автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка комплекса GETERA для расчета нейтронно-физических характеристик ТВС ВВЭР методом вероятностей первых столкновений

На правах рукописи УДК 621.039.5

ПРЯНИЧНИКОВ Александр Вениаминович

РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА GETERA ДЛЯ РАСЧЕТА НЕЙТРОННО-ФИЗИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК TBC ВВЭР МЕТОДОМ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРВЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ

Специальность: 05.13.18 -Математическоемоделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 4 ДПР 2011

Москва — 2011

LU-CLc^j,

4843944

Работа выполнена в Институте ядерных реакторов Национального исследовательского центра «Курчатовский институт».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Михаил Исаевич Гуревич (НИЦ "КИ")

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Андрей Маркоянович Загребаев (НИЯУ "МИФИ")

доктор технических наук

Александр Олегович Гольцев (НИЦ "КИ")

Ведущая организация: ОАО "ВНИИАЭС" .

("Всероссийский научно-исследовательский институт по эксплуатации атомных электростанций")

Защита состоится «_»_2011г. в_час_мин

на заседании диссертационного совета Д520.009.06 при НИЦ «Курчатовский институт» по адресу: 123182, Москва, пл. И.В. Курчатова 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦ «Курчатовский институт».

Автореферат разослан «_»_2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

Д.т.н., профессор - • В.Г. Мадеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Доля атомной энергетики в нашей стране составляет около 17 % от общей выработки электроэнергии, половина из которой вырабатывается на атомных электростанциях (АЭС) с ВВЭР. Кроме того считается, что эти реакторы будут составлять основу отечественной и мировой ядерной энергетики в среднесрочной перспективе. Поэтому реакторам этого типа уделяется особое внимание. Для успешной эксплуатации АЭС с ВВЭР необходимо постоянно решать многочисленные вопросы, связанные с безопасностью АЭС и улучшением их экономических характеристик. Среди таких задач можно назвать выбор загрузки, обоснование безопасности, схемы управления реактором и переходных режимов, обеспечение удобного и безаварийного режима эксплуатации, увеличение времени работы между перегрузками, управление полем энерговыделения и т.п. Отдельной строкой стоит проблема обучения персонала на компьютерных симуляторах АЭС. При решении этих вопросов большую роль играют расчётные методы. Полный расчёт всего реактора состоит из взаимосвязанных нейтронно-физического, теплофизического и термомеханического расчётов. Первым и определяющим из них является расчёт нейтронно-физических характеристик (НФХ) при заданных теплофизических параметрах.

Развитие вычислительной техники за последние десятилетия привело к тому, что стало возможным проводить массовые расчёты НФХ всего реактора методом Монте Карло (ММК). Этот метод позволяет обходиться практически без приближений и считается эталонным, приближающимся по достоверности к эксперименту. Однако время расчёта реактора этим методом составляет десятки и сотни часов процессорного времени, тогда как для расчёта переходных режимов в реальном времени (например, в симуляторах АЭС) требуется рассчитывать реактор 10 раз в секунду. Таким образом, актуальность Инженерных методов и программ, обеспечивающих малые времена счёта, сохранится ещё долгое время.

Нейтронно-физический расчёт всего реактора состоит из двух этапов. На первом этапе определяются характеристики отдельных ячеек -тепловыделяющих сборок (TBC), имеющих близкие геометрическое строение и состав. Расчёт производится в многогрупповом приближении, в котором число энергетических групп составляет несколько десятков. При мультигрупповом расчёте число групп увеличивается до нескольких сотен, что существенно повышает точность определения НФХ. На втором этапе с использованием параметров, полученных из ячеечных расчётов, определяются характеристики всего реактора. Такая организация вычислений значительно уменьшает затраты на расчёт всего реактора.

Из обзора литературы, приведенного во введении диссертации, видно, что одним из наиболее популярных методов расчёта НФХ ячеек ядерных

реакторов является метод вероятностей первых столкновений (ВПС). Описанные в обзоре программы не были доступны в полной мере на момент начала работы, а накопленный в МИФИ опыт позволял написать ячеечную программу, необходимую для исследовательских и практических целей. В результате усилий нескольких сотрудников кафедры, среди которых был и диссертант, в начале 90-х годов создана программа вЕТЕКА, разработке и модернизации которой и посвящена данная работа. Представлены реализованные методики и применение программы для подготовки библиотек малогрупповых сечений.

Цель работы

Создание практических методик, алгоритмов и программ расчёта НФХ ячеек реакторов и использование программы для математического моделирования ВВЭР.

Для достижения поставленной цели автор решил следующие задачи:

1) Развитие методик и алгоритмов, использующих метод ВПС, для нейтронно-физического расчёта и подготовки библиотек макроскопических сечений (далее библиотек констант) при математическом моделировании реакторов.

2) Создание удобной и гибкой программы для расчёта НФХ ячеек реакторов разных типов методом ВПС с учётом выгорания топлива.

3) Тестирование программы на математических тестах и результатах экспериментов на критических сборках и реакторах ВВЭР.

4) Внедрение программы в практику моделирования ВВЭР для полномасштабных тренажёров и эксплуатационных расчётов.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем:

- созданы оригинальные алгоритмы метода интерфейсных токов, используемого для моделирования двумерных и кластерных систем на основе простых одномерных ячеек;

- разработана мультигрупповая программа ОЕТЕ11А93 подготовки констант ячеек ядерных реакторов;

- получены соотношения, созданы алгоритмы и написаны программы для расчёта НФХ методом ВПС в представлении потока как линейной функции высоты зоны;

- созданы алгоритмы и написаны программные блоки для расчёта НФХ обобщённым методом ВПС в Р„ приближении до пятого порядка, в том" числе впервые для Рп приближения выведены формулы и написаны алгоритмы учёта симметрии системы и расчёта систем с «белыми» граничными условиями.

Обоснованность результатов расчётов, выводов уравнений, формул, алгоритмов основывается на результатах расчётов международных математических тестов, критических и реакторных экспериментов. Программа используется при расчёте и исследовании реакторов разных типов (ВВЭР,

РБМК, ИРТ, ВТГР, БН-600), что подтверждает универсальность и гибкость реализованных методик. Пятнадцатилетний опыт применения созданных библиотек констант в симуляторах АЭС с ВВЭР позволяет говорить о надёжности и точности констант, подготавливаемых программой.

Практическая ценность полученных результатов определяется:

- использованием программы GETERA для полномасштабных расчётов реакторов в НИЦ "КИ" и «ЭНИКО МИФИ», а также при обосновании безопасности ИРТ МИФИ;

- созданием библиотек констант нейтронно-физического расчёта для восьми полномасштабных и аналитических тренажёров АЭС с реакторами ВВЭР, разработанных во ВНИИАЭС и установленных как на отечественных, так и на зарубежных атомных станциях;

- применением программы в качестве исследовательского инструмента и обучающего средства в НИЛУ "МИФИ";

- повышением точности расчётов и расширением области применимости эксплуатационной программы ТВС-М (НИЦ "КИ"), в которую внедрены методики и программы обобщённого метода ВПС в универсальной геометрии.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на

- конференции PHYSOR (Charleston, USA, 1992),

- IX-й и XV-й школах-семинарах по проблемам физики реакторов ("ВОЛГА-95", "ВОЛГА-2008"),

- 14-м и 18-м семинарах по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики ("Нейтроника2003", "Нейтроника 2007").

Публикации

По результатам исследований опубликовано 7 печатных работ, в том числе 3 в ведущих периодических научных изданиях.

Личный вклад

Автор создал мультигрупповую версию программы GETERA93, внедрил и обосновал подробные цепочки взаимопревращений тяжёлых элементов и осколков, используемые при расчёте выгорания топлива ВВЭР,

реализовал методику расчёта кластерных систем и систем с микро гранулами,

подготовил библиотеки констант для восьми полномасштабных тренажёров АЭС с ВВЭР,

верифицировал программу на математических тестах и экспериментах, создал новую версию программы GETERA 10, применяющую универсальный геометрический блок и обобщённый метод ВПС.

На защиту выносятся:

- методика интерфейсных токов, используемая для расчёта двумерных, кластерных систем и топлива с микрогранулами,

- программа подготовки малогрупповых нейтронно-физических констант для полномасштабного расчёта,

- алгоритмы и программы учёта анизотропии рассеяния в гетерогенных системах обобщённым методом ВПС в Р\—Р$ приближениях,

- соотношения, методики и алгоритмы обобщённого метода ВПС, использующего представление потока как линейной функции высоты зоны.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 155 страницах текста, включая 33 рисунка, 9 таблиц, 8 приложений на 33 страницах. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 111 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируется цель, изложены научная новизна, практическая ценность, достоверность полученных результатов, личный вклад автора, а также положения, выносимые на защиту. Дан обзор литературы, описаны программы и методы, используемые для ячеечных расчётов.

В главе 1 дано описание метода ВПС в "классических" приближениях плоского потока и изотропного источника, а также приведены методики подготовки групповых сечений.

Приведена общая характеристика метода ВПС. Показано применение основных приближений метода: постоянного потока в пределах зоны, так называемого приближения "плоского потока", и приближения изотропного источника. Рассмотрены уравнения метода ВПС как для конечной системы с условием вылета нейтронов ("чёрное" граничное условие), так и для системы с граничными условиями в виде изотропного потока на границе:

- С, = ¿i>s, + j;",,J? = ¿CS, ,

ii ii

где С, - плотность столкновений в зоне j; S, - источник нейтронов деления и столкновений; Рв - вероятность нейтрону, родившемуся в зоне i, испытать первое столкновение в зоне у, J- ток нейтронов, втекающих через граничную поверхность I, в приближении изотропного потока на границе; Р" - вероятность нейтрону, влетевшему с изотропным распределением через границу I, испытать первое столкновение в зоне j; J,0"1 - ток нейтронов, вылетающих через границу к; Р" - вероятность нейтрону, родившемуся от однородного и изотропного источника в зоне i, вылететь через поверхность к\

7- вероятность нейтрону, влетевшему с изотропным распределением через границу I, вылететь через поверхность к без столкновения.

Для вероятностей столкновений и прохождения существуют соотношения баланса и взаимности, которые часто используют при вычислении вероятностей. Расчёт вероятностей сводится к интегралу по направлениям. Ядро подынтегральной функции представляет собой в трехмерном случае сумму экспонент от оптического пути, а в двумерном случае - аналогичную сумму функций Бикли. Многомерные интегралы, используемые в определении ВПС, вычисляются численными методами, требующими значительных вычислительных затрат. Однако в одномерной цилиндрической геометрии вычисление ВПС упрощается. Кроме того, если принять предположение о изотропности потока на границах зон, то определение вероятностей сводится к вычислению интегралов только в пределах зоны, что также ускоряет вычисления.

В системе, состоящей из нескольких ячеек, применяется эффективный метод интерфейсных токов. Этот метод предполагает использование предположения однородного и изотропного потока на границах ячеек. В этом случае матрица вероятностей для всей системы строится на основе вероятностей для отдельных ячеек и матрицы долей общих площадей поверхностей ячеек. Этот метод позволяет рассчитывать двумерные системы, используя вероятности, рассчитанные в одномерных ячейках Вигнера- Зейца.

Далее в главе 1 описан способ получения групповых нейтронных сечений, необходимых для решения уравнений метода ВПС. Для сечений в резонансной области энергии приведено описание способа блокировки в гетерогенных средах методом факторов Бондаренко и поправок Данкова. Показаны способы вычисления факторов Данкова в произвольной геометрии с использованием ВПС. Приведена методика учёта анизотропии рассеяния в транспортном приближении.

В главе 2 рассмотрены методы и алгоритмы программы ОЕТЕЯА93.

Эта программа предназначена для расчёта НФХ ячеек и фрагментов активной зоны ядерного реактора методом ВПС. Вероятности вычисляются для одномерной цилиндрической, сферической или плоской геометрии в приближении изотропного тока на границах зон. Программы обработки вычислений рассчитывают широкий набор функционалов, необходимых для анализа процессов, оценки результатов экспериментов и подготовки различных констант. Приближение интерфейсных токов позволяет моделировать сложные двумерные системы. Блок выгорания определяет концентрации изотопов в процессе работы реактора. Программа организована по модульному принципу, ее можно включать в состав других программ и расширять новыми расчётными модулями. В главе описаны библиотека БНАБ93 и комплекс ССЖБУБТ, используемые для подготовки сечений. Представлены строение библиотеки и методика подготовки мультигрупповых

сечений. Метод интерфейсных токов развит для одномерных ячеек с внешней и внутренней границами. Показано, что расчёт кластерных систем сводится к расчёту таких ячеек. Например топливный канал РБМК заменяется системой из нескольких одномерных ячеек, моделирующих графит замедлителя с трубой, топливные ячейки с частью теплоносителя и центральную трубку.

Такая интерпретация метода интерфейсных токов позволила вести расчёт большого класса систем, где определение ВПС другими методами потребовало бы вычисления сложных многомерных интегралов. В тех случаях, когда точности метода интерфейсных токов не достаточно, в программе используется диффузионный блок, рассчитывающий распределение потока нейтронов в системе из шестигранников с гомогенизированными по шестиграннику сечениями.

Описаны оригинальные способы упрощённого моделирования граничных условий в ячейке, находящейся в окружении большого числа одинаковых или близких по составу ячеек. Показано, что в случае, когда ячеек окружения достаточно много, условия на границе основной ячейки не будут зависеть от её свойств.

Далее описана методика расчёта выгорания топлива. Для решения уравнений изотопной кинетики используется метод матричной экспоненты. Автором оптимизированы цепочки взаимопревращения осколков. В результате оптимизации без потери в точности определения НФХ рассчитываются концентрации двадцати тяжелых элементов и тридцати пяти осколков. Для получения сечений обобщённого осколка оптимизирована и запрограммирована цепочка из 120 элементов.

Программа используется для автоматической генерации библиотек констант в энергетических реакторах ВВЭР и РБМК. Рассчитываются таблицы гомогенизированных макросечений ячеек в зависимости от характеристик топлива, замедлителя и теплоносителя для различных глубин выгорания.

Для обоснования программы как инструмента подготовки библиотек констант проведены тестирование и верификация на математических тестах TBC ВВЭР и экспериментах, выполненных на критических стендах и действующих ВВЭР. Сравнение результатов расчётов, полученных по программе GETERA93 и по прецизионной программе MCU показало, что точность расчёта НФХ ячеек с помощью программы GETERA93 составляет 0,3—0,5 % для коэффициента размножения в свежих урановых TBC и 1 — 1,5 % в ячейках с выгоревшим топливом, что находится в пределах точности других известных ячеечных программ. Результаты сравнения полей, рассчитанных по программе GETERA93 и измеренных на критической сборке ZR6 показали, что программа GETERA достаточно хорошо моделирует поля нейтронов, в том числе и около отражателя. Несмотря на то, что блок ВПС даёт погрешности в амплитуде потока вблизи отражателя до 50%, диффузионный блок с гомогенизированными сечениями даёт расхождение с полями эксперимента не более 7%. Для проверки подготовленных

гомогенизированных констант в полномасштабном расчёте реактора проведено тестирование тренажёрной реакторной программы СЯ на экспериментах, проводимых при пуске первого блока Волгодонской АЭС. Сравнение результатов расчета программы СЯ с результатами измерения и результатами расчёта по программе БИПР7 показало, что библиотеки констант, подготовленные программой ОЕТЕ11А93, и программа СИ. позволяют моделировать нейтронно-физические параметры ВВЭР не хуже, чем аттестованная эксплуатационная программа. Погрешности определения критических концентраций борной кислоты, эффективности органов регулирования и коэффициентов реактивности на различные моменты кампании реактора, как правило находятся в пределах точности экспериментов и удовлетворяют требованиям на технические средства обучения.

В главе 3 описано развитие метода ВПС, направленное на уточнение расчёта вероятностей и ослабление приближений метода.

Как показал опыт использования программы СЕТЕКА93, реализованные методики расчёта ВПС могут давать значительные погрешности в определении потока нейтронов в системах, состоящих из ячеек с сильно отличающимися свойствами, а так же в ячейках, геометрия которых заметно отличается от одномерной цилиндрической или сферической геометрии. Основные причины, приводящие к ограничениям на применение программы, -это использование одномерных ячеек Вигнера - Зейца при двумерном расчёте и приближения изотропного источника и плоского потока.

В данной главе описан метод "лучей", применяемый для точного расчёта ВПС. Показаны методики расчёта ВПС, основанные на опыте и программах комплекса МСи, ведущего расчёт распределения потока нейтронов методом Монте-Карло в универсальной геометрии. Описаны методики, ускоряющие расчёт, а также показаны способы выборки "лучей", основанные на особо равномерных последовательностях точек. Для вычисления вероятностей этим методом через систему проводят равномерную сетку лучей, а затем на каждом луче вычисляют вероятность нейтрону, появившемуся на отрезке пересечения лучом зоны г, испытать первое столкновение на отрезке пересечения с зоной у. Для получения ВПС по всей зоне производят суммирование отдельных вкладов. Приведён метод решения уравнения переноса нейтронов в симметричной системе.

Далее приведены методики, позволяющие отказаться от основных приближений метода ВПС. Выведены уравнения обобщённого метода ВПС, основанные на разложении решения интегрального уравнения переноса в ряд по системе ортогональных функций по угловой и пространственной переменным. Показано, что уравнения обобщённого метода ВПС сводятся к системе уравнений, аналогичной системе уравнений обычного метода ВПС, с коэффициентами, имеющими смысл вероятностей для нулевых членов

разложения. В простом случае линейно-изотропного приближения уравнения обобщенного метода ВПС сводятся к уравнениям для средних потоков и токов вдоль координатных осей.

Уравнения выведены как для системы с "чёрными" граничными условиями, так и для системы с граничными условиями в виде анизотропных втекающих токов. Приведены обобщённые уравнения баланса и взаимности для вероятностей столкновения в конечной системе с граничными условиями.

Описана методика учёта симметрии системы в обобщённом анизотропном приближении, в десятки раз уменьшающая требуемую память ЭВМ, что особенно актуально для обобщённого метода ВПС.

В главе 4 описана новая, современная версия программы GETERA -GETERA10, использующая метод обобщённых ВПС и имеющая возможность расчёта на многопроцессорных ЭВМ. Приведены структура программы и методика распараллеливания. Представлены результаты тестирования на ячейках и TBC ВВЭР.

Развитие программы происходило за счёт внедрения более точных методик транспортного расчёта и подготовки групповых сечений. В версии GETERA 10 наряду с имеющимися приближенными способами решения уравнения переноса реализован обобщённый метод ВПС в универсальной геометрии. В программе анизотропия рассеяния учитывается вплоть до Р5 приближения. Для того, чтобы учесть изменение потока по высоте зоны, применяется линейное приближение.

В программу включён блок подготовки сечений, основанный на библиотеке MCU и проблемно-ориентированной библиотеке GRC, взятый из программы MCU-FCP. Таким образом, программа GETERA 10 является результатом объединения двух программ: GETERA93 и MCU-FCP, исходные тексты которых во многих случаях существенно переработаны и дополнены.

При создании версии GETERA 10 применяется опыт программирования комплекса MCU. В частности, из MCU взята идея разделения всего кода на независимые блоки, обменивающиеся данными путем интерфейсных программ, что даёт возможность отказаться от жёсткой структуры программы. В таблице приведены основные блоки программы.

Таблица основных блоков программы GETERA10

Блок Описание

MONITOR блок управления

IKS блок входных данных

XS физический блок

GM геометрический блок

ПЕРСТ2 транспортный блок

SERV блок обработки вычислений

Е блок оборудования

MATH библиотека математических функций

Описаны уточнённые способы расчёта групповых сечений, реализованные в новой версии программы: метод проблемно-ориентированной библиотеки и метод подгруппового расчёта или расчёта на ультратонкой энергетической сетке.

Приведена методика распараллеливания программы и описана реализация параллельной версии. Оценены пути оптимального распараллеливания. Показано, что наиболее эффективным методом является распараллеливание по энергетическим группам. Применение параллельной версии программы при расчёте TBC ВВЭР, состоящей из 3000 зон, привело к уменьшению времени работы программы практически в два раза на персональном компьютере с четырьмя процессорами.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

- создана ячеечная программа GETERA93, используемая для подготовки библиотек констант полномасштабных реакторных программ; в ней использовано мультигрупповое представление сечений библиотеки БНАБ и приближение интерфейсных токов для пространственного расчёта;

- обоснованы подробные цепочки радиоактивных превращений элементов, позволяющие рассчитывать выгорание топлива в ВВЭР до 60 МВт сут/кг;

- разработана методика подготовки библиотек констант для нейтронно-физического расчёта реактора в тренажёрах АЭС и подготовлены библиотеки • констант для тренажёров с ВВЭР;

- проведено тестирование программы GETERA93, показавшее, что подготовленные библиотеки констант позволяют рассчитывать ВВЭР с точностью, удовлетворяющей требованиям на технические средства обучения;

- для обобщённого метода ВПС получены соотношения баланса и симметрии;

- создана новая версия программы GETERA10, использующая

обобщённый метод ВПС и уточнённые методики подготовки сечений;

GETERA1О адаптирована для расчётов на многопроцессорных ЭВМ в

параллельном режиме. .

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1 Belousov N., Bichkov S., Marchuk Yu., Prjanichnikov A., at all. The Code GETERA for Cell and Polycell Calculations. Models and Capabilities, // Proc. of the 1992 Topical Meeting on Advances in Reactor Physics, March 8-11, 1992, Charleston Sheraton, Charleston, SC, USA, pp. 2516-2523

2 Белоусов Н.И., Наумов В.И., Пряничников A.B., Савандер В.И. Сравнение коэффициентов реактивности водо-водяных реакторов с микротвэльным топливом, //Сборник докладов на IX школе-семинаре «Волга-95», М., МИФИ, 1995.

3 Белоусов Н.И., Бычков С.А., Пряничников A.B. Использование метода вероятностей первых столкновений для расчёта ячеек реакторов со сложной геометрией, // Инженерная физика 2002, №4, с. 10-14

4 Гуревич М.И., Гомин Е.А., Калугин М.А., Пряничников A.B. Развитие программы нейтронно-физического расчёта MCU-FCP, // Доклад на XV школе-семинаре «Волга-2008», М., МИФИ, 2008.

5 Гуревич М.И., Калугин М.А., Пряничников A.B., Тельковская О.В., Шкаровскнй Д.А. Алгоритмы расчёта компонент транспортного тензора в обобщённом методе вероятностей первых столкновений, // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2009, вып. 2, с. 3-10.

6 Пряничников A.B. Описание программы GETERA, // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2009, вып. 3, с. 63-77.

7 Гуревич М.И., Калугин М.А., Пряничников A.B., Тельковская О.В., Шкаровскнй Д.А. Алгоритмы расчёта компонент обобщённого транспортного тензора с учётом поверхностных токов, // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов, 2010, вып. 3, с. 3-9.

Подписано в печать 27.12.2010. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,75 Тираж 65. Заказ 24

Отпечатано в НИЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ВПС (КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДИКИ РАСЧЁТА ЯЧЕЕК МЕТОДОМ ВПС).

1.1 Уравнение переноса метода ВПС.

1.2 Алгоритмы вычисления вероятностей.

1.3 Решение уравнения переноса.

1.4 Подготовка групповых сечений.

ГЛАВА 2. ПРОГРАММА вЕТЕРАЭЗ.

2.1 Описание методик программы ОЕТЕКАЭЗ.

2.2 Применение программы вЕТЕРАЭЗ в качестве ячеечной программы для расчёта реакторов ВВЭР.

ГЛАВА 3. РАЗВИТИЕ МЕТОДА ВПС.

3.1 Вычисление ВПС методом лучей.

3.2 Метод обобщённых вероятностей первых столкновений.

3.3 Расчёт анизотропных коэффициентов диффузии.

3.4 Метод обобщённых ВПС в полиномиальном приближении.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММА ОЕТЕРАЮ.

4.1 Строение программы.

4.2 Уточнённый расчёт сечений.

4.3 Распараллеливание.

4.4 Пример расчётов в приближении линейного потока.

4.5 Примеры расчётов систем в анизотропном Рп приближении.

Доля атомной энергетики в нашей стране составляет около 17 % от общей выработки электроэнергии, половина из которой вырабатывается на атомных электростанциях (АЭС) с ВВЭР. Кроме того считается, что эти реакторы будут составлять основу отечественной и мировой ядерной энергетики в среднесрочной перспективе. Поэтому реакторам этого типа уделяется особое внимание. Для успешной эксплуатации АЭС с ВВЭР необходимо постоянно решать многочисленные вопросы, связанные с безопасностью АЭС и улучшением их экономических характеристик. Среди таких задач можно назвать выбор загрузки, обоснование безопасности, схемы управления реактором и переходных режимов, обеспечение удобного и безаварийного режима эксплуатации, увеличение времени работы между перегрузками, управление полем энерговыделения и т.п. Отдельной строкой стоит проблема обучения персонала на компьютерных симуляторах АЭС. При решении этих вопросов большую роль играют расчётные методы. Полный расчёт всего реактора состоит из взаимосвязанных нейтронно-физического, теплофизического и термомеханического расчётов. Первым и определяющим из них является расчёт нейтронно-физических характеристик (НФХ) при заданных теплофизических параметрах.

Развитие вычислительной техники за последние десятилетия привело к тому, что стало возможным проводить массовые расчёты НФХ всего реактора методом Монте Карло [2] (ММК). Этот метод позволяет обходиться практически без приближений и считается эталонным, приближающимся по достоверности к эксперименту. Однако время расчёта реактора этим методом составляет десятки и сотни часов процессорного времени [3], тогда как для расчёта переходных режимов в реальном времени (например, в симуляторах АЭС) требуется рассчитывать реактор 10 раз в секунду [4]. Таким образом, актуальность инженерных методов и программ, обеспечивающих малые времена счёта, сохранится ещё долгое время.

В отличие от прецизионных программ реализующих ММК, инженерные программы используют особенности строения энергетических реакторов. Эти реакторы состоят из большого числа относительно одинаковых структур — тепловыделяющих сборок (TBC). Соответственно этому математическая модель реактора разбивается на геометрические объекты - ячейки, имеющие близкое геометрическое строение и материальный состав. Расчёт всего реактора состоит из двух этапов. На первом этапе определяются характеристики отдельных ячеек. На втором этапе с использованием параметров, полученных из ячеечных расчётов, рассчитываются характеристики всего реактора. Такая организация вычислений значительно уменьшает затраты на расчёт всего реактора.

Метод вероятностей первых столкновений в расчётах реакторов ВВЭР, обзор литературы.

На каждом этапе расчёта реактора применяются методы, наиболее подходящие для решаемой задачи. На уровне ячеек используются методы, направленные на расчёт гетерогенных систем небольшого размера. Характерный размер неоднородностей в таких ячейках составляет около длины пробега нейтрона, а размер ячейки не превышает нескольких длин пробега, т.е. несколько десятков сантиметров. В этом случае наиболее подходят методы, основанные на решении транспортного уравнения, записанного в интегральной форме. На этапе расчёта всего реактора, как правило используется диффузионное приближение [9]. Приведенные рассуждения подтверждаются расчётными схемами реакторов типа LWR (ВВЭР, PWR, BWR), применяемыми в основных ядерных державах.

В России (СССР) для проектных расчётов и расчётов новых топливных загрузок ВВЭР используется комплекс БИПР [б], который состоит из реакторной программы БИПР различных модификаций и константной программы ТВС-М [5].

В исследовательских целях применяются другие комплексы, например реакторная программа SUHAM [10] и ячеечная программа UNK [11], CONSUL 5

12] (реакторная программа) + WIMSD5 [13] (подготовка констант), комплекс программ S VC (реакторная программа) + SVL (ячеечная программа) [14] Существуют программы, используемые в симуляторах АЭС с ВВЭР, например комплекс HEXAN + GETERA и HARDNUT + UNK.

Во Франции для расчёта LWR используется несколько реакторных программ, например CRONOS, SAPHYR, SCIENCE, CASSIOPEE, которые базируются на константах, рассчитанных по программе AP0LL02 [15].

В США для расчёта LWR используется большое число реакторных программ, среди которых можно назвать ANC, DIF3D, NESNLE, PARCS, SIMULATE, ATTILA, PARTISN, PENTRAN, THREEDANT, TORT, сечения для которых готовят CASMO-4, PHOENIX-P, TGBLA, HELIOS, WIMS8, DRAGON и др. [16].

В Японии часть комплексов программ в большей мере используется для расчёта кипящих реакторов (BWR), а часть для расчёта реакторов под давлением (LWR). Среди них можно назвать SIMULATE + С ASMO, TGBLA + LOGOS, ANC + PHOENIX-P , SHARP + NULIF [17].

В упомянутых комплексах отечественных и зарубежных программ можно выделить наиболее характерные ячеечные программы. Среди зарубежных это -WIMS, AP0LL02, CASMO, HELIOS, DRAGON. Среди отечественных -ТВС-М, САПФИР, UNK, GETERA, SVL.

Программа WIMS разработана в Винфризской лаборатории (The Winfrith

Improved Multigroup Scheme) и является одной из старейших и наиболее часто используемых программ в мире [18]. Первая её версия появилась в конце 60 годов прошлого века [19], а сейчас используется 9-я версия. В нашей стране особое распространение нашла версия WIMSD с многочисленными библиотеками [13]. С самого начала эта программа основывалась на ряде расчётных методов: Sn, диффузионном и методе вероятностей первых столкновений (ВПС). Причем наибольшей популярностью пользуется метод

ВПС, позволяющий вести расчёт одномерных и кластерных ячеек [20], [21]. В последних версиях к этим методам добавились метод характеристик [22] и 6 метод Монте Карло [23]. Для подготовки сечений используется библиотека оценённых данных JEF2.2 и программа NJOI [24].

Программа APOLLO-2 разработана во Франция (CEA) в начале 90-х [25] и является развитием программы APOLLO [26]. В ней реализованы практически все методы транспортного расчёта, используемые в ячеечных программах. Расчёт методом ВПС может вестись в одномерной ячейке в приближении плоских и линейных потоков, с учётом анизотропии в транспортном и линейно-анизотропном приближении [27], [31]. Реализован также расчёт ВПС в двумерной RZ геометрии [32]. Совместно с методом ВПС применяется метод интерфейсных токов в Рп приближении и разбиением на углы [33]. Дополнительно к методу ВПС расчёт может вестись методом характеристик в универсальной геометрии [34]. Программа использует библиотеки оценённых данных JEF2.2 , JEF3.1. Групповые сечения готовятся программой NJOI. Для блокировки сечений в области резонансов используется как формализм факторов Бондаренко, так и расчёт в ультратонком групповом прибличении. Возможна комбинация этих методов [32], [33], [34].

CASMO разработана в компании STUDSVIK SCANDPOWER. Версия CASMO-4 появилась в начале 90 годов [35]. В 2006 году представлена версия программы CASMO-5 [36] , отличающаяся от предыдущей версии числом энергетических групп, увеличенным с 70 до 600. Программа выполняет расчёты одномерных ячеек, используемых для получения сечений в крупных и промежуточных группах. Возможен расчёт в двумерной кластерной геометрии (pin cell). Кроме того, программа выполняет расчёты методом характеристик в универсальной двумерной геометрии [37]. С ASMO использует библиотеки оценённых данных JEF2.2 , JEF3.1 и ENDFB-VI и ENDFB-VII [37]. При расчёте методом характеристик может учитываться анизотропия рассеяния. Для учёта резонансной блокировки используется теорема эквивалентности [36]. Факторы блокировки в произвольной геометрии рассчитываются с использованием метода характеристик [37].

Программа HELIOS также разработана в STUDSVIK SCANDPOWER в начале 90 годов [38]. Она решает уравнение транспорта нейтронов методом ВПС в одномерной ячейке и простых двумерных геометриях. Для определения вероятностей используется приближение плоского потока и изотропного источника. Для расчёта сложных систем используется метод интерфейсных токов с разбиением телесного угла на сектора (метод "Current Coupled Collision Probabilities" - СССР) [39]. Анизотропия рассеяния учитывается методом характеристик. Расчёт групповых сечений основан на файлах ENDF/B - VII R0 и программе NJOI [40]. Для учёта блокировки резонансных сечений используются факторы блокировки с возможностью учёта пространственной зависимости [41].

Еще одной программой, часто используемой для подготовки ячеечных констант, является программа DRAGON (Ecole Polytechnique de Montreal, Канада). В этой программе авторы также используют метод ВПС в одномерной, двумерной прямоугольной и гексагональной геометрии. Возможен расчёт вероятностей в универсальной геометрии [43], [44]. Для расчёта больших систем используется метод интерфейсных токов. Программа может решать как прямую, так и сопряженную задачу [44]. Данные для расчёта сечений считываются из файлов, подготовленных в форматах известных программ DRAGN, MATXS (TRANSX-CTR), WIMSD4, WIMS-AECL, APOLLO.

Программа ТВС-М [5] является основной ячеечной программой, используемой для проектных и эксплуатационных расчётов реакторов ВВЭР. Программа создана в РНЦ им. Курчатова. Для двумерного расчёта ТВС в ней применяется комбинация метода ВПС и диффузионного метода. Для учёта анизотропии на уровне интерфейсных токов используется Р3 приближение. Расчёт сечений основан на использовании банка данных программы MCURFFI/A [7] и программ семейства MCU: CROSS [45] и ТЕРМАК [46]. Учёт резонансного поглощения ведётся с помощью ультратонкого группового приближения.

Программа САПФИР является совместной разработкой РНЦ им. Курчатова и НИТИ. Она рассчитывает перенос нейтронов, как в простой одномерной цилиндрической [50], [51], так и в универсальной двумерной геометрии [49]. Для подготовки сечений в тепловой области используется программа ТЕРМАК. В области резонансов расчёт ведётся в обобщённом подгрупповом приближении [53].

Программа UNK также создана в РНЦ им. Курчатова. Она применяется в нескольких комплексах программ, как в самом Центре, так и в других организациях. В ней реализовано несколько различных методов транспортного расчёта: одномерный, двумерный и трёхмерный ВПС, метод характеристик и Монте Карло [11]. Для подготовки сечений используются файлы оценённых данных в формате ENDFB. Учёт резонансов ведётся как в приближении теоремы эквивалентности, так и с помощью расчётов на ультратонкой сетке.

Как видно из обзора, основным методом транспортного расчёта в ячеечных программах является метод ВПС. Не является исключением и ячеечная программа GETERA, с помощью которой произведено подавляющее большинство полномасштабных симуляторов ВВЭР [51]. Она была создана в

МИФИ в начале 90-х годов. Затем программа развивалась во ВНИИАЭС в сотрудничестве с МИФИ и РНЦ "Курчатовский институт". Программа широко применяется в научной, деятельности и учебном процессе МИФИ, а также используется в МИФИ [52], РНЦ "Курчатовский институт" [53] и ВНИИАЭС

4], как программа подготовки малогрупповых сечений. Первоначально программа основывалась на 24 групповой библиотеке БНАБ • с комплексом

ARAMACO [54] и дифференциальной модели Кадиллака в области термализации [55]. Однако в ходе тестирования программы выяснилось, что данная модель подготовки групповых сечений даёт значительные ошибки в системах, содержащих плутоний. Для исправления этой ситуации дифференциальная 100-точечная модель Кадиллака была заменена на 50 групповую модель. Сечения рассеяния основных рассеивателей подготавливались с помощью программы CULLEN [56] с использованием 9 библиотеки оценённых данных ENDFB-IV. Затем для подготовки сечений была подключена программа CONSYST [57] и библиотека БНАБ-93. В результате этой модернизации число групп в резонансной и быстрой области увеличилось до 220. Кроме того, в программе были заменены цепочки взаимопревращений изотопов и переписан блок выгорания. Первоначальная модель выгорания, состоящая из основных делящихся изотопов, отравителей и обобщённого поглотителя, заменена подробной цепочкой из 70 изотопов. Влияние остальных осколков на реактивность учитывается в обобщённом осколке. Сечения для обобщённого осколка подготовлены с использованием результатов расчётов выгорания характерной ячейки ВВЭР. Это позволило повысить точность определения концентраций изотопов при больших глубинах выгорания.

Для резонансной блокировки сечений в программе GETERA используется теорема эквивалентности и геометрические факторы Данкова. Факторы рассчитываются через вероятности поглощения в чёрном поглотителе. Этот способ позволил отказаться от модели Лесли-Джонсона, используемой для расчёта факторов Данкова в кластерах, и перейти к расчёту факторов Данкова по универсальной формуле. Данная версия программы GETERA была создана в конце 90-х годов и успешно использовалась при создании симуляторов АЭС во ВНИИАЭС. По версии библиотеки БНАБ она получила название GETERA93.

Программа использует простую и эффективную методику решения транспортного уравнения. Она основана на модели, являющейся простейшей модификацией метода интерфейсных токов [9]. В этой модели одномерные твэлы, поглощающие или водяные ячейки TBC связываются с помощью граничных токов. Потоки на границах ячеек предполагаются постоянными и изотропными. Такое приближение позволяет хорошо рассчитывать спектр потоков внутри ячеек, но может давать значительные ошибки в распределении потоков между ячейками в сильно неоднородных системах. Для исправления этого недостатка используется диффузионный расчёт с гомогенизированными сечениями ячеек. Полученная смешанная схема повысила точность расчёта штатных TBC реакторов ВВЭР.

Метод ВПС, используемый в программе ОЕТЕЫА, не позволяет рассчитывать системы со сложной геометрией и требует длительной верификации выбранной геометрической модели. Поэтому вопрос о внедрении универсальной геометрической модели оставался актуальным. Для целей верификации метода интерфейсных токов автором создан блок, использующий групповой метод Монте-Карло [58]. С переходом автора в РНЦ "КИ" автор становится участником проекта по созданию отечественной ячеечной программы повышенной точности. Эта программа основана на методиках, программных модулях и опыте разработчиков комплекса МСи [59]. В частности использовалась программа ВЕПС [60], базирующаяся на универсальном геометрическом модуле N00 [61], а для подготовки групповых сечений использовались групповые библиотеки констант и программы комплекса МСи. Поскольку в рамках комплекса МС11 отсутствует методика пространственной блокировки групповых сечений в области резонансов, была создана проблемно-ориентированная библиотека микросечений, рассчитанная для характерных систем с помощью программы МСи. Разработанная программа получила название МСи-БСР и вошла в состав пакета МСи. Она внедрена в практику расчёта групповых констант РБМК в НИКИЭТ и во ВНИИАЭС. Практически сразу было решено использовать новую программу для расчётов реакторов ВВЭР. При этом возник вопрос о правомерности использования приближения изотропного источника. Дело в том, что рассеяние на водороде в реакторах ВВЭР играет большую роль, чем в РБМК, а рассеяние на водороде существенно анизотропное. Поэтому в новой версии ячеечной программы для реакторов ВВЭР решено использовать метод обобщённых вероятностей в Р„ приближении. Этот метод позволяет учесть анизотропию рассеяния путем разложения потока по сферическим функциям. При создании методики обобщённых анизотропных ВПС использовались уже имеющиеся работы [62], [63], [64]. Кроме того, в программе МСИ-БСР рассчитывались анизотропные вероятности, необходимые для расчёта направленных коэффициентов диффузии.

В новой программе реализованы методики обобщённого пространственного метода ВПС, позволяющие отказаться от приближения плоского потока. Внедрено приближение потока линейного по оси 0Z и проходит апробацию линейное приближение на плоскости XY. Развитие новой программы пошло по двум путям:

1) создание отдельного блока транспортного расчёта - ПЕРСТ2, являющегося значительно переработанной версией программ ПЕРСТ [65] и ВЕПС [60], этот блок решает уравнение переноса нейтронов методом обобщённых ВПС в универсальной геометрии на заданных сечениях в произвольной групповой сетке, ПЕРСТ2 используется в программе ТВС-М [5] в качестве альтернативной программы транспортного расчёта;

2) модернизация программы GETERA, программа была переработана так, чтобы войти составной частью в пакет MCU, в неё также добавлен блок транспортного расчёта ПЕРСТ2 и блок подготовки групповых сечений, использующий методику и программы подготовки сечений программы MCU-FCP, при этом в программе сохранился транспортный блок расчёта системы методом интерфейсных токов и блок подготовки сечений CONSYST.

Т.о. диссертационная работа посвящена двум версиям программы GETERA. Описана методика, опыт использования и верификация программы.

Структура, объём и содержание диссертации

Диссертационная работа изложена на 155 страницах текста, включая 33 рисунка, 9 таблиц, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 111 наименований и 8 приложений на 33 страницах.

Заключение

В работе представлена программа GETERA, предназначенная для расчёта нейтронно-физических характеристик ячеек и полиячеек ядерных реакторов методом вероятностей первых столкновений.

В первой и второй главах диссертации показаны основные приближения и способы решения уравнений метода ВПС. Представлена оригинальная методика, позволяющая учитывать влияние окружения, а также рассчитывать двумерные решётки и кластерные системы. Мультигрупповые нейтронные сечения для программы подготавливаются комплексом CONSYST на основе библиотеки БНАБ93 и факторов Данкова, определённых с помощью транспортного блока программы.

Приведен метод решения уравнения изотопной кинетики, используемый для определения изотопного состава топлива в процессе выгорания топлива. Обоснована цепочка взаимопревращений из 20-и тяжёлых элементов и 35-и осколков деления. Для выбранной цепочки показан способ подготовки сечений обобщённого осколка.

Версия GETERA93 использовалась при создании большинства тренажёров АЭС с реакторами ВВЭР. Для обоснования методик нейтронно-физического расчёта реактора было проведено тестирование ячеечной программы и всей реакторной модели. Во второй главе работы представлены результаты верификации на математических тестах ячеек ВВЭР, а также приведены сравнения с критическими и реакторными экспериментами. Результаты сравнений показали, что программа GETERA93 рассчитывает коэффициенты размножения в урановых системах с точностью 0,3% и 1,5% в системах с плутонием. Точность расчёта полей в критических экспериментах ZR6 составляет 3-7%, что находится в пределах точности других известных ячеечных программ, в том числе применяемых для эксплуатационных расчётов реакторов ВВЭР.

В ходе эксплуатации программы выяснился ряд недостатков моделей, реализованных в программе GETERA93. Основным недостатком является невозможность двумерного моделирования больших гетерогенных систем. Эффективный двумерный метод, применяемый в программе, позволяет точно моделировать спектры внутри небольших одномерных систем и не предназначен для расчёта сложных двумерных систем. В связи с этим развитие программы шло в направлении уточнения методов двух и трёхмерного расчёта. Для этого использовались уже имеющиеся методики, алгоритмы и программы. В частности методики программы ВЕПС, рассчитывающей вероятности методом "лучей" в сочетании с универсальным геометрическим модулем комплекса MCU.

В третьей главе описан метод "лучей" и показана методика обобщённого метода ВПС, позволяющая отказаться от основных приближений метода. Впервые применение метода обобщённых ВПС позволяет моделировать анизотропию рассеяния вплоть до Р5 приближения. Неравномерность потока в пределах высоты зоны учитывается в линейном приближении, что приводит к сокращению числа зон и уменьшению времени расчёта. Для точного расчёта сечений применяется проблемно-ориентированная библиотека, подготовленная с применением прецизионной программы MCU.

С использованием новых методик создана версия GETERA10, соединяющая быстродействие программы GETERA93 и точность универсальных методик. Тексты программы переписаны в соответствии со стандартом языка FORTAN95. При ревизии программы использовался опыт комплекса MCU и программы MCU-FCP.

Блок пространственного расчёта программы GETERA10 внедрён в программу ТВС-М, используемую для эксплуатационных и проектных расчётов реакторов ВВЭР.

Новые методики не только расширили область применения программы, но и увеличили время счёта. Для сокращения расчётного времени разработана версия программы для многопроцессоных компьютеров. При распараллеливании программы использовалась технология MPI и методика параллельного расчёта нескольких энергетических групп. Тестовые расчёты на

109 четырёх ядерной персональной ЭВМ показали эффективность распараллеливания около 60% на 3-х процессорах, при этом общее время расчёта сократилось почти в два раза.

1. Е.П. Велихов, А.Ю. Гагаринский, С.А. Субботин, В.Ф. Цибульский. //

2. Россия в мировой энергетике XXI века," // Москва. «ИздАТ», 2006г.

3. А.Д. Франк-Каменецкий. "Моделирование траекторий нейтронов при расчёте реакторов методом Монте-Карло,"// Москва, «Атомиздат», 1978 г.

4. Болсунов A.A. О нейтронно-физических моделях в тренажеростроении // ВАНТ, Сер. Физика ядерных реакторов, 2008, вып. 4, с. 3-9.

5. Гомин Е.А., Гуревич М.И., Жирнов А.П., Калугин М.А., Рождественский И.М., Юдкевич М.С. "Программа MCU-FCP для расчёта переноса нейтронов методом вероятностей первых столкновений," // Атомная энергия, том 105, вып. 2, авг. 2008.

6. R. Sanchez and N.J. McCormick, " A Review of Neutron Transport Approximations," //Nuc. Sei. Eng., 80, 508-527 (1982).

7. Бояринов В.Ф., Давиденко В.Д., Цибульский В.Ф., Полисмаков A.A. "Комплекс программ SUHAM-U, вариант SUHAM-U- VVER-01," // Препринт ИАЭ-6341.5, 2004.

8. Белоусов Н.И., Давидеико В.Д. , Цибульский В.Ф. "Программа UNK для детального расчёта спектра нейтронов в ячейке ядерного реактора," // Препринт ИАЭ-6083/4.

9. T.D. Newton and J.L. Hutton, "The next generation WIMS lattice code: WIMS9" Physor 2002, Seoul, Korea, October 7-10, 2002.

10. J.R. Askew, F.J. Fayers, P.B. Kemshell, "A general description of lattice code WIMS," // Journal of the British nuclear energy society, 1966, vol. 5; pp. 564-585.

11. D.C. Leslie " The "SPECTROX" method for thermal spectra in lattice cells," // Reactor Science and Technology (Journal of Nuclear Energy Parts A/B), vol.17, pp. 293-306. (1963).

12. J.L. Hutton, "Advanced Monte Carlo Features," // Physor 1996, Japan, 1996.

13. D.J. Powney, T.D. Newton "Overview of the WIMS9 resonance treatment," // ANSWERS/WIMS/TR, 26 Issue, a report produced for ANSWERS, September 2004.

14. R. Sanchez et al., " APOLLOII: A user-oriented, portable, modular code for multigroup transport assembly calculations," // Nuc.Sci.,Eng., vol 100, pp. 352 (1998).

15. R. Sanchez, //Nuc.Sci.,Eng., vol. 64, pp. 384 (1977).

16. R. Sanchez , N.J. McCormick", //Nuc. Sci. Eng., vol. 80, pp. 481 (1982).

17. Li Mao, R. Sanchez, I. Zmijarevic and S. Stankovski "RZ calculations for self shielded multigroup cross sections" // Physor 2006, Vancouver, Canada September 10-14, 2006.

18. G.Marleau and A.Hebert "Interface current method for cluster geometry" // Nuc.Sci.,Eng., vol. 92, pp. 240-246 (1986).

19. R. Sanchez and A. Chetaine "A Synthetic Acceleration for a Two-Dimensional Characteristic Method in Unstructured Meshes," // Nuc. Sci. Eng., vol. 136, pp. 122-139(2000).

20. M. Coste, S. Mengelle, "Implementation of subgroup method for self shielding calculations in AP0LL02 code," // Proc. Int. Conf. on the Physics of Reactors, Physor 1996, Mito, Japan, 1996.

21. M. Coste-Delclaux, S. Mengelle, "New resonant mixture self-shielding treatment in the code AP0LL02," //Physor 2004, Chicago, April 25-29 (2004).

22. Laure Mondelain, Igor Zmijarevic, Jean Michael Do and Veronique Bellanger, "Use of the AP0LL02 code for BWR Assembly analysis," // M&C+SNA 2007, Monterey, California, April 15-19, 2007.

23. M. Edenius, et al., "The physics Model of CASMO-4," //Proc. Int. Topical Mtg. Advances in Math., Сотр. and reactors physics, Pittsburg, April 28 May 2, 1991.

24. J. Rhodes, K. Smith, D. Lee, Z. Xu "CASMO-5 development and applications," //Physor 2006, Vancouver, Canada, September 10-14, 2006.

25. K. Smith, J. Rhodes, "CASMO-4 Characteristic Methods for Two-dimensional PWR and BWR Core Calculations," // Trans. Am. Nuc. Soc. 83, 322, Nov. 2000.

26. E.A. Villarino, R.J.J. Stamm'ler, A.A. Ferri, and J.J. Casal, "HELIOS: Angularly Dependent Collision Probabilities," //Nucl. Sci, Eng., 112,16-32 (1992)

27. MacFarlane RE and Muir DW "The NJOI Nuclear Data Processing system, Version 91," // LA-12740-M, Los Alamos National Laboratory, (1994).

28. G. Marleau et al., "A user's guide for DRAGON," // IGE-174, Rev.3, Ecole Polytechnique de Montreal, December 1997.

29. T. Courau, G. Marleau "Adjoint and generalized flux calculations using collision probability technique," //Nuc. Sci. Eng., vol. 141, pp. 46-54, 2002.

30. Л.П. Абагян, B.B. Тебин, М.С. Юдкевич, "Аннотация пакета программ и библиотек CROSS," // ВАНТ, Сер. Физика и техника ядерных реакторов, вып. 4, с. 44-45, 1985.

31. Е.А. Гомин, Г.Ф. Лиман, Л.В. Майоров, "Аннотация программы ТЕРМАС," //ВАНТ, Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1985, вып. 4, с, 53-55.

32. A.C. Иванов, "Аннотация программы расчёта вероятностей первого столкновения," ВАНТ, Сер. Физика и техника ядерных реакторов, вып. 6(43), с. 55-56.

33. Тебин В.В., Юдкевич М.С. "Обобщённый подгрупповой подход к расчёту резонансного поглощения нейтронов," // Атомная энергия, т. 59, вып. 2, август 1985.

34. Пряничников A.B. "Описание программы GETERA," //ВАНТ, Сер. Физика ядерных реакторов, вып. 3, 2009.52. http://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/abstr/2007/reac Schurovskaya 07.pdf (Дата обращения 20.10.2010).

35. В.Д. Давиденко, В.А. Лобынцев, В.Ф. Цибульский, A.B. Чибиияев , "Методика и модули программной системы КРИСТАЛЛ для расчёта реакторов," // ВАНТ, Сер. Физика ядерных реакторов , 1992, вып. 4, с. 30-37.

36. Абагян Л.П., Базазянц Н.О., Николаев М.Н., Цибуля A.M. "Групповые константы для расчёта реакторов и защиты,"// М.: Энергоиздат, 1981.

37. Kadillak "Reactor physics in the resonance treatment and the thermal regions," // The M.I.P. press 1966, vol. 1.

38. Cullen D.E. "An International System for Production of Neutrino's and Protons Calculation Constants," // UCRL-50400. The LLL Evaluated Nuclear Data Library (ENDL) (1975).

39. Мантуров Г.Н., Николаев M.H., Цибуля A.M. "Система групповых констант БНАБ-93 . Часть 1: нейтронные и фотонные ядерные константы" //ВАНТ, Сер. Ядерные константы, 1996, вып. 1.

40. Белов А.А., Пряничников А.В., Селезнев Е.Ф. "Подготовка гетерогенных констант в водород содержащих сборках реактора БН-600 с помощью программы GETERA методом Монте-Карло." //Доклад на семинаре "Нейтроника 2005".

41. Калугин М.А. "Статус MCU-FCP," // ВАНТ, Сер. Физика ядерных реакторов, 2006, вып. 1., стр. 6-32.

42. Гомин Е.А., Майоров JI.B. Программа ВЕПС для расчёта вероятностей первых столкновений в трёхмерных системах, М.: Препринт ИАЭ-4207, 1985.

43. Гуревич М.И. "Алгоритмы поиска геометрических зон," ВАНТ, сер.: Физика ядерных реакторов, вып. 4, М., 1993

44. Н. Takahashi, "Approximation for Calculation of the Generalized First-Flight Collision Probability," //Nuc. Sci. and Eng., vol. 26, pp. 254-261 (1966).

45. Повещенко T.C., Шевелёв Я.В. "Полиномиальная аппроксимация потока нейтронов в методе вероятностей первых столкновений," // Атомная энергия, 1980, т.48, вып. 2, стр. 80-84.

46. Повещенко Т. С. "Развитие метода вероятностей первых столкновений для расчёта ячеек реакторов," // Автореферат дис. канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 М., 1995.

47. Е.А. Гомин , "Аннотация программы ПЕРСТ," //ВАНТ, Сер. Физика и техника ядерных реакторов, 1985, вып. 4, с. 57-59.

48. К.М. Case, F.De Hoffmann, G. Placzek, "Introduction to the theory of neutron diffusion," // vol.1, Los Alamos, New Mexico, 1953.

49. И.Е. Рубин "Метод вероятностей пропускания в одномерной цилиндрической геометрии," //Известия АН БССР, Сер. физ-энерг. наук, №2 25-31, 1983.

50. R. Sanchez "A transport multicell method for two dimensional lattices of hexagonal cells, Nuc. Sci. Eng., vol. 92, pp. 247-254 (1986).

51. Белл Д., Глестон С. "Теория ядерных реакторов," // М.: Атомиздат, 1974.

52. Е.Е. Lewis "Сотр. meth. of neutron transport," //John Willey & sons (1984).

53. Б.П. Кочуров, "Численные методы в теории гетерогенного реактора," // М., Атомиздат, 1980, с. 66-83.

54. A. Mueller and Е. Linnartz, "Zur Berechtung des thermischen Nutzfaktors einer Zilindrishen Zelle aus mehereren konzentrischen Zonen," //Nucleonic, 5, 23 (1963).

55. R.D.M. Garcia "A numerical method for computing collision, escape and translation probability in three dimensions," // Nuc. Sci. Eng., vol. 144, pp. 200210 (2003).

56. Меркл. Г. "Новые аспекты применения вероятности столкновения в теории реакторов," //Доклады третьей межд. конф. по мирному использованию атомной энергии, Женева. М.: Атомиздат, 1967.

57. Bonalumi R. "Neutron first probabilities in reactor physics," // Energia Nucleare, 1961,vol 8 , maggio, p. 326.

58. Федулов M.B. "Вычисление вероятностей первых столкновений, зависящих от параметров активной зоны," // Препринт ИАЭ 1632, 1968.

59. Benoist P. "Streaming Effect and Collision Probabilities in lattices," // Nuc. Sci. Eng., vol. 34, pp. 285-307 (1968).

60. Корн Г., Корн Т. "Справочник по математике для научных работников и инженеров," //М.: Наука, 1970.

61. С. Н. Большагин. "Программа РАДАР (версия 1.1) Описание алгоритма и инструкция пользователя," //Отчет РНЦ КИ инв. №32/1-83-40-6. Москва 2006.

62. Абагян Л.П., Базазянц Н.О., Бондаренко И.И., Николаев М.Н.,

63. Групповые константы для расчёта ядерных реакторов," // М., Атомиздат, 1964, с.1-139, Consultants Bureau,New-York, 1964.

64. Levine M.M. "Resonance integral calculation for U238 lattice," // Nuc. Sci. Eng. vol. 16 , pp. 271-279 (1963).

65. Николаев M.H. , Рязанов Б.Г., Савоськин M.M., Цибуля A.M. "Многогрупповое приближение в теории переноса нейтронов," //М.: Энергоатомиздат, 1984, с. 61.

66. Ахмеров P.P., Садовский Б.Н. "Основы теории обыкновенныхдифференциальныхуравнений" http://wwwsbras.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/index.html (Дата обращения 02. 11. 2008).

67. Сидоренко В.Д., Колобашкин В.М., Рубцов П.М., Ружанский П.А.

68. Радиационные характеристики облученного ядерного топлива," // Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1983.

69. Гусев Н.Г., Рубцов П.М., Коваленко В.В., Колобашкин В.М.

70. Радиационные характеристики продуктов деления," //Справочник. М.: Атомиздат, 1974.

71. Пряничников А.В. "Использование детализированных методов расчёта нейтронно-физических характеристик в тренажерах АЭС," //Доклад на семинаре "Нейтроника 2003".

72. Carlvik "Collision Probabilities for Finite Cylinders and Cuboids," Nuc.Sci., Eng., 30, l,p. 150 (1967).

73. Соболь И.М. "Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара," //М: Наука, 1969.

74. Янке Е, Эмде Ф., Леш Ф. "Специальные функции. Формулы, графики, таблицы," // М., пер. с нем., 1968, с. 165

75. Kerim F. Slipchevic and Mihailo I. Markovic, "First Flight Escape Probability in Basic Geometries for symmetrical source distribution," // Publikacije Elektrotehnickogo Fakulteta Univerziteta u Beogradu, serija: matematika i fizika, pp. 412-460 (1973).

76. Toshikazu Takeda and Tomotsu Sekiya, "Anisotropic Collision Probabilities in cell Problems," // Journal of Nuclear Science and Technology, 8 (12), pp. 663672 (Dec. 1971).

77. Saady and Schulz M. GMRES a general minimal residual algorithm for solving nonsymmetrical linear systems, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 7 (1986), pp. 856-869.

78. Tellier R.L., Hebert A., "Application of the DCA Preconditional GMRES formalism to the method of Characteristics First results," // Physor 2004, Chicago, Illinois, April 25-29, 2004.

79. Григорьев И.С., Новиков В.М. "Диффузия нейтронов в гетерогенных средах," // М. Атомиздат, 1966.

80. Qaddouri A., Roy R., Mayrand М., and Goulard В., "Collision Probability Calculations and Multigroup Flux Solvers Using PVM," //Nucl. Sci. Eng., 123, 392(1996).

81. Slater S., Vujic J. "Optimization of parallel solution of integral transport equation utilizing domain decomposition," // Joint int. conf. on math. meth. and supercomputing for nucl. appl., Saratoga 1997, vol. 1.

82. R. Roy, A. Qaddouri "Parallel algorithm for solving transport problems in cell and supercell codes, "// Joint int. conf. on math. meth. and supercomputing for nucl. appl., Saratoga 1997, vol. 1.

83. Антонов A.C "Параллельное программирование с использованием технологии OpenMP," // Издательство московского университета, 2009.

84. Антонов А.С "Параллельное программирование с использованием технологии MPI," //Издательство московского университета, 2004.

85. Engle W.W. "A user's manual for ANISN," //Union carbige corp. rep. 1693, 1967.

86. Силин И.Н., "Поиск максимума функции правдоподобия методом линеаризации. В сб. Статистические методы в экспериментальной физике," // М., пер. с английского , Атомиздат 1976, с. 319-326.

87. Sauer A. "Approximate Escape Probabilities," NSE, 16 , 329-335 (1963).

88. Green N.M., et. al. "AMPX77. A modular code system for Generation Coupled Multigroup Neutron and Gamma Cross Sections Libraries from ENDF/B-IV and/or ENDF/B-V," ORNL/CSD/TM-283, (1992).