автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка алгоритмов и комплекса программ для численного решения задач левитации с использованием реляционных баз данных

Введение.

Глава 1. Математическое моделирование и численные методы решения нелинейных задач математической физики.

1.1 Левитация в магнитных коллоидах как нелинейный физический процесс.

1.2 Численные методы решения нелинейных задач математической физики.

1.2.1 Метод скалярных конечных элементов.

1.2.2 Метод векторных конечных элементов.

1.2.3 Метод конечных разностей.

1.3 Возможности пакетов прикладных программ, реализующих численные методы решения нелинейных задач математической физики.

1.4 Применение левитации тел в технологических процессах и технических устройствах.

1.5 Выводы.

Глава 2. Разработка алгоритма численного решения задачи о левитации с использованием метода конечных разностей на квазиравномерных сетках.

2.1 Дискретизация задачи о вычислении скалярного магнитного потенциала в сосуде с магнитной жидкостью в системе декартовых координат.

2.1.1 Построение линейных уравнений для внутренних точек расчетной области в случае декартовых координат.

2.1.2 Построение линейных уравнений для точек, находящихся на поверхности сосуда, магнита и на бесконечности в случае декартовых координат.

2.2 Дискретизация задачи о вычислении скалярного магнитного потенциала в сосуде с магнитной жидкостью в системе цилиндрических координат.

2.2.1 Построение линейных уравнений для внутренних точек расчетной области в случае цилиндрических координат.

2.2.2 Построение линейных уравнений для точек, находящихся на поверхности сосуда, магнита и на бесконечности в случае цилиндрических координат.

2.3 Расчет значений скалярного магнитного потенциала в узлах пространственной квазиравномерной сетки.

2.4 Адаптация итерационного метода решения СЛАУ к возможностям сервера реляционных баз данных.

2.5 Выводы.

Глава 3. Разработка серверной части программного комплекса для моделирования левитационных процессов постоянного магнита в сосуде с магнитной жидкостью.

3.1 Построение системы линейных алгебраических уравнений.

3.2 Реализация итерационного процесса получения значений скалярного магнитного потенциала в узлах пространственной сетки.

3.3 Вычисление пондеромоторной силы.

3.4 Выводы.

Глава 4. Решение задачи левитации с использованием разработанного программного комплекса при различных значениях входных параметров.

4.1 Архитектура клиентской части программного комплекса.

4.2 Результаты расчетов скалярного магнитного потенциала и пондеромоторной силы при использовании цилиндрических координат.

4.3 Результаты расчетов скалярного магнитного потенциала и пондеромоторной силы при использовании декартовых координат.

4.4 Выводы.

Развитие вычислительных систем и технологий выводит математическое моделирование как отрасль науки на качественно новый уровень. Применение современных программно-аппаратных средств в совокупности с передовыми математическими методами позволяет расширить круг нелинейных задач математической физики, для которых возможно получить численное решение.

Актуальность темы. Необходимость моделирования левитационных процессов постоянного магнита в ограниченном объеме магнитной жидкости (МЖ) обусловлена наличием большого количества устройств и технологических процессов, принцип действия которых основан на явлении магнитной левитации. При этом проведение экспериментальных исследований в данной области затруднено разнообразием физических и геометрических характеристик исследуемых систем, высокой стоимостью материалов, необходимых для физического моделирования. Численное моделирование позволит прогнозировать значение силы магнитной левитации для задач с различными входными параметрами и с различной геометрической топологией. Явление магнитной левитации обусловлено взаимодействием магнитного поля с погруженными в магнитную жидкость телами различной магнитной природы и представляет собой сложный нелинейный процесс, описываемый системой дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в бесконечной области. В данной постановке задача о левитации осложняется наличием краевых условий сопряжения на границах магнитно-неоднородных сред. Решение этой задачи представляет собой самостоятельную математическую проблему, разрешимую аналитическими методами для узкого круга задач.

Цель работы - математическое моделирование левитации тел различной формы, погруженных в магнитную жидкость. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать эффективный алгоритм расчета скалярного магнитного потенциала и пондеромоторной силы для задачи левитации погруженных в магнитную жидкость постоянных магнитов различной формы с произвольной ориентацией вектора намагниченности.

2. Разработать итерационный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности с разряженной матрицей, полученных при дискретизации исходной математической модели.

3. Разработать комплекс программ, позволяющий автоматизировать все стадии вычислительного эксперимента при моделировании левитации постоянного магнита в ограниченном объеме магнитной жидкости.

4. Получить численные значения силы, действующей на погруженные в магнитную жидкость тела произвольной формы при наложении дополнительного магнитного поля, и сравнить результаты с экспериментом.

Методы исследований. В работе использован математический аппарат теории разностных схем на основе квазиравномерных сеток, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории алгоритмов, численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений на основе итерационных методов крыловского типа. Численное моделирование производилось с использованием вычислительной техники и программных средств с реляционной архитектурой.

Научная новизна:

- Впервые моделирование процессов левитации проведено для топологии, когда постоянный магнит и сосуд имеют замкнутую поверхность, представленную множеством прямоугольных граней, каждая из которых перпендикулярна одной из координатных осей.

- Разработан алгоритм расчета скалярного магнитного потенциала, описываемого уравнением Лапласа в бесконечной области с условиями сопряжения на границах раздела магнитно-неоднородных сред. Алгоритм основан на дискретизации исходной задачи методом конечных разностей на квазиравномерных сетках и модифицирован для применения в рамках реляционной архитектуры.

- Разработан алгоритм, адаптированный к возможностям реляционной архитектуры, для расчета силы магнитной левитации, действующей на постоянный магнит, по известным дискретным значениям скалярного магнитного потенциала.

- Разработан программный комплекс, позволяющий автоматизировать процессы вычисления скалярного магнитного потенциала, получения численных значений пондеромоторной силы для задач с различной геометрической топологией. Программа позволяет решать задачи левитации в двумерной или трехмерной постановке.

- Получены данные о распределении скалярного магнитного потенциала и вычислена пондеромоторная сила для задач с различной топологией. Проведено сравнение полученных результатов с данными физического эксперимента.

Научно-практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанных алгоритмов для решения широкого круга задач математической физики, описываемых уравнением Лапласа в неограниченной области с условиями сопряжения на границах физически неоднородных сред (многофазные задачи). Разработанный программный комплекс позволяет использовать получаемые численные результаты для прогнозирования характеристик устройств и технологических процессов, принцип действия которых основан на явлении магнитной левитации. Положения, выносимые на защиту

1. Алгоритм расчета скалярного магнитного потенциала, описываемого уравнением Лапласа в бесконечной области с условиями сопряжения на границах магнитно-неоднородных сред, адаптированный к возможностям реляционной архитектуры.

2. Программный комплекс для автоматизации расчета скалярного магнитного потенциала в задачах левитации.

3. Алгоритм расчета пондеромоторной силы для активной и пассивной левитации магнита на основе рассчитанного дискретного распределения скалярного магнитного потенциала.

4. Программный комплекс, позволяющий автоматизировать вычисление пондеромоторной силы, действующей на постоянный магнит, поверхность которого представляет собой множество непересекающихся прямоугольных граней, каждая из которых перпендикулярна одной из координатных осей.

5. Результаты расчета скалярного магнитного потенциала для объемных задач с различными входными геометрическими и физическими параметрами.

6. Результаты сравнения данных, полученных с применением программного комплекса в ходе численного эксперимента, и данных физического эксперимента.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научно-технических конференциях: XI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам и V Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 26-30 сентября 2004 г.), VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 3-7 мая 2005 г.), VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.), XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам и VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (октябрь 2005 г.), Международная научно-техническая конференция «Инфотелекоммуни-кационные технологии в науке, производстве и образовании» (декабрь 2004 г.), Международная научно-практическая конференция «Моделирование. Теория, методы и средства» (апрель 2005 г.), II Международная научно-техническая конференция «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (апрель 2006 г.).

Личный вклад автора

1. Обосновано применение реляционной архитектуры для решения задач левитации с помощью метода конечных разностей.

2. Разработаны алгоритмы дискретизации задачи, проведена адаптация алгоритмов решения СЛАУ к особенностям реляционной архитектуры.

3. Разработана архитектура программного комплекса и программная реализация серверной и клиентской части.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 126 страниц, работа содержит 56 рисунков, 7 таблиц и список цитированной литературы из 123 наименований.

4.4 Выводы

Разработаны клиентские модули программного комплекса для решения задачи левитации, позволяющие автоматизировать процессы построения пространственной сетки, поверхностей магнита и сосуда, а также предоставляющие возможность пользователю в диалоговом режиме вводить входные параметры численного эксперимента. Модуль Visualization позволяет контролировать процесс решения, управлять различными проектами.

В результате моделирования процесса левитации цилиндрического постоянного магнита в цилиндрическом сосуде с использованием программного комплекса были получены следующие результаты:

- получено распределение скалярного магнитного потенциала ср в области решения задачи, имеющее дискретный характер; картина распределения ф была получена для различных значений величины смещения х, различных проницаемостей МЖ при варьировании величины внешнего подмаг-ничивающего поля;

- вычислена сила магнитной левитации, действующая на магнит, в задачах, для которых было получено распределение ф;

- значения пондеромоторной силы, действующей на цилиндрический магнит (при его смещении на 1 мм вдоль оси симметрии), полученные в ходе численного моделирования, сравнивались с данными физического эксперимента; наиболее близкие результаты были получены в случае, когда магнитная проницаемость МЖ при проведении численного эксперимента принимала значение равное 8,3.

С помощью программного комплекса осуществлялось моделирование процесса левитации для постоянного магнита и сосуда в форме прямоугольного параллелепипеда, в ходе которого были получены следующие результаты:

- получено распределение скалярного магнитного потенциала ф в случае использования декартовых координат, при этом вектор намагниченности постоянного магнита М направлен параллельно вектору смещения х и оси Oz; распределение потенциала ф получено для различных значений смещения х при варьировании величины подмагничивающего поля;

- получено распределение ф для магнита в форме прямоугольного параллелепипеда в случае, когда вектор намагниченности М направлен под углом 45° к оси Oz.

Таким образом, программный комплекс позволяет моделировать процесс левитации постоянного магнита в сосуде с МЖ при произвольной ориентации постоянного вектора намагниченности М магнита.

Произведен расчет силы магнитной левитации, действующей на постоянный магнит в форме прямоугольного параллелепипеда, в случае когда магнит намагничен параллельно направлению смещения и оси Oz.

При моделировании левитации магнита, намагниченного под углом к направлению смещения и оси Oz, установлено, что увеличение величины смещения или увеличение величины внешнего магнитного поля влечет рост пондеромоторной силы, причем возникает дополнительная компонента силы магнитной левитации, перпендикулярная направлению смещения х.

Заключение

В диссертационной работе разработан программный комплекс для моделирования процессов левитации постоянных магнитов с произвольной ориентацией вектора намагниченности. В ходе работы получены следующие результаты:

1. Определена актуальность поставленных задач, проведен анализ существующих численных методов решения нелинейных задач математической физики в физически неоднородных областях и граничными условиями на бесконечности, проанализированы программные средства автоматизации расчетов.

2. Разработан алгоритм расчета скалярного магнитного потенциала для задач левитации постоянных магнитов различной формы с произвольной ориентацией вектора намагниченности, адаптированный к возможностям реляционной архитектуры.

3. Разработан итерационный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности с разряженной матрицей, реализованный с использованием инструментария реляционных баз данных.

4. Разработан алгоритм численного расчета пондеромоторной силы на множестве дискретных значений скалярного магнитного потенциала, адаптированный к особенностям реляционной архитектуры.

5. Разработан комплекс программ, позволяющий автоматизировать все стадии вычислительного эксперимента при моделировании левитации постоянного магнита в ограниченном объеме магнитной жидкости.

6. Получено распределение скалярного магнитного потенциала для объемных задач левитации в случае, когда магнит и сосуд имеют цилиндрическую форму, или поверхность магнита и сосуда представляет собой множество прямоугольных граней, каждая из которых перпендикулярна одной из координатных осей. В программе предусмотрена возможность задания произвольной ориентации вектора намагниченности постоянного магнита.

6. Получены численные значения силы, действующей на постоянные магниты произвольной формы, погруженные в магнитную жидкость, при наложении дополнительного магнитного поля. В результате сравнения результатов численного моделирования с данными физического эксперимента сделан вывод об эффективности разработанного программного комплекса и адекватности выбранной математической модели исследуемым процессам левитации.

1. Аврамчук А.З. Герметичный ввод вращательного движения текст. / А.З. Аврамчук, А.К. Калинкин, Ю.О. Михалев, Д.В. Орлов Приборы и техника эксперимента, 1975, №3. с. 191-192.

2. Аврамчук А.З. Магнитогидродинамический подшипник текст. /

3. A.З. Аврамчук, Ю.О. Михалев, A.M. Земляков Авт. свид. СССР №1178156, Б.И., 1985, №35.

4. Аврамчук А.З. Подшипниковый узел текст. / А.З. Аврамчук, Ю.О. Михалев, Д.В. Орлов, А.Б. Потапов, М.И. Трофименко,

5. B.В. Гогосов-Авт. свид. СССР №817352, Б.И., 1981, № 12.

6. Аврамчук А.З. Свойства и перспективы применения феррожидкостей в электромашиностроении текст. / А.З. Аврамчук, Ю.О. Михалев, Д.В. Орлов Электротехническая пром-ть, сер. Электрические машины, 1981. №2. с. 1-3.

7. Аврамчук А.З. Уплотнительно опорный узел вала текст. /

8. A.З. Аврамчук, Ю.О. Михалев, А.Б. Потапов Авт. свид. СССР №655858, Б.И., 1979, №13.

9. Алексеев Е.Р. Mathcad 12 текст. / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова. -М.: НТПресс, 2005.-345 с.

10. Алынина Е.А. Численное решение краевых задач в неограниченной области, текст. / Е.А. Алыпина, Н.Н. Калиткин, C.JI. Панченко -Математическое моделирование, 2002, т. 14, №11, с. 10-22.

11. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: Пер. с англ. В 2 т. текст. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер М.: Мир, 1990.-728 с.

12. Антипов А.А. Подшипник качения текст. / А.А. Антипов,

13. B.Ю. Егоров, Ю.О. Михалев, М.С. Сайкин // Авт. свид. СССР №1661501, Б.И., 1991, №25.

14. Баландин М.Ю. Векторный метод конечных элементов: Учеб. пособие текст. / М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001.-70 с.

15. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред текст. / О.М. Белоцерковский М.: Наука, 1984. -520 с.

16. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ. текст. / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд М.: Мир, 1984. -496 с.

17. Берковский Б.М. Магнитные жидкости текст. / Б.М. Берковский, В.Ф. Медведев, М.С. Краков М.: Химия, 1989. - 240 с.

18. Блум Э.Я. Магнитные жидкости текст./ Э.Я. Блум, М.М. Майоров, А.О. Цеберс Рига: Зинатне, 1989. - 386 с.15