автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Разработка алгоритмов классификации на основе теории распознавания образов и их использование при создании систем автоматизации проектирования в машиностроении

Введение.

1. Литературный обзор и постановка основных задач . Ю

1.1. Анализ некоторых методов обучения распознаванию образов . Ю

1.2. Использование методов обучения распознаванию образов для решения технологических задач классификации

1.3. Постановка задачи исследования.

2. Исследование и совершенствование методов обучения распознаванию образов.

2.1. Модификация метода эвклидова расстояния

2.2. Параметрический метод обучения распознаванию образов

2.3. Метод классификации микрорайонов

2.4. Метод корреляционного анализа оценки полезности признаков для L классов.

2.5. Критерий числа разрешаемых споров

2.6. Выводы по главе

3. Использование методов обучения распознаванию образов в

САПР горячей штамповки . . ?

3.1. Постановка вопроса.

3.2. Выбор комплекта полезных признаков при определении типа напуска в отверстии детали

3.3. Определение типа напуска в отверстиях деталей различными методами обучения распознаванию образов

3.4. Выводы по главе

4. Применение методов распознавания образов для конструирования оптимальной заготовки

4.1. Постановка вопроса.

4.2. Алгоритм конструирования оптимальных заготовок для деталей машиностроения

4.3. Конструирование оптимальных заготовок для типовых деталей

4.4. Выводы по главе

При изучении и описании самых разных явлений приходится сталкиваться с многочисленными задачами классификации. Прежде чем принимать какое-либо решение, производить какое-то действие, необходимо в большинстве случаев классифицировать ситуации, объекты, процессы и т.п.

Предъявляя требования к производству, например, экономического характера, нужно знать степень его серийности (индивидуальное, серийное, массовое); технологический процесс производства детали зависит от ее типа и размеров; последние являются следствием определенных конструкторских решений. Таких примеров \ I можно привести сколько угодно, больше того, можно считать, что задачи классификации возникают при любом исследовании, В данной работе задачи классификации рассматриваются, изучаются и решаются применительно к производству деталей в машиностроении, причем преимущественно в связи с необходимостью разработки алгоритмов проектирования для САПР (систем автоматизированного проектирования). При этом предполагается, что задача классификации состоит из двух частей: первая - обучение классификации (обучение распознаванию образов); вторая - непосредственно | классификация (распознавание). Дадим одну из наиболее распространенных формулировок этой задачи.

Для некоторого множества X М -мерных объектов ния правило, разделяющее множество^ на/, подмножеств (классов)

•>» . По некоторой выборке Xп объектов -для каждого объекта этой выборки известно, к какому подмножеству он относится (обучающая выборка) - требуется найти общее правило классификации для любого объекта из множества X • Если в обучавдей выборке не указывается принадлежность существует некоторое неизвестное до обуче объекта к какому-то из классов, то сформулированная задача будет задачей самообучения.

Отметим, что методы решения рассматриваемой задачи (методы обучения распознаванию образов) представляют собой адекватный , аппарат для построения алгоритмов проектирования и использования ¡, ¡их при решении технологических задач классификации. Действитель- \ но, большинство технологических алгоритмов проектирования не имеют силы закона, а определяются условиями производства, его требованиями и традициями. Поэтому имеет смысл осуществлять корректировку алгоритмов классификации при изменении производственных условий с помощью методов обучения распознаванию образов.

Эти методы позволяют найти оптимальное в некотором смысле разделяющее правило (алгоритм классификации). Причем в зависимости от структуры расположения классов для определения разделяющих поверхностей должны использоваться соответствующие методы . Очевидно можно выделить два типа таких структур.

1. Классы объектов представляют собой локальные односвязные области со сравнительно небольшими участками пересечений классов. В этом случае для решения задачи классификации могут быть использованы метод эвклидова расстояния и его разновидности;» в которых при обучении отыскиваются эталонные объекты, а классификация производится с использованием различных метрик близости [I]; метод, базирующийся на простой разделимости классов (метод исправления ошибок) [2} ,когда разделяющие поверхности уточняются путем последовательных итераций; параметрический метод [2, 3] , основанный на теории статистических решений.

2. Классы объектов представляют собой многосвязные области со сравнительно большими участками пересечений классов. Естественно, что во многих таких случаях указанные выше методы не дают качественного решения задачи классификации, что заставляет ориентироваться на соответствующие, конечно более сложные методы классификации. Среди таких методов назовем многопараметрический метод [4,5,б] , основанный на использовании теории статистических решений в некотором наборе подпространств исходного пространства объектов и метод комитетов [7,8], основанный на анализе системы линейных неравенств, получаемой по обучающей выборке.

Одной из трудных задач, возникающих при описании объектов классификации является выбор пространства признаков.

Известны методы для^ыбора признаков, основанные на дисперсионном и корреляционном анализе [9,10] критерий числа разрешаемых споров [ 9], используется для этой цели и многопараметрический метод [4,5,б].

В первой главе диссертации, представляющей собой литературный обзор методов классификации, рассмотрены перечисленные выше методы обучения распознаванию образов и выбора пространства признаков, причем в большинстве случаев используются различные тестовые примеры для анализа возможностей этих методов. Первая глава заканчивается постановкой задачи исследования, которая сводится к совершенствованию рассмотренных методов с целью их использования для создания алгоритмов классификации в СЖР и разработке ряда технологических алгоритмов классификации.

Вторая глава посвящена изложению ряда модификаций рассмотренных в первой главе методов, полученных в результате их усовершенствования. Здесь же предлагается новый довольно универсальный, но трудоемкий по набору выборкн(при большой размерности) метод классификации микрорайонов.

В третьей главе дается общая структура САПР технологических процессов и место, которое занимают в этой структуре задачи классификации. Показано, что методы обучения распознаванию образов позволяют строить математические модели классификации и корректировать их при изменении производственных условий. Рассматриваются постановка ряда задач технологических классификаций, методы их решения и результаты.

В четвертой главе рассмотрена задача определения оптимального набора групповых заготовок для з.аданной номенклатуры деталей, что позволит определить типоразмеры инструмента в при> ложениии к формированию набора валков периодической прокатки заготовок в условиях строящегося на Урале специализированного цеха массового производства заготовок и экономически целесообразного набора подкладного инструмента для свободной ковки поковок типа фяанцев в производственных условиях ПО Уралхим-машзавод. Реализация полученных рекомендаций дает существенный ) экономический эффект.

В приложении приведены тексты разработанных программ, с помощью которых получены все результаты.

Работа выполнялась в рамках целевой комплексной научно-технической программы 0Д.027, задание 05.33 (постановление ГКНТ, Госплана СССР,и Ш СССР № 474/250/132 от 12.12.80).

I. ЖТЕРА1УРБЫЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА. ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ

4.4. Выводы по главе 4

I. Разработана методика классификации деталей при конструировании оптимального набора групповых заготовок. Предлагаемая методика может быть использована для решения самых разных задач технологии изготовления деталей машиностроения.

В данной работе эта методика использована для решения двух задач: I) задачи конструирования оптимального набора заготовок, получаемых путем прокатки на станах поперечной прокатки-ковки в условиях специализированного мини-завода по произвол

Выборка деталей типа фланцев п/п Габаритные размеры деталей Размеры использованной поковки Размер партии — —г й заготовки

И Э ь аг л, и

I 2 3 4 ь ь У 6 9 ТО

I 80 400 20 310 310 92 418 I 159

2 38 190 ' 18 ПО 90 45 200 I I

3 105 296 24 210 210 120 310 3 82

4 НО 196 29 210 210 125 310 3 82

5 250 430 20 360 360 270 455 5 740

6 166 195 24 134 134 178 208 9 294

7 194 385 18 320 320 210 405 I 451

8 305 550 83 450 450 345 590 I 840

9 280 330 20 295 295 295 350 I 735

10 105 390 20 310 310 119 407 4 159

II 155 390 20 310 310 171 409 4 447

12 50 230 27 138 138 60 243 I 78

13 170 506 68 346 284 185 525 2 547

14 341 411 51 296 296 360 432 3 735

15 80 460 30 440 400 95 480 I 240

16 80 296 34 216 216 90 310 2 82

17 82 296 28 216 216 93 310 4 82

18 125 392 89 170 170 138 408 I 174

19 НО 405 93 170 170 123 422 I 174

20 145 270 15 200 200 160 290 5 370

21 340 410 92 350 350 360 430 I 764

22 250 458 60 350 350 267 478 2 1 836

I 2 3 , 4 5 6 7 8 9 10 23 150 420 20 340 340 165 438 I 451

24 75 203 55 100 100 85 215 2 I

25 120 434 90 140 140 133 450 15 174

26 85 370 70 105 105 97 386 5 169

27 75 520 55 120 120 88 540 I 221

28 72 460 28 346 325 85 477 9 235

29 69 230 27 132 90 78 242 3 77

3Q 76 171 41 71 71 84 182 2 I

31 50 160 21 75 75 58 172 5 I

32 58 165 16 85 85 66 175 I I

33 131 240 20 175 175 145 255 33 78

34 252 336 26 286 286 270 355 4 735

35 70 180 50 96 96 78 191 2 I

36 79 370 64 120 120 90 385 20 173

37 76 262 51 101 101 86 275 2 73

38 66 446 56 106 106 77 460 30 217

39 145 514 118 190 .190 160 535 4 562

40 142 150 50 95 95 155 162 I 289

41 276 294 129 216 216 293 312 10 706

42 250 410 138 330 330 267 430 7 787

43 360 410 168 350 350 380 430 2 788

44 250 410 168 350 350 267 430 3 788

45 246 406 135 326 326 263 425 I 499

46 305 288 123 210 210 326 310 5 706

47 200 288 123 210 210 220 310 15 418

I 2 3 4 5 6 7 8 9 10

48 305 348 133 260 260 325 370 2 783

49 240 348 133 260 260 260 370 2 495

50 173 498 43 398 398 190 520 I 528

51 250 358 145 270 270 265 375 I 783

52 93 195 48 86 86 НО 215 I I

1. Себестиан Г.С. Процессы принятия решений при распознавании образов (пер.с англ.) "Техника", Киев, 1965, 151 с.

2. Нильсон Н.Дж. Обучающиеся машины (пер.с англ.), "Мир", М., 1967, 180 с.

3. Браиловский'В.Л., Лунц А.Л. Формулировка задачи распознавания объектов со многими параметрами и методы ее решения. Изв. АН СССР, Техн.кибернетика, 1964, I, с.20-32.

4. Браиловский В.Л. Алгоритм распознавания объектов со многими параметрами и его приложения. Изв.АН СССР, Техн.кибернетика, 1964, J& 2, с.30-40.

5. Ю.Горелик А.Л. и Скрипкин В.А. Методы распознавания, М.: Высшая школа, 1984, 208 с.

6. Маккалок У.С., Питтс У., Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности. Сб."Автоматы", ИЛ, 1956,403с.

7. W¿e/геъ ¿ztá¿Ьгггяги -/itcatcon Me Лъгюгг^1. Tée ¿zte/JfoM Stm^T^c.,

8. Розенблатт Ф. Принципы нейродинамики. "Мир", М., 1965,480с.

9. Харкевич A.A. Опознание образов. Радиотехника, т.4, 1959, Jfi 5, с.12-22.

10. Харкевич A.A. О выборе признаков при машинном опознавании образов. Изв.АН СССР, техн.кибернетика, 1963, № 2, с.З-П.

11. Харкевич A.A. Избранные труды в 3-х томах, т.З, "Наука", М., 1973, 524 с.

12. Ту, Джулиус Т., Гонсалес, Рафаэл К. Принципы распознавания образов, пер. с англ., М., "Мир", 1978, 411 с.18. /¿uty&J I.I., ¿г., Л/иг^-/Уи>/>&гШ, W-wv fe/xyrf ^ ^pated U/zi^c^ty с^¿¿j&zn^илЖъ Grztbziet А WfrttJ -3^ ¿¿fJfJcfoo* Л/иа^'ж игеа^сс/ге

13. Вайсбурд P.A. Автоматизация проектирования технологических процессов обработки металлов давлением, Машиностроение, М., 1977, 48 с.

14. Алиев Ч.А. Разработка алгоритмов проектирования технологии . штамповки методами обучения распознаванию образов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Свердловск, 1971, с.

15. Охрименко Я.М. Технология кузнечно-штамповочного производства. М.: Машиностроение, 1966. - 600 с.

16. Ковка и объемная штамповка стали ) Под общ.ред. И.В.Сторо-жева и др. М.: Машиностроение, 1967, т.1. - 435 с.

17. Ковка и объемная штамповка стали / Под общ. ред. М.В.Сто-рожева и др. М.: Машиностроение, 1968, т.2.

18. Брюханов А.И. Ковка и объемная штамповка. М.: Машиностроение, 1975, 408 с.

19. Сторожев М.В. Середин П.И., Кирсанова С.Б. Технология ковки и горячей штамповки цветных металлов и сплавов. М.: Высшая школа, 1967.

20. Корнеев П.И. и др. Ковка и штамповка цветных металлов. Справочник. М.: Машиностроение, 1971, 232 с.

21. Бойцов В.В., Трофимов И^Д. Горячая штамповка. М.: Высшая школа, 1978.

22. Коньков A.C. Снижение припусков при штамповке поковок. -М.: Машгиз, 1961, 168 с.

23. Онищенко П.М. О назначении припусков. Кузнечно-штамповоч-ное производство, i960, № 4, с.30-34.

24. Ходеев В.А., Дядюк В.Б., Мунаров С.Г. 0CTI,41675-77. Карта технологического процесса ковки и горячей штамповки для ручного и автоматизированного проектирования. Правила оформления. М.: ШАТ, 1977, 10 с.

25. Тетерин Г.П. Новые методы расчета процессов горячей штамповки. Волгоград: Нижне-Волжское книжное издательство, 1969. - 113 с.

26. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. М.: Машиностроение, 1971, 424 с.

27. Тарновский И.Я. и др. Теория обработки металлов давлением. М.: Металлургиздат, 1963, 672 с.

28. Унксов Е.П. Пластическая деформация при ковке и штамповке. М.: Машгиз, 1939, 192 с.

29. Шофман Л.А. Основы расчета процессов штамповки и прессования. М.: Машгиз, 1961, 340 с.

30. Унксов Е.П. Инженерная теория пластичности. М.: Машгиз, 1959, 328 с.

31. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов. М.: Металлургия, 1972, 408 с.

32. Смирновг-Аляев Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформированию. Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов , Ленинград : Машиностроение, Ленинградское отделение, 1978, 368 с.

33. Смирнов-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических деформаций металлов. Механика конечного формоизменения. М.: Машгиз, Ленинградское отделение, 1956, 367 с.

34. Вайсбурд P.A., Дядюк В.Б., Кондратьев В .И., Мунаров С.Г. Расчет параметров облоя. Кузнечно-штамповочное производство, 1982, № 3, с.24-26.

35. Общеотраслевые руководящие методические материалы по созданию систем автоматизированного проектирования (САПР). Постановление ГКНТ от 2 июня 1978г., № 230, М., 1978.

36. ОСТ I.41338-79. Изготовление штампованных заготовок из алюминиевых сплавов на прессах и молотах.

37. ОСТ I.41534-74. Штамповка точных заготовок из титановых сплавов.

38. ОСТ I.41339-79. Изготовление штампованных заготовок из стали на молотах и прессах.

39. ОСТ I.41340-72. Раскрой исходного материала на заготовки.

40. ОСТ I.41676-77. Карта технологического процесса ковки и горячей штамповки для ручного и автоматизированного проектирования. Правила оформления.

41. ОСТ I.51383-80. Штампы молотовые конструктивные элементы.

42. ПИ 1.2.007-77. Производственная инструкция.Сталь.углеродистая, легированная и высоколегированная, сплавы жаропрочные, ковка и штамповка. Типовые технологические процессы. .

43. Ребельский A.B. Основы проектирования горячей объемной штамповки, М., Машиностроение, 1965, 248 с.

44. Баранов Ю.М., Вайсбурд P.A., Ошурко Е.А. Упрощение конфигурации поковок методами распознавания образов, сб."Методкомитетов в распознавании образов", УНЦ АН СССР, Свердловск, 1974, с.106-117.

45. Баранов Ю.М., Автоматизированная система технологического проектирования процессов горячей штамповки элементами обучения, Свердловск, диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, 1971, 165 с.

46. Вайсбурд P.A., Тарновский И.Я., Алиев Ч.А. Методы обучения распознаванию образов в задачах автоматизации технологического проектирования. В сб.: Исследование машин и технологии кузнечно-штамповочного производства, № 89, Челябинск, 1971, с.3-13.

47. Симоненко В.Н. Автоматизированная система проектирования штампов для обрезки облоя крупных поковок с некоторыми алгоритмами самообучения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, Минск, 1975, 153 с.

48. Баранов Ю.М., Симоненко В.Н., Вайсбурд P.A. Методы обучения . в программе проектирования обрезных штампов. В сб.: Исследование машин и технологии кузнечно-штамповочного производства, 89, Челябинск, 1971, с. 33-40.и

49. Баранов Ю.М. Обучение программы назначения припусков на штамповках. В сб. Исследование машин и технологии куз-нечно-штамповочного производства, Л 89, Челябинск, 1971.

50. Аскеров Г.А.: Выбор комплекта полезных для решения задачи классификации в системах автоматизированного проектирования технологических процессов. Сб."Пути оптимизации параметров . машин", УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, с.137-144.

51. Аскеров Г.А., Вайсбурд P.-Av Две новых модификации методов распознавания образов и их использование в САПР процессов штамповки, Сб."Автоматизация технической подготовки производства", вш.З, ИТК АН БССР, Шнек, 1984, с.66-73.

52. Вайсбурд P.A., Тарновский И.Я., Тетерин Г.П.' Об использовании быстродействующих вычислительных машин для разработки технологии горячей штамповки. -Кузнечно-штамповочное производство, 1963, № 2, с.10-13.

53. Вайсбурд P.A., Тарновский И.Я., Тетерин Г.П.Использование электронных быстродействующих вычислительных машин для разработки технологии штамповки и конструирования штампов. -М.: ГОСШШ, ПНТПО, 1964, № 7.

54. Вайсбурд P.A., Теоретические вопросы разработки систем автоматизации проектирования процессов кузнечно-штамповочного производства. .Кузнечно-штамповочное производство, 1976,й I, с.8-13.

55. Вайсбурд P.A., Тарновский И.Я., Еремеев Г.А. Автоматизация технологической подготовки производства штампованных заготовок (поковок). В сб.: Вычислительная техника в машиностроении, Минск, ИТ£С АН БССР, 1966, октябрь, с.130-140.

56. Автоматизация инженерной подготовки производства штампованных заготовок (поковок) / Р.А.Вайсбурд, Б.И.Сухих , Г.А.Еремеев и др. В сб.: Автоматизация технологического проектирования при помощи электронных вычислительных машин, М.: Машиностроение, 1966.

57. Тарновский И.Я., Вайсбурд P.A., Еремеев Г.А. Автоматизация проектирования технологии горячей штамповки. М.: Машиностроение. 1969, 240 с.о

58. Принципы построения автоматизированных систем проектирования (АСП) и АСП технологических процессов горячей штамповки тел вращения на молотах./Вайсбурд P.A., Баранов Ю.М., Еремеев Г.А. и др. Методическая разработка. Свердловск: УЖ, 1974, 162 с.

59. Разработка на ЭВМ технологии горячей объемной штамповки тел вращения на молотах. Методика. - М.: ВШИНМАШ, 1975,240с.

60. Система автоматизации проектирования процесса горячей штамповки тел вращения } Р.А.Вайсбурд, Г.А.Еремеев, В.Б.Дядкжи др. Кузнечно-штамповочное производство, 1976, № I, с.13-14.

61. Пакет прикладных: программ для проектирования штампов горячей штамповки (САПР УРАЛ-1) } Р.А.Вайсбурд, С.Г.%наров, Г.А.Еремеев и др. Алгоритмы и программы: Бш.БНЖЦ, 1981, № 1-2 (39-40), 0.31.

62. Тетерин Г.П., Полухин П.И. Основы оптимизации и автоматизации проектирования технологических процессов горячей объемной штамповки. М.: Машиностроение, 1979, 284 с.

63. Гильман A.M. Об алгоритмическом проектировании технологических процессов в машиностроительной промышленности.

64. В сб.: Проблемы кибернетики, М.: Физматгиз, I960, вып.З.

65. Горанский Г.К. К теории автоматизации инженерного труда. -Минск, Наука и техника, 1962. 216 с.

66. Перспективы автоматизации технологической подготовки кузне-чно-штамповочного производства } И.Я.Тарновский, В.Н.Трубин, Р.А.Вайсбурд и др. Кузнечно-штамповочное производство, 1967, № , с. 1-3.

67. Тетерин Г.П. Автоматизированная система проектирования технологических процессов горячей объемной штамповки. -нечно-штамповочное производство, 1971, 9, с.37-39.

68. Тетерин Г.П. Автоматизация технической подготовки производства. В сб.: Вычислительная техника в машиностроении, Минск, ИТК АН БССР, 1971, декабрь, с.144-148.

69. Тетерин Г.П. Автоматизация технологической подготовки в го-рячештамповочном производстве. Кузнечно-штамповочное производство, 1978, № 7, с.40-43.

70. Семенков О.И. и др. Автоматизация проектно-конструкторских работ и технологической подготовки производства в машиностроении. Т.1,2, Минск: Вышэйшая школа, 1976.

71. Цветков В.Д. Система автоматизации проектирования технологических процессов. М.: Машиностроение, 1972, с.240.

72. Цветков В.Д. Принципы построения и функциональная структура систем автоматизированного технологического проектирования. Приборы и системы управления, 1977, № 4,с.46-48 и № 5, с.46-48.

73. Рагузин А.П., Романовская P.A. Применение электронно-вычислительной машины "Минск-14" при разработке технологии горячей объемной штамповки. М.: ЮТПШ, 1967.

74. Лебедев В.А., Тарновский И.Я. Проектирование штамповки турбинной лопатки с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). В сборнике "Исследование.машин и технологии кузнечно-штамповочного производства", № 89, Челябинск, 1971, с. 14-21.

75. Разработка автоматизированной системы технологической подготовки кузнечно-штамповочного производства } А.И. Петров, АЛЛутовинов, Г.В.Дегтярев и др. Кузнечно-штамповочное производство, 1977, $ 12, с.13-15.

76. Ракович А.Г. Применение вычислительной техники для автоматизации проектирования технологического оснащения. -М.: Машиностроение, 1977.

77. Цанков Ц., Попов Д., Приложение на электронно-вычислитель-нейе машини за технологично проектиране на процесси от пластична деформация на металлите. "Техническо мисья",1., 1974, с.57-70 /болт/.

78. Вайсбурд P.A. Автоматизированные системы проектирования процессов обработки металлов давлением. Диссертация на1. Свердловск, 1973, 531 с.

79. Налимов В.В. Теория эксперимента, М., Наука, 1971, 207 с.

80. Вайсбурд P.A., Тарновский И.Я., Еремеев Г.А. Автоматизация технологической подготовки производства штампованных заготовок (паковок). В сб.: Вычислительная техника в машиностроении, Минск, ИТК АН БССР, 1966, октябрь,с.130-140.

81. Митрофанов С.П. Групповой метод как база научной организации производства, М., Машиностроение, 1969, 95 с.

82. Химич Г.Л. Основные проблемы создания эффективной машинной техники в Уральской экономическом районе и пути их решения, сб. "Пути оптимизации параметров машин", УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, с.3-15.

83. Каганович А.Зг, Дурницкий В.Н. Оптимальный способ реализации ресурсосберегающих технологий производства заготовок деталей машин, сб. "Пути оптимизации параметров машин",алеЛсоискание ученой степени доктора технических наук.

84. УНЦ АН СССР, Свердловск, 1984, с.99-103.

85. Цыпкин.Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968,-399с.

86. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973, 446 с.

87. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968, 227 с.

88. Беллман Р. и Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969, 118 с.

89. Беллман Р. и Дрейфус Ст. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965, 458 с.

90. ЮО.Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования.

91. М.: Наука, 1964, 175 с. 101.Комков В.В. Введение в динамическое программирование.

92. М.: ИУНХ, 1977, .52 с. Ю2.Арис, Резерфорд. Дискретное динамическое программирование. Введение в оптимизацию многошаговых процессов. М.: Мир, 1966, - 171 с.

93. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд. иностр.лит., i960, 400 с.7'Г О