автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и реализация эффективных численных методов моделирования и оптимизации на основе метода моментов

На правах рукописи

БЕЛЯНИН Алексеи Михайлович

—■

РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА МОМЕНТОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж —2014

3 О ЯНВ 2014

005544752

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Научный руководитель Подвальный Семен Леонидович,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», заведующий кафедрой автоматизированных и вычислительных систем

Официальные оппоненты: Шмырин Анатолий Михайлович,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», заведующий кафедрой высшей математики

Тихомиров Сергей Германович,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий», профессор кафедры информационных и управляющих систем

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный

технический университет»

Защита состоится «17» февраля 2014 г. в 1300 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д212.037.01 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Автореферат разослан «27» декабря 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Барабанов В. Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование как метод познания реальной дейстьительности получило в последнее время широкое распространение в связи с исследованием сложных объектов, изучаемых в химии, биологии, физике и других науках, а также благодаря стремительному развитию вычислительной техники, позволяющей осуществлять собственно моделирование и получать необходимые практические результаты.

В ряде случаев моделируемый процесс описывается билинейной динамической системой, состоящей из большого количества обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем виде из бесконечного числа уравнений). Билинейные динамические системы повышенной размерности встречаются в процессах с цепными реакциями, такими как: процессы окисления (горение, взрыв), крекинга, полимеризации и другие. Цепные реакции применяются в химической и нефтяной промышленности. Моделирование таких процессов требует очень больших вычислительных затрат. Поэтому для решения билинейных динамических систем повышенной размерности используют метод моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами. Метод моментов позволяет значительно снизить размерность решаемой билинейной динамической системы. Исследованием различных задач оптимального управления конечномерными системами с помощью метода L-проблемы моментов занимался Красовский H.H. Теоретические вопросы моделирования динамических систем химической физики изучали Берлин A.A., Ениколо-пов Н.С. Исследованием процессов синтеза полимеров занимались Кафа-ров В.В., Подвальный СЛ., Спивак С.И., Будтов В.П. Численные методы решения жестких систем изучали Новиков Е.А., Ракитский Ю.В., Черно-руцкий И.Г.

В зависимости от сложности решаемой системы практически любой известный метод моделирования и оптимизации билинейной динамической системы может показать наилучший результат. В связи с этим возникает необходимость в многоальтернативной системе моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью повышения эффективности моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности за счет совершенствования математического, алгоритмического и программного обеспечения систем, оценки результатов моделирования с целью получения оптимальных характеристик модели.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из научных направлений ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

«Вычислительные комплексы и проблемно-ориентированные системы управления».

Цель работы и задачи исследования. Целью исследования является разработка математических моделей, алгоритмов и эффективных численных методов для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- с позиций системной методологии провести сравнительный анализ эффективных численных методов моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов;

- разработать модель мультимодального распределения для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющую повысить точность моделирования объекта исследования;

- разработать систему алгоритмов для численного моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющую повысить точность и уменьшить машинное время вычислений;

- разработать алгоритмы и программное обеспечение для численной оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющие повысить производительность вычислений;

- разработать программное обеспечение многоальтернативного моделирования, позволяющее осуществлять численное моделирование и оптимизацию билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы оптимизации, математического моделирования, математической статистики, вычислительной математики, объектно-ориентированного программирования.

Соответствие диссертации паспорту специальности. Работа соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

П.З. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

П.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

П.8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие

основные результаты, характеризующиеся научной новизной:

- модель мультимодального распределения, отличающаяся тем, что система обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний (моменты), параллельно для каждой системы моментов, дополняется алгебраическими уравнениями для свёртки виртуальных одномодаль-ных распределений, адаптивно изменяющихся во времени, позволяющая повысить точность моделирования объекта исследования;

- оптимизационная модель мультимодального распределения, отличающаяся многоэтапной процедурой пошаговой оптимизации с определением как дискретных, так и непрерывных параметров с минимизацией критерия отклонения действительных и расчетных значений распределения, при этом для определения количества систем в моментах дополнительно используются моменты до третьего порядка, позволяющая повысить производительность вычислений;

- алгоритм решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, отличающийся возможностью понижения порядка решаемой системы за счёт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных, позволяющий снизить машинное время вычислений;

- алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений явным методом Рунге-Кутта, отличающийся возможностью в зависимости от степени устойчивости решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени варьировать порядок метода от первого (на неустойчивых участках) до четвёртого (на устойчивых участках), позволяющий повысить точность вычислений.

Практическая значимость работы.

Предложенные в работе модели и алгоритмы для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов реализованы в виде специального программного комплекса.

В результате практической апробации программный комплекс продемонстрировал высокую точность и производительность при моделировании и оптимизации билинейных динамических систем, что свидетельствует об эффективности разработанных методов и моделей.

Разработанный программный комплекс для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов может быть использован проектными организациями, в научных исследованиях и системах управления промышленными процессами, а также в учебном процессе.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные алгоритмы и методы, предложенные в диссертации, реализованы и апробированы в виде программного комплекса моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода мо-

ментов. Система внедрена и используется в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научно-технической конференции «Перспективные исследования и разработки в области информационных технологий и связи» (Воронеж, 2012), Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы» (Воронеж, 2012), Международной молодежной научной школе «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Воронеж, 2012), молодёжной конференции «Интеллектуальные технологии будущего. Естественный и искусственный интеллект» (Воронеж, 2011), Всероссийской конференции «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2013).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получено 1 свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, базу данных, топологию интегральных микросхем. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично автором предложены: [1, 5] - численные методы решения прямой и обратной кинетической задачи; [2] — численные методы понижения порядка решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом; [3, 4] — программный комплекс для создания специальных программных средств; [6] — библиотека моделей на основе метода моментов; [7, 8] — блок методов оптимизации при принятии решений.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 125 страницах, включает 27 таблиц и 39 рисунков; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 101 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность диссертационного исследования, сформулированы цели и задачи исследования, представлены основные научные результаты, определены их научная новизна и практическая значимость, приведено краткое содержание работы по главам.

В первой главе проведен обзор эффективных численных методов моделирования и оптимизации на основе метода моментов.

Исследован метод моментов для построения математических моделей технологических процессов, позволяющий понизить порядок решаемой системы и повысить быстродействие при моделировании объектов повышенной размерности.

Рассмотрены явные и неявные, одношаговые и многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Проанализированы наиболее распространенные методы: метод Рунге-Кутта, метод Адамса-Башфорта, метод Адамса-Моултона, формула дифференциро-

вания назад (ФДН). Выявлены трудности при решении систем ОДУ повышенной размерности.

Описаны достоинства и недостатки методов оптимизации билинейных динамических систем, а также проблемы, возникающие при применении этих методов для систем повышенной размерности.

Рассмотрен метод модельных функций при математическом описании кривой решения. Приведены кинетически обоснованные модельные функции: экспоненциальное распределение, гамма-распределение, распределение Бизли.

Проведённый в главе сравнительный анализ методов моделирования и оптимизации даёт основу для разработки многоальтернативной системы моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Сформулированы цель и задачи диссертационной работы, решение которых дает возможность исследования эффективных численных методов для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Во второй главе осуществлено математическое моделирование билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

В общем виде билинейные динамические системы имеют вид:

% = (1)

И» 1-[ м ) -1

Рассмотрим следующую билинейную динамическую систему большой (в общем случае бесконечной) размерности для цепного процесса: АР

—1- = К.М. - К М.Р. - К,Р.

^ ' 1 р 11

^ = КрМ,(Рх_1-Рх)-К,Рх, 2 < х < ОО

^ = -к1м1+-кгм£ъ + к1р1

.................................. (2)

^ = К,Р ей

где Р\,Р2,...,РХ— активно растущие цепи длины 1,2, ...,х; М\, М2, ...,МХ— неактивно растущие цепи длины 2, ...,х; К,, Кр, К,— параметры модели.

Обычно решение представляется на фазовой плоскости я„*М для разных моментов времени. На рис. 1 представлена зависимость кривой решения от количества уравнений в билинейной динамической системе (2) при

Кл = 0,00005; Ю = 0,1; Кр = 32. Как видно из графика, чем больше уравнений в билинейной динамической системе (2), тем более точная кривая решения. В данном случае значение математического ожидания равно 196,15. В реальных задачах это значение порядка Ю'-Ю5. Проведённый эксперимент показывает, что временные затраты для решения билинейной динамической системы большой размерности будут слишком велики.

0,0045 -..........................................- ..............................................................................................

0.0040

0,0035

Рис. 1. Кривая решения в зависимости от количества уравнений в билинейной динамической системе. Здесь математическое ожидание равно 196,15, число уравнений до 2000.

Воспользуемся методом моментов. Моменты для билинейной динамической системы (2) вычисляются по следующим формулам:

г=2

(3)

где //, - моменты ^го порядка активных цепей, моменты рго порядка неактивных цепей. Запишем в моментах описанную выше модель (2), ограничиваясь начальными моментами второго порядка:

л

с1М1

Фо Л

л

Л

¿¿о

Л

= К,М1 —(К, + К рМ1)Р1

- = -К1М1-КрМ1Мо+(К, — КрМ1)Р1

■ = ~к,Мо

= КрМ,(2Р,+т0)~К,М1

- = КрМ1(4Р,+2/и1+Мо)-К,М2

(4)

Построим кривую решения, полученную с помощью метода моментов и модельной функции Флори (д„ (А/) = ^), и сравним с полученными выше данными (рис. 2). Как видно из рис. 2, использование метода моментов позволяет получать достаточно точное решение, при этом количество уравнений уменьшилось с нескольких тысяч до 8._

-Исходнаясистема при М=2000

• Флори

Ч„(М)

0,0020 0,0018 0,0016 0,00 И 0,0012 0,0010 0,0008 0.0006 0,0004 0,0002 0,0000

Г ГГ; О 1Г, — ГЛ Сл 'Г, — Г- <г. с- 'Г. —1 I Л

т^оти-нюипюйтщот г- -

С*. 'Г. —, Г-. П С\ 1Л — I (г. ТИГ11ЛС1МЩО (Г' гО '-О Г- со со сч с* с*

м

Рис. 2. Сравнение кривых решения для системы в моментах и в общем виде

Для билинейных динамических систем, состоящих из одной системы в моментах, модельные функции либо теоретически обоснованы, либо по-

лучены экспериментально. К теоретически обоснованным модельным функциям относят:

1. Экспоненциальное распределение (Флори) (М) = Ле" ^^.

2. Распределение Шульца-Флори: д1](М) = р!е^ ^^ +(\-р)??~Ме-

А

3. Распределение Бизли: <7„(Л/) =-г-.

1 + -

(1+ Х/ЗМ) &

Теоретически вид модельных функций доказан только для простейших моделей. Требуется численное обоснование вида модельной функции прямыми расчетами.

Классические методы моделирования не учитывают специфику билинейных динамических систем, состоящих из нескольких (от 3 до 5) систем в моментах, которые должны решаться одновременно, и поэтому недостаточно эффективны.

В каждой системе в моментах можно выделить два типа участков: переходные участки и участки установления. На переходных участках решение меняется быстро. На участках установление решение изменяется медленно. Используемые в настоящее время методы моделирования билинейной динамической системы, состоящей из нескольких систем в моментах, не учитывают того, что рассмотренные выше участки в каждой системе разнесены по времени. Поэтому существует потребность в методах моделирования упомянутых выше систем с учётом их специфики.

Проведено сравнение методов для решения систем ОДУ на моделях в моментах по точности решения, устойчивости метода и объёму вычислительных затрат. Для отработки методов использовались модели, состоящие из одной или нескольких систем в моментах с изменяющимися и постоянными во времени параметрами.

Поскольку функции в системе ОДУ изменяются с разной скоростью, имеет смысл более «медленные» функции считать постоянными на некотором отрезке, что позволяет понизить порядок решаемой системы ОДУ и уменьшить вычислительные затраты.

Таким образом, разработан алгоритм решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, отличающийся возможностью понижения порядка решаемой системы за счёт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных, позволяющий снизить машинное время вычислений.

Описанный выше алгоритм был разработан программно с использованием методов Рунге-Кутга и опробован на следующей билинейной ди-

Шаг 2. Выбор модельной функции.

Шаг 3. Определение начальных значений для решения:

1) Определение математического ожидания для каждой системы в моментах.

2) Определение параметров системы.

Шаг 4. Решение обратной задачи.

Таким образом, разработана оптимизационная модель мультимо-дального распределения, отличающаяся многоэтапной процедурой пошаговой оптимизации с определением как дискретных, так и непрерывных параметров с минимизацией критерия отклонения действительных и расчетных значений распределения, при этом для определения количества систем в моментах дополнительно используются моменты до третьего порядка, позволяющая повысить производительность вычислений.

Сформулированы наиболее вероятные модельные функции для моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов. Показано, что с изменением времени моделирования вид кривой решения меняется (рис. 3, 4). Следовательно, необходимо менять вид модельной функции в зависимости от времени моделирования.

Рис. 3. Кривые решения при 23 минутах моделирования, полученные экспериментально и с использованием модельных функций

Таким образом, разработана модель мультимодального распределения, отличающаяся тем, что система обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний (моменты), параллельно для каждой системы моментов, дополняется алгебраическими уравнениями для свёртки виртуальных одномодальных распределений, адаптивно изменяющихся

во времени, позволяющая повысить точность моделирования объекта исследования.

периментально и с использованием модельных функций

В работе приводится пример оптимизации билинейной динамической модели (5). В результате моделирования оптимальное решение представлено на рис.5. Сравним решения, полученные при решении данной задачи, исходя из двух (рис. 6), трёх (рис. 5) и четырёх систем в моментах (рис. 7). Требованиям точности удовлетворяют решения, состоящие из трёх или четырёх систем в моментах. Однако с ростом числа систем в моментах объём вычислений возрастает по экспоненте, поэтому оптимальное количество систем в моментах равно трём. Разработанный алгоритм определил количество систем в моментах равное трём.

В четвёртой главе представлена программная реализация разработанных моделей и алгоритмов и результаты многоальтернативного моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Спроектирована структура программного комплекса для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов (рис. 8).

Сначала пользователь вводит математическую модель. Затем с учетом рекомендаций пользователь выбирает модельную функцию. Для процесса полимеризации бутадиена на неодимсодержащих каталитических системах сформулированы следующие правила:

1. При конверсии до 10% наилучшим образом подходит модельная функция Бизли.

вышенной размерности на основе метода моментов формирует оптимальное решение с использованием выбранных методов.

Спроектирована модульная структура программного комплекса, которая состоит из девятнадцати модулей. Управляющий модуль предназначен для взаимодействия пользователя с программой и обеспечения взаимосвязи между остальными модулями.

Определена структура алгоритма программного комплекса, разработана укрупненная схема алгоритма. Спроектирована структура базы данных программного комплекса. Определены входная и выходная информация, построена схема информационных потоков программного комплекса.

Проведённый эксперимент с помощью разработанного программного комплекса подтвердил эффективность предложенных алгоритмов (табл. 2, 3). В приведенных таблицах на пересечение строк и столбцов указано значение критерия равного сумме модулей значений относительных ошибок по всем функциям.

Таблица 1

Результаты, демонстрирующие эффективность разработанного программного комплекса _ _

Время, мс Порядок-%. метода 250 400 1300 2400 3000 4000

Метод с переменным порядком 0,007945 0,00099 5,474Е-05 7,93Е-06 1ДЕ-05 1,07Е-05

1-ын порядок 0,007263 0,000671 0,0001457 8.04Е-05 7,ЗЕ-05 4,03Е-05

2-ой порядок 00 00 0,0001061 8,63Е-06 2,5Е-05 3,72Е-06

3-ий порядок ОО со 00 00 3,7Е-06 1,39Е-05

4-ый порядок 00 00 00 со 7,2Е-05 1,04Е-05

Таблица 2

Результаты, демонстрирующие быстродействие и точность разработанного _программного комплекса __

~~~~--------------------- Время, мс Метод ~~ — 250 400 1300 2400 4000

lie i понижения порядка 0,007945 0,00099 5,474Е-05 7,93Е-06 1,07Е-05

С понижением порядка 0,000347 3,72Е-05 1Д44Е-05 5Д76Е-06 4Е-06

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана модель мультимодального распределения, отличающаяся тем, что система обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний (моменты), параллельно для каждой системы моментов, дополняется алгебраическими уравнениями для свёртки виртуальных одномодальных распределений, адаптивно изменяющихся во времени, позволяющая повысить точность моделирования объекта исследования.

2. Разработана оптимизационная модель мультимодапьного распределения, отличающаяся многоэтапной процедурой пошаговой оптимизации с определением как дискретных, так и непрерывных параметров с минимизацией критерия отклонения действительных и расчетных значений распределения, при этом для определения количества систем в моментах дополнительно используются моменты до третьего порядка, позволяющая повысить производительность вычислений.

3. Предложен алгоритм решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, отличающийся возможностью понижения порядка решаемой системы за счёт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных, позволяющий снизить машинное время вычислений.

4. Предложен алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений явным методом Рунге-Кутта, отличающийся возможностью в зависимости от степени устойчивости решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени варьировать порядок метода от первого (на неустойчивых участках) до четвёртого (на устойчивых участках), позволяющий повысить точность вычислений.

5. Разработанный программный комплекс прошёл практическую апробацию применительно к задаче полимеризации бутадиена на неодим-содержащих каталитических системах.

6. Получено свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, базу данных, топологию интегральных микросхем, зарегистрированное в установленном порядке.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Белянин, A.M. Методы решения прямой и обратной кинетических задач в зависимости от сложности химической системы [Текст] / A.M. Белянин, C.JI. Подвальный, A.B. Плотников // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т.8 -№15. — С. 18-21.

2. Белянин, A.M. Алгоритм понижения порядка решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом на примере прямой кинетической задачи [Текст] / A.M. Белянин, C.J1. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т.9 - №3-1. - С. 35-38.

3. Белянин, A.M. Разработка программного комплекса для автоматизации процесса создания специальных программных средств [Текст] / A.M. Белянин, О.Б. Кремер, СЛ. Подвальный // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. — Т.6 — №10. — С. 199-201.

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

На правах рукописи

04201456120

БЕЛЯНИН Алексей Михайлович

РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА МОМЕНТОВ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель — заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Подвальный С.Л.

Воронеж 2014

Содержание

Введение...........................................................................................................................5

Глава 1 Обзор эффективных численных методов моделирования и оптимизации на основе метода моментов..........................................................................................14

1.1 Метод моментов для построения математических моделей...........................14

1.2 Методы решения дифференциальных уравнений............................................17

1.3 Численное решение задачи Коши......................................................................18

1.3.1 Одношаговые методы Рунге-Кутта.................................................................18

1.3.2 Явные многошаговые методы..........................................................................22

1.3.3 Неявные многошаговые методы......................................................................23

1.3.4 Формула дифференцирования назад...............................................................25

1.3.5 Сравнительный анализ методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.................................................................................29

1.3.6 Оценка локальной погрешности решения......................................................30

1.4 Безградиентные методы оптимизации билинейных динамических систем.... 31

1.5 Градиентные методы оптимизации билинейных динамических систем.......33

1.6 Метод модельных функций................................................................................39

1.7 Кинетически обоснованные модельные функции............................................41

1.8 Цель работы и задачи исследования..................................................................43

Глава 2 Математическое моделирование билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов............................................44

2.1 Численное сравнение модели кинетики в общем случае и с использованием метода моментов........................................................................................................44

2.2 Специфика моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности................................................................................................................49

2.3 Сравнение методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений....................................................................................................................50

2.4 Алгоритмы выбора длины шага.........................................................................57

2.5 Алгоритм переменного порядка и шага.............................................................65

2.6 Алгоритм понижения порядка решаемой системы обыкновенных

дифференциальных уравнений.................................................................................67

Выводы........................................................................................................................68

Глава 3 Методы оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов....................................................................70

3.1 Сравнение методов оптимизации.......................................................................70

3.2 Алгоритм оптимизации билинейной динамической системы, состоящей из нескольких систем в моментах.................................................................................75

3.2.1 Алгоритм определения количества систем в моментах.................................75

3.2.2 Выбор модельной функции..............................................................................77

3.2.3 Определение начальных значений для решения...........................................78

3.2.4 Определение математического ожидания для каждой системы в моментах.....................................................................................................................79

3.2.5 Определение констант модели........................................................................81

3.2.6 Определение концентрации для каждой системы в моментах....................81

3.2.7 Решение обратной задачи.................................................................................82

3.3 Численное решение задачи оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.........................................82

3.3.1 Пример билинейной динамической системы, состоящей из двух систем в моментах.....................................................................................................................83

3.3.2 Пример билинейной динамической системы, состоящей из трёх систем в

моментах.....................................................................................................................87

Выводы........................................................................................................................93

Глава 4 Разработка программного обеспечения для многоальтернативного моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышеной размерности....................................................................................................................94

4.1 Структура программного комплекса.................................................................94

4.2 Модульная структура программного средства.................................................97

4.3 Алгоритм работы программного модуля..........................................................99

4.3.1 Алгоритм определения количества систем в моментах..............................101

4.3.2 Алгоритм определения начальных значений...............................................101

4.3.3 Алгоритм решения задачи оптимизации......................................................102

4.4 Структуры базы данных....................................................................................105

4.5 Схема информационных потоков.....................................................................106

4.6 Выбор среды разработки...................................................................................109

4.7 Технические условия работы и запуск программы........................................111

4.8 Интерфейс программы.......................................................................................112

4.9 Результаты работы программы.........................................................................113

Выводы......................................................................................................................115

Основные результаты работы....................................................................................116

Список использованной литературы.........................................................................118

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Математическое моделирование как метод познания реальной действительности получило в последнее время широкое распространение в связи с исследованием сложных объектов, изучаемых в химии, биологии, физике и других науках, а также благодаря стремительному развитию вычислительной техники, позволяющей осуществлять собственно моделирование и получать необходимые практические результаты.

В ряде случаев моделируемый процесс описывается билинейной динамической системой, состоящей из большого количества обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем виде из бесконечного числа уравнений). Билинейные динамические системы повышенной размерности встречаются в процессах с цепными реакциями, такими как: процессы окисления (горение, взрыв), крекинга, полимеризации и другие. Цепные реакции применяются в химической и нефтяной промышленности. Моделирование таких процессов требует очень больших вычислительных затрат. Поэтому для решения билинейных динамических систем повышенной размерности используют метод моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами. Метод моментов позволяет значительно снизить размерность решаемой билинейной динамической системы. Исследованием различных задач оптимального управления конечномерными системами с помощью метода L-проблемы моментов занимался Красовский H.H. Теоретические вопросы моделирования динамических систем химической физики изучали Берлин A.A., Ениколопов Н.С. Исследованием процессов синтеза полимеров занимались Кафаров В.В., Подвальный С.Л., Спивак С.И., Будтов В.П. Численные методы решения жестких систем изучали Новиков Е.А., Ракитский Ю.В., Черноруцкий И.Г.

В зависимости от сложности решаемой системы практически любой

известный метод моделирования и оптимизации билинейной динамической системы может показать наилучший результат. В связи с этим возникает необходимость в многоальтернативной системе моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью повышения эффективности моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности за счет совершенствования математического, алгоритмического и программного обеспечения систем, оценки результатов моделирования с целью получения оптимальных характеристик модели.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из научных направлений ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» «Вычислительные комплексы и проблемно-ориентированные системы управления».

Цель работы и задачи исследования.

Целью исследования является разработка математических моделей, алгоритмов и эффективных численных методов для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- с позиций системной методологии провести сравнительный анализ эффективных численных методов моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов;

- разработать модель мультимодального распределения для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющую повысить точность моделирования объекта исследования;

- разработать систему алгоритмов для численного моделирования

билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющую повысить точность и уменьшить машинное время вычислений;

- разработать алгоритмы и программное обеспечение для численной оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющие повысить производительность вычислений;

разработать программное обеспечение многоальтернативного моделирования, позволяющее осуществлять численное моделирование и оптимизацию билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Методы исследования.

В диссертационной работе использованы методы оптимизации, математического моделирования, математической статистики, вычислительной математики, объектно-ориентированного программирования.

Соответствие диссертации паспорту специальности.

Работа соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

П.З. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

П.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

П.8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.

Научная новизна.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:

- модель мультимодального распределения, отличающаяся тем, что система

обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний (моменты), параллельно для каждой системы моментов, дополняется алгебраическими уравнениями для свёртки виртуальных одномодальных распределений, адаптивно изменяющихся во времени, позволяющая повысить точность моделирования объекта исследования;

- оптимизационная модель мультимодального распределения, отличающаяся многоэтапной процедурой пошаговой оптимизации с определением как дискретных, так и непрерывных параметров с минимизацией критерия отклонения действительных и расчетных значений распределения, при этом для определения количества систем в моментах дополнительно используются моменты до третьего порядка, позволяющая повысить производительность вычислений;

- алгоритм решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, отличающийся возможностью понижения порядка решаемой системы за счёт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных, позволяющий снизить машинное время вычислений;

- алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений явным методом Рунге-Кутта, отличающийся возможностью в зависимости от степени устойчивости решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени варьировать порядок метода от первого (на неустойчивых участках) до четвёртого (на устойчивых участках), позволяющий повысить точность вычислений.

Практическая значимость работы.

Предложенные в работе модели и алгоритмы для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов реализованы в виде специального программного комплекса.

В результате практической апробации программный комплекс

продемонстрировал высокую точность и производительность при моделировании и оптимизации билинейных динамических систем, что свидетельствует об эффективности разработанных методов и моделей.

Разработанный программный комплекс для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов может быть использован проектными организациями, в научных исследованиях и системах управления промышленными процессами, а также в учебном процессе.

Реализация и внедрение результатов работы.

Основные алгоритмы и методы, предложенные в диссертации, реализованы и апробированы в виде программного комплекса моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов. Система внедрена и используется в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научно-технической конференции «Перспективные исследования и разработки в области информационных технологий и связи» (Воронеж, 2012), Всероссийской конференции «Интеллектуальные информационные системы» (Воронеж, 2012), Международной молодежной научной школе «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Воронеж, 2012), молодёжной конференции «Интеллектуальные технологии будущего. Естественный и искусственный интеллект» (Воронеж, 2011), Всероссийской конференции «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2013).

Публикации.

ю

По результатам исследований опубликовано 8 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получено 1 свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, базу данных, топологию интегральных микросхем. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично автором предложены: [1, 2] -численные методы решения прямой и обратной кинетической задачи; [3] — численные методы понижения порядка решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом; [4, 5] — программный комплекс для создания специальных программных средств; [6] — библиотека моделей на основе метода моментов; [7, 8] — блок методов оптимизации при принятии решений.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа изложена на 125 страницах, включает 27 таблиц и 39 рисунков; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 101 наименования.

Содержание работы.

Во введении показана актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, представлены основные научные результаты, определены их научная новизна и практическая значимость, приведено краткое содержание работы по главам.

В первой главе проведен обзор эффективных численных методов моделирования и оптимизации на основе метода моментов.

Проанализированы явные и неявные, одношаговые и многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): метод Рунге-Кутта, метод Адамса-Башфорта, метод Адамса-Моултона, формула дифференцирования назад (ФДН). Выявлены трудности при решении систем ОДУ повышенной размерности.

Описаны достоинства и недостатки методов оптимизации билинейных динамических систем, а также проблемы, возникающие при применении этих

методов для систем повышенной размерности.

Рассмотрен метод модельных функций при математическом описании кривой решения. Приведены кинетически обоснованные модельные функции: экспоненциальное распределение, гамма-распределение, распределение Бизли.

Сформулированы цель и задачи диссертационной работы, решение которых дает возможность исследования эффективных численных методов для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Во второй главе осуществлено математическое моделирование билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.

Проведенные вычислительные эксперименты показывают эффективность метода моментов для построения математич