автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка и применение численных методов исследования задач сетевой структуры

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э. РАСУЛЗАДЕ

На правах рукописи

РГ8 ОД

ХАНДЗЕЛЬ АЛЕКСАНДР ВЛАДИСЛАВОВИЧ

УДК 519.85

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ СЕТЕВОЙ СТРУКТУРЫ

Специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Баку - 1998

Работа выполнена в Институте Кибернетики имени академика А.Гусейнова Академии Наук Азербайджана.

Научный руководитель :

- доктор физико-математических наук, профессор Айда-заде K.P.

Оффициальные оппоненты

- доктор технических наук, профессор Ализаде П.Г.

- доктор физико-математических наук, профессор Алиев'Ф.А.

Ведущая организация - Азербайджанский научно-исследовательский

Институт Энергетики

Защита состоится Ч^М сентября 1998 г. в часов на заседании специализированного совета Н 054.03.16 по присуждению ученой степени кандидата технических наук в Бакинском Государственном'Универститете им. М. Э. Расулзаде по адресу: 370141, г. Баку, ул. 3. Халилова, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ.

Автореферат разослан, "_" августа 1998 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Современный этап развития научно-технического прогресса приводит к необходимости применения методов моделирования и оптимизации в системах сложной структуры, включающих большое число различных объектов. Математические модели таких систем обычно являются задачами математического программирования большой размерности. В представленной работе предложены исследование и эффективные методы решения одного класса такого типа задач. В диссертации рассмотрен класс задач сетевой структуры, для которого характерны следующие особенности: большая размерность, нелинейность участвующих в задаче функций, произвольная заполненность якобиана функций ограничений. К задачам сетевой структуры сводятся многочисленные практические задачи ( оптимальное управление различными системами , моделирование технологических процессов), в связи с чем актуальность проведенных в работе исследований очевидна.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы заключается в следующем:

- исследование постановок задач сетевой структуры;

- разработка конструктивных численных методов решения задач сетевой структуры;

- разработка методов решения задач оптимального управления систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, основанных на их редукции к задачам сетевой структуры;

- разработка эффективных методов решения расчетных и оптимизационных задач на газотранспортных сетях.

Научная новизна проведенных в диссертации исследований и полученных результатов, выносимых автором на защиту, состоит в следующем:

- изучены математические модели технических и технологических

объектов, предложены способы сведения их к задачам сетевой структуры, разработаны численные методы решения оптимизационных задач сетевой структуры;

- приведены постановки и эффективные методы решения задач расчета состояния газотранспортных сетей и оптимизационных задач на газотранспортных сетях как задач сетевой структуры;

- разработаны методы первого и второго порядков для определения оптимального управления для систем с сосредоточенными параметрами на классах кусочно-постоянных и кусочно-непрерывных функций;

- предложен способ редукции задач оптимального управления с распределенными параметрами к задачам сетевой структуры с применением метода конечных элементов, исследованы и решены получаемые при этом задачи сетевой структуры.

Общая методика выполнения исследований. В работе использованы подходы и методы современной теории моделирования, оптимизации, оптимального управления, теории графов.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, имеют как теоретическое, так и прикладное значенне.

Теоретическое значение работы заключается в том, что в работе исследован класс задач сетевой структуры, получены необходимые условия оптимальности и предложены численные методы и алгоритмы решения задач сетевой структуры. Диссертация имеет также прикладное значение, которое состоит в разработке эффективных методов решения задач оптимального управления, а также оптимизационных задач на газотранспортных сетях. Результаты диссертации могут быть использованы при решении задач математического программирования большой размерности.

Результаты диссертации использовались при решении оптими-

зационных задач в АСУ ТП Уренгойским и Ямбургским газодобывающим предприятиями, а именно, при расчете статических режимов работы газосборного коллектора и оперативного распределения нагрузок между УКПГ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались:

Г. На Всесоюзной конференции "Проблемы создания и опыт внедрения АСУ в нефтяной, газовой промышленности и развитие геофизического приборостроения" (г. Сумгаит, 16-18 октября 1985 г.)

2. На IX и X Всесоюзных симпозиумах "Системы программного обеспечения решения задач оптимального управления" (г. Минск, 1986 г., г.Нарва, 1988 г.)

3. На Всесоюзном научном семинаре "Моделирование, идентифифка-ция, синтез систем управления в химических и химико-металлургических производствах"(г. Алушта, 27/09 - 1/10 1990 г.)

4. На научных семинарах Института Кибернетики АН Азербайджана.

Публикация. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1] - [91 .

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 125 листах машинописного текста, включает в себя 3 рисунка, 11 таблиц, состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 121 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обсуждена актуальность выбранной темы, приведен краткий обзор литературы по тематике работы, показана научная новизна, практическая ценность и приведена краткая аннотация разделов работы.

В главе 1 предложены основные теоретические положения, на базе которых получены прикладные результаты глав 2, 3. Глава 1

посвящена решению задач сетевой структуры, постановка которых приводится в §1. Под оптимизационной задачей сетевой структуры подразумевается следующая задача:

»/; (г\ и1),

1.1) 1.2)

1.3)

1.4)

1.5)

21ш{г/еЕ$1 и'-{ил*Ег*

ге,- х гс = г

4 > >

.о ,

Предполагается, что функции у( _/• непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, а 2° - заданные параметры задачи, кроме этого функции У' ¡_ , множества // таковы, что значения у, ^ при заданных К определяются однозначно.

Рассматриваемая задача может быть интерпретирована следую идам образом.

Пусть имеется объект М , состоящий из конечного числа

взаимосвязанных объектов М- ¿¿Г и управляющий им объект Й

*»

состоящий из объектов К. Пусть состояние объекта Л/^

зависит от состояний объектов ^ ^I, К ^ %}

пусть - мерный вектор описыввает состояние объекта М^ а Г$~ мерный вектор Ц^ - состояние объекта •

Объекты - 0^ называются входными

относительно объекта М , а I' - множеством входов.

Пусть требуется оптимизировать объект М , подразумевая под этим минимизацию заданной целевой функции, зависящей от состояния некоторых объектов, входящих в М и Я.

Ясно, что задача (1.1.1) - (1.1.5) представляет собой математическое описание приведенной постановки оптимизации объектов М Ц .

Математические модели вида (1.1.1) - (1.1.5) возникают, как правило, при использовании декомпозиционных подходов исследования сложных технических систем, технологических процессов, при декомпозиции как по пространственным состояниям, так и по временным.

Для сложных объектов, включающих в себя большое число уз-X

лов, размерность соотвествующей системы (1.1.2) может быть достаточно большой, а необходимость и сложность решения системы нелинейных уравнений делает модель объекта недостаточно эффективной для целей проведения проведения различных численных исследований, его оптимизации. Задача (1.1.1)-(1.1.5) может рассматриваться с ограничениями на управляющие воздейтсвия U и на состояния 2~t объектов Mi ■ (1.1.1)-(1.1.5) представляет собой задачу конечно-мерного математического программирования, которая заключается в отыскании Л - мерного управляющего вектора воздействий U и соответствующего мерного вектора

Z, связанных соотношением (1.1.2), (1.1.3), доставляющие минимум функции (1.1.1). При большом числе объектов ее решение общими методами математического программирования сталкивается с вычислительными трудностями. Учитывая специфику соотношений (1.1.2), (1.1.3) и то, что, как правило, в декомпозиционных моделях размерности множеств Ji t К- ^ L еТt много меньше размерностей соответственно /, К , предлагаются подход и расчетные формулы решения оптимизационных задач. В §2 главы 1 описываются методы первого порядка для решения оптимизационных задач сетевой структуры. Вводятся следующие множества

Jf, {J6j: [еГ/J, К~ = {je/- ¿¿К/ l , (1.2.1)

УГЧ^ч^Г) vf ,

• ?> (1.2.2) {¿Ч'еЩ} u UK, V/ .

Множества^ }- множество наборов объектов, состоял которых непосредственно зависят от состояния М; ).

Множество = {I- = 0 } - множество выходов объекта М .

Множество!^' ) представляет собой набор номеров объектов из М > которые непо средственно или косвенно зависят от состояния объекта

В предположении дифференцируемое™ функций £(■/) относительно своих аргументов и по определению множеств Ц* имеет место Лемма 2.1. Для¡Симеют место соотношения:

I = о , I <Г V. , /

с/?,

Ё£* Л».

ди.

* о, . - £ с* V. ,

= О, <* у;,

* ^ сек",

= О, - - 1 г и с е V,

Ф О ,

- О ,

* о , с" (г /Г/

= о * С е к;

(1.2.3)

(1.2.4)

(1.2.5)

(1.2.6)

Далее показывается, что для компонент вектора градиента имеет место следующая формула:

¿Г ¿Г г- (Ъ \т иг ~

¿(К; \ ди,) '

а для - мерного вектора с1(/с1у , который называется вектором импульсов объекта Му - соотношения:

¿Г дГ

Проведенные построения позволяют сформулировать необходимые условия оптимальности в виде теоремы:

Теорема 2.1. Пусть С/ - выпуклое множество из ЬГ} (I/ пусть I/* - множество точек минимума /* на 1/ , тогда в любой точке и% V* необходимо выполняется неравенство

* ( S6K *

JJlflOV+z vue у (1.2.10)

где вектор ^ -((^ )) I € I определяется системой (1.2.8),

(1.2.9), в случае и* € Сп1и* неравенство (1.2.10) превращается в равенство

I _ , „

je К' ' J <*'

В главы 1 исследуются вопросы, связанные с учетом в задачах сетевой структуры 11.1.1) - (1.1.5) совместных ограничений на управляющие воздействия и состояния объектов типа равенств и неравенств с целью применения эффективных методов математического программирования первого порядка. Наиболее детально рассмотрено решение задач с ограничениями возможно более общего типа:

и") (Z) 0, (1.3.1)

где

sel"ej} . и"' - s*k к].

Для получения Ичн) вводится вспомогательный вектор р." называемый импульсом L - того объекта относительно функции

H (г» и"}-.

ня dHl*».«») ^j*

п Ыг(

при этом вводятся следующие множества

Iм* v;ni"r0 iel)t

{у/.- V^nx"* 0<ГК)

4 v /

M"* {M-.ceî"} О {Aj, je*«}. Если V*П J4— 0 т.е. г• не определяет состояний объектов 6 2H , то = /â^i .

Далее доказываются следующие леммы.

— И — И

Лемма 3.1. Для с € J и j6 JC имеет место

[Г)'а Г (T"K*f"

Cil >

(1.3.3)

' > 4

Л U | _ . — и

Лемма 3.2. Множества (J J. и j К J . совпадают соответственно с и Kj для ¿& УМ и j 6 К * , на

N т И

основании которых относительно импульсов Д ^ i & / , получаются соотношения:

(1.3.4),

а для компонент градиента функции H (^ ^f J / в ,

причем очевидно:

т

соответственно

' (1.3.5!

' <7 . ifX*.

I

В §4 главы 1 приведено описание методов оптимизации второ -го порядка в сетевых задачах. Параграф в основном посвящен получению конструктивных расчетных формул вычисления матрицы Гессе для задач сетевой структуры вида (1.1.1) - (1.1.5).

С учетом полученного в §2 представления для градиента целевой функции f ,а также справедливости следующих соотношений :

а Г ФО , je/çnx;

4Х- / (1.4.D

*и*ди9 L -о , JÏ к; ПК ;.

дга- f >

° J (1.4.2) •

^ ^ L ✓ е-Л;.

,г / ^О , J е 1£ Я I v

J ¿J J (1.4.3)

/ s ¿7, jêJ'OT для V j 6 Г, s,(} е К.

Для элемента матрицы Гессе -;— можно получить:

ди^ ¿еК^РК' (?и<1 ди^ V ¿У/Г/ Ои^ 9,'

+ ¿¿¿- <3>'+ 2 ^ , (1.4.4)

где «■ ¿¿/¿г /«/определяются рекуррентными формулами (1.2.9), и введена матрица , состоящая из элементов

и матрица <3>" из элементов

= - , ¿ j е J (1.4.6)

V dt- *

Относительно элементов матрицы ' можно получить рекуррентные соотношения:

f'.s£lL + 2r , z iL /^J

JiidUf jeJ-'П^ ' ¿eff 1 ^ /

или, учитывая (1.4.5),

- Ж- + Г А + Х & а' .

д^д^ ¿е^Щ Ыи^ ^ Л; '

а относительно элементов матрицы ^г - соответственно следующие рекуррентные соотношения:

с?2 г ¿У

Ч * ¿ъ ( ¿г; ] ¿¿у {¿ъ / ^т; '

откуда, с учетом 11.2.9), (1.4.3), (1.4.Б),

"V V <4 ^ V ^

где элементы матрицы определяются следующими рекуррент-

ными соотношениями

уе/г/?!;- Л/Л/ V

- г/ Г /

В частности, для £ & ./ или J & в виду того, что

соответсвенно 1-:0 или = 0 , то имеет место:

или

- и -

Результаты, полученные в параграфе, позволяют строить для задач (1.1.1) - (1.1.5) матрицу Гессе и, как следствие - применять эффективные методы ньютоновского типа.

Глава 2 посвящена исследованию задач сетевой структуры, возникающих при оптимальном управлении системами с сосредоточенными и рспределенными параметрами и их решению. В £1 главы 2 приводятся различные формы постановок задач оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами^ а также сведение задачи оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами к сетевой задаче. В качестве основной рассматривается следующая постановка задачи оптимального управления:

á(í) = J (*(*), Ul-t), , te ( -éa 7)J (2.1.1)

X (40 ) * CC* (2. 1.2)

7~

Jfuj = //. (ОС(ti иШ> i)a¿¿ -t <P(xfr)u(r-o}f Tjf (2.1.3)

"¿o

где x(~t)— tl~ мерный вектор состояния, ^¡i¡ ~ m- мерный управляющий вектор, ~i - время^ J - П -мерная вектор-функция, а в качестве основного дискретного аналога задачи (2.1.1) -(2.1.3) - следующая задача:

/V-/

Ф(х» ^ , <2 J.4)

с-1 J ' - /

*г = f.(* У') * *í fc-j, </,-/ Ъ-t l 4 2-<-5)

где 7Ч = it-t¿.{ , t¿ f [О, T]r¡7¿t tU/ ^ ¿,= ¿7 Т.

При этом считается, что Я Щ - А - cons-t # -t £-Cít¡

Здесь К? - В общем случае множества # К*

различны, а именно, для уменьшения размерности оптимизационной задачи можно полагать иН)- и^- - сощ-Ь При 4 е

^е-иЗ, / учитывая, что величины Т. определяются точностью аппроксимации дифференциальных уравнений, а следовательно, должны быть достаточно малыми, относительно управляющих функций шаг может быть выбран значительно большим, при этом К*- ('[1-4/63 + 1J . Сопряженные множества

для рассматриваемого случая имеют вид:

Очевидно, что с точностью до обозначений в результате дискретизации получается типичная оптимизационная задача сетевой структуры. На основании результатов главы 2 для градиента функции (2. получается выражение:

£ = £ * г ¿^ Рк (2. , я

сС^ д^ ке К~ сЦ-где вектор р>к =-сИ/(/хк , который можно представить в виде:

Рк а Я + X ¿Ир (2. „

С-учетом соотношений (2.<.40, (2 ./.5) формулы (2.1.6), (2.1.7) можно переписать в виде:

(2. /. г)

Т, . (2. Г 9,

В §2 главы 2 исследуются методы второго порядка для определения оптимального управления. На основании предложенной в £4 главы 1 методики построены рекуррентные формулы для матрицы Гессе в задаче (2.1.4), (2.1.5). Далее проведено численное решение тестовых задач оптимального управления методами градиентного и ньютоновского типа, анализ полученных результатов, а также выполнены численные эксперименты по определению влияния на оптимальное значение целевого функционала укрупнения интервалов разбиения для управления.

В параграфе также приведено описание метода второго порядка для решения задачи оптимального управления (2.1.1) - (2.1.3) на классе кусочно-постоянных функций, т.е. метода ньютоновского типа определения оптимальных значений вектора управления и точек переключения управления, построен алгоритм, реализующий указанный метод, проведено численное тестирование разработанно го алгоритма.

В параграфе 3 предложен способ учета ограничений1 достаточно общего типа в задачах оптимального управления с сосредоточенными параметрами. Получены расчетные формулы определения градиента функций ограничений, приведены результаты численных экспериментов.

В параграфе 4 описано сведение задач оптимального управления ситемами с распределенными параметрами к сетевым задачам и их решение. Подход проиллюстрирован на следующей задаче оптимального управления системой параболического типа, описывающей распределение температуры в металлическом стержне:

= зе(о^)>1е(с,т)> (2.4.1)

X (»,-*) = О

(2.4.2)

- 9 (/М- *{',+)), (2.43)

Я^е ) (2.4.4)

г г

3 - (2.4.5)

о

где ) - распределение температуры в металлическом стерж-

не^ ^ - пространственная координата, -время, Л - коэф-

фициент температуропроводности, - внутренний источник

тепла, V - коэффициент теплопередачи, который предполагается постоянным, - температура газовой среды, у($) - начальное распределение температуры в стержне. Управляющее воздействие передается через регулирование [>(-£).

Для решения краевой задачи (2.4.1) - (2.4.4) при фиксированном р (-Ь) применяется метод конечных элементов. На отрезке О^бь / выбираются N равноотстоящих друг от друга узлов, в число которых входят крайние точки отрезка Г О,1 ]. Каждому узлу сопоставляется кусочно-лиенйная функция . принимающая значения 1 в узле ^ и 0 в узлах, линейную на интервалах (^'-/у )/ + 1 ) и равную 0 вне этих интервалов. Аппроксимация ОС (л, -Ь) строится в виде: ЭС($,±) = £

На основании аппроксимации (2.4.6) задача (2.4.1)-(2. 4. 5) сводится к одной из форм сетевой задачи, для которой предложен алгоритм построения градиента и матрицы Гессе целевого функционала.

В параграфе 5 рассматривается численное решение задачи оптимального управления сосредоточенными источниками в распределенных системах. В параграфе исследованы постановки задач оптимального управления сосредоточенными источниками для двумерного случая, при котором оптимизация состоит в определении как опти-

мального закона движения источников (траектории и движения по ней), так и их интенсивности. В параграфе приведен способ сведения задачи такого типа к дискрегизированной задаче и получение для последней расчетных формул градиента оптимизируемого функционала.

В главе 3 исследованы задачи, связанные с расчетами газотранспортных сетей. В параграфе 1 приведено краткое описание системы оперативного управления газодобывающим промыслом, модель газосборного коллектора которого является изучаемой в главе газотранспортной сетью. В параграфе 2 приведено описание математической модели газотранспортной сети.

Пусть гидравлическая сеть содержит Ш участков и П вершин [(Г) ? п), из которых К1 вершин являются вершинами притоков газа в сеть (множество Т1 ) и к*. вершин - вершинами оттоков газа (множество вершин /г). К,+ Иг У~ общее

число источников со значениями расхода газа О.• и давлениямии

Л', 1*1.

Пусть Д-- величина давления газа в с - той вершине сети, с = , ~ Расход газа на У-том участке причем

в сети априорно заданы направления предполагаемого движения газа по участкам, т.е., если значение расхода газа по у-тому участку , то это означает, что фактическое направление дви-

жения газа на ^ -том участке совпадает с заданным направлением, если < О , то фактическое направление противоположно заданному.

Математическая модель установившегося изотермического движения газа в основном определяется зависимостью между величина-мидавлений на концах линейного участка и величиной расхода газа по нему.

Для турбулентного режима движения газа - наиболее распространенного на практике случая при транспортировке газа по газопроводу - для расчетов с достаточной адекватность» используется соотношение:

(3.2.1)

где -Лу - гидравлическое сопротивлени j -того участка.

Очевидно, в каждой вершине газопровдоа имеет место закон материального баланса:

/¿¿л* V

где ~ (21 ¿(-1 для ~ множество участков,

примыкающих к I - той вершине, направление которых ведет к

- той вершине, ¿// - примыкающие участки с направлением от-£ -той вершины.

Уравнения (3.2.1), (3.2.3) составляют математическую модель установившегося изотермического движения газа.

Для определения режима движения газа в сети уравнения (3.2.1), (3.2.3) необходимо дополнить (К) известными условиями о значениях режимных параметров или некоторыми соотноше-нияим между ними.

В параграфе 3 описан метод расчета состояния газотранспортной сети, при этом используются следующие понятия из теории графов: число независимых замкнутых циклов {8-т-п >),

5 - матрица инциденций С7*/" ) ( равно 1, -1 или 0 ,

если ^ - тый участок соответственно входит в с - ую вершину, выходит или они не связаны, Ь 1,т ); С - матрица,

образующая базу независимых циклов размерности (ее ранг

равен Р ) строки которой составляют т- мерные вектор-циклы

с- -(сгг) Сц /,. ) , состоящие из 0, 1, -1 в зависимости

от принадлежности участка ¿'-тому циклу и совпадения направления участка с принятым направлением обхода цикла; & - матрица одного из максимальных деревьев рассматриваемого графа при произвольно выбранной вершине корня дерева, например, в вершине, в которой задано давление, размерности С77* п ) ( равно 1

или -1, если у -тый участок принадлежит пути к корню из ст

той вершины и направление участков соотвественно совпадает с направлением пути, равно 0, если участок не принадлежит этому пути).

Для участков каждого из циклов имеет место аналог второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма перепадов давлений по участкам замкнутого цикла равна 0:

/г) 2 т __

Можно показать, что вектор у. можно представить в виде:

? * + С'х г (3.3.2)

где Х- ~ ¿'-мерный вектор циркуляционных потоков по

циклам.

После решения системы (3.3.1) с учетом (3.3.2) давления в вершинах определяются с помощью матрицы максимального дерева при условии, что в вершине корня задано давление Й, ■

Для исследования системы (3.3.1) вводится функция :

г%

Доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Гессиан функции Ф1'$(Х)) положителен и выпуклая функция. Для положительной определенности

следовательно, строгой выпуклости Ф(у)*)) необходимо и достаточно, чтобы не существовало цикла, по всем участкам которого расход газа равен 0.

Для расчета (3.3.1) использована модификация метода Ньютона, в которой итерационная последовательность строится следующим образом:

OCi = Xi +oil 2; ,

где ifSJ= tf(x) - матрица Гессе системы (3.3.1),

a выбирается из условия

< = " = O^rncn F(X fi>+ сег(s>)}

* /а- (S"J J I = \л/*

'•л f<(f>/i*(J J ■

В параграфе 4 приведено решение оптимизационных задач на газотранспортных сетях. С целью получения возможности использования эффективных методов математического программирования первого порядка приводятся расчетные формулы определения производных значений давления в вершинах сети по режимным параметрам, определяющим состояние сети, т.е. dPj } /dQj > ¿,j t- f>

Из (3.3.3) следует :

dPj = Pt_

dP, ~ >, '

ыа- p. fi * dQ. J "

Из (3.3.2) с учетом зависимости < от получается:

¿h _ 4 Cl- + я

Ж ' М " TQJ * 3Ы <i d _

Матрица (вх/dQjm элементов (di, JdQ^ | J=It К стро-

ится следующим образом. Пусть при заданном й. "X (&) является

решением системы (3.3.1), дифференцируя (3.3.1) по получим:

и дх + д/ я о дх <9(2 дв

Откуда:

дх ( & Ц

да ~ ' I дУ ) 80 '

где матрица д^/дЦ определена формулой = 2 £ су Л у / Важно отметить, что использование матриц(<?{/дх)~ и и//аО. не приводит к дополнительным вычислениям, так как они определяются при каждом гидравлическом расчете сети. Далее приведены результаты численных экспериментов и их анализ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе исследованы задачи сетевой структуры, получены методы решения их в различных постановках, на основании чего предложены методы решения задач оптимального■управления и оптимизационных задач на газотранспортных сетях.

1. Изучены математические модели технических и технологических обьектов ( газотранспортные сети, управление техническими системами), предложены способы сведе'-ля их к задачам сетевой структуры

2. Разработаны численные методы решения оптимизационных задач сетевой структуры и способ учета ограничений в них.

3. Приведена постановка задачи расчета состояния газотранспортной сети как задачи сетевой структуры, получены условия возможности применимости для расчета состояния сети методов ньютоновского типа.

4. Разработаны эффективные методы решения задачи расчета состоя-

ния газотранспортной сети, проведен их численный анализ при использовании различных модификаций метода Ньютона.

5. Приведены постановки оптимизационных задач на газотранспортных сетях, предложены алгоритмы их решения, а также исследованы результаты проведенных численных экспериментов.

6. Указана возможность распространения результатов, полученных для газотранспортных сетей, на системы транспортировки жидкости.

7. Разработаны методы первого и второго порядков для определения оптимального управления для систем с сосредоточенными параметрами на классах кусочно-постоянных и кусочно-непрерывных функций, предложены конструктивные алгоритмы, реализующие указанные методы, проведен качественный анализ соответствующих задач оптимального управления и численное тестирование полученных алгоритмов.

8. Для задач оптимального управления с сосредоточенными параметрами предложены способы учета ограничений в достаточно общем виде их постановок, разработаны алгоритмы решения задач оптимального управления с ограничениями, выполнен численный анализ указанных методов.

9. Предложен способ редукции задач оптимального управления с распределенными параметрами к задачам сетевой структуры с применением метода конечных элементов, исследованы получаемые при этом задачи сетевой структуры, для решения последних предложены эффективные алгоритмы, основанные на методах градиентного и ньютоновского типа.

По теме диссертации опубликовано девять работ:

1. Айда-заде K.P., Алиев Н.Т., Хандзель A.B., Юсифов Р.Ю. Оперативное управление ГДП. - Изв. АН A3.CCF, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1984, т. У, N6, с. 94-39.

2. Айда-заде K.P., Алиев Н.Т., Хаядзель A.B., Xopotmco М.Н.. Система оперативного планирования на Уренгойском промысле. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Проблемы создания и опыт внедрения АСУ в нефтяной, газовой промышленности и развитие геофизического приборостроения (г. Сумгаит, 16-18 октября 1985 г.).

3. Айда-заде K.P., Хандзель A.B. О решении оптимизационных задач на транспортных сетях. Тезисы докладов IX Всесоюзного симпозиума "Системы программного обеспечения решения задач оптимального управления" (г. Минск, 23.февраля - 3 марта 1986 г. ).

4. Талибов С.Г., Хандзель A.B. О решении одного класса оптимизационных задач. Тезисы докладов X Всесоюзного симпозиума "Системы программного обеспечения решения задач оптимального управления" (г. Нарва, 14-24 марта 1988 г.).

5. Хандзель A.B. Методы второго порядка в решении сетевых задач.-Изв. АН Аз.ССР, серия физ.-техн. и мат. наук,1989, N 5.

В. Айда-заде K.P., Хандзель A.B. Метод конечных элементов в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами. Труды Всесоюзного научного семинара "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических и химико-металлургических производствах" (г. Алушта, 27 сентября-1 октября 1990 г.).

7. Айда-заде K.P., Пашаев Э.Г., Хандзель A.B. Двумерные задачи управления сосредоточенными источниками в распределенных системах. Изв. Академии Наук Азербайджана, серия физ.-техн. и математ. наук, 1994, W5-6.

8. Айда-заде K.P., Мамедов С.Н., Талыбов С.Г., Талибов Э.Г., Хандзель A.B. 0 системе управления технологическими процессами газодобывающего промысла в реальном масштабе времени.

Изв. Академии Наук Азербайджана, серия физ.-техн. и математ. наук, 1997, N 1-3. 9. Асланов М.Т., Хандзель A.B. Оптимизационные задачи, возникающие при управлении газотранспортными сетями сложной структуры. Материалы научной конференции, посвященной 80-летию проф. Ахмедова К.Т., г. Баку, 1997.

Личный вклад соискателя в работах, выполненных в соавторстве, состоит в следующем:

В работах [1,2] автор принял участие в разработке алгоритмов решения оптимизационных задач на газотранспортных сетях методами нулевого порядка.

В работе 13,9] автором предложены алгоритмы градиентного типа для решения оптимизационных задач на транспортных сетях.

В работах [4,7] автор участвовал в разработке постановок задач и алгоритмов их решения.

В работе [6] автором предложен алгоритм построения градиента полученной после применения метода конечных элементов дискретной задачи.

В работе [8] автором приведено описание разработанной системы управления технологическими процессами газодобывающего промысла в части, относящейся к задачам оптимального распределения нагрузок по объектам промысла.

ХАНДЗЕЛ АЛЕКСАНДР ВЛАДИСЛАВОВИЧ

ШЭБЭКЭ ГУРЛУШЛУ МЭСЭЛЭЛЭРИН ТЭДГИГАТЫНА ЭДЭДИ УСУЛЛАРЫН ТЭТБИГИ ВЭ ИШЛЭНМЭСИ

ХУЛАСЭ

Диссертаоца бо]ук елчулу хусуси шэбэкэ структурлу ргцази програмлашдырма мэсэлэлэринин тэдгигинин эдэди усулларынын ишлэнмэси вэ тэтбигинэ Ьэср едилмишдир.

Диссертасгц'а уч фэсилдэн ибарэтдир. Биринчи фэсилдэ шэбэкэ структурлу мэсэлэлэрин го] улушу, онларын Ьэлли учун биринчи вэ икинчи тэртиб усуллар, шэбэкэ структурлу ыэсэлэлэрдэ маЬдуди]'] этлэрин нэзэрэ алынмасы кестэрилмишдир.

Икинчи фэсилдэ биринчи фэсилин эсас нэтичэлэринин оптимал идарэетмэ]'э тэтбиги кестэрилир, о чумлэдэн, оптимал идарэетмэ мэсэлэлэринин Ьэлли учун икинчи тэртибли усуллар вэ онларда мэЪдуди] этлэрин нэзэрэ алынмасы кестэрилир. Ьэм дэ па_]'ланглыш параметрли оптимал идарэетмэ мэсэлэлэринин эдэди Иэллинэ вэ чэмлэнмиш мэнбэли оптимал идарэетмэ мэсэлэлэринэ бахылыр.

Учунчу фэсилдэ газ нэгли^'аты шэбэкэлэриндэ шэбэкэ гурулушлу мэсэлэлэрэ бахылыр. Бу фэсилдэ об]'ектин Гамбург газ ]'атагынын) тэсвири верилир, сонра газ нэгли^'ат шэбэкэсинин Ьалынын (вэзицэтшшн) Ьесабланмасы алгоритми вэ онларда мухтэлиф оптималлашдырма мэсэлэлэринин Ьэлли кестэрилир.

HANDZEL ALEXANDER

ELABORATION AND APPLICATION OF NUMERICAL METHODS OF NET STRUCTURE PROBLEMS INVESTIGATION

SUMMARY

The thesis deals with elaboration and application of numerical methods of solution of special type (net type) large dimension mathematical programming problems.

The thesis consists of three chapters. In the first chapter the formulation of net structure problems, the first and the second order methods for their solving, account of constraints in net structure problems are considered.

In the second chapter the application of the results obtained in the first chapter to the optimal control problems is given. In particular, the second order methods for solving optimal control problems, account of constraints in such problems, as well as numerical solution of optimal control problems with distributed parameters and optimal control of lumped sources are presented.

In the third chapter the net structure problems on gas transportation systems are are considered. The description of Yamburg gas field is given, the algorythms of gas transportation system regimes calculation and solution of various associated optimization problems are presented.