моделей и методов теории гидравлических сетей и их применение для моделирования рассредоточенного рынка

На правах рукописи

КОВАЛЕНКО Алексей Гаврилович

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ТЕОРИИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СЕТЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАССРЕДОТОЧЕННОГО РЫНКА

Специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Диссертация выполнена на кафедре информатики и вычислительной математики Самарского государственного университета Научный консультант: заведующий отделом Методов проектирования развивающихся систем Вычислительного центра РАН, доктор физико-математических наук, профессор Владимир Рубенович Хачатуров

Официальные оппоненты:

- Токарев Владислав Васильевич — д.ф.-м.н., профессор;

- Бекларян Лева Андреевич — д.ф.-м.н., профессор;

- Васин Александр Алексеевич — д.ф.-м.н., профессор.

Ведущая организация: Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН.

Защита состоится 20 апреля 2006 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д002.017.04 при Вычислительном центре им. A.A. Дородницина Российской академии наук по адресу: 119991, г. Москва ГСП-1, ул. Вавилова дом 40. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН.

Автореферат разослан 15 марта 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Новикова Н.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования

В работе предложены и изучаются математические модели и их модификации конкурентного взаимодействия субъектов множества локальных рынков в состоянии равновесия, объединенных в единую экономическую систему. В работе эта система названа рассредоточенным рынком. Рассматриваются модели однопродуктового и многопродуктового рынков (соответственно ОРР и МРР).

Структура однопродуктового рассредоточенного рынка (отрасли) представляет собой граф, в вершинах — локальных рынках - которого осуществляется обмен продуктами, причем цены обмена в различных пунктах могут быть различными. Субъектами однопродуктового рынка являются:

- предприятия, расположенные в одном из пунктов, они выпускают продукцию отрасли и являются ее продавцами;

- покупатели - конечные потребители;

- арбитражеры, которые осуществляют обмен продуктами между инцидентными пунктами, в зависимости от разности цен в них, в пункте с меньшей ценой они являются покупателями, в смежном — продавцами;

- внешние агенты, осуществляющие экспортно-импортные операции за пределы моделируемой системы.

В МРР рассматривается конечное число отраслей, их предприятия производят продукцию своих отраслей. Предприятия могут потреблять как продукцию своей отрасли, так и других отраслей, преобразуя ее в продукцию своей отрасли. Конечные потребители потребляют продукцию различных отраслей.

Анализ систем и поиск их состояний равновесия, описываемых моделями рассредоточенного рынка, проводится на основе идей конкурентного равновесия с использованием и развитием математического аппарата решения задач потокораспределения теории гидравлических сетей (ТГС), методов оптимизации, методов выпуклого векторного программирования. Синтез этих систем проводится с использованием идей динамического программирования и аппроксимационно-комбинаторного метода, которые также имеют широкое применение в теории гидравлических сетей.

Актуальность

Рассматриваемые модели и методы представляют собой новое направление экономической теории, в той или иной мере используют и (или) развивают отдельные вопросы следующих научных направлений:

- микроэкономика;

- мезоэкономика;

- международная экономика;

- экономическая география;

- региональное программирование;

- модели общего и частного равновесия, функционирование конкурентной экономики по Вальрасу;

- модели межотраслевого баланса;

- модели межрегионального межотраслевого баланса;

- сетевая экономика;

- выпуклое векторное программирование;

- равновесное программирование;

- динамическое программирование;

- теория гидравлических сетей.

Идеи равновесия в естествознании известны давно. Идеями конкуренции и равновесия пронизана работа Адама Смита «Исследование о природе и причинах богатства народов» (1776 г). Огромный вклад в развитие идей экономического равновесия и его математического описания внес Леон Вальрас. Подход к функционированию децентрализованной экономики, включающей в себя большое число индивидуумов и товаров, как к конкурентному равновесию - это наиболее фундаментальная идея Вальраса, на которой построена его теория общего равновесия. По Вальрасу вопрос о работоспособности децентрализованной экономической системы сводился к вопросу о существовании конкурентного равновесия. Его подход привел к постановке соответствующих математических задач, многие из которых оставались нерешенными вплоть до 50-х годов. Большой вклад в их решение внесли Вальда, Эрроу и Дебре (модель Эрроу-Дебре), Маккензи, Гейл, Никайдо. Основными вопросами являлись вопросы существования состояния равновесия и равновесных цен.

Последние 40 лет были отмечены обширным потоком работ, обобщающих результаты Эрроу и Дебре в самых различных направлениях. Некоторые из них:

- ослабление предположений, при которых гарантировалось существование состояния конкурентного равновесия;

- модели с бесконечным числом продуктов;

- изучение свойств при различных порядковых структурах предпочтений в пространстве продуктов;

- динамические равновесные модели;

- модели неполных рынков, учитывающие как неполноту информации, так и неопределённость будущего;

- использование концепции теории равновесия для анализа плановой экономики;

- теории функционирования экономики при неравновесных ценах;

- модели сетевой экономики;

- стохастические модели на графах;

- моделирование сетевых аукционов.

Большой вклад в развитие этих направлений внесли A.A. Васин,

A. Г. Гранберг, М. Р. Давидсон, В. И Данилов., И. В. Евстигнеев, П. К. Катышев, Е.А. Коломак, А. В. Коновалов, В. Л. Макаров, Ю. Е. Малашенко, В. М. Маракулин, Н.М. Новикова, A.A. Петров,

B.М. Полтерович, И. Г. Поспелов, А. М. Рубинов, А. Г. Рубинштейн, В. И. Суслов, С. D. Aliprantis, R. J. Aumann, T. Bewley, D. J. Brown, О. Burkinshaw, M. Deghdak, S. Enke, M. Florenzano, J. Geanakoplos, P. Gourdel,. W. Hildenbrand, M. D. Intriligator, G. G. Judge, D.M. Kreps, A. Mas-Colell, A. Nagurney, В. Peleg, К. Podczeck, H. M. Polemarchakis, R. Radner, S.F. Richard, W. Shafer, P.A. Samuelson, V. Smith, S. Srivastava, T. Takayama, B. Tourky, E. Truman,. С. A. Wilson, M. E Yaari. Взаимосвязи физических моделей и методов теории равновесия с моделями экономики посвящены работы Разумихина Б.С. и его последователей.

Исследования, проведенные в диссертации, развивают направление, связанное с анализом и отысканием состояний равновесия территориально разобщенных субъектов экономических систем, и их рыночной взаимосвязью.

Не меньшую значимость дало применение идей равновесия в различных прикладных аспектах:

- в геоэкономических исследованиях; международной экономике;

- в межрегиональной экономике;

- для анализа плановой экономики;

- для построения теорий переходного периода и т. д.

Здесь следует отметить следующие имена: Э. В. Автухович, С. А. Ашманов, К. А. Багриновский, В. П. Бусыгин, В. А. Волконский, Ю. Н. Гаврилец,

А. Г. Гранберг, С. М. Гуриев, В. С. Дадаян, В. И. Данилов-Данильян, М. Г. Завельский, Иванов Ю.Н., Е. А. Коломак, Э. Г. Кочетов, Н. С. Мироненко, H. Н. Оленев, А. А. Петров, В. М. Полтерович, И. Г. Поспелов, А. Г. Рубинштейн, В. И. Суслов, Токарев В. В., Уздемир А. П., А. А. Шананин, С. В. Чуканов, К. J. Arrow, В. Balassa, M. D. Intrilligator, R. Caves, I. Ekland, J. Frankel, Jones R., P. Krugman, M. Morishima, M. Obstfeld, G. Reed, P. Robson, D. Sodestren, E. Truman, R. Vickeiman.

Развиваемое направление расширяет список моделей и методов анализа в перечисленных прикладных аспектах.

Большое значение для оценки реальных экономических систем и выработки принимаемых решений в настоящее время принимает численный анализ, основанный на моделях равновесия. Различают два типа моделей: модели частичного и общего равновесия. Практическое использование такого рода моделей связано с разработкой программного обеспечения «GAMS» (General Algebraitic Modeling System — общая алгебраическая система моделирования), представляющего собой систему, реализующую язык заданий в удобной для пользователя форме математического программирования. Одной из первых моделей общего равновесия, реализованной с помощью данной системы, была модель Камеруна. В качестве примера модели частичного равновесия можно привести систему моделирования FAPRI (FAPRI Modeling System). Для анализа политики в области международной торговли Службой Экономических исследований Министерства сельского хозяйства США разработана и постоянно совершенствуется система моделей SWOPSIM (А Static Word Policy Simulation Modeling Framework). Одной из основных моделей по анализу экономической политики в области сельского хозяйства для стран СНГ является модель EPACIS.

Одним из направлений, бурно развивающимся в настоящее время и связанным с развитием модели Эрроу-Дебре, является «равновесное программирование». За сравнительно небольшой период времени в этой

области знаний произошел значительный прогресс в теории и методах нахождения решения равновесных задач различных типов (включающих, например, вариационные неравенства, задачи дополнительности, задачи о седловой точке и об игровом равновесии). С развитием этого направления связаны такие имена, как A.C. Антипин, С. А. Ашманов, А. Б. Бершанский, В. А. Булавский, В. В. Калашников, И. В. Коннов, Г.М. Корпелевич, М. В. Мееров, A.C. Немировский, Ж.-П. Обен, В. М. Полтерович, Б. Н. Пшеничный, А. Г. Сухарев, А. В. Тимохов, В. В. Федоров, E.H. Хоботов, R. Bruck, М. Fukushima, Р.Т. Harker, J.-S. Pang.

Внутри этого направления выделим еще одно направление - «сетевая экономика», развиваемое школой А. Нагурней. Основные модели, рассматриваемые в работах этой школы, основаны на свойствах состояний равновесия в экономических системах, для поиска применяются методы решения вариационных неравенств. Модели и методы, развиваемые автором, также можно отнести к сетевой экономике, однако в отличии от указанных выше, они основаны на теории гидравлических сетей, эффективность которой подтверждена многолетним использованием.

Рамки развиваемого направления позволяют применять для численного анализа экономических систем модели и численные методы ТГС и их модификации, использующие численные методы выпуклого векторного программирования.

Исходной идеей моделей рассредоточенного рынка является идея равновесия функционирования конкурентной экономики по Вальрасу. В них математическое описание потребления и производства взято из моделей микроэкономического анализа. Из модели Эрроу—Дебрэ экономики общего вида взята идея объединения моделей многих потребителей и производителей в единую систему. Объединение отдельных, территориально разобщенных, субъектов рынка в единую систему осуществляется на основе идей и методов ТГС.

Задачи, связанные с синтезом гидравлических сетей, являются основной частью ТГС. В синтезе сетей выделяют следующие основные взаимно связанные части: размещение объектов на территории, выбор структур сетей, трассирование отдельных участков сетей, выбор параметров элементов сетей. Исследования в данных направлениях широко известны и выполнялись не только в рамках теории гидравлических сетей. Для решения этих задач применяются и получили большое развитие методы динамического программирования, ветвей и границ (оценочные методы), последовательных расчетов, последовательного анализа вариантов, аппроксимационно-комбинаторный, и т. д. В указанных направлениях известны работы Р. Беллмана, С. Дрейфуса, В. С. Михалевича, Н.З. Шора, В. Р. Хачатурова,

H. Д. Астахова, В. Е. Веселовского, А. В. Злотова, В. М. Монтлевича, В. А. Емеличева, В. И. Комлика, Ю. М. Комлика, А. П. Уздемира, В.Я. Хасилева, А. П. Меренкова, М. Г. Сухарева, Е. Р. Ставровского, С. В. Сумарокова, Т. Б. Ощепковой и т. д.

Рассматриваемые в работе задачи синтеза являются развитием многоэтапных многопродуктовых задач размещения и задач выбора типов элементов гидравлической сети. Для их решения разработаны методы, основанные на модификациях методов динамического программирования Р. Беллмана и аппроксимационно-комбинаторного - В. Р. Хачатурова.

Цель работы

Развитие математических моделей и методов теории гидравлических сетей и их применение для моделирования рассредоточенного рынка.

На защиту выносятся следующие положения

I. Понятие однопродуктового рассредоточенного рынка (ОРР), объединяющее производителей, арбитражеров (перекупщиков, посредников и т.д.), конечных потребителей с учетом их пространственной разобщенности

7

в единую систему и описание ее конкурентного равновесия в виде задач потокораспределения ТГС.

2. Обоснование применимости методов поузловой и покоптурной увязки ТГС для отыскания равновесного состояния модели ОРР.

3. Анализ устойчивости, существования состояния равновесия и равновесных цен модели ОРР. Модель перехода системы из неравновесного состояния в равновесное, выработка рекомендаций по ускорению перехода системы в состояние равновесия.

4. Модификация метода поконтурной увязки для отыскания параметров моделей субъектов ОРР.

5. Модель ОРР как система экстремальных задач и анализ применимости методов поузловой и поконтурной увязки для отыскания состояния равновесия. Описание взаимосвязи модели ОРР и сетевой транспортной задачи, модификации градиентных алгоритмов для отыскания состояния равновесия.

6. Разработка статической модели многопродуктового рассредоточенного рынка (МРР) как взаимосвязанной системы моделей ОРР. Описание взаимосвязи статической модели МРР и модели межотраслевого баланса. Обоснование применимости алгоритмов поузловой увязки и неприменимости поконтурной увязки теории гидравлических сетей для отыскания равновесного состояния модели МРР. Описание динамической модели рассредоточенного рынка и алгоритма прогноза функционирования экономической системы.

7. Описание задачи централизованного управления (ЗЦУ), доказательство теорем сравнения функционирования экономических систем, описываемых моделями ММР, с ЗЦУ. Разработка рекомендаций по синтезу оптимальных структур управления большими экономическими системами.

8. Модификации метода возможных направлений для отыскания равновесных состояний модели конкурентного равновесия рассредоточенного рынка.

9. Применение методов возможных направлений для теоретического анализа и разработки алгоритмов отыскания слабоэффективных точек задачи выпуклого векторного программирования.

10. Описание модели конкурентного равновесия рассредоточенного рынка с распределяемыми ресурсами. Анализ взаимосвязи конкурентного равновесия и Парето-эффективности в моделях МРР.

11.Разработка алгоритмов метода возможных направлений для поиска точек равновесия в моделях ММР.

12.Постановка задач отыскания оптимальных решений, Л—близких решений и решения некоторых многокритериальных задач для многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве, теоретическое обоснование, методы и алгоритмы их решения.

13.Постановка задач отыскания оптимальных решений, Л-близких решений и решения некоторых многокритериальных задач размещения предприятий на сетях в виде ориентированного дерева, теоретическое обоснование, методы и алгоритмы их решения.

14.Постановка задачи размещения предприятий на сетях произвольной структуры и методы ее решения.

Научная новизна полученных результатов

Все математически модели, методы анализа и результаты, вынесенные на защиту, были новыми на момент их опубликования в открытой печати.

Научная и практическая значимость

Приведенные в диссертационной работе модели и методы представляют собой новое направление микроэкономического анализа, которое:

— подчеркивает общность процессов, изучаемых в теории гидравлических сетей и процессов, описываемых моделями частичного и общего конкурентного равновесия экономической теории;

-дает новые методы теоретического и численного анализа и синтеза рассредоточенных экономических систем.

Практическая значимость разработанных методов подчеркивается их практическим применением. Разработанные в диссертации методы включены:

1) в Систему проектирования генеральных схем наземного обустройства нефтяных месторождений на ЭВМ;

2) в Систему проектирования генеральных схем наземного обустройства газовых месторождений на ЭВМ;

3) в Систему проектирования генеральных схем обустройства региона на ЭВМ.

Системы 1 - 3 использовались при проектировании обустройства ряда месторождений Западной Сибири, Коми АССР, Сахалина;

4) в автоматизированную систему управления производственно-хозяйственной деятельностью объединения Кубаньгазпром.

5) в Систему синтеза и анализа гидравлических систем, которая использовалась:

а) при анализе водопроводных систем городов Самара, Тольятти, в) при анализе гидравлических систем следующих объектов СамараЭнерго:

- тепловые сети города Самары;

- Новокуйбышевская ТЭЦ-2,

- Самарская ТЭЦ,

- Тольятгинская ТЭЦ,

- ТЭЦ ВАЗа,

- Самарская ГРЭС,

- ТЭЦ - 23 г. Москвы.

С применением разработанных в диссертации методов решались задачи оптимального распределения ресурсов для геолого-поисковых работ по Волго-Уральскому региону.

Изложенные в диссертационной работе методы позволяют расширить сферу их применения и для анализа и синтеза рассредоточенных экономических систем.

Апробация работы

Ниже приводится список конференций, семинаров, симпозиумов, школ последних лет, на которых докладывались и обсуждались основные положения диссертации.

1) Заседание семинара отдела "Математическое моделирование экономических систем" ВЦ РАН, Москва, от 16.02.2005. Тема: доклад Коваленко Алексея Гавриловича «Развитие математических моделей и методов теории гидравлических сетей и их применение для моделирования рассредоточенного рынка».

2) Заседание семинара «Математическая экономика» Центрального экономико-математического института РАН, г. Москва, от 11.05.2005. Тема: доклад Коваленко Алексея Гавриловича «Модели рассредоточенного рынка и теория гидравлических сетей».

3) II Всесоюзный симпозиум «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных, гуманитарных и технических науках». Кисловодск, 1998.

4) Всероссийский научный семинар «Теория гидравлических цепей: современное состояние, направления развития и приложения», Иркутск, Байкал, 1998.

5) XI международная Байкальская школа—семинар «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск, Байкал, 1998.

6) III Всесоюзный симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», секция «Математическое моделирование экономических и экологических систем». Кисловодск, 1999.

7) Седьмое заседание Всероссийского научного семинара с международным участием «Математические модели и методы анализа и оптимального синтеза развивающихся трубопроводных и гидравлических систем». Вышний Волочек, 2000.

8) Научный семинар Российской программы экономических исследований (Economics Education and Research Consortium - Russia). Москва, 2000.

9) Научно-техническая конференция «Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике». Самара, 2001.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 43 работы, в том числе 4 монографии (из них 3 издательства «Наука»), 35 статей (из них 10 в журналах АН СССР и РАН) 3 учебных пособия, 9 тезисов докладов. Список этих работ приводится в конце автореферата.

Личный вклад автора

В монографии [38] диссертантом написана глава 8, в [2] — п. 4.3, в [37] — п. 2.3, в [40] — п. 1.8. Большинство наиболее важных статей по тематике диссертационной работы написаны без соавторов. Результаты, представленные в совместных работах, получены на паритетных с соавторами началах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы из 266 наименований, приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы

основные положения диссертации, обзор работ по тематике.

В первой главе рассматривается математическая модель ОРР, как задача

потокораспределения с нефиксированными отборами теории гидравлических

сетей. ОРР представляется как ориентированный граф G={E,V,H),

12

Е - множество вершин графа, V - множество дуг, Н — отображение Н: К—> ЕхЕ, направление дуг которого задает положительное направление потоков. Вершинам I графа соответствуют пункты - локальные рынки купли-продажи некоторого однородного продукта. Субъектами рынков являются:

- предприятия, расположенные в пунктах, они выпускают продукцию исследуемой отрасли и являются продавцами;

- покупатели — конечные потребители;

- арбитражеры, которые осуществляют обмен продуктами между инцидентными пунктами, в зависимости от разности цен в них, в пункте с меньшей ценой они являются покупателями, в смежном -продавцами;

- внешние агенты, осуществляющие экспортно-импортные операции за пределы моделируемой системы.

Конечные потребители локальных рынков описаны функциями спроса,

предприятия - функциями г/, (/>,-) предложения предприятий, арбитражеры — торгово-транспортными кривыми >>„ — ф„{Рс-Р]), где Л, Р} — цены продукта в начале и конце дуги v. Пусть Е1, Е2 и Е1 — непересекающиеся части множества Е. Внешние агенты определяют следующие граничные условия:

- с фиксированной ценой Р( и свободным внешнеторговым сальдо (отбором) продукта 2,-, ¿еЯ1;

- с фиксированным внешнеторговым сальдо г, и свободной ценой продуктаге£2;

- с подвижными внешнеторговым сальдо и ценой (связанными между собой функциональной зависимостью (Р;)), je.fi3.

В состоянии равновесия цены в пунктах должны быть таковы, чтобы

в каждом из них выполнялись условия продуктового баланса. В теории

гидравлических сетей эти условия называют Первым правилом Кирхгофа.

Так как большинство методов решения задач потокораспределения

и дальнейшие исследования рассчитаны на задачи с фиксированным отбором,

13

то рассматриваемая модель сводится к задаче этого вида, для корректности которой в граничных условиях множество вершин с фиксированной ценой и свободным отбором не должно быть пустым. Отметим, что при этом переходе все функции спроса и предложения становятся замыкающими соотношения дуг, т.е. в соотношения >>„ = ф»(Р—Р/) между объемом потока по дуге и цен в вершинах начала и конца дуги.

Для применимости методов ТГС для отыскания равновесных состояний модели ОРР необходимо знание характеристик функциональных зависимостей, описывающих замыкающие соотношения. В теории гидравлических цепей эти зависимости описываются, как правило, квадратичными функциями. В одной из первых работ по моделированию ОРР для этих целей предлагалось использовать степенные функции. Согласно современному микроэкономическому анализу, агенты рынков описываются экстремальными задачами, и замыкающие соотношения могут быть получены как функции их спроса и предложения. Анализ задачи производителя без ограничений на факторы производства показал, что если используемая производственная функция удовлетворяет основным своим свойствам и убывающей отдачей от масштаба производства, то функции предложения у(Рх,Ру) и спроса на факторы производства х,{Рх,Ру), где Рх — вектор цен факторов производства, Ру

- цена выпускаемой продукции:

- непрерывные, дифференцируемые и возрастающие по Ру > 0;

- при неограниченном росте Ру функции х{Рх,Ру), »е//, у(Рх,Ру) возрастают неограниченно;

- функции х1 (Рх,Ру) непрерывные и дифференцируемые и убывающие по переменным Рх1;

- у(Рх,Ру) -» 0, х(Рх^у) —> 0„ при Ру —^ 0.

Если в задаче производителя добавить верхние ограничения на факторы производства, то рассматриваемые функции могут стать непрерывными, кусочно-дифференцируемыми. Если производственная функция является

14

фУ**Шюй к

с;—0СГЙ

*е ***етс„ ОТдач^ от л, ^ЬЧоп) Кп И Фузиями к «

И* ^ П0«еДсш Иа В°ДСТ^ (а она ^^

Сервал "Ие ФУНКЦ1ГЙ * 0с«оВе °*а й эгол,

"ПОЛ»,, " "™«Р<«„а г„ ' • """«<

И ' «о» ****** ВеДейИе эгих

рп» Г"'"-'

Л© Я аг°9До Хорог * Назь1Ваемая

лед- с г- -—г*. ^

е существенен).

rС »*<*>Г"U- ^

„KU»»»""- Rm»«»"" „„«ve»0»-

W „„»О»«"""- ,,

— ^ в **

* ^ г

—^Т—— - ^„I« Р»^"0' HU-* °°Г. фув,да9 Г кв. —

" "Lt. »=»" P' " „ок»««* """ LOB»»» '

-m«»«"0_. о™«»»«"

рассредоточенного рынка, анализируется процесс распространения и затухания неравновесных состояний по сети. Для доказательства существования состояния равновесия и равновесных цен разработан алгоритм вытеснения избыточных предложений, являющийся одной из модификаций алгоритма поузловой увязки сети. Доказательство приведено для случая, когда замыкающие соотношения фу(&Ру) = фУ(Рнцу)-Рм(уд удовлетворяют следующим свойствам:

- непрерывны;

- строго возрастающие по АРу,

- при изменении АРу в пределах области определения ф „ изменяется от -оо до +оо;

- для всех Уб ^существуют числа /„, Ьу (Ьу >1У > 0) такие, что любых ДРу и АР'У выполняются неравенства

1У-\АР'У-АРУ| <\фу(АРу)-фу(&Ру)\<Ьу■ |ДР'„-ДР„|.

Доказанные теоремы позволяют привести некоторые выводы из анализа функционирования систем, описываемых моделью ОРР:

- распространение неравновесных состояний представляет собой аналог волновых процессов;

- не смотря на то, что процессы, описываемые математической моделью ОРР стремятся к состоянию равновесия, возможны скачки значений избыточных предложений в вершинах, порой превосходящие первоначальные и даже максимальные значения;

- субъекты рынков в процессе перехода к состоянию равновесия выполняют определенную роль. Предприятия, конечные потребители, субъекты, осуществляющие внешне-торговые операции и соответствующие вершинам с подвижной ценой и отбором, а также арбитражеры, связанные с вершиной с заданной ценой, способствуют движению системы в состояние равновесие. Все остальные арбитражеры распространяют избыточное предложение по сети;

- для управления экономической системой важным является вопрос об ускорении процесса перехода системы в состояние равновесия. Становится ясным, что введение фиксированного отбора и свободной цены в одном или нескольких пунктах (вершине сети) не приводит к ускорению стабилизации состояния равновесия. Ускорению процесса стабилизации способствует введение фиксированной цены и свободного отбора в них, а также стимулирование производства и потребления. Однако следует заметить, что в этом случае субъекты вершины должны обладать мощностями по производству (либо потреблению) такими, чтобы компенсировать возможное возникновение избыточного предложения (или спроса) вершины.

Приведенный в работе алгоритм может быть реализован на ЭВМ и использован для анализа конкретных систем в режиме имитации, как в случае выполнения достаточных условий, так и в противном случае. Эти теоремы основаны на доказательстве его сходимости и выполнены при весьма существенных предположениях относительно функции ф „ (Л/\), которые могут быть нарушены. В самом общем случае функции ф у (АР) могут быть кусочно-непрерывными, поэтому для поиска состояния равновесия приходится применять специальные приемы, сводящиеся к непрерывной аппроксимации. Следует также отметить, в этих случаях состояние равновесия может быть не единственным. Аналогичные случаи встречаются при анализе, например, водопроводных систем в условиях избыточного водопотребления.

При наличии точек разрыва функций ф„(АР) полученные решения целесообразно оценить на устойчивость, так как переход через точки разрыва приводит к резкому переходу к другим состояниям, поэтому возникает задача оценки границ изменения цен, при которых эти функции непрерывны. Оценить область устойчивости можно на основе вычислительного эксперимента с описанным алгоритмом.

Широко применяемым и эффективным методом для расчета потокораспределений в гидравлической сети является метод поконтурной увязки. Для применимости метода поконтурной увязки требуется, чтобы задача была приведена к циклической схеме, т.е. к постановке с фиксированными отборами. Замыкающие соотношения в этом случае должны быть разрешены относительно разности цен инцидентных вершин, т.е. АР=/г(уу), что соответствует обратным функциям спроса и предложения. Теоретическими предпосылками метода поконтурной увязки являются:

1) второе правило Кирхгофа. В терминах ОРР оно формулируется так: по любому циклу сети сумма изменений цен при его обходе равна нулю;

2) возможность отыскания начального потокораспределения, допустимого Первому правилу Кирхгофа;

3) существования элементарного преобразования потоков, не нарушающего Первого правила Кирхгофа. Таким преобразованием является увеличения (уменьшения — в зависимости от ориентации дуги в цикле) величин потоков по любому циклу сети;

4) утверждение, что из выполнения Первого правила Кирхгофа по системе фундаментальных циклов, следует его выполнение для любого цикла.

Эти предпосылки позволяют сформулировать алгоритм поконтурной увязки, который применим для отыскания равновесного состояния модели ОРР.

При анализе реальных экономических систем из статистической отчетности величины потоков и цены однопродуктового рассредоточенного рынка известны, и часто они не удовлетворяют соотношениям модели ОРР. Как правило, неизвестными являются параметры кривых /„, и именно эти кривые часто представляют практический интерес. Одной из наиболее распространенных производственных функций, применяемых в микроэкономических исследованиях, является функция Кобба-Дугласа. Функции спроса и предложений, построенные с применением этих производственных функций, представляют собой кусочно-степенные функции

(степенная на конечном числе интервалов области определения). Аналогично для функций спроса, построенных на основе функций полезности Кобба-Дугласа в задаче конечного потребителя. Для случая, когда Уу Мт , где А>0 , 0<1+«„<1, рассматривается задача, которая заключается в отыскании значений переменных , потоков у„, уе V, отборов в вершинах и цен, удовлетворяющих модели ОРР и минимизирующих взвешенную сумму квадратов отклонения их от замеренных (заданных) значений. Критерий оптимальности этой задачи, построенный на основе метода множителей Лагранжа, дают систему уравнений, представляющую собой суперпозицию двух моделей ОРР: 1) относительно продуктовых потоков и продуктовых цен; 2) относительно лагранжевых потоков и лагранжевых цен (множителей Лагранжа). Для отыскания решения этой системы удается применить алгоритм, представляющий собой суперпозицию двух алгоритмов поконтурной увязки.

Вторая глава посвящена развитию математической модели ОРР,

представленной как задача потокораспределения теории гидравлических сетей.

В модели ОРР функции заменены на соответствующие им экстремальные

задачи. Таким образом, структура рынка описывается графом й={Е, У,Н), для

задания граничных условий множество вершин Е разбито на подмножества Е1,

и Е3, где Е1 — множество вершин с фиксированными ценами Р*( и свободным

отбором В1у Е1 — множество вершин с фиксированным отбором и свободной

ценой, в вершинах из В? объем внешнеторгового сальдо связан с ценой

функциональной зависимостью. Каждый из субъектов описывается своей

экстремальной задачей. Конечное потребление в вершинах описывается

задачей максимизации полезности при бюджетных ограничениях.

Производство в вершинах ¡еЕ описывается задачей максимизации' прибыли

при ограничениях, задаваемых производственными функциями и объемами

располагаемых факторов производства. Для описания арбитража между

локальными рынками (вершинами) для каждой дуги уе V в соответствующих

20

экстремальных задачах максимизируется прибыль, она зависит от разности цен между граничными вершинами, объема транспорта. Объем транспорта определяется производственной функцией и факторами производства, задаваемыми на дугах. В условиях равновесия для объемов внешнеторгового сальдо, производства и потребления, ввоза — вывоза арбитражерами выполняются условия продуктового баланса. Все локальные рынки считаются рынками совершенной конкуренции, поэтому субъекты являются ценополучателями. В экстремальных задачах субъектов переменные, интерпретируемые ценами, являются параметрами.

Методы поузловой и поконтурной увязки являются основными при отыскании потокораспределений в теории гидравлических сетей. Для отыскания равновесных состояний модели ОРР рассмотрена их применимость при условии, что функции спроса и предложения, торгово-транспортные кривые и обратные к ним были выражены в явном виде. Однако явный вид этих функций удается получить в редких случаях. Так, для случая производственных функций Кобба-Дугласа их вывод не составил труда, однако для производственных функций CES функции спроса и предложения не выражались в элементарных функциях. Применить метод поузловой увязки для модели ОРР в экстремальной постановке не составил труда. Несколько сложнее с применением поконтурной увязки. Выполнить переход к циклической схеме не сложно. В соответствии с выполняемыми преобразованиями, дуги сети принимают следующие соответствия: дуги, соответствующие производителям; дуги, соответствующие арбитражерам; дуги, соответствующие конечным потребителям; дуги, соответствующие агентам, выполняющим экспортно-импортные операции. Для применения поконтурной увязки необходимо для каждой дуги уметь решать задачу: по известному значению yv потока по дуге v определить значение разности цен в граничных вершинах и объемы факторов производства (для дуг, соответствующих конечным потребителям объемов потребления прочих продуктов) таким образом, чтобы получившаяся

совокупность давала оптимальное решение экстремальной задачи, соответствующей дуге. Эти задачи относятся к классу обратных задач оптимизации и в рассматриваемых постановках их можно решать без явного представления прямых функций спроса и предложения в аналитическом виде. Решение этих задач основано на применении теоремы Куна-Таккера. Для применимости метода считается, что модели дуг, соответствующих агентам, выполняющим экспортно-импортные операции, заданы функциями, имеющими обратные функции, поэтому решение рассматриваемой задачи элементарно. Если эти модели представлены экстремальными задачами, их можно отнести к дугам, соответствующим либо конечным потребителям, либо предприятиям.

О взаимосвязи задач потокораспределения и нелинейной сетевой транспортной задачи известно давно. Меренковым А.П. и Хасилевым В.Я., в связи с этим, рассмотрены специальные экстремальные методы ее решения. Наиболее эффективные экстремальные методы связаны с вычислением градиента. Представление ОРР в экстремальной постановке дает новый способ его вычисления, использующего необходимые и достаточные условия экстремальности в форме теоремы Куна-Таккера.

Описание субъектов модели ОРР экстремальными замыкающими соотношениями позволило сформулировать статическую модель МРР. В ней функционирует несколько (т) однопродуктовых рассредоточенных рынков. Как и в модели межотраслевого баланса В. Леонтьева, между отраслями и выпускаемыми ими продуктами установлено взаимно однозначное

соответствие. Каждой отрасли 5=1,2,3.....т поставлен в соответствие конечный

ориентированный граф б'¡-{Е^У^^, описывающий структуру рассредоточенного рынка 5-го продукта, С={Е, V , Н) — их объединение. Вершины из Ец интерпретируются как пункты — локальные рынки, в которых в соответствии с установившейся ценой, осуществляется обмен продукцией отрасли 5 между различными ее субъектами. В пунктах располагаются

предприятия, которые потребляют продукцию других отраслей и производят продукцию данной отрасли. Для этого в граф б введены дополнительные дуги, конкретизирующие потребление факторов производства предприятия из других локальных рынков. Так как многопродуктовая модель позволяет конкретизировать потребление конечных потребителей, то в описании им выделены специальные (дополнительные) вершины.

Так же, как и в модели ОРР, в модели МРР задаются граничные условия на продукты отраслей, определяющие взаимосвязь с внешними системами. В состоянии равновесия цены в вершинах сети должны быть таковы, чтобы выполнялись условия продуктового баланса.

Из модели МРР легко получить модель межотраслевого баланса В. Леонтьева. Для этого для каждой отрасли достаточно взять ровно по одной вершине, соответствующей производителю. Конечному потребителю достаточно взять тоже ровно одну вершину. В качестве производственных функций следует взять производственную функцию В. Леонтьева.

Используя аппарат функций спроса и предложений субъектов рынков, модель МРР в равновесном состоянии можно свести к виду, близкому к задаче потокораспределения теории гидравлических сетей. В результате ряда преобразований МРР сводится к системе уравнений, в которой число неизвестных совпадает с числом уравнений. Основным отличием этой системы уравнений от системы уравнений задач потокораспределения в гидравлических сетях является в присутствие в балансовых соотношениях (первое обобщенное правило Кирхгофа) нелинейных соотношений. Получившаяся система уравнений позволяет для ее решения применять методы поузловой увязки и затрудняет применение поконтурной увязки, широко применяемые в теории гидравлических сетей. Следует также отметить, что для применения поузловой увязки не обязателен переход в модели МРР к системе уравнений (который не всегда выполним). Однако в этом случае на каждом шаге для каждой вершины

придется решать экстремальные задачи, что значительно увеличивает время решения.

Расчет продуктовых потоков модели МРР определяет и движение денежных потоков в ней, которое имеет направление, противоположное направлению продуктовых потоков. В результате выводятся формулы для вычисления внутреннего валового продукта (ВВП) системы через добавленные стоимости, произведенные субъектами системы, и через затраты от конечного потребления.

В диссертации строится динамическая модель ММР, как последовательность взаимно связанных статических равновесных состояний.

Эта модель строится в дискретном времени ¿=0,1,2.....Тс постоянным шагом

М , величина которого соответствует одному периоду планирования, Т - горизонт планирования. Предполагается, что переходные процессы в системе достаточно быстротечны и успевают пройти значительно быстрее, чем длительность одного периода А1. В промежутке времени ( все параметры модели считаются неизменными, и все изменения относятся к моменту перехода от одного периода к другому. Для описания динамических процессов описывается динамика изменения основных элементов моделируемой экономической системы. Структура графа б считается неизменной, предполагается, что граф б избыточен, несущественные в начальный момент времени элементы, перспективные с точки зрения развития, имеют основные фонды, близкие к нулю. Выбытие вершин и дут моделируется за счет обнуления их основных фондов. Задается динамика граничных условий, а также динамика потребления. Динамика фондов предприятий описывается их выбытием и накоплением из прибыли. Динамика прочих ресурсов предприятия описывается моделью выбытия вплоть до нулевого значения. Процесс моделирования заключается в следующем. Задав значения фондов для начального момента времени ; = 0 , находим равновесие статической модели МРР. Рассчитав прибыли предприятий, а также объем затраченных

оВ предав11*

м значен ^елдохе*

^ пеРесЧ^с^-это^роиеСс позоря

реСУР° „ г сравнения

««И»6**®1 экой0!^н системам«- ^ пГ„чесКОЙ

тхор^окав „опросом э«о „,о-*е*яоПО

яйЧ*ь* с^^ ** ссание «се« ^«в** * ^^е

Р Г *** С0Д6Р е*У«*» ** ие^0ВайЙ° (зад*-

с1р7кгсУРаХ З.ОД.СТВОМ в ^ гпаве веДУ^

1гдавРЬ^ЧС к0Вкуре^> * своего) УР° ^

* совер^««йе (у какого ^би ^

как С0В задайного (У * яВпяе*с* вкд№нает *

. . —

отвзанмод—'* ресурс- - похребн-пн ^ ^^

иаиспоп^Уе все «о а1отс* слеДУ эконом^

»»«^с —- л—»

* "Л

_ Т1

те

фН

цо«

хкже

к его нения

В Работах г,

*„„„ „„ '««Vf»,« „, "" Ч*л»

,„ ° и„„ Р..,,,,,,

"»"«»«о. „

* е ** -er--

йе Ведег _ £сл» Хотя * Р°й

«er; ! —- :

Г""4 -

» «»«с«о/Г ^

дз „И( "" "«'««M,

J б

ве

Фу

«en това (здес. ПеРем "оказа, ч»сде 7

ШиРоКо

В :

п°тре6ите

большое количество продавцов и покупателей, отдаются на откуп «невидимой руке рынка», остальные находятся под централизованным управлением.

Рассмотренная модель МРР предполагает, что между предприятиями (как торгово-транспортными, так и производственными) и их собственниками установлено взаимно однозначное соответствие. В третьей главе рассматривается математическая модель более реального и общего случая рассредоточенного рынка, когда некоторым собственникам принадлежат несколько предприятий и они, являясь распорядителями капитала, распределяют его объем вложений между этими предприятиями (модель МРРРК). Сведение модели МРРРК к задачам потокораспределения теории гидравлических сетей становится невозможным, однако становится возможным применение экстремальных методов решения многокритериальных задач, развитию которых посвящена третья глава.

Модель МРРРК рассматривается как задача выпуклого векторного программирования. Под оптимальностью понимается эффективность по Парето и слабая эффективность (эффективность по Слейтеру) допустимых в ней решений. Согласно первой теореме экономики благосостояния, каждому состоянию конкурентного равновесия экономической системы соответствует эффективное по Парето состояние. И наоборот, если функции полезности вогнутые, а также является выпуклым множество производственных возможностей фирм, то для любого равновесного состояния по Парето существуют цены, при которых это состояние является конкурентно равновесным. Так как эффективные по Парето решения находятся среди слабо эффективных решений, то есть основания предполагать, что состояние равновесия в модели МРРРК следует искать среди последних. Содержание этой главы посвящено анализу взаимосвязи равновесного состояния МРРРК и эффективных решений, а также теоретическому обоснованию и модификациям алгоритмов метода возможных направлений,

предназначенных для отыскания слабоэффективных точек задач выпуклого векторного программирования и точек равновесия в модели МРР,

Задача выпуклого векторного программирования рассматривается в достаточно общей постановке <р,{х) -> min, хеХ, геМ, где Х={х: xeR", <р,(х) SO, iel}, q>i(x) выпуклые функции, ie/uМ. Для этой задачи на множестве X вводятся понятия отношения нестрогого предпочтения < (предпочтения Парето) и строгого предпочтения < На основе этого даются определения точек локально и глобально эффективных (точкой локального оптимума при предпочтении « »), а также и локально и глобально слабо эффективных. Целью анализа является получение необходимых и достаточных условий непустоты множества допустимых значений X, а также исследование условий принадлежности точек из X множеству эффективных или слабо эффективных точек. Для анализа используется аппарат метода возможных направлений Зойтендейка. Рассматриваемые построения являются развитием построений для однокритериальных задач.

Даются определения возможных (допустимых) и подходящих направлений в точке хеХ соответственно для нестрогого и строгого предпочтения и их конусов. Анализируются условия, когда понятия эффективности и слабой эффективности совпадают. Используя эти понятия, доказываются необходимые условия принадлежности точек из X множествам локально эффективных (локально слабо эффективных) точек. В случае, когда X — выпуклое множество, <pt{x), хеХ, isM, — выпуклые функции, любая локально эффективная (локально слабо эффективная) точка является глобально эффективной (глобально слабо эффективной). Так как в дальнейшем рассматриваются только выпуклые функции, то слово « глобально » опускается.

Задача отыскания эффективных точек тесно связана с разрешимостью систем выпуклых неравенств, более того, так как рассматриваемые далее алгоритмы предполагают, что в качестве начального приближения может быть

взята любая точка пространства то в работе рассматриваются некоторые вопросы разрешимости систем выпуклых неравенств. Вводится понятие возвращающего направления ^ в точке уеХ, незначительное перемещение из точки у в направлении £ не нарушает ненарушенных ограничений, значения функций нарушенных ограничений строго убывают. В этом определении точки (у+Ау) и у находятся в отношении строгого предпочтения относительно функций нарушенных ограничений. С использованием этих понятий доказывается теорема, которая является ключевой в формировании условий, являющихся признаком пустоты множества X. Далее рассматривается случай, когда функции <р,{х), хеЯ", /е/, выпуклые дифференцируемые. Вводится задача выбора возвращающегося направления, оптимальное решение которой либо дает вектор возвращающего направления, либо показывает, что их множество пусто и в соответствии с критериями множество решений задачи пусто. Используя задачу 2.Шу), выводится еще один критерий пустоты множества X, который является аналогом теоремы Куна-Таккера.

Для произвольных точек у пространства Л", совмещая понятия возвращающих направлений с направлениями, в которых одновременно убывают все критериальные функции, вводится понятие возвращающего подходящего направления для строгого предпочтения и нестрогого предпочтения. Если уеХ, то определение возвращающих направлений преобразуется в определение возможных направлений,. но тогда возвращающие подходящие направления становятся подходящими. Для выбора возвращающих подходящих направлений для строгого предпочтения строится задача 2,9(>'). На основании решения этой задачи и 2Шу) удается распознать одну из следующих ситуаций:

1) множество X— 0;

2) точка у является слабо эффективной точкой;

3) в точке у конус возвращающих подходящих направлений не пуст;

4) в точке у конус возвращающих подходящих направлений пуст, но конус возвращающих направлений не пустой. Причем в ситуациях 3 и 4 вырабатываются направления, по которым надо перемещаться для получения ответа на поставленную задачу. Из задач ZR(y), строятся критерии распознавания ситуаций 1 и 2, которые являются развитием теоремы Куна-Таккера на многокритериальный случай в виде систем линейных уравнений и неравенств, а также седловой точки скалярной функции Лагранжа. Из последнего делается вывод о связи линейной свертки критериев со слабой эффективностью в задачах многокритериальной оптимизации.

На основе изложенных методов рассматриваются алгоритмы, которые являются развитием градиентных методов и метода возможных направлений Зойтендейка. Приводятся алгоритмы безусловной оптимизации, оптимизации при наличии ограничений, которые в качестве начального приближения берут допустимую точку. Для этих алгоритмов доказываются теоремы их сходимости к слабоэффективным точкам. Приводятся алгоритмы метода возвращающих направлений, который в качестве начального приближения берет произвольную точку пространства К". Этот алгоритм не являются релаксационным. Для него доказывается сходимость либо к слабоэффективным точкам, либо к точкам, в которых множество возвращающих направлений пусто, т.е. в задаче нет решений. Для реализации этих алгоритмов описана более эффективная модификация, использующая специфику решаемой задачи, а также специализированный двойственный симплекс—метода, который позволяет получать решения в специальном порядке.

Необходимые и достаточные условия слабой эффективности в задаче выпуклого векторного программирования применяются для анализа модели МРРРК. Доказывается, что если точка

*=(Р„ /еЯ'иЯ2; 77„г„Л,-,¡'е£2;уу, уе У<иУО ; г„,Ли,уе V)

является точкой равновесия модели МРРРК, то для каждого конечного потребителя, максимизирующего свою полезность, среди семейства эквивалентных функций полезности, определяющих его предпочтение, существуют такие функции полезности, что точка х является слабо эффективной для задачи выпуклого векторного программирования модели МРРРК.

Описанная теорема дает основание применять модификации алгоритмов метода возможных направлений для поиска точки конкурентного равновесия модели МРРРК. Непосредственное применение этих алгоритмов невозможно, так как они сходятся к некоторым слабо эффективным точкам, среди которых и находятся точки конкурентного равновесия. Модификация заключается в том, чтобы направить спуск метода возможных направлений к точкам конкурентного равновесия. Для этого используется процедура временной уступки, аналогичная приему выхода алгоритма метода возможных направлений из тупиковых точек. Вычислительный эксперимент, проведенный на ряде тестовых примеров, показал сходимость алгоритма к точке равновесия.

Глава 4 посвящена применению динамического программирования и аппроксимационно-комбинаторного метода в задачах оптимального синтеза экономических систем, функционирование которых можно описать математическими моделями рассредоточенного рынка. Основой синтеза является умение решать следующие задачи дискретной оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве:

1) отыскание оптимальных решений задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве;

2) отыскание всех Л-близких решений по заданному критерию задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

В частности, пункты 1 и 2 позволяют решать задачи:

3) решение многокритериальной задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве, т.е. отыскание всех решений, являющихся Я' -близкими одновременно по т (/'=1,2,3,...,/я) критериям;

4) отыскание оптимальных решений задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве с непрерывными фазовыми состояниями и дискретными управлениями.

Для первой задачи доказывается модификация функционального соотношения Беллмана и применяется алгоритм динамического программирования. Для решения второй задачи доказывается функциональное неравенство, которое применяется в модификации алгоритма динамического программирования. Этот алгоритм модифицируется и для решения задачи 3. Задача 4 решается аппроксимационно-комбинаторным методом, использующим алгоритм решения задачи 2.

Рассмотренные задачи имеют широкое применение при оптимизации трубопроводных сетей. Включение в них вместо соотношений, описывающих гидравлическое слияние потоков, различных производственных функций, позволяет интерпретировать эти задачи как многопродуктовые задачи размещения предприятий на древовидных сетях. Для их решения возможно применение алгоритмов динамического программирования, более того для них возможно отыскание всех /{-близких решений по заданному критерию, решение многокритериальной задачи, т.е. отыскание всех решений, являющихся близкими одновременно по т (/=1,2,3.....т) критериям.

Для решения задачи размещения предприятий в сетевой постановке на сетях произвольной структуры применяется аппроксимационно-комбинаторный метод. Граф «разворачивается» в дерево, в результате этого получаем задачу размещения для древовидных сетей, на оптимальных и близких решениях которой ищется решения исходной.

В Заключении диссертации сформулированы основные результаты, приведенные в диссертационной работе.

В Приложение вынесены ряд доказательств вспомогательных утверждений, дан подробный анализ задачи производителя, использующую производственную функцию Кобба-Дугласа. Также проведен анализ систем водоснабжения населения и промышленных предприятий крупных населенных пунктов в условиях рыночных отношений. В этом анализе использован математический аппарат теории рассредоточенных рынков. Даны рекомендации по формированию системы управления этой экономической системой. Разработанные методы позволяют рассчитывать состояние равновесия и конкурентные цены в ней.

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Астахов, Н.Д. Веселовский В.Е., Злотов A.B., Крылов И. А., Коваленко А. Г., Сигал И.Х., Хачатуров В. Р. Об опыте проектирования на ЭВМ генеральных схем обустройства (освоения) нефтяных месторождений // Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования. - IV Всесоюзный Симпозиум. - секция 1 ЦЭМИ АН СССР. -М„ 1976. С. 103-104.

2. Атавин, А. А. Тарасевич А. М., Сухарев М. Г., Коваленко А. Г., и др. Трубопроводные системы энергетики: модели, приложения, информационные технологии. - М.: ГУП Издатель «Нефть и газ» РГУ Нефти и газа им. И.М. Губкина, 2000. - 320с.

3. Буракевич, ■ П. Ф. Астахов Н.Д., Веселовский В.Е. Коваленко А. Г., Хачатуров В. Р. и др. Результаты проектирования схем обустройства Уренгойского газового месторождения на ЭВМ // Газовая промышленность. — № 1.-М.: Недра, 1980.-С. 14-16.

4. Гальперин, Е. М. Зайко В. А., Коваленко А. Г. Гидравлические и технико-экономические расчеты систем подачи и распределения воды. Программное обеспечение для персональных компьютеров. - Самара, 1997. — 50 с.

5. Гальперин Е. М, Зайко В. А., Коваленко А. Г. Надежностные расчеты кольцевых водопроводных сетей. Исследования в области архитектуры, строительства и охраны окружающей среды: тезисы докладов областной 56-й научно-технической конференции. - Самара, 1999. — С. 211-212.

6. Коваленко, А. Г. Овчинников В. Г. Об одной задаче нелинейного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики —1975.-№1.-Т.15.- с. 248-251.

7. Коваленко, А. Г. Алгоритмы отыскания оптимальных и всех близких решений в задаче дискретной оптимизации многошаговых процессов // Сборник работ по математической кибернетике — Вып.2. М.: Вычислительный Центр АН СССР, 1977. - С. 65-69.

8. Коваленко, А. Г. Хачатуров В. Р. Задачи оптимизации сетей нефтегазосбора и водоводов с учетом их гидравлической согласованности и динамики потоков // Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования. — IV Всесоюзный симпозиум. Секция 1. — М.: ЦЭМИ АН СССР, 1976.-С. 113-114.

9. Коваленко, А. Г. Саратовкина Л. Г. Об одной задаче проектирования сетей трубопроводов геотермальной воды: тезисы докладов на Всесоюзной конференции «Народнохозяйственные и методические проблемы геотермии. -Часть 2. - Махачкала, 1978. - С.46.

10. Коваленко, А. Г. Саратовкина Л. Г. Оптимизация тепловых сетей и скважин, обеспечивающих работу Гео ТЭС. // Режимы потребления и экономические вопросы потребления энергии. — Вып.52. — М. : ЭНИН, 1976.-С. 103-113.

11. Коваленко, А. Г. Лихушин Э. К. Применение аппроксимационно-комбинаторного метода для решения задачи оптимального планирования геолого-технических мероприятий для нагнетательных скважин // Труды ин-та «Гипровостокнефть». - вып. 31: Автоматизированные системы управления в добыче нефти. - Куйбышев: Гипровостокнефть, 1978. -С. 70-81.

12. Коваленко, А. Г. Лихушин Э. К. Имитационная система управления процессами поддержания пластового давления. Экспресс-информация // Автоматизация и телемеханизация в нефтяной промышленности. 1984. — Выпуск 10.-С. 22-24.

13. Коваленко, А. Г. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов и их применение к расчету нефтегазопроводов. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук-М., 1979.— 15 с.

14. Коваленко, А. Г. Хачатуров В. Р. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов аппроксимационно-комбинаторным методом I // Известия АН СССР. - Техническая кибернетика. - 1982. - № 1 -С. 3-17.

15. Коваленко, А. Г. Хачатуров В. Р. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов аппроксимационно-комбинаторным методом II // Известия АН СССР. — Техническая кибернетика. — 1982. — № 2. - С. 46-55.

16. Коваленко, А. Г. Хачатуров Ю. Р. Об одной задаче размещения технологических устройств // Известия АН СССР. - Техническая кибернетика. - 1985. -№ 2. - С. 178 - 182.

17. Коваленко, А. Г. Об одной задаче размещения предприятий в сетевой постановке // Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования. - Тезисы доклада. — М.: ЦЭМИ АН СССР, 1984.-С. 198-199.

18. Коваленко, А. Г. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов. Учебное пособие. - Куйбышев, 1985. — 71 с.

19. Коваленко, А. Г. Алгоритмы интервалов и их применение для решения задач дискретной оптимизации многошаговых процессов // Теоретические проблемы вычислительных сетей. — Совет по комплексной проблеме кибернетики АН СССР. - Куйбышев, 1986. - С. 163-170.

20. Коваленко, А. Г. Возвращающие направления в математическом программировании // Методы математического программирования и программное обеспечение. - Свердловск, 1987. - С. 65 — 66.

21. Коваленко, А. Г. Алгоритмы интервалов и их применение для решения задач оптимизации многошаговых процессов // Кибернетика. —Киев, 1987. — № 3. - С. 102-105.

22. Коваленко, А. Г. Туева Н. С. Система синтеза и анализа гидравлических сетей. — Сообщения по программному обеспечению ЭВМ. — ВЦ АН СССР. — М„ 1989.-69 с.

23. Коваленко, А. Г. Элементы выпуклого векторного программирования. — Куйбышев: Куйбышевский государственный университет, 1990. — 83 с.

24. Коваленко, А. Г. Динамическое программирование и аппроксимационно-комбинаторный метод в задачах оптимизации трубопроводных сетей // Методы анализа и оптимального синтеза трубопроводных сетей. - Иркутск, 1991. С. 81-88.

25. Коваленко, А. Г. О математическом моделировании систем инженерного обеспечения города. Прикладные задачи в машиностроении и экономике: тезисы докладов научно-технической конференции. — Самара, 1996. -С. 13-14.

26. Коваленко, А. Г. Взаимосвязь задач потокораспределения и идентификации в гидравлических сетях . - Известия АН СССР - Энергетика — 1998. - № 6. — С. 98-104.

27. Коваленко, А. Г. К проблеме анализа гидравлических сетей // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных, гуманитарных и технических науках: сб. научных трудов: т II. - Кисловодск, 1998. - С. 43-45.

28. Коваленко, А. Г. Применение задачи потокораспределения в гидравлических сетях для моделирования рассредоточенного рынка // Математическое моделирование и компьютерные технологии: сб. научных трудов: т. IV Математическое моделирование экономических и экологических систем. -Кисловодск, 1999. - С. 47-49.

29. Коваленко, А. Г. О сводимости задач идентификации параметров элементов гидравлических цепей к задачам потокораспределения. Методы оптимизации и их приложения // Труды XI международной Байкальской школы-семинара. - Иркутск, 1998. - С. 99 - 102.

30. Коваленко, А. Г. О применении методов теории гидравлических сетей для моделирования рассредоточенного рынка // Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике: сборник докладов научно-практической конференции, посвящённой памяти Заслуженного деятеля науки и техники России, доктора тех. наук, проф. Л. И. Кудряшева: ч.1. — Самара 2001. С. 24-25.

31. Коваленко, А. Г. Математические модели рассредоточенного рынка и задача потокораспределения теории гидравлических сетей // Известия РАН. — Теория и системы управления. - 2001. - № 4. - С. 87-94.

32. Коваленко, А. Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка // Экономика и математические методы. - 1999. - Т. 35. - № 3. -С. 108-115.

33. Коваленко, А. Г. Математические модели межотраслевого баланса в условиях рассредоточенного рынка // Экономика и математические методы. - 2001. - Т. 37. -№ 2. - С. 92-106.

34. Коваленко, А.Г. О сходимости к состоянию равновесия математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка. Обозрение прикладной и промышленной математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП, 2001. - С. 215-216.

35. Коваленко, А.Г. О применении экстремальных методов для отыскания равновесного состояния в математической модели рассредоточенного рынка // Международная конференция математическое моделирование ММ-2001: труды конференции -Самара, 2001. - С. 22-24.

36. Кудинов, В. А. Колесников С. В., Коваленко А. Г., Пономарев Ю. С. Разработка компьютерной модели и исследование режимов работы циркуляционной системы Новокуйбышевской ТЭЦ-2 // Известия Академии Наук. - Энергетика. - 2001. - № 6. - С. 108-114.

37. Новицкий, H. Н. Сеннова Е. В., Сухарев М. Г., Коваленко А. Г. и др. Гидравлические цепи. Развитие теории и приложения. — Новосибирск: Наука, 2000. -273 с.

38. Хачатуров, В. Р., Веселовский В. Е., Злотов А. В., Калдыбаев С. У., Калиев Е. Ж., Коваленко А. Г., Монтлевич В. М., Сигал И. X., Хачатуров Р. В. Комбинаторные методы и алгоритмы решения задач дискретной оптимизации большой размерности. - М.: Наука, 2000. — 360 с.

39. Коваленко, А. Г. Некоторые вопросы взаимосвязи равновесных состояний математических моделей многопродуктового рассредоточенного рынка и задачи централизованного управления. Региональная экономика в информационном измерении: модели, оценки, прогнозы: сборник научных трудов. Москва-Барнаул: Бизнес-Юнитек, 2003. — С. 185—195.

40. Трубопроводные системы энергетики: управление развитием и функционированием / H.H. Новицкий, Е.В. Сеннова, М.Г. Сухарев, А.Г. Коваленко и др. — Новосибирск: Наука, 2004. - 461 с.

41. Коваленко, А. Г. Математические модели однопродуктового рассредоточенного рынка и их исследование // Известия РАН. — Теория и системы управления. — 2005. № 3. С. 41-54.

42. Дикоп, В.В. Бухтияров A.B., Коваленко А.Г., Котов В.В., Кудинов В.А. Исследование гидравлических режимов работы цирксистемы ТЭЦ Волжского автомобильного завода на компьютерной модели // Энергетика. Известия ВУЗов и энергетических объединений СНГ. Минск: Беларусский национальный технический университет, 2005. - № 1. - С. 69 - 76.

43. Дикоп, В.В. Бухтияров A.B., Коваленко А.Г., Котов В.В., Кудинов В.А. Разработка компьютерной модели и исследование гидравлических режимов работы цирксистемы ТЭЦ ВАЗа // Энергетика. Известия ВУЗов и энергетических объединений СНГ. Минск: Беларусский национальный технический университет, 2005. — № 3. - С. 60 — 65.

Подписано в печать 28 февраля 2006 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №1267 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1. Отпечатано ООО «Универс-групп»

Введение.

1. Математические методы теории гидравлических сетей для моделирования однопродуктового рассредоточенного рынка.

1.1. Основные определения и обозначения.

1.2. Математическая модель однопродуктового рассредоточенного рынка, как задача потокораспределения теории гидравлических сетей.

1.3. Некоторые вопросы анализа функций спроса и предложения.

1.3.1. Некоторые вопросы анализа функций предложений и спроса на факторы производства, построенных на основе задачи производителя.

1.3.2. Некоторые вопросы анализа функций спроса, построенных на основе задачи потребителя.

1.3.3. Кривая предложения-спроса пункта, экспортно-импортная кривая, торгово-транспортная кривая.

1.4. Анализ устойчивости, существования состояния равновесия и равновесных цен. Алгоритмы поузловой увязки для отыскания равновесного состояния однопродуктового рассредоточенного рынка.

1.5. Некоторые вопросы анализа функционирования систем, описываемых моделью однопродуктового рассредоточенного рынка.

1.5.1. О распространении неравновесных состояний.

1.5.2 Роль субъектов рынков в процессе перехода к состоянию равновесия95 1.5.3. Численный анализ в случаях невыполнения достаточных условий

1.6. Алгоритмы поконтурной увязки для отыскания равновесного состояния модели однопродуктового рассредоточенного рынка.

1.7. Модификация алгоритма поконтурной увязки для отыскания параметров моделей субъектов однопродуктового рассредоточенного рынка.

2. Экстремальные модели многопродуктового рассредоточенного рынка, некоторые их свойства, применимость методов расчета потокораспределений ТГС для отыскания их равновесных состояний.

2.1. Математическая модель однопродуктового рассредоточенного рынка, как система экстремальных задач.

2.2. О применимости методов поузловой и поконтурной увязки.

2.3.0 взаимосвязи модели однопродуктового рассредоточенного рынка и сетевой транспортной задачи.

2.4. Статическая модель многопродуктового рассредоточенного рынка.

2.5. Взаимосвязь статической модели многопродуктового рассредоточенного рынка и модели межотраслевого баланса.

2.6. Вопросы применимости алгоритмов поузловой и поконтурной увязки теории гидравлических сетей для отыскания равновесного состояния модели многопродуктового рассредоточенного рынка.

2.7. Финансовые потоки в сети, расчет валового внутреннего продукта.

2.8. О взаимосвязи равновесных состояний математических моделей многопродуктового рассредоточенного рынка и задачи централизованного управления.

2.8.1. Математическая модель многопродуктового рассредоточенного рынка и задача централизованного управления.

2.8.2. Теоремы сравнения функционирования экономических систем, описываемых моделью многопродуктового рассредоточенного рынка и задачи централизованного управления.

2.8.3. Рекомендации по синтезу оптимальных структур управления больших экономических систем.

2.9. Динамические модели рассредоточенного рынка.

3. Модификации метода возможных направлений для отыскания равновесных состояний модели конкурентного равновесия рассредоточенного рынка.

3.1. Модель конкурентного равновесия рассредоточенного рынка с распределяемыми ресурсами.

3.2. Основная задача выпуклого векторного программирования.

3.3. Некоторые вопросы разрешимости систем выпуклых неравенств.

3.4. Критерии эффективности в задачах векторного выпуклого программирования.

3.5. Функция Лагранжа.

3.6. Алгоритмы поиска слабо эффективных точек.

3.6.1. Алгоритм поиска слабо эффективной точки безусловной векторной оптимизации.

3.6.2. Алгоритм поиска слабо эффективной точки условной векторной оптимизации.

3.6.3. Алгоритм возвращающих направлений для поиска слабо эффективной точки в задаче условной векторной оптимизации.

3.6.4. Некоторые вопросы численной реализации алгоритма возвращавших направлений.

3.7. Конкурентное равновесие и Парето-эффективность.

3.8. Алгоритм метода возможных направлений для поиска точек равновесия в моделях многопродуктового рассредоточенного рынка.

4. Динамическое программирование и аппроксимационно-комбинаторный метод в задачах размещения предприятий рассредоточенных экономических систем.

4.1. Постановки задач оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

4.1.1. Основные обозначения, понятия и определения.

4.1.2. Постановки задач оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

4.2. Алгоритмы решения задач оптимизации многошаговых процессов.

4.2.1. Алгоритмы динамического программирования для решения задачи

4.2.2. Модификации алгоритмов динамического программирования и аппроксимационно-комбинаторного метода для отыскания оптимальных и R-близких решений, для решения многокритериальной задачи.

4.2.3. Аппроксимационно-комбинаторный метод решения задачи 4.

4.3. Развитие задач и методов оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

4.3.1. Задача размещения предприятий на сетях в виде ориентированного дерева.

4.3.2 Алгоритмы отыскания оптимальных решений задачи размещения предприятий на сетях в виде ориентированного дерева.

4.3.3. Примеры балансовых соотношений. Алгоритмы построения функций Ci(z).

4.3.4. Алгоритмы отыскания оптимальных и всех R-близких решений ЗЦУ в сетевой постановке для сети типа ориентированного дерева.

4.4. Задача размещения предприятий на сетях произвольной структуры.

4.4.1. Определения, постановка задач.

4.4.2. Построение аппроксимирующей задачи.

4.4.3. Алгоритмы решения задачи размещения предприятий в сетевой постановке.

П.5.2. Система водоснабжения населения и промышленности города с фиксированными отборами, как однопродуктовый полностью рассредоточенный рынок.294

П.5.3 Централизованное управление гидравлической системой с фиксированными отборами.298

П.5.4. Система водоснабжения населения и промышленности города с нефиксированными отборами, как однопродуктовый рассредоточенный рынок.299

П.5.5. Система водоснабжения населения и промышленности города с фиксированными отборами как однопродуктовый частично рассредоточенный рынок.301

П.5.6. Проблема единственности состояния равновесия.303

П.5.7. Заключение приложения 5.305

Введение

Известно, что поведение однопродуктового конкурентного рынка описывается кривыми спроса и предложений, его равновесное состояние [168], [259] достигается в точке пересечения этих кривых. Однопродуктовый рынок будем называть сосредоточенным, если поведение всех его субъектов (покупателей и продавцов) можно описать одной кривой спроса и одной кривой предложений (смотри рис. 01).

Рис. 01. Однопродуктовый сосредоточенный рынок

Точкой равновесия является точка пересечения этих кривых, т.е. такое значение цены продукта, при котором спрос совпадает с предложением. Сосредоточенный рынок неявно предполагает, что на рынке встречаются два субъекта (вообще говоря, агрегированные): производитель и потребитель - и расположены они в том же месте (пункте), где осуществляется обмен, либо их кривые приведены к условиям этого места.

Возможно, что такое описание и адекватно для процесса обмена для отдельного изолированного пункта или простейшей экономической системы. Неравномерность геофизических свойств территорий, разбросанность размещения природных ресурсов, разбросанность и ограниченность мест, приспособленных для комфортного проживания людей, их большое количество (гораздо большее, чем количество мест проживания), склонность индивидуумов к производству только отдельных видов товаров, их склонность к потреблению товаров, произведенных не только на месте проживания, приводит к тому, что происходит обмен товарами также и между различными пунктами. Необходимость моделирования такой ситуации приводит к возникновению понятия однопродуктового рассредоточенного рынка (ОРР), т.е. рынка, в котором товар может производиться в одних местах, а потребляться в других [95] - [99]. При этом возникает необходимость описания не только процессов его (товара) производства и потребления, но и 'доставки от производителя к потребителю. Конечно, функции доставки товаров часто выполняют сами потребители и производители, однако на этой стадии развития рыночных отношений возникает еще один субъект рынка -арбитражер, выполняющий посреднические функции. Арбитражер приобретает товар в пункте с меньшей ценой и продает его в пункте с большей ценой [109]. Различие в условиях производства и потребления и пространственная разобщенность приводят к различию цен обмена в разных пунктах [25], что в свою очередь приводит к обмену между отдельными пунктами. Различие цен в различных пунктах рассредоточенного рынка Поволжья во второй половине XIX - начале XI вв. демонстрирует карта изоцен на большой территории, выполненная в работе [155]. Исследования по разбросу цен на территории современной России приводятся в [37].

История развития человечества показывает, что арбитражеры являются одной из основных движущих сил познания и освоения новых территорий. Они осуществляют поиск рынков сбыта производимых товаров и дешевых рынков потребляемых товаров. История развития морского флота (да и речного тоже) теснейшим образом связана с развитием, прежде всего торгового флота. Истории крупнейших географических открытий, Великий шелковый путь, реформаторские преобразования Петра I в России, Северный морской путь -примеры расширения торговых отношений различных удаленных территорий. Роль арбитражеров выполняют различные торговцы, в России - купцы. Этот вид субъектов экономики оказался не менее значимым, чем первые два (производители и потребители). Так, например, согласно современной экономической географии [150], необходимость обмена между различными пунктами и уменьшения затрат на транспорт продуктов приводит к размещению мест поселений в основном по трассам коммуникаций (первоначально вдоль берегов морей, рек, озер, позже вдоль железных, автомобильных дорог). В модели однопродуктового рынка параметром, который определяет объем выпуска товара (поведение производителя), является цена, этот же параметр определяет и объем потребления (поведение потребителя). Объем товара, который куплен в одном пункте и продан в другом, определяет разность цен на товар между этими пунктами. В результате этих взаимодействий цены на сосредоточенных рынках приходят в иное равновесное состояние.

Модель ОРР состоит из конечного числа сосредоточенных рынков (смотри рис. 02). Их субъектами являются производители, потребители и арбитражеры, осуществляющие обмен товаром между пунктам. Арбитражеры каждого пункта могут выполнять роли как покупателя, так и продавца, в зависимости от соотношения цен со смежными пунктами. Отметим также, что в каждом пункте могут присутствовать субъекты, осуществляющие экспортно-импортные операции во внешние экономические системы. Под равновесным состоянием модели ОРР будем понимать такие цены продукта, при которых каждый пункт находится в равновесном состоянии, т.е. в каждом пункте выполняются условия материального баланса: количества товара, поступающего в пункт, плюс количество производимого равно количеству потребляемого и выходящего из пункта. А это и есть задача потокораспределения теории гидравлических сетей с нефиксированными отборами [120], в которой цены на товары следует интерпретировать как потенциалы с противоположным знаком.

Рис. 02. Сетевая модель однопродуктового рассредоточенного рынка

Отметим, что подобная взаимосвязь этих переменных отмечена еще Ермольевым Ю.М. [58] для транспортной задачи в сетевой постановке. Развитию математических моделей и методов теории гидравлических сетей [8], [125], [157] с целью применения для моделирования рассредоточенных рынков (как однопродуктовых, так и многопродуктовых) посвящена данная работа.

Опишем кратко суть моделей и задач теории гидравлических сетей, которые развиваются в данной работе. За основу описания возьмем монографию основоположников этой дисциплины А. П. Меренкова и В. Я. Хасилева [120] и монографии Б. М. Кагановича А.П. Меренкова, О.А. Балышева [65], А. П. Меренкова, Е. В. Сенновой, С. В. Сумарокова и др.[119]. Под гидравлической цепью (в дальнейшем мы применяем термин гидравлическая сеть (ГС), который, по мнению автора, ближе к используемым в употребляемой экономической литературе терминам в аналогичных моделях) понимается математическая модель, включающая две составные части: расчетную схему в виде ориентированного графа и алгебраические соотношения, описывающие движение некоторого потока по его дугам. В [65] приводятся примеры применения ГС при расчетах химических реакций и анализе превращений и распространения вредных веществ в атмосфере. Предмет теории гидравлических сетей (ТГС) составляют:

- прямые задачи потокораспределения в ГС;

- обратные задачи потокораспределения в ГС;

- задачи оптимального синтеза (выбора схем и параметров) сетей. Последние обычно связаны с технико-экономической оптимизацией трубопроводных гидравлических систем (водо-, тепло-, нефте- и газоснабжение и др.).

При изучении реальных объектов в ТГС до настоящего времени исследовались три основных типа моделей:

- сети с сосредоточенными параметрами;

- сети с переменными (регулируемыми) параметрами;

- сети с распределенными параметрами.

Более подробно смотри [120]. Отметим, что если все зависимости для ветвей распределенной сети удается представить в виде функции не более чем двух переменных, то и замыкающие соотношения для них, по крайней мере, теоретически, оказывается возможным записать в сосредоточенной интегральной форме, т.е. распределенные модели становятся преобразуемыми в сосредоточенные.

Гидравлические сети могут быть открытые и закрытые, гомогенные и гетерогенные. Открытые сети имеют притоки и стоки, т.е. обмениваются веществом с окружающей средой. В закрытых сетях притоки и стоки отсутствуют. Под делением гидравлических сетей на гомогенные (однородные) и гетерогенные (разнородные) понимается два подхода. В термодинамике к гетерогенным относятся системы, вещество в которых находится в различных фазах.

Для простейших сетей, т.е. сетей с сосредоточенными параметрами, задачи расчета стационарного потокораспределения в [120] описаны тремя способами: а) на основе контурной системы уравнений; б) с использованием потенциалов в вершинах; в) в экстремальной постановке на основе тепловой теоремы Кирхгофа -Максвелла.

Контурная система уравнений имеет вид:

- у и yv - вектор потоков на участках сети и его v-й компонент соответственно;

- A=[aiv] - матрица инциденций соединений вершин и дуг размерности (\Е\-1)х|Р| [148], в ней aiv= 1, если дуга v ориентирована в вершину /; aiv=-1, если дуга v ориентирована от вершины /; и aiv= 0, когда вершина / и дуга v не связаны между собой;

- Q-вектор внешних притоков и стоков в вершинах, £{£),: /=1,2,3,.,|£|}=0;

- Е - множество вершин;

- V- множество дуг;

- АР и APV - вектор потерь напора и его v-й компонент;

- Я - вектор действующих напоров;

Ау= Q, ВЛР = ВН, APv=fv(yv),

0.1) (0.2) (0.3) где

- В=[Ьь] - схл-матрица совпадений контуров и участков; Ьь~ 1, если первоначально задаваемое направление потока на участке совпадает с направлением обхода контура; bicv=-1, когда эти направления противоположны; Ьь=0, когда участок v не входит в контур к.

Уравнение (0.1) описывает первый закон Кирхгофа, который применительно к гидравлическим сетям выражает требование сохранения массы. С помощью (0.2) формулируется второй закон Кирхгофа, который можно интерпретировать как распространение общего принципа сохранения энергии на отдельные контуры сети. Выражение (0.3) является замыкающим соотношением, связывающим потерю напора с расходом на ветви. Отметим, что соотношения (0.1) - (0.3) присутствуют и в модели ОРР, однако в ней замыкающее соотношение (0.3) имеет совершенно иную природу.

При использовании потенциалов в вершинах в системе (0.1)—(0.2) уравнение (0.2) заменяется уравнением

ЛР-Н= Ат Р, где

- Ат- транспонированная полная тхп матрица соединений узлов и ветвей;

- Р - вектор давлений в вершинах.

Если в при этом считать, что в (0.1) вектор Q является известной функцией от вектора Р давлений в вершинах, т.е. Q~Q{P), то получаем задачу потокораспределения с нефиксированными отборами. Несложными преобразованиями графа, задача с нефиксированными отборами может быть преобразована в задачу с фиксированными отборами. Такой переход описан и используется в работе [32].

Основанный на работах Кирхгофа и Максвелла экстремальный принцип потокораспределения в сетях сформулирован в [120] как тепловая теорема, смысл которой заключается в следующем: потоки в открытой пассивной сети распределяются так, что ими производится наименьшее количество теплоты. Соответствующая математическая задача приобрела вид: найти

Y<{APvyv: v€ V) -*min при ограничениях

Лу= Q, APv=fv(yv)

В [120] рассматривались возможности распространения теоремы о наименьшем тепловом действии на активные сети, в том числе с различными показателями степени в замыкающих соотношениях (см. ниже), путем такого изменения вида целевой функции, чтобы решение экстремальной задачи совпало с решением системы уравнений (0.1) - (0.3). В зависимости от того, в каком виде представлена задача потокораспределения, применяются соответствующие методы решения: поконтурная увязка, поузловая увязка, применение различных экстремальных методов.

Замыкающие соотношения /v(yv) для несжимаемых жидкостей применительно к описанию задач ТГС в [120] представлены в двух формах:

APv=fv(yv)=zv/v, (0.4)

APv=fv(yv)= zvl yv +zv2 y\, (0.5) где z - сопротивление дуги. Показана возможность использования зависимостей (0.4) и (0.5) для моделирования характеристик источников действующих напоров с помощью уравнения

Н=Н°-2вн/вн (0.6) в котором второе слагаемое в правой части представляет собой потерю напора в фиктивной ветви, имитирующей внутреннее сопротивление нагнетателя.

С вычислительной точки зрения исследовались формулы для определения z на основе уравнения Дарси-Вейсбаха:

AP=A(w2p)/(2d) и экспериментальных зависимостей для коэффициента трения Я.

Влияние вида замыкающих соотношений на математические особенности задач технико-экономической оптимизации сетей исследовалось

В.Я. Хасилевым [159] - [162] и затем Б.М. Кагановичем [64]. Как отмечалось выше, замыкающие соотношения ОРР имеют совершенно иную природу и изучаются в этой работе.

Развитые в ТГС методы оптимизации сетей и решения обратных задач потокораспределения (идентификации) подробно изложены в [119], [120]. Развитие методов оценивания параметров рассмотрено в монографии [126]. В ней описаны задачи статистического оценивания параметров, имеющие общее значение для трубопроводных и гидравлических систем различного типа и назначения и возникающие при их идентификации, оценивании и прогнозировании состояний, системной диагностике, управлении режимами. Представлены основные положения методики гибкого статистического оценивания, инвариантной к составу и свойствам привлекаемой информации; принципы построения и основные формы стохастических линеаризованных моделей гидравлических цепей с сосредоточенными, переменными и распределенными параметрами; методы численного оценивания при разнохарактерной информации, многократных измерениях, неизвестных параметрах распределения ошибок.

Теория гидравлических сетей уже в течение нескольких десятилетий широко применяется при решении инженерных задач развития и эксплуатации трубопроводных и других гидравлических сетей с однородными по химическому и фазовому составу потоками.

В монографии [65] развиваются основные положения теории гидравлических сетей применительно к многоконтурным гетерогенным системам со сложным фазовым и химическим составом потоков. На языке математического программирования излагаются экстремальные термодинамические модели таких систем.

Так же, как и в теории гидравлических сетей, в моделях ОРР потокораспределение существенно зависит от замыкающих соотношений. В связи с этим представляется необходимым анализ этих соотношений, полученных на основе задач производителя и потребителя микроэкономики. Подобный анализ известен в литературе, в основном он проводится на основе графического анализа, (см. например [259], [168]), но известен и более глубокий математический анализ [21], [22], [50]. В данной работе эти исследования дополняются и показывается, что получаемые замыкающие соотношения могут быть возрастающими, кусочно-непрерывными, кусочно-дифференцируемыми функциями. Все это, в свою очередь, накладывает ограничения на применяемые методы. Так методы ньютоновского типа, развиваемые в [120], будут иметь ограниченное применение для анализа моделей ОРР. Замыкающие соотношения могут быть и разрывными, из этого могут возникать новые задачи анализа и несколько иные методы решения.

Следует отметить, что отсутствие замыкающих соотношений и трудность их построения является одним из основных препятствий, стоящих на пути широкого практического внедрения методов теории гидравлических сетей в экономические исследованиях. И именно достаточная их простота в практических инженерных задачах дала возможность широкого применения этой теории. Следует также отметить, что в настоящее время появилось большое количество исследований, связанных с поиском эластичностей спроса, предложения (см., например журнал «Экономика и математические методы), которые напрямую связаны с построением этих замыкающих соотношений.

Первое развитие модели ОРР, которое мы получаем от задач потокораспределения, - замена замыкающих соотношений fv(yv) экстремальными задачами арбитражера, представление нефиксированных отборов Q=Q(P) через разность между потреблением и производством в вершине и замены их так же соответствующими экстремальными задачами потребителя и производителя, которые используют соответствующие функции полезности [211] и производственные функции [72], нашедшие широкое применение в микроэкономических исследованиях [174]. Эта замена требует уточнения характера взаимодействия субъектов. Мы рассматриваем случаи, когда все субъекты являются совершенными конкурентами, т.е. для них цены в вершинах являются параметрами.

Однако модель ОРР не охватывает экономических взаимодействий с рынками других продуктов (многопродуктовый рынок), необходимых как для описания производства, так и потребления [113]. В настоящее время основной многопродуктовой моделью, описывающей выпуск - потребление в различных отраслях, является модель межотраслевого баланса (МОБ) [114]. Однако в ней существует ряд ограничений, сужающий ее применение [62]:

1) каждый продукт выпускается только одной отраслью;

2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства выпускаемой ею продукции;

3) нормы производственных затрат не зависят от объема выпускаемой продукции;

4) не допускается замещения одного сырья другими.

В ней также не отражены рыночные взаимодействия отраслей. Методы достижения состояния, являющегося одновременно состоянием рыночного равновесия и состоянием эквивалентного межотраслевого обмена, изучаются в работе [11].

Модель межотраслевого баланса можно назвать сосредоточенной, подчеркивая тем самым концентрацию модели межотраслевого взаимодействия. Ее «рассредоточением» является модель межрегионального межотраслевого баланса (ММОБ), описывающая не только балансовые, но и экономические взаимодействие регионов [42], [149].

Представление задач субъектов рынков в виде экстремальных задач позволило объединить модели ОРР (отраслей) межотраслевыми связями в одной сетевой статической модели в равновесном состоянии. Каждое предприятие может получать факторы производства с других рынков. Получившаяся модель является развитием МОБ и названа моделью многопродуктового рассредоточенного рынка (МРР) [100], [102].

Из ограничений МОБ в ней останется следующее. Каждое предприятие выпускает только один вид продукта, но каждое предприятие, выпускающее этот же вид продукта, имеет право на собственную технологию. В модели МРР в явном виде регионы не выделяются, однако не составляет большого труда ввести принадлежность субъектов каким-либо образованиям (административно-территориальным, кооперативным и т.д.) и осуществлять моделирование с учетом их влияния (налоги, субсидии, и т.д.) [168]. В отличие от модели ММОБ, где регион следует считать единым производственно-хозяйственным комплексом, субъекты данной модели позиционируются как самостоятельные и принимают решения на основе критерия максимизации прибыли.

По своей структуре модели рассредоточенного можно отнести к классу моделей функционирования конкурентной экономики по Вальрасу [124], [172] концепция экономического равновесия которой в современной экономической теории занимает центральное место. Среди создателей этих концепций JI. Вальрас, Дж. Хикс, П. Самуэльсон, А. Вальд. Основополагающими работами в этом направлении следует считать работы Кеннет Эрроу и Джерард Дебре [179], JI. Мак-Кензи [222], которые заложили основы современных математических моделей замкнутой децентрализованной экономической системы. Эти модели и их обобщения настолько общие по постановке, что, видимо, могут включить в себя и модели МРР, но при этом теряется наглядность, возможность применения многих численных методов, используемых в ТГС, а также методов, разрабатываемых в данной работе.

Идеи равновесия является ключевой в современных экономико-математических исследованиях [1], [13], [14], [23], [45], [48], [130], [135], [139], [140], [146], [228], [241], - [244], [261]. Работа [146] посвящена взаимосвязи ряда физических моделей и методов теории равновесия с моделями экономики. Последние 40 лет были отмечены обширным потоком работ, обобщающих результаты Эрроу - Дебре в самых различных направлениях. Одним из таких направлений являлось ослабление предположений, при которых гарантировалось существование состояния конкурентного равновесия. Работы таких авторов, как Мас-Колелл [221], Ауманн [177], Хильденбранд, Гейл и ряд других. Интересные результаты в последние годы в этом направлении получены В.М. Маракулиным, М. Флорензано, П. Гурделем, А.В. Коноваловым [204], [225].

С начала 70-х годов в экономико-математической литературе появились исследования моделей экономики с бесконечным числом продуктов. В этих моделях в качестве параметров, характеризующих продукт, можно принять пространственную (аналог рассредоточенного рынка) и временную его характеристику. Одной из первых работ этого направления можно считать работы Пелеги и Ярри [238]. В своей работе Бьюли [188] установил существование состояний равновесия в модели типа Эрроу - Дебре с конечным числом экономических агентов, в которой в качестве пространства продуктов было избрано пространство существенно ограниченных измеримых функций (см. также [194]). Перспективным направлением являются исследования [192], [193], изучающие состояния равновесия с неделимыми товарами.

Большую теоретическую значимость в этом направлении исследований имеют порядковые структуры пространства продуктов, впервые рассмотренные Крепсом [226] линейные решётки введены в теорию конкурентного равновесия Алипрантисом и Брауном (см. [3], [175]). В последствии решеточная структура пространства продуктов использована Мас-Колеллом [219], (обзор литературы в [220]). Основные достижения 80-х годов в равновесном анализе моделей с бесконечным числом продуктов изложены в монографии Алипрантиса, Брауна и Беркеншо [176]. Из более поздних работ следует отметить работу Мас-Колелла и Ричарда [220], которые установили существование равновесия в моделях с пространством продуктов, описываемым как линейная векторная решетка. В последующих работах [195],

203], [239], [257], вопросы существования равновесия установлены при нетранзитивных и неполных предпочтениях экономических агентов.

Важным направлением общего бесконечномерного равновесного анализа являются динамические равновесные модели с перекрывающимися поколениями экономических агентов. Обзор этих работ смотри в [207]. В этом классе моделей множество временных периодов жизни экономики счетное, число экономических агентов также счетное, в каждом временном периоде их число конечное. В работе [264] Вильсон установил существование последовательности равновесных цен, соответствующих периодам жизни экономики при условии, что, либо каждый агент обладает только конечно живущими ресурсами, либо имеется конечная группа агентов, обладающая положительной долей всех ресурсов экономики во всех периодах ее жизни. В работе [48] В.И. Данилов получил ряд обобщений в этом направлении, которые позволили дать лучшую, чем у Вильсона экономическую интерпретацию равновесных цен. В последнее время в этом направлении работали и получили ряд результатов другие авторы [195], [ 203], [247]. Другим направлением, началом которого была попытка обобщить модели Эрроу - Дебре и более адекватно отразить в моделях функционирование финансового сектора реальных экономик, являются неполные рынки, учитывающие как неполноту информации, так и неопределенность будущего. В экономике совместно с рынками обычных продуктов сложились рынки финансовых инструментов. Целью этих рынков является решение задач, связанных с неопределенностью будущих событий (см. обзор [246]). Развитие модели Эрроу - Дебре в этом направлении дало теорию неполных рынков (см. [206], [218]).

Концепции теории равновесия использовались и для анализа плановой экономики [10], [26], [29], [33], [49], [141]. Известен ряд монографий, содержащих элементы теории равновесия и ее приложения [9], [69], [116], [124], [149].

Классическая теория равновесия основывается на предположение о возможности установить цены в равновесном значении. Развитием равновесного подхода являются ряд теорий функционирования экономики при неравновесных ценах [140]. Наибольшее развитие получили идеи Хикса [167] Барро и Гроссмана [180], достаточно общие постановки приведены в [17], [265], [185], [198] Полное изложение этих идей и их развитие приведены в монографиях [18], [139], [185].

Наибольшее полное развитие идей рассредоточения получили в геоэкономических исследованиях [142], международной экономике [109], а также в межрегиональной экономике. О взаимосвязи межрегиональной и международной связей можно найти в работе [215]. Межрегиональная и международная торговля уменьшает замкнутость экономик и использует преимущества разделения труда [107], [216]. Так в работе [130] приведены исследование влияния международной торговли и валютных обменов на экономический рост. В условиях глобализации экономики все большее развитие получают транснациональные компании, территориально расположенные в целом ряде стран [107]. Пространственная рассредоточенность и взаимосвязь субъектов мирового хозяйства отражена в научных изданиях [33], [34].

Математические методы уже давно используются для изучения международной торговли. Большое количество различных моделей, предназначенных для исследования международной торговли, территориального планирования и т.д. [118], [208], [209] основано на идеях равновесия. Наиболее близким разделом математической экономики, который могут описать модели рассредоточенного рынка, является раздел, описывающий международную торговлю и экономическое взаимодействие крупных экономических регионов [43]. В западной литературе эти вопросы исследуются в теориях международной торговли, основные идеи которых заложены в трудах Тюнена, Вебера, Леша, Айзарда. Следует отметить работы

Кавеса, Франкеля, Джонса [190], Кругмана [214], Обсфельда [215], [109], в которых разбираются вопросы, связанные с зонами свободной торговли, общих рынков, таможенных, монетарных, экономических союзов. Однако наиболее строгие положения, утверждения и результаты получены в малоразмерных моделях (1-2 продуктовые и 2-3 региональные). В этой области следует отметить работы Баласса [181], Робсона [249], Трумэна [258], Викермана [262].

Для моделирования товарных потоков между парами стран сконструированы специальные эконометрические модели, получившие в литературе наименование гравитационных [46], которые по своей идее близки к моделям потокораспределения в гидравлических сетях. В общем случае гравитационная модель представляет собой эконометрическую функцию, связывающую товарный поток из страны или региона i в страну или регион j с факторами экономического и социального характера, а также с издержками по продвижению потока из i в j: гЛ?/5 ^i ft ij)> где Е?у - экспорт из страны (региона) i в страну (регион) j; Z',; Zy - факторы, определяющие потенциальное положение стран; R'ij - факторы, относящиеся к продвижению товарного потока из i в j. (переменные, отображающие наличие барьеров на пути из i в j, типа расстояния между ними и т. п.). Для данного типа моделей широко известны модель Тинбергена [256], П. Пойхонена [245], X. Линнемана [227], П. Васархелги [260]. Следует также отметить работы Брада, Мендеса [189], Бергстренда [185], [186]. Все эти модели основаны на мультипликативных эконометрических функциях и отличаются количеством и качественным составом параметров, входящих в Z*,-, Zy, R'y. Модель Эли Хекшера и Бертиля Олина связывает международную торговлю с распределением ресурсов, ее математическое описание приведено в [212].

По нашему мнению, математические модели рассредоточенного рынка, как совокупность взаимосвязанных локальных рынков, являются удобным аппаратом для описания этих проблем. Как отмечалось выше, в этих моделях в явном виде страны и регионы не выделяются. Но в условиях рыночной экономики любая территория представляет собой совокупность самостоятельных индивидуумов, ведущих на этой территории производственную деятельность, связанных между собой как на самой территории, так и за ее пределами [106]. Задачи исследований, связанные с изучением взаимодействия локальных рынков, поставлены достаточно давно [250], [251], [252] и остаются актуальными до настоящего времени как в теоретическом, так и в прикладном аспектах. Среди зарубежных исследований взаимодействия локальных рынков в России известны следующие работы: в [205], [223] изучается межрегиональный разброс цен и тенденции его изменения в России, предметом исследования в [183] являются ценовые взаимосвязи между локальными рынками. Из отечественных работ приведем [147], [59]. Первая посвящена типологии российских регионов по характеру поведения цен, вторая - выявлению причин различий цен в разных регионах. В работе [37] на данных о динамике уровней цен продовольственных и промышленных товаров по регионам Западной Сибири за 1994 - 1998 гг. изучается, имеет ли место сходимость к единой цене.

Среди работ, изучающих пространственный разброс цен в странах с развитой рыночной экономикой, приведем [199] и [236]. В статье [237] приведены результаты исследования разброса цен между городами США. Следует отметить, что исследования, проведенные в работах [38], [59], [147], [183], [199], [205], [223], [236], [237] основаны в большинстве на построении и анализе эконометрических моделей.

Теории международной торговли и таможенных союзов давно вошли в учебники по моделированию [46], написаны специализированные учебники

109], [253]. Современный уровень регионалистики и межрегиональных взаимодействий отражен в учебной литературе [41].

Как отмечалось выше, большое количество различных моделей, предназначенных для исследования международной торговли, территориального планирования и т.д., основаны на теории равновесия. Различают два типа моделей: модели частичного и общего равновесия. В моделях первого типа речь идет только о равновесии между предложением и спросом по конкретным видам товаров. Модели второго типа рассматривают все рынки продукции, а также рынки рабочей силы и капитала. Такие модели, как правило, сильно агрегированы (включают всего несколько отраслей и прочую экономику), модели частичного равновесия, сильно дезагрегированы. Хотя литература по данному вопросу и достаточно обширна, однако в большинстве случаев она касается конкретных исследований и мало затрагивает математические методы, используемых в них. Исследования, в которых использовались модели частичного и общего равновесия, проводились в США, Нидерландах, Австралии, ФРГ, во Франции, ряде международных организаций, например, ОЭСР, Международном институте анализа прикладных систем (Австрия) и т.д. Значительное число исследований посвящено изучению влияния внешнеторговой политики на развитие АПК (более подробно см. [70]). Модели общего равновесия использовались Службой экономических исследований Министерства сельского хозяйства США, была разработана 10-секторная модель общего равновесия страны [248], а так же 30-секторная модель аграрной политики США [224]. Модель общего равновесия ORANI разработана в университете города Мельбурн [197]. Эта модель включала 113 производственных отраслей, 115 категорий товаров, производимых национальной экономикой, и такое же количество импортных товаров, 9 категорий трудовых ресурсов, 7 типов обрабатываемых земель. Модель была создана во времена, когда еще не было эффективных программных средств для решения задач такого класса. Опыт, который был получен в ходе разработки данной модели, использован в постоянно развивающемся проекте в области внешней торговли GTAP (Global Trade Analysis Project) [254].

Практическое использование такого рода моделей связано с разработкой программного обеспечения «GAMS» (General Algebraitic Modeling System -общая алгебраическая система моделирования), представляющую собой систему, реализующую язык заданий в удобной для пользователя форме математического программирования. Одной из первых моделей общего равновесия, реализованной с помощью данной системы, была модель Камеруна [217].

В качестве системы примера модели частичного равновесия можно привести систему моделирования FAPRI (FAPRI Modeling System) [255]. С ее помощью в институте изучения продовольствия и сельскохозяйственной политики (FOOD and Agricultural Policy Research Institute, FAPRI) при Центре изучения развития сельского хозяйства и сельской местности Университета штата Айова (Center for Agricultural and Rural Development, CARD) проводились исследования по анализу влияния на функционирование сельского хозяйства торговой политики США, а также ряда других стран.

Для анализа политики в области международной торговли Службой Экономических исследований Министерства сельского хозяйства США разработана система моделей, получившая название SWOPSIM (A Static Word Policy Simulation Modeling Framework). Система включает мощную базу данных, содержащую информацию в области производства, потребления и торговли продовольствием для большинства стран мира [263]. В настоящее время SWOPSIM непрерывно совершенствуется и широко используется на практике. Ее продолжением явилось создание DWOPSIM (A Dynamic World Policy Simulation Model Building Framework), позволяющая проводить моделирование экономических систем в динамике.

Существует также множество моделей, которые разрабатывались в рамках диссертационных исследований для целого ряда развивающихся стран мира. Подробный анализ этих моделей проведен в [70].

Одной из основных моделей по анализу экономической политики в области сельского хозяйства для стран СНГ является модель EPACIS. В ней внешнеторговые связи разделяются на две составляющие: торговлю между странами СНГ и торговлю со странами дальнего зарубежья. Модель подробно анализирует двусторонние торговые потоки. Это позволяет наблюдать не только за изменением сальдо сельскохозяйственной торговли, но и детально анализировать ситуацию по каждому продукту или продуктовым группам, используемым в модели [203]. Описанию современной Российской экономики с применением теории экономического равновесия посвящена работа [44].

Математические модели экономического равновесия породили ряд работ, связывающих динамику с равновесием [117], [178]. Равновесие и асимптотический рост изучались в работах, [130], [135] - [138]. В работе [130] изложены общие положения, модели и методы системного анализа развивающейся экономики. Модели описывают ряд качественных особенностей эволюции плановой и рыночной экономики, экономики СССР и России в переходной период 1991-1995 гг. [1], [128], [131]. В работе [196] описывается значение фактора времени в теоретическом анализе отдельных отраслей индустрии, и всей экономики в целом. Реальное развитие экономики показывает, что есть территории развивающиеся, есть деградирующие, и это порой мало связано с наличием и отсутствием ресурсов, причем возможен переход из одной крайности в другую. Теоретический анализ межтерриториальных аспектов динамики при большом количестве территорий, основанные реальных данных, вряд ли выполним. Основная проблема здесь заключается в сложности этих задач. Одним из подходов в решении этой проблемы является применение имитационного моделирование и имитация динамики, заложенная в работе Дж. Форрестера «Мировая динамика» [158].

Исследования на основе численного эксперимента межрегиональной динамики развиваются в работах [42], [41], [191]. В данной диссертационной работе, следуя принципам моделирования динамических систем [63], [108], [158] строятся динамические модели многопродуктового рассредоточенного рынка, представляющие собой последовательность взаимосвязанных равновесных состояний. Динамическая модель позволяет, учитывая потребление восполнимых и невосполнимых ресурсов, прогнозировать развитие как системы в целом, оценивая ее значением внутреннего валового продукта (ВВП), так и отдельных ее субъектов, оценивая их, например, величиной добавленной стоимости выпускаемой ими продукции. Становится возможной также имитация управляющих воздействий на систему для регулирования рыночных отношений.

Одним из направлений, бурно развивающимся в настоящее время и связанным с развитием модели Эрроу-Дебре, является «Равновесное программирование» [5]. За сравнительно небольшой период времени в этой области знаний произошел значительный прогресс в теории и методах нахождения решения равновесных задач различных типов (включающих, например, вариационные неравенства, задачи дополнительности, задачи о седловой точке и об игровом равновесии). Различные постановки задач ценового равновесия и их свойства приведены в [9], [16], [139], [152], [210], [19]. Методы решения и библиографический обзор приведен в работе Коннова И. В. [105].

Внутри этого направления выделяется направление - «сетевая экономика», развиваемое школой А. Нагурней [231] - [235]. Основные модели, рассматриваемые в этих работах, основаны на свойствах состояний равновесия в экономических системах, для поиска применяются методы решения вариационных неравенств. Модели и методы, развиваемые автором, также можно отнести к этому направлению, однако в отличии от последних, рассматриваются и развиваются модели и методы, получившие широкое применение в теории гидравлических сетей, эффективность которых подтверждена многолетним использованием. Стохастические модели равновесия на графах рассматривались так же в работах [134], [202].

В силу исторического развития, экономическая наука в СССР имела направленность оптимального планирования. Основоположниками этого направления являлись JI.B. Канторович [67], [68], В.В. Новожилов [127], A.JI. Лурье [115]. Дальнейшее развитие эти идеи получили в трудах [2], [10], [11], [40], [169]. Работы этого направления стимулировало развитие методов оптимизации и исследование операций [39], [54], [173], [200], [201], исследование операций и системного анализа [35], [36], [123], [132]. А также их развитие и применение в системах энергетики [61]. Задачи линейного программирования получили большое развитие в направлении решения задач большой размерности и соответственно получили развитие идеи децентрализации планирования [24]. Появилось направление «региональное программирование» [165], [166].

В соответствии с современной экономической теорией, агенты экономических систем описываются экстремальными задачами. Один из методов анализа этих систем основывается на построении по экстремальным задачам функций спроса и предложения с последующей увязкой их. Задачи построения функций спроса и предложения входят в состав задач параметрического программирования, наиболее изученным классом которого являются линейные задачи оптимизации [173]. Результаты работ [22], [116] связанные с экстремальными свойствами равновесных состояний (например, теорема о благосостоянии) дают основание предполагать, что более перспективным является направление, использующее численные методы решения многокритериальных задач, которые активно развиваются в [27] [38], [53], [55], [56], [73], [133], [151], [165], [171]. Отмеченная в диссертации взаимосвязь моделей МРР, в которых конечные потребители минимизируют затраты при ограничениях уровня полезности, с задачами централизованного управления, дает основание предполагать, что для анализа моделей МРР будут применяться численные методы решения экстремальных задач.

Задачи прогнозирования социально-экономического развития различных экономических систем являются важными и характеризуются сложностью расчетов, неопределенностью исходных данных [170]. Оценка принимаемых решений, как правило, осуществляется по многим показателям, при этом могут быть использованы неформализованные правила оценки. Для принятия решения в таких ситуациях обычно рассматривают несколько сценариев развития и, используя формальные и неформальные методы анализа, выбирают один из них, который рекомендуют для внедрения. Аналогичный подход применяется при проектировании сложных производственно-технологических систем (многовариантное проектирование). Многовариантный анализ (проектирование) в настоящее время является основным способом, помогающим принимать решение. Основной задачей при этом является уменьшение числа вариантов проектов, которые должны быть подвергнуты окончательному анализу, так как общее число вариантов, как правило, чрезмерно велико. Традиционные способы применения методов оптимизации позволяют определять оптимальные решения по какому-либо одному критерию оценки качества проекта. Однако по вышеперечисленным причинам такие оптимальные решения могут оказаться не приемлемыми для внедрения. Очень часто решения, близкие к оптимальному, то есть незначительно (на некоторую заранее заданную величину R > 0) отличающиеся по значению критерия от оптимального, более подходят для внедрения.

В моделях МРР поведение субъектов рынков описываются экстремальными задачами, однако в действительности, в силу многих причин, редко кто из субъектов решает эти задачи. Для описания конечного потребителя используется функция полезности, которая является «правдоподобной» абстракцией. Трудно однозначно определить, действительно ли он максимизирует полезность при бюджетном ограничении, или минимизирует затраты на достижение определенного уровня полезности, да и вообще, решает ли моделируемый субъект эти задачи. В связи с этим возникает потребность в отыскании не только оптимальных решений, но и близких к ним. Подход к решению экстремальных задач, основанный на отыскании близких решений аппроксимирующей задачи, предложенный В.Р. Хачатуровым в аппроксимационно-комбинаторном методе, позволил ему найти ряд модификаций известных методов оптимизации и расширить их применение для решения новых классов задач [164], [165]. Эти методы получили широкое развитие, применение [7], [20], [75] - [79], [80], [91], [92] и описаны в [81] -[86], [166].

Заметим, что методы отыскания решений, близких к оптимальным, в задачах дискретного программирования известны достаточно давно. Сюда можно отнести работы Р. Беллмана, С. Дрейфуса [15], Р. Калабы [66], [182], К. Мурти [230], М. Поллака [240], В. А. Емеличева, В. И. Комлика [57], С. С. Лебедева [112]. Эти методы направлены на получение решений, близких к оптимальному, в порядке неубывания (для задач минимизации) значений их функционалов.

Методы динамического программирования Р. Беллмана имеют широчайшую известность и широчайшее применение [15]. Большое развитие получили эти методы и в теории гидравлических сетей. Они являются основой математических методов оптимизации выбора параметров трубопроводных, электроэнергетических и других физико-технических систем, имеет большую историю, отраженную в весьма обширной литературе (обзор см. в монографии [120]). Развитие вычислительной техники и методов математического программирования (в частности дискретного) стимулировали разработку новых подходов и методов теории гидравлических сетей [121]. Для решения задач проектирования трубопроводных систем стали применяться различные схемы последовательного анализа вариантов. Пионерскими в этом направлении были работы B.C. Михалевича, Н.З. Шора и других сотрудников Института кибернетики АН УССР [28], [58], [122]. Получили развитие методы динамического программирования. В этом направлении следует отметить также работы сотрудников Сибирского энергетического института [120], [121], [129], [163], М.Г. Сухарева и Е.Р. Ставровского [153], [154] и др. Динамическое программирование, применяемое ранее для оптимизации линейно-упорядоченных процессов, стало использоваться для оптимизации процессов, заданных на ориентированном дереве [6], [187], [229]. В работе [74] приведен вывод функционального соотношения Беллмана для такого вида задач, которое получило дальнейшие развитие и модификации в [86], [87], [89]. В работах [90], [120], [213] описано программное обеспечение решения задач оптимизации гидравлических систем различного назначения, где основным методом является динамическое программирование.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение

В первой главе приведена постановка математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка в равновесном состоянии, как задача расчета потокораспределения с нефиксированными отборами в гидравлической сети. Аналогом функциональных зависимостей, которые применяются в этой задаче, являются функции спроса и предложения микроэкономики. Для оценки применимости методов теории гидравлических сетей проведен анализ функций спроса и предложения, построенных на основе задач производителя и потребителя. Достаточным условием применимости методов поузловой и поконтурной увязки являются их непрерывность, монотонность, неограниченность изменения при изменении аргумента. Функции спроса и предложения микроэкономики могут обладать этими свойствами, но могут иметь и конечное число разрывов.

Проблема равновесия, устойчивости, существования устойчивого равновесия является ключевой при анализе различного вида систем и, в частности, самоорганизующихся систем. Эта проблема проанализирована для математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка. Приведены достаточные условия, которым должны удовлетворять кривые спроса и предложения, при которых, если поведение субъектов каждого локального рынка приводит его в состояние равновесия, то и в целом весь рынок приводится в состояние равновесия. Описана роль субъектов рынка в распространении неравновесных состояний между локальными рынками, и приведении рынка в целом в состояние равновесия. В случае, если достаточные условия не выполняются, показано как можно применить алгоритмы поузловой для анализа системы.

Для отыскания равновесного состояния приведен алгоритм поконтурной увязки, разработана его модификация, позволяющая отыскивать параметры моделей субъектов однопродуктового рассредоточенного рынка.

Во второй главе приведена постановка математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка в равновесном состоянии, как система экстремальных задач, в которых каждый субъект описан своей экстремальной задачей. Предложены алгоритмы поузловой и поконтурной увязки отыскания равновесного состояния, использующие некоторые свойства экстремальных решений этих задач.

О применении решений сетевой транспортной задачи для решения задач потокораспределения известно давно. Во второй главе предложен метод отыскания градиента в сетевой транспортной задаче, использующий экстремальные свойства экстремальных задач субъектов рынка. Таким образом, становится возможным применение градиентных методов для отыскания равновесных состояний в модели ОРР, описанной как системы экстремальных задач.

Представление модели однопродуктового рассредоточенного рынка в виде системы экстремальных задач позволило на ее основе построить модель многопродуктового рассредоточенного рынка, как системы взаимосвязанных моделей ОРР. Показано, что из этой модели можно получить модель межотраслевого баланса В. Леонтьева.

Показано, что модель многопродуктового рассредоточенного рынка в равновесном состоянии, используя аппарат функций спроса и предложений субъектов, можно свести к виду, близкому задаче потокораспределения теории гидравлических сетей. Также показано, что для отыскания равновесного состояния можно применить алгоритмы поузловой увязки. Применение методов поконтурной увязки сопряжено с рядом тяжело преодолимых трудностей.

Для модели МРР рассмотрены вопросы движения финансовых потоков в сети. Получены зависимости вычисления валового внутреннего продукта системы через добавленные стоимости, произведенные субъектами системы, и через затраты от конечного потребления.

Управление производственным и транспортными блоками в модели МРР может быть осуществлено и централизовано, поэтому рассмотрена модель централизованного управления (ЦУ) системой, критерием которой является максимизация прибыли всей системы. Отметим, что конечные потребители в этом случае представлены задачей минимизации затрат на удовлетворение требуемого уровня полезности. Показано, что в этом случае централизованного управления не менее эффективна, чем любые другие рассредоточенные системы управления, однако если рассредоточенная система управления в каждом локальном рынке есть рынок совершенной конкуренции, то эффективности управления совпадают с ЦУ. На основании этого делаются выводы об оптимальном синтезе больших систем управлении, об направлении дальнейшего развития математических методов отыскания равновесных состояний в модели МРР.

Используя статическую модель ММР, строится динамическая модель рассредоточенного рынка, как последовательность взаимосвязанных статических в равновесных состояниях. За основу построения берутся основные принципы построения моделей динамических систем, заложенным Дж. Форрестером.

В третьей главе рассмотрена более общая модель многопродуктового рассредоточенного рынка, в котором некоторым владельцам могут принадлежать несколько предприятий, они, являясь владельцами ресурсов, распределяют их объем между этими предприятиями (модель МРРРК). Сведение этой модели к задачам потокораспределения теории гидравлических сетей становится невозможным, однако становится возможным применение экстремальных методов решения многокритериальных задач.

Для многокритериальной задачи (задачи выпуклого векторного программирования) определены понятия отношения нестрогого предпочтения ^ (предпочтения по Парето) и строгого предпочтения -<. На основе этих понятий определены понятия эффективных решений (эффективных по Парето и слабоэффективных). Для анализа существования допустимых решений исходной задачи, анализа и поиска эффективных решений построена теория, основанная на методе возможных направлений Зойтендейка. Построены критерии разрешимости систем выпуклых неравенств, критерии эффективности в задачах векторного выпуклого программирования. Для задач выпуклого векторного программирования разработаны:

- алгоритм поиска слабо эффективной точки безусловной векторной оптимизации;

- алгоритм поиска слабо эффективной точки условной векторной оптимизации;

- алгоритм возвращающих направлений для поиска слабо эффективной точки в задаче условной векторной оптимизации, позволяющий осуществлять спуск с произвольной точки пространства R".

Для разработанных алгоритмов доказаны теоремы сходимости, приведены модификации алгоритмов, учитывающие специфику решаемых задач.

Для модели МРРРК доказывается теорема о том, что если некоторая точкаx=(Ph/е£'и£2; т/,,г,-,Rt, /<e£'u£2; yv,veV;rv,Rv,ve V\VD) является точкой равновесия модели МРРРК, тогда для каждого конечного потребителя, максимизирующего свою полезность, среди семейства эквивалентных функций полезности, определяющих его предпочтение, существуют такие функции полезности, что точка х является слабо эффективной для задачи выпуклого векторного программирования, описываемого соотношениями модели МРРРК без балансовых соотношений. Используя эту теорему и разработанные алгоритмы метода возможных направлений для поиска слабоэффективных точек задачи выпуклого векторного программирования, разрабатывается алгоритм, позволяющий определять точки равновесия модели МРРРК.

В четвертой главе рассмотрены методы динамического программирования и аппроксимационно-комбинаторного метода в задачах размещения предприятий, которые являются основной составляющей задач синтеза рассредоточенных экономических систем. Первоначально рассмотрены задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве. Приведено обоснование и алгоритмы решения следующих задач.

1. Отыскание оптимальных решений задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

2. Отыскание всех Д-близких решений по заданному критерию задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

3. Решение многокритериальной задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве, т.е. отыскание всех решений, являющихся /?у-близкими одновременно по т (/=1,2,3,.,/и) критериям.

4. Отыскание оптимальных решений задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве с непрерывными фазовыми состояниями и дискретными управлениями.

Для первой задачи доказана модификация функционального соотношения Беллмана и применен алгоритм динамического программирования. Для решения второй задачи доказано функциональное неравенство, которое применено в модификации алгоритма динамического программирования. Этот алгоритм модифицирован и для решения задачи 3. Задача 4 решается аппроксимационно-комбинаторным методом, использующим алгоритм решения задачи 2.

Рассмотрены задачи оптимизации многошаговых процессов, в которые включены различные производственные функции, позволяющие интерпретировать эти задачи как многопродуктовые задачи размещения предприятий на древовидных сетях. Для их решения применены алгоритмы динамического программирования, а также его модификации, позволяющие отыскивать все /^-близкие решения по заданному критерию, отыскивать решения многокритериальных задач, т.е. отыскивать все решения, являющиеся -близкими одновременно по т (/=1,2,3,.,/и) критериям.

Для решения задачи размещения предприятий в сетевой постановке для сетей произвольной структуры применен аппроксимационно-комбинаторный метод. Граф «разворачивается» в дерево, в результате этого получаем задачу размещения для древовидных сетей, на оптимальных и близких решениях которой ищется решение исходной.

1. Автухович, Э.В. Гуриев С.М., Оленев Н.Н., Петров А. А., Поспелов И.Г., Шананин А. А., Чуканов С.В. Математическая модель экономики переходного периода М.: Вычислительный центр Российской академии наук, 1999.143 с.

2. Аганбегян, А. Г. Багриновский Н. А., Гранберг А. Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. М.: Наука, 1972. - 352 с.

3. Алипрантис, К. Браун Д., Беркеншо О. Существование и оптимальность конкурентного равновесия. М: Мир, 1995. - 384 с.

4. Антипин, А.С. Обратная задача оптимизации: постановка задачи и подходы к ее решению. // Обратные задачи математического программирования. М.: ВЦ РАН, 1992.-С. 6-56.

5. Антипин, А.С. Равновесное программирование: проксимальные методы //Журн. вычислит, матем. и матем. физ. 1997.- № 11. - Т. 37. - С. 13271339.

6. Арис, Р. Дискретное динамическое программирование. М. :Мир, 1969. -171 с.

7. Атавин, А. А. Тарасевич А. М., Сухарев М. Г., Коваленко А. Г., и др. Трубопроводные системы энергетики: модели, приложения, информационные технологии. М.: ГУП Издатель «Нефть и газ» РГУ Нефти и газа им. И.М. Губкина, 2000. - 320с.

8. Ашманов, С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. -296 с.

9. Багриновский, К. А. Основы согласования плановых решений. М.: Наука, 1977.-303 с.

10. Багриновский, К. А. Бусыгин В. П. Математика плановых решений. М.: Наука, 1980.-224 с.

11. Багриновский, К. А. Прокопова B.C. Исследование особенностей межотраслевого обмена в экономике России // Экономика и мат. методы. -1997. т. 34, вып. 1. - С. 52-62.

12. Бекларян, JI.A. Акопов А.С. Модель поведения естественной монополии в условиях переходного периода. М., 2000. - 74 с. - (Препр. ЦЭМИ РАН; N WP/2000/098).

13. Бекларян, JI.A. Модели согласования инвестиционного контракта// Аудит, и фин. анализ. М., 1998. - С. 35-66.

14. Беллман, Р. Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 458 с.

15. Бершанский, А. Б. Мееров М. В. Теория и методы решения задач дополнительности //Автоматика и телемеханика. -1983. № 6. - С. 5-31.

16. Браверман, Э. М. Модели производства с неравновесными ценами // Экономика и мат. методы. 1972. - Т. 8. - Вып. 2.

17. Браверман, Э. М. Левин М.Н. Неравновесные модели экономических систем.-М.: Наука, 1981.-304 с.

18. Булавский, В. А. Калашников В. В. Сетевая модель рынка однородного товара. М.: ЦЭМИ РАН, 1996. 26 с.

19. Бусыгин, В. П. Желободько Е. В., Коровин С. Г., Цыплаков А. А. Микроэкономический анализ несовершенных рынков: Ч.1.- Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2000. 264 с.

20. Васин, А. А. Васина П. А. Рынки и аукционы однородного товара. Препринт #.-М.: РЭШ, 2004.-51 с.

21. Введение в теорию и методологию системы оптимального функционирования социалистической экономики. / Н.П. Федоренко, Ю.В. Овсиенко, Н.Я. Петраков. М.: Наука, 1983. - 368 с.

22. Войтинский, В. Рынок и цены : Теория потребления, рынка и рыночных цен.-СПб., 1906.-С. 243.

23. Волконский, В. А. Принципы оптимального планирования. М., Экономика, 1973.-239 с.

24. Волошинов, В. В., Королев А. Н., Коссых Ю. В., Коткин Г. Г. Зависимые методы векторной нелинейной оптимизации. М.: ВЦ АН СССР, 1994. -20 с.

25. Вычислительные методы выбора оптимальных проектных решений. / В. С. Михалевич, Н. 3. Шор, JI. А. Галустова и др. Киев: Наук, думка, 1977. -178 с.

26. Гаврилец, Ю. Н. Социально-экономическое планирование (системы и модели).-М.: Экономика, 1974.

27. География инновационной сферы мирового хозяйства. / Под ред. Н. С. Мироненко. М.: «Пресс-Соло», 2000. - 384 с.

28. География мирового хозяйства. / Под ред. Н. С. Мироненко Москва-Смоленск: Изд-во СГУ, 1997. - 272 с.

29. Гермейер, Ю. Б. Введение в теорию исследования операций М.: Наука, 1976. 384 с.

30. Гермейер, Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами М.: Наука, 1976. 327 с.

31. Глущенко, К. 77. Пространственное поведение уровней цен // Экономика и мат. методы 2001. - Т. 37. - № 3,2001. - С. 3-13.

32. Голиков, А. И., Коткин Г.Г. Характеристика множества оптимальных оценок задач многокритериальной оптимизации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1988. - Т.28.-№ 10. - С. 1461-1474.

33. Голыитейн, Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения .- М.:, Наука, 1971. 351 с.

34. Гранберг, А. Г. Математические модели социалистической экономики. М.: Экономика, 1978.-351 с.

35. Гранберг, А. Г. Основы региональной экономики: учебник для вузов. М.: ГУ ВШЭ, 2000. - 495 с.

36. Гранберг, А. Г. Суслов В. И., Коломак Е. А. Крупные регионы России: экономическая интеграция и взаимодействие с мировой экономикой: Финальный отчет по гранту фонда Евразия. http://arn.eerc.ru/details/download.aspx?fileid=3870.

37. Гуриев, С. М. Поспелов И. Г., Шапошник Д. В. Модель общего равновесия при наличии транзакционных издержек и денежных суррогатов // Экономика и мат. методы. 2000. - т. 36. - № 1. С. 75 - 90.

38. Давидсон, М.Р. Догадушкина Ю.В., Крейнес Е.М., Новикова Н.М., Удальцов Ю.А., Ширяева JI.H. Математическая модель конкурентного оптового рынка электроэнергии в России // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2004. №3. С. 72-83.

39. Дадаян, B.C. Моделирование глобальных экономических процессов. М.: Экономика, 1984.-320 с.

40. Данилов, В.И. Сотсков А.И. Механизмы группового выбора. М.: Наука, 1991.- 175 с.

41. Данилов, В. И. Равновесия в экономиках с перекрывающимися поколениями экономических агентов // Экономика и мат. методы. 1993. - Вып. № 29. -С. 26-38.

42. Данилов-Данильян, В.И. Завельский М.Г. Система оптимального перспективного планирования народного хозяйства. М.: Наука, 1975. - 393 с.

43. Дубов, Ю.А. Травкин С. Я., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. - 296 с.

44. Евтушенко, Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982.-432 стр.

45. Евтушенко, Ю. Г. Потапов М. А. Численные методы решения многокритериальных задач // Кибернетика и вычислительная техника. 1987.-Вып. 3.-С. 230-235.

46. Евтушенко, Ю. Г. Потапов М. А. Методы решения многокритериальных задач// ДАН СССР.-Т. 291. -№ 1. 1986.-С. 25-39.

47. Емеличев, В. А. Комлик В. И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. М.: Наука, 1981. -208 с.

48. Ермольев, Ю. М. Мельник И. М. Экстремальные задачи на графах. Киев: Наукова думка, 1968. 176 с.

49. Зарова, Е. Проживина Н. О региональных факторах российской инфляции // Вопросы статистики. 1997. - № 10. - С. 16 - 22.

50. Зойтендейк, Дж. Г. Методы возможных направлений. М.: Иностранная литература, 1963. - 176 с.

51. Зоркальцев, В.И. Симметричная двойственность. Приложение к моделям электрических и гидравлических цепей. Иркутск: ИСЭМ, 2001. - 41 с.

52. Иванилов, Ю. П. Лотов А. В. Математические модели в экономике. М., Наука, 1979.-С. 304.

53. Иванов, Ю. Н. Токарев В. В., Уздемир А. П. Математическое описание элементов экономики. М.: Физматлит, 1994. - 416 с.

54. Каганович, Б. М. Дискретная оптимизация тепловых сетей. Новосибирск: Наука, 1978.-88 с.

55. Каганович, Б. М. Меренков А. Я., Большее О. А. Элементы теории гетерогенных гидравлических цепей Новосибирск: Наука, 1997. - 120 с.

56. Калаба, Р. Теория графов и автоматическое управление // Прикладная комбинаторная математика. М: Мир, 1968. С.139-158.

57. Канторович, Л. В. Математические методы организации и планирования производства Ленинград: ЛГУ, 1939. - 67 с.

58. Канторович, Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 347 с.

59. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании в экономике. М.: Мир, 1964. - 840 с.

60. Ю.Карлова, Н. Кобута И., Прокопьев М, Серова Е., Храмова И., Шик О. Агропродовольственная политика и международная торговля: российский аспект. М: ИЭПП. 2001.-194 с.

61. Карманов, В.Г. Математическое программирование. -М.: Наука, 1986. -286 с.

62. Клейнер, Г. Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. -М.: Финансы и статистика, 1986.-239 с.

63. Коваленко, А. Г. Элементы выпуклого векторного программирования. -Куйбышев: Куйбышевский государственный университет, 1990. 83 с.

64. Коваленко, А. Г. Овчинников В. Г. Об одной задаче нелинейного программирования // Журн. вычисл. математики и мат. физики 1975. - № 1.-Т.15.- с. 248-251.

65. Коваленко, А. Г. Алгоритмы отыскания оптимальных и всех близких решений в задаче дискретной оптимизации многошаговых процессов // Сборник работ по математической кибернетике Вып.2. М.: Вычислительный Центр АН СССР, 1977. - С. 65-69.

66. Коваленко, А. Г. Саратовкина Л. Г. Об одной задаче проектирования сетей трубопроводов геотермальной воды: тезисы докладов на Всесоюзной конференции «Народнохозяйственные и методические проблемы геотермии.- Часть 2. Махачкала, 1978. - С.46.

67. Коваленко, А. Г. Саратовкина Л. Г. Оптимизация тепловых сетей и скважин, обеспечивающих работу Гео ТЭС. // Режимы потребления и экономические вопросы потребления энергии. Вып.52. - М.: ЭНИН, 1976. -С. 103-113.

68. Коваленко, А. Г. Лихушин Э. К Имитационная система управления процессами поддержания пластового давления. Экспресс-информация // Автоматизация и телемеханизация в нефтяной промышленности. 1984. -Выпуск 10.-С. 22-24.

69. Коваленко, А. Г. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов и их применение к расчету нефтегазопроводов. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук -М., 1979. 15 с.

70. Коваленко, А. Г. Хачатуров В. Р. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов аппроксимационно-комбинаторным методом I // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1982. - № 1 -С. 3-17.

71. Коваленко, А. Г. Хачатуров В. Р. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов аппроксимационно-комбинаторным методом II // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1982. - № 2.- С. 46-55.

72. Коваленко, А. Г. Хачатуров Ю. Р. Об одной задаче размещения технологических устройств // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1985. -№ 2. - С. 178 - 182.

73. Коваленко, А. Г. Об одной задаче размещения предприятий в сетевой постановке // Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования. Тезисы доклада. - М.: ЦЭМИ АН СССР, 1984.-С. 198-199.

74. Коваленко, А. Г. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов. Учебное пособие. Куйбышев, 1985. - 71 с.

75. Коваленко, А. Г. Алгоритмы интервалов и их применение для решения задач дискретной оптимизации многошаговых процессов // Теоретические проблемы вычислительных сетей. Совет по комплексной проблеме кибернетики АН СССР. - Куйбышев, 1986. - С. 163-170.

76. Коваленко, А. Г. Возвращающие направления в математическом программировании // Методы математического программирования и программное обеспечение. Свердловск, 1987. - С. 65-66.

77. Коваленко, А. Г. Алгоритмы интервалов и их применение для решения задач оптимизации многошаговых процессов // Кибернетика. № 3. - Киев, 1987. -С. 102-105.

78. Коваленко, А. Г. О математическом моделировании систем инженерного обеспечения города. Прикладные задачи в машиностроении и экономике:тезисы докладов научно-технической конференции. Самара, 1996. -С. 13-14.

79. Коваленко, А. Г. Взаимосвязь задач потокораспределения и идентификации в гидравлических сетях . Известия АН СССР - Энергетика - 1998. - № 6. -С. 98- 104.

80. Коваленко, А. Г. К проблеме анализа гидравлических сетей // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных, гуманитарных и технических науках: сб. научных трудов: т II. Кисловодск, 1998. - С. 43^5.

81. Коваленко, А. Г. О сводимости задач идентификации параметров элементов гидравлических цепей к задачам потокораспределения. Методы оптимизации и их приложения // Труды XI международной Байкальской школы-семинара. Иркутск, 1998. - С. 99 - 102.

82. Коваленко, А. Г. Математические модели рассредоточенного рынка и задача потокораспределения теории гидравлических сетей // Известия РАН. -Теория и системы управления. 2001. - № 4. - С. 87-94.

83. Коваленко, А. Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка // Экономика и мат. методы. 1999. - Т. 35. - № 3. - С. 108 - 115.

84. Коваленко, А. Г. Математические модели межотраслевого баланса в условиях рассредоточенного рынка // Экономика и мат. методы. 2001. - Т. 37.-№2.-С. 92-106.

85. Коваленко, А.Г. О сходимости к состоянию равновесия математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка. Обозрение прикладной и промышленной математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2001. - С. 215-216.

86. Коваленко, А.Г. О применении экстремальных методов для отыскания равновесного состояния в математической модели рассредоточенного рынка // Международная конференция математическое моделирование ММ-2001: труды конференции Самара, 2001. - С. 22-24.

87. Коваленко, А.Г. Математические модели однопродуктового рассредоточенного рынка и их исследование // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2005. № 3. С. 41-54.

88. Кочетов, Э. Г. Геоэкономика (Освоение мирового экономического пространства): Учебник. М.: Издательство БЕК, 1999. - 480 с.

89. Краснощекое, П.С. Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во ФАЗИС, 2000. - 411 с.

90. Кругман, Н. Обстфельд М. Международная экономика. Теория и практика. М.: Изд-во МГУ, ЮНИТИ, 1997. 832 с.

91. Кудинов, В. А. Колесников С. В., Коваленко А. Г., Панамарев Ю. С. Разработка компьютерной модели и исследование режимов работы циркуляционной системы Новокуйбышевской ТЭЦ-2 // Известия Академии Наук.-Энергетика.-2001.- №6.-С. 108-114.

92. Лебедев, В.В. Математическое моделирование социально-экономичесчких вопросов. М.: Изограф, 1977. - 224 с.

93. Лебедев, С. С. Методы упорядоченного перебора для задач линейного программирования с булевыми переменными // Математическое программирование. Алма-Ата: Институт экономики АН Каз. ССР, 1969. -вып. 5.-С. 38-118.

94. Левин, М. И. Макаров В. Л., Рубинов A.M. Математические модели экономического взаимодействия М.: Наука, 1993. - 376 с.

95. Леонтьев, В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика», 1997. -С. 479.

96. Лурье, А. Л. Экономический анализ моделей планирования социалистического хозяйства. М.: Наука, 1973. - 453 с.

97. Маленво, Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М.: Наука, 1985. -390 с.

98. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, вод о-, нефте- и газоснабжения / А.П. Меренков, Е.В. Сеннова, С. В. Сумароков и др. Новосибирск: Наука, 1992.-407 с.

99. Меренков, А. П. Хасилев В. Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985.-278 с.

100. Меренков, А. П. Применение ЭВМ для оптимизации разветвленных тепловых сетей. Изв. АН СССР. - Энергетика и транспорт, 1963. - № 94. -С. 531 -538.

101. Михалевич, В. С. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение // Кибернетика. 1965. - № 1. - с.45 — 46; № 2 - с. 85 - 89.

102. Моисеев, Я. Я. Математические задачи системного анализа.- М.: Наука, 1981.-488 с.

103. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., Мир, 1972.-514 с.

104. Новицкий, Я. Я. Сеннова Е. В., Сухарев М. Г., Коваленко А. Г. и др. Гидравлические цепи. Развитие теории и приложения. Новосибирск: Наука, 2000. -273 с.

105. Новицкий, Я. Я. Оценивание параметров гидравлических цепей. -Новосибирск: Наука, 1998. 214 с.

106. Новожилов, В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Экономика, 1972.-434 с.

107. Оленев, Н.Н. Петров А.А., Поспелов И.Г. Некоторые результаты исследования модели экономики переходного периода. М.: ВЦ РАН, 1997.-47 с.

108. Ощепкова, Т. Б. Оптимизация разветвленных и многоконтурных трубопроводных систем: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Новосибирск, 1983.-22 с.

109. Петров, А. А. Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. - 544 с.

110. Петров, А. А. Поспелов И. Г., Шананин А. А. От Госплана к рыночной экономике: Математический анализ эволюции российских экономических структур. Изд. The Edwin Mellen Press, 1999. - 408c.

111. Петросян, JI. А. Кузютин Д. В. Игры в развернутой форме: оптимальность и устойчивость. СПб.: Изд-во С. ун-та, 2000. - 292 с.

112. Подиновский, В. В. Ногин В. Д. Парето оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 256 с.

113. Поспелов, И.Г. Эволюционный принцип в описании экономического поведения: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1989. - 253 с.

114. Поспелов, И. Г. Гуриев С. М. Модель общего равновесия экономики переходного периода // Математическое моделирование. 1994. - Т. 6. -№2.-С. 3-21.

115. Полтерович, В. М. Модели равновесного экономического роста // Экономика и мат. методы. 1976. - Т. XII. - Вып. 3.

116. Полтерович, В. М. Равновесные траектории экономического роста // Методы функционального анализа в математической экономике. М.: Наука, 1978.-С. 3-24.

117. Полтерович, В. М. Эффективный равновесный рост при переменном дисконте // Математическая экономика и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1984.

118. Полтерович, В. М. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. -М.: Наука, 1990. 265 с.

119. Полтерович, В.М. Оптимальное распределение благ при неравновесных ценах // Экономика и мат. методы. 1995. - т.31. - вып.З.

120. Полтерович, В. М. Экономическое равновесие и оптимум // Экономика и мат. методы. 1973. - Т. IX. - Вып. 5. - С. 835-845.

121. Пространственные структуры мирового хозяйства / Под редакцией Н. С. Мироненко. М.: Пресс-Соло, 1999. - 420 с.

122. Пшеничный, Б.Н. Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320 с.

123. Пшеничный, Б.Н. Расчет энергетических сетей на ЭВМ. Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1962. - №5. - С. 942-947.

124. Пшеничный, Б.Н. О численных методах гидравлического расчета сетей // Первая Всесоюзная конференция по оптимизации и моделированию транспортных сетей: сб. докл., Киев: Ин-т Кибернетики АН СССР. 1967. -С. 77-90.

125. Разумихин, Б.С. Физические модели и методы теории равновесия в программировании и экономике М.: Наука, 1986. - 244 с.

126. Райская, Н. Н Сергиенко Я.В., Френкель А. А. Региональные аспекты инфляционных процессов // Вопросы статистики. 1998. № 10. - С. 41-52.

127. Романовский, И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач . М. Наука, 1977.- 352 с.

128. Рубинштейн, А. Г. Моделирование экономического взаимодействия в территориальных системах. Новосибирск: Наука, 1983. - 238 с.

129. Скопин, А. Ю. Введение в экономическую географию: базовый курс для экономистов, менеджеров, географов и регионоведов: учеб. для студ. высш. учеб. заведений. -М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. 272 с.

130. Смирнов, М. М. Метод обратной логической свертки в задачах векторной оптимизации. М.: ВЦ РАН, 1996.

131. Сухарев, А. Г. Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986.-328 с.

132. Сухарев, М. Г. Ставровский Е. Р. Расчеты систем транспорта газа с помощью вычислительных машин. М.: Недра, 1971. - 206 с.

133. Сухарев, М. Г. Ставровский Е. Р. Оптимизация систем транспорта газа. -М.: Недра, 1975.-278 с.

134. TaaupoeaF, Н.Ф. Рынок Поволжья (вторая половина XIX начало XI вв.). - М.: Московский общественный научный фонд; ООО «Издательский центр научных и учебных программ», 1999. - 312 с.

135. Тетерев, А.Г. Методы возможных направлений в математическом программировании. Куйбышев, 1980.-94 с.

136. Трубопроводные системы энергетики: управление развитием и функционированием / Н.Н. Новицкий, Е.В. Сеннова, М.Г. Сухарев, А.Г. Коваленко и др. Новосибирск: Наука, 2004.-461 с.

137. Форрестер, Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978. - 167с.

138. Хасилев, В. Я. Вопросы технико-экономического расчета тепловых сетей // Проектирование городских тепловых сетей. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1957.-С. 52-56.

139. Хасилев, В. Я. Обобщенные зависимости для технико-экономических расчетов тепловых и других сетей // Теплоэнергетика. 1957. - № 1. -С. 28-32.

140. Хасилев, В. Я. Элементы теории гидравлических цепей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, № 1. 1964. - С. 69 - 88.

141. Хасилев, В. Я. Элементы теории гидравлических цепей: Автореф. дис. . д-ра техн. наук. Новосибирск: Секция техн. наук Объед. уч. совета СО АН СССР. - 1966. -98 с.

142. Хачатуров, В.Р. Математические методы регионального программирования. М.: Наука, 1989.-304 с.

143. Хачатуров, В. Р., Веселовский В. Е., Злотов А. В., Калдыбаев С. У., Калиев Е.Ж., Коваленко А. Г., Монтлевич В. М., Сигал И.Х., Хачатуров

144. Р. В. Комбинаторные методы и алгоритмы решения задач дискретной оптимизации большой размерности. М.: Наука, 2000. - 360 с.

145. Хикс, Дж. Р. Стоимость и капитал. М.: Прогресс, 1988. - 223 с.

146. Чеканский, А. Н. Фролова Н. Л. Теория спроса, предложения и рыночных структур. М.: Экономический факультет МГУ, ТЭИС, 1999. - С. 421.

147. Черемных, Ю. Н. Математические модели развития народного хозяйства. -М.: МГУ, 1986.-102 с.

148. Шибалкин, О. Ю. Проблемы и методы построения сценариев социально -экономического развития. М.: Наука, 1992. - 172 с.

149. Штойер, Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения: пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.

150. Экланд, И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983. -248 с.

151. Юдин, Д. Б. Голъштейн Е. Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963. - 775 с.

152. Adam, Ostaszewski. Mathematics in Economiks: Model and Methods. -Blackwell, 1993.- 544 p.

153. Aliprantis, C. D. Brown D. J. Equilibria in markets with a Riesz space of commodities. J. Math. Econ. 11 (1983) - P. 189 - 207.

154. Aliprantis, C. D. Brown D.J., Burkinshaw O. Existence and Optimality of Competitive Equilibria. Springer-Verlag, Berlin/New- York, 1989 - 284 p.

155. Aumann, R. J. Existence of competetive equilibria in markets with a continuum of trades, Econometrika, 1966. 34. - № 1. - P. 1 - 17.

156. Arrow, K.J. Hahn F.H. General competitive analysis. San Francisco, Holden Day, 1971.

157. Arrow, K. J. Debreu G. Existence of equilibrium for a competitive economy. // Econometrica, 1954. 22. - P. 265 - 290.

158. Barro, R. J. Grossman H. A general disequilibrium model of income and employment// Amer. Econ. Rev. 1971. Vol. 61. - № 1. - P. 82 - 93.

159. Balassa, В. Trade Creation and Diversion in the European Common Market: an Appraisal of the Evidence // European Economic Integration, 1974. -P. 93- 135.

160. Bellman, R. Kalaba R. On k-th Best Policies //J. Soc. Ind. Appl. Math. 1960. -№8.-P. 582-588.

161. Berkowitz, D. DeJong D.N., Husred S. Quantifying Price Liberalization in Russia// J. of Comparative Economics 1998. - V. 26. - № 4. - P. 735 - 760.

162. Benassy, J.-P. Neo-Keynesian disequilibrium theory in a monetary -economy // Rev. Econ. Stud. 1975. Vol. 42. - № 132. - P. 503 - 523.

163. Bergstrand, J. The Gravity Equation in International Trade: Some Microeconomic Foundations and Empirical Evidence. The Review of Economics and Statistics. 1985, № 3. P. 474 - 81.

164. Bergstrand, J. The Generalized Gravity Equation, Monopolistic Competition and the Factor-Proportions Theory in International Trade // The Review of Economics and Statistics. 1989, № 1. P. 143 - 153.

165. Bertele, U. Brioshi F. Nonserial dynamic programming, N.Y., Acad. Press., 1972.-235 p.

166. Bewley, T. Existence of equilibria in economies with infinitely many commodities // J. Econ. Theoiy 4,1972. P. 514 - 540.

167. Brada, J. MendezJ. Economic Integration among Developed, Developing and Centrally Planned Economics: a Comparative Analysis // The Review of Economics and Statistics. 1985. № 4. - P. 549 - 56.

168. Caves, R. FrankelJ., Jones R. World Trade and Payments, 1992.

169. Granberg, A. Suslov V, Kolomak E. Russian «Macro-regions»: Economic integration and interaction with the world economy: Final Report. -M., 1997. -40 p.

170. Danilov, V.I. Koshevoy G.A. Discrete convexity and equilibria in economics with indivisible goods and money. // Math. soc. Sciences 41. 2001.

171. Danilov, V.I. Koshevoy G.A. Substitutes and complements in two-sided market models. / Advances in Economic Theory Springer Verlag, 2003.

172. Debreu, G. Theory of value, John Wiley, New York, 1959. 114 p.

173. Deghdak, M. Florenzano M. Decentralizing Edgeworth equilibria in economies with many commodities // Economic Theory 14, 1999. P. 297-310.

174. Peter, A. Diamond. On Time. Lectures on Models of Equilibrium. -Cambridge University Pres, 1994. 100 p.

175. Dixon, P. B. Parmenter B. R., Sutton J. Vincent D. P. ORANI: a Multisectoral Model of The Australian Economy, Amsterdam: North Holland. 1982.

176. Dreze, J. Existence of an exchange equilibrium under price rigidities// Intern. Econ. Rev. 1975. Vol. 16, № 2. P. 301 - 320.

177. Engel, C. Rogers J. H. How Wide Is the Border // American Economic Rev. 1996. V. 86. №5.-P. 1112-1125.

178. Evtushenko, Yu G., Moretti A., Zhadan V. G. Newton ' s steepest descent for linear programming. In «Dynamics of non homogeneous systems» (Editor Yu. S. Popkov), Russian Academy of Sciences Institute for System Analysis, Vol. 2, 1999.-P. 86- 108.

179. Evstigneev, I. V Taksar M.I. Stochastic equilibria on graphs, I, 1994, Journal of Math. Economics, v.23, 401-433; II, Journal of Math. Economics, v.24. P. 383-406.

180. Fock, A. Weingarten P., Wahl O., Prokopiev M. Russian's Bilateral Agricultural trade; Russian's Agro-food Sector. Towards Truly Functioning Markets. Kluwer Academic Publishers, 2000.

181. Gardner, B. Brooks K. N. Food Prices and Market Integration in Russia: 19921994// American J. of Agricultural Economics. 1994. - V. 76. -P. 641 -646.

182. Geanakoplos, J. D. An introduction to general equilibrium with incomplete assets markets, J. Math. Econ. 19,1990, P. 1 38.

183. Geanakoplos, J. D. Polemarchakis H. M. Overlapping generations, In: Hildenbrand W., Sonnenschein H. (eds.): Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV, North-Holland, Amsterdam, 1991, P. 1899-1960.

184. Handbook of mathematical economics/ Ed. K. J. Arrow, M. D. Intrilligator. Amsterdam etc.: North-Holland. 1982. Vol. 2.

185. Handbook of mathematical economics / Ed. K. J. Arrow, M. D. Intrilligator. Amsterdam etc.: North-Holland, 1986. Vol. 3.

186. Harker, P.T. Pang J.-S. Finite-dimensional variational inequality and nonlinear complementari problems: a survey of theory, algorithms and applications // Math. Programming. 1990. - V.48, №2. - P.161 - 220.

187. Jae, Wan Chung. Utilility and Production Functions. Blackwell. 1993, 224 c.

188. Jones, Ronald W. The Structure of Simple General Equilibrium Models. Journal of Political Economi 73,1965. P. 557 - 572.

189. Kally, E. Computerised planning of the least cost water distribution network.— Water and Sewage Works. Reference Number, 1972, Aug. 31. P. 121-127.

190. Krugman, P. Intra-industry Specialization and the Gain from Trade. Journal of Political Economy, 1981. P. 959 - 974.

191. Krugman, P. ObstfeldM. International Economics: Theory and Policy. 2004. - 502 p.

192. Krugman, P. Geography and Trade. Cambridge: MIT Press, 1991.

193. Lewis, Jeffrey D. From stylized to applied Models: Bulding Multisector CGE Models for Polucy Analysis. Working Paper No.616. University of California, Berkeley. 1991.-P. 5-38.

194. Masell, M. Shafer W. Incomplete markets, In: Hildenbrand, W., Sonnenschein, H. (eds.): «Handbook of Mathematical Economics», Vol. IV, Amsterdam: North-Holland, 1991.-P. 1523-1614.

195. Mas-Colell, A. The price equilibrium existence problem in topological vector lattices, Econometrica 54,1986, P. 1039 1053.

196. Mas-Colell, A. Richard S. F. A new approach to the existence of equilibria in vector lattices, J. Econ. Theory 53, 1991.

197. Mas-Colell, А. Хаме, W. Equilibrium theory in infinite dimensional spaces, In: Hildenbrand, W., Sonnenschein, H. (eds.): Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV, North-Holland, Amsterdam, 1991.

198. McKenzie, L. W. On equilibrium in Graham's model of world trade and other competitive systems//Econometrica. 1954. Vol. 22, № 1.

199. De Masi, P. Коеп У. Relative Price Convergence in Russia // IMF Staff Papers. 1996. V. 43. №1.-P. 97-106.

200. Kilkenny, M. Computable General Equilibrium Modeling of Agricultural Policies: Documentation of the 30-Sector GAMS Model of the United States. Staff Report, No. AGES9125 Washington, D.C. ERS USDA.

201. Konovalov, A. Marakulin V.M. Equilibria without the survival assumption: a non-standard analysis approach, Center Discussion Paper № 2001-34, Center, Tilburg (electronic form).http://www.math.nsc.ru/~mathecon/Marakulin/SelectPUBL/EquilibriaWSA.pdf.

202. Kreps, D.M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities, J. Math. Econ. 8 (1981), P. 15 35.

203. Linnenman, H. An econometric study of international trade flows. Amsterdam, 1966.

204. McCabe, K.A. Rassenti S.J., SMITH V.L DESIGNING 'SMART COMPUTER-ASSISTED MARKETS. An Experimental Auction for Gas Networks. Journal of Political Economy 5. North-Holland, 1989. - P. 259 - 283.

205. Mitten, L. Nemhauser G. Multistage Optimization. "Chen. Eng. Prog.", 1963.-P. 59.

206. Murty, K.G. Solving the fixed charge problem by ranking the extreme points. "Oper. Res.", 16, 1968,268-279.

207. Nagurney, A. Network Economics: A Variational Inequality Approach. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, 1993. 326 p.

208. Nagurney, A. Dong, J., Zhang D. Multicriteria Spatial Price Networks: Statics and Dynamics // Presented at the 5th International Conference on Electronic Commerce Research, Montreal, Canada Oct.,2002.

209. Nagurney, A. Dong J., Mokhtarian P. Traffic Network Equilibrium and the Environment: A Multicriteria Decision-Making Perspective I I Computational Methods in Decision-Making, Economics and Finance, Kluwer Academic Publishers-2002.

210. Nagurney, A. Ke Ke Financial Networks with Electronic Transactions: Modeling, Analysis, and Computations // Presented at the 5th International Conference on Electronic Commerce Research, Montreal, Canada Oct.,2002.

211. Nagurney, A. Dong 3., Mokhtarian P. Integrated Multicriteria Network Equilibrium Models for Commuting versus Telecommuting // Presented at the 5th International Conference on Electronic Commerce Research, Montreal, Canada -Oct.,2002.

212. Obstfeld, M. Taylor A.M. Nonlinear Aspects of Goods-Market Arbitrage and Adjustment: Heckscher's Commodity Points Revisited // J. of the Japanese and International Economies. 1997. V. 11.

213. Parsley, D.C. Wei Sh.-J. Convergence to the Law of One Price without Trade Barriers or Currency Fluctuations // Quarterly J. of Economics. 1996. V. 111. №4.

214. Peleg, В. Yaari, M.E. Markets with countably many commodities, Int. Econ. Review 11, 1970, P. 369-377.

215. Podczeck, K. Equilibria in vector lattices without ordered preferences or uniform properness, J. Math. Econ. 25, 1996, P. 465 485.

216. Pollack, M. The k-th Best Route through a Network. "Operations Res.", 9, 1961.-P. 578-580.

217. Polterovich, V. Gross Substitutability of Point-to-Set Corespondences. Journal of Mathematical Economics, 1983. №2. - Vol.11.

218. Polterovich, V. Schumpeterian Dynamics as a Nonlinear Wave Theory. Journal of Mathematical Economics. 1991. - Vol.20.

219. Polterovich, V. Rationing, Queues and Black Markets. Econometrica, 1993. -№1.- Vol.61.

220. Polterovich, V. Henkin G. A difference-differential analogue of the Burgers equation and some models of economic development. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 5, No.4, October 1999. P. 697-728.

221. Poyhonen, P. A tentative model for the volume of trade between countries. -Weltwirtschaftliches Archiv. Bd. 90, Hf. 2. Hamburg, 1963.

222. Radner, R. Equilibrium under uncertantly, In: Arrow K.J. and Intriligator M.D. (eds.): Handbook of Mathematical Economics, Vol. II, North-Holland, Amsterdam, p. 923 1006.

223. Richard, S.F. Srivastava S. Equilibrium in economies with infinitely many consumers and infinitely many commodities, J.Math. Econ. 17,1988. P. 9 - 21.

224. Robinson, S. Kilkenny M., Hanson, K. The USDA/ERS Computable General Equilibrium (CGE) of The United States. No. AGES9049 Washington, D.C. ERS USDA.

225. Robson, P. The Economics of International Integration. 1987.

226. Samuelson, P. The Transfer Problem and Transport Costs: Analysis of Effects of Trade Impediments // Economic J. 1954. V. 64.

227. Samuelson, P. Intertemporal price equilibrium: a proloque to the theory of speculation," Weltwirtschaft- liches Archiv 79 ,1957. P. 181-219.

228. Samuelson, P. Spatial price equilibrium and linear programming, American Economic Review 42. 1952. - P. 283-303.

229. Sodestren, D. Reed G. International and Economics. 1994.

230. Thomas, Hertel W. Global Trade Analysis. Modelling and application. Cambridge University Press. 1997.

231. Taylor, C. Reichelderfer K., Johnson S. Agricultural Sector Models for United States. Iowa State University Press, Ames. 1993.

232. Tinbergen, J. Shaping the World Economy: Suggestions for an International Economic Policy. 1962.

233. Tourky, B. A new approach to the limit theorem on the core of an economy in vector lattices, J. Econ. Theory 78,1998. P. 321 - 328.

234. STruman, E. The Effects of European Economic Integration on the Production and Trade of Manufactured Products. European Economic Integration. 1975.

235. Varian, H.R. Microeconomic Analysis (third edition), New York & London, 1992.

236. Vasarhelgi, P. An ezperiment to forecast foreign trade by a refinde gravity model and with the help of one variant of the RAS method. ECE, 1970.

237. Vasin, A. Durakovich, Vasina P. Cournot equilibrium and competition via supply functions, Came Theory and Applications, Nova Science Publishers, vol. 9. New York, 2003. - P. 181-191.

238. Vickeiman, R. The Single European Market: Prospects for Economic Integration. 1992.

239. Vernon, O. Roningen. A Static World Policy Simulation (SWOPSIM) Modeling Framework. Staff Report No.AGES860625. Washington, D.C. ERS USDA. 1986.

240. Wilson, C.A. Equilibrium in dynamic models with an infinity of agents, J. Econ. Theory 24, 1981. P. 95 - 111.

241. Younes, Y. On the role of money in the process of exchange and the existence of a non-walrasian equilibrium // Rev. Econ. Stud. 1975. Vol. 45, № 132.

242. Zontendijk, G. Methods of Feasible Directions, Amsterdam. Elsevier Publishing Co., Amsterdam, Holland, 1960.