автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка методов и программного обеспечения для построения сетевых и оптимизационных моделей в системах планирования

Коридзе Эсме Зурабовна

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕВЫХ И ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В СИСТЕМАХ ПЛАНИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

005009078

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Махачкала - 2011

005009078

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Дагестанский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Мелехин Владимир Борисович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Адамадзиев Курбан Раджабович

кандидат технических наук, доцент Канаев Магомедимин Муталимович

Ведущая организация: Дагестанский научный центр Российской академии наук

Защита состоится <ь№> /2- 2011 года в 14°° часов на заседании

диссертационного совета Д 212.052.02 при ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет» по адресу: 367015, г. Махачкала, ул. И. Шамиля, 70, ауд. 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный технический университет». Сведения о защите и автореферат диссертации размещены на официальном сайте ВАК МОиНРФ и на официальном сайте ФГБОУ ВПО «ДГТУ» http://wwvv.dstu.ru.

Автореферат разослан « /^ » / (________2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Сложные социальноэкономические системы, функционирующие в условиях рынка, представляют собой вероятностные динамические системы, охватывающие: процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных ресурсов. Они относятся к классу управляемых систем с известными системными признаками: целостность структуры, наличие целей и критериев

эффективности функционирования, наличие внешней среды, влияющей на их деятельность, возможность декомпозиции системы на взаимосвязанные подсистемы. Основной метод исследования таких систем — это математическое моделирование, важнейшей составляющей: которого является этап построения математической модели.; Методология моделирования основана на принципе аналогий, т.е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного.ему и более доступного объекта, Т.е. модели. Следует отметить, ЧТО' В большинстве случаев данные, полученные в результате моделирования, не могут использоваться как готовые управленческие решения. Они должны: рассматриваться как рекомендательные средства, окончательное принятие управленческих решений остается за человеком. . . : .

Таким образом, математическое моделирование является одной из; важных составляющих исследования интерактивных систем планирования и управления производством.

Большинство организационно-экономических задач имеют одну важную особенность. Это большая размерность задачи, что не позволяет в целом ряде случаев использовать для построения моделей разработанные типовые методики. В этой связи возникает проблема формализации самого процесса построения модели, решение которой позволяет автоматически ее синтезировать. Этот подход обеспечивает достижение значений двух важных концептуальных условий — необходимый уровень адекватности модели и снижение трудоемкости ее разработки. Решение отмеченных проблем индивидуально для определенных классов математических моделей и каждое из них нуждается в теоретическом обосновании и разработке специальных инструментальных средств для его реализации.

Вышеизложенное и послужило основанием выбора темы

диссертационного исследования и оно обуславливает его актуальность сточки зрения теории и практики использования методов моделирования в системах принятия управленческих решений организационно-экономических систем.

В научных трудах отечественных и зарубежных специалистов решены многие проблемы, связанные с технологией моделирования организационноэкономических систем.

Значительный вклад в разработку этих проблем внесли

Л.А.Канторович, Е.С.Вентцель, Д.Б.Юдин, М.Ю.Афанасьев, Б.А.Лагоша, Дж. Фон Нейман, Р.Беллман, О.Моргенштерн, С.Р.Хачатрян, В.А.Москвин,

Д.И.Голенко, В.М.Трояновский, В.И.Воропаев, С.И.Зуховицкий, В.Леонтьев,

А.Кофман, В.И.Малыхин, ДА.Поспелов и др.

Однако, несмотря на наличие достаточного количества научных работ и методических разработок, посвященных принятию управленческих решений на основе использования математических методов и современных информационных технологий, в проведенных исследованиях не в полной мере учитываются рыночные условия хозяйствования и характерные для них неопределенность и нестабильность, системный подход при моделировании сложных организационно-экономических систем, не для всех классов моделей разработана методология их построения, вследствие чего многие теоретические и методические аспекты моделирования на сегодняшний день все еще остаются открытыми.

Целый ряд методов и моделей требуют своего совершенствования. Это относится в первую очередь к методике построения сетевых моделей, являющихся основой систем календарного планирования, методике выбора инновационно-инвестиционных стратегий из ряда альтернативных, учета неопределенности в критериях эффективности инвестиционных проектов и др. Необходимость информационной поддержки указанных задач ставит проблемы создания информационного пространства на уровне предприятия, региона и страны в целом.

Отмеченные выше проблемы и предопределили цель, задачи и направление диссертационного исследования.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке и исследовании методов построения сетевых моделей и моделей инвестиционного планирования, обеспечивающих необходимый уровень адекватности, и способствующих совершенствованию системы принятия решений.

Для достижения поставленной цели необходимо поставить и решить следующие задачи:

1. Провести анализ теории и практики разработки и применения математических моделей в управлении сложными экономическими системами.

2. Определить место и роль сетевых методов в планировании и управлении организационно-экономическими структурами и основные направления их совершенствования.

3. Разработать пакет прикладных программ для построения сетевых моделей, для чего необходимо:

- обосновать основные предпосылки и принципы, положенные в основу алгоритмов синтеза сетей;

- выполнить разработку и обоснование рабочих алгоритмов построения сетевых моделей;

- разработать функциональную схему системы проектирования сетевых моделей;

- разработать программный модуль для построения сетевых моделей;

- провести апробацию системы проектирования на промышленных предприятиях Республики Дагестан (РД)

4. Выполнить анализ методов и моделей принятия решений, используемых для выбора и обоснования инвестиционных проектов.

5. Разработать инструментальные средства построения моделей инвестиционного планирования, для чего необходимо:

• выполнить разработку и исследование рабочих алгоритмов;

• разработать программу синтеза модели;

• провести апробацию процедуры на промышленных предприятиях РД.

Объектом исследования являются сложные социально-экономические системы.

Предметом исследования является совокупность теоретических, методических и практических проблем, связанных с построением математических моделей сложных социально-экономических систем, функционирующих в условиях неопределенности и нестабильности.

Методологической и теоретической основой исследований являются методы, базирующиеся на теории систем и системном анализе, теории графов и множеств, теории алгоритмов и программного обеспечения, математическом моделировании и современных информационных технологиях.

Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью математической постановки задачи, обоснованностью теоретических предпосылок и принципов, заложенных в алгоритмы, а также качеством и полнотой исходной информации. Точность предлагаемых методов определяется сравнением результатов тестовых расчетов и сопоставлением их с соответствующими решениями, приведенными в литературных источниках. Окончательная оценка предлагаемых методов определяется путем сравнения результатов синтеза модели с экспертными оценками специалистов, а также результатами их практической апробации на предприятиях промышленного комплекса РД.

Научная новизна проведенных в диссертационной работе исследований заключается в разработке и обосновании теоретических и методических положений, связанных с развитием методов построения математических моделей сетевого и оптимизационного планирования на основе современных информационных технологий.

К основным результатам, составляющим научную новизну исследования можно отнести следующее:

1. Разработан и обоснован оригинальный принцип оценки максимальной независимости работ, положенный в основу алгоритмов построения сетевых моделей, реализация которого позволяет строить оптимальный вариант топологии сети.

2. Разработан алгоритм автоматического синтеза топологии сети, на основе которого предложена программа для проектирования сетевых моделей.

3. Разработан алгоритм построения модели динамического планирования финансовых . ресурсов, рбеспечивак?щий, , выбор инвестиционных проектов из ряда альтернативных. в соответствии с критерием максимума прибыли. .

4. Разработан комплекс программ автоматизированного .управления сетевыми , моделями и динамического планирования .финансовой деятельности.

Практическая значимость исследования сложных социальноэкономических систем заключается в том, что разработанные алгоритмы, и программы построения моделей, обладающие достаточно, высоким уровнем качества и адекватности моделей эффе^тивнр использовать в системах управления промышленными предприятиями, для ,, управления инвестиционными проектами, выбора и обоснования инновационноинвестиционных стратегий управления их развитием.

Представленные в диссертации методики, алгоритмы и рекомендации могут быть использованы различными предприятиями, научноисследовательскими и проектными организациями, учебными заведениями при решении научно-практических задач управления сложными социальноэкономическими системами.

Апробация результатов исследования. Разработанные в диссертации методы, алгоритмы и программы нашли применение при разработке бизнес-планов и научно-технических проектов развития промышленных предприятий РД. .....

Теоретические и практические вопросы диссертационного исследования докладывались автором и получили положительную оценку на Всероссийской., научно-практической конференции «Инвестиции и инновации как важнейший фактор экономического роста» (Махачкала, 2008), на международной конференции «Мухтаровские чтения - современные проблемы математики. .0,и смежные,, 0 вопросы» (Махачкала, 2010); Всероссийской научно-практической конференции «Современные модели социально-экономических и, инновационных трансформаций предприятий, отраслей, комплексов» (Пенза, ,2010); Международной научно-технической конференции «Аналитические и , численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2010)

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнена в рамках проекта аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)». Результаты диссертационной работы использованы в системах управления и при разработке текущих и перспективных планов развития промышленных предприятий РД, а также в учебном процессе ДГТУ при проведении занятий

по дисциплинам, связанным с инвестиционным планированием и моделированием экономических процессов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из ведения, трех глав, заключения, библиографического списка и четырех приложений. Работа изложена на 124 страницах, содержит 8 таблиц, 8 рисунков. Список литературы включает 130 наименований.

И. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава «Теоретические и методологические проблемы моделирования экономических систем» носит вводный характер. Анализ литературных источников и опыт практической деятельности показывают, что проблема построения и исследования математических моделей включает в себя методологию формализации функционирования и развития организационно-экономических систем, разработку и обоснование алгоритмов, информационное обеспечение оценки параметров модели и определение степени адекватности модели объекту исследования. Главное назначение моделей это формирование эффективных технологий обоснования и поддержки принятия решений, являющихся основой систем планирования и управления на макро- и микроэкономическом уровне. В социально-экономических исследованиях основой количественной оценки различных вариантов управления являются методы исследования операций. К ним, в первую очередь, относятся детально разработанные и широко применяемые на практике методы линейного и нелинейного программирования, теория игр и управления запасами, системы массового обслуживания и др. В последние годы, в период перехода страны к рыночным отношениям, актуальными стали задачи управления финансовыми ресурсами и портфелем ценных бумаг, управления инвестициями и др. Отличительной особенностью этих задач является широкое использование в них методов стохастического моделирования, что связано с природой финансовых и фондовых рынков, а также нелинейностью ■ и недетерминированностью развития финансовой системы страны. Следует учесть, что при решении практических задач организационноэкономического плана возникает проблема размерности модели. И хотя принцип Парето позволяет получить рекомендации по определению компромиссно значимых факторов и параметров, определяющих необходимый уровень адекватности модели, но с другой стороны сама реализация принципа достаточно трудоемка, она требует значительной аналитической базы и информационного обеспечения.

Мировой и отечественный опыт моделирования экономических систем позволил выделить те классы задач, трудности формализации которых ограничивают их широкое практическое использование. В этой связи важными становятся исследования в области автоматического построения следующих моделей: линейного программирования; межотраслевого

баланса; сетевых моделей; динамических моделей инвестиционного планирования; динамического программирования; управления запасами и др. Сложность, многофакторность, большая размерность и стохастический характер проблем построения перечисленных моделей требует привлечения системной методологии моделирования.

Не касаясь основных определений и всей аксиоматики системного анализа, они достаточно подробно представлены в литературе, отметим лишь некоторые системные свойства, существенно влияющие на структуру модели. Это, прежде всего, учет свойств целостности или эмерджентных свойств, которые Не присущи отдельным элементам системы. Эмерджентность является одной из форм проявления принципа перехода количественных изменений в качественные. В экономике в качестве этих свойств рассматривается, например, способность государства осуществлять крупные научно-технические программы, непосильные для отдельных, хотя и крупных хозяйственных структур. Это есть эффект организации, который является результатом возникновения между элементами синергетических связей. В теории организации синергетическая связь определяется как связь, которая при совместных действиях отдельных элементов обеспечивает увеличение общего эффекта до величины большей, чем сумма эффектов этих же элементов, действующих независимо. В диссертации показано, что оптимальное значение целевой функции в задачах линейного программирования есть максимальное значение экономической составляющей синергетического эффекта, получаемого в результате рационального использования ресурсов, например в задаче о рентабельности производства. Этот вывод сделан на основе утверждения Г. Хакена1 о связи между синергетическим эффектом и энтропией, которая определяется в соответствии с выражением:

И(Х) = -'Е,11Р(х1)-1одР(х11 где Н(Х) - энтропия системы, вектор X — (х1, Х2, ,хп) - множество состояний системы в которых она пребывает соответственно с вероятностями Р1 = Р(х{), (; = 1,п). При этом = 1, т.е. имеет место полная

группа событий.

Энтропия Н(X) обладает рядом свойств, оправдывающих ее выбор в качестве характеристики степени неопределенности. Среди них следует выделить следующее свойство. Я(Х) — 0, когда одно из состояний системы достоверно, а остальные невозможны.

Параметрическая модель задачи ЛП имеет вид:

"2^1 а1)х) < Ц = Т7л), X] >00' = 1/т), ^ = £™=1 с, (£у)ху -»тах, где - параметр модели.

Как известно оптимальное значение целевой функции моделей линейного программирования определяется вершиной многогранника допустимой области. Ей соответствует плоскость при п > 2 или линия

1 Г. Хакен Информация и еамооргашгация. Макроскопический подход к сложным явлениям М Мир. 1991. 240 с., с ил.

уровня при п = 2, проходящая через эту точку и перпендикулярная нормали. Любая другая линия уровня, перпендикулярная этой же нормали, характеризуется множеством случайных точек, лежащих в допустимой области, для нее Н(Х) Ф 0 и Р(Х) < Г0ПТ(Х). И только для экстремальной точки Рот(Х) имеет место Н(Х) = 0.

Вместе с тем,1 параметрическая модель является нелинейной, так как заданному диапазону (у соответствует определенное значение /г°пт. Именно наличие нелинейности и порождает появление синергетического эффекта — важнейшей системной составляющей, характерной для нелинейных структур как в физико-технических, так и социально-экономических'системах.

Для моделирования сложных производственных структур в большинстве случаев используются системы моделей, информационно связанные между собой. Как правило, они имеют иерархическую структуру. Динамика изменения информационной базы приводит к корректировке модели, т.е. ее информационному уточнению. В этой связи эффективная организация сбора и обработки информации определяет, наряду со структурой модели, ее адекватность, что является важнейшей характеристикой модели.

Процесс вычисления, эндогенных переменных обычно имеет итерационный характер, ,и , результаты расчетов получают с некоторой наперед, заданной точностью. В этой' связи возникает задача оценки сложности алгоритмов построения и реализации модели: В диссертационной работе,, показано, что > среди множества типов алгоритмов особо: следует выделить алгоритмы с полянрмиалыюй и экспоненциальной сложностью. Известно, что первые, как правило, являются эффективными с точки зрения их быстродействия. В работе на конкретном, примере показано различие в быстродействии этих алгоритмов и обосновано, что поставленные задачи синтеза моделей являются эффективными. ,

Вторая глава «Топологическое проектирование сетевых моделей» посвящена разработке алгоритма построения сетевых моделей. В основе предложенного метода лежит принцип максимальной технологически допустимой независимости работ, практическая значимость которого может быть показана на следующем гипотетическом примере (рис. 1).

Пусть для некоторого проекта построены две сетевые модели, при этом модель на рисунке 1-а адекватно отражает моделируемый технологический процесс, модель на рисунке 1-6 является некоторой допустимой моделью с дополнительной связью между работами, 4, и 5. Здесь и ниже будем рассматривать сетевые модели в терминах работ и в целях упрощения последующих рассуждений их номера будем проставлять так, как это показано на рисунке 1-а, без нумерации событий.

о^с/\>^о 07*07*07*07*0

Рисунок 1 - Сетевые модели

Анализ топологии модели на рисунке 1 -б показывает, что на ее основе может быть разработано три вида календарных планов со следующими последовательностями выполнения работ: 1-2-4-3-5-6; 1-2-3-4-5-6; 1-3-2-4-5-

6. Для модели на рисунке 1-а - шесть видов календарных планов: 1-2-4-3-5-6; 1-2-3-4-5-6; 1-3-2-4-5-6; 1-3-2-5-4-6; 1-3-5-2-4-6; 1-2-3-5-4-6.

В случае действия внешних возмущений, например необеспечения в сроки, определенные календарным планом, работы 4 материальнотехническими ресурсами, дальнейшее выполнение работ по модели на рисунке 1-6 ни по одному из допустимых планов невозможно, в действительности же может выполняться работа 5 (рис. 1-а). Это связано с тем, что в модели на рисунке 1-6 дополнительно введена связь между работами 4 и 5. Сравнительный анализ топологий сетевых моделей на рисунке 1-а и рисунке 1-6 показывает, что увеличение связей между работами повышает чувствительность модели к внешним воздействиям за 5 счет сокращения количества допустимых календарных планов. Очевидно, что для каждого проекта существует некоторый предельный вариант топологии сетевой модели, имеющий максимальную технологически допустимую независимость работ. На основании этого варианта можно построить и другие варианты сетевой модели, количество которых будет зависеть от количества работ проекта и характера связей между ними. Очевидно, что, наряду с правилами построения сетевых моделей принцип максимальной независимости работ должен быть положен в основу формирования топологии сетей.

В диссертации показано, что учет этого принципа при традиционном ручном построении модели затруднен. Его реализация возможна в рамках решения общей задачи с применением ЭВМ для построения моделей, что требует разработки соответствующего алгоритмического и программного обеспечения.

При обосновании нижеприведенных алгоритмов синтеза топологии сетей будут использованы следующие понятия.

1. Задан граф С = [Р, й], состоящий из множества вершин Р и множества дуг Д сг Р х Р. Будем считать, что вершина V, £ Р достижима из вершины V; € Р, если существует путь — из^ в 'У/ и

обозначать V,- < V/. Геометрически это означает, что двигаясь по дугам графического изображения графа, можно изг1; попасть в Данное

определение удовлетворяет требованиям, предъявляемым отношениям частичного порядка. Аналогично будем считать, что дуга i/| = (vb, vc) 6 R достижима из дуги Uк = (va,vj,) £ R, если Vj, < vc и обозначать Uk < Uc. Данное определение также удовлетворяет требованиям, предъявляемым отношениям частичного порядка. Геометрическая интерпретация частичного порядка на множестве дуг - это существование пути из конечной вершины vb дуги Uk(ya,vb) в начальную вершину vc дуги Ut(vb, vc).

2. Дуги Uk и Ut будем называть сравнимыми, если будет верно одно из следующих соотношений: Uк < U[ ИЛИ (/; < {/д., в противном случае они несравнимы.

3. Ориентированный граф с введенным на нем отношением частичного порядка на множестве дуг будем обозначать [G, <]. Такой граф можно описать матрицей, введя в рассмотрение функцию вида:

f:R xR -> {ОД},где

f(UklU) = i1, еслиУ^У' ' d)

1 10, в противном случае

4. Матрица^ определяется через (1) в виде: f(Uk, (/¡) = ак1 е А.

5. Назовем бинарную матрицу А порядка N, где N = |Я|, матрицей

следования ориентированных дуг. Из (1) следует, что fiuklUi) = Q в следующих двух случаях: если дуги У, и Uk несравнимы и если Ut < Uk.

6. Элементы ak i = 1 определяют связи между дугами, которые могут быть основными и дополнительными. Основные связи определяют непосредственное предшествование дуг, когда конец одной дуги Uk = (Va'Vb) совпадает с началом другой Ut = (vb, vc). Матрица следования дуг, в которой есть основные и все дополнительные связи, будем называть полной матрицей следования дуг, а если в ней не все дополнительные связи — неполной матрицей следования дуг. Имея матрицу смежности дуг или следования дуг, если учесть, что отношение частичного порядка транзитивно: если Uk < Ut и Ut < Us, то Uk < Us.

Следовательно, определенная выше функция (1) обладает свойством:

если f(Uk, i/£) = 1 и f{Ui, Us) = 1, то f(Ukl UJ = 1. (2)

7. Процесс изменения значений элементов неполной матрицы следования дуг на основе свойства (2) будем называть корректировкой.

В основе предлагаемого алгоритма синтеза топологии ориентированного графа лежат следующие положения.

Теорема 1. Пусть [G, <] - ориентированный граф, имеющий цикл Uk = (va,vb),Ui = (vb, н,), Ur = (vc, vd), Us = (vd,va). Тогда подматрица полной матрицы следования дуг, образованная пересечением строк и столбцов дуг, образующих цикл, состоит из единиц.

Доказательство. Из определения частичного порядка на множество дуг имеем: Uk < U{, Ur < Us, Us < Uk. Поскольку отношение частичного порядка транзитивно, то имеет место: Uk < Uk, < Ut, Us < Us, Ut < Uk, ■■■,Uk < Us, Ut < Us. Тогда для любых двух дуг, входящих в цикл,

получаем: f{Uk, Uk) = /((/j, Ut) = /(l/j, Uk) = /(üfc, Uc), т.е. ak k = üu -a( (i = ak l, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Петля является циклом единичной длины. При наличии в ориентированном графе петли Up = (н5, нЛ) имеем ар р = 1.

Следствие 2. В ориентированном ациклическом графе диагональные элементы полной матрицы следования дуг равны нулю.

Теорема 2. Пусть [G, <] - ориентированный ациклический граф, А -соответствующая ему полная матрица следования дуг, S - матрица смежности дуг и Е - единичная матрица того же порядка. Тогда, если Stj =

1,то bij = 1, где5у 6 S,bij 6 В и В = А • (Л + Е).

Предварительно докажем следующую лемму. .

Лемма 1. Пусть А - полная матрица следования дуг ациклического ориентированного графа [С, <]. Тогда матрица С = Л х А определяет число дуг, заключенных между любыми двумя дугами.

Доказательство. Элементы матрицы С вычисляются по формуле: cij = ZJU aiik ■ akJ, где N = |Я|.

Поскольку А - бинарная матрица, то а1к • akj = 1, тогда и только тогда, когда ai k = 1 и akj = 1, т.е. тогда и только тогда, когда дуга Uk следует за другой Ui и дуга Uk предшествует дуге Uj. Следовательно, численное значение Сд будет равно числу дуг, заключенных между дугами и Uj.

Следствие 3. Элементы ctj = 0 будут в следующих случаях: если дуга Uj Ui непосредственно предшествует Uy

Перейдем к доказательству теоремы 2. Рассмотрим матрицу В = С + А = А2 + А = А • (Л + Е). Ее элементы Ьц вычисляются по формуле: Ьу =

ci,j + ai,j-

Если at j = О, т.е. дуги Ut и U/ несравнимы или Uj < Uh то by = 0, т.к. ct j = 0. Если ау = 1, то Су > 0, причем Ьц - 1 тогда и только тогда, когда щj = 1 и Cjj = 0, т.е. дуга (/; непосредственно предшествует дуге Uj. Следовательно, если Sy = 1, то и Ьц = 1, что и требовалось доказать.

Следствие 4. Если дуга Uj непосредственно следует за дугой U¡, то dy = 2, где dij € D и D•= (А + Е)2.

Сформулируем заключительную теорему, доказательство которой приведено в диссертации. Па ее основе реализуется основной алгоритм синтеза сетевых моделей.

Теорема 3. Пусть А - матрица следования дуг ориентированного ациклического графа '[G, <], Е'!- единичная матрица того же порядка. Утверждается, что если элементы’ '¿у матрицы С — А-А удовлетворяют соотношению: " ; ,,

г1,еСЛиЬ1;>0

Cl’i ~ 10, если Ьу = 0 '

где 6;6 В, В = (А + Е)п, пе N, то матрица О = С - Е также является

матрицей следования дуг.

На основании доказанных выше теоретических разработок предлагается следующий алгоритм контроля и корректировки матрицы следования ориентированных дуг и получения матрицы смежности дуг ориентированного ациклического графа: ____

1. Если ац = 0 и аи • аЛ, * М; = 1, /V, то переходим к п. 11

2. Присваиваем ац = 1,1= (получение матрицы А + Е)

3. Вычисляем 51 = 2(^1

4. Если ац = 0, то присваивается ац = £к=1 а1:к • ак,у

5. Если ац > 1, то присваиваем ац = 1

6. Вычисляем 52 = 2{1и2/,=1аи . : , ,

7. Если 52 = 51 (условие окончания процесса корректировки),, то

переходим к п. 8. Иначе 51 = 52 и переходим к п. 4. ,

8. Вычисляем $3 = %?=1%!}=1аиа)л- Если 53 > N (контроль на

наличие циклов), то переходим к п. 11.

9. Для всех ац = 1 и всех к таких, что а1к = 1 и ак ^ = 1 вычисляем

а),і — аЦ £/с=і аі,к ' О-к,}-

10. Если ац = —2, то = 1.

11. Печать полученных результатов.

Проверка работоспособности предложенного алгоритма проведена на следующем гипотетическом примере. Задана сетевая модель (рис. 2).

Ей соответствует неполная матрица следования ориентированных дуг, приведенная в таблице I.

Номера работ

Табл.1

1 2 3 4 5 6 7

і 0 0 1 1 0 0 1

н о 2 0 0 0 0 I 0 1

1.С сз О. 3 0 0 0 0 1 1 1

сз о. 4 0 0 0 0 0 1 0

М 5 0 0 0 0 0 1 0

*2 б 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0

Табл. 2

Номера работ

1 2 3 4 5 б 7

1 1 0 1 1 1 1 1

1- і8 2 0 1 0 0 1 1 1

Я о. 3 0 0 1 0 1 1 1

а Сч 4 0 0 0 1 0 1 0

0» г 5 0 0 0 0 1 1 0

о 6 0 0 0 0 0 1 0

7 0 0 0 0 0 0 1

Табл. З

Номера работ

1 2 3 4 5 6 7

1 1 0 1 1 1 1 ]

12 0 1 0 0 1 1 1

СЗ 3 а. -2 0 1 0 1 1 1

л о. н -2 0 0 1 0 1 0

§ 5 -3 -2 -2 0 1 1 0

5 6 -5 -3 -3 -2 -2 1 0

7 -3 -2 -2 0 О о 1

1 2 Номера работ 3 4 5 Табл. 4 6 7

1 0 0 1 1 0 0 0

1 2 0 0 0 0 1 0 1

та о. 3 0 0 0 0 1 0 1

га о. 4 0 0 0 0 0 1 0

<и 3 5 0 0 0 0 0 1 0

о X 6 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0

После выполнения п.7 алгоритма получаем матрицу, отличную от полной матрицы следования дуг наличием единиц на диагонали — таблица 2. После выполнения п.9 алгоритма получаем матрицу, приведенную в таблице 3, а из нее матрицу смежности дуг — таблица 4 (п. 10 алгоритма). Полученная матрица смежности дуг - табл. 4 соответствует рассматриваемой сетевой модели (рис. 2).

Структура программного обеспечения, соответствующая приведенному алгоритму, построена по следующему принципу. Исходными данными служат список работ проекта и экспертная оценка связей между работами, которая определяется в диалоговом режиме. Эти данные формируются экспертом.

Функциональная схема программного обеспечения представлена на рисунке 3. Она включает в себя программные модули, обеспечивающие ввод и редактирование данных, построение сети и ее корректировку, а также модуль сшивки сетей различных проектов в единую сеть.

Исходные данные формулируются экспертом путем ответов на следующие вопросы:

1. «Да» - выполнение текущей работы предшествует выполнению работы из опроса;

2. «Наоборот» - выполнение текущей работы следует за выполнением работы из опроса;

3. «Не знаю» — текущая и работа из списка выполняются параллельно.

Предлагаемого набора ответов достаточно для определения связей. При

этом два первых ответа даются экспертом только в случае полной уверенности в ответе. То есть необходимым и достаточным условием построения адекватной сетевой модели является определение экспертом основных связей. Этап оценки связей между работами является достаточно ответственным при работе с программой, а качество сети будет определяться квалификацией специалиста.

После завершения оценки связей для текущей работы программа вводит дополнительные связи между работами, используя условие транзитивности. Это исключает значительную часть работ из опроса, что значительно увеличивает оперативность построения сети. ’

Рисунок 3 - Функциональная схема программного модуля построения сетевых моделей

Случайные ошибки эксперта могут привести к образованию циклов. Поэтому в программе перед переходом на очередную работу предусмотрены проверка сети на наличие циклов и их автоматическое разрушение. Эксперту выдается предупреждение об образование цикла и список входящих в него работ, образовавших его.

Когда все связи между работами установлены, выдается сообщение об окончании построения сети, и программа отображает соответствующий сетевой график. Сетевая модель представляется в виде графа «работы-дуги», при необходимости вводятся фиктивные работы. Сетевой график формируется автоматически.

Программа написана на языке «Visual С* ». Она отвечает современным требованиям пользовательского интерфейса, имеет подробную справку по всем этапам работы программы. Количество работ в проекте, поддерживаемое программой, зависит от размера оперативной памяти компьютера. На современном компьютере программа позволяет создавать проекты, включающие более 2000 работ.

Программа апробирована в промышленном производстве, при разработке научно-технических проектов. Проводилась временная оценка работы эксперта. Так, на построение небольшого проекта из 40 работ с использованием программы было затрачено порядка 30-40 минут, ручное

построение этой сети потребовало более 4 часов. При этом сетевая модель, полученная программным путем, более полно удовлетворяет принципу максимальной независимости работ, чем построенная вручную. В приложении к диссертации приведена сетевая модель, построенная с использованием программного комплекса СМ для инвестиционного проекта по переработке вторсырья на промышленном предприятии РД.

В третьей главе «Вычислительная процедура построения моделей инвестиционного планирования» предлагается методика и разработан алгоритм построения модели для одной из актуальных задач инвестиционного планирования, имеющей целый ряд особенностей по сравнению с обычной постановкой задачи линейного программирования, — динамической модели, планирования финансовых ресурсов с учетом показателя риска и ограничений на средний срок погашения инвестиционного фонда для каждого месяца.

Постановка задачи формулируется следующим образом. Для задачи выбора инновационно-инвестиционной стратегии или задачи, связанной с заменой оборудования создается целевой фонд, предназначенный для инвестиций. При этом ставятся три основные цели:

1. При данных возможностях инвестирования и утвержденного графика выплат должна быть разработана либо стратегия, минимизирующая наличную сумму денег, которая составляет первоначальную основу целевого фонда, либо стратегия, максимизирующая денежную наличность к концу периода.

2. При разработке оптимальной стратегии средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого периода не должен превышать заданной величины.

3. В начале каждого периода (после того как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестированных средств не должна превышать заданной величины.

Необходимо определить оптимальные направления использования ресурсов, так, чтобы среди потенциально реализуемых проектов выбрать наиболее экономически выгодные из них.

Для решения данной задачи сформируем адекватную, поставленным целям математическую модель. Пользуясь терминологией, принятой в теории алгоритмов, на основе индивидуальной задачи, сформулированной в диссертации, построим массовую задачу путем параметризации всех ее коэффициентов. Разработанный автомат построения модели, предполагает использование следующих обозначений:

• Т- количество месяцев, в течение которых производится расчет с поставщиками оборудования;

• Ь - количество типов проектов, в которые могут быть вложены средства целевого фонда;

• Л;([ = 1, £, • Т) — объем инвестиций в соответствующий проект;

• £; - длительность /-го проекта (( = 171);

• Pi - процент за кредит при вложении средств в i-ый проект (i -

m-, _

• rt - индекс риска /-го проекта (i = 1, L);

• R - средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого месяца;

• Q - средняя продолжительность погашения инвестиционных фондов;

• Sj - данные о пополнении целевого фонда или изъятии наличных средств по месяцам (/ = 1,Т + 1).

Задача может решаться при различных целевых функциях:

• при стратегии, минимизирующей наличную сумму денег, которые составят первоначальную основу целевого фонда, целевая функция

-* min',

• при стратегии, максимизирующей денежную наличность к концу периода, целевая функция ST -> max.

Модель линейного программирования будет иметь 3 • {L • Т) ограничений в форме равенств и неравенств и (L • Г + 1) переменных.

Алгоритм автоматизации построения системы ограничений модели можно представить в следующем виде:

1. Ввод исходных данных.

2. Формирование нулевой рабочей матрицы /¡,;(£ -Т хТ + 1).

3. Заполнение матрицы fLj(L ■ Г X Г + 1) исходными данными о возможных вложениях и возврате денежных средств на начало месяца.

3.1. Задаемся типом проекта к = 1,L . Если рассмотрены все типы проектов, переходим к п. 4;

3.2. Если рассмотрен весь возможный период реализации данного типа проекта, т.е. 1 + m ■ tk > Т + 1, где m - счетчик месяцев, переходим к п. 3.1;

3.3. Если в месяце (1 + m • tk) деньги вкладываются в проект Ah то

fi.l+m-tk =

3.4. Если в месяце (1 + (m + 1) • tk) проект At завершается и деньги, вложенные в него, возвращаются с процентами, то

— 1 + Р/с/100.

4. Составление балансовых ограничений на структуру инвестиций для каждого месяца Ий 'Zjli Ai' fi,j = $]■

5. Формирование рабочей матрицы /¡j(L • Т X Т + 1), элементы которой будут определять продолжительность каждого проекта:

5.1. Задаемся типом проекта к = IX Если рассмотрены все типы проектов, переходим к п. 6;

5.2. Если рассмотрен весь возможный период реализации данного типа проекта, переходим к п. 5.1;

5.3. Если в данном месяце деньги вкладываются в проект Ah т.е. /£у = -1, то элементам матрицы / в цикле n = 0,tfc —1

’ 17

. присваиваются значения Д, = ^ - п, равные

продолжительности проекта Л, до его окончания;

6. Формирование рабочей матрицы д1:}(Ь • Т X Т), элементы которой определяют, какие проекты выполняются в рассматриваемый момент времени.

6.1. Задаемся типом проекта к — 1,£. Если рассмотрены все типы проектов, переходим к п. 7;

. 6.2. Если элемент матрицы Ду * 0, т.е. проект Л, выполняется, то

дц = 1, в противном случае дц = 0. ,'р

7. Составление ограничений на средний срок погашения инвестиционного фонда:

- Я* ПЧкгМ) : л

n=г'm^iJ■Лд~Q

В. Формирование рабочей матрицы /у(1 • Т X Т + 1), элементы которой будут определять уровень риска проектов, выполняемых в рассматриваемый момент времени.

8.1. Задаемся типом проекта к = 1, Ь. Если рассмотрены все типы проектов, переходим к п. 9;

8.2. Элементы матрицы Г формируются как /;, = рк •дц,1 =

1,7 иу = 1,Т. ' ‘

9. Составление ограничений на средневзвешенные риски проектов:

£Г..£й(Д,-л,) ..

^%Ы.гА,)-Ц

10. Формирование условий неотрицательности переменных, те ЧА1 > 0 0 = 1,1 - Т)

- 11: Вывод на печать сформированной системы ограничений.

Разработанный алгоритм реализован на языке программирования Си и может быть использован в среде >Утс1о\У5 любой модификации. Тестирование программы подтвердило правильную работу вычислительной процедуры. В приложении диссертации приведена модель динамического планирования и выбора инвестиционных стратегий, разработанная для промышленного предприятия РД.

III. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные научные и практические результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Сформулированы основные требования к экономикоматематическим моделям. Это достижение необходимого уровня адекватности модели и снижение трудоемкости ее построения.

2. Показано, что одним из наиболее эффективных средств представления процессов реализации проектов различного назначения

являются сетевые модели. Вместе с тем отмечена сложность их топологического проектирования в силу большой размерности задачи.

3. Разработан алгоритм, положенные в основу автоматизации построения сетевых моделей. Основной предпосылкой метода является сформулированный в работе принцип максимальной независимости работ. Его реализация позволяет строить оптимальный вариант топологии сети. Предложена функциональная схема системы автоматизированного проектирования сетевых моделей, предусматривающая контроль качества и адекватности модели, выявления циклов и сшивки отдельных фрагментов ■ сети в единую модель. Представлено теоретическое обоснование алгоритма и тестовые примеры, подтверждающие его достоверность. Разработана программа, прошедшая апробацию на промышленных предприятиях РД.

4. Предложено создание комплексного пакета прикладных программ по управлению проектом. Он должен включать в себя, наряду с традиционными модулями расчета временных параметров, решения оптимизационных и распределительных задач, построения календарных планов и модуль автоматизации построения сети.

5. Разработан алгоритм построения модели динамического планирования финансовых ресурсов в различные проекты, обеспечивающий выбор проектов из ряда альтернативных в соответствии с критерием максимума прибыли. Представлено его теоретическое обоснование и рабочая программа, тестированная на задаче динамического планирования инвестиций. Методика построения модели была использована на промышленном предприятии РД при разработке бизнес-планов развития и выборе оптимальных инвестиционных стратегий.

6. Показано, что предложенные алгоритмы синтеза топологии сетей и динамического планирования финансов относятся к Р-классу сложности, т.е. являются полиномиальными алгоритмами. Это обеспечивает получение результата за время, значительно меньшее, чем для NP-полных задач сложности.

Основные положения и результаты диссертационного исследования опубликованы в следующих работах:

I. Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК:

1. Коридзе Э.З. Методика построения модели динамического планирования инвестиций// Региональные проолемы преобразования экономики. - 2010.- №1.- С. 193-199. (0,81 п.л.).

2. Коридзе Э.З. Вычислительная процедура построения моделей инвестиционного планирования// Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки — 2010. №16. — С. 81-87. (0,75 п.л.).

II. Статьи, опубликованные в других научных журналах и изданиях:

3; Коридзе Э.З. Риски в системе управления инвестиционными процессами и меры по их устранению и минимизации// Инвестиции и инновации как важнейший фактор экономического роста: материалы Всероссийской научнопрактической конференции,- Махачкала: ДГТУ, 2008,- С. 55-59. (0,2 п.л.).

4. Коридзе Э.З., Ильягуев П.М. Метод динамического программирования и его использование в инвестиционном планировании// Сб. тезисов докладов XXIX итоговой научно-технической конференции преподавателей, сотрудников, аспирантов и студентов ДГТУ. Гуманитарные науки -Махачкала: ДГТУ, 2008. --Ч. I.- С. 184. (0,06/0,03 пл.).

5. Коридзе Э.З. Сетевые методы планирования и управления и направления их совершенствования// Технологии и развитие инвестиционной и инновационно-внедренческой деятельности в России и Республике Дагестан-сборник научных трудов.- Махачкала: ДГТУ, 2009. - С. 121-123. (0,16 п.л.).

6. Коридзе Э.З. Основные предпосылки и принципы, положенные в основу

алгоритмов построения сетевых моделей// Технологии и развитие инвестиционной и инновационно-внедренческой деятельности в России и республике Дагестан: сборник научных трудов. - Махачкала: ДГТУ 2009 - С 123-127. (0,2 пл.). ’ ' '

7. Коридзе Э.З. Разработка функциональной схемы системы управления//

Технологии и развитие инвестиционной и инновационно-внедренческой деятельности в России и Республике Дагестан: сборник научных трудов -Махачкала: ДГТУ, 2009. -С.133-135. (0,12 п.л.). '

8. Коридзе Э.З. Андросова В. Сетевые модели и система сетевого

планирования и управления// Технологии и развитие инвестиционной и инновационно-внедренческой деятельности в России и Республике Дагестан: сборник научных трудов. - Махачкала: ДГТУ, 2009. - С.135-137. (0,1/0,05 пл.). ’ ’

9. Коридзе Э.З., Ильягуева М.А. Автоматизация проектирования топологии сетевых моделей// Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. -2009. -№12,- С.22-27. (0,6/0,3 пл.).

10. Коридзе Э.З. Оценка сложности алгоритмов построения моделей

организационно-экономических систем// Современные модели социальноэкономических и инновационных трансформаций предприятий, отраслей, комплексов: сборник статей Всероссийской научно-практической

конференции,- Пенза: ПДЗ, 2010. - С. 37-39. (0,09 пл.).

11. Коридзе Э.З. Управление инвестиционными проектами с

использованием сетевых методов// Современные модели социальноэкономических и инновационных трансформаций предприятий, отраслей, комплексов: сборник статей всероссийской научно-практической

конференции. - Пенза: ПДЗ, 2010. С. 39-40. (0,09 пл.).

12. Коридзе Э.З. Оптимизационные и распределительные задачи сетевого планирования// Современные проблемы математики и смежные вопросы:

материалы международной конференции «Мухтаровские чтения».-Махачкала: ДГТУ, 2010. - С. 78-80. (0,12 п.л.).

13. Коридзе Э.З. Особенности современных систем сетевого планирования и управления// Основные направления и перспективы развития информационных систем и информационных технологий в ведущих отраслях народного хозяйства России: сборник научных трудов. - Махачкала: ДГТУ, 2010. -С.170-171. (0,09 п.л.).

14. Коридзе Э.З. Некоторые положения проектирования топологии

сетевых моделей// Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: сборник статей V

международной научно-технической конференции. - Пенза: ПДЗ, 2010. -

С.70-73. (0,2 п.л.).

Формат 60x84 1/16. Бумага офсет 1. Печать ризографная. Гарнитура «Times New Roman». Уол.пл 1,5.

Заказ №31. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО «Издательский дом «Эпоха» 367003 Республика Дагестан, г. Махачкала, ул. Ушакова, 3 «в».

Тел/факс +7(8722) 67-55-56 www.epokha.ru E-maiI:epoha_office@mail.ru

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ

ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1 Роль и значение методов моделирования в управлении организационно-экономическими системами.

1.2.Математические модели и системные аспекты моделирования экономических систем.

1.3. Оценка сложности алгоритмов построения и исследования экономико-математических моделей.

ГЛАВА II. Топологическое проектирование сетевых моделей

2.1. Сетевые методы планирования и управления и направления их совершенствования.

2.2. Основные предпосылки и принципы, положенные в основу алгоритмов построения сетевых моделей.

2.3. Разработка и обоснование алгоритмов синтеза топологии сетевых моделей.

2.4. Функциональная схема системы автоматизированного проектирования сетевых моделей.

ГЛАВА III. Вычислительная процедура построения моделей инвестиционного планирования.

3.1 Принятие решений по выбору и обоснованию инвестиционных проектов.

3.2 Динамическая модель планирования инвестиций.

3.3. Алгоритмы построения модели инвестиционного планирования.

3.4. Апробация методики и анализ полученных результатов

Производственно-коммерческие организации, функционирующие в условиях рынка, представляют собой сложные вероятностные динамические системы, охватывающие процессы производства, обмена, распределения, и потребления материальных ресурсов. Они относятся к классу управляемых систем с известными системными признаками: целостность структуры, наличие целей и критериев эффективности функционирования, наличие внешней среды, влияющей на деятельность организации, возможность декомпозиции системы на взаимосвязанные подсистемы. Основной метод исследования таких систем - это математическое моделирование, важнейшей составляющей которого является этап построения экономико-математической модели. Методология моделирования основана на принципе аналогий, т.е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта, т.е. модели. Следует отметить, что в большинстве случаев данные, полученные в результате моделирования, не могут использоваться как готовые управленческие решения. Они должны рассматриваться как рекомендательные средства, окончательное принятие управленческих решений остается за человеком.

Таким образом, экономико-математическое моделирование является одной из важных составляющих исследования интерактивных систем планирования и управления производством.

Большинство организационно-экономических задач имеют одну важную особенность. Это большая размерность задачи, что не позволяет в целом ряде случаев использовать для построения моделей разработанные типовые методики. В этой связи возникает проблема формализации самого процесса построения модели, решение которой позволяет автоматически ее синтезировать. Этот подход обеспечивает достижение значений двух важных концептуальных условий - необходимый уровень адекватности модели и снижение трудоемкости ее разработки. Решение отмеченных проблем индивидуально для определенных классов экономико-математических моделей и каждое из них нуждается в теоретическом обосновании и разработке специальных инструментальных средств для его реализации.

Вышеизложенное и послужило основанием выбора темы диссертационного исследования, и оно обуславливает его актуальность с точки зрения теории и практики использования методов моделирования в системах принятия управленческих решений организационно-экономических систем.

В научных трудах отечественных и зарубежных специалистов решены многие проблемы, связанные с технологией моделирования организационно-экономических систем.

Значительный вклад в разработку этих проблем внесли Л.А.Канторович, Е.С.Вентцель, Д.Б.Юдин, М.Ю.Афанасьев, Б.А.Лагоша, Дж. Фон Нейман, Р.Беллман, О.Моргенштерн, С.Р.Хачатрян, В.А.Москвин, Д.И.Голенко, В.М.Трояновский, В.И.Воропаев, С.И.Зуховицкий, В.Леонтьев, А.Кофман, В.И.Малыхин, Д.А.Поспелов и др.

Однако, несмотря на наличие достаточного количества научных работ и методических разработок, посвященных принятию управленческих решений на основе использования экономико-математических методов и современных информационных технологий, в проведенных исследованиях не в полной мере учитываются рыночные условия хозяйствования и характерные для них неопределенность и нестабильность, системный подход при моделировании сложных организационно-экономических систем, не для всех классов моделей разработана методология их построения, вследствие чего многие теоретические и методические аспекты моделирования на сегодняшний день все еще остаются нерешенными.

Целый ряд методов и моделей требуют своего совершенствования. Это относится в первую очередь к методике построения сетевых моделей, 5 являющихся основой систем календарного планирования, методике выбора инновационно-инвестиционных стратегий из ряда альтернативных, учета неопределенности в критериях эффективности инвестиционных проектов и др. Необходимость информационной поддержки указанных задач ставит проблемы создания информационного пространства на уровне предприятия, региона и страны в целом.

Отмеченные выше проблемы и предопределили цель, задачи и направление диссертационного исследования.

Цель диссертационного исследования состоит в исследовании и разработки методов построения сетевых моделей и моделей инвестиционного планирования, обеспечивающих необходимый уровень адекватности, и способствующих совершенствованию системы принятия решений в производственно-коммерческих организациях.

Для достижения поставленной цели необходимо поставить и решить следующие задачи:

1. Провести анализ теории и практики разработки и применения математических моделей в управлении сложными экономическими системами.

2. Определить место и роль сетевых методов в планировании и управлении организационно-экономическими структурами и основные направления их совершенствования.

3. Разработать пакет прикладных программ для построения сетевых моделей, для чего необходимо:

• обосновать основные предпосылки и принципы, положенные в основу алгоритмов синтеза сетей; выполнить разработку и обоснование рабочих алгоритмов построения сетевых моделей;

• разработать функциональную схему системы автоматизации;

• разработать программный модуль для построения сетевых моделей;

• провести апробацию системы автоматизации на промышленных предприятиях республики Дагестан (РД)

4. Выполнить анализ методов и моделей принятия решений, используемых для выбора и обоснования инвестиционных проектов.

5. Разработать инструментальные средства построения моделей инвестиционного планирования, для чего необходимо:

• выполнить разработку и исследование рабочих алгоритмов;

• разработать программу синтеза модели;

• провести апробацию процедуры на промышленных предприятиях РД.

Объектом исследования являются сложные социально-экономические системы.

Предметом исследования является совокупность теоретических, методических и практических проблем, связанных с построением экономико-математических моделей.

Методологической и теоретической основой исследований являются методы, базирующиеся на теории систем и системном анализе, теории графов и множеств, теории алгоритмов и программного обеспечения, экономико-математическом моделировании и современных информационных технологиях.

Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью математической постановки задачи, обоснованностью теоретических предпосылок и принципов, заложенных в алгоритмы, а также качеством и полнотой исходной информации. Точность предлагаемых методов определяется сравнением результатов тестовых расчетов и сопоставлением их с соответствующими решениями, приведенными в литературных источниках. Окончательная оценка предлагаемых методов определяется путем сравнения результатов синтеза модели с экспертными оценками специалистов, а также результатами их практической апробации на предприятиях промышленного комплекса РД.

Научная новизна проведенных в диссертационной работе исследований заключается в разработке и обосновании теоретических и методических положений, связанных с развитием методов построения экономико-математических моделей на основе современных информационных технологий.

Используемый в исследовании методологический подход реализуется посредством последовательно выполняемых процедур, объединенных в четыре этапа:

• обоснование необходимости применения вычислительной техники для построения модели, концептуальный анализ проблемы, определение перечня и характеристик исходной информации;

• формализация проблемы и математическая постановка задачи, разработка и обоснование алгоритмов;

• разработка комплекса программ и решение контрольных примеров;

• практическая апробация программного обеспечения для построения моделей на основе исходных данных промышленных предприятий и экспертная оценка результатов.

В этой связи к основным результатам, составляющим научную новизну исследования можно отнести следующее:

1. Сформулирован и обоснован оригинальный принцип максимальной независимости работ, положенный в основу алгоритмов построения сетевых моделей, реализация которого позволяет строить оптимальный вариант топологии сети.

2. Разработаны алгоритмы синтеза топологии сетей, на основе которых предложена структура программного комплекса для проектирования сетевых моделей.

3. Разработан алгоритм построения модели динамического планирования финансовых ресурсов, обеспечивающий выбор инвестиционных проектов из ряда альтернативных в соответствии с критерием максимума прибыли.

4. Разработаны комплексы программ автоматизированного управления сетевыми моделями и динамического планирования финансов.

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные в нем алгоритмы и программные комплексы построения моделей, обладающие достаточно высоким уровнем качества и адекватности моделей, могут использоваться в системах управления промышленными предприятиями, для управления инвестиционными проектами, выбора и обоснования инновационно-инвестиционных стратегий замены оборудования и др.

Представленные в диссертации методики, алгоритмы и рекомендации могут быть использованы различными предприятиями, научно-исследовательскими и проектными организациями, учебными заведениями при решении научно-практических задач управления сложными социально-экономическими системами.

Апробация результатов исследования. Разработанные в диссертации методы, алгоритмы и программное обеспечение нашли применение при разработке бизнес-планов и научно-технических проектов развития промышленных предприятий РД.

Теоретические и практические вопросы диссертационного исследования докладывались автором и получили положительную оценку на научно-практических конференциях Дагестанского государственного технического университета (ДГТУ) в 2008-2011 гг.; всероссийской научнопрактической конференции «Инвестиции и инновации как важнейший фактор экономического роста» (Махачкала, 2008), международной конференции «Мухтаровские чтения - современные проблемы математики и смежные вопросы» (Махачкала, 2010); конференциях Приволжского дома знаний - Всероссийской научно-практической конференции «Современные модели социально-экономических и инновационных трансформаций 9 предприятий, отраслей, комплексов» и международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2010).

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнена в рамках проекта аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011)». Результаты диссертационной работы использованы в системах управления и при разработке текущих и перспективных планов развития промышленных предприятий РД, а также в учебном процессе ДГТУ при проведении занятий по дисциплинам, связанным с инвестиционным планированием и моделированием экономических процессов.

Публикации по теме диссертации: опубликовано 14 печатных работ, в том числе 2 статьи опубликовано в научных периодических изданиях, включенных в перечень ведущих научных журналов ВАК РФ. Общий объем 14 печатных работ по теме диссертации 3,52 п.л. Объем, принадлежащий лично автору 3,14 п.л.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из ведения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложений. Работа изложена на 124 страницах, содержит 8 таблиц, 8 рисунков, библиографический список включает 130 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена вопросам исследования и разработки методов построения экономико-математических моделей, основное назначение которых на данном этапе развития рыночных отношений в РФ это совершенствование системы планирования и управления на всех уровнях производственно-хозяйственной деятельности организаций, а также поддержки принятия эффективных управленческих решений. Проведенные исследования позволили сделать ряд выводов и сформулировать конструктивные предложения, направленные на решение поставленных выше задач.

Основные научно-методические и практические результаты, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем.

1. Проведен анализ производственно-хозяйственной деятельности и развития современных бизнес-структур, которые являются в настоящее время основной структурной составляющей экономики страны. Показано, что одним из эффективных инструментов управления такими структурами являются экономико-математические методы и модели и современные информационные технологии.

2. Анализ использования методов моделирования организационно-экономических систем показал, что наиболее сложным, трудоемким и трудноформализуемым этапом моделирования является процесс построения самой модели.

3. Сформулированы основные концептуальные критерии экономико-математического моделирования. Это достижение необходимого уровня адекватности модели и снижение трудоемкости ее построения.

4. Показано, что одним из наиболее адекватных средств представления процессов реализации проектов различного назначения являются сетевые модели. Вместе с тем отмечены сложности их топологического проектирования в силу большой размерности задачи.

111

5. Предложены алгоритмы, положенные в основу автоматизации проектирования топологии сетевых моделей. Главной предпосылкой метода является обоснованный в работе принцип максимальной независимости работ. Реализация данного принципа позволяет строить оптимальный вариант топологии сети. Разработана функциональная схема системы автоматизированного проектирования сетевых моделей, предусматривающая контроль качества и адекватности модели, выявления циклов, сшивки отдельных фрагментов сети в единую модель. Представлено теоретическое обоснование алгоритмов и контрольные примеры, подтверждающие их достоверность.

6. Разработана программа, отвечающая современным требованиям пользовательского интерфейса с подробной инструкцией по всем этапам работы программы. Количество работ в проекте, поддерживаемое программой, зависит от размера оперативной памяти компьютера. На современных компьютерах программа позволяет создавать проекты, включающие более пяти тысяч работ.

7. Предложено создание комплексного пакета прикладных программ по управлению проектом. Он должен включать в себя наряду с традиционными модулями расчета временных параметров, решения оптимизационных и распределительных задач, построения объемно-календарных планов и др. и модуль формирования топологии сети

8. Разработаны алгоритмы построения модели динамического планирования финансовых ресурсов в различные проекты, обеспечивающие выбор проектов из ряда альтернативных в соответствии с критерием максимума прибыли. Представлено их теоретическое обоснование и рабочая программа, апробированная на классической задаче динамического планирования инвестиций. Достоверность полученных результатов и адекватность построенной модели определяется полным соответствием полученной модели и результатов ее исследования с моделью, представленных в литературных источниках. Целесообразность разработки

112 представленной методики определяется тем, что организационно-экономические задачи этого класса в большинстве случаев имеют большую размерность, что существенно влияет на точность результатов моделирования. В этом плане автоматизация построения таких моделей существенно снижает время их построения и повышает степень их адекватности.

9. Методики построения модели динамического планирования инвестиций и топологического проектирования сетевых моделей были использованы при разработке бизнес-планов развития и выбора оптимальных стратегий инвестиционного планирования на промышленных предприятий республики Дагестан.

10. Алгоритмы вычислительной процедуры построения моделей динамического планирования инвестиций после соответствующей доработки и унификации могут быть использованы для построения широкого класса организационно-технологических моделей линейного программирования.

11. Показано, что предлагаемые алгоритмы синтеза топологии сетевых моделей и динамического планирования инвестиций относятся к полиномиальным алгоритмам, т.е. к алгоритмам Р-класса сложности.

1. Автоматизированные информационные технологии в экономике: Учебник/ Под ред. Проф. Г.А.Титоренко - М.: ЮНИТИ, 2003. - 399 с.

2. Автоматизированные информационные технологии в экономике: Учебник / М.И. Семенов, И.Т. Трубилин, В.И. Лойко, Т.П. Барановская; Под общ. ред. И.Т. Трубилина. М.: Финансы и статистика, 1999.

3. Адамов А.П., Адамова A.A., Сенькина М.А., Исмаилова И.Т. Системный анализ в управлении предпринимательскими организациями / Под общей редакцией доктора технических наук, профессора Адамова А.П. СПб.: «Политехника», 2002. - 251 е.: ил.

4. Адельсон-Вельский Г.М., Филлер Ф.М. Программа вычисления сетевых графиков // Журнал вычислительной математики и математической физики 1965, №4 с/68-78.

5. Алехина Г.В. Информационные технологии в экономике. М.: Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2002 - 259 е.

6. Анализ экономики и математические методы: сборник научных трудов к 35-летию кафедры (ММАЭ) / Научн. Ред. Б.П.Суворов М.: Экономический факультет МГУ, ТЭИС, 1998. - 128 с.

7. Аныпин В.М. Инвестиционный анализ: Учебно-практическое пособие. -М.: Дело, 2000.-280 с.

8. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций: Учебное пособие для студентов экономических специальностей вузов. М: Изд-во МГУ, 1997.

9. Арчибальд Р. Управление высокотехнологичными программами и проектами: Пер. с англ. М.: ДМК Пресс, 2002 - 464 е.: ил.

10. Ю.Афанасьев М.Ю. и др. Линейное программирование: Учебно-методическое пособие. М.: Изд-во МГУ, 1992.

11. П.Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций: Учебное пособие. М.: Инфра-М, 2006. - 352 с.

12. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в конкретных ситуациях. М.: ТЕИС, 1999.

13. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования. Изд.4, стереот. М.: Издательская группа URSS, 2010. - 432 с.

14. Багриновский К.А., Бендиков М.А. Методы моделирования и анализа свойств механизмов инновационного развития // Экономика и математические методы 2007, т. 42, №2.

15. Бауэр R, Коллар Э., Тан В. Управление инвестиционным проектом: Опыт IBM. М.: Инфра-М, 1995. - 208 с.

16. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2001.

17. Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент: Учебный курс. Киев: Эльга-Н, Ника-Центр, 2002. - 448 с.

18. Бэгьюли Ф. Управление проектом / Фил Бэгьюли. Пер. с англ. В.Петрашек. - М.: ФАИР-ПРЕСС, 2002. - 208 е.: ил. - (Начальная школа бизнеса).

19. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. Изд.З, испр. М.: Издательская группа URSS, 2008. - 328 с

20. Вентцель Е.С. Исследование операции. Задачи, принципы, методология. -2-е изд., стер. М.: Наука, 1988. - 208 с. - (Проблемы науки и техн. прогресса)

21. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. М.: Высшая школа, 2005. -576 с.

22. Вентцель Е.С., Овчаров A.A. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1988.

23. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. М.: Изд. «Дело». 2001 -832 с.

24. Воронцовский A.B. Методы обоснования инвестиционных проектов в условиях определенности: Учебное пособие для вузов. Изд. 2-е, испр., доп. С-Пб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2004. - 528 с.

25. Г. Хакен Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным явлениям М.Мир. 1991. 240 е., с ил.

26. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц 5-е изд. - М.: Физматлит, 2004. - 560 с.

27. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.;Наука, 1971.

28. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

29. Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. М.: Наука, 1968. - 400 с.

30. Гольштейн Е.Г. Седловой метод, использующий неточные исходные данные // Экономика и математические методы 2007, т. 43, №3.

31. Голыптейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программировании транспортного типа. М.: Наука. 1969.

32. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. -М.: Сов. радио, 1966.

33. Голыптейн Е.Г., Юдин Д.В. Специальные направления в линейном программировании. Изд.2, испр. М.: Издательская группа URSS, 2010. -258 с.

34. Горбатов В.А. Теория частично упорядоченных систем. М.: Советское радио, 1976. - 336 с.

35. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Издательство «Дело и сервис», 2002. - 160 с.

36. Грачева М.В. Анализ проектных рисков: Учебное пособие для вузов. М.: ЗАО «Финстатинформ», 1999. - 216 с.

37. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.-416 с.

38. Дональд Е. Кнут К. Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы. 3-е издание СПб.: Вильяме, 2000. - 500 с.

39. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М.: «Финансы и статистика», 2000 -176 с.

40. Евстигнеева Л.П., Евстигнеев Р.Н. Экономика как синергетическая система. М.: Издательская группа URSS, 2010. - 420 с.

41. Емельянов A.A., Власова Е.А. Имитационное моделирование экономических процессов. М.: Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2001. - 92 с.

42. Жданов С.А. Экономические модели и методы управления. М.: Издательство "Дело и сервис", 1999. - 176 с.43.3уховицкий С.И., Радчик И. А. Математические методы сетевого планирования М.: «Наука», 1965г., 296 с.

43. Зыков A.A. Теория конечных грфов. Новосибирск: Издательство «Наука», сибирское отделение, 1969. - 543 с.

44. Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1999.

45. Ильягуева М.А. Математические и инструментальные методы моделирования операций в управлении развитием промышленного предприятия С-Пб.: Политехника, 2005г. - 216 е.: ил.

46. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. -М.: Прогресс, 1975.

47. Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.:ЮНИТИ, 2000.

48. Кади Дж. Количественные методы в экономике. М., 1997.

49. Карданская Н.Л. Принятие управленческого решения. Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1999. - 407 с.

50. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. -М.: Мир, 1964.

51. Клейнер Г.Б. Риски промышленных, предприятий // Российский экономический журнал. 1994. - № 5-6.

52. Клиффорд Ф. Грей, Эрик У. Ларсон Управление проектами: Практическое руководство/ Пер с англ. М.: Издательство «Дело и сервис», 2003. - 528 с.

53. Колбанов В.М., Леонов В.Ю., Медницкий В.Г., Медницкий Ю.В. Оптимизация структуры производственных систем // Известия РАН. Теория и системы управления 2007, №4.

54. Коридзе Э.З. Методика построения модели динамического планирования инвестиций// Региональные проблемы преобразования экономики: Ежеквартальный научный журнал №1 (23).- Махачкала: ДНЦРАН, 2010.-С. 193-199.

55. Коридзе Э.З. Автоматизация построения модели динамического планирования инвестиционных ресурсов// Информационные технологии в экономике и управлении. Сборник научных трудов Махачкала: ДГТУ, 2007. - С. 89-97.

56. Коридзе Э.З. Вычислительная процедура построения моделей инвестиционного планирования// Вестник ДГТУ №16. Махачкала: ДГТУ, 2010

57. Коридзе Э.З. Оптимизационные и распределительные задачи сетевого планирования// Мухтаровские чтения современные проблемы математики и смежные вопросы: материалы международной конференции.-Махачкала:ДГТУ, 2010

58. Коридзе Э.З. Разработка функциональной схемы системы управления// Технологии и развитие инвестиционной и инновационно-внедренческой деятельности в России и республике Дагестан: сборник научных трудов.-Махачкала: ДГТУ, 2009. -С.133-135.

59. Коридзе Э.З. Риски в системе управления инвестиционными процессами и меры по их устранению и минимизации// Инвестиции и инновации как важнейший фактор экономического роста: материалы Всероссийской научно-практической конференции.- Махачкала: ДГТУ, 2007

60. Коридзе Э.З. Сетевые модели и система сетевого планирования и управления// Технологии и развитие инвестиционной и инновационно-внедренческой деятельности в России и республике Дагестан: сборник научных трудов. С.135-137.

61. Коридзе Э.З., Ильягуева М.А. Автоматизация проектирования топологии сетевых моделей// Вестник ДГТУ №12. Махачкала: ДГТУ, 2009

62. Коротаев A.B., Малков С.Ю. История и синергетика: Математические модели социальной, экономической и культурной динамики. Изд.2, испр. и доп. М.: Издательская группа URSS, 2010. - 216 с.

63. Костина Л.П. Метод критического пути в многопроектных разработках с учетом ресурсов // Экономика и математические методы 1998, №3 (34) с.140-150.

64. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций. -М.: Мир, 1977.-432 с.

65. Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования и их применение. -М.: Прогресс, 1968. 181 с.

66. Кривцов A.M., Шеховцов В.В. Сетевое планирование и управление. изд. 2-е, доп. и перераб. - М.: Экономика, 1978. - 191 с.

67. Круглов М.И. Стратегическое управление компанией. Учебник для вузов. М.: Русская деловая литература, 1998. - 768 с.

68. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. BHV -Санкт-Петербург, 1997.

69. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом. М.: Дело, 2001.

70. Малков У.Х. О симплекс методе и методах внутренней точки // Математическое программирование и приложения. Екатеринбург: ИММ УО РАН, 2007.

71. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебнопрактическое пособие. М.: Издательство УРАО, 1998. - 247 с.120

72. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Методы оптимизации М.: МЭСИ, 2000. -135 с.

73. Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов / Сборник статей под ред. Ю.Н.Гаврильца. Вып. 4-М.: ЦЭМИ РАН, 2007. 127 с.

74. Милованов В.П. Синергетика и самоорганизация: Социально-экономические системы. М.: Издательская группа URSS, 2010. - 280 с.

75. Миротин Л.Б. Транспортная логистика. М.: Экзамен, 2003. - 512 с.

76. Мишенин А.И. Теория экономических информационных систем: Учебник. 4-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 240 е.: ил.

77. Мокаров В.П. Информационное общество // ИнформКурьер. Связь, 2007.

78. Москвин В.А. Управление рисками при реализации инвестиционных проектов. М.: Финансы и статистика, 2004. - 352 е.: ил.

79. Норкотт Д. Принятие инвестиционных решений. М.: ЮНИТИ, 1997.

80. Ope О. Теория графов. 2-е изд. - М.: Наука, 1980. - 336 с.

81. Оуэн Г. Теория игр. Пер. с англ. Изд.4, стереот.- М.: Издательская группа URSS, 2008.-216 с.

82. Павловская Т.А. Павловская С/С++. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для вузов. СПб.: Питер-Маркет, 2009. - 480 с.

83. Пинегина М.В. Экономико-математические методы и модели. М.: Экзамен, 2002.

84. Проблемы моделирования производственных систем / Материалы семинара под ред. О.Б.Брагинского и Г.В.Клейнера. Вып. 3. М.: ЦЭМИ РАН, 2008 - 89 с.

85. Просветов Г.И. Математические методы в экономике: Учебно-методическое пособие. М.: Издательство РДЛ, 2004. - 160 с.

86. Протасов И.Д. Теория игр и исследование операций. М.: Гелиос АРВ, 2003.

87. Рейнголд Э., Нивергелд Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.: Мир, 1980. - 480 с.

88. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

89. Седова C.B. Лебедова С.С. Декомпазиционный метод ЦП // Математическое программирование и приложения. Екатеринбург: ИММ УО РАН, 2007.

90. Сенькина М.А. Автоматизация построения сетевых моделей // Приборы -2005, №3 (57) с. 15-19

91. Сенькина М.А. Инструментальные и программные средства построения сетевых моделей // Программные продукты и системы 2004, №4 с.47-50

92. Смирнов Э.А. Разработка управленческих решений. Учебник для вузов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 271 с.

93. Смоляк С.А. Об оптимальном выборе моментов начала и прекращения проекта // Аудит и финансовый анализ 2002, №1 с.168-175.

94. Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест Алгоритмы: построение и анализ -М.: МЦНМО, 2000. 960 с.

95. Терехов А.И. Тенденции развития областей нанонауки и нанотехнологий с использованием исследовательских проектов // Наука. Инновации. Образование: Альманах. 2007, №2.

96. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. М.: Русская деловая литература, 2000. 256 с.

97. Трухаев Р.И. Методы исследования процессов принятия решений в условиях неопределенности. Л.: ВМОЛУА, 1972. - 438с.

98. Федосеев В.В., Гармаш А.Н. Дайитбегов ДМ. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 2000.

99. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное .программирование. М.: Мир, 1972.

100. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

101. Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. - 276 с.

102. Хаггард Р. Программирование. Дискретная математика для программистов. М.: Издательство Техносвязь, 2004.

103. ПО.Хачатрян С.Р., Пинегина М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения экономических задач: учебное пособие/ С.Р. Хачатрян, М.В. Пинегина, В.П. Буянов М.:Издательство „Экзамен", 2005. - 384 с.

104. Хачатрян С.Р, Прикладные методы математического моделирования экономических систем: Научно-методическое пособие. М.: Экзамен, 2002.

105. Хемминг Р. Численные методы. М.: Наука, 1968.

106. Хьюз К., Хьюз Тр. Параллельное и распределенное программирование с использованием С++. Киев: Диалектика, 2004. - 872 с.

107. Хэмди A., Taxa Г. Введение в исследование операций, М., СПб., Киев: Вильяме, 2001.

108. Шапиро В.Д. и др. Управление проектами. СПб.: Два ТрИ, 1993. - 443 с.

109. Пб.Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учебное пособие. М.: Дело, 2000. - 440 с. - (Серия «Наука управления»).

110. Ширяев В.И., Баев И.А., Ширяев Е.В. Управление предприятием: Моделирование, анализ, управление. Изд.З, испр. и доп. М.: Издательская группа URSS, 2010. -325 с.

111. Ширяев В.И., Баев И.А., Ширяев Е.В. Экономико-математическое моделирование управления фирмой. Изд.З, стереот. 2007. М.: Издательская группа URSS, 2007. - 224 с.

112. Ширяев В.И., Ширяев Е.В. Принятие решений: Динамические задачи. Управление фирмой. М.: Издательская группа URSS, 2009. - 192 с.

113. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: ЮНИТИ, 1997.

114. Экономико-математические методы и модели / Под ред., A.B. Кузнецова. Минск, БГЭУ, 1999.

115. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов / под ред. В.В. Федосеева. М.: ЮНИТИ, 2000. - 391 с.

116. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения. М.: Наука, 1969. - 424 с.

117. Юкаева B.C. Управленческие решения: учеб пособие. 2-е изд. - М.: Дашков и К, 2006. - 292 с.

118. Ahuja R.K., Magneti T.L., Orlin J.B. Solution of Networks Flows (Theory, Algorithms and Applications), 2000.

119. Haugen R.A. Modern Investment Theory, 4-th ed. Prentice Hall, 1997.

120. Mehlmann A. The Games Afoot! Game Theory in Myth and Paradox. Viena University of Technology, Austria, 2000.

121. Nersesian R.L. Trends and Tools for Operations Management (An Updated Guide for Executives and Managers). Monmouth University, Quorum Press, 2000.

122. Nesterov J.G. Dual Extrapolatin and ist Applications in Semidefinite Optimization // Mathematical Programming. 2007. V. 109. № 2.

123. Wandehuel R.J. Linear Programming: Foundations and Extentions. Princeton University, 2000.