автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка численно-аналитических методов оптимизации динамики пучков траекторий

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Меркурьев Сергей Васильевич

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ ПУЧКОВ ТРАЕКТОРИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2006

Работа выполнена на кафедре теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Дмитрий Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович; кандидат технических наук,

старший научный сотрудник Юдин Иван Павлович

Ведущая организация: Московский радиотехнический институт

Защита диссертации состоится 'U-f " U-toUA^2006 г. в часов на заседании диссертационного совета Д-212.232.50 по присуждению учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., д. 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького СПбГУ по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан "ajO " 2006 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д-212.232.50, доктор физико-математических наук,

профессор Курбатова Г.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена разработке численно-аналитических методов оптимизации динамики пучков траекторий управляемых систем различного назначения.

Проблемами управления пучками (ансамблями) траекторий динамических систем начали заниматься с 60-х годов прошлого века. Необходимость исследований в этой области была вызвана потребностью решения сложных, нестандартных задач управления разнообразными техническими объектами и технологическими процессами. Возникли новые постановки задач и подходы к их решению, представляющие самостоятельный интерес и с математической точки зрения. Исследование и развитие идей и методов, связанных с задачами управления ансамблями траекторий, актуально и в настоящее время.

Управлению пучками траекторий динамических систем посвящены работы А.Б. Куржанского, Д.А. Овсянникова, Т.Ф. Филипповой, A.B. Пантелеева и других авторов. Оптимизацией программных и стабилизацией возмущённых движений занимались Л.С. Понтрягин, Р. Калман, H.H. Красовский, Р. Беллман, В.И, Зубов, A.M. Летов и другие. В работах А.Д. Овсянникова получил развитие новый подход, при котором программное движение и ансамбль возмущённых движений анализируется совместно. Задачи совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений находят естественное применение при исследовании динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах. Математические модели совместной оптимизации также можно трактовать как задачи управления некоторым объектом при неполной информации о начальных данных.

В диссертации разрабатываются подходы и алгоритмы решения задачи совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений. При этом проводится учёт плотности распределения траекторий в фазовом пространстве. Главная особенность работы состоит в том, что исследуемые функционалы, их приращения и вариации выписываются через решения специальных линейных уравнений с частными производными первого порядка. Методы управления ансамблем траекторий с использованием уравнений с частными производными первого порядка специального вида применялись в работах Д.А. Овсянникова, А.Г. Харченко. Отметим что подход, при котором движение изучается с помощью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям с частными производными первого порядка, широко использовался в разнообразных задачах вариационного исчисления, теории оптимального управления и дифференциальных играх такими учёными, как Р. Беллман, В.И. Зубов, Н.Е. Кирин, А.И. Субботин и многими другими.

Целью работы является разработка численно-аналитических методов совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений, ориентированных на решение задач оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах.

Научная новизна. В диссертации разработаны методы решения задачи совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений с учётом плотности распределения траекторий пучка в фазовом пространстве. На основе использования линейных неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка специального вида получены новые представления исследуемых функционалов, их приращений и вариаций. Сформулированы и доказаны необходимые, а также достаточные условия оптимальности в рассматриваемой задаче. Исследованы наиболее характерные зависимости управлений от параметров и выписаны градиенты функционалов по соответствующим параметрам па основе полученных вариаций. Кроме того, при некоторых упрощающих предположениях, задача управления множеством сведена к задаче управления его границей. Представленный в диссертации подход можно рассматривать как развитие методов оптимизации динамики пучков траекторий.

Методика исследования базировалась на теории дифференциальных уравнений, теории оптимального управления и оптимизации, вариационном исчислении, методах численного анализа с использованием современных средств и систем программирования.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации алгоритмы апробировались на оптимизации ускоряющей структуры с пространственно-однородной квадруполыюй фокусировкой (ПОКФ) и показали свою эффективность. Они могут быть также распространены и на другие типы ускоряющих и фокусирующих структур.

Апробация работы. Результаты, представленные в настоящей диссертации, докладывались на международной конференции «Beam Dynamics and Optimization» (Санкт-Петербург, 2002), XXXIII, XXXIV и XXXV научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2002, 2003, 2004), девятой европейской конференции «European Particle Accelerator Conference» (Lucerne, Switzerland, 2004), И Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab» (Москва, 2004), а также на семинарах кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой Санкт-Петербургского государственного университета. Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-01-0726) и Министерства образования РФ (грант № АОЗ-2.8-440).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано б печатных работ. Перечень публикаций приведён в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 98 наименований. Работа содержит 15 рисунков и 2 таблицы. Общий объём диссертации составляет 96 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дастся краткий обзор направлений исследований, в русле которых лежит настоящая диссертация, приводится обоснование актуальности исследуемых и разрабатываемых в ней методов, излагаются основные результаты.

Первая глава посвящена проблеме построения алгоритма совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений, с представлением исследуемых функционалов и их вариаций через решения линейных неоднородных уравнений с частными производными первого порядка специального вида.

В диссертации объект управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

^ = /('.».»). (1)

Ш

= (2)

Л

*(о)=*0, (3)

><о) = 70еЛ/0. (4)

Здесь т0 = [о,г]сЛ' — независимая переменная; .гей" и К" — вектора фазовых переменных; и - и(г)е II' — г-мерная функция управления; Т — фиксированное число. Множество М0 — компактное, ненулевой меры. Полагаем что допустимые управления и = «(г), г е Т0, образуют некоторый класс £> кусочно-непрерывных на промежутке Та функций, принимающих значения из компактного множества и с Яг.

Далее для определённости считаем, что система (1),(2) описывает движение заряженных частиц: уравнение (1) — движение некоторой расчётной частицы (программное движение), а уравнение (2) — динамику пучка заряженных частиц с начальными значениями из множества М„. При этом решения уравнения (2) образуют ансамбль возмущённых по начальным данным движений по отношению к расчётной частице (например, в теории ускорителей под расчётной можно понимать синхронную частицу).

Наряду с системой (1),(2) рассматривается уравнение в частных производных первого порядка, которое описывает изменение во времени плотности распределения частиц в фазовом пространстве подсистемы (2)

. (5)

о? ду

с заданным в начальный момент законом распределения плотности частиц на множестве Л/0

ДМО))=А(Уо), У о еМо> где /;>,(>'„) — неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция.

На траекториях системы (1),(2) и решениях уравнения (5) исследуются функционалы

/,<«) = С, ^^(О.иМУ'+здЙГ)), (6)

о

г

¡р(1,у,}р2(1^0),у,,и(фу,с11+с, \р(Т,ут)а2{Т,ут)аут , (7)

О мт ,

/(«)=А(»)+/2(»). (8)

Здесь множество А/л„ — сечение в момент г пучка траекторий подсистемы (2), исходящих из множества Мй при управлении «(/) и соответствующем программном движении х{{). Функции <г>ь ср2, g2 предполагаются

неотрицательными и непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам; числа с,, с2, с3, с4 — неотрицательные константы (весовые коэффициенты).

Задачу минимизации функционала (8) называют задачей совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений. При этом ансамбль траекторий, определяемый подсистемой (2) и исследуемый с учётом решения уравнения (5), играющего роль весовой функции в функционале (7), называют распределённым пучком траекторий.

Наряду с уравнениями системы (1),(2) и уравнением (5) рассматриваются линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка следующего вида:

дГ2(/,х,у) dV2{t,x,y) , , дУ2(?,х,у), , , ч „ V + а \ ' F\t,x,y\u)+cj4>2{ux,y,u)=0

dt ах ду

(9) (10)

с терминальными условиями

У,{ТЛГ))=сг31иТ)), (11)

У2{ТЛТ)ЛТ))=са81{Т,}(Т)]. (12)

Разработанные в диссертации алгоритмы оптимизации основаны на использовании решений уравнений с частными производными первого порядка (9) и (10). Условия существования и единственности классических решений уравнений с частными производными первого порядка представлены, например, в работах Н.М. Гюнтера, И.Г. Петровского, В.В. Степанова. Обобщению и развитию метода характеристик Коши для уравнений Гамильтона—Я коби общего вида посвящены работы А.И. Субботина, М. Крэндала, П. Лионса, Л. Эванса и других авторов.

В первой главе получено представление вариации функционала (8) через решения уравнений (9),(10):

' Э* ' {Эх ду >

Л. (13)

На основе вариации (13), а также полного приращения исследуемого функционала, выписанного через решения уравнений (9),(10), сформулированы и доказаны необходимые условия оптимальности для рассматриваемой задачи в форме принципа максимума Понтрягина и линеаризованного принципа максимума, приведены достаточные условия оптимальности.

Введём функции

э?

Эх

о/ <?л: а у

где лг) и К2((, х, у) — решения уравнений (9),(10). Имеет место необходимое условие оптимальности.

Теорема. Пусть =и°(?) — оптимальное управление, функции л°(г), р'^.у), и .V,у) — соответствующие решения уравнений (1),(5),(9) и (10) при оптимальном управлении. Предполагаем, что функции 1У°(1,х,и), .г, у, и) построены по решениям У,"0, х) и У2°(1, х, у). Тогда на оптимальном процессе при почти всех <е [0,г] выполняется соотношение

шт

{{у (0 ,„) + \ р° (л у,) IV? {/, х" (О, у,, 4/у,

= »?(*,Л0.и°(0)+ [р"(',У,)"'г'('.(')■>',,(')}/>•, =0.

л/ 0 /.и

Здесь под оптимальным процессом понимается оптимальное управление и соответствующие ему решения уравнений (1),(2),(5).

В работе исследуется возможность параметризации управлений. В этом случае управления задаются конечным числом параметров. Используя полученное представление вариации, выписываются градиенты функционалов по этим параметрам.

Во второй главе вновь рассматривается проблема совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений. Показывается, что вариация функционала (8) в форме (13) может быть представлена в следующем виде:

Л,

(14)

при этом вектор-функции «(<), /?(г) и х{') удовлетворяют вдоль траекторий системы (1),(2) обыкновенным дифференциальным уравнениям

¿а__„Э/(<,дг(0,и(0) _ д<р,и,х(г)М1))

А Эх ' Эх '

ар_ „э/(<,я-(о,1/(о) „э/-Ыо,;ко,»(о) . мМо.яо.ц«))

Л од: о х ах

<*Х = л,др((,х(0,у(1)МО) с др2(1,х(0,у(0,и(0) (17)

Л Эу ду

с условиями на правом конце

а{г)=С2ЦЫ, (18)

/?(г) = о, (19)

Ят) = С4д 8(Г,ут)_ дУт

Функции «(/), /?(?) и содержат градиенты решений К (/,*), У3(>,х,у)

уравнений (9),(Ю), вычисленные вдоль траекторий системы (1),(2). Слезет отметить, что формула (14) по форме аналогична вариации, полученной в работах А.Д. Овсянникова на основе метода приращений. Однако здесь в основе вывода вариации (14) лежит использование специальных линейных уравнений с частными производными.

Далее рассматриваются вопросы, связанные с построением минимизирующих последовательностей управлений в задаче совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений. Используя представление вариации в форме (14), выписан градиент функционала (8) и приводится общая схема направленной минимизации на основе градиентной методики, обсуждаются вычислительные аспекты метода наискорейшего спуска по антиградиенту.

Затем ставится задача: заменить проблему управления множеством управлением его границей. Такая замена заключается в сведении интегралов по множеству М,и в формулах (7) и (14) к интегралам по границе этого множества. Действительно, при некоторых упрощающих предположениях, имеющих место при моделировании динамики заряженных частиц в конкретных ускоряющих структурах, в задаче управления множеством с равномерной плотностью распределения можно выписать новое представление функционала (7):

I.

(и) = с3 }>(/){ 2(/,х,у,,„)■ „Ш + слр{Т) (■ 02(Т,уг)-пс1ЯГ1, . (21)

Здесь и есть внешняя единичная нормаль к поверхности — границе множества М1и. Вектор-функции Ф2(г,.г ,у,и) и С2(т,ут) должны удовлетворять соотношениям:

<Цу„Ф2((,х ,у,и) = <рг{г,х,у,и),

Далее рассматривается формула (14) и выводится новое представление вариации функционала (8):

8/(и,Ли) = f (аг+а)Ли/ + с,Ли^ -cdivyAuF+p j f2AuF ■ ndS,M

dt. (22)

Вектор-функции a(t) и c(i) на траекториях системы (1),(2) удовлетворяют уравнениям

äa=_adf{t,x(t)MO)_b{t)i (23)

dt Эх

f-t=-cAt) f Ф 1{ux,y„u)ndSIJ, , (24)

b(t) = {bt = j-cAV^J^j + p j" ^ J—лс/S,,, j —вектор размерности n, и терминальным условиям

4г)=о,

c{T) = ctp{T)\G2{T,yr)ndST,.

Функционал (21), вариация (22), а также дифференциальные уравнения (23),(24) решают поставленную в главе 2 задачу сведения проблемы управления множеством к управлению его границей. Описываются также способы вычисления поверхностных интегралов, входящих в формулы (21)-(24).

Третья глава настоящей диссертации посвящена математическому моделированию, анализу и оптимизации продольного движения в ускорителе с ПОКФ. Исследования В.В. Владимирского, И.М. Капчинского и

B.А. Теплякова лежат в основе создания линейного ускорителя с ПОКФ. Вопросам моделирования и оптимизации динамики заряженных частиц в ускоряющих структурах с ПОКФ посвящены работы Ю.А. Буданова, О.И. Дривотина, А.Е. Лукьяновой, Э.С. Масунова, Д.А. Овсянникова,

C.М. Полозова, Ю.С. Свистунова и других авторов.

В работе рассматриваются уравнения движения частиц в поле эквивалентной бегущей волны. Используя уравнения движения синхронной частицы и уравнения в отклонениях от движения синхронной частицы, ставится задача совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений, впервые формализованная в совместной работе Б.И. Бондарева, А.П. Дуркина и А.Д. Овсянникова. Вводятся соответствующие функционалы. В качестве целей оптимизации структуры с ПОКФ рассматривались:

• учёт воздействия дефокусирующего фактора;

• получение требуемой энергии на выходе ускорителя;

• обеспечение монотонности группирования частиц пучка по фазам.

На основе методов, разработанных в двух первых главах диссертации, проведена оптимизация продольной динамики протонов в ускорителе с ПОКФ. В качестве управлений выбирались законы изменения синхронной фазы и эффективности ускорения вдоль ускоряющей структуры. Полученные

управления обеспечивают 100% захват частиц в режим ускорения при улучшенных характеристиках пучка.

Проводится также анализ продольного движения протонов в ускорителе с ПОКФ с учётом их кулоновского взаимодействия в исходной и оптимизированной структурах. Для учёта кулоновского взаимодействия используется математическая модель, основанная на аппроксимации пучка частиц набором равномерно заряженных бесконечно тонких дисков постоянного радиуса, суммарный заряд которых равен заряду вссго пучка.

Диссертация содержит рисунки и таблицы, иллюстрирующие эффективность разработанных алгоритмов оптимизации.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту:

• разработан новый подход к решению задачи совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений, основанный на представлении функционалов и их вариаций через решения линейных неоднородных уравнений с частными произведшими первого порядка специального вида;

• сформулированы и доказашл необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина и линеаризованного принципа максимума, приведены достаточные условия оптимальности;

• рассмотрены характерные зависимости управлений от параметров и выписаны градиенты исследуемых функционалов по этим параметрам на основе полученной вариации;

• проблема управления множеством в задаче совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений, при некоторых упрощающих предположениях, сведена к задаче управления границей множества;

• создано программное обеспечение, в котором реализованы разработанные в настоящей диссертации методы и проведена численная оптимизация продольной динамики в линейном ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Меркурьев С.В. Моделирование продольного движения частиц в структуре с ПОКФ с учётом их взаимодействия // Труды ХХХШ научной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость». СПб., 2002. С. 219-223.

2. Овсянников Д.А., Меркурьев С.В. Об одном алгоритме совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений. Proceedings of the Ninth International Workshop: Beam Dynamics & Optimization, June 24-27, 2002, Saint-Petersburg, Russia, pp. 252-259.

3. Меркурьев С.В. Об одном алгоритме оптимизации // Труды XXXIV научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость». СПб., 2003. С. 73-78.

4. Меркурьев С.В. Об оптимизации продольного движения в линейном ускорителе // Труды XXXV научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость». СПб., 2004. С. 235-238.

5. Овсянников Д.А., Меркурьев С.В. Моделирование и оптимизация продольной динамики пучка частиц в линейном ускорителе // II Всероссийская научная конференция «Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab», Москва, 25-26 мая, 2004.

6. Ovsyannikov D.A., Merkuryev S.V. On Beam Dynamics Optimization // Proceedings of the 9th European Particle Accelerator Conference, 5 to 9 July, 2004 Lucerne, Switzerland.

Подписано в почать 17.05.2006. Формат бумаги 60 X 84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 3780.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.26

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. УПРАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПУЧКАМИ ТРАЕКТОРИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1 Постановка задачи оптимизации.

1.2 Представление функционала и его вариации через решения уравнений в частных производных.

1.2.1 Приращение функционала.

1.2.2 Вариация функционала.

1.2.3 Необходимые условия оптимальности.

1.2.4 Достаточные условия оптимальности.

1.3 Оптимальный выбор параметров систем формирования пучков.

ГЛАВА 2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ ПУЧКОВ.

2.1 Представление вариации функционала.

2.2 Спуск на основе первой вариации.

2.3 Градиентный метод в задаче совместной оптимизации программного и возмущённых движений.

2.4 Управление границей множества.

2.4.1 Представление функционала.

2.4.2 Представление вариации.

2.5 Вычисление градиента в задаче оптимизации программного и возмущённых движений.

2.5.1 Управление множеством.

2.5.2 Управление границей.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В СТРУКТУРЕ С ПОКФ.

3.1 Математическая модель оптимизации динамики частиц.

3.1.1 Уравнения движения.

3.1.2 Критерии качества управления.

3.1.3 Алгоритм спуска по антиградиенту.

3.2 Результаты численной оптимизации.

3.3 Моделирование динамики частиц с учётом их взаимодействия.

Диссертационная работа посвящена разработке математических методов, направленных на решение задач оптимизации сложных управляемых систем различного назначения. Предложены новые подходы и алгоритмы решения проблем совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений.

Проблемы оптимизации программных и стабилизации возмущённых движений формулировались и развивались в трудах многих авторов [6, 9, 11, 22, 23, 34, 38, 67]. Прежде всего, отметим работы JI.C. Понтрягина, Р. Калмана, Н.Н. Красовского, Р. Беллмана, В.И. Зубова. Принципиальные математические результаты, полученные в работах этих, а также других учёных, составляют фундамент большого разнообразия подходов и методов, применяемых при конструировании систем управления технологическими процессами и техническими объектами.

При проектировании управляемых систем довольно стандартным является подход, когда сначала рассчитывается программное движение, а затем, используя уравнения в отклонениях, исследуются возмущённые движения. Однако, как было отмечено в работе [58], в случае существенной зависимости возмущённых движений от программного, методы поэтапного решения задач оптимизации программного и стабилизации возмущённых движений не всегда приводят к желаемым результатам. В связи с этим А.Д. Овсянниковым были предложены новые математические модели, ориентированные на совместное решение задач оптимизации программного и возмущённых движений.

Научная новизна настоящей работы заключается в следующем. Методы и алгоритмы, представленные в диссертации, также основаны на совместном рассмотрении программного и ансамбля возмущённых движений, при этом ансамбль возмущённых движений исследуется с учётом плотности распределения частиц в фазовом пространстве. Отличие от предложенных ранее алгоритмов заключается в том, что здесь, в силу использования линейных неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка специального вида [59, 94], получены новые представления исследуемых функционалов и их вариаций, на основе которых сформулированы и доказаны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. Приведены достаточные условия оптимальности. Полученные представления вариации функционала при параметризации управлений набором значений в некоторых точках промежутка интегрирования системы применяются для сведения бесконечномерной задачи оптимизации функционала к задаче минимизации функции конечного числа переменных. Помимо этого показано, что при некоторых условиях задачу управления множеством можно свести к задаче управления его границей [63, 95, 96]. Последний результат интересен тем, что вместо того, чтобы следить за динамикой всех представляющих точек некоторой области фазового пространства, мы следим только за точками, лежащими на её границе.

Диссертация непосредственно примыкает к исследуемым в работах

A.Д. Овсянникова проблемам. Однако в данной работе разрабатываются методы оптимизации, основанные на рассмотрении специальных уравнений с частными производными первого порядка. Следует отметить, что подход к нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности в различных вариационных задачах, при котором движение изучается с помощью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям в частных производных первого порядка, широко использовался в трудах Р. Беллмана,

B.И. Зубова, Н.Е. Кирина, Д.А. Овсянникова и других авторов.

Так, в работах В.И. Зубова [22, 23] устанавливается существенная связь между задачами построения оптимальных управлений по отношению к демпфированию заданной функции и задачами отыскания оптимальных управлений в смысле интегрального функционала, принципами оптимальности Эрдмана-Вейерштрасса, принципом максимума JI.C. Понтрягина, принципом динамического программирования Р. Беллмана. Показано, что управления, оптимальные в смысле демпфирования функционала, будут также оптимальными и в смысле интегрального функционала, если выполняются условия существования решения специального уравнения с частными производными первого порядка. В.И. Зубовым предложен метод последовательных приближений построения минимизирующей последовательности управлений на основе демпфирования интегрального функционала. Методы управления ансамблем траекторий с использованием уравнений с частными производными первого порядка разрабатывались Д.А. Овсянниковым, А.В. Пантелеевым, А.Г. Харченко.

В работах Д.А. Овсянникова и А.Г. Харченко приращение и вариация исследуемого функционала выписываются через функции, удовлетворяющие линейным уравнениям в частных производных специального вида. В результате построение минимизирующей последовательности управлений можно осуществить на основе первой вариации исследуемого функционала. В диссертации этот подход распространяется на исследование проблемы совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений [48,49, 63, 64, 96].

Отметим, что рассматриваемые в диссертации математические задачи можно трактовать также как задачи управления динамикой некоторого объекта при неполной информации о начальных данных, когда указана лишь область вероятных начальных состояний этого объекта и приходится управлять всем множеством возможных траекторий сразу. Поэтому разрабатываемые численно-аналитические методы непосредственно примыкают к разнообразным задачам управления ансамблями траекторий, исследовавшимся в работах А.Б. Куржанского и его учеников, а также в работах Р.С. Мироновой, Г.Н. Константинова, Т.Ф. Филлиповой и других авторов.

Как уже отмечалось ранее, рассматриваемые в диссертации методы оптимизации основаны на рассмотрении уравнений с частными производными первого порядка. Условиям существования и единственности, построению классических и обобщённых решений уравнений с частными производными первого порядка типа Гамильтона-Якоби посвящено много работ [66, 72, 73, 83, 84, 87, 93]. Так, в трудах М. Дж. Крэндала, П.-Л. Лионса и Л. С. Эванса [83, 84] предложен подход к определению вязкостных решений краевых задач для уравнения Гамильтона-Якоби общего вида.

A.И. Субботиным [72] предложена теория минимаксных решений уравнений с частными производными первого порядка, показана эквивалентность вязкостных решений минимаксным. Развитие теории обобщённых решений уравнений с частными производными глубоко связанно с такими научными направлениями, как оптимальное управление, дифференциальные игры, негладкий и многозначный анализ.

Предложенные в диссертации методы совместной оптимизации программного и возмущённых движений находят естественное применение в решении задач оптимизации систем формирования, ускорения и транспортировки пучков заряженных частиц различного назначения. При этом управляемым объектом является ансамбль заряженных частиц, представляемый траекториями в фазовом пространстве.

Математические проблемы формирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах ставились и решались разными учёными [23, 57, 59, 61, 62]. Так в трудах

B.И. Зубова была создана теория построения электромагнитных полей, вызывающих движение заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. В работах Д.А. Овсянникова и его учеников разрабатывается теория оптимизации динамики заряженных частиц в системах формирования, ускорения и транспортировки пучков заряженных частиц. Научному направлению, связанному с решением задач моделирования, анализа и управления пучками заряженных частиц, посвящены также работы О.И. Дривотина, С.Н. Андрианова, Ю.С. Свистунова, И.М. Капчинского, В.В. Владимирского, В.А. Теплякова, Б. И. Бондарева, А.П. Дуркина, Е.Д. Котиной, И.Д. Рубцовой, и многих других учёных.

В настоящее время во всём мире большое внимание уделяется проблемам создания и проектирования ускорителей заряженных частиц, сфера применения которых непрерывно расширяется [43]. Помимо традиционного использования ускорителей в качестве поставщиков пучков частиц высоких энергий для фундаментальных исследований, они находят своё применение в медико-биологические исследованиях, дефектоскопии, модификации и упрочнении различных материалов. Ведутся работы по применению ускорительной техники в области ядерной энергетики с целью обеспечения безопасной и надёжной работы реакторов атомных станций [40].

Линейные ускорители ионов применяются в радиационной терапии, ядерных исследованиях, производстве мезонов и короткоживущих изотопов, военных целях, неразрушающем анализе материалов [70]. Линейные ускорители заряженных частиц используются в качестве инжекторов для ускорителей на большие энергии [89]. Получили широкое распространение ускорители, использующие резонансные принципы ускорения [31, 32]. К их числу относится и ускоритель с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ). В связи со столь обширной областью применения и всё возрастающим требованиям к качеству ускорителей и формируемым ими пучкам заряженных частиц, проблемы проектирования подобных устройств приобретают всё большую актуальность.

Предлагаемые в настоящей диссертации методы апробировались на решении задач оптимизации продольной динамики линейных ускорителей заряженных частиц с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой. Проведённая оптимизация структуры с ПОКФ показала эффективность разработанных алгоритмов, которые могут быть распространены и на другие типы ускоряющих и фокусирующих структур.

Первая глава посвящена проблеме построения алгоритма совместной оптимизации программного и ансамбля траекторий возмущённых движений с учётом плотности распределения частиц в фазовом пространстве, основанном на использовании специальных линейных уравнений с частными производными первого порядка.

В диссертации объект управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

Здесь tеГ0 = [o,r]ci?' — независимая переменная; xeR" и yeRm — вектора фазовых переменных; u = u(t)<=Rr — г-мерная функция управления; Т — фиксированное число. Множество М0 — компактное, ненулевой меры. Полагаем что допустимые управления u = u(t), teT0, образуют некоторый класс D кучно-непрерывных на промежутке Т0 функций, принимающих значения из компактного множества U czRr.

Наряду с системой (1),(2) рассматривается уравнение в частных производных первого порядка, описывающее изменения плотности распределения частиц p=f{t,y) на сечениях пучка фазовых траекторий подсистемы (2): dx

О) = F(t,x,y,u\ at

О) (4)

2) at ду с заданным в начальный момент законом распределения плотности частиц на множестве М0

0,><0))=/70(y0), у0 е М0, где а(Уо) — неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция.

На траекториях системы (1),(2) и решениях уравнения (5) исследуются функционалы г и) = с, JV,{t,x(t),u(tj)Jt + c2g,(*(Г)), (6) о г

1(и)=1{(и)+12(и), (8) где множество М1и — сечение в момент t пучка траекторий подсистемы (2), исходящих из множества М0 при управлении u(t) и соответствующем программном движении Функции <рх, (р2, gx, g2 предполагаются неотрицательными и непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам; числа с,, с2, с3, с4 — неотрицательные константы (весовые коэффициенты).

Под программным (расчётным, выделенным) движением понимают решение подсистемы (1) при начальном условии (3). Решения подсистемы (2) с начальными условиями (4) при фиксированном программном движении называют возмущёнными движениями. Задача минимизации функционала (8) является задачей совместной оптимизации программного и возмущённых движений. В таком виде она была впервые сформулированная в работах А.Д. Овсянникова [56, 58].

Наряду с уравнениями системы (1),(2) и уравнения (5) рассматриваются линейные неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка следующего вида [60,94, 96]:

М+?МА1лиусл(,л»)-- О, (9) dt ox dt ох ду с терминальными условиями

Vfrxi T))=c2gl(x(T)), (11)

V2(TXT),}<T))=c4g2(T,yr). (12)

В этой главе выведено представление вариации функционала (8) через решения уравнений (9),(10): dV (dV dV ^

Sl(u,Au) = j —X-Auf+ с£и(рх + \ p\—^AJ + —^AuF + c3Au(p2 dy, о ^ М1м \ox ° У ) j dt. (13)

На основе полного приращения исследуемого функционала сформулированы и доказаны необходимые условия оптимальности для рассматриваемой задачи в форме принципа максимума Понтрягина и линеаризованного принципа максимума, приведены достаточные условия оптимальности. Рассматривается возможность параметризации управлений. В этом случае управления задаются конечным числом параметров. Используя полученное представление вариации, в работе выписываются градиенты исследуемых функционалов по этим параметрам.

Во второй главе вновь рассматривается проблема совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений в постановке первой главы, с учётом уравнений в частных производных (9),(10). Исследуется вариация функционала в форме (13) и выписывается новое ее представление: т( ^

8l(u,Am)=J ccAJ + c,Au<Pl + Jp{j3Auf + x\F + c3Au<p2)dyt 0 v dt. (14)

Показано, что вектор-функции a(t), /?(/) и xif) удовлетворяют вдоль траекторий системы (1),(2) обыкновенным дифференциальным уравнениям da

-a df(t,x(t)MO) dp, (/,*(/), ti(Q)

-c.

15) dt дх дх dP = pdfjtMOMO) xdF(t,x{t),y(t),u{t)) c dt дх дх 3 5л: dt ду г ду ' ~Р дх

16)

17) с условиями на правом конце

18) р(т)=о,

19)

20)

Функции «(/), /?(/) и содержат градиенты решений V^(t,x), V2(t,x,y) уравнений (9),(10), вычисленные вдоль траекторий системы (1),(2).

Рассматриваются вопросы, связанные с построением минимизирующих последовательностей управлений в задаче совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений. Приводится одна общая схема спуска, основанная на первой вариации (14) [34, 59]. Кроме того, в этой главе выписан градиент функционала (8) и рассматривается схема направленной минимизации исследуемого функционала на основе градиентной методики, обсуждаются вычислительные аспекты метода наискорейшего спуска по антиградиенту.

Далее ставится задача: заменить проблему управления множеством управлением его границей. Такая замена, прежде всего, заключается в сведении интегралов по множеству Mt u в формулах (7) и (14) к интегралам по его границе. Действительно, при некоторых упрощающих предположениях, имеющих место при моделировании динамики заряженных частиц в конкретных ускоряющих структурах, в задаче управления множеством с равномерной плотностью можно выписать новое представление функционала (7):

Ii(u) = cз jp(f) Jф2{t,x,yt,u)-ndStudt + c4p(T) \G2(T,yT)-ndSTu

0 Suu ST u где n есть внешняя единичная нормаль к поверхности Stu — границе множества Mtu. При этом для вектор-функций Ф2(t,x,y,u) и G2(T,yr) должны выполняться соотношения divy<b2(t,x,y,u) = <p2{t,x,y,u), divyG2{T,y) = g2(T,y). Далее рассматривается формула (14) вариации функционала (8) и выводится новое представление вариации функционала (21):

Sl(u,Au)= | (a + a)Auf + c,Au<pt-cdivyAuF + p \V2AUF-ndStu dt .

22)

Вектор-функции a(t) и c(t) на траекториях системы (1),(2) удовлетворяют уравнениям

23) da = адЛ(>х(омо) dt дх dc ~dt -c,p{t)\<b2{t,yt)-ridSuu,

24) -cdivv f5Fl

У дХ; \ J / P J V2~ndS,^ ч ox. — вектор размерности n,

7=1 и терминальным условиям a(T)=О, c(T)=c4p{T) \G2{T,yT)-ndSTu.

ST.u

Функционал (21), его вариация (22), а также дифференциальные уравнения (23),(24) решают поставленную в главе 2 задачу сведения проблемы управления множеством управлению его границей. Во второй главе описываются способы вычисления поверхностных интегралов, входящих в формулы (21)-(24).

Третья глава настоящей диссертации посвящена математическому моделированию, анализу и оптимизации продольной динамики заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ. Рассматривается математическая модель, предложенная в работе [81]. Используя методы, разработанные в двух первых главах диссертации, проводится оптимизация продольной динамики протонов. Исследуются уравнения движения частиц в поле эквивалентной бегущей волны. На основе уравнения движения синхронной частицы и уравнений в отклонениях от движения синхронной частицы формализуются задачи совместной оптимизации. В качестве целей оптимизации структуры с ПОКФ были выбраны:

• учёт воздействия дефокусирующего фактора;

• получение требуемой энергии на выходе ускорителя;

• обеспечение монотонности группирования пучка в результате минимизация скорости изменения среднеквадратического разброса частиц по фазам;

• минимизация среднеквадратического разброса частиц пучка на выходе ускорителя.

Для решения поставленных задач вводятся соответствующие функционалы. Оптимизация основана на использовании известных схем построения минимизирующих последовательностей [9, 34, 51, 59], в основу которых положены методы решения задач оптимального управления на основе первой вариации исследуемого функционала, в частности, метод наискорейшего спуска по антиградиенту.

В качестве управляющих параметров выбирались закон изменения синхронной фазы и эффективность ускорения вдоль ускоряющей структуры. Полученные управления обеспечивают 100% захват частиц в режим ускорения при улучшенных характеристиках пучка.

Рассматривается также математическая модель, позволяющая вести учёт взаимодействия заряженных частиц. Модель учёта заряда основана на аппроксимации пучка частиц набором равномерно заряженных бесконечно тонких дисков постоянного радиуса, суммарный заряд которых равен заряду всего пучка. С помощью этой модели изучалось влияние собственного поля пучка на продольную динамику протонов в ускорителе с ПОКФ, исследовалась динамика как в исходной структуре, так и в структуре, полученной в результате оптимизации. В диссертации приведены рисунки и таблицы, иллюстрирующие полученные результаты.

По теме диссертации опубликовано 6 работ. Основные результаты докладывались на международной конференции «Beam Dynamics and Optimization» (Санкт-Петербург, 2002), XXXIII, XXXIV и XXXV научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2002, 2003, 2004), девятой европейской конференции «European Particle Accelerator Conference» (Lucerne, Switzerland, 2004), II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab» (Москва, 2004), а также на семинарах кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой СПбГУ. Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-01-0726) и Министерства образования РФ (грант № А03-2.8-440).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

• разработан новый подход к решению задачи совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений, основанный на представлении функционалов и их вариаций через решения линейных неоднородных уравнений с частными производными первого порядка специального вида;

• сформулированы и доказаны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина и линеаризованного принципа максимума в рассматриваемом случае, приведены достаточные условия оптимальности;

• рассмотрены характерные зависимости управлений от параметров и выписаны градиенты исследуемых функционалов по этим параметрам на основе полученной вариации;

• проблема управления множеством в задаче совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений, при некоторых упрощающих предположениях, сведена к задаче управления границей множества;

• создано программное обеспечение, в котором реализованы разработанные в настоящей диссертации методы и проведена численная оптимизация продольной динамики в линейном ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой.

89

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., «Наука», 1979.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., «Наука», 1974.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М., «Высшая школа», 1989.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. T.l. М., «Наука», 1973.

5. Бахвалов И.В., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., СПб., 2000.

6. Беллман Р. Динамическое программирование. М., «ИЛ», 1960.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1,2. М., «Физматгиз», 1962.

8. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление. М., «Мир», 1972.

9. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., 1981. Ю.Волков Б.И., Якунин С.А. Математические задачи плазмооптики.

10. М., «Знание», 1982. П.Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М., 1971.

11. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск, 1975.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск, 1974.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., «Наука», 1966.

14. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М., 1961.

15. Голдстейн Г. Классическая механика. М., «Наука», 1975.

16. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М., «Наука», 1990.

17. Едаменко Н.С. О моделировании динамики заряженных частиц с учётом их взаимодействия // В кн. Математические методы анализа управляемых процессов. Л., 1986.

18. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб., изд-во СПбГУ, 1993.20.3орич В.А. Математический анализ. Часть 1,2. М., Изд-во МЦНМО, 2001.

19. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л., Изд-во ЛГУ, 1957.

20. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., «Наука», 1975.

21. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., 1982.24.3убов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб., Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2001.

22. Зубов В.И. Процессы управления и устойчивость. Сборник статей, опубликованных в журнале «Доклады Академии наук». СПб, НИИ Химии СПбГУ, 1999.

23. Ильин В.А., Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. В 2 ч. М., «Наука», 1998.

24. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., «Наука», 1978.

25. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М., «Наука», 1966.

26. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., «Наука», 1975.

27. Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М., 1966.31 .Капчинский И.М. Линейный ускоритель ионов с высокочастотной жёсткой фокусировкой. Часть 1. Препринт ИФВЭ ИНЖ 72-29. Часть 2. Препринт ИФВЭ ИНЖ 72-30. Серпухов, 1972.

28. Капчинский И.М. Теория линейных резонансных ускорителей: Динамика частиц. М., «Энергоиздат», 1982.

29. Капчинский И.М. Тепляков В.А. Линейный ускоритель с пространственно-однородной сильной фокусировкой. // Приборы и техника эксперимента, М., №2, 1970, С. 19.

30. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л., 1968.

31. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. СПб., Изд-во СПбГУ, 1993.

32. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л., Изд-во ЛГУ, 1975.

33. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций функционального анализа. М., «Наука», 1976.

34. Красовский Н.Н. Теория управление движением. М., 1968.

35. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М., 1985.

36. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределённости. М., «Наука», 1977.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М., 1967.

38. Лебедев А.Н., Шальнов А.В. Основы физики и техники ускорителей. М., ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1991.

39. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М., 1972.

40. Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. М., 1972.

41. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. Минск, «Выш. школа», 1968.

42. Меркурьев С.В. Моделирование продольного движения частиц в структуре с ПОКФ с учётом их взаимодействия // Труды XXXIIIнаучной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость». СПб., 2002. С. 219-223.

43. Меркурьев С.В. Об одном алгоритме оптимизации // Труды XXXIV научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость». СПб., 2003. С. 73-78.

44. Меркурьев С.В. Об оптимизации продольного движения в линейном ускорителе // Труды XXXV научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость». СПб., 2004. С. 235-238.

45. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М., «Наука», 1990.

46. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М., 1971.

47. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1947.

48. Овсянников Д.А., Дривотин О.И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. Изд-во СПбГУ, 2003.62,Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПбГУ, 1998.

49. Овсянников Д.А., Меркурьев С.В. Об одном алгоритме оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений. // Proceedings of the 9th European Workshop: Beam dynamics & Optimization, June 24-27, 2002, Saint-Petersburg, Russia, pp. 252-259.

50. Овсянников Д.А., Меркурьев С.В. Моделирование и оптимизация продольной динамики пучка частиц в линейном ускорителе // II Всероссийская научная конференция «Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab», Москва, 25-26 мая, 2004.

51. Пантелеев А.В. Оптимальное управление непрерывными системами при неполной мгновенной информации о состоянии. М., «МАИ», препринт, 1990.

52. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., «Наука», 1970.

53. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», 1970.

54. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1969.

55. Рошаль А.С. Моделирование пучков заряженных частиц. М., «Атомиздат», 1979.

56. Соболев С.JI. Уравнения математической физики. М., 1966.

57. Субботин А.И. Обобщённые решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М., Ижевск, 2003.

58. Субботина Н.Н. Метод характеристик Коши и обобщённые решения уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана. ДАН СССР, 320(3): 556-561, 1991.

59. Филлипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., «Наука», 1985.

60. Филиппова Т.Ф. Оптимизация интегрального функционала на пучке решений управляемого дифференциального включения ~ // Диф. уравнения, 1987. Т.23, № 3. С. 457-463.

61. Хоменюк В.В. Методы оптимизации. Л., 1973.

62. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М., «Наука», 1978.

63. Шварц Л. Анализ. Т. 1 М., «Мир», 1971; Т. 2 -М., «Мир», 1972.

64. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., «Мир», 1974.

65. Balakrishnan A.V. Applied Functional Analysis. N.Y.: Springer, 1976.

66. Bondarev B.I., Durkin A.P., Ovsyannikov A.D. New Mathematical Optimization models for RFQ Structures. // Abstracts of the 18th Particle Accelerator Conference. New York, USA, 1999. P. 176.

67. Bressan A. Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations and Optimal Control Problems // ( http://www.math.psu.edu/bressan/)

68. Crandall M.G., Lions P.-L. Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 277. P. 1-42.

69. Crandall M.G., Evans L.C., Lions P.-L. Some Properties of Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 282. P. 487-502.

70. Crandall M.G., Ishii H., Lions P.-L. User's Guide to Viscosity Solutions of Second Order Partial Differential Equations. // Bulletin of AMS, Vol. 27, Number 1, July 1992, P. 1-67.

71. Debnath L. Nonlinear Partial Differential Equations for Scientist and Engineers. Birkhauser, 1997.

72. Evans L.C. Partial Differential Equation. AMS Press., Vol. 19, 1998.

73. Hopf E. Generalized Solutions of Nonlinear Equations of first order. // J. Math. Mech., P. 951-973, 1965.

74. Humphries S., JR. Principles of Charged Particle Acceleration. John Wiley and Sons, ISBN 0-471-87878-2, 1986.

75. Humphries S., JR. Charged Particle Beams. John Wiley and Sons, ISBN 0-471-60014-8, 1990.

76. Kotina E.D. On charged particles dynamics formation. // Proc. of the Second International Workshop: Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, Russia, 1995. P.103-109.

77. Lax P. Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves. SIAM, 1973.

78. Zubov V.I. Mathematical Theory of The Motion Stability. SPbSU, Saint-Petersburg, Russia, 1997.th

79. Weiss M. Radio-frequency quadrupole // Proceedings of the 5 CERN Accelerator School. Geneva, 1995. V. 2, P. 959-991.