автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математических моделей поддержки принятия решений при информационных ограничениях

На правах рукописи

'' -.......■

ООЬиио»'«-

Жариков Александр Владимирович

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-.8 ДЕК 2011

Барнаул - 2011

005005387

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики и прикладной математики ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Максимов Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Поляков Виктор Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент

Семенов Сергей Петрович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Новосибирский национальный

, - исследовательский государственный университет»

Защита диссертации состоится «23» декабря 2011 г. в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан 22 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д. ф.-м. н., профессор

С.А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В последние годы усиливается интерес к математическому моделированию процессов принятия решений в сложных социальных и экономических системах, в том числе в системах со многими центрами принятия решений (системы с п ЛПР).

Одним из значимых аспектов сложных систем при обосновании оптимальных решений выступают информационные ограничения, т.е. уровень информированности ЛПР о целях, условиях, предпочтениях, множествах допустимых решений всех действующих участников рассматриваемой системы, включая случай несовпадения (асимметрии) указанной информированности.

Исторически задачи обоснования решений с учетом различных информационных гипотез рассматривались в рамках теории игр (В.Н. Бурков, Ю.Б. Гермейер, В.А. Горелик, М.А. Горелов, А.Ф. Кононенко, H.H. Моисеев и др.), двухэтапного и многоэтапного стохастического программирования (IO.H. Ермольев, В.В. Колбин, Д.Б. Юдин и др.), декомпозиционных методов оптимизации сложных систем управления (Ю.Г Евтушенко, Н.М. Оскорбин, B.C. Танаев, В.И. Цурков и др.), методов системной оптимизации (B.JI. Волкович, В.М. Глушков, B.C. Михалевич и др.), системного компромисса (Г.И. Алгазин), теории принятия решений при нечеткой информации (JI. А. Заде, С. А. Орловский).

При анализе информационных ограничений в задачах поддержки принятия решений (ЗПР) часто используются две из известных в литературе базовые модели значений неконтролируемых параметров. В первой модели неконтролируемые параметры ЗПР можно рассматривать как случайные, т.е. значения всех параметров реально являются случайными и ЛПР известны их распределения вероятностей. Во второй модели для значений неконтролируемых параметров в рамках заданных множеств неизвестны их вероятностные характеристики и/или они не могут изучаться вероятностно-статистическими методами. Случай асимметрии информированности ЛПР и соответствующие математические модели обоснования оптимальных решений рассматривались только в простых частных случаях в общем же случае, недостаточно полно исследованы в литературе.

Перспективным для исследования является общий подход к проблеме поддержки принятия решений в условиях информационных ограничений, суть которого состоит в том, что все ЛПР выбирают оптимальные решающие функции, определенные на множествах известных параметров в соответствии с заданной структурой их информированности, включая и асимметрию информированности. При этом ЗПР записываются как задачи вариационного исчисления. Практическая применимость такого подхода состоит в том, что при некоторых простых информационных структурах, поиск оптимальных решений сводится к конечномерным задачам оптимизации, которые решаются известными методами математического программирования. В общем случае для задач поддержки принятия решений с информационными ограничениями необходимо применять методы вариационного исчисления. Учитывая вышесказанное, можно заключить, что тема диссертации является актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей поддержки принятия решений при информационных ограничениях:

теоретическое исследование; разработка и обоснование численных методов; программная реализация.

Для достижения цели в диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

1) анализ существующих подходов к формализации задач принятия решений с учетом информационных ограничений;

2) вариационное расширение задач принятия решений с учетом информационных ограничений и исследование частных случаев, в том числе игры двух лиц с квадратичными функционалами выигрышей;

3) формулировка и доказательство существования равновесия по Нэшу в игре п лиц при разной информированности игроков;

4) обоснование необходимых условий существования решения в задаче стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов;

5) разработка алгоритма для модельного примера задачи стимулирования второго рода при общей и несовпадающей информированности игроков;

6) исследование информационных процессов в системах поддержки принятия корпоративных решений и качественный анализ схем информационного межуровневого взаимодействия на примере численных методов блочного программирования.

Объект исследования - процедуры принятия решений в условиях неопределенности и при асимметрии информированности ЛПР.

Предмет диссертационного исследования - математические модели процессов принятия решений в условиях информационных ограничений.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались математические методы теории принятия решений (теория игр, теория активных систем), методы блочного программирования, вариационного исчисления, теории вероятностей и математической статистики, теории интегральных уравнений.

Научная новизна. Предложены модели, методы и алгоритмы для задач принятия решений при информационных ограничениях путем их сведения к задачам вариационного исчисления. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования равновесия по Нэшу в условиях несовпадающей информированности игроков. Разработан алгоритм численного решения класса игр двух лиц с квадратичными интегральными функционалами выигрышей в концепции ситуации равновесия по Нэшу. Исследованы теоретические и прикладные модели поддержки принятия корпоративных решений и вычислительные алгоритмы ЗПР с учетом ограничений обмена информации.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в том, что предложен способ формализации проблемы принятия решений в условиях информационных ограничений и общий метод их исследования путем сведения к задачам вариационного исчисления, который позволяет обосновать оптимальность искомых решающих функций.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в расширении возможности применения математических методов для задач поддержки принятия решений в условиях неопределенности и при асимметрии ин-

формированное™ ЛПР. Исследование информационных ограничений в корпоративных системах управления может способствовать разработке эффективных численных методов и алгоритмов межуровневого взаимодействия при проектировании внутрифирменных информационных систем.

Разработанный в среде Matlab программный инструментарий поиска ситуации равновесия по Нэшу в квадратичном случае с асимметрией информированности может быть применен при решении задач вариационного исчисления, модификации алгоритмов блочного программирования и решения систем интегральных уравнений.

Основные положения, выносимые на защит}':

1. Результаты системного анализа проблем принятия решений в условиях информационных ограничений, классификации ЗПР и общий метод их исследования путем сведения к задачам вариационного исчисления.

2. Формализация игры п лиц с асимметрией информированности и математические результаты ее исследования, включая существование ситуации равновесия по Нэшу, необходимые условия существования ситуации равновесия по Нэшу для игры двух лиц с квадратичными функционалами выигрышей.

3. Результаты исследования математических моделей обоснования решений при информационных ограничениях, путем имитационного и компьютерного моделирования.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические результаты работы представлены автором на следующих научных конференциях, семинарах и научных школах:

Международные: VII международная научно-практическая конференция «Динамика современной науки» (Республика Болгария, г. София, 2011г.).

Всероссийские: IV Всероссийская научно-практическая конференция-выставка «Единая образовательная информационная среда: проблемы и пути развития» (Томск, 2005), IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2008).

Межрегиональные и региональные: ежегодная студенческая конференция, проводимая в рамках дней молодежной науки в Алтайском государственном университете (Барнаул, 2005, 2006); региональная конференция по математике МАК (Барнаул, 2006-2011); Сибирский научно-практический семинар «Информационные технологии регионального и муниципального управления» (Барнаул, 2009).

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 14 работ, в том числе 3 статьи в ведущих реферируемых научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, 2 приложений и списка используемых источников и литературы (95 наименований). Основной материал изложен на 110 страницах, включая 2 таблицы, 20 рисунков. /

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи, объект и предмет исследования; научная новизна, теоретическая и

практическая значимость, положения, выносимые на защиту, апробация результатов исследования, отражен личный вклад автора.

В первой главе приведен обзор, анализ и классификация задач принятия решений с учетом информационных ограничений. Результаты классификации представлены таблицей, в которой отражена степень изученности в современной литературе.

Схема обоснования математических моделей с подобными ограничениями состоит в последовательном усложнении информационной структуры системы принятия решений. Для и ЛПР рассматриваются детерминированные системы принятия решений и системы принятия решений в условиях неполной информированности с рассмотрением асимметрии информированности. При анализе информационных ограничений в задачах принятия решений (ЗПР) используются две наиболее известные в литературе базовые модели значений неконтролируемых параметров. В первой модели неконтролируемые параметры ЗПР можно рассматривать как случайные, т.е. значения всех параметров реально являются случайными, и ЛПР известны их распределения вероятностей. Во второй модели для значений неконтролируемых параметров в рамках заданных множеств неизвестны их вероятностные характеристики и/или они не могут изучаться вероятностно-статистическими методами.

Как показывает анализ современной литературы, классы ЗПР при асимметрии информированности в литературе изучены не достаточно полно, а для некоторых типов задач с несовпадающей информированностью ЛПР не получены строгие математические постановки задач поиска оптимальных решений.

Предполагается, что объективное описание игровой обстановки задается в следующем виде:

/„={1,...,«}, (1)

^ед,

где ^(^„х,,...,*„) - стратегии игроков (.х е Л' = X, хХ2х...хХ„у,ме IV - вектор параметров целевых функций игроков (\уя), 1Уа,1Г).

Оптимальные стратегии игроков следует находить с учетом информационных ограничений, которые записываются путем задания вектора параметров с/,, известных игроку г е 1п. Пусть, например, - случайный век-

тор с функцией распределения Ф = Ф(м'), с /„ - совокупность индексов, определяющих информационную структуру для /'-го игрока (/„, ={1,...,«}). Тогда стратегией игрока является решающая функция х1 =х1(с!1), С11 е5",) со значениями на множестве Х,,/е/„. Пусть X, - множество таких функций. Обозначим как А/Д-] - знак операции математического ожидания выражения в квадратных скобках по вектору и>еИ/. Вариационным расширением (ВР) игры (1) назовем следующую игру:

= ;е/„. (2)

Таким образом, в диссертации предлагается общий подход к исследованию ЗПР с информационными ограничениями, суть которого состоит в том, что ЛПР выбирают оптимальные решающие функции, определенные на множествах известных параметров в соответствии с заданной структурой их информи-

рованности. Практическая применимость такого подхода состоит в том, что при некоторых простых информационных структурах, поиск оптимальных решений сводится к задачам математического программирования. В общем случае, игра (2) решается с использованием методов вариационного исчисления.

В качестве примеров ЗПР при асимметрии информированности ЛПР приводится игра двух лиц с непротивоположными интересами, которая в литературе известна как игра «Государство-Предприниматели» и задача поэтапной оптимизации управления методом динамического программирования.

Объективное описание игровой обстановки в игре «Государство-Предприниматели» представлено на рисунке 1. Здесь совокупные предприниматели (ЛПР 2) модельной страны выбирают уровень активности х - предпринимательская прибыль (0<д:<д:тах), где хтх соответствует предпринимательскому потенциалу страны. Государство (центр, ЛПР 1) выбирает к (0<к< 1) -долю прибыли, отчисляемой в качестве налогов. Задача центра заключается в выборе решения к*, при котором налоговые отчисления являются максимальными. Интересы предпринимателей состоят в максимизации разности чистой прибыли и предпринимательских рисков, описываемых функцией <р(х,5).

Центр Предприниматели

Целевые функции игроков

х-к

Цели отроков

Максимизировать целевую функцию пу- Максимизировать целевую функцию пу-

тем изменения ставки налога тем изменения совокупной активности

Информационные гипотезы

1. Центр знает вероятностное распределение параметра <5, а предприниматели его

точное значение.

2. Компромисс центра и предпринимателей достигается в ситуациях равновесия

по Штакельбергу.

Решение при 6В < х^

к' = X

Рис. 1. Схема принятия решения в игре «Государство - Предприниматели»

Асимметрия информированности центра и предпринимателей касается знания значений параметра 8, согласно информационной гипотезе, приведенной на рисунке 1. Решение рассмотренной игры получено в предположении, что асимметрично контролируемый параметр <5 имеет равномерное распределение с известными границами [8Н, Зя], а функция предпринимательских рисков и барьеров является логарифмической. В данном случае вариационные задачи поиска решений сведены к двум простым взаимосвязанным задачам оптимизации.

В диссертации рассмотрена задача динамического программирования, которая при асимметрии информированности ЛПР записывается так:

шах

Х,ЬГ„/Е/,

где ЛПР / знает д:(.1 и часть параметров вектора и'', индексы которых заданы множеством ^ с{/,...,л},\//е/„.

При решении задачи (3) в условиях полной информированности ЛПР рекуррентное соотношение динамического программирования записывается в следующем виде:

Чн (*,-. >'"')={*,. ) + / (Х,-1'х,' Ч)] >'6 К.

где и/Ци^и^,,...,^) - совокупный вектор параметров, существенных для вычисления функции Беллмана Ч',., на /-ом подпроцессе, причем и>' = IV,

При информационных ограничениях решающая функция ЛПР / записывается так:

(4)

В диссертации впервые была доказана оптимальность решения задачи (3), если на прямом ходе решающую функцию (4) находить из условия

Л е ^ ) = [Ч'< (*<'п'')+ А (5>

где Ji = {/',/ +1 ,...,и} \JÍ - индексы параметров, по которым проводится осреднение целевой функции в задаче (5).

Доказательство получено исследованием вариационного расширения задачи (3) с учетом заданной информационной структуры решающих функций в предположении, что параметры разных подпроцессов - независимые случайные величины.

Для информационных ограничений на тип обменной информации между ЛПР (центр и агенты), рассмотрено моделирование информационных процессов поиска оптимального плана корпорации на примере решения задач блочного линейного программирования методами Данцига - Вульфа, Корнай - Липтака и методом отсечений. Поставлена задача исследования вычислительных алгоритмов этих методов с учетом ограничений межуровневого обмена информации.

Во второй главе рассматриваются методы решения игры (2) с использованием вариационного исчисления. Исследование проводится для чартных случаев этой задачи.

Отсутствие в выражении *,(</,) переменной \ур } <£ означает равенство

нулю первой частной производной по данной переменной. Тогда условие разной информированности игроков можно учесть введением дополнительного ограничения для каждого игрока в следующем виде:

(6)

Множество допустимых стратегий обозначим так:Х = ]~|^, х, еХг

¡е!„

Предполагается, что ХсС^ПД"'], »ейсЯ". Соответственно, функция полезности ;-го игрока запишется в виде усредненного значения

уД*(0)=[/•(*,ад)],/е/„.

Следовательно, игровая постановка задачи управления при несовпадающей информированности в рассматриваемом случае примет вид:

■А (*(')) = р^ад)Ф(иОс/^тм,/е/„, (7)

а игра в нормальной форме запишется так: Г = ^ ,[•/,(.*(•))} /

Тогда Лагранжианы задач (7):

Ы М

сЬ\>;

уравнения Эйлера для функционалов (7):

дР.(ху,х(иО) . . х~,дЛ,, 'V ' V »ф(и,)=2-л.,1е/я, (8)

ОХ, ^ онг

а условия трансверсальности для свободных границ имеют вид:

АН|й=0, (9)

где дО - граница области £2, А - матрица множителей Лагранжа такая, что

л~(К)„„> К = I з'^'■ а ПРИ подстановке (9) в (8) получаем

[Л * о, у г ,

необходимые условия экстремума (в играх с совпадающими интересами):

0Ф(,)ф,=О, р, -(н^еЯ,), /б/„. (Ю)

П

Одна из распространённых концепций решения некооперативных игр, является поиск ситуаций равновесия по Нэшу. Рассмотрим задачу (7) при п = т = 2.

¿/[^(и^ДОу),*,^))] шах

, (И)

Л/1^0с1,>с2,51(|»'),^2(м'))]->тах при условиях асимметрии информированности Э^/сНу, = 0, дх2/дм2 =0. Исследуется случай квадратичных функционалов ^ =

={в{х1,хг^^1),(х],х2,^2)), где ^ = Лг = (а^)4х4, Я = = т.е.

- квадратичные формы с переменными х{,х2, и'ь Информационный вектор ш распределён на квадрате П = [а,6]х[а,£>] с плотностью Ф(н>).

Задача (11) при условиях асимметрии информированности имеет вид: J^ = |(апх,2 + 2апх]х2 + 2апх^ +...+ )ф(«0<Л? -> шах,

П (12) 32- К^,,*,2 + 2й12х]х2 + 2Ьпххм\ + ...+^4»'2)ф(1к')с/№->тах. а

Задача (12) является игрой двух лиц, где ^(х1,х2)^2(х1,х2) - функции выигрыша, а хх,х2 - стратегии игроков. Предположим, что множество допустимых стратегий Х1г Х2 - пространство С'(О). Для случая, когда IV] и н'2 явля-

ются независимыми случайными величинами, оптимальные решающие функции игроков х* (и'2), £(>с,) находятся аналитически.

Утверждение 1. Пусть компоненты вектора м> есть независимые случайные величины, тогда равновесие по Нэшу задачи (12) при условиях йс,/¿ле, = О, дх2/¿7№, = 0, и ап,Ь22 <0 достигается на линейных по своим переменным функциях и .¿'(ч»,), где яц и Ь2г элементы матриц А и В соответственно.

В диссертации рассмотрен общий случай вероятностного распределения и и>2- Необходимые условия существования решений при этом не изменятся. Тогда нахождение х'Д-* будет зависеть от разрешимости системы интегральных уравнений

»6 4 ь

¿¡¡,;с;(и;)|ф(м')£Лц +о;2|'х,(и>)Ф(н')й'ц; +Д[4и>2|ф(м')йЦ =0,

; ; \ / оз)

а а ал

Определяется тип данной системы. Путем несложных преобразований и изменения обозначений (13) сводится к виду

ь

х(5)-А[Г(М)5( 0Ж=/(*) (14)

К.П.х\ О

где А'(м)=

О K2(s,t))

¿,,|ф(Г,5)Л an¡ <t>(t,s)ds

D D

ffrW + <v) Ф(/, j)df -\{b¿ + ¿>„s)Q>(/, s)ds

г —i-> .

WV auj<t>(t,s)clt b22¡$>(t,s)c¡s

x(s) =

x. (s) ) a b

, Д = — • —. Уравнение (14) является уравнением Фредгольма вто-

<\i bv.

poro рода, записанное в векторной форме. Вопрос разрешимости исследовался с использованием метода сжатых отображений. Показано, что (14) однозначно разрешимо для всех А, достаточно малых по абсолютной величине. Вводится оператор )\х, определённый в С ([ a, ¿>], R2)

Jbc~l\K(t,s)x{t)dt + f(s). (15)

а

Доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в пространстве Е = C([a,6],R:) определен оператор (15), такой что C([a,6],R2)—<¿-»C(M],R2). Пусть, кроме того, для всех q\,<p2eE

РСЩ, Я<Р2) £ Щм (b - a)P(<Pt, ,М = ||А'|| и |л|Л/ф -а) < 1. Тогда существует единственная неподвижная точка <р0.

|А|М (6 - а) < 1 О (Ь - а) шах

\

а) шах ' (<•') \ Ьп Ф(/,,)

ъ а ь Я /

<1. (16)

Последовательные приближения х0 (з),^ (з),...,ху (5),- к этому решению определяются из соотношений хЛ!(.?) = А|&'(г,.9)хЛ,(/)<Л + /(-у), Л'= 0,1,..., где в

а

качестве х0 [.$) можно взять любую непрерывную вектор-функцию на [а,Ь]. Данный итерационный процесс является сходящимся к некоторой функции в силу приведенного неравенства. Также можно найти решение, используя резольвенту ядра. Если Я||/?|| < 1, то уравнение (14) имеет единственное решение, которое определяется равенством

х~(1 -Л Я)'1 / = / + ЛЯ/ + Л2Я2/ + ... + Л "Я"/ + - (ряд Неймана). Степени оператора Я имеют вид

/Ш

т.

= = ]K(s,t)f(r)clr^ ds = J|jA'MA'(.S,r>&

b

Обозначим jK(t,s)K(s,z)hds = K1(t,T)h, где вектор h является пробной

а

вектор-функцией из Тогда, для произвольной степени оператора

ь Ь

имеем я"/ = )f(t)dt, где KXt,s)h = ¡K(t,T)K^(T,s)hdT.

с <х

Таким образом, решение уравнения (14) запишется в виде: x(r) = f{t) + x\R(t,sJ.)f(s)ds,

а *

В диссертации показано, что данный ряд сходится равномерно при выполнении условия (16) и доказано утверждение 2.

Утверждение 2. Решение задачи (11) в ситуациях равновесия Нэша при ограничениях axja\v\ = 0, dx2/ow2 = 0 существует и единственно, если выполняются условия:

ап.Ьц^О, (Ь-а)тах

ап Ф(м)

вц/ФМЛ

bnO(t,s)

¿>и]ф(м)<й

<1-

Рассмотрим задачу (6), (7) для случая квадратичной структуры функционалов Г,(х, 1е), г€/„. Пусть уу)}, /е/„, где

^ =(°ь)(„+ )(+„>• Приведенная задача может быть сведена к системе уравнений Фредгольма 2-го рода, когда п =2 и структура информационного вектора задается множествами ^и^,,...,!^,...,^}, ¿2 = {\\,\,...,м>к,™гм,...,ыт}, к е {1,2,...,от / 2}. Соответствующие уравнения Эйлера запишутся в виде

/ 2 2+» ^

1 Е^д^н2X^.3* ФИФ.=°./б/2. (17)

где р, = , = • Решение (17) можно разбить на два подслучая.

1. Пусть функция распределения входного вектора и1 имеет вид

.....

тогда, аналогично утверждению 1, оптимальные решающие функции отыскиваются

а1 а2

в классе линейных функций х'(с!1)= + г =1,2, при условии

М ЯЦ а22

=(^')Г = (°*Д2+} (2 (,' = 1»2|. Коэффициенты ^ находятся из (17).

2. Компоненты случайного вектора м имеют функцию распределения Ф(я'„...,и'и). Уравнения Эйлера (17) примут вид

» ь 2+»

№*»('»>» » (} «ь—'-чч-,

а а а а

Систему (18) можно свести к системе, аналогичной системе (14)

ь

5(5,/)- X \к{г,$,1)х{г,()<Ь- = /(«,/),

а

A-fk.fi гЛ-.Л-Г ° гЛ..Л-

' Ьл

а:2(г,5,г)=-

¿> 4 '

а а

Ь Ь1+т

-¡■■•¡Т^л^М^1)^

лМ= ° "П ^-•

а222 |...|ф(г,

а а

Аналогично случаю для двух переменных, решение системы (19) пред-ставимо в виде

при условии (А - а)к шах

Д,'2ф(г,5,<)

а,1, |.../ф(г, *,/)<£•

4 [:{ф(г,*,/)Ж

<1,

где = К, + ЛК2 (г, 5,*) + ...+ Я" X +...- резольвента.

Система (17) может быть сведена к системе интегральных уравнений Фред-гольма 2-го рода при информационной структуре игроков следующего вида:

¿г к е{1,2,...,т/2}.

Для общего вида подынтегрального функционала в диссертации сформулирована и доказана теорема существования ситуации равновесия по Нэшу.

Теорема 2. Пусть игра (7) задается совокупностью

Г = ^/„, {х,} < , | ./,(.*(■))} 1 Пусть для любого ; е /„ множество стратегий X,

есть выпуклый компакт топологического векторного пространства. Положим, что для всех ; е 1Я У, - непрерывный функционал на X=Y\^l и ^(■*(')) вогнут по

х1 (•) е X,. Тогда множество ситуаций равновесия по Нэшу ифы (7) не пусто и компактно.

Доказательство проводится на основе леммы Кнастера-Куратовского-Мазуркевича.

Данный результат можно усилить для игры (7), используя результаты теории нелинейных интегральных уравнений и классический результат Тихонова - Шаудера о неподвижной точке.

Теорема 3. Пусть игра задается совокупностью выражений Г = |/„, ^ . {./,(*(■))} : где функционалы выигрышей игроков имеют вид

(.*(■)) = |/г(1»')х(м'))ф(и')</»>,/£/„. Пусть для любого /е /„ множество стра-

О

тегий Х1 есть шар радиуса а, в С'[п], т.е. X, = {*,(/): 5, (<) е С^П],!*^«,}. Положим, что для всех /е/„ функции ^(гр, у)^еО,< а,) и Ф(те) непрерывны по всем переменным в совокупности, а /г (>е,3с(те)) вогнута по х, (•) е Х1.

Тогда множество ситуаций равновесия по Нэшу данной игры не пусто и компактно.

Таким образом, сформулированы необходимые условия существования ситуации равновесия по Нэшу. Приведенные теоремы не являются конструктивными и на практике приходится решать сложные нелинейные системы интегральных уравнений. Полученные результаты для квадратичной структуры функционалов выигрышей игроков можно использовать для нахождения ситуаций равновесия по Нэшу в играх с функционалами близкими к квадратичным.

Исследование некоторых моделей ЗПР при асимметрии информированности проведено в главе 2 с использованием компьютерного моделирования в среде МаНаЬ.

В третьей главе приведено численное исследование моделей ЗПР в условиях информационных ограничений на примере задачи индивидуального стимулирования при асимметрии информированности и задач принятии и реализации решений в производственных системах.

Рассмотрим многоэлементную детерминированную двухуровневую активную систему, состоящую из центра и п активных элементов (АЭ). Решающие функции каждого АЭ определены собственной информационной структу-

п

рой 5, с!т. Пусть х = (н'))е Л' = , и еГ2с/Г - вектор страте-

1-1

гий АЭ, где 4 £С'[П] - множество стратегий АЭ. Индивидуальные за-

траты /-го АЭ при стратегии х,(н') зависят от стратегий всех активных элементов, т. е. с, (.*(■)) = с, (дг(м')), где - функция затрат АЭ в точке и\ Предполагается неубывание по х(()с) и неотрицательность функции затрат, а для оценки затрат используется усредненное значение - с, = М [с 1 Стимулирование а, (•*(•)) вводится как усредненное значение от (х(-)). Целевой функционал /-го АЭ имеет вид

& (*Н) - с,(х(н'))Р(и>)с/н' шах.

п

Условие асимметрии информированности запишется так:

= (20) Задача стимулирования второго рода для центра есть разность:

а\ '»1

где а = (сг, ,а2 ,...,<т„) е Л/, М - множество допустимых систем стимулирования, а Н(х) — результат деятельности системы. Задача центра заключается в выборе функции стимулирования, доставляющей максимум функционала (21). Показано, что система стимулирования

= + (22) [О, х, * х,

является оптимальной для задачи (19)—(21), и реализует на нижнем уровне равновесие по Нэшу для АЭ.

Рассмотрим детерминированную задачу стимулирования второго рода с двумя АЭ, имеющими функции затрат:

, ^_(х, + агх,)2 , ч _ (х, + ах, )2 С1\Х1>Х2)- >С2\Х1'Х2)~ ГЗ >

2г, 2г2

(23)

где а - параметр характеризующий степень взаимодействия АЭ (0<аг<1), гпг2 - оценка квалификации АЭ. Функция дохода центра Н(х[,х2) = х1 +хг, а фонд заработной платы ограничен величиной А При использовании центром системы стимулирования

<г,{х,х) = \ , (24)

задача центра сводится к поиску оптимальных реализуемых стратегий: ("ф (л, , .х2) = Я (дг,,*2)- с, (,х„ х2) - с2 (х2) -> тах, ^ (25)

Задача (25) решалась с помощью метода множителей Лагранжа. Получено следующее решение внутри области

г.-ап

х, =

и на границе области

л, =

(1+«)2(1-

Т2-агх

(1 + «)2(1- ■а)'

/п+ъ »)" осп,

V 2Л 1- а1 '

-аг\

(26)

2Я I — ос

2 '

Найдены значения функции Ф (х) в точках (26), (27):

Ф, =0, Ф, = 3—^—-Л.

12 а +1

В зависимости от соотношения между величинами Н,7,,г2,а центр может выбирать одно из двух решений. Если Ф,>0, то выполняется неравенство + следовательно, центр выбирает решение (27) в силу положительности функции дохода. Для случая, когда Ф, <0, центру выгоднее принять решение (26), при этом его суммарный доход будет равен нулю.

Далее рассматривается задача стимулирования второго рода с двумя АЭ при асимметрии информированности. Пусть информационный вектор ад распределён на множестве (Г = IV, х 1Г2 с плотностью Р(м). Считаем, что Р(н') обладает свойствами плотности распределения:

/>(«-)> 0 и =

Яг

Пусть функции затрат АЭ имеют вид:

с; (х„х2) = ¡с, (х.^/'О,)^ = Г , , Г " (Г 1г Щу1)

¡г ш "г ( "7

где а - некоторый параметр, ф') = Л ■ = -

функции квалификации АЭ, - оценка квалификации АЭ

/¡(и') = |/;(у1')/5(и>)(:Лг, ¥г(н-) = |г2 («■)/> (и-) ¿Лг.

1Г 1Г

Функция дохода центра определяется аналогично функции затрат АЭ как Я(х,,х2) = ^(и^ + х^')?^)^, а фонд заработной платы ограничен вели-

Я'

чиной Л. При использовании центром системы стимулирования (22) задача центра сводится к поиску оптимальных реализуемых действий:

(Ф ( х,, х,) = Н (х,, х,) - с, (х,, х,) - сг (х,, х,) -» шах,

(28)

с^.х^ + сДдц.л^йД, при разной ннформировапности АЭ:

СНГ,

Аналогично рассуждениям, приведенным во второй главе, задачу (28) можно свести к интегральному уравнению (14):

<А(мч) 1-Я

«Ю

ХЦ)-8 (29)

1-Я

где ХЦ) =

( 0 Кг{и)

<Рг(')

О

, / =

1

1-Я 1

1-я;

/• \ а а

а2 1

1/.М ^М.

Приближенное решение системы (29) находится в среде Мае1аЬ с помощью метода моментов, адаптированного для систем интегральных уравнений. Решение задачи (28) находится в виде

Х(,) =

м

7=1

/(<)+Ы(<)

а система линейно независимых функций

й(0 =

йЧо!

, С082я/, 51П2Я7

1, /2

Для А = 2, В = 1, т = п = а = 0.5, = [-0.5,0.5]х[-0.5,0.5] иД»)=1 найдены коэффициенты ог#, Д,, ^:

аг,, = 1,25,о-|2 = 0, аи = 0,083,^, = 0, <яг22 = 0.58, ап = 0,я-3, =0.083, агг =0 ,а3} =0.51, Д, =1.08, Д2 = -0.0045, Д3 =0.115, Д2| = -0.01,Д22 = -0.002, Д23 = 0.003, Д31 =0.146,

Д32 =0.009, Д33 =0.014,г, =9~т

1-Я

1-Я

1-Я

Условие ортогональности невязки ХсДо^ = (г—1,2,3) для не

У-1

собственного значения 8 -1 примет вид:

0.167с, + 0.0045с2 - 0.032с3 = -1Л

0.01с, + 0.58с2 -0.003с3 =■

-0.063с,-0.009с, + 0.498с

1-Я' 0.01 1-Я' 0.174 1-Я"

Решение данной системы:

_ 2.06 -0.94Я _ 0.015Я-0.033 _ 0.33-0.177Я 1-я ,С2" 1-я ,Сэ" 1-Я '

Подставляя значения коэффициентов ci (г-1,2,3), приближенное решение системы интегральных уравнений (29) запишется в виде

(2.03 - 0.24Я+(0.01Я -0.03)со5(2;ги'2)+(0.3-0.17Я)зш(2^))4 _

(3.06 -0.49Я+(0.0и-0.03)ус1+(0.3-0.17Я)у112)

Ф2})

1-фо.

1-Я

(30)

Исследована зависимость найденного решения и целевой функции от А, при этом рассматривались следующие случаи. Случай 1 (Я=0):

"2.03-0.03соз(2я-и'2)+0.38т(2^»'2)>

'¿■„("•Г /

\

3.06-0.03И', +0.3му

Определим численное значение целевой функции Ф (.*,,*,):

1г

Случай 2:Л*=1 и В результате численного решения системы (29)

были получены эмпирические зависимости Ф(Я) и Ф(}.). Согласно полученным эмпирические зависимостям проведен анализ эффективности учета информационных ограничений, на основании которого можно сделать следующие выводы:

- центру не выгодно увеличивать фонд заработной платы /?;

- максимум функции дохода центра Ф = 0.5 реализуется при Я = 0.55;

- если ограничение фоцда заработной платы не учитывается (л = 0), то доход центра составит Ф = -6.9;

- информационные ограничения оказывают существенное влияние на эффективность системы в целом.

Исследование стратегий стимулирования агентов показывает, что центру выгодно использовать весь фонд заработной платы.

В последнем разделе третьей главы проводится исследование эффективности схемы согласования решений и влияние информационных ограничений по типу обменной информации между центром и агентом. Теоретические алгоритмы исследовались в рамках блочного линейного программирования. Построены и реализованы вычислительные схемы на основе методов Данцига -Вульфа, Корнай - Липтака и метода отсечений.

Для сравнения эффективности исследованных алгоритмов были случайным образом сгенерированы задачи блочного программирования и проведено сравнение сходимости алгоритмов согласования решений. Полученные результаты могут быть использованы для разработки алгоритмов поддержки принятия решений в корпоративных информационных системах.

В заключении приводятся основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, которые состоят в следующем:

1.Проведен системный анализ проблем принятия решений в условиях информационных ограничений и предложен общий метод их исследования путем сведения к задачам вариационного исчисления.

2.Впервые формализована игра п лиц с асимметрией информированности и сформулированы необходимые и достаточные условия существования равновесия по Нэшу, при несовпадающей информированности игроков.

3.Разработан алгоритм численного решения игр двух лиц с квадратичными интегральными функционалами выигрышей для поиска ситуаций равновесия по Нэшу.

4. Сформулированы и обоснованы необходимые условия существования решения в задаче стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов.

5.Исследованы информационные процессы систем поддержки принятия корпоративных решений и проведен качественный анализ схем информационного межуровневого взаимодействия на примере численных методов блочного программирования.

6.В среде Matlab реализован программный инструментарий поиска ситуации равновесия по Нэшу в квадратичном случае с асимметрией информированности, который может быть применен при решении задач вариационного исчисления, модификации алгоритмов блочного программирования и решения системы интегральных уравнений.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации

1. Жариков A.B. Нахождение равновесия Нэша в игре двух лиц для вариантов информационной структуры игроков /A.B. Жариков // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 2008. - Т. 15, вып. 3. - С. 470. 0,06 п.л.

2. Оскорбин Н.М. Информационные процессы координации корпоративных решений и их компьютерное моделирование / Н. М. Оскорбин, А. В. Бого-виз, А. В. Жариков // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Информационные технологии. - Новосибирск, 2010. - Т. 8, вып. 1. -С. 54-59. 0,38 п.л. (лично автора - 0,13 пл.)

3. Жариков A.B. Модели стимулирования агентов промышленной корпорации в условиях асимметрии информированности / A.B. Жариков // Известия Алтайского государственного университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. - Барнаул, 2010. - №1. - С. 110-113.0,5 пл.

Другие публикации:

4. Жариков A.B. Необходимые условия оптимальности в задачах управления при разной информированности / A.B. Жариков // Единая образовательная информационная среда: проблемы и пути развития : материалы IV Всероссийской научно-практической конференции-выставке. - Томск : Изд-во TI1V, 2005. - С. 136. 0,06 пл.

5. Жариков A.B. О решении задачи управления в концепции теории игр при разной информированности игроков / A.B. Жариков II МАК-2006 : мате-

риалы девятой региональной конференции по математике. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2006. - С. 77-78.0,13 п.л.

6. Максимов A.B. О решении частной задачи управления в случае разной информированности субъектов / A.B. Максимов, A.B. Жариков // Известия Алтайского государственного университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. - Барнаул, 2006. - №1. - С. 55-58.0,5 пл. (лично автора - 0,25 п.л.)

7. Жариков A.B. Применение принципа сжатых отображений в задаче управления игры двух лиц при разной информированности игроков / A.B. Жариков // Известия Алтайского государственного университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. - Барнаул, 2007. - №1. -С. 55-59.0,63 п.л.

8. Жариков A.B. О существовании равновесия по Нэшу в игровой постановке задачи управления при разной информированности субъектов / A.B. Жариков // МАК-2007 : материалы десятой региональной конференции по математике. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2007. - С. 76-77.0,13 п.л.

9. Жариков A.B. Равновесия по Нэшу в игре двух лиц с квадратичной структурой выигрыша для разных случаев информированности игроков / A.B. Жариков // Управление корпорацией : сб. научных статей / под ред. Н.М. Ос-корбина, В.К. Толстова. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2007. - С. 74-79.0,38 пл.

Ю.Жариков A.B. Равновесие Нэша в игре двух лиц для вариантов информированности игроков / A.B. Жариков // Известия Алтайского государственного университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. - Барнаул, 2008. - №1. - С. 69-70.0,13 п.л.

П.Жариков A.B. Исследование механизмов стимулирования в системах с горизонтальными связями / A.B. Жариков // Информационные технологии регионального и муниципального управления : материалы Сибирского научно-практического семинара / под ред. A.A. Цхая. - Барнаул: Изд-во ААЭП, 2009. -С. 30-31. 0,13 пл.

12.0скорбин Н.М. Проблема согласования решений в иерархических системах / Н.М. Оскорбин, И.Н. Дубина, A.B. Жариков // Препринт 8/09. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2009. - 30 с. 1,9 п.л. (лично автора -0,63 п.л.)

13.Жариков A.B. О равновесии по Нэшу в игре при разной информированности / A.B. Жариков // МАК-2011 : материалы четырнадцатой региональной конференции по математике (24-26 июня 2011г., Барнаул). - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2011. - С. 88-90. 0,13 п.л.

14.Оскорбин Н.М. Информационный аспект принятия решений в системе ЛПР / Н.М. Оскорбин, A.B. Боговиз, A.B. Жариков // Динамика современной науки - 2011. Т. 2. Экономика : материалы УП международной научно-практической конференции. Республика Болгария, г. София, 17-25 июля 2011 г. -София: «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2011. - С. 53-55.0,19 пл. (лично автора-0,06 пл.)

Подписано к печати 18.11.2011 г. Формат бумаги 60x84/16. Объем 1 печ.л. _Заказ № уу.'Тираж 100 экз._

656049, г. Барнаул, ул. Димитрова, 66. Типография Алтайского государственного университета

61 12-1/600

л

МИНИСТЕРСТВ О ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

ЖАРИКОВ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент А. В. Максимов

Барнаул - 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................3

ГЛАВА 1. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В КОРПОРАТИВНЫХ СИСТЕМАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ И МЕТОДЫ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ....................................................9

1.1. Проблема принятия корпоративных решений в условиях информационных ограничений..................................................................................9

1.2. Вариационное расширение задачи принятия решений при информационных ограничениях.............................................................................23

1.3. Исследование информационных ограничений в задачах принятия решений и управления..............................................................................................30

1.4. Исследование информационных процессов при принятии и реализации решений в производственных системах................................................................41

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С ИНФОРМАЦИОННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ..........................51

2.1. Необходимые условия оптимальности задачи с информационными ограничениями...........................................................................................................51

2.2. Игровая постановка задачи управления при несовпадающей информированности..................................................................................................53

2.3. Задача стимулирования при несовпадающей информированности игроков................................................................................................................71

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В КОРПОРАТИВНЫХ СИСТЕМАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ ПРИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ......................................................78

3.1. Пример детерминированной задачи стимулирования второго рода.........78

3.2. Пример задачи стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов............................................................80

3.3. Влияние информационных ограничений по типу обменной информации на примере задач блочного линейного программирования...............................86

3.3.1. Генерация задач блочного линейного программирования...............90

3.3.2. Метод Данцига-Вульфа.............................................................................91

3.3.3. Метод Корнай-Липтака.............................................................................. 97

3.3.4. Метод отсечений.......................................................................................101

3.4. Анализ эффективности методов блочного линейного программирования...........................................................................................105

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................110

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................................111

ПРИЛОЖЕНИЕ 1................................................................................................118

ПРИЛОЖЕНИЕ 2................................................................................................120

2

Введение

Актуальность исследования. В последние годы усиливается интерес к математическому моделированию процессов принятия решений в сложных социально социальных и экономических системах, в том числе в системах со многими центрами принятия решений (системы с п ЛПР).

Одним из значимых аспектов сложных систем при обосновании оптимальных решений выступают информационные ограничения, т.е. уровень информированности ЛПР о целях, условиях, предпочтениях, множествах допустимых решений всех действующих участников рассматриваемой системы, включая случай асимметрии указанной информированности.

Исторически задачи обоснования решений как одного ЛПР, так и п ЛПР с учетом различных информационных гипотез рассматривались в рамках теории игр (В.Н. Бурков [14, 16], Ю.Б.Гермейер [23], В.А.Горелик, М.А.Горелов, А.Ф.Кононенко [27, 28], Н.Н.Моиссев [62, 81] и другие), двух-этапного и многоэтапного стохастического программирования (Ю.Н. Ермольев [34], В.В. Колбин [37], А.С. Немировский [66], Е.А. Нурминский [71], Д.Б. Юдин [88, 89]), декомпозиционных процедур при оптимизации систем управления (Ю. Г Евтушенко [33], Н.М.Оскорбин [49, 57], B.C. Танаев [47],

B.И. Цурков [1, 85]), системного компромисса (Г.И. Алгазин [6, 5]), теории принятия решений при нечеткой информации (Л. Заде [95], А. Кофман [42],

C.А. Орловский [72]).

При анализе информационных ограничений в задачах поддержки принятия решений (ЗПР) часто используются две из известных в литературе базовые модели значений неконтролируемых параметров. В первой модели неконтролируемые параметры ЗПР можно рассматривать как случайные, т.е. значения всех параметров реально являются случайными и ЛПР известны их распределения вероятностей. Во второй модели для значений неконтролируемых параметров в рамках заданных множеств неизвестны их вероятностные характеристики и/или они не могут изучаться вероятностно-статистическими методами. Случай асимметрии информированности ЛПР и

соответствующие математические модели обоснования оптимальных решений рассматривались только в простых частных случаях в общем же случае, недостаточно полно исследованы в литературе.

Перспективным для исследования является общий подход к проблеме поддержки принятия решений в условиях информационных ограничений, суть которого состоит в том, что все ЛПР выбирают оптимальные решающие функции, определенные на множествах известных параметров в соответствии с заданной структурой их информированности, включая и асимметрию информированности. При этом ЗПР записываются как задачи вариационного исчисления. Практическая применимость такого подхода состоит в том, что при некоторых простых информационных структурах, поиск оптимальных решений сводится к конечномерным задачам оптимизации, которые решаются известными методами математического программирования. В общем случае для задач поддержки принятия решений с информационными ограничениями необходимо применять методы вариационного исчисления. Учитывая вышесказанное, можно заключить, что тема диссертации является актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей поддержки принятия решений при информационных ограничениях: теоретическое исследование; разработка и обоснование численных методов; программная реализация.

Для достижения цели в диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

1) анализ существующих подходов к формализации задач принятия решений с учетом информационных ограничений;

2) вариационное расширение задач принятия решений с учетом информационных ограничений и исследование частных случаев, в том числе игры двух лиц с квадратичными функционалами выигрышей;

3) формулировка и доказательство существования равновесия по Нэшу в игре п лиц при разной информированности ироков;

4) обоснование необходимых условий существования решения в задаче стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов;

5) разработка алгоритма для модельного примера задачи стимулирования второго рода при общей и несовпадающей информированности игроков;

6) исследование информационных процессов в системах поддержки принятия корпоративных решений и качественный анализ схем информационного межуровневого взаимодействия на примере численных методов блочного программирования.

Объект исследования - процедуры принятия решений в условиях неопределенности и при асимметрии информированности ЛПР.

Предмет диссертационного исследования - математические модели процессов принятия решений в условиях информационных ограничений.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались математические методы теории принятия решений (теория игр, теория активных систем), методы блочного программирования, вариационного исчисления, теории вероятностей и математической статистики, теории интегральных уравнений.

Научная новизна. Предложены модели, методы и алгоритмы для задач принятия решений при информационных ограничениях путем их сведения к задачам вариационного исчисления. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования равновесия по Нэшу в условиях несовпадающей информированности игроков. Разработан алгоритм численного решения класса игр двух лиц с квадратичными интегральными функционалами выигрышей в концепции ситуаций равновесия по Нэшу. Исследованы теоретические и прикладные модели поддержки принятия корпоративных решений и вычислительные алгоритмы ЗПР с учетом ограничений обмена информации.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в том, что предложен способ формализации проблемы

принятия решений в условиях информационных ограничений и общий метод их исследования путем сведения к задачам вариационного исчисления, который позволяет обосновать оптимальность искомых решающих функций.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в расширении возможности применения математических методов для задач поддержки принятия решений в условиях неопределенности и при асимметрии информированности ЛИР. Исследование информационных ограничений в корпоративных системах управления может способствовать разработке эффективных численных методов и алгоритмов межуровневого взаимодействия при проектировании внутрифирменных информационных систем.

Разработанный в среде МАТЬАВ программный инструментарий поиска ситуации равновесия по Нэшу в квадратичном случае с асимметрией информированности может быть применен при решении задач вариационного исчисления, модификации алгоритмов блочного программирования и решения систем интегральных уравнений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты системного анализа проблем принятия решений в условиях информационных ограничений, классификации ЗПР и общий метод их исследования путем сведения к задачам вариационного исчисления.

2. Формализация игры п лиц с асимметрией информированности и математические результаты ее исследования, включая существование ситуации равновесия по Нэшу, необходимые условия существования ситуации равновесия по Нэшу для игры двух лиц с квадратичными функционалами выигрышей.

3. Результаты исследования математических моделей обоснования решений при информационных ограничениях, путем имитационного и компьютерного моделирования.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические и практические результаты работы представлены автором на следующих научных конференциях, семинарах и научных школах:

Международные: VII международная научно-практическая конферен-

ция «Динамика современной науки» (Республика Болгария, г. София, 2011г.).

Всероссийские: IV Всероссийская научно-практическая конференция-выставка «Единая образовательная информационная среда: проблемы и пути развития» (Томск, 2005), IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2008).

Межрегиональные и региональные: ежегодная студенческая конференция, проводимая в рамках дней молодежной науки в Алтайском государственном университете (Барнаул, 2005, 2006); региональная конференция по математике МАК (Барнаул, 2006-2011); Сибирский научно-практический семинар «Информационные технологии регионального и муниципального управления» (Барнаул, 2009).

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 14 работ, в том числе 3 статьи в ведущих реферируемых научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, 2 приложений и списка используемых источников и литературы (95 наименований). Основной материал изложен на 110 страницах, включая 2 таблицы, 20 рисунков.

В главе 1 приведен анализ информационных структур принятия решений при информационных ограничениях, обоснована классификация этих задач и отражена степень изученности в современной литературе.

В качестве основой модели рассматривается задача поддержки принятия решений с п ЛПР, когда ЛПР выбирают оптимальные решающие функции, определенные на множествах известных параметров в соответствии с заданной структурой их информированности.

Для иллюстрации данного подхода, приводятся примеры с простыми информационными структурами, а поиск оптимальных решений сводится к задачам математического программирования.

Рассмотрена игра двух лиц с непротивоположными интересами («Государство-Предприниматели») и задача поэтапной оптимизации управления методом динамического программирования.

В разделе 1.4. «Исследование информационных процессов при принятии и реализации решений в производственных системах» рассмотрено моделирование информационных процессов поиска оптимального плана корпорации на примере решения задач блочного линейного программирования методами Данцига-Вульфа, Корнай-Липтака и методом отсечений

В главе 2 рассматриваются методы решения игры при асимметрии информированности с использованием вариационного исчисления в концепции равновесия по Нэшу. Проводится исследование частных случаев этой задачи на примере игры двух лиц.

Для общего случая игры сформулированы условия существования ситуаций равновесия по Нэшу.

В разделе 2.3 «Задача стимулирования при несовпадающей информированности активных элементов» приводится постановка задачи стимулирования в условиях асимметрии информированности активных элементов, и рассматриваются некоторые свойства указанных задач.

В главе 3 приведено численное исследование моделей ЗПР в условиях информационных ограничений на примере задачи индивидуального стимулирования при асимметрии информированности и задач принятии и реализации решений в производственных системах.

Глава 1. Информационные процессы в корпоративных системах принятия решении и методы их математического моделирования

1.1. Проблема принятия корпоративных решений в условиях информационных ограничений

В данном разделе проводится классификация задач обоснования оптимальных решений с учетом информационных ограничений.

Схема обоснования математических моделей с подобными ограничениями, состоит в последовательном усложнении информационной структуры системы принятия решений. Для я-ЛПР рассматриваются детерминированные системы принятия решений и системы принятия решений, в условиях неполной информированности, с рассмотрением асимметрии информированности.

Анализ отмеченной выше литературы, позволяет предложить классификацию задач принятия решений с учетом фактора информированности, представленную на рисунке 1.1, где НПС, НПН - обозначения моделей неконтролируемых параметров соответственно теоретико-вероятностных и моделей с неопределенными факторами.

Поясним рассмотренную схему классификации ЗПР, а также приведем данные об изученности в литературе в виде следующей таблицы.

Таблица 1.1.

Описание и классификация задач принятия решений для п ЛПР

Код ЗПР Описание Литература

1. ЗПР при определенности или детерминированные ЗПР (теория математического программирования, теория игр, теория оптимального управления, исследование операций и др.) [14, 15, 16, 22, 23, 27, 28, 30, 46, 62, 64, 65, 67, 68, 70, 76, 79, 87 и др.]

2. ЗПР при неконтролируемых параметрах [6, 22,25, 37,49, 53, 54, 89]

2.1. ЗПР с совпадающей информированностью ЛПР о неконтролируемых параметрах [6, 22, 25, 37, 89]

2.1.1. ЗПР с совпадающей информированностью ЛПР о неконтролируемых параметрах, параметры имеют стохастический характер (НПС) [22, 25, 37, 89]

2.1.2. ЗПР с совпадающей информированностью ЛПР о значениях неконтролируемых параметров, не случайность (неопределенность) неконтролируемых параметров (НПН) [6, 22, 23, 49, 53, 54]

2.1.3. ЗПР с совпадающей информированностью ЛПР о неконтролируемых параметрах, включая НПС и НПН [22, 23]

2.2. ЗПР с асимметрией информированности ЛПР о неконтролируемых параметрах [6, 22, 23,49,51,52, 53,54]

2.2.1. ЗПР с асимметрией информированности ЛПР о неконтролируемых параметрах, включая НПС Отдельные постановки ЗПР этих классов с использованием приема вариационного расширения рассматривались в работах [51] и [52]

2.2.2. ЗПР с асимметрией информированности ЛПР о неконтролируемых параметрах, включая НПН

2.2.3. ЗПР с асимметрией информированности ЛПР о неконтролируемых параметрах, включая НПС и НПН

В соответствии с приведенными кодами ЗПР, рассмотрим основные подходы и способы их математической формализации.

Конечным результатом любой ЗПР становится решение - конструктивное предписание к действию. Классические модели принятия решений, как правило, являются оптимизационными, ставящими цель максимизировать выгоду ЛПР и на основе этих моделей получить, дополнительную прибыль.

В последние г�