автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Развитие и обобщение моделей методологии Анализа Среды Функционирования для анализа деятельности сложных систем

Учреждение Российской Академии Наук Институт Системного Анализа РАН

0034Б0371 На правах, рукописи

Лычев Андрей Владимирович

Развитие и обобщение моделей хМетодологии Анализа Среды Функционирования для анализа деятельности сложных систем

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (информационно-вычислительное обеспечение)

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ЗОНТ 2008

Москва - 2008

003450371

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте Системного Анализа РАН в лаборатории «Методов системной оптимизации»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, Кривоножко Владимир Егорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Антипин Анатолий Сергеевич

кандидат физико-математических наук Кривцов Валерий Евгеньевич

Ведущая организация:

Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится «_»

2008 г. в_час._мин.

на заседании диссертационного совета Д 002.086.02 при Учреждении Российской академии наук Институте Системного Анализа РАН по адресу: 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Учреждения Российской академии наук Института системного анализа РАН (г. Москва, пр-т 60-летйя Октября, 9).

Отзывы на автореферат, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9, диссертационный совет Д 002.086.02.

Автореферат разослан «__»_2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

Пропой А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время методология Анализа Среды Функционирования (на английском языке это название звучит как Data Envelopment Analysis — DEA) находит широкое применение во всем мире для анализа деятельности сложных социальных и экономических систем, таких как отрасли экономики, регионы, крупные компании, банки, торговые центры, муниципальные образования, медицинские и учебные комплексы, университеты и т.д. Основоположниками данной методологии явились американские ученые Бэнкер, Чарнес, Купер и Роудс.

Методология АСФ возникла как обобщение простых коэффициентов деятельности объектов на многомерный случай. В настоящее время методология АСФ охватывает широкий круг задач. Она позволяет строить многомерное множество производственных возможностей, находить оптимальные траектории развития объектов, вычислять важные количественные и качественные характеристики объектов (эластичность, предельные нормы замещения и трансформации, эффект масштаба), моделировать различные ситуащш (изменение структуры объектов, слияния, поглощения и т.д.).

В рамках методологии АСФ существует десятки различных моделей. По сути, подход АСФ представляет собой большой класс моделей, связанных общей методологией. На практике экспертам приходится сталкиваться с проблемой выбора подходящей для расчетов модели методологии АСФ. При этом не существует однозначного правила, по которому можно осуществлять этот выбор.

Также иногда в расчетах стали обнаруживаться странные результаты: некоторые объекты были эффективными, в то время как эксперты считали, что мера эффективности у этих объектов должна быть меньше. Так возникает потребность модификации моделей с целью учета экспертных оценок и мнений. Для учета этих особенностей были предложены модели на основе конусов доминирования. Однако, эти обобщения слишком громоздки и поэтому вызывают затруднения при попытке применить их на практике.

Основной целью работы являются:

1. Систематизация и выявление взаимосвязей между различными классами моделей методологии АСФ.

2. Построение обобщенной модели, которая позволяет описывать основные модели методологии АСФ и позволяет осуществлять модификации моделей в конструктивной форме.

3. Разработка и обоснование математического аппарата, позволяющего осуществлять трансформацию эффективной гиперповерхности в прямом пространстве исходных входных и выходных параметров.

4. Практическая реализация моделей и алгоритмов трансформации эффективной гиперповерхности в виде программного модуля.

Научная новизна. В диссертации проведен критический анализ существующих моделей с конусами доминирования. Предложена и обоснована обобщенная модель методологии АСФ, которая развивает и описывает большое семейство моделей на основе конусов доминирования. В отличии от других моделей, в обобщенной модели множество производственных возможностей модели строится конструктивным образом в интерактивном режиме, что. дает возможность экспертам активно участвовать в построении моделей. Трансформация осуществляется для широкого класса моделей в конструктивной форме с помощью следующих операций: добавление искусственного объекта, добавление искусственного луча. Помимо этого модификация моделей происходит в прямом пространстве параметров, т.е. там где строится множество производственных возможностей. Это дает возможность пользователю добавлять искусственные объекты и лучи прямо на экране компьютера. Для аналитиков и руководителей такой подход является более наглядным и убедительным.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют осуществлять модификацию моделей методологии АСФ в наглядной и понятной форме. Использование конусов доминирования в моделях АСФ требует привлечения тонкого математического аппарата, что может

быть не всегда понятно конкретному лицу принимающему решения, тем более что конусы определяются в двойственном пространстве оценок производственных факторов. Методы, предложенные в данной диссертации позволяют ввести дополнительные объекты или лучи в прямом пространстве параметров. Представить себе эффективную гиперповерхность в многомерном пространстве — это сложная задача даже для теоретиков. Но указать лучшие (или худшие) параметры для конкретного объекта, тем самым указать расположение искусственного объекта в исходном многомерном пространстве — это вполне доступная задача для эксперта.

Практическая ценность работы состоит в реализации предложенного подхода в программной системе «EffiVision», который применяется в управлении сложными техническими и социально-экономическими системами. Программная система «EffiVision» используется для анализа банковской сферы страны Центральным банком РФ, для анализа регионов и крупных муниципальных образований страны Счетной Палатой РФ, в тарифной политике и анализе экологической деятельности РАО «ЮС России» и его смежных предприятий.

Апробация работы и публикации. Результаты работы, изложенные в настоящей диссертации, докладывались на следующих международных конференциях: «4й1 International Symposium of DEA» (5-6 сентября 2004 г., Бирмингем, Великобритания), «The Ninth European Workshop on Efficiency and Productivity Analysis (EWEPA IX)» (29 июня-2 июля 2005 г., Брюссель, Бельгия), «Системный анализ и информационные технологии» (12-16 сентября 2005 г., Переславль-Залесский, Россия), «5а International Symposium on DEA and Performance Management» (5-7 января 2007 г., Хайдарабад, Индия), «22nd European Conference on Operational Research» (8-11 июля 2007 г., Прага, Чехия), «Инновационное развитие и экономический рост» (6-7 ноября 2008 г., Москва, Россия). А также на семинарах кафедры «Нелинейных динамических систем и процессов управления» факультета вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

и на семинарах ИСА РАН. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ [1-11].

По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, на защиту выносятся:

1. Критический анализ существующих моделей с конусами доминирования.

2. Понятие аппроксимации моделей методологии АСФ для выявления взаимосвязей между различными классами моделей.

3. Обобщенная модель методологии АСФ, которая позволяет изменять эффективную гиперповерхность в прямом пространстве входных и выходных параметров.

4. Конструктивный метод трансформации эффективной гиперповерхности в прямом пространстве производственных параметров для адаптации и настройки моделей методологии АСФ.

5. Реализация обобщенной модели методологии АСФ в виде программного модуля, который является частью вычислительного ядра программного комплекса оптимизационного моделирования «ЕйШэюп».

6. Применение разработанных моделей и методов методологии АСФ для анализа эффективности технических, социальных и экономических систем.

Все положения, выносимые на защиту, получены лично автором. Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной для написания работы литературы. Диссертация изложена на 105 страницах, содержит 3 таблицы и 24 рисунка. Список литературы включает 90 источников отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы исследования, определена цель работы, кратко описано содержание работы.

Глава 1. Основные модели методологии АСФ

Первая глава диссертационной работы посвящена обзору основных принципов и моделей методологии АСФ. В ней приводится подробное описание каждой из рассматриваемых моделей, вводятся основные понятия методологии, даются определения таким понятиям как мера эффективности, множество производственных возможностей, эффект масштаба и др.

Рассмотрим множество из п наблюдаемых производственных объектов, деятельность которых необходимо оценить. Пусть каждый объект потребляет т входных продуктов xi,...,xm и производит г выходных продуктов Ух,.... уг. Таким образом, вектор Xj = (xjj,..., xmj) > 0 является вектором входных параметров (затрат), a Yj — (уц,..., yrj) > 0, j = 1,..., п — вектором выходных параметров (выпуска). Предполагается, что каждый объект имеет по крайней мере один положительный вход и один положительный выход.

Первой из моделей АСФ в научной литературе была предложена модель CCR (Chames, Cooper, Rhodes). Данная модель по существу обобщает понятие обычной инженерной эффективности на многомерный случай и записывается в следующем виде.

п

при ограничениях вхь0 — ^ - % = 0, к = 1,..., т,

з=i

п

j=i

Aj >0, j = l,...,n, > 0, к = l,...,m, s+> 0, * = l,...,r.

В методологии АСФ множество производственных возможностей Т определяется как множество таких векторов (X, У), что вектор выпуска У может быть произведен при векторе затрат X, т.е. Т = {(X, У) | выходной вектор У > 0 может быть получен при входном векторе X > 0}.

На основе наблюдаемых векторов У^)> у = 1,..., п, множество производственных возможностей Т для модели ССЯ эмпирически задается следующими постулатами.

Постулат 1 (выпуклость). Если (X,У) е Т и (XУ) б Т, то (АХ + (1 - Л)Х', АУ + (1 - А)Г) £ Т для всех А € [0,1].

Постулат 2 (монотонность). Если (X, У) £ Т и X' > X, У < У, то (Х',У)еТ.

Постулат 3 (постоянный эффект масштаба). Если (X, У) € Т, то

(рХ, рУ) £ Т для любого р > 0.

Постулат 4 (минимальная экстраполяция). Множество Т является пересечением всех множеств Т', удовлетворяющих предыдущим постулатам, при условии, что 6 X" для всех j = 1,...,п.

В алгебраическом виде множество производственных возможностей Т для модели СС11 запишется так:

Тссн = <(Х,У)

Х^'А3 >У, Л,- > 0, 3 = 1,,...А. (2)

3=1 3=1 )

Определение 1. Объект (Х0,У0) е Т является эффективным по входной модели ССК, если в результате решения задачи (1) получено следующее:

1) в* = 1,

для всех оптимальных решений.

Оптимальное значение функционала в* задачи (1) дает меру эффективности для исходного объекта по входной модели ССК. Экономический смысл величины в* состоит в том, что она показывает, какую часть минимально возможные затраты 9*Х0 составляют от реальных затрат продукции Х0, если затраты пропорционально уменьшить в направлении вектора Х0 до границы множества производственных возможностей.

Далее рассматривается модель ВСС (Banker, Chames, Cooper). Модель ВСС также называют моделью с переменным эффектом масштаба, так как при увеличении масштаба производства эффект масштаба меняется от возрастания до убывания.

ш

при ограничениях Е XjXj < вХ0

3=1

У! — у«,

3=1 п

^Х, = 1, А,- > 0, э = 1 ,...,п.

3=1

В алгебраическом виде множество производственных возможностей для модели ВСС (3) запишется как:

Tbcc = <{X,Y)

1 ^ , (4)

j=i J

В первой главе диссертационной работы также рассмотрены модель с убывающим эффектом масштаба FG (Fare, Grosskopf), модель с возрастающим эффектом масштаба ST (Seiford and Thrall) и модель с обобщенным эффектом масштаба GRS (generalized returns-to-scale), которая записывается в следующем виде.

min в

п

при ограничениях ^^XjXj < вХо,

3=1

3=1

п

Xj > 0, j = 1,...,п,

где Ь (0 < Ь < 1) и II (1 < и) являются нижней и верхней границей на сумму переменных Xj >0, j — 1,.,. ,п.

Множество производственных возможностей для модели (5) в аналитическом виде выглядит следующим образом:

{п п

(:к, У) 1>Л < £ >У,Х>О,

3=1 „ 3=1 > (6) а,- > о, з =

3=1 )

Производственный объект для удобства обозначим одной буквой = (X,-, У^) е Ет+Г. Определим отображение множества производственных возможностей Твое (4) модели ВСС:

= \г = р2, Ь<р<и, ЁеТвсс}- (7)

В диссертационной работе доказывается, что множество производственных возможностей Та (6) получается из множества Твсс (4) с помощью отображения (7).

Таким образом, в первой главе для всех моделей дано определение множества производственных возможностей, выписаны постулаты на которых строится это множество и приведены иллюстрации того как выглядит это множество для двумерной модели. Даны определения эффективности, слабой эффективности, эффективности по Парето, показана связь между множеством слабо эффективных по Парето точек и множеством граничных точек в моделях АСФ, а также взаимосвязь между множеством слабо эффективных точек в модели с переменным эффектом масштаба и по Парето.

В работе показывается, что модели определяются формой эффективной гиперповерхности и способом проектирования объекта на эффективную гиперповерхность. Приведенные в диссертации рисунки иллюстрируют вид эффективной гиперповерхности для различных моделей. Следует подчеркнуть, что в общем многомерном случае вид многомерной эффективной гиперповерхности не столь очевиден.

и

С одной стороны разнообразие моделей позволяет пользователю выбрать подходящую модель для настройки. С другой стороны сделать это только на основе теоретических положений достаточно трудно. Поэтому в последующих главах рассмотрены модели, позволяющие учитывать дополнительную информацию в виде экспертных оценок, а также конструктивный метод трансформации эффективного фронта.

Глава 2. Модели АСФ с добавлением экспертных знаний

Во второй главе рассматриваются модели методологии АСФ с добавлением экспертных данных. В этих моделях предполагается, что эксперт должен задать конус в двойственном пространстве, которому должны принадлежать двойственные оценки. Ниже приведена наиболее общая из таких моделей — модель GDEA.

min в

( XX- 9Х0 \ при ограничениях _ £ W*,

\-YX + Y0j (8)

¿1егА + ад!(-1)Чг+1 = 51, Л € -К*, Ап+1 > о, в е Е1, Двойственная оптимизационная задача к задаче (8) запишется в виде:

max {ßTY0 - Sißo) при ограничениях штХ — ¡jFY + ¡xaS\eT е К,

Ло =1, ^

(pew; <Ш-1)^о>о»

ш € Em, ц G Er, [L0 е Е1.

где X = (Хх,... ,Хп) является матрицей размерности ш х п, в которой Xj = (xij,..., xmj) > 0 есть вектор входных параметров (затрат) производственного объекта j; матрица Y = (Тъ ■ • • ,Yn) имеет размерность г х п, в которой Yj = (уц,---,уг}) > 0, j = 1, • ■ •, п, будет вектором выходных параметров (выпуска) объекта j. Переменные A G Еп и An+i € Е1. Параметры

<5ь <$2, ¿з принимают только двоичные значения 0 или 1. Придавая этим параметрам конкретные значения, получим ту или иную модель из множества моделей (8)-(9).

Множество производственных возможностей модели вБЕА записывается в виде:

' ' 7 XX-X

€ У/*, Л € —К*,

-УЛ + У '

Та0ЕА={(Х,У)

6гетА + = <5Ь Л„+1 > О У .

(10)

Однако, эта модель оказалась сложна для использования, поэтому на практике применяются лишь два частных случая этой модели — «Метод конусов гарантированное™» и «Метод конусов отношений».

В методе конусов гарантированности эксперт должен задать ограничения на отношения двойственных оценок на основании данных о рыночных ценах и себестоимости затратных параметров, что бывает достаточно проблематично сделать на практике. Более того, конус строится в двойственном пространстве по отношению к пространству, в котором функционируют объекты, что существенно осложняет задачу. Модель ССЛ с добавлением гарантированных областей запишется в виде:

г

тах У»

и,и ' ¿=1 т

при ограничениях ^ гдаь = 1, к=1

т г

- з ~1>-(П)

*=1 г=1

ш г

^Г, укРк] < 0) X] ~ Э = • ' • ' п'

к=1 г=1

Щ>5, 1 = 1,...,Г, Ук>е, к — 1,... ,т,

где pkj и qy — элементы матриц

/ к,2 «1,2 ¿1,3 «1,3 • .Л '¿1,2 Ul,2 ¿1,3 ^1,3 • •Л

-1 1 0 0 • и Q = -1 1 0 0 •

0 0 -1 1 • 0 0 -1 1 •

V \ ■• /

В методе конусов отношений конус также задается в двойственном пространстве оценок. Модель CCR с добавлением конусов отношений записывается так:

max ßrY0 при ограничениях —штХ + ¡FY < О,

üjtX0 = 1, (12)

шеи,

fzev.

Двойственная оптимизационная задача к задаче (12) запишется в виде:

min в

при ограничениях —XX + 0Хо б —V*,

Y\-Y0e-u*, (13)

А>0.

В статье Брокетта и др. по анализу техасских банков говорится, что эксперты, используя метод конусов отношений, не смогли найти попарные соотношения между двойственными оценками, поэтому было предложено для построения конусов использовать средние двойственные оптимальные решения для некоторых выбранных эффективных банков.

В диссертационной работе показано, что при выборе конуса доминирования на основе средних двойственных оптимальных решений результат трансформации эффективной гиперповерхности сильно зависит от того какие объекты выбраны для вычисления средних двойственных оптимальных решений, а также от того какое именно среднее значение вычисляется. Рисунок 1 показывает, что если строить конус на основе средних двойственных оптимальных

решений для объектов В и Е, то результат изменится незначительно, исходная изокванта АВСПЕР трансформируется в изокванту В'ВСОЕЕ'. Если же для построения конуса выбрать средние двойственные оптимальные решения для объектов С и Д то в результате трансформации получается изокванта С'С ОБ'. В этом случае объекты В и Е становятся неэффективными, мера эффективности по выходу для объектов О и Н уменьшится. Но

AB' С

Рис. 1 — Изокванта по выходным параметрам модели ВСС

на практике эксперт не имеет перед глазами такой картинки, так как конус задается в двойственном пространстве. Все это сильно затрудняет применение метода конусов отношений на практике.

Каждая из рассмотренных во второй главе моделей довольно специфична и разрабатывалась в свое время для конкретной области задач. Попытки сделать общую модель привели к наращиванию как математической, так и вычислительной сложности модели вБЕА.

Более того, в диссертационной работе показано, что модель вБЕА покрывает лишь некоторую часть из всего многообразия моделей АСФ. Рассмотрим аффинное множество 51, образованное объектами Zj, j = 1,... ,п, следующего вида

(14)

S=iz Z = ][> = 1, e E\ j = l,...,i

l j=i j=i )

Обозначим размерность множества S через dim S. Тогда справедлива

следующая теорема.

Теорема 1. Пусть множество S не содержит начало координат и

размерность множества dim S < (т + г). Тогда модель GRS не может быть

описана в рамках модели GDEA. Это означает, что существуют объекты, которые принадлежат множеству Tq (6), но не принадлежат множеству Tgdea (Ю). или, наоборот, существуют объекты из множества Tqdea не принадлежащие множеству Та-

Эта теорема говорит о том, что, при выполнении условий теоремы, существуют объекты, которые принадлежат множеству производственных возможностей модели GRS и не принадлежат множеству производственных возможностей модели GDEA, или, наоборот, существуют объекты из множества производственных возможностей модели GDEA, которые не принадлежат множеству производственных возможностей модели GRS.

По существу введение конусов в моделях АСФ производит трансформацию эффективной гиперповерхности, такая возможность делает модели более гибкими и легко настраиваемыми под конкретные задачи. Однако, конусы строятся в пространстве оценок, двойственном по отношению к пространству, в котором функционируют объекты. И построение таких конусов задача достаточно сложная для аналитиков и руководителей.

В третьей главе предложена обобщенная модель методологии АСФ, которая позволяет изменять эффективную гиперповерхность в прямом пространстве входных и выходных параметров. Эта модель записывается в виде:

Глава 3. Обобщенная модель методологии АСФ

mm

в

п

при ограничениях

п

YjXj + £ Gißi + Y, BkPk > Y„

Ol

(15)

n

J=1 sei

aj > 0, j = 1,... ,71, Hi> 0, i € I, pk> 0, к € j.

Задачу (15) можно рассматривать как модель ВСС (3), в которую добавлены искусственные производственные объекты (Д, С,), г е I и лучи, задаваемые векторами {Аъ, В}.), к € J. Важным достоинством данной модели является то, что искусственные объекты и лучи задаются в прямом пространстве показателей.

Множество производственных возможностей для модели (15) запишется в виде:

X > + Е А/* + ^2АкРк,

з=1 Ш ке.1

п

г < Е+ Е+1]Вьр* + = (16)

3=1 Ш ке.7 3=1 Ш

>4 > о, 3 = 1 ,...,п, № > 0, г € рк> 0, к е

Далее в работе доказывается теорема о взаимосвязи модели СБЕА и обобщенной модели методологии АСФ.

Теорема 2. Пусть конусы в модели (8) являются многогранными выпуклыми конусами. Тогда любая модель из семейства обобщенных моделей (8) может быть представлена в виде (15), или, другими словами, может быть получена из модели ВСС (3) с помощью добавления в нее новых вершин (искусственных производственных объектов) и неотрицательной линейной комбинации векторов (лучей).

Здесь существенным является то, что модель вБЕА (8) можно получить из ВСС модели конструктивным образом с помощью добавления в нее новых искусственных объектов и лучей. Это дает возможность развить конструктивный подход для трансформации эффективной гиперповерхности.

При помощи методов визуализации пользователь в интерактивном режиме прямо на экране компьютера может добавлять в обобщенной модели искусственные объекты и лучи на различных сечениях. Несомненно, такой подход является более удобным с точки зрения практического использования, а также

более наглядным и понятным. В диссертационной работе детально продемонстрированы конструктивные возможности трансформации эффективного фронта на различных типах двумерных сечений эффективной гиперповерхности (рис. 2).

Теоретическую основу для таких практических построений дает понятие аппроксимации одной модели другой моделью методологии АСФ.

Определение 2. Пусть модель Мг содержит все наблюдаемые объекты модели М\. Тогда будем говорить, что модель Мг аппроксимирует модель М\, если меры эффективности всех наблюдаемых объектов Zl,...,Zn по входу и выходу моделей Мг и М2 совпадают, соответственно, для каждого объекта.

Далее в работе доказывается теорема 3, которая говорит о том, что модель из семейства вБЕА может быть приближена некоторой моделью ВСС. То есть, меры эффективности для данного набора объектов в модели ОБЕА и в модели ВСС будут совпадать.

Теорема 3. Пусть модель М принадлежит семейству (8), и при этом начало координат в пространстве входных и выходных параметров не принадлежит множеству производственных возможностей модели М. Тогда для модели М существует некоторая модель ВСС, которая ее аппроксимирует.

Эта теорема дает конструктивный метод, который говорит о том, что, взяв за основу модель ВСС и последовательно добавляя в нее искусственные объекты или лучи, можно получить модель из семейства вБЕА. Поэтому модель ВСС является основной моделью в методологии АСФ, а остальные модели могут быть аппроксимированы с помощью нее.

Рис. 2 — Добавление искусственных лучей на производственной функции (а),

изокванте по входным параметрам (б), изокванте по выходным параметрам (в) и структурной производственной функции (г) в обобщенной модели методологии АСФ

С одной стороны, в работе показывается, что модель GRS можно получить из модели ВСС только с помощью добавления искусственных объектов, поэтому она описывается моделью (15). Как доказано в диссертации, получить модель GRS только за счет введения конусов нельзя, поэтому модель GRS не входит в семейство моделей (8). С другой стороны в работе доказывается теорема о том, что модель GDEA можно получить из модели ВСС. Следовательно,

обобщенная модель методологии АСФ (15) обобщает основные модели, в том числе она является более общей, чем модель вБЕА.

Глава 4. Применение моделей методологии АСФ в анализе деятельности регионов России

В четвертой главе сначала рассказывается о практической реализации обобщенной модели методологии АСФ в программном комплексе оптимизационного моделирования «ЕШУшоп».

Далее рассматривается применение обобщенной модели методологии АСФ и программного комплекса «Ейг^Ушоп» на примере анализа бюджетной эффективности регионов России. Данная работа была проведена совместно со Счетной Палатой РФ, Исследовалась модель, в которой оценивалось влияние на налоговый потенциал субъектов Российской Федерации базовых отраслей экономики и государственных (бюджетных) затрат.

В ходе расчетов обнаружилось, что некоторые о&ьекты являются эффективными, хотя, по мнению экспертов, эти объекты должны иметь меньшую меру эффективности. В результате анализа экспертами в модель были добавлены два искусственных объекта, после этого модель стала полностью корректной.

Рассмотренный в диссертационной работе практический пример показывает применение обобщенной модели методологии АСФ для устранения так называемых «краевых» и «монопольных» эффектов, то есть когда объекты лежат «на краю» эффективного множества и поэтому формально в силу модели АСФ эффективны, но с точки зрения экспертов они не могут быть эффективными. В зарубежных статьях указывается, что причина здесь кроется в том, что в модель не входят некоторые другие параметры. Возможно, в некоторых конкретных случаях это действительно так. Но, скорее существует более весомая причина появления «странных случаев», вытекающая из самого формализма моделей АСФ.

Как показывает опыт расчетов, в первую очередь оказываются «подозрительными», те эффективные объекты, которые являются на графике про-

изводственной функции либо первыми (краевой эффект), либо последними (монопольный эффект). В подобных точках в первую очередь обнаруживается несоответствие между эффективностью по модели АСФ и эффективностью по мнению экспертов. В крайних точках происходит разрыв предельных показателей (односторонних производных), они принимают значения бесконечность или ноль, что неестественно для экономических процессов. По-видимому, «искажения», на краях графиков функций являются причиной «неточностей», присущих моделям методологии АСФ. Введение искусственных объектов и конусов в модели по существу сглаживает эффективную гиперповерхность, тем самым удается получать более адекватные модели и результаты.

В работе предложены алгоритмы для выявления в автоматическом режиме некорректных случаев в моделях методологии АСФ. Для этого необходимо для каждого эффективного объекта дополнительно решить одну оптимизационную задачу. Например, для модели ВСС ориентированной по входу эта задача запишется так:

min в

п

при ограничениях XjXj < 9Х0;

3=1

П

3=1

х>=!>

3=1

\j > 0, j = 1,... ,п, твЕ1.

Идея этого приема состоит в том, что выходной вектор оставляется свободным и ищется минимум в направлении входного вектора. Если при решении этой задачи оптимальное решение в* совпадет с оптимальным решением по модели ВСС, тогда объект (Ха, Y0) считается краевым. Если нет, то объект краевым не является.

Для выявления монопольных объектов в модели ВСС по выходу реша-

ется следующая задача:

тах г}

п

при ограничениях Е^'Л,- < тХ0,

п п

Ад > 0, ¿ = 1,...,п, гбЯ1.

В этой задаче оставляется свободным входной вектор и ищется максимум в направлении выходного вектора. Если при решении этой задачи оптимальное решение г]* совпадет с оптимальным решением по модели ВСС, тогда объект (Х0, У0) считается монопольным. В противном случае объект монопольным не является.

Такой метод позволяет находить объекты, которые лежат «на краю» эффективной гиперповерхности, а также объекты со слабой эффективностью. Важно, что данный прием выявляет подозрительные объекты, их меры эффективности в первую очередь должны быть проверены экспертами на адекватность. Однако это вовсе не означает, что меры эффективности для этих объектов не должны совпадать с экспертной оценкой.

На рисунке 3 представлена блок-схема алгоритма действий пользователя при расчетах с использованием техники искусственных объектов и лучей.

В начале производится расчет эффективностей по модели ВСС. Далее полученные меры эффективности анализируются экспертами на предмет соответствия их представлениям об эффективности того или иного объекта. Среди подозрительных выявляются те объекты, которые лежат «на краю» эффективной гиперповерхности. Их можно выявить как визуально, путем построения различных сечений множества производственных возможностей, так и с использованием алгоритма описанного выше. Далее производится трансформация границы множества производственных возможностей путем добавления

в модель искусственных объектов и/или лучей. Для этого удобно сначала построить сечения эффективного фронта, проходящие через «краевой» объект, а потом в интерактивном режиме на графике сечения добавлять искусственные обьекты/лучи. При этом процесс трансформации поверхности является наглядным и визуально понятным. После внесения всех модификаций производится расчет мер эффективностей по модели с искусственными объектам и лучами. Если после этого результаты не согласуются с мнением экспертов, то вновь строятся сечения, добавляются искусственные объекты и процесс повторяется снова и снова, пока результаты, по мнению экспертов, не станут адекватными. Как показывает практика, для этого достаточно одной-двух итераций.

Таким образом в данной главе разобран практический пример использования обобщенной модели методологии АСФ в практических расчетах на примере задачи

анализа субъектов Российской Федерации по социально-экономическим показателям, рассмотрены причины появления некорректных ситуаций в моделях АСФ и наглядно продемонстрирована последовательность действий для их устранения с использованием обобщенной модели методологии АСФ.

В заключении обсуждаются основные результаты, полученные в работе.

Рис. 3 — Алгоритм действий при расчетах по обобщенной модели методологии АСФ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В данной работе предлагается модель методологии АСФ (15), которая развивает и обобщает модель ОБЕА в том смысле, что с ее помощью можно записать любую модель вида (8). Более того, модель (15) оказывается более общей, чем модель ОВЕА.

Далее, показывается, что ВСС модель аппроксимирует в определенном смысле модель из семейства (8). Кроме того, доказывается, что любую модель вида (8) можно получить из модели ВСС посредством добавления в нее искусственных объектов и лучей. Таким образом, модель ВСС является в некотором роде базисной моделью методологии АСФ, на основе которой строятся другие модели.

Полученные результаты представляют собой не только теоретический интерес, они дают конструктивный метод преобразования эффективной гиперповерхности (множества производственных возможностей) в прямом пространстве производственных параметров, таким образом, преодолевая неточности в моделях.

Подчеркнем, что построить конус в двойственном многомерном пространстве оценок — задача достаточно сложная не только для руководителей и экспертов, но и для математиков. В статье Брокетта и др. по анализу техасских банков говорится, что эксперты не смогли найти попарные соотношения между двойственными оценками. Поэтому для построения конусов использовались средние двойственные оптимальные решения для некоторых эффективных банков. При этом не уточняется какое именно среднее нужно брать и как выбирать эффективные объекты.

В то же время, если имеется инструментарий для визуализации многомерного пространства параметров, то исходя из тех или иных соображений указать на экране компьютера другое возможное или гипотетическое положение объекта в множестве производственных возможностей — задача вполне реальная для руководителя и эксперта.

Предложенный подход реализован в программном комплексе

«ЕС&Ушоп», что дает возможность визуализировать многомерное множество производственных возможностей с помощью построения различных сечений эффективной гиперповерхности и добавлять прямо на экране компьютера искусственные объекты и лучи, тем самым, трансформируя эффективную гиперповерхность в соответствии с обобщенной моделью (15).

В ходе проведенных исследований получены следующие основные результаты:

1. Проведен критический анализ существующих моделей с конусами доминирования и выявлены недостатки и их причины в существующих моделях.

2. Предложена обобщенная модель методологии АСФ, которая позволяет изменять эффективную гиперповерхность в прямом пространстве входных и выходных параметров и доказано, что обобщенная модель содержит все основные модели методологии АСФ, в том числе является более общей, чем модель ОБЕ А.

3. Введено понятие аппроксимации одной модели методологии АСФ другой моделью и доказано, что модель ВСС аппроксимирует основные модели методологии АСФ, обратное утверждение неверно.

4. Предложен конструктивный метод трансформации эффективной гиперповерхности в прямом пространстве производственных параметров для адаптации и настройки моделей методологии АСФ.

5. На основании предложенной обобщенной модели методологии АСФ проведен анализ регионов страны. Проделаны численные эксперименты и наглядно показаны преимущества предложенного подхода в сравнении с традиционными моделями методологии АСФ.

6. Предложенная обобщенная модель методологии АСФ реализована в программном комплексе оптимизационного моделирования «ЕИМзюп».

7. Программный комплекс «ЕйтЛ^юп» внедрен и применяется для анализа социальных, экономических и технических систем в ряде государственных и коммерческих организаций.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кривоножко В.Е., Дворкович А.В., Уткин О.Б., Жарков И.Д., Патрин М.В, Лычев А.В, Вычисление эластичности и эффекта масштаба в анализе эффективности сложных систем //Нелинейная динамика и управление. Вып.З. /Под ред. С.В. Емельянова и С.К. Коровина. — М.: Физматлит, 2005. - С. 315-340.

2. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Сафин М.М., Лычев А.В. Программный комплекс «EffiVision» для анализа деятельности сложных систем //Информационные технологии и вычислительные системы. — 2005. — № 3. - С. 85-95

3. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Сафин М.М., Лычев А.В. Проблемы отображения множеств в анализе эффективности сложных систем //Нелинейная динамика и управление. Вып.5. /Под ред. С.В. Емельянова и С.К. Коровина. — М.: Физматлит, 2007. - С. 285-303

4. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Сафин М.М., Лычев А.В. О трансформации эффективной гиперповерхности в анализе эффективности сложных систем //Дифференциальные уравнения. — 2007. Т.43. — № 8. — С. 11741175.

5. Кривоножко В.Е., Сафин М.М., Лычев А.В., Малинов С.Е. О сравнении различных подходов к оценке деятельности сложных систем //Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т.44. - № 2. - С. 277-278.

6. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Сафин М.М., Лычев А.В. Трансформация эффективной гиперповерхности в анализе эффективности сложных систем //Нелинейная динамика и управление. Вып.6. /Под ред. С.В. Емельянова и С.К. Коровина. — М.: Физматлит, 2008. — С. 279304.

7. Krivonozhko V.E., Utkin О.В., Zharkov I.D., Lychev A.V. and Safin M.M. Constructions of two-dimensions and three-dimensions cross-sections of the multidimensional frontier in DEA and productivity analysis of Russian banks

//4th International Symposium of DEA, Abstracts, Birmingham, September 2004.

8. Krivonozhko V.E., Utkin O.B., Safin M.M., Lychev A.V. Modifications of the algorithms for visualization of the multidimensional frontier in DEA and efficiency analysis of Russian banks //The Ninth European Workshop on Efficiency and Productivity Analysis (EWEPA IX), Brussels, Belgium, June 29-July 2, 2005.

9. Кривоножко B.E., Уткин О.Б., Сафин M.M., Лычев А.В. Анализ деятельности сложных многомерных систем на основе параметрических оптимизационных алгоритмов на примере российских банков //Международная конференция: «Системный анализ и информационные технологии», Переславль-Залесский, 12-16 сентября, 2005.

10. Krivonozhko V.E., Utkin О.В., Safin М.М., Lychev A.V. On the equivalence of the generalized DEA model to the BCC model //5th International Symposium on DEA and Performance Management, Hyderabad, India, January 5-7, 2007.

11. Krivonozhko V.E., Utkin O.B., Safin M.M., Lychev A.V. On the equivalence of the generalized DEA model to the BCC model //22nd European Conference on Operational Research, Prague, Czechia, July 8-11, 2007.

Подписано в печать 08.10.2008 г.

Печать трафаретная

Заказ № 923 Тираж: 100 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Основные модели методологии АСФ

1.1. Модель CCR.

1.2. Модель ВСС.

1.3. Модель FG.

1.4. Модель ST.

1.5. Модель GRS.

1.6. Выводы.

ГЛАВА 2. Модели АСФ с добавлением экспертных знаний

2.1. Метод гарантированных областей.

2.2. Метод конусов отношений.

2.3. Модель GDEA.

2.4. Взаимосвязь модели GDEA и модели GRS.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. Обобщенная модель методологии АСФ

3.1. Определение обобщенной модели методологии АСФ.

3.2. Трансформация эффективного фронта на двумерных сечениях

3.3. Выводы.

ГЛАВА 4. Применение моделей методологии АСФ в анализе деятельности регионов России

4.1. Структура программного комплекса «EffiVision».

4.2. Анализ деятельности регионов России.

4.3. Алгоритм выявления некорректных случаев в моделях методологии АСФ.

4.4. Выводы.

В настоящее время методология Анализа Среды Функционирования (на английском языке это название звучит как Data Envelopment Analysis — DEA [1-3]) находит широкое применение во всем мире для анализа деятельности сложных социальных и экономических систем, таких как отрасли экономики, регионы, крупные компании, банки, торговые центры, муниципальные образования, медицинские и учебные комплексы, университеты и т.д. Число публикаций по данной тематике в международных журналах насчитывает несколько тысяч единиц [4]. Ведущие мировые научные журналы посвящают методологии Анализа Среды Функционирования (АСФ) специальные выпуски.

Методология АСФ основывается на теории и методах оптимизации, выпуклого анализа, математической экономики, системного анализа и компьютерного моделирования. Основы современной теории и методов оптимизации заложены Д.Б. Данцигом [5] и существенно развиты в работах Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Жадана, А.С. Антипина и других отечественных авторов [6-11]. Выпуклому анализу посвящены работы Р.Т. Рокафеллара, X. Никайдо, Б.Н. Пшеничного и др. [12-18] Обзор математических моделей и методов современной экономики можно найти в работах [19-25]. Системному анализу, процессам управления и математическому моделированию посвящены работы С.В. Емельянова, С.К. Коровина, Ю.С. Попкова и др. [26-32] Компьютерное моделирование экономических процессов нашло отражение в работах В.Г. Карманова, А.В. Лотова и др. [33-38]

Методология АСФ возникла как обобщение простых коэффициентов деятельности объектов [39,40] на многомерный случай. В дальнейшем методология получила свое развитие в работах [41-63], которое стало возможным благодаря бурному развитию вычислительной техники и современных вычислительных методов.

В настоящее время методология АСФ охватывает широкий круг задач. Она позволяет строить многомерное множество производственных возможностей, находить оптимальные траектории развития объектов, вычислять важные количественные и качественные характеристики объектов (эластичность, предельные нормы замещения и трансформации, эффект масштаба), моделировать различные ситуации (изменение структуры объектов, слияния, поглощения и т.д.).

Актуальность проблемы. В настоящее время в методологии АСФ существуют десятки различных моделей. Пользователь не всегда ориентируется в таком многообразии моделей АСФ. Поэтому необходимо было произвести некоторую систематизацию, выявить взаимосвязи между различными классами моделей методологии АСФ, выделить основную сущность и принципы, на которых строятся модели. Дать пользователю активно участвовать в построении модели, а не просто в выборе из некоторого набора моделей.

Также иногда в расчетах стали обнаруживаться странные результаты: некоторые объекты были эффективными, в то время как эксперты считали, что мера эффективности у этих объектов должна быть меньше. Так возникает потребность модификации моделей с целью учета экспертных оценок и мнений. Для учета этих особенностей были предложены модели на основе конусов доминирования. Однако, эти обобщения слишком громоздки и поэтому вызывают затруднения при попытке применить их на практике.

Основной целью работы

1. Систематизация и выявление взаимосвязей между различными классами моделей методологии АСФ.

2. Построение обобщенной модели, которая позволяет описывать основные модели методологии АСФ и позволяет осуществлять модификации моделей в конструктивной форме.

3. Разработка и обоснование математического аппарата, позволяющего осуществлять трансформацию эффективной гиперповерхности в прямом пространстве исходных входных и выходных параметров.

4. Практическая реализация моделей и алгоритмов трансформации эффективной гиперповерхности в виде программного модуля.

Научная новизна. В диссертации проведен критический анализ существующих моделей с конусами доминирования. Предложена и обоснована обобщенная модель методологии АСФ, которая развивает и описывает большое семейство моделей на основе конусов доминирования. В отличии от других моделей, в обобщенной модели множество производственных возможностей модели строится конструктивным образом в интерактивном режиме, что дает возможность экспертам активно участвовать в построении моделей. Трансформация осуществляется для широкого класса моделей в конструктивной форме с помощью следующих операций: добавление искусственного объекта, добавление искусственного луча. Помимо этого модификация моделей происходит в прямом пространстве параметров, т.е. там где строится множество производственных возможностей. Это дает возможность пользователю добавлять искусственные объекты и лучи прямо на экране компьютера. Таким образом происходит адаптация и настройка широкого класса моделей методологии АСФ. Для аналитиков и руководителей такой подход является более наглядным и убедительным.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют осуществлять модификацию моделей методологии АСФ в наглядной и понятной форме. Использование конусов доминирования в моделях АСФ требует привлечения тонкого математического аппарата, что может быть не всегда понятно конкретному лицу принимающему решения, тем более что конусы определяются в двойственном пространстве оценок производственных факторов. Методы, предложенные в данной диссертации позволяют ввести дополнительные объекты или лучи в прямом пространстве параметров. Представить себе эффективную гиперповерхность в многомерном пространстве — это сложная задача даже для теоретиков. Но указать лучшие (или худшие) параметры для конкретного объекта, тем самым указать расположение искусственного объекта в исходном многомерном пространстве — это вполне доступная задача для эксперта.

Практическая ценность работы состоит в реализации предложенного метода в программной системе «EffiVision», который применяется в управлении сложными техническими и социально-экономическими системами. Программная система «EffiVision» используется для анализа банковской сферы страны Центральным банком РФ, для анализа регионов и крупных муниципальных образований страны Счетной Палатой РФ, в тарифной политике и анализе экологической деятельности РАО «ЕЭС России» и его смежных предприятий.

Апробация работы и публикации. Результаты работы, изложенные в настоящей диссертации докладывались на следующих международных конференциях: «4th International Symposium of DEA» (5-6 сентября 2004 г., Бирмингем, Великобритания), «The Ninth European Workshop on Efficiency and Productivity Analysis (EWEPA IX)» (29 июня-2 июля 2005 г., Брюссель, Бельгия), «Системный анализ и информационные технологии» (12-16 сентября 2005 г., Переславль-Залесский, Россия), «5th International Symposium on DEA and Performance Management» (5-7 января 2007 г., Хайдарабад, Индия), «22nd European Conference on Operational Research» (8-11 июля 2007 г., Прага, Чехия), «Инновационное развитие и экономический рост» (6-7 ноября 2008 г., Москва, Россия). А также на семинарах кафедры «Нелинейных динамических систем и процессов управления» факультета вычислительной математики и кибернетики Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова и на семинарах ИСА РАН. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ [64-75].

Первая глава диссертационной работы посвящена обзору основных принципов и моделей методологии АСФ. В ней приводится подробное описание каждой из рассматриваемых моделей, вводятся основные понятия методологии, даются определения таким понятиям как мера эффективности, множество производственных возможностей, эффект масштаба и др. Для всех моделей дано определение множества производственных возможностей, выписаны постулаты на которых строится это множество и приведены иллюстрации того как выглядит это множество для двумерной модели. Доказывается, что модель GRS может быть получена из модели ВСС путем с помощью добавления искусственных производственных объектов.

Во второй главе рассматриваются наиболее распространенные модели методологии АСФ с добавлением экспертных данных, такие как модель с конусами гарантированности [61-63], модель с конусами отношений [58-60] и модель GDEA [76]. Особенность этих моделей состоит в том, что в них присутствуют ограничения на множество значений, которые могут принимать двойственные оценки. Показаны условия применения и недостатки данного подхода.

В третьей главе предложена обобщенная модель методологии АСФ, которая позволяет изменять эффективную гиперповерхность в прямом пространстве входных и выходных параметров. Вводится понятие аппроксимации од-\НОЙ модели методологии АСФ другой моделью. Обосновывается и доказывается, что обобщенная модель методологии АСФ содержит все основные \ модели АСФ, в том числе является более общей, чем модель GDEA [76]. Это позволяет развить конструктивный подход для трансформации эффективной гиперповерхности. Возможности трансформации продемонстрированы на различных сечениях эффективной гиперповерхности.

В четвертой главе показывается применение предложенного подхода к анализу деятельности регионов России. Изучено появление некорректных случаев в моделях методологии АСФ, предложены методы обнаружения и алгоритмы их устранения. Обобщенная модель методологии АСФ реализована и является частью программной системы «EffiVision» [65,77]. Программная система позволяет в реальном масштабе времени производить соответствующие расчеты для работы аналитика в интерактивном режиме.

По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, на защиту выносятся:

1. Критический анализ существующих моделей с конусами доминирования.

2. Понятие аппроксимации моделей методологии АСФ для выявления взаимосвязей между различными классами моделей.

3. Обобщенная модель методологии АСФ, которая позволяет изменять эффективную гиперповерхность в прямом пространстве входных и выходных параметров.

4. Конструктивный метод трансформации эффективной гиперповерхности в прямом пространстве производственных параметров для адаптации и настройки моделей методологии АСФ.

5. Реализация обобщенной модели методологии АСФ в виде программного модуля, который является частью вычислительного ядра программного комплекса оптимизационного моделирования «ЕШМбюп».

6. Применение разработанных моделей и методов методологии АСФ для анализа эффективности технических, социальных и экономических систем.

Все положения, выносимые на защиту, получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной для написания работы литературы. Диссертация изложена на 105 страницах, содержит 3 таблицы и 24 рисунка. Список литературы включает 90 источников отечественных и зарубежных авторов.

Основные выводы и результаты работы:

1. Проведен критический анализ существующих моделей в конусами доминирования и выявлены недостатки и их причины в существующих* моделях.

2. Предложена обобщенная модель методологии АСФ, которая позволяет изменять эффективную гиперповерхность в прямом пространстве входных и выходных параметров и доказано, что обобщенная модель содержит все основные модели методологии АСФ, в том числе является более общей, чем модель ОБЕА.

3. Введено понятие аппроксимации одной модели методологии АСФ другой моделью и доказано, что модель ВСС аппроксимирует основные модели методологии АСФ, обратное утверждение неверно.

4. Предложен конструктивный метод трансформации эффективной гиперповерхности в прямом пространстве производственных параметров для адаптации и настройки моделей методологии АСФ.

5. На основании предложенной обобщенной модели методологии АСФ проведен анализ регионов страны. Проведены численные эксперименты и наглядно показаны преимущества предложенной модели в сравнении с традиционными моделями методологии АСФ.

6. Предложенная обобщенная модель методологии АСФ реализована в программном комплексе оптимизационного моделирования «ЕШЛ^юп».

7. Программный комплекс «ЕйГ^бюп» внедрен и применяется для анализа социальных, экономических и технических систем в ряде государственных и коммерческих организаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе предлагается модель методологии АСФ (3.3), которая развивает и обобщает семейство моделей GDEA в том смысле, что с ее помощью можно записать любую модель из семейства (2.9). Более того, модель (3.3) оказывается более общей, чем модель GDEA. Действительно, в работе показывается, что модель GRS можно получить из модели ВСС только с помощью добавления искусственных объектов, поэтому она описывается моделью (3.3). Как доказывается в диссертации, получить модель GRS только за счет введения конусов нельзя, поэтому эта модель не входит в семейство моделей (2.9).

Далее, показывается, что ВСС модель аппроксимирует в определенном смысле модель из семейства (2.9). Кроме того, доказывается, что любую модель вида (2.9) можно получить из модели ВСС посредством добавления в нее искусственных объектов и лучей. Таким образом, модель ВСС является в некотором роде базисной моделью методологии АСФ, на основе которой', строятся другие модели.

Полученные результаты представляют собой не только теоретический интерес, они дают конструктивный метод преобразования эффективной гиперповерхности (множества производственных возможностей) в прямом пространстве производственных параметров, таким образом, преодолевая неточности в моделях.

Подчеркнем, что построить конус в двойственном многомерном пространстве оценок — задача достаточно сложная не только для руководителей и экспертов, но и для математиков. В статье [60] по анализу техасских банков говорится, что эксперты не смогли найти попарные соотношения между двойственными оценками. Поэтому для построения конусов использовались двойственные оптимальные решения для некоторых эффективных банков, но для каждого эффективного банка имеется много оптимальных двойственных решений, целое множество. В книге [3] уточняется, что берется некоторое среднее двойственное решение для каждого эффективного банка, но опять-таки непонятно: какое среднее?

В то же время, если имеется инструментарий для визуализации многомерного пространства параметров, то исходя из тех или иных соображений указать на экране компьютера другое возможное или гипотетическое положение объекта в множестве производственных возможностей — задача вполне реальная для руководителя и эксперта.

Предложенный нами подход, реализованный в программном комплексе «ЕАШбюп» [65, 77], дает возможность визуализировать многомерное множество производственных возможностей с помощью построения различных сечений, которые определяют экономические функции, эффективной гиперповерхности, добавлять прямо на экране компьютера искусственные объекты и лучи, тем самым, трансформируя эффективную гиперповерхность в соответствии с общей моделью (3.3).

1. Charnes A., Cooper W.W., Rhodes Е. Measuring of efficiency of decision making units //European Journal of Operational Research. — 1978. — V. 2, № 6. P. 429-444.

2. Banker R.D., Charnes A., Cooper W.W. Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis //Management Science. 1984. - V. 30, № 9. - P. 1078-1092.

3. Cooper W.W., Seiford L.M., Tone K. Data Envelopment Analysis. — Boston: Kluwer Academic Publishers, 2000.

4. Gattoufia S., Oralb M., Reismana A. Data envelopment analysis literature: a bibliography update (1951-2001) //Socio-Economic Planning Sciences. — 2004. V. 38, № 2-3. - P. 159-229.

5. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применение. — М.: Прогресс, 1966.

6. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука, 1982.

7. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Численные методы оптимизации — М.: Наука, 2005.

8. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982.

9. Бирюков С.И. Методы оптимизации. — М.: МФТИ, 1991.

10. Юдин Д.Б., Голыитейн Е.Г. Линейное программирование. — М.: Наука, 1969.

11. Антипин А.С. Минимизация выпуклых функций на выпуклых множествах с помощью дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения. 1994. - Т.30, № 9. - С. 1475-1486

12. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ /Пер. с англ. — М.: Мир, 1973.

13. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. — М.: Мир, 1972.

14. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. — М.: Наука, 1975.

15. Энкланд И., Теман Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. — М.: Наука, 1979.

16. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. — М.: Наука, 1972.

17. Иоффе А.Д. Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1975.

18. Зуховицкий С.И. Нелинейное и выпуклое программирование. — М.: Наука, 1967.

19. Карлин С. Математические методы в теории игр программировании и экономике. — М.: МИР, 1964.

20. Ланкастер К. Математическая экономика. — М.: Советское радио, 1972.

21. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Современный подход. — М.: Юнити, 1977.

22. Иванилов Ю.П., Лотов A.B. Математические модели в экономике. — М.: Наука, 1979.

23. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. Том 1, 2. — М.: Высшая школа экономики, 1997.

24. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. — 3-е доп. изд. — М.: Дело, 2004.

25. Токарев В.В., Хазанова Л.Э. Методы и модели управления материальными потоками. Учебник. — М.: БЕК, 2003.

26. Емельянов C.B., Калашников В.В. Исследование сложных систем с помощью моделирования. — В кн.: Техническая кибернетика. — М., 1981. — Т. 14, С. 158-209.

27. Бобылев H.A., Емельянов C.B., Коровин C.K Геометрические методы в вариационных задачах. — М.: Издательство Магистр, 1998.

28. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. — М.: Наука, 1978.

29. Попков Ю.С. Теория макросистем (равновесные модели). — М.: УРСС, 1999.

30. Лэсдон JI.C. Оптимизация больших систем. — М.: Наука, 1975.

31. Вагнер Г. Основы исследования операций. 1,11,III тома. — М.: Мир, 1972.

32. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. — М.: 1988.

33. Мину М. Математическое программирование: теория и алгоритмы. — М.: Наука, 1990.

34. Карманов В.Г. Математическое программирование. — М.: Наука, 1975.

35. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. — М.: Мир, 1991.

36. Васильев Ф.П. Численные методы решения задач экстремальных задач. — М.: Наука, 1980.

37. Бушенков В.А., Лотов A.B. Методы и алгоритмы анализа линейных систем на основе построения обобщенных множеств достижимости //Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1980. Т. 20, № 5. - С. 1130-1141.

38. Лотов A.B. Введение в экономико-математическое моделирование. — М.: Наука, 1984.

39. Panzar J.C., Willig R.D. Eonomics of scale in multi-output production: //The Quarterly Journal of Economics. 1977. — V. XCI, № 3. - P. 481-493.

40. Starrett D.A. Measuring returns to scale in the aggregate, and scale effect of public goods //Econometrica. 1977. - V. 45, № 6. - P. 1439-1455.

41. Berger A.N. and Humphrey D.B. Efficiency of financial institutions: International survey and directions for future research //European Journal of Operational Research. 1997. - V. 98, № 2. - P. 175-212.

42. Charnes A., Haag S., Jaska P. and Semple J. Sensitivity of efficiency classifications in the additive model of data envelopment analysis //International Journal of Systems Science. 1992. - V. 23, № 5. — P. 789798.

43. Charnes A., Cooper W.W. and Thrall R.M. A structure for classifying and characterizing efficiencies and inefficiencies in data envelopment analysis //Operation Research Letters. 1986. - V. 5, № 3. - P. 105-110.

44. Oral M. and Yolalan R. An empirical study on measuring operating efficiency and profitability of bank branches //European Journal of Operational Research. 1990. - V. 46, № 3. - P. 282-294.

45. Shaffhit C., Rosen D. And Paradi J.C. Best practice analysis of bank branches: An application of DEA in a large Canadian Bank //European Journal of Operational Research. 1997. - V. 98, № 2. - P. 270-290.

46. Seiford L.H. and Trail R.M. Recent developments in DEA: The mathematical programming approach to frontier analysis //Journal of Econometrics. — 1990. V. 46, № 1-2. - P. 7-38.

47. Banker R.D. Estimating most productive scale size using data envelopment analysis //European Journal of Operational Research. — 1984. — V. 17, № 1. — P. 35-44.

48. Dula J.H. Equivalences between Data Envelopment Analysis and the theory of redundancy //European Journal of Operational Research. — 1997. — V. 101, № 1. p. 51-64.

49. Susan X.L. Stochastic models and variable returns to scales in data envelopment analysis //European Journal of Operational Research. — 1998. — V. 104. № 3. - P. 532-548.

50. Chames A. And Cooper W.W. The non-Archimedean CCR ratio for efficiency analysis: A rejoinder to Boyd and Fare //European Journal of Operational Research. 1984. - V. 15, № 3. - P. 333-334.

51. Boyd G. and Fare R. Measuring the efficiency of decision making units: A comment //European Journal of Operational Research. — 1984. — V. 15, № 3. P. 330-332.

52. Thrall R.M. Duality classifications and slacks in DEA in WW. Cooper, R.G. Thompson and R.M. Thrall, eds., Extensions and New Developments in DEA //Annals of Operations Research. 1996. - V. 66, № 1. — P. 109-162.

53. Charnes A., Cooper W.W., Lewin A.Y. and Seiford L.M. Data Envelopment Analysis: Theory, Methodology, Applications. — Boston: Kluwer Academic Publishers, 1995.

54. Charnes A. Rousseau J., and Semple J. An effective non-Archimedean anti-degeneracy/cycling linear programming method especially for Data Envelopment Analyses and like models //Annals of Operations Research. — 1993. V. 46-47, № 2. - P. 271-278.

55. Banker R.D., Chang H. and Cooper W.W. Equivalence and implementation of alternative methods for determining returns to scale in data envelopment analysis //European Journal of Operational Research. — 1996. — V. 89, № 3. — P. 473-481.

56. Banker R.D., Bardhan I. and Cooper W.W A note on returns to scale in DEA //European Journal of Operational Research. — 1996. — V. 88, № 3. — P. 583-585.

57. Charnes A., Cooper W.W., Wei Q.L. and Huang Z.M. Cone ratio data envelopment analysis and multi-objective programming //International Journal of Systems Science. 1989. - V. 20, № 7. - P. 1099-1118.

58. Charnes A., Cooper W.W., Huang Z.M., Sun D.B. Polyhedral Cone-Ratio DEA Models with an Illustrative Application to Large Commercial Banks //Journal of Econometrics. 1990. - V. 46, № 1-2. - P. 73-91.

59. Brockett P.L., Charnes A., Cooper W.W., Huang Z.M., Sun D.B. Data transformations in DEA cone ratio envelopment approaches for monitoring bank performance //European Journal of Operational Research. — 1997. — V. 98, № 2. P. 250-268.

60. Thompson R.G., Langemeier L., Lee C-T., Lee E., Thrall R.M. The role of multiplier bounds in efficiency analysis with an application to Kansas farming //Journal of Econometrics. 1990. - V. 46, № 1-2. - P. 93-108!

61. Taylor W.M., Thompson R.G., Thrall R.M., Dharmapala P.S. DEA/AR efficiency and profitability of Mexican banks. A total income model //European Journal of Operational Research. — 1997. — V. 98, № 2. — P. 346363.

62. Thompson R.G., Brinkman E.S., Dharmapala P.S., Gonzalez-Lima M.D., Thrall R.M. DEA/AR profit rations and sensitivity of 100 large U.S. banks //European Journal of Operational Research. — 1997. — V. 98, № 2. — P. 213229.

63. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Сафин М.М., Лычев А.В. Программный комплекс «EffiVision» для анализа деятельности сложных систем

64. Информационные технологии и вычислительные системы. — 2005. — № 3. С. 85-95.

65. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Сафин М.М., Лычев А.В. Проблемы отображения множеств в анализе эффективности сложных систем //Нелинейная динамика и управление. Вып.5. /Под ред. С.В. Емельянова и С.К. Коровина. М.: Физматлит, 2007. — С. 285-303.

66. Кривоножко В.Е., Уткин О.Б., Сафин М.М., Лычев А.В. О трансформации эффективной гиперповерхности в анализе эффективности сложных систем //Дифференциальные уравнения. — 2007. Т.43, № 8. — С. 1174— 1175.

67. Кривоножко В.Е., Сафин М.М., Лычев А.В., Малинов С.Е. О сравнении различных подходов к оценке деятельности сложных систем //Дифференциальные уравнения. — 2008. — Т.44, № 2. С. 277-278.

68. Krivonozhko V.E., Utkin О.В., Safin М.М., Lychev A.V. On the equivalence of the generalized DEA model to the BCC model //5th International Symposium on DEA and Performance Management, Hyderabad, India, January 5-7, 2007.

69. Krivonozhko V.E., Utkin O.B., Safin M.M., Lychev A.V. On the equivalence of the generalized DEA model to the BCC model //22nd European Conference on Operational Research, Prague, Czechia, July 8-11, 2007.

70. Yu G., Wei Q., and Brockett P. A generalized data envelopment analysis model: a unification and extension of existing methods for efficiency analysis of decision making units //Annals of Operations Research. — 1996. — V. 66, № 1. P. 47-89.

71. Зубарева В.Д. (ред.) Управление финансами предприятий нефтегазовой промышленности. — М.: Государственная академия нефти и газа им. И.М. Губкина, 1998.

72. Фетисов Г.Г. Устойчивость коммерческого банка и рейтинговые системы ее оценки. — М.: Финансы и статистика, 1999.

73. Krivonozhko V.E., Utkin О.В., Volodin A.V., Sablin I.A. About the structure of boundary points in DEA //Journal of the Operational Research Society. — 2005. V. 56, № 12. - P. 1373-1378.

74. Pareto V. Manuel d'économie politique, deuxieme edition. — Paris: Marcel Giard, 1927.

75. Forsund F.R., Hjalmarsson L., Krivonozhko V.E., Utkin O.B. Calculation of scale elasticities in DEA models: direct and indirect approaches //Journal of Productivity Analysis. 2007. - V. 28, № 1-2. - P. 45-56.

76. Adler N., Friedman L., Sinuany-Stern Z. Review of ranking methods in the data envelopment analysis context //European Journal of Operational Research. 2002. - V. 140, № 2. - P. 249-265.

77. Yu P.L. Cone Convexity, Cone Extreme Points, and Nondominated Solutions in Decision Problems with Multiobjectives //Journal of Optimization Theory and Applications. 1974. - V. 14, № 3. - P. 319-377.

78. Roll Y., Cook W.D., Golany B. Controlling factor weights in Data Envelopment Analysis //HE Transactions. — 1991. — V. 23, № 1. — P. 29.

79. Farrell M.J. The measurement of productive efficiency //Journal of the Royal Statistical Society. 1957. - Series A. - V. 120, Part 3. - P. 253-281.

80. Kuhn H.W. and Tucker A.W. (eds.) Linear Inequalities and Related Systems. — Princeton: Princeton University Press, 1956.

81. Shepard R.W. Theory of cost and production functions. — New Jersey: Princeton University Press, 1970.