автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка и исследование алгоритмического и программного обеспечения для систем с предиктивным управлением

Гч СГ

СУ.

Г-Э Гсо

¿СГ На правах рукописи

Кукся Галина Владимировне

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С ПРЕДИКТИВНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

Специальность 05.13.16. - Применение вычислительной техники,

математических методов и математического моделирования в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических иаух

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре АСУ Московского Государственного института стали и сплавов (Технологического университета)

Научный руководитель: член-корр. РАЕН.,

доктор технических наук профессор А.С.Рыков

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В. АЛотонкий

кандидат технических наук, доцент М.Р.Шапировский

Ведущая организация: АО ЧЕРМЕТАВТОМАТИКА

Защита состоится 1997 г. о часов на заседании диссертаци-

ошого совета Д.053.08.07 в Московском. Государственном инспггуте стали и сплавов (Технологическом университете) по адресу: 117936, г. Москва, Ленинский просп.,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Государственного института стали и сплавов (Технологического университета)

Автореферат разослан '9' (МбГА^гЛЪП \

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.и., доцент Е.А. Калашников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы определяется необходимостью разработки качественных систем автоматического управления для широкого класса объектов, включающих неминимально-фазовые, использующих последние достижения и результаты теории и практики построения современных систем управления. Качество системы управления может определяться различного типа ограничениями, которые отражают представления пользователя о качестве системы управления. В последние годы интенсивно развиваются системы предиктивного управления. Данные системы учитывают в своей структуре различные типы ограничений, обусловленных практическими потребностями и требованиями к качеству управления. Учет типов ограничений в системах с предиктивным управлением привел к необходимости конструирования целевых функций специального вида для расчета управляющих сигналов и к разработке специальных оптимизационных алгоритмов поиска наилучших управлений. Исследование особенно актуально в совремеаных рыночных условиях, поскольку преимущество приобретают регуляторы, позволяющие в большей степени учитывать требования и предпочтения пользователей.

Цель и задачи исследования, Целью работы является построение систем с предиктивным управлением при наличии различных типов ограничений, конструирование целевых функций специального вида, решение проблемы несовместности ограничений, разработка оптимизационных методов, которые минимизируют с достаточной точностью сложные целевые функции с узким оврагом и плоским дном в окрестности точки экстремума

В соответствии с'поставленной целью решаются следующие задачи исследования:

- формирование и структурирование требований к системам с предиктивным управлением;

- постановка задач оптимизации и конструирование целевых функций с учетом типов ограничений, обеспечивающих выполнение требований к системам с предиктивным управлением;

- разработка подходов к управлению технологическими ограничениями и решению проблемы несовместности ограничений;

- создание и выбор наиболее эффективных оптимизационных алгоритмов для систем с предиктивным управлением при наличии ограничений на основе анализа возможных постановок задач оптимизации;

- разработка методики исследования предлагаемых алгоритмов и сравнения их с известными методами на основе вычислительного эксперимента;

- создание систем с предиктивным управлением для неминимально-фазовых объектов управления.

Методы исследования. Исследования выполнены на основе теории систем с предиктивным управлением, теории оптимизации и математического программирования. В работе использовались методы разработки программного обеспечения на основе структурного программирования. Вычислительный эксперимент проводился в среде Ма^аЬ.

Научная новизна результатов. Основными научными результатами диссертации являются постановка оптимизационных задач для систем с предиктивным управлением при наличии ограничений, создание семейства специально сконструированных целевых функций и разработка методов их решения.

Новизна диссертации состоит в следующем:

- структурированы требования к системам с предиктивным управлением, основанные на желаемом качестве управления;

- предложены новые постановки задач оптимизации для систем с предиктивным управлением и сконструированы целевые функции, учитывающие различные типы ограничений, отражающие требования к качеству управления;

- предложены подходы к управлению технологическими ограничениями, учитывающие специфику этих ограничений и проблему возможной несовместности ограничений;

- разработаны новые эффективные алгоритмы поисковой оптимизации в классе методов деформируемых конфигураций для систем с предиктивным управлением при наличии ограничений. Приведена методика исследования эффективности предлагаемых алгоритмов и проведено их сравнение с известными методами;

- разработаны системы с предиктивным управлением для неминимально-фазовых объектов.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в работе:

- проведен анализ возможных практических ситуаций, на основе которого сконструированы целевые функции специального вида с учетом типов ограничений;

- разработаны барьерные функции для управления технологическими ограничениями и комбинированные штрафные функции для решения проблемы несовместности ограничений в системах с предиктивным управлением.

Практическая ценность диссертации определяется тем, что разработанные системы предшегивного управления применимы для автоматического управления параметрами широкого класса производств металлургической, химической, нефтеперерабатывающей и других отраслей промышленности, а предложенные алгоритмы, безусловной н условной оптимизации и их программные реализации могут самостоятельно использоваться для решения прикладных оптимизационных задач,' целевая функция которых теряет свою гладкость.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Конструирование целевых функций с учетом типов ограничений, отражающих качество управления. Учет ограничений осуществляется посредством добавления штрафного члена специального вида к стандартной целевой функции. Вид штрафного члена определяется типом заданных ограничений.

2. Барьерные функции предлагается использовать для учета технологических ограничений в системах с предиктивным управлением. Однако, так как барьерные функции не предотвращают проблему возникновения несовместности ограничений, то предлагается использовать комбинированную штрафную функцию для устранения несовместности ограничений.

3. Разработаны новые для данного класса задач алгоритмы прямого поиска из класса методов деформируемых конфигураций для безусловной и условной оптимизации с ограничениями в виде равенств.

4. В качестве приложения представлены системы с предиктивным управлением для наиболее тяжелых в смысле управления неминимально-фазовых объектов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы нашли отражение в докладах и обсуждались на следующих международных конференциях:

- IX Международной конференции "Математические методы в химии и химической технологии", Тверь, 1995;

- Международной научно-технической конференции "Структурная перестройка металлургии: экономика, экология, управление, технология", Новокузнецк, 1996;

- Европейской конференции по управлению, Брюссель, Бельгия, 1997;

- Международной научно-практической конференции "Управление большими системами - 97", Москва, 1997.

Публикация. По теме диссертации опубликовано б работ.

Структура и объем диссертационной работы. Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 111 наименовании. Основной текст занимает 184 машинописных страницы, в том числе 40 рисунков и I таблица.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования.

В главе первой рассмотрены основные характеристики систем с предиктив-ным управлением без ограничений и при наличии ограничений. Проведен анализ состояния проблемы и выявлены трудности, которые возникают в системах с предик-тивным управлением при наличии ограничений.

В последнее десятилетие системы с предиктивным управлением получили широкое распространение, в основном на Западе, как в научных исследованиях, тах и в промышленности. Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, системы с предиктивным управлением позволяют сравнительно просто представить сложную динамику объекта управления (ОУ) и просты для понимания. Во-вторых, они могут применяться для управления различными технологическими процессами: от медленных Химических процессов до быстрых колебательных механических систем, от неминимально-фазовах систем до нестабильных ОУ. И в третьих, системы с предиктивным управлением позволяют в своей структуре учитывать ограничения.

К особенностям систем автоматического управления этого вида относится выбор последовательности дискретных управляющих сигналов на основе модели ОУ. На каждом дискретном интервале времени оценивается (прогнозируется) реакция ОУ на гипотетические управляющие воздействия (управления) и выбирается оптимальное управление посредством оптимизации целевой функции, описывающей обычно качество отслеживания задающего воздействия, с учетом конечных интервалов времени егг текущего момента времени до некоторого момента времени в будущем. Выбранный первый из последовательности оптимальных управляющих сигналов подается на ОУ, затем процедура выбора управления повторяется. Структурная схема системы с предиктивным управлением в общем случае представлена на рис. 1. Оптимизатор включает все ограничения и целевые функции: стандартные и разрабатываемые. Основная задача оптимизатора заключается в вычислении изменений управляющего сигнала на основе целевой функции таким образом, чтобы предсказанные выходы бУ осуществляли слежение задающего воздействия с учетом всех ограничений. Знд целевой функции зависит от выбранного закона управления. В данной работе рассматривались два закона управления: закон обобщенного предиктивного управления или СРС и закон предиктивного управления с ограничениями на прогнозируемую ошибку слежения или С1ШРС. Существенным отличием этих двух, законов является наличие ограничений в виде равенств на ошибку слежения в законе управления СЯНРС.

Наблюдатель обеспечивает оценку состояний ОУ, которые могут использоваться в оптимизаторе.

Внутренняя модель представляется моделью реального объекта управления. Рассматривается внутренняя модель в виде передаточной функции, которая отражает взаимозависимость выхода от входа реального ОУ.

Регулятор включает в себя алгоритмы предиктивного управления, которые мо-

Рис. 1. Структурная схема системы с предиктивным управлением гут обеспечить оптимизатор предсказанными значениями состояний и выходов ОУ.

Вид целевой функции определяется выбранным законом управления. Ограничения на ошибку слежения в законе управления СЯНРС являются оптимизационными ограничениями и должны учитываться при применении оптимизационного метода.

»

Если целевая функция квадратична и нет ограничений, то ее минимум может быть вычислен непосредственно через зависимость управляющих сигналов и выходов ОУ в предыдущие моменты времени. В реальной ситуации на объекты управления накладываются некоторые ограничения. В рамках систем с преднктивным управлением для учета ограничений вводится понятие вспомогательного объекта управления, а ограничиваемые переменные рассматриваются как выходы вспомогательного ОУ. В результате, внутренняя модель состоит из модели основного процесса, т.е. ОУ, для которого решается задача слежения, и модели вспомогательного процесса, для которого осуществляется поддержание ограничиваемой переменной в заданных рамках. В качестве вспомогательного ОУ может выступать как некоторый параллельно протекающий процесс, так и основной процесс, когда для него заданы ограничения.

В системах с преднктивным управлением выделяют два типа ограничений в виде неравенств по способу выполнения: жесткие и мягкие ограничения. Жесткие ограничения действуют на управляющие воздействия таким образом, чтобы ограничения в виде неравенств были выполнены любой ценой. Жесткие ограничения опре- . деляют допустимое множество управляющих воздействий и минимизация целевой функции представляет собой задачу условной оптимизации квадратичной целевой функции и такая оптимизационная задача решается методами квадратичного программирования. Однако жесткие ограничения могут привести к проблеме несовместности ограничений, т.е. отсутствию последовательности управляющих воздействий, принадлежащих допустимому множеству. В результате приходится создавать дополнительные процедуры для разрешения проблемы несовместимости в любой момент времени. Альтернативой жестких ограничений являются мягкие ограничения, которые позволяют предотвратить возникновение проблемы несовместимости.

Мягкие ограничения только штрафуют нарушения ограничений. Поэтому компромисс может быть найден между характеристиками регулирования/слежения и выполнением ограничений. Однако в этом случае имеет место относительно сложная задача оптимизации (нелинейная, неквадратичная).

Выделены существующие способы решения проблемы несовместности ограничений, их достоинства и недостатки.

Отмечена необходимость учета типов ограничений, которые определяют качество управления.

Во второй главе представлена классификация ограничений с точки зрения практических потребностей. На основе рассмотрения различных типов ограничений осуществлена постановка задач оптимизации для систем с предиктивным управлением при наличии ограничений и сконструированы целевые функции специального вида, учитывающие ограничения, когда они рассматриваются как мягкие по способу' выполнения. Выбор конкретного вида целевой функции в зависимости от практических условий осуществляется при помощи предложенной процедуры выбора. Разра-

ботаны барьерные функции для управления технологическими ограничениями в системах с преднкгнвным управлением. Предложена комбинированная штрафная функция для решения проблемы несовместности ограничений.

С точки зрения задач, встречающихся на практике, все ограничения могут быть разделены на четыре типа: физические, технологические, реальные и оптимизационные. Природа перечисленных типов ограничений различна.

Физические ограничения не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах и отражают технические свойства ОУ. Например, клапан устройства может быть открыт не более, чем предусмотрено его конструкцией.

Технологические ограничения должны быть удовлетворены для нормального функционирования ОУ, они определяют эксплуатационные требования к функционированию ОУ. Например, температура должна поддерживаться в определенных границах. Технологические ограничения более "узхие", чем физические ограничения. Этот тип ограничений может в принципе нарушаться, хотя это может быть не желательным в некоторых конхре .ных приложениях.

Оптимизационные ограничения используются в специальных процедурах для решения проблемы несовместимости, а также для построения эффективных управляющих воздействий. Эти ограничения принимаются во внимание только в том случае, когда для задающего воздействия определены некоторые условия. Оптимизационные ограничения являются более строгими, чем технологические ограничения.

Реальные (или рабочие) ограничения - это ограничения, которые должны учитываться раулятором, чтобы вычислить гипотетическую последовательно-сп^правляющих воздействий. Этот тип ограничений задается пользователем. Верхний предел реальных ограничений должен быть меньше или равен минимуму верхних пределов физических, технологических н оптимизационных ограничений соответствующей ограничиваемой переменной. Нижний предел реальных ограничений должен быть больше или равен максимуму нижних пределов физических, технологических и оптимизационных ограничений соответствующей ограничиваемой переменной. В этом случае необходимо следтг, чтобы все верхние пределы были больше, чем нижние пределы. Реальные ограничения могут, в принципе, нарушаться. В общем случае реальные ограничения отражают представления пользователя о качестве управления.

Различные комбинации рассмотренных типов ограничений могут быть заданы пользователем разработчику регуляторов для желаемого управления конкретным ОУ. Когда несколько типов ограничений заданы на одну переменную, то вследствие иерархичности ограничений по строгости накладываемых ими условий ограничения предлагается классифицировать следующим образом:

- ограничения, которые можно свести к реальным;

- ограничения, которые можно свести к технологическим.

Как уже отмечалось ранее, по способу выполнения ограничения могут классифицироваться как жесткие и мягкие. С математической точки зрения ограииче>!ия

могут задаваться в виде равенств и неравенств. Ограничения в виде равенств используются в некоторых законах управления, например, в применяемом в данной работе законе управления CRHPC для гарантии устойчивости процесса управления.

Таким образом, цель проектировщика заключается в создании системы с пре-диктивным управлением, которая генерировала бы управляющие воздействия с учетом заданных ограничений, задающего воздействия, отражала бы представления пользователя о качестве управления и при возникновении пр "лемы несовместимости успешно устраняла бы несовместность ограничений.

Осуществим постановку оптимизационных задач с учетом ограничений по способу их выполнения.

Если ограничения заданы на вход ОУ основной или вспомогательной системы с предиктивным управлением илн если не возникает несовместность ограничений, когда они заданы для выхода, то ограничения рассматриваются как жесткие и оптимизационная задача записывается в виде:

*

ü = aig min J(u), (1)

ü eJf

где u - оптимальная последовательность управляющих воздействий, J(u) - стандартная целевая функция, соответствующая выбранному закону управления и отражающая отклонение от задающего воздействия, X - допустимое множество, образованное ограничениями в виде неравенств.

Если ограничения заданы на выход ОУ основной или вспомогательной системы с предиктивным управлением и существует вероятность возникновения несовместности ограничений, то ограничения трактуются как мягкие и оптимизационная задача записывается в виде:

5* = argmin{J(u) +штрафной член}. (2)

Если ограничения заданы на вход и выход ОУ основной или вспомогательной системы с предиктивным управлением, то ограничения, заданные на вход, рассматриваются как жесткие, а ограничения, заданные на выход, трактуются как мягкие. Тогда оптимизационная задача записывается в виде:

и = arg min {У(и) +штрафной член}. (3)

и ьХ

Рассмотрим выбор штрафного члена в выражениях (2), (3).

Подход к выбору вида штрафного члена в зависимости от типа ограничений основывается на следующем. Когда ограничения трактуются как мягкие, возможны два подхода к штрафованию: штрафовать за нарушение ограничений и штрафовать за подход к ограничениям. Выбор того или иного способа штрафования зависит от типа ограничений, начальных условий и от наличия допустимой точки i ) при

и

изменении ограничений в процессе управления.

Если допускается нарушение ограничений, т^е. ограничения относятся к реальным, тогда достаточно штрафовать за нарушения ограничений. В этом случае в качестве штрафного члена используются штрафные функции.

Если нарушение ограничений нежелательно или невозможно, т.е. ограничения являются технологическими или физическими, то естественным является штраф за подход к ограничениям. Тогда в качестве штрафного члена используются барьерные функции. Однако барьерные функции не могут применяться, если нет начальной допустимой точки или нет допустимой точки в момент изменения ограничений в процессе управления. В этом случае приходится использовать штрафные функции и для выполнения и технологических и физических ограничений. Величина штрафа должна выбираться как можно больше, чтобы уменьшить величину нарушения ограничений. В некоторых случаях мягкие ограничения различных или одинаковых типов могут быть заданы для различных переменных. Тогда в зависимости от типа ограничений штрафной член представляет собой сумму штрафных, барьерных или одновременно штрафных и барьерных функций.

Процедура выбора вида целевой функции и постановки оптимизационной задачи для систем с предиктивным управлением состоит из следующих шагов:

1. Опрос пользователя.

2. Оценка полученных данных.

3. Выбор вида постановки оптимизационной задачи для САУ с прогнозированием.

4. Формирование штрафного члена с учетом типа ограничений.

5. Постановка оптимизационной задачи и выдача рекомендаций.

После того, как выполнена данная процедура, разработчик регуляторов получает целевую функцию, которая далее оптимизируется для получения управляющего воздействия.

Далее рассматривается стуация, когда на выход объекта управления заданы технологические ограничения. Технологические ограничения играют существенную роль в практических приложениях, так как они отражают технологические особенности того или иного процесса. Технологические ограничения должны выполняться для нормального функционирования объекта управления. Чтобы предотвратить возникновение проблемы недопустимости, технологические ограничения, заданные на выход, будем трактовать как мягкие. Во многих приложениях, например, когда технологические ограничения отражают нормы безопасности, нарушение ограничений является нежелательным даже на небольшую величину. В таких случаях предлагается использовать барьерные функции для управления технологическими ограничениями и оптимизационная задача в системах с предиктивным управлением при наличии технологических ограничений примет вид (2), где в роли штрафного члена выступает

барьерная функция.

Если в момент времени I проблема несовместности ограничений не возникает из-за изменения ограничений и имеется начальная допустимая точка, то предлагается использовать барьерную функцию для выполнения технологических ограничений вида:

Щ ( . Л

• В(у,) «г,- х (М' + ]I<)-*)' + ) I')) . I = (4)

}' Щ} ________* > )

где с - число переменных, для которых заданы технологические ограничения, V, - переменная, для которой заданы ограничения,

и V/ — нижний и верхний предел ограничиваемой переменной соответственно, Л'Су и //СЧ - нижний и верхний горизонты ограничений, г / > 0 - коэффициент барьерной функции для ¡-ой переменной (если г-» 0, то барьерный член становится незначительным кроме случая, когда ограничиваемая переменная подходит близко к ограничениям),

> - оператор Хевисайда:

х при х^О,

при х<0.

Итак, к стандартной целевой функции, соответствующей выбранному закону управления, добавляется барьерная функция (4).

Использование барьерных функций для выполнения технологических ограничений имеет как достоинства, так и недостатки. Главное достоинство применения барьерных функций заключается в том, что барьерные функции поровдают последовательности только допустимых точек (управлений), что может быть очень важным в некоторых конкретных практических приложениях. Перечислим их недостатки. Барьерные функции мохено использовать только для ограниченного класса допустимых множеств (допустимые множества должны содержать внутренние точки). Кроме того, величина штрафа, определяемого барьерной функцией, должна быть соизмерима с величиной целевой функции. Если целевая функция будет слишком велика по сравнению с барьерной функцией, то это может привести к потере точности при вычислениях.

Кроме выполнеши технологических ограничений барьерные функции могут использоваться для управления неминимально-фазовыми объектами. Главной особенностью неминимально-фазовых объектов управления является наличие цемини-мапыго-фазового пика и пика превышения последователыюсти задающих воздействий. Одним из способов уменьшения неминимально-фазового пика до величины, ко-

торой можно пренебречь в практических приложениях, является использование ограничений. Ограничения в этом случае задаются на выход неминимально-фазового объекта с учетом последовательности задающих воздействий. Чтобы предотвратить возникновение проблемы несовместимости ограничений, предлагается их трактовать как мягкие и использовать барьерные функции для их выполнения. В общем случае предлагается следующий вид барьерных функций:

*(*()->■/ [(*,•(' + у |<)- V.}"Р + + ] |г)Г Р], « = /,...,с,

] = N0] ^ ' }

где р = 1,2.....

или

I I / \\

Я(у,) = -г, I 1п(у,(г + } |г) - V,)' + 1п(у,~у;(/ + ] [/»}. / - 7,...,с

Использование логарифмической барьерной функции позволяет ближе подойти к пределам ограничений, чем при обратной функции.

Более того, барьерные функции могут использоваться для выполнения физических ограничений в случаях, когда из-за проблемы несовместимости они не могут рассматриваться как жесткие. Преимущество использования барьерных функций по сравнению со штрафными функциями в этом случае заключается а том, что барьерные функции гарантируют выполнение ограничений. В тоже время, использование штрафных функций может привести к нарушеникуограначений, хотя и на небольшой интервал времени. Это является неприемлемым, когда ограничения заданы как жесткие.

Как отмечалось ранее, барьерные функции сами по себе не предотвращают возникновения проблемы недопустимости. Поэтому предлагается использовать комбинированные штрафные функции для решения проблемы недопустимости для систем с предиктивным управлением при наличии технологических ограничений.

Если допустимое множество оказывается пустым в некоторый момент времени, то для ввода ограничиваемой переменной в допуспшую область используем внешнюю штрафную функцию, допуская временное нарушение ограничений:

=V Л£ (Ы<Н'+110))»

1'Щ * '

• где трО - коэффициент штрафной функции (жесткость ограничения).

После того как совместность ограничений восстановлена, используем барьерную функцию. Описанному способу учета ограничений соответствует комбинирован-

ная штрафная функция:

NC.

2 ( \

РВ{у)" Ъ К + чУ, (5)

j = щ

j \-v{v{t+j\t)-v),if v{t+j\t)üv Vis "lr/vii + ^lO-v)"7, </v(r+y|/)> v

VJ ,

Подход, использующий комбинированные штрафные функции, может быть представлен в виде процедуры, написанной на алгоритмическом языке: begin процедура for каждой ограничиваемой переменной v(f) do if если ограничения несовместны then

получить допустимую точку, добавляя штрафную функцию к стандартной целевой функции

else

применить барьерную функцию для выполнения ограничений end if end for

минимизировать целевую функцию с добавочным штрафным членом end процедура

При определении оптимального управления использование штрафных членов (4) и (5) приводит к сложной оптимизационной задаче (нелинейная, неквадратичная), которая в некоторых случаях может быть решена известными методами. Однако остается актуальной разработка быстродействующих оптимизационных алгоритмов, которые с приемлемой точность справлялись бы с функциями такого типа, особенно в ситуациях, когда для получения последовательности задающих воздейс-вий применяется закон управления CRHPC. В этом случае помимо ограничений в виде неравенств в оптимизационной задаче необходимо учитывать ограничения в виде равенств.

В третьей главе представлен обзор существующих методов оптимизации, которые традиционно используются или могут использоваться в системах с предик-тивным управлением при наличии ограничений, выделены ситуации, когда известные методы могут успешно применяться.

Если ограничения рассматриваются как жесткие,-то могут применяться стандартные методы квадратичного программирования в системах с предиктивным управлением. В этом случае в оптимизационной задаче учитываются ограничения в виде равенств и неравенств, и необходимо осуществить минимизацию квадратичной целевой функции на допустимом множестве, определенном линейными ограничениями (1).

Другим методом оптимизации, который широко используется в системах с предиктивным управлением, является метод последовательного квадратичного про-' граммирования. Преимущество метода последовательного квадратичного программирования по сравнению с методами квадратичного программирования заключается в том, что метод последовательного квадратичного программирования не требует квадратичной целевой функции и линейных ограничений.

Метод последовательного квадратичного программирования можегг применяться для задач оптимизации (I, 3), когда используются законы управления ОРС и СИНРС. Метод последовательного квадратичного программирования, реализованный в среде МАТЬАВ, состоит го трех основных этапов:

1.. Опенка матрицы Гессиана функции Лагранжа.

2. Решение задачи квадратичного программирования.

3. Линейный поиск и вычисление функции качества

Существенным недостатком метода последовательного квадратичного программирования является потребность в начальной допустимой точке, он имеет низкую скорость сходимости и в некоторых случаях не справляется с поставленной задачей.

Когда задача оптимизации формулируется как (2), то для оптимизации такой целевой функции могут быть использованы методы прямого поиска из класса деформируемых конфигураций А.С. Рыкова, частными случаями которых являются методы Неддера-Мвда и многоиаправленого поиска В. Торкзон. Выбор методов деформируемых конфигураций для систем с предиктивным управлением обусловлен следующими соображениями. Целевая функция (2) может потерять свою дифференцируе-мость и в этом случае приходится применять методы прямого поиска. Ранее была показана высокая эффективность методов деформируемых конфигураций для минимизации сложных задач. Эти методы могут быть применены для решения задач оптимизации систем с предиктивным управлением при наличии ограничений, которые трактуются как мягкие, и при использовании закона управления ОРС для получения последовательности управляющих воздействий.

Когда для получения последовательности управляющих воздействий а системах с предиктивным управлением при наличии мягких ограничений используется закон управления СКНРС, необходимо учитывать ограничения в виде равенств. В работе представлены методь! условной оптимизации, которые не требуют сыч исле-

ния градиента целевой функции или ограничений. В тех случаях, когда информация о градиентах целевой функции -и ограничений не доступна или не является достаточно точной или, когда функция теряет свою квадратичность, описанные выше методы квадратичного и последовательного квадратичного программирования не справляются с поставленной задачей.

В работе описаны и предложены модификации следующих методов условной оптимизации: комбинированного метода проектирования и штрафных функций A.C. Рыкова, метод зеркальных построений A.C. Рыкова и метод скользящего допуска Д.А. Павиани и Д.М. Химмельблау. Комбинированный метод проектирования и штрафных функций может применяться, когда используется закон управления CRHPC и ограничения рассматриваются как мягкие. Метод зе{ кальных построений i может использоваться, когда задача оптимизации имеет вид (3) и применяется закон управления GPC. Метод скользящего допуска может использоваться, когда задача оптимизации формулируется как (3) и применяются законы управления GPC или CRHPC , или когда задача оптимизации формулируется как (2) и применяется закон управления CRHPC.

В четвертой главе разработаны алгоритмы условной н безусловной оптимизации из класса деформируемых конфигураций для систем с предиктивным управлением при наличии мягких ограничений.

При учете ограничений различных типов и решении проблемы несовместности ограничений стандартные оптимизационные методы, например, методы последовательного квадратичного программирования могут находить субоптимальное решение, точность которого не устраивает пользователя в некоторых случаях. Кроме того, в системах с предиктивным управлением время определения управления является существенным . оказателем. В результате возникла необходимость в новых оптимизационных методах, которые имели бы следующие свойства: могут начинать процесс поиска с недопустимой точки; требуют небольшого числа вспомогательных вычислений в алгоритме и меньшее время, необходимое для нахождения оптимальной точки; могут успешно оптимизировать квадратичную целевую функцию с недифференци-руемым добавочным штрафным членом и с плоским дном около от»' 'лыгой точки; могут использоваться для многомерных целевых функций с узким оврагом; могут учитывать ограничения в виде равенств.

В диссертации предложено два новых алгоритма прямого поиска, которые являются модификацией методов деформируемых конфигураций A.C. Рыкова: метод деформируемым симплексом и переносом худшей вершины и метод с деформируемым комплексом и отображением т вершин.

Основная идея метода с метод с деформируемым симплексом и переносом худшей вершины заключается в следующем. В качестве конфигурации, существующей на каждом шаге оптимизации, выбирается произвольный симплекс. Выбираются

лучшая вершина, которая имеет минимальное значение целевой функции, и худшая вершина, которая имеет максимальное значение целевой функции, и обозначаются

как *<*•'"'> и х**'^, соответственно. На каждой итерации худшая вершина переносится через лучшую вершину. Длина каждого шага равна длине ребра симплекса между худшей и лучшей вершинами. Новый симплекс состоит только из одной новой вершины. Новую вершину получают по формуле:

х(* +V) и ж(*,да) _(,(*•') _ .

После вычисления значения функции в новой вершине симплекса, проверяется условие успешности шага, состоящего-в требовании монотонного уменьшения зна»ення целевой функции в новой вершине по отношению к значению в лучшей вершине. Если шаг оказался успешным, пытаются увеличить длину шага по формуле: х.(* +1,1) _ х(*,я») _ х<*,«>).

Затем проверяется условие успешности шага: если ^(х^* +< ,

то х<*Л = +, в противном случае = х(* + .

Если шаг считается неуспешным, то симплекс сжимается к лучшей вершине.

Алгоритм 1.

1. Построить начальный симплекс.

2. Вычислить значения функции в вершинах симплекса.

3. Выбрать вершины с. минимальным и максимальным значением целевой функции.

4. Перенести вершину с максимальным значением функции через вершину с минимальным значением функции. Вычислить значение функции в новой вершине.

5. Проверить условие успешности шага.

6. Если оно выполнено, перейти к п.7, иначе - к п.8.

7. Увеличить длину шага. В зависимости от успешности увеличения пыбрать новую вершину симплекса. Перейти к п.9.

8. Стянуть симплекс к вершине с наименьшим значением функции.

9. Вычислить значения функции в новых вершинах симплекса.

10. Проверить правило останова. Если оно выполнено перейти к п.Н, иначе к п.З.

11. Вершину с минимальным значением функции выбрать как оценку точки минимума

Основная идея метода с деформируемым комплексом и отображением т вершин состоит в следующем. В качестве основной конфигурации используется комплекс. Все вершины комплекса делятся на две группы: отображаемые и неотобра-жаемые в соответствии со следующим правилом. Вычисляются значения функции в

вершинах и центре комплекса. Выполняется правильная нумерация вершин комплекса (вершины нумеруются в порядке уменьшения значений целевой функции в них).

Если значение функции в некоторой вершине комплекса больше, чем значение функции в центре комплекса, то такая вершина рассматривается как отображаемая. Остальные вершины считаются неотображаемыми. Используя это правило, получают т- 1,...,т> — 1 отображаемых вершин, пронумерованных

как *<*Л,...,,<*,«> и т-т неотображаемых вершин, пронумерованных как

х(к,т + 1) _ (>>1(*>«1') .Тогда т вершин отображаются согласно Отображению 1: Отображение 1.

а' е[0,ю).

Условие успешности шага проверяется для каждой отображенной вершины отдельно. Если для некоторой вершины комплекса условие успешности шага выпол- . няется, то пытаются увеличить длину шага для этой вершины, иначе длина шага для нее уменьшается. Если условие успешности шага не выполнилось ни для одной отображенной вершины, то комплекс сжимается к лучшей вершине. Параметры сжатия и растяжения комплекса выбираются так же, как и в исходных методах деформируемых конфигураций.

Алгоритм 2.

1. Построить начальный комплекс.

2. Вычислить значения функции в вершинах и центре комплекса.

3. Выполнить правильную нумерацию.

4. Определить число отображаемых вершин.

5. Отобразить выбранные вершины. Вычислить значение функции в новых вершинах.

6. Проверить условие успешности шага для каждой вершины.

7. Если оно выполнено для некоторой вершины, то перейти к п.8, иначе - к п.9.

8. Увеличить длину шага для ггой вершины. В зависимости от успешности увеличения выбрать новую вершину комплекса. Перейти к п. 10..

9. Уменьшить величину шага для этой вершины.

10. Если условие успешности шага не выполнилось ни для одной отображаемой вершины, стянуть комплекс к вершине с наименьшим значением функции.

11. Вычислить значения функции в новых вершинах и новом центре комплекса

12. Проверить правило останова. Если оно выполнилось, то перейти к п.13, иначе к п.З.

13. Вершину с минимальным значением функции выбрать как оценку точки минимума.

Когда применяется закон управления СЯНРС для получения оптимальной последовательности управляющих воздействий, то к целям управления добавляются ограничения в виде равенств, которые учитываются в оптимизационной задаче. В результате закон управления рассматривается как безусловный, а оптимизационная задача включает в себя ограничения в виде равенств. Предлагается несколько подходов для учета ограничений в виде равенств.

В первом случае предлагается добавлять ограничения в виде равенств как штрафной член к целевой функции с добавочным штрафным членом. Однахо величина штрафа, определяемая для ограничений в виде равенств, должна быть наибольшей, т.е. иметь высший приоритет, поскольку нарушение ограничений в виде равенств может привести к нестабильному управлению. Учитывая специфику закона

управления СЯНРС, используется штрафная функция вида:

у-]

где + N + ] |<) - прогнозируемая ошибка слежения, т- число ограничений в виде равенств,

N - горизонт цели, т.е. максимальный момент времени, для которого с помощью модели ОУ оценивается траектория движения системы.

Второй подход представляет собой модификацию метода скользящего допуска, которая использует метод с деформируемым комплексом и отображением т вершин в качестве основной процедуры. Поскольку рассматривается закон управления СЛНРС с мягкими ограничениями, то должны приниматься в рассмотрение только ограничения в виде равенств. Следовательно, допустимое множество определяется как

V «|и: и б КМи, е(г + N + Я<) = 0,) = Лт| .

Суть метода заключается в следующем. На начальных этапах поиска задакттся интервалы, которые определяют допустимое отклонение от ограничений в виде рз-

венств. В процессе поиска эти интервалы уменьшаются и точки все точнее удовлетворяют ограничениям. Допуск на отклонение от допустимого множества постепенно уменьшается. В конце поиска точка или принадлежит допустимой области, или находится достаточно близко от нее.

Предлагается использовать положительно определенный функционал зависящий от функций ограничений:

Такой выбор

тЧв)

позволяет использовать квадратичное программирование для минимизации этой функции. Применение квадратичного программирования в качестве подпроцедуры увеличивает скорость работы алгоритма Коэффициент, характеризующий жесткость ограничений в общем случае настраивается индивидуально для каждой конкретной задаче. Начальное значение параметра вычисляется по формуле:

£ Ц оЫ^о)

В третьем случае предлагается использовать комбинированный метод проектирования и штрафных функций для выполнения ограничений в виде равенств. Опишем этот метод для закона управления СКНРС и ограничений, трактуемых как мягкие. Вначале рас змотрим безусловный случай. Вместо стандартной целевой функции, минимизируется следующая целевая функция:

Ф(й|г)=г(||яа(в|/Щ, (б)

где

^(й|<) - йГ - *(се * иг - ,

г (||а-/»а(а|/| = ||и-яа(аи12(

где С»с - динамическая матрица, учитывающая ограничения в виде равенств,

- задающая последовательность минус свободный отклик системы в течение интервала времени, для которого задаются ограничения в виде равенств. Свободный отклик - состояние выхода О У, если больше не подаются управляющие сигналы.

Когда заданы мягкие ограничения на некоторые переменные, выбирается штрафной член в соответствии с типом ограничений, и он добавляется к штрафной функции (6). Метод с деформируемым комплексом и отображением т вершин и метод деформируемых конфигураций и отображением т и I вершин применялись для оптимизации полученной целевой функции.

В пятой главе проведено исследование работоспособности предложенных подходов для управления технологическими ограничениями, для решению проблемы несовместности ограничений и оценены вычислительные свойства разработанных алгоритмов условной и безусловной оптимизации. Описана методика проведения вычислительного эксперимента, приведены сравнительные характеристики свойств предложенных и известных алгоритмов оптимизации. Показана работоспособность и эффективность предлагаемых алгоритмов оптимизации.

Разработаны системы с предиктивным управлением для неминимальио-фазо-зовых объектов управления. Показала эффективность разработанных систем управления.

Шестая глава посвящена вопросам практического применения разработанных алгоритмов и подходов и созданию на их основе систем с предиктивным управлением для управления конкретными производственными объектами и процессами.

Разработанные алгоритмы оптимизации и управления использовались для процессов, протекающих внутри реактора для синтеза циклопентзнола (реактор van de Vusse) и в химическом реакторе.

Заключение

В диссертации путем анализа возможных практических ситуаций структурированы требования к системам с предиктивным управлением, осуществлены постановки оптимизационных задач и сконструированы специальные целевые функции, учитывающие типы ограничений, разработаны методы решения поставленных задач.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Сформированы и структурированы требования х системам с предиктивным управлением.

2. Постановлены задачи оптимизации и сконструированы целевые функции с учетом типов ограничений, обеспечивающие выполнение требований к качеству систем с предиктивным управление*.

3. Предложены подходы к управлению технологическими ограничениями и решению проблемы несовместности ограничений.

4. Разработаны и выбраны наиболее эффективные алгоритмы оптимизации для систем с предиктивным управлением.

5. Разработана методика исследования эффективности предлагаемых алгоритмов и проведено сравнение их с известными методами.

6.Разработаны системы с предиктивным управлением для неминимально-фазовых объектов.

. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. A.C. Рыков, Г.В. Кукса. Модификация методов деформируемых конфигураций. // Сб. Тезисов докдд. Международной конференции 'Матеметичес- кис методы в химии и химической технологии', - Тверь, 1995.

2. A.C. Рыков, Г.В. Кукса. Барьерные функции для учета технологических ограничений при проектировании САУ с прогнозированием. // Сб. Тезисов докдд. Международной научно-технической конференции: 'Структурная перестройка металлургии: экономика, экология, управление, технология', - Новокузнецк, 1996.-c.51.

3. A.C. Рыков, Г.В. Кукса, Штрафние функции для учета технологических ограничений в САУ с прогнозированием. II Тематический сборник научно-технических статей. 'Математические и экономические модели в оперативном управлении производством', Выпуск 3. М.: 'Электрика'.-1997.- с.6-9

4. A.C. Рыков, Г.В. Кукса. Процедура выбора постановки оптимизационной задачи для САУ с прогнозированием при наличии технологических ограничений // Сб. Тезисов докдд. Международной научно-практической конференции: 'Управление большими системами - 97' - Москва, 1997

5. A.S. Rykov and G.V. Kouxa, A.G. Kuznetsov. Use of barrier functions for handling operating constraints in predictive control. European Control Conference ECC97,

Brussels, Belgium, July 1997 . _____________________

6. A.C. Рыков. F.B. Кукса. Постановка задач оптимизации и конструирование целевых функции для САУ с прогнозированием при наличие ограничений.// Соорник иа\чиы\ .pv;io». -Информационные технологии в металлургии и экономике . М.: МЙСИС,- 1997- с.91-101_____

с

Московский государственный институт стали и сплавов (Технологический университет)

Ленинский проспект, 4

Заказ объем 1 п. л., Тираж 100 экз.

Топография ЭОЗ МИСиС, ул. Орджоникидзе, 8/9.