автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка гибридных генетических алгоритмов и схемы их применения для решения задач оптимального управления динамическими системами

На правах рукописи

оазгтбАОТ

ДМИТРИЕВ Сергей Викторович

УДК 517 977 58 62-503 56

РАЗРАБОТКА ГИБРИДНЫХ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ И СХЕМЫ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

С пециапьности

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, 05 13 01 — Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 5 НОЯ 2007

Ижевск - 2007

003176407

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет» (ИжГТУ)

Научные руководители

заслуженный деятель науки Удмуртской Республики, доктор физико-математических наук, профессор Тененев В.А. (ИжГТУ),

кандидат физико-математических наук, доцент Кетова К.В. (ИжГТУ).

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Шориков А.Ф. (ГОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет», г Екатеринбург),

доктор технических наук, профессор Мурынов А.И. (ИжГТУ)

Ведущая организация

УрО РАН «Институт прикладной механики» (г. Ижевск).

Защита состоится 7 декабря 2007 года в 14 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 065 04 ИжГТУ по адресу 426069, г Ижевск, ул Студенческая, 7, ауд 1-4

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью, просим выслать по указанному адресу в двух экземплярах

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИжГТУ С авторефератом можно ознакомиться на официальном сайте ИжГТУ www istu ru

Автореферат разослан 6 ноября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Многомерная оптимизация является неотъемлемой частью важнейших этапов моделирования различных динамических систем (технических, экономических, социальных и т д ) и во многих случаях становится тем ограничением, которое не позволяет использовать общую постановку задачи ввиду отсутствия эффективного инструмента идентификации или оптимизации

Класс задач, встречающихся при оптимизации динамических систем, может быть самым разнообразным от задач безусловной оптимизации до задач оптимального управления Но, тем не менее, можно выделить следующие общие практические трудности, возникающие при их решении 1) наличие не-дифференцируемых функций (функционалов), 2) наличие нескольких экстремумов, 3) большая размерность задачи Присутствие таких проблем делает целесообразным применение гибридных схем оптимизации, объединяющих возможности различных методов Правильно организованная, скоординированная работа численных алюритмов, входящих в гибридную схему, позволяет получать решения тех задач, оптимизация которых затруднена или невозможна отдельными методами

Серьезной проверкой численных алгоритмов являются задачи оптимального управления И, как правило, к численному решению прибегают тогда, когда аналитическое решение задачи не может быть получено с помощью принципа максимума Понтрягина, а применение принципа оптимальности Беллмана требует трудоемких вычислительных затрат

Исторически способы решения задач оптимального управления развивались в нескольких направлениях, но, прежде всего, следует отметить методы, основанные на вариации в пространстве управлений Среди работ, посвященных исследованию возможностей численных методов применительно к решению задач оптимального управления, можно выделить работы таких ученых, как Ю Г. Евтушенко, Н Н Моисеев, Р П Федоренко, Ф Л Черноусько и др

Безусловно, каждая задача оптимального управления требует индивидуального подхода к нахождению решения, но создание гибридного численного метода, заведомо обладающего свойствами, позволяющими не прибегать к вычислению производных и с высокой эффективностью решать проблемы много-экстремальности и задания «удачного» начального приближения, позволит повысить вероятность определения глобального решения, а также существенно сократит время адаптации алгоритма при внесении изменений в исходную постановку задачи без изменения содержания самого численного метода

Объектом исследования являются динамические управляемые системы в технике и макроэкономике, характеризуемые большим количеством внутренних взаимосвязанных процессов

Предметом исследования являются численные методы решения задач оптимального управления, задачи оптимального распределения капиталовложений в макроэкономической системе

Целью исследования является разработка и тестирование гибридных генетических алгоритмов (ГА), позволяющих эффективно решать задачи оптимизации, обработки информации и идентификации сложных систем, постановка и решение задачи оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи

- разработка и реализация на ЭВМ гибридных алгоритмов на основе генетических и классических методов оптимизации, не требующих вычисления производных,

- настройка параметров гибридных ГА с вещественным кодированием, обеспечивающая их высокую вычислительную эффективность,

- тестирование гибридных ГА на ряде задач безусловной оптимизации и задачах оптимального управления динамическими системами в экономике и технике, решение задач идентификации регрессионных моделей,

- разработка математической модели оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов,

- применение гибридного ГА для получения оптимальных стратегий распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов

Теоретические и методологические основы исследования. В работе использованы методы теории оптимизации, оптимального управления, регрессионного анализа, оптимального распределения капиталовложений Программный код гибридных ГА реализован в среде программирования Borland Delphi 7 0, построение графиков поверхностей осуществлялось средствами Matlab 6 1

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечена экспериментальной проверкой гибридных ГА на широком круге тестовых задач безусловной оптимизации, а также на задачах оптимального управления динамическими системами в экономике и технике

Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем

- разработаны новые гибридные алгоритмы на основе ГА с вещественным кодированием и метода Хука-Дживса, не требующие дополнительной информации о целевой функции (функционале), кроме возможности вычисления их значений в заданной точке,

- разработана новая схема взаимодеиствия составлющих элементов гибридного ГА, основанная на адаптивном подходе к ситуации поиска ГА с вещественным кодированием, выступая в качестве основы 1ибридного алгоритма, может подключать во вспомогательный поиск либо метод Хука -Дживса, либо генетический вещественный алгоритм с локальным поиском в зависимости от возможности метода Хука - Дживса к дальнейшему улучшению решения,

- получены значения параметров, обеспечивающие высокую вычислительную эффективность гибридных ГА,

- применение гибридного ГА для решения задач оптимального управ-

ления с различными постановками,

- разработана математическая модель оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов, позволяющая прогнозировать динамику валового регионального продукта (ВРП), основных производственных фондов (ОПФ), численность населения, в частности, трудовых ресурсов, а также выяснить возможности экономической системы достижения определенных показателей (например, требуемого уровня ВРП) в зависимости от текущего состояния ресурсов и прогнозной оценки роста их качества,

- применение гибридного ГА для решения и исследования открытой макроэкономической модели распределения капиталовложений с учетом инвестиционных процессов

Практическая значимость и реализация результатов исследования. Программный код гибридных ГА выполнен в форме независимых модулей, реализованных в среде программирования Borland Delphi 7 0, и может быть использован как составляющий элемент программного комплекса по решению оптимизационных задач Разработано программное обеспечение для получения оптимальных стратегий распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов

Научная апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях межрегиональной научно-практической конференции «Реализация Стратегии устойчивого развития города Ижевска опыт и проблемы» (Ижевск, 28 сентября 2005), научной конференции - семинаре «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 31 января-4 февраля 2006), научно-практической конференции (Ижевск, май 2006), четырнадцатой международной конференции «Математика Компьютер Образование» (Пущино, 22 - 27 января 2007), ХШ-ой Всероссийской конференции «Математическое программирование и приложения» (Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта 2007)

Публикации. Результаты работы отражены в 10 научных публикациях 5 статей в научных журналах, в том числе 2 статьи в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов диссертаций, 2 труда конференции, 3 тезиса докладов

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка Работа изложена на 125 страницах машинописного текста, содержит 62 рисунка, 17 таблиц и список литературы из 112 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы, цели и задачи диссертационной работы, положения, выносимые на защиту, а также определяет практическую значимость и методы выполнения работы

В первой главе производи гея обзор существующих направлений в численных методах решения задач оптимального управления Особое внимание уделяется методам, основанным на вариации в пространстве управлений При-

водится основная информация по моделям экономического роста, которые являются важным инструментом анализа долгосрочной динамики валового продукта

Во второй главе содержится подробная информация о ГА с вещественным и бинарным кодированием Разрабатываются гибридные схемы оптимизации на основе ГА с вещественным кодированием и метода Хука - Дживса, производится их тестирование на большом количестве примеров задач безусловной оптимизации

В третьей главе производится тестирование гибридного ГА на задачах оптимального управления Аналитические решения задачи оптимального распределения капиталовложений с учетом демографического прогноза, задачи об эндогенном научно-техническом прогрессе (НТП) и задачи о стабилизации спутника сопоставляются с численными результатами Производится сравнение решений, полученных гибридными схемами оптимизации, с результатами расчетов ГА и метода наискорейшего спуска

Четвертая глава посвящена разработке математической модели оптимального распределения капиталовложений с учетом инвестиционных процессов Определяются уравнения динамики численности населения, ОПФ, инвестиций, а также вид зависимостей между вложениями в различные сферы деятельности и их отдачей

Приводятся результаты решения задачи оптимального распределения капиталовложений гибридным ГА, который наглядно демонстрирует возможность сопровождения задачи не только на этапе ее непосредственного решения, по и на этапе идентификации модели

В заключепии приводятся основные результаты и выводы по диссертационной работе

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Гибридные алгоритмы, разработанные на основе I енетического алгоритма с вещественным кодированием и метода Хука — Дживса

При решении задач глобальной оптимизации генетические и гибридные ГА получили широкое распространение как классы методов, позволяющие с высокой вероятностью определять глобальный экстремум задач оптимизации ГА, основные этапы которых представлены на рис 1, различаются по способу кодирования информации, по разновидностям применяемых операторов и стратегий Для повышения эффективности ГА дополняются вспомогательными методами, имеющими, как правило, высокую скорость сходимости вблизи точки экстремума

При рассмотрении гибридных ГА выбор в качестве вспомогательного метода был сделан в пользу метода Хука - Дживса, не требующего вычисления производных и решения задач одномерной оптимизации

Введем следующие основные обозначения

Рис 1 Блок-схема ГА

Flag _НJ - переменная типа Boolean, если Flag_HJ - True, то метод Хука - Дживса может выполнить следующую итерацию, Exchange - количество итераций, через которое происходит сравнение лучших решений, полученных каждым из двух методов ГА и методом Хука - Дживса,

Y best _ теКуП,ее Лучшее

решение гибридной схемы оптимизации,

xfGA - текущее решение, возвращаемое ГА с вещественным кодированием,

UJ

X, ~ текущее решение, возвращаемое методом Хука - Дживса, Fold RGA — значение целевой функции, полученное ГА на предыдущих итерациях,

R - некоторое малое число (например, 1Е-4), Count - счетчик

Запишем полный алгоритм Хука - Дживса (HJ) с учетом введенных обозначений

1

Выбираются начальное приближение а"0, вектор приращений а, у > 1 -коэффициент уменьшения шага, е > 0 - параметр окончания поиска

те оп-

2 Проводится исследующий покоординатный поиск из точки X ределяется точка х° Если JV° ф X®, то осуществляется переход к шагу 4, иначе к шагу 3

3 Проводится проверка на окончание поиска. Если ||Д||<е, то поиск прекращается и Х*=Х°, Flag_HJ = False, Count - Exchange Иначе -A = A / у и осуществляется переход к шагу 2

4 Производится перемещение из точки Х(> в направлении убывания

-а:0

X1 ~2Х°

5 Проводится исследующий поиск в точке х\ т е определяется точка X1

Если /(а'1 )< /[х0), то Х° =Х°, Х° -Х] и осуществляется переход к

шагу 4 Иначе - Х° = X1 и осуществляется переход к шагу 2 В качестве одной итерации метода Хука-Дживса принимается однократное выполнение шагов 2-5 (шаг 1 выполняется в самом начале при инициализации метода), за исключением шага 3, в котором переход к шагу 2 может

выполняться вплоть до срабатывания условия ||д| < е В этом случае одна итерация может закончиться как на шаге 3, так и на шаге 5 Следует отметить, что прекращение итерации на шаге 5 может привести к тому, что новая итерация начнется с шага 4

Гибридный ГА с вещественным кодированием и методом Хука —Дживса (RGA+HJ)

I Задается величина Exchange Flag_HJ = True Count =0 / = 0 ГА случайным образом создается первоначальная популяция особей Выбирается лучшая особь Xbtest = xfGA xfG4 становится начальным приближением для алгоритма Хука - Дживса х\и = xj*GA

FoldRGA = f[x*G/i) II ГА формирует следующее поколение особей Выбирается лучшая особь ^RGA

III Если FlagHJ - True, то Count = Count +1 и выполнятся итерация мето-

HJ

дом Хука - Дживса, то есть вычисляется следующее приближение X,

IV Если Count = Exchange, то 1) если f[xjU)< f[x?GA), то решение Xj1J

передается в текущую популяцию особей, X^GA = xju, если

/(X*GA)<f[x?J) и \Fold_RGA-f(x«GA]>R, то а) X™ = XfGA,

б) вектор приращений А метода Хука - Дживса принимает первоначальное значение и алгоритм начнет выполнять действия с шага №2, в) если Flag_HJ = False, то FlagJiJ = True, 2) Count =0, 3)

Fold RGA = f{xtRGA)

V Если Flag_HJ= False и \Fold _ RGA - f{x*GA } > R, то 1)

Flag HJ - True, 2) X™ =xfGA, 3) вектор приращений А метода Xy-ка-Дживса принимает первоначальное значение и алгоритм начнет выполнять действия с шага №2, 4) Fold RGA = f[x^GA | VI x^est =xfGA

VII В случае выполнения условия останова работа завершается, иначе t = t +1 и осуществляется переход к пункту II

При взаимодействии методов в гибридном алгоритме реализованы следующие две особенности Первая особенность заключается в выделении последовательности операций, которые составляют одну итерацию метода Хука-Дживса Если в качестве одной итерации принимать каждый раз все действия, выполняющиеся до точки выхода алгоритма (см шаг 3, алгоритм Хука-Дживса), то эффективность гибридной схемы падает в несколько раз В этом случае имитация параллельной работы двух алгоритмов сводится к минимуму метод Хука - Дживса успевает сделать за одну итерацию ГА множество неэффективных шагов

Вторая особенность состоит в том, что по завершении одной итерации метод Хука - Дживса может вернуть решение хуже, чем то, с которого началась итерация Если при этом на этапе IV гибридного алгоритма выполняется условие f{x*GA)< f[x'tuто присвоение х\и - xfGA может привести к потере результативных шагов метода Хука-Дживса, эффективность которых проявится на будущих итерациях Поэтому условие f\X^GA )< f(xjIJ) дополняется еще одним требованием \fold_RGA - /(x/^j > R, которое также не позволяет методу Хука — Дживса реагировать на слишком малые изменения в решении, получаемым ГА, и тем самым предотвращаются излишние итерации

Инициализация начальной популяции, Count =0, FlagHJ - True Т

Итерация

локального ГА +

Сравнение решений локального и основного ГА

FlagHJ = True

Соип t =0

FoldRGA = /(*,*"')

Нет

Рис 2 Блок-схема гибридного ГА (1ША+Ш+1ШАЬ) В гибридном алгоритме ЖЗА+Щ происходит отключение метода Хука -Дживса в случае, если для него выполнилось условие ¡Д|| < е Метод Хука -

Дживса находится в режиме «ожидания» до тех пор, пока ГА не удастся получить улучшение решения на величину R

На рис 2 представлена блок-схема гибридного ГА RGA+HJ+RGAL Гибридный алгоритм RGA+hj+RGAL характеризуется тем, что в тот момент, когда метод Хука - Дживса «бездействует», на его место вспомогательного алгоритма подставляется ГА, но уже с локальным поиском Такая подстановка при оптимизации некоторых функций может привести к увеличению вероятности определения глобального экстремума

В качестве критерия остановки гибридного алгоритма могут выступать те же критерии, что и для ГА

Программный код, рассматриваемых в диссертации гибридных алгоритмов, реализован в среде программирования Borland Delphi 7 0 Созданные на его основе независимые модули, могут быть подключены к проблемно-ориентированным программно-инструментальным средствам решения различных оптимизационных задач

2. Результаты тестирования гибридных генетических алгоритмов на задачах безусловной оптимизации и задачах оптимального управления

Гибридные алгоритмы были апробированы на широком круге тестовых задач безусловной оптимизации, качественными характеристиками которых являлись а) многоэкстремальность, Ь) «овражный» характер, с) большая размерность, d) широкий диапазон изменения управляемых переменных

1 Функция Розенброка, N = 1000 (Rosenbrok's function)

/(*)= +(!-*,)2} *, 4-10,10], х* =1, i = /(**)= 0

Ярко выраженный «овражный» характер и большая размерность данной функции не позволяют отдельным методам показать удовлетворительные результаты в течении 60 с работы процессора Mobile AMD Sempron Processor 3000+ (1,8 ГГц) По 10 запускам среднее время достижения точности 1Е-5 для метода RGA+HJ составило 30,32 с, что соответствовало в среднем 8,46Е+5 вычислениям целевой функции

2 Функция Растригина, N = 1000 (Rastrigin's function)

N t \

/(х) = jr(l0(l-cos(2;txJ) + x2), х, е[-10,10], х* =0, г = ЦУ, /(х*)=0

ГА с вещественным кодированием (RGA) не уложился в отведенное время Из 10 попыток гибридный алгоритм RGA, дополненный аналогичным вспомогательным алгоритмом для локального поиска (RGA+RGAL), дал лишь один положительный результат за время 39,05 с В среднем 8,13 с (1,10Е+5 обращений к целевой функции) понадобилось методу RGA+IU для достижения заданной точности 1Е-5

3 Функция Шеффера, /V = 100 (Schaffer's function),

/{Х)= ¿(х2+1 +хг2)°25^ш2^50(хг2+1 ^f'j + lj,

х, е[-10,10], X* =0,1 = \Л, /(**)= 0 Ее многоэкстремальиый характер не создал проблем для методов ШЗА, КОА+К.ОАЬ и ЯОА+Ш, но результаты алгоритма 1ША не смогли быть улучшены гибридными схемами оптимизации

4 Многоэкстремальная, «овражная» функция, N = 100

/(*)= + - О2 ««2(27И/))[юо(С,+1 -х,2)2 +(1-х,)2), (1)

х, е [- 10,10], х* =1, г=ЦУ, /(аГ*)=0 Ниже представлены многоэкстремальные и «овражные» функции, представляющие собой произведение функции Розенброка на функцию Растригина

5 Функция Ш^Лава, N = 100

/(*)= Х[юо(х,+1 -х,2)2 + (1 -х,)21 * ^(10(1 -«м(2 л(хг -1)))+(хг -I)2), 1=1 ^ ' ¡=1

хг е[-10,10], х* =1, 1=Гм, /(аГ*)=0 Гибридные схемы оптимизации ЯОАтЩ и КСА+Ш+ТШАЬ на тестовых функциях (1) и 11оз*Кач11 примерно в 2 раза превысили показатель удачных запусков по сравнению с КО А и КОА+ЯСАЬ при приблизительно одинаковом числе обращений к целевой функции

6 Функция Яс^Ыв^г, N = 100.

}(Х) = £00((х,,1 -0-(хг - г + 1)2)2 <=1

х, е[-20, N + 20], х* =г, 1 = /(**)=0 Гибридный алгоритм РША+Ш показал значительное превосходство над методом ЛОА, затратив в среднем по 50 запускам 18,09 с

Гибридные ГА 1ША+Ш и ЯОА+Ш+1ЮАЬ показали высокую эффективность при оптимизации «овражных» и многоэкстремальных функций, но на данном наборе тестовых задач и при данных условиях тестирования нет оснований предпочесть какой-либо из этих двух методов

Следующим шагом тестирования явилась апробация гибридного ГА ЯСА+Ш+КОАГ на задачах оптимального управления динамическими системами в экономике и технике

В настоящее время методы, основанные на редукции задач оптимального управления к задачам математического программирования, получили широкое распространение Для решения задачи оптимального управления с помощью метода вариации в пространстве управлений (сведение к задаче математического программирования) необходимо проделать следующие основные шаги

1) построение дискретного аналога поставленной задачи,

2) выбор способа учета различных типов ограничений,

3) выбор метода минимизации целевого функционала

При построении дискретного аналога вместо фазовых и управляющих траекторий вводятся сеточные функции Для этого отрезок времени [О, Т\ разбивается на отрезки длины к, г = 1,и-1, причем /) =0, 1п=Т Как правило, величина /г, является одинаковой для всех отрезков, но в некоторых задачах может применяться и неравномерная сетка. В общем случае сетки по времени и по управлению могут не совпадать, но часто полагают, что значение управляющей переменной внутри интервала интегрирования остается постоянным или изменяется согласно некоторой формуле, например, линейной

Первая тестовая задача основывается на неоклассических моделях экономического роста и выглядит следующим образом

'1

J = max |(1 - з)/{к)ке , (2)

* = */"(*)+ (3)

*(г0Мо.*Ы = *1. (4)

¿>0, 5е[0,1], (5)

где 5 - норма накопления, управляемая переменная, у - /(к) = у^ - удельный

ВРП, к = — фондовооруженность, X = Х(/) = ~ 0ТН0ШС11ие численности

трудоспособного населения Ь к общей численности Ь", 5 - коэффициент дисконтирования, Т1 - коэффициент амортизации ОПФ

Численность населения определялась на основе уравнения неразрывности из теории сплошных сред

Содержательный смысл задачи (2) - (5) заключается в ежегодном распределении ВРП на две составляющие 1) з/(к) - реинвестирование ОПФ (3), 2) (1 - *)/(к) - потребление (2) За рассматриваемый промежуток времени необходимо максимизировать потребление, выполнив при этом правое граничное условие, учитывающее потребление поколений за пределам: рассматриваемого периода

На рис 3, 4 (где к (?) - квазистационарный режим) представлены решения, полученные с использованием принципа максимума Понтрягина (аналитический метод) и гибридного ГА 1ША+Щ+К.ОАЬ Значение функционала J на конец рассматриваемого периода составило для аналитического решения 591,420 тыс руб/чел и для численного 595,181 тыс руб/чел , полученного за 0,39 с (среднее по 3 запускам)

Задача (2) - (5) также была успешно решена методами 1ША, Ш, наискорейшего спуска (МНС) и гибридной схемой 1ЮА+МНС

В качестве следующей тестовой задачи выступала задача об эндогенном

НТП, принадлежащая к классу задач на быстродействие. В ее постановке рассматривается односекторная замкнутая модель экономики, в которой национальный доход делится на две составляющие: 1) расширение производственных фондов; 2) улучшение производства.

5

Э (численно) О 5(1:) (аналитически)

Рис. 3. Зависимость нормы накопления капитала от времени к, тыс. руб./чел.

-о-к(1;) (численно) -х-к© (аналитически) -♦- к*®

Рис. 4. Динамика изменения удельного капитала

Следующие уравнения отражают математическую постановку задачи об эндогенном НТП:

Г = А{д)ё(к) = (] + = (1 + 2£0'5 ]к °'5, (б)

К = иУ, (7)

0=(1 ~и)Г, (8)

Начальные условия: (Я"0,£?о) = (0,1, 0,001), (9)

где У - ВРП; £> — величина инвестиций в НТП; А(@) - мультипликатор прогресса; К - производственные фонды.

Задача (6) - (9) состоит в том, чтобы за кратчайшее время достигнуть определенного уровня производственных фондов К при их заданном начальном значении К0.

На рис. 5, 6 представлены результаты численного и аналитического решений задачи (6) - (9).

Дифференциальные уравнения (7), (8) интегрировались методом Рунге-

Кутты 4-го порядка. На отрезке [0;1] вводились одинаковые сетки по управлению и по времени с шагом 0,01. Методы КОА, КОЛ-КОЛЬ, МНС и ЁОА+МНС за время 90 с. не смогли добиться полного совпадения численного управления с его аналитическим значением. Методу 1ЮА+КОАЬ за отведенное время не удалось выстроить управление на той части кривой, где оно отлично от 0 и 1. Гибридные методы К.ОА+Ш и ГЮА+Ш+ЯОАЬ, а также алгоритм Ш справились с указанной задачей, затратив не более 44 е., при этом абсолютное отклонение численного решения от аналитического составило 0,006, а величина аЪя{к - к) не превысила значения 0,0023.

u,K,Q

о u(t) (численно) о K(t) (численно) Д Q(t) (численно) ----u(t) (аналитически) — K(t) (аналитически)----Q(t) (аналитически)

Рис. 5. Численные и аналитические значения оптимального управления и фазовых траекторий

е

[ о К- С: (численно) — K-Q (аналитически) \

Рис. 6. Фазовая траектория оптимального процесса

Тестирование гибридных ГА было завершено задачей о стабилизации спутника, постановка которой представлена следующими уравнениями:

1

./= |(Щ + |и2|+ ~»/яш, (10)

о

— = ~х2х3 +100м,, (11)

Л 3

15

3 1

----= -х-)х' + 25 и

А

2>

ск} ¿1

1 ООи-,

( = 0: х1 =200, х2 =30, х3 (= 1: х1 =0, х2 =0, х3 =0.

40,

(12)

(13)

(14)

(15)

Уравнения (11) — (13) задают движение спутника относительно его центра инерции. Необходимо определить оптимальные управления щ, и2, м3 таким образом, чтобы в конечный момент времени / = 1 спутник перестал вращаться.

Задача оптимального управления (10)-(15) была решена гибридным ГА 1ША+Ш+1ШАЬ как задача с нефиксированным временем. На отрезке [од] были введены сетки по времени с шагом А = 0,001 и по управлению с шагом т = 0,01. Для интегрирования системы дифференциальных уравнений использовалась схема Эйлера с пересчетом. Граничные условия учитывались с помощью множителей Лагранжа.

Решение (рис. 7) найдено за 106,92 е., при этом, число обращений к целевому функционалу составило 6,26Е+5 раз. После 915 итераций функционал принял величину 2,5129 (абсолютная погрешность - 0,0054, относительная погрешность - 0,21%).

0,05 0.1 °.15 О'2 0 0,06 0,1 0,15 0.2

Рис. 7. Управляющие функции (слева) и фазовые траектории (справа)

Значения для фазовых координат в конечный момент времени соответствовали величинам:

х! (Г) = 0,049; х2 (т) =0,038; х3 (г)= 0,032.

Методам КОЛ, НОЛ+КСАЬ, МНС и КОЛ + МПС за время 500 с. не удалось показать удовлетворительных результатов. Критерием окончания расчетов численных методов являлось неизменность целевого функционала с точностью до 1Е-8 (в задаче о стабилизации спутника - 1Е-5) в течение 50 итераций.

3. Математическая модель оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов

Распределение капиталовложений является неотъемлемым элементом устойчивого, целенаправленного развития любой экономической системы и должно основываться только на оптимальных управленческих решениях. В су-

ществующих постановках задач оптимального распределения капиталовложений с некоторым критерием полезности не рассматриваются внешние инвестиционные процессы, а динамика, участвующих в модели показателей, описывается, как правило, на основе алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений

Будем рассматривать модель, основанную на следующих основных предположениях

1 Процесс производства описывается производственной функцией (ПФ) Кобба-Дугласа, удовлетворяющей неоклассическим условиям

где I - время, У1 — ВРП (млн руб ), А, а — неизвестные коэффициенты, подлежащие оценке, л, -ОПФ(млн руб), Ь1 - трудовые ресурсы (тыс чел)

2 Для развития производства используются как собственные, так и заемные средства Заемные средства представляют собой совокупность кредитов, взятых под определенный процент и на определенный срок

3 Развитие производства осуществляется под воздействием экстенсивных и интенсивных факторов

4 ВРП ежегодно распределяется на следующие составляющие (рис 8) 1) потребление, 2) пополнение ОПФ, 3) наука - оказывает влияние на производительность ОПФ, 4) образование - повышает производительность трудовых ресурсов, 5) здравоохранение - изменяет величину силы смертности в регионе, 6) погашение внешнего долга

Рис 8 Схема распределения капиталовложений

Уравнение баланса для экономико-математической модели запишется следующим образом

У, + Е, -I? = С, + + ++ /,", (16)

где Е( - внешние инвестиции (млн руб ), //' - выплаты гГо внешним инвеста-циям (млн руб), С, - потребление (млн руб), 1Х - пополнение ОПФ

(млн руб ), I? - инвестиции в науку (млн руб ), //"^ - инвестиции в образование (млн руб), /,я - инвестиции в здравоохранение (млн руб )

К 7? и

Инвестиции /,,/,,/, , /, представляют собой соответствующие доли средств , от величины К, + Е1 -А потребление С, определяется соответственно как С, = (1 - 5к - - 5Ы - + Ег - //)

Будем полагать, что внешние инвестиции, поступающие в регион, предоставляются под один и тот же процент г с одинаковым сроком погашения с,т При этом погашение кредша осуществляется ежегодно равномерными долями Задачу выбора кредита будем решать ежегодно, при этом величина кредита будет равна Р = ,<;ЕУ млн руб , где е [о,^™'"1 ] Ежегодная выплата по

данному кредиту величины Р состоит из двух слагаемых

д= ^ ,

Чт

где первое слагаемое — выплата по основному долгу, а второе — выплата по процентам

р

Величина /, представляет собой сумму платежей по различным кредитам, по которым имеется задолженность к моменту времени /

Будем рассматривать задачу максимизации удельного благосостояния

3= шах |(1 -зк-яя-зЕе1-анУу + зЕГ-1р)—г<И, (17)

^дг^я'^м'^/^я I Ь

при следующих фазовых уравнениях 1 Динамика ОПФ К,, К,

ы д^

60

60

(18)

(19)

(20)

о о

где - функция плотности распределения ОПФ по возрастам, -

функция выбытия ОПФ в зависимости от возраста, т - коэффициент, отражающий изменение производительности ОПФ

и Цо.' - если ,-/„>£ ^ /Л) = 1 +

[1, если г - ¿о <

ехр

2 Динамика трудовых ресурсов , Ц и общей численности населения Ц

^+■^=Ы+/(тМ^.х).

Чф

= рМ) = |р(т)р(?, х Ух, г > * о,

(21) (22)

59 59 101

I, = /р(г.т)й, Ь, = |ир(?,т)/х, = (23)

20 20 0 где р(^х) - функция распределения населения по возрастам, ц(т) - функция

силы смертности, /(?, х) - функция миграционного взаимодействия, -

функция ослабления силы смертности 1Н )= 1 - ехр

, п — ко-

эффициент, отражающий изменение производительности трудовых ресурсов _|и(г - х + 20-1,/,7й) если I - г0 -1 > х - 20, [и^о,*,/^) если Г — Г0—1<т — 20,

К*«*»

Задачу (17) - (23) дополняют следующие ограничения

1 Норма потребления не должна быть меньше некоторого стандарта-

где 0! =5%

2 Норма внешних инвестиций не должна превосходить определенной величины

— ®2 >

где 02 предлагается взять равным 1/4

3 Объем ВРП к концу планового периода должен превышать его первоначальный объем в заданное число раз

г,1/7/о>е3(е3>1)

4 В момент времени I] величина кредитной задолженности по всем кредитам должна равняться нулю

Идентификация ПФ Кобба-Дугласа производилась на основе численного метода наименьших квадратов с использованием различных функций потерь

В качестве итеративной процедуры оценивания выступал алгоритм ЯОА+Ш+КОАЬ. Коэффициенты логистических зависимостей, участвующих в модели, задавались экзогенно.

4. Результаты численного решении гибридным генет ическим алгоритмом задачи оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов

Один из вариантов расчетов макроэкономической модели (17) - (23) гибридным ГА 1ША+Ш+1ШАЬ на промежутке времени / е [2005; 2020] с коэффициентом дисконтирования 8 = 0,05 и условием / У^ > 1,5 представлен на рис. 9-11.

Рис. 9. Зависимость управляемых параметров от времени

, ГОД

Рис. 10. Динамика изменения ВРП и величины внешних инвестиций Начиная с 2010 г. наблюдается волнообразный характер потребления (рис. 9). При этом доминирование данного показателя приходится на вторую половину рассматриваемого периода. Ресурсы экономической системы позволяют выполнить условие У^ / У^ > 1,5, при этом ОПФ увеличиваются более

чем в 2 раза (рис. 1 1). Динамика внешних заимствований ограничивается небольшим начальным периодом (рис. 10), но для исходных входных данных инвестиции имеет смысл брать только в случае процентной ставки <5%.

2 005 2 006 2 007 2 008 2 009 2 010 2 011 2 012 2 013 2 014 2 0152 016 2 0172 018 2 0192 020

-ВРП

- инвестиции

- ВРП с учетом инвестиции

10 3, млн. руб.

К ■ 10 , млн. руб.

900 850

750

700:

650

600

550

500

450

400

"У

t, ГОД

2006 2008 2010 2012 2 014 2016 2013 2 020

Рис. 11. Зависимость ОПФ от времени С целью проконтролировать решение задачи оптимального управления (17) - (23) к ней была сформулирована «двойственная» задача:

F = mm Vtj, (24)

SK ' SR ' SEd ■ SH ' SE

){l-Sfc-SR-SEd-sHjf + sEY~Ip)~dt-JM =0, (25)

I L

'0

при фазовых уравнениях (18)-(23), где Jм - конечное значение функционала (17), полученное при решении «прямой» задачи.

«Двойственная» задача состоит в определении максимально возможного уровня ВРП на конец рассматриваемого периода при заданном уровне благосостояния. Ее решение представлено на рис, 12 - 14. SR,sK,sH,sEd,sc

2005 2 006 2 007 2 008 2 ООО 2010 г 011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2 020

t, ГОД

□ Наука S ОПФ S Здравоохранение j

0 Образование П ГТптпоЙпотлз I

Рис. 12. Траектория изменения управляемых параметров Числовые характеристики расчетов для «прямой» и «двойственной» задач представлены в табл. 1.

Из сопоставления величин Уи и Jм (табл. 1) следует удовлетворительное

совпадение решений «прямой» и «двойственной» задач. Рис. 9 - 11 и рис. 12 -14 имеют расхождения, но качественные картины для управлений и фазовых переменных совпадают.

Таблица

Задача время, с. Кол-во итераций Кол-во обращений к функции V млн. руб. м > млн. руб./чел.

прямая 232,52 8299 1,68Е+6 165257,947 0,322

двойственная 49,84 3533 5,90Е+5 165559,432 0,321

10 , млн. руб.

2 0052 0062 007 2 008 2 009 2 0102 011 2 01220132014201520162017201820192020

ГОД

--ВРП — ВРП с учетом инвестиций

инвестиции

Рис. 13. Динамика изменения ВРП и величины внешних инвестиций ЛГ • 10 3 , млн. руб.

t, год

2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2 020

Рис. 14. Зависимость ОПФ от времени ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены две гибридные схемы оптимизации, основанные на параллельной работе ГА с вещественным кодированием и метода Хука - Дживса. Объединенная работа двух алгоритмов обеспечивает следующие основные преимущества:

a) ГА осуществляет «сканирование» пространства поиска на наличие локальных экстремумов, тем самым, повышая эффективность определения глобального оптимума;

b) метод Хука - Дживса обеспечивает высокую скорость сходимости вблизи точки экстремума;

с) генерируя на начальном этапе совокупность случайных приближений, ГЛ решает проблему выбора начальной точки для метода Хука-Дживса,

<1) отсутствие необходимости в дополнительной информации о целевой функции (функционале) кроме возможности вычисления их значений в заданной точке,

е) наличие механизма запрета на совершение итераций методом Хука-Дживса, в случае отсутствия его возможности к дальнейшему улучшению решения

2 Гибридные алгоритмы были апробированы на широком круге тестовых задач безусловной оптимизации, качественными характеристиками которых являлись а) многоэкстремальность, Ь) «овражный» характер, с) большая размерность, с!) широкий диапазон изменения управляемых переменных На «овражной» функции Розенброка большой размерности гибридный ГА ЯОА+Ш (ЛСА+Ш+ЯСАЬ) единственный показал положительные результаты На овражных и многоэкстремальных функциях алгоритм ЯСА+Ш (1ША4-Щ+110АЬ) в 2 и более раза чаще достигал глобального экстремума за отведенное время по сравнению не только с 1ША, но и гибридной схемой 1ША+1ШАЬ

3 На трех задачах оптимального управления, принадлежащих к различным классам (задача на быстродействие, задача с нефиксированным временем), были протестированы гибридный алгоритм КСА+Ш+ЯСАЦ а также и другие численные методы, что позволило выявить преимущества объединения прямых методов оптимизации Структура распределения доминирующих итераций в гибридных методах 1ША+Ш и 1ША+Щ+1ШАЬ такова, что в большинстве случаев (>85%) методом Ш были получены результаты лучше, чем генетическим алгоритмом, но метод 1ЮА, тем не менее, не оказывался бездействующим, что говорит в пользу объединения методов

4 Гибридный ГА 1ША+НЛ-1ШАЬ успешно справляется с задачами идентификации нелинейных регрессионных моделей

5 Разработаны программные модули, содержащие программный код гибридного ГА с вещественным кодированием Указанные модули могут использоваться в системах оптимизации различных прикладных задач

6 Разработана макроэкономическая модель, которая включает в себя следующие механизмы, оказывающие влияние на уровень ВРП

a) формирование ОПФ и регулирование уровня их эффективности через индуцированный НТП,

b) повышение квалификации трудовых ресурсов и воздействие на уровень смертности на основе поли гики здравоохранения,

c) привлечение внешних инвестиций

Два основных фактора производства ОПФ и трудовые ресурсы - описываются на основе уравнений неразрывности из теории сплошных сред Такой подход позволяет более точно описывать состояние рассматриваемых показателей

7 Макроэкономическая модель позволяет

а) спрогнозировать динамику ВРП, численность ОПФ и населения, в ча-

стности, трудовые ресурсы,

b) получить оптимальные стратегии распределения капиталовложений по следующим статьям- потребление, пополнение ОПФ, наука, образование, здравоохранение, погашение внешнего долга,

c) выяснить возможности экономической системы достижения определенных показателей (например, требуемого уровня ВРП) в зависимости от текущего состояния ресурсов и прогнозной оценки роста их качества,

d) сформировать программу по привлечению внешних инвестиций

8 На основе численных экспериментов с применением алгоритма

RGA+HJ+RGAL были получены следующие основные выводы по макроэкономической модели

a) структура оптимальных стратегий капиталовложений определяется видом макроэкономической ПФ,

b) для исходной статистической информации по УР и данным зависимостям, входящим в модель, было получено, что процентная ставка кредитов, имеющих целесообразность для данного критерия Качества, не должна превышать 5%

НАУЧНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Дмитриев, С Л Об эффективном взаимодействии генетического алгоритма и метода Хука-Дживса для решения многомерных задач оптимизации [Текст] / СВ. Дмитриев // Вестник Ижевского государственного технического университета -2007 -№1 -С 58-63

2 Кетова, К В Об одной задаче моделирования инновационного развития макроэкономической системы [Текст] / К В Кетова, С В Дмитриев // Вестник Ижевского государственного технического университета — 2006 - №3 -С 68-70

3 Дмитриев, С В Математическое моделирование экономической системы с учетом инвестиционных процессов [Текст] / С В Дмитриев, К В Кетова, В А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве - 2005 - № 2 - С 81-87

4 Дмитриев, С В Применение прямых методов оптимизации в гибридном генетическом алгоритме [Текст] / С В Дмитриев, В А Тененев // Интеллектуальные системы в производстве - 2005 - № 2 - С 11-22

5 Кетова, К В Применение принципа максимума Понгрягина для решения задачи оптимального управления демоэкономическим состоянием региона [Текст] / КВ. Кетова, С В Дмитриев, И Г Русяк // Интеллектуальные системы в производстве -2004 -№2 - С. 132-143

6 Дмитриев, С В Моделирование динамики открытой макроэкономической системы в условиях научно-технического прогресса в производственной сфере [Текст] / С В Дмитриев, К В Кетова // Известия Института математики и информатики Удмуртский государственный университет - Ижевск, 2006 -№2(36) -С 159-162.

7 Дмитриев, С В Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью гибридных генетических алгоритмов [Текст] / СВ. Дмитриев, В А Тененев // Известия Института математики и информатики Удмуртский государственный университет. - Ижевск, 2006 - №2 (36) - С 163-166

8 Дмитриев, С В Разработка оптимизационного инструмента распределения средств для решения задачи управления социально-экономической системой региона [Текст] / С. В. Дмитриев, К В Кетова // Математика. Компьютер Образование тез. докл четырнадцатой международной конференции (Пущиной - 27 января 2007 г ) -Ижевск, 2007 -вып 14 - С 211

9 Дмитриев, С В Решение задач многомерной оптимизации с помощью гибридного генетического алгоритма [Текст] / С В Дмитриев, В А Тененев // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования тез докл ХШ-ой Всероссийской конференции (Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта 2007 г) - Екатеринбург, 2007 - С 34

10 .Кетова, К В К вопросу о формировании стратегии устойчивого развития экономической системы [Текст] / К В Кетова, С В Дмитриев // Реализация стратегии устойчивого развития города Ижевска опыт и проблемы сб тез докл Межрегион науч -практ конф , 28 сент 2005 г - Ижевск, 2005 - С

20-21

С. В. Дмитриев

ЛР № 020764 от 29 04 98 г

Подписано в печать 06 11 2007 Формат 60x84 1/16 Отпечатано на ризографе Уч-изд л 1,87 Уел печ л 1,39 Тираж 100 экз Заказ № 781/1

Издательство Института экономики УрО РАН 620014, Екатеринбург, ул Московская, 29

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ПОДХОДОВ К ИЗУЧЕНИЮ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ.

1.1. Основные этапы построения моделей управляемых систем.

1.2. Обзор моделей экономического роста.

1.3. Общая постановка задач оптимального управления.

1.4. Методы решения задач оптимального управления.

1.5. Методы решения задач оптимального управления, основанные на вариации в пространстве управлений.

Актуальность темы исследования. Многомерная оптимизация является неотъемлемой частью важнейших этапов моделирования различных динамических систем (технических, экономических, социальных и т.д.) и во многих случаях становится тем ограничением, которое не позволяет использовать данную постановку задачи ввиду отсутствия эффективного инструмента идентификации или оптимизации.

Класс задач, встречающихся при оптимизации динамических систем, может быть самым разнообразным: от задач безусловной оптимизации до задач оптимального управления. Но, тем не менее, можно выделить следующие общие практические трудности, возникающие при их решении: 1) наличие не-дифференцируемых функций (функционалов); 2) наличие нескольких экстремумов; 3) большая размерность задачи. Присутствие таких проблем делает целесообразным применение гибридных схем оптимизации, объединяющих возможности различных методов. Правильно организованная, скоординированная работа численных алгоритмов, входящих в гибридную схему, позволяет получать решения тех задач, оптимизация которых затруднена или невозможна отдельными методами.

Серьезной проверкой численных алгоритмов являются задачи оптимального управления. И, как правило, к численному решению прибегают тогда, когда аналитическое решение задачи не может быть получено с помощью принципа максимума Понтрягина, а применение принципа оптимальности Беллмана требует трудоемких вычислительных затрат.

Исторически способы решения задач оптимального управления развивались в нескольких направлениях, но, прежде всего, следует отметить методы, основанные на вариации в пространстве управлений. Среди работ, посвященных исследованию возможностей численных методов применительно к решению задач оптимального управления, можно выделить работы таких ученых, как Ю.Г.Евтушенко [32], Н.Н.Моисеев [59], Р. П. Федоренко [83, 84], Ф. JI. Черноусько [88] и др.

Безусловно, каждая задача оптимального управления требует индивидуального подхода к нахождению решения, но создание гибридного численного метода, заведомо обладающего свойствами, позволяющими не прибегать к вычислению производных и с высокой эффективностью решать проблемы много-экстремальности и задания «удачного» начального приближения, позволит повысить вероятность определения глобального решения, а также существенно сократит время адаптации алгоритма при внесении изменений в исходную постановку задачи без изменения содержания самого численного метода.

Объектом исследования являются динамические управляемые системы в технике и макроэкономике, характеризуемые большим количеством внутренних взаимосвязанных процессов.

Предметом исследования являются численные методы решения задач оптимального управления; задачи оптимального распределения капиталовложений в макроэкономической системе.

Целью исследования является разработка и тестирование гибридных генетических алгоритмов (ГА), позволяющих эффективно решать задачи оптимизации, обработки информации и идентификации сложных систем; постановка и решение задачи оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Разработка и реализация на ЭВМ гибридных алгоритмов на основе генетических и классических методов оптимизации, не требующих вычисления производных.

2. Настройка параметров гибридных ГА с вещественным кодированием, обеспечивающая их высокую вычислительную эффективность.

3. Тестирование гибридных ГА на ряде задач безусловной оптимизации и задачах оптимального управления динамическими системами в экономике и технике, решение задач идентификации регрессионных моделей.

4. Разработка математической модели оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

5. Применение гибридного ГА для получения оптимальных стратегий распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

Теоретические и методологические основы исследования. В работе использованы методы теории оптимизации, оптимального управления, регрессионного анализа, оптимального распределения капиталовложений. Программный код гибридных ГА реализован в среде программирования Borland Delphi 7.0, построение графиков поверхностей осуществлялось средствами Matlab 6.1.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечена экспериментальной проверкой гибридных ГА на широком круге тестовых задач безусловной оптимизации, а также на задачах оптимального управления динамическими системами в экономике и технике. На защиту выносятся:

1. Гибридные алгоритмы, разработанные на основе ГА с вещественным кодированием и метода Хука - Дживса.

2. Результаты тестирования гибридных ГА на задачах безусловной оптимизации и задачах оптимального управления.

3. Математическая модель оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

4. Результаты численного решения гибридным ГА задачи оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем:

1. Разработаны новые гибридные алгоритмы на основе ГА с вещественным кодированием и метода Хука-Дживса, не требующие дополнительной информации о целевой функции (функционале), кроме возможности вычисления их значений в заданной точке.

2. Разработана новая схема взаимодействия составлющих элементов гибридного ГА, основанная на адаптивном подходе к ситуации поиска. ГА с вещественным кодированием, выступая в качестве основы гибридного алгоритма, может подключать во вспомогательный поиск либо метод Хука-Дживса, либо генетический вещественный алгоритм с локальным поиском в зависимости от возможности метода Хука-Дживса к дальнейшему улучшению решения.

3. Получены значения параметров, обеспечивающие высокую вычислительную эффективность гибридных ГА.

4. Применение гибридного ГА для решения задач оптимального управления с различными постановками.

5. Разработана математическая модель оптимального распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов, позволяющая прогнозировать динамику валового регионального продукта (ВРП), основных производственных фондов (ОПФ), численность населения, в частности, трудовых ресурсов, а также выяснить возможности экономической системы достижения определенных показателей (например, требуемого уровня ВРП) в зависимости от текущего состояния ресурсов и прогнозной оценки роста их качества.

6. Применение гибридного ГА для решения и исследования открытой макроэкономической модели распределения капиталовложений с учетом инвестиционных процессов.

Практическая значимость и реализация результатов исследования.

Программный код гибридных ГА выполнен в форме независимых модулей, реализованных в среде программирования Borland Delphi 7.0, и может быть использован как составляющий элемент программного комплекса по решению оптимизационных задач. Разработано программное обеспечение для получения оптимальных стратегий распределения капиталовложений в открытой макроэкономической системе с учетом инвестиционных процессов.

Научная апробация результатов исследования. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. Межрегиональная научно-практическая конференция «Реализация Стратегии устойчивого развития города Ижевска: опыт и проблемы» (Ижевск, 28 сентября 2005).

2. Научная конференция - семинар «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 31 января - 4 февраля 2006).

3. Научно - практическая конференция (Ижевск, май 2006).

4. Четырнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 22 - 27 января 2007).

5. XIII-я Всероссийская конференция «Математическое программирование и приложения» (Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта 2007). Публикации. Результаты работы отражены в 10 научных публикациях: 5 статей в научных журналах, в том числе 2 статьи в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов диссертаций, 2 труда конференции, 3 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Работа изложена на 125 страницах машинописного текста, содержит 62 рисунка, 17 таблиц и список литературы из 112 наименований.

Основные выводы по главе

1. Гибридный ГА RGA+HJ+RGAL успешно справляется с задачами идентификации нелинейных регрессионных моделей.

2. Разработана макроэкономическая модель, которая включает в себя следующие механизмы, оказывающие влияние на уровень ВРП: а) формирование ОПФ и регулирование уровня их эффективности через индуцированный НТП; b) повышение квалификации трудовых ресурсов и воздействие на уровень смертности на основе политики здравоохранения; c) привлечение внешних инвестиций.

Два основных фактора производства: ОПФ и трудовые ресурсы - описываются на основе уравнений неразрывности из теории сплошных сред. Такой подход позволяет более точно описывать состояние рассматриваемых показателей.

3. Макроэкономическая модель позволяет: a) спрогнозировать динамику ВРП, численность ОПФ и населения, в частности, трудовые ресурсы; b) получить оптимальные стратегии распределения капиталовложений по следующим статьям: потребление, пополнение ОПФ, наука, образование, здравоохранение, погашение внешнего долга; c) выяснить возможности экономической системы достижения определенных показателей (например, требуемого уровня ВРП) в зависимости от текущего состояния ресурсов и прогнозной оценки роста их качества; d) сформировать программу по привлечению внешних инвестиций.

4. На основе численных экспериментов с применением алгоритма RGA+HJ+RGAL были получены следующие основные выводы по макроэкономической модели: a) структура оптимальных стратегий капиталовложений определяется видом макроэкономической ПФ; b) для исходной статистической информации по УР и данным зависимостям, входящим в модель, было получено, что процентная ставка кредитов, имеющих целесообразность для данного критерия качества, не должна превышать 5%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены две гибридные схемы оптимизации, основанные на параллельной работе ГА с вещественным кодированием и метода Хука-Дживса. Объединенная работа двух алгоритмов обеспечивает следующие основные преимущества: a) ГА осуществляет «сканирование» пространства поиска на наличие локальных экстремумов, тем самым, повышая эффективность определения глобального оптимума; b) метод Хука-Дживса обеспечивает высокую скорость сходимости вблизи точки экстремума; c) генерируя на начальном этапе совокупность случайных приближений, ГА решает проблему выбора начальной точки для метода Хука-Дживса; d) отсутствие необходимости в дополнительной информации о целевой функции (функционале) кроме возможности вычисления их значений в заданной точке; e) наличие механизма запрета на совершение итераций методом Хука -Дживса, в случае отсутствия его возможности к дальнейшему улучшению решения.

2. Гибридные алгоритмы были апробированы на широком круге тестовых задач безусловной оптимизации, качественными характеристиками которых являлись: а) многоэкстремальность; Ь) «овражный» характер; с) большая размерность; d) широкий диапазон изменения управляемых переменных. На «овражной» функции Розенброка большой размерности гибридный ГА RGA+HJ (RGA+HJ+RGAL) единственный показал положительные результаты. На овражных и многоэкстремальных функциях алгоритм RGA+HJ (RGA+HJ+RGAL) в 2 и более раза чаще достигал глобального экстремума за отведенное время по сравнению не только с RGA, но и гибридной схемой RGA+RGAL.

3. На трех задачах оптимального управления, принадлежащих к различным классам (задача на быстродействие, задача с нефиксированным временем), были протестированы гибридный алгоритм RGA+HJ+RGAL, а также и другие численные методы, что позволило выявить преимущества объединения прямых методов оптимизации. Структура распределения доминирующих итераций в гибридных методах RGA+HJ и RGA+HJ+RGAL такова, что в большинстве случаев (>85%) методом HJ были получены результаты лучше, чем генетическим алгоритмом, но метод RGA, тем не менее, не оказывался бездействующим, что говорит в пользу объединения методов.

4. Гибридный ГА RGA+HJ+RGAL успешно справляется с задачами идентификации нелинейных регрессионных моделей.

5. Разработаны программные модули, содержащие программный код гибридного ГА с вещественным кодированием. Указанные модули могут использоваться в системах оптимизации различных прикладных задач.

6. Разработана макроэкономическая модель, которая включает в себя следующие механизмы, оказывающие влияние на уровень ВРП: a) формирование ОПФ и регулирование уровня их эффективности через индуцированный НТП; b) повышение квалификации трудовых ресурсов и воздействие на уровень смертности на основе политики здравоохранения; c) привлечение внешних инвестиций.

Два основных фактора производства: ОПФ и трудовые ресурсы - описываются на основе уравнений неразрывности из теории сплошных сред. Такой подход позволяет более точно описывать состояние рассматриваемых показателей.

7. Макроэкономическая модель позволяет: а) спрогнозировать динамику ВРП, численность ОПФ и населения, в частности, трудовые ресурсы; b) получить оптимальные стратегии распределения капиталовложений по следующим статьям: потребление, пополнение ОПФ, наука, образование, здравоохранение, погашение внешнего долга; c) выяснить возможности экономической системы достижения определенных показателей (например, требуемого уровня ВРП) в зависимости от текущего состояния ресурсов и прогнозной оценки роста их качества; d) сформировать программу по привлечению внешних инвестиций.

8. На основе численных экспериментов с применением алгоритма RGA+HJ+RGAL были получены следующие основные выводы по макроэкономической модели: a) структура оптимальных стратегий капиталовложений определяется видом макроэкономической ПФ; b) для исходной статистической информации по УР и данным зависимостям, входящим в модель, было получено, что процентная ставка кредитов, имеющих целесообразность для данного критерия качества, не должна превышать 5%.

1. Алексеев, В. М. Оптимальное управление Текст. / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1979. - 432 с.

2. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления Текст. / В. Н. Афанасьев. М.: Высшая школа, 2003. - 614 с.

3. Ашманов, С. А. Введение в математическую экономику Текст. / С. А. Ашманов. М.: Наука, 1984. - 293 с.

4. Банды, Б. Методы оптимизации. Вводный курс Текст. / Б. Банди ; пер. с англ. О.В. Шихеевой ; под ред. В. А. Волынского. М. : Радио и связь, 1988.-128 с.

5. Бард, Й. Нелинейное оценивание параметров Текст. / Й. Бард ; пер. с англ. В. С. Дуженко [и др.] ; под ред. и с предисл. В. Г. Горского. М. : Статистика, 1979. - 349 с.

6. Баркалов, Н. Б. Моделирование демографического перехода Текст. / Н. Б. Баркалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 80 с.

7. Баркалов, Н. Б. Производственные функции в моделях экономического роста Текст. / Н. Б. Баркалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.-128 с.

8. Бергстром, А. Построение и применение экономических моделей Текст. / А. Бергстром ; пер. с англ. М.: Прогресс, 1970. - 176 с.

9. Бородин, С. А. Эконометрика Текст. : учеб. пособие / С. А. Бородич. -Минск : Новое знание, 2001.-408 с.

10. Бочарников, В. 77. Fuzzy технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике Текст. / В. П. Бочарников. - СПб. : Наука РАН, 2001.-328 с.

11. Браун, М. Теория и измерение технического прогресса Текст. / М. Браун ; пер. с англ. В. В. Зотова ; под ред. Г. Г. Пирогова. М. : Статистика, 1971.-208 с.

12. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач Текст. / Ф. П. Васильев. -М.: Наука, 1988. 552 с.

13. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов Текст. : учебник для вузов / В. М. Вержбицкий. 2-е изд., перераб. - М. : Высш. шк., 2005. -840 с.

14. Вишнев, С. М. Основы комплексного прогнозирования Текст. / С. М. Вишнев. М.: Наука, 1977. - 287 с.

15. Вишнев, С. М. Экономические параметры Текст. / С. М. Вишнев. М. : Наука, 1968.- 189 с.

16. Власов, М. П. Моделирование экономических процессов Текст. / М. П. Власов, П. Д. Шимко. Ростов н/Д : Феникс, 2005. - 409 с.

17. Гилл, Ф. Практическая оптимизация Текст. / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. ; пер. с англ. В. 10. Лебедева ; под ред. А. А. Петрова. М. : Мир, 1985.-509 с.

18. Гранберг, А. Г. Динамические модели народного хозяйства Текст. / А. Г. Гранберг. М.: Экономика, 1985. - 240 с.

19. Гранберг, А. Г. Моделирование социалистической экономики Текст. : учеб. для студ. экон. вузов / А. Г. Гранберг. М. : Экономика, 1988. -487 с.

20. Демиденко, Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии Текст. / Е. 3. Деми-денко. М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

21. Демиденко, Е. 3. Оптимизация и регрессия Текст. / Е. 3. Демиденко. -М.: Наука, 1989.-296 с.

22. Демьянов, В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление Текст. / В. Ф. Демьянов. М.: Высш. шк., 2005. - 335 с.

23. Дику cap, В. В. Качественные и численные методы в принципе максимума Текст. / В. В. Дикусар, А. А. Милютин. М.: Наука, 1989. - 144 с.

24. Дмитриев, С. В. Математическое моделирование экономической системы с учетом инвестиционных процессов Текст. / С. В. Дмитриев, К. В. Кето-ва, В. А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве. 2005. -№2.-С. 81-87.

25. Дмитриев, С. В. Об эффективном взаимодействии генетического алгоритма и метода Хука Дживса для решения многомерных задач оптимизации Текст. / С. В. Дмитриев // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2007. -№1 - С. 58-63.

26. Дмитриев, С. В. Применение прямых методов оптимизации в гибридном генетическом алгоритме Текст. / С. В. Дмитриев, В. А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве. 2005. - № 2. - С. 11-22.

27. Дыхта, В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями Текст. / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000. -256 с.

28. Евтушенко, Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации Текст. / Ю. Г. Евтушенко. М. : Наука, 1982.-432 с.

29. Жиглявский, А. А. Методы поиска глобального экстремума Текст. / А. А. Жиглявский, А. Г. Жилинскас. М.: Наука, 1991. - 248 с.

30. Иванилов, Ю. П. Математические модели в экономике Текст. / Ю. П. Иванилов, А. В. Лотов. -М.: Наука, 1979.-304 с.

31. Иванов, 10. Н. Математическое описание элементов экономики Текст. / Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев, А. П. Уздемир. М. : Физматлит, 1994. -416 с.

32. Ивченко, Б. П. Управление в экономических и социальных системах Текст. / Б. П. Ивченко, Л. А. Мартыщенко, М. Е. Табухов. СПб. : Нор-дмед-Издат, 2001. - 248 с.

33. Измаилов, А. Ф. Численные методы оптимизации Текст. : учеб. пособие / А. Ф. Измаилов, М. В. Солодов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с.

34. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория Текст. / М. Интрилигатор. М.: Прогресс, 1975. - 605 с.

35. История экономических учений Текст. : учеб. пособие / под ред. В. Ав-тономова, О. Ананьина, Н. Макашевой. М.: ИНФРА - М, 2003. - 784 с.

36. История экономических учений (современный этап) Текст. : учебник / под общ. ред. А. Г. Худокормова. М.: ИНФРА-М, 2002. - 733 с.

37. Кетова, К В. Об одной задаче моделирования инновационного развития макроэкономической системы Текст. / К. В. Кетова, С. В. Дмитриев // Вестник Ижевского государственного технического университета. -2006-№3. С.68-70.

38. Кетова, К В. Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза Текст. : дис. . канд. физ.-мат. наук : 08.00.13 : защищена 12.11.04 / Кетова Каролина Вячеславовна. Ижевск, 2004.- 151 с.

39. Клейнер, Г. Б. Производственные функции: Теория, методы, применение Текст. / Г. Б. Клейнер. М.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.

40. Кобринский, Н. Е. Введение в экономическую кибернетику Текст. / Н. Е. Кобринский, Е. 3. Майминас, А. Д. Смирнов. М. : Экономика, 1975. -343 с.

41. Колемаев, В. А. Математическая экономика Текст. : учебник для вузов / В. А. Колемаев. 3-е стереотип, изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 399 с.

42. Кротов, В. Ф. Методы и задачи оптимального управления Текст. / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман.- М.: Наука, 1973. 446 с.

43. Кузнецов, А. В. Математическое программирование Текст. / А. В. Кузнецов, Н. И. Холод. Минск : Высш. шк., 1984. - 221 с.

44. Лесин, В. В, Основы методов оптимизации Текст. / В. В. Лесин, Ю. П. Лисовец. М.: Изд-во МАИ, 1995. - 344 с.

45. Лукашин, Ю. Производственные функции в анализе мировой экономики Текст. / Ю. Лукашин, Л. Рахлина // Мировая экономика и международные отношения. 2004. - №1. - С. 17-27.

46. Люгер,Дж. Ф. Искусственный интеллект: стратегии и методы решения сложных проблем Текст. / Дж. Ф. Люгер ; [пер. с англ. Н. И. Галагана и [и др.]]. 4-е изд. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2005. - 864 с.

47. Макаров, В. Л. Справочник экономического инструментария Текст. / В. Л. Макаров, Н. Е. Христолюбова, Е. Г. Яковенко. М. : Экономика, 2003. -515с.

48. Математическая теория оптимальных процессов Текст. / Л. С. Понтрягин [и др.]. М.: Наука, 1976. - 392 с.

49. Методы оптимизации в экономико-математическом моделировании Текст. / Е. Г. Гольштейн [и др.]; отв. ред. Е. Г. Голынтейн. М.: Наука, 1991.-448 с.

50. Миграция населения Удмуртской Республики Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. -Ижевск, 2001-2006.

51. Моделирование и оценка состояния медико-эколого-экономических систем Текст. / В. А. Батурин [и др.] ; под. ред. В. А. Батурина ; Рос. акад. наук, Сиб. отд-ние, Ин-т динамики сист. и теории управл. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2005. - 249 с.

52. Моделирование народнохозяйственных процессов Текст. : учеб. пособие / под ред. И. В. Котова. 2-е изд., испр. и доп. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1990. - 288 с.

53. Моисеев, Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем Текст. / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1971.-424 с.

54. Моисеев, Н. Н. Элементы теории оптимальных систем Текст. / Н. Н. Моисеев. -М.: Наука, 1975, 528 с.

55. Основы теории оптимального управления Текст. : учеб. пособие для экон. вузов / В. Ф. Кротов [и др.] ; под ред. В. Ф. Кротова. М. : Высшая школа, 1990.-430 с.

56. Паклин, Н. Б. Адаптивные модели нечеткого вывода для идентификации нелинейных зависимостей в сложных системах Текст. : дис. . канд. техн. наук : 05.13.18 : защищена 25.06.04 / Паклин Николай Борисович. -Ижевск, 2004.-162 с.

57. Плакунов, М. К. Производственные функции в экономическом анализе Текст. / М. К. Плакунов, Р. Раяцкас. Вильнюс : Минтис, 1984. - 308 с.

58. Поляк, Б. Т. Введение в оптимизацию Текст. / Б. Т. Поляк. М. : Наука, 1983.-384 с.

59. Понтрягин, Л. С. Избранные научные труды Текст. В 3 т. Т. 2. Дифференциальные уравнения. Теория операторов. Оптимальное управление. Дифференциальные игры / отв. ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.: Наука, 1988. -576 с.

60. Практикум по численным методам в задачах оптимального управления Текст. / В. В. Александров [и др.]. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 79 с.

61. Прикладная статистика. Основы эконометрики Текст. : учебник для вузов : в 2 т. 2-е изд., испр. - Т. 2 : Айвазян С. А. Основы эконометрики. -М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 432 с.

62. Пшеничный, Б. Н. Численные методы в экстремальных задачах Текст. / Б. Н. Пшеничный, Ю. М. Данилин. М.: Наука, 1975. - 320 с.

63. Раяцкас, Р. Л. Количественный анализ в экономике Текст. / Р. Л. Раяцкас, М. К. Плакунов. -М.: Наука, 1987. 392 с.

64. Российский статистический ежегодник Текст.: статистический сборник / Госкомстат России. М.: Статистика России, 2004. - 720 с.

65. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы Текст. / Д. Рутковская [и др.] ; пер. с польск. И. Д. Рудинского. -М.: Горячая линия Телеком, 2004. - 452 с.

66. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры Текст. / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. 2-е изд., испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

67. Слезингер, Г. Э. Социальная экономика Текст. : учебник / Г. Э. Слезин-гер. М.: Дело и Сервис, 2001. - 368 с.

68. Смертность населения в Удмуртской Республике Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. -Ижевск, 1997-2005.

69. Статистическое моделирование и прогнозирование Текст. : учеб. пособие для экон. спец. вузов / Г. М. Гамбаров [и др.]; под ред. А. Г. Гранбер-га. М.: Финансы и статистика, 1990. - 383 с.

70. Столерю, Л. Равновесие и экономический рост Текст. / J1. Столерю. -М.: Статистика, 1974. 472 с.

71. Тененев, В. А. Гибридный генетический алгоритм с дополнительным обучением лидера Текст. / В. А. Тененев, Н. Б. Паклин // Интеллектуальные системы в производстве. 2003. -№ 2. - С. 181-206.

72. Тененев, В. А. Моделирование рационального поведения товаропроизводителей Текст. / В. А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве. 2003. - № 2. - С. 181-206.

73. Тененев, В. А. Применение генетических алгоритмов с вещественным кроссовером для минимизации функций большой размерности Текст. / В. А. Тененев // Интеллектуальные системы в производстве. 2006. -№ 1.-С. 93-107.

74. Терехов, Л. Л. Производственные функции Текст. / Л. Л. Терехов. М. : Статистика, 1974. - 128 с.

75. Терехов, Л. Л. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении Текст. / Л. Л. Терехов, В. А. Куценко, С. П. Сиднев. -Киев : Вища школа, 1984. 231 с.

76. Удмуртия в цифрах Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. Ижевск, 1998-2006.

77. Федоренко, Р. Я. Введение в вычислительную физику Текст. / Р. П. Фе-доренко. М.: Изд-во МФТИ, 1994. - 528 с.

78. Федоренко, Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления Текст. / Р. П. Федоренко. М.: Наука, 1978. - 488 с.

79. Хачатрян, С. Р. Методы и модели решения экономических задач Текст.: учеб. пособие / С. Р. Хачатрян, М. В. Пинегина, В. П. Буянов. М. : Экзамен, 2005.-384 с.

80. Химмелъблау, Д. Анализ процессов статистическими методами Текст. / Д. Химмельблау ; пер. с англ. В. Д. Скаржинского ; под ред. В. Г. Горского. -М.: Мир, 1973.-960 с.

81. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование Текст. / Д. Химмельблау ; пер. с англ. И. М. Быковской [и др.] ; под ред. М. JI. Бы-ховского. М.: МИР, 1975. - 534 с.

82. Черноусько, Ф. JI. Вариационные задачи механики и управления (Численные методы) Текст. / Ф. JI. Черноусько, Н. В. Баничук. М. : Наука, 1973.-238 с.

83. Численность и естественное движение населения в Удмуртской Республике Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. Ижевск, 1997-2005.

84. Численность населения по полу и возрасту в Удмуртской Республике Текст. : статистический сборник / тер. орган Федеральной службы гос. статистики по УР. Ижевск, 1995-2006.

85. Экономико математический энциклопедический словарь Текст. / гл. ред. В. И. Данилов-Данильян. - М. : Большая Рос. энцикл. : ИНФРА-М, 2003.-687 с.

86. Яблонский, А. И. Модели и методы исследования науки Текст. / А. И. Яблонский. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 400 с.

87. Ярушкина, Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем Текст. : учеб. пособие / Н. Г. Ярушкина. М. : Финансы и статистика, 2004. -320 с.

88. Blickle, T. A comparison of selection schemes used in evolutionary algorithms Text. / T. Blickle, L. Thiele // Evolutionary Computation. 1996. - Vol. 4, N4.-P.361-394.

89. Cantu-Paz, E. A Summary of Research on Parallel Genetic Algorithms Text. /

90. E. Cantu-Paz // UliGAL report no. 95007, University of Illinois at Urbana-Champaign, July 1995. 18 p.

91. Daridi, F. Parameterless Genetic Algorithms: Review and Innovation Text. /

92. F. Daridi, N. Kharma, J. Salik // IEEE Canadian Review On-line. 2004. - P. 19-23.

93. Deb, K. Simulated binary crossover for continuous search space Text. / K. Deb, S. Agrawal // Complex Systems. 1995. - Vol. 9, N 2. - P. 115-148.

94. Harik, G. R. A parameter-less genetic algorithm Text. / G. R. Harik, F. G. Lobo I I UliGAL report no. 99009, University of Illinois at Urbana-Champaign, January 1999. 14 p.

95. Herrera, F. Tackling real-coded genetic algorithms: operators and tools for the behaviour analysis Text. / F. Herrera, M. Lozano, J. L. Verdegay // Artificial Intelligence Review. 1998. - Vol. 12, N 4. - P. 265-319.

96. Jones, C.I. Too Much of a Good Thing? The Economics of Investment in R&D Text. / С. I. Jones, J. C. Williams // Journal of Economic Growth. -2000. Vol. 5, N1.-P. 65-85.

97. Keely, L. C. Pursuing Problems in Growth Text. / L. C. Keely // Journal of Economic Growth. 2002. - Vol. 7, N 3. - P. 283-308.

98. Miihlenbein, H. Predictive Models for the Breeder Genetic Algorithm: I. Continuous Parameter Optimization Text. / H. Miihlenbein, D. Schlierkamp-Voosen // Evolutionary Computation. 1993. - Vol. 1, N 1. - P. 25-49.

99. Ramos, V. On Ants, Bacteria and Dynamic Environments Text. / V. Ramos, C. Fernandes, A. C. Rosa // Natural Computing and Applications Workshop. -IEEE Computer Press, 2005. 8 p.

100. Simdes, A. B. Transposition versus Crossover: An Empirical Study Text. / A. B. Simes, E. Costa // Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO'99). Orlando, Florida, USA : Morgan Kaufmann, 1999.-P. 612-619.

101. Spears, W. M. An Analysis of Multi-Point Crossover Text. / W. M. Spears, K. A. De Jong // Foundations of Genetic Algorithms. San Mateo, California, USA : Morgan Kaufmann Publishers, 1991. - P. 301-315.