автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка топологического метода моделирования многосвязных объектов управления

РГБ ОЛ

- 8 ИЮН

На правах рукописи

Шахова Елена Юрьевна

Разработка топологического метода моделирования многосвязных объектов управления

05.13.01 —управление в технических системах

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Братск — 1998

Работа выполнена в Братском индустриальном институте Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Мартыненко Олег Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Володин Виктор Михайлович кандидат технических наук, доцент Попик Виталий Александрович

Ведущая организация: Ангарское опьггно-конструкторское бюро автоматизации 665821 г. Ангарск Иркутской области, а/я 423

Защита состоится 26 мая 1998 года в 10 часов на заседании диссертационного совета К 064.93.01 при Братском индустриальном институте по адресу: г. Братск Иркутской обл., ул. Макаренко, 40, БрИИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Братского индустриального института.

Автореферат разослан апреля 1998 г.

Учёный секретарь к. ф.-м. н., доцент

Белокобыльский Сергей Владимирович

1. Общая характеристика диссертационной работы.

1.1. Актуальность темы.

С увеличением масштабов хозяйственной деятельности антропогенное юздействие на атмосферу в последние несколько десятков лет существенно усилилось, прежде всего на региональном и локальном уровнях. В настоящее время зстро встаёт вопрос охраны воздушного бассейна в городах и районах с большой шотностью техногенной застройки.

Иркутская область входит в зону высокого и опасного потенциала загрязнения атмосферы, что связано с антициклическим типом погоды, низкими природными /словиями самоочищения приземного слоя, низкими температурными и другими неблагоприятными метеорологическими условиями.

Важным аспектом экологической обстановки в области является отрицательное влияние аэрозольного, газового и теплового загрязнения атмосферы на качество воздуха, метеорологический режим и микроклимат городов и окружающих районов, что в конечном итоге привело к появлению на территории области зон чрезвычайной экологической ситуации. Несмотря на тенденцию к снижению количества выбрасываемых вредных веществ промышленными предприятиями, уровень загрязнённости атмосферы остаётся высоким. Загрязнение атмосферы во многих городах области достигает критического уровня (Ангарск, Братск, Усолье-Сибирское, Усть-Илимск, Шелехов, Иркутск).

Высокий уровень концентрации промышленных объектов на незначительной территории привёл к тому, что в настоящее время на территории области образовались большие пространства загрязнённых территорий, характеризующихся значительным превышением норм — от 2 до 10 ПДК и выше. Следует учесть, что загрязнённые территории сосредоточены вокруг промышленных объектов, где проживает основное население области. Для Иркутской области характерна крайне неравномерная плотность населения, сосредоточенного в основном в промышленных центрах. Неблагоприятная экологическая обстановка в первую очередь отражается на состоянии здоровья населения как интегральном показателе социально-экономической обстановки.

Сложившаяся экологическая ситуация в Иркутской области и, в частности, в г. Братске потребовала принятия срочных мер. Постановлением Правительства РФ от 23 апреля 1994 г. М9 376 одобрена "Федеральная целевая программа неотложных мер по улучшению состояния окружающей среды, санитарно-эпидемиологической обстановки и здоровья населения г. Братска".

Существенное улучшение состояния экологической обстановки в области возможно лишь при решении комплекса научных проблем. Научно организованная система контроля над окружающей средой включает три блока: наблюдение за состоянием среды, определение возможных изменений и мероприятия пс управлению окружающей средой. Данная концепция базируется на разработке математических моделей рассматриваемых объектов, что позволяет выявить наблюдаемые и регистрируемые величины, разработать алгоритмы управления и стабилизации обстановки.

Как показал анализ литературы, в последнее время обнаружились довольно ограниченные возможности существующего аппарата науки в изучении подобных объектов. Основной причиной является отсутствие надлежащего теоретического и методологического аппарата исследования сложных природных систем. Избыточная сложность структурно-функциональной и динамической организации природных систем существенно затрудняет практический анализ их состояния, жизнеспособности, резервных возможностей и реабилитационных перспектив.

Для построения и анализа сложных систем в последние 30 лет появилось и активно развивается такое направление, как технология системного моделирования. Данное направление охватывает не только методику построения моделей сложных систем независимо от их природы, но и ориентировано на машинную реализацию моделей систем.

Основная форма математических моделей, используемая для моделирования процессов в атмосфере — модели в виде дифференциальных уравнений. Математические методы, используемые для получения характеристик состояния атмосферы, в том числе и экологического состояния, в основном сводятся к численному решению систем дифференциальных уравнений и статистическим методам обработки данных. Однако математическая модель в виде системы дифференциальных уравнений может эффективно применяться только при моделировании сравнительно простых объектов. Это связано не только с тем, что данная модель относится к неалгоритмическим моделям и, соответственно, вызывает комплекс вычислительных проблем при цифровом моделировании, но и с недостатками подобной формы математического описания для моделирования сложных многосвязных объектов.

В описании модели сложной системы выделяются две составляющие: одна относится к описанию структуры модели, другая — к описанию функционирования

отдельных элементов. Дифференциальные уравнения в основном касаются описания динамики элементов, плохо отражая структурные взаимодействия.

Большое количество составляющих элементов различной природы, сложная структурная и динамическая организация исходного объекта диктуют необходимость разработки строгой формализованной методики моделирования, ориентированной на машинную реализацию всего процесса моделирования, включая этапы построения, преобразования и исследования модели.

1.2. Цель диссертационной работы:

Разработка и обоснование метода моделирования сложных многосвязных объектов различной природы, основу которого составляет единый методологический подход — представление модели объекта в виде топологической структурно-функциональной модели.

Разрабатываемая методика должна быть ориентирована на машинную реализацию процесса моделирования на всей этапах построения и исследования модели. Подбор программного обеспечения, комплекс разрабатываемых программ моделирования и организация вычислительного процесса должны обеспечивать приемлемые требования к вычислительным ресурсам ЭВМ, а также обеспечивать наглядность задания и представления исходной и текущей информации процесса исследования.

Провес™ исследования возможностей и эффективности разработанного метода для построения и анализа модели экологического состояния воздушного бассейна промышленной зоны города.

1.3. Методы исследования.

При разработке метода моделирования сложных объектов использовались методы теории систем управления, методы теории графов, теории множеств, матричного исчисления, методы алгебры моделей, методы регрессионного анализа.

Разработанная методика реализована в виде комплекса программ для :истемы аналитических вычислений REDUCE (версия 3.2).

1.4. Научная новизна работы состоит в следующем:

- модель природной экосистемы предлагается рассматривать как модель системы управления;

- на основании данного подхода разработан формализованный метод идентификации, состоящий из последовательных этапов построения модели: сигнальный граф — структурная схема — С-граф — матричная модель — аналитические модели выбранных параметров;

- методика моделирования реализована в виде комплекса программ для нетрадиционного программного обеспечения — системы аналитических вычислений; организация вычислительного процесса в виде независимых файлов, управляемых головными модулями, позволяет снизить требования к вычислительным ресурсам ЭВМ, обеспечить наглядность задания и представления исходной и текущей информации процесса исследования и полученных результатов.

Решены частные вопросы, возникающие при реализации данного метода: выведены формулы определения размерности матриц по характеристикам соответствующего С-графа; определена возможность и методика понижения порядка матричного уравнения, а также определены границы понижения порядка матричного уравнения в зависимости от класса операторов модели; разработана и реализована на ЭВМ методика получения отдельных аналитических зависимостей для контролируемых параметров модели.

1.5. Практическая ценность.

Предложенный метод моделирования многосвязных объектов применим для исследования объектов любой физической природы; разработанная методика может эффективно применяться при исследовании объектов значительной размерности; методы понижения размерности матричного уравнения и методика получения аналитических зависимостей предоставляют широкие возможности для исследования свойств объекта при существенной неопределённости параметров.

Исследования автора выполнялись в рамках госбюджетной тематики "Топологические методы идентификации и синтеза систем управления многосвязными объектами" (КОД ГАСНТИ 10В02), выполняемой в Братскм индустриальном институте по направлению 'Теория, методы и средства автоматизации систем переработки информации и управления".

Результаты работы являются теоретической основой при решении задач экологической безопасности г. Братска, проводимых согласно постановлению Правительства РФ от 23 апреля 1994 г. № 376 "Федеральная целевая программа неотложных мер по улучшению состояния окружающей среды, санитарно-эпидемиологической обстановки и здоровья населения г. Братска".

Теоретические исследования и практические результаты, полученные при разработке предлагаемой методики, использованы при подготовке и чтении курсов "Моделирование и оптимизация", "Основы САПР" в Братском индустриальном

институте на кафедрах САПР и ЛИД, а также использовались в курсовом проектировании.

1.6. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-технических конференциях Братского индустриального института (13 научно-техническая конференция — Братск, 1992; 14— Братск, 1993; 18 — Братск, 1997; 19 — Братск, 1998).

Выполняемые на базе Братского индустриального института научные разработки, связанные с практическими приложениями предлагаемой методики по управлению экологическим состоянием воздушного бассейна, экспонировались на выставках: 4-й международной универсальной выставке-ярмарке (Братск, 13-16 февраля 1996); выставке-ярмарке "Наука, образование и новые технологии" (Иркутск, 10-13 апреля 1996); Братской универсальной ярмарке (Братск, 16-21 декабря 1997). За рубежом: в составе экспозиции БрИИ — "Разработка методов управления воздушных бассейнов промышленных зон городов" — Англия, апрель 1994; в составе экспозиции Иркутской области — "Организация экологического мониторинга в зонах промышленных выбросов (система управления экологическим состоянием воздушного бассейна промышленных городов)" — г. Сеул (Корея), декабрь 1994.

1.7. Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи, 5 тезисов докладов.

1.8. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глаз, заключения, списка литературы и трёх приложений. Объём диссертации составляет 147 страниц основного текста, 33 рисунка, 11 таблиц. Список литературы содержит 42 наименования.

2. Содержание работы.

2.1. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и основные задачи исследований, определена научная и практическая ценность работы, её новизна, перспективы применения.

2.2. Первая глава посвящена общей характеристике объекта исследования и постановке задачи: анализу состояния исследований таких сложных объектов, как природные системы, к которым относится атмосфера; характеристике экологического состояния атмосферного воздуха в промышленных зонах городов на примере городов Иркутской области; анализу существующих методов

моделирования сложных объектов. На основании проведённого анализа формулируются основные задачи диссертационной работы.

В ходе подготовки диссертационной работы с целью анализа современного состояния вопроса изучения такой сложной системы, какой является атмосфера, применяемых математических моделей и методов решения была проведена выборка научных работ за период 1990-1995 г.г. Результаты анализа приведены в разделе 1.1 настоящей диссертационной работы. На основании данных работ и анализа литературы сделан вывод о том, что в настоящее время ощущается недостаток хорошо разработанной методологической и теоретической базы исследования сложных природных систем. Для моделирования подобных систем требуется соответствующий метод, учитывающий высокую степень структурно-функциональной сложности объекта.

В разделе 1.2 даётся характеристика экологической обстановки в Иркутской области как объекта исследований.

Приведённый в разделе 1.3 краткий обзор существующих математических моделей, форм их представления и методов получения характеристик объекта на основании математической модели показал их ограниченность для сложных многосвязных систем, определённую характером функционирования объекта и требованиями к качеству модели.

В заключение главы сформулированы основные задачи, которые решаются в диссертационной работе.

2.3. Во второй главе изложены теоретические основы топологического метода моделирования объектов.

Поведение сложной системы во многом определяется самой структурой системы. При моделировании сложных объектов, особенно объектов не полностью определённых, т. е. когда отсутствует информация о некоторых параметрах или о характере связей между ними, аппарат теории графов является основным, позволяющим наглядно описать структуру системы.

Рассмотрены общие свойства графов и связь этих свойств со структурой исследуемого объекта. Описаны три способа представления графа — аналитическое, геометрическое и матричное; показана их эквивалентность.

Рассматриваемая в настоящей работе система — атмосфера — по ряду признаков относится к многоконтурным многосвязным системам управления. Проанализированы различные формы математических моделей подобных систем: модель в виде системы дифференциальных или разностных уравнений различных

порядков; модель, представленная системой уравнений, приведённых к обобщённой нормальной форме; графическое отображение структуры системы — структурная схема. Кратко проанализированы достоинства и недостатки каждой формы описания для отображения структурных и динамических свойств объекта.

В математических моделях сложных систем следует использовать информацию о структуре объекта, так как именно структура во многом определяет характер функционирования исходного объекта. Структурные схемы можно рассматривать как топологические объекты; однако в математическом отношении они менее совершенны, чем графы.

Сигнальный граф позволяет описать структуру системы без конкретизации характера операторов. Это свойство даёт возможность использовать сигнальный граф на первоначальном этапе моделирования в качестве графического представления структуры объекта.

Сигнальный граф и структурная схема изоморфны по отношению друг к другу; данные графические объекты являются взаимообратными в зависимости от того, на множестве каких переменных задаётся граф — физических переменных-сигналов х1 еХ или функциональных звеньев Ж^ .

На рис. 1. приведены различные формы графического представления структуры системы, построенные для одной и той же системы управления.

В С-графе различают два типа вершин (узлов): операторные узлы, соответствующие функциональным элементам на структурной схеме и единичные узлы — узлы с идентификатором 1. Единичные узлы в соответствии с геометрическими образами структурных схем разделяются: узлы 1-го рода — элементы суммирования структурной схемы, узлы 2-го рода — точки ветвления и узлы 3-го рода — операторы с единичной передачей. Показано, что с помощью введённой классификации узлы произвольной формы всегда можно свести к указанным трём видам.

Данное разделение узлов на типы и сведение с помощью правил преобразования к трём видам необходимо для реализации формализованной методики построения математической модели объекта по С-графу.

Таблица 1

Взаимное соответствие элементов структурной схемы и элементов С-графа

Наименование величины действия Элемент структурной схемы Элемент С-графа

Переменная (сигнал) х( XI

Передаточная функция (оператор) Г/*) •

Точка суммирования переменных X] X] — XI 1 Хз —► У х2

Точка ветвления переменных У X] / Х2 Х3 ^ * XI 1/ Х2 Хз ^

Таким образом, в диссертационной работе в качестве структуры, описывающей топологию объекта, определён С-граф, так как он обладает следующими преимуществами:

- отражает причинно-следственные связи между переменными-сигналами

системы х,- — сохраняет свойства сигнального графа;

- явно присутствуют операторы преобразования — вершины Иу- — преимущества структурной схемы;

- явно заданы вход и выход системы, разделены узлы ветвления и суммирования с помощью вводимых узлов 3-го рода.

а)

МГ4

6)

Рис. 1. Графическое представление структуры системы управления: а) структурная схема; б) С-граф.

В последнем разделе главы описано матричное представление С-графа и методика записи по заданному С-графу системы уравнений в матричной форме. Данная система уравнений представляет собой математическую модель объекта.

Методика построения матричного уравнения по С-графу состоит из формирования двух матриц — матрицы компонент В и матрицы структуры А, в общем случае прямоугольных. С точки зрения методики моделирования данные этапы являются параллельными, но не независимыми: как будет показано далее,

матрицы упорядочиваются (столбцы матрицы А и строки матрицы В) в зависимости от последовательности элементов вектора X.

В матричном виде система уравнений компонент графа имеет запись:

где X — матрица-столбец сигналов графа, порядка (Ах1);

В — матрица операторов системы порядка (кхт)]

Хвх — матрица-столбец входных сигналов графа порядка (тх 1). Для машинной реализации методики формирования матриц является необходимой априорная информация о размерности матриц. Выведены формулы для вычисления значений переменных, определяющих размерности матриц, по характеристикам С-графа объекта.

к — общее количество сигналов модели, равное количеству дуг С-графа. т — определяется по формуле:

где п — число функциональных элементов модели, равное количеству вершин С-графа, имеющих идентификатор Wj =1 Уравнение структуры графа в матричном виде:

Х = В X

'вх

(1)

т = к-п

(2)

АХ = О

(3)

(4)

где Г; — количество узлов 1-го рода (узлов суммирования); Г2 — количество узлов 2-го рода (узлов ветвления); Гз — количество узлов 3-го рода (узлов с единичной передачей); л,- — количество выходных дуг i -го узла 2-го рода.

Подставляя в (3) из (1) значение X , получаем матричное уравнение С-графа:

А. • В • Хвх = 0 (5)

Уравнение (5) полностью отражает струюуру графа, так как при записи уравнения (1) записаны уравнения узлов, соответствующих операторам системы, а при записи уравнений (3) — узлов, соответствующих узлам суммирования и ветвления.

Таким образом, в главе рассмотрены теоретические предпосылки формирования методики идентификации, состоящей из следующих последовательных этапов:

- построение функциональной схемы объекта, представляющей собой сигнальный граф, заданный на множестве параметров, характеризующих состояние объекта. Именно такое графическое представление позволяет описать структуру объекта на первоначальном этапе моделирования без конкретизации характера операторов.

- построение на основе функциональной схемы структурной схемы объекта с помощью введения операторов парного взаимодействия параметров.

построение С-графа по структурной схеме с помощью установленного взаимного соответствия элементов структурной схемы и элементов С-графа, а также правил преобразования узлов.

- формирование матричного уравнения по С-графу в соответствии со строгой формализованной методикой, определяющей последовательность шагов формирования, размерность матриц, входящих в матричное уравнение и способ заполнения матриц.

Предлагаемая методика позволяет получить математическую модель системы в виде матричного уравнения, которое содержит всю информацию как о составе системы (матрица компонент В), так и о структуре причинно-следственных связей между переменными и функциональными звеньями системы (матрица структуры А).

2.4. В третьей главе проведено исследование возможностей и эффективности разработанной методики для построения и анализа модели экологического состояния воздушного бассейна промышленной зоны города.

На первом этапе в соответствии о разработанной методикой определяются параметры модели:

- метеорологические: Р — давление и его пространственное изменение %гас1 Р\ Т— температура и её пространственное изменение %уа<1 Т;А — влажность; К?

- коэффициент турбулентности; Уг — скорость подъёма воздуха; У^ — скорость горизонтального перемещения воздуха;

- геофизические: Е — напряжённость электростатического поля; I — полный

вертикальный ток; X — проводимость воздуха; у — уровень радиоактивного фона.

Кроме того, нарушающим фактором являются выбросы промышленных предприятий. Здесь предлагается рассматривать два параметра: Р — интенсивность выбросов в точке выхода; б — интегральный уровень загрязнённости.

На основании установленных наиболее существенных связей построена функциональная схема объекта (рис. 2). Далее выполняются последовательные шаги предлагаемой методики: функциональная схема — структурная схема — С-граф — матричное уравнение. Построенный С-граф рассматриваемого объекта приведён на рис. 3.

В уравнении системы, полученном для модели атмосферы в соответствии с разработанной методикой, размерность матрицы Н составляет (26x33); вектор Хвх содержит 33 элемента. Решение системы уравнений, содержащей такое большое количество уравнений и переменных является трудоёмкой задачей.

Проведено понижение порядка матричного уравнения, которое базируется на представлении исходного уравнения в виде блочных матриц:

Н1 Н2

X,

Х2.

= 0 (7)

н3 н4

Исключая из этой системы Х2, получим:

[Нз-Н^Н^-Н^-Х, =0 (8)

или

Н' -X! =0 (9)

Условием решения уравнения (8) будет существование квадратной блочной матрицы Н2 с отличным от нуля определителем: det Н2 Ф 0.

Методика понижения порядка матричного уравнения показана на примере выделения контролируемых параметров модели. В полученном матричном

уравнении А • В • \вх = 0 размерность матрицы А — (26x56), матрицы В —

(56x33), вектора Х,,* — (33x1). Уравнение после умножения матриц А и В записывается в виде:

НХет =0 (6)

Данное матричное уравнение системы представляет собой однородную систему уравнений, характеризующую состояние и поведение объекта. Работа с подобными математическими моделями осложняется большой размерностью получаемых матриц. С целью автоматизации процесса моделирования был разработан комплекс программ для системы аналитических вычислений REDUCE. Соответствующая организация вычислительного процесса позволяет контролировать, анализировать результаты и представлять их в наглядном виде.

Матрицу Н^ предлагается формировать из элементов строк, содержащих в качестве ненулевых элементов 1, (-1) с помощью перестановки строк и столбцов исходной матрицы Н при соответствующей перестановке строк вектора Х^.

Показано, что размерность матрицы Нi (sxs) определяется структурой С-графа.

Выполняется условие решения уравнения (8) — существование квадратной блочной квадратной матрицы Нг с отличным от нуля определителем (рис. 4).

Сделано обобщение на случай произвольной структуры матрицы Н в уравнении НХв;с = 0:

при наличии в матрице S строк, содержащих ненулевые элементы 1 и (-1), производится понижение порядка матрицы Н размерности (гхт) до Н' размерности (r-s х m-s), вектора Х<,х (вектора 0) размерности (гх 1) — до

вектора X] ( вектора 0) размерности (r-s х1); производимое понижение порядка матричного уравнения не содержит методической погрешности: все операторы исходной матрицы Н содержатся в матрице Н'.

grad Р ёгас! Т

Рис. 2. Функциональная схема модели атмосферы.

Рис. 3. С-граф модели атмосферы.

н "Л / Н2

— 0 0 о\ 0 0 0 0 0 а 0 0 0 1 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /о а 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (-1) 0 а 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 а 0 1 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 а 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 0 а

0 0 0 0 0 0 0 1 0 а 0 0 0 0 а 0 0 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 0 0 в а 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а о 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 0 а 0 а 0 0 0 0 0

0 0 0 с 0 0 0 0 0 0 а 0 0 1 а 0 0 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 а 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 О 0 И) 0 0 а 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 а 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 0 О а 0 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 а 0 0 0 0 О 0 а 0 0 0 а (-1) 0 0 0 0 0 а

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 а 0 0 0 0 а 0 0 0 0 0 0 (•1) 0 а 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 а 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 0 0

О 0 0 0 а 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а 0 0 0 И) 0 0 0

0 0 0 а 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 о О а 0 0 а 0 0 а И) 0 в

0 0 0 а 0 а а 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-1) а

_ 0_ _0_ а. _0_ - ^ _0_ 4 _0_ . л -В. _о_ -5- -А. -0- _Р_ Л .а. _0_ л _ А л -й. _о_ Л-ДХ-И.

0 0 0 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 «и 0 «У13 0 О 0 а а 0 О 0 0 0 0 0 0 о а 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-1) 0 \ЛМ2 0 «VI4 0 0 0 0 0 О а 0 0 0 0 0 о а 0

№1 П2 т т 0 0 0 0 0 И) 0 а 0 0 0 0 0 0 т 0 0 о О 0 а 0 0 0 0 0 0 0 «У23

0 0 0 0 0 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а 0 0 №16 0 0 №17 а а 0 а а 0 а о 0

0 0 0 0 0 (-1) 0 0 «га 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а 0 0 0 О а 0 МУв 0 а 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 И) 0 0 0 0 0 0 0 тг 0 УУ21УУ20 0 0 0 0 0 0 т о 0

0 0 0 0 /0 а 0 0 (-1) а а 0 0 а 0 0 0 0 а 0 0 0 0 0 Ш15 УУ8 0 \° №18 УУЮ 0 0 0

г

н,

II,

Х25 а

Х27 0

Х29 а

Х31 0

Х51 0

Х55 0

Х54 0

ХЗЗ 0

Х42 0

Х53 0

Х6 0

Х56 0

Х1 0

.хк .Р.

Х2 0

Х4 с 0

Х7 0

ХЭ 0

Х34 0

Х36 0

Х13 0

Х1в а

X11 0

Х17 0

Х1Э 0

Х38 0

Х40 0

Х21 0

Х23 0

Х44 0

Х46 0

Х50 а

Х48 0

х7

Рис.4. Матричное уравнение Н • Хв1 = 0. Разбиение на блочные подматрицы.

Сформулированное обобщение позволяет определить минимальную размерность матрицы Н', при котором матричная модель пониженного порядка (см. рис. 5):

Н' -х,=о (10)

применима для широкого класса операторов, в общем случае нелинейных. В результате проведённого понижения порядка получено матричное

уравнение с матрицей Н' размерности (7x14) и вектором XI размерности

(14x1). Полученная математическая модель представляет собой описание взаимосвязи контролируемых параметров. Описана методика определения расчётных и независимых параметров, которая основана на свойствах матрицы Н' в уравнении (10). Данная методика реализована на ЭВМ.

0 0 0 0 (-1) 0 0 0 0 0 \Л/13 0 \Л/11 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \ЛП4 0 №12 (-1)

т \А12 \Л/3 ш 0 0 0 \Л/5 0 (-1) 0 \ZV23 0 0

0 0 0 0 №16 0 (-1) 0 0 0 0 0 0 \Л/17

0 0 0 0 0 (-1) 0 0 \Л/9 Ш 0 0 0 0

0 0 0 0 \ZV21 т \ZV19 Ш2 0 0 0 (-1) 0 \Л/20

0 0 0 0 0 то \ZV18 0 (-1) ш 0 0 0 №15_

Х25~ "о"

Х27 0

Х29 0

Х31 = 0

Х51 0

Х55 0

Х54 0

ХЗЗ 0

Х42 0

Х53 0

Х6 0

Х56 0

Х1 0

Х52 0

Рис.5. Матричное уравнение Н' -X, =0.

В заключение главы показаны возможности работы с полученной моделью (10) на примере получения аналитических зависимостей расчётных параметров от входных сигналов системы. Применена методика разбиения на блочные матрицы.

Введены ограничения, позволяющие выполнить данное преобразование.

При получении аналитических зависимостей параметров, модели идентификаторы операторов W,- являются элементами матрицы и без дополнительной информации рассматриваются как символы рациональных чисел, в том числе и при обработке системой аналитических вычислений REDUCE. При отсутствии информации о классе объектов, к которому относятся операторы, распространение на операторы таких широких допущений ошибочно; даже в простейшем случае — операторы Wj являются линейными операторами. Таким

образом, на данном шаге моделирования для корректного получения аналитических зависимостей необходима информация о классе объектов, к которым относятся операторы.

В качестве примера приведены полученные аналитические зависимости для контролируемых параметров модели — результаты работы разработанного комплекса программ — для класса линейных операторов, в котором определён коммутативный закон для операции умножения объектов.

В число расчётных параметров входит интегральный уровень загрязнённости воздушного бассейна G. Полученная аналитическая запись взаимосвязи интегрального уровня загрязнённости и входных сигналов системы:

Х56=( - W1*W6*W7*X25 - W1 *W7*W8*W9*X25 - W2*W6*W7*X27 -W2*W7*W8*W9*X27 - W3*W6*W7*X29 - W3*W7*W8*W9*X29 - W4*W6*W7*X31 -

W4*W7*W8*W9*X31 - W5*W6*W7*X33 - W5*W7*W8*W9*X33 -W7*W9*W11 *W16*W18*X1 -W7*W9*W12*W15*X1 - W7*W9*W12*W17*W18*X1 -W7*W9*W13*W16*W18*X6 - W7*W9*W14*W15*X6 - W7*W9*W14*W17*W18*X6 + W9*W10*W11 *W16*W19*X1 + W9*W10*W11*W21*X1 + W9*W10*W12*W17*W19*X1 + W9*W10*W12*W20*X1 + W9*W10*W13*W16*W19*X6 + W9*W10*W13*W21*X6 + W9*W10*W14*W17*W19*X6 + W9*W10*W14*W20*X6 + W9*W10*W22*X33 -W11*W16*W19*X1- W11*W21*X1 -W12*W17*W19*X1 -W12*W20*X1 -W13*W16*W19*X6 - W13*W21*X6 - W14*W17*W19*X6 - W14*W20*X6 -W22*X33)/(W6*W7*W23+ W7*W8*W9*W23 + W9*W10 -1)

где X56 — интегральный уровень загрязнённости G; Х25 — влажность А; Х27 — давление Р; Х29 — температура Т; Х31 — уровень радиоактивного фона ХЗЗ

—интенсивность выбросов в точке выхода Р, Х1 — пространственное изменение давления %гас1 Р\ Х6 — пространственное изменение температуры £гас1 Т\ W¡ — операторы парного взаимодействия контролируемых параметров.

Выполнение преобразований матричного уравнения математической модели — получение и анализ матрицы Н', выделение расчётных параметров, перестановка строк и столбцов, разбиение на блочные матрицы, разрешение однородного уравнения относительно выбранного расчётного параметра — произведено на ЭВМ с помощью разработанного комплекса программ. Тексты программ помещены в приложение к диссертационной работе.

Таким образом, в главе на практическом примере продемонстрировано применение предлагаемого метода для идентификации многосвязных объектов: выявлены сложные вопросы, возникающие на последовательных шагах моделирования и указаны пути их решения, приведены примеры решения, определены границы применения полученных решений. Показаны достоинства предлагаемого метода:

- строгая методика, исключающая неопределённости на последовательных шагах моделирования;

- возможность проверки модели на промежуточных этапах;

- автоматизация процесса, позволяющая работать с моделями высокой степени сложности;

- получение модели в символьном виде, что позволяет проводить исследование свойств объекта при существенной неопределённости параметров;

2.5. В четвёртой главе описано применение разработанной методики идентификации для получения и анализа модели атмосферно-электрических процессов воздушного бассейна. Приведена методика оценки точности получаемой модели; проведено сравнение результатов моделирования и экспериментальных данных.

Электрическая структура атмосферы является одной из наиболее интересных проблем современной геофизики. Повышенное внимание к данному вопросу вызвано тем, что в последние годы намечаются пути практического применения исследований, такие, как использование данных об атмосферно-электрических процессах в метеорологии, в исследовании ионосферных и магнитосферных задач, в решении экологических проблем и т. д.

Выбранные параметры модели:

1. Метеорологические: Р — давление; Т—температура; А — влажность; V — скорость ветра; Кх — коэффициент турбулентности;

2. Геофизические: Е —напряжённость электростатического поля; /—полный

вертикальный ток; Л — проводимость воздуха; у — уровень радиоактивного

фона; Л — сопротивление столба воздуха; р — плотность электрического заряда.

. Далее проведено построение модели в виде последовательных шагов: функциональная схема — структурная схема — С-граф — матричное уравнение в виде (6).

Результаты каждого этапа приведены в диссертации. Размерность матрицы Н в полученном матричном уравнении — (19x24). Проведено понижение матричного уравнения с целью выделения контролируемых параметров по разработанной методике, описанной в главе 3. В матричной модели

пониженного порядка Н' = 0 размерность матрицы Н' — (8x13), вектора Х!-(13х1).

Данная модель взята в качестве основы для дальнейший исследований. Модель содержит 13 параметров. Пять параметров модели являются входными сигналами системы в целом — независимыми параметрами; 8 параметров являются расчётными параметрами.

Используя матричную модель пониженного порядка в виде (10), получены модели взаимосвязи контролируемых параметров в аналитическом виде. Полученные аналитические зависимости справедливы для линейных операторов с определённым в данном классе коммутативным законом для умножения операторов

Щ.

Выполнение преобразований матричного уравнения рассматриваемой

математической модели — анализ матрицы Н', выделение расчётных параметров,

перестановка строк и столбцов, разбиение на блочные матрицы, проверка определителя квадратной подматрицы на неравенство нулю, разрешение однородного уравнения относительно выбранного расчётного параметра — производится автоматически разработанным комплексом программ.

Комплекс программ для модели электростатического поля имеет ту же структуру, что и комплекс программ для модели атмосферы. Тексты программ были адаптированы для новой модели, в частности, введены другие размерности матриц

и, соответственно, другие исходные матрицы А и В, векторы X и Х,,*. Более

детально проработан вывод результатов расчёта, о чём будет сказано ниже. Файловая структура организации вычислительного процесса позволяет довольно просто и оперативно вносить изменения в отдельные программы комплекса.

Разработанный комплекс программ даёт возможность получить зависимость в аналитическом виде, связывающую входные параметры и один расчётный, в различных формах:

- однородное уравнение с нулевой правой частью;

- однородное уравнение, разрешённое относительно расчётного параметра;

- преобразованное разрешённое уравнение (раскрытие скобок в числителе выражения, преобразованный к стандартному виду знаменатель) и выделенные коэффициенты при независимых параметрах.

Выделение коэффициентов при переменных показывает наличие или отсутствие взаимовлияния параметров в сложной системе, а также определяет множество значащих параметров системы.

По данной методике были обработаны 8 расчётных параметров системы. Для них получены соответствующие модели; для тождественных параметров Х25=Х23=Х27 получены идентичные уравнения.

Для проведения эксперимента в качестве исходной принята полученная модель для параметра Е — напряжённости электростатического поля атмосферы (Х41). С учётом выделенных коэффициентов при независимых переменных модель принимает вид:

Х41=( (\Л/1*( - \Л/8*\Л/10*\Л/11 *\Л/13*\Л/18 + \Л/8*\ЛМ1 + \ЛГ9ЛЛМ(т1Г\Л/12ЧЛ/18 + \Л/9ЧЛМ0*\Л/14*\Л/18 + \Л/9*\Л/11*\Л/16 + \Л/9*\Л/15*\Л/18 + \Л/9ЧЛ/17))/( - \Л/10*\ЛМЗ*\Л/18 +1))*Х1 +

( (\Л/2*( - \Л/8*\ЛЛСт11*\Л/13*\Л/18 + \Л/8ЧЛП1 + \Л/9*\Л/10*\Л/11*\Л/12*\Л/18 + \Л/9*У\/10*\Л/14*\Л/18 + \лга*\лли*\л/16 + \Л/9*\Л/15ЧЛ/18 + \Л/9ЧЛ/17))/( - \Л/10ЧЛ/13*\Л/18 + 1))*ХЗ+

((- WЗ',W8*W10*W11*W13*W18 + \Л/3*\Л/8*\Л/11 + \Л/3*\Л/9*\Л/10*\Л/11* \Л/12*\Л/18 + \/УЗ*\Л/9*\Л/10*\Л/14*\Л/18 + \Л/3*\Л/9*УУ11*\Л/16 + \Л/3*\Л/9ЧЛ/15*\Л/18 + \Л/3*\Л/9*\Л/17 -W4*W10*W11 ЗЧЛ/18 + \Л/4*\Л/11)/(- W10*\Л/13*\Л/18 +1 ))*Х37+

((\Л/7*(\Л/10*\Л/11*У\И2 + \ЛМ0*\ЛИ1ЧЛ/13*\Л/16 + \Л/10ЧЛ/13*\Л/17 + \Л/10*\Л/14 + \Л/1 5))/(- УЛ СШ1ЗЧЛ/18 + 1 ))*Х13+

((W5*W10*W11*W12*W18 + \Лге*\Л/10*\Л/14*\Л/18 + W5*W11*W16 + W5*W15*W18 + \Л/5*\Л/17 + W6*W10*W11*W12 + W6*W10*W11*W13*W16+ W6*W10*W13*W17 + W6*W10*W14 + W6*W15)/( - W10*W13*W18 + 1))*Х38

где Х41 — напряжённость электростатического поля Е\ Х1— давление Р, ХЗ — температура Т, Х37 — скорость ветра V, Х13 — влажность А, Х38 — уровень

радиоактивного фона у; \М — операторы парного взаимодействия контролируемых параметров.

Данную модель можно записать в более компактном виде и на первом этапе проверки с учётом малой выборки эксперимента рассмотреть как линейную статическую модель:

у = Ь] XI + Ь2хг+Ь3х3 +Ь4х4 + Ь5х5 (11)

где_у=Х41; X; =Х1; =ХЗ; х3 =Х37; х4 =Х13; х5 =Х38; 6,-— коэффициенты.

Для того, чтобы оценить применимость построенной модели и ответить на вопрос, будет ли данная модель предсказывать значения выходной величины с той же точностью, что и результаты эксперимента, применяется методика регрессионного анализа для определения коэффициентов , / =1 ,...,5.

В течение ряда лет на базе Братского индустриального института проводились работы по теоретическому и экспериментальному исследованию характеристик физических полей Земли. В результате проведённых работ были получены синхронные экспериментальные значения для напряжённости электрического поля и для пяти факторов.

В таблице 2 приведены некоторые измеренные среднечасовые значения электростатического поля и значения факторов для г. Братска. В данной таблице у

— напряжённость электростатического поля (в/м); X] — влажность воздуха (%); х2 — скорость ветра (м/с); х3 — температура воздуха (°С); х4 — давление атмосферы (кПа); х$ — мощность дозы у-излучения почвы (мкр/с).

Модель электростатического поля в виде (11) с учётом индексации факторов по таблице 2 после вычисления коэффициентов (/ =1,...,5) на основе экспериментальных данных по методике регрессионного анализа будет иметь вид:

у = -25.4 X] +88.6 -209.8 х3 + 0.1 х4 -1612.9 х5 (12)

Таблица 2.

Модель электростатического поля атмосферы. Экспериментальные данные (г. Братск)

Значение отклика Значения факторов

У XI Хг Х3 Х4

230 81.2 2 -10 975 0.032

130 79.7 3.5 -10 975 0.2

130 77.1 2.8 -9 974 0.076

70 76.4 2.6 -8.5 973.5 0.05

70 74.9 2.9 -8.5 972.5 0.09

В таблице 3 представлены значения напряжённости электростатического поля Уиаи, полученные экспериментально, и расчётные значения урасч, вычисленные в соответствии с формулой (12) на основе экспериментальных значений факторов.

Таблица 3.

Значения напряжённости электростатического поля

Уизм 230 130 130 70 70

Урасч 299.99 130 129.998 69.99989 69.9998

Приведённые результаты свидетельствуют о высокой степени совпадения численных экспериментальных значений и значений, полученных в соответствии с моделью (12).

Статическая регрессионная модель в случае отсутствия сильных возмущений демонстрирует высокую точность. Показано на примере обработки

экспериментальных данных до и после аварии на Чернобыльской АЭС (1986 г), что в случае сильных динамических аномальных изменений точность модели не сохраняется. В этом случае предлагается проводить усложнение модели — переход к динамической модели, введение нелинейностей и т. д., которое можно проводить поэтапно, в зависимости от требований, предъявляемых к модели — точности, адекватности и т. д.; основой будет являться модель в символьном виде.

Получение модели в символьном виде позволяет определить структуру модели при существенной неопределённости параметров и операторов модели; в зависимости от располагаемой информации и дальнейших целей моделирования полученная основа позволяет идти по пути усложнения модели.

В заключительном разделе главы предложены рекомендации по использованию результатов моделирования. Подход к моделированию исследуемого объекта как к объекту управления позволяет предположить возможности управления состоянием системы, в частности, управление интересующими параметрами. Полученная модель может дать дополнительные возможности в решении экологических задач.

Во-первых, ряд параметров рассматриваемой системы содержит периодические составляющие, характерные для данной местности, и ряд параметров, поддающихся прогнозу. Используя эти особенности, можно заложить в систему не только функцию текущего контроля уровня загрязнения, но и его прогноза, учитываемого при планировании режима работы предприятия.

Во-вторых, некоторые параметры принципиально поддаются направленному воздействию. Просматривается возможность создания системы управления экологической обстановкой в зоне деятельности промышленных предприятий.

В-третьих, возможно использование результатов, получаемых с помощью предлагаемой системы, для прогнозирования состояния здоровья населения района.

Выбранный подход к решению задачи контроля состояния окружающей среды, использование приведённого математического аппарата, а также наличие существующих средств контроля позволяет разработать и реализовать систему

непрерывного контроля состояния окружающей среды с возможностью управления этим состоянием.

2.6. В заключении сформулированы основные научные положения и результаты, которые выносятся на защиту.

3. Основные выводы и рекомендации.

Выполненная работа соответствует формуле области исследования, определённой в паспорте специальности под шифром 05.13.01.

Научная новизна работы:

- модель природной экосистемы предлагается рассматривать как модель системы управления;

- на основании данного подхода разработан формализованный метод идентификации, состоящий из последовательных этапов построения модели;

- методика моделирования реализована в виде комплекса программ для нетрадиционного программного обеспечения — системы аналитических вычислений; организация вычислительного процесса позволяет снизить требования к вычислительным ресурсам ЭВМ, обеспечить наглядность задания и представления исходной и текущей информации процесса исследования и полученных результатов.

Предложенный метод моделирования многосвязных объектов применим для исследования объектов любой физической природы. Разработанная методика может эффективно применяться при исследовании объектов значительной размерности; методы понижения размерности матричного уравнения и методика получения аналитических зависимостей предоставляют широкие возможности для исследования свойств объекта.

Литература.

Результаты диссертации изложены в работах:

1. Алпатов Ю. Н., Ходарев Н. И., Шахова Е. Ю. Моделирование атмосферно-

электрических процессов И Изв. вузов "Электромеханика", 1992. — № 3. — С.

83-89.

2. Шахова Е. Ю. Один из способов решения однородной системы уравнений //

Тез. докл. 13 научно-технич. конференции БрИИ. — Братск, 1992. — С. 123.

3. Алпатов Ю. Н., Шахова Е. Ю. Разработка алгоритмов понижения порядка разреженных матриц И Тез. докл. 14 научно-технич. конференции БрИИ.— Братск, 1993. — С. 99.

4. Шахова Е. Ю. Моделирование атмосферно-электрических процессов методами системного анализа. Тез. докл. 18 научно-технич. конференции БрИИ. — Братск, 1997. —С. 21.

5. Шахова Е. Ю. Моделирование стратификационной структуры индустриального общества // Тез. докл. 18 научно-технич. конференции БрИИ. — Братск, 1997.

6. Алпатов Ю. Н., Рунова Е. М., Шахова Е. Ю., Заботина Н. Н. Структурный метод

промпредприятий и лесных экосистем.; Братский индустр. ин-т, — Братск, 1998. — 11 с. — Рус. Деп. в ВИНИТИ № 536 — В98. 7. Алпатов Ю. Н., Рунова Е. М., Шахова Е. Ю., Заботина Н. Н. Моделирование многосвязных объектов лесных массивов II Тез. докл. 19 научно-технич. конференции БрИИ. — Братск, 1998 г. — С. 71.

— С. 21.

моделирования взаимодействия антропогенных воздействий

Разрешить размножение

Белокобыльский С. В.

"20" яи^лз 1998 г