автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и применение схем конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в задачах подповерхностного радиолокационного зондирования

На правах рукописи

Задорожный Александр Геннадьевич

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ СХЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ПОДПОВЕРХНОСТНОГО РАДИОЛОКАЦИОННОГО ЗОНДИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель:

доктор технических наук Тригубович Георгий Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Федорук Михаил Петрович,

доктор технических наук,

профессор Котюков Владислав Игоревич

Ведущая организация:

Томский политехнический университет

Защита состоится «¿3 » июня 2004 года в

__> » часов на заседании

диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном 'техническом университете по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан мая 2004 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.173.06

Чубич В.М.

Общая характеристика работы

Математическое моделирование электромагнитных полей является важным и весьма ответственным этапом проектирования и интерпретации экспериментальных исследований структуры геологической или техногенной среды методами электромагнитного зондирования. Электрофизическими предпосылками использования методов электроразведки на нестационарных электромаг-дитных полях является дифференциация объектов исследования по сопротивлению, магнитной и диэлектрической проницаемости.

Современные технологии электромагнитных зондирований позволяют регистрировать сигналы в широком амплитудно-частотном диапазоне, что существенно расширяет область практического использования электроразведки. Бурно развивающаяся в последние 15 лет технология подповерхностного радиолокационного зондирования (георадар) основана на генерации наносекунд-ных импульсов тока и регистрации особенностей распространения фронта электромагнитной волны в исследуемой среде с целью определения ее геометрических и электрофизических параметров на ранних временах, когда существенную роль играет диэлектрическая проницаемость. Практическое использование принципов радиоволнового зондирования было обеспечено развитием техники генерации электромагнитных импульсов наносекундной длительности.

В данной работе на основании математического моделирования будет исследована эффективность использования георадара в различных геоэлектрических условиях.

Для вычисления характеристик электромагнитных полей в таких задачах -часто используются полуаналитические методы, описанные, например, в работах Могилатова В С. Эти методы, как правило, основаны на существенно упрощенных математических моделях ноля. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что в качестве решения задачи предлагается некоторый набор формул и интегральных соотношений, позволяющих при относительно небольших вычислительных затратах рассчитать требуемые характеристики поля. Основной недостаток - это упрощение математической модели электромагнитного поля, в результате чего невозможно в рамках этих методов учесть все закономерности поведения электромагнитного поля для более сложных сред. Поэтому область применения полуаналитических методов весьма ограничена.

В отличие от аналитических методов, использование такого универсального метода решения дифференциальных уравнений в частных производных, как метод конечных элементов (МКЭ), позволяет решать широкий класс двумерных и трехмерных задач геоэлектроразведки. Однако применение стандартных конечноэлементных аппроксимаций также вызывает значительные вычислительные затруднения при решении рассматриваемого класса задач.

В качестве основных причин этого можно назвать следующие. Первая за-'ключается в том, что вклад в электромагнитное поле откликов изучаемых объектов обычно невелик. Вторая из причин состоит в том, что при математиче-

! fOC НАЦИОНАЛЬНАЯ^ 3 I вИвЛИОТЕКА I

ском моделировании трехмерных нестационарных электромагнитных полей недостаточно одного скалярного уравнения как, например, для описания стационарных электрических или магнитных полей, и в результате при построении конечноэлементного решения трехмерного векторного уравнения объем вычислительных ресурсов резко возрастает по сравнению с объемом ресурсов, требуемых на решение аналогичного скалярного уравнения. Это приводит либо к большим погрешностям численного решения вследствие использования недостаточно подробной пространственной и временной дискретизации, либо к чрезмерным вычислительным затратам на решение практических задач.

Эти две причины приводили к тому, что многие сложные практические задачи долгое время не удавалось решить с требуемой точностью. К таким задачам относится большинство трехмерных задач электромагнитного зондирования Земли.

Для решения данной проблемы в работе предложено использовать вычислительные схемы, основанные на разделении полей и использовании векторного метода конечных элементов, предложенного в работах Nedelec J.C. и развиваемого в работах A. Bossavit, J.P. Webb и др.

Исходя из условия горизонтальной слоистости вмещающей среды, предлагается использовать подход к построению конечноэлементных аппроксимаций, основанный на представлении трехмерного нестационарного электромагнитного поля в виде разложения на основное двумерное (осесимметричное) поле и добавочное (аномальное) поле влияния любых трехмерных объектов. -Предложенная в работах Соловейчика Ю.Г. такая схема разделения полей позволяет существенно сократить вычислительные ресурсы, требуемые для решения трехмерной задачи, при условии, что существенную роль играет осесим-метричное поле. Следовательно, для вычисления трехмерного поля необходимо получить основное поле с довольно высокой степенью точности, в то время как аномальная (трехмерная) часть поля может быть рассчитана с меньшей точностью.

Для нахождения осесимметричной (двумерной) части электромагнитного поля методом конечных элементов удобно использовать прямоугольные двумерные пространственные сетки в цилиндрической системе координат. Соответственно, для нахождения аномальной (трехмерной) части электромагнитного поля удобно воспользоваться трехмерными прямоугольными (параллелепи-пеидальными) пространственными сетками в декартовой системе координат. Такой выбор может быть обусловлен, прежде всего, необходимостью быстрого и удобного построения сеток (при использовании треугольных элементов задача построения сетки не столь проста). Помимо этого, при использовании прямоугольных конечных элементов вместо треугольных алгоритмы пересчета полей при переходах между трехмерными и двумерными задачами значительно упрощаются. Основную проблему прямоугольных сеток, связанную с большим числом «лишних» узлов (узлов, удаление которых практически не проводит к

увеличению погрешности численного решения), предлагается решать путем перехода к нерегулярным прямоугольным сеткам.

При конечноэлементном моделировании электромагнитных процессов в горизонтально-слоистой среде с трехмерными объектами предлагается использовать векторный метод конечных элементов. Особенность данного метода состоит в использовании векторных реберных базисных функций при конечно-элементном моделировании (так называемых edge-элементов). Важной особенностью таких функций является их разрывность, что позволяет с их помощью проводить моделирование трехмерного электромагнитного поля в средах с разрывными коэффициентами удельной проводимости, магнитной и диэлектрической проницаемости.

Несмотря на достаточно развитую технологию георадарных зондирований, включая интерпретацию, проблема построения эффективных процедур численного моделирования нестационарных трехмерных электромагнитных полей до сих пор вызывает значительный практический интерес как у исследователей при проектировании работ и интерпретации полученных данных, так и у специалистов по математическому моделированию. Этим определяется актуальность предлагаемой работы.

Основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в данной работе, является проблема построения эффективных процедур численного моделирования осесимметричных и трехмерных электромагнитных полей при одновременном учете токов проводимости и токов смещения.

Цель исследований заключается в разработке, реализации и сравнении различных конечноэлементных схем моделирования как двумерного (осесим-метричного), так и трехмерного (аномального) нестационарного электромагнитного поля.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Исследованы возможности использования многослойных явных и неявных схем аппроксимации по времени и возможности использования равномерных и неравномерных пространственных сеток для сред с различными геоэлектрическими свойствами.

2. Разработаны методы расчета трехмерных нестационарных электромагнитных полей с одновременным учетом токов проводимости и токов смещения, базирующиеся на разделении искомого поля на осесиммет-ричное поле и поле откликов трехмерных объектов и использовании векторного МКЭ для решения трехмерной задачи.

3. На основе разработанных в диссертационной работе методов изучено распространение электромагнитной волны в неоднородной проводяшей среде.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы конечноэлементного моделирования трехмерного нестационарного электромагнитного поля были использованы при проведении

работ, связанных с исследованием глубинности действия георадаров в различных геоэлектрических условиях.

Достоверность результатов подтверждена решением ряда модельных задач, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами. Защищаемые положения.

1. При использовании явных схем довольно высок уровень вычислительной погрешности, на фоне которой может быть существенно затруднено выделение аномальных объектов. Применение элементов с биквадратичными базисными функциями при использовании как явных, так и неявных схем, не приводит к повышению эффективности вычислительной схемы.

2. Для уменьшения уровня вычислительных шумов при использовании неявных трехслойных и четырехслойных схем аппроксимации по времени для расчета фронта зондирующего импульса необходимо использовать четы-рехслойные схемы, а для процессов, связанных с токами проводимости -трехслойные.

3. Отклики от трехмерных объектов могут быть рассчитаны с достаточно высокой точностью только при использовании подхода, основанного на разделении искомого поля на осесимметричное поле и поле откликов трехмерных объектов, в котором трехмерная задача решается с использованием векторного МКЭ.

4. Разработанный математический аппарат позволяет определять глубинность подповерхностного радиолокационного зондирования, форму откликов от геоэлектрических неоднородностей с аномальными значениями электрической проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемости.

Личный вклад. Разработаны и программно реализованы схемы конечно-элементного моделирования осесимметричного нестационарного электромагнитного поля с учетом токов проводимости и токов смещения. Исследована точность различных схем аппроксимации нестационарных осесимметричных задач по пространству с использованием кусочно-билинейных и кусочно-биквадратичных базисных функций на прямоугольниках и с использованием явных и неявных трехслойных и четырехслойных схем аппроксимации по времени. Разработан и реализован подход к решению векторной гиперболической задачи с разделением искомого поля на осесимметричное и поле откликов трехмерных объектов, в котором трехмерная задача решается с использованием векторного МКЭ. Проведены исследования глубинности действия георадара в зависимости от проводимости вмещающей среды. Изучено влияние величин разносов между генератором и приемником на возможности выделения аномальных по проводимости объектов.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на IV и V международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98 и АШП-2000 (Новосибирск, 1998г., 2000г.); The

Third Russian-Korean International Symposium on Science, and Technology KORUS'99 (Новосибирск, 1999г.); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000г.); региональной научной конференции «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2001, 2002гг.); семинарах НГТУ и СНИИГТиМСа.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 10 печатных работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников (111 наименований). Работа изложена на 126 страницах, включая 47 иллюстраций.

Основное содержание работы

В первой главе рассматриваются конечноэлементные аппроксимации двумерных гиперболических уравнений, описывающих осесимметричные электромагнитные поля с учетом токов проводимости и смещения. Проводится сравнение явных и неявных трех- и четырехслойных схем аппроксимаций по времени. Анализируется возможность использования элементов более высоких порядков. Проводится анализ точности предлагаемых схем на примере решения задачи в однородном пространстве и решения задачи в двухслойной среде. Рассматриваются возможности использования нерегулярных прямоугольных сеток.

В рассматриваемом классе задач электромагнитное поле является осе-симметричным и для его описания удобно использовать цилиндрическую систему координат. Будем считать, что электромагнитная волна распространяется в среде с магнитной проницаемостью Ц = дуальной проводимостью

; £{г,г) . Сторонние токи

и диэлектрической проницаемостью , возбуждающие электромагнитное поле, в цилиндрической системе координат имеют единственную ненулевую компоненту <7^, = Jlp{f',z,t) . Тогда уравнение для напряженности электрического поля выглядит следующим образом:

Для аппроксимации по времени уравнения (1) были использованы явные и неявные трех и четырехслойные схемы по времени.

Оценка точности конечноэлементного решения проводилась на примере

решения задачи в однородном непроводящем пространстве путем сравнения с аналитическим решением волнового уравнения —АЕ^ + \ д ^ = ~А*' ^ »

где V = У^Щ - скорость распространения волны в среде. Будем считать, что

сторонний ток J сосредоточен на окружности с радиусом 2 см. Результаты приводятся в виде значений полученных при использовании явных

трехслойных и неявных трех- и четырехслойных схем.

Заметим, что при использовании одинаковых сеток вычислительные затраты для неявных схем существенно превосходят вычислительные затраты для явных схем с диагонализацией матрицы СЛАУ, и поэтому сравнение их точности следует проводить на разных сетках, которые дают примерно одинаковые вычислительные затраты. При этом в качестве основного критерия было использовано время счета (хотя при одинаковых затратах машинного времени явные схемы позволяют использовать гораздо более подробные сетки по пространству, что приводит и к большим затратам оперативной памяти).

14. 16. 1«. (, не 21. 1,но

у Явная трехслойная схема с диагонализацией- врем« счета 124 мин. уЯвная трехслойная схема без диагоналиэации— время счета 187 мни. ^Неявная четырехслойная схема ■>- время счета 93 мин. ¿^Аналитическое решение

Рис. 1. Оценка точности конечноэлсментного решения в однородном непроводящем пространстве

В связи с этим на рис. 1 приведены графики Е^^), полученные с помощью явных и неявных схем на разных сетках, но при примерно равных затратах машинного времени.

Из приведенных на рис. 1 графиков видно, что лучше всего максимум волны отслеживает явная схема с диагонализацией матрицы. Явная схема без диагонализации и неявная схема имеют в максимуме несколько большую погрешность,. но при этом они существенно выигрывают у явной схемы с диагонализацией по уровню вычислительного шума после прохождения основной волны. Сравнивая же явную схему без диагонализации матрицы и неявную схему, следует отметить, что при почти одинаковом уровне погрешности в максимумах. волны явная схема без диагонализации имеет гораздо большую «предволну», а также хоть и небольшой, но все-таки совершенно несопоставимый по уровню с неявной схемой» вычислительный шум после прохождения волны.

Так как на практике, как правило, локализация поискового объекта осуществляется по отраженным волнам, которые приходят после прохождения фронта основной волны, то использование явных схем становится затруднительным, так как вычислительные шумы могут превосходить отклики от поисковых объектов.

Оценка точности конечноэлементного решения в проводящем пространстве проводилась путем сравнения с результатами, приведенными в работе Мо-гилатова B.C. и полученными для двухслойной среды, состоящей из воздушного верхнего полупространства и нижнего полупространства с сопротивлением р=100 Ом-м и относительной диэлектрической проницаемостью £ = 10.

На рис. 2, а приведены результаты, полученные в работе Могилато-ва B.C.. На рис. 2, б приведены результаты решений, полученные предлагаемым в данной работе численным методом при использовании четырехслойной неявной схемы для расчета процесса с учетом токов смещения, а также результаты без учета токов смещения, полученные с помощью трехслойной неявной схемы (решение параболического уравнения).

Полученные результаты хорошо совпадают с данными, приведенными в работе Могилатова B.C., и этот факт подтверждает корректность и точность предлагаемых в данной . главе вычислительных схем, основанных на использовании неявной четырехслойной схемы. Кроме того, приведенные результаты показывают, что изучение процесса становления поля в рассматриваемом диапазоне времен без учета токов смещения не является корректным.

а)

б)

Рис. 2. Сравнение результатов, полученных численным и аналитическим методом для двухслойного проводящего пространства

Во второй главе рассмотрены результаты решения ряда осесиммет-ричных задач в горизонтально-слоистых средах, позволяющие оценить глубинность действия георадара в средах с различной электрической проводимостью.

Проведенные исследования показали, что глубинность действия георадара для испытываемых моделей сред существенно зависит от сопротивления и крутизны спада фронта волны. При использовании георадаров с длительностью импульса 2 не идентификация неоднородности по р и ё в среде с р=10 Ом-м принципиально возможна лишь до глубин 0.5-0.6 м, в среде с р=30 Ом-м - до глубин 3-3.5 м, в среде с р= 100 Ом м — до глубины. 10 м, в среде с р=1000 Ом-м — до глубин 50-55 м.

Кроме того, установлен оптимальный разнос приемно-генераторной кон струкции, при котором величина фронта основной волны сопоставима с величиной фронта отраженной волны, при этом фронт отраженной волны имеет достаточно больтттут^веттичину. Так на рис. 3 приведены значения ЭДС, определяемые как , где - -компонента вектора индукции магнитного поля, я 51 - поверхность, натянутая на контур приемника. Значения ЭДС приведены для приемников, удаленных на 0.5 м, 1 м и 2 м от центра источника, для модели со слоем с измененными удельным электрическим сопротивлением и диэлектрической проницаемостью, который расположен на глубине 0.5 м при сопротивлении среды 30 Ом-м.

На рис. 4 приведены картины распространения электромагнитной волны в пространстве и во времени в среде 30 Ом-м. Распределения Е^,, приведенные на этих рисунках, подтверждают описанные выше результаты.

Как видно из рис. 4 волна достигает уровня аномального слоя, расположенного на глубине 0.5 м, отражается от него и «приходит» в приемник (рис. 4, а и б). При этом поле токов проводимости еще настолько мало, что его невозможно увидеть на фоне поля токов смещения.

Как видно из рис. 4 в момент, когда волна достигает аномального слоя, находящегося на глубине 2 м, и отражается от него (рис. 4, в) поле токов проводимости уже достаточно велико и оно «препятствует» возвращению отраженной волны в приемник. Тем не менее, волна, отраженная от слоя на глубине 2 м, проходит через поле токов проводимости (рис. 4, в — искажение поля токов .проводимости) и в приемнике наблюдается отклик от этого слоя. При помещении же аномального слоя на глубину 4 м поле токов проводимости в момент отражения от слоя уже настолько велико, что не позволяет отраженной волне «вернуться» в приемник и, таким образом, идентификация этого слоя в рассматриваемых условиях становится невозможной (рис. 4, г).

НС

основная волна по земле

д \ 4 ОТКЛИК от слоя

основная волна по воздуху.

б)

/, не

Рис. 3. Графики ЭДС для модели среды с сопротивлением р=30 Ом-м со слоем на глубине 0.5 м и без него. Приемники удалены на: а) 0.5 м; б) 1 м; в) 2 м

т 1 1 1 1 <:

Рис 4 Распределение Еф по глубине аномальный слой на глубине 05м а) 1=8 не, б) 1=10 не, в) аномальный слой на глубине 2 м (1=25 не), г) аномальный слой на глубине 4 м (1=35 не),

В третьей главе приведена вычислительная схема решения трехмерной задачи распространения электромагнитной волны, основанная на разделении полей. Рассматриваются возможности использования векторного МКЭ для аппроксимации аномального поля. Приводится вариационная постановка и ко-нечноэлементная аппроксимация для векторного МКЭ. Рассматриваются особенности построения векторных базисных функций на регулярных (12-ти ре-

берных) и нерегулярных (13-ти реберных) элементах. Анализируется точность разработанной вычислительной схемы моделирования распространения электромагнитных волн в средах с трехмерными объектами.

Система уравнений для расчета добавочного поля ЕЛ через основное P.2D

поле Ь имеет следующий вид:

?Л д2 ¡?Л

rot

—rotËA

дЕ дгЕя + —Не „ , dt dt2

rot E*d | + [ciD + [eS0 - e) ^

(2)

di

з >

причем поле = ^Е^, вычисляется из Е^ с помощью сле-

дующих соотношений: Е?°<

Сx,y,z,t)■■ Ef,D(x,y,Z,t): E*"(x,y,z,t) — О

Г~2~, 2 "v у]х + у

У

?SD

12, 2 v V1 +У

yx2+y\z,t)

При этом поле Е^ является решением уравнения (1).

SD]

Введем дополнительные вектор-функции: ]№* = Ел^ , Р =Е |

Тогда, эквивалентная вариационная формулировка в форме Галеркина имеет следующий вид:

+ uQPk +u1Pi~1+u2Pk-2

rot ii-M rotPk

,1м м.

(3)

а ?7* - квадратичные полиномы, такие что т]к (<) равен единице при I = и .нулю при t = tk_l и 1 = 77* (<) равен единице при t = tk_l и нулю при £ — 1к 2 и < = ^, 77* (<) равен единице при Ь = и нулю при £ = и

Для конечноэлементной аппроксимации были использованы векторные базисные функции.

Для оценки точности конечноэлементого решения трехмерной задачи проведем сравнение решений задачи в двумерной и трехмерной постановке для тестовой осесимметричной модели. Осесимметричную модель построим следующим образом. В среду с параметрами О=0.1 См/м, £ = 5 на глубину 10 см в двумерной модели поместим объект в виде усеченного цилиндра с радиусом 8 см и удельной электрической проводимостью а=0.001 См/м, так чтобы проекция его центра на дневную поверхность совпадала с центром источника. В трехмерной же модели вместо цилиндра (поскольку используется лараллелепи-пеидальная сетка) на ту же глубину поместим объект в виде параллелепипеда со стороной 14 см, то есть такой, чтобы цилиндр и параллелепипед были эквивалентны по объему. Двумерную задачу будем решать с помощью уравнения (1), а трехмерную с помощью уравнения (2).

Электромагнитное поле возбуждается импульсом тока длительностью

2 не, который изменяется по закону с круговой частотой

Приемники регистрируют значения ЭДС, определяемые как ^^^-¿Б,

где Вг — £ -компонента вектора индукции магнитного поля, a £ - поверхность, натянутая на контур приемника. Центр приемника смещен относительно эпицентра объекта на 20 см.

На рис. 5 приведены графики ЭДС, полученные при решении задачи в двумерной и трехмерной постановке для модели с объектом, относительно нормального поля (поля без объекта).

Как видно, отклик от рассматриваемого объекта в приемник, удаленный от центра генератора на 20 см, приходит в интервале времен от 3.5 до 5.5 не и достаточно хорошо определяем относительно нормального поля, хотя и существенно ниже сигнала проходящей (основной) волны. Сигналы ЭДС, полученные при решении задачи в двумерной и в трехмерной постановках достаточно хорошо совпадают, и в максимумах отраженной волны их различие не превышает 5 %.

Такое различие для практики является приемлемым и свидетельствует, что построенная вычислительная схема для решения трехмерной задачи достаточно точно описывает влияние трехмерного объекта.

г 1 1 ■ 1 * 1 г ' Отклик от объекта 1; / • 1 к Я* г^ > 14 в« 1

1 1 1 [ 1 3 < ! I | ! >1Гсреда без объекта ' 1

2 4 6 I НС

Уэдс нормального пол* (ноля без объекта) Я ЭДС поля с объектом в двумерной постановке У ЭДС пол* с объектом в трехмерной постановке

Рис. 5. Оценка точности коненчоэлементного решения трехмерной задачи

В четвертой главе рассмотрена задача моделирования электромагнитных процессов при поиске приповерхностного непроводящего трехмерного объекта в проводящей среде. Исследуется влияние расположения генератора и приемника относительно объекта на структуру регистрируемого сигнала. С помощью математического моделирования доказывается, что выделение малых непроводящих приповерхностных объектов в проводящей среде без учета волновых процессов невозможно даже теоретически.

На рис. 6 приведены зависимости ЭДС от времени в петлях, смещенных относительно эпицентра объекта в противоположную от генератора сторону. Как видно, значения ЭДС для основной волны с удалением от генератора довольно быстро уменьшается. Значения же отраженной от объекта волны для приемников, удаленных от эпицентра объекта на 15 см и на 20 см, почти одинаковы, и в петле, удаленной на 20 см, отклик от объекта по уровню совпадает со значениями основной волны. Таким образом, в этом случае отклик от объекта является вполне выделимым.

Обратим внимание на то, что, несмотря на отличие свойств объекта и вмещающей среды именно по параметру удельной проводимости, выделить этот объект только за счет токов проводимости невозможно даже теоретически. Действительно, если в рассматриваемой задаче пренебречь токами смещения, то максимум влияния объекта на регистрируемый сигнал составляет всего 3 %, причем этот максимум приходится на момент времени 3 не, когда реально основное влияние на снимаемый в приемнике сигнал оказывает волновой процесс. Это показывают результаты расчетов, приведенные на рис. 7.

Таким образом, одним из способов поиска таких объектов с использованием электромагнитного поля являются георадарные технологии, позволяющих изучать волновые процессы.

Заключение

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Показано, что при моделировании осесимметричных электромагнитных по чей неявные схемы по сравнению с явными на одинаковых сетках дают гораздо меньший вычислительный шум после прохождения основной волны. При этом вычислительный шум после прохождения основной волны в явных схемах остается очень большим даже при значительном дроблении пространственной и временной сеток, в то время как при использовании неявных схем этот шум относительно невысок на довольно грубых сетках. Это делает неявные схемы более предпочтительными для проведения расчетов сигналов от поисковых объектов после прохождения основной волны.

2. Показано, что использование нерегулярных прямоугольных сеток позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты без потери точности при расчете фонового поля в проводящей среде и при изучении процесса перехода электромагнитного поля в квазистационарный вид. Использование конечных элементов с биквадратичными базисными функциями не дает никаких преимуществ по сравнению с билинейными конечными элементами.

3. Глубинность действия георадара существенно зависит от сопротивления исследуемой среды. Проведенные исследования показывают, что при использовании георадаров с длительностью импульса 2 не, идентификация неоднородности по удельному сопротивлению и диэлектрической проницаемости в среде с р=10 Ом-м принципиально возможна лишь до глубин 0.5-0.6 м, в среде с р=30 Ом-м - до глубин 3-3.5 м, в среде с р= 100 Ом-м - до глубины 10 м, в среде с р-1000 Ом-м - до глубин 50-55 м.

4. Разработан математический аппарат, позволяющий рассчитывать отклики от трехмерных объектов при генерации электромагнитного поля импульсом малой длительности. Схема базируется на выделении трехмерной составляющей поля и использовании конечноэлементных аппроксимаций, построенных на основе векторного МКЭ с реберными базисными функциями. Проведенное тестирование разработанных вычислительных схем решения трехмерных задач показало достаточно высокую точность.

5. На основе разработанного трехмерного конечноэлементного моделирования показана принципиальная возможность оптимизации приемно-генераторной конструкции для локализации объекта в зависимости от электрофизических и геометрических характеристик объекта и вмещающей среды.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Задорожный А.Г., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М. Конеч-ноэлементное моделирование процесса распространения электромагнитной волны в горизонтально-слоистой среде с учетом токов смещения // «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98: Тр IV междунар. конф., Новосибирск, 23-26 сентября 1998. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - Т. 3. - С. 32-36.

2. Задорожный А.Г. Конечноэлементное моделирование осесимметричных электромагнитных полей с использованием элементов различных порядков // «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2000: Tp.V междунар. конф., Новосибирск, 26-29 сентября 2000. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - Т. 3. - С. 39-43.

3. Задорожный А.Г. Конечноэлементные схемы моделирования процесса распространения осесимметричной электромагнитной волны с учетом вихревых токов проводимости и токов смещения // «Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике » ИНПРИМ-2000: Тез. докладов. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. - 4.4. - С. 26.

4. Задорожный А.Г. Конечноэлементное моделирование эпектромагнитных полей на прямоугольных сетках // «Наука. Техника. Инновации» НТИ-2001: Тез. Докладов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. - Ч. 1. -С. 59-60.

5. Задорожный А.Г. Применение векторного метода конечных элементов для расчета электромагнитного поля в горизонтально-слоистых средах с трехмерной аномалией // «Наука. Техника. Инновации» НТИ-2002: Тез. докладов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - 4.1. - С. 124-126.

6. Задорожный А.Г. Реализация векторного метода конечных элементов на сетках с параллелепипеидальными ячейками // Сборник научных трудов НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - № 1 (31). - С. 37-46.

7. Задорожный А.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. Расчет влияния приповерхностного непроводящего объекта на распространение электромагнитной волны в проводящей среде // Сборник научных трудов НГТУ. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - № 4(34). - С. 19-25.

8. Токарева М.Г., Персова MJ\, Задорожный А.Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки // Сборник научных трудов НГТУ. - Новосибирск, 2002. - № 2(28). - С. 41-48.

9. Чернышев А.В., Задорожный А.Г. Совместное использование полуаналитического и численного методов для вычисления элеюромагнитного поля в горизонтально-слоистых средах // «Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике» ИНПРИМ-2000: Тез. докладов. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. - 4.4. - С. 100.

10. Cherayshev A.V., Royak M.E., Soloveichik Y.G., Trigubovich G. M., Zadorogniy A.G. About one problem to calculation of electromotive force for horizontal layered medium // Proc. of Third Russian-Korean Intern. Symp. on Science and Technology KORUS'99, Novosibirsk, June 22-25, 1999. -Novosibirsk, 1999. - Vol.2. - P.529.

Подписано в печать 19.CZ. СУ Формат 84x60x1/16 Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печл. 1,5 Заказ № 3Z1

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20

Ii W 5 5

ВВЕДЕНИЕ.:.

ГЛАВА 1. СХЕМЫ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЙ АППРОКСИМАЦИИ * ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ.

1.1. Рассматриваемый класс задач электроразведки.

1.2. Математическая модель осесимметричного электромагнитного поля.1,

1.3. Конечноэлементная аппроксимация осесимметричной задачи.

1.4. Билинейные базисные функции.

1.5. Биквадратичные базисные функции.

1.6. Исследование точности конечноэлементного моделирования электромагнитного поля в однородном пространстве.

1.7. Исследование точности конечноэлементного моделирования

Ц электромагнитного поля в двухслойном пространстве.

1.8. Возможности использования нерегулярных прямоугольных сеток.

1.9. Описание программного комплекса расчета осесимметричного электромагнитного поля.

1.10. Выводы.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ГЛУБИННОСТИ ГЕОРАДАРА В РАЗЛИЧНЫХ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ.

2.1. Исследование глубинности георадара.

2.2. Оценка влияния изменения р и е на отражение электромагнитной волны от слоя.

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО ЭМП С УЧЕТОМ ТОКОВ СМЕЩЕНИЯ И ПРОВОДИМОСТИ В ЗАДАЧАХ ж ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ.

3.1. Схема разделения полей.

3.2 12-ти реберные элементы.

3.3. 13-ти реберные элементы.

3.4. Оценка точности конечноэлементого решения.

Л 3.5. Описание программного комплекса расчета трехмерного электромагнитного поля.

3.6. Выводы.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПРИПОВЕРХНОСТНОГО НЕПРОВОДЯЩЕГО ОБЪЕКТА НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ.

4.1. Оценка влияния трехмерного объекта при регистрации сигнала над объектом.

4.2. Оптимизация установки при поиске трехмерного объекта.

4.3. Анализ теоретической возможности выделения t приповерхностного проводящего объекта только за счет токов проводимости.

4.4. Выводы.;.

Математическое моделирование электромагнитных полей является- важным и весьма ответственным этапом проектирования и интерпретации экспериментальных исследований структуры геологической или техногенной среды методами электромагнитного зондирования [2,3,5,6,8,11-19,21,22,24,27,28,3038,42,48,60-63,66,68-72,74,77,79-87,91,104-106]. Электрофизическими предпосылками использования методов электроразведки на нестационарных электромагнитных полях является дифференциация объектов исследования по сопротивлению, магнитной и диэлектрической проницаемости.

Современные технологии электромагнитных зондирований позволяют регистрировать сигналы в широком амплитудно-частотном диапазоне, что существенно расширяет область практического использования электроразведки. Бурно развивающаяся в последние 15 лет технология подповерхностного радиолокационного зондирования (георадар) [1,4,9,10,39,45-47,49,50,54,59,69,71, 82,96,107] основана на генерации наносекундных импульсов тока и регистрации особенностей распространения фронта электромагнитной волны в исследуемой среде с целью определения ее геометрических и электрофизических параметров на ранних временах, когда существенную роль играет диэлектрическая проницаемость. Практическое использование принципов радиоволнового зондирования было обеспечено развитием техники генерации электромагнитных импульсов наносекундной длительности.

В данной работе на основании математического моделирования будет исследована эффективность использования георадара в различных геоэлектрических условиях.

Для вычисления характеристик электромагнитных полей в таких задачах часто используются полуаналитические методы [6,21,22,24,28,30-33,42,48,70, 72,74,83-85]. Эти методы, как правило, основаны на существенно упрощенных математических моделях поля. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что в качестве решения задачи предлагается некоторый набор формул и интегральных соотношений, позволяющих при относительно небольших вычислительных затратах рассчитать требуемые характеристики поля. Основной . недостаток — это упрощение математической модели электромагнитного поля, в результате чего невозможно в рамках этих методов учесть все закономерности поведения электромагнитного поля для более сложных сред. Поэтому область применения полуаналитических методов весьма ограничена.

В отличие от аналитических методов, использование такого универсального метода решения дифференциальных уравнений в частных производных, как метод конечных элементов (МКЭ) [13-20,29,34-38,40,44,53,55-58,60-67,7678, 80,81,88 ,90-93,95,98-106,111], позволяет решать широкий класс двумерных • и трехмерных задач геоэлектроразведки. Однако применение стандартных ко-нечноэлементных аппроксимаций также вызывает значительные вычислительные затруднения при решении рассматриваемого класса задач.

В качестве основных причин этого можно назвать следующие. Первая заключается в том, что вклад в электромагнитное поле откликов изучаемых объектов обычно невелик. Вторая из причин состоит в том, что при математическом моделировании трехмерных нестационарных электромагнитных полей недостаточно одного скалярного уравнения как, например, для описания стационарных электрических или магнитных полей, и в результате при построении конечноэлементного решения трехмерного векторного уравнения объем вычислительных ресурсов резко возрастает по сравнению с объемом ресурсов, требуемых на решение аналогичного скалярного уравнения. Это приводит либо к большим погрешностям численного решения вследствие использования недостаточно подробной пространственной и временной дискретизации, либо к чрезмерным вычислительным затратам на решение практических задач.

Эти две причины приводили к тому, что многие сложные практические задачи долгое время не удавалось решить с требуемой точностью. К таким задачам относится большинство трехмерных задач электромагнитного зондирования Земли.

Для решения данной проблемы в работе предложено использовать вычислительные схемы, основанные на разделении полей [17-19,60-63,104] и использовании векторного метода конечных элементов [17-19,65,88,89,90,92, 94,95,97,100-103,108-111].

Исходя из условия горизонтальной слоистости вмещающей среды, предлагается использовать подход к построению конечноэлементных аппроксимаций, основанный на представлении трехмерного нестационарного электромагнитного поля в виде разложения на основное двумерное (осесимметричное) поле и добавочное1 (аномальное) поле влияния любых трехмерных объектов. Такая схема разделения полей позволяет существенно сократить вычислительные ресурсы, требуемые для решения трехмерной задачи, при условии, что существенную роль играет осесимметричное поле. Следовательно, для вычисления трехмерного поля необходимо получить основное поле с довольно высокой степенью точности, в то время как аномальная (трехмерная) часть поля может быть рассчитана с меньшей точностью.

Для нахождения осесимметричной (двумерной) части электромагнитного поля методом конечных элементов удобно использовать прямоугольные двумерные пространственные сетки в цилиндрической системе координат. Соответственно, для нахождения аномальной (трехмерной) части электромагнитного поля удобно воспользоваться трехмерными прямоугольными (параллеле-пипедальными) пространственными сетками в декартовой системе координат. Такой выбор может быть обусловлен, прежде всего, необходимостью быстрого и удобного построения сеток (при использовании треугольных элементов задача построения сетки не столь проста). Помимо этого, при использовании прямоугольных конечных элементов вместо треугольных алгоритмы пересчета полей при переходах между трехмерными и двумерными задачами значительно упрощаются. Основную проблему прямоугольных сеток, связанную с большим числом «лишних» узлов (узлов, удаление которых практически не проводит к увеличению погрешности численного решения), предлагается решать путем перехода к нерегулярным прямоугольным сеткам [44,51,52,75,76]. .

При конечноэлементном моделировании электромагнитных процессов в горизонтально-слоистой среде с трехмерными объектами предлагается использовать векторный метод конечных элементов. Особенность данного метода состоит в использовании векторных реберных базисных функций при конечноэлементном моделировании (так называемых edge-элементов [88,92,95, 97,100-103,108-110]). Важной особенностью таких функций является их разрывность, что позволяет с их помощью проводить моделирование трехмерного электромагнитного поля в средах с разрывными коэффициентами удельной

I • проводимости, магнитной и диэлектрической проницаемости.

Несмотря на достаточно развитую технологию георадарных зондирований, включая интерпретацию, проблема построения эффективных процедур численного моделирования нестационарных трехмерных электромагнитных полей до сих пор вызывает значительный практический интерес как у исследователей при проектировании работ и интерпретации полученных данных, так и у специалистов по математическому моделированию. Этим определяется актуальность предлагаемой работы.

Основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в данной работе, является проблема построения эффективных процедур численного моделирования осесимметричных и трехмерных электромагнитных полей при одновременном учете токов проводимости и токов смещения.

Цель исследований заключается в разработке, реализации и сравнении различных конечноэлементных схем моделирования как двумерного (осесимметричного), так и трехмерного (аномального) нестационарного электромагнитного поля.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1. Исследованы возможности использования многослойных явных и неявных схем аппроксимации по времени и возможности использования равномерных и неравномерных пространственных сеток для сред с различными геоэлектрическими свойствами.

2. Разработаны методы расчета трехмерных нестационарных электромагнитных полей с одновременным учетом токов проводимости и токов смещения, базирующиеся на разделении искомого поля на осесиммет-ричное поле и поле откликов трехмерных объектов и использовании векторного МКЭ для решения трехмерной задачи.

3. На основе разработанных в диссертационной работе методов изучено распространение электромагнитной волны в неоднородной проводящей среде. . •

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы конечноэлементного моделирования трехмерного нестационарного Электромагнитного поля были использованы при проведении работ, связанных с исследованием глубинности действия георадаров в различных геоэлектрических условиях.

Достоверность результатов подтверждена решением ряда модельных задач, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами. Защищаемые положения.

1. При использовании явных схем довольно высок уровень вычислительной погрешности, на фоне которой может быть существенно затруднено выделение аномальных объектов. Применение элементов с биквадратичны-ми базисными функциями при использовании как явных, так и неявных схем, не приводит к повышению эффективности вычислительной схемы.

2. Для уменьшения уровня вычислительных шумов при использовании неявных трехслойных и четырехслойных схем аппроксимации по времени для расчета фронта зондирующего импульса необходимо использовать четырехслойные схемы, а для процессов, связанных с токами проводимости - трехслойные.

3. Отклики от трехмерных объектов могут быть рассчитаны с достаточно высокой точностью только при использовании подхода, основанного на разделении искомого поля на осесимметричное поле и поле откликов трехмерных объектов, в котором трехмерная задача решается с использованием векторного МКЭ.

4. Разработанный математический аппарат позволяет определять глубинность подповерхностного радиолокационного зондирования, форму рт-кликов от геоэлектрических неоднородностей с аномальными значениями электрической проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемости. . *

Личный вклад. Разработаны и программно реализованы схемы конечно-элементного моделирования осесимметричного нестационарного электромагнитного поля с учетом токов проводимости и токов смещения. Исследована точность различных схем аппроксимации нестационарных осесимметричных задач по пространству с использованием кусочно-билинейных и кусочно-биквадратичных базисных функций на прямоугольниках и с использованием явных и неявных трехслойных и четырехслойных схем аппроксимации по времени. Разработан и реализован подход к решению векторной гиперболической задачи с разделением искомого поля на осесимметричное и поле откликов трехмерных объектов, в котором трехмерная задача решается с использованием векторного МКЭ. Проведены исследования глубинности действия георадара в зависимости от проводимости вмещающей среды. . Изучено влияние величин разносов между генератором и приемником на возможности выделения аномальных по проводимости объектов.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на IV и V международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98 и АПЭП-2000 (Новосибирск, 1998г., 2000г.); The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'99 (Новосибирск, 1999г.); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000г.); региональной научной конференции «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2001г., 2002г.); семинарах НГТУ и СНИИГТиМСа.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 10 печатных работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников (111 наименований). Работа изложена на 126 страницах, включая 47 иллюстраций.

4.4. Выводы

1. Проведенный на основе трехмерного конечноэлементного моделирования анализ показал принципиальную возможность выделения с помощью электромагнитных зондирований приповерхностного непроводящего объекта в проводящей среде (по контрасту электрического сопротивления).

2. Оптимальным выделения трехмерного приповерхностного объекта являются боковые расположения приемника и генератора по отношению к объекту. При этом оптимальное расстояние между приемником и генератором может быть определено с помощью трехмерного математического моделирования и зависит от величины объекта и глубины зондирования.

3. Небольшие приповерхностные непроводящие объекты не могут быть выделены при использовании технологий, базирующихся на изучении квазистационарного режима.

ЭДС, мВ среда с объектом среда без объекта

ЭДС, мВ

4 —Q-П—О ll.'f

2.е-6

4.е-6

6.е-6

8.е-6 /, мс

2.е-6 среда с объектом среда без объекта

4.е-6 б.е-б

8.е-6 t, МС а) б)

Рис. 4.6. Зависимость ЭДС от времени в приемниках за объектом: а) центр приемника удален на 15 см от эпицентра объекта; б) центр приемника удален на 20 см от эпицентра объекта а) б)

Рис. 4.7. Зависимость ЭДС от времени в приемных петлях за объектом: а) центр приемника удален на 20 см от эпицентра объекта; б) центр приемника удален на 30 см от эпицентра объекта

ЭДС, мВ in о О

З.е-6 среда с объектом (при расчете с учетом токов смещения) среда без объекта ' (при расчете с учетом токов смещения) среда с объектом (при расчете без учета токов смещения) среда без объекта (при расчете без учета токов смещения)

4.е-6

5.е-6

6.е-6 t, мс влияние объекта (при расчете без учета токов смещения)

З.е-6 б)

4.е-6

5.е-6

6.е-6 t, МС

Рис. 4.8. Сравнение расчетов с учетом токов смещения и без их учета: а) зависимость ЭДС от времени; отклик от объекта в % по отношению к полю от среды без объекта при расчёте без учета токов смещения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Показано, что при моделировании осесимметричных электромагнитных полей неявные схемы по сравнению с явными на одинаковых сетках дают гораздо меньший вычислительный шум после прохождения основной волны. При этом вычислительный шум после прохождения основной волны в явных схемах остается очень большим даже при значительном дроблении пространственной и временной сеток, в то время как при использовании неявных схем этот шум относительно невысок на довольно грубых сетках. Это делает неявные схемы более предпочтительными для проведения расчетов сигналов от поисковых объектов после прохождения основной волны.

2. Показано, что использование нерегулярных прямоугольных сеток позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты без потери точности при расчете фонового поля в проводящей среде и при изучении процесса перехода электромагнитного поля в квазистационарный вид. Использование конечных элементов с биквадратичными базисными функциями не дает никаких преимуществ по сравнению с билинейными конечными элементами.

3. Глубинность действия георадара существенно зависит от сопротивления исследуемой среды. Проведенные исследования показывают, что при использовании георадаров с длительностью импульса 2 не идентификация неоднородности по удельному сопротивлению и диэлектрической проницаемости в среде с р=10 Ом-м принципиально возможна лишь до глубин 0.5-0.6 м, . в среде с р=30 Ом-м - до глубин 3-3.5 м, в среде с р=100 Ом-м - до глубины 10 м, в среде с р=1 ООО Ом-м - до глубин 50-55 м.

4. Разработан математический аппарат, позволяющий рассчитывать отклики от трехмерных объектов при генерации электромагнитного поля импульсом малой длительности. Схема базируется на выделении трехмерной составляющей поля и использовании конечноэлементных аппроксимаций, построенных на основе векторного МКЭ с реберными базисными функциями.

Проведенное тестирование разработанных вычислительных схем решения трехмерных задач Показало достаточно высокую точность.

5. На основе разработанного трехмерного конечноэлементного моделирования показана принципиальная возможность оптимизации приемно-генераторной конструкции для локализации объекта в зависимости от электрофизических и геометрических характеристик объекта и вмещающей среды.

1. Аленкович Г., Левитас Б., Минин А. Портативный геолокатор для подземных исследований // СТА: Соврем, технол. и автоматиз. 1996. - № 1. -С.68-69. • • .

2. Безрук И.А., Куликов А.В., Киселев Е.С. и др. Электроразведка в комплексе глубинных и поисковых геофизических работ // Геофизика, 1975. -№5.-С. 23-30.

3. Березкин В.: Н., Хавкина Д.Б. Физико-геологическое обоснование прямых поисков нефти и газа комплексом геофизических методов // Прикладная геофизика, 1982. Вып. 103. - С. 14-20.

4. Богатырев Ю.К. Перспективы диагностики мелкомасштабных неоднородностей • подповерхностного слоя земли георадарами // Вестн. Верхне-Волжского отделения Акад. технол. наук РФ. 1995. - № 1. - С.33-34.

5. Ваньян Л.Л. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965. 109 с.

6. Ваньян Л.Л. Становление электромагнитного поля и его использование для решения задач структурной геологии. Новосибирск: Наука, 1966. - 102 с.

7. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.-319 с.

8. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике: Справочник геофизика / Под ред. В.И. Дмитриева 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Недра, 1990.-498 с.

9. Георадар «Грот» // Приборы. 2002. - № 11 (29). - С. 18.

10. Георадары повышенной мощности / В.В. Копейкин, Д.Е. Едемский, В.А. Гарбацевич и др. // 52 Научн. сессия, посвящ. Дню радио, Москва, 1997: Тез. докл. 4.1. М., 1997. - С.241-242.

11. Геофизические методы обнаружения нефтегазовых залежей на Сибирской платформе // Под ред. М.М. Мандельбаума, Б.И. Рабиновича, • B.C. Суркова. М.: Недра, 1983. - 128 с.

12. Дмитриев В.И. Методы моделирования электромагнитных полей. Материалы международного проекта COMEMI / М.С. Жданов, И.М. Варенцов, К.Г. Голубев, В.А. Крылов. М.: Наука, 1990. - 198с.

13. Задорожный А.Г. Конечноэлементное моделирование электромагнитных полей на прямоугольных сетках // «Наука. Техника. Инновации» НТИ-2001: Тез. докладов. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. - 4.1. - С. 59-60.

14. Задорожный А.Г. Реализация векторного метода конечных элементов на сетках с параллелепипеидальными ячейками // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - № 1 (31). - С. 37-46.

15. Задорожный Д.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. Расчет влияния приповерхностного • непроводящего объекта на распространение электромагнитной волны в проводящей среде // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - № 4 (34). - С. 19-25.

16. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация, М.: Мир, 1986.-318 с.:

17. Зингер Б.А., файнберг Э.Б. Электромагнитная индукция в неоднородных тонких слоях. М.: Наука, 1985. - 235 с.

18. Жданов М.С. Электроразведка: Учебник для вузов. М.: Недра, 1986. -316 с.

19. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.:Физматлит, 1995. - 288 с.

20. Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов. М.: ГЕОС, 1997. - 162 с.

21. Капорин И.Е. О предобусловливании метода сопряженных градиентов при решении дискретных аналогов дифференциальных задач / Дифференциальные уравнения, 1990. Т. 26. - № 7. - С. 1225-1236.

22. Кузнецов Ю.А. Метод сопряженных градиентов, его обобщения и применения / Вычислительные процессы и системы. М.: Наука. - 1983.-Вып.1.

23. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учебн. пособие. М.: Высш. школа, 1983. - 463 с.

24. Матвеев Б.К. Электроразведка: Учеб.пособие для вузов. М.: Недра, 1990.-368 с.

25. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

26. Могилатов B.C. Импульсная электроразведка // Учебное пособие. -Новосибирск: НГУ, 2002. 92 с.

27. Могилатов B.C. Индуктивный, смешанный и гальванический источники в электроразведке становлением поля // Изв. РАН. Сер. Физика Земли, 1997. -№ 12.-С. 42-51.

28. Могилатов B.C. Об одном способе решения основной прямой задачи электроразведки ЗС // Геология и геофизика, 1993. Т.34. - № 3. - С. 108-117.,

29. Могилатов B.C. Элементы математического аппарата зондирований становлением поля при учете токов смещения // Физика Земли, 1997. № 9. -С. 60-66.

30. Моисеев B.C., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Математическое моделирование сложнопостроенных сред // Сб. рефератов № 2 Междунар. геофизической конф. и выставки по разведочной геофизике SEG-EAGO. М., 1993.-С.15.

31. Новые типы георадаров: разработка и применение / Помозов В.В., Поцепня О.А., Семейкин Н.П. и др. // Разведка и охрана недр. 2000. - № 2. -С.19-21.

32. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

33. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. - 367 с.

34. Панкратов ■ О.В., Авдеев Д.Б., Кувшинов А.В. Рассеяние электромагнитного поля в неоднородной земле. Решение прямой задачи. И Изв. РАН. Физика Земли. 1995.-№ 3. - С.17-25.

35. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. - 410 с.

36. Персова М.Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей на нерегулярных прямоугольных сетках // Сборник трудов НГТУ. 2002. -№ 3(29). - С. 33-38.

37. Подповерхностная локация: новые возможности // Спец. техн. 1998. -№1.- С. 9-10.

38. Помозов В.В., Семейкдн Н.П. Георадар как универсальный поисковый прибор // Спец. техника. 2001. - № 2. - С. 2-6.

39. Помозов В., Семейкин Н., Семейкин Ю., Никифоров Ф., Поцепня О., Флоринский В. Георадар // СТА: Соврем, технол. и автоматиз. 1997. - № 1. -С. 88-92.

40. Прямые и обратные задачи геоэлектрики / Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн АН СССР. М.: Наука, 1990.- 101 с.

41. Пятницкий В.И., Абрамов В.Ю. Обзор состояния георадарных технологий и аппаратуры в России и за рубежом // Руды и металлы. 1995. -№ 6. - С.81-88.

42. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток // Сборник научных трудов НГТУ. -Новосибирск: НГТУ, 1996. № 2 (4). - С. 39-46.

43. Рояк М.Э, Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.- 120 с.

44. Саблин В.Н., Ивашов С.И. Новые рубежи подповерхностной радиолокации // Технологии, оборудование, материалы. 1998. - № 11. - С. 40-42.

45. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997.- 239 с.

46. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. - 229 с.

47. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.392 с.

48. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. - 229 с.

49. Скребнев В.И. Подповерхностная локация: новые возможности // Спец. техника. 1998. - № 1. - С. 8-10.

50. Соловейчик Ю.Г. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук «Вычислительные схемы' МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях». Новосибирск, НГТУ, 1997.

51. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Расчет трехмерного нестационарного электромагнитного поля с учетом вихревых токов // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. - № 3 (5). - С. 71-80.

52. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C.* Васильев А.В. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки // Физика Земли, 1997.-№9.-С. 67-71. '

53. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов // Физика Земли, 1998. № 10. - С. 78-84.

54. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики // Методическое пособие. -Новосибирск: НГТУ, 1999. 123 с.

55. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Корытный Е.Б., Разинкин В.П. Применение векторного метода конечных элементов для анализа электромагнитного поля в согласованных пленочных СВЧ-резисторах // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. - Вып. 3. - С. 71-79.

56. Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепи-пеидальных сетках // Вестник ИрГТУ. Иркутск. - 2004. - № 1. - С. 45-60.

57. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-350 с.

58. Структурно-формационные модели как физико-геологическая основа высокоразрешающей электроразведки / А.С. Сафонов, И.А. Мушин, Е.С. Киселев, А.С. Горюнов // Геофизика. 1996. - № 2. - С. 45-50.

59. Сугак В.Г. Оценка возможности обнаружения подповерхностных слоистых неоднородностей при зондировании с поверхности земли // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. - Т.40. - № 8. - С.952-964.

60. Табаровский JI.A., Эпов М.И. Прямая задача зондирования становлением поля для'среды с набором тонких проводящих пластов // Изв. Вузов. Геология и разведка. 1998. - № 7. - С. 113-117.

61. Терешенков Д.А. Модель слоистой среды для задач подповерхностного зондирования // Вестн. Верхне-Волжского отделения Акад. технол. наук РФ. Сер. Высок, технол; в радиоэлектрон. 1998. - № 1. - С. 157-162.

62. Тихонов А.Н., Глазко В.Б., Дмитриев В.И. Математические методы в разведке полезных ископаемых. М.: Знание, 1983. - 239 с.

63. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1997. - 432 с.

64. Тихонов А.Н., Скугаревская О.А. О становлении электрического тока в неоднородной среде // Изв. АН СССР. Сер. Геофизика. 1950. - Т. XIV. - № 4.-С.281-293.

65. Токарева М.Г., Персова М.Г., Задорожный А.Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки / Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск, 2002. - № 2 (28). - С. 41-48.

66. Токарева М.Г. Решение стационарных осесимметричных задач на нерегулярных прямоугольных сетках / Сб. научных трудов НГТУ. -Новосибирск, 2002. № 2 (28). - С. 79-88.

67. Хейгеман Jl., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.

68. Уэйт Дж. Р. Геоэлектромагнетизм. М.: Недра, 1987. - 235 с.

69. Чернышев А.В. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук «Вычислительные схемы и. программное обеспечение решения прямых и обратных задач электромагнитного зондирования земли становлением поля». Новосибирск, НГТУ, 2003.

70. Щайдуров Г.Я. Импульсные электромагнитные системы поиска: Монография. Красноярск: КГТУ, 1999. - 315 с.

71. Шейнман С.М. Об установлении электромагнитных полей в земле // Прикладная геофизика. М.: Гостоптехиздат, 1974. Вып. 9. - С. 3-55.

72. Электромагнитная индукция в неоднородных тонких слоях. // Б.Ш. Зингер, Э.Б. Файнберг. М.: ИЗМИРАН, 1985 г. - 234 с.

73. Электроразведка: Справочник геофизика / Ред. В.К. Хмелевского и В.М. Бондаренко.- М.: Недра,1989.- Кн.1. 438 с.

74. Яковлев А.П., Круглова З.Д. Изменения пород под влиянием нефти и газа и возможность их выявления геофизическими методами // Разведочная геофизика. Обзор. М.: ВИЭМС, 1977. - 42с.

75. Якупов B.C., Якупов С.В. Зондирование земных сред импульсами магнитного поля // Докл. АН. 2002. - Т.З 84. - № 6. - С. 815-817.

76. Albanese R., Rubinacci G. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements // J.Comput.Phys. 1993. - Vol. 108. - P. 236-245.

77. Avdeev D.B., Kuvshinov A.V.,.Pankratov O.V, Newman G.A. High-Perfomance Three-Dimensional Electromagnetic Modelling Using Modified

78. Neumann Series. Wide-Band Numerical Solution and Example. J. Geomag. Geoelectr., 49. 1997. № 11-12. - P.1519-1539.

79. Cendes Z.J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations // IEEE Trans. Magn. 1991. - Vol. 27. - № 5. - P. 3958-3966.

80. Cingoski V., Y^mashita H. An Improved Method for Magnetic Flux Density Visualization using Three-Dimensional Edge Finite Elements // J. Applied Phys. -1994. Vol.75. - № 10. - P. 6042-6044.

81. Dyczij-Edlinger R., Peng G., Lee J.-F. A fast vector potencial method using tangentially continuous vector finite elements // IEEE Trans. Microwave Theory & Tech. 1998. Vol. 46. - P. 863-868.

82. Heise В., Kuhn M., Langer U. A mixed variational formulation for 3D linear and nonlinear magnetostatics in the space Hq (rot) П Hq (div) // HEJ Manuscript no.: ANM-981030-A. 1998. - 16 p.

83. Igarashi H. On the property of the curl-curl matrix in finite element analysis with edge elements // IEEE Trans. Magn. 2001. - Vol. 37. - № 5. - P. 3129-3132.

84. Jin-Fa Lee and Raj Mittra. A note on the application of edge-elements for modelling three-dimensional inhomogeneously-filled cavities // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT-40, 1992. P. 1767-1773.

85. Leonard P., Rodger D. Finite element scheme for transient 3D eddy currents // IEEE Trans. Magn. 1988. - Vol. 24. - P. 90-93.

86. Mohammed S. Tharf and George I. Costache. Finite element method solutions of field distributions in large cavities // International Journal Of Numerical . Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, 1994. Vol. 7. - P. 343-355.

87. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3 // Numer. Math. 1980. - Vol. 35.-P. 315-341.

88. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in R3 // Numer. Math. -1986.-Vol. 50.-P. 57-81.

89. Perugia I. A mixed formulation for 3D magnetostatic problems: theoretical analysis and face-edge finite element approximation // Numer. Math. 1999. - Vol. 84. - P. 305-326.

90. Rodrigue G., White D. A vector finite element time-domain method for solving. Maxwell's equations on unstructured hexahedral grids // SIAM J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 23. - № 3. P. 683-706.

91. Vasiliev I.A., Ivashov S.I., Makarenkov V.I., SablinV.N., SheykoA.P. RF Band High Resolution Sounding of Building Structures and Works. IEEE Aerospace & Electronic Systems Magazine. May 1999. Vol. 14. - №. 5. - P. 25-28.

92. Webb J.P. Edge elements and what they can do for you // IEEE Trans. Magn.-1993. Vol. 29. - №'2. - P. 1460-1465.

93. Webb J.P., Forghani B. Hierarchal scalar and vector tetrahedral // IEEE Trans. Magn. 1993. - Vol. 29. - № 2. - P. 1495-1498.

94. Wii J.-Y., Lee R. The advantages of triangular and tetrahedral edge elements for electromagnetic modeling with the finite-element method // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1997. - Vol. 45. - № 9. - P. 1431 -1437.

95. Yioultsis T.V., Tsiukis T.D. Vector finite element analysis of waveguide discontinuities involving anisotropic media // IEEE Trans. Magn. 1995. - Vol. 31.-№ 3.-P. 1550-1553. . ■